probe klaus urla 2 15
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Probeklausur SS15TRANSCRIPT
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Probeklausur zur Linearen Algebra IIProf. Dr. Sander Zwegers, Dr. Holger Deppe
Wir empfehlen, diese Probeklausur wie eine echte Klausur zu bearbeiten. Fur die echte Klausurhaben Sie 180 Minuten Zeit und Taschenrechner sind nicht erlaubt. Sie konnen Ergebnisse vonden Ubungsblattern verwenden, ohne diese nochmals zu beweisen.
Es gibt insgesamt 80 Punkte (wie in der echten Klausur).
Name Vorname Matrikelnummer Studiengang
Unterschrift
Aufgabe Punkte
1
2
3
4
Aufgabe Punkte
5
6
7
8
Note Summe
1
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Name, Matrikelnummer:
Aufgabe 1. (10 Punkte)Sei
A =
1 0 10 1 01 0 2
M3(R)und sei s : R3 R3 R gegeben durch s(v, w) = v,Aw.(a) Zeigen Sie, dass s ein Skalarprodukt auf R3 ist.(b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis B vom R3 bezuglich s.
2
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Name, Matrikelnummer:
Aufgabe 2. (10 Punkte)Sei A SOn. Zeigen Sie: Es gibt eine schiefsymmetrische Matrix X Mn(R) mit exp(X) = A.
3
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Name, Matrikelnummer:
Aufgabe 3. (10 Punkte)Finden Sie fur die Matrix
A =
0 2 12 1 21 2 0
M3(R)eine Matrix g GL3(R), so dass gTAg die Form Ik gI`g O
hat.
4
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Name, Matrikelnummer:
Aufgabe 4. (10 Punkte)
Sei V = R3 mit dem kanonischen Skalarprodukt, sei U = spanR{(
210
),(
101
)} V und sei
SU die Spiegelung in U . Geben Sie die darstellende Matrix von SU bezuglich der kanonischengeordneten Basis vom R3 an.
5
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Name, Matrikelnummer:
Aufgabe 5. (10 Punkte)Finden Sie fur die Matrix
A =
1 1 2 00 2 1 00 0 2 01 0 0 2
M4(R)eine Matrix g GL4(R), so dass g1Ag in Jordan-Normalform ist.
6
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Name, Matrikelnummer:
Aufgabe 6. (10 Punkte)SeiN M12(R) eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzindex 4, so dass rg(N2) = 5 und rg(N3) = 2ist. Bestimmen Sie rg(N).
7
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Name, Matrikelnummer:
Aufgabe 7. (10 Punkte)
Berechnen Sie die zu B =
110
, 231
,421
duale Basis B von (R3).
8
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Name, Matrikelnummer:
Aufgabe 8. (10 Punkte)Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit Unterraumen U1 und U2. Zeigen Sie:(a) (U1 + U2)
0 = U01 U02 ;(b) U01 + U
02 = (U1 U2)0.
9
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Name, Matrikelnummer:
Notizpapier
10
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Name, Matrikelnummer:
Notizpapier
11
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Name, Matrikelnummer:
Notizpapier
12
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Name, Matrikelnummer:
Notizpapier
13