Resistencia de MaterialesTema 2Estructuras Estaticamente indeterminadas

ndice de contenidoIntroduccin

Seccin 5 - Estructuras estticamente indeterminadas

Seccin 6 - Tensiones de origen trmico

Seccin 7 - Resumen de ecuaciones

*RESISTENCIA. Problemas HiperestaticosLas Condiciones de equilibrioSe usa para determinar las fuerzas resistentesUtiliza las ecuaciones de equilibrio de la esttica

Relaciones Compatibilidad y geometraSe usa para deducir el cambio en la longitud de la barra debido a fuerzas axiales.Relaciona la geometra y compatibilidad de las barras a nivel de desplazamientos

Condicin ConstitutivaLey de Hooke (Esf- Deformacin)Permite calcular las deformaciones axiales entre secciones.= PL/EA

*RESISTENCIA. Problemas HiperestaticosTraccin y compresin hiperestticas.Cuando las reacciones de las ligaduras no pueden determinarse utilizando nicamente las ecuaciones de la Esttica, se dice que el sistema es hiperesttico.Sistema IsostticoSistema HiperestticoVlida solo una ecuacin de la estticaSon necesarias ecuaciones en deformacionesEcuacin de la estticaEstas ecuaciones deben expresar que: las deformaciones del sistema deben ser compatibles con las ligaduras del mismo

*RESISTENCIA. Problemas HiperestaticosTraccin y compresin hiperestticas. Ejemplos.

*RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos Variaciones trmicas y defectos de montaje.Cuando las deformaciones producidas por variaciones de temperatura estn total o parcialmente impedidas aparecen tensiones.Deformacin que se impide:Problema HiperestticoSi la barra debe quedar montada entre las dos paredes, y fuese d cm corta, debemos aplicarle una carga P que le produzca esa deformacin. Esta carga queda en la barra despus de montada y se superpone con las dems cargas aplicadas a la barra.

Estructuras estticamente indeterminadasTema 1 - Esfuerzo y Deformacin - Estructuras estticamente indeterminadasAl plantear las condiciones de equilibrio para la barra doblemente empotrada que se muestra en la figura, despreciando su peso, nos queda:

Notemos que las condiciones de esttica no son suficientes para resolver este sistema. Tenemos dos incgnitas (la carga F es conocida), y apenas una ecuacin que las relaciona.

Sabemos que la barra, por estar doblemente empotrada, no puede sufrir ningn alargamiento, bien sea positivo o negativo. Entonces, sera til establecer alguna relacin entre las cargas a las que est sometida la barra y las deformaciones que sta experimenta. Asumiendo que dichas deformaciones ocurren en el rango elstico, se cumplira la ley de Hooke:

Sustituyendo los trminos y , nos quedara:

Finalmente: Tema 1 - Esfuerzo y DeformacinEstructuras estticamente indeterminadas

Hemos conseguido una expresin que nos permite determinar el alargamiento en una barra, si conocemos sus caractersticas geomtricas (L, A), el mdulo de rigidez del material (E) y la carga axial a la que est sometida (P).

Recordando el problema propuesto, condicin del mismo era que el alargamiento total de la barra fuese nulo. A partir de la figura, podemos observar que el tramo AB est sometido a una carga axial distinta a la del tramo BC. Entonces, la segunda condicin se basara en las deformaciones y sera la siguiente:

Nuestro inters reside ahora en encontrar las cargas axiales a las que estn sometidos los tramos AB y BC.Tema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 5 - Estructuras estticamente indeterminadas

Para calcular la fuerza axial sobre el tramo AB de la barra, tomamos la carga que hay aplicada en el extremo A (RA) y planteamos una fuerza imaginaria (PAB) en B, justo antes del punto de aplicacin de la carga F. Esta fuerza imaginaria, la asumiremos siempre como una carga de traccin.Entonces, establecemos la condicin de equilibrio del tramo AB, tomando el sentido izquierdo (traccin PAB) como positivo:

Y planteamos la ecuacin del Alargamiento del tramo AB:Tema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 5 - Estructuras estticamente indeterminadas

Procediendo de forma similar con el tramo BC, se tendra:

Igualmente, planteamos la deformacin de la barra para el tramo BC:Tema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 5 - Estructuras estticamente indeterminadas

Finalmente, como la deformacin total debe ser cero, nos queda:

Y recordando la condicin de equilibrio:

Tenemos ahora un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incgnitas. Podemos hallar las reacciones RA y RC.Tema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 5 - Estructuras estticamente indeterminadas

Tensiones de origen trmicoTema 1 - Esfuerzo y Deformacin Seccin 6 - Tensiones de origen trmicoCuando un cuerpo experimenta cambios de temperatura, sufre variaciones en sus dimensiones (dilataciones y contracciones).En el caso de una barra que experimente una variacin de temperatura, se puede determinar el alargamiento de la misma mediante la relacin:

Donde es el coeficiente de dilatacin trmica y T es la variacin de temperatura que experimenta el cuerpo.Cuando el alargamiento est restringido (existe algn(os) elemento(s) que lo prohben), pueden generarse esfuerzos en el material. Si el alargamiento producido por T se halla dentro del rango elstico, el esfuerzo generado puede encontrarse utilizando la ley de Hooke.

Ejemplo 1Tema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 8 - Ejemplo 1La figura muestra dos barras empotradas como se muestra en la figura. La barra AB est hecha de Acero ( E = 200E6 MPa) y tiene un dimetro de 2 cm. La barra BC, de Aluminio ( E = 70E6 Mpa), tiene un dimetro de 4 cm. Ambas barras tienen 10 cm de longitud. Se aplica una carga F = 5000 N entre ambas, como se muestra.Determine las reacciones en los empotramientos y las deformaciones de las barras.

En primer lugar, establecemos la condicin de equilibrio esttico en el sistema:

Donde tenemos dos incgnitas. Procederemos ahora a utilizar las condiciones de deformacin para encontrar una relacin ms.Tema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 8 - Ejemplo 1

En la barra AB se tendra:

Planteamos la deformacin de la barra AB:Tema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 8 - Ejemplo 1

En el tramo BC, se tendra:

Igualmente, planteamos la deformacin de la barra BC:Tema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 8 - Ejemplo 1

Finalmente, como la deformacin total debe ser cero, nos queda:

Sustituyendo todos los trminos, resulta:

RA = - 2083,33 N

El signo negativo indica que el sentido real de RA es contrario al propuesto en el esquema.Tema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 8 - Ejemplo 1

Ahora, utilizando la condicin de equilibrio, obtenemos RC:

Sustituyendo, nos queda:

RC = 2916,67 NTema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 8 - Ejemplo 1

Para el clculo de las deformaciones, recordamos la condicin de deformacin:

Esto significa que el valor de ambos alargamientos es el mismo; slo que uno es positivo (producido por traccin) y el otro es negativo (debido a compresin). La barra AB est sometida a traccin y la barra BC a compresin.Tema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 8 - Ejemplo 1

El valor de la deformacin ser:

Sustituyendo todos los trminos, resulta:

dAB = dBC = 3,3157E-6 mTema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 8 - Ejemplo 1

Ejemplo 2Un tubo de aluminio (E = 73,1E9 Pa; = 23E-6 C-1) con rea transversal de 600 mm2 se usa como camisa para un perno de acero (E = 200E9 Pa; = 12E-6 C-1) con rea transversal de 400 mm2. La longitud de la camisa es de 15 cm.Inicialmente, la temperatura es de 15C y la fuerza axial debido al apriete en el perno es despreciable. Luego se incrementa la temperatura a 80C. Determine el esfuerzo normal promedio en el perno y la camisa.Tema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 8 - Ejemplo 1

Condicin de equilibrio en este problema, es que la carga axial sobre el tornillo (Fp) debe ser de igual magnitud que la carga sobre la camisa (Fc), con la diferencia de que el tornillo estar a traccin y la camisa a compresin. Podemos plantear entonces:

Por otro lado, el alargamiento debe tambin ser igual para ambos. En este caso, dicho alargamiento ser producido por cambio de temperatura y por carga axial. Por superposicin de efectos, nos queda:

Desarrollando cada trmino:Tema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 8 - Ejemplo 1

Utilizando la condicin de equilibrio y sustituyendo cada trmino, nos queda:

Fp = Fc = 20,26E3 N

Podemos calcular ahora el esfuerzo normal en el perno:Tema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 8 - Ejemplo 1

p = 50,6E6 PaY en la camisa:

c = - 33,8E6 PaTema 1 - Esfuerzo y DeformacinSeccin 8 - Ejemplo 1

****