Universitatea „Politehnica” din BucureştiFacultatea de Ingineria Sistemelor Biotehnice

Departamentul de Mecanică

PROGRMUL DE MASTER

INGINERIE ŞI PROIECTARE ASISTATE DE CALCULATORPENTRU MAŞINI ŞI STRUCTURI MECANICE

PROGRAM DE STUDIU PRIVIND TEORIA CONTACTULUI A DOUA CORPURI ELASTICE

TEMĂ DE CERCETAREanul I, sem. I

Student: Liviu BULGARU

Îndrumător: conf. dr. ing. Andrei CRAIFALEANU

anul universitar 2012-2013

CUPRINS

1. Introducere............................................................................................................32. Consideraţii teoretice.............................................................................................43. Aplicaţie numerică.................................................................................................64. Program de calcul............................................................................................8-105. Rezultate..........................................................................................................8-106. Reprezentare grafica si Concluzii........................................................................10Bibliografie.................................................................................................................12

2

Introducere:

Contactul mecanic a constituit o preocupare importantă în inginerie. Componentele care alcătuiesc maşinile, instalaţiile, structurile mecanice, etc. sunt în contact unele cu altele. Condiţiile diferă de la un caz la altul. Contactul poate fi fară apariţia unor deplasări relative (carcase, batiuri, fundatii etc.)sau mobile care se mişcă după o anumită traictorie sau axă (lagăre, angrenaje etc.). Contactul mobil conduce spre uzura corpurilor şi afectarea treptată a performantelor sistemului sau chiar la defectarea lui. Uzura fiind principalul motiv pentru care sistemele mecanice se strică şi trebuie inlocuite.

„ Corpurile sunt in contact cand există o suprafată comună care le separă şi nu există transfer de material de la un corp la altul. Contactul între corpuri presupune îndeplinirea unei condiţii cinematice, adică viteza relativă pe direcţia normalei la suprafeţele de contact este nulă şi a unei condiţii dinamice, de continuitate a tensiunilor la traversarea suprafeţei de contact (principiul acţiunii şi reacţiunii). Contactul este un fenomen complex, nelinear, deoarece depinde atât de proprietăţile elastice ale corpurilor care vin în contact, de geometria lor, de condiţiile de rezemare etc dar şi de evoluţia încărcărilor, adică starea finală a unei suprafeţe de contact depinde de felul în care sunt aplicate sarcinile. De asemenea în timpul aplicării sarcinilor se modifică (uneori fundamental), formele şi dimensiunile suprafeţelor de contact, precum şi distribuţiile. tensiunilor pe aceste suprafeţe. Generic, contactul între două corpuri are loc într-un punct, de-a lungul unei linii sau pe un plan. Această clasificare îşi are rădăcinile în idealizările făcute la modelare. Dacă cele două corpuri sunt sferice, de exemplu, se consideră contactul ca fiind punctiform. Contactul a doi cilindri de-a lungul generatoarei comune, se spune că este linear. La fel, contactul a doi dinţi aparţinând la două roţi dinţate aflate în angrenare. În realitate cele două corpuri se deformează. Cum forţele transmise de la un corp la celălalt sunt, de obicei, considerabile şi cum, tot generic, suprafeţele de contact sunt mici, presiunile de contact sunt foarte mari. Aceasta duce la tensiuni mari în cele două corpuri în zona apropiată de suprafaţa de contact, tensiuni care pot duce la curgere sau / şi la cedarea materialului. Aceste tensiuni duc la ruperea de mici “aşchii” din material, deci la uzură.” – Notite de curs UPB.

3

Consideraţii teoretice, privind teoria contactului a doua corpuri elastice

In cazul a doua corpuri elastice in contact, vom face ipoteza ca in imediata apropiere a punctului de contact comportarea celor doua corpuri este identica cu a semispatiului elastic.

Daca notam cu δ deformatia maxima, cu w1 si w2 deformatiile elastice ale doua corpuri si cu z1 si z2 cotele suprafetelor nedeformate fata de planele tangente. Rezulta relatia:

δ= z1 + z2 + w1 + w2

Expresiile z1 si z2 vor avea forma:

2 z1=A1 x12+B1 y1

2 ;2 z2=A2 x22+B2 y2

2

De remarcat ca expresiile sunt valabile fiecare pentru alt sistem de referinţă. Admitand că axele 0x1 şi 0x2

fac intre ele unghiul cunoscut ω, vom alege un sistem de axe 0xy, astfel incat expresia z1 + z2 care intervine sa nu conţina decat termeni in x2 şi în y2. Notand cu ω1 si ω2 unghiurile dintre 0x si 0x1 si 0x si 0x2 avem relatiile:

4

x1=xcosω1+ y sinω1; x2=x cosω2+ y sinω2

y1=−x sinω1+ y cosω1; x2=−x sinω2+ y cosω2

ω2=ω1+ω

Tinand seama de aceste relatii expresia z1 + z2 devine:

z1 + z2 = 12 [ A1 x1

2+B1 y12+A2x2

2+B2 y22 ]

rezulta pentru unghiul ω expresia:

tg 2ω1=− (A2−B2 ) sin 2ω

(A1−B1 )+( A2−B2)cos 2ω

Efectund calculele coeficientii lui x2 si y2 devin:

A=12 [ A1+B1+A2+B2−√ (( A1−B1 )2+ (A2−B2 )2+2 (A1−B1 )+( A2−B2)cos 2ω )]

B=12 [A1+B1+A2+B2+√ ((A1−B1 )2+( A2−B2 )2+2 ( A1−B1 )+(A2−B2 )cos2ω) ]

Odata constantele A si B determinate relatia se scrie:

δ−12

( A x2+B y2 )=w1+w2

Deformatiile w1 si w2 se vor scrie sub forma:

w1=k1∬((D ))

❑ p (ξ , η )dξdη

√ (ξ−x )2+ (η− y )2; w2=k2∬

( (D ))

❑ p (ξ , η )dξdη

√(ξ−x )2+(η− y )2

Unde,

k1=1−μ1

2

π E1; k 2=

1−μ22

π E2

si k=k1+k 2=1−μ1

2

π E1+

1−μ22

π E2

asa incat relatia devine

5

δ−12

( A x2+B y2 )= (k1+k2 )∬( (D ) )

❑ p (ξ , η )dξdη

√ (ξ−x )2+(η− y )2

Se ajunge astfel la aceeasi rezolvare ca in cazul poansonului rigid.

Aplicatie numerica:

Se considera doi cilindri infinit de lungi cu razele R1, respectiv R2, construiti din materiale avand modulul lui Young E1, respectiv E2, coeficienti lui Poisson µ1 si µ2 si tensiunea de curgere σc1, respectiv σc2.

Cei doi cilindri, ai caror axe de simetrie formeaza unghiul ω, sunt apasati unul pe celalalt cu forta concentrata P.

Se cer:

1) Coeficientii k1, k2, k= k1+ k2 din ecuatia integrala a contactului dintre diversi paraboloizi eliptici elastici.

2) Coeficientii A1,B1,A2,B2 din ecuatiile frontierei paraboloizilor cu care se aproximeaza cilindrii.3) Unghiurile ω1 si ω2.4) Coeficientii A si B.5) Excentricitatea e.6) Semiaxele zonei eliptice de contact a,b.7) Deformatia maxima δ.8) Tensiunea normala maxima ρ0.

Rezolvare:

Pentru a gasi o solutie numerica inlocuim anumite constante cu valori

Se cunosc:

E1=E2=2.1 ∙105 N/mm2

µ1 = µ2=0.3

σc1=σc2=210 N/mm2

R1=0.2m

R2=0.4m

6

Rezolvarea ei consta in mai multi pasi:

1) Coeficientii k1, k2, k= k1+ k2 din ecuatia integrala a contactului dintre diversi paraboloizi eliptici

elastici. {k1=1−μ1

2

π E1

k2=1−μ2

2

π E2

; k=k1+k 2=1−μ1

2

π E1+

1−μ22

π E2

2) Coeficientii din ecuatia integrala:

y12+(Z1−R1 )2=R1

2 folosim formula

Z1≅ R1[1−(1−12y1

2

R12 )]=R1

12y1

2

R12=

y12

2 R12 ,

{ A1=0

B1=1R1

; { A2=0

B2=1R2

3) Unghiurile dintre 0x si 0x1 si 0x si 0x2

ω1=12arctg [ −( A2−B2 ) sin 2ω

( A1−B1 )+( A2−B2 )cos2ω ];ω2=ω1+ω

4) Coeficientii A si B:

{A=12 [A1+B1+A2+B2−√( ( A1−B1 )2+( A2−B2 )2+2 ( A1−B1 )+( A2−B2 )cos2ω) ]

B=12 [A1+B1+A2+B2+√( ( A1−B1)2+( A2−B2 )2+2 ( A1−B1 )+( A2−B2 )cos2ω )]

5) Excentricitatea

e1=√1− A2

B2 ; e2=√1−( AB )

43

6) Semiaxele zonei eliptice de contact

{a=[ 3 kPA k (e )−E (e )e2 ]

13

b=a√1−e2

7

7) Deformatia maxima

δ=32k Pak (e )

8) Tensiunea normala maxima

ρ0=32Pπab

Program de calculMetoda de calcul a fost introdusa pentru rezolvare intr-un program de calcul MatCAD. In continuare este prezentat fisierul acestui program.

8

Contact elastic a doi cilindri

1. Definirea problemei

R1 .2 R2 .4

E1 2.1 1011 E2 2.1 1011

1 .3 2 .3

c1 210 1011 c2 210 1011

40

180 0.698

P 130

2. Coeficienţii din ecuaţia integrală

k11 1 2 E1

1.379 10 12 k21 2 2 E2

1.379 10 12

k k1 k2 2.759 10 12

3. Coeficienţ ii din ecuaţiile paraboloizilor

A1 0 A2 0B1 1

R15 B2 1

R22.5

4. Unghiurile ω 1, ω 2

1 12

atanB2 A2( )sin 2( )

A1 B1( ) A2 B2( )cos 2( )

0.2132 1 0.485

1 180

12.187 2 180

27.813

5. Coeficienţ ii A, B

A 12

A1 B1 A2 B2 A1 B1( )2 A2 B2( )2 2 A1 B1( ) A2 B2( ) cos 2( ) 0.767

B 12

A1 B1 A2 B2 A1 B1( )2 A2 B2( )2 2 A1 B1( ) A2 B2( ) cos 2( ) 6.733

7. Semiaxele zonei eliptice de contact

a3k PA

K e( ) E e( )

e2

1

3

1.381 10 3

b a 1 e2 3.332 10 4

9

6. Excentricitatea

e1 1AB

2

0.993

e1 1AB

4

3

0.972

K e( )

0

2

1

1 e2 sin ( )2

d

E e( )0

2

1 e2 sin ( )2

d

f e( )1 e2 K e( ) E e( )( )

E e( ) 1 e2 K e( )

AB

e e1

e root f e( ) e( ) 0.97

8. Deformaţia maximă

32

kPa

K e( ) 1.105 10 6

9. Tensiunea normală maximă

0 32

P a b

1.349 108

10. Reprezentare grafică

m 100

n 10

i 0 1 m

j 0 1 n

i 2im

x1i j R1 cos i

x2i j R2 cos i

z1i j R1 R1 sin i

z2i j R2 R2 sin i

y1i j1 n j( ) 1 j

n

y2i j1 n j( ) 1 j

n

10

Concluzii:

Programul de lucru faciliteaza calculul unor probleme de elasticitate privind teoria contactului a doua corpuri elastice. Contactul are loc întotdeauna pe o suprafaţă, fie ea şi foarte mică. Contactul este menţinut de forţele care se transmit între cele două corpuri. Aceste forţe se pot descompune pe direcţie perpendiculară pe suprafaţa de contact şi pe direcţii paralele cu această suprafaţă. Forţele normale produc o presiune de contact, iar cele tangenţiale tind să ducă la alunecarea relativă a corpurilor. Atât timp cât corpul nu se mişcă, forţa de frecare ramane nedefinita.

11

x1ri j

y1ri j

cos 1( )

sin 1( )

sin 1( )

cos 1( )

x1i j

y1i j

x2ri j

y2ri j

cos 2( )

sin 2( )

sin 2( )

cos 2( )

x2i j

y2i j

x1r y1r z1( ) x2r y2r z2( )

Bibliografie1. Craifaleanu, A., Introducere în vâscoplasticitate, Ed. BREN, Bucureşti, 2001.2. Timoshenko, S., Goodier, J. N., Theory Of Elasticity, McGraw-Hill Book Company, New York, Toronto,

London, 1951.3. Voinea, R., Voiculescu, D., Ceauşu, V., Mecanica, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983.4. Voinea, R., Voiculescu, D., Ceauşu, V., Elasticitate şi plasticitate, Ed. PRINTECH, 2000.5. Voinea, R., Voiculescu, D., Simion, F., Introducere în mecanica solidului cu aplicaţii în inginerie, Ed.

Academiei R.S.R., Bucureşti, 1989.

12