problemas aritmÉticos e suas resoluÇÕes...
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Anais do XVI Seminário Temático – ISSN 2357-9889
PROBLEMAS ARITMÉTICOS E SUAS RESOLUÇÕES
ALGÉBRICAS: um breve estudo em provas e manual
pedagógico, 1890
Ivone Lemos da Rocha1
RESUMO
Este texto trata de um estudo que utiliza o Repositório Digital da UFSC como base de dados.
Analisa como se apresentam os problemas aritméticos com resoluções algébricas por volta de 1890. Foram utilizados provas e um manual pedagógico pertencentes ao período, procurando por suas
finalidades. Percebe-se traços de regularidade nas resoluções em provas de concurso por parte dos
candidatos e no manual pedagógico, algo como um “passo-a-passo” a ser seguido. Os problemas
aritméticos são apresentados com resoluções algébricas em conteúdo que envolve regra de três direta e inversa, juros, desconto, redução à unidade e falsa posição como uma maneira de
simplificar os cálculos e nas provas aparecem os problemas algébricos que podem ser resolvidos de
maneira aritmética. Palavras-chave: Provas. Manual Pedagógico. Resoluções algébricas.
INTRODUÇÃO
Procuramos entendee a necessidade de trazer os problemas em diferentes contextos
e resoluções, como as algébricas, que envolvem as necessidades de aprendizado do aluno
se encontram em momentos históricos, para nós de 1890 a 1940, como também em suas
propostas de ensino respectivas.
Este texto parte da ideia do início dessas pesquisas buscando relacioná-las com
algumas provas de concurso para as escolas normais questionando os problemas
aritméticos em diferentes contextos e objetivos na sala de aula, suas resoluções algébricas
nos interessam, estas também fazem parte de maneiras diversas da cultura escolar (JULIA,
2001, p. 10).
Ainda que prematuramente, buscamos relacionar os caminhos que os problemas
com resoluções algébricas possam ter, procurando possíveis relações entre manuais
pedagógicos e provas de concursos para professores de escola normal.
1 Mestranda da Universidade Federal de São Paulo, UNIFESP.
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Provas e Exames e a escrita da história da educação matemática
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Entendemos que esse processo, faz parte de um caminhar conquistado pelos frutos
vindos do percorrer da pesquisa (VALENTE apud BLOCH, 2013, p. 45), onde o tema que
envolve os problemas aritméticos e suas resoluções também fazem parte, entre outros
interesses do Projeto Temático coordenado pelo Prof. Dr. Wagner Rodrigues Valente
aprovado pela FAPESP em 2017, ), intitulado: “A Matemática na Formação de Professores
e no Ensino: processos e dinâmicas de produção de um saber profissional, 1890-1990”,
submetido e aprovado à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo
(FAPESP).
Junto a este projeto e financiado pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento
Cientifico e Tecnológico (CNPq), há sob o eixo 2 do Projeto Temático supracitado, o
projeto “Os problemas de aritmética no ensino primário, 1890-1940”, de Luciane de
Fatima Bertini, orientadora deste projeto.
Os estudos se concentrarão com foco nos problemas aritméticos que envolvem
resoluções algébricas, suas finalidades e possibilidades, mas pensamos que será necessário,
também observar os programas de ensino pertencentes ao recorte temporal pesquisado,
para melhor compreensão do proposto ao ensino de matemática.
A pesquisa histórica que envolve seu uso, a saber para nosso interesse, os
manuais pedagógicos utilizados no recorte temporal, auxilia a entender sua importância,
pois o mesmo encontra-se presente no ambiente escolar, hoje como um procedimento
natural, mas entendemos que nem sempre pode ter sido dessa maneira.
Quando se ultrapassa a ideia de que a história não é uma cópia do que
ocorreu no passado, mas sim uma construção do historiador, a partir de vestígios que esse passado deixou no presente, passa-se a tratar a história
como uma produção. Será ofício do historiador, produzir fatos históricos
apresentando-os sob a forma de uma narrativa (VALENTE, 2013, p.04).
A busca pelos manuais pedagógicos, dos programas de ensino e produção dessa
pesquisa é realizada no Repositório Digital da Universidade Federal de Santa Catarina
(UFSC), pois este é o espaço utilizado preferencialmente pelos pesquisadores do Grupo de
pesquisa em História da Educação Matemática (GHEMAT) para disponibilização de
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documentos, trata-se de um espaço virtual onde eles estão digitalizados e que servem de
fontes para pesquisas. “Os repositórios digitais se filiam a uma área na qual se aplicam as
expertises da biblioteconomia em uma ambiência virtual”. (COSTA, 2015, p. 32).
Nele há os problemas ensinados, em manuais pedagógicos, provas e exames,
artigos, dissertações e teses.
No Decreto N. 27 de 12 de março de 1890, institui-se o ensino de álgebra entre
outras, na formação de professores das Escolas Normais (REGULAMENTO, SP, 1890),
assim nesse estudo procuramos analisar diferentes documentos, procurando identificar
possíveis relações entre eles ao se olhar para os problemas e suas soluções algébricas. Na
busca dessas respostas aqui apresentamos três provas de concurso para professores da
escola normal de Sergipe e um manual pedagógico de Manual Lacerda de 1890.
Segundo Costa (2010) esse manual pedagógico destinava-se ao uso do ensino
primário, circulou por muitos anos inclusive após seu falecimento, como é o caso dessa
edição aqui analisada, tem indícios de que circulou por boa parte do território brasileiro, no
final do século XIX (COSTA, 2010, p. 168).
Em provas de concurso de álgebra para professores primários temos em 1894 aqui
analisadas três provas iguais com três questões, que são resolvidas de maneiras iguais: a
questão 1 é um problema que envolve uma expressão algébrica com resolução aritmética
em números estabelecidos para o cálculo de suas variáveis 1ª questão: “Qual o valor da
expressão algébrica x² + y³ -z sendo: x= 2, y= 3 e z = 4” (PROVAS, 1894, SE)?
A questão 2 envolve um problema escrito por extenso de números inteiros:
O thermometro marcou 5 graus de calor em um certo dia e no dia
seguinte marcou 3 graus abaixo de zero pede-se a diferença de
temperatura nos dois dias (PROVA, 1894, SE).
As resoluções de ambas (figuras 1,2,3,4,5,6) são efetuadas pelas pessoas de igual
maneira: por extenso e com resoluções aritméticas, diferenciam-se somente pela caligrafia.
A questão 3, também dessa prova, traz: “Determinar o quociente de 4 a²- 8 ax + 4
x² por 2 a – 2 x” tem enunciado algébrico, consta em todas as três provas aqui analisadas e
somente é resolvida por uma pessoa e de maneira algébrica (figura 7).
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Percebemos um tipo de tendência a resoluções de uma mesma maneira por parte
dos candidatos, pois suas provas são solucionadas de maneira idêntica, como ilustram as
figuras.
Há provavelmente nessas provas a necessidade de se comprovar se o candidato te
domínio de resolver um problema de maneira aritmética e de maneira algébrica.
O mesmo ocorre nos manuais pedagógicos?
No manual pedagógico de 1890, aqui analisado, percebemos que é utilizado
resoluções algébricas em problemas que envolvem proporção (figura 8), regra de três
(figura 9 e 11), regra de três inversa ( figura 10), regra de três direta (figura 12), regra de
três por redução a unidade (figura 13), regra de juro simples (figura 14), regra de desconto
(figura 15) e regra de falsa posição (figura 16).
CONSIDERAÇÕES
Nessas provas de concurso percebe-se a tendência das respostas para uma única
maneira, como talvez um “privilegiar” em se aprender ou resolver de uma mesma forma
por parte dos candidatos, pois as mesmas diferenciam-se em suas resoluções somente pelas
caligrafias.
Cobrava-se que estes conseguissem resolver problemas já apresentados de maneira
algébrica ou com resoluções aritméticas, bastando somente substituir pelos números do
enunciado e também problemas que envolviam números, mas estariam mobilizando
conceitos algébricos, pois exigia-se resolução “por meio da aplicação de regras e
procedimentos estudados” (BERTINI, 2017, p. 15).
Com estas repetições vindas das resoluções, por parte dos candidatos estes
deveriam, provavelmente, estar preparados para ensinar nas salas de aula do ensino
primário nesse período.
Usando dos manuais pedagógicos conseguiriam cumprir provavelmente, os
programas de ensino que preconizavam o ensino de álgebra.
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No manual pedagógico analisado percebe-se a apresentação de resolução algébrica
em problemas aritméticos, já apresentando a variável x, como uma forma de simplificar
problemas “difíceis” nessas resoluções (VALENTE, 2016, p.10).
Há a presença de definições dos conceitos, exemplos de problemas com a
“finalidade de aplicar e exercitar os conceitos e procedimentos estudados” (BERTINI,
2017, p. 16) onde suas resoluções seriam como um roteiro a ser seguido para facilitar na
execução dos problemas por meio de resoluções algébricas.
Isto ocorre no ensino de regra de três direta e inversa, juro, regra de três com
redução à unidade e falsa posição com exemplos logo após a apresentação do conceito, de
maneira a parecer simplificar os cálculos para enunciados mais elaborados, num texto que
mais se assemelha a roteiro, como nas provas aqui analisadas.
Percebemos maneiras semelhantes de resolver alguns problemas com resoluções
algébricas, como por exemplo, suas resoluções compõem um “passo-a-passo”
sistematizado, como uma explicação em aula presencial, vide as figuras 1,2,3,4,5,6 e 11.
Nas provas percebemos preocupação em cobrar nos candidatos problemas com
enunciados algébricos e resoluções numéricas, por substituição de valores na questão 1, de
enunciado aritméticos e resoluções algébricas na questão 2 e problemas algébricos com
resolução algébrica, enquanto que no manual pedagógico aqui analisado percebemos
enunciados que envolvem os problemas aritméticos que apresentam como resolução
algébrica uma forma de melhor efetuar suas operações.
Há também, enunciado que parecem envolver algo próximo de situações que
possam se parecer com o cotidiano (questão 2) na prova (1894) como aparecem no manual
pedagógico de Lacerda (1890).
Concluímos, ainda que prematuramente, que se esperava que os professores
aprovados soubessem resolver os problemas aritméticos e os problemas já com enunciados
algébricos tanto de maneira aritmética quando de maneira algébrica.
Percebemos a necessidade de aprofundar em novas análises em manuais
pedagógicos do período que abrange nossa pesquisa e melhor verificar essas finalidades na
resolução desses problemas.
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RELAÇÃO DE FIGURAS
Figura 1: prova de álgebra, 1894, SE.
Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 2: prova de álgebra, 1894, SE.
Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 3: prova de álgebra, 1894, SE.
Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 4: prova de álgebra, 1894, SE.
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Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 5: prova álgebra, 1894, SE.
Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 6: prova de álgebra, 1894, SE.
Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 7: prova de álgebra, 1894, SE.
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Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 8: manual pedagógico de Joaquim Maria de Lacerda, 1890.
Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 9: manual pedagógico de Joaquim Maria de Lacerda, 1890.
Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 10: manual pedagógico de Joaquim Maria de Lacerda,1890.
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Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 11: manual pedagógico de Joaquim Maria de Lacerda, 1890.
Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 12: manual pedagógico de Joaquim Maria de Lacerda, 1890.
Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 13: manual pedagógico de Joaquim Maria de Lacerda, 1890.
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Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 14: manual pedagógico de Joaquim Maria de Lacerda, 1890.
Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 15: manual pedagógico de Joaquim Maria de Lacerda, 1890.
Fonte: Repositório Digital da UFSC.
Figura 16: manual pedagógico de Joaquim Maria de Lacerda, 1890.
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Fonte: Repositório Digital da UFSC.
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COSTA, D. A.; VALENTE, W. R. Repositório: cadernos de trabalho. Editora Livraria da
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Matemáticos no Ensino Primário (1890-1970): do que tratam os manuais escolares? RN,
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