problema dos carros dois automóveis partem ao mesmo tempo de um ponto p, rumo a um ponto o de onde...
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Problema dos Carros
Dois automóveis partem ao mesmo tempo
de um ponto P, rumo a um ponto O de onde
regressam ao ponto de partida sem parar.
Ambos circulam com velocidade constante,
no entanto, um deles faz toda a viagem a 50
km/h enquanto que o outro faz a viagem de ida a
60 km/h e a de volta a 40 km/h.
Qual dos automóveis chega primeiro ao
ponto de onde ambos partiram?
Caso Particular:Suponhamos que a distância percorrida pelos carros seja de 60 km
Carro B vai a 60 km/h
Tempo de viagem do carro B= 1 h
Tempo de viagem do carro A= 1h 12 m
60 Km
Carro A
Carro B
Ida:Carro A vai a 50 km/h
1h 50 km
10 kmx
x = 0.2 h = 12 minutos
Assim, demora 1h a percorrer 50km.
Demora 12min a percorrer 10km.
Assim, demora 1h a percorrer 60km.
P O
Volta:
Carro A vai a 50 km/k
Análogo ao cálculo de Ida
Tempo de viagem = 1h 12m
Carro B vai a 40 km/h
1h 40 km
20 kmx
x = 0.5 h = 30 minutos
Tempo de viagem = 1h 30m
Portanto,
Tempo total da viagem do
carro A= 1h12m + 1h12m = 2h 24m
Tempo total da viagem do
carro B= 1h + 1h30m = 2h30m
O carro A chega primeiro.60 Km
Assim, demora 1h a percorrer 40km.
Carro A
Carro B
P O
Leis do movimento uniforme
v = velocidade =
dT
TTotal = TIda + TVolta
TIda =d Ida
v Ida
T Volta =
d Volta
v Volta
d - distância percorrida
T - tempo
Carro A Carro B
60 40 24total
d d dT = + =
50 50 25total
d d dT = + =
40volta
dT =
50volta
dT =
50ida
dT =
60ida
dT =
25 24
d d<Com
o , concluímos que o carro A chega primeiro.
Velocidades Médias:
Então,
, dida = dvolta = d
mAv = 50Km/ h
ida voltamB
ida volta
d +d v =2
T +T
mBv =ida volta
2d=
T +T
ida volta
2d=
d d+
v v
B(ida) B(volta)
B(ida) B(volta)
v v2
v +v
Portanto,
Logo, o carro A chega primeiro.
Concluindo,
emBv =48km/ h
mAv =50km/ h
mBv = 48km/ h60?40
2 =60+40
x
Caso Geral
v1 – velocidade na ida
v2 – velocidade na volta
mv =2d
T=
1 2
2dd dv v
=+
1 2
1 2
v v
v v2
+
A velocidade média calculada a partir de duas velocidades não é assim a média (aritmética) dessas velocidades, mas sim a sua média harmónica.
A velocidade média do carro será sempre menor que a do carro que mantém a velocidade dado que vm é máxima quando v1 = v2.
E se v1 for zero?
Assim, a velocidade média deste carro será zero e o outro carro chegará primeiro.
E se v1 tender para infinito?
2v2mBv = 1 2
1 2
vv2 =
v +v2
2
1
v2
v1+
v∞+1v
Representação Gráfica
Ponto P: Este ponto corresponde ao cruzamento entre os carros A e B.
Ponto Q: Este ponto corresponde à ultrapassagem do carro A ao carro B.
( ) Percurso do carro B
( ) Percurso do carro A
120
0 1 2 3 4 5
d
(km)
Tempo (h)
P
Q
E se os carros aos 120 Km continuarem em frente até atingir os 240 Km?
Ponto R: Este ponto corresponde à ultrapassagem do carro A ao carro B (neste caso, os automóveis não se cruzam) .
( ) Percurso do carro B
( ) Percurso do carro A
120
240
0 1 2 3 4 5 h
(Km)
d
Tempo (h)
R
Pela observação dos dois gráficos, verifica-se
que os carros A e B partem ao mesmo tempo e
que o carro B vai a uma velocidade maior que a do
carro A.
Ao quilómetro 120, nota-se uma ligeira
diminuição da velocidade do carro B o que
possibilita uma ultrapassagem do carro A
(representado nos pontos Q e R) que mantém a
velocidade.
E desta forma, o carro A termina a viagem
primeiro que o carro B tal como nos indicam os
dois gráficos.
Problema das torneiras
Um tanque tem duas torneiras. Uma
das torneiras demora 2 horas a enchê-lo,
enquanto que a outra demora 3 horas.
Quando abertas simultaneamente,
quanto tempo demorarão a enchê-lo?
Temos
V – volume do tanque
T - tempo que demora a encher o tanque ( em horas)Torneira 1:
=1
V Vv =
T 2
Torneira 2:
=2
V Vv =
T 3
Vv = vazão =
T
Quando as torneiras são abertas em simultâneo, temos:
⇔5V V
=6 T
⇔6
T =5
Portanto, as torneiras abertas simultaneamente demorarão 1h12min a encher o tanque.
⇔V V V V
v= + =T 2 3 T
Caso não nos recordássemos desta fórmula poderíamos resolver o problema da seguinte forma:
Uma torneira demora 2h a encher um tanque
Demora 6h a encher 3 tanques
A outra torneira demora 3h a encher um tanque
Demora 6h a encher 2 tanques
Assim, as duas torneiras em simultâneo demoram 6h a encher 5 tanques.
Para determinar o valor que nos interessa basta aplicar uma regra de três simples.
6h
x
5 tanques
1 tanque
Portanto, as torneiras demorarão 1h12min a encher o tanque quando abertas simultaneamente.
.6
Então, x =5
Trabalho realizado pelo Grupo C:
Dainete Mendes nº 29434
Helena Correia nº 25674
Inês Martins nº 29223
Marta Sares nº 29739
Sara pereira nº 29640
Vera Damas nº 29153
Didáctica da Matemática 2005/2006
Docente: Henrique Guimarães