problema do retangulo inscrito no triangulo
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8172019 Problema Do Retangulo Inscrito No Triangulo
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12 SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMAacuteTICA
Roberto Ribeiro Paterlini
UFSCar SP
O problema do retacircngulo inscrito aparece no ensino meacutedio sob vaacuteriasversotildees
Problema do retacircngulo inscrito Dado umtriacircngulo retacircngulo dentre os retacircngulosinscritos conforme a figura encontre o quetem aacuterea maacutexima
Eis o mesmo problema com um enunciado mais amigaacutevel
Problema da casa (Vestibular da FUVEST)
Num terreno na forma de um triacircngulo retacircngulocom catetos de medidas 20 e 30 metros deseja-seconstruir uma casa retangular de dimensotildees x e
y como na figura
a)
Exprima y em funccedilatildeo de x b)
Para que valores de x e de y a aacuterea ocupada pela casa seraacute maacutexima
30
20
y x
A ideacuteia usual para a resoluccedilatildeo deste problema eacute observar a semelhanccedilaentre os triacircngulos da figura e obter por exemplo a relaccedilatildeo
30
30
20
x y minus=
donde )30)(32(30)30(20 x x y minus=minus= Usando essa relaccedilatildeo para
substituir y em )( xy x A = temos )30()32()( x x x A minus= funccedilatildeo que
nos daacute a aacuterea do retacircngulo A funccedilatildeo quadraacutetica A tem ponto de maacuteximo
e nosso problema estaraacute resolvido quando encontrarmos a abcissa desse ponto o veacutertice da paraacutebola que eacute o graacutefico da funccedilatildeo As raiacutezes de A
satildeo 0 e 30 cuja meacutedia aritmeacutetica eacute 15 Portanto 15= x eacute a abcissado veacutertice e o valor correspondente para y eacute 10 Vemos que a altura e a
O PROBLEMA DO RETAcircNGULOINSCRITO
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REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMAacuteTICA 47 2001 13
base do retacircngulo inscrito de aacuterea maacutexima satildeo a metade respectivamente
da altura e da base do triacircngulo
Em um triacircngulo retacircngulo qualquer com base b
e altura h o resultado eacute o mesmo o retacircnguloinscrito de maior aacuterea (entre os retacircngulos posicionados como na figura) eacute o que tem base
2b e altura 2h Na figurah
xh
b
y minus=
)()( xh xh
b x A minus= ponto de maacuteximo de A
2
h x =
valor de y
2
b
b
h
y
x
Usando dobradura
No ano de 2000 estava lecionando uma disciplina de problemas paraalunos do Curso Noturno de Licenciatura em Matemaacutetica da UFSCar ecerto dia sugeri aos estudantes resolverem esse problema Minhaexpectativa era que utilizassem o meacutetodo descrito acima e de fato muitosassim o fizeram Mas tive a agradaacutevel surpresa de ver que a estudanteTatiana Gaion Malosso juntamente com os colegas de seu grupo detrabalho resolveu facilmente o problema usando dobraduras Quandoincentivamos a criatividade podemos ver as soluccedilotildees mais interessantes eaprendemos a pensar com liberdade
Vamos descrever a soluccedilatildeo por dobradura apresentada pela estudanteTomamos uma folha de papel e a cortamos no formato de um triacircnguloretacircngulo ABC
Dobramos o papel de modo a fazer coincidir o ponto A com o ponto B e em seguida dobramos de modo a fazer coincidir o ponto C com o ponto B como nas figuras abaixo
A
B C
A=B C A=B=C
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14 SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMAacuteTICA
Desdobrando e voltando ao triacircngulo original vemos que marcamos
duas linhas que se encontram no ponto meacutedio de AC
A
B C
D
F
E=Ersquo
De fato por construccedilatildeo D eacute o ponto meacutedio
de AB e DE eacute paralelo a BC logo E eacute
o ponto meacutedio de AC Da mesma forma F
eacute o ponto meacutedio de BC e FE eacute paralelo a
AB logo E eacute o ponto meacutedio de AC e E E =
As duas linhas que marcamos no triacircngulo determinam um retacircngulocuja altura eacute a metade da altura do triacircngulo e cuja base eacute a metade da base do triacircngulo Observamos que o triacircngulo original ficou subdivididoem trecircs figuras dois triacircngulos menores e o retacircngulo e a dobraduradeixa claro que a soma das aacutereas dos dois triacircngulos menores eacute igual agrave doretacircngulo Portanto a aacuterea do retacircngulo eacute a metade da aacuterea do triacircngulooriginal
Vamos verificar usando dobradura que esse retacircngulo eacute o de maior aacuterea que se pode obter Tomamos um outro retacircngulo inscrito F E BD
A
B C
Drsquo
Frsquo
Ersquo
C
A
Frsquo
Ersquo Drsquo
B
A
BC
Drsquo
Frsquo
Ersquo A
B C
Drsquo
Frsquo
Ersquo
23
4
1
Dobramos o papel na linha E D (veja as figuras) e tracejamos o
segmento AB indicado na terceira figura Em seguida dobramos na
linha F E passando pelo ponto A marcado
O triacircngulo original fica subdividido em quatro regiotildees 1 2 3 e 4 demodo que somando as aacutereas de 1 e 3 obtemos a aacuterea de 2 (confira nafigura) Mas como temos a aacuterea de 4 vemos que a aacuterea de 2 eacute menor doque a metade da aacuterea do triacircngulo Portanto o retacircngulo F E BD natildeotem aacuterea maacutexima
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Outros desenvolvimentos
Em qualquer triacircngulo existe um retacircngulo inscrito De fato umtriacircngulo tem pelo menos dois acircngulos agudos Na figura a seguir
supomos Aang e Bang acircngulos agudos e construiacutemos o segmento DE
paralelo a AB Em virtude de serem Aang e Bang agudos os segmentos
perpendiculares a AB por D e E intersectam AB e obtemos umretacircngulo inscrito no triacircngulo
O leitor pode observar que em umtriacircngulo podem existir retacircngulosinscritos em ateacute trecircs posiccedilotildees diferentescom um lado do retacircngulo sobre um lado
diferente do triacircngulo A
D E
B F
C
G
Qualquer que seja a posiccedilatildeo a maior aacuterea do retacircngulo inscrito que se pode obter eacute a metade da aacuterea do triacircngulo
y
xh
b
h
xh
b
y minus= )()( xh x
h
b x A minus= ponto de
maacuteximo de A 2h x = valor
correspondente de y 2b
Podemos novamente usar dobradura para encontrar o retacircnguloinscrito de aacuterea maacutexima Seja ABC um triacircngulo qualquer esuponhamos que Aang e Bang satildeo agudos Cortamos um papel na formado triacircngulo dado Usando dobradura marcamos a altura do triacircngulorelativa ao lado AB Dobramos o triacircngulo de modo a fazer coincidir o
ponto C com o peacute desta altura no lado AB Continuamos procedendode modo anaacutelogo ao caso do triacircngulo retacircngulo
Referecircncias bibliograacuteficas[1] MALOSSO T G Nucci E e Yshimine M K 6 a Lista de exerciacutecios da
disci plina ensino de Matemaacutetica atraveacutes de problemas Curso Noturno de Licenciaturaem Matemaacutetica UFSCar 2000[2] IEZZI G Dolce O Degenszajn D M e Peacuterigo R Matemaacutetica Volume Uacutenico SatildeoPaulo Editora Atual 1998
[3] LIMA E L Carvalho P C P Wagner E e Morgado A C A Matemaacutetica doensino meacutedio Volume 1 Coleccedilatildeo do Professor de Matemaacutetica Rio de Janeiro SociedadeBrasileira de Matemaacutetica 1996
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base do retacircngulo inscrito de aacuterea maacutexima satildeo a metade respectivamente
da altura e da base do triacircngulo
Em um triacircngulo retacircngulo qualquer com base b
e altura h o resultado eacute o mesmo o retacircnguloinscrito de maior aacuterea (entre os retacircngulos posicionados como na figura) eacute o que tem base
2b e altura 2h Na figurah
xh
b
y minus=
)()( xh xh
b x A minus= ponto de maacuteximo de A
2
h x =
valor de y
2
b
b
h
y
x
Usando dobradura
No ano de 2000 estava lecionando uma disciplina de problemas paraalunos do Curso Noturno de Licenciatura em Matemaacutetica da UFSCar ecerto dia sugeri aos estudantes resolverem esse problema Minhaexpectativa era que utilizassem o meacutetodo descrito acima e de fato muitosassim o fizeram Mas tive a agradaacutevel surpresa de ver que a estudanteTatiana Gaion Malosso juntamente com os colegas de seu grupo detrabalho resolveu facilmente o problema usando dobraduras Quandoincentivamos a criatividade podemos ver as soluccedilotildees mais interessantes eaprendemos a pensar com liberdade
Vamos descrever a soluccedilatildeo por dobradura apresentada pela estudanteTomamos uma folha de papel e a cortamos no formato de um triacircnguloretacircngulo ABC
Dobramos o papel de modo a fazer coincidir o ponto A com o ponto B e em seguida dobramos de modo a fazer coincidir o ponto C com o ponto B como nas figuras abaixo
A
B C
A=B C A=B=C
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Desdobrando e voltando ao triacircngulo original vemos que marcamos
duas linhas que se encontram no ponto meacutedio de AC
A
B C
D
F
E=Ersquo
De fato por construccedilatildeo D eacute o ponto meacutedio
de AB e DE eacute paralelo a BC logo E eacute
o ponto meacutedio de AC Da mesma forma F
eacute o ponto meacutedio de BC e FE eacute paralelo a
AB logo E eacute o ponto meacutedio de AC e E E =
As duas linhas que marcamos no triacircngulo determinam um retacircngulocuja altura eacute a metade da altura do triacircngulo e cuja base eacute a metade da base do triacircngulo Observamos que o triacircngulo original ficou subdivididoem trecircs figuras dois triacircngulos menores e o retacircngulo e a dobraduradeixa claro que a soma das aacutereas dos dois triacircngulos menores eacute igual agrave doretacircngulo Portanto a aacuterea do retacircngulo eacute a metade da aacuterea do triacircngulooriginal
Vamos verificar usando dobradura que esse retacircngulo eacute o de maior aacuterea que se pode obter Tomamos um outro retacircngulo inscrito F E BD
A
B C
Drsquo
Frsquo
Ersquo
C
A
Frsquo
Ersquo Drsquo
B
A
BC
Drsquo
Frsquo
Ersquo A
B C
Drsquo
Frsquo
Ersquo
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4
1
Dobramos o papel na linha E D (veja as figuras) e tracejamos o
segmento AB indicado na terceira figura Em seguida dobramos na
linha F E passando pelo ponto A marcado
O triacircngulo original fica subdividido em quatro regiotildees 1 2 3 e 4 demodo que somando as aacutereas de 1 e 3 obtemos a aacuterea de 2 (confira nafigura) Mas como temos a aacuterea de 4 vemos que a aacuterea de 2 eacute menor doque a metade da aacuterea do triacircngulo Portanto o retacircngulo F E BD natildeotem aacuterea maacutexima
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Outros desenvolvimentos
Em qualquer triacircngulo existe um retacircngulo inscrito De fato umtriacircngulo tem pelo menos dois acircngulos agudos Na figura a seguir
supomos Aang e Bang acircngulos agudos e construiacutemos o segmento DE
paralelo a AB Em virtude de serem Aang e Bang agudos os segmentos
perpendiculares a AB por D e E intersectam AB e obtemos umretacircngulo inscrito no triacircngulo
O leitor pode observar que em umtriacircngulo podem existir retacircngulosinscritos em ateacute trecircs posiccedilotildees diferentescom um lado do retacircngulo sobre um lado
diferente do triacircngulo A
D E
B F
C
G
Qualquer que seja a posiccedilatildeo a maior aacuterea do retacircngulo inscrito que se pode obter eacute a metade da aacuterea do triacircngulo
y
xh
b
h
xh
b
y minus= )()( xh x
h
b x A minus= ponto de
maacuteximo de A 2h x = valor
correspondente de y 2b
Podemos novamente usar dobradura para encontrar o retacircnguloinscrito de aacuterea maacutexima Seja ABC um triacircngulo qualquer esuponhamos que Aang e Bang satildeo agudos Cortamos um papel na formado triacircngulo dado Usando dobradura marcamos a altura do triacircngulorelativa ao lado AB Dobramos o triacircngulo de modo a fazer coincidir o
ponto C com o peacute desta altura no lado AB Continuamos procedendode modo anaacutelogo ao caso do triacircngulo retacircngulo
Referecircncias bibliograacuteficas[1] MALOSSO T G Nucci E e Yshimine M K 6 a Lista de exerciacutecios da
disci plina ensino de Matemaacutetica atraveacutes de problemas Curso Noturno de Licenciaturaem Matemaacutetica UFSCar 2000[2] IEZZI G Dolce O Degenszajn D M e Peacuterigo R Matemaacutetica Volume Uacutenico SatildeoPaulo Editora Atual 1998
[3] LIMA E L Carvalho P C P Wagner E e Morgado A C A Matemaacutetica doensino meacutedio Volume 1 Coleccedilatildeo do Professor de Matemaacutetica Rio de Janeiro SociedadeBrasileira de Matemaacutetica 1996
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Desdobrando e voltando ao triacircngulo original vemos que marcamos
duas linhas que se encontram no ponto meacutedio de AC
A
B C
D
F
E=Ersquo
De fato por construccedilatildeo D eacute o ponto meacutedio
de AB e DE eacute paralelo a BC logo E eacute
o ponto meacutedio de AC Da mesma forma F
eacute o ponto meacutedio de BC e FE eacute paralelo a
AB logo E eacute o ponto meacutedio de AC e E E =
As duas linhas que marcamos no triacircngulo determinam um retacircngulocuja altura eacute a metade da altura do triacircngulo e cuja base eacute a metade da base do triacircngulo Observamos que o triacircngulo original ficou subdivididoem trecircs figuras dois triacircngulos menores e o retacircngulo e a dobraduradeixa claro que a soma das aacutereas dos dois triacircngulos menores eacute igual agrave doretacircngulo Portanto a aacuterea do retacircngulo eacute a metade da aacuterea do triacircngulooriginal
Vamos verificar usando dobradura que esse retacircngulo eacute o de maior aacuterea que se pode obter Tomamos um outro retacircngulo inscrito F E BD
A
B C
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Ersquo
C
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Ersquo Drsquo
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A
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Ersquo A
B C
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Dobramos o papel na linha E D (veja as figuras) e tracejamos o
segmento AB indicado na terceira figura Em seguida dobramos na
linha F E passando pelo ponto A marcado
O triacircngulo original fica subdividido em quatro regiotildees 1 2 3 e 4 demodo que somando as aacutereas de 1 e 3 obtemos a aacuterea de 2 (confira nafigura) Mas como temos a aacuterea de 4 vemos que a aacuterea de 2 eacute menor doque a metade da aacuterea do triacircngulo Portanto o retacircngulo F E BD natildeotem aacuterea maacutexima
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Em qualquer triacircngulo existe um retacircngulo inscrito De fato umtriacircngulo tem pelo menos dois acircngulos agudos Na figura a seguir
supomos Aang e Bang acircngulos agudos e construiacutemos o segmento DE
paralelo a AB Em virtude de serem Aang e Bang agudos os segmentos
perpendiculares a AB por D e E intersectam AB e obtemos umretacircngulo inscrito no triacircngulo
O leitor pode observar que em umtriacircngulo podem existir retacircngulosinscritos em ateacute trecircs posiccedilotildees diferentescom um lado do retacircngulo sobre um lado
diferente do triacircngulo A
D E
B F
C
G
Qualquer que seja a posiccedilatildeo a maior aacuterea do retacircngulo inscrito que se pode obter eacute a metade da aacuterea do triacircngulo
y
xh
b
h
xh
b
y minus= )()( xh x
h
b x A minus= ponto de
maacuteximo de A 2h x = valor
correspondente de y 2b
Podemos novamente usar dobradura para encontrar o retacircnguloinscrito de aacuterea maacutexima Seja ABC um triacircngulo qualquer esuponhamos que Aang e Bang satildeo agudos Cortamos um papel na formado triacircngulo dado Usando dobradura marcamos a altura do triacircngulorelativa ao lado AB Dobramos o triacircngulo de modo a fazer coincidir o
ponto C com o peacute desta altura no lado AB Continuamos procedendode modo anaacutelogo ao caso do triacircngulo retacircngulo
Referecircncias bibliograacuteficas[1] MALOSSO T G Nucci E e Yshimine M K 6 a Lista de exerciacutecios da
disci plina ensino de Matemaacutetica atraveacutes de problemas Curso Noturno de Licenciaturaem Matemaacutetica UFSCar 2000[2] IEZZI G Dolce O Degenszajn D M e Peacuterigo R Matemaacutetica Volume Uacutenico SatildeoPaulo Editora Atual 1998
[3] LIMA E L Carvalho P C P Wagner E e Morgado A C A Matemaacutetica doensino meacutedio Volume 1 Coleccedilatildeo do Professor de Matemaacutetica Rio de Janeiro SociedadeBrasileira de Matemaacutetica 1996
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Outros desenvolvimentos
Em qualquer triacircngulo existe um retacircngulo inscrito De fato umtriacircngulo tem pelo menos dois acircngulos agudos Na figura a seguir
supomos Aang e Bang acircngulos agudos e construiacutemos o segmento DE
paralelo a AB Em virtude de serem Aang e Bang agudos os segmentos
perpendiculares a AB por D e E intersectam AB e obtemos umretacircngulo inscrito no triacircngulo
O leitor pode observar que em umtriacircngulo podem existir retacircngulosinscritos em ateacute trecircs posiccedilotildees diferentescom um lado do retacircngulo sobre um lado
diferente do triacircngulo A
D E
B F
C
G
Qualquer que seja a posiccedilatildeo a maior aacuterea do retacircngulo inscrito que se pode obter eacute a metade da aacuterea do triacircngulo
y
xh
b
h
xh
b
y minus= )()( xh x
h
b x A minus= ponto de
maacuteximo de A 2h x = valor
correspondente de y 2b
Podemos novamente usar dobradura para encontrar o retacircnguloinscrito de aacuterea maacutexima Seja ABC um triacircngulo qualquer esuponhamos que Aang e Bang satildeo agudos Cortamos um papel na formado triacircngulo dado Usando dobradura marcamos a altura do triacircngulorelativa ao lado AB Dobramos o triacircngulo de modo a fazer coincidir o
ponto C com o peacute desta altura no lado AB Continuamos procedendode modo anaacutelogo ao caso do triacircngulo retacircngulo
Referecircncias bibliograacuteficas[1] MALOSSO T G Nucci E e Yshimine M K 6 a Lista de exerciacutecios da
disci plina ensino de Matemaacutetica atraveacutes de problemas Curso Noturno de Licenciaturaem Matemaacutetica UFSCar 2000[2] IEZZI G Dolce O Degenszajn D M e Peacuterigo R Matemaacutetica Volume Uacutenico SatildeoPaulo Editora Atual 1998
[3] LIMA E L Carvalho P C P Wagner E e Morgado A C A Matemaacutetica doensino meacutedio Volume 1 Coleccedilatildeo do Professor de Matemaacutetica Rio de Janeiro SociedadeBrasileira de Matemaacutetica 1996