probabilistyka wykลad 1w12.pwr.wroc.pl/lmg/wp-content/uploads/km/probabilistyka_w3.pdfย ยท ๐ =...
TRANSCRIPT
-
3
-
lim๐ฅโโโ
๐น ๐ฅ = 0 lim๐ฅโโ
๐น ๐ฅ = 1
๐น: โ โ [0,1]
๐น ๐ฅ = ๐๐ ๐ โค ๐ฅ , ๐ฅ โ โ
-
1
x
F(x) ๐ ๐ฅ =๐๐น(๐ฅ)
๐๐ฅ
x๐น ๐ฅ =
โโ
๐ฅ
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
-
1) ๐(๐ฅ) โฅ 0
2)
โโ
+โ
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = 1
๐๐ ๐ < ๐ < ๐ =
๐
๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐๐ ๐ < ๐ =
โโ
๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
-
๐๐ = ๐ธ๐๐ =
โโ
+โ
๐ฅ๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐๐ = ๐ธ๐๐ =
๐=1
๐
๐ฅ๐๐Pr(๐ = ๐ฅ๐)
x
๐๐ = ๐ธ(๐ โ ๐ธ๐)๐
๐2 = ๐ท2๐ = ๐ธ๐2 โ (๐ธ๐)2
๐ = ๐2
m
s
-
๐ฝ๐ลผ๐๐๐ ๐ = ๐๐ + ๐, ๐ก๐
๐ฝ๐ลผ๐๐๐ ๐, ๐ ๐ ฤ ๐๐๐๐ง๐๐๐ลผ๐๐, ๐ก๐
๐ฝ๐ลผ๐๐๐ ๐ = ๐๐ + ๐๐, ๐ก๐
๐ธ๐ = ๐๐ธ๐ + ๐
๐ธ(๐๐) = ๐ธ๐ โ ๐ธ๐
๐ธ๐ = ๐๐ธ๐ + ๐๐ธ๐
๐ท2๐ = ๐2๐ท2๐
๐ท2๐ = ๐2๐ท2๐ + ๐2๐ท2๐
๐ฝ๐ลผ๐๐๐ ๐ = ๐ ๐ , ๐ก๐ ๐ธ๐ = ๐ธ ๐ ๐ =
โโ
+โ
๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
-
x
1 2 3
-
x
ฯต
๐๐๐๐งPr(๐ โค ๐ฅ๐) โฅ ๐ Pr ๐ โฅ ๐ฅ๐ โฅ 1 โ ๐
๐น ๐ฅ๐ = ๐ 1
1 xp 6 x
F(x)
p
xp
โโ
๐ฅ๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐
-
xX1/2
-
๐๐ ๐ = ๐ฅ1 = ๐ ๐๐ ๐ = ๐ฅ1 = ๐ ๐๐๐ง๐๐ ๐ + ๐ = 1
๐ = 1 โ ๐
๐ธ๐ = ๐ฅ1 โ ๐ + ๐ฅ2 โ ๐ = ๐ฅ1 โ ๐ + ๐ฅ2 โ (1 โ ๐)
BB: ๐๐ ๐ = ๐ฅ1 โ ๐๐ ๐ = ๐ฅ1 = ๐2
CC: ๐๐ ๐ = ๐ฅ2 โ ๐๐ ๐ = ๐ฅ2 = (1 โ ๐)2
BC: ๐๐ ๐ = ๐ฅ1 โ ๐๐ ๐ = ๐ฅ2 = ๐(1 โ ๐)
CB: ๐๐ ๐ = ๐ฅ2 โ ๐๐ ๐ = ๐ฅ1 = 1 โ ๐ ๐
-
BB: ๐๐ ๐ = ๐ฅ1 โ ๐๐ ๐ = ๐ฅ1 = ๐2
CC: ๐๐ ๐ = ๐ฅ2 โ ๐๐ ๐ = ๐ฅ2 = (1 โ ๐)2
BC: ๐๐ ๐ = ๐ฅ1 โ ๐๐ ๐ = ๐ฅ2 = ๐(1 โ ๐)
CB: ๐๐ ๐ = ๐ฅ2 โ ๐๐ ๐ = ๐ฅ1 = 1 โ ๐ ๐
๐2 + 1 โ 2๐ + ๐2 + ๐ โ ๐2 + ๐ โ ๐2 = 1
-
๐๐ ๐ = ๐ =๐
๐๐๐(1 โ ๐)๐โ๐
-
๐ธ ๐ฅ๐ = 1 โ ๐ + 0 โ 1 โ ๐ = ๐
๐ฅ =
๐
๐ฅ๐
๐ธ ๐ฅ =
๐=1
๐
๐ธ(๐ฅ๐) = ๐=1
๐
๐ = ๐๐
-
๐ท2 ๐ฅ๐ = ๐ธ(๐ฅ๐)2 โ (๐ธ ๐ฅ๐ )
2
๐ธ(๐ฅ๐)2 = 12 โ ๐ + 02 โ (1 โ ๐) = ๐
๐ท2 ๐ฅ๐ = ๐ โ ๐2 = ๐(1 โ ๐)
๐ท2 ๐ฅ = ๐๐(1 โ ๐) = ๐๐๐
๐=1
๐
๐ท2(๐ฅ๐) =๐๐ท2(๐ฅ๐) =
-
๐๐ ๐ = ๐ =๐๐๐โ๐
๐!
๐ธ๐ = ๐ ๐ท2๐ = ๐ ๐๐ โ ๐ +1
3+
0,02
๐
-
1
๐ โ ๐
0 a bx
f(x)
โโ
+โ
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = 1
๐
๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = 1
๐ ๐ฅ
๐
๐
๐๐ฅ = ๐ ๐ฅ ๐ โ ๐ = 1
๐ ๐ฅ =
1
๐ โ ๐๐๐๐ ๐ฅ โ [๐, ๐]
0 ๐๐๐ ๐๐๐ง๐๐ ๐ก๐ล๐ฆ๐โ ๐ฅ
-
๐น ๐ฅ =
โโ
๐ฅ
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐
๐ฅ1
๐ โ ๐๐๐ฅ =
1
๐ โ ๐
๐
๐ฅ
๐๐ฅ = ๐ฅ
๐ โ ๐
๐ฅ๐
=๐ฅ โ ๐
๐ โ ๐
๐น ๐ฅ =
๐๐๐ ๐ฅ โ (โโ, ๐)
=
โโ
๐ฅ
0๐๐ฅ = 0
๐๐๐ ๐ฅ โ [๐, ๐)
๐น ๐ฅ =
๐๐๐ ๐ฅ โ [๐, +โ)
๐
๐1
๐ โ ๐๐๐ฅ +
๐
+โ
0๐๐ฅ = ๐ฅ
๐ โ ๐๐๐
=๐ โ ๐
๐ โ ๐= 1
-
1
๐ โ ๐๐น ๐ฅ =
0 ๐๐๐ ๐ฅ < ๐๐ฅ โ ๐
๐ โ ๐๐๐๐ ๐ โค ๐ฅ < ๐
1 ๐๐๐ ๐ฅ โฅ ๐
0 a bx
f(x)
0 a bx
F(x)
1
EX
๐ธ๐ =๐ + ๐
2
๐ท2๐ =(๐ โ ๐)2
12
-
๐ ๐ฅ = 0 ๐๐๐ ๐ฅ < 0
๐๐โ๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ โฅ 0, ๐ > 0
x
f(x)
๐ธ๐ =1
๐๐ท2๐ =
1
๐2
๐น ๐ฅ = 0 ๐๐๐ ๐ฅ < 0
1 โ ๐โ๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ โฅ 0, ๐ > 0
F(x)
x
-
๐ ๐ฅ =
0 ๐๐๐ ๐ฅ < 0
๐
๐
๐ฅ
๐
๐โ1
๐โ( ๐ฅ
๐)๐
๐๐๐ ๐ฅ โฅ 0, ๐ > 0
-
๐น ๐ฅ = 0 ๐๐๐ ๐ฅ < 0
1 โ ๐โ( ๐ฅ
๐)๐
๐๐๐ ๐ฅ โฅ 0, ๐ > 0
-
๐ ๐ฅ =1
๐ 2๐๐
(โ๐ฅโ๐ 2
2๐2)
( , s)
(0, 1)
๐ ๐ฅ =1
2๐๐(โ
๐ฅ2
2 )
-
๐ = ๐1 + ๐2 + โฏ + ๐๐๐ก๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ง๐ล๐๐ ๐ 0,1 ๐๐๐๐ง
๐ธ๐ = ๐ธ๐1 + ๐ธ๐2 + โฏ + ๐ธ๐๐
๐ท2๐ = ๐ท2๐1 + ๐ท2๐2 + โฏ + ๐ท
2๐๐
ฮฆ ๐ฅ =
โโ
๐ฅ1
2๐๐(โ
๐ฅ2
2 )๐๐ฅ
ฮฆ ๐ฅ =1
21 + ๐๐๐
๐ง
2
-
๐ ๐ฅ =
0 ๐๐๐ ๐ฅ < 0๐๐
ฮ(๐)๐ฅ๐โ1๐(โ๐๐ฅ) ๐๐๐ ๐ฅ โฅ 0, ๐ > 0
ฮ ๐ =
0
โ
๐ฅ๐โ1๐โ๐ฅ๐๐ฅ
๐น ๐ฅ =๐๐
ฮ(๐)
0
๐ฅ
๐ฅ๐โ1 ๐(โ๐๐ฅ)๐๐ฅ
๐ธ๐ =๐
๐๐ธ๐2 =
๐(๐ + 1)
๐2๐ท2๐ =
๐
๐2
-
3