pro pried a des natura is 2016

8/18/2019 Pro Pried a Des Natura is 2016

http://slidepdf.com/reader/full/pro-pried-a-des-natura-is-2016 1/15

Matemática

CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP48

PROPRIEDADES DOS NOS NATURAIS

Neste capítulo estudaremos algumaspropriedades dos Números Naturais. Na verdade,vamos estudar mais profundamente a multiplicação

e, principalmente, a divisão de números naturais. Nãotem como estudar este capítulo sem saber fazeressas duas operações. Se ainda tiver algumadificuldade em em qualquer uma das operações,volte ao capítulo de números naturais, pois elasserão muito utilizadas aqui.

O assunto que vamos estudar agora é tambémchamado de Teoria dos Números.

Divisibilidade

Dizemos que um número natural é divisívelpor outro quando ao dividirmos um pelo outro nãosobra resto. Exemplos:

1) 8 é divisível por 2 pois:

2) 15 é divisível por 3 pois:

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Informe se as frases a seguir são verdadeiras oufalsas:

a) 7 é divisível por 3;

b) 16 é divisível por 2;

c) 8 é divisível por 24;

d) qualquer número natural é divisível por 1;e) 93 é divisível por zero;

f) 36 é divisível por 18;

g) 180 é divisível por 45;

h) 18 é divisível por 2 e também por 3;

i) 100 é divisível por 10 e por 15;

j) 45 é divisível pelos números 3, 5 e 15;

k) qualquer número natural é divisível por si mesmo;

l) qualquer número natural é divisível por um etambém por si mesmo;

m) 16 é divisível por 4.

n) 81 é divisível por 7.

o) 144 é divisível por 12.

p) 14400 é divisível por 100.

q) 27 é divisível por 3 e também por 4.

r) 12 é divisível por 2, 3, 4 e 6.s) 1014 é divisível por 27.

t) Qualquer número é divisível por zero.

u) 2*3*7 é divisível por 2, por 3 e por 7.

v) 8814 é divisível por 113.

w) 30045 é divisível por 2003.

2. Informe:

a) os cinco menores números divisíveis por 7.

b) os dez menores números divisíveis por 3.

c) o menor número divisível por 8 e por 3 ao mesmotempo.

3. Preciso dividir 32 bombons em várias caixas demodo que sejam colocadas quantidades iguais debombom em cada caixa.

a) De quantas formas pode-se fazer isso?

b) E se fossem 12 bombons?

c) E se fossem 11 bombons?

d) Como a divisibilidade ajuda a resolver esteexercício?

4. Responda:

a) O número 16 é divisível por quais númerosnaturais?

b) O número 14 é divisível por quais númerosnaturais?

Uma propriedade interessante da divisibilidade e damultiplicação é a seguinte: em uma multiplicação, oresultado é sempre divisível por qualquer um dosfatores da multiplicação . Por exemplo, sabemos que21 = 3 x 7. Então podemos dizer que 21 é divisível

por 3 e também por 7. Note que 21 ÷ 7 = 3 (semresto) e 21 ÷ 3 = 7 (também sem resto).



a) Sabendo que 15 = 3 x 5, podemos concluir que 15é divisível por 3, mas não por 5.

b) Sabendo que 1961 = 53 x 37, podemos concluirque 1961 é divisível por 53 e por 37. Porém nãopodemos saber quanto é 1961 ÷ 37 sem fazer as

contas antes.



Matemática

CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 49

c) Sabendo que 30 = 2 x 3 x 5, podemos concluir que30 é divisível por 2, por 3 e por 5.

d) Todas as multiplicações com resultado igual 30são: 1 x 30 = 30, 2 x 15 = 30, 3 x 10 = 30, 5 x 6 = 30.Podemos concluir então, que 30 é divisível por 8números naturais distintos.

e) Sabendo que 16 = 4 x 4 e que 4 = 2 x 2, podemosconcluir que 16 = 2 x 2 x 2 x 2

f) Se o ítem anterior estiver correto, mesmo assimnão podemos concluir que 16 é divisível por 2.

g) Sabemos que 12 é divisível por 4 e por 2. Entãopodemos dizer que 12 = 4 x 2.

h) Sabemos que 45 = 5 x 9 = 5 x 3 x 3. Então 45 serádivisível por 5, por 9 e por 3.

6. O número 36 é divisível por 9 números naturaisdistintos.

a) Faça uma lista de todas as multiplicações cujoresultado é 36.

b) A partir do ítem anterior, encontre os 9 númerosque dividem o 36 sem deixar resto.

7. O número 20 é divisível por 6 números naturaisdistintos.

a) Faça uma lista de todas as multiplicações cujoresultado é 20.

b) A partir do ítem anterior, encontre os 6 númerosque dividem o 20 sem deixar resto.

Vamos agora estudar algumas regras dedivisibilidade que eliminam o trabalho de ter que fazermuitas contas.

Divisibilidade por 2Um número é divisível por 2 quando for par, ou

seja, o último algarismo desse número for 0, 2, 4, 6ou 8. Exemplos:

Números divisíveis por 2: 6070, 106, 954, 10258

Números não divisíveis por 2: 671, 487, 14569.

Divisibilidade por 3Um número é divisível por 3 quando a soma

dos seus algarismos for um número divisível por 3.Exemplos:

1) 108 é divisível por 3 pois 1+0+8 = 9 que édivisível por 3.

2) 62124 é divisível por 3 pois 6+2+1+2+4 = 15que é divisível por 3.

3) 1112 não é divisível por 3 pois 1+1+1+2 = 5que não é divisível por 3.


8.Assinale as alternativas cujos números sãodivisíveis por 2:

a) 1024 b) 10259 c) 568 d) 2350

e) 845 f) 100002 g) 887 h) 129

i) 555 j) 330 k) 966 l) 1111

9. Qual o próximo número divisível por 2 maior doque cento e quarenta e três mil duzentos e sessentae quatro?

10. Assinale as alternativas cujos números sãodivisíveis por 3:

a) 404 b) 3 c) 999321405 d) 123455

e) 695 f) 666 g) 954875 h) 3000000

i) 52 j) 235 k) 654654 l) 98798711. Qual o primeiro número divisível por 3 maior doque 777?

12. Quais os cinco primeiros números divisíveis por 3maiores do que 1256?

13. Em um estacionamento de motos, contando-se onúmero de rodas, o resultado pode ser 51? Por quê?

14. Assinale as alternativas cujos números sãodivisíveis por dois e por três ao mesmo tempo:

a) 52 b) 53 c) 54 d) 89 e) 546 f) 1098

15. Fazendo as divisões, verifique quais números doexercício anterior são divisíveis por 6 (Obs: 6 = 2*3).

16. Escreva:

a) os cinco menores números divisíveis por 2 e por 3ao mesmo tempo.

b) os cinco menores números que são divisíveis por2, mas não por 3.

c) os cinco menores números que são divisíveis por3, mas não por 2.

17. Escreva os cinco menores números divisíveis por

2 cuja metade também é divisível por 2.

Divisibilidade por 4Um número é divisível por 4 quando os dois últimosalgarismos da direita formarem um número divisívelpor 4 ou forem 00 (zero e zero).

Obs: para verificar se os 2 últimos algarismos formamum número divisível por 4, este número deve ser pare a sua metade também deve ser par.Exemplos:

1) 108 é divisível por 4, pois 08 é divisível por 4.





Matemática


4) 2007 não é divisível por 4, pois 07 não é divisívelpor 4.

5) 500 é divisível por 4, pois termina com 00.

Divisibilidade por

Um número é divisível por 5 quando o últimoalgarismo da direita for 5 ou 0 (zero). Exemplos:

1) 108 não é divisível por 5.

2) 62124 não é divisível por 5.

3) 245 é divisível por 5.

4) 110 é divisível por 5.


18. Assinale a seguir os números divisíveis por 4:

a) 1996 b) 1024 c) 1033d) 412 e) 848 f) 100004

g) 886 h) 129 i) 555

j) 330 k) 964 l) 1110

19. Assinale a seguir os números divisíveis por 5:

a) 10844 b) 12935 c) 10045

d) 1000066 e) 5 f) 666

g) 654654 h) 954875 i) 888

20. Um ano bissexto é um ano com 366 dias, um a

mais do que um ano normal. Sabemos se um ano ébissexto quando esse ano é um número divisível porquatro. Sabendo disso, informe quais dos anos aseguir foram ou serão bissextos.

a) 1952 b) 2003 c) 2008 d) 2014

e) 3056 f) 4123 g) 10002

21. Informe qual será o primeiro ano bissexto depoisde 3050.

22. Alguns automóveis estão estacionados na rua. Sevocê contar as rodas dos automóveis, o resultadopode ser 42? Pode ser 72? Porquê?

23. Uma sala de aula foi dividida em quatro grupos,todos com o mesmo número de alunos: grupovermelho, grupo amarelo, grupo laranja e grupoverde. O professor de educação física quer desfazeresses grupos e dividir a sala em somente doisgrupos: grupo azul e grupo branco. Porém, oprofessor não quer que sobre nenhum aluno.Baseado nisso, responda:

a) Você acredita que dá para dividir essa sala emdois grupos sem sobrar nenhum aluno? Por que?

b) Se conseguimos dividir algum objeto ou grupo em

4 partes, conseguiremos dividir esse grupo ou objetotambém em 2 partes?

24. Baseado no exercício anterior, caso um númerofor divisível por 4, pode-se dizer que ele também édivisível por 2? Se a resposta for não, dê exemplos.

25. E o contrário? Caso um número for divisível por2, pode-se dizer que ele também é divisível por 4? Sea resposta for não, dê exemplos.

26. Informe:

a) os três menores números divisíveis por 2, 3 e 4 aomesmo tempo.

b) o menor número divisível por 2, 3, 4 e 5 ao mesmotempo.

27. Diga se os números abaixo são divisíveis por 2, 3ou 5. Pode acontecer ainda de um número serdivisível por mais de um deles e também podeacontecer de um número não ser divisível pornenhum dentre eles. Quando isso acontecer, deixar

indicado.a) 12268 b) 402975 c) 0 d) 1

e) 219942 f) 1000277 g) 845729103

h) 845729102 i) 6000000 j) 2x2x2x2

Divisibilidade por !Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2e por 3 ao mesmo tempo. Exemplos:

1) 108 é divisível por 6 pois é par (divisível por 2) e1+0+8=9 que é divisível por 3.

2) 62124 é divisível por 6 pois é par (portantodivisível por 2) e 6+2+1+2+4=15 que é divisível por 3.

3) 245 não é divisível por 6 pois não é par (não édivisível por 2).

110 não é divisível por 6, pois 1+1+0=2 que não édivisível por 3.

Divisibilidade por "Um número é divisível por 7 quando a diferença entreo dobro do último algarismo e o número formadopelos demais algarismos resulta um número divisívelpor 7. Exemplos:

1) 245 é divisível por 7 pois 5x2 = 10 e 24 – 10 = 14que é divisível por 7.

2) 110 não é divisível por 7 pois 2x0 = 0 e 11 – 0 = 11que não é divisível por 7.


28. Informe quais números a seguir são divisíveis por6.

a) 544 b) 9564 c) 85675

d) 121212 e) 848 f) 100004g) 886 h) 129 i) 555



Matemática



38. Encontre os divisores dos seguintes números:

a) 24 b) 8 c) 16 d) 45 e) 54 f) 17

39. Um professor quer dividir o conjunto de alunosem grupos. Cada grupo deve possuir, rigorosamente,o mesmo número de alunos. De quantas formas issopode ser feito para uma classe de:

a) 30 alunos b) 20 alunos c) 40 alunos

d) 21 alunos e) 23 alunos f) 17 alunos

g) 18 alunos h) 19 alunos

40. No exercício anterior, em alguns ítens nãoconseguimos dividir os alunos em grupos. Quais sãoesses casos?

41. Encontre os seguintes números:

a) Encontre os números que são divisores de 24 etambém de 32.

b) Encontre os números que são divisores de 45 etambém de 54.

c) Encontre os cinco menores números naturaisdivisíveis por 9.


a) o conjunto dos divisores de 36 tem quatroelementos.

b) D(100) = {0, 1, 2, 5, 10, 20, 25, 50, 100}

c) A soma dos elementos de D(6) é 6.

d) A soma dos elementos de D(10) é 10.

e) Todos os elementos de D(6) também seencontram em D(12).

f) Todos os elementos de D(30) se encontramtambém em D(15).

g) O número 4 é o maior entre os que estão em D(12)e em D(16) simultâneamente.

43. Lucas preparou umas bolachas caseiras egostaria de vendê-las. Ele preparou uma fornada com42 bolachas e gostaria de dividi-las em pacotes,sendo que os pacotes deveriam ter a mesmaquantidade de bolachas. De quantas formas elepoderia fazer isso?

44. Como ficaria o exercício anterior se fossem 41bolachas?

Múltiplos de um Número

Uma pergunta: quais números são divisíveis por 9?Resposta: 9, 18, 27, 36, 45, etc, ou seja, são infinitosnúmeros. Esses números são chamados múltiplos de9.

Da mesma forma, os múltiplos de 5 são: 5, 10, 15,20, etc... Repare que o 5 é divisor de todos eles.

Podemos ver que os conceitos de divisor e múltiploestão ligados: 14 é múltiplo de 7, 7 é divisor de 14.

Para encontrar os múltiplos de um número devemos

multiplicar este número por números naturais.Exemplo:

1) Vamos encontrar os múltiplos de 3:

3 × 0 = 0 3 × 3 = 9

3 × 1 = 3 3 × 4 = 1 2

3 × 2 = 6 3 × 5 = 1 5

Então 0, 3, 6, 9, 12, 15, ... são múltiplos de 3. Comoexistem infinitos números naturais podemosencontrar infinitos múltiplos de 3.

Para representar os múltiplos de 3, usaremos a

seguinte notação:M3 = 0,3,6,9,12,15,18,21,24,…


45. Complete as frases com as palavras múltiplo,divisor ou deixe o espaço em branco caso não setratar de múltiplos nem de divisores:

a) 4 é __________________ de 2.

b) 12 é __________________ de 6.

c) 4 é __________________ de 20.

d) 5 é __________________ de 2.

e) 7 é __________________ de 42.

f) 9 é __________________ de 3.

g) 9 é __________________ de 27.


a) 14 é um divisor de 28 e também é um múltiplo de7.

b) qualquer número é múltiplo e divisor de si mesmo.

c) o maior múltiplo de um número é ele mesmo.

d) o menor divisor de um número é 1.

e) 1 é divisor de qualquer número, 100 é múltiplo dequalquer número.

f) zero não é múltiplo nem divisor de nenhumnúmero.

g) Todos os múltiplos de 7 são divisores de 28.

h) Existem infinitos divisores de 10000.

i) O número 24 se encontra em M(3) e em M(4).



Matemática


j) O número 21 se encontra em M(4) e em M(5).

k) O número 14 está em D(28) e em M(7).

47. Um trem para Guaianases passa a cada 5minutos, enquanto um trem para Calmon Vianapassa a cada 6 minutos. Às 8:00 hs, os dois trens

passaram ao mesmo tempo na estação da Luz.a) Escreva os 11 primeiros horários após as 8:00 nosquais o trem para Guaianases vai passar.

b) Escreva os 11 primeiros horários nos quais o trempara Calmon Viana vai passar.

c) Em que horas os trens estarão ao mesmo tempona estação da Luz?

48. Assinale os números dos quais 225 é múltiplo:

a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 10

49. Das alternativas da questão anterior, quais

números são divisores de 225?

Números Primos

Números primos são todos os números naturais quepossuem apenas dois divisores naturais distintos: 1 eele mesmo. Exemplos:

1) O 2 é primo pois D2 = 1 e 2



4) O 6 não é primo pois D6 = 1,2, 3 e 6 5) O 9 não é primo pois D9 = 1, 3 e 9

OBS: o número 1 por definição não é incluído noconjunto dos números primos. O número 2 é o úniconúmero primo que é par.

Pode-se provar que a quantidade de números primosé infinita. A seguir mostramos apenas os númerosprimos menores que 50:

P50 = 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43 e 47


50. Diga se as sentenças a seguir são verdadeiras oufalsas:

a) Um número primo tem apenas dois múltiplos.

b) Um número primo sempre é divisível por 2.

c) Um número primo é divisível apenas por 1 e pormetade de si mesmo.

d) Número primo é aquele que não tem múltiplos nemdivisores.

e) Um número primo tem infinitos múltiplos, mas

apenas dois divisores.

f) Apenas dois números são divisíveis por um númeroprimo: um e ele mesmo.

g) Um número primo só é divisível por um e por simesmo.

h) Infinitos números são divisíveis por um mesmo

número primo.51. Informe:

a) os dez primeiros números primos.

b) os cinco primeiros números primos maiores quecinquenta.

52. Os números a seguir são o resultado damultiplicação de dois números primos (que podemser iguais em alguns casos). Escreva, em cada caso,quais são esses números:

a) 10 b) 4 c) 6 d) 15 e) 77 f) 22

g) 26 h) 121 i) 35 j) 21 k) 33 l) 39m) 143 n) 65

53. Os números a seguir são o resultado damultiplicação de três números primos (que podem seriguais em alguns casos). Escreva, em cada caso,quais são esses números:

a) 20 b) 30 c) 110 d) 154 e) 44 f) 105

54. Podemos escrever todos os números não-primoscomo uma multiplicação de números primos. Veja osexemplos:

I. 4 não é primo. Pode ser escrito como 2x2 (2 éprimo).

II. 6 não é primo. Pode ser escrito como 2x3 (2 e 3são primos).

III. 8 não é primo. Pode ser escrito como 2x2x2.

IV. 9 não é primo. Pode ser escrito como 3x3.

V. 10 não é primo. Pode ser escrito como 2x5.

Siga o exemplo, escreva os números não-primosentre 12 e 30 como uma multiplicação de númerosprimos.

55. Considere o número 456. Indique se as frases aseguir são verdadeiras ou falsas:

a) Sabemos que 456 = 2 x 223. Então 456 é divisívelpor 2.

b) 456 não é divisível por 2.

c) 456 não é divisível por 2, mas é divisível por 3.

d) 456 é divisível por 2 e por 3. Se dividir 456 por 2, oresultado não será divisível por 3.

e) 456 é divisível por 2 e por 3. Se dividir 456 por 3, oresultado não será divisível por 2.

f) 456 não é divisível por 3, mas é divisível por 2.



Matemática


g) 456 é divisível por 2 e por 3. Se dividir 456 por 2, oresultado será divisível por 3.

h) 456 = 2 x 227

i) 456 = 2 x 228

j) 456 = 2 x 2 x 228

k) 456 = 2 x 228 e 228 = 2 x 114. Logo, 456 = 2 x 2 x114.

l) 456 é um número primo.

m) 456 = 2 x 2 x 2 x 57, e 57 é um número primo.

n) 456 = 2 x 2 x 2 x 57 e 57 é divisível por 3.

o) 456 = 2 x 2 x 2 x 3 x 17

p) 456 = 2 x 2 x 2 x 3 x 19, 19 é divisível por 9 eentão será divisível por 3.

q) 456 = 2 x 2 x 2 x 3 x 19, 19 é primo.

r) A multiplicação 2 x 2 x 2 x 3 x 19, que resulta em456, contém números não primos.

s) A multiplicação 2 x 2 x 2 x 3 x 19, que resulta em456, contém apenas números primos. Então dizemosque 2 x 2 x 2 x 3 x 19 é a decomposição de 456 emfatores primos.

Teorema Fundamental da Aritmética

Este teorema afirma que qualquer número naturaldiferente de 1 pode ser escrito de forma única

(desconsiderando a ordem) como um produto denúmeros primos (chamados fatores primos).Exemplos:

1) 24 = 2 x 2 x 2 x 3

2) 350 = 2 x 5 x 5 x 7

Existe um modo simples para encontrar osfatores primos de um número. Dividimos este númeropelo seu menor divisor primo. A seguir, dividimos oquociente obtido pelo menor divisor primo destequociente. Assim repetimos até obter o quociente 1.

Exemplo:

1) Vamos encontrar os fatores primos de 420:

Portanto, 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7


56. Encontre os fatores primos dos seguintesnúmeros, escrevendo a multiplicaçãocorrespondente:

a) 21 b) 48 c) 51 d)18e) 57 f) 100 g) 64 h)144

i) 189 j) 700 k) 180 l) 300

57. Informe o número que é decomposto nosseguintes fatores primos:

a) 2, 3, 5 b) 3, 5, 5 c) 2, 2, 2, 2

d) 41 e) 2, 3, 7 f) 43

g) 2, 2, 11 h) 3, 3, 5 i) 2, 23

j) 47 k) 2, 2, 2, 2, 3 l) 49

m) 2, 5, 558. Um aluno decompôs alguns números em fatoresprimos e pediu para o professor que corrigisse. Asrespostas dadas vão abaixo. O professor viu que emcada ítem havia um erro. Diga qual:

a) 65 = 11*5 b) 99 = 33*3 c) 12 = 2*6

d) 57 = 57*1 e) 60 = 2 * 6 * 10

f) 66 = 11*5 g) 100=2 * 5 * 10

h) 128 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3

59. No ítem e do exercício anterior, podemos ver quea multiplicação está correta (60 = 2 * 6 * 10). Por queentão, a decomposição em fatores primos estáerrada? Quais fatores dessa decomposição nãopodem existir e porquê?

60. Considere o número 300 e complete os espaçosabaixo, caso necessário:

Pense no número 2, o menor número primo.

a) 300 é divisível por 2? Caso sim, complete asentença: 300 = 2 x _____ .

b) Pegue o número que você obteve na item anterior.

Ele é divisível pro 2 novamente? Caso sim, completea expressão: 300 = 2 x 2 x _____ .

c) Pegue o número que você obteve na item anterior.Ele é divisível pro 2 novamente? Caso sim, completea expressão: 300 = 2 x 2 x 2 x _____ .

Pense agora no número 3, o segundo menornúmero primo.

d) Pegue o número que você obteve na item anterior.Ele é divisível por 3? Se sim, complete a sentençamatemática: 300 = 2 x 2 x 3 x _____ .

e) Pegue o número que você obteve na item anterior.

Ele é divisível por 3 novamente? Se sim, complete asentença matemática: 300 = 2 x 2 x 3 x 3 x _____ .



Matemática


Pense agora no número 5, o terceiro menornúmero primo.

f) Pegue o número que você obteve na item anterior.Ele é divisível por 5? Se sim, complete a sentençamatemática: 300 = 2 x 2 x 3 x 5____ .

g) Apresente a decomposição do número 300 emfatores primos.

61. Considere a divisão de 315 por 45:

a) Faça a divisão do modo normal. Qual o resultado?

b) Decomponha o divisor e o dividendo em fatoresprimos.

c) Qual a diferença entre os fatores primos do 45 edo 315?

d) Existe alguma relação entre essa diferença entreos fatores primos e o resultado da divisão?

62. Considere a divisão de 132 por 22:a) Faça a divisão do modo normal. Qual o resultado?





a) Faça a divisão do modo normal. Qual o resultado?





a) Faça a divisão do modo normal. Qual o resultado?Qual o resto?


c) Qual a diferença entre os fatores primos do 42 edo 30? Existe algum fator primo não compartilhado?

d) Qual a diferença entre as decomposições desteexercício e do exercício anterior?


a) Faça a divisão do modo normal. Qual o resultado?Qual o resto?

b) Decomponha o divisor e o dividendo em fatoresprimos. Existe algum fator primo não compartilhado?

c) Qual a diferença entre os fatores primos do 84 edo 40? Existe algum fator primo não compartilhado?

d) Conseguimos afirmar que 84 não é divisível por 30observando apenas os fatores primos?

66. Fazendo a decomposição em fatores primos, digase:a) 1024 é divisível por 512

b) 66 é divisível por 6c) 66 é divisível por 20

d) 270 é divisível por 2730.

67. Decompor o número 50 em fatores primos.

a) Quais fatores primos você obteve?

b) Quais deles são divisores de 50?

c) Multiplique dois fatores primos quaisquer que vocêobteve. Pode-se dizer que o resultado é sempre umdivisor de 50?

68. Decompor o número 2310 em fatores primos.a) Quais fatores primos você obteve?

b) Quais deles são divisores de 2310?

c) Multiplique dois fatores primos quaisquer que vocêobteve. Pode-se dizer que o resultado é sempre umdivisor de 2310?

69. Baseado no exercício anterior, considere a frase:“Um número é divisível por qualquer fator primopresente na decomposição desse número.” Essaafirmação é verdadeira ou falsa?

Encontrando Divisores de um Número

É muito fácil encontrar múltiplos de qualquer número.Porém, se o número for muito grande, pode ser difícildeterminar todos os seus divisores.

Para determinar todos os divisores de um númeroutilizamos os seus fatores primos.

Inicialmente decompomos o número em fatoresprimos. Ao lado fazemos uma coluna que será dosdivisores e acima colocamos o número 1, pois o 1 édivisor de qualquer número. Multiplicamossucessivamente cada fator primo pelos divisores já

obtidos e escrevemos esses produtos ao lado decada fator primo. Os divisores já obtidos nãoprecisam ser repetidos. Exemplo:

Vamos obter os divisores de 150:

LogoD150 = 1,2,3,5,6,10,15,25,30,50,75 e 150



Matemática



70. Obtenha os divisores de:

a) 15 b) 10 c) 20 d) 13 e) 16 f) 18 g) 23

h) 64 i) 100 j) 330 k) 121 l) 41 m) 50 n) 60

o) 66 p) 90

71. Quais são os números primos dados no exercícioanterior? Quais são seus divisores?

72. O número 8 é um divisor comum entre 16 e 40pois 8 é um divisor de 16 e também é um divisor de40. Encontre os divisores comuns entre 40 e 64.

73. Encontre os divisores comuns entre:

a) 14 e 35 b) 21 e 33 c) 77 e 33

d) 6 e 10 e) 65 e 39 f) 14 e 21

g) 64 e 100 h) 16 e 55 i) 72 e 12874. Escreva o maior divisor comum (ou seja, omáximo divisor comum – mdc) entre os números decada item do exercício anterior.

75. Em quais itens do exercício 73 os números sãoprimos entre si? Dica: números primos entre si équando apenas o número 1 é um divisor comumentre esses números.

76. Faça a decomposição em fatores primos dosnúmeros 210 e 180.

a) Quais fatores primos esses números têm emcomum?

b) Quantos desses fatores primos em comum sãodivisores dos dois números (180 e 210)?

c) Multiplicando quaisquer dois fatores primos emcomum, podemos afirmar que o resultado vai sempreser um divisor de 180 e também de 210?

77. Faça a decomposição em fatores primos dosnúmeros 924 e 385.

a) Quais fatores primos esses números têm emcomum?

b) Quantos desses fatores primos em comum sãodivisores dos dois números (924 e 385) ao mesmotempo?

c) Multiplicando quaisquer dois fatores primos emcomum, podemos afirmar que o resultado vai sempreser um divisor de 924 e também de 385?

M. D. C. – Máximo Divisor Comum

Dois números naturais sempre têm divisorescomuns. Para explicar como encontramos o máximodivisor comum usaremos o seguinte exemplo:

1) Vamos encontrar o MDC de 12 e 30.Primeiro devemos achar os divisores de 12 e 30:

D12 = 1,2, 3,4, 6 e 12

D30 = 1,2, 3,5, 6,10, 15 e 30

Observando os divisores dos dois númerospercebemos que 1, 2, 3 e 6 são divisores comuns à12 e 30. Portanto o maior dos divisores comuns, ou

máximo divisor comum, de 12 e 30 é o 6, eindicamos:

MDC (12,30) = 6

Existe um modo simples de encontrar o MDCde dois ou mais números. Basta decompor essesnúmeros nos seus fatores primos. O MDC será amultiplicação dos fatores primos comuns a essesnúmeros.

Exemplo:

1) Vamos encontrar o MDC(36,90):

36 = 2 x 2 x 3 x 3

90 = 2 x 3 x 3 x5

Destacamos os fatores que são comuns aos doisnúmeros. Portanto o MDC de 36 e 90 será amultiplicação desses fatores:

MDC(36,90) = 2 x 3 x 3 = 18


78. Calcule o MDC entre os seguintes números.

a) 24 e 56 b) 30 e 36 c) 82 e 45

d) 150 e 180 e) 75 e 45 f) 22 e 35

g) 30 e 42 h) 70 e 110 i) 30 e 70

j) 105 e 42 k) 110 e 66

79. Diga se é verdadeiro ou falso:

a) 24 é múltiplo de 2. b) 52 é múltiplo de 4.

c) 50 é múltiplo de 8. d) 49 é múltiplo de 7.

e) 75 é múltiplo de 10.

80. Informe os dez primeiros múltiplos de setemaiores do que 100.

81. Informe cinco números que são múltiplos de 3 e 4ao mesmo tempo.

82. Informe o menor número múltiplo de 7, 2, e 5 aomesmo tempo.

83. Uma empresa de logística é composta de trêsáreas: administrativa, operacional e vendedores. Aárea administrativa é composta de 30 funcionários, aoperacional de 48 e a de vendedores com 36pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza umaintegração entre as três áreas, de modo que todos osfuncionários participem ativamente. As equipes

devem conter o mesmo número de funcionários como maior número possível. Não são aceitas equipescom funcionários de áreas diferentes. Determine



Matemática


quantos funcionários devem participar de cadaequipe e o número possível de equipes.

M. M. C. – Mínimo Múltiplo Comum

Explicaremos como se faz para encontrar o mínimo

múltiplo comum de dois ou mais números através doseguinte exemplo:

Vamos encontrar o MMC de 4 e 6:

Primeiro devemos calcular os múltiplos de cadanúmero:

M4 = 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,…

M6 = 0,6,12,18,24,30,36,42,48,…

Dentre os múltiplos, destacamos aqueles que sãocomuns à 4 e 6. Ou seja, os números 0, 12, 24 e 36são múltiplos tanto do 4 quanto do 6, portanto,

dizemos que eles são múltiplos comuns.Assim o menor dos múltiplos comuns, ou mínimomúltiplo comum, de 4 e 6 é o 12. E escrevemos:

MMC(4,6) = 12

OBS: não consideramos o 0 (zero) pois ele é múltiplode todos os números naturais.

2) Vamos encontrar o MMC(5,15):

M5 = 0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,…

M15 = 0,15,30,45,60,75,90,105,…

Portanto MMC(5,15) = 15 .Podemos encontrar o mínimo múltiplo comum de doisou mais números através do processo dadecomposição simultânea. Neste processodecompomos em fatores primos todos os números aomesmo tempo. O produto dos fatores primos queobtemos nessa decomposição é o MMC dessesnúmeros. Exemplo:

1) Vamos encontrar MMC(15, 50):

15, 50 │2

15, 25 │3

5, 25 │51, 5 │5

1, 1 │

Logo o MMC(15, 50) = 2 x 3 x 5 x 5 = 150

2) Vamos encontrar MMC(15,24,60):

15, 24, 60 │2

15, 12, 30 │2

15, 6, 15 │2

15, 3, 15│

3

5, 1, 5 │5

1, 1, 1 │

Logo o MMC(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 =120


84. Realize as tarefas a seguir:

a) Escreva os 10 primeiros números divisíveis por 5.Esses números são chamados de 10 menoresmúltiplos de 5.

b) Baseado no ítem anterior, escreva os 8 menoresmúltiplos de 10.

c) Escreva agora os divisores de 10, para entender adiferença entre múltiplos e divisores.

d) Escreva agora os 20 menores múltiplos de 2.

e) Escreva os 2 menores números que são múltiplos

de 2 e de 7 ao mesmo tempo (múltiplos comuns entre2 e 7).

f) Escreva os 10 menores múltiplos de 4.

g) Escreva os 3 menores múltiplos comuns entre 4 e6.

h) O menor múltiplo comum (mínimo múltiplo comum)entre 4 e 6.

i) O menor múltiplo comum (mínimo múltiplo comum)entre 2 e 7.

85. Calcule os seguintes MMC’s.

a) MMC(4,10) b) MMC(9,18)

c) MMC(7,13) d) MMC(20,25)

e) MMC(8,7,56) f) MMC(5,9,12)

g) MMC(7,21) h) MMC(5,20)

i) MMC(6,7,9)

86. (PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo demanutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, namáquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutençãonas três máquinas, em qual dia as máquinas

receberão manutenção no mesmo dia.

M. M. C. e M.D.C

Podemos, com a mesma estrutura utilizada paracalcular o m.m.c, encontrar o m.d.c entre doisnúmeros. Veja o primeiro exemplo quandocalculamos do m.m.c entre 50 e 15.

15, 50 │2

15, 25 │3

5, 25 │5

1, 5 │5



Matemática


Pitágoras. Você poderia afirmar que 284 e 220 sãonúmeros amigos? Por quê?

92. (Vunesp) Um carpinteiro recebeu a incumbênciade cortar 40 toras, de 8 metros cada uma, e 60 toras,de 6 metros cada uma, em toras de um mesmotamanho, sendo este tamanho o maior possível.

Nestas condições, quantas toras deverão ser obtidasao todo pelo carpinteiro?

a) 1800 b) 1360 c) 680 d) 340 e) 200

93. (Fuvest) No alto de uma torre de uma emissorade televisão duas luzes "piscam" com freqüênciasdiferentes. A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e asegunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se num certoinstante as luzes piscam simultaneamente, apósquantos segundos elas voltarão a piscarsimultaneamente?

a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30

94. (Liceu) Três ônibus realizam percursos de ida evolta de diferentes extensões e partem de um mesmoterminal. O ônibus X faz seu percurso de ida e voltaem 35 minutos, o ônibus Y, em 15 minutos e o ônibusZ, em 25 minutos. Sabendo que os três ônibuspartem juntos do terminal às 7 horas da manhã e quenão ocorrem atrasos, qual é o próximo horário do diaem que partirão juntos novamente?

a) 8h e 15 min c) 15h e 45 min

b) 8h e 45 min d) 15h e 15 min

95. Um conjunto possui 18 elementos. Quais as

possibilidades existentes para se dividir esseconjunto em grupos com quantidades iguais deelementos?

96. (UEL adaptado) Três ciclistas percorrem umcircuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmoponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz opercurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em30 s. Com base nessas informações, depois dequanto tempo os três ciclistas se reencontrarãonovamente no ponto de partida, pela primeira vez, equantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e oterceiro ciclistas, respectivamente?

97. (PUC adaptado) “A Dengue é uma doençacausada por um vírus, transmitida de uma pessoadoente para uma pessoa sadia por meio de ummosquito: o Aedes aegypti. Ela se manifesta demaneira súbita – com febre alta, dor atrás dos olhos edores nas costas – e, como não existem vacinasespecíficas para o seu tratamento, a forma deprevenção é a única arma para combater a doença.”

Fonte (adaptado):

prdu.unicamp.br/dengue/dengue.html

Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575

homens inscreveram-se como voluntários parapercorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim deorientar a população sobre os procedimentos a

serem usados no combate à Dengue. Para tal, todasas 1.025 pessoas inscritas serão divididas emgrupos, segundo o seguinte critério: todos os gruposdeverão ter a mesma quantidade de pessoas e emcada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo.Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar

bairros distintos, qual o menor número de bairros aserem visitados?

98. (Mackenzie – SP – adaptado) Nas últimaseleições, três partidos políticos tiveram direito, pordia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito depropaganda na televisão, com diferentes números deaparições. O tempo de cada aparição, para todos ospartidos, foi sempre o mesmo e o maior possível.Qual foi a soma do número das aparições diárias dospartidos na TV?

99. (ACAFE) Num painel de propaganda, trêsluminosos se acendem em intervalos regulares: o

primeiro a cada 12 segundos, o segundo a cada 18segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, emdado instante, os três se acenderem ao mesmotempo, os luminosos voltarão a se acender,simultaneamente, depois de:

a) 2 minutos e 30 segundos

b) 3 minutos

c) 2 minutos

d) 1 minuto e 30 segundos

e) 36 segundos

100. (UFSC adaptado) Um pais lançou em02/05/2000 os satélites artificiais A, B e C com astarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas depreservação, as nascentes dos rios e a pescapredatória no Oceano Atlântico. No dia 03/05/2000podia-se observá-los alinhados, cada um em umaórbita circular diferente, tendo a Terra como centro.Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6,10 e 9 dias para darem uma volta completa em tornoda Terra, então qual o número de dias para opróximo alinhamento?

101. (VUNESP) No estoque de uma papelaria, há

uma caixa com várias borrachas iguais e, parafacilitar as vendas, o dono dessa papelaria decidiufazer pacotinhos, todos com a mesma quantidade deborrachas. Ao fazer isso, notou que era possívelcolocar 3 ou 4 ou 5 borrachas em cada pacotinho e,assim, não sobraria borracha alguma na caixa. Omenor número de borrachas que essa caixa poderiaconter era:

a) 80 b) 65 c) 60 d) 70 e) 75

102. SAP SP 2013 adaptado – Questão 27. Umapizzaria funciona todos os dias da semana e sempretem promoções para seus clientes. A cada 4 dias, o

cliente tem desconto na compra da pizza decalabresa; a cada 3 dias, na compra de duas pizzas,ganha uma mini pizza doce, e uma vez por semana



Matemática


tem a promoção de refrigerantes. Se hoje estão astrês promoções vigentes, esse ocorrido voltará aacontecer daqui a quantas semanas?

103. (PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipode manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias,na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada

6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita amanutenção nas três máquinas, após quantos diasas máquinas receberão manutenção no mesmo dia.

104. (FUVEST – SP) Duas composições de metrôpartem simultaneamente de um mesmo terminalfazendo itinerários diferentes. Uma delas torna apartir desse terminal a cada 80 minutos, enquanto aoutra torna a partir a cada hora e meia. Determine otempo decorrido entre duas partidas simultâneasdessas composições, nesse terminal.

105. (UPE/2013) Três colegas caminhoneiros,Santos, Yuri e Belmiro, encontraram-se numa sexta-feira, 12 de agosto, em um restaurante de uma BR,durante o almoço. Santos disse que costuma almoçarnesse restaurante de 8 em 8 dias, Yuri disse quealmoça no restaurante de 12 em 12 dias, e Belmiro,de 15 em 15 dias.

Com base nessas informações, diga se as frases aseguir são verdadeiras ou falsas:

a. Os três caminhoneiros voltarão a se encontrarnovamente no dia 13 de dezembro.

b. O dia da semana em que ocorrerá esse novoencontro é uma sexta-feira.

c. Santos e Yuri se encontrarão 4 vezes antes donovo encontro dos três colegas.

106. (UNIR RO/2010) Uma empresa tem em seuquadro de funcionários gerentes, supervisores efiscais. Cada um desses cargos é preenchido pormeio de eleições entre os funcionários dos váriossetores da empresa. Admita que os gerentes sejameleitos para o mandato de 8 anos, os supervisorespara o mandato de 6 anos e os fiscais para omandato de 4 anos, e que, em 2009, houve eleiçõessimultâneas para todos esses cargos. A partir dessasinformações, assinale a alternativa correta:

a. Em 2020, serão realizadas eleições simultâneaspara os cargos de gerente e supervisor.

b. Em 2033, serão realizadas eleições simultâneaspara todos os cargos.

c. Em 2020, serão realizadas eleições simultâneaspara os cargos de gerente e fiscal.

d. Em 2017, serão realizadas eleições simultâneaspara os cargos de supervisor e fiscal.

e. Em 2033, será realizada eleição somente para ocargo de gerente.

107. (Unifacs BA/2013) Em uma caixa, estãoguardadas algumas bolas, do tipo utilizado em

sorteios de concursos de loterias, cada uma marcadacom um número inteiro positivo.

Sabendo-se que, na caixa, existem bolas marcadascom os quinze primeiros múltiplos de 6, com osquinze primeiros múltiplos de 9 e com os oitoprimeiros múltiplos de 18, pode-se afirmar que o

número total de bolas guardadas nessa caixa é, nomínimo, igual a:

a. 22 b. 23 c. 26 d. 32 e. 38

108. (UFSCar SP/2013) Uma padaria faz uma tortasalgada de formato retangular de 63 cm de largurapor 1,08 m de comprimento, que, antes de sercolocada à venda, é dividida em pedaços, conformeilustra a figura.

Considerando que todos os pedaços da torta sejamquadrados de mesmo tamanho, com o maior ladopossível, e que a torta seja dividida sem que ocorranenhuma sobra, é correto afirmar que o número depedaços obtidos é

a. 68 b. 72 c. 76 d. 80 e. 84

109. (UNIMONTES MG/2013) Um comerciante querdistribuir 70 maçãs, 42 mangas, 56 peras e 84

laranjas entre várias sacolas, de modo que cada umareceba o mesmo e o maior número possível de ummesmo tipo de fruta. Qual é o número total desacolas necessárias?

a. 15 b. 13 c. 18 d. 20

Listas para casa

'are(a I1) Cláudia é uma menina muito precavida epreocupada com a segurança de seu perfil doFacebook, por isso ela muda semanalmente a senha.Normalmente, ela usa nome de pássaros, mas hojeela decidiu usar uma regrinha para formar a senha:seu nome escrito de trás pra frente seguido de umnúmero de três algarismos que seja divisível por 3, 5,7. Com base nisso, escreva todas as opções desenha que Cláudia terá para usar seguindo essaregrinha de formação.

2) Um fato bastante conhecido é que podemos obterum número a partir da multiplicação de dois números.Quer um exemplo? Imagine o número 12. Ele podeser obtido pela mutiplicação 2x6, 3x4 e 1x12. Issosignifica que o número 12 tem seis divisores: 2, 3, 4,

6 e 12.



Matemática


Os números, a exemplo do 12, que podem serobtidos por mais de uma multiplicação entre doisnúmeros, ou seja, os números que tem mais de doisdivisores, são chamados de números compostos.Com base nessas informações, diga se o número 18é ou não composto.

3) Escreva as multiplicações entre dois números queresultam nos números 16, 19, 21, 23, 27 e 31. Noteque alguns desses números podem ser obtidos pormais de uma multiplicação, por isso não se esqueçade escrever todas as multiplicações possíveis.

4) Escreva os múltiplos de 6 que são maiores que 20e menores que 60.

5) Apesar do vastíssimo avanço da Matemática aolongo da história do conhecimento humano, existeainda uma série de problemas que não foramcompletamente compreendidos e resolvidos pelosmatemáticos. Um deles é a Conjectura de Goldbach.

A Conjectura de Golbach afirma que todos osnúmeros pares maiores que 4 podem ser obtidospela soma entre dois números primos. Por exemplo,o número 8 pode ser obtido pela soma entre 3 e 5que, como você já deve saber, são primos. O queainda não foi possível demonstrar é que essaConjectura é completamente válida. Apesar disso jáfoi possível mostrar que ela vale para todos osnúmeros pares maiores que 4 e menor que 40.Sabendo disso, encontre as somas entre doisnúmeros primos que resultam em 8, 12, 24 e 36.

6) Existem diversas maneiras de se encontrarnúmeros primos até um certo valor limite. Uma dasformas mais simples e prática de se realizar essatarefa foi inventado pelo o matemático gregoErastóstenes, que viveu no século III a.C.. Em suahomenagem, esse método é hoje conhecido comoCrivo de Erastóstenes. Ele consiste am aplicar a umatabela de números uma série de procedimentos paraeliminar os números compostos de forma que sobremapenas os números primos. Vamos aplicar essemétodo para encontrar os números primos menoresou iguais a 100. Para isso, vamos utilizar a tabelaabaixo e seguir os procedimentos indicados abaixo

da tabela:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Procedimentos:

I - Elimine o número 1 (o número 1 não é primo);

II - Elimine todos os números divisíveis por 2, excetoo próprio 2 que é um número primo;

III - Elimine todos os números divisíveis por 3, excetoo próprio 3 que é um número primo;

IV - Elimine todos os números divisíveis por 5, excetoo próprio 5 que é um número primo;

V- Elimine todos os números divisíveis por 7, excetoo próprio 7 que é um número primo;

VI – Pronto! Observe a tabela e verifique que osnúmeros restantes são todos primos.

7) Decompor um dado número em fatores primosconsiste em encontrar a multiplicação envolvendoapenas números primos que resulta nesse dadonúmero. Sendo assim, faça a decomposição dosnúmeros 6, 15, 24, 42 e 60 usando fatores primos.

8) Alice e Fernando são primos e compartilham amesma avó. Os dois gostam tanto da avó que nãoficam sequer uma semana sem visitá-la, cada umcom uma certa freqüência. Alice costuma fazer avisita a cada 5 dias, enquanto Fernando faz a visita acada 4 dias. Na última visita que fizeram aconteceude se encontrarem. Quantos dias depois dessa últimavisita eles voltarão a se encontrar?

9) Um carpinteiro tem duas chapas de madeira delargura e espessura iguais e de comprimento

diferentes. Uma delas tem 120 cm de comprimentoao passo que a outra tem 180 cm. Para construir ummóvel, ele pretende cortar essas chapas para obtertábuas de mesmo comprimento. Ele ainda não sabeo tamanho dessas tábuas, mas deseja que elastenham o maior comprimento possível e não querdesperdiçar nenhum pedaço das chapas, ou seja, elevai utilizar integralmente cada uma das chapas paraproduzir tábuas. Com base nisso, responda:

a) Qual tamanho deverá ter cada uma das tábuasdepois do corte?

b) Qual o número total de tábuas?



Matemática


pro pried a des natura is 2016

Documents