probabilités nouveau programme rentrée 2012. en terminale s. statistiques 6 février 2013
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Probabilités
Nouveau programme rentrée 2012.
en terminale S.
Statistiques
6 février 2013
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Un premier retour de l’enseignement en première.
Pas mal de questions,
Mais beaucoup de réponses,
Et une vraie compréhension de la probabilité d’obtenir k succès.
* Un exemple d’activité
* Représentation
de la loi binomiale
* D’autres questions...
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Un point (délicat) en T.S :
L’introduction de la loi normale centrée réduite.
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Extrait du programme. Un tiers du temps...
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Intervalles de fluctuation et intervalles de confiance
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Problème : Comment justifier l’apparition de l’expression pour l’introduction de la loi normale centrée réduite ?
)1( pnp
npXZ nn
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• Il semble plus aisé d’utiliser l’expression
( )(1 )
nn
XnZ p
np p
cv vers p avec n.
soit que la moyenne des iX
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Il s’agit d’une convergence en loi mais il n’est pas question d’en donner une définition générale,
seulement d’en donner une observation graphique.
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• On peut proposer le modèle suivant, qui utilise les trois niveaux d’expérimentation, simulation et modélisation :
• On utilise une machine de Galton. En premier lieu avec peu de rangées, puis en augmentant n on montre que « l’enveloppe » « tend » vers une courbe caractéristique de la courbe de
Gauss. (par translation de la loi N.C.R.)
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Vers un déroulement logique ?
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Un exemple d’utilisation de l’approximation de la loi binomiale par la loi normale:
Surréservation aérienne
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Il arrive assez souvent que le nombre de réservations pour
une liaison aérienne soit supérieur au nombre de passagers se présentant effectivement le jour du vol.
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• Exemple : Pour compenser le manque à gagner, une compagnie aérienne exploitant un avion de 300 places décide de faire de la surréservation en prenant pour chaque vol un nombre n > 300 de réservations.
• S’il se présente plus de 300 passagers à l’embarquement, les 300 premiers
arrivés prennent leur vol
et les autres sont
dédommagés
financièrement.
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On considère que les passagers sont mutuellement indépendants (?) et on évalue statistiquement la probabilité de désistement de chacun d’eux à 10%. On note n le nombre de réservations prises par la compagnie pour un vol donné et Sn le nombre (aléatoire) de passagers se présentant à l’embarquement pour ce vol.
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On se propose de chercher la valeur maximale de n telle que :
P(Sn <300) > 0,99.
(en clair, on voudrait avoir 99% de chances de ne pas avoir à payer de dédommagement à des passagers)
Le théorème de De Moivre-Laplace permet de donner une solution approchée à ce problème.
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• La variable aléatoire Sn suit la loi binomiale B( n ; 0,9) , de moyenne
et d’écart type • Cette loi peut être approchée par la loi
normale . Il s’agit de trouver la plus grande valeur de n vérifiant : P(Sn <300)> 0,99 .
• La variable peut être approximée par la loi normale centrée réduite. C’est ici le cœur du théorème :
nnpm 9,0nnnpq 3,01,09,0
(0,9 ;0,3 )N n n
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300nS équivaut à :n
n
n
nSn3,0
9,0300
3,0
9,0
Soit :300 0,9
0,3n
nz
n
(T.M.L).
nz t
Or une table de la loi normale centrée réduite (ou une calculatrice) donne précisément la probabilité de l’évènement
selon les valeurs de t avec un pas de 1/100. Cette probabilité dépasse 0.99 à partir de t=2,33.Il suffit donc de choisir n de façon à ce que :
.
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33,23,0
9,0300
n
n
La solution positive de l’équation :0,9x² + 0,699x – 300 = 0 est 17,87, au centième près, et son carré est : 319,45. Si on prend jusqu’à 319 réservations, sous les hypothèses de notre modélisation, le Nombre de passagers se présentant à l’embarquement ne dépassera pas 300 au risque maximum de 1%.
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Le mot « au risque » n’est pas clair pour un non initié aux tests
d’hypothèse : peut être parler de probabilité ?
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Pour aller plus loin :On cherche, appelant p la probabilité q’un passager ne se désiste pas, quel nombre de réservation accepter pour que l’on ait 99% de chances de ne pas avoir à payer de dédommagement à des passagers)
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• En remplaçant 0,9 par p, on obtient une formule compliquée, mais qu’un tableur permet d’utiliser sans difficulté :
L’équation trouvée plus haut s’écrit :
et en posant de discriminant
ce qui équivaut à :
. 2,33 (1 ). 300 0p n p p n
nx
ppp 1200)1(33,2 2
p
ppn
2
1200)1(33,2)1(33,2 2
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Auto-critique…
• On voit que le résultat varie beaucoup en fonction de la valeur donnée à p ! Selon qu’on évalue p à 0,90 ou à 0,85, le nombre de surréservation acceptable passe de 19 à 35 !
• On conçoit que la validité de ce type de calcul soit sujette à discussion ! en tous cas on voit bien qu’avec une probabilité de désistement de 50% , on peut surbooker de presque 90%...
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Convergence en loi• Soient F1, F2, ... la suite des fonctions de
répartition associées aux variables aléatoires réelles X1, X2, ..., et F la fonction de répartition de la variable aléatoire réelle X. Autrement dit, Fn est définie par Fn(x)=P(Xn ≤ x), et F par F(x)=P(X ≤ x).
• La suite Xn converge vers X en loi, ou en distribution, si
pour tout réel a où F est continue :
lim
lim ( ( )) ( ))nn
F a F a
Visualisation 1
VisualisationTLC
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Beaucoup de questions :
1. Quel niveau de formalisation ? 2. Définition explicite ou pas des
concepts :Proba, variable aléatoire, indépendance…
3. Approche fréquentiste et probabilités.
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Exemples :
On fait un test sur une personne puis un deuxième de façon indépendante.
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Quelle frontière :entre les statistique et les
probabilités ?
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On lance 500 fois un dé pipé.
n° Face 1 2 3 4 5 6
nb d’apparitions 75 80 90 85 78 92
Quelle est la probabilité d'obtenir 4?Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre impair?Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
Exercice : extrait du manuel Maths Bréal 3ème n°56 page 102
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Comment évaluer les connaissances acquises :
• Alors qu’on a appris à étudier un problème avec du temps devant soi,
• A étudier sa mise en œuvre par expérimentation,
• A recueillir les données,• A travailler en équipe,• A simuler sur ordinateur,
Retour
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Intervalle de fluctuation ou de confiance ?
En seconde, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est :
1 1p ; p
n n
Soit :
1 1nXp pnn n
1 1nX np
n
Soit :
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nn
X npY
n
a pour variance :
1p( p )
a pour espérance 0 et variance 1 qui ne dépend ni de n ni de p.
qui ne dépend pas de n et
1n
n
X npZ
np( p )
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• A- Définition• Soit X une variable suivant une loi
B (n, p).• On appelle intervalle de fluctuation de
X au seuil 1-α tout intervalle [a,b] tel que :
( [ ,b])=1-X a
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Un intervalle de confiance pour une proportion p à un niveau de confiance 1 – α est la réalisation, à partir d’un échantillon, d’un intervalle aléatoire contenant la proportion p avec une probabilité supérieure ou égale à 1 - α. Cet intervalle aléatoire est déterminé à partir de la variable aléatoire
nn
XF
n qui, à tout échantillon de taille n, associe la fréquence.
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Exemple
Supposons que p soit inconnu . On peut approximer p par la proportion f obtenue par les données de l’échantillon (estimation ponctuelle) et déterminer l’intervalle de confiance de p au risque 0,95.
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1 10,95nXp p
nn n
1 1 1 1n n np F p F p F
n n n n
1 10 95n nP F p F ,
n n
L’intervalle aléatoire a une probabilité supérieure à 0,95 de contenir p. Il est appelé intervalle de confiance de p au seuil de 95%.
A justifier