SERIE DE EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Tema: Variables separables

1. Resolver la ecuacion x2x = t+ 1. Hallar la curva integral que pasa por (t, x) = (1, 1).

2. Resolver las siguientes ecuiones diferenciales:

a) x = t3 − t

b) x = tet − t

c) exx = t+ 1

3. a) Hallar la solucion de x =1

2x. Hallar, en particular, la curva integral que pasa por (0, 1)

b) Hallar la solucion de x = ax. Hallar, en particular, la curva integral que pasa por (t0, x0)

c) Hallar la solucion de tx = x(1− t). Hallar, en particular, la curva integral que pasa por (1, 1/e)

d) Hallar la solucion de (1 + t3)x = t2x. Hallar, en particular, la curva integral que pasa por (0, 2)

e) Hallar la solucion de xx = t. Hallar, en particular, la curva integral que pasa por (√

2, 1)

f ) Hallar la solucion de e2t (dx/dt) − x2 − 2x − 1 = 0. Hallar, en particular, la curva integral que pasa por

(0, 0)

4. Hallar la solucion completa de x + a(t)x = 0. En particular, cuando a(t) = a + bct (a, b, c positivos, c 6= 1),

demostrar que la solucion de la ecuacion se puede escribir en la forma x = Cptqct

, donde p y q son constantes

determinadas por a, b, y c, mientras que C es una constante arbitraria. (Esta es la llamada ley de Mortalidad de

Gompertz-Makeham, que describe de manera bastante bastante acertada la dinamica de la edad de mortalidad

de las personas de entre 30 y 80 anos).

5. Las ecuaciones diferenciales siguientes se han estudiado en economıa. Resolverlas.

a) K =(Anα0 a

b)Kb−ce(αv+ε)t, b− c 6= 1, αv + ε 6= 0.

b) x =(β − αx) (x− a)

x, α > 0, β > 0, a > 0, αa 6= β

Indicacion: Para (b):x

(β − αx) (x− a)=

1

β − αa

(β

β − αx+

a

x− a

).

Tema: Ecuaciones separables de primer orden.

1. Hallar la solucion general de x = x+ t.

2. Hallar la solucion general de x +1

2x =

1

4. Determinar el estado de equilibrio de la ecuacion y averiguar si es

estable.

3. Hallar las soluciones generales de las siguientes ED y, en cada caso, hallar la curva integral que pasa por

(t, x) = (0, 1):

a) x− 3x = 5

b) 3x+ 2x+ 16 = 0

c) x+ 2x = t2

4. Hallar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) tx+ 2x+ t = 0; (t 6= 0)

b) x− 1

tx = t; (t 6= 0)

c) x− t

t2 − 1x = t; (t > 1)

d) x− 2

tx+

2a2

t2= 0; (t > 0)

5. Demostrar que las ecuaciones diferenciales de la forma: x = Q(t)x+ R(t)xn Ecuacion de Bernoulli se puede

transformar en lineales haciendo la sustitucion z = x1−n

6. Resolver los siguientes ejemplos de la ecuacion de Bernoulli:

a) x = −tx+ t3x

b) tx+ 2x = tx2; (t 6= 0)

c) x = 4x+ 2et√x; x > 0

Tema: Diagrama de fases.

1. Dibujar los diagramas de fases definidos por las siguientes ecuaciones diferenciales, y determinar de que tipo son

sus estados estacionarios:

a) x = x− 1

b) x+ 2x = 24

c) x = x2 − 9

d) x = x3 + x2 − x− 1

e) x = 3x2 + 1

f ) x = xex

g) x =1

2(x2 − 1)

Tema: ecuaciones diferenciales de 2o Orden.

1. Hallar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales y determinar su estabilidad (x+ax+bx =

f(t) es estable si, y solo si, a > 0 y b > 0).

a) x− 3x = 0

b) x+ 4x+ 8x = 0

c) 3x+ 8x = 0

d) 4x+ 4x+ x = 0

e) x+ x− 6x = 8

f ) x+ 3x+ 2x = e5t

g) x− x = sen t

h) x− x = e−t

i) 3x− 30x+ 75x = 2t+ 1

2. Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes para las condiciones iniciales especificadas:

a) x+ 2x+ x = t2, x(0) = 0, x(0) = 1

b) x+ 4x = 4t+ 1, x(π/2) = 0, x(π/2) = 0