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RESISTENCIA DE MATERIALES CURSO 2015-16Convocatoria de Julio 5/7/2016
Fecha de publicacion de la preacta: 21/7/2016Fecha de revision del examen: 28/7/2016 a las 16:00
Problema 1 (10 puntos)
La estructura de la figura esta compuesta
de una viga ABC de seccion variable y
una barra CD, ambas unidas con una
articulacion en C.
i) Si se elimina la barra CD y se aplica
sobre la viga una fuerza puntual F ,
vertical y hacia abajo en C, calcular el
desplazamiento vertical del punto de
aplicacion de la carga.
L/2 L/2
3EI EI
H
EA
A BC
D
ii) Considerando ahora la estructura completa (con la viga y la barra), y sin ninguna fuerza
exterior sobre ella, se somete la barra CD a un salto termico #. Determinar el desplazamiento
vertical de C si el coeficiente de dilatacion termica de CD es ↵.
iii)Determinar el salto termico que hace que la barra CD pandee si su rigidez a flexion es EI.
iv)Demostrar que el resultado de la parte iii) tiene dimension de temperatura, indicando para
ello las dimensiones de todas las constantes que aparecen en dicha expresion.
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RESISTENCIA DE MATERIALES - GITI CURSO 2015-16 EXAMEN DE JULIO 5-7-2016 Fecha de publicación de la preacta: 21 de Julio Fecha de revisión: 28 de Julio a las 17:30 horas
PROBLEMA 1 (8 puntos)
En la estructura de la figura, el valor máximo de la carga triangular es 1167 N/m,
puede despreciarse el rozamiento entre la polea y el cable, y tanto las uniones entre
barras como el eje de la polea son pasadores que pueden considerarse exentos de
rozamiento.
Se pide:
1.- Grado de hiperestaticidad, indicando el número de libertades que introduce cada una
de las uniones (0,5 puntos).
2.- Reacciones en el empotramiento C y esfuerzo normal en el cable (1,5 puntos).
3.- Diagramas acotados de esfuerzos en todas las barras (5 puntos).
4.- Acortamiento de la barra BE, sabiendo que es un perfil normalizado L 50.5 (E = 210
GPa) (1 punto).
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( ) FMMmFmFM
FRRFF
FRRFF
CZCZCZ
CYCYY
CXCXX
05,105,1·45,0·0
00
00
−=→=++−→=
=→=+−→=
−=→=+→=
∑∑∑
F
F
0,9 m
0,9 m0,6 m0,6 m
A B C
D
E
X
Y
RCY
RCX
MCZ
RESOLUCIÓN 1.- Aislando la polea, se tiene que, por equilibrio de fuerzas, las acciones sobre ésta (que
verifican el equilibrio de momentos respecto al centro), son:
F
F
F
F
Así, el esquema de la estructura, una vez eliminada la polea, es el siguiente:
F
F
A B C
D
E
Hay tres incógnitas externas (reacciones en C), y tres ecuaciones de equilibrio, por
lo que externamente es isostática.
Internamente, el contorno cerrado añade tres incógnitas (esfuerzos en una sección
cualquiera), pero las uniones en A, B y E permiten cada una de ellas un giro relativo de
una de las secciones* con respecto al resto, por lo que cada una añade una libertad.
Internamente es, por tanto, también isostática.
Globalmente es, por tanto, isostática. (0,5 puntos) * A, B y E no son rótulas, puesto que para serlo deberían permitir el giro relativo entre todas las secciones
que unen.
2.- Planteando equilibrio
global en la estructura, se
tiene:
(1 punto)
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( ) NVmNmNmVM
NVVF
NHNHF
AABZ
BAY
AAX
75,430·5,3679,0·3502,1·0
03500
35003500
=→=−+→=
=+−−→=
−=→=−−→=
∑∑∑
El esfuerzo normal en el cable (F) tiene por valor el área de la distribución triangular
de carga:
NmmNF 3506,0·1167
21
== (0,5 puntos)
3.- Aislando las tres barras del conjunto, se tiene:
F
F
VE
HE
VA
HA
HA
VA VB
HB
HB
VB
VEHE
350 N
350 N
367,5 N·m
Al aplicar equilibrio de fuerzas en BE, se tiene que HE = HB y VE = VB.
Al aplicar ahora equilibrio de momentos en B, para la barra BE, se tiene que HE = 0
(se comporta como una barra biarticulada sin cargas transversales).
Así, las barras ABC y ADE quedan solo con tres incógnitas, por lo que del equilibrio
en alguna de ellas se obtienen las incógnitas restantes. Escogiendo ABC, se tiene:
HA350 N
350 N
367,5 N·mVBVA
0,6 m0,6 m 0,9 m
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350
350
306
44
350
350
367,5
350 306
306
30644
350
306·senα
44
350α
306·cosα350·cosα
350·(cosα+senα)
350·senα
184
44
350
24570
490
Al sustituir VA en la segunda de las ecuaciones, se obtiene VB = 306,25 N. (1 punto)
El esquema de acciones (fuerzas en N y momentos en N·m), sobre cada una de las
barras es, por tanto:
Para todos los diagramas, lo más cómodo es el esquema anterior, excepto en el
normal y el cortante en la barra AE, para los cuales es preciso descomponer parte de las
fuerzas según las direcciones longitudinal y transversal de la barra.
8,09,02,1
2,1cos6,09,02,1
9,02222=
+==
+= ααsen
Así, para las referencias locales y el criterio de signos de la figura siguiente, los
diagramas se muestran a continuación.
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x
yx
y
+
xy
x
y
184
254
306
350350
44
245 245
184
367,5
52,5Mz (N·m)
N (N) T (N)(1 punto) (1 punto)
(2 puntos)
4.- El acortamiento de BE se debe al tramo comprimido. Por estar sometido a esfuerzo
normal constante, la expresión es:
EALNL BEBE=Δ
Extrayendo de las tablas de perfiles laminados la sección de la barra, se tiene:
mmmm
mmN
mmNL 3
222
510·7,2
10·8,4·10·1,2
900·306 −−=−
=Δ (1 punto)
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PROBLEMA 2 (2 puntos)
En el conjunto de tuberías de PVC de la figura (G = 1,1 GPa, φext = 110 mm,
espesor 2,2 mm), se pide el desplazamiento vertical del extremo de la llave (donde se
encuentra aplicada la carga), debido exclusivamente a la torsión.
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RESOLUCIÓN El esquema de barras de la estructura es el siguiente:
AB
CD
E
250N
Se encuentran sometidas a torsión uniforme las barras AB y CD.
El descenso de E debido a la torsión, bajo la hipótesis de la teoría lineal con
pequeños movimientos, se debe a los giros de torsión de B y D (ya que los de A y C son
nulos):
DEDCDB LL ·· θθδ +=
Ambos giros, por ser torsión uniforme, se obtienen como:
00
··GI
LMGI
LM CDTCDC
ABTABB == θθ
Momento de inercia polar: ( ) ( ) 4644440 10·17,26,105110
3232mmI iie =−=−=
πφφπ
Momentos torsores:
MTAB = 250 N·175 mm = 43750 N·mm
MTCD = 250 N·225 mm = 56250 N·mm
Giros: rad
mmmm
NmmmmN
radmm
mmN
mmmmN
c
B
3
462
3
3
462
3
10·1,410·17,2·10·1,1
175··56250
10·4,610·17,2·10·1,1
350··43750
−
−
==
==
θ
θ
Descenso: mmmmmmmmmm 05,293,012,1225·10·1,4175·10·4,6 33 =+=+= −−δ
(2 puntos)
Nota: Al mismo resultado se llega aplicando el método de la carga unidad o el teorema de
Castigliano a la estructura completa, debiendo tener en cuenta la contribución energética
por torsión de las barras AB y CD.