probabilidade aplicada às telecomunicações

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MÓDULO DE:

PROBABILIDADE APLICADA ÀS TELECOMUNICAÇÕES

AUTORIA:

GERALDO BULL DA SILVA JUNIOR



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Módulo de: Probabilidade Aplicada às Telecomunicações

Autoria: Geraldo Bull da Silva Junior

Primeira edição: 2008

CITAÇÃO DE MARCAS NOTÓRIAS

Várias marcas registradas são citadas no conteúdo deste módulo. Mais do que simplesmente listar esses nomes

e informar quem possui seus direitos de exploração ou ainda imprimir logotipos, o autor declara estar utilizando

tais nomes apenas para fins editoriais acadêmicos.

Declara ainda, que sua utilização tem como objetivo, exclusivamente a aplicação didática, beneficiando e

divulgando a marca do detentor, sem a intenção de infringir as regras básicas de autenticidade de sua utilização

e direitos autorais.

E por fim, declara estar utilizando parte de alguns circuitos eletrônicos, os quais foram analisados em pesquisas

de laboratório e de literaturas já editadas, que se encontram expostas ao comércio livre editorial.

Todos os direitos desta edição reservados à

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Bairro Itaparica – Vila Velha, ES

CEP: 29102-040



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Apresentação

Apesar do título do módulo, ele não se destina apenas à apresentação do estudo de

Probabilidades. Ele vai além e apresenta conteúdos de Lógica Matemática, da Teoria dos

Conjuntos, da Análise Combinatória e do Binômio de Newton. A Lógica constante neste

módulo tem como objetivo embasar o raciocínio matemático e apresentar elementos

necessários ao desenvolvimento dos demais conteúdos. A presença dos temas de Análise

Combinatória se deve à necessidade de criar elementos de organização do pensamento para

a resolução dos problemas de Probabilidades. Por último, a presença do Binômio de Newton

se justifica pelo fato deste tema matemático ser também necessário à resolução de

problemas de Probabilidade. O objetivo de cada introdução histórica é situar o estudante no

tempo em que cada tema abordado foi criado e inicialmente desenvolvido.

Objetivo

Ao fim do curso o aluno deverá:

Ter desenvolvido as capacidades de dedução, de raciocinar logicamente de forma

organizada, de formular e interpretar situações matemáticas e o espírito crítico e

criativo em relação à Matemática.

Perceber e compreender as relações entre diversas áreas da matemática

apresentadas.

Organizar, comparar e aplicar os saberes aprendidos.

Compreender os fundamentos da Lógica, da Análise Combinatória, do Binômio de

Newton e das Probabilidades, assim como analisar estruturas e relações discretas.

Resolver problemas usados da Lógica, da Análise Combinatória, do Binômio de

Newton e das Probabilidades.


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Ementa

Lógica: Lógica Proposicional e Lógica de Predicados. Elementos da Teoria dos Conjuntos.

Análise combinatória. Binômio de Newton. Probabilidades.

Sobre o Autor

Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela PUC – MG;

Licenciado em matemática pela Faculdade de Humanidades Pedro II – RJ;

Pós - Graduado em Educação Matemática na Faculdade Saberes – Vitória;

Pós - Graduado em docência do Ensino Superior pela Faculdade Cândido Mendes;

Professor de Matemática do UP e FAVI.


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SUMÁRIO

UNIDADE 1 ........................................................................................................... 8

Introdução .......................................................................................................... 8 UNIDADE 2 ......................................................................................................... 14

Operações lógicas ........................................................................................... 14 UNIDADE 3 ......................................................................................................... 19

A forma condicional p→q ................................................................................. 19 UNIDADE 4 ......................................................................................................... 26

Noções iniciais ................................................................................................. 26 UNIDADE 5 ......................................................................................................... 31

Par ordenado .................................................................................................... 31 UNIDADE 6 ......................................................................................................... 38

Combinatória. ................................................................................................... 38 UNIDADE 7 ......................................................................................................... 45

Combinatória. ................................................................................................... 45 UNIDADE 8 ......................................................................................................... 51

Aplicações do princípio multiplicativo .............................................................. 51 UNIDADE 9 ......................................................................................................... 56

Permutação com elementos repetidos ............................................................ 56 UNIDADE 10 ....................................................................................................... 59

Exercícios resolvidos ....................................................................................... 59 UNIDADE 11 ....................................................................................................... 64

Argumento, premissas e conclusões ............................................................... 64 UNIDADE 12 ....................................................................................................... 68

Experimento aleatório ...................................................................................... 68

UNIDADE 13 ....................................................................................................... 73


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Probabilidade de um evento em um espaço amostral equiprovável ............... 73 UNIDADE 14 ....................................................................................................... 79

Operações sobre Conjuntos ............................................................................ 79 UNIDADE 15 ....................................................................................................... 84

Conjuntos. ........................................................................................................ 84 UNIDADE 16 ....................................................................................................... 90

Condições . ...................................................................................................... 90 UNIDADE 17 ....................................................................................................... 96

Eventos dependentes ...................................................................................... 96 UNIDADE 18 ..................................................................................................... 101

Anteriores ....................................................................................................... 101 UNIDADE 19 ..................................................................................................... 106

Newton. .......................................................................................................... 106 UNIDADE 20 ..................................................................................................... 109

Números binomiais. ....................................................................................... 109

UNIDADE 21 ..................................................................................................... 113

Termo geral .................................................................................................... 113 UNIDADE 22 ..................................................................................................... 118

Distribuição binomial da probabilidade .......................................................... 118 UNIDADE 23 ..................................................................................................... 123

Frequência relativa ......................................................................................... 123 UNIDADE 24 ..................................................................................................... 130

Aplicações de probabilidades ........................................................................ 130 UNIDADE 25 ..................................................................................................... 134

Apresentar a simbologia de probabilidade condicional. ................................ 134 UNIDADE 26 ..................................................................................................... 141

As partições de conjuntos e a probabilidade condicional .............................. 141 UNIDADE 27 ..................................................................................................... 144


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Aleatória. ........................................................................................................ 144 UNIDADE 28 ..................................................................................................... 150

Exercícios resolvidos ..................................................................................... 150 UNIDADE 29 ..................................................................................................... 153

Introdução ...................................................................................................... 153 UNIDADE 30 ..................................................................................................... 157

Vetores de probabilidades ............................................................................. 157 GLOSSÁRIO ..................................................................................................... 166

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................ 167


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UNIDADE 1

Objetivo: Apresentar os primeiros elementos de Lógica.

Introdução

A Lógica Matemática pode ser considerada como um campo da Matemática dedicado ao

raciocínio e à demonstração. O maior desenvolvimento desse campo da Matemática deu-se

a partir do século XIX, principalmente por meio da proposta George Boole1, criador do que é

conhecido atualmente como Álgebra Booleana. Essa álgebra utiliza símbolos e operações

para representar e relacionar proposições, sendo útil às aplicações em problemas que

admitam apenas duas respostas: verdadeiro ou falso (ligado ou desligado, aberto ou

fechado, sim e não, etc.).

A Álgebra Booleana, escrita sob a forma de uma lógica simbólica, tem aplicações na

Engenharia Elétrica e na computação, por exemplo.

Objeto da Lógica Matemática

A Lógica matemática estuda as sentenças declarativas, conhecidas como proposições.

Proposições (ou sentença) lógicas são expressões que indicam afirmativas a respeito de um

objeto, tais como:

- p: O quadrado é um quadrilátero eqüilátero.

- q: (2+2=5).

- r: A soma de dois números naturais é um número natural.

1 Matemático inglês: 1815-1864.


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Valores Lógicos

Uma sentença pode possuir valor lógico V (verdade) ou F (falso). Pelo que foi exposto, o

valor lógico de cada sentença anterior é:

- p: V (ou 1).

- q: F (ou 0).

- r: V (ou 1).

Observação:

Não serão consideradas proposições frases interrogativas, tais como:

- Que horas são?

- Doutor: esse remédio é forte?

Também não serão consideradas sentenças as exclamativas, tais como:

- Fala, garoto!

- Alô, galera!

Princípios Lógicos

As proposições devem satisfazer aos seguintes princípios:

Princípio 1 - Princípio de Identidade: Cada objeto é idêntico a si próprio.

Princípio 2 - Princípio da Não Contradição: um objeto não pode, ser e não ser ao

mesmo tempo. Isso quer dizer que não é possível afirmar e negar ao mesmo tempo


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determinado predicado para o mesmo objeto (ou entre duas afirmativas contraditórias,

uma delas será necessariamente falsa).

Princípio 3 - Princípio do Terceiro Excluído: uma sentença é necessariamente

verdadeira ou falsa. Não existe um terceiro valor possível.

Alguns autores também representam por 0 (zero) o valor falsidade (0 ou F) e 1 (um) o valor

verdade (1 ou V). As sentenças serão indicadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u,

v, w, etc.

Proposições simples

Uma proposição (ou sentença) é simples quando expressa uma declaração ou um

pensamento com sentido completo.

Exemplos:

- p: A soma de dois números ímpares é um número par.

- q: O século XX terminou em 1999.

Normalmente a proposição simples é formada por um sujeito, um verbo, e o seu

complemento.

Negação de uma proposição simples

Dada uma proposição p, a sua negação será escrita: ~p (Lido “não p”).


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Exemplo:

p: A soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da

hipotenusa. (V)

~p: Não é verdade que a soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual

ao quadrado da hipotenusa. (F)

Outra forma de negar a proposição dada é a seguinte:

~p: A soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo não é igual ao quadrado da

hipotenusa. (F)

Importante: Duas negações equivalem a uma afirmação. Simbolicamente: ~(~p) = p.

Exemplo:

p: A soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da

hipotenusa. (V)

~(~p): Não é verdade que a soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo não

é igual ao quadrado da hipotenusa. (V)

Proposições Compostas e Conectivas

As proposições compostas são formadas pela combinação de proposições simples por uso

dos elementos chamados conectivos. São cinco os conectivos lógicos: “e”, “ou”, “não”, “se ...

então ...”, e “... se e somente se ...”.


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Exemplo:

p: Maria foi à feira; q: José comprou um carro.

As proposições compostas com cada um dos conectivos são as seguintes:

p e q: Maria foi à feira e José comprou um carro.

p ou q: Maria foi à feira ou José comprou um carro.

~p: Maria não foi à feira.

se p então q: Se Maria foi à feira então José comprou um carro.

p se e somente se q: Maria foi à feira se e somente se José comprou um carro.

Em Lógica, a combinação de proposições também é denominada operação lógica. Nesse

caso, os conectivos são denominados operadores. Cada operador tem o seu símbolo. O

símbolo de cada operador está na tabela a seguir.

Operador Conectivo Símbolo

Conjunção e

Disjunção ou

Negação não

Condicional se ... então ...

Bicondicional ... se e somente se ...


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1. Determine o valor lógico de cada sentença: p: (2 + 3 = 6); q: 2/3 é número natural.

2. Escreva a negação de cada proposição da atividade anterior.

3. Escreva as proposições compostas possíveis usando as proposições simples da

atividade 1.

4. Assinale as proposições e dê o valor lógico de cada uma.

a. A soma de dois números ímpares é sempre um número par.

b. Você já foi à Bahia?

c. Que mulherzinha!

d. O produto de dois números pares é sempre um número ímpar.

OBS.: O gabarito desta e das próximas atividades está disponível no link “Estudo Complementar” da sua sala de aula.


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UNIDADE 2

Objetivo: Continuar a apresentação das primeiras operações lógicas.

Operações lógicas

As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos e (), ou (),

negação (), se ... então ... () e se e somente se ().

Com a utilização dos operadores, as proposições simples dão origem às proposições

compostas. Se p e q são proposições simples, podem ser formadas as proposições

compostas:

p q, p q, ~p, pq e pq.

As proposições compostas recebem os seguintes nomes:

- Conjunção: p q (lido p e q).

- Disjunção: p q (lido p ou q).

- Negação: ~p (lido não p).

- Condicional: pq (lido se p então q).

- Bicondicional: pq (lido se p se e somente se q).

Conhecido o valor lógico de cada proposição simples (p e q), os valores lógicos das

proposições compostas podem ser determinados. Os valores lógicos das proposições

compostas são determinados em um quadro chamado de tabela verdade.

Se p é proposição simples, a negação de p terá a seguinte tabela verdade:


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p ~p

V F

V V

A disjunção e a conjunção

Nos circuitos abaixo, A e B representam chaves que mantêm a passagem da corrente em um

circuito, F é uma fonte alimentadora e L é uma lâmpada.

Note que, no circuito “ou”, tanto faz a corrente passar pela chave A como na chave B, como

nas duas chaves ao mesmo tempo. A lâmpada será acesa com a corrente passando por A,

por B ou por A e B ao mesmo tempo

O circuito acima é uma representação análoga à disjunção ”ou”. Se p e q são proposições

simples, a disjunção de p e q terá a seguinte tabela verdade:

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F


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Note que, no circuito “e”, se a corrente passar

apenas pela chave A ou apenas pela chave B,

não é o mesmo que passar nas duas chaves ao

mesmo tempo. A lâmpada somente será acesa

com a corrente passando por A e por B ao

mesmo tempo.

O circuito acima é uma representação análoga à conjunção ”e”. Se p e q são proposições

simples, a conjunção de p e q terá a seguinte tabela verdade:

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F F

Note que:

1. No caso da disjunção, basta que uma das proposições simples seja verdadeira para

que a proposição composta seja considerada verdadeira.

2. No caso da conjunção, basta que uma das proposições simples seja falsa para que a

proposição composta seja considerada falsa.

Exemplo:

p: O ônibus quebrou na estrada.

q: O mecânico consertou o defeito.


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A proposição composta “O ônibus quebrou na estrada ou o mecânico consertou o defeito”

será falsa apenas no caso do ônibus não ter quebrado na estrada e também o mecânico não

consertar o defeito.

Já a proposição composta “O ônibus quebrou na estrada e o mecânico consertou o defeito”

será verdadeira apenas no caso do ônibus ter quebrado na estrada e também o mecânico

consertar o defeito.

Observação:

Você deve tomar cuidado com a disjunção na sua forma exclusiva (ou p ou q), indicada pelo

símbolo .

Exemplo:

p: O ônibus quebrou na estrada.

q: O mecânico consertou o defeito.

A proposição composta “Ou o ônibus quebrou na estrada ou o mecânico consertou o defeito”

será verdadeira quando apenas uma das duas sentenças simples for verdadeira.

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

Mal comparando, a disjunção exclusiva é como um motor que funciona com gás ou com

gasolina: Ou o motor tem o gás como combustível ou o motor tem a gasolina como

combustível. Você não coloca o carro para funcionar com os dois combustíveis ao mesmo

tempo.


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1) O símbolo “ ” significa que o elemento da esquerda é maior ou igual ao da direita.

Exemplo:

“x y” significa que x é maior ou igual a y. Isso significa que x é maior que y ou x é

igual a y. Dessa forma, como um número não pode ser ao mesmo tempo maior e igual

a outro, basta que uma das duas afirmativas seja verdadeira.

Classificar em verdadeira ou falsa cada sentença a seguir.

a) 5 > 2 e 6 3 b) 5 2 ou 6 > 3

c) 5 > 2 e 3 6 d) 2 5 ou 6 > 3

e) 3 > 6 e 6 3 f) 4 1 ou 1 > 4

g) 1 > 9 e 2 8 h) 3 6 ou 1 > 9

2) Considere a seguinte sentença: “Ou o professor aplica a prova ou o aluno estuda”.

Determine o valor lógico da sentença em cada caso.

a) O professor aplica a prova e o aluno não estuda.

b) O professor aplica a prova e o aluno estuda.

c) O professor não aplica a prova e o aluno estuda.

d) O professor não aplica a prova e o não aluno estuda.


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UNIDADE 3

Objetivo: Apresentar mais operações lógicas. Objetivo: Apresentar os quantificadores.

A forma condicional p→q

Observe a seguinte proposição:

Se você continuar a gastar, então sua conta ficará sem fundos (p→q).

Esta proposição é composta por duas proposições simples: você continuar agastar e sua

conta ficará sem fundos, ligadas pelo operador se ... então ... (). Conforme já foi visto, este

conectivo é chamado condicional.

Sendo p e q proposições, a expressão p q recebe o nome de condicional de p e q. No

caso, a proposição p recebe o nome de antecedente e a proposição q é denominada

consequente da forma condicional. A operação que forma a condicional indica que o

acontecimento de p é uma condição para o acontecimento de q. A determinação do valor

verdade da proposição na forma condicional será visto a seguir.

Retornando à proposição dada, suponhamos que p e q aconteçam, ou seja, que alguém

continue a gastar e que a conta fique sem fundos. Assim, a condicional p→q será verdadeira.

Caso a pessoa, dona da conta, continue a gastar (p ocorre), mas a conta não fique sem

fundos (q não ocorre), p não é condição para a ocorrência de q. Com isso, a proposição

condicional é falsa. Considere agora que a pessoa dona da conta pare de gastar (p não

ocorre) e a conta fique sem fundos. Nesse caso, a condicional é considerada verdadeira.

Note que o acontecimento de q está ligado à ocorrência de p, ou seja, q é consequência de p

já ter ocorrido. No caso do antecedente ser falso, a ocorrência ou não do conseqüente não

estará assegurada nem deixará de estar.

Analisemos as possibilidades de valor lógico da expressão Se você continuar a gastar, então

sua conta ficará sem fundos (p→q).


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Antecedente Conseqüente p→q

V V V

V F F

F V V

F F V

A forma bicondicional pq

Observe a seguinte proposição:

Você chegará no horário se e somente se sair cedo de casa (pq).

Agora as duas proposições simples você chegará no horário e sair cedo de casa estão

ligadas pelo operador ... se e somente se ... (). Sendo p e q proposições, a expressão p

q é chamada bicondicional de p e q. Uma expressão bicondicional será verdadeira quando as

duas expressões que a compõem tiverem mesmo valor lógico.

Na expressão dada, o operador se e somente se é um indicador de que se a pessoa chegar

no horário, é porque ela saiu cedo e vice versa. Sendo assim, apenas possibilidade de

chegar no horário é sair cedo, isto é, não sair cedo, não chegará no horário. Nesse caso, os

dois acontecimentos são necessariamente verdadeiros (ou falsos) e não existe possibilidade

de ocorrer uma terceira possibilidade.

Analisemos as possibilidades de valor lógico da expressão Você chegará no horário se e

somente se sair cedo de casa (pq).


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A tabela formada para a bicondicional nada mais é do que a conjunção das expressões p→q

e q→p.

Antecedente Conseqüente p→q q→p (p→q) (q→p) pq

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V

Se uma expressão assume sempre o valor V, dados quaisquer valores lógicos de suas

componentes, ela é chamada de tautologia (uma expressão válida).

Exemplo:

Hamlet é ou não é o príncipe da Dinamarca.

A expressão pode ser reduzida à forma p ~p, pois tem-se p: Hamlet é o príncipe da

Dinamarca e ~p: Hamlet não é o príncipe da Dinamarca. A tabela de tal disjunção assume a

forma:

p ~p p ~p

V F V

F V V


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Lembre-se de que a forma p q será falsa se pelo menos uma das suas componentes for

falsa.

Se uma expressão assume sempre o valor F, dados quaisquer valores lógicos de suas

componentes, ela é chamada de contradição (uma expressão não válida).

Exemplo:

Hamlet é e não é o príncipe da Dinamarca.

A expressão pode ser reduzida à forma p ~p, pois tem-se p: Hamlet é o príncipe da

Dinamarca e ~p: Hamlet não é o príncipe da Dinamarca. A tabela de tal disjunção assume a

forma:

p ~p p ~p

V F F

F V F

Lembre-se de que a forma pq será verdadeira se pelo menos uma das suas componentes

for verdadeira.

Quantificadores

Uma sentença é aberta quando possui variáveis. As sentenças abertas são chamadas de

funções proposicionais. As funções proposicionais não são proposições com valor lógico

definido, pois dependem das variáveis. Atribuindo valores às variáveis ou utilizando

quantificadores se podem transformar sentenças abertas em proposições.

Quantificador universal ( )

Lê-se: “Qualquer que seja”, “para todo”, “para cada”.

Forma de escrita: x; p (x), onde p (x) é a propriedade dos elementos.

Exemplo:


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x, xIN, 0.x=0. Lê-se: qualquer que seja o número natural, seu produto por zero é igual a

zero.

Quantificador existencial ( )

Lê-se: “existe”, “existe pelo menos um”, “existe um”.

Forma de escrita: x; p (x), onde p (x) é a propriedade dos elementos.

Exemplo:

' x, xIN, 1 + x = 9. Lê-se: Existe um número natural que, adicionado a um, resulta em nove.

Observação:

Também se pode usar outro quantificador: I (lê-se: “existe um único”, “existe apenas um”,

“existe um e somente um”).

Forma de escrita: I x; p (x), onde p (x) é a propriedade dos elementos.

Exemplo:

I x, xIN, x + 3 = 7. Lê-se: Existe um número natural que, adicionado a três, resulta em

sete.

Negação de proposições com os quantificadores.

Quando uma sentença for quantificada pelo quantificador universal [ x; p(x)], a sua negação

será feita apresentando pelo menos um elemento que não satisfaça p(x). Dessa forma, a

negação de x; p(x) será na forma: x; ~p(x). Formalmente: ~[ x; p(x)] = x; ~p(x).

Exemplo:

A negação de x, 1 + x = 9 é x, 1 + x 9.


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Quando uma sentença for quantificada pelo quantificador existencial [x; p(x)], a sua

negação será feita afirmando que nenhum elemento satisfaz p(x). Dessa forma, a negação

de x; p(x) será na forma: x; ~p(x). Formalmente: ~[x; p(x)] = x; ~p(x).

Exemplo:

A negação de x, x + 3 = 7 é x, x + 3 7.

1) Transforme as sentenças abertas em proposições verdadeiras com o uso de

quantificadores.

a) x² – 3x + 2 = 0 b) – (- k) = +k c) (x-y).(x+y) = x² – y² d) 9.t + 87

2) Escreva a negação de cada sentença.

a) a, 4 a < 0.

b) Qualquer que seja o número inteiro primo, ele é ímpar.

c) Existe um número real cuja raiz quadrada é um.

3) (U. F. GO) A negação de x > -2 é:

a) x2 b) x -2 c) x<-2 d) x<2 e) x2


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4) (U. F. BA) A proposição (~p v q) (q r) é verdadeira, se:

a) p e q são verdadeiras e r, falsa. b) p e q são falsas e r, verdadeira.

c) p e r são falsas e q, verdadeira. d) p, q e r são verdadeiras. e) p, q e r são falsas.

5) (U. F. RS) A negação da proposição “Para todo y, existe um x tal que y = sen(x)” é:

a) Para todo y, existe um s tal que y = sen(x).

b) Para todo y e para todo x, y = sen(x).

c) Existe um y e existe um x tal que y = sen(x).

d) Existe um y tal que, para todo x, y = sen(x).

e) Existe um y tal que, para todo x, y ≠ sen(x).

6) Escreva a negação de cada sentença.

a) Um número x é racional e irracional.

b) Um número y é natural ou inteiro.

c) ~(pq)

d) ~(p q)


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UNIDADE 4

Objetivo: Apresentar noções da teoria dos conjuntos.

Noções iniciais

A Teoria dos Conjuntos é em grande parte trabalho do matemático Georg Cantor (1845 -

1918).

O conceito de conjunto é uma noção primitiva, ou seja, não é definida a partir de outras

noções mais simples.

Primeiros conceitos

Os primeiros conceitos da teoria dos conjuntos são:

- a noção de conjunto;

- a noção de elemento;

- a relação de pertinência.

Um conjunto normalmente é representado por letras latinas maiúsculas. Um conjunto é uma

coleção objetos, os seus elementos. Um conjunto é uma coleção não ordenada de

elementos.

Quando for o caso, os elementos de um conjunto são representados por letras minúsculas.

Os objetos que constituem um conjunto denominam-se elementos do conjunto.

Exemplo:

V = {a, e, i, o, u} é o conjunto formado pelas letras que representam vogais.


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Pertinência de um elemento a um conjunto

Se um objeto é elemento de um conjunto, diz-se que ele pertence ao conjunto. Do ponto de

vista da lógica, o elemento x que pertence a um conjunto A, possui a propriedade p.

Exemplo:

O elemento a pertence ao conjunto V do exemplo anterior. Assim, escreve-se aV.

Se um objeto não é elemento de um conjunto, diz-se que ele não pertence ao conjunto. Do

ponto de vista da lógica, o elemento x que não pertence a um conjunto A, não possui a

propriedade p.

Exemplo:

O elemento k não pertence ao conjunto V do exemplo anterior. Assim, escreve-se kV.

Representação de um conjunto

Um conjunto pode ser descrito por meio de uma propriedade dos seus elementos. Do ponto

de vista da lógica, trata-se de determinar um predicado para denotar os elementos do

conjunto.

Exemplo:

A = {x / x é número ímpar e 2 < x < 8}.

Um conjunto também pode ser descrito pela enumeração dos seus

elementos. O conjunto A do exemplo anterior é formado pelos

números 3, 5 e 7. Dessa forma A = {3, 5, 7}.

Um conjunto também pode ser descrito por meio do diagrama

conhecido pelo nome de diagrama de Venn. O conjunto A do


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exemplo anterior, formado pelos números 3, 5 e 7 pode ser representado por meio de um

diagrama conforme a figura ao lado.

Inclusão de um conjunto em outro

O conjunto A está contido no conjunto B se e somente se todo

elemento de A também é elemento de B.

Simbolicamente: [(AB)] [ x, (xA) (xB)].

Exemplo:

A = {1, 3, 5, 7}; B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Todos os elementos de A (1, 3, 5 e 7) são

elementos de B (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7). Dessa forma, diz-se que A está contido em B e

representa-se AB. O diagrama da situação está na figura ao lado:

Quando ocorre do conjunto A estar contido no conjunto B, diz-se que o conjunto A é

subconjunto do conjunto B.

Igualdade entre dois conjuntos

O conjunto A é igual ao conjunto B se e somente se todo elemento de A é elemento de B e

também e todo elemento de B é elemento de A. Assim, A está contido em B e B está contido

em A.

Simbolicamente: [(A = B)] [ (AB) (BA)].

Exemplo:

A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 1, 4, 2} são conjuntos iguais, pois possuem os mesmos elementos.


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Conjunto Vazio

Conjunto vazio é aquele que não possui elemento algum.

Exemplo:

A = {x / x é número par e ímpar simultaneamente}. A = { }.

O conjunto vazio pode ser representado pela letra Ø. Assim, pode-se escrever A=Ø. O

conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto A. Assim, pode-se escrever: ØA.

Principais conjuntos numéricos

- IN: conjunto dos nos naturais. IN = {0, 1, 2, 3, ...}.

- Z: conjunto dos números inteiros: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. O conjunto Z pode ser

considerado uma extensão do conjunto IN. Dessa forma, o conjunto IN está contido no

conjunto Z.

- Z*: conjunto dos números inteiros positivos {1, 2, 3, ...}

- Q: conjunto dos números racionais: {x / x=p /q, pZq Z*}

Exemplo:

2/3; - 3/2; 4,333... (dízimas periódicas). Como todo número inteiro pode

ser escrito na forma p /q, pZ q Z*, o conjunto Z está contido em Q.

- Qc : conjunto dos números irracionais: conjunto dos números que não

admitem a forma p/q, pZ q Z*.

Exemplo:

5 , , e (número de Euler).

Os conjuntos Q e Qc não têm elementos comuns.

- IR: conjunto dos nos reais: IR = Q Qc


30

1) Classifique cada afirmativa a seguir em verdadeira ou falsa.

a) A soma de dois números naturais é sempre um número inteiro.

b) A soma de dois números racionais é sempre um número racional.

c) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.

2) Descreva cada conjunto por meio de uma propriedade.

a) {-1, 0, +1, +2, +3} b) {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}

c) {segunda feira, sexta feira, sábado} d) {2}

3) Escreva os elementos de cada conjunto.

a) A = {x / x é letra da palavra banana} b) B= {x / x é cor da bandeira brasileira}

c) C = {x IN / -3 < x 5} d) D= {x IR / x² + 3x + 2 = 0}

4) As sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas?

a) Ø {0, 1, 2, 3} b) Ø{0, Ø}.


31

UNIDADE 5

Objetivo: Apresentar as primeiras noções de análise combinatória.

Par ordenado

Par é um conjunto formado por dois elementos.

Exemplos:

{1,3} {{0}, 0} {Ø, {Ø}}

Nesta unidade, par ordenado será assumido como conceito primitivo, ou seja, não será

definido. A cada dois elementos a e b existirá um terceiro elemento (a, b) chamado de par

ordenado, tal que (a, b) = (c, d) a = b c = d.

Exemplos:

(1, 2) (2, 1) (3, 3) = (3, 3)

O primeiro elemento do par ordenado é a sua abscissa e, o segundo, a ordenada.

Análise combinatória - Introdução

A análise combinatória é um campo da Matemática que desenvolve métodos para contar o

número de elementos de um conjunto de acordo com determinadas condições. Se o número

de elementos do conjunto em questão for pequeno, técnicas de contagem podem ser até

desnecessárias. Porém, se o número de elementos do conjunto for grande, calcular o total de


32

agrupamentos formados pelos seus elementos, sob determinadas condições, pode ser até

inviável, na ausência de técnicas específicas.

Exemplos:

1) A é o conjunto de números ímpares de dois algarismos distintos formados com os

elementos do conjunto {1, 2, 5}.

A = {15, 51, 21, 25} A possui 4 elementos.

2) B é o conjunto das sequências de letras possíveis a partir das letras da palavra pia.

B = {pia, pai, aip, api, iap, ipa } B possui 6 elementos.

3) C é o conjunto de todos os números positivos de dois algarismos que podem ser

formados a partir dos elementos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0. O conjunto C tem 90

elementos. Verifique.

No último exemplo, nota-se que seria extremamente trabalhoso determinar todos os

números, escrevendo-os um a um, para saber quantos são. Assim, tem-se o primeiro

cuidado a ser tomado em problemas de análise combinatória: distinguir se na pergunta pede-

se para determinar quantos ou se é pedido para determinar quais são os agrupamentos

formados.

Outro cuidado a ser tomado é verificar se o agrupamento formado terá os elementos

tomados em uma determinada ordem ou não.


33

Exemplo:

Quatro elementos disputam a final de uma corrida de 100 m rasos.

a) Quantas são as possíveis distribuições de medalhas (ouro e prata), para os dois primeiros

colocados?

b) Quantas são as possíveis duplas que podem ser formadas convidando dois desses

elementos para um lanche?

Resolução:

a) No primeiro caso, o agrupamento é ordenado, pois mudando a ordem de chegada, muda-

se a premiação entre os corredores. Logo, são formados pares ordenados, já que a troca da

posição dos elementos altera o par formado. Assim, chamando os corredores de A, B, C e D,

as possibilidades de chegada dos dois primeiros são dadas na tabela a seguir:

1º A A A B B B C C C D D D

2º B C D A C D A B D A B C

Assim, são 12 resultados possíveis.

b) No segundo caso, o agrupamento não é ordenado, pois não se considera a ordem de

chegada para o convite. Sendo assim, as duplas são AB, AC, AD, BC, BD e CD.

Pode-se notar que com os mesmos elementos podem ser formados agrupamentos

ordenados e não ordenados, o que leva à obtenção de diferentes quantidades de resultados.

No primeiro exemplo, o total de possibilidades pode ser obtido por meio de uma operação de

multiplicação (4 x 3 = 12), pois para o primeiro lugar tem-se quatro elementos e, para o

segundo, são três elementos.


34

Exemplo:

Um fornecedor de computadores monta suas máquinas variando o disco rígido, a placa mãe

e a quantidade de memória RAM. Ele tem quatro tipos de disco rígido, três de placa mãe e

duas capacidades de memória. Quantos modelos diferentes de computadores ele pode

montar?

Resolução:

Raciocinando de forma análoga à da premiação, considerando o conjunto disco-placa, tem-

se: 4 x 3 = 12 formações. Para cada uma dessas formações, tem-se duas possibilidades de

acrescentar capacidade de memória. Assim, são 12 x2 = 24 montagens diferentes.

A situação anterior poderia ser resolvida da seguinte forma: 4 x 3 x 2 = 24. Note que isso

será feito no caso dos agrupamentos serem ordenados.

Princípio fundamental da contagem

Se os conjuntos A1, A2, A3, ..., Ak têm, respectivamente n1, n21, n3, ... , nk elementos, o

total de agrupamentos ordenados formados com os elementos desses conjuntos é:

n1. n21 . n3 . ... . nk.

Exemplos:

1) Oito atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para a chegada dos

três primeiros?

Resolução:

Aplicando o princípio multiplicativo, tem-se: 8 x 7 x 6 = 336 possibilidades para a chegada

dos três primeiros.


35

2) Oito atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para a chegada de

todos eles?

Resolução:

Aplicando o princípio multiplicativo e lembrando que nesse caso todos os elementos serão

considerados distintos para todas as posições, tem-se:

8 x 7x 6x 5 x 4 x 3 x 2x 1 = 40320 possibilidades de chegada com todos os competidores.

Arranjo e Permutação

Note que no exemplo 1 anterior, o número de posições consideradas é menor que o do

exemplo 2. Mesmo assim, o problema é resolvido aplicando o princípio multiplicativo. No

exemplo 1, tem-se o que os matemáticos chamam de arranjo de oito elementos tomados três

a três. No exemplo 2, tem-se uma permutação de oito elementos. Chamando de n o total de

elementos disponíveis e de k o número de elementos no agrupamento formado, tem-se que:

No arranjo, n > k. Na permutação, n = k.

Fatorial

Outro conceito importante é o de fatorial. No exemplo 2 anterior, tem-se:

8 x 7x 6x 5 x 4 x 3 x 2x 1.

Esse produto é formado por todos os números naturais de 1 a 8. Esse produto é chamado de

fatorial de oito (ou oito fatorial) e representa-se:

8! = 8 x 7x 6x 5 x 4 x 3 x 2x 1.

De forma geral, se n é um número natural, tem-se n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 1.


36

Observação:

Os fatoriais de zero e de um valem um. 1! = 0! = 1.

1) Quais e quantos são os pares ordenados na forma (a, b), com aA e bB, dados A={2,

3} e B = {a, e, o}?

2) Com os mesmos conjuntos do exercício anterior, determine os pares ordenados na

forma (b, a), com aA e bB. O total de resultados é o mesmo?

3) Uma moeda é lançada 3 vezes. Indique por K o resultado cara e por C o resultado coroa.

Qual é o número de sequências de resultados possível?

4) Três cidades, A, B e C, são ligadas da seguinte forma: quatro rodovias que ligam A com

B. Cinco ligam B com C. Partindo de A e passando obrigatoriamente por B, de quantas

formas pode-se chegar até C?

5) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os elementos 1, 2, 3, 4, 7 e 8?

E se os algarismos forem distintos?

6) Quantos são os números de três algarismos distintos formados com os elementos 0, 1,

3, 5 e 7?

7) Na entrevista coletiva após uma partida de futebol, serão entrevistados um a um apenas


37

4 entre os 11 jogadores que terminaram o jogo em campo por um determinado time.

Quantas são as sequências de entrevistas possíveis?

8) Se os quatro elementos do exercício anterior forem chamados em duplas, quantas

seriam as possíveis duplas formadas?

9) Uma moeda normal é lançada 10 vezes. Quantas sequências de faces alternam caras e

coroas?

10) Se a mesma moeda normal do exercício anterior for lançada 10 vezes, quantas

sequências de faces são possíveis?


38

UNIDADE 6

Objetivo: Apresentar as primeiras noções de grafos e desenvolver a análise.

Combinatória.

Diagrama de árvore

Uma forma de visualizar os agrupamentos ordenados é por meio do dispositivo chamado

diagrama de árvore.

Exemplo (extraído de HAZZAN, S.):

Temos três cidades X, Y e Z. Existem

quatro rodovias que ligam X com Y e cinco

que ligam Y com Z. Partindo de X e

passando por Y, de quantas formas

podemos chegar até Z?

Resolução:

Sejam: A o conjunto das rodovias que ligam X com Y e B o conjunto das rodovias que ligam

Y com Z:

A = {a1, a2, a3, a4} e B = {b1, b2, b3, b4, b5}.

Cada modo de efetuar a viagem de X até Z pode ser considerado como um par de estradas

(ai, bj) onde aiA e bjB.


39

Grafo

Um grafo G(V, A) é um conjunto finito não vazio de pares não orientados de elementos

distintos de V, onde V é um conjunto de vértices e A é um conjunto de arestas.

A figura da esquerda representa um grafo. O conjunto de vértices é V = {V1, V2, V3, V4, V5}

e o conjunto de arestas é A = {a1, a2, a3, a4, a5, a6}.


40

Dois vértices u e v de um grafo são adjacentes quando existe uma aresta a que os une. Na

figura, V1 e V2 são enquanto V2 e V4 não são.

Um grafo é simples quando não existe vértice ligado a ele mesmo. O grafo da figura ao

acima é simples.

Um grafo é completo quando é um grafo simples no qual todo vértice é adjacente a todos os

outros vértices. O grafo completo de n vértices é denotado por Kn. Na figura ao acima tem-

se um grafo completo K6.

Um ciclo é um caminho entre os vértices v1, v2, v0 ... vk, vk+1, de modo que v1 = vk+1 e

k3. Isso significa que em um ciclo o vértice de partida coincide com o de chegada (v1 =

vk+1) e no mínimo deve ter três vértices. Grafo acíclico é um grafo que não possui ciclos. O

grafo G3 a seguir é cíclico e tem três ciclos distintos. O grafo G4 é acíclico.


41

Grafo rotulado

Um grafo G(V, A) é rotulado nos

vértices ou nas suas

arestas quando a cada vértice ou

aresta estiver associado um

rótulo. Esse rótulo pode ser um

nome, um número, uma letra, etc.

O grafo acima é exemplo de grafo rotulado. Ele representa uma região delimitada por quatro

cidades. Cada cidade é representada por um vértice rotulado com um nome. Cada aresta é

rotulada com a distância entre duas cidades.

Grafo valorado

Um grafo G(V, A) é valorado se existe uma ou mais funções que relacionam V e/ou A a um

conjunto de números. O grafo acima associa os vértices e aresta da seguinte forma:

V = {v / v é uma cidade da região agrícola}


42

A = {(v1, v2, d) / existe estrada ligando v1a v2 e d é a distância entre duas cidades}.

Uma árvore é um grafo acíclico e conexo. O grafo G4 anterior é uma árvore.


43

1) Uma moeda é lançada duas vezes seguidas. Faça um diagrama de árvore

que descreva esse experimento.

2) Um jogo consiste em lançar um dado de quatro faces e, em seguida, uma

moeda. Um dado de quatro faces é um tetraedro, com as faces numeradas de 1 a 4 conforme

figura. Dessa forma, cada resultado será um par ordenado onde o primeiro elemento é o

número obtido no dado e o segundo elemento é a face obtida na moeda (cara ou coroa). Faça

uma árvore que descreva os resultados são possíveis desse jogo.

3) (UFF) Um caminhão pipa deve transportar água da cidade A para a cidade Z. A figura

abaixo ilustra os caminhos possíveis que o

motorista do caminhão pode tomar. As setas

indicam o sentido obrigatório de percurso. Os

valores colocados próximo às setas especificam o

custo de transporte (todos dados em uma mesma

unidade monetária) para o trecho em questão.

Determine o caminho que representa a entrega feita com o menor custo.

4) (UFRJ) A figura representa um grafo, isto é, um conjunto de pontos (nós) ligados por

segmentos (arestas). Se X e Y são dois nós do grafo, designamos por

d(X,Y) o menor número de arestas necessárias para ir de X a Y,

percorrendo exclusivamente um caminho sobre as arestas do grafo

(assim, por exemplo, d(N,R) = 3).

a) Determine d(A, B).

b) Identifique os nós X e Y para os quais d (X, Y) é máximo. Nesse caso, quanto é d(X, Y)?


44

5) A figura ao lado representa um grafo orientado. Isso quer dizer

que o caminho de A para B não é o mesmo da volta de B para A.

Determine os menores caminhos entre o vértice A e os demais

vértices.

6) Sejam G(V, A) um grafo e C um conjunto de cores. Uma coloração de G é uma atribuição

de cores para o conjunto C. Para cada vértice de V será atribuído um elemento de C, de

modo que a dois vértices adjacentes sejam atribuídas cores diferentes. Assim, a cada par de

vértices v1e v2 de V tem-se (v1, v2) A com f(v1) f(v2). Uma k-coloração de G utiliza o

total de k cores. O número cromático de um grafo G é o menor número k de cores para o qual

existe uma k-coloração de G. Qual o número mínimo de cores para colorir a

figura? Detalhe: duas áreas que tenham uma linha de fronteira comum não

podem ter a mesma cor. Um vértice comum não é considerado fronteira, por não

ser uma linha.


45

UNIDADE 7

Objetivo: Apresentar mais noções de grafos e continuar a desenvolver a análise.

Combinatória.

Árvore geradora mínima de um grafo

A partir de um grafo conexo, uma árvore que cubra a extensão desse grafo será um

subgrafo, e essa árvore conectará todos os vértices. O mesmo grafo pode ter diferentes

árvores que cubram a sua extensão.

Nos grafos valorados, o peso de cada aresta poderá, por exemplo, representar uma

dificuldade a ser superada, como distância entre dois lugares, custo operacional para a

construção de uma estrada, etc.

O objetivo de buscar uma árvore mínima que una todos os vértices de um grafo que tenha

peso em suas arestas é calcular a soma dos pesos dessas arestas que a compõem, de

modo a minimizar a dificuldade. Uma árvore geradora mínima é uma árvore cuja extensão

tem peso menor ou igual ao das outras árvores de diferentes extensões.

De forma geral, qualquer grafo não direcionado tem a possibilidade de gerar diferentes

árvores, ou seja, guarda em si uma floresta de árvores mínimas. Em um

grafo não valorado (sem peso nas arestas), qualquer árvore de extensão é

mínima.

O grau de um vértice v é o número de vértices adjacentes a ele. Na

árvore acima o grau de a, c e e vale 1, o grau de d é 2 e o grau de b é 3. A folha de uma

árvore é um vértice v da árvore que possuir grau menor ou igual a 1. Um vértice é interior se


46

o seu grau é maior ou igual a 2. Na árvore acima os vértices a, c e e são folhas, enquanto os

vértices b e d são interiores.

Árvore mínima - Algoritmo de Krushal

Em um grafo valorado não dirigido e conexo, necessita-se determinar uma árvore geradora,

em que a soma dos valores associados às arestas seja mínima. Nesse caso, pode-se utilizar

o algoritmo de Krushal, descrito a seguir.

A árvore mínima a partir de um grafo valorado pode ser construída assim:

1. Inicie o processo com todos os n vértices do grafo e sem nenhuma aresta.

2. Introduza uma ligação de menor valor v1, depois outra de menor valor v2 entre as

restantes.

3. A cada etapa do cálculo introduzir a aresta de menor valor entre as arestas restantes,

desde que não complete um ciclo.

4. Parar quando o número k de arestas for igual a (n -1).

O grafo resultante é uma árvore e por construção e seu valor total é mínimo.


47

Exemplo:

Tome um grafo completo de seis vértices (a, b, c, d, e, f), conforme a figura acima. Construa

uma árvore de valor mínimo.

Resolução:

O processo inicia listando as arestas de acordo com seus valores crescentes.

A seguir, as arestas vão sendo incluídas em ordem crescentes, desde que não formem

ciclos. A primeira é (d, e), que vale 6. Incluída a aresta (d, e), marca-se com um x a aresta e

escreve-se o seu número de ordem (1a). A próxima aresta incluída é (a, e). O processo é

repetido até incluir cinco arestas. A aresta (a, d) não pode ser incluída, pois formaria um ciclo

(mesmo motivo de não incluir (a, f)). A árvore resultante está na figura abaixo e tem valor

total igual a 50.


48

Arestas

crescentes

Arestas

incluídas

No de

ordem

Valor

incluído

(d, e) x 1ª 6

(a, e) x 2ª 7

(e, f) x 3ª 8

(a, d) 9

(a, f) 11

(c, f) 12

(a, c) x 4ª 13

(d, f) 14

(b, f) 15

(b, c) x 5ª 16

(c, e) 17

(b, e) 18

(a, b) 22

(c, d) 22

(b, d) 24

Total: 50


49

Note que os vértices foram tirados de seus lugares para desenhar a árvore mais facilmente,

o que não invalida o processo.

1) Determine a árvore mínima para o grafo abaixo.

2) Uma companhia telefônica deseja criar uma rede interligando um conjunto de cidades a

seguir. O custo para unir duas cidades por meio de cabos é conhecido, mas essa

companhia deseja minimizar seus gastos, fazendo as ligações mais baratas possíveis sem

deixar de cobrir nenhuma das cidades. Determine qual é o conjunto de ligações que

satisfaz aos desejos da companhia.


50

3) Determine o grau de cada vértice do grafo da figura a seguir. Esse grafo é regular?

4) Abelardo, Brás, Calé, Dodinho e Eufrásio se encontraram para conversar e jogar pôquer,

sueca ou buraco. Abelardo só joga sueca, Brás só não joga buraco, Calé joga todos os

jogos, Dodinho não joga sueca e buraco. Eufrásio só joga buraco. Represente por um grafo

todas as possibilidades de um amigo jogar com os demais. Determine o conjunto de

vértices e o de arestas.

5) A figura a seguir representa as moléculas

químicas do metano (CH4) e do propano (C3H8).

Interpretando esses diagramas como grafos, os

nós são representados pelos átomos de carbono

(C) e os átomos de hidrogênio (H). Existem duas

moléculas diferentes com fórmula C4H10. Desenhe os grafos correspondentes a essas

moléculas.


51

UNIDADE 8

Objetivo: Apresentar o conceito de combinação.

Aplicações do princípio multiplicativo

1) Dispõe-se de 6 cores e se deseja pintar uma bandeira de 4 listras horizontais, cada listra

com apenas uma cor e todas as listras com cores distintas. De quantas formas isto pode

ser feito?

Resolução:

Na figura, tem-se um modelo da bandeira em questão.

Pintar a bandeira consiste em determinar uma sequência

de quatro cores distintas escolhidas entre as 6 cores

possíveis. O número de seqüências procurado é: 6 x 5 x 4

x 3 = 360.

2) Uma linha ferroviária tem 10 estações. Quantas possibilidades diferentes de bilhetes

podem ser impressos, se cada modelo deve ter a estação de partida e a de chegada?

Resolução:

Na figura, tem-se um modelo do bilhete em questão.

Cada bilhete tem dois elementos a serem preenchidos.

O primeiro elemento tem 10 possibilidades e o segundo

tem 9. Assim, são 10 x 9 = 90 possibilidades de bilhetes.

3) Uma conta corrente tem uma senha em que os dígitos são 1, 2, 3 e 0. A senha é formada

por uma sequência de dígitos distintos. Se uma pessoa tentar sacar dinheiro em um

terminal, quantas possibilidades de tentativas aleatórias ela tem?

6

5

4

3

Estação

de partida (10)

Estação

De chegada (9)


52

Resolução:

Na figura, tem-se um modelo do local onde digitar a senha.

Como são 4 dígitos para preencher 4 possibilidades, tem-se: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 senhas

possíveis.

4) Uma urna contém n bolas numeradas de 1 a n. São extraídas k (kn) bolas

sucessivamente. Qual o número de sequências de resultados possíveis se a extração for

realizada repondo cada bola após a extração?

Resolução:

Repondo cada bola após a extração, cada sorteio tem n possibilidades de resultado. Assim,

tem-se: n.n.n. ... .n, um produto com k elementos. Dessa forma, são kn possibilidades.

5) Em relação ao problema anterior, qual o total de resultados se todas as bolas forem

retiradas sem reposição?

Resolução:

Sem reposição de cada bola após a retirada, teremos sempre uma bola a menos em relação

ao sorteio anterior. Assim tem-se: n.(n-1).(n-2). ... .1 = n! possibilidades.

Combinações

Seja A um conjunto com n elementos. Uma combinação dos n elementos de A, agrupados k

a k, será um dos subconjuntos de A formados por k elementos.

Digite a sua senha

(4) (3) (2) (1)


53

Exemplo:

Um grupo de quatro alunos deseja disputar uma competição matemática, mas a escola só

tem possibilidade de enviar dois deles para competir. Quantas são as possibilidades de

escolher a dupla que representará a escola?

Resolução:

Chamando A = {a, b, c, d} o conjunto dos alunos, tem-se os subconjutos de alunos com dois

elementos listados abaixo.

{a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {b, d} {c, d}. Note que {a, b} = {b, a}, pois a ordem dos elementos não

altera o conjunto. As combinações não dependem, portanto, da ordem dos elementos

(depende apenas dos elementos que compõem o agrupamento – é o que os especialistas

chamam de variar a espécie, ou seja, os elementos em si e não variar a ordem de

apresentação dos mesmos). Importante notar que uma combinação difere de uma

sequência. A cada combinação de dois elementos, tem-se dois arranjos (sequências de dois

elementos) possíveis. O total de combinações de quatro elementos tomados de dois em dois

é metade do número de arranjos de quatro elementos tomados de dois em dois. Para

arranjos de quatro elementos tomados de dois em dois, o total é 4 x 3 = 12 arranjos. Cada

elemento do arranjo tem duas possibilidades de ser escolhido: pode ser o primeiro ou o

segundo elemento. Permutando os dois elementos escolhidos, tem-se 2 x 1 = 2 resultados.

O número de combinações de quatro elementos tomados de dois em dois é: 6

212

1234

xx

.

O total de combinações pode ser obtido do número de arranjos dividido pelo fatorial do

número de elementos. Isso pode ser generalizado para combinações de n elementos

agrupados de k em k. Representando por knC , o total de combinações de n elementos

agrupados de k em k, por knA , o total de arranjos de n elementos agrupados de k em k e por

k! (o fatorial de k), tem-se: knC , = !,

kA kn

.


54

Exemplos:

1) Serão escolhidos três membros para uma comissão interna de prevenção de acidentes

em um grupo de dez funcionários. Quantas comissões podem ser formadas?

Resolução:

Cada comissão é um subconjunto de três elementos, pois em cada comissão não importará

a ordem dos elementos. Assim, o número de comissões é uma combinação de dez

elementos agrupados de três em três, ou seja, 3,10C . O total de combinações de dez

elementos agrupados de três em três é: 3,10C = 120

6720

1238910

xxxx

possibilidades.

2) Tenho 6 bombons diferentes e desejo escolher 4. De quantas maneiras posso fazer isso?

Resolução:

Cada escolha de 4 bombons corresponde a uma combinação dos 6 elementos, tomados 4 a

4 (a ordem dos bombons escolhidos não interessa, pois se, por exemplo, temos recheios

banana, ameixa, abacaxi e castanha, será o mesmo que ter castanha, abacaxi, ameixa e

banana). Assim, escolher quatro bombons é uma combinação dos 6 elementos tomados 4 a

4. Dessa forma, o total de escolhas é:

1524

36012343456

4,6 xxxxxxC

.


55

1) De quantas maneiras diferentes posso escolher 4 cartas de um baralho de 52 cartas, de

modo que em cada escolha haja pelo menos um rei? (Observação: Um baralho é composto

de quatro naipes - copas, paus, ouros e espadas - cada naipe com 13 cartas - ás, valete,

dama, rei, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e 10).

2) Uma turma tem 14 jogadores de Futsal, dos quais três são goleiros. Entre eles está João

o único pivô. Quantos times de Futsal (5 elementos) podem ser escalados?

3) Em relação ao problema anterior, se for obrigatória a escalação de um pivô, quantos

serão os times possíveis?

4) Uma prova tem 15 questões e os alunos devem resolver apenas 10. De quantas formas

podem ser escolhidas as 10 questões?

5) Um grupo consta de 20 cientistas, 5 são Matemáticos. Quantas formas comissões de 10

elementos podem ser escolhidas modo que:

a) Nenhum elemento seja Matemático?

b) Pelo menos um dos elementos seja matemático?

6) Em um grupo tem 10 pessoas, quatro são homens. Quantas comissões de 6 pessoas

podem ser formadas com essas disponíveis, se pelo menos três delas forem homens?


56

UNIDADE 9

Objetivo: Apresentar as permutações com elementos repetidos.

Permutação com elementos repetidos

Os anagramas das letras de uma palavra são permutações dos elementos que a constituem.

Assim, ROMA e ROAM são anagramas da palavra AMOR.

O total de permutações de n elementos é representado por nP . O total de permutações de n

elementos é nP =n!

No caso da palavra AMOR, o total de anagramas seria 4P = 4 x 3 x 2x 1 = 4! = 24 anagramas.

Considere a palavra OVo e seus anagramas. Será feita a diferenciação entre o “O”

(maiúsculo) e o “o” (minúsculo). Assim os anagramas são:

OVo; OoV; VOo; VoO; oOV; oVO.

Como a leitura de Ovo e oVO não diferem entre si ( o mesmo para OoV e oOV; VOo e VoO),

tem-se apenas três anagramas. Se não ocorressem letras repetidas, seriam 3x2x1 = 6

anagramas.

Por serem letras repetidas, têm-se apenas três anagramas. No caso da repetição da letra “o”,

são duas letras. Para a escolha da primeira letra, são dois elementos. Para a escolha da

segunda, resta apenas uma. Assim, o total de escolhas das duas letras é 2x1=2=2!

Voltando à palavra ovo, o total de permutações de três elementos, sendo dois repetidos, é 3.

Se não ocorressem repetições, seriam 6. O total de permutações de três elementos, sendo

dois repetidos, é .3

26

12123

xxx


57

O total de permutações de n elementos com repetição de k elementos é representada por

knP . No caso da palavra ovo, tem-se !2

323

PP .

De uma forma gral, o total de permutações de n elementos com repetição de k elementos é

calculado com a fórmula: k

nP = !!

kn

.

Exemplos

1. Quantos são os anagramas das letras da palavra PAPA?

Resolução:

A palavra tem 4 elementos, o que daria 4 x 3 x 2 x 1 = 24 permutações. São duas letras “A” e

duas letras “P”. Assim, deve-se dividir o total de 24 permutações pelo produto 2!x2!=2x2=4.

Assim, o total de anagramas da palavra PAPA será: 6

424

121212342

4 xxxxxxP

anagramas.

2. Quantos números de 5 algarismos podem ser formados permutando os algarismos 1, 1,

4, 4 e 7?

Resolução:

Com 5 elementos são 5x4x3x2x1 = 120 permutações. Nessas permutações, o elemento 1

aparecerá duas vezes e o quatro também duas vezes. Assim, o total de 120 permutações

será dividido pelo produto 2!x2! O total de números será então: .30

4120

1212123452,2

5 xxx

xxxxP


58

1) Quantos anagramas tem a palavra:

a) AMARAL? b) PARAGUAIO? c) ENCÍCLICA? (desconsidere o acento no “I”)

2) Em um barco existem 6 bandeiras de mesmo formato e cores diferentes: 2 verdes, 2

vermelhas e 2 brancas. Dispondo todas elas ordenadamente no mastro, quantos sinais

diferentes podem ser codificados?

3) Uma moeda é lançada 10 vezes. Quantas sequências de caras e coroas existem, com 5

repetições de cada face?

4) Os vinte sinais de tráfego de uma rua têm apenas as cores verde e vermelho. Em um

determinado instante, dez estão com a cor verde e dez com a vermelha. Quantas são as

possibilidades dessa sequência de cores ocorrer?

5) São formados números de 8 algarismos com os símbolos 1, 2, 3 e 4. Em quantos deles

aparece uma só vez o algarismo 2, duas vezes o algarismo 3, três vezes o algarismo 4 e o

algarismo 1 nas posições restantes?

6) (fonte: HAZZAN, S.) Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano

ortogonal, como mostra a figura. Ele só pode dar um passo de cada vez,

para norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetórias (caminhos) existem da

origem ao ponto P(7, 5)?


59

UNIDADE 10

Objetivo: Desenvolver diferentes atividades de análise combinatória.

Exercícios resolvidos

1. (fonte: MACHADO, A. S.) Uma fábrica de bicicletas produz três modelos diferentes sendo

que para cada um os clientes podem escolher entre cinco cores e dois tipos de assentos.

Além disso, opcionalmente, pode ser acrescentado o espelho retrovisor ou o assento

traseiro ou ambos. Quantos exemplares diferentes de bicicletas podemos escolher nesta

fábrica?

Resolução:

Montar um exemplar dessas bicicletas é uma ação composta de cinco etapas sucessivas:

1) escolher o modelo (há 3 possibilidades); 2) escolher a cor (há 5 possibilidades); 3)

escolher o tipo de assento (há 2 possibilidades); 4) optar se quer ou não quer espelho (há 2

possibilidades); 5) optar se quer ou não quer assento traseiro (há 2 possibilidades).

Logo, há 3 x 5 x 2 x 2 x 2 modos de realizar a ação. Concluímos que há 120 exemplares

diferentes de bicicletas.

3. (fonte: MACHADO, A. S.) Quantos anagramas da palavra RICARDO apresentam:

a) as vogais juntas, na ordem alfabética? b) as vogais juntas, em qualquer ordem?

Resolução

a) Imaginemos o bloco [AIO] como uma única “letra”. Permutando-se as “letras” R, C, R, D

vamos obter os anagramas pedidos. Então, o número de anagramas é:

34512

1234525 xx

xxxxxP

60.


60

b) Agora devemos considerar as permutações das vogais entre si no bloco [AIO]: 3P = 3! = 6.

Para cada uma destas permutações, o número de anagramas que podemos formar é

calculado como no item anterior: 2

5P . Então, pelo princípio fundamental da contagem, o

número total de anagramas neste caso é: 3P x 2

5P = 6 x 60 = 360.

i) (MAPOFEI-SP) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos

possíveis poderá associar 6 destas substâncias se, entre as 10, duas somente não

podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?

Resolução:

Cada mistura de 6 das 10 substâncias corresponde a uma combinação das 10 substâncias

tomadas 6 a 6, uma vez que não importa a ordem das substâncias na mistura. Assim, o total

de misturas seria 6,10C se não houvesse problema com nenhuma mistura. Devemos, porém,

subtrair desse número as combinações em que entrariam as duas substâncias que, se

misturadas, provocam explosão. As combinações em que entram estas duas substâncias

são formadas por elas duas e mais quatro substâncias escolhidas entre as outras oito

substâncias (excluímos aquelas duas). O número de modos de escolher 4 substâncias em 8

é 4,8C . Concluímos que o número de misturas não explosivas que podem ser produzidas é:

6,10C - 4,8C . Temos: 6,10C =

1234565678910

xxxxxxxxxx

210 e 4,8C = 123445678

xxxxxxx

= 70. Logo, 6,10C - 4,8C

= 210 – 70 = 140.


61

1) (F G V - adaptada) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de

pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja

uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a

pessoa poderá fazer seu pedido?

2) (PUC-SP) Quer-se colorir o mapa representado na figura,

de modo que dois países vizinhos não sejam pintados com a

mesma cor. Qual o número mínimo de cores que se deve

usar?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

3) (UF-BA) Numa eleição para a diretoria de um clube concorrem 3 candidatos a diretor, 2 a

vice-diretor, 3 a primeiro secretário e 4 a tesoureiro. O número de resultados possíveis da

eleição é:

a) 4 b) 24 c) 72 d) 144 e) 12!

4) (Sta. Casa -SP) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as cidades A

e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta entre A e B,

utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem?

a) 4! X 3! b) 2 -1 x 4! X 3! c) 24 d) 12 e) 7


62

5) (CESESP-PE) Num acidente automobilístico, após ouvir várias testemunhas, concluiu-se

que o motorista culpado do acidente dirigia o veículo cuja placa era constituída de duas

vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o

dígito 2. Assinale, então, a única alternativa correspondente ao número de veículos

suspeitos.

a) 1 080 b) 10 800 c) 10 080 d) 840 e) 60 480

6) (USP) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetição, podem ser formados

com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90

7) (FATEC-SP) Quantos números, distintos entre si e menores de 30 000, têm exatamente 5

algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}?

a) 90 b) 120 c) 180 d) 240 e) 300

8) (PUC - SP - adaptada) Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições

diferentes e o encosto 5 posições, independente da posição do assento. Combinando

assento e encosto, este banco assume quantas posições?

9) O sistema telefônico de uma cidade utiliza oito dígitos para designar as diversas linhas

telefônicas. Supondo que o primeiro dígito seja sempre três (3) e que o dígito zero (0) não

seja utilizado para designar as estações (2º e 3º dígitos), quantos números de telefones

diferentes a cidade pode ter?


63

10) (CESGRANRIO-80) A figura abaixo representa uma área

de ruas de mão única. Em cada esquina em que há duas

opções de direção (vide figura) o tráfego se divide

igualmente entre elas. Se 512 carros entram na área por P,

o número dos que vão sair por Y é:

a) 128 c) 256 b) 192 d) 320 e) 384

11) (CESGRANRIO - adaptada) Em um computador digital um “bit” é um dos algarismos O

ou 1 e uma “palavra” é uma sucessão de “bits”. Qual é o número de “palavras” distintas, de

32 “bits”?

12) (fonte: MACHADO, A. S.) De uma novela participam 8 atores e 12 atrizes. Para uma

cena que será filmada na Europa, apenas 6 participantes deverão viajar, sendo 3 atores e 3

atrizes. De quantos modos podem ser escolhidos os participantes desta cena?


64

UNIDADE 11

Objetivo: Apresentar elementos de lógica que favoreçam a dedução e argumentação.

Argumento, premissas e conclusões

Um argumento é composto de proposições (afirmativa ou negativa de algo) e premissas. Ao

formular uma proposição, atribui-se um predicado a um sujeito. A estrutura do argumento

comporta dois elementos: o sujeito, que é o ser de que se afirma ou nega alguma coisa e o

predicado, aquilo que se afirma ou nega do sujeito. Silogismo é basicamente um argumento

composto de três proposições, que são duas premissas e uma conclusão.

Observe o exemplo clássico de silogismo, atribuído a Aristóteles:

Premissa 1: Todo homem é mortal.

Premissa 2: Sócrates é homem.

Conclusão: Sócrates é mortal.

A primeira proposição e a segunda são as premissas e a terceira proposição é a conclusão.

Essa é uma forma elementar de silogismo. As premissas são evidências que servem para

uma conclusão. Nem toda proposição é uma premissa, pois esta só assume tal forma

quando é elemento de um argumento.

O silogismo é uma forma de análise que decompõe os argumentos em partes. Existem

quatro tipos fundamentais de proposições sob a forma de silogismo. São elas:

I. Silogismo universal: “Todo A é B”.

II. Silogismo universal negativo: ”Nenhum A é B”.

III. Silogismo particular: “Algum A é B”.


65

IV. Silogismo particular negativo: ”Alguns A não são B”.

Inferência

Inferência é um processo por meio do qual se conclui algo por meio da elaboração de um

raciocínio. Inferir é chegar a uma resposta fundamentada em juízos anteriormente

estabelecidos. Raciocinar em lógica é operar com o pensamento a partir de duas ou mais

relações conhecidas, inferindo uma outra relação, decorrente de maneira lógica.

Exemplo

Proposição 1: Todo metal é bom condutor térmico.

Proposição 2: O alumínio é um metal.

Conclusão: O alumínio é um bom condutor térmico.

Os juízos acima são ligados de maneira lógica e formam um raciocínio. Da ligação das duas

primeiras premissas é inferida a conclusão. Um argumento não é apenas uma sequência de

proposições. A finalidade de formular um raciocínio é obter um resultado partindo do que é

conhecido.

Somente as proposições podem ser qualificadas em verdadeiras ou falsas. Uma proposição

é verdadeira ou falsa. Um argumento é classificado em válido ou não válido. Um argumento

não será qualificado em verdadeiro ou falso. Argumentos podem ser válidos com premissas

verdadeiras, como por exemplo:

Premissa 1: todo número natural é par ou ímpar.

Premissa 2: 123 é ímpar.

Conclusão: 123 não é par.


66

Argumentos podem ser válidos com premissas falsas, como por exemplo:

Premissa 1: todo número natural é par ou ímpar.

Premissa 2: 123 é par.

Conclusão: 123 não é ímpar.

Também existem argumentos que parecem válidos e na verdade não são válidos, como por

exemplo:

Premissa 1: Todo homem é bom cozinheiro.

Premissa 2: O professor de Física é homem.

Conclusão: O professor de Física é bom cozinheiro.

O argumento inicialmente parece inválido. Entretanto, ocorre o contrário. Embora a primeira

proposição “Todo homem é bom cozinheiro” seja falsa, a sequência de raciocínio é

formalmente lógica.

Sofisma

Sofisma é o enunciado falso, mas de aparência verdadeira. O que determina o sofisma

geralmente é relacionado à forma lógica do enunciado. Pode-se construir um sofisma a partir

de premissas válidas e mau uso das regras de inferência lógica. Também se pode construir

um sofisma a partir da falsidade das premissas. A seguir são apresentados exemplos de

sofismas (Fonte: MACHADO, N. J.):

Premissa 1: Nenhum garimpeiro é atleta.

Premissa 2: Todos os atletas são saudáveis.

Conclusão: Nenhum garimpeiro é saudável.

Premissa 1: Todos os tubarões são antropófagos.

Premissa 2: Existem índios que são antropófagos.

Conclusão: Existem índios que são tubarões.


67

Verifique se os argumentos são válidos ou sofismas.

a) Todos os brasileiros são sul-americanos. b) Todos os brasileiros são sul-americanos.

Pelé é brasileiro. Maradona não é brasileiro.

Logo: Pelé é sul-americano. Logo: Maradona não é sul-americano.

c) Nenhum indiano é sul-americano. d) Alguns triângulos são retângulos.

Nenhum sul-americano é africano. Alguns retângulos são quadrados

Logo: nenhum indiano é africano. Logo: alguns triângulos são quadrados.

Antes de dar continuidades aos seus estudos é fundamental que você acesse sua

SALA DE AULA e faça a Atividade 1 no “link” ATIVIDADES.


68

UNIDADE 12

Objetivo: Introduzir os conceitos iniciais de probabilidades.

Os primeiros passos dos estudos de probabilidades não são nada nobres. Esse campo de

estudos matemáticos iniciou com a verificação das possibilidades de ganhar em jogos de

azar. Abraham De Moivre é uma importante figura para a Teoria das Probabilidades,

desenvolvendo processos de resolução de problemas nessa área.

Atualmente a probabilidade tem aplicações além do estudo das possibilidades de vencer em

jogos de azar, tendo aplicações, inclusive, em estudos estatísticos e na Genética, por

exemplo.

Os primeiros elementos da teoria das probabilidades são apresentados nesta unidade.

Experimento aleatório

Chama-se experimento aleatório aquele que, repetido em idênticas condições, produz

resultados diferentes. Embora se saiba os possíveis resultados, o que irá ocorrer em cada

experimento particular não pode ser previsto.

Exemplos:

1) Lançar uma moeda e observar a face de cima.

2) Lançar uma dado e observar o número da face de cima.

3) Em uma urna contendo bolas de cores diferentes, sortear uma delas e observar a cor.

4) Lançar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras ou de coroas obtidas.

5) Em um lote de HDs, sortear e testar um deles para buscar os elementos defeituosos.


69

Espaço amostral de um experimento aleatório

Em geral é possível determinar o conjunto de todos os possíveis resultados de um

experimento aleatório, ou, pelo menos, o total de possibilidades. Chama-se espaço amostral

de um experimento aleatório (indicado por ) o conjunto formado por todos os possíveis

resultados de um experimento aleatório.

Exemplos:

1) Lançar uma moeda e observar a face de cima, onde K representa cara e C representa

coroa: = {K, C}.

2) Lançar um dado comum e observar o número da face de cima: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

3) Em uma urna contendo uma bola para cada cor: verde, amarela, branca e grená, sortear

uma delas e observar a cor. Simbolizando cada cor pela letra inicial da sua palavra: = {v, a,

b, g}.

4) Lançar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras ou de coroas obtidas:

={KK, KC, CK, CC}.

5) Em um lote de HDs, sendo alguns em perfeito estado de funcionamento e outros não,

sortear e testar um deles para buscar os elementos defeituosos. Representando por P os

perfeitos e D os defeituosos: = {P, D}.

Evento

Considerado um experimento aleatório, cujo espaço amostral é , será chamado de evento

todo subconjunto de . Em geral um evento é indicado por uma letra maiúscula do alfabeto:

A, B, C, ... Um evento A ocorre se, ao realizar o experimento, o resultado obtido pertencer a

A.


70

Exemplos:

1) Experimento - Lançar um dado e observar o número da face de cima. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Evento A - Obtenção de número par: A = {2, 4, 6}

Evento B - Obtenção de número ímpar: B = {1, 3, 5}.

Evento C - Obtenção de número primo: C = {2, 3, 5}.

Evento D - Obtenção de número maior que zero: C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - Evento certo.

Evento D - Obtenção de número menor que zero: D = { } = Ø - Eventos impossível.

Observações:

1) Os eventos que possuem um único elemento são chamados eventos elementares.

2) Os eventos que não possuem qualquer elemento são chamados eventos impossíveis.

3) Os eventos que possuem os mesmos elementos do espaço amostral são chamados

eventos certos.

4) Quando os eventos sobre um espaço amostral têm todos eles a mesma possibilidade de

ocorrência, diz-se que eles são equiprováveis.

Exemplos:

1) Ao lançar uma moeda, se a mesma não for desequilibrada, os eventos K (cara) e C

(coroa) têm a mesma possibilidade de ocorrer.

2) Ao lançar um dado, se o mesmo não for desequilibrado, os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 têm a

mesma possibilidade de ocorrer.


71

3) Na urna contendo bolas de cores diferentes, se elas variarem apenas pela cor, todas têm

a mesma possibilidade de ocorrer.

4) Ao lançar uma moeda duas vezes, se a mesma não for desequilibrada, K (cara) e C

(coroa) têm a mesma possibilidade de ocorrer.

5) No lote de HDs, se eles diferirem apenas pelo fato de serem ou não defeituosos, todos

têm a mesma possibilidade de ocorrer.

1) Determine o espaço amostral de cada experimento aleatório a seguir.

a) Escrevem-se todas as letras da palavra AMOSTRA em pedaços de papel de mesmas

dimensões e uma delas será sorteada.

b) Em uma urna colocam-se bolas que diferem apenas pela cor: vermelhas (V), brancas e

azuis (A). Uma bola será sorteada e sua cor observada.

c) Em uma urna colocam-se bolas 100 bolas numeradas de 1 a 100 que diferem apenas

pelo número estampado. Uma bola será sorteada e seu número observado.

d) De um baralho de 52 cartas, que diferem apenas pelo elemento estampado, uma delas

será sorteada e a estampa será observada.

e) Em uma urna serão colocadas bolas que diferem apenas pela cor: 10 bolas vermelhas (V)

e 4 brancas. Duas bolas são extraídas, sem reposição e suas cores serão observadas na

sequência de extração.

f) Três pessoas A, B, C serão colocadas em uma fila e serão observadas as possíveis

disposições das mesmas.

g) Um casal planeja ter 3 filhos e serão observadas as possíveis sequências de sexos dos


72

nascimentos.

h) Um dado e uma moeda, ambos equilibrados serão lançados. Serão observadas as

possíveis sequências formadas por um número do dado e uma face da moeda.

i) Um dado verde e um dado vermelho, ambos equilibrados, serão lançados. Serão

observados os números das faces de cima.

j) Seis alunos de uma turma: Alberto, Bruna, Carlos, Daniela, Eduardo e Fernanda. Dois

deles serão escolhidos para compor uma dupla de representantes da turma e todos têm a

mesma chance de serem escolhidos.

2) Determine o conjunto evento de cada experimento sobre o espaço amostral de cada

experimento aleatório a seguir.

a) Uma moeda equilibrada será lançada 2 vezes, a sequência de caras e coroas será

observada. Dessas sequências interessam aquelas em que ocorre cara (K) no 1º

lançamento.

b) A mesma moeda do item anterior será lançada 3 vezes, a sequência de caras e coroas

será observada. Dessas sequências interessam aquelas em que ocorre exatamente uma

coroa.

c) Três pessoas A, B, C serão colocadas em uma fila e serão observadas as possíveis

disposições das mesmas. Dessas sequências interessam aquelas em que A e C ocorrem

nas extremidades da fila.

d) Seis alunos de uma turma: Alberto, Bruna, Carlos, Daniela, Eduardo e Fernanda. Dois

deles serão escolhidos para compor uma dupla de representantes da turma e todos têm a

mesma chance de serem escolhidos. Dessas duplas interessam aquelas em que Daniela é

sempre uma das pessoas escolhidas.


73

UNIDADE 13

Objetivo: Introduzir o cálculo das probabilidades.

Probabilidade de um evento em um espaço amostral equiprovável

Em um espaço amostral equiprovável, a probabilidade de ocorrer um evento A é calculada

pela razão: p(A) = )()(

nAn

, onde n(A) representa o total de elementos do evento e n( )

representa o total de elementos do espaço amostral.

Exemplos:

1) Um dado equilibrado é lançado e o número observado na face de cima é observado.

Determine as probabilidades dos eventos a seguir.

a) A: ocorrência de número ímpar. b) B: ocorrência de número primo.

c) C: ocorrência de número maior que 4. d) D: ocorrência de número maior que 7.

e) E: ocorrência de número menor ou igual a 7.

Resolução:

O espaço amostral do experimento aleatório é = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. n( ) = 6.

a) O evento A é: {1, 3, 5}. Logo, n(A) = 3. Assim: p(A) = )()(

nAn

= 21

63

ou 0,50 ou 50%.

b) O evento B é: {2, 3, 5}. Logo, n(B) = 3. Assim: p(B) = )()(

nBn

= 21

63

ou 0,50 ou 50%.


74

c) O evento C é: {5, 6}. Logo, n(C) = 2. Assim: p(C) = )()(

nCn

= 31

62

ou 0,33 ou 33%.

d) O evento D é: { }. Logo, n(D) = 0. Assim: p(D) = )()(

nCn

=0

60

(o evento é impossível).

e) O evento E é: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = . Logo, n(E) = 6. Assim: p(E) = )()(

nEn

=1

66

ou 100% (o

evento é certo).

2) Uma moeda equilibrada é lançada 2 vezes, e observa-se a sequência de resultados.

Determine as probabilidades dos eventos a seguir.

a) A: ocorrência de cara no 1º lançamento. b) B: ocorrência de exatamente uma coroa.

c) C: ocorrência de pelo menos duas caras.

Resolução:

O espaço amostral do experimento aleatório é = {KK, KC, CK, CC}. n( ) = 4.

a) O evento A é: = {KK, KC}. Logo, n(A) = 2. Assim: p(A) = )()(

nAn

= 21

42

ou 0,50 ou 50%.

b) O evento B é: = {CK, KC}. Logo, n(B) = 2. Assim: p(A) = )()(

nAn

= 21

42

ou 0,50 ou 50%.

c) O evento C é: = {KK}. Logo, n(C) = 1. Assim: p(C) = )()(

nAn

= 41

ou 0,25 ou 25%.


75

3) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de ser carta

de copas?

Resolução:

Tem-se 52 cartas: n( ) = 52 e são 13 cartas de copas no baralho n(A) =13. Assim, a

probabilidade do evento A é; p(A) = )()(

nAn

= 41

5213

ou 0,25 ou 25%.

4) Dois dados são lançados e observados os números das suas faces. Qual a probabilidade

dos números obtidos somarem 7?

Resolução:

O número de elementos do espaço amostral é n( ) = 6 x 6 = 36 (princípio multiplicativo).

Dos resultados possíveis, os pares ordenados de elementos somando 7 são: (1, 6), (6, 1), (2,

5), (5, 2), (3, 4) e (4, 3), n(A) = 6. Assim, a probabilidade do evento A é:

p(A) = )()(

nAn

= 61

366

.

Observações:

1) Como o número de elementos do conjunto evento é um número no mínimo igual a zero

(número de elementos do evento impossível) e no máximo igual ao total de elementos do

espaço amostral (evento certo), a probabilidade de um evento A é um número que pode

variar apenas no intervalo de zero até um, ou seja: 0 p(A) 1


76

2) O resultado de uma probabilidade também pode ser expresso na forma de número

decimal (basta dividir o numerador pelo denominador) ou na forma de porcentagem (basta

tomar as duas primeiras casas decimais do resultado da divisão o numerador pelo

denominador). Dessa forma, o resultado do exemplo 1, 41

5213

, pode ser escrito na forma de

número decimal e na forma de porcentagem, pois 1:4 = 0,25, que pode ser escrito 25%. O

resultado do exemplo 2, .61

366

, pode ser escrito na forma de número decimal e na forma de

porcentagem, pois 1:6 = 0,166 ..., que arredondado dá aproximadamente 0,17, que pode ser

escrito 17%.

1) Um número é escolhido ao acaso entre os 200 inteiros de 1 a 200. Qual a probabilidade

do número ser:

a) múltiplo de 9? b) múltiplo de 4 e de 5?

2) Uma urna tem 6 bolas verdes, 4 amarelas e 10 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso da

urna. Qual a probabilidade da bola escolhida ser:

a) verde? b) amarela? c) azul?

3) Em relação ao problema anterior, determine a probabilidade da bola sorteada não ser:

a) verde. b) amarela nem azul. c) verde nem amarela.


77

4) Numa cidade, 50% dos homens são casados, 25% são solteiros, 15% são desquitados e

10% são viúvos. Um homem é escolhido ao acaso.

a) Qual a probabilidade dele ser solteiro? b) Qual a probabilidade dele não ser casado?

5) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30, que diferem apenas pelo número

estampado. Uma bolinha é escolhida e o seu número é observado. Determine as

probabilidades dos eventos a seguir.

a) A: o número obtido é par. b) B: o número obtido é ímpar. c) C: o número obtido é

primo. d) D: o número obtido é maior que 26. e) E: o número obtido não é múltiplo de 7.

6) Um dado verde e um branco são lançados. O espaço amostral desse experimento é um

conjunto de pares ordenados (v, b) onde v representa o número no dado verde e b

representa o número no dado branco. Determine as probabilidades dos eventos a seguir.

a) A: ocorrer 5 no dado verde. b) B: ocorrem números diferentes nos dois dados.

c) C: ocorre número 2 em ao menos um dado. e) E: saem números cuja soma é maior que 8.

7) De um baralho de 52 cartas, em que todas diferem entre si apenas pelo elemento

estampado, uma delas será retirada. Determine as probabilidades dos eventos a seguir.

a) A: a carta é de copas. b) B: a carta é rei. c) C: a carta é rei de copas.

d) D: a carta é de número. e) E: a carta é de número ímpar.

8) Em uma urna existem 6 bolinhas numeradas de 1 a 6, em que todas diferem entre si

apenas pelo elemento estampado. Três delas serão extraídas uma a uma sem reposição da


78

bola retirada. Determine as probabilidades dos eventos a seguir.

a) A: as bolas retiradas são números pares em ordem crescente.

b) B: as bolas retiradas são números ímpares em ordem decrescente.

c) C: as bolas retiradas são números primos em ordem crescente.


79

UNIDADE 14

Objetivo: Apresentar as operações entre conjuntos.

Operações sobre Conjuntos

1) União entre conjuntos

Se A e B são conjuntos, a união de A e B (representada por AB), é

o conjunto no qual estão os elementos de A ou de B ou de ambos.

Simbolicamente: AB = {x / xA xB}.

Do ponto de vista da lógica, a disjunção “ou” indica as três possibilidades. Se xA, xAB;

se xB, x AB; Se xA e xB, x AB. A pintura no diagrama acima indica as três

possibilidades.

Exemplo:

A = {0, 1, 3, 5, 7} e B = {-4, -1, 0, 1, 3, 8} AB = {0, 1, 3, 5, 7, -4, -1, 8}

Observação:

Não é necessário repetir os elementos que estão em A e B ao mesmo tempo.

2) Interseção entre conjuntos

Se A e B são conjuntos, a interseção de A e B (representada por

AB), é o conjunto no qual estão os elementos que pertencem

simultaneamente aos conjuntos A e B.

Simbolicamente: AB = {x / xA xB}.


80

Do ponto de vista da lógica, a conjunção “e” indica apenas uma possibilidade: o elemento da

interseção pertence simultaneamente aos dois conjuntos. Se, xAB, xA e ao mesmo

tempo xB. A pintura no diagrama anterior indica a única possibilidade.

Exemplo:

A = {0, 1, 3, 5, 7} e B = {-4, -1, 0, 1, 3, 8} AB = {0, 1, 3}

3) Diferença entre conjuntos

Se A e B são conjuntos, a diferença entre A e B (representada por A -

B), é o conjunto no qual estão os elementos que pertencem apenas ao

conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

Simbolicamente: A - B = {x / xA xB}.

Se, x(A – B), xA e xB. A pintura no diagrama ao lado indica A - B.

Exemplo:

A = {0, 1, 3, 5, 7} e B = {-4, -1, 0, 1, 3, 8} A - B = {5,7}

Observação:

Não confundir A – B com B – A, pois são conjuntos diferentes. No exemplo acima:

B - A = {-4, -1, 8}.

4) Conjunto Complementar

Se A e B são conjuntos tais que AB, o conjunto complementar de A

em relação a B é formado pelos elementos de B que faltam para igualar

os conjuntos A e B.


81

Simbolicamente CAB = B – A.

A pintura no diagrama anterior indica CAB = B – A.

Exemplo:

A = {1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4} = B – A = {-1, 0, 4} CAB = B – A.

Aplicação:

Em uma cidade foi feita uma pesquisa de preferência entre dois times de futebol: Arranca

Toco Futebol Clube e Associação Futebolística Toco Arrancado. Foram entrevistados 20.000

habitantes. Foi constatado que 2.400 pessoas não simpatizam por qualquer dos times, 2.600

pessoas simpatizam pelos dois times e 9.000 simpatizam pelo Arranca Toco. Pergunta-se

quantas pessoas simpatizam:

a) Apenas pelo Arranca Toco?

b) Apenas pelo Toco Arrancado?

Resolução:

Sejam: A - simpatizantes do Arranca Toco; B -

simpatizantes do Toco Arrancado. Observe o diagrama.

Primeiramente podem-se localizar os que não

simpatizam por qualquer time e os que simpatizam pelos

dois. Logo, dos 20.000 entrevistados, restam 17.600 que

simpatizam por algum time (ver diagrama ao lado).


82

Desses 17.600, temos 2.600 que simpatizam pelos dois. Assim, têm-se 15.000 que

simpatizam exclusivamente pelo Toco Arrancado ou pelo Arranca Toco. Como são 9.000 os

simpatizantes pelo Arranca Toco (incluindo os 2.600 que simpatizam pelos dois), têm-se

6.400 que simpatizam exclusivamente pelo Arranca Toco. Localizados os 9.000 que

simpatizam pelo Arranca Toco, o cálculo que determina os que simpatizam exclusivamente

pelo Toco Arrancado é: 20.000 – 2.400 – 2.600 – 6.400 = 8600. Logo, são 8.600

entrevistados que simpatizam exclusivamente pelo Toco Arrancado, conforme o diagrama

abaixo:

As repostas são:

a) 6.400 simpatizam exclusivamente pelo Arranca Toco.

b) 8.600 simpatizam exclusivamente pelo Toco Arrancado.

1) Em um grupo de 400 pessoas, 320 têm fator RH positivo, 200 têm sangue tipo O e 160

têm fator RH positivo e sangue tipo O. Uma dessas pessoas foi selecionada ao acaso para

uma pesquisa médica. Determine o total de elementos em cada caso.

a) Ela tem sangue fator RH negativo.

b) Ela não tem sangue de tipo O.

c) Ela tem sangue com fator RH positivo ou de tipo O.

d) Ela tem sangue com fator RH negativo e de tipo O.

2) Em um grupo de 1500 universitários, 240 estudam Engenharia, 450 estudam Economia e

30 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno foi escolhido ao acaso para uma pesquisa

de opinião pública, determine os totais de elementos em cada caso.


83

a) Ele estuda Economia ou Engenharia.

b) Ele estude somente Engenharia.

c) Ele estuda somente Economia.

d) Ele não estuda Engenharia, nem Economia.

3) Em uma prova com dois problemas, sabe-se que:

- 600 alunos acertaram somente um dos problemas.

- 520 alunos acertaram o segundo problema.

- 200 alunos acertaram os dois problemas.

- 420 alunos erraram o primeiro problema.

Pergunta-se: quantos alunos fizeram a prova?

4) Num grupo de 297 esportistas, sabe-se que 120 jogam vôlei, 60 jogam vôlei e basquete,

66 jogam basquete e futebol, 54 jogam vôlei e futebol e 33 jogam as três modalidades. O

número de pessoas que jogam basquete é igual ao número de pessoas que jogam futebol e

seis pessoas jogam apenas futebol.

Perguntam-se quantos jogam:

a) Futebol e não jogam vôlei? b) Basquete ou futebol e não jogam vôlei?

c) Vôlei e não jogam basquete?


84

UNIDADE 15

Objetivo: Apresentar problemas de probabilidade associados às operações entre

Conjuntos.

Eventos combinados

Dois ou mais eventos podem ter suas probabilidades combinadas mediante utilização de

operações entre conjuntos: União, interseção ou diferença.

União de Eventos

Se A e B são eventos; então A U B também será um evento, que ocorre se A ou B ou ambos

ocorrem. Diz-se que A U B é a união dos eventos A e B.

Interseção de Eventos

Se A e B são eventos; então AB também será um evento, que ocorre se A e B

ocorrem simultaneamente. Diz-se que AB é a interseção dos eventos A e B.

Exemplo:

Um dado é lançado e observado o número da face de cima 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

Sejam os eventos:

A: ocorrência de número par: A = {2, 4, 6}.

B: ocorrência de número maior ou igual a 3: B = {3, 4, 5, 6}.

A U B: ocorrência de número par ou número maior ou igual a 3: A U B = {2, 3, 4, 5, 6}.

AB: ocorrência de número par e número maior ou igual a 3: AB = {4, 6}.


85

p(AB) = 65

e p(AB) = .

62

Observe que:

p(A)= 63

, p(B)= 64

e p(AB) = .

62

É necessário extremo cuidado ao calcular p(AB), pois não basta fazer p(A) + p(B), pois

caso isso fosse feito, o total seria:

p(A) + p(B) = 67

64

63

,

o que é impossível, pois uma probabilidade varia de zero até um.

A resolução correta deve levar em consideração o fato da interseção não ser vazia, pois

p(AB) = .

62

A partir disso, é evidente que:

p(AB) = p(A) + p(B) - p(AB).

A resolução correta desse problema seria: p(AB) = 62

64

63

= 65

627

6243

.

Eventos Complementares e eventos mutuamente exclusivos

Se A é um evento, o complementar de A ( A ) também será um evento, mas que ocorrerá se,

e somente se, A não ocorrer.


86

Exemplo:

Utilizando ainda o exemplo das situações anteriores, tem-se

A U B = {2, 3, 4, 5, 6}

C: ocorrência de um número ímpar menor ou igual a 2. C = {1}.

Note que A U B=C , pois C (AB)= ={1, 2, 3, 4, 5, 6} . Assim: p(A U B)= 65

e p(C )= 61

.

Dessa forma: p(A U B) =1 - p(C ).

Aplicação:

Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Considere o evento:

A: ocorrência de número ímpar. A = {1, 3, 5}.

p(A)= .

21

63

O evento complementar de A (ocorrência de número par) é: p(

A ) = .

21

212

211

Observação:

1) Se os eventos A e B são tais que AB = , eles são ditos complementares.

2) Se os eventos A e B são tais que AB = e AB= Ø, eles são ditos mutuamente

exclusivos (a ocorrência de um leva à não ocorrência do outro).


87

Exemplo:

Ainda no exemplo do dado:

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

A = {1, 3, 5} - ocorrência de número ímpar.

B = {2, 4, 6} - ocorrência de número par.

C = {1, 2, 3, 5} - ocorrência de número ímpar ou primo.

B e C são complementares, enquanto A e B são mutuamente exclusivos.

1) Um dado é lançado e observado o número da face de cima. Determine a probabilidade de

cada evento.

a) Ocorre número par. b) Ocorre número maior ou igual a 3.

c) Ocorre número par ou maior que 3. d) Ocorre número par e maior que 3.

2) Um dado é lançado e observado o número da face de cima. Determine a probabilidade de

cada evento.

a) Ocorre número ímpar. b) Ocorre número maior ou igual a 3.

c) Ocorre par. d) Ocorre menor que 3.

3) Uma urna tem 100 bolas numeradas de com os números naturais de 1 a 100. Calcule a

probabilidade de sortear um número:

a) Múltiplo de 3. b) Múltiplo de 4. c) Múltiplo de 3 ou de 4. d) Múltiplo de 3 e de 4.


88

4) Uma urna tem 100 bolas numeradas de com os números naturais de 1 a100. Calcule a

probabilidade de sortear um número:

a) Múltiplo de 5. b) Não múltiplo de 5. c) Múltiplo de 3 ou 4. d) Não múltiplo de 3 nem 4.

5) Em uma urna são colocadas 30 bolas numeradas de 1 a 30, que diferem apenas em

relação ao número estampado. Uma bola é sorteada ao acaso e o número é observado.

Determine a probabilidade de cada evento.

a) Obter número ímpar. b) Obter primo. c) Obter número ímpar e menor que 16.

d) Obter número par ou maior que 17.

6) Em uma urna são colocadas 30 bolas numeradas de 1 a 30, que diferem apenas em

relação ao número estampado. Uma bola é sorteada ao acaso e o número é observado.

Determine a probabilidade de cada evento.

a) Obter número ímpar. b) Obter par. c) Obter número ímpar e menor que 14.

d) Não obter número par nem maior que 14.

7) Dois dados são lançados. Determine a probabilidade de cada evento.

a) Ocorre número 3 no primeiro dado. b) Ocorrem números iguais nos dois dados.

c) Ocorre número 2 em ao menos um dado. d) Ocorrem números cuja soma vale 7.

8) Uma moeda e um dado são lançados. Determine a probabilidade de cada evento.

a) Ocorrência de cara. b) Ocorrência de número par. c) Ocorrência de número 5. d) AUB.


89

9) Uma moeda e um dado são lançados. Determine a probabilidade de cada evento.

a) Ocorrência de coroa. b) Ocorrência de número par.

c) Ocorrência de coroa e número par. d) ________

BA .

10) Em uma urna estão 9 bolas brancas e 6 vermelhas. Uma bola é retirada, sua cor

registrada, recolocada na urna e em seguida uma segunda bola é sorteada. Calcule a

probabilidade de a primeira bola ser:

a) branca. b) vermelha. c) branca seguida de vermelha. d) vermelha seguida de

branca.


90

UNIDADE 16

Objetivo: Apresentar problemas de probabilidade de eventos limitados a determinadas.

Condições .

Probabilidade Condicional

Em um espaço amostral , considere dois eventos A e B. O símbolo P(A│B) indicará a

probabilidade de ocorrer o evento A, dado que o evento B ocorreu. P(A│B) é a probabilidade

condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido. Quando se calcula P(A│B) tudo

ocorre com B na qualidade de novo espaço amostral, reduzindo o número de possibilidades

de ocorrência de um evento.

Exemplos:

1) Considere o lançamento de um dado e a observação da face de cima. ={1, 2, 3,4,5, 6}.

Sejam os eventos:

A: ocorre número ímpar. A = {1, 3, 5}.

B: ocorre número maior ou igual a 2. B = {2, 3, 4, 5, 6}.

P(A│B) é a probabilidade de ocorrer número ímpar, dado que ocorreu número maior ou igual

a 2. Assim, o novo espaço amostral é {2, 3, 4, 5, 6} e o conjunto evento é {3, 5}. Assim, a

probabilidade de ocorrer número ímpar, dado que ocorreu número maior ou igual a 2 é

P(A│B) = 52

ou 0,40 ou 40%.


91

2) Em uma cidade, 800 pessoas foram classificadas, segundo sexo e estado civil, de acordo

com a tabela.

Solteiro Casado Divorciado Viúvo Total

Masculino 100 120 80 60 360

Feminino 300 80 20 40 440

Total 400 200 100 100 800

Uma pessoa é sorteada ao acaso. Considere os seguintes eventos:

S: a pessoa é solteira.

M: a pessoa é do sexo masculino.

P(S│M) significa a probabilidade de a pessoa ser solteira, dado que é do sexo masculino.

P(S│F) significa a probabilidade de a pessoa ser solteira, dado que é do sexo feminino.

Determinar P(S│M) e P(S│F).

Resolução:

No caso de P(S│M) o espaço amostral tem os elementos do sexo masculino, que são 360.

Desses, 100 são solteiros. A probabilidade P(S│M) é: P(S│M) = 185

360100

= 0,28 ou 28%.

No caso de P(S│F) o espaço amostral tem os elementos do sexo feminino, que são 440.

Desses, 300 são solteiras. A probabilidade P(S│F) é: P(S│F) = 2215

440300

ou 0,68 ou 68%.


92

Produto de Probabilidades

Também conhecido como teorema da multiplicação de probabilidades, é uma consequência

da definição de probabilidade condicional. Ela se refere à ocorrência simultânea de dois

eventos. A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos é o produto da

probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado o primeiro.

Exemplo:

Um lote de peças de automóvel tem 100 peças sendo 20 defeituosas. Uma peça é sorteada

ao acaso e, sem reposição da primeira, outra peça é escolhida ao acaso. Determine a

probabilidade de ambas serem defeituosas.

Resolução:

A probabilidade de a primeira ser defeituosa em um espaço amostral de 100 peças é:

51

10020

ou 0,20 ou 20%. Como a primeira não é reposta, o espaço amostral passa a ter 99

peças. A probabilidade de a segunda ser defeituosa em um espaço amostral de 99 peças é:

9919

ou 0,19 ou 19%. A probabilidade de a primeira e a segunda serem defeituosas forma uma

sequência e nesse caso pode ser aplicado o princípio multiplicativo. Assim, a probabilidade

pedida será: 49519

9919

51

xou 0,038 ou 3,8%.


93

1) Em dois lançamentos sucessivos de uma moeda sabe-se que pelo menos numa das

vezes deu cara. Qual a probabilidade de ter dado cara ambas às vezes?

2) Uma comissão de 3 pessoas será formada para representar uma turma. Será feita a

escolha ao acaso e a partir dos seguintes candidatos: Antônio, Beatriz, Caio, Daniela,

Eduardo e Fabrícia. Sabe-se Eduardo não está na comissão. Determine a probabilidade em

cada caso.

a) Beatriz pertence à comissão.

b) Caio e Fabrícia pertencem à comissão.

d) Dois elementos do sexo masculino pertencem à comissão.

e) Antônio não pertence à comissão.

3) No lançamento de um dado comum de seis faces sabe-se que o resultado foi um número

de pontos maior que 4. Qual a probabilidade de um número de pontos ser par?

4) Um dado é lançado e o resultado registrado.

a) Se o resultado obtido for par, qual a probabilidade dele ser maior ou igual a 5?

b) Se o resultado obtido for maior ou igual a 5, qual a probabilidade dele ser ímpar?

c) Se o resultado obtido for ímpar, qual a probabilidade dele ser menor que 4?

d) Se o resultado obtido for menor que 2, qual a probabilidade dele ser par?


94

5) Um número é sorteado ao acaso entre os 100 naturais de 1 a 100.

a) Qual a probabilidade do número ser par, dado que ele é menor que 50?

b) Qual a probabilidade do número ser divisível por 5, dado que é par?

c) Qual a probabilidade do número ser divisível por 5, dado que é ímpar?

d) Qual a probabilidade do número ser menor que 50, dado que é par?

6) Um dado tetraédrico (quatro faces triangulares regulares) tem as suas quatro faces

triangulares numeradas de 1 a 4. Dois dados tetraédricos (um branco e um azul) são

lançados sobre uma mesa plana e os números das faces que ficam apoiadas sobre a mesa

são anotadas. Sabe-se que e a soma dos pontos obtidos foi maior que 6. Determine as

probabilidades a seguir.

a) A probabilidade do número observado no dado branco ter sido o 4.

b) A probabilidade do número observado no dado azul ter sido o 3.

c) A probabilidade dos números observados nas duas faces serem iguais.

d) A probabilidade dos números observados nas duas faces serem diferentes.

7) Um dado comum de seis faces é lançado duas vezes seguidas.

a) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser 7, se a 1ª face observada foi o 3?

b) Qual a probabilidade do 1º resultado apresentar face 4, se a soma dos pontos foi 8?

c) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser menor que 8, sabendo que em ao menos

um dos resultados foi o 3?

d) Qual a probabilidade do maior número observado ser o 3, se a soma dos pontos foi maior


95

ou igual a 8?

8) De um baralho de 52 cartas, extrai-se uma delas e observa-se que seu número está entre

2 e 9.

a) Qual a probabilidade de que o número da carta seja 6?

b) Qual a probabilidade de que o número da carta seja 6 de copas, dado que ele é

vermelho?

9) Considere uma urna em que há três bolas amarelas, numeradas de 1 a 3, e seis bolas

vermelhas numeradas de 1 a 6. Uma bola é extraída ao acaso.

a) Se a bola extraída for amarela, qual a probabilidade de ter um número ímpar?

b) Se for sorteado um número ímpar, qual a probabilidade da bola ser amarela?

c) Se for sorteado um número par, qual a probabilidade da bola ser vermelha?

d) Se for sorteado uma bola vermelha, qual a probabilidade de ter um número par?


96

UNIDADE 17

Objetivo: Apresentar problemas de probabilidade de eventos independentes.

Eventos dependentes

O reconhecimento da dependência entre dois eventos pode ser percebida a partir do

momento que a informação sobre a ocorrência de um deles não alterar a probabilidade de

ocorrência do outro.

Exemplo:

Uma moeda é lançada 3 vezes. O evento A representa a ocorrência de pelo menos duas

caras. O evento B representa a ocorrência de resultados iguais nos três lançamentos. Tem-

se:

= {(K, K, K), (K, K, C), (K, C, K), (K, C, C), (C, K, K), (C, K, C), (C, C, K), (C, C, C)}.

A = {(K, K, K), (K, K, C), (K, C, K), (C, K, K)}.

B = {(K, K, K), (C, C, C)}.

Os eventos são independentes, já que a ocorrência de pelo menos duas caras não interfere

na ocorrência de resultados iguais nos três lançamentos. Calculando as probabilidades, tem-

se:

p(A) = 21

84

e p(B) = 21

42

. Também tem-se que p(AB) = 41

.

No caso, AB = {(K, K, K)}, ou seja, obter três caras e ocorrem pelo menos duas caras. A

probabilidade de ocorrer B, dado que A ocorreu é 41

.


97

Observação:

Se A e B são eventos independentes, p(AB) = p(A).p(B).

Aplicações:

1) Em dois lançamentos de um dado considere os eventos: A - o resultado do 1º lançamento

é par; B - o resultado do 2º lançamento é ímpar. Qual a probabilidade de obter número par

no primeiro e número ímpar no segundo lançamento?

Resolução:

Os eventos A e B são independentes, pois a ocorrência de A não altera a probabilidade de

ocorrer B. Assim, tem-se:

p(AB) = p(A).p(B) = 4/8 = 1/2.

2) Lançando sucessivamente um dado até a obtenção do número 3, qual a probabilidade de

serem necessários três lançamentos?

Resolução:

Para serem necessários três lançamentos, a 1ª e a 2ª tentativa não devem dar 3. Apenas a

3ª. Como o resultado de cada lançamento é independente dos resultados dos demais

lançamentos, a probabilidade pedida é: Não dar 3 na primeira, não dar 3 na segunda e dar

três na terceira, ou seja, 61

65

65 xx =

21625 .

Observação:

Eventos mutuamente exclusivos não são eventos independentes. Dois eventos A e B são

mutuamente exclusivos quando AB=Ø. Nesse caso, a ocorrência de um dos eventos leva

a não ocorrência do outro. Assim, a informação de que ocorreu um deles altera a

probabilidade de ocorrência do outro (a menos que ela já fosse nula). Daí conclui-se que

eventos mutuamente exclusivos não são eventos independentes (a menos que um deles

tenha probabilidade nula).


98

Aplicações:

3) (FUVEST) Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma branca. Tira-se uma

bola ao acaso, registra-se a cor e coloca-se a bola de volta na urna. Repete-se esta

experiência mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem registradas três cores distintas?

Resolução:

Tem-se uma sequência de probabilidades distintas. O resultado será o produto das

probabilidades: 92

31

32

33

xx , pois a primeira bola pode ter qualquer cor, a segunda não pode

ter a mesma cor da primeira e a terceira não pode ter a mesma cor das anteriores.

4) (MAUÁ) Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade

de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda.

Resolução:

Obter 3 ou 4 no dado resulta na probabilidade 31

62

61

61

. Obter cara na moeda resulta na

probabilidade 21

. Assim, a probabilidade de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda é:

61

21

31

x .


99

1) (FUVEST) Duas pessoas A e B jogam dado alternadamente, começando com A, até que

uma delas obtenha um “6”; a primeira que obtiver o “6” ganha o jogo.

a) Qual a probabilidade de A ganhar na 1 jogada?

b) Qual a probabilidade de B ganhar na 2 jogada?

2) (FEI) Numa urna encontramos bolas idênticas numeradas de 1 até n. Retiram-se duas

bolas sem reposição. Qual a probabilidade de saírem números consecutivos?

3) (FUVEST - adaptada) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores

positivos de 60, qual a probabilidade de que ele seja primo?

4) (CESGRANRIO - adaptada) Qual a probabilidade de um inteiro n, 1n999, ser um

múltiplo de 9?

5) (fonte: MACHADO, A. S.) É dada a equação do 2º grau x² + bx + 1 = 0, onde b é um

número que será escolhido ao acaso no conjunto {-4, -3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. A

probabilidade de que a equação dada venha a ter raízes reais é:

a) 0,50 b) 0,75 c) 0,70 d) 1 e) 0,80

6) (FUVEST) Considerando um polígono regular de n lados, n > 4, e tomando-se ao acaso

uma das diagonais do polígono, a probabilidade de que ela passe pelo centro é:


100

a) O se n é par. c) 21

se n é par. c) 31n se n é par. d) n

1se n é ímpar. e) 3

1n se n é

ímpar.

7) (UNESP - adaptada) Dois dados perfeitos e distinguíveis são lançados ao acaso. Qual a

probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja 3 ou 6?

8) (FUVEST - adaptada) Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 9. Sorteiam-se, com

reposição, duas bolas. Qual a probabilidade de que o número da segunda bola seja

estritamente maior do que o da primeira?


101

UNIDADE 18

Objetivo: Desenvolver os conceitos de probabilidades estudados nas unidades .

Anteriores


1) Uma moeda viciada é tal que a probabilidade de obter cara é o triplo da probabilidade de

obter coroa. Calcule a probabilidade de cada evento elementar no espaço amostral do

lançamento desta moeda.

Resolução:

K indicará cara; C indicará coroa. Deve-se calcular p(K) e p(C). Sabe-se que p(K)=3 p(C). A

soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1. Assim, tem-se p(K) + p(C) =

1. Como p(K)=3p(C), 3p(C)+p(C) = 1, que leva a 4p(C) = 1, que resulta em p(C)= 41

e p(K)=

41.3 =

43 .

2) (fonte: MACHADO, A. S.) Uma urna contém 2 bolas azuis e 4 vermelhas, outra possui 1

azul e 3 vermelhas. Passa-se uma bola, escolhida ao acaso, da primeira para a segunda

urna e depois se retira uma bola da segunda urna. Qual a probabilidade de que a bola

retirada da segunda urna seja vermelha?

Resolução:

Observe a árvore das possibilidades, com a probabilidade de cada caso possível.


102

A probabilidade pedida é: p{(a, v), (v, v)}=1511

3022

3016

306

54

64

53

62

xx .

3) (fonte: MACHADO, A. S.) Em três lançamentos de uma moeda, qual a probabilidade de

serem obtidas:

a) exatamente duas caras? b) pelo menos duas caras?

Resolução:

São 8 sequências de caras e coroas possíveis. Cada sequência possível tem a probabilidade

81

.

a) A probabilidade de obter exatamente duas caras é:

p{(C, C, K), (C, K, C), (K, C, C)} = 83

81

81

81

.

b) A probabilidade de obter pelo menos duas caras, ou seja, obter duas ou três caras é:

p{(C, C, C), (C, C, K), (C, K, C), (K, C, C)} = 21

84

81

81

81

81

.


103

4) (fonte: HAZZAN, S.) Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade da 1ª atingir o

alvo é P(A) = 31

e a probabilidade da 2ª atingir o alvo é P(B) = 32

. Admitindo A e B

independentes, se os dois atiram, qual a probabilidade de:

a) ambos atingirem o alvo,

b) ao menos um atingir o alvo.

Resolução:

Temos:

a) P(AB) = P(A).P(8) =92

32

31

x

b) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 97

92

32

31

.


104

1) (PUC-RJ) Uma doença congênita afeta 1 em cada 700 homens. Numa população de um

milhão de homens, a probabilidade de que um homem, tomado ao acaso, não seja afetado

é:

a) superior a 0,99 b) igual a 0,99 c) menor que 0,98 d) igual a 7001

e) 21

ou 50%

2)(CESCEM) Sabendo-se que os erros de impressão tipográfica, por página impressa, se

distribuem de acordo com as seguintes probabilidades:

nº. de erros

por página

probabili

dade

0 0,70

1 0,05

2 0,10

3 0,02

4 0,02

5 ou mais 0,01

Nestas condições:

2) A probabilidade de que numa página impressa exista estritamente mais do que três erros


105

tipográficos vale:

a) 0,05 b) 0,03 c) 0,02 d) 0,0003 e) 0,0002

3) (FGV) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a

probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8 é:

a) 3/25 b) 7/50 c) 1/10 d) 8/50 e) 1/5

4) (Sta. Casa -SP) Num gaveta há 10 pares distintos de meias, mas ambos os pés de um

dos pares estão rasgados. Tirando-se da gaveta um pé de meia por vez, ao acaso, calcule a

probabilidade de saírem dois pés de meia do mesmo par, não rasgados, fazendo duas

retiradas.

5) (fonte: MACHADO, A. S.) Uma gaveta tem 2 moedas de ouro e 3 de prata, outra tem 2 de

ouro e 1 prata. Passa-se uma moeda da primeira para a segunda gaveta e depois se retira

uma moeda da segunda. Qual a probabilidade de sair uma moeda de ouro na retirada da

segunda gaveta?

6) (FUVEST-SP) Duas pessoas A e B arremessam moedas. Se A faz dois arremessos e B

faz um, qual a probabilidade de A obter o mesmo número de “coroas” que B?


106

UNIDADE 19

Objetivo: Apresentar os primeiros elementos do desenvolvimento do binômio de Newton.

Newton.

Potências de (a+b)n

Para cada potência do binômio (a+b), o

desenvolvimento de expoente n é realizado para

valores naturais desse expoente. O binômio (a+b)

recebe esse nome exatamente por ser formado por

dois termos algébricos adicionados.

As potências do desenvolvimento de (a+b)n são conhecidas como os termos da expansão do

Binômio de Newton. Alguns casos são listados ao lado.

Cada elemento de (a + b)n pode ser obtido procedendo com as multiplicações do binômio

por ele mesmo. Para qualquer valor de n>1, tem-se:

(a + b)n = (a+b).(a+b).(a+b). ... .(a+b), ou seja, por um produto com n fatores.

O triângulo de Pascal

Os coeficientes das expansões, agrupados por linha, dão a seguinte

configuração triangular:

Essa configuração é conhecida no ocidente pelo nome de triângulo de

Pascal. As linhas do triângulo de Pascal podem ser numeradas de 0

até n e as colunas de 0 até p, sendo n e p números naturais.

Analisado por linhas e colunas, o triângulo de Pascal fica com o aspecto da figura a seguir:


107

É importante notar que o triângulo de Pascal pode ser

formado sem a necessidade do desenvolvimento dos

termos do binômio de Newton, conforme apresentado

na figura ao lado.

Toma-se qualquer elemento na linha n e coluna p.

Adiciona-se este elemento ao que está à sua direita na

mesma linha n, mas na coluna (p+1). O resultado será

o elemento da linha (n+1) na coluna (p+1).

Exemplo:

O número 3 localizado na linha três (n=3) e coluna um (p=1) adicionado ao número três

localizado na linha três (n=3) e coluna dois (p+1 = 2), resulta no número 6 localizado na linha

quatro (n+1 = 4).

Aplicações:

1) Desenvolver (3x2 + 1)4

Resolução:

Os coeficientes do desenvolvimento pedido estão na linha 4(n = 4), o valor do expoente do

binômio. Os coeficientes são: 1, 4, 6, 4 e 1. Esses coeficientes serão antepostos aos

elementos 3x2 (o “a” do binômio) e 1, (o “b” do binômio). Voltando à primeira figura, o

expoente de “a” decresce de 4 até 0 (o “a” não aparece em b4). O expoente de “b” cresce de

0 até 4 (o “b” não aparece em a4). Tomando (a + b)4 como modelo e escrevendo 3x2 como

“a” e 1 como “b”, tem-se:

(3x2+1)4 = 1.(3x2)4.(1)0+4.(3x2)3.(1)1+6.(3x2)2.(1)2+4.(3x2)1.(1)3+1.(3x2)0.(1) 4 =

Realizando todos os cálculos das potências, tem-se: 81 x8+108 x6+54 x4+12 x2+1.


108

2) Determinar a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio do exemplo anterior.

Resolução:

A soma dos coeficientes é 81+108+54+12+1 = 256. O mesmo resultado poderia ser obtido

fazendo a doma dos coeficientes do binômio e elevando ao expoente quatro: (3+1)4 = 44 = 4

x 4 x 4 x 4 = 16 x 16 = 256.

3) Qual o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (x2+1)5.

Resolução:

O desenvolvimento de (x2+1)5 requer os coeficientes da linha que tem n= 5, que é formada

pelos elementos 1, 5, 10, 10, 5 e 1. Como o desenvolvimento terá expoentes pares devido a

x2, x4 equivalerá a (x2) 2. O elemento que tem x4 será o 4º termo, que tem coeficiente 10.

Assim, o elemento procurado será: 10.(x2)2.(1)3=10 x4, que tem coeficiente 10.

1) Desenvolver:

a) (x - 3b)3 b) (1 +x2)5 c) ( yx )4 d) (3 +v)5

2) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (3x + 1)n é 4.096. Calcule o valor de n.

3) Qual o coeficiente de x6 no desenvolvimento de (1-2x)6? E para (x2+x -3)8?

4) Qual é o termo de maior coeficiente no desenvolvimento de (x2+ y )10?

5) Determine o termo independente no desenvolvimento de

n

mm

21

.


109

UNIDADE 20

Objetivo: Apresentar as propriedades dos elementos do triângulo de Pascal e dos Números binomiais.

Números binomiais.

Soma dos elementos de uma linha

Um fato importante é que a soma dos elementos da linha n do triângulo de Pascal é igual a

2n, conforme pode ser visto na figura a seguir.

Coeficientes (ou números) Binomiais

Sendo n e p números naturais com n p, chama-se coeficiente (ou número) binomial de

classe p, do número n, o número resultante de npC , indicado por

pn

, lembrando que

npC = !n

Anp

. Por exemplo, pode-se, para n = 5, escrever:

a) 5

15

15

b) 10

1245

25

xx

c) 10

123345

35

xxxx

d) 5

12342345

45

xxxxxx

e) .1

1234512345

55

xxxxxxxx


110

Observação:

A partir do exemplo anterior pode ser observado que se n, p e k são números naturais e p+k=

n então .

kn

pn

No exemplo anterior,

35

25

e

45

15

. Da mesma forma,

2

1000998

1000

,

nnn

0 , etc. Também pode ocorrer p = k. Assim os números

pn

e

kn

são iguais.

Números binomiais e o triângulo de Pascal

Nos exemplos de combinações feitas a partir de 5 elementos do exemplo anterior, tem-se os

números da linha 5 do triângulo de Pascal. Como em cada linha do triângulo de Pascal o

primeiro número é igual ao último, tem-se

55

05

. Como

05

é o primeiro elemento da

linha 5,

05

= 1. Cada número do triângulo de Pascal é uma combinação do

valor da linha (n) com o da coluna (p) na qual cada elemento se encontra.

A partir da constatação da existência da relação entre os elementos do

triângulo de Pascal e os números binomiais, tem-se ao lado.

O triângulo de Pascal recebeu esse nome porque Blaise Pascal, matemático

e filósofo francês do século XVII publicou essa configuração no seu trabalho

“Traité du triangle aritmétique”, em 1653. Porém, esse triângulo já era

conhecido na Europa, aparecendo na aritmética do astrônomo Petrus

Apianus no século XVI. Há notícias de que Omar Khayam já conhecia esse triângulo por

volta de 1100. Também há notícia de que um matemático chinês já havia apresentado o

triângulo em um livro editado no ano de 1303.


111

Aplicações:

1) Calcular

26

e

46

.

Resolução:

26

= .15

1256

xx

46

= .15

12343456

xxxxxx

2) Calcule a soma .

67

57

47

37

27

Resolução:

A soma pedida é a dos elementos da linha 7 do triângulo de Pascal, com exceção de

07

e

77

e que valem, cada um deles, exatamente 1. Assim, a soma pedida é a soma dos

elementos da linha 7, menos 2. Como a soma dos elementos da linha n é 2n, tem-se 27 – 2 =

128 – 2 = 126.


112

1) Calcular

0

13

,

100100

,

1520

e

12321234

.

2) Determine o valor de m para que os números binomiais sejam iguais em cada caso. Não

esqueça as duas possibilidades.

a)

m10

e

4

10

. b)

m20

e .

220

m c)

3

20m e

.3

20

m d)

204

44m e

.182

44

m

3) Calcule a soma .

310

410

510

610

710

810

910

4) Um grupo de seis estudantes será chamado para entrevistas. Eles serão entrevistados no

mínimo de dois em dois. Quantas são as possibilidades de chamar os estudantes para a

entrevista?

5) (EESCUSP) Verificar que quando n é ímpar, 2n -1 =

1

...642 n

nnnn

.

6) (MAPOFEI) Escreva n parcelas contendo o desenvolvimento de (k + 1)n para k = 1, 2, 3,

... , (n-1), n. Some todas as parcelas, elimine os termos semelhantes e obtenha 12 + 22

+32+...+ n2.

7) (FEl) Calcule p na equação

6

14314

pp .


113

UNIDADE 21 Objetivo: Apresentar o termo geral do binômio de Newton.

Termo geral

Observe o desenvolvimento do binômio (a+b)5.

(a+b)5 = 1.a5.b0+5.a44.b1+10.a3.b2+10.a2.b3+5.a1.b4+1.a0b5.

São aspectos notáveis do desenvolvimento:

1. A soma dos expoentes é constante (no caso, 5).

2. O expoente de “b” é o valor da coluna em que se encontra o coeficiente do termo (p).

3. O expoente de “a” é o que falta para completar o valor de n (no caso, 5). Dessa forma,

o expoente de “a” é na forma “n-p”.

4. Como já foi visto, cada coeficiente do desenvolvimento de (a+b)5 é um número

binomial.

A partir dessas observações, é possível determinar uma forma geral para escrever cada

elemento do desenvolvimento do binômio (a+b)n.


114

Cada elemento do desenvolvimento do binômio (a+b)n assume a forma:

A forma acima é chamada termo geral do binômio de Newton. Pelo fato do expoente de “b”

ser uma unidade menor que sua posição (o terceiro termo, por exemplo, tem p = 2), alguns

autores escrevem a fórmula do termo geral da seguinte maneira:

Aplicações:

1) No desenvolvimento de (x + 3)8 há 9 termos e seu termo geral é dado por

ppxp

3..8 8

(lembre que o expoente de x somado ao expoente de 3 deve dar 8). O sexto

termo será obtido fazendo p = 5. Assim, o sexto termo será

668 3..68

x

, que resulta em

62 3..28

x

, que é igual a 62 3.

1278 x

xx

, que vale 28.729.x2, que dá 20412 x2.

2) No desenvolvimento de (x2 + 2) 12:

a) Existem quantos termos?

b) Qual é o 4º termo?

Resolução:

a) Em (a+b)n são (n+1) elementos. Logo, são 13 termos.

ppn bapn

..


115

b) O quarto termo é 392 2..

312

x

. Isso dá 220.x18.8, que resulta em 1760 x18.

3) No desenvolvimento de (x + 1)18, determine o termo central.

Resolução:

Como são 19 termos, o termo central é o 9º (p = 8). Assim, tem-se:

810 1..8

18x

, que

resulta em 43758 x10.

4) (fonte: MACHADO, A.S.) Obter o termo em x18 de

8

412

x

.

Resolução:

Partindo do termo geral:

ppx

p

41.2.

8 8

= ppp x

p288 2.2

8

=

ppp xp

828 .

8.)2.(2

.

Para o termo em x5 devemos ter o expoente de x igual a 5. Assim, 8 - k = 5, logo k = 3.

O termo é - 28x5.

5) (fonte: HAZZAN, S.) Qual o termo independente de x no desenvolvimento de

81

xx

?

Resolução:


116

Para que ele independa de x devemos ter 8 - 2p = 0, isto é, p = 4. Logo, o termo procurado é:

1) (fonte: MACHADO, A. S.) Tomando 10 pontos sobre uma circunferência, quantos

polígonos convexos inscritos podem ser construídos com vértices nesses pontos?

2) (CESCEA) Um estádio tem 10 portões. De quantas maneiras o estádio estará aberto?

3) (U MACK - adaptada) O conjunto A tem 45 subconjuntos de 2 elementos, O número de

elementos de A é:

a) 10 b) 15 c) 45 d) 90

4) (U F PE) Sabendo-se que um baralho tem 52 cartas das quais 12 são figuras, assinale a

alternativa que corresponde ao número de agrupamentos de 5 cartas que podemos formar

com cartas deste baralho tal que cada agrupamento contenha pelo menos três figuras.

a) 10 b) 100 000 c) 192 192 d) 171 600 e) 191 400

5) (CESCEA) Uma organização dispõe de 10 economistas e 6 administradores. Quantas

comissões de 6 pessoas podem ser formadas de modo que cada comissão tenha no

mínimo 3 administradores?


117

a) 2 400 b) 675 c) 3 136 d) 60 e) 3631

6) (PUC -SP) Encontre o termo independente de x no desenvolvimento de .1 10

55

xx

7) (CESCEA - adaptada) Sabendo-se que o quarto termo do desenvolvimento de (2x-3y)n é

-1080x2y3, então determine o 3º termo desse desenvolvimento.

8) (F G V - adaptada) No desenvolvimento de (x3+ y2)10, o coeficiente do termo médio é:

a) 630 b) 120 c) 252 d) 210

9) (U F BA - adaptada) Calcule a soma do segundo e terceiro termos do desenvolvimento

de ( 2 + 2x)4.

10) (U F UBERLÂNDIA - adaptada) Se n é o número de termos do desenvolvimento de

55105 yx que não contenham radicais, determine o valor de n.


118

UNIDADE 22

Objetivo: Apresentar a distribuição binomial da probabilidade.

Distribuição binomial da probabilidade

A distribuição binomial da probabilidade é aplicada aos casos em que uma experiência é

repetida diversas vezes e sob as mesmas condições, sempre na busca de um mesmo

evento, que por sua vez possui sempre a mesma probabilidade de ocorrer.

No caso de cálculos que envolvem a distribuição binomial de probabilidades, p(A) representa

a probabilidade do evento procurado e p( A ) representa a probabilidade do evento

complementar à ocorrência do evento A.

O problema a seguir é um exemplo de distribuição binomial no cálculo de probabilidade.

Problema:

Um dado normal de seis faces é lançado cinco vezes consecutivas. Qual a probabilidade de

obter o número quatro três vezes?

Resolução:

Chamando de p(A) a probabilidade de obter o número quatro, o valor dessa probabilidade

será p(A) = 61

. O evento complementar do evento A, p( A ), é não obter o número quatro.

Assim, p( A ) = 65

. Como obter quatro e não obter quatro são eventos independentes, uma

possível sequência de cinco lançamentos seria:


119

Porém o enunciado do problema não fixa a sequência de ocorrências dos resultados.

Levando em consideração que são cinco lançamentos da moeda e que deverá ocorrer o

mesmo resultado três vezes, a tabela a seguir indica em quais lançamentos pode aparecer o

resultado pedido.

Resultado Lançamento

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

1O X X X X X X 2O X X X X X X 3O X X X X X X 4O X X X X X X 5O X X X X X X

A probabilidade total da ocorrência de três resultados iguais a quatro em cinco lançamentos

sucessivos seria:

ou 0,0512 ou 5,12%.

Observações:

1) Como cada ocorrência do resultado quatro não tem posição fixa, as suas três ocorrências

se enquadram na qualidade de combinação de cinco elementos agrupados de três em três,

que dá C5,3 = 123345

xxxx

= 10 =

35

.

2) Uma notação para utilizar em problemas que envolvem a distribuição binomial P de uma

probabilidade com n repetições do mesmo experimento, ocorrendo o evento A k vezes,

sendo A o seu evento complementar é:

P =

kn

. p ( A )n-k . p(A)k


120

3) O total de combinações de cinco elementos agrupados de três em três também poderia

ser calculado com a sua combinação complementar, já que

25

35

.

4) Alguns autores chamam a probabilidade p(A) de “probabilidade de sucesso” e p( A ) de

“probabilidade de insucesso”.

Aplicação:

Qual é a probabilidade de um casal ter cinco filhos, sendo três homens e duas mulheres?

Resolução:

Inicialmente, deve-se levar em conta que os nascimentos de meninos e de meninas não

estão em uma ordem estabelecidas. Por isso, é necessário calcular de quantas maneiras

isso pode ocorrer. A resolução se faz calculando o número de combinações de cinco

elementos agrupados de três em três, que dá resultado idêntico quando esses mesmos

elementos são agrupados de dois em dois. Em seguida, é aplicada a regra do cálculo da

probabilidade de eventos independentes. Como a probabilidade de nascer menino é 21

[mesma probabilidade de nascer menina], a probabilidade de uma sequência de cinco

nascimentos resulta em 321

21

21

21

21

21

xxxx. Assim, a probabilidade de uma sequência de

cinco nascimentos é multiplicada por dez, obtendo 3210

.

Observação:

O resultado anterior também pode ser explicado pela utilização do Triângulo de Pascal. O

coeficiente utilizado para multiplicar 321

será encontrado na linha n, com n = 5. Os elementos

dessa linha correspondem, na ordem a:

1: agrupamento de zero homem;


121

5: agrupamento de um homem;

10: agrupamento de dois homens;

10: agrupamento de três homens;

5: agrupamento de quatro homens;

1: agrupamento de cinco homens.

O cálculo dessa probabilidade pode então ser realizado utilizando a relação:

kn

. p h . p( h ), com os seguintes significados:

n: no de repetições do fenômeno estudado [no caso, nascimentos];

k: no de homens que devem nascer;

p ( h ): probabilidade do nascimento de homem;

p( h ): probabilidade do evento contrário ao nascimento de homens [no caso, nascimentos de

mulheres].

Antes de dar continuidades aos seus estudos é fundamental que você acesse sua

SALA DE AULA e faça a Atividade 2 no “link” ATIVIDADES.


122

1) Em uma urna são depositadas 4 bolas vermelhas e 6 bolas brancas. Uma bola é

sorteada, sua cor é observada e em seguida ela é reposta na urna. O experimento aleatório

é repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de extrair exatamente 3 vezes a bola vermelha?

2) Em uma cidade pequena será realizado um sorteio de brindes entre os proprietários do

veículo de marca A. O sucesso de vendas dessa marca foi grande e sabe-se que 20% das

pessoas que moram nessa cidade possuem carro de marca A. Se 30 pessoas forem

sorteadas ao acaso, com reposição do nome sorteado na urna, qual a probabilidade de

exatamente 6 pessoas possuírem carro da marca A?

3) A probabilidade de que um determinado componente mecânico que tem 25 anos resistir

pos mais 20 anos é 0,6. Em um lote de 15 peças de 25 anos, qual a probabilidade de que

exatamente 10 cheguem aos 45 anos de uso?


123

UNIDADE 23

Objetivo: Apresentar complementos sobre probabilidades.

Frequência relativa

Dado um experimento aleatório, embora se saiba qual evento pode ocorrer, sabe-se que

determinados eventos ocorrem com mais frequência do que outros.

Deseja-se associar um número a cada evento de maneira que se tenha indicação

quantitativa da sua ocorrência quando o experimento for repetido diversas vezes, nas

mesmas condições.

Seja = {a1, a2, a3, ... , ai} um espaço amostral finito. Define-se frequência relativa de um

evento {ai} pela razão fi = Nni

, onde ni é o número de vezes que ocorre um evento elementar

ai, i, i{1, 2, 3, ..., k}.

Exemplo:

Lançado o mesmo dado 100 vezes (n = 100) e observando a incidência do número 6 (evento

{6}) 36 vezes, a frequência relativa desse evento elementar é f6 = 10036

ou 0, 36.

Definição de probabilidade

A frequência relativa dá a informação quantitativa da ocorrência de um evento, realizado um

número grande de vezes. A seguir será definido um número associado a cada evento, que

tem as mesmas características da frequência relativa. Esse número receberá o nome de

probabilidade do evento.


124

Considere um espaço amostral finito = {a1, a2, a3, ... , ai}. A cada evento elementar {ai}

será associado um número real p({ai}), chamado de probabilidade do evento {ai}, que satisfaz

as seguintes condições:

1ª) 0p(i)1, i, i{1, 2, 3, ..., k}.

2ª)

n

iiP

1 = 1 = p1, p2, p3, ... , pi.

Os números p1, p2, p3, ... , pk definem uma distribuição de probabilidades sobre o espaço

amostral . Se A for um evento qualquer de , define-se a probabilidade do evento A (P(A))

da seguinte forma:

a) Se A = Ø, P(A) = 0

b) Se A Ø, P(A) =

n

Aai

i

p.

A probabilidade de um evento constituído por uma quantidade de elementos é a soma das

probabilidades individuais dos elementos que constituem o evento A.

Exemplo:

Seja o espaço amostral = {a1, a2, a3, ... , ai}. Considere-se a distribuição de

probabilidades:

p1 = 0,1, p2 = 0,2, p3 = 0,3 4 p4 = 0,4. Seja A o evento A = { a1, a2, a3}. Por definição, tem-

se: P(A) = p1 + p2 + p3 = 0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,6.


125

Função de probabilidade

Sejam um espaço amostral, E uma classe de eventos e P uma função de valor real

definida no conjunto E. A função P será chamada de função de probabilidade (fdp) e P(A)

será a probabilidade de ocorrência do evento A. Se P for uma fdp, tem-se:

1º) Todo evento A é tal que 0P(A)1.

2º) P( ) = 1.

3º) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, P(A U B) = P(A) + P(B).

4º) Se A1, A2, An, ... , é uma sequência de eventos mutuamente exclusivos, tem-se que:

P(A1UA2 … UAn ...) = P(A1)+P(A2)+ ... + P(An)+ ...

Espaços amostrais finitos

Seja = {a1, a2, a3, ... , ai} um espaço amostral finito. Um espaço de probabilidade finita é

obtido associando cada ponto ai , um número real Pi, chamado de probabilidade de ai,

que satisfaz as seguintes propriedades:

1ª) cada Pi é não negativo (Pi0).

2ª)

n

iiP

1 = 12.

A probabilidade P(A) de um evento A passa a ser definida como a soma das

probabilidades dos pontos em A.


126

Exemplo:

Lança-se três moedas e observa-se o número de caras. O espaço amostral é = {0, 1, 2, 3}.

O espaço de probabilidade será dado pela associação:

P(0)= 81

, P(1)= 83

, P(2)= 83

, e P(3)= 81

. Como nenhuma probabilidade é negativa, a soma

delas é igual a 1. Se A for o evento em que pelo menos uma cara aparece, A = {1, 2, 3}.

Espaço amostral infinito

Suponha = {a1, a2, a3, ... , ai, ...} um espaço amostral infinito enumerável3. Como no caso

de um espaço amostral finito, o espaço de probabilidade associa a cada ai um número

real pi denominado probabilidade, que satisfaz as seguintes propriedades:

1ª) cada pi é não negativo (pi0). 2ª)

1iiP= 1.

A probabilidade P(A) de qualquer evento A é a soma das probabilidades dos seus pontos.

Exemplo:

Considere o espaço amostral = {1, 2, 3, ..., } de um experimento aleatório que consiste

em lançar uma moeda até aparecer uma cara. Nesse caso, n representará o número de

vezes em que essa moeda será lançada. Um espaço de probabilidade para esse

experimento será obtido fazendo:

2 O símbolo

n

iiP

1significa somatório de Pi, com o índice i variando de 1 até n.

n

iiP

1= P1+P2+P3+ ... +Pn.

3 Um conjunto é enumerável se o seu total de elementos for menor ou igual ao do conjunto dos números inteiros. Um conjunto enumerável pode ser um finito ou infinito. Certas vezes o termo enumerável é usado no sentido restrito de infinito e contável.


127

p(1) = 21

, p(2) = 221

, p(3) = 321

, ... , p(n) = n21

, ..., p( ) = 0.

Observações:

1) Os espaços amostrais como medidas geométricas finitas de comprimento, área ou

volume, nos quais um ponto seja selecionado aleatoriamente, serão considerados não-

enumeráveis.

2) Um espaço de probabilidade finito ou infinito enumerável é chamado de discreto. Um

espaço de probabilidade finito ou infinito não enumerável é chamado de não discreto.

Aplicação:

Três componentes, A, B e C, estão em uso. A probabilidade de A dar defeito é duas vezes a

probabilidade de B dar defeito e a probabilidade de B dar defeito é duas vezes a

probabilidade de C dar defeito. Quais são as probabilidades de defeito de cada um, isto é,

P(A), P(B) e P(C)?

Resolução:

Seja P(C) = p. Como B tem o dobro da probabilidade de defeito de C, P(B) = 2p. Como A tem

o dobro da probabilidade de B dar defeito, P(A) = 2P(B) = 2.2p = 4p. Como a soma das

probabilidades tem que ser 1:

p+2p+4p = 1 ou 7p=1 ou p = 71

. Assim, p(C) = 71

, p(B) = 72

e p(C) = 74

.


128

1) Seja = {a1, a2, a3, a4} e consideremos a distribuição de probabilidades:

p1 = 0,1, p2 = 0,3, p3 = 0,2 e p4 = 0,4. Seja o evento A = {a1, a2, a3} então, por definição,

calcule P(A).

2) Uma moeda é lançada e observada a face de cima. Sejam p1 a probabilidade de obter cara

e p2 a probabilidade de obter coroa. Faça uma distribuição para p1 e p2.

3) Um dado é lançado, e observado o número da face de cima. Sejam p1, p2, p3, p4, p5 e p6,

respectivamente, as probabilidades de obter 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Faça uma distribuição para p1 a

p6.

4) Sejam = {a1, a2, a3, a4} e P uma função de probabilidade em .

a) Determine P(a1), se P(a2) = 1/3, P(a3) = 1/6 e P(a4) = 1/4.

b) Determine P(a1) e P(a2), se P(a3) = P(a4) = 1/4 e P(a1) = 3.P(a2).

5) Uma moeda é viciada de forma que as caras (K) têm o dobro da probabilidade de ocorrer

do que as coroas (c). Determine P(K) e P(c).

6) (fonte: HAZZAN, S.) Considere o espaço amostral = {a1, a2, a3, a4} e a distribuição de

probabilidades, tal que: p1= p2 = p3 e p4= 0,1. Calcule:


129

a) p1, p2, e p3.

b) Seja A o evento A = {a1, a3}. Calcule P(A).

c) Calcule P(___A ).

d) Seja B o evento B = {a1, a4}. Calcule P(B).

e) Calcule P(AB), P(AB), P(________

BA ) e P(________

BA ).

7) Os homens h1 e h2, e as mulheres m1, m2, e m3 disputam um torneio frescobol. Os

elementos do mesmo sexo têm igual probabilidade de vencer, mas cada homem tem o dobro

da probabilidade de ganhar do que qualquer mulher.

a) Determine a probabilidade de que uma mulher vença o torneio.

b) Sabendo que m2 e h2 são casados determine a probabilidade de um deles vencer.

8) Duas cartas são retiradas aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas. Determine a

probabilidade p em cada caso:

a) Ambas as cartas sejam de espadas.

b) Uma carta seja de espadas e a outra de copas.

9) Três computadores são escolhidos aleatoriamente dentre 15 computadores, dos quais 5

são defeituosos. Determine a probabilidade p em cada caso:

a) Nenhum seja defeituoso.

b) Exatamente um seja defeituoso.

c) Pelo menos um seja defeituoso.


130

UNIDADE 24

Objetivo: Aplicar conhecimentos da unidade anterior.

Aplicações de probabilidades

1) Seis casais estão numa sala. Se 2 pessoas são escolhidas aleatoriamente, determine a

probabilidade de que:

a) Sejam casadas.

b) Uma seja do sexo masculino e outra do feminino.

Resolução:

Tem-se

2

12

= 66 maneiras de escolher 2 pessoas das 12.

a) São 6 casais e, portanto, p = 111

666

.

b) São 6 maneiras de escolher uma pessoa do sexo masculino e 6 maneiras de escolher

uma do sexo feminino. Portanto p = 116

6666

x.


131

2) Em uma turma há 10 homens e 20 mulheres. Metade dos homens e metade das mulheres

tem olhos castanhos. Determine a probabilidade de que uma pessoa escolhida

aleatoriamente seja homem ou tenha olhos castanhos.

Resolução:

Sejam A o conjunto dos homens e B o conjunto das pessoas que têm olhos castanhos.

Deve-se calcular P(A U B). Nesse caso, tem-se P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB) =

32

61

21

31

.

3) Um ponto de um círculo é selecionado aleatoriamente. Determine a probabilidade desse

ponto estar mais próximo do centro do círculo que da sua circunferência.

Resolução:

Sejam S o conjunto dos pontos dentro do círculo de raio r, e A o conjunto dos pontos dentro

do círculo concêntrico de raio 2r

. Sejam X a área de S e Y a área de A. A será o conjunto

dos pontos de S que estão mais próximos do centro do círculo do que de sua circunferência.

Assim:

p = 41

.

)2

(2

2 r

r

YX

.


132

1) Seis casais estão numa sala. Se 4 pessoas são escolhidas aleatoriamente, determine a

probabilidade de que:

a) 2 casais sejam escolhidos.

b) Nenhum casal seja escolhido.

c) Exatamente um casal seja escolhido.

2) Considere os pontos do plano cartesiano R2. Seja X o subconjunto dos pontos de R2

para os quais ambas as coordenadas são inteiras. Uma moeda de diâmetro 1/2 é lançada

aleatoriamente sobre esse plano. Determine a probabilidade de a moeda cobrir um ponto

de R2.

3) Três pontos, A, B e C são selecionados aleatoriamente da circunferência de um círculo.

Determine a probabilidade dos pontos pertencerem a um semicírculo.

4) Um dado é lançado 100 vezes e

a tabela ao lado relaciona os

números com a frequência da

ocorrência de cada elemento.

Determine a frequência relativa de

cada evento:

a) Ocorrência do número 4.

b) Ocorrência do número 6.

Número 1 2 3 4 5 6

Frequência 1

6

1

7

1

5

2

0

1

8

1

4


133

c) Ocorrência de um número par.

d) Ocorrência de um número primo.

5) Três torres de sinal de celular e três torres de rádio estão em fila do mesmo lado de uma

avenida. Determine cada probabilidade.

a) As torres de sinal de celular serem instaladas consecutivamente.

b) Três torres de sinal de celular e as três torres de rádio serem instaladas alternadamente.

6) Dos 120 estudantes de uma turma, 60 estudam francês, 50 espanhol e 20, francês e

espanhol. Se um estudante for premiado aleatoriamente, determine a probabilidade em

cada caso.

a) Ele estuda francês ou espanhol.

b) Ele não estuda nem francês nem espanhol.


134

UNIDADE 25

Objetivo: Apresentar o conceito de processo estocástico e de família de conjuntos.

Apresentar a simbologia de probabilidade condicional.

Processo estocástico

Uma sequência finita na qual cada experimento tem um número finito de resultados com a

sua atribuição de probabilidade, é chamada de processo estocástico finito.

Diagrama de árvore

Diagrama de árvore é uma forma de descrever um processo estocástico e calcular a

probabilidade de um evento. Usa-se a multiplicação de probabilidades para calcular a

probabilidade de ocorrência de cada resultado representado pelos ramos da árvore.

Exemplo:

São dadas três caixas como a descrição a seguir.

A caixa I tem 20 lâmpadas, das quais 8 são defeituosas.

A caixa II tem 12 lâmpadas, das quais 2 são defeituosas.

A caixa III tem 16 lâmpadas, das quais 6 são defeituosas.

Seleciona-se aleatoriamente uma caixa e retira-se uma lâmpada de forma também aleatória.

Determine a probabilidade de a lâmpada sorteada ser defeituosa.


135

Resolução:

Realiza-se uma sequência de dois experimentos:

1º) Seleciona-se uma das três caixas.

2º) Seleciona-se uma lâmpada defeituosa (D) ou não defeituosa (N).

O diagrama de árvore a seguir descreve o processo e dá a probabilidade de cada ramo.

A probabilidade de ocorrer um caminho

nessa árvore é igual ao produto das

probabilidades dos ramos que descrevem

os caminhos. A probabilidade de selecionar

a caixa 1 e uma lâmpada defeituosa é:

152

52

31 xx

. Por serem três caminhos

mutuamente exclusivos que levam a uma lâmpada defeituosa, a soma das probabilidades

destes caminhos dá a probabilidade desejada, que é:

p = 360113

83

31

61

31

52

31

xxx.

Família de conjuntos

Em algumas situações os elementos de um conjunto também são conjuntos. Nessas

situações se utiliza o termo classe ou família para esse tipo de conjunto. Também podem ser

utilizados os termos subclasse e subfamília.

Exemplos:

1) Os elementos da classe {{a}, {1,2}, {3, b}} são os conjuntos {a}, {1,2} e {3, b}.


136

2) Considerando um conjunto A qualquer, o conjunto das partes de A [representado por P(A)]

é a classe de todos os subconjuntos de A. Se A = {1, 2, 3}, tem-se:

P(A) = {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, Ø}.

Observação:

Se A é um conjunto finito e tem n elementos, P(A) = tem 2n elementos.

Partição de um conjunto

Partição de um conjunto X é uma subdivisão deste em subconjuntos não vazios e disjuntos,

cuja união resulta no próprio X. Com isso forma-se uma classe de subconjuntos não vazios

de X, tal que cada aX pertence a um único subconjunto. Os subconjuntos da partição

recebem o nome de partes.

Exemplo:

Considere as seguintes classes de subconjuntos de X = {a, b, c, d, e, f, g}:

a) {a, c, e} {b, d}, {f, g} é uma partição (verifique a partir da definição).

b) {a, c}, {b, e}, {d, f} não é uma partição, pois gX e não pertence a qualquer das partes.

c) {a, b, c}, {a, e, f}, {d, g} não é uma partição, pois apesar de ser elemento de X, a pertence

simultaneamente a duas partes.

Família indexada de conjuntos

A notação de classe indexada de conjuntos {Ai / iI} (ou {Ai}) significa que para cada iI

existe um conjunto Ai, onde I é chamado de conjunto de índices. Nesse caso diz-se que os

conjuntos Ai são ditos indexados por i. Se o conjunto dos índices for o conjunto IN dos

números naturais, classe indexada {A1, A2, A3, ... } é chamada de sequência de conjuntos.


137

O conjunto de elementos que pertencem a pelo menos um dos Ai é a união dos Ai,

simbolizada por U Ii Ai,(ou UiAi) e o conjunto dos elementos que pertencem a todos os Ai, é

a interseção dos Ai, simbolizada por iIi A (ou ii A ). Simbolicamente, tem-se:

...3211

AAAAii

para a união de uma sequência de conjuntos e...321

1AAAAi

i

para a interseção de uma sequência de conjuntos.

Simbologia

O tema probabilidade condicional já foi visto, mas é necessário

voltar agora para ver como um símbolo é utilizado pelos

especialistas e autores de livros.

Seja A um evento em um espaço amostral , com P(A) > O. A

probabilidade de ocorrer um evento B uma vez que A tenha ocorrido (ou probabilidade

condicional de B dado que A tenha ocorrido) é simbolizada como P(B│A).

A probabilidade condicional P(B│A) é calculada pela razão: P(B│A) = )()(

APBAP

.

A partir do diagrama de Venn acima, P(B│A) tem o sentido de probabilidade relativa de B a

partir da redução do espaço amostral ao conjunto A. Particularmente, se é um espaço

amostral finito e equiprovável, a notação A representa o número de elementos em um

evento A. Dessa forma,

BA

BAP )(, ou seja,

A

AP )(, ou ainda P(B│A) =

)()(

APBAP

.


138

Exemplo:

Lança-se um par de dados não viciados e sabe-se que a soma dos resultados é 6. Determina

a probabilidade de ter ocorrido o número 4 em um dos dados.

Resolução:

Neste caso não serve qualquer resultado e sim apenas aqueles em que a soma é 6. Assim,

={(x, y) / x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {(1, 5), (2,4) (3, 3), (4, 2), (5, 1)} e B=

{(x, y) / x = 2 ou y = 2. AB = {(2,4), (4, 2)}. A probabilidade condicional P(B│A) é calculada

pela razão P(B│A) = )()(

APBAP

= 52

.

A probabilidade condicional e a regra da multiplicação

Dado que P(B│A) = )()(

APBAP

, a resolução da proporção acima leva a:

P(AB) = P(B│A).P(A).

Essa propriedade, por indução, pode ser estendida da seguinte forma:

Para os eventos A1, A2, A3, ... , An, tem-se:

P(A1A2A3 ...An)=P(A1).P(A2│A1).P(A3│A1A2).....P(An│A1A2A3 ...An-1).

Exemplo:

Em um lote de 24 celulares, 8 apresentaram defeitos. Seis deles foram retirados

aleatoriamente e em sequência. Calcule a probabilidade de nenhum dos aparelhos

apresentarem defeito.


139

Resolução:

A probabilidade de o primeiro aparelho ser não defeituoso 32

2416

, pois 8 dos 24 aparelhos

são defeituosos. Se o primeiro aparelho não é defeituoso, a probabilidade do próximo não

ser defeituoso é 2315

, pois 15 dos 23 aparelhos restantes não são defeituosos. Como os dois

primeiros não são defeituosos, a probabilidade do último não ser defeituoso é 117

2214

, pois

14 dos 22 aparelhos restantes não são defeituosos. A partir disso, pela multiplicação das

probabilidades: p = 24370

11231752

117

2315

32

xxxxxx

.


140

1) (fonte: LIPSCHUTZ, S.) Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das

crianças, um menino, vem à sala. Encontre a probabilidade (p) de o outro ser também um

menino, se a) sabe-se que a outra criança é mais nova. b) nada se sabe sobre a outra

criança.

2) (fonte: LIPSCHUTZ, S.) Lança-se uma moeda viciada tal que P(K) = 2/3 e P(C) = 1/3. Se

der cara, um número de 1 a 9 é selecionado de forma aleatória. Se der coroa, um número

de 1 a 5 é selecionado de forma aleatória. Calcule a probabilidade de selecionar um

número par.

3) (fonte: LIPSCHUTZ, S.) Uma caixa tem três moedas: uma não é viciada, a outra tem

duas caras e a terceira é viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é 1/3. Uma

moeda é selecionada aleatoriamente e lançada. Encontre a probabilidade de ocorrer cara.

4) (fonte: LIPSCHUTZ, S.) Temos três urnas: A urna A contém 3 bolas vermelhas e 5

brancas. A urna B contém 2 bolas vermelhas e 1 branca. A urna C contém 2 bolas

vermelhas e 3 brancas. A urna é escolhida aleatoriamente e uma bola é retirada. Se a bola

for vermelha, qual é a probabilidade dela ter vindo da urna A?

5) (fonte: LIPSCHUTZ, S.) A caixa A contém nove cartas numeradas de 1 a 9 e a caixa B

contém cinco cartas numeradas de 1 a 5. Uma A caixa é escolhida aleatoriamente e uma

carta é retirada. Se o número é par, encontre a probabilidade de a carta ter vindo da caixa

A.


141

UNIDADE 26

Objetivo: Apresentar o teorema de Bayes e sua relação com a partição de conjuntos.

As partições de conjuntos e a probabilidade condicional

Suponha que os eventos A1, A2, A3, ... , An formam

uma partição em um espaço amostral . Os eventos

Ai são mutuamente exclusivos. Seja também um

evento qualquer B em . Dessa forma, B = B =

(A1A2A3 ...An) B, onde AiB também são

mutuamente exclusivos. A situação descrita pode ser

visualizada no diagrama ao lado. Dessa forma:

P(B) = P(A1) . P(B│A1) + P(A2) . P(B│A2) + P(A3) . P(B│A3) + ... + P(An) . P(B│An).

Para qualquer i a probabilidade condicional de Ai dado que ocorre B é calculada: P(Ai │B)

= )()(

BPBAP i

.

Teorema de Bayes

Suponha que A1, A2, A3, ... , An é uma partição de um espaço amostral e B seja um evento

qualquer em . Para qualquer i, tem-se:

P(Ai) . P(B│ Ai)

P(A i │B) = ______________________________________________________

P(A1) . P(B│A1) + P(A2) . P(B│A2) + P(A3) . P(B│A3) + ... + P(An) . P(B│An)


142

Exemplo:

Considere que três linhas de montagem M1, M2 e M3 produzem respectivamente 40%, 35% e

25% do total de placas de computador em uma fábrica de componentes eletrônicos. As

percentagens de defeitos na produção dessas linhas são 1%, 2% e 3%. Se uma placa é

sorteada aleatoriamente. Suponha que uma placa sorteada aleatoriamente seja defeituosa.

Determine, com a utilização teorema de Bayes, a probabilidade de ela ter sido produzida pela

máquina A.

Resolução:

O que é pedido é a probabilidade P(B│X). Nesse caso, tem-se:

Essa probabilidade será igual a:

34,04716

1175400

01175,0004,0

00075,0007,0004,0004,0

)03,0()25,0()02,0)(35,0()01,0()40,0()01,0()40,0(

xx

x

ou 34%.

P(A) . P(X│ A)

P(A │X) = ___________________________________

P(A) . P(X│A) + P(B) . P(X│B) + P(C) . P(X│C)


143

1) Em uma urna estão 14 bolas verdes e 6 bolas amarelas. Cinco dessas bolas são

sorteadas uma após a outra. Determine a probabilidade das três primeiras serem verdes e

as suas últimas serem amarelas.

2) Em uma pós-graduação, 25% dos estudantes foram reprovados em Matemática, 15% em

Metodologia da Pesquisa e 10% nas duas disciplinas. Um estudante é sorteado

aleatoriamente. Determine cada probabilidade a seguir.

a) Se ele foi reprovado em Metodologia, qual é a probabilidade dele ter sido reprovado em

Matemática?

b) Se ele foi reprovado em Matemática, qual é a probabilidade dele ter sido reprovado em

Metodologia?

3) Três máquinas extratoras de suco engarrafam, respectivamente, 50%, 30% e 20% do

total em uma fábrica. As porcentagens de garrafas defeituosas que saem dessas máquinas

são, respectivamente, 3%, 1% e 2%. Uma garrafa é selecionada aleatoriamente pelo

controle de qualidade e é defeituosa. Determine a probabilidade de a garrafa ter saído da

máquina que dá 1% de defeito.

4) Em uma prestadora de serviços, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais do que

1,65 m de altura. Sabe-se que 60% dos funcionários são mulheres. Um funcionário foi

selecionado ao acaso e tem mais que 1,65 m de altura. Determine a probabilidade de a

pessoa selecionada ser mulher.


144

UNIDADE 27

Objetivo: Apresentar os conceitos de variável aleatória, esperança de uma variável.

Aleatória.

Recordando um conceito

Esta unidade inicia com a recordação de um conceito: o de função. Sejam A e B conjuntos

quaisquer.

Suponha que a cada a de A está associado um e somente um elemento de B. O conjunto f

formado por essas associações entre elementos de A e B é denominada função de A em B e

representa-se:

f : A→B.


145

Os elementos de B associados aos de A por meio de f são chamados de imagens dos

elementos de A por meio de f. O diagrama de uma função pode ser visto ao lado. Os

elementos de A formam o domínio da função. Os elementos de B relacionados aos de A

formam a imagem da função.

A inversa da função f (representada por f -1) consiste basicamente em inverter o domínio de f

pela sua imagem e vice-versa. Assim, tem-se f -1 de B para A, ou seja,

f -1: B →A.

Seja o espaço amostral de um experimento. Os resultados do experimento não precisam

ser números. Entretanto, deve-se atribuir um número ao resultado de cada experimento, para

determinar a probabilidade da sua ocorrência. Essa associação é chamada de variável

aleatória. Mais precisamente, uma variável aleatória X em um espaço amostral é uma

função de no conjunto IR dos números reais, tal que a imagem inversa de cada intervalo

de IR seja um evento de .

Se X e Y são variáveis aleatórias no mesmo espaço amostral , então X + Y, X + k, kX e XY

(k IR) são funções em .

Seja X uma variável aleatória num espaço amostral com contradomínio finito. X={x1, x2, x3,

..., xn}. Se cada ponto x, de X( ) for definida sua probabilidade como P(X= x1), ou seja, uma

f(x), tem-se um espaço de probabilidade. Essa função é chamada de distribuição ou função

de probabilidade.

Uma fdp pode ser dada pela tabela com que está ao lado.

Se X é uma variável aleatória com uma função de probabilidade a média ou esperança (ou

valor esperado) de X, representado por E(X) ou x ou E ou , é definido pelo somatório:


146

= )(

1ii

n

xfx, como já definido anteriormente, ou seja, uma média ponderada dos

possíveis valores de X ponderados por suas probabilidades.

Exemplo:

Uma moeda viciada de modo que P(K)= 32

e P(C)= 31

. Se a moeda for lançada três vezes, as

probabilidades dos pontos do espaço amostral é:

={KKK, KKC, KCK, CKK, CCC, CCK, CKC, KCC}.

Têm-se as seguintes probabilidades:

P(KKK)= 278

32

32

32

xx P(KKC)= 27

431

32

32

xx P(KCK)= 27

432

31

32

xx

P(CKK)= 274

32

32

31

xx P(CCC)= 27

131

31

31

xx P(CCK)= 27

232

31

31

xx

P(CKC)= 272

31

32

31

xx P(KCC)= 27

432

32

31

xx

Suponha que cada ponto da variável aleatória X seja associado ao maior número de caras

sucessivas que ocorrem. Assim:

P(KKK)=3; P(KKC)=2; P(KCK)=2; P(CKK)=2; P(CCC)=0; P(CCK)=1; P(CKC)=1; P(KCC)=1.

O conjunto imagem de X é X ( ) ={0, 1, 2, 3}. Calculando a função de probabilidade f de X:

x1 x2 ... xn

f(x1) f(x2) ... f(xn)


147

f(0)= P(CCC) = 271

f(1)= P({KCK, KCC, CKC, CKK}) = 2710

272

272

272

274

f(2)= P({KKC, CKK}) = 278

274

274

f(3)= P({KKK) = 27

8.

Colocando os valores em uma tabela, tem-se:

A média de X será: 0. 271

+1. 2710

+2. 278

+3. 278

= 2750

= 1,85.

Variância e desvio padrão

A média de uma variável aleatória X mede o valor “médio” de X. A variância de X de que

forma essa variável está “espalhada” ou “dispersa”. Seja X uma variável aleatória com a

distribuição dada na tabela ao lado. A variância de X [representada por var (X)] é definida

pela relação:

var(X) =

)(1

2)( ixfn

i ix

= E(X2) -

2 , onde é a média de X. O desvio-padrão de X,

representado por X é a raiz quadra da (não negativa) da var (X). X = )var(X .

Exemplo:

Dois dados são lançados, obtendo o espaço finito equiprovável formado pelos possíveis

pares ordenados de números naturais de 1 a 6. = {(l, 1), (1,2), ... , (6, 6)}. X associa a

cada ponto (a, b) de o maior desses números, isto é, X(a, b) = máx(a, b). Dessa forma, X

xi 0 1 2 3

f(xi) 271

2710

278

278


148

é uma variável aleatória e seu conjunto imagem é X( ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calculando a

distribuição f de X, tem-se:

f(1)=P(X=1) = P[{(1, 1)}] = 361

f(2)=P(X=2) = P[{(2, 1), (2, 2), (1, 2)}] = 363

f(3)=P(X=3) = P[{(3, 1), (3, 2), (3, 3), (2, 3), (1, 3)}] = 365

f (4)=P(X=4) = P[{(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (3, 4), (2, 4), (1, 4)}] = 367

f (5)=P(X=5) = P[{(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (4, 5), (3, 5), (2, 5), (1, 5)}] = 369

f (6)=P(X=6)=P[{(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (4, 6), (3, 6), (2, 6), (1, 6)}]= 3610

Colocando-se os dados na tabela, tem-se:

Calculando a média X, tem-se:

= )( ii xfx 1. 361

+2. 363

+3. 365

+4. 367

+5. 369

+6. 3610

= 36161

= 4,47.

Calculando E(X2), tem-se:

E(X2) = )(2ii xfx = 12. 36

1+22. 36

3+32. 36

5+42. 36

752. 36

9+62. 36

10= 36

791= 21,97.

A var(X) será:

xi 1 2 3 4 5 6

f(xi) 361

363

365

367

369

3610


149

E(X2) - 2 = 21,97 – 19,98 = 1,99.

Dessa forma:

X = 99,1 1,4.


150

UNIDADE 28

Objetivo: Apresentar exercícios resolvidos e atividades sobre probabilidades.


1) (fonte: LIPSCHUTZ, S. - modificada) Determine a

variância e o desvio padrão para a seguinte distribuição:

Resolução:

= )(

1ii

n

xfx =

.461.11

21.3

31.2

→

)(1

2)( ixfn

i ix

= .26

61.11

21.3

31.2 222

→

→2 =

)(1

2)( ixfn

i ix

= 26 – 16 = 10. → .2,310

2) (fonte: LIPSCHUTZ, S. - modificada) Lança-se um dado não viciado. Seja X o dobro do

número ocorrido, e Y igual a 1 ou 3, conforme ocorra um número ímpar ou par,

respectivamente. Ache a variância e desvio-padrão de X.

Resolução:

O espaço amostral é = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e cada número ocorre com probabilidade 1/6. X(1)

= 2, X(2) = 4, X(3) = 6, X(4) = 8, X(5) = 10, X(6) = 12. Então X(S) = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e cada

número tem probabilidade 1/6. Assim a distribuição de X é:

xi 2 3 11

f (xi) 1/3 1/2 1/6


151

xi 2 4 6 8 10 12

f (xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Dessa forma: )(

1ii

n

xfx=

.7642

61.12

61.10

61.8

61.6

61.4

61.2

→

→

)(1

2)( ixfn

i ix

= .7,60

6364

61.12

61.10

61.8

61.6

61.4

61.2 222222

→

→ x2 =

)(1

2)( ixfn

i ix

= 60,7 – 72 = 11,7. → .4,37,11 x

3) (fonte: LIPSCHUTZ, S. - modificada) Desenham-se círculos concêntricos de 1 e 3

centímetros de raio num alvo circular de 5 cm de raio. Um homem ganha 10, 5 ou 3 pontos,

conforme atinja o alvo no círculo menor, no do meio ou no de fora, respectivamente.

Suponhamos que atinja o alvo com probabilidade 1/2 e que os pontos do alvo sejam

igualmente prováveis. Ache o número esperado E de pontos que ele obtém, cada vez que

atira.

Resolução:

A probabilidade de obter 10, 5, 3 ou 0 pontos é a seguinte:

f (10) = 501

)5()1(.

21

2

2

; f (5) = 508

)5()1()3(.

21

2

22

;


152

f (3) = 5016

)5()3()5(.

21

2

22

; f (0) = 21

.

Assim, o número de pontos esperado é E = .96,1

5098

21.0

5016.3

508.5

501.10

1) (fonte: LIPSCHUTZ, S. - modificada) Determine a variância e o desvio padrão para a

seguinte distribuição:

2) (fonte: LIPSCHUTZ, S. - modificada) Lança-se um dado não viciado. Seja X o dobro do

número ocorrido, e Y igual a 1 ou 3, conforme ocorra um número ímpar ou par,

respectivamente. Ache a variância e desvio-padrão de Y.

3) Um jogador lança duas moedas não viciadas. Ganha R$ 10,00 ou R$ 20,00, caso ocorra

uma ou duas caras e perde R$ 50,00 caso não ocorra cara. Determine o valor esperado

para o jogador nesse jogo. O jogo é favorável ao jogador?

4) Um jogador lança dois dados não viciados. Ele ganha R$ 15,00 se ocorrerem 2 números

pares, R$ 12,00 se ocorrer um número par e R$ 11,00 se não ocorrer número par.

Determine o valor esperado para o jogador nesse jogo. O jogo é favorável ao jogador?

xi 5 4 1 2

f (xi) 1/4 1/8 1/2 1/8


153

UNIDADE 29

Objetivo: Apresentar a distribuição normal das probabilidades.

Introdução

Considere repetições independentes do mesmo experimento com dois resultados: sucesso e

insucesso (ou fracasso ou falha) como já foi visto. Sejam p a probabilidade de sucesso e q =

1 - p a probabilidade de fracasso. Se for buscado o número de sucessos e insucessos, mas

não em uma determinada ordem, aplica-se a distribuição binomial da probabilidade (já vista).

Exemplo:

Um dado não viciado é lançado 8 vezes. Nesse caso, o sucesso será a ocorrência de 3 ou 5.

Determine a probabilidade do 3 ou o 5 ocorrer exatamente 5 vezes.

Resolução:

n = 7; k = 5; p (A) = P({3, 5}) = 31

62

e p( A ) = q = 1 – p = 32

311

.

Aplicando a distribuição binomial das probabilidades, tem-se:

→

58

. ( 31

)8 - 5. ( 32

)5, que dá 65611792

243273278

24332

271

123678

xxxxx

xxxx

ou

0, 27 ou 27%.

A distribuição binomial também é chamada de distribuição

Bernoulli. Os ensaios independentes com dois resultados

chamados ensaios de Bernoulli. A distribuição binomial tem

propriedades descritas na tabela ao lado.

Média =n.p Variância 2 = n.p.q

Desvio padrão

qpn ..


154

Exemplo:

Um dado não viciado é lançado 200 vezes. O número esperado de repetições do número 6 é

3061.180

. O desvio padrão desse ensaio é qpn .. = 65.

61.180

= 5.

Distribuição normal

A distribuição ou curva normal (ou de Gauss) é definida pela função

Nessa expressão, tanto como são constantes arbitrárias e positivas. Os diagramas a

seguir mostram as mudanças no gráfico de f quando e variam. Particularmente, as

duas curvas em forma de sino são simétricas em torno de x = .


155

A distribuição normal tem as seguintes propriedades:

Uma distribuição normal com média e variância 2 é

abreviadamente representada por N( ,2 ). Feita a substituição de

)(

xt

na fórmula (I), obtém-se a fórmula

da distribuição ou curva normal padrão, que é:

A curva normal padrão tem média = 0 e

variância 2 = 1. O gráfico dessa

distribuição está na figura abaixo. No

intervalo -1 t 1 tem-se 68,2% da área

sob a curva. Para -2 t 2 obtém-se

95,4% da área sob a curva.

Se X é variável aleatória contínua com distribuição normal ela é dita normalmente distribuída.

Calcula-se a probabilidade de X estar entre os valores a e b P(a X b) transformando a e b

nas unidades padrões a’ = a

e b’ = b

, respectivamente. Assim, P(a X b) =

P(a’ X* b’) = A (A é a área sob a curva normal padrão entre a’ e b’ e X* é a variável

aleatória padronizada que corresponde a X). X* tem distribuição normal padrão B (0, 1).

A distribuição binomial P(k) = b(k, n, p) é aproximada

pela distribuição normal quando n é grande e

quando p e q não são próximos de zero. Esta

propriedade é ilustrada no diagrama seguinte com a

distribuição binomial (extraída de LIPSCHUTZ, S.)

que correspondente a n = 8 e p = q = 4.

Média

Variância 2

Desvio

Padrão


156

K 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P(k) 2561

2568

25628

25656

25670

25656

25628

2568

2561

Distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson é definida pela fórmula:

Nessa fórmula, >0 é uma constante. Esta distribuição é infinita enumerável. Ela quantifica

fenômenos como o número de chamadas telefônicas por minuto em uma central, o número

de erros de impressão por página em texto grande e o número de partículas α emitidas por

uma substância radioativa.

Na distribuição de Poisson têm-se os seguintes elementos:

Média

Variância 2 =

Desvio

padrão =

Antes de dar início à sua Prova Online é fundamental que você acesse sua SALA

DE AULA e faça a Atividade 3 no “link” ATIVIDADES.


157

UNIDADE 30

Objetivo: Apresentar o conceito de cadeia de Markov.

Vetores de probabilidades

Um vetor

v = (v1, v2, v3, ... , vn ) é chamado vetor de probabilidade se:

1º) Suas componentes são não negativas.

2º) Essas componentes somam 1.

Exemplos:

Considere os seguintes vetores a seguir.

1) O vetor

21,

41,

41

é de probabilidade.

2) O vetor

41,

31,

31,

43

não é de probabilidade, pois uma coordenada é negativa.

3) O vetor

1,

31,

32

não é de probabilidade, pois a soma das suas coordenadas não é 1.

4)

v = (0, 1, 2, 3, 4) não é vetor de probabilidade. A soma de suas componentes é 0 + 1 + 2 +

3 + 4 = 10. Porém, as coordenadas dele não são negativas. Nesse caso, ele tem um único

múltiplo escalar

v , IR , que é um vetor de probabilidade. Esse pode é obtido


158

multiplicando cada componente de

v pelo inverso da soma de suas componentes. Assim,

104,

103,

102,

101,

100

101 v

é um vetor de probabilidade.

Matriz estocástica

Uma matriz quadrada

nxnijmM é matriz estocástica se cada linha é um vetor de

probabilidade.

Exemplos:

1) A =

2121

21

não é matriz estocástica por causa do número negativo na segunda linha.

2) B =

21

41

41

021

21

31

31

31

é matriz estocástica.

3) C =

032141

41

41

41

00100001

não é matriz estocástica por causa da soma da última linha.


159

Observações:

1) Se duas matrizes A e B são estocásticas o produto AB será uma matriz estocástica e toda

potência de A na forma An também é matriz estocástica.

2) Uma matriz estocástica A é regular se todos os elementos das linhas das potências na

forma An são positivos.

Exemplos:

1) A matriz estocástica A =

21

21

10

é regular, pois A2 =

43

41

21

21

.

2) A matriz estocástica A =

41

43

01

não é regular, pois toda potência An terá o vetor

(1, 0) como primeira linha.

Cadeia de Markov

Considere uma sequência de ensaios cujos resultados, x1, x2, x3, ... , satisfazem as

propriedades:

1ª) Cada resultado pertence a um conjunto finito de resultados (a1, a2, a3, ... , an)

denominado espaço dos estados do sistema. Se o resultado da enésima tentativa é ai, o

sistema se encontra no estado a no instante n.

2º) O resultado de qualquer ensaio depende, no máximo, do resultado do ensaio

imediatamente anterior (não de qualquer outro ensaio precedente). A cada par de estados

(ai, aj) está associada a probabilidade pij em que aj ocorre imediatamente após ai ter

ocorrido.


160

Um processo estocástico com as propriedades acima é chamado de Cadeia Finita de

Markov. Os números pij são chamados de probabilidades de transição e podem ser

dispostos segundo uma matriz. A matriz P =

nnnnn

n

n

n

pppp

pppppppppppp

..................

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

recebe o nome de

matriz de transição.

A cada estado corresponde a iésima linha (pi1, p i2, p i3, ... , p in) da matriz de transição P.

Se o sistema está no estado a1, esse vetor-linha representa as probabilidades de todos os

possíveis resultados do próximo ensaio, de modo que é um vetor de probabilidade.

Conseqüentemente a matriz de transição P da cadeia de Markov é uma matriz estocástica.

Exemplo:

Uma coordenadora de uma escola é obrigada a se comunicar com os professores por celular

ou telefone fixo. Ela o telefone fixo 2 vezes seguidas. Se usa o celular, na chamada seguinte

é tão provável que usa o telefone fixo quanto o celular. O espaço de estados do sistema é

{t(telefone fixo), c(celular)}.

Resolução:

O processo estocástico será uma cadeia de Markov porque o resultado em

qualquer chamada depende somente do que acontece na chamada anterior. A matriz de

transição dessa cadeia de Markov é dada na figura ao lado. A primeira linha corresponde ao

fato dela não usar o telefone fixo duas vezes seguidas. Ela utiliza o celular após usar o

telefone fixo. A segunda linha corresponde ao fato de na ligação seguinte à feita por celular

ela usar novamente o celular ou usar o telefone fixo com probabilidades iguais.


161

Três professores A, B e C telefonam um para o outro. A sempre telefona para B e B

sempre telefona para C. Porém é tão provável que C telefone para B quanto para A. Seja

X, a enésima pessoa que telefona. O espaço de estado do sistema é {A, B, C} e trata-se

de uma cadeia de Markov, pois a pessoa que telefona em dado instante não é

influenciada pelas que telefonaram anteriormente. Escreva a matriz de transição da

cadeia de Markov para esse caso.

Probabilidade de transição em várias etapas

O elemento pij na matriz de transição P da cadeia de Markov é a probabilidade do sistema

passar do estado ai para o estado aj em uma passagem ai→aj.

Qual é a probabilidade, representada por pij(n) d o sistema passar de um estado ai para o

estado aj em exatamente n etapas na seqüência:

ai→ak1 →ak 2 →ak 3 ... ak 1n → ak→aj.

Observação:

Se P é a matriz de transição da cadeia de Markov, a matriz de transição em n etapas é igual

a enésima potência de P.

Exemplo:

Retornando à matriz do caso em que a coordenadora usa dois tipos de telefones. Chamando

de P a matriz do exemplo, tem-se:


162

P =

Como P2 = P.P, tem-se:

P4 = P2. P2 =

43

41

31

21

.

43

41

31

21

=

1611

165

85

83

.A probabilidade do sistema passar do estado a

para o estado b em exatamente 4 etapas é 85

(representa-se por )4(

abp = 85

. Analogamente:

)4(aap

= 83

, )4(

bap =165

e )4(

bbp =1611

.

Distribuição estacionária de uma cadeia regular de Marcov

Suponha que uma cadeia de Markov seja regular (ou seja, sua matriz de transição P seja

regular). A sequência das matrizes de transição em n etapas converge para uma matriz cujas

linhas são iguais ao único vetor de probabilidade fixo (t de P). A probabilidade P ij )(n de que

aij ocorre quando n é suficientemente grande independe do estado inicial a1 e é

aproximadamente igual à componente tj de t.

Dito de outra forma suponha que a matriz de transição P, de uma cadeia de Markov seja

regular. Para n suficientemente grande a probabilidade de que qualquer estado aj ocorra é

aproximadamente igual à correspondente tj do único vetor fixo t de P de probabilidade para

todo j.

O efeito do estado (ou da distribuição) inicial do processo desaparece conforme o número de

etapas aumente. Toda sequência de distribuição de probabilidade converge para o vetor fixo

de probabilidade t de P, denominado distribuição estacionária da cadeia de Markov.


163

Exemplos:

1) Considere novamente a cadeia de Markov do exemplo dos dois tipos de

telefones, cuja matriz de transição é

P =

O único vetor fixo de probabilidade da matriz é ( 32,

31

) e após um número grande de dias a

coordenadora utilizará o telefone convencional trem com probabilidade 31

e usará o celular

com probabilidade 32

.

2) Considere a cadeia de Markov da atividade da unidade anterior. O único vetor fixo de

probabilidade de tal matriz é ( 52,

52,

51

). Dessa forma, após um número grande de etapas a

ligação para A tem probabilidade 0,2 e para B e C com probabilidade 0,4.

Estados absorventes

Em uma cadeia de Markov um estado é chamado absorvente se o

sistema permanece no estado a1 desde que este tenha sido visitado.

O estado aj. é chamado absorvente se somente se a iésima linha da

matriz P de transição tem i na diagonal principal e zeros nas demais

posições.

Exemplo:

Suponha que a matriz ao lado seja matriz de transição de uma cadeia de Markov. Os

estados a2, a3e a4 são absorventes porque a segunda a terceira e a quarta linhas têm um 1

na diagonal principal e zero nos demais elementos.


164

1) Encontre um número apropriado para obter um vetor de probabilidade a partir dos vetores

dados.

a) (1,2) b) (1, 0, 3) c) (9, 7, 5, 3) d) (1, 0, 3, 0, 6)

2) Os turnos de trabalho em uma siderúrgica são os seguintes: se alguém trabalha no 3º

turno, tem 70% de certeza que não trabalha no 3º turno do dia seguinte. Porém, se trabalhar

no 3º turno de um dia, tem 60% de certeza de que não trabalhará no 3º turno do dia

seguinte. Com que frequência alguém trabalha numa seqüência grande de dias?

3) Um técnico verificou os seguintes detalhes a respeito do funcionamento de robôs

submetidos a uma rotina de experiências: para qualquer ensaio particular, 80% dos robôs

que se moveram para a direita no experimento anterior, se moverão para a direita no

próximo experimento. Também se tem que 60% dos que se moveram para a esquerda no

experimento anterior, se moverão para a direita no próximo experimento. Se 50% dos robôs

se moveram para a direita no primeiro experimento, o responda:

a) O que pode ser previsto para o segundo experimento?

b) O que pode ser previsto para o terceiro experimento?

c) O que pode ser previsto para o milésimo experimento?

4) As probabilidades de transição da cadeia de Markov

podem ser representadas por um diagrama chamado

diagrama de transição (um grafo direcionado) no qual uma probabilidade positiva pij é

representada por uma flecha, direcionada do estado ai para o estado aj. Determine a matriz

de transição de cada um do diagrama ao lado.


165

Atividades dissertativas

Acesse sua sala de aula, no link “Atividade Dissertativa” e faça o exercício proposto.

Bons Estudos!


166

GLOSSÁRIO Caso haja dúvidas sobre algum termo ou sigla utilizada, consulte o link glossário em sua sala

de aula, no site da ESAB.


167

BIBLIOGRAFIA COPI, I. M. Introdução à lógica. 2 ed. São Paulo: Mestre Jou, 1978.

FEITOSA, H. A.; PAULOVICH, L. Um prelúdio à lógica. São Paulo: Unesp, 2005.

HAZZAN, S. Fundamentos de Matemática Elementar volume 5. 5 ed. São Paulo: Atual,

1991.

IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar volume 1. 6 ed. São

Paulo: Atual, 199.

LIPSCHUTZ, S. Probabilidade. 3 ed. São Paulo: Mc Graw-Hill do Brasil, 1979.

MACHADO, A. S. Matemática Temas e Metas volume 1. São Paulo: Atual, 1992.

MACHADO, N. J. Matemática por assunto volume 1. São Paulo: Scipione, 1988.

NÉRICI, I. G. Introdução à lógica. 9ed. São Paulo: Nobel, 1992.

probabilidade aplicada às telecomunicações

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