problemas de cÁlculo 1 funciones elementales
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PROBLEMAS DE CÁLCULO 1
FUNCIONES ELEMENTALES
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales1
1 Determina el dominio de la función f- '" =1 +,+ %,
1
El valor fin se obtiene realizando sumas y divisiones .
Por tanto,elúnico
problema que puede aparecer es que se anule algún denominador . Asípues :
Df = {✗c- IR : ✗ + o & 1+4,1--0 & it ,!÷,-1-0 } =/Rn {o, -1, - 'la}/I
it # = ¥ # o ⇒ ✗ 1=-1
lt ¡+ ¥
= / + ¡+,= , + ¥ ,
=2×+1
✗+,# ☐⇒ ✗=/ - Yz
✗
Advertencia : Si escribimos fin> como una función racional, obtenemos que1
1flx) =,=
'
,=
, +
"
¥,=
2×71=
× "
2×+1'
l t✗ 1-1 ✗tiI +
, + ¥ ✗
luego Df = {✗ c- R : 2×+1+-0 } -- R- { - "a } .La explicación es que
los puntos ✗ =D y ✗ = -1 son discontinuidades evitables pues :
l fix> = 1 & le✗→ o ✗→ . ,
f-1×7=0 .
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales2 Resuelve las siguientes ecuaciones :
a) zx + VI =/ d) e"- ze
✗= 15
b) ✗+3 + ✗-2 = 6×-11 e) Llog ×]= log (✗4)
c) E- +4 => 2×+8 f) aos Lzx) = ser ✗ con ✗ c- [-5,5]
a) Antes deempezar , observamos que toda solución está contenida en
el
intervalo cerrado 1-9 'te ], pues
necesitamos que ✗→o para calentar
la raíz E y la relación 1-2✗= rx → o implica que ✗142 .
✗>° Ec.cuadrática
2×+5=1 ⇒ Tx = I - 2x⇒ ✗± ITXJ= 4-2×5=4×2-4×+1 ⇒ 4×2-5×+1=0
⇒ ✗ =5 ± 5° - 4-4
= 5+-89 = 5+-3 → ✗ = "4 Sí es solución2.4 8 → ✗= 1 No es solución
, pues ✗¢ [0,1/2]
b) Toda solución está contenida en el intervalo [2, tu) pues necesitamos
que ✗72 paracalentar la raíz ✗- z
.
✗72a←
✗"~
6×-11# (6×-115=(7/+3 + 1/-2) = ✗+3 + ✗-2 + 2 #+3)1×-23=2×+172×7×-6✗72
⇒ %-1%-7×7×-6 ⇒ 4×2-24×+36=4×-65--47×-65É✗7×-6⇒3×2-25×+42=0⇒ ✗=
25 ± 625 - 4.3.42=25 ± 121
=2511L→
✗=L Sí
2. 3 6 G →✗=] No
Nota : La solución ficticia ✗ = 73 apareceal igualar los cuadrados de
2×-6 y ✗7×-6Kes >- txrz
[ solo es → o si ✗73
c) Toda solución está contenida en el intervalo [-4, +a) pues :
°
2×+8 = ¥+4 zo ⇒ 2×+870⇒ ✗y -↳.
¥+3.LI?-4+z.-E.tE+64--LEt4j--XEt4YJ--[4×+85]%4×+85=4×732×+64⇒ 1¥+ 3×2 + 24×+6/4=4×2+327 1-6T
Sí
⇒ SÉ- ✗ 2- 8.x = f- (5-8×-64)=-1✗= _
°"
→✗= 4+455
→ ✗= 4+-4764✗= y-455
No
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales
d)LEÍ- 2.É-15 = e"- zé-15 ⇒ e.
✗= , ± ¡+ ,g. = ,± y→
É= 5⇒ ✗= log5 Sí→ÉE -3<0 No
e) dog ✗7- log = 4.log✗⇒ Llogx - 4) log✗⇒→ log ✗ = 4⇒ ✗= e"sí
→ log✗⇒⇒ ✗=\ Sí
f) senx = costa» = cost - señx = 1- Zseríx ⇒ ZLsenx] + senx -1=0
⇒ gen ✗ =-1 ± 1- + 4-2 . 1
=
- 11=3 Aser ✗ = - I ⇒ ✗= 3¥ (mod 2T)
2. 2 4 | ✗= Ig /mod 21T)↳ser✗=L⇒ { ✗= 5¥ Imad 21T )
Pero como la búsqueda de soluciones se restringe al intervalo 1=5,5 ] ,la lista completa de soluciones es :
→ - E , PE← ser✗ = aoslzx> = -1
→- ¥, Ig, ← ser✗= costar>=L
Comentario final: En este problema se deben aprender dos cosas :
D Pueden aparecersoluciones ficticias al resolver ciertas
ecuaciones, luego conviene comprobar cada solución; y
a) ✗a =/ - ✗ ,
si ✗ < °← situación que hay que , ☐ bien descartar,
\ ✗ ,si ✗ no ° bien tener en cuenta
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales 3 Resuelve las siguientes desigualdades :
a)2×-3
✗+ z< Í e) IX-5) < ✗ti
b) F- 5×+9 > × f) F-✗ > I
c) ¥ +
,!×> o g) ✗- i + ✗ti < I
d) F- La + b)✗+ ab <o
a) 2¥? <¿⇐ o>2×-3
_ § = 312×-33-1×+27 =5×-11⇐ 5×-11
< o✗72 31×+2) 31×72) ✗1-2
⇐ 5×-11 y ✗72 tienen diferentes signos ⇐ ✗ c- 1-2 ,
"Is)
Advertencia : Un error típico consiste en decir que2×-3
✗+z<§⇒ 6×-9=312×-3><✗ 72 ⇐ 5×211⇒ ✗ <
"
15
Las cantidades ✗ y tib) ✗2-5×+9 > ✗⇐ ¢-35--5-6×+9>0⇒ × -1-3 deben tener elmismo signo
yte
④ XI , _×,=
' -✗ + ×
✗ | , _×]= ¥ +Í >- ⇒ ✗ 11 -×)>- ⇒ ✗ c- lo, , )
d) 4-a)/✗-b) = ✗ a- la+b)✗ + ab <•⇒{las cantidades ✗ -a y x-D tienen
\ diferentes signos✗ -✗ < o ✗ -✗ >o ✗-✗ > o a @✗-pco X-p<o x-p >o ⇒ mínla , b) < ✗< máxlaib)
②
✗ f Nota : Si a- b,entonces ✗=p y✗solución
e) Como a -b es la distancia entre los puntos a y b, deducimos que✗ está más cerca
a= z←
punto medio1×-51<1×+11⇒ de g quede -y ⇒ ✗ > 5+1-11 de 5 y -1
f) Como ✗ a- ✗ = ✗ /✗ -D= o⇒ ✗ c- {al}, distinguimos dos casos :
☐E ✗ El ☐< ✗ E) ⇒ OEXZEXE /⇒ - IEXIXEO ⇒ 1×7×1<-1 ☒solución
✗#[°' ' ✗ c-[o, ,]⇒ F-y>o ⇒ 1×2×1 = ✗a-✗, luego : Con elmismo razonamiento
✗ geométrico delapartado1×7×1>1⇒ ✗-
'EE ×_1- Esa =p
× :X -1 > -⇒ ✗¢ [ ' ,
' ]✗7×-1=0# ✗=
/± EsZ
g) 2=121--11 + ✗ + 1- ✗¥ Y + ✗ 11-11-✗1=1×+11+1×-11me] solucióndesigualdad triangular
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales ↳Encuentra el mayor intervalo posible en elcual es invertible
la función flx> = 1- 1×1+1×-11.
Calcula la inversa correspondiente .
Como 1×1 = {×, si ✗<o
& |×,, y =)' -✗ , si ✗El
1×-1 ,si ×> | ,
deducimos que✗, si ✗7-
{ 1-☒+ I = 2 ,si ✗< o
1- IX ) t II -D= 2- zx, si OEX Elf.1×1--1 -1×1+1×-11 =\ +☒⇒ = o,
si × > 1
Sea Iel intervalo maximalque buscamos.
* flx) es constante en L- no ,a)⇒ Intro,A -& )* f'" " " " l', +a)⇒ Inc, , +⇒ =p /
⇒I-E' ']
* OE ✗ c- 1=>012-2×12⇒ 2-zx está bien definida* La función f :[o, ☐→ IR es invertible , pues es inyectiva :
atb con a , beta, ☐⇒ 2-2a# 2-↳⇒ f-la> ⇐ f/b)
Por tanto , I-_ [°, ☐.Finalmente
,calculamos la inversa :
y = f/×) = 2-2✗ ⇒ y-= 2-2✗⇒ ✗=2-Y
-
= f-'
Iy )Z
Nota : f:[91]→ [0,2 ] & f"
:[o, a]- [0,1 ]
Comentario sobre la notación : Alexpresar una función, elnombre
de la variable usada como argumento es irrelevante .
Eso nos
permite expresarla inversa como una función de ✗ .
En este
problema , escribiremos que f"
/×> = 2¥ con ✗c- [oir].
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales 5 Calienta la inversa de f.Ix) = ✗ 2- ✗ + , cuando se restringe a✗y Ya .
¿ cuál es el dominio de la función inversa ?
Completamos cuadrados para obtener información sobre la función :
f.IX> = ×? ✗ ti = × '- ✗ + '/y
+ | - § = ✗ a- 2-× . { +€57 } =⇐⇒+ Ey .
En particular , deducimos que :* La gráfica de y = fin es una parábola con vértice en ✗= Ya
ylas ramas hacia arriba ;
* f /%) = %* A f/×) = f-no - Ya]+ Es = +no + Es = + no
✗→ to
* f :[ Ya , +a)→ [ % , + a) es una función biyectiva* La inversa f
"
:[% ,+a) → I Yai to) viene dada por
y = f)×) = ✗ '- ✗ +1 ⇐ ✗ 2- ✗ + 1-y= o inversa
⇐ ✗=' t F- 411-4)
=
It ↳y -3= f-
',y>
pues ← 2 2
✗ 7/42
* El dominio de la función inversa es Dq . , =L} , +» .
Finalmente, podemos expresar la inversa como una función de ✗ :
f"
/ ×) =1 + 4×-3
atx >islas .
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales 6 Prueba
que f-1×1=5×3+9 tiene inversa en todo IR y da su
correspodiente expresión explícita .
Para probar que una función y -1-1×7 tiene inversa en todo IR ,hasta comprobar que Hye IR II. ✗ c- R tal que fix> = y .
Expresión de
y = f/×) = 5×3+9⇒ ×>=
Y -9⇐ ✗ =
>Y -9
= f-'
ly) la inversa5 T5
Todo número real tiene
una única raíz cúbica
7 Una función f cumple la ecuación funcionalf.12×73) = × ? Y ✗ C- IR
.
Obtén una expresión explícita de flt) para 1-c- IR.
Calmla ftp.iaD .
* Laprimera parte es un cambio de variable :
f- It) = f. 12×+3) = ✗ a = EIJI E- 61-+9 .
T T T 4
Tomamos Ecuacióny
funcional✗=E-3
-1=2×+3
* f. 14=41-5--4 & ftp./rD--MIT--H-J--¥ .
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales 8 Prueba
que si meIN
no es uncuadrado lo sea
, m # n' the IN)
entonces Fm # ⑦.
División entera
n dNotación : d n ⇒ de IN es un divisor de n c- IN⇒
q a
d, ni me INLema I : ⇒ al nmd n
PEIN es primoLena 2 :
p na⇒ p n
Realizamos la prueba por contraposición .
Es decir, probamos que
me/N & me ⇒ ZNEIN tal que m--ñ
.
frm -- ¥Si me IN y TMEQ , entonces 7 ni de 1N tales que { madln , d)=L
r
Km = I ⇒ m -- Fm )?'
= Ia ⇒ d-m --ñ
Caso D= 1 En este caso, m -- ri y ya hemos acabado .
Caso d> 1 En este caso , Jp c-MI primo talque p d.ÜÍÍÉL
p d =L p d-⇒ p dan ⇒ p na ⇒ p n ⇒ madln, d) -1-1
T TLema 1 nF dan Lemaz
La contradicción implica que el caso d> I no es posible . Q.
E.D.
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales 9 Justifica las siguientes afirmaciones :
a) La suma de un número racionaly un número irracional es un número
irracional.
b) Elproducto de un número racionalno nulo por un número irracional
es un número irracional.
c) La suma y elproducto de dos números irracionales puede ser
racional o irracional.
5+2
d) Los números Zt 3,6- 2- 3 y z g +y
son irracionales .
a) Queremos probar que : re⑦ y ✗ c-Ri ☒⇒ s = rtxe IR ④.
Realizamos la prueba por reducción al absurdo . Es decir, suponemos
que S = r + ✗ C-⑦ y llegamos a una contradicción :
r E ④ pues⑦ es un cuerpo
✗ c- 1Ra ☒ ⇒→✗ = S- r c-⑦
s= r +✗ C- OÍ Contradicción
b) Queremos probar que : re⑦Yo } y ✗ c-Ri ⇒ p-- r -✗ c- IR ④
.
Realizamos la prueba por reducción al absurdo . Es decir, suponemos
que p-- r - ✗ c-Q y llegamos a una contradicción :
r -1-0r c- ☒ {° }
⇒q,=p,, ⇐⑦
pues⑦ es un cuerpo
✗ E IRI ☒
p-
_ r . ✗ C- ÍQ Contradicción
números racionales
c) V2 + 1- Fz ) = Ó 2 + z = 22 2 . 2=>2 2 .. 3 = G
r r a n nn n a n a
nnmeros irracionales
d) Para hacer este apartado hay que tener en menta que cuando se
suman,restan
, multiplican o dividen varios números racionales , volvemosa obtener un número racional
.
Por tanto,si realizamos esas operaciones
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales
con un número ✗ c- IR y otros números racionales y obtenemos un número
irracional, podemos afirmar que elnúmero ✗ es irracional.
* ✗ = VE + Fs ⇒ LE 2+3+2 G ⇒Ñ-5a
= 6¢⑦⇒ ✗¢@.
*✗ = V6- T2- Fg ⇒ Ñ= 6+2+3 - 2 12 - 2 181-26=11-4 3-6 2 1- 2 6
⇒ ZX-Ñ-111=
-26-2 2-2 3-11/+43+62-2¥2 2
=
4%21-2/53= 2521-53 = :&
7
⇒ f-_ ,,y
= 6¢ ⑦ ⇒ f#④ ⇒ ✗¢-0 .
* ✗ =5+2
⇒ 3×55+4✗ = Fyzz ⇒ (3×-1) v5 = 2- 4h3 5 1-4
⇒2-4✗
3×-1= V5#☒ ⇒ ✗ ¢☒ .
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales '°
Prueba las siguientes desigualdades y justifica cuando son igualdades .a) a + ta 72 con a >o
b) zxy EN+ ya
c) 4×2<-1×+45
d) ×'t ✗y t y
'
s, o
e) fla ) . f/b) - f/c) 727abc con a)b.eso y f)✗5-✗7×71 .
pues a>o
a) a +£72 ⇐ a- + / → 2a⇐ La -ij = a'- za +170 ✓
Además,a + ta - z ⇐ La-15--0⇒ a =L
b) Zxy < ×? ya ⇒ ¢-y] = N- Zxy +yayo ✓
Además, Zxy = sí
+ ya ⇒ ¢-y>7- o ⇒ ✗= y
c) #y < ☒ +477×2 ,# + y-⇐ zxy sí,_ y
'
✓ Lapartado b)
d) Cambiando ✗ por- ✗ en la desigualdad zxy < ✗ 4- ya /apartado b),
obtenemos que- zxy c- 1-XJ+y
'-- ✗7-y
'
, luego ✗y >, _✗"{ .
Por tanto : ✗'
+ ✗y + ya → ✗2-✗4- Y
>
+ ya = ✗7- ya2 z
70✓
Además,×>
+ ✗y + y-= o
⇐% *+12=0 ⇒ 11=4--0.
e) Sean flx> = ÍT ✗ TI y 91×3=3✗ con ×>o .Entonces :
f.IX) - glx> = Á-2×71=1×-1570
Por tanto, f-1×7791×7 Vino y la igualdad solo se da en ✗=L .
Así pues, si aib , a >o entonces :
f- la > y gla ) =3a > o
f /b) → glb> =3b>o ⇒ftp.f/b).fIc)727abcflD7glc)--3c>o
Y la igualdad se da si y solo si a = b-_ ⇐ I.
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales ' ' Prueba las siguientes desigualdades .a) o < ✗ + y - ✗y < I siempre que ☐ < ×, ya / .
b) ¥ t'
< ¿ + ¥ siempre que☐< a<✗< b .
atb _y
a) ✗ + y - ✗y = ✗ . d- y) 7 y -0Y Yo 6
✗ + y - ✗y -1 = ¢ - D (1-4)<0--7 ✗+ y -✗ya /
no Te
b) Hacemos un análisis hacia atrás.Es decir
, empezamos porla
desigualdad que queremos probar y, poco a poco, la convertimos
en otras equivalentes a ella y cada vez más sencillas.1 1
¥ +a + ↳→
< tattb ⇐'⇒ ab < ✗ Latb -×)
n ✗ la + b-XÍ ab aatb atb axtbx -x2
ab > o✗ la + b- ×) ab atb >°
✗ latb -y)>O
⇐ axtbx- ✗2- ab > ☐⇒ ¢-a) (ba) -o
d- a> lb - is I I
pues×>a pues ✗<
b
12 Pruebaque 1×1 + IYITIZIE tal
tlbl + tal,donde a = ✗ + y _ z ,
↳ = ✗ tz - y , C = Y + 2- - ✗.
Resolviendo elsistemacompatible y determinadoa te /✗ = AEI I - I X
¡ IIII }⇒ , _ , , y = b ⇒ y --a+ .
2
- I I I Za ↳ =
btc- ✗ + y t z = <
z
Por tanto :
1×1+141 t 12-1 = atb + 9¥ +b
=
latbltlatcltlbtcl2
←la/ tlb/ + la / tkltlb/ + tal
z= tal tlb / + tal
TAplicando 3 veces la desigualdad triangular
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales 13 Estudia cuáles de las siguientes igualdades son ciertas y , cuando nolo sean
,da un contraejemplo . Supón que f. g. h : IR→ IR son funciones .
a) folg +b) = fog + foh D fig = ¥09b) Lgth > ☐ f. = go.pt hof d) fig = fogt
Recordatorio : Las siguientes tres definiciones son la clave delproblema .
* Composición :•g) Ix> = flg/xD , Kx c- IR .
* Suma : Lgtb) Ix) = glx> t hlx) , FXEIR .
* Inverso del producto : (f)1×3 -- ftp.txc.IR .
a) No es cierta . Contraejemplo :
[ folgth] /×> = flgixthhis)= flz) = Y←No coinciden
FIX) = ✗a
gix) -- hix>=1)⇒ (fogtfohlx> = flgix» + flh / ✗D= zf /1) =L
Las típicas funcionesNota : La igualdad es cierta cuando fix> = ax con ae IR?lineales delálgebra
lineal
{[Lgthof] /×> = Lgthlfi ✗D= glf/ xD + hlf/xD"b) Es cierta :{ (gofthof) un = lgof)/×> +1haf)IN = glfixdthll.IN)
(Fg)'» = (f.'
g)un= figix»
c) Es cierta :
* ☐g)↳ =(f) Lg /✗D= qjg,,»%"'""
d) No es cierta . Contraejemplo :
f.µ> = a LFÍG) '» = flgix» = ÁXÍ "« No coinciden
glxtx⇒
Lfotg) )» = fl#D= fl'4) = 2L
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales 14 Sean f,g. IR→ IR .
Indica el dominio natural de las siguientes funciones.
a)f'"/
gix, e) arcos lfixs )
b) arasenlf.in) f) arctanlf/xD
c) loglfix) ) g) gixyf'"
d) FIN
a) Dpg= { ✗ c- IR : ✗c- Dfn Dg , gusto } {✗c-R : gix)#o }
En este problema suponemos que Df =Dg =/R
g) Dgp. = {✗c- IR : ✗ c- Dfn Dg , gix)> o } {✗EIR : gix )>o }
Advertencia : Si flx) = reQ, el dominio Dgf = Dgr puede ser mayor .
Argumento común a los apartados b) , c) , d) , e) & f)Dadas dos funciones f : Df → IR y h : Dpi IR , eldominio de la
composición Lhof) Ix) -- hlf/xD es el conjunto
Dhof = {✗EIR : ✗ c- Df . firmeDh }Si Df
-- IR
,entonces Dhof = {✗ c-R : f)MEDn }
b) El dominio de h = arcsen es el intervalo -1-1,1] , luego
Darcsenf = {✗ EIR : -1<-1-1×1E) }
c) El dominio de h -- log es el intervalo lata , luego
Dlogf = {✗ EIR : fix ) > o }
d) El dominio de hlx> = TX es el intervalo Tata) , luegoDf- {✗ c-IR : f. Ix) >, o }
e) El dominio de h = arcos es el intervalo -1-1,1] , luego
Darnos f.= {✗ EIR : -1<-1-1×1El } .
f) El dominio de h = arctan es todo IR , luego Darafanf =/R .
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales 15 Una función es par si f)×) -- fl-N e impar si f.1-A = - flx) .
a) Estudia si la suma , elproducto y la composición de funciones
pares o impares . Considera todos los casos posibles .b) Prueba que toda función f:/R- IR se puede escribir de formaúnica como suma de una función par y una función impar .
a) Tabla de resultados :f par f.par f- impar f- imparg par g impar g par g impar
Suma ftg par ? ? impar
Producto f. g por impar impar par
Composición fog par par par impar
Nota : Los interrogantes significan que , a priori , no se puede extraer
ningunaconclusión
.
A continuación damos las diez demostraciones :
f par (f.+g) 1-×) -- fl-Ntgl-xt-f.IN/-gIx)--lftg)1x )⇒ (f. g) 1-×) = ftp.g/-x)--fIx).gIx--f-g) Ix)
9 Par /f.g) 1-×) = flgi-xD-f.ly/xD--lfog)1x)f par lf.gl/-x)--fI-x)g1-x)--fhDl-gixD---f- g) Ix)
g impar⇒ lfog) I-xt-flgl-xD-fl-glxj-f.ly/xD=Lfog)lx)
f impar f. g) 1-D= fl-N.gl-D= - fix.gl/y---lf-g) Ix)⇒
g par f- ☐g)1.x> = flgl-D) = flglx»= ☐g) Ix)
f.+g) i-N-fl-xi-gl-xt-f.IN -glx> = -#g)Ix)f. impar
g impar⇒ f. g)l-xt-fl-N.gl-xt-L-fixD.L-gixD-lf.gl/NLfog)l-x)-.flgI-xD=fl-gixD=-flgHD--- f. g) i»
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales
b) Damos una prueba constructiva .
Es decir,
construiremos las funciones
par e impar cuya suma es igual a la función original.Dada una función arbitraria f : IR →IR
,buscamos una función par
p : IR→ IR y una función impar ii. IR- IR tales
que f- =p ti .f-=p ti flx)=p / ×) + ilx) ) pin) + in)
= flx )P P" ⇒
f.1-✗ =p ,_ ×> + ¿ 1-✗↳ pix) - iu) } plx) - iix>= ftxs }
i impar, Sistema compatible determinadocon incógnitas plx> & ilx>
Al sumar las dos ecuaciones del sistema , obtenemos que :
Zpix> = fixstf/⇒⇒ p>×>=
1-"" + 1-1-×)⇒ iix>=p ,»
-f,-×> = flx)-f.1-A
2 2
únicaposible funciónpar única posible función imparCon esto
,la unicidad ha quedado probada .
Para probar la existencia
basta comprobar que pix) es par e iix> es impar :
a=f- 1-×> +f)×>
*p ,
-×> = fl -Nt f-1- 1-xDz
=f"> '⇒
=p /×>⇒p par
a= _
f-4)-fi -× )* ¡1. ×> = fi -N
- f. 1- 1-A)=f.1-× ) - flx)
a
= - ¡☒⇒ i impar2
Ejemplo importante : Si fix> = é.entonces
p /×>=
f- 'Atf'-N=
e✗+ e-
×
z=:cosh ✗ ← función coseno hiperbólico
2
¿µ, = flx)- fl-N e
"-f-
×
= : senh ✗ ← " seno "
z=
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales 1° Prueba
que la función dada por f-Ix) = ¡+× es Estrictamente)
decreciente en [° , tu ).
Deduce que1×+41 IYI
' + ☒ + y ,E
'× '
1+1×1+It ) y ) I
H ×, y c- IR .
Para probar que f:[otro> → IR es estrictamente decreciente basta ver que
☐ 2- a < b ⇒ 021<-1 + a < ltb ⇒, ¡↳ < ¡+a ⇒ f/b) < f-la) .
Para probar la desigualdad , distinguimos dos casos :
IXI IYL IXTYI(ago ✗ +y = ☐ En ese rato 1+1×1
+
| + iy )» ☐ =
1+1×721
Caso ✗+y-1-0 En ese caso :
IXTYI' + Ixtyl
=
,
"
+ b= f / b) con b = ¥y, >,_
1×1+141721×1141>,IXITIYITIXI - IYI 1 1
ÍÍÍXI + ÍÍÍYI = 1+1×1+141 + ix. iyl 1+1×1+41+1×1.141=1 +áf""°" " =
IXIHYHIXYI
Además,0<1×+41 EIXITIYIE 1×1+12171×1.141, luego oEast y f/b) 2- f-la)
desigualdad que implica la que queríamosprobar
17 a) Compara aloaob yblusa
.
b) Simplifica a"'"'"/↳ a
y logalfogalaá )) .
a) Recordamos que si ✗ >☐ y @c-IR,entonces al = el
-↳^.
Por tanto :
alogb = elogb - toga= eloga - logb
= ↳haga
loglloga)
b) Análogamente, alas/↳a)Ya
= e Ega.bg#ebglloga)elo9X--x,Hx>☐<
= loga
Finalmente.recordamos que logalax ) = × , tx c- IR .
Por tanto :
haga fogata"D= logalá ) = × .
Ejercicio para casa : Simplifica la expresión> n raíces cuadradas
anidadas- boga logra
. . -
z
Problemas de Cálculo 1 - Funciones Elementales 18 Prueba que log ✗ t i tía t log Iti - × = ☐
,HXER
.
Recordamosque toga + log b = log Lab ) ta ,
b>o.
a = ✗ t It ×'
> ✗ + ✗2= ✗ + IXI >, o
✗ c- IR ⇒ts = | + ✗
a_ ✗ > ✗
a_ ✗ = IXI -✗YO
⇒ log ☒ + itxa) + loglitxa_D= logatlogb = log Lab) , + ir>o
suma ✗ diferencia = diferencia de cuadrados I log ( +NT- x2 Eloy ( +¥2)= log 1--0
19 Pruebaque fix) = ✗ +é es (estrictamente creciente
.
Deduce que
la función f : IR→ IR es biyectiva y haz un esquema de su gráfica .
µLa suma de funciones crecientes es creciente
GIX) = ✗ creciente
hlx) = é , ,
⇒ f-'×> = G '×> + hlx) creciente⇒ fcx) inyectiva
Para probar que f : IR→ IR es exhaustiva ly , por tanto, biyectiva) nos
vemos obligados a usar conceptos y resultados de continuidad y límites .
* le flx) = le ✗ +¥,
é = d-a) + { +a) = + _
✗→ +a ✗→ + no
* A f.Ix) = ← ✗→_
É= 1-a) + o = - no✗→ - no
✗ +a
✗- -no
* Por tanto, fijado un valor arbitrario y c- IR
,sabemos , por definición
de límite, que existen a .be/R, con a-
b, tales que f.(a) < y <f/b) .
* f)× ) = ✗ + e"
es continua en todo IR y , en particular, en [a. b] .
* Finalmente,el teorema del valor intermedio para funciones cortinas
implica que J ✗ c- la ,b) tal que fix ) =y . Esquema dela gráfica
ya
* Y esto acaba la prueba de la exhaustividad.
<ya
* f-lo> = 1 .
1 .
>×
* le Ix) -a)=L e"-- o
, luego la recta 4=1-1×1✗→ - no ✗→ - no
{y = × } es una asíntota oblicua cuando ✗→ -
no.