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SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 1

1

RECOPILACIÓN DE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE

OMÑ

PRIMER NIVEL

INSTANCIAS:

INTERCOLEGIAL – ZONAL – REGIONAL – PROVINCIAL -

NACIONAL

ARIADNA ARFINI

OSCAR FABIÁN OVANDO


2


3


4

1. Ana, Ceci y Gabi son amigas.

El sábado fueron a comprar los pasajes del tren para ir de vacaciones.

Ana no llevaba dinero, entonces, entre Ceci y Gabi, pagaron los tres pasajes.

Ceci puso $34 y Gabi $38.

Cuánto debe devolverle Ana a Ceci?

Cuánto debe devolverle a Gabi?

SOLUCI ÓN

3 pasajes

C + G = $34 + $38 = $72

Cada pasaje cuesta $ 72

3 = $24

Si C pagó $34 −→ A debe $34 - $24 = $10

Si G pagó $38 −→ A debe $34 - $24 = $14

A debe −→ $10 + $14 = $24

2. ABDE es un rectángulo. BCD es un triángulo equilátero.

El perímetro del polígono ABCDE es de 456 m.

Si BC=68 m.

Cuál es la longitud de AB?

SOLUCIÓN

BCD equilátero

per (ABCDE) = 456m

BC = 68m

¿AB?

AB = ED

AE = BD = BC = CD

AB + BC + CD + DE + EA = 456m


5

2AB + 3 . 68m = 456m =⇒ AB = 1

2 (456m - 3 . 68m) = 126m

AB = 126m

3. Elsa gastó $24 en lácteos; llevo quesos, helados y flanes.

Cada queso cuesta $4, cada helado cuesta $2 y cada flan cuesta $1.

¿Cuántos artículos de cada clase pudo haber comprado?

Da todas las respuestas posibles.

SOLUCIÓN

gastó −→ $24

1q −→ $4

1h −→ $2

1f −→ $1

q h f - q h f - q h f - q h f

1 1 18 - 2 1 14 - 3 1 10 - 4 1 6

1 2 16 - 2 2 12 - 3 2 8 - 4 2 4

1 3 14 - 2 3 10 - 3 3 6 - 4 3 2

1 4 12 - 2 4 8 - 3 4 4 - 5 1 2

1 5 10 - 2 5 6 - 3 5 2 - - - -

1 6 8 - 2 6 4 - - - - - - - -

1 7 6 - 2 7 2 - - - - - - - -

1 8 4 - - - - - - - - - - - -

1 9 2 - - - - - - - - - - - -

4. Diego colecciona estampillas que pone en álbumes.

Cada álbum tiene 32 páginas.

En cada página pega igual número de estampillas.

Tiene 3 álbumes completos y otro con s lo 5 páginas llenas.

En el álbum incompleto tiene 60 estampillas.

¿Cuantas estampillas tiene en total?


6

SOLUCIÓN

1a −→ 32 pág.

3a completos + 5 p (*)

5p −→ 60e

1p −→ 1

5 . 60e −→ 1p −→ 12e

Volviendo a (*)

3a completos + 5 p = 3 . 32p + 5p = 101p

1p −→ 12e

101p −→12 . 101e = 1212e

Total −→ 1212e

5. El rectángulo ABCD tiene 48cm de perímetro y está formado por 3 cuadrados iguales.

CE = EF = FD

EM = 2CE

¿Cuál es el perímetro de la figura rayada?

SOLUCIÓN

per (ABCD) = 48cm

BC = 3AB

AD = 3AB

AB = CD

per (ABCD) = AB + BC + CD + AD = AB + 3AB + 3AB + AB = 8AB


7

8AB = 48cm =⇒ AB = 6cm

per (QCDP) = 4 . 6cm = 24cm

CE = EF = FD = 2cm

EM = FN = 2CE = 2 . 2cm = 4cm

per (MEFN) = 4cm + 2cm + 4cm = 10cm

per (rayado) = 22cm + 10cm = 32cm

6. Con las cifras 5, 4, 3, 2 y 1, se quieren formar números de cinco cifras distintas.

Si el 3 debe ocupar el lugar de las centenas o el de las decenas, ¿cuántos números distintos se pueden

armar?

SOLUCIÓN

cifras −→ 5 - 4 - 3 - 2 - 1

posibilidades −→ ab3cd

5 4 3 2 1 - 4 5 3 1 2 - 2 1 3 4 5 - 1 4 3 2 5

5 4 3 1 2 - 4 5 3 2 1 - 2 1 3 5 4 - 1 4 3 5 2

5 2 3 4 1 - 4 2 3 5 1 - 2 5 3 1 4 - 1 5 3 4 2

5 2 3 1 4 - 4 2 3 1 5 - 2 5 3 4 1 - 1 5 3 2 4

5 1 3 2 - 4 1 3 5 4 - 2 4 3 5 1 - 1 2 3 4 5

5 1 3 4 2 - 4 1 3 4 5 - 2 4 3 1 5 - 1 2 3 5 4

posibilidades −→ abc3d

5 4 2 3 1 - 4 5 2 3 1 - 2 5 4 3 1 - 1 2 4 3 5

5 1 2 3 4 - 4 2 1 3 5 - 2 4 5 3 1 - 1 4 2 3 5

5 4 1 3 2 - 4 2 5 3 1 - 2 5 1 3 4 - 1 5 2 3 4

5 1 4 3 2 - 4 1 5 3 2 - 2 1 5 3 4 - 1 2 5 3 4

5 2 4 3 1 - 4 5 1 3 2 - 2 4 1 3 5 - 1 4 5 3 2

5 1 2 3 4 - 4 1 2 3 5 - 2 1 4 3 5 - 1 5 4 3 2

En total hay 24 posibilidades.


8

7. Cada cuadradito tiene 8 cm de perímetro.

Con 6 cuadraditos iguales se forma esta figura.

¿Cuál es el perímetro de la figura?

SOLUCIÓN

Al cuadrado individual lo llamamos ABCD comenzando por el vértice izquierdo superior y continuando en

sentido horario.

A la figura la llamamos MPQQRSTUVWXYZ contando desde el vértice izquierdo inferior de cuadrado de la

izquierda y en sentido horario.

per ( ) = 8cm

per (ABCD) = AB + BC + CD + DA = 4AB = 8cm =⇒ AB = 2cm

PS = SV = 3AB

VW = WX = XY = YZ = ZM = MP = AB

per (figura) = 3AB + 3AB + AB + AB + AB + AB + AB +AB = 12AB

12AB = 12 . 2cm = 24cm

per (figura) = 24cm

8. Blas tenía 18 figuritas el sábado pasado.

El domingo y el lunes compró 10 figuritas cada día.

El martes y el miércoles compró el doble de figuritas que el martes.

Hoy, que es jueves y no compró figuritas, tiene en total 74 figuritas.

¿Cuantas figuritas compró Blas el martes?

SOLUCIÓN

sábado −→ tenía 18 fig


9

domingo −→ compró 10 fig

lunes −→ compró 10 fig

jueves −→ tiene 74 fig

Entra martes y miércoles compró 74 fig – 38 fig = 36 fig

martes + miércoles = 2 . martes =⇒ martes = miércoles

martes = 36

2 fig = 18 fig.

9. Con vértices en los puntos que se dan, ¿cuántos cuadriláteros se pueden dibujar?

Enumérelos.

SOLUCIÓN

ADEF BCFG AFGD EBCF

ABEF BDFG AFGC EBCG

ACEG BFDG EBDG EBDF

Hay 12 cuadriláteros

10. El quiosquero compra 360 alfajores por semana.

El quiosquero puede hacer sus compras en el supermercado o en un mayorista.

En el supermercado, cada bolsa de 8 alfajores cuesta $3.

En el mayorista, cada caja de 60 alfajores cuesta $20.

Si le compra los alfajores al mayorista, ¿cuánto dinero ahorra el quiosquero por semana?

SOLUCIÓN

compra 360 a por semana

1b −→ 8a −→ $3 −→ supermercado

1c −→ 60a −→ $20 −→mayorista

En el supermercado:

8a −→ $3


10

360a −→ 1

8𝑎 . 360a . $3 = $135

En el supermercado los 360 a cuestan $135

En el mayorista

6oa −→ $20

360a −→ 1

60𝑎 . 360a . $20 = $120

En el mayorista los 360 a cuestan $120

Diferencia = supermercado - mayorista = $135 - $120 = $15

11. Los triángulos ABC y EGF son equiláteros.

El perímetro del ABC es 132 cm.

AE = EC

BD = DC

EF = FC

DG = GE

¿Cuál es el perímetro de la figura rayada?

SOLUCIÓN

ABC y EGF son equiláteros

per (ABC) = 132cm

AE = EC

BD = DC

EF = FC


11

DG = GE

AB + BC + CA = 3AB

3AB = 132cm

AB = 1

3 . 132cm = 44cm

AB = BC = CA = 44cm

BD + DC = 44cm

BD = DC

2BD = 44cm =⇒ BD = DC = 22cm

AF = AE + EF = 22cm + 11cm = 33cm

AE + EC = 44cm

AE = EC = 22cm

EC = EF + FC = 22cn

EF = FC = 11cm

per (ABDGFE) = AB + BD + DG + GF + FE + EA

per (ABDGFE) = 44cm + 22cm + 11cm + 11cm +11cm + 33cm

per (ABDGFE) = 132cm

12. ¿Cuántos rectángulos hay en la figura?

SOLUCIÓN

Numerando desde el cuadrito de arriba y de izquierda a derecha, queda

1

2, 3, 4

5, 6, 7, 8, 9


12

10, 11, 12

13

Quedan las siguientes combinaciones:

(2, 3, 4), (5, 6, 7, 8, 9), (10, 11, 12), (2, 6, 10), (4, 8, 12), (1, 3, 7, 11, 13), (2, 3), (3, 4), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9),

(10, 11), (11,12), (2, 6), (6, 10), (1, 3), (3, 7), (7, 11), (11, 13), (4, 8), (8, 12), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (1, 3, 7),

(3, 7, 11), (7, 11, 13), (1, 3, 7, 11), (3, 7, 11, 13), (5, 6, 7, 8), (6, 7, 8, 9), (2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12), (2, 3, 4, 6,7,

8), (6, 7, 8, 10, 11, 12), (2, 6, 10, 3, 7, 11), (3, 7, 11, 4, 8, 12), (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11),

(12), (13), (2, 3, 6, 7), (3, 4, 7,8), (6, 7, 10, 11), (7, 8, 11, 12)

En total hay 54 rectángulos.

13. Un artesano vende el par de aros a $2 y las pulseras a $3 cada una.

Pero tiene una oferta especial: vende un juego de un par de aros y una pulsera a $4.

El sábado el artesano vendió: 72 pulseras, algunas en los juegos y otras sueltas y 80 pares de aros, algunos

en los juegos y otros sueltos.

El sábado vendió 52 juegos de oferta.

¿Cuánto dinero se llevó el artesano ese día por el total de las ventas?

SOLUCIÓN

par de aros −→ $2

pulseras −→ $3 c/u

52 juegos de oferta

J P A CANT TOTAL

52 4 $108

20 3 $60

28 2 $56

$224

Recaudó $224

14. La figura A se obtiene al cortar en una de las esquinas de un cuadrado de 24cm de perímetro, un

cuadradito de 8cm de perímetro.

Con dos figuras iguales a A se arma la figura B.

¿Cuál es el perímetro de la figura B?


13

SOLUCIÓN

Llamamos ABCD al cuadrado original

E está ente C y D

G está ente B y C

F está en el interior de ABCD y FC es diagonal de CEFG

per (ABCD) = 24cm =⇒ AB = 6cm

per (CEFG) = 8cm =⇒ CG = 2cm

BG = DE = 6cm - 2cm = 4cm

per (B1) = 6cm + 4cm + 2cm + 6cm + 6cm + 4cm + 2cm + 6cm = 36cm

per (B1) = 36cm

15. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

SOLUCIÓN

De izquierda a derecha y de arriba hacia abajo quedan numerados así:

1, 2, 3, 4


14

5, 8, 9,12

6, 7, 10,11

Las combinaciones son las siguientes:

(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12), (1, 2), (3, 4), (6, 7), (10, 11), (5, 6, 7), (1, 2, 8), (10, 11, 12),

(3, 4, 9), (9, 10, 11), (8, 7, 6), (3, 4, 12), (5, 1, 2)

Se pueden formar 24 triángulos.

16. En la librería se vende: 1 caja de marcadores por $ 2 y 2 libros de cuentos por $5.

La Sra. Luna compró 18 libros de cuentos y varias cajas de marcadores.

Pagó con un billete de $ 50 y dos billetes de $ 20 y le dieron $ 11 de vuelto.

¿Cuántas cajas de marcadores compró?

SOLUCIÓN

caja marcadores −→ $2

libros de cuentos −→$5

18 libros −→ 1

2 $ 5. 18 = $45

Pagó −→ $50 + 2 . $20 - $11 = $79

Pagó −→$79

18 libros −→ $ 45

x marcadores = $79 - 45 = $34

x marcadores = 34

1 caja −→ $2 x cajas −→ $34

x = 34

2 = 17 cajas

17. La figura está formada por 9 cuadrados iguales.

El perímetro de la figura es de 96 cm.

¿Cuál es el perímetro del rectángulo sombreado?

SOLUCIÓN


15

per (figura) = 96cm

¿per (sombreado)?

AB = 1

2 . 96cm = 6cm

per (sombreado) = 2 . (18cm + 12cm) = 2 . 30cm = 60cm


SOLUCIÓN

Denominando a los pequeños rectángulos mirados de izquierda a derecha y desde arriba hacia abajo, queda:

1, 2, 3

4, 5, 6

7, 8, 9, 10

Las combinaciones posibles son:

(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10)

(1, 2), (2, 3), (4, 5), (5, 6), (7, 8), (8, 9), (9, 10), (1, 4), (4, 7), (2, 5), (5, 8), (3, 6), (6, 9)

(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9), (1, 4, 7), (2, 5, 8), (3, 6, 9), (8, 9, 10)

(7, 8, 9, 10), (1,2, 4,5), (2, 3, 5, 6), (4, 5, 7,8), (5, 6, 8, 9)

(1, 2, 4, 5, 7, 8), (2, 3, 5, 6, 8, 9), (1, 2, 3, 4, 5,6), (4, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)


19. Don Enrique compró 100 lapiceras.

Vende la mitad a $25 cada una y 10 lapiceras a $ 21 cada una.

¿A cuánto debe vender cada una de las que le quedan para obtener, en total, $2380?

SOLUCIÓN

compró −→ 100l

vendió −→ 50l a $25 c/u ∧ 10l a $21 c/u


16

quiere ganar −→ $2380

50 . $25 + 10 . $21 = $1460

restan 40 l

40 l −→ $2380 - $1460 = $920

40 l −→ $920

1l = $ 920

40 = $23

1l −→ $23

20. Un triángulo equilátero ABC está partido en 16 triangulitos equiláteros iguales como muestra la figura.

Para bordear la parte sombreada se necesitan 112 cm de cinta.

¿Cuál es el perímetro del triángulo ABC?

SOLUCIÓN

per (sombra) = 112cm

¿per (ABC)?

Tomo las caras de los 4 pequeños que forman el borde −→ son 14

1

14. per (sombra) = . 112cm = 8cm = AD

Si AB = 4AD =⇒ AB = 32cm

AB = BC = CA = 32cm

per (ABC) = 3 AB = 3 . 32cm = 96cm

per (ABC) = 96cm

21. Ana tiene 3 carteras blancas, 1 roja y 1 azul y 3 pares de zapatos azules, 1 par de zapatos rojos y 1 par de

zapatos blancos.

Siempre que sale lleva zapatos y cartera, pero nunca usa cartera y zapatos del mismo color.

¿De cuántas maneras distintas puede combinar Ana sus carteras y sus zapatos?

SOLUCIÓN


17

Carteras 3b −→b1, b2, b3 ; 1r ; 1a

Zapatos 3a −→ a1, a2, a3; 1r; 1b

c b b1 a a1

c b b1 a a2

c b b1 a a3

c b b1 r -

c b b2 a a1

c b b2 a a2

c b b2 a a3

c b b2 r -

c b b3 a a1

c b b3 a a2

c b b3 a a3

c b b3 r -

c a r - -

c a b - -

c r a a1 -

c r a a2 -

c r a a3 -

c r b - -

22. Dos familias: papá, mamá y los chicos fueron al teatro.

Los Pérez tienen 3 chicos, los Smith tienen 4 chicos.

La entrada de una persona mayor cuesta $ 25.

Los Smith pagaron $ 138 por todas sus entradas.


18

¿Cuánto pagaron los Pérez?

SOLUCIÓN

Pérez: {mamá, papá, 2 chicos} = {m, p, 2c} −→ P

Smith : {mamá, papá, 4 chicos} = {m, p, 4c} −→ S

S −→ $138 a −→ $25

2a + 4c −→ $138

2. $25 + 4c = $138 =⇒ 4c = $88 =⇒ 1c = $22

P −→ 2a + 3c

2 . $25 + 3 . $22 = $50 + $66 = $116

Los Pérez pagaron $116

23. Con tres piezas de madera: una cuadrada (A), de 48 cm de perímetro y dos rectangulares (B y C), se armó

un cuadrado como muestra la figura.

El perímetro del cuadrado formado con las tres piezas es de 76 cm.

¿Cuál es el perímetro del rectángulo C?

SOLUCIÓN

per (A1) = 48cm

per (A + B + C) = 76cm

per (A1) = 4PQ = 48cm =⇒ PQ = 12cm

per (PTUV) = PQ + QT + TU + UM + MV + VR + RP


19

per (PTUV) = 12cm + 2QT + TU + 12cm + VR + 12cm = 76cm

per (PTUV) = 36cm + 2QT + TU + VR = 76cm

4PT = per (A1+ B1+ C1) = 76cm =⇒ PT = TU = QM = 19cm

PT = QT + PQ

19cm = QT + 12cm =⇒ QT = 19cm - 12cm =⇒ QT = 7cm

PV = PR + RV

19cm = 12cm + RV =⇒ RV = 19cm - 12cm =⇒ RV= 7cm

per (C1) = QM + MU + UT + TQ = 2 (QT + MU)

per (C1) = 2. (19cm + 7cm) = 2 . 26cm = 52cm

per (C1) = 52cm

24. María practica tenis y natación.

Juega al tenis todos los jueves y practica natación un día cada 3 (un día sí y los dos días siguientes no).

Hoy es jueves y María practicó los dos deportes.

¿Después de cuántos días, a partir de hoy, María volverá a practicar los dos deportes en el mismo día?

SOLUCIÓN

J V S D L MA MI J V S D

T - - - - - - T - - -

N - - N - - N - - N -

- - - - - - - - - - -

L MA MI J V S D L MA MI J

- - - T - - - - - - T

- N - - N - - N - - N

Pasan 21 días para que se repitan los juegos.

25. Sergio gana $ 135 por semana.

Cada semana ahorra una suma fija de pesos.

Al cabo de algún tiempo, ganó $ 2295 y de lo que ahorró gastó $ 50.

Si todavía le quedan $ 171 ahorrados, ¿cuánto ahorró Sergio por semana?

SOLUCIÓN


20

gana $135 por semana

ganó $2295 y gastó $50 de lo que ahorró.

$135 −→ 1 semana

$2295 −→ x semanas

x = $2295 .15𝑠𝑒𝑚

$135 = $17

Ahorra $k . 17 sem

Gastó $50 de lo ahorrado $17k - $50 = $171

$17k = $171 - $50

k = $ 221

17 ⇒ k = $13

26. En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro, CD = AC y el cuadrilátero ACDE tiene

20 cm de perímetro.

¿Cuál es el perímetro del ABCDE?

SOLUCIÓN

per (ABC) = 18cm

ABC equilátero

per (ACDE) = 20cm

¿per (ABCDE)?

per (ABC) = 18cm =⇒ AB = BC = AC = 6cm

AC = DC = 6cm

per (ACDE) = AC + CD + DE + DE + EA = 20cm

per (ACDE) = 6cm + 6cm + DE + EA = 20cm


21

DE + EA = 20cm - 12cm = 8cm

per (ABCDE) = AB + BC + CD + DE + EA = 24cm


SOLUCIÓN

(1), (2), (3), (4), (5),(6), (7), (8), (9), (2, 3), (4, 5), (6,7), (1, 4,5, 6, 7), (4, 5, 6,7), (4,5,6,7,8),(3, 8), (2, 4, 5, 6, 7),

(2, 4, 5, 6, 7, 9), (4, 5, 6, 7, 9), (5,7,8), (2,4,5), (1, 4, 5, 6, 7, 8), (1, 4, 6), (5, 7, 9)

Hay 24 rectángulos.

28. El sábado, la Sra. Juárez gastó $ 360 en la compra de ropa y zapatos.

Gastó una cuarta parte en zapatos.

Con el resto compró un pantalón a $ 85, una campera a $ 120 y un saco de lana.

¿Cuánto pagó por el saco?

SOLUCIÓN

gastó−→ $360 zapatos −→ 1

4 . $36

queda −→ $360 - $90 = $270 compra

1p −→$85

1c −→$120

1p + 1c = $85 + $120 = $205

1s = $270 - $205 = $65

1s −→$65

29. Ezequiel ten a 84 figuritas en el álbum rojo y 20 figuritas en el álbum azul.

Hoy pegó la misma cantidad de figuritas en cada álbum.

Ahora tiene, en el álbum rojo, el triple de figuritas que en el azul.


22

¿Cuántas figuritas pegó en cada álbum?

SOLUCIÓN

84r, 20a

pegó x fig r ∧ x fig a

84 + x = (20 + x) . 3

84 + x = 60 + 3x =⇒ 84 - 60 = 3x - x

24 = 2x =⇒ x = 12 fig

Pegó 12 fig.

30. La figura ACDE tiene 882 cm de perímetro.

BC = BD;

AB es la mitad de BD

¿Cuál es el perímetro del triángulo BCD?

SOLUCIÓN

per (ACDE) = 882cm

BC = BD

CD = 282cm

AB = 1

2 BD

¿per (BCD)?

BC = BD = 200cm

per (BCD) = BC + CD + BD = 200cm + 282cm + 200cm = 682cm

31. Dani tiene 6 lápices de distintos colores para regalar a dos amigos: Juan y Pedro.

¿De cuántas maneras puede regalarlos?

Indica qué lápices regala a cada amigo.


23

SOLUCIÓN

J P - J P - J P - J P

L1 L2 - L2 L5 - L4 L2 - L5 L6

L1 L3 - L2 L6 - L4 L3 - L6 L1

L1 L4 - L3 L1 - L4 L5 - L6 L2

L1 L5 - L3 L2 - L4 L6 - L6 L3

L1 L6 - L3 L4 - L5 L1 - L6 L4

L2 L1 - L3 L5 - L5 L2 - L6 L5

L2 L3 - L3 L6 - L5 L3 - - -

L2 L4 - L4 L1 - L5 L4 - - -

32. En la figura de vértices ABCDE, se marcaron M, punto medio de AB y N, punto medio de ED.

Al trazar los segmentos MN y BD, la figura queda partida en dos cuadrados y un triángulo equilátero.

El cuadrado AMNE tiene 56 cm de perímetro.

¿Cuál es el perímetro de la figura ABCDE?

SOLUCIÓN

BCD equilátero.

Como AM = MB y EN = ND, queda:

AM = MB = EN = ND BC = CD = DB = MB

per (AMNE) = 56cm

per (AMNE) = AM + MN + NE + EA = 4AM = 56cm =⇒ AM = 14cm

per (ABCDE) = AM + MB + BC + CD + DN + NE + EA = 7 . 14cm

per (ABCDE) = 98cm

33. En un campeonato de fútbol cada equipo juega 19 partidos en total.

Cada vez que gana obtiene 3 puntos y cada vez que empata obtiene 1 punto.


24

Al final del campeonato, el equipo Olimpo obtuvo un total de 28 puntos.

¿Cuántos partidos ganó, Cuántos partidos empató y Cuántos partidos perdió el equipo Olimpo?

Da todas las posibilidades.

G E P

5 13 1

6 10 3

7 7 5

8 4 7

9 1 9

Son los casos posibles.

34. Cada caja contiene 8 paquetes y cada paquete, 6 alfajores.

Para darle un alfajor a cada uno de los 615 chicos que participan del certamen, ¿cuántas de estas cajas hay

que comprar?

SOLUCIÓN

1c −→ 8p

1p −→ 6a

1c −→6. 8a = 48a

615 chicos

1c −→ 48a

x −→ 615a

x = 615𝑎

48𝑎 = 12 cajas + resto

Hay que comprar 13 cajas

615 - 12. 48a = 39a

12c, 6p, 3a −→ 13 cajas

35. Con tres piezas cuadradas y tres rectangulares se armó esta figura.

Cada pieza cuadrada tiene 32 cm de perímetro.

Cada pieza rectangular tiene 22 cm de perímetro.



25

SOLUCIÓN

El cuadrado de la izquierda tiene vértices ABCD, contando desde el inferior izquierdo y en sentido

antihorario.

El rectángulo de la izquierda tiene vértices EFCD, contando desde el inferior izquierdo y en sentido

antihorario.

El rectángulo grande tiene vértices EMND, contando desde el inferior izquierdo y en sentido antihorario.

ABCD cuadrado =⇒ per (ABCD) = 4AB = 32cm =⇒ AB = 32

4 cm = 8cm

AB = 8cm

ABEF rectángulo =⇒ per (ABEF) = 22cm

per (ABEF) = 2. (AB + AE) = 2. (8cm + AE) = 22cm

16cm + 2AE = 22cm =⇒ AE = 3cm

per (AMNE) = 2. (3AB + AB + AE) = 2. (4AB + AE)

per (AMNE) = 8AB + 2AE = 8 . 8cm + 2 . 3cm = 70cm

per (AMNE) = 70cm


Explica cómo los contaste.

SOLUCIÓN

Llamando a los rectángulos de la siguiente manera:


26

arriba −→5

fila 1 arriba −→ 1 - 2 - 3 – 4

fila 2 abajo −→ 6 - 7 - 8 - 9

abajo −→ 10

(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (1, 2), (2, 3) , (3, 4) , (6, 7) , (7, 8), (8, 9), (2,6) , (6, 10), (3, 79, (5, 4),

(4, 8), (5, 4,8), (2, 6, 10), (1, 2, 3), (2, 3, 4), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (1, 2, 3, 4) , (6, 7, 8, 9), (2, 3, 6, 7), (3, 4, 7, 8)


37. Con una botella de gaseosa se llenan 6 vasos.

Después de la fiesta quedaron 15 botellas vacías y 5 botellas por la mitad.

¿Cuántos vasos se habían llenado en la fiesta?

SOLUCIÓN

1b −→ 6v quedaron−→ 15 b vacías +1

2 . 5 b

bebieron −→ (15 + 5

2 ) b =

35

2 b

1b −→ 6v

35

2 b −→ x =

1

2 . 6 . 35 v = 105 v

Se llenaron 105 vasos.

38. La figura ABCDE tiene 63 cm de perímetro y los lados BC, CD, DE, y EA son iguales.

En el rectángulo ABCE, BC es el doble de AB.

¿Cuál es el perímetro del triángulo CDE?

SOLUCIÓN

per (ABCDE) = 63cm

BC = CD = DE = EA


27

BC = 2AB

per (ABCDE) = AB + 2AB + 2AB + 2AB + 2AB = 9AB

9AB = 63cm =⇒ AB = 63

9 cm = 7cm

BC = CD = 2AB = 2 . 7 cm = 14cm

per (ECD) = AB + CD + DE = AB + 2AB + 2AB = 5AB = 5.7cm = 35cm

per (ECD) = 35cm



SOLUCIÓN

Numerando desde 1 hasta 12 de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba, quedan los siguientes

triángulos:

(1), (2), (3), (4), (5), (6). (7), (8), (9), (10), (11), (12), (2,3), (7, 2), (7, 8), (9, 11), (6, 11), (3, 8), (1, 2, 7), (4, 3, 8),

(7, 8, 9), (6, 7, 8), (9, 10), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) , (9, 10, 11, 12), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) , (1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8) , (9, 10, 11), (1, 2, 3, 4, 7, 8)

En total son 32 triángulos.

40. Una arañita va y viene sobre una rama de 64 cm de largo.

Primero va de una punta a la otra.

Se da vuelta y va hasta la mitad de la rama; allí se da vuelta y va hasta la mitad del camino que recorrió la

última vez.

Hace esto dos veces más, recorriendo cada vez la mitad del camino anterior.

¿Cuántos cent metros recorrió en total?

SOLUCIÓN

Recorre los siguientes tramos:

AB, BC, CD, DE, EF


28

AB = 64cm

BC = 1

2 AB = 32cm

CD= 1

2 BC = 16cm

DE = 1

2 CD = 8cm

EF = 1

2 DE = 4cm

En total:

64cm + 32cm + 16cm + 8cm + 4cm = 124cm

41. El cuadrado grande tiene 72 cm de perímetro.

Los cuadrados pequeños tienen lado igual a la mitad del lado del cuadrado grande.


SOLUCIÓN

Indicando los vértices de izquierda a derecha, queda:

A, B, C, D

M, L, F, E

K, J, G I, H

per (BCKG) = 72cm

2AM = KB

KB = BC = 72

4 cm = 18cm

AB = CD = DE = EF = FG = GH = HI = IJ = JK = KL = LM = MA = 1

2 KB =

18

2 cm = 9cm

per (fig) = 12AB + BC = 12 . 9cm + 18cm = 126cm



29


SOLUCIÓN

Llamando 1, 2, 3, 4 a los rectángulos verticales y 5, 6, 7, 8, 9 a los horizontales queda:

(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2), (3, 4), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (5, 6, 7), (6,

7, 8), (7, 8, 9), (1, 2, 5, 6, 7, 8, 9), (2, 5, 6, 7, 8, 9), (5, 6, 7, 8, 9, 3), (3, 4, 5, 6, 7, 8. 9), (5, 6, 7, 8), (6, 7, 8, 9),

(2, 3, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9)


43. Un ascensor sale de la planta baja con 7 personas.

Para en todos los pisos.

En cada piso suben 2 personas.

En los pisos pares bajan 3 personas y en los pisos impares no baja ninguna.

¿Cuántas personas hay en el ascensor antes de que se abra la puerta en el piso 11?

SOLUCIÓN

por piso −→ suben 2p

pisos pares −→ bajan 3p

pisos impares −→ baja 0p

¿Cuántas personas hay en el ascensor antes de que se abra la puerta en el piso 11?

(es lo mismo que decir cómo iba cargado en el piso 10)


30

PISO SUBEN BAJAN PISO SUBEN BAJAN

0 7 0 6 2 0

1 2 3 7 2 3

2 2 0 8 2 0

3 2 3 9 2 3

4 2 0 10 2 0

5 2 3 - - -

Antes que se abra la puerta del piso 11 hay:

7p + 2p. 7 pisos - 3p . 5 pisos = 12p

44. Con dos piezas cuadradas se armó esta figura.

El lado del cuadrado pequeño mide 5 cm.

El lado del cuadrado grande es el triple del lado del cuadrado pequeño.


SOLUCIÓN

ABFG cuadrado BCED cuadrado

BC = CD = DE = BE = 5cm

BF = 3BE = 3 . 5cm = 15cm

per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA

per (fig) = 15cm + 5cm + 5cm + 5cm + 10cm + 15cm + 15cm = 70cm

45. Durante las vacaciones siempre uso calzas, pollera, remera y anteojos de sol.

Tengo que ponerme la remera antes que los anteojos, y las calzas antes que la pollera.

¿Durante Cuántos días me puedo vestir en un orden diferente?

Explica en qué orden se viste cada día.


31

SOLUCIÓN

c, p, r, a

r antes que a

c antes que p

c p r a - r a c p

c r a p - r c a p

c r p a - r c p a

Hay 6 maneras distintas.

46. Agustín puede comprar una bicicleta en 12 cuotas de $ 78 cada una o en un único pago de $ 750.

¿Cuánto ahorra si la compra en un único pago?

SOLUCIÓN

12 cuotas −→ $78 c/u

1 pago −→ $750

Si paga en cuotas:

12 . $78 = $936

Diferencia = cuotas - contado = $936 - $750 = $186

47. El cuadrilátero ABCD está partido en 2 triángulos: ABD y BCD.

ABD es equilátero y tiene 36 cm de perímetro.

BCD es isósceles, con BC = CD y tiene 32 cm de perímetro.

¿Cuál es el perímetro del ABCD?

SOLUCIÓN

ABC equilátero per (ABC) = 36cm

AB = BD = AD = 1

3 . 36cm = 12cm

BCD isosceles

BC = CD


32

per (BCD) = BC + CD + BD = 32cm

per (BCD) = 2BC + 12cm = 32cm =⇒ BC = 1

2 (32cm - 12cm) = 10cm

per (ABCD) = AB + BC + CD + DA = 12cm + 10cm + 10cm + 12cm

per (ABCD) = 44cm

48. Una banda de rock está formada por un guitarrista, un baterista, un trompetista y un cantante.

Para el saludo se ubican en una fila.

Si el cantante nunca puede estar ni al principio ni al final de la fila,

¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse?


SOLUCIÓN

g, b, t, c

g b c t - t c g b - b c t g

g c b t - t c b g - b c g t

g c t b - t b c g - b t c g

g t c b - t g c b - b g c t

49. Juan armó esta figura con tres fichas cuadradas y dos fichas rectangulares iguales.

Las tres fichas cuadradas forman una rectangular

La ficha rectangular tiene 56 cm de perímetro.

¿Cuál es el perímetro de la figura que armó Juan?


33

SOLUCIÓN

Si llamamos A al vértice superior izquierdo y numeramos en el sentido de las agujas del reloj, queda

determinada la figura ABCDEFGHIJKL.

per (ABKL) = 56 cm

BK = BC

3 BC = AB

2 (AB + BK) = 56 cm

2 ( 3 BC +BC) = 56 cm

8 BC = 56 cm

BC = 7 cm y por lo tanto AB = 21 cm

Per (figura) = 4 AB + 8 BC = = 4. 21 cm + 8. 7 cm = 84 cm + 56 cm = 140 cm

50. Aldo, Carlos y Javier juegan con una máquina tragamonedas.

Entre los tres gastan 40 monedas.

Carlos gasta 12 más que Javier.

Javier gasta la mitad de las que gasta Aldo.

¿Cuántas monedas gasta cada uno?

SOLUCIÓN

A + C + J = 40 (1)

C - 12 = j

j = 𝐴

2 ⇒ A = 2 J

Reemplazo A en (1) y queda:

2 J + C + J = 40 =⇒ 3 J + C = 40

C - 12 = J

Es decir:

3 J + C = 40

J - C = -12

Sumando:

4 J + 0 = 28 =⇒ J = 7

J - C = 12

7 - C = 12 =⇒ - C = -12 - 7 =⇒ - C = - 19 =⇒ C = 19


34

A + C + J = 40 =⇒A + 19 + 7 = 40 =⇒ A = 40 - 7 - 19 =⇒ A = 14

(A, C, J) = (14. 19, 7)

51. Cada semana María tiene 2 clases de inglés, 1 de dibujo y 1 de música.

Debe elegir sus horarios de lunes a viernes, las clases de inglés no deben ser en días seguidos y no puede

tener más de una clase por día.

¿De cuántas formas distintas puede María armar sus horarios?

Enuméralas.

SOLUCIÓN:

2 I, 1 D, 1 M de Lunes a Viernes

I no se permite en días consecutivos.


35

LU MA MI JU VI LU MA MI JU VI

1 I D I M - 19 D I M I -

2 I M I D - 20 M I D I -

3 I - I D M 21 - I D I M

4 I - I M D 22 - I M I D

5 I D I - M 23 D I - I M

6 I M I - D 24 M I - I D

7 I D M I - 25 D I M - I

8 I M D I - 26 M I D - I

9 I - D I M 27 - I D M I

10 I - M I D 28 - I I D I

11 I D - I M 29 D I - M I

12 I M - I D 30 M I - D I

13 I D M - I 31 D M I - I

14 I M D - I 32 M D I - I

15 I - D M I 33 - D I M I

16 I - M D I 34 - M I D I

17 I D - M I 35 D - I M I

18 I M - D I 36 M - I D I

I −→ Lu, Mi - Mi, Vi

I −→ Lu, Ju - Ma. Ju

I −→ Lu, Vi - Mi - Vi

52. Alicia y Beatriz llevaban $50 cada una.

Alicia compró 3 kg de helado y un postre.

Para poder pagar tuvo que pedirle $4 prestados a Beatriz.

Beatriz compró 1 kg de helado y un postre del mismo precio que el de Alicia; después de pagar y prestarle a

Alicia los $4, le quedaron $16.


36

¿Cuánto costaba el postre?

SOLUCIÓN:

A + B = $ 50 + $ 50

A −→ 3 kg h + 1 p −→ pidió $ 14 a B

B −→ 1 kg h + 1 p −→ le sobraron $ 16

A =⇒ 3 kg h + 1 p = $ 54

B =⇒ 1 kg h + 1 p = $ 30

1 p = $ 54 - 3 kg h = $ 30 - 1 kg h

$54 - $30 = 3 kg h - 1 kg h

$ 24 = 2 kg h =⇒ 1 kg h = $ = $ 12

1 p = $30 - 1 kg h = $ 30 - $ 12 = $18

(h, p) = ($12, $18)

53. Con 6 fichas rectangulares, todas iguales, se armó esta figura.

En cada ficha rectangular la longitud del lado mayor es cuatro veces la longitud del lado menor.

El perímetro de una ficha es 30cm.


SOLUCIÓN

Llamando A al vértice inferior izquierdo y anotando en el sentido contrario al movimiento de las agujas del

reloj quedan determinados los vértices A, B , C , D , E , F, G , H , I , J , L , M , N , Ñ

AB = 4BC


37

per (ficha) = 2. (BC + 4 BC) = 2. 5 BC

per (ficha) = 30 cm

Entonces:

2.5 BC = 30 cm =⇒10 BC = 30 cm =⇒ BC = 3 cm ∧ AB = 12 cm

AB = HI = Nñ = 12 cm

BC = CD = DE = EF = FG = IJ = JK = KL = LM = MN = ÑA = 3 cm

HG = HI - KJ = 12cm - 3cm = 9cm

per (figura) = 3 . AB + 11. BC + HG = 3 . 12 cm + 11. 3 cm + 9cm = 36 cm + 33 cm + 9cm = 78 cm

per (figura) = 78 cm

54. En la figura se quiere pintar cada cuadradito de rojo o de azul.

Los dos cuadraditos de la izquierda no pueden ser rojos a la vez.

Los dos cuadraditos de la derecha no pueden ser rojos a la vez.

¿De cuántas maneras puede hacerse?

SOLUCIÓN

Llamemos a los cuadraditos de arriba 1, 2, 3

Llamemos a los cuadraditos de abajo 4, 5, 6

Quedan como pares:

(1, 4), (2. 5). (3, 6)

1 y 4 no pueden ser R a la vez 3 y 6 no pueden ser R a la vez

Dividimos el tablero en tres columnas.

Cada una permite algunas combinaciones.

Con la columna (1, 4) se pueden hacer las siguientes combinaciones:

(A, A), (A, R), (R, A) −→ (3)


(A, A), (A, R), (R, A), (R, R) −→ (4)


38


(A, A), (A, R), (R, A) −→ (3)

Si combinamos estos tres grupos entre s obtenemos:

3. 4. 3 = 36 combinaciones.

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

1 A A A A A A 19 A R A R A R

2 A A A A R A 20 A R A R R R

3 A R A A A A 21 A A R R A A

4 A R A A R A 22 A A R R R A

5 A A A A A R 23 A R R R A A

6 A A A A R R 24 A R R R R A

7 A R A A A R 25 R A A A A A

8 A R A A R R 26 R A A A R A

9 A A R A A A 27 R R A A A A

10 A A R A R A 28 R R A A R A

11 A R R A A A 29 R A A A A R

12 A R R A R A 30 R A A A R R

13 A A A R A A 31 R R A A A R

14 A A A R R A 32 R R A A R R

15 A R A R A A 33 R A R A A A

16 A R A R R A 34 R A R A R A

17 A A A R A R 35 R R R A A A

18 A A A R R R 36 R R R A R A

55. Bruno, Diego y Fede fueron al supermercado.

Bruno pagó con $50 y recibió $12 de vuelto.

Diego y Fede pagaron, cada uno, con un billete de $100.

Bruno y Fede gastaron entre los dos, $80.


39

El vuelto de Diego fue la mitad del vuelto de Fede.

¿Cuánto gastó Diego?

SOLUCIÓN

B pagó con $ 50 y recibió $ 12

Diego = Fede = $ 100

¿D?

B + F = $ 80

$ 38 + F = $ 80 =⇒ F = $ 80 - $ 38 = $ 42 (gastó)

Si F tenía $ 100 y gastó $ 42, le queda de vuelto $ 58

2vD = vF =⇒ vD = 𝑣𝐹

2 = $58

2 = $29

Diego gastó $ 100 - $ 29 = $ 71

56. Andrés compró 240 fichas, algunas rojas, algunas azules y otras verdes.

Las rojas cuestan $ 4 cada una, las azules, $ 2 cada una y las verdes, $ 1 cada una.

Gastó $ 640 en fichas.

Si las azules costaran como las rojas y las rojas costaran como las azules, Andrés gastó $ 560.

¿Cuántas fichas de cada clase compró Andrés?

SOLUCION

{𝑅 + 𝐴+ 𝑉= 2404𝑅 + 2𝐴+ 𝑉= 6402𝑅 + 4𝐴 = 560

Planteando determinantes:

∆ = 𝑑𝑒𝑡 (1 1 14 2 12 4 0

) = 10

∆𝑅 = 𝑑𝑒𝑡 (240 1 1640 2 1560 4 0

) = 1040

∆𝐴 = 𝑑𝑒𝑡 (1 240 14 640 12 560 0

) = 880

∆𝑉 = 𝑑𝑒𝑡 (1 1 2404 2 6402 4 560

) = 480

R = ∆𝑅

∆ =

1040

10 = 104


40

A = ∆𝐴

∆ =

880

10 = 88

V = ∆𝑉

∆ =

480

10 = 48

(R, A, V) = (104, 88, 48)

57. En la figura: ABC es un triángulo equilátero; ABD, ABE y ABF son triángulos isósceles.

AD = DB = 3

2 AB;

AE = EB = 3

2 AD;

AF = FB = 3

2 AE;

Perímetro de ABF = 124 cm.

¿Cuáles son los perímetros de ABC; ABD y ABE?

SOLUCION

ABC equilátero

ABD, ABE, ABF −→ isósceles

AD = DB = 3

2 AD

AE = EB = 3

2 AD

AF = FB = 3

2 AD

per (ABF) = 124cm

AD = 3

2 AB

AE = 3

2 ( 3

2 AB) =

9

4 AB

AF = 3

2 . 9

4 AB =

27

8 AB


41

AB + 2AF = 124cm

AB + 27

4 AB = 124cm =⇒ AB =

4

31. 124cm = 16cm

AD = 3

2 AB =

3

2 . 16cm = 24cm

AE = 9

4 AB =

9

4. 16cm = 36cm

AF = 27

8 AB =

27

8 . 16cm = 54cm

per (ABC) = 3AB = 3 . 16cm = 48cm

per (ABD) = AB + 2AD = 16cm + 2 . 24cm = 64cm

per (ABE) = AB + 2AE = 16cm + 2 . 36cm = 88cm

58. Con tres triángulos equiláteros se armó esta figura.

El triángulo grande tiene 48 cm de perímetro.

El lado del triángulo mediano es la mitad del lado del triángulo grande.

El lado del triángulo pequeño es la mitad del lado del triángulo mediano.


SOLUCIÓN

Comenzando por el vértice inferior izquierdo y continuando en el sentido opuesto a las agujas del reloj

enumeramos los vértices como A, B, G, F, D, E, C

per (ABC) = 48 cm

AB = BC = AC = 16 cm

2 BE = BC =⇒BE = 16

2 cm = 8 cm

BG = 1

2 BE =

8

2 cm = 4 cm

BG = GF = FD = GD = 4 cm

per (figura) = AB + BG + GF + FD + DE + EC +CA = 16 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm + 8 cm + 8 cm + 16 cm = 60 cm


42

59. El abuelo retiró $145 del banco. S lo le dieron billetes de $2 y de $5.

No le dieron ninguna moneda.

¿Cuántos billetes de cada clase puede haber retirado?

Enumera todas las posibilidades.

SOLUCIÓN

Retiró $ 145 en billetes de $ 2 y de $ 5

B(2) B(5) B(2) B(5) B(2) B(5)

0 29 25 19 50 9

5 27 30 17 55 7

10 25 35 15 60 5

15 23 40 13 65 3

20 21 45 11 70 1

60. Los 96 alumnos de quinto grado saldrán de excursión.

El precio total de la excursión es de $544.

La tercera parte de los chicos, como pagó por adelantado, pagó s lo $5.

¿Cuánto pagó cada uno de los otros chicos?

SOLUCIÓN

precio por 96 alumnos = $ 544

por 1

3 .96 alumnos −→ pagó $ 5 c/u

.96 alumnos = 32 alumnos . $

𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜 5 = $ 160

Total adelantado = $ 544 - $ 160 = 384

64 alumnos −→ $ 384 =⇒ 1 alumno = $ 384

64 = $6

61. Pedro tiene un juego con muchas piezas cuadradas todas iguales entre s y muchas piezas rectangulares

todas iguales entre sí.


43

Con 2 piezas cuadradas se arma 1 pieza rectangular.

Con las piezas del juego arma esta figura formada por 4 piezas rectangulares y 2 piezas cuadradas.

Una pieza rectangular tiene 24cm de perímetro.


SOLUCIÓN

Comenzando por el vértice inferior izquierdo y continuando en el sentido opuesto a las agujas del reloj

enumeramos los vértices como A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R

2 c = 1 r

4 r + 2 c

per (r) = 24 cm = 2. (c + c + c) = 6 . c (el lado)

24 cm = 6 c =⇒c = 4 cm

Los lados de la ficha miden (c, r) = (4cm, 8 cm)

per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IJ + JK + KL + LM + MN + NO + OP + PQ + QR + RA =

= 4 . 8 cm + 14 . 4 cm = 32 cm + 56 cm = 88 cm

62. En una clase de educación física el profesor divide a los chicos en equipos de distinto número según la

actividad.

Si forma grupos de 7 no sobra ningún chico.

Cuando forma equipos de 3, de 4 o de 6 siempre sobra 1 chico.

¿Cuál es el menor número posible de chicos de esa clase?

SOLUCIÓN

Número múltiplo de 7

Si es múltiplo de 3 sobra 1




44

Queda formado el siguiente sistema de ecuaciones:

3x + 1 = nro

4y + 1 = nro

6z + 1 = nro

7t = nro

Los múltiplos de 7 son: 7 - 14 - 21 - 28 - 35 - 42 - 49 - 56 - 63

Si tiene 49 chicos:

49

7 = 7

49

3 = 16 (sobra 1);

49

4 = 12 (sobra 1);

49

6 = 8 (sobra 1)

63. Laura tiene dos kioscos cerca de su casa.

En el kiosco A, por cada $ 10 que gasta le hacen un descuento de $ 1.

En el kiosco B, por cada $ 19 que gasta le hacen un descuento de $2.

Laura hace un gasto en el kiosco A y paga, con el descuento, $ 87.

Si Laura hiciera ese mismo gasto en el kiosco B, ¿cuánto deber a pagar, teniendo en cuento el descuento que

hace el kiosco B?

SOLUCIÓN

Si A gasta $10 −→ descuento $1

Si B gasta $19 −→ descuento $2

A gastó $x, le hicieron descuento y pagó $87

gasta $10 −→ paga $9

gasta $x −→ paga $87

x = 87.$𝑥

9 = $ 96,66

gasta $19 −→ paga $17

gasta $96,66 −→ paga $y

y = $96,66.1719

. = $ 86,48

Debería pagar $86,48


45

64. Los rectángulos ABGI y BDEF son iguales.

BD = 2 AB

El perímetro del rectángulo BDEF es de 54 cm.

Los triángulos BCD y GHI son equiláteros.

¿Cuál es el perímetro de la figura de vértices ABCDEFGHI?

SOLUCIÓN

BD = FG = BG = AI = 2.AB

AB = IG = BF = DE BC = CD = BD

¿per (ABCDEFGHI) =?

BD +DE + EF + FB = 54CM

BD + DE + BD + DE = 2BD + 2 DE = 2 . 2AB + 2AB = 6AB

6AB = 54cm =⇒ AB = 9cm

BD = 2AB = 2 . 9cm = 18cm

per (ABCDEFGHI) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA =

= 5AB + 4BD = 5AB + 4 . 2AB = 13AB = 13 . 9cm = 117 cm


46

65. ¿Cuántos números impares divisibles por 5, hay entre 504 y 2001?

Explica por qué.

SOLUCIÓN

En [504, 2001]

¿x impares divisibles por 5?

Entre 0 y 100: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95

Entre 0 y 100 hay 10 números impares divisibles por 5.

Entre:

INICIO FINAL CANTIDAD

500 600 10 nros.

600 700 10 nros.

700 800 10 nros.

800 900 10 nros.

900 1000 10 nros.

1000 1100 10 nros.

1100 1200 10 nros.

1200 1300 10 nros.

1300 1400 10 nros.

1400 1500 10 nros.

1500 1600 10 nros.

1600 1700 10 nros.

1700 1800 10 nros.

1800 1900 10 nros.

1900 2000 10 nros.

En total hay 150 nros. impares múltiplos de 5 entre 500 y 2001

66. En la feria venden remeras y pantalones.

5 remeras cuestan $ 30.


47

Pedro compró 2 remeras y 3 pantalones.

Juan compró 3 remeras y 2 pantalones.

Pedro pagó $2 más que Juan.

¿Cuántos $ pagó Pedro?

SOLUCIÓN

r y p

5 r cuestan $ 30

Pedro −→ 2 r + 3 p

Juan −→ 3 r + 2 p

Pedro = Juan + $2

5 r −→ $ 30

r −→ $ 6

r −→ $ 12

r −→ $ 18

Pedro −→ $ 12 + 3p = ($18 + 2p) + $2 (i)

Juan −→ $ 18 + 2p (i)

$12 + 3p = $18 + 2p + $2

1p = 3p - 2p = $18 + $2 - $12 = $8

Pedro −→ 2 r + 3 p = $12 + 3 . $8 = $12 + $24 = $36

67. El cuadrado ABCD se partió en tres rectángulos como muestra la figura.

El rectángulo AEGD tiene 60 cm de perímetro.

AD = AB

AB = 4 AE

BC = 3 CF


48

¿Cuál es el perímetro del rectángulo FCGH?

SOLUCIÓN

per (AEGD) = AE + EG + GD + DA

AD = AE + EB

AD = 4AE =⇒ AE = 𝐴𝐷

4

AE = DG

AD = EG = EH + HG

AD = AB = 4AE

2. (AE + 4AE) = per (AEGD) = 60cm

10 AE = 60cm =⇒ AE = 6cm

AB = BC = AD = DC = 4AE = 4 . 6cm = 24cm

AB = 24cm

AB = AE + EB =⇒ 24cm = 6cm + EB =⇒ EB = HF = GC = 18cm

AB = BC = 3CF =⇒ 24cm = 3CF =⇒ CF = HG = 8cm

per (FGCH) = FC + GC + GH + HF = 8cm + 18cm + 8cm + 18cm = 52cm

per (FGCH) = 52cm


SOLUCIÓN

Numerando los polígonos pequeños contando desde arriba hacia abajo y de izquierda a derecha, obtenemos

las siguientes combinaciones:

(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (13), (14), (1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (5, 11), (1, 3, 5, 6, 9, 10, 11), (1,

3, 5, 6), (2, 4, 7, 8, 12,13, 14), (2, 4, 7, 8), (7, 12), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (5, 6, 7, 9, 10, 11, 12), (6, 7, 11, 12),


49

(6, 7, 8, 11, 12, 13, 14), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)

En total hay 26 casos posibles.

69. Agustina, Betina y Camila fueron juntas a comprar un regalo de cumpleaños.

Agustina llevaba $ 100 y pagó el regalo.

El regalo costó $ 84.

Repartieron el gasto en partes iguales.

Betina le dio su parte.

Camila sólo le dio la mitad de su parte.

¿Cuánto dinero le quedó a Agustina?

SOLUCIÓN

A + B + C = $8a

pagó con $100 =⇒ vuelto = $100 - $84 = $16

pagó su parte ⇒ $ 84

3 = $28

pagó la mitad ⇒ $ 28

2 = $14

Lo que le quedó a A es: $16 + $28 + $14 = $58

70. En la figura:

ABCJ y EFGH son cuadrados iguales.

DJ = DF y DE = 2 EF

La figura tiene 154 cm de perímetro.

¿Cuánto miden los lados del rectángulo DEIJ?

SOLUCIÓN


50

2EF = 2AB = ED = IJ

AB = BC = EF = FG = GH = JA

JD = JC + CD = AB +CD

per (fig) = 154cm

per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IJ + JA

per (fig) = 6AB + CD + DE + HI + IJ = 154cm

per (fig) = 6AB + 4CD = 154cm

per (fig) = 6AB + 4 . 2AB = 154cm

per (fig) = 14AB = 154cm =⇒ AB = 154

14 cm = 11cm

CD = 2AB = 2 . 11cm = 22cm

Los lados del rectángulo mayor son: (AB, AB + CD) = (11cm, 33cm)

71. Ana se olvidó el número de su credencial pero recuerda que: tiene seis cifras todas distintas, entre las

cifras no hay ni 0 ni 1, las seis cifras van de menor a mayor. ¿Cuál puede ser el número de la credencial de

Ana? Da todas las posibilidades.

SOLUCIÓN

234567 234678 235689 245689 345679

234568 234679 235789 245789 345789

234569 234789 236789 246789 346789

234578 235678 345678 256789 356789

234579 235679 245679 345678 456789

En total, hay 25 casos posibles.

72. El Lunes Ana abrí una caja de caramelos.

Todos los mediodías saca algunos caramelos de la caja.

El miércoles a la tarde, quedaban los dos tercios del total de caramelos.

El jueves a la tarde, quedaban 24 caramelos que eran la cuarta parte del total.

¿Cuántos caramelos sacó Ana de la caja el jueves al mediodía?

SOLUCIÓN


51

Miércoles −→ 2

3 T

Jueves −→ 1

4 T = 24

Había 24c. 4 = 96c

El miércoles quedó 2

3 . 96c = 64c

2

3 -

2

3 =

8−3

12 =

5

12

El jueves al mediodía Ana sacó 5

12 . 96c = 40c.

73. En la figura, BC = 2CD.

El perímetro del rectángulo ABEF es 48 cm.

El perímetro del rectángulo BCDE es el doble del perímetro del ABEF.

¿Cuál es el perímetro del rectángulo ACDF?

SOLUCIÓN

BC = 2CD

per (ABEF) = 48cm

per (BCDE) = 2 per (ABEF)

¿per (ACDF)?

AB = FE

AF = BE

2(AB + AF) = 48cm

AB + AF = 24cm

BC + CD = 48cm

De aquí:

CD + 2CD = 3CD = 48cm =⇒ CD = 16cm


52

BC + CD = 48cm =⇒ BC = 48cm - CD = 48cm - 16cm = 32cm

BC + CD = 48cm =⇒ CD = AF = 16cm AB = 𝐶𝐷

2 = 8cm

per (ACDF) = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 2(AB + BC + CD) = 2 (8cm + 32cm + 16cm) = 112cm

74. Escribo todos los números impares desde 1000 hasta 2004.

¿Cuántas veces escribo el dígito cero?

SOLUCIÓN

COMO DECENA COMO UNIDAD COMO CENTENA

100 100

110 101

120 1 102

130 3 103

140 5 104

150 7 105

160 9 106

170 107

180 108

190 109

De todas las decenas y centenas surgen flechas que se dirigen a cada unidad, es decir todas las flechas

confluyen en las unidades y quedan formados:

Como decena: 10 veces x 5 impares = 50 veces

Como centena: 10 veces x 5 impares = 50 veces

2 veces en 2001 −→1 nro −→ 2 veces

2 veces en 2003 −→1 nro −→ 2 veces

Sumando las cantidades: 50 veces + 50 veces + 2 veces + 2 veces = 104 veces

75. En un campeonato, cada equipo jugó 24 partidos.

Al final del campeonato:

El equipo A no empató ningún partido y ganó 10 más de los que perdió.

El equipo B no perdió ningún partido y empató 6 más de los que ganó.


53

¿Cuántos partidos ganó cada uno de los dos equipos en ese campeonato?

SOLUCION

G + P = 24 ∧ G = P + 10

G + E = 24 ∧ E = G + 6

Reemplazando, queda:

G + P = 24 =⇒ P + 10 + P = 24 =⇒ 2P = 14 =⇒ G = 17 ∧ P = 7

G + E = 24 =⇒ G + G + 6 = 24 =⇒ 2G = 18 =⇒ G = 9 ∧ E = 15

76. Los triángulos ABJ, CDE, EFG y HIJ son iguales.

La figura BCEGHJ tiene los 6 lados iguales y 90 cm de perímetro.

DF = 18 cm y DE = EF.

El triángulo CDE tiene 36 cm de perímetro.

¿Cuál es el perímetro del rectángulo ADFI?

SOLUCIÓN

ABJ = CDE = EFJ = HIJ

per (BCEGHJ) = BC + CE + EG + GH + HJ + JB = 90cm

BC = CE = EG = HJ = JB

per (BCEGHJ) = 90cm = 6EC =⇒ EC = 15cm

DE = EF;

DF = 18cm

DE = EF = 9cm =⇒DF = 2DE

CD + 9cm + 15cm = 36cm =⇒ CD = 12cm

BC = CE = EG = GH = HJ = JB

BC = CE = 15cm

CD = 12cm

AB = CD = 12cm

AD = AB + BC + CD = 39cm


54

per (ADFI) = 2 (AD + DF) = 2 (39cm + 18cm) = 2 . 57cm = 114cm

77. El viernes, antes del recital, se habían vendido 900 entradas.

El sábado, se decidió vender las 300 entradas restantes a la mitad de su valor.

Por la venta de todas las entradas se recaudaron $ 50.400.

¿Cuánto pagaron por su entrada los que compraron antes del sábado?

SOLUCIÓN

V −→ 900ev

S −→ 300ev. 1

2

T −→ $50400 = 900ev + 300ev. 1

2 = 900ev + 150ev = 1050ev

1050ev −→ $ 50400

1ev −→ $ 50400

1050 = $48

78. Mirta, Alicia e Inés leyeron un mismo libro de menos de 300 páginas.

Mirta leyó 7 páginas el primer día y el resto a 10 páginas por día.

Alicia leyó 2 páginas el primer día y el resto a 11 páginas por día.

Inés leyó 5 páginas el primer día y el resto a 9 páginas por día.

¿Cuántas páginas tiene el libro?

SOLUCIÓN

M, A, I < 300p

M leyó menos de 300p - 7 en distintos días (< 293)

A leyó menos de 300p - 2 en distintos días (< 298)

I leyó menos de 300p - 5 en distintos días (< 295)

M −→7 + 10.x

A −→ 2 + 11.y

I −→ 5 + 9.z

167 = 7 + 10 . 16

167 = 2 + 11 . 15

167 = 5 + 9 . 18


55

˝A M A I

1 7 2 5

2 17 13 14

3 27 24 23

4 37 35 32

5 47 46 41

6 57 57 50

7 67 68 59

8 77 79 68

9 87 90 77

10 97 101 86

11 107 112 95

12 117 123 104

13 127 134 113

14 137 145 122

15 147 156 131

16 157 167 140

17 167 149

18 158

19 167

79. El rectángulo ABCD tiene 88 cm de perímetro.

Al trazar una paralela al lado AB, el ABCD queda partido en un cuadrado y un rectángulo más pequeño.


56

El perímetro del rectángulo más pequeño es 14 cm menos que el perímetro del cuadrado.

¿Cuánto miden los lados del rectángulo ABCD?

SOLUCIÓN

Sean

NM = AB = DC;

N∈ AD,

M ∈ BC

per (ABCD) = 88cm

per (ABCD) - per (MNCD) = 14cm

per (ABCD) = 4AB + 2NC

AB + BM + MN + NA - NM - MC - CD - DN = 14cm

AB - MC = 7cm

AB = 7cm + MC

2AB + 2 (7cm + MC) = 88cm

2AB + 14cm + 2MC = 88cm

AB + MC = 37cm =⇒ AB = 37cm - MC

7cm + MC = 37cm - MC

MC + MC = 37cm - 7cm

2MC = 30cm =⇒ MC = 30

2 cm = 15cm

AB = 7cm + MC = 7cm + 15cm = 22cm

per (ABCD) = 2 (22cm + 37cm) = 118cm

(AB, CD) = (22cm, 37cm)



57


SOLUCIÓN

De izquierda a derecha y de arriba hacia abajo quedan las siguientes columnas con triángulos numerados:

13, 14

7, 8, 11, 12, 9, 10

1, 2, 3, 4, 5, 6

Se forman las siguientes combinaciones:

(1) , (2) , (3) , (4) , (5) , (6) , (7) , (8) , (9) , (10) , (11) , (12) , (13) , (14) , (13 , 14) , (11 , 12) , (9 , 10) , (7 , 8) , (5 ,

6) , (3 , 4) , (1 , 2) , (1 , 7) , (2 , 8) , (6 , 10) , (11 , 13) , (12 , 14) , (5 , 9) , (5, 9, 11, 12), (2 , 8 , 11, 12),

( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14) , (3 , 4 , 5, 9) , (2 , 3 , 4 , 8) , (7 , 8, 11 , 13) , (9 , 10 , 12 , 14)

En total hay 34 formas de contar.

81. Ana compró: un libro de cuentos, una novela y un diccionario por $ 113.

Si compraba sólo el libro de cuentos y el diccionario pagaba $ 81.

Si compraba s lo la novela y el diccionario pagaba $ 87.

¿Cuánto pagó por cada uno?

SOLUCIÓN

c + n + d = $113 =⇒ d = $113 - c - n

c + d = $81 =⇒ d = $81 - c

n + d = $87 =⇒ d = $87 - n

$81 - c = $87 - n =⇒ c = n - $6

n - c = $87 - $81 = $6

n - $6 + n + $87 - n = $113

n = $113 - $87 + $6 = $32


58

c = n - $6 = $32 - $6 = $26

d = $113 - c - n = $113 - $26 - $32 = $55

(n, c, d) = ($32, $26, $55)

82. En la figura, ACFG y BCDI son cuadrados.

AB = BC; EC = 3 FE;

DEHI es un rectángulo de 144 cm de perímetro.

Cuál es el perímetro del ACFG?

SOLUCIÓN

ACFG, BCDI −→ cuadrados

AB = BC = CD = DI = BI

EC = 3FE ∧ EC = CD + DE ∧ CD = DI

per (DEHI) = 2 (DE + DI) = 2. 72cm = 144cm

3FE - CD = DE

De plantear:

2CD - ED = CD + ED 2CD - CD = ED + ED

Queda:

CD = 2DE per (DEHI) = 2 (ED + CD) = 2 (ED + 2ED) = 6ED = 144cm =⇒ ED = 24cm

2 (CD + ED) = 144cm

CD + 24cm = 72cm =⇒ CD = 48cm

CF = 2CD = 96cm

per (ACFG) = 4CF = 4 . 96cm = 384cm

83. Con las cifras 1 - 2 - 4 - 6 - 8, sin repetir, se arman todos los números pares de cuatro cifras, mayores que

4500.

¿Cuántos y cuáles son?

SOLUCIÓN


59

4612 6124 6412 8124 8412

4618 6128 6418 8126 8416

4628 6142 6428 8142 8426

4682 6182 6482 8162 8462

4812 6214 6812 8214 8612

4816 6218 6814 8216 8614

1826 6248 6824 8246 8624

4862 6284 6842 8264 8642

Hay 40 casos posibles.

84. La figura ADEF está formada por dos triángulos iguales y un rectángulo.

El perímetro de BDEF es 70 cm.

El perímetro del triángulo CDE es 60 cm.

CE = 4BC y AB = 3BC.

Cuál es el perímetro de ADEF?

SOLUCIÓN

BC + CD + DE + EF + FB = 70cm

2BC + AB + EC + DE = 70cm (*)

CD + DE + EC = 60cm

AB + DE + EC = 60cm (**)

De (*) y (**) =⇒ 2BC = 70cm - 60cm = 10cm

Si 2BC = 10cm =⇒ BC = 5cm

AB = 3BC =⇒ AB = 15cm CE = 4BC = 20cm

per (ABC) = CD + DE + EC = 60cm


60

per (ABC) = AB + DE + CE = 60cm

DE = 60cm -AB - CE = 60cm -15cm - 20cm

DE = 25CM

per (ADEF) = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 2AB + 2BC + 2DE = 2 . 15cm + 2 . 5cm + 2 . 25cm + 2 . 25cm =

= 30cm + 10cm + 50cm = 90cm

per (ADEF) = 90cm

85. El jardinero tiene que plantar 372 plantitas durante esta semana.

Trabaja de lunes a viernes.

El lunes pone cierta cantidad, el martes pone el doble de las que puso el lunes, el miércoles, el doble de las

que puso el martes y así sigue hasta el viernes, poniendo, cada día, el doble de las que puso el día anterior.

¿Cuántas plantitas puso el lunes?

SOLUCIÓN

Lu −→ x

Ma −→ 2x

Mi −→ 2.2x

Ju −→ 2.2.2x

Vi −→ 2.2.2.2x

Formemos la ecuación:

16x + 8x + 4x + 2x + x = 372p

31x = 372p

x = 372

31 p ⇒ x = 12 p

86. En un diagrama, en cada fila horizontal hay una casilla más que en la anterior.


61

En las casillas se escriben los números desde el 1, consecutivamente, como se ve.

Si se continúa este procedimiento, en qué fila se escribe el número 256?

SOLUCIÓN

Siguiendo el procedimiento de la tabla podemos armar una tabla de valores:

NRO. FILA PUNTO EXTREMO NRO. FILA PUNTO EXTREMO

1 1 13 91

2 3 14 105

3 6 15 120

4 10 16 136

5 15 17 153

6 21 18 171

7 28 19 190

8 36 20 210

9 45 21 231

10 55 22 253

11 66 23 276

12 78 24 300

Veremos que el número 256 estará en la fila 23 en el tercer lugar.

87. La escuela organiza un sorteo.

Hay 1000 rifas numeradas de 1 a 1000, repartidas en talonarios de 10 rifas cada uno.

Antes del sorteo, se venden todas las rifas.

Terminado el sorteo resultó que todos los que tenían una rifa terminada en 5, ganaron un libro de $ 8.

Todos los que tenían una rifa terminada en 43, ganaron un disco de $ 12.

El poseedor de la rifa número 167 ganó una radio de $ 340.

Los demás números no ganaron nada.

¿Cuánto se gastó en premios?

Después de comprar los premios quedó una ganancia de $740.


62

¿A Cuánto se vendió cada talonario?

SOLUCIÓN

1000 rifas −→ 100 talonarios de 10 rifas

terminación en 5 −→ libro de $8

terminación en 43 −→ disco de $12

número 167 −→ radio de $340

ganancia −→ $740

¿A cuánto se vendió cada talonario?

L) terminación en 5 −→ 1000 nros. −→ 100 ganadores

D) terminación en 43 −→ 1000 nros. −→ 10 ganadores

R) número 167 −→ 1 ganador

gastó = 100 g . $8 + 10g . $12 + 1g . $340 = $800 + $120 + $340 = $1260

ganancia = $740

recaudación = gasto + ganancia = $1260 + $740 = $2000

100t = $2000 =⇒ 1t = $ 2000

100 = $ 20

88. La figura, de 96 cm de perímetro, está formada por un rectángulo donde AB = 4 BC y un triángulo

isósceles con CD = DE.

El rectángulo ABCE y el triángulo CDE tienen igual perímetro.

Cuál es el perímetro del triángulo CDE?

SOLUCIÓN

per (ABCD) = 96cm AB = EC = 4BC

per (ABCE) = per (CDE)

AB + 2BC + 2CD = 96cm

4BC + 2BC + 2CD = 96cm


63

3BC + CD = 48cm

3 . 8cm + CD = 48cm =⇒ CD = 48cm - 24cm = 24cm

2CD + EC = 2CB + 2EC

96cm - 6BC + EC = 2BC + 2EC

96cm - 6BC + EC - 2BC - 2EC = 0

96cm - 8BC - EC = 0

EC + 8BC = 96cm

4BC + 8BC = 96cm =⇒ 12BC = 96cm =⇒ BC = 8cm

AB = 4BC = 4 . 8cm = 32cm =⇒ AB = 32cm

per (ABCE) = 2. (32cm + 8cm) = 80cm

per (ECD) = EC + CD + DE = 32cm + 2 . 24cm = 80cm

89. Juan tiene 2700 bolitas y Matías tiene 150.

Juan le entrega a Matías 75 bolitas por día.

¿Dentro de cuántos días, Matías y Juan tendrán la misma cantidad de bolitas?

SOLUCIÓN

J −→ 2700 bolitas – 75 𝑏𝑜𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠

𝑑í𝑎𝑠 . x días

M −→ 150 bolitas – 75 𝑏𝑜𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠


Para que tengan igual cantidad de bolitas:

2700 bolitas - 75 𝑏𝑜𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠

𝑑í𝑎𝑠 . x días = 150 bolitas - 75

𝑏𝑜𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠


2700 bolitas - 150 bolitas = 150 𝑏𝑜𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠


2550

150 días = x días =⇒ x = 17 días

En 17 días tendrán la misma cantidad de bolitas.

90. Se dispone de pintura de 3 colores distintos: verde, rojo y azul.

Usando todos o algunos de los colores se quiere pintar cada casilla de un color de modo que las casillas que

tienen un lado común sean de distinto color.

¿De cuántas maneras se puede hacer?

Explica cómo.


64

SOLUCIÓN

Realizamos un diagrama de Árbol tomando como primera bolita la verde y combinándola con la roja y la

azul.

De cada una de las segundas bolitas se trazan fichas que llevan a bolitas del tercer color y así sucesivamente

con las primera bolitas rojas y azules.

V R A R V R A R A R A R A R A

V R A R R R A R A V A R A R V

V R A V R R A R V A A R A V A

V R A V A R A R V R A R A V R

V R V A R R A V A R A R V A R

V R V A V R A V A V A R V A V

V R V R V R A V R A A R V R A

V R V R A R A V R V A R V R V

V A R A R R V A R A A V A R A

V A R A V R V A R V A V A R V

V A R V A R V A V A A V A V A

V A R V R R V A V R A V A V R

V A V A R R V R A R A V R A R

V A V A V R V R A V A V R A V

V A V R A R V R V A A V R V A

V A V R V R V R V R A V R V R

En total se pueden realizar 48 combinaciones.

91. Sofi escribe todos los números pares, menores que 2011 y que tienen la suma de las cifras igual a 18.

¿Qué números escribe Sofi?

¿Cuántos son?

SOLUCIÓN


65

198 684 882 1296 1656 1836

288 648 828 1368 1674 1818

378 666 954 1386 1638 1872

396 756 936 1494 1692 1890

468 774 918 1476 1764 1980

486 738 972 1458 1746 1962

594 792 1098 1584 1782 1944

576 864 1188 1548 1728 1926

558 846 1278 1566 1854 1908

En total hay 54 casos posibles.

92. Un cuadrado se corta en cuatro tiras rectangulares iguales.

Se colocan las tiras en la formando un rectángulo como el de la figura, que tiene 170 cm de perímetro.

¿Cuál es el perímetro del cuadrado que se recortó?

SOLUCIÓN

per (fig) = 170cm 8l + 2a = 170cm

a = 1

4

8l + 𝑙

2 = 170cm ⇒ 16l + l = 340cm ⇒ l = 20cm

per (cuad) = 4 . 20cm = 80cm

93. Daniel y Fabián juntan dinero para gastar en las vacaciones.

Daniel tiene la mitad de lo que tiene Fabián.

Si cada uno tuviera $ 13 más, entre los dos tendrían $ 218.

¿Cuánto dinero tiene Fabián?

SOLUCIÓN


66

D = 𝐹

2

D + $13 + F + $13 = $218

𝐹

2 + F = $218 - $13 - $13

3𝐹

2 = $ 192 ⇒ 3F = 2 . $192 ⇒ F = $

192.2

3

F = $128

D = $64

94. En un campo rectangular de 130 m de perímetro se separa un corral en forma de triángulo equilátero

como muestra la figura.

Para cercar el corral con 2 vueltas, se usan 102 m de alambre.

¿Cuánto mide cada uno de los lados del campo rectangular?

SOLUCIÓN

Tomando desde el vértice inferior izquierdo y contando en el sentido opuesto al de las agujas del reloj,

lamamos a cada punto: A, B, C, D, E

per (ACDE) = 130m

per (ABE) = 51m

CD = AB

AB = BE = AE =⇒ AB = 17m

2 (AB + BC + CD) = 130

Como AE = CD = 17m, queda:

2 (17m + BC + 17m) = 130m

2BC = 130m - 68m =⇒ BC = 31m

AC = AB + BC = 17m + 31m = 48m

95. Lucas tiene veinte billetes de $2, veinticinco billetes de $5 y ocho billetes de$10.

Para comprar un libro que cuesta $102, ¿de cuántas maneras puede reunir el dinero de modo que no le

tengan que dar vuelto?

Da todas las respuestas posibles.

SOLUCIÓN

El libro cuesta $102 y quiere pagarlo con la siguiente cantidad de billetes que posee.

20b −→ $2

25b −→ $5


67

8b −→ $10

Estas son todas las maneras distintas de hacerlo:

2 5 10 - 2 5 10 - 2 5 10

1 1 20 0 - 13 6 12 3 - 25 11 4 6

2 1 18 1 - 14 6 10 4 - 26 11 2 7

3 1 16 2 - 15 6 8 5 - 27 11 0 8

4 1 14 3 - 16 6 6 6 - 28 16 14 0

5 1 12 4 - 17 6 4 7 - 29 16 12 1

6 1 10 5 - 18 6 2 8 - 30 16 10 2

7 1 8 6 - 19 11 16 0 - 31 16 8 3

8 1 6 7 - 20 11 14 1 - 32 16 6 4

9 1 4 8 - 21 11 12 2 - 33 16 4 5

10 6 18 0 - 22 11 10 3 - 34 16 2 6

11 6 16 1 - 23 11 8 4 - 35 16 0 7

12 6 14 2 - 24 11 6 5 - - - - -

96. Laura escribió un libro de 1276 páginas sobre el ñandú.

Ella misma numeró todas las páginas a mano.

¿Cuántas veces escribió el número 6?

SOLUCIÓN

Como unidad

1 al 100 −→ 10 veces

1 al 1200 −→10 . 12 = 120 veces

1201 al 1276 −→ 8 veces

Total como unidad −→120veces + 8 veces = 128 veces


68

Como decena

1 al 100 −→ 10 veces

1 al 1200 −→10 . 12 = 120 veces

1201 al 1276 −→ 10 veces

Total como decena−→120veces + 10 veces = 130 veces

Como centena

1 al 1276 −→ 100 veces

Total general −→ 128 veces + 120 veces + 100 veces = 358 veces

97. Juan tenía $240 para gastar durante el mes de agosto.

Pudo ahorrar los tres octavos.

En útiles gastó el doble de lo que gastó en diversión.

En ropa gastó tanto corno gastó en útiles y en diversión.

¿Cuánto dinero gastó en útiles?

SOLUCIÓN

J −→$240

ahorró 3

8 −→

3

8 . $240

R + U + D = 5

8 . $240

R = U + D

U = 2D

2D + D + 2D + D = $150

6D = $150

D = $ = $25

U = 2D = 2 . $25 = $50

R = U + D = $50 + $25 = $75

98. En la figura hay varios triángulos: CDE es equilátero; ABF es isósceles con

AF = BF;

ABF, BCF y AFE son iguales;

ABF y CDE tienen igual perímetro.

Si el pentágono ABCDE tiene 75 cm de perímetro, cuál es la longitud de AB?


69

SOLUCIÓN

CDE equilátero

ABF−→ isósceles =⇒ AF = BF

ABF, BCF, AFE iguales

per (ABF) = per (CDE)

per (ABCDE) = 75cm

¿AB?

CD = DE = CE

AB + BC + CD + DE + EA = 75cm

AF + FA + FB = 3.CD

FA = FB = BC = EA

Sean:

x = CD y = BC

AB + 2y + 2x = 75cm

AB + 2y = 3x

Queda:

3x + 2x = 75cm =⇒ x = 75

5 cm = 15cm

CD = DE = CE = x = 15cm

per (ABF) = 45cm

AB = 1

2 CE =⇒ AB =

15

2 cm

BC = EA = 1

2 (45 cm -

15

2 cm) =

1

2 (90cm - 15cm) =

75

4 cm

99. Tres ladrones, A, B y C, se repartieron en partes iguales un botín.


70

La primera noche, mientras C dormía, A y B le quitaron la mitad de lo que tenía, y se lo repartieron en partes

iguales.

La segunda noche, mientras A dormía, B y C le quitaron la mitad de lo que tenía y se lo repartieron en partes

iguales.

La tercera noche, mientras B dormía, A y C le quitaron la mitad de lo que tenía y se lo repartieron en partes

iguales.

A la mañana siguiente se separaron para siempre.

Determinar de cuánto dinero era el botín que se repartieron los tres ladrones.

SOLUCIÓN

Botín −→ (A, B, C) = (65, 50, 77)

100. Un marciano tiene 321 pesos en monedas de 1 peso, de 5 pesos y de 25 pesos.

Si tiene igual cantidad de monedas de 1 peso que de 5 pesos, determinar cuántas monedas de cada clase

puede tener.

Dar todas las posibilidades.

SOLUCIÓN

x + 5y + 25z = $321

x = y

6x + 25z = $321

Sea x = 16 =⇒ z = 1

$25 ($321- 16. $6) = 9

Sea x = 41 =⇒ z = 1

$25 ($25321- 41. $6) = 3

101. Esta mañana Alicia salió de compras.

Gastó la cuarta parte del dinero que tenía al comprar un libro de cuentos.

Después, con la mitad de lo que le quedó, compró un disco compacto.

Cuando volvió a su casa, su abuela le regaló $ 7.

Entonces contó cuánto dinero tenía y resultó ser la mitad de lo que tenía al salir de compras.

¿Con cuánto dinero salió Alicia de compras esta mañana?

SOLUCIÓN

1

4 D −→ libro


71

1

2 . 1

4 D −→ disco

$7 −→ abuela

D - 1

4 D -

3

8 D + $7 =

1

2 D

$ 7 = 1

2 D +

1

4 D +

3

8 D – D

$7 = 1

8 (4D + 2D + 3D - 8D) =⇒ D = $56

102. Para ver durante los tres días del fin de semana largo: sábado, domingo y lunes, se alquilan 6 películas

de distintas clases: 3 de aventuras, 2 de dibujos animados y 1 musical.

En el fin de semana se quiere ver una vez cada película y 2 películas de distinta clase cada día.


SOLUCIÓN

S D L S D L

MA1 D1A2 D2A3 MA1 D1A3 D2A2

MA1 A2D1 A3D2 MA1 A3D1 A2D2

MA1 D1A2 A3D2 MA1 D1A3 A2D2

MA1 A2D1 D2A3 MA1 A3D1 D2A2

A1M D1A2 D2A3 A1M D1A3 D2A2

A1M A2D1 A3D2 A1M A3D1 A2D2

A1M D1A2 A3D2 A1M D1A3 A2D2

A1M A2D1 D2A3 A1M A3D1 D2A2

MA1 D2A2 D1A3 MA1 D2A3 D1A2

MA1 A2D2 A3D1 MA1 A3D2 A2D1

MA1 D2A2 A3D1 MA1 D2A3 A2D1

MA1 A2D2 D1A3 MA1 A3D2 D1A2

A1M D2A2 D1A3 A1M D2A3 D1A2

A1M A2D2 A3D1 A1M A3D2 A2D1

A1M D2A2 A3D1 A1M D2A3 A2D1

A1M A2D2 D1A3 A1M A3D2 D1A2

Hasta acá mantuve MA1para el sábado.


72

Un esquema similar ocurrir a para cada día.

Ahí tendría 3 . 32 = 96 maneras distintas para ver todas las películas.

Combinando a M cada día con las variables A2 y A3, quedan 96 . 3 = 288 maneras distintas de ver todas las

películas el fin de semana largo.

103. Con dos cuadrados iguales y dos triángulos iguales se arman las figuras: A, B y C.

La figura A tiene 74 cm de perímetro, la B tiene 84 cm de perímetro y la C tiene 82 cm de perímetro.

¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados de uno de los triángulos iguales?

SOLUCIÓN

Sean ABOF ∧ BCDO cuadrados iguales

Sea DEO = OEF = AFX = CDE = DEX escaleno

AB + BC + CD + DE + DE + EF + FA = 74

AB + BC + CE + DE + DO + FO + FX + XA = 84

AB + BC + CE + EX + XD + DO + OF + FA = 82

Sean:

AB = BC = CD = DO = FO = FA −→ α

DE = EF −→ β CE = AX = XD = γ

Queda:

4 α + 2 β = 74

4 α + 2 β + 2γ = 84

6 α + 2 γ = 82

Se simplifica dividiendo por 2:

2 α + β = 37

2 α + β + γ = 42 3 α + γ = 41

Si analizamos las dos primeras ecuaciones queda que:


73

γ = 42 - 37 =⇒ γ = 5

Reemplazando en la tercera ecuación:

3 𝛼 + 5 = 41 ⇒ 𝛼 = 1

3 841 – 5) ⇒ 𝛼 = 12

En la segunda ecuación queda:

2 .12 + β + 5 = 42 =⇒ β = 42 - 5 - 24 =⇒ β = 13

(α, β, γ) = (12, 13, 5)

104. Los Peli son socios de un videoclub que cobra $4 por el alquiler de una película para mayores y $3 por el

alquiler de una película para niños.

Cada mes alquilan películas para niños y películas para mayores y gastan $ 48 por mes.

En enero alquilaron 3 películas para mayores.

En febrero alquilaron un tercio de las películas para niños que alquilaron en enero.

En marzo alquilaron más películas para mayores que en enero pero menos que en febrero.

¿Cuántas películas para niños alquilaron en marzo?

SOLUCIÓN

M = $4 y N = $3

E) 3 . $54 + y . $3 = $48

F) x. $4 + 𝑦

3 . $3 = $48

M) x´. $4 + y´. $3 = $48

E) 1

$3 ($48 – 3 . $4) =

1

$3 ($48 – $12) = 12

F) 1

$4 ($48 –

12

3. $3) =

1

$4 ($48 – $12) = 9

3 < x’ < 9

x’ y’ mcd 4 48 -16 → no 5 48 - 20 → no 6 48 – 24 → 8 7 48 - 28 → no 8 48 - 32 → no (x’ , y’) = (6, 8)

En marzo alquiló 6 películas para mayores y 8 para niños.

105. Las barras de la figura A tienen igual ancho.

La más pequeña es un cuadrado y entre dos consecutivas la diferencia de alturas es de 10 cm.

Reordenándolas se arma la figura B que tiene 270 cm de perímetro.


74

¿Cuál es el perímetro de cada una de las barras?

SOLUCIÓN

per (B) = 270cm

AB = BC = CD = DE

¿per de cada barra?

MA + 10cm = KL ∧ KL + 10cm = IJ

IJ + 10cm + GH

MA = AB = BL

IC + HK + JG + MF + LB + 8AB = 270cm

IC = MA + 20cm

HK = 10cm

JG = 20cm

FM = 30cm

MA + 20cm+ 10cm + 30cm + MA + 8MA = 270cm =⇒ MA = 190

10 cm = 19cm

per (ABLM) = 4AB = 4 . 19cm = 76cm

per (BCKJ) = BC + CJ + JK + BK = 2 (BC + CJ) = 2 ( 19cm + 29cm) = 96cm

per (CDHI) = CD + DH + HI + CI = 2 (CD + DH) = 2 . (19cm + 39cm) = 116cm

per (DEFG) = 2 (DE + EF) = 2. (19cm + 49cm) = 136cm

106. Sobre la mesa había un dado blanco, uno rojo, uno verde y 24 fichas iguales.

Ana tomó un dado y 1 ficha, Ema tomó un dado y 2 fichas, Olga tomó un dado y 3 fichas.


75

Después, la que tenía el dado verde llevó tantas fichas como ya tenía, la que tenía el dado blanco llevó el

doble de las fichas que tenía y la que tenía el dado rojo llevó 4 veces lo que tenía.

¿Es posible que quedaran 4 fichas sobre la mesa?

Explica por qué.

SOLUCIÓN

A −→1 D + 1F

E −→ 1D + 2 F

O −→ 1D + 3F

B R V

A E O −→ 1

A O E −→ 2

E A O −→ 3

E O A −→ 4

O A E −→ 5

O E A −→ 6

CASO 1

Sea

A −→ (B + 1 + 2)

E −→(R + 2 + 8)

O−→ (V + 3 + 3) quedan 5

CASO 2

Sea

A −→ (B + 1 + 2)

E −→ (V + 2 + 2)

O −→ (R + 3 + 12) quedan 2

CASO 3

Sea

A −→ (R + 1 + 4)

E −→ (B + 2 + 4)

O−→ (V + 3 + 3) quedan 7


76

CASO 4

Sea

A −→ (B + 1 + 1)

E −→ (B + 2 + 4)

O −→ (R + 3 + 12) quedan 1

CASO 5

Sea

A−→ (R + 1 + 4)

E −→ (V + 2 + 2)

O −→ (B + 3 + 6) quedan 6

CASO 6

Sea

A −→ (V + 1 + 1)

E −→ (R + 2 + 8)

O −→ (B + 3 + 6) quedan 3

107. Aldo y Bea escribieron cada uno una fracción.

Aldo escribió una fracción que tiene el denominador 4 unidades mayores que el numerador.

Bea escribió una fracción con numerador igual al de la fracción de Aldo y denominador 5 unidades mayores

que el denominador de la fracción de Aldo.

La fracción de Bea es equivalente a 1

2.

¿Cuál es la fracción que escribió Aldo?

Cuál es la fracción que escribió Bea?

SOLUCIÓN

A −→ 𝑥

𝑦=𝑥+4

B −→ 𝑥

𝑦+5 =

1

2

𝑥

𝑥+9 =

1

2 ⇒ x + 9 = 2x =⇒ x = 9 ∧ y = 13 ∧ 18

A) −→ 9

13

B) −→ 9

18

108. Carlos tiene dos piezas triangulares pequeñas y dos piezas triangulares grandes.


77

Cada pieza triangular pequeña tiene 36 cm de perímetro.

Cada pieza triangular grande tiene 48 cm de perímetro.

Carlos arma:

Con las dos piezas triangulares pequeñas, un rectángulo de 42 cm de perímetro.

Con las dos piezas triangulares grandes, un rectángulo de 56 cm de perímetro.

Con las 4 piezas, el rectángulo de la figura, de 74 cm de perímetro.

¿Qué longitud tiene cada uno de los lados de las piezas triangulares?

SOLUCIÓN

AB + BE + EA = 36cm

AB + FA + BC = 37cm

BE + BC + CE = 48cm

BE + BC = 28cm

FA + AB = 21cm

(AB + FA) + BC = 37cm =⇒ BC = 37cm - 21cm = 16cm

BE + BC = 28cm =⇒BE = 28cm - 16cm = 12cm

FA = BE =⇒ FA + AB = 21cm =⇒ AB = 21cm - 12cm = 9cm

AB + BE + EA = 36cm =⇒ EA = 36cm - 9cm - 12cm = 15cm

CE = 48cm - 12cm - 16cm = 20cm

109. Con papeles de colores: rojo, verde y azul, se quieren cubrir las franjas de este barrilete de manera que

haya por lo menos una franja de cada color y que las franjas que tienen un lado en común sean de colores

distintos.



78

SOLUCIÓN

Existen dos casos, los colores se pueden dividir en (3, 2, 1) casillas y (2, 2 ,2) casillas

Caso (3, 2, 1)

Un color puede estar en las casillas 1, 3, 5 o en las 2, 4, 6. En c/u de estas opciones los otros colores pueden

combinarse de 6 maneras distintas.

Caso (2, 2, 2)

Hay 2 maneras de dividir las casillas y agruparlas de a 2

i) Al primer color le asigno el grupo (2, 4), al segundo (3,5) y al tercero el (1,6) Relacionando estos

minigrupos obtengo 6 combinaciones

ii) ii) Otra manera similar es formar los minigrupos (2, 6), (1,5) y (3,4). Así obtengo 6

combinaciones distintas.

En el caso (3, 2, 1) hay 12 combinaciones para cada color y en el caso (2, 2, 2) otras 12. En total hay 48

maneras de combinar todos los colores

Caso (3, 2, 1) con tres R

1 2 3 4 5 6

R A R A R V

R V R V R A

R A R V R V

R V R A R V

R V R A R A

R A R V R A


79

V R V R A R

A R A R V R

A R V R V R

V R A R A R

V R A R V R

A A R V A R

Caso (3, 2, 1) con tres A

1 2 3 4 5 6

A R A R A V

A V A V A R

A R A V A R

A V A R A V

A V A R A R

A R A V A V

R A V A V A

V A R A R A

V A R A V A

R A V A R A

V A V A R A

R A R A V A

Caso (3, 2, 1) con tres V

1 2 3 4 5 6

V R V R V A

V A V A V R

V R V A V R

V A V R V A

V A V R V R

V R V A V A

V R V R A V

A V A V R V


80

R V A V R V

A V R V A V

A V R V R V

R V A V A V

Caso (2, 2, 2)

1 2 3 4 5 6

V R A R A V

A R V R V A

R A V A V R

V A R A R V

A V R V R A

R V A V A R

A R V V A R

V R A A V R

V A R R V A

R A V V R A

R V A A R V

A V R R A V

110. La cooperadora de la escuela compró libros de cuentos.

Por una promoción le regalaron 1 libro por cada docena de libros que compró.

Le enviaron 273 libros en total.

Compró libros de $ 8 y libros de $ 4.

Pagó $ 1536 en total.

¿Cuántos libros le regalaron?

¿Cuántos libros de $ 8 y cuántos libros de $ 4 compró?

SOLUCIÓN

regalan 1l por cada 12l de compra

Total = 273l

xl = $8

yl = $4


81

Pagó $1536

8x + 4y = $1536

x + y + 1

12 (x+y) = 273

Dividiendo por 2:

2x + y = 384

1

12 ( 12 x + 12y + x + y) = 273 ⇒ 13x + 13 y = 3276 ⇒ x + y = 252

y = 384 - 2x = 252 - x

x = 384 -252= 132 −→ $8

y = 384 - 2 . 132 = 120 −→$4

le regalaron

273l - 132l = 120l = 21l

111. La figura está partida en un cuadrado, un rectángulo y un triángulo.

CD = DE

El perímetro de BCDEF es 6 cm más que el perímetro del triángulo CDE.

El perímetro del rectángulo ACEG es 38 cm.

El perímetro de la figura es 50 cm.

¿Cuánto mide cada uno de los lados de BCDEF?

SOLUCIÓN

CD = DE

per (BCDEF) = per (CDE) + 6cm

per(ACEG) = 38cm

per (ABCDEFG) = 50cm

¿Cuánto mide cada lado de (BCDEF)?

BC + CD + DE + EF + FB = CD + DE + CE + 6cm

AB + BC + CE + EF + FG + GA = 38cm


82

AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA = 50cm

Si AB = BF = CE = FG = GA −→ x

CD = DE −→ y

BC = EF −→ z

Queda:

2z = 6cm

4x + 2z = 38cm

3x + 2y + 2z = 50cm

De aquí: z = 3cm

4x = 38cm - 6cm =⇒ x = 1

4. 32cm = 8cm

y = 1

2 (50cm - 6cm - 24cm) = 10cm

112. Camila dibujó un triángulo equilátero.

Marc los vértices y, sobre cada lado, marcó dos puntos.

¿Cuántos triángulos que tengan sus tres vértices en los puntos marcados puede dibujar?

SOLUCIÓN

(ABE), (ABF), (ABG), (ABH), (ABI), (ACE), (ACF), (ACG), (ACH), (ACI), (ADE), (ADF), (ADG), (ADH), (ADI), (BCE),

(BCF), (BCG), (BCH), (BCI), (BDE), (BDF), (BDG), (BDH), (BDI), (CDE), (CDF), (CDG), (CDH), (CDI), (BEF), (BEG),

(BEH), (BEI), (BFG), (BFH), (BFI), (BGH), (BGI), (CEF), (CEG), (CEH), (CEI), (CFG), (CFH), (CFI), (CGH), (CGI),

((AEF), (AEG), (AEH), (AEI), (AEG), (AFH), (AFI), (DIE), (DIF), (DIG), (DIH), (DEH), (DFH), (DGH), (EGH), (EGI),

(EFH), (EFI), (FGH), (FGI)

113. En la figura hay dos cuadrados; además hay un círculo en cada vértice y en cada punto donde se cruzan

los dos cuadrados.

Ubicar en los círculos vacíos los números enteros de 1 a 9 inclusive, sin repetir, de manera que la suma de

los cuatro números escritos en cada lado de cada cuadrado sea siempre la misma.


83

SOLUCIÓN

Si sumamos cada lado del rombo y del cuadrado encontramos el siguiente sistema donde cada suma da 33:

B + C + 27

H + I + 26

+ F + 26

+ D + G + 13

A + 33

F + H + 25

A + D + E + 16

E + I + G + 15

Supongo: A = 1, queda:

A+ 33 = 1 + 33 = 34

B + C = 7

H+ I = 7

B + F = 8

C + D + G = 21

F + H = 9

D + E = 17

E + I + G = 19

Resolviendo:

A B C D E F G H I

1 2 5 9 8 6 7 3 4


84

114. Beto colecciona estampillas que guarda en cajas.

Tiene 26 cajas y en cada caja hay 36 estampillas.

Hoy vio que algunas cajas estaban rotas, decidió vaciar todas las cajas y tirar las rotas.

Para poder guardar todas sus estampillas en las cajas que le quedaron, tendrá que sumar al número de

estampillas que había en cada caja, 2 estampillas por cada una de las cajas que tiró.

¿Cuántas cajas tiró?

SOLUCIÓN

S + R = 26 =⇒ S = 26 - R

(36 + 2R) . S = 936

(36 + 2.R) (26 - R) = 936

936 - 36R + 52R - 2R2= 936

2R2 - 16R = 0

R2 - 8R = 0=⇒ R (R - 8) = 0 =⇒R = 0 ∨ R = 8

(36 + 2 . 8) . (26 - 8) = 936

(36 + 2 . 8) = 52 estampillas por caja

(26 - 8) = 18 cajas sanas

115. Todas las semanas, Matías recibe una cuota para sus gastos.

Una semana ahorró la mitad de la cuota de esa semana, la semana siguiente ahorró la cuarta parte de la

cuota de esa semana.

Así va alternando: una semana ahorra la mitad y la siguiente semana ahorra la cuarta parte.

De este modo, en 48 semanas ahorró $ 288.

¿Cuál es su cuota semanal?

SOLUCIÓN

semana impar −→ 1

2 x

semana par −→ 1

4 x

Se repite 24 veces y en 48 semanas junta $288

24 . ( 1

2 x ) + 24. (

1

4 x) = $288

(1

2 +

1

4 ) x = $

288

24

1

4 ( 2 + 1) x = $ 12 ⇒ x = $

12 .4

3 = $ 16


85

116. Un sobre rectangular, abierto tiene 82 cm de perímetro; cerrado su perímetro es de 80 cm.

La solapa es triangular y tiene 50 cm de perímetro.

Indica cuánto miden los lados del sobre y los de la solapa.

SOLUCIÓN

per (ABCDE) = 82cm

per (ABCD) = 80cm

per (ADE) = 50cm

AB + BC + CD + DE + EA = 82cm

AB + BC + CD + AD = 80cm

AD + DE + AE = 50cm

Sean:

AB = CD −→ x

BC = AD −→ y

DE = AE −→ z

Queda el sistema:

{2𝑥 + 𝑦+ 2𝑧 = 822𝑥 + 2𝑦 = 80

+ 𝑦+ 2𝑧 = 50

∆ = det (2 1 22 2 00 1 2

) = 8

∆𝑥 = det (82 1 280 2 050 1 2

) = 128


86

∆𝑦 = det (2 82 22 80 00 50 2

) = 192

∆𝑧 = det (2 1 822 2 800 1 50

) = 104

X = ∆𝑥

∆ = 128

8 = 16

y= ∆𝑦

∆ = 192

8 = 24

z = ∆𝑧

∆ = 104

8 = 13

117. Todas las semanas, Matías recibe una cuota para sus gastos.

Una semana ahorra la mitad de la cuota de esa semana, la semana siguiente ahorra la tercera parte de la

cuota de esa semana y la siguiente, ahorra la cuarta parte de la cuota de esa semana.

Así va alternando: una semana ahorra la mitad, la siguiente semana ahorra la tercera parte y la siguiente,

ahorra la cuarta parte.

De este modo, en 48 semanas ahorró $ 312.

¿Cuál es su cuota semanal?

SOLUCIÓN

semana 1 −→ 1

2

semana 2 −→ 1

3

semana 3 −→ 1

4

se repite 16 veces

en 48 semanas ahorra $312

16 . (1

2 x) + 16 . (

1

3 x) + 16 . (

1

4 x) = $312

16 . (1

2 + 1

3 + 1

4 ) x = $312

(1

2 + 1

3 + 1

4 ) x = $

312

16

(6+4+3

12 ) x = $

312

16 ⇒

13

12 x = $

312

16 ⇒ x = $

312. 12

16 .13 ⇒ x = $ 18

118. En un examen, el promedio de las notas de todos los alumnos que aprobaron es 6,5 y el promedio de

las notas de todos los alumnos que no aprobaron es 3,5.

El promedio de las notas de todos los alumnos que rindieron el examen es 5,3.

¿Cuál es el porcentaje de alumnos que aprobaron el examen?


87

SOLUCIÓN

promedio de aprobado −→ 6,5

promedio de no aprobado −→ 3,5

promedio general −→ 5,3

x −→ aprobados

y −→ no aprobados

x . 6,5 + y . 3,5 = (x + y) . 5,3

6,5x - 5,3x + 3,5y - 5,3y = 0

1,2x = 1,8y

12x = 18y

2x = 3y −→ x = 3

2 y

x + y = 100%

y + y = 100% ⇒ 5

2 y = 100% =⇒ y = 40% =⇒ x = 60%

aplazos −→ 40%

aprobados −→ 60%

119. Con tres dígitos distintos A, B, C se forman los tres números enteros positivos

ABC, BCA, CAB.

La multiplicación de los tres números ABC. BCA. CAB es un número de 9 cifras que se forma con los dígitos 2,

2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 8. Se sabe además que el dígito de las unidades es el 6.

¿Cuáles son los tres dígitos A, B, C?

SOLUCIÓN

A. B. C = X

X = _ _ _ _ _ _ _ _ 6

Hago distintos cálculos con ABC. BCA. CAB y logro que:

(A, B, C) = (9, 8, 3)

ABC. BCA. CAB = 983. 839. 398 = 328245326

120. Gastón escribe, uno en cada renglón, todos los números de 3 cifras que tienen las cifras ordenadas de

mayor a menor y distintas de cero.

Después, al lado de cada uno, escribe el número que se obtiene intercambiando la cifra de las centenas con

la de las unidades.


88

Pedro suma los dos números de cada renglón.

¿Cuántos números distintos, de 3 cifras, puede obtener Pedro?

SOLUCIÓN

652 + 256 = 908 531 + 135 = 666

651 + 156 = 807 521 + 125 = 646

643 + 346 = 989 721 + 127 = 848

642 + 246 = 888 731 + 137 = 868

641 + 146 = 787 741 + 147 = 888

632 + 236 = 868 821 + 128 = 949

631 + 136 = 767 831 + 138 = 969

621 + 126 = 747 841 + 148 = 989

543 + 345 = 888 432 + 234 = 666

542 + 245 = 787 431 + 134 = 565

541 + 145 = 686 421 + 124 = 545

532 + 235 = 767 321 + 123 = 444

Se forman los siguientes números distintos:

444 646 747 807 888 969

545 666 767 848 908 989

565 686 787 868 949

121. Ana, Bea y Ceci ahorran para irse de excursión.

La semana pasada Ana y Bea ahorraron la misma cantidad y Ceci ahorró $8 menos que Ana y Bea juntas.

Esta semana, Ana ahorró el doble de lo que había ahorrado la semana pasada, Bea ahorró la mitad de lo

que había ahorrado la semana pasada y Ceci ahorró lo mismo que la semana pasada.

Esta semana, entre las tres juntaron $ 226.

¿Cuánto ahorró cada una esta semana?

SOLUCIÓN

C = A + B - 8

semana 1 −→ A = B

semana 1 −→ 2A + 𝐵

2 + C = $226

2A + 𝐵

2 + A + B - 8 = $226


89

2A + 𝐴

2 + A + A - 8 = $226 −→

9

2 A = $234 −→ A = $

468

9 −→ A = 52

B = C = 2 . 52 – 8 = 96

(A, B, C) = (52, 52, 96)

122. Con un cuadrado C y dos triángulos isósceles T y t, se armaron las figuras siguientes:

perímetro fig. I = 86 cm

perímetro fig. II = 140 cm

perímetro fig. III = 126 cm

¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

¿Cuánto miden los lados de cada uno de los triángulos?

SOLUCIÓN

per (I) = 86cm

per (II) = 140cm

per (III) = 126cm

t y T isósceles

BD = DC

AB = BD = DE = EA = CD = x

BF = DF = y

BC = z

BC + CD + BF + DF = 86

AB + BC + CD + DE + EA = 140

AB + DE + EA + BF + DF = 128

Queda el sistema:


90

{𝑥 + 2𝑦+ 𝑧 = 864𝑥 + 𝑧 = 1403𝑥 + 2𝑦 = 126

∆ = det (1 2 14 0 13 2 0

) = 12

∆𝑥 = det (86 2 1140 0 1126 2 0

) = 360

∆𝑦 = det (1 86 14 140 13 126 0

) = 216

∆𝑧 = det (1 2 864 0 1403 2 126

) = 492

x = ∆𝑥

∆ = 360

12 = 30

y= ∆𝑦

∆ = 216

12 = 18

z = ∆𝑧

∆ = 492

12 = 41

123. En los vértices del hexágono de la figura, se escriben, de menor a mayor siguiendo el sentido que

señala la flecha, todos los múltiplos de 4 menores que 2011.

Se escribe el 4 en A, el 8 en B, el 12 en C, etc.

¿Cuál es el último número que se escribe?

¿En qué vértice se escribe este número?

SOLUCIÓN


91

Existen 502 múltiplos de 4

El último múltiple de 4 es el 2008

Se escribe en el vértice D

124. Ana, Bea y Ceci ahorraron para irse de excursión. Ana ahorró el doble que Bea y Ceci ahorró $5 menos

que Ana. Entre las tres juntaron $ 130. ¿Cuánto ahorró cada una?

SOLUCIÓN

Sean A, B y C

A = 28 y C = A – 5 =⇒ B =𝐴

2 y C = A - 5

A + B + C = 130

A + 𝐴

2 + A – 5 = 130 =⇒

5

2 A

A = 1

5 (135. 2)

B =𝐴

2 = 54

2 = 27

C = A - 5 = 54 - 5 = 49

(A, B, C) = (54, 27, 49)

125. Con un cuadrado C y dos triángulos isósceles T y t, se armaron las figuras siguientes:

perímetro fig. I = 86 cm

perímetro fig. II = 146 cm.

En T, el lado desigual mide las dos terceras partes de lo que mide cada uno de los otros lados.

Cuánto mide cada uno de los lados de la figura II?

SOLUCIÓN


92

per (I) = 86cm

per (II) = 146cm

AB = AD

BC = CD −→ x

AD = BD = DE = EF = FA −→ y

AB = y

AB + BC + CD + DA = 86

AB + CD + DE + EF + FA = 146

∆𝑥 = det (86

5

3

14611

3

) = 72

∆𝑦 = det (2 862 146

) = 120

x = ∆𝑥

∆ = 72

4 = 18

y= ∆𝑦

∆ = 120

4 = 30

AB = 2

3 y = =

2

3 . 30 = 20

126. Un comerciante compró 100 bolsas de papas por $600.

Vendió los de las bolsas por $480.

Quiere obtener $240 de ganancia por el total de las bolsas.

¿A cuánto debe vender cada una de las bolsas que quedan?

SOLUCIÓN

T = 100b −→ $600

vendió −→ 3

5 T −→ $480

quiere tener $240 de ganancia

¿Cuánto cuesta 1b de papas restantes?

3

5 T =

3

5 . 100b = 60b

60b −→ $480


93

restan: 100b - 60b = 40b

ganancia = precio de venta - precio de compra

G = ($480 + x) - $600

$240 + $600 = $480 + x

x = $240 + $600 - $480 x = $360

40b −→ $360

1b −→ x = $ 360

40 = $9

1b −→ $9

127. Roxana tiene 5 primas: Ani, Bibi, Ceci, Gabi y Mili y 4 primos: Dani, Edu, Seba y Tomi.

Quiere invitar a 2 primas y a 3 primos para el próximo sábado.

¿De cuántas maneras distintas puede armar Roxana su grupo de invitados?

Enuméralas.

SOLUCIÓN

A, B, C, G, M −→ grupo de 2

D, E, S, T −→ grupo de 3

G2 −→ (A, B), (A, C), (A, G), (A, M), (B, C), (B, G), (B, M), (C, G), (C, M), (G, M)

G3−→ (D, E, S), (D, E, T), (D, S, T), (E, S, T)

Debo tomar cada grupo de 2 con un grupo de 3.

No importa el orden

Se obtienen las 40 combinaciones siguientes:


94

AB - DES AC- DES AG- DES AM- DES BC- DES

AB - DET AC - DET AG - DET AM - DET BC - DET

AB - DST AC - DST AG - DST AM - DST BC - DST

AB - EST AC - EST AG - EST AM - EST BC - EST

- - - - -

BG- DES BM- DES CG - DES CM- DES GM- DES

BG - DET BM - DET CG - DET CM - DET GM - DET

BG - DST BM - DST CG - DST CM - DST GM - DST

BG - EST BM - EST CG - EST CM - EST GM - EST

128. El cuadrado ABDE y el triángulo isósceles BCD (BC=CD) tienen igual perímetro.

El polígono ABCDE tiene 72 cm de perímetro.

Cuál es la longitud de BC?

SOLUCIÓN

BC = CD

AB = BD = DE = EA

per (ABDE) = 72cm

¿BC?

per (ABDE) = 4AB

per (BCD) = BD + BC + CD = BD + 2BC = AB + 2AB

4AB = AB + 2BC

4AB - AB = 2BC =⇒ 3AB = 2BC =⇒ AB = 2

3 BC


95

AB + BC + CD + DA = 72cm

3AB + 2BC = 72 cm ⇒ 3 . 1

3 BC +2 BC = 72 cm

2BC + 2BC = 72cm =⇒ ABC = 72cm =⇒ BC = 18cm

129. Por $7 se compran: 5 alfajores, 1 chocolate y 4 turrones.

Cada alfajor cuesta un tercio de lo que cuesta un chocolate.

Cada chocolate cuesta el doble de lo que cuesta un turrón.

¿Cuál es el precio de cada golosina?

SOLUCIÓN

5a + 1c + 4t = $7

a = 1

3 c

c = 2t

5a + 1c + 4t = 5(1

3 c) + 1c + 4t = 5(

1

3 . 2t) + 2t + 4t = 5a + 1c + 4t = (10t + 6t + 12t) = =

28

3 t = $7 =⇒

=⇒ 28t =$21 =⇒ t = $ 21

28 = $

3

4 = $0,75

1t −→ $0,75

1c = 2i = 2 . $ 3

4 = $

3

2 = $1,50

a = 1

3 . $

3

2 = $ 0,50

130. Pablo tiene cuatro cajas con lápices.

En la caja celeste tiene 4 lápices; en la caja naranja 5 lápices; en la roja 6 y en la verde 7 lápices.

Puede hacer alguno de los siguientes movimientos en cualquier orden:

Elegir 3 cajas, sacar un lápiz de cada una de estas cajas y poner los 3 en la caja restante.

Sacar 3 lápices de una caja y poner 1 en cada una de las 3 cajas restantes.

Después de varios de estos movimientos, en la caja celeste quedan 5 lápices y en la caja verde quedan 12

lápices.

¿Cuántos lápices quedan en la caja naranja y cuántos en la caja roja?

Muestra cómo llegaste a la respuesta.

SOLUCIÓN

4 cajas −→ (c, n, r, v) −→ (4L, 5L, 6L, 7L)

paso 1: (c, n, r) −→ (3L, 4L, 5L) =⇒ v = 10L

paso 2: saco 3L de n −→ (c, n, r, v) −→ (4L, 1L, 6L, 11L)


96

paso 3: saco 3L de r −→ (c, n, r, v) −→ (5L, 2L, 3L, 12L)

131. Sobre una recta se marcan los puntos A, B, C, y D en ese orden.

M es el punto medio del segmento AB

N es el punto medio del segmento CD

MN = 7cm.

¿Cuál es la longitud de la suma de los segmentos AC + AD + BD + BC?

SOLUCIÓN

MN = MB + BC + CN

¿AC + AD + BD + BC?

AC = AM + MB + BC

AD = AM + MB + BC + CN + ND

BC = MN - MB - CN

BD = BC + CN + ND

AC + AD + BD + BC = = AM + MB + MN - MB - CN + MN - MB - CN + AM + MB +MN - MB - CN + CN + ND + MN - MB - CN + CN + ND si: AM = MB ∧ CN = ND AC + AD + BD + BC = 4 MN = 4 . 7cm = 28cm 132. Mario tiene que tomar un remedio durante 180 días. Y comienza el lunes La receta dice que debe tomarlo 2 días seguidos y descansar 1 día. Empieza a tomarlo un lunes. ¿Cuántas veces, en los 180 días, lo tomará un lunes y el martes siguiente? Explica por qué. SOLUCIÓN T = 180d

lu ma mi ju vi sa do

X X X X X

X X X X X

X X X X


97

Este esquema se repite cada 3 semanas.

180 𝑑

7 𝑑= 25 sem + 5d

Procedemos de igual manera hasta la semana 24 y toma el remedio en martes y miércoles seguidos un total

de 8 veces.

En los últimos 12 días (1 sem + 5 días) el esquema será como en las dos primeras semanas por lo que se

cumple que otra vez toma el remedio en lunes y martes seguidos, o sea que esta condición se cumple 9

veces.

133. Un rectángulo ABCD se divide en 9 rectángulos iguales trazando 2 rectas paralelas a un par de lados y 2

rectas paralelas al otro par de lados.

Uno de estos 9 rectángulos se divide en 4 rectángulos iguales trazando 1 recta paralela a un par de lados y

una recta paralela al otro par de lados.

El perímetro de cada uno de los rectángulos más pequeños es de 5 cm.

Cuál es el perímetro del rectángulo ABCD?

SOLUCIÓN

per (AEST) = 5cm −→ ¿per (ABCD)?


98

2AT = AM ∧ 3AM = AD =⇒ AD = 3AM = 3 . 2AT = 6AT

AD = 6AT

2AE = AF ∧ 3AF = AB =⇒ AB = 3AF = 3 . 2AE = 6AE

AB = 6AE

Si AD = 6AT =⇒ AT =1

6 AD

Si AB = 6AE =⇒ AE = 1

6 AB

per (AEST) = 2 (AE + AT) = 2 ( 1

6 AB +

1

6 AD) =

1

3 (AB + AD) = 5cm

AB + AD = 15cm


99

per (ABCD) = 2 (AB + AD) = 2 . 15cm = 30cm

134. Dos comerciantes compran varias latas de jugo de frutas.

El segundo compra el cuádruple de lo que compra el primero.

El primero vende todas las latas que compró, ganando 10 centavos por lata.

El segundo vende la tercera parte de las latas que compró ganando 12 centavos por lata.

Si el segundo de los comerciantes quiere cuadriplicar la ganancia del primero, ¿cuánto debe ganar por cada

una de las latas que le quedan?

SOLUCIÓN

A −→ $0,10 LA

B −→ 4

3 LA . $0,12 = $0,16 LA

B −→ 4

3 LA. $x = 4 . $0,10 LA- $0,16 LA

x = 8

3 ($0,40 LA- $0,16 LA ) =

3

8 . $0,24 = $0,09

x = $0,09

135. Un grupo de personas quieren ir todas juntas de excursión.

Hay dos agencias que hacen esa excursión: A y B.

Las dos agencias tienen el mismo número de automóviles.

La agencia A tiene 5 autos de 6 asientos y el resto de 4 asientos.

La agencia B tiene 5 autos de 4 asientos y el resto de 6 asientos.

No pueden ir por la agencia A porque, aunque llenen todos los lugares disponibles, falta lugar para 14

personas.

Yendo por la agencia B llenan todos los lugares disponibles y pueden viajar todos.

¿Cuántas personas forman el grupo?

SOLUCIÓN

tiene 5 autos de 6 asientos y el resto de 4 asientos

tiene 5 autos de 4 asientos y el resto de 6 asientos

A −→ 5 . 6a + x . 4a −→ (faltan 14 a)

B −→ 5 . 4a + y . 6a −→ (total)

B - A = 14 asientos

20 a + 6y - 30 a - 4y = 14 a

-10a + 6y - 4x = 14 a=⇒ 6y - 4x = 14 a + 10 a =⇒ 6y - 4x = 24 a


100

6y - 4x = 24 a =⇒ y = 1

6 (24a – 4x)

B −→ 5 . 6a + (24 + 4x) . 6a = 20 a + 144 a + 24x = 164 a + 24x

B - A −→ (164 a + 24x ) - (30 a + 4x) = 14 a

164 a + 24x - 30 a - 4x = 14 a =⇒ 134 a - 20x = 14 a =⇒ 134 a - 14 a = 20x x = 120

20 a = 6 a

A−→ 5 . 6 a + 6 v. 4a + 14 a = 30 a + 24 a + 14 a = 68 a

B −→ 5 . 4 a + 6y = 68 a =⇒ y = 1

6 (68 a - 20 a) = 8v

136. Martin dibujó un rectángulo ABCD con el lado AB mayor que el lado BC.

Sobre el lado AB marcó el punto R y sobre el lado CD el punto S de modo que el ABCD quedó dividido en el

cuadrado ARSD y el rectángulo RBCS.

El segmento RB mide 6 cm.

El perímetro del rectángulo RBCS es igual a los cinco octavos del perímetro del cuadrado ARSD.


SOLUCIÓN

AB > BC

ARSD cuadrado

RB = 6cm

per (RBCS) = 5

8 per (ARSD)

¿per (ABCD)?

per (RBCS) = 2 (RB + BC) = 2 (6cm + BC)

8 . 2 (6cm + BC) = 5 per (ARSD) = 5 . 2 (AR + RS)

RS = BC = AR


101

96cm = 4 BC =⇒ BC = 24cm

RB = 6cm

BC = SD = DA = AR = RS = 24cm

AB = AR + RB = 24cm + 6cm = 30cm

per (ABCD) = 2 (AB + BC) = 2 (30cm + 24cm) = 2 . 54cm = 108cm

137. Con los dígitos: 1 - 1 - 2 - 2 - 3 - 3 - 4 - 4 se escriben números de 8 cifras.

Aldo escribe números que empiezan en 1 y tienen los dos 3 separados por tres cifras.

¿Cuántos de estos números puede escribir Aldo?

Por ejemplo: Aldo puede escribir el número 13224341.

Bruno escribe números que tienen: los dos 4 separados por cuatro cifras, los dos 3 separados por tres cifras,

los dos 2 separados por dos cifras y los dos 1 separados por una cifra.

¿Cuál es el mayor de los números que escribe Bruno?

SOLUCIÓN

ALDO −→ 1 _ _ _ _ _ _ _

De las 7 casillas restantes existen tres posibilidades de colocar los números 3: los coloco en las casillas (2, 6),

(3, 7) o (4, 8)

En cada uno de estos casos habrá un grupo de tres dígito distintos de 3 y un grupo de dos dígitos distintos de

3. Puedo usar: 1_2_2_4_4.

GRUPO 2

1 2 2 1 4 1

1 4 2 2 4 2 2 4 4 4

A cada columna la llamo (x, y, z), respectivamente.

A cada fila la llamo (1, 2, 3), respectivamente.

GRUPO 3

A −→ 1 2 22 1 22 2 1

B −→

1 2 41 4 22 1 42 4 14 1 24 2 1


102

C −→ 1 4 44 1 44 4 1

D −→ 2 4 44 2 44 4 2

E −→ 2 2 44 2 22 4 2

CASO A: relaciono con (z, 3)

CASO B: relaciono con (z, 2) y (y, 3)

CASO C: relaciono con (y, 2)

CASO D: relaciono con (x, 1) y (y, 1)

CASO E: relaciono con (x, 2) y (z, 1)

CASOS POSIBLES PARA ALDO

3. (CASO A + CASO B + CASO C + CASO D + CASO E)

3. (3 . 1 + 6 . 2 + 3 . 1 + 3 . 2 + 3 . 2) = 3 . ( 3 + 12 + 3 + 6 + 6 ) = 3 . 30 = 90 nros distintos.

BRUNO −→ _ _ _ _ _ _ _ _ −→ 8 dígitos

los dos 4 separados por cuatro cifras

los dos 3 separados por tres cifras

los dos 2 separados por dos cifras

los dos 1 separados por una cifra

El nro. buscado es:

4 1 3 1 2 4 3 2

138. Juan quiere comprar un televisor.

Por comprarlo al contado le descuentan 1/10 del precio de lista.

Por comprarlo en cuotas le recargan 1/5 del precio de lista.

Si lo paga en 6 cuotas, cada una es de $ 72.


103

¿Cuánto paga si decide comprarlo al contado?

SOLUCIÓN

Contado −→ 1

10 descuento

Cuotas −→ 1

5 recargo

6 cuotas −→ $72 c/u

contado −→ ?

paga −→ 6 . $72 = $432

$432 = lista + 1

5 lista =

6

5 lista

$432 = 6

5 lista =⇒ lista =

5

6 . $432 = $360

De contado le hacen 10% de descuento

10

10 −→ $ 360

1

10 −→ $ 36

Le descuentan $36

Paga de contado −→ $360 - $36 = $324

139. Le abuela Mari compró regalos para sus 7 nietos: Dani, Edu, Fran, Gabi, Matu, Seba y Toni.

Para cada uno armó un paquete.

A cada paquete le puso una tarjeta con el nombre correspondiente.

Tiene 3 moños rojos, 3 azules y 1 blanco.

Si quiere ponerle un moño a cada paquete, ¿de cuántas maneras distintas puede hacerlo?

SOLUCIÓN

7 nietos: D, E, F, G, M, S, T


104

D E F G M S T

B R R R A A A

R B R R A A A

R R B R A A A

R R R B A A A

R R R A B A A

R R R A A B A

R R R A A A B

Si mantengo el moño rojo sin variar cada una de estas filas tiene:

(CR6,2 significa combinaciones con repetición de 6 elementos tomados de a 2)

CR6,2 = (6+2−1)!

2!.5! = =

(7)!

2!.5! = =

7. 6

2 = 21 cambios posibles entre los rojos y los azules, por lo que existen 7 . 21 =

147 maneras distintas de poner los moños.

140. El rectángulo ABCG y el cuadrado CDEF tienen el mismo perímetro.

AB = 2 AG

La figura de vértices ABDEFG tiene 72 cm de perímetro.

¿Cuánto miden los lados del cuadrado CDEF?, ¿Cuánto miden los lados del rectángulo ABCG?


105

SOLUCIÓN

per (ABCG) = per (CDEF)

AB = 2AG


¿lados de CDEF?

¿lados de ABCG?

AB = CG = GF = FC

BC = AG

BD = BC + CD

per (ABCG) = 2 (AB + BC) = 2 (AB + AG) = 2 (AB +1

2 AB) = 3AB

per (ABCG) = per (CDEF) = 3AB

per (CDEF) = 2 (CD + DE)

3

2 AB = CD + DE


AB +1

2 AB + (CD + DE) + (EF + FG) +

1

2 AB = 72cm

AB +1

2 AB +

3

2 AB+ AB +

1

2 AB = 72cm

𝐴𝐵

2 ( 2+ 1 + 3 + 2 + 1) =

9

2 AB = 72cm =⇒ AB =

2

9. 72cm = 16cm

141. Dani y Gabi guardaron sus fotos y, entre los dos, llenaron 8 álbumes de 36 fotos cada uno.

Si Dani tuviera la mitad de las fotos que tiene y Gabi tuviera el doble de las fotos que tiene, completarían,

entre los dos, 9 de esos álbumes.

¿Cuántas fotos tiene Dani?

¿Cuántas fotos tiene Gabi?

SOLUCIÓN

8a −→ 36 f c/u

D −→ 𝐷

2

G −→ 2G

1a −→ 1f

{𝐷

2+ 2𝐺= 9𝑎

𝐷 + 𝐺= 8𝑎


106

Es semejante a:

D = 8a - G

1

2 (8a - G) + 2G = 9a

2G - 1

2 G = 9a - 4a = 5a

3

2 G = 5a =⇒ G =

2

3 . 5 a =

10

3 a =

10

3 . 36 f = 120 f

D = 8a - G = 8a - 10

3 a =

1

3 (24 a – 10 a) =

14

3 a =

14

3. 36f = 168f

142. Los rectángulos ABCD y DEFG son iguales.

El perímetro de la figura de vértices ABCEFG es de 66 cm.

El segmento CE mide 9 cm.

¿Cuánto mide cada uno de los lados del rectángulo ABCD?

¿Cuál es el perímetro del rectángulo DEFG?

SOLUCIÓN

ABCD = DEFG


CE = 9cn

¿lados (ABCD)?

¿per (DEFG)?

AB = EF = DG = CD

AD = BC = DE = GF DE = DC + CE

per (ABCDEFG) = AB + BC + CE + EF + FG + GD + DA

per (ABCDEFG) = 3AB + 3BC + CE = 3AB + 3BC + 9cm = 66cm

3AB + 3BC = 57cm =⇒AB + BC = 19cm

per (ABCD) = 2 (AB + BC) = 2 . 19cm = 38cm


107

per (ABCD) = per (DEFG) = 38cm

CD + CE = DE CD = DG

per (DEFG) = 2 (DE + EF) = 2 (CD + CE + EF) = 2 (CE + 2CD)

2CE + 4CD = 2 . 9cm + 4CD = 8cm

4CD = 20cm =⇒ CD = 5cm

AB = CD = 5cm

BC = DC + CE = 14cm

143. Susana tiene 51 billetes en su billetera.

Sólo tiene billetes de 50 pesos, de 20 pesos y de 10 pesos.

La cantidad de billetes de 10 pesos es el doble de la cantidad de billetes de 20 pesos.

En total tiene 1230 pesos.

¿Cuántos billetes de 50 pesos tiene Susana en su billetera?

SOLUCIÓN

51b −→ $1230

{50𝑥 + 20𝑦 +10𝑧 = 1230𝑥 − 2𝑦 = 0𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 51

{50.2𝑦 + 20𝑦 + 10𝑧= 1230

2𝑦 + 𝑦 + 𝑧= 51

120y + 10z = $1230 =⇒ 12y + z = 123 queda:

{12𝑦 + 𝑧= 1233𝑦 + 𝑧= 51

z = 123 - 12y = 51 - 3y

123 - 51 = 12y - 3y

72 = 9y =⇒ y = 8 z = (-3y) + 51 = 51 - 24 = 27

x = 2y = 2 . 8 = 16

(x, y, z) = (16, 8, 27)

Hay 16 billetes de $50, 8 billetes de $20, 27 billetes de $10

144. Pablo tiene 10 tarjetas; cada una tiene impreso uno de los 10 números impares entre 1 y 19.

Elige tres tarjetas y escribe todos los números que puede formar ordenando las tarjetas de distintas

maneras.


108

De todos los números que Pablo puede escribir, ¿cuántos son múltiplos de 3 y mayores que 50000?


SOLUCIÓN

10t −→ 1., 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,19 múltiplos de 3 mayores que 50000

5-11-13 5-13-11 7-11-13 7-13-11 9-11-13 9-13-11

5-11-15 5-15-11 7-11-15 7-15-11 9-11-15 9-11-15

5-11-17 5-17-11 7-11-17 7-17-11 9-11-17 9-11-17

5-11-19 5-19-11 7-11-19 7-19-11 9-11-19 9-11-19

5-13-15 5-15-13 7-13-15 7-15-13 9-13-15 9-15-13

5-13-17 5-17-13 7-13-17 7-17-13 9-13-17 9-17-13

5-13-19 5-19-13 7-13-19 7-19-13 9-13-19 9-19-13

5-15-17 5-17-15 7-15-17 7-17-15 9-15-17 9-17-15

5-15-19 5-19-15 7-15-19 7-19-15 9-15-19 9-19-15

5-17-19 5-19-15 7-17-19 7-19-17 9-17-19 9-19-171

11-13-15 11-15-13 13-11-15 15-11-13 15-13-11 13-15-11

11-13-17 11-17-13 13-11-17 17-11-13 17-13-11 13-17-11

11-13-19 11-19-13 13-11-19 19-11-13 19-13-11 13-19-11

13-15-17 13-17-15 15-13-17 17-13-15 17-15-13 15-17-13

13-15-19 13-19-15 15-13-19 19-13-15 19-15-13 15-19-13

13-17-19 13-19-17 17-13-19 19-13-17 19-17-13 17-19-13

15-17-19 15-19-17 17-15-19 19-15-17 19-17-15 17-19-15

11-15-17 11-17-17 15-11-17 17-11 15 17-15-11 15-17-11

11-15-19 11-19-15 15-11-19 19-11-15 19-15-11 15-19-11

11-17-19 11-19-17 17-11-19 19-11-17 19-17-11 17-19-11

Marco aquellos que son múltiplos de 3 y los reúno:


109

5-11-17 5-17-11 7-11-15 7-15-11 9-11-13 9-13-11

5-13-15 5-15-13 7-13-19 7-19-13 9-11-19 9-11-19

5-15-19 5-19-15 7-15-17 7-17-15 9-13-17 9-17-13

11-13-15 11-15-13 13-11-15 15-11-13 9-17-19 9-19-17

15-13-11 13-15-11

13-15-17 13-17-15 15-13-17 17-13-15 17-15-13 15-17-13

15-17-19 15-19-17 17-15-19 19-15-17 19-17-15 17-19-15

11-15-19 11-19-15 15-11-19 19-11-15 19-15-11 15-19-11

Pablo puede escribir 44 nros.

145. La figura de vértices ACDEFG tiene 320 cm de perímetro.

Los rectángulos ABFG y BCDE tienen igual perímetro. AC = 88 cm y E es el punto medio de BF.

¿Cuánto miden AB, AG, BC y CD?

SOLUCIÓN


per (ABFG) = per (BCDE)

AC = 88cm

BE = CD = EF = 1

2 AG

¿AB, AG, BC, CD?

AB + AG = BC + CD

AB + 2CD = BC + CD =⇒ AB - CD = -CD

AB + 3CD = 88cm

AB + CD = BC

AB = BC - CD ∧ AB = 88cm - BC =⇒ BC - CD = 88cm - BC


110

2BC - CD = 88cm =⇒ 2BC = 88cm + CD


(AB + BC) + (DE + FG) + (CD + EF) + GA = 320cm

2 . 88cm + 2AG = 320cm

CD = 1

4 (320cm - 176cm) = 36cm

CD = EF = 36cm

2BC = 88cm + CD = 88cm + 36cm = 124cm =⇒BC = 62cm

BC = AC - AB

BC + CD = AB + 2CD

AC - AB + CD = AB + 2CD

AC = 2AB + CD

AB + BC = 88cm

AB = 88cm - BC = 88cm - 62cm = 26cm

AB = 26cm

AG = 2CD = 72cm

AG = 72cm

(AB, AG, BC, CD) = (26cm, 72cm, 62cm, 36cm)

146. Cada segmento indica el camino que une dos ciudades.

¿De cuántas maneras distintas se puede ir de A hasta Z si no se puede pasar dos veces por la misma ciudad?

Explica cómo las contaste.

SOLUCIÓN

ABDGZ ABDGHZ ABEGZ ABEGHZ ABHGZ ABEGZ

ABEHZ ABEGHZ ABEHGZ ABDEGZ ADEHGZ ABDEFHGZ

ABDEFHZ ABCEFHZ ABCEFHGZ ACEGZ ABCFHZ ABCFHGZ

ACEGHZ ACEHGZ ACFHZ ACFHGZ ABDECFHZ ABDECFHGZ Hay 24 maneras.


111

147. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 se arman todos los números de tres cifras que son múltiplos de 3

y tienen sus cifras distintas, ordenadas de mayor a menor.

¿Cuántos son?

Escríbelos todos.

SOLUCIÓN

987 986 985 984 983 982 981

976 975 974 973 972 971 965

964 963 962 961 954 953 952

951 943 942 941 932 931 921

876 875 874 873 872 871 865

864 863 862 861 854 853 852

851 843 842 841 832 831 821

765 764 763 762 761 754 753

752 751 743 742 741 732 731

721 654 653 652 651 643 642

641 632 631 621 543 542 541

532 531 521 432 431 421

Marco los múltiplos de 3 y los reúno:

987 084 981 975 972 963 954 951 942 921

876 873 864 861 852 843 831 765 762 753

741 732 654 651 642 621 543 531 421

Son 29 nros.

148. En la librería se pueden comprar 4 cuadernos por $10 o 1 cuaderno por $3.

Esta semana se vendieron 120 cuadernos en total y se cobraron $320 por la venta de los cuadernos.

Cuántos cuadernos se vendieron de a 1 y Cuántos cuadernos se vendieron de a 4?

SOLUCIÓN

4c −→ $10

1c −→ $3

120c −→ $320

{4𝑥 + 𝑦= 12010𝑥 + 3𝑦= 320

=⇒ y = 120 - 4x


112

10x + 3 (120 - 4x) = 320 =⇒ 2x = 40 =⇒ x = 20 y = 120 - 4x = 120 - 4 . 20 = 40

Se vendieron 20 ofertas de $10 (80 cuadernos) y 40 ofertas de $3 (40 cuadernos).

149. En la figura AG = 2AD

AG = GD

HG = GF

Los triángulos ABI y CDE se obtienen duplicando los lados del triángulo HFG.

AB = 2BC y EF = 2FG.

El perímetro de BCEFHI es 108cm.

Cuál es el perímetro de ADG?

SOLUCIÓN

AG = DG = 2AD

4(ABI) = 4(CDE)

AB = 2BC

EF = 2FG

per (BCEFH) = 108cm

¿per (ADG)?

per (ADG) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA

BC + CE + EF + FH + GH + HI + IB = 108cm

Como:

BC = FH

CE = EF = HI = IB

2BC + 4EF = 108cm


113

BC = 1

2 EF =⇒ 2BC = EF

5EF = 108cm

AD = AB + BC + CD = 2BC + BC + 2BC = 5BC = 5

2 EF =⇒ 5AD – 5 .

5

2 EF =

25

2 EF

5EF = 108cm

25

2 EF = x

x = 1

5 ( 25

2 . 108 cm) = 270 cm

150. En un puesto de la feria artesanal se vendieron: el sábado, 72 monederos y 60 llaveros por un total de

$1548; el domingo, 72 monederos y 36 llaveros por un total de $1332.

¿A cuánto se vendió cada monedero?

¿A cuánto se vendió cada llavero?

SOLUCIÓN

{72𝑚 + 60𝑙𝑙= 154872𝑚 + 36𝑙𝑙= 1332

=⇒ 24 ll = $216 =⇒ 1 ll = $ 216

24 = $ 9

151. En una hoja de papel rectangular, que tiene ancho igual a las tres cuartas partes del alto, Javier hace un

recuadro dejando márgenes: arriba y abajo, de 2cm cada uno y, a derecha e izquierda, de 3 cm cada uno.

El recuadro que queda es un rectángulo de 78 cm de perímetro.

¿Cuáles son las longitudes de los lados de la hoja de papel?

SOLUCIÓN

AB = 3

4 BC

2 (AB - 6cm) + 2(BC - 4cm) = 78cm

2 . 3

4 BC - 12cm + 2BC - 8cm = 78cm

3

2 BC + 2BC = 78cm + 12cm + 8cm

(3+4)

2 BC = 98cm =⇒

7

2 BC = 98cm =⇒ BC =

2

7 . 98cm = 28cm

AB = 3

4 BC =

3

4. 28cm = 21cm


114

152. En un juego de tiro al blanco, con un tablero como el de la figura, cada participante arroja una ficha

verde, una ficha roja y una ficha azul. La ficha verde triplica el puntaje del sector en que cae. La ficha roja

duplica el puntaje del sector en que cae. La ficha azul10 asigna el puntaje anotado en el sector en que cae. El

puntaje de cada participante se calcula sumando el puntaje de cada ficha.

¿Cuáles son los distintos puntajes que se pueden obtener?

¿De cuántas maneras se puede obtener cada puntaje?

SOLUCIÓN

V R A PP PT V R A PP PT V R A PP PT

10 10 10 30+20+10 60 6 10 10 18+20+10 48 0 10 10 20+20 40

10 10 6 30+20+6 56 6 10 6 18+20+6 44 0 10 6 20+6 26

10 10 0 30+20 50 6 10 0 18+20 38 0 10 0 20 20

10 6 10 30+12+10 52 6 6 10 18+12+10 40 0 6 10 12+10 22

10 6 6 30+12+6 48 6 6 6 18+12+6 36 0 6 6 12+6 18

10 6 0 30+12 42 6 6 0 18+12 30 0 6 0 12 12

10 0 10 30+10 40 6 0 10 18+10 28 0 0 10 10 10

10 0 6 30+6 36 6 0 6 18+6 24 0 0 6 6 6

10 0 0 30 30 6 0 0 18 18 0 0 0 0 0

153. Un productor de melones decide exportar la tercera parte de su producción.

Entre los melones que se van a exportar, se hace un control de calidad y se descarta la sexta parte.

Los melones que quedan se ponen en cajas de 1 docena.

Cada caja se vende a $ 24.

Por la venta de los melones de exportación, el productor obtiene $ 720.

¿Cuál es el número total de melones que produce?

SOLUCIÓN

exporta =⇒ 1

3 prod.

de 1

3 de la producción se descarta

1

6

queda:


115

1

3 prod -

1

6 (1

3 prod) =

5

18 prod = 12 cajas

1

3 prod -

1

18 prod = 12 cajas

prod = 18

5 . 12 cajas

1 caja −→ $24

ganó −→ $720

vendió −→ 720

24 cajas = 30 cajas

prod = 1

5 (12. 30. 18m) = 1296 melones

154. En la figura: ABCH y DEFG son rectángulos

BC = DE

CD = GH y GD = 3 HC.

El perímetro de ABCDGH es 140 cm.

El perímetro de CDGH es 92 cm. El perímetro de DEFG es 108 cm.


Explica cómo lo obtienes.

SOLUCIÓN

BD = DE AB = HC CD = GH

GD = 3HC EF = GD

per (ABCDGH) = 140cm

¿per (fig)?

AB + BC + 2CD + DG + HA = 140cm

2CD + DG + HC = 92cm


116

2DE + 2EF = 108cm

Queda de la siguiente manera:

(1)−→ AB + BC + 2CD + DG + HA = 140cm

(2) −→ 2CD + DG + HC = 92cm

(3) −→ ED + EF = 54cm

Reemplazando y teniendo en cuenta que la unidad de medida es cm:

2BC + 2CD + 4HC = 140

2CD + 4HC = 92

BC + 3HC = 54

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

2BC + 2CD + 4HC = 140

2CD + 4HC = 92

BC + 3HC = 54

Teniendo en cuenta que 2CD + 4HC = 92cm

2BC + 92 = 140 =⇒ BC = 1

2 (140 – 92) = 24

BC + 3HC = 54 =⇒ HC = 1

3 (54- 24) = 10

2CD + 4HC = 92 =⇒ CD = 1

2 (92 – 4 . 10) = 26

ED + EF = 54 =⇒ EF = 54 - 24 = 30

AB = BC = CH = HA = 24cm

CD = GH = 26cm

DE = FG = 24cm

EF = DG = 30cm

per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HA =

= per (fig) = AB + AB + CD + AB+ EF + AB + CD + AB =

= per (fig) = 5AB + 2CD + 2EF = 5 . 24cm + 2 . 26cm + 30cm =

= per (fig) = 120cm + 52cm + 30cm

per (fig) = 202cm

155. El tanque estaba lleno de agua.

El lunes se gastaron 7

8 del agua del tanque.


117

El martes se agregaron 75 litros y entonces quedaron llenas las tres cuartas partes del tanque.

¿Cuántos litros caben en el tanque?

SOLUCIÓN

Tanque lleno −→ T

lunes −→ gastó 7

8 T −→ quedó −→

1

8 T

martes −→ 75 l + 1

8 T =

3

4 T

75 l = 3

4 T -

1

8 T =

1

8 (6T – T) =

5

8 T

75 l = 5

8 T −→ T =

8

5 . 75 l = 120 l

T = 120l

156. La figura está partida en 3 partes.

I es un cuadrado de 48 cm de perímetro.

I y II forman un rectángulo de 82 cm de perímetro.

II y III forman un cuadrado.

AB = 2 DE

Cuál es el perímetro del rectángulo II?

¿Cuál es el perímetro del cuadrado formado por II y III?

SOLUCIÓN

per (I) = 48cm per (II y III) = 82cm

II y III cuadrados

AB = 2DE

¿per (II)?

¿per (II y III)?

4BC = 48cm =⇒ BC = 12cm


118

per (I + II) = 82cm

4BC + 2CD = 82cm

48cm + 2CD = 82cm =⇒ CD = 1

2 (82cm - 48cm) = 17cm

AB + BC = CD + DE =⇒ AC = CE ∧ AB = 2DE

AB + BC = CD + DE

2DE + 12cm = 17cm + DE

DE = 5cm =⇒ AB = 10cm

per (II) = 2CD + 2BC = 2 (CD + BC) = 2 . (17cm + 12cm) = 2. 29cm

per (II) = 58cm

per (II y III) = 2 . (AC + CE) = 4AC = 4 . (AB + BC)

per (II y III) = 4 . (10cm + 12cm) = 4 . 22cm = 88cm

157. Una hormiga se mueve por las l neas del tablero deteniéndose en cada cruce.

Hace dos clases de movimientos entre cruce y cruce: H horizontal de izquierda a derecha o V vertical de

abajo hacia arriba.

Nunca hace más de dos movimientos seguidos de la misma clase.

¿Cuántos caminos distintos puede hacer la hormiga entre S y E?

SOLUCIÓN

(1-5-9-13-14-15-16), (1-5-9-10-11-12-16), (1-5-9-10-11-15-16), (1-5-9-10-14-15-16),


119

(1-5-6-10-14-15-16), (1-5-6-10-11-15-16), (1-5-6-10-11-12-16), (1-5-6-7-11-15-16),

(1-5-6-7-11-12-16), (1-5-6-7-8-12-16) & (1-2-6-7-11-15-16), (1-2-6-7-8-12-16),

(1-2-3-4-8-12-16), (1-2-3-7-8-12-16) & (1-2-3-7-11-12-16), (1-2-3-7-11-15-16),

(1-2-6-10-14-15-16), (1-2-6-10-11-15-16), (1-2-6-10-11-12-16)

Son 19 casos.

158. En la figura, ABE es un triángulo equilátero

BC = CD = DE

BE = CE

El perímetro del triángulo BCE es 28 cm.

El perímetro del triángulo CDE es 26 cm.

¿Cuál es el perímetro del polígono ABCDE?

SOLUCIÓN

4ABE equilátero =⇒ AB = BE = EA = CE

BC = CD = DE

per (BCE) = 28cm

per (CDE) = 26cm

¿per (ABCDE)?

per (BCE) = BC + CE + BE = 28cm =⇒ BC + 2CE = 28cm

per (CDE) = CD + DE + CE = 26cm =⇒ 2BC + CE = 26cm

BC = 28cm - 2CE

2 . (28cm - 2CE) + CE = 26cm


120

56cm - 4CE + CE = 26cm =⇒ 56cm - 26cm = 3CE =⇒ 30cm = 3CE

BE = CE = AB = AE = 10cm

BC = 28cm - 2CE = 28cm - 2 . 10cm = 8cm

BC = CD = DE = 8cm

per (ABCDE) = AB + BC + CD + DE + EA

per (ABCDE) = 10cm + 8cm + 8cm + 8cm + 10cm

per (ABCDE) = 44cm

159. El maestro quiere repartir 576 figuritas entre 10 de sus alumnos, 4 varones y 6 mujeres.

Para varones tiene la mitad de figuritas de las que tiene para mujeres.

A medida que van llegando: a cada mujer le da 2 figuritas menos de las que le dio a la anterior, a cada varón

le da 6 figuritas más de las que le dio al anterior.

¿Cuántas figuritas le dio a cada alumno?

SOLUCIÓN

T −→ 576f −→ 4v ∧ 6m

v = 1

2 m

v + m = 576f

v + 2v = 576f =⇒ v = 576

3 f = 192f

m = 576f - 192f = 384f

v + (v + 6) + (v + 12) + (v + 18) = 192f

m + (m - 2) + (m - 4) + (m - 6) + (m - 8) + (m - 10) = 384f

4v + 36f = 192f =⇒v = 1

4 (192f - 36f) = 39f

6m - 30f = 384f =⇒ m = 1

6 (384f + 30f) =

414

6 f = 69f

(v, m) = (39f, 69f)

160. En el tablero de la figura se colocan fichas rojas y fichas azules del siguiente modo: - en cada una de las

casillas de las esquinas se pone igual cantidad de fichas rojas, - la casilla central se deja vacía, - en cada una

de las otras casillas se pone igual cantidad de fichas azules.


121

En total, en la primera fila hay 41 fichas.

¿De cuántas maneras distintas se pudo haber completado el tablero?

En cada caso, indica:

a) ¿cuántas fichas rojas y cuántas azules se colocaron en cada casilla?

b) ¿cuántas fichas se colocaron en total?

SOLUCIÓN

2r + a = 41 (en la 1er fila)

a = 41 - 2r

fichas por casilla:

a r a r

39 1 19 11

35 3 15 13

31 5 11 15

27 7 7 17

23 9 3 19

Si consideramos el tablero completo:

a r ta tr tf

39 1 156 4 160

36 3 140 12 152

31 5 124 20 144

27 7 108 28 136

23 9 92 36 128

19 11 76 44 120

15 13 60 52 112

11 15 44 60 104

7 17 28 68 96

3 19 12 76 88

2


122

161. Pérez y Capria son socios en una empresa.

Capria quiere repartir entre los empleados su parte en las ganancias de este fin de semana.

Si les diera $ 125 a cada uno, le sobrarían $ 75.

En cambio, si les diera $ 150 a cada uno, le faltarían $ 450.

¿Cuántos empleados tiene la empresa?

Si a Capria le corresponde la tercera parte de las ganancias, ¿a cuánto ascienden las ganancias de este fin de

semana?

SOLUCIÓN

$125.k + $75 = g

$150.k − $450 = g

$125 . k + $75 = $150 . k - $450

$75 + $450 = $150 . k - $450

$75 + $450 = $150 . k - $125 . k $525 = $25 . k

k = $ 525

25 = $21

La empresa tiene 21 empleados

c = 1

3 fig −→ p =

2

3 fig

c) ($125 . 21 e + $75) = $2700

1

3 −→ 2700

1 −→ x −→ x = $ 27001

3

= $ 8100

ganancia −→ $8100

162. Se tienen 3 piezas de cartón; un rectángulo, un triángulo isósceles y un cuadrado.

El triángulo tiene un lado igual al lado del cuadrado.

El rectángulo tiene dos lados iguales al lado del cuadrado.

El perímetro del triángulo es 7 cm menor que el perímetro del cuadrado.

La suma de los perímetros de las 3 piezas es 189 cm.

La figura, que se armó con estas piezas, tiene 129 cm de perímetro.

¿Cuánto miden los lados de cada una de las piezas?


123

SOLUCIÓN

per (CDE) = per (BCEF) - 7cm

per (ABFG) + per (BCEF) + per (CDE) = 189cm


CD + DE + CE = BC + CE + EF + BF - 7cm

AB + BF + FG + GA + BC + CE + EF + BF + CD + DE + CE = 189cm

AB = FG

BC = EF = BF = CE = AG

CD = DE

{2𝐴𝐵 + 7𝐵𝐹 +2𝐶𝐷 = 189𝑐𝑚2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐹 + 2𝐶𝐷 = 129𝑐𝑚

3𝐵𝐹 − 2𝐶𝐷 = 7𝑐𝑚

Si resto las dos primeras ecuaciones, queda que:

163. Marcelo tiene $ 450 en billetes de $2; de $5 y de $10.

Tiene 62 billetes entre los de $2 y los de $5.

Tiene 48 billetes entre los de $5 y los de $10.

¿Cuántos billetes de cada clase tiene?

SOLUCIÓN

{2𝑥 + 5𝑦 +10𝑧 = 450𝑥 + 𝑦 = 62

𝑦 + 𝑧 = 48

4BF = 60cm =⇒ BF = 60

4 cm = 15cm

Reemplazando en la tercera ecuación:

3BF - 2CD = 7cm =⇒ 2CD = 3BF - 7cm =⇒ CD = 1

2 (3BF - 7cm)

CD = 1

2 (3 . 15cm - 7cm) = 19cm


124

Reemplazando en la primera ecuación:

AB = 189cm - 1

2 (2 . 19cm - 7 . 15cm) = 37cm

x = 62 - y

y = 62 - x = 48 - z

z = 48 - y

2x + 5y + 10z = 450

2 (62 - y) + 5y+ 10 (48 - y) = 450

124 - 2y + 5y + 480 - 10y = 450

604 - 405 = 7y

154 = 7y =⇒ y = 154

7 = 22

x = 62 - y = 62 - 22 = 40

z = 48 - y = 48 - 22 = 26

(x, y, z) = (40, 22, 26)

164. La abuela de Sofi preparó mermeladas de 6 gustos distintos que guardó en un frasco de 1 kilo, dos

frascos de medio kilo y tres frascos de un cuarto kilo.

En los frascos de un cuarto kilo guardó las mermeladas de frutilla, manzana y pomelo.

En los frascos de medio kilo guardó la de ciruela y la de naranja. En el frasco de 1 kilo guardó la mermelada

de durazno.

Quiere acomodar los 6 frascos en un estante, de modo que los de igual capacidad estén juntos.

¿De cuántas maneras distintas puede hacerlo?

SOLUCIÓN

6 gustos distintos

1 −→ 1kg −→ DUR

2 −→ 1

2 kg −→ CIR / NAR


125

3 −→ 1

4 kg −→ FRU / MAN / POM

FMPCND CNDFMP DFMPCN

FMPDNC DNCFMP DFPMCN

FMPDCN DCNFMP DMPFCN

FMPNCD NCDFMP DMFPCN

FPMCND CNDFPM DPFMCN

FPMDNC DNCFPM DPMFCN

FPMDCN DCNFPM DFMPNC

FPMNCD NCDFPM DFPMNC

MPFCND CNDMPF DMPFNC

MPFDNC DNCMPF DMFPNC

MPFDCN DCNMPF DPFMNC

MPFNCD NCDMPF DPMFNC

MFPCND CNDMFP CNFMPD

MFPDNC DNCMFP CNFPMD

MFPDCN DCNMFP CNMPFD

MFPNCD NCDMFP CNMFPD

PFMCND CNDPFM CNPFMD

PFMDNC DNCPFM CNPMFD

PFMDCN DCNPFM NCFMPD

PFMNCD NCDPFM NCFPMD

PMFCND CNDPMF NCMPFD

PMFDNC DNCPMF NCMFPD

PMFDCN DCNPMF NCPFMD

PMFNCD NCDPMF NCPMFD

Son 72 maneras distintas.

165. Para un recital, hay plateas A y B; una platea A cuesta $ 50 más que una platea B.

Si se compran por Internet hay que pagar una suma adicional por cada platea; la suma adicional para una

platea A es $5 más que la suma adicional para una platea B.


126

Dani compró 4 plateas A por Internet, en total gastó $880.

Edu compró 2 plateas A y 4 plateas B por Internet.

¿Cuánto gastó Edu?

SOLUCIÓN

A, B

A = B + $50

adA= $5 + adB

D −→ 4Aint−→ $880

E −→ 2Aint + 4Bint

4Aint −→ $880

1 Aint −→ 1

4 $880 = $220

2Aint−→ 2. $220 = $440

Aint = A + adA = B + $50 + $5 + adB

Bint = B + adB = $220 - $55 = $165

4Bint = 4 . $165 = $660

2Aint + 4Bint = $440 + $660 = $1100

166. En la figura, EFD, DFC y CFB son triángulos equiláteros, ABE es isósceles, EA = AB.

El perímetro de la figura es 98 cm.

El perímetro de ABE es 2 cm más que el perímetro de EBCD.

¿Cuánto mide cada uno de los lados de la figura?

¿Cuál es el perímetro de CDEF?

¿Cuál es el perímetro de ABE?

SOLUCIÓN

∆ (EFD), ∆(DFC), ∆(CFB) equiláteros


127

∆(ABE) isósceles

EA = AB

per (fig) = 98cm

per (ABE) = per (EBCD) + 2cm

¿cada lado?

¿per (CDEF)?

¿per (ABE)?

EF = FD = DE = CD = CF = FB = CB

per (fig) = AB + BC + CD + DE + EA = 98cm

2AB + 3 BC = 98cm

per (ABE) = per (EBCD) + 2cm

per (ABE) = AB + BE + EA

Como EA = AB,

queda AB + BE + EA = 2AB + BE

BE = BF + FE = 2BC

BC + CD + DE + EF + FB = 5BC

2AB - 5BC = 2cm

2AB = 98cm − 3BC

2AB = 2cm + 5BC

98cm - 3BC = 2cm + 5BC

96cm = 8BC

BC = 12cm

AB = 1

2 (2cm + 5BC) =

1

2 (2cm + 60cm) = 31cm

per (CDEF) = CD + DE + EF + FC = 4BC = 48cm

per (ABE) = AB + BE + EA = 31cm + EF + FB + 31cm

per (ABE) = 62cm + 2 . 12cm = 86cm

Por lo tanto:

AB = EA = 31cm

BC = CD = DE = EF = FB = FC = DF = 12cm


128

167. Desde A hasta Z, siguiendo el orden de las fichas, ¿de cuántas maneras se puede ir?

Indica cuáles son.

SOLUCIÓN


129

ABFIZ ABEFIZ ABCEFIZ ABCFHIZ

ABCEFHJZ ABCEFHJZ ACEFIZ ABCFHIZ

ABCFHJZ ABCFHJIZ ADCEFIZ ADCEFHIZ

ADCEFHJZ ADCEFHJIZ ADEFIZ ADEFHIZ

ADEFHJZ ADEFHJIZ ABCEFHJKZ ABCEFHKZ

ABCFHKZ ADCEFHKZ ADEFHKZ ADGHIZ

ADGKZ ADGHJZ ADGHJIZ ADGHJKZ

Son 28 caminos diferentes.

168. En el juego de "PAN Y QUESO" dos chicos dicen PAN, QUESO, en forma alternada y van uno al

encuentro del otro por la l nea pintada, poniendo cada vez un pie pegadito al otro.

Al decir PAN, el primer jugador adelanta un pie; al decir QUESO, lo hace el segundo.

Gana el que pisa primero al otro.

En el recreo armaron dos equipos de tres chicos para jugar.

En el equipo de Aníbal, los tres calzan 40(40cm).

En el equipo de Blas, uno calza 33(33cm), otro calza 34(34cm) y el tercero calza 35(35cm).

La línea pintada mide 775 cm.

Cada equipo elige un chico para jugar.

Si inicia el juego el equipo de Aníbal, ¿a quién elige Blas para ganar?

Si inicia el juego el equipo de Blas, ¿a quién elige Blas para ganar?

SOLUCION

40cm + 35cm = 75cm

40cm + 34cm = 74cm

40cm + 33cm = 73cm

75cm + 74cm + 73cm = 222cm si alternan cada uno

775cm = 25 . 31cm

775𝑐𝑚

40𝑐𝑚 = 19 (sobran 15)

775𝑐𝑚

75𝑐𝑚 =

31

3 −→ en 10 pasos quedan 25cm

(A) −→ (35)


130

775𝑐𝑚

74𝑐𝑚 = 10,472 −→ en 10 pasos quedan 35cm

(B) −→ (34)

775𝑐𝑚

73𝑐𝑚 = 10,616 −→ en 10 pasos quedan 45cm

(C) −→ (33)

Si empieza Aníbal, Blas puede elegir el caso C, o sea que calza 33cm

Si empieza Blas puede elegir al que calza 35cm (caso A)

169. En un aro circular hay chapitas numeradas como muestra la figura.

Cuando se elige un grupo de chapitas consecutivas, se escribe el número que queda formado leyendo las

cifras de las chapitas en el sentido de las agujas del reloj.

Por ejemplo: si se elige el grupo formado por el 2, el 8 y el 9, se escribe el número 289.

Separar todas los chapitas en tres grupos de modo que al escribir los números que quedan, el producto de

los dos primeros sea el tercero.

SOLUCION

3 grupos (distintos elementos) −→ A, B, C / A. B = C

715 . 46 = 32890

170. Un rompecabezas tiene 81 piezas cuadradas de 1cm de lado cada una.

Usando todas las piezas se arman dos rectángulos distintos de modo que el perímetro del más grande sea el

doble del perímetro del más chico.

¿Cuáles son el largo y el ancho de cada uno de los dos rectángulos?


131

SOLUCION

per (ABCD) = 2 per (EFGH)

(AB + BC) = 2 (2 (EF + FG))

AB . BC + EF . FG = 81

Busco distintos valores para satisfacer la segunda ecuación:

Ejemplo:

. 17 + 5 . 6 = 6 . 7 + 13 . 3 = 3 .7 + 10. 6 = 9 . 5 + 6 . 6 = 7 . 7 + 8 . 4 = 6 . 8 + 11 . 3 = 8 . 9 + 3 . 3

Veo que estas igualdades no satisfacen la primer ecuación hasta que probando obtengo

24 + 57 = 81

3 . 8 + 19 . 3 = 81

2 (3 + 8) = 19 + 3

Entonces reemplazando:

BC = FG = 3cm

AB = 19cm

EF = 8cm

171. Gabi tiene 32 fichas:

4 fichas tienen escrito el número "1",

4 fichas tienen escrito el "2",





4 fichas tienen escrito el "7" y

4 fichas tienen escrito el "8".


132

Gabi quiere armar 16 grupos de 2 fichas cada uno, de modo que no haya grupos repetidos y que cuando

sume los números de las fichas de cada grupo, el resultado sea siempre un número par.

¿Puede hacerlo?

Explica por qué.

SOLUCION

No siempre puede conseguir la consigna, porque para esto debe juntar:

2 fichas pares

2 fichas impares

Si suma una ficha par con otra impar el resultado es impar.

P + I = I

172. Tomás saca todas las hojas múltiplos de 7 de su cuaderno. Luego saca, de lo que quedó, todas las hojas

múltiplos de 5.

Finalmente, de lo que quedó, saca todas las hojas múltiplos de 3.

Después de todo esto, a Tomás le quedan 25 hojas en su cuaderno.

¿Cuántas hojas tenía inicialmente el cuaderno de Tomás?

SOLUCION

M7) 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 , 49 , 56 , 63 , 70 , 77 , 84 , 91 , 98

M5) 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 , 55 , 60 , 65 , 70 , 75 , 80 , 85 , 90, 95

M3) 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , 36 , 39 , 42 , 45 , 48 , 51 , 54 , 57 , 60 , 63 , 66 , 69 , 72 , 75 , 78

, 81 , 84 , 87 , 90 , 93 , 96 , 99

Estas son las supuestas hojas que sacó Tomás.

Quedaron 25 hojas:

orden de las hojas que quedaron 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

números impares 1 2 4 8 11 13 16 17 19 22 23 26 29

orden de las hojas que quedaron 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

números impares 31 32 34 37 38 41 43 44 46 47 52 53

El libro tenía 57 hojas.

173. ABCD rectángulo, 5 AB = 6 BC


133

M es un punto de CD tal que MC = BC

N es el punto medio de MB

¿Qué fracción del rectángulo ABCD representa el cuadrilátero AMCN?

SOLUCION

MC = BC

N punto medio de MB

5AB = 6BC

AD = BC

área (ABCD) = AB . BC = 6

5 (BC)2

CM + DM = AB =⇒ BC + DM = AB =⇒ DM = AB - BC = BC - BC = 1

5 (BC)

área (ADM) = 1

2 DM . AD =

1

2 (𝐵𝐶

5 . BC ) =

1

10 . (BC)2

Área X = Área (BCN) = (𝐵𝐶)

2 . (𝐵𝐶)

2 =

1

4 (BC)2

Área Y = Área (ABN) = 1

2 AB .

1

2 BC = =

1

2 . 6

5 BC .

1

2 BC =

3

10 (BC)2 .

Área pintada = Área (ABCD) - Área (ADM) - Área X - Área Y =

= 6

5 (BC)2 -

1

10 (BC)2 -

1

4 (BC)2 -

3

10 (BC)2 = (

6

5 - 1

10 - 1

4 - 3

10 ) (BC)2 =

11

20 (BC)2

Área (ABCD) = 6

5 (BC)2 −→ 100%

Área pintada = 11

20 (BC)2 −→ x%

6

5 −→ 1

11

20 −→ x ⇒ x =

11

20 .

5

6 =

11

24

El Área pintada representa 11

24 del rectángulo ABCD


134

174. Un rectángulo R de lado vertical de 3 cm se parte en cuatro rectángulos iguales de lado vertical de 3

cm.

Con estos cuatro rectángulos se arma un nuevo rectángulo T.

El perímetro de R es 18 cm más que el perímetro de T.

¿Cuánto mide el lado horizontal del rectángulo R?

SOLUCION

per (R) = 2 (x + 3)

per (R) = per (T) – 18

2 (x + 3) - 18 = 2 ( 𝑥

4 . 2 + 6)

2 (x + 3) - 18 = x + 12

2x - x = 12 + 18 - 6 −→ x = 24

per (R) = 2 (x + 3) = 2 . 27cm = 54cm

per (T) = 2 . ( 24

4 . 2 + 6) cm = 36cm

175. De los 9 puntos de la cuadricula que muestra la figura se eligen 4 con la siguiente propiedad:

"No hay 3 puntos de los 4 que estén sobre una misma recta".

¿De cuántas maneras se pueden elegir estos 4 puntos?


135

Explica por qué.

SOLUCION

A abde

acde acfg

adeh

aefg

aegh

abdf acdf

acfh adfh

aefh afgi

abef

acdh

achi

adfi

aegh

afhi

abeg

acdi

aceh

adhi

abdi abdh acef aceh

−→26 casos

B

bcde bcdi

bcfh

bdeg bdfi

befg bfgh

bcdf

bcef bcgh

bdei

bdgh befi

bfgi

bcde

bcei

bcgi

bdfg

bdgi

begh

bfhi

bcdh

bcfg bchi

bdfh

bdhi

begi −→ 27 casos

C cdeg cehi cdeh cfgh cdei cdfh

−→ 6 casos

D degh

dehi degi dfhi

dfgh dfgi −→ 6 casos

E efgh efgi efhi −→ 3 casos

En total hay 68 casos

176. Para que cada número mayor que 600.000 y menor que 1.000.000 se multiplican los dígitos.

Por ejemplo:


136

Número Producto de los dígitos

721231 −→ 84

603458 −→0

654322 −→1440

Escribe todos los números mayores que 600.000 y menores que 1.000.000 que tienen el producto de sus

dígitos igual a 343.

SOLUCION

343 = 73

los números pedidos deben contener

7 a b c d e

dos 7 y

tres 1

7 a b c d e

7 7 7 1 1 1

7 7 1 7 1 1

7 7 1 1 7 1

7 7 1 1 1 7

7 1 7 7 1 1

7 1 7 1 7 1

7 1 7 1 1 7

7 1 1 7 7 1

7 1 1 7 1 7

7 1 1 1 7 7

177. Aldo, Bruno y Carlos tienen, cada uno, un número distinto de figuritas.

Ninguno tiene más de 100 figuritas.

Si Aldo tuviera 11 veces lo que tiene más 3 figuritas, Bruno tuviera 9 veces lo que tiene más 7 figuritas y

Carlos tuviera 5 veces lo que tiene más 2 figuritas, los tres tendrán la misma cantidad de figuritas.

¿Cuántas figuritas tiene cada uno?

SOLUCION

A ≠ B ≠ C


137

X, y, z < 100

A) 11x + 3

B) 9y + 7

C) 5z + 2

Igualo de a dos y analizo que números pueden ser alguna solución posible.

Teniendo en cuenta estas “soluciones” verifico cual de todas ellas cumplen la tercera condición.

11x + 3 = 9y + 7 =⇒ 11x = 9y + 4

x = 5

7 (5z - 1)

x y x z

2 2 2 Q

20 24 20 Q

38 36 38 Q

56 68 56 Q

74 90 74 43

Así obtengo

(x, y, z) = (74, 90, 43)

178. Dibujo un rectángulo ABCD de 96 cm de perímetro con AB = 2 BC.

Trazo una paralela a AB y una paralela a BC que dividen al rectángulo ABCD en 4 rectángulos.

Llamo I al rectángulo que tiene un vértice en A y II al rectángulo que tiene un vértice en C.

Se quiere que I y II tengan lados de medidas enteras e igual perímetro.

Cambio la posición de las paralelas a AB y a BC de manera de obtener rectángulos I y II distintos pero que

tengan lados de medidas enteras e igual perímetro.

¿Cuántos rectángulos I y II pueden obtenerse?

¿Qué medidas tienen sus lados?


SOLUCION

2 (AB + BC) = 96cm

AB = 2BC


138

2 (2BC + BC) = 96cm =⇒ 6BC = 96cm =⇒ BC = AB = 32cm

2(AY + AX) = 2 (YB + XC)

AY + YB = 32 =⇒ YB = 32 - AY

AX + XC = 16 =⇒ XC = 16 - AX

2 (AY + AX) = 2 (32 - AY +16 - AX)

AY + AX = 32 - AY +16 - AX

2 (AY + AX) = 48 =⇒ AY + AX = 24

AX AY BX BY AX AY BX BY AX AY BX BY

1 23 15 9 6 18 10 14 11 13 5 19

2 22 14 10 7 17 9 15 12 12 4 20

3 21 13 11 8 16 8 16 13 11 3 21

4 20 12 12 9 15 7 17 14 10 2 22

5 19 11 13 10 14 6 18 15 9 1 23

179. En un tablero de 4 x 4 se llaman casillas vecinas las que tienen un lado común.

En este tablero de 4 x 4 Juan coloca una ficha en una casilla y escribe en esa casilla el número 1.

Una jugada consiste en mover la ficha hasta otra casilla que esté en su misma la o en su misma columna

pero que no sea vecina de la casilla en que está.

Cuando Juan mueve la ficha de una casilla a otra escribe, en la casilla de llegada, el número siguiente al que

escribió en la casilla que acaba de dejar libre.


139

♠ ♠ ♠ ♠

♠ ♠ ♠ ♠

♠ ♠ ♠ ♠

♠ ♠ ♠ ♠

Decidir si, jugando de esta manera es posible que Juan escriba todos los números del 1 al 16, uno en cada

casilla del tablero.

Si es posible, escribirlos.

Si no es posible, indicar por qué.

SOLUCION

No es posible el juego de Juan porque si empieza en una casilla puede llegar a la intermedia (abajo, arriba,

derecha o izquierda) o sea que completa 4 casillas y vuelve a la de origen.

Así se presentan estas 4 posibilidades:

180. Andrés escribió un número entero en cada círculo y después puso en cada cuadrado el resultado de

multiplicar los números que estaban en los dos círculos vecinos.

Algunos de los números se borraron.

Completa los cuadrados y círculos vacíos con los números que había escrito Andrés.

Explica cómo los encontraste.


140

SOLUCION

Verifico que A esté entre 85 y 136.

Entonces MCD (85, 136) = 17 =⇒ A = 17

Entonces B = 5

C = MCD (136, 120) = 8 =⇒ F = 15

E = 9F = 135

D = 9B = 45

181. Tomás tiene tres cajas: una roja, una verde y una azul, con bolitas.

Pasa un tercio de las bolitas de la caja roja a la caja verde.

Después, pasa un cuarto de las bolitas que hay ahora en la caja verde a la caja azul.

Por último pasa un décimo de las bolitas que hay ahora en la caja azul a la caja roja.

Cuando termina de hacer estos cambios tiene 18 bolitas en cada caja.

¿Cuántas bolitas tenía inicialmente en cada caja?

SOLUCION

R - 1

3

1

4 (V +

1

3 R)

1

10 ( 1

4 (V +

1

3 R) + A)

2

3 R +

1

10 ( 1

4 (V +

1

3 R) + A) = 18 −→ primer ecuación

Si la desarrollamos, queda:

4 (10 (18 - 2

3 R) - A) -

1

3 R = V

4 . (180 - 20

3 R – 10 A) -

1

3 R = V

720 - 80

3 R – 40 A -

1

3 R = V

V + 27R + 40A = 720 (1)

3

4 (V +

1

3 R) = 18 −→ segunda ecuación

3 (V + 1

3 R) = 72 =⇒ 3 V +R = 72 (2)

1

10 ( 1

4 (V +

1

3 R) + A) . 9 = 18 −→ tercer ecuación


141

1

4 (V +

1

3 R) = 20 - A =⇒ (V +

1

3 R)

1

3 R = 80 - 4A -V =⇒ R = 240 - 12A - 3V

3V + R + 12A = 240 (3)

Queda el sistema:

{𝑉 + 27𝑅+ 40𝐴 =720 (1)

3𝑉 + 𝑅 =72 (2)

3𝑉 + 𝑅+ 12𝐴 =240 (3)

Reemplazando (2) en (3):

3V + R = 72 =⇒ (3V + R)+ 12A = 240 =⇒ 72 + 12A = 240

A = 1

12 (240 – 72) =

168

12 = 14

Reemplazando en (1)

V + 27R + 40A = 720 =⇒ V + 27R + 56 = 720 =⇒ V + 27R = 664

Combinando con la segunda:

3V + R = 72 =⇒ R = 72 - 3V

V + 27R = 664

V - 81V = 664 – 1944

80V = 1280 =⇒ V = 1280

80 = 16

R = 72 - 3 . 16 = 24

(A, R, V) = (14, 24, 16)

182. Una hormiga camina por el borde de un plato de 8 lados iguales como el de la figura.

Cada lado del plato mide 14 cm.


142

La hormiga sale del vértice A y camina en el sentido que indica la flecha, siempre por el borde del plato.

Hace la primera parada a 6 cm del vértice A y después, cada 6 cm hace una parado.

En total hace 2000 paradas.

¿Cuántas veces para en el vértice A?

¿En qué otros vértices hace la misma cantidad de paradas que en A?

SOLUCION

14cm cada lado

per total = 8 . 14cm = 112cm

1 parada cada 6cm

2000 paradas −→ 12000cm

para en A −→ 12000

112 A = 107 veces

A B C D E F G H A

vuelta1 x x x

vuelta2 x x x

vuelta3 x x x

Pasa por A las vueltas múltiplo de 3

Lo mismo sucede en las paradas D y G

183. Esteban tiene más de 350 caramelos.

Hace paquetes de caramelos, poniendo en cada paquete la misma cantidad de caramelos.

Si pone 2 ó 3 ó 4 ó 5 ó 6 caramelos en cada paquete siempre le sobra un caramelo

En cambio, si pone 7 caramelos en cada paquete no le sobra ningún caramelo.

¿Cuál es la menor cantidad de caramelos que puede tener Esteban?

SOLUCION

mult(2)+1

mult(3)+1

mult(4)+1

mult(5)+1

mult(6)+1

mult(7)


143

x es impar y termina en 1

x > 350

Busco los mult (7) que cumplen las demás condiciones y analizo que pasa con lo pedido:

371 −→ mult (7), no mult (6) +1

441 −→ mult (7), no mult (6) +1

511 −→ mult (7), mult (6) +1, mult (5) +1, no mult (4) +1

581 −→ mult (7), no mult (6)+1

651 −→ mult (7), no mult (6)+1

721 −→ mult (7), es el número buscado

184. En la figura, ABC es un triángulo isósceles, DEF es un triángulo equilátero y ACDF es un rectángulo.

El perímetro del hexágono ABCDEF es 126 cm, el perímetro del pentágono ACDEF es 120cm y el perímetro

del triángulo ABC es 70 cm.

Cuál es la longitud de cada uno de los lados del hexágono ABCDEF?

SOLUCION

ABC isósceles

DEF equilátero


144

ACDF rectángulo

per (ABCDEF) = 126cm

per (ACDEF) = 120cm

per (ABC) = 70cm

AB + BC + CD + DE + EF + FA = 126

AC + CD + DE + EF + FA = 120

AB + BC + AC = 70

Reemplacemos valores iguales:

AB = BC −→ x

CD = FA −→ y

DE = EF = AC = DF −→ z

{

2𝑥 + 2𝑦+ 2𝑧= 1262𝑦+ 3𝑧= 120

2𝑥 + 𝑧= 70

Planteamos los determinantes:

∆ = 𝑑𝑒𝑡 (2 2 20 2 32 0 1

) = 8

∆𝑥 = 𝑑𝑒𝑡 (126 2 2120 2 370 0 1

) = 152

∆𝑦 = 𝑑𝑒𝑡 (2 126 20 120 32 70 1

) = 96

∆𝑧 = 𝑑𝑒𝑡 (2 2 1260 2 1202 0 70

) = 256

x = ∆𝑥

∆ = 152

8 = 19

y = ∆𝑦

∆ = 96

8 = 12


145

z = ∆𝑧

∆ = 256

8 = 32

185. Aldo y Bruno juntan figuritas.

Aldo tiene 3 figuritas distintas y Bruno tiene 8 figuritas distintas, todas distintas de las de Aldo.

Quieren cambiar figuritas de modo que Aldo tenga siempre 3 figuritas y Bruno tenga siempre 8 figuritas.

¿De cuántas maneras pueden hacerlo?

SOLUCION

A −→ (A1 , A2, A3)

B −→ (B1 , B2 , B3, B4, B5, B6 , B7 , B8)

Si A le da 1 figurita =⇒ 3 maneras

Si A le da 2 figuritas =⇒ 3 maneras

Si A le da 3 figuritas =⇒ 1 manera

Si B le da 1 figurita ⇒ C(8,1) = 8 maneras

Si B le da 2 figuritas ⇒ C(8,2) = 8!

2! .6! =

8 .7

2 = 28 maneras

Si B le da 3 figuritas ⇒ C(8,3) = 8!

3! .5! =

8 .7.6

6 = 56 maneras

Si combinamos los dos casos tenemos:

maneras posibles = 3. 8 maneras + 3 . 28 maneras + 56 maneras = 164 maneras

186. Agustina tiene que pintar cada uno de los cuadraditos de esta tira de modo que haya 3 de un color, 2

de otro y 1 de otro color distinto de los anteriores.

Puede usar los colores rojo, amarillo y verde.

No puede pintar dos cuadraditos vecinos de igual color.

¿De cuántas maneras distintas puede hacerlo?

SOLUCION

3x, 2y, 1z

C (3,6) + C (2,6) + C (1,6) = 6!

3!.3! +

6!

2!.4! +

6!

5!.1! =

6.5.4

6 + 6.5

2 + 6 = 20 + 15+ 6 = 41 maneras

La combinación (3, 2, 1) puede ser variando los colores rojo, amarillo, verde, o sea:


146

1R 2A 3V

1R 2V 3A

1A 2R 3V

1A 2V 3R

1V 2R 3A

1V 2A 3R

por cada combinación tengo 41 maneras, es decir existen 41 maneras . 6 combinaciones = 246 posibilidades.

187. En una competencia deportiva participan chicos de Argentina, Brasil, Paraguay y Uruguay.

En total hay 432 chicos.

El número de chicos de Paraguay es un tercio del número de chicos de Uruguay.

Si se duplicara el número de chicos de Argentina, en total habría 588 chicos.

Si de Uruguay s lo viniera la mitad de los chicos, la cantidad de chicos de Brasil y Uruguay ser a 241.

¿Cuántos chicos de cada país participan en esa competencia?

SOLUCION

A + B + P + U = 432

B + 𝑈

2 = 241

2A + B + P + U = 588

Cómo:

P =

A +241 - 𝑈

2 + 𝑈

3 + U = 432 ⇒ A +

5

3 U = 191

2A +241 - 𝑈

2 + 𝑈

3 + U = 588 ⇒ 2A +

5

3 U = 347

Igualando:

191 - A = 347 - 2A ⇒ A = 347 - 191 = 156

U = 3

5 (191 – A) =

6

5 (347 -2A)

P = 𝑈

23 = 21

3 = 7


147

U = 3

5 (191 – A) =

3

5 (191 – 156)= 21

Reemplazando, queda:

A + B + 4

3 U = 432

B + 𝑈

2 = 241

2A + B + 4

3 U = 588

Planteo el determinante ∆

∆ = 𝑑𝑒𝑡

(

1 1

4

3

0 11

2

2 14

3)

= -5

6

∆𝐴 = 𝑑𝑒𝑡

(

432 1

4

3

241 11

2

588 14

3)

= - 130

∆𝐵 = 𝑑𝑒𝑡

(

1 432

4

3

0 2411

2

2 5884

3)

= - 550

3

∆ 𝑈 = 𝑑𝑒𝑡 (1 1 4320 1 2412 1 588

) = - 35

A = ∆𝐴

∆ =

−130−5

6

= 156

B = ∆𝐵

∆ =

−550

3−5

6

= 220

U = ∆𝑈

∆ =

−35−5

6

= 42

(A, B, U) = (156, 220, 42)


148

P = 𝑈

3 =

42

3 = 14

188. Lucia tiene piezas de cartón todas iguales entre sí.

Cada pieza es un triángulo de lados iguales.

Cada lado mide un número entero de centímetros.

Si bordea todos los lados de todas las piezas de cartón con cinta, de un rollo de 2002 cm le sobran 4 cm.

¿Cuántas piezas de cartón puede tener Lucía?

Da todas las posibilidades e indica, en cada caso, ¿cuánto mide el lado?

SOLUCION

2002cm - 4cm = 1998cm

1998 2

999 3

333 3

111 3

37 37

1

per total = 1998cm

1 ∆ −→ 666cm cada lado




9∆ −→ 74cm cada lado




222∆ −→ 3cm cada lado



189. Juan tiene una birome y 7 lápices todos de distintos colores.


149

Como perdió su cartuchera decide distribuirlos en los dos bolsillos de su campera.

Si pone al menos un lápiz en cada bolsillo, ¿de cuántas maneras puede guardar la birome y los 7 lápices?

SOLUCION

B ∧ L1, L2, L3, L4 , L5 , L6, L7

B ∧ 3L= C(7,3) = 7!

4!.3! = 7.6.5

3.2 = 35

Puede haber 35 combinaciones distintas para cada bolsillo =⇒ 70 posibilidades

190. En el cuadrado grande se marca sobre un lado el punto medio M y se trazan los segmentos que unen M

con los vértices opuestos.

Los puntos medios de estos segmentos son R y S. PQRS es un cuadrado.

Se repite este procedimiento dos veces.

¿Qué fracción del cuadrado grande representa la zona sombreada?

SOLUCION

Sea:

SR = 1

2 AB = FM

EG= IF = 1

4 AB

HJ = KJ = 1

8 AB

área (SRM) = 1

2 (SR . FM) =

1

2 (1

2 AB)2 =

1

8 (AB)2

área (EFG) == 1

2 (EG . IF) =

1

2 (1

4 AB)2 =

1

32 (AB)2

área (SRM) == 1

2 (HJ . KI) =

1

2 (1

8 AB)2 =

1

128 (AB)2


150

área (SRM) + área (EFG) + área (SRM) = 1

8 (AB)2 +

1

32 (AB)2 +

1

128 (AB)2 =

16+4+1

128 (AB)2 =

21

128 (AB)2

191. Un coleccionista de estampillas inició su colección en el año 1999.

Tenía estampillas americanas y europeas.

En 2000, duplicó la cantidad de estampillas americanas que tenía el año anterior; duplicó la cantidad de

estampillas europeas que tenía el año anterior y después vendió 8 europeas.

En 2001, duplicó la cantidad de estampillas americanas que tenía el año anterior; triplicó la cantidad de


Al finalizar 2001 tenía la misma cantidad de estampillas americanas que europeas.

En 2002, duplicó la cantidad de estampillas americanas que tenía el año anterior; cuadruplicó la cantidad de


Al finalizar el 2002 tenía en total 618 estampillas.

¿Con cuántas estampillas de cada clase inició su colección en el año 1999?

SOLUCION

1999 −→ A ∧ E

2000 −→ 2A + 2E - B

2001

i) 4A + 3 (E - 8) - 60 =⇒ A = E

ii) 6E - 24 - 60 = 6E - 84

De i) e ii) 4A = 6E - 84

2002

8A + 24 86E - 84) - 30 = 618

8A + 24E = 618 + 336 + 30 = 984 8 (A + 3E) = 984 =⇒ A + 3E = 123

Quedan las ecuaciones:

{−4𝐴 + 6𝐸= 84𝐴 + 3𝐸= 123

∆ = det (−4 6 1 3

) = -18

∆𝐴 = det (84 6 123 3

) = -486

∆𝐸 = det (−4 84 1 123

) = -576

A = ∆𝐴

∆ =

−486

−18 = 27

B = ∆𝐵

∆ =

−576

−18 = 32


151

192. Se quieren colocar los números 1- 2- 3- 4- 5- 6 - 7- 8 en los vértices del cubo, de modo que la suma de

los números que hay en los vértices de cada una de las caras sea siempre la misma.

Muestra cómo hacerlo.

SOLUCION

Cada vértice (1, ... , 8)

Cada cara debe sumar 18

Si en una cara coloco (3, 4, 5, 6) =⇒ en la cara opuesta (1, 2, 7, 8)

Vértices que suman 18:

(1, 4, 6, 7), (2, 3, 5, 8), (4, 5, 8, 1), (2, 4, 5, 7), (1, 3, 6, 8), (2, 3, 6, 7)

193. María tiene un rompecabezas de piezas rectangulares, una pieza de cada tamaño.

Ordenadas de menor a mayor, la primera tiene 2 cm de base y 3 cm de altura; la segunda tiene 2 cm de base

y 4 cm de altura; la tercera tiene 2 cm de base y 5 cm de altura y así sucesivamente.

Las bases son todas de 2 cm y las alturas aumentan 1 cm cada vez.

Las pone en escalera una a continuación de otra, así:


152

a) Con las 100 primeras piezas arma una figura, ¿qué perímetro tiene esta figura?

b) Poniéndolas en el mismo orden, ¿es posible que María arme una figura de 2004 cm de perímetro?

Si es posible, ¿cuántas piezas necesita?

Si no es posible, explica por qué.

SOLUCION

Per fig = 2 (100 . 2cm) + 2. (3cm + 99cm) = 40cm + 204cm = 604cm

Sea x la cantidad de piezas necesarias.

Per fig = 2004cm

4x + 2 (3cm + x + 1cm) = 2004cm

6x = 2000cm =⇒ 3x = 1000cm

No es posible pues 1000 no es múltiplo de 3.

194. En febrero, un librero compró 120 cajas de diccionarios; por cada dos cajas recibio un diccionario de

regalo.

Cada caja contiene una docena de diccionarios.

Durante el mes de marzo vendió las tres quintas partes de todos los diccionarios que tenía, cada uno a un

tercio más de lo que había pagado por cada uno de los que compró.

En abril vendió los restantes diccionarios, cada uno a un tercio menos de lo que había pagado por cada uno

de los que compró.

En total ganó $ 5760.

¿Cuánto le había costado cada caja de diccionarios?

SOLUCION

compró −→ 120 cajas −→ precio de compra x

regalo −→ 60 cajas −→ ganancia : $5760

venta −→ 180 cajas

(venta 1) −→ 3

5 . 180 cajas ⇒ 108 cajas .

4

3 x = 144x

(venta 1) −→ 2

5 . 180 cajas ⇒ 72 cajas .

2

3 x = 48 x


153

144x + 48x = $5760 + 120x

192x - 120x = $5760 ⇒ x = $ 5760

72 = $80

precio de compra −→ $80 por caja

(venta 1) ⇒ 144x = 144 . $80 = $11520

(venta 2) ⇒ 48x = 48 . $80 = $3840

total venta −→ $15360

195. En la figura algunos círculos están conectados.

Inés tiene 3 lápices de colores: uno azul, uno verde y uno rojo.

Quiere colorear cada círculo de la figura con un color, con la condición de que dos

círculos que estén conectados no tengan el mismo color.

¿Cuántos diseños distintos puede obtener Inés?

SOLUCION

A, V, R

12345 12345 12345 12345 12345 12345

V RRAR V AARA AV V RV ARRV R RAAV A RV V AV

V RRAV V AARV AV V RA ARRV A RAAV R RV V AR

V RRV A V AAV R AV V AR ARRAV RAARV RV V RA

V RRV R V AAV A AV V AV ARRAR RAARA RV V RV

V RAV A V ARV R AV RAR ARV AV RAV RV RV ARA

V RAV R V ARV A AV RAV ARV AR RAV RA RV ARV

V RARA V ARAR AV RV R ARV RV RAV AV RV AV A

V RARV V ARAV AV RV A ARV RA RAV AR RV AV R

Hay 48 combinaciones posibles.

196. Un turista quiere viajar 20 días al Noroeste Argentino, visitando s lo las ciudades de Salta y Jujuy.

El viaje lo hará en avión.

Las tarifas de los hoteles son diarias.

Si permanece en Salta 5 ó más días, en el hotel le rebajan un quinto de la tarifa.


154

Entre pasajes y hotel gastaría:

$ 2100 si se queda en Salta 4 días;

$ 2035 si se queda en Jujuy 15 días;

$ 2070 si se queda igual cantidad de días en cada ciudad.

¿Cuál es la tarifa diaria del hotel de Jujuy?

¿Cuál es la tarifa diaria del hotel de Salta?

¿Cuánto pagó por el pasaje de avión?

SOLUCION

{2𝑃 + 4𝑆+ 16𝐽= 21002𝑃 + 4𝑆+ 15𝐽= 2035

De aquí: J = $65

{2𝑃 + 4𝑆+ 16𝐽= 21002𝑃 + 8𝑆+ 10𝐽= 2070

Reemplazando J

{2𝑃 + 4𝑆= 10602𝑃 + 8𝑆= 1420

Igualando:

$1060 - 4S = $1420 - 8S

4S = $1420 - $1060 =⇒ 4S = $360 =⇒ S = $90

2P = $1060 - $360 = $700 =⇒ P = $350

(P, S, J) = ($350, $90, $65)

197. En un triángulo equilátero se divide cada lado en partes iguales, se trazan las paralelas a los lados y los

triangulitos que resultan se pintan como se ve en las figuras:

Una hormiga recorre el borde del triángulo grande y los bordes de cada uno de los triangulitos pintados, sin

pasar dos veces por ningún segmento.

Si la longitud del camino que recorre la hormiga es igual a 6 veces el perímetro del triángulo grande, ¿en

cuántas partes se dividió el lado del triángulo grande?

¿Cuántos triangulitos quedaron pintados?

SOLUCION


155

per total = 6. per (ABC)

AB = BC = CA = 18AB

per interior = 5 . per (ABC)

3 . ∑ 𝑥 𝑛1 = 15AB

∑ 𝑥 𝑛1 = 5AB ⇒ x =

1

5 ∑ 𝑥 𝑛1

x −→ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

∑𝑥 −→ 1 , 3 , 6 , 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55

3 . ∑𝑥 + 3 = 18x

3 . 45 + 3 . 9 = 18 . 9 =⇒ x = 9

198. Al concierto asistieron 120 personas entre hombres, mujeres y niños.

Recaudaron $ 1200 por la venta de entradas.

Los hombres pagaron $ 50, las mujeres pagaron $ 20 y los niños, $1.

El total de adultos que concurrieron era un tercio del número de niños.

¿Cuántos hombres, mujeres y niños estuvieron en el concierto?

SOLUCION

{𝐻 + 𝑀+ 𝑁= 12050𝐻 + 20𝑀+ 𝑁= 1200

H + M = 1

3 N ⇒ N = 3H + 3M

Queda el siguiente sistema:

{𝐻 + 𝑀+ 3𝐻 +3𝑀 = 120

50𝐻 + 20𝑀+ 3𝐻 +3𝑀 = 1200

Es semejante a:

{𝐻 + 𝑀= 30

53𝐻 + 23𝑀= 1200

∆ = det (1 1 53 23

) = -30

∆𝐻 = det (30 1

1200 23) = -510

∆𝑀 = det (1 30 53 1200

) = -390

H = ∆𝐻

∆ =

−510

−30 = 17

M = ∆𝑀

∆ =

−390

−30 = 13


156

N = 3 . (H + M) = 3 . (17 + 13) = 90

(H, M, N) = (17, 13, 90)

199. Superponiendo rectángulos iguales de cartulina, Camila arma la figura que se muestra.

En cada rectángulo la base es el doble de la altura.

Los lados de los rectángulos superpuestos se cortan en sus puntos medios.

El perímetro de la figura que se muestra es de 30 cm.

Siguiendo este procedimiento, Camila arma una figura con 10 de estos rectángulos.

¿Qué perímetro tiene la figura que armó Camila?

¿Podrá armar, con este procedimiento, una figura de 2006 cm de perímetro?

Si es posible, indica Cuántos rectángulos debe utilizar.

Si no es posible, explica por Qué.

SOLUCION

b = 2a

per fig = 30cm

2 . (5

2 b +

5

2 a) = 30cm

b + a = 6cm , si b = 2a =⇒ 2a + a = 6cm

3a = 6cm =⇒ a = 2cm , b = 4cm

a) figura con 10 rectángulos

per fig = (r + 1) . (b + a) = (10 + 1) . (4cm + 2cm) = 66cm

b) per fig = 2006 cm

es imposible porque 2006 no es múltiplo de 6.

200. En la figura todos los triángulos son equiláteros.

El perímetro de cada rectángulo es el cuádruple del perímetro de un triángulo pequeño.

El triángulo grande tiene 90 cm de perímetro.


157


¿Es posible dibujar una figura como esta que tenga 2007 cm de perímetro, de modo que todos los triángulos

sean equiláteros, el perímetro de cada rectángulo sea el cuádruple del perímetro de un triángulo pequeño y

todos los lados tengan longitudes enteras?

Si es posible, indicar la longitud del lado del triángulo grande.

Si no es posible, explicar por qué.

SOLUCION

per (rectángulo) = 4 . per (∆)

per (∆) = 90cm

per (fig) = 2 . (a + b) = 12a =⇒ 2a + 2b = 12a =⇒ 2b = 10a

b = 5a =⇒ a = 1

5 b

3b = 90cm =⇒ b = 30cm =⇒ a = 6cm

2 . (a + b)= 2 . (6cm + 30cm) = 72cm

per 4∆ = 4 . 3a = 4 . 3 . 6cm = 72cm

a) per fig = 6a + 3b = 3 . (2a + b) = 3 . (2 . 6cm + 30cm) = 126cm

b) 6a + 3b = 2007cm

2a + b = 669cm

Si a = 1

5 b ,

1

5 b + b = 669 cm ⇒

7

5 b = 669cm

El caso b = 5

7 .669 cm es imposible pues 2007 no es múltiplo de 7


158

201. En la escuela los alumnos de quinto, sexto y en séptimo son, en total, 349.

En séptimo grado hay 15 alumnos más que en quinto grado.

La tercera parte de los de quinto, la cuarta parte de los de sexto y las dos terceras partes de los de séptimo,

estudian inglés.

La mitad de estos están en nivel avanzado.

En las clases de inglés de nivel avanzado, hay en total 64 chicos de los tres grados.

¿Cuántos chicos hay en quinto grado, cuántos en sexto y cuántos en séptimo?

SOLUCION

Sean:

x = alumnos de 5to grado

y = alumnos de 6to grado

z = alumnos de 7mo grado

x + y + z = 349

z = x + 15

1

3 x +

1

4 y +

2

3 z = 128

Escrita de otra manera:

x + y + z = 349

-x + z = 15

1

3 x +

1

4 y +

2

3 z = 128

Calculamos el determinante ∆

∆ = 𝑑𝑒𝑡 (

1 1 1−1 0 11

3

1

4

2

3

) = 1

2

∆𝑥 = 𝑑𝑒𝑡 (

349 1 115 0 1

1281

4

2

3

) = 69

2 ⇒ x =

∆𝑥

∆ = 69

∆𝑦 = 𝑑𝑒𝑡 (

1 349 1−1 15 11

3128

2

3

) = 98 ⇒ y = ∆𝑦

∆ = 196

∆𝑧 = 𝑑𝑒𝑡 (

1 1 349−1 0 151

3

1

4128

) = 42 ⇒ z = ∆𝑧

∆ = 84


159

202. En cada punto hay que escribir un número del 1 al 12, sin repeticiones, de manera que la suma de los

cuatro números de cada una de las seis l neas sea la misma.

Ya hay cinco números ubicados (1, 4, 6, 8 y 9).

Ubicar los siete números que faltan.

SOLUCION

Tengo que completar la gráfica usando del 1 al 12 sin respetar los números dados.

Marco los ya usados y analizo cada lado de los dos triángulos que se cruzan.

a + b + c + 1

b + c + 12

c + d + g + 4

a + 23

d + f + 10

e + f + g + 6

Cada ecuación debe ser igual a las otras.

Supongo

a = 3 =⇒ a + 23 = 26

b + c + 3 + 1 = 26 =⇒ b + c = 22 =⇒ b = 12 ∧ c = 10

b + e = 14 =⇒ e = 2

c + d + g = 22 =⇒ d + g = 12 =⇒ d = 5 ∧ g = 7

d + f = 16 =⇒ f = 11

e + f + g = 20 =⇒ 2 + 7 + 11 = 20 (satisface la ecuación)


160

Entonces queda:

𝑎 = 3 𝑒 = 2

𝑏 = 12 𝑓 = 11

𝑐 = 10 𝑔 = 7

𝑑 = 5

203. A un congreso asistieron 120 participantes en total.

Por la mañana ocuparon los salones A, B y C.

Por la tarde: la mitad de los participantes que había a la mañana en el salón A pasaron al salón B, la quinta

parte de los participantes que había a la mañana en el salón B pasaron al salón C y la tercera parte de los

participantes que había a la mañana en el saló n C pasaron al salón A. A pesar de estos movimientos, el

número de participantes que había en cada salón a la tarde fue el mismo que a la mañana.

¿Cuántos participantes hubo en cada salón?

SOLUCION

A + B + C = 120

(1

2 A +

1

3 C) + (

1

2 A +

4

5 B) + (

1

5 B +

2

3 C) = 120

𝐶

3 = 𝐴

2 = 𝐵

5

15A = 6B = 10C

A + 5

2 A +

3

2 A = 120

5A = 120 =⇒ A = 24

B = 5

2 A =

5

2 .24 = 60

C = 3

2 A =

3

2 .24 = 36

204. ABCD es un rectángulo. M es punto medio de CD y N es punto medio de AB.

El rectángulo PQMD ocupa la sexta parte del rectángulo ABCD.

El rectángulo NBSR ocupa la octava parte del rectángulo ABCD.

El perímetro de PQMD es 92 cm.

El perímetro de NBSR es 84 cm.


¿Cuál es el perímetro de cada uno de los rectángulos de la figura?


161

SOLUCION

per (PQMD) = 92cm

PQ + QM = 46cm

per (NBSR) = 84cm

NB + BS = 42cm

DM . DP = 1

6

NB . BS = 1

8

DM = NB =⇒ DM = 1

6𝐷𝑃 =

1

8𝐵𝑆

BS = 6

8 DP =

3

4 DP

=)⇒ DP =

4

3 BS

46 - DP = 42 - BS

46 + BS = 42 + DP =⇒ BS = DP - 4 ∧ DP = BS + 4

DP - 4 = 3

4 DP =⇒

1

4 DP = 4 =⇒ DP = 16 ∧ BS = 12

AN = NB = 30

per (ABCD) = AB + BC + CD + DA = 2 . (AB + BC)

AB = 2 . NB ∧ BC = 4 . BS

2 . (AB + BC) = 2 . (2NB + 4BS) = 4 . (NB + 2BS) = 4 . (30cm + 2 . 12cm) = 4 . 54cm = 216cm

per (CMRS) = 2 . (RS + CS) = 2 . (NB + 3

4 BS) = 2 . (30cm + 3 . 12cm) = 132cm

per (ANQP) = 2 (AN + NQ) = 2 . (AN + 2DP) = 2 . 830cm + 2 . 16cm) = 124cm


162

205. Javier hace encuestas departamento por departamento.

En un edificio de 4 pisos, con 3 departamentos por piso, debe elegir 10 departamentos para hacer su

encuesta.

¿De cuántas maneras distintas puede elegirlos?

Explica cómo las contaste.

SOLUCION

C(12,10) = 12!

10! .2! = 12.11

2 = 66

En cada encuesta considero a todos pero elimino 2.


163

(1A,1B) (1A,4C) (1B,4C) (1C,4C) (2B,3A) (2C,4C) (3C,4A)

(1A,1C) (1B,5C) (1C,2A) (2A,2B) (2B,3B) (3A,3B) (3C,4B)

(1A,2A) (1B,2A) (1C,2A) (2A,2C) (2B,3C) 3A,3C) (3C,4C)

(1A,2B) (1B,2B) (1C,2B) (2A,3A) (2B,4A) 3A,4A) (4A,4B)

(1A,2C) (1B,2C) (1C,2C) (2A,3B) (2B,4B) (3A,4B) (4A,4C)

(1A,3A) (1B,3A) (1C,3A) (2A,3C) (2B,4C) (3A,4C) (4B,4C)

(1A,3B) (1B,3B) (1C,3B) (2A,4A) (2C,3A) (3B,3C)

(1A,3C) (1B,3C) (1C,3C) ((2A,4B) (2C,3B) (3B,4A)

(1A,4A) (1B,4A) (1C,4A) (2A,4C) (2C,3C) (3B,4B)

(1A,4B) (1B,4B) (1C,4B) (2B,2C) (2C,4A) (3B,4C)

206. Juan y 4 amigos van a una excursión de todo el día.

Por el pasaje, el almuerzo y la merienda cada uno pagó en total $ 175.

Cada chico tiene un vale por medio almuerzo y otro vale por media merienda.

Si Juan usa el vale del almuerzo y los amigos usan el vale de la merienda, entre todos gastan $ 45 más que si

Juan usa el vale de la merienda y los amigos usan el vale del almuerzo.

El pasaje cuesta una vez y media lo que cuestan el almuerzo y la merienda juntos.

¿Cuánto cuesta cada pasaje, cuánto cada almuerzo y cuánto cada merienda?

SOLUCION

P + A + M = $175

$45 + 1

2 A + 2M =

1

2 M + 2A

$45 = 3

2 A -

3

2 M =⇒ 3A - 3M = $90 =⇒ A - M = $30

P = 3

2 (A + M) =⇒ 2P - 3A - 3M = 0

Queda el siguiente sistema de ecuaciones:

{𝑃 + 𝐴+ 𝑀= 175

𝐴− 𝑀= 302𝑃 − 3𝐴− 3𝑀= 0


∆ = 𝑑𝑒𝑡 (1 1 10 1 −12 −3 −3

) = -10


164

∆𝑃 = 𝑑𝑒𝑡 (175 1 130 1 −10 −3 −3

) = -1050

∆𝐴 = 𝑑𝑒𝑡 (1 175 10 30 −12 0 −3

) = - 500

∆𝑀 = 𝑑𝑒𝑡 (1 1 1750 1 302 −3 0

) = -200

P = ∆𝑃

∆ =

−1050

−10 = 105

A = ∆𝐴

∆ =

−500

−10 = 50

M = ∆𝑀

∆ =

−200

−10 = 20

(P, A, M) = ($105, $50, $20)

207. En la figura: ABCD es un cuadrado. DEHG; DEIJ y FCJI son rectángulos.

Perímetro de DEHG = 110 cm

Perímetro de DEIJ = 262 cm

AD = 4 DE

DG = JC

¿Cuál es el perímetro del cuadrado ABCD?

SOLUCION

ABCD cuadrado

per (DEHG) = 110cm

per (DEIJ) = 262cm

AD = 4DE


165

DG = JC

2 . (DE + EH) = 110cm =⇒ DE + EH = 55cm

2 . (DE + EI) = 262cm =⇒ DE + EI = 131cm

EI = EH + HI

55cm - EH = 131cm - EI =⇒ EI = (131cm - 55cm) + EH = 76cm + EH =⇒ HI = 76cm

Sean:

DG = JC = EH −→ z

HI = GJ −→ y

DE = GH = JI −→ x

Queda el sistema de ecuaciones:

2z + y = 4x

x + z = 55cm

x + y + z = 131cm

Como:

4x - 2x = 76cm

2x -z = 38cm

x + z = 55cm


∆ = det (2 −1 1 1

) = 3

∆𝑥 = det (38 −1 55 1

) = 93

∆𝑧 = det (2 38 1 55

) = 72

x = ∆𝑥

∆ =

93

3 = 31cm

z = ∆𝑧

∆ =

72

3 = 24cm

(x, y, z) = (31cm, 76cm, 24cm)

208. En el perchero de una tienda hay 8 per fichas para colgar 8 remeras del mismo modelo y color pero de

distintos tamaños: hay 3 remeras pequeñas, 3 remeras medianas y 2 remeras grandes.

Si no se quieren poner remeras de igual tamaño en per fichas consecutivas, ¿de cuántas maneras distintas

se pueden colgar las 8 remeras?

SOLUCION


166

3P, 3M, 2G

En este caso se trata de permutaciones con repetición ya que son los diferentes grupos que pueden

formarse con una cantidad de elementos (8) de modo que dos grupos son diferentes entre s porque sus

elementos están en distinto orden.

Para no equivocarnos porque puede haber muchos grupos distintos y podemos olvidarnos de alguno, existe

una fórmula que lo verifica:

PR

Donde:

N: es el total de los elementos n: es la cantidad de elementos de cada grupo.

En nuestro caso:

PR

Podemos colgar las remeras de 560 maneras distintas.

209. Una empresa transportó 6240 toneladas de alimentos utilizando, siempre a su máxima capacidad, 5

camiones grandes y 10 camiones pequeños.

Los camiones grandes tienen 4 toneladas de capacidad y los pequeños, 1 tonelada y media.

Cada camión hizo siempre el mismo número de viajes por día.

Los camiones pequeños hicieron un viaje más por día que los camiones grandes.

En cierta cantidad de días la empresa transportó 5

8 del total. El resto lo transportó en 6 días menos.

¿Cuántos días en total tardó la empresa para transportar todos los alimentos?

¿Cuántos viajes por día hizo cada camión grande y Cuántos cada camión pequeño?

SOLUCION

TOTAL −→ 6240 ton

5 camiones grandes −→ 4ton

10 camiones pequeños −→ 3

2 ton

5

8 TOTAL =

5

8 . 6240ton = 3900 ton

x días −→ 3900 ton

(x - 6) días −→ 2340ton

x . 2340ton = (x - 6) . 3900ton

2340x = 3900x - 23400ton =⇒ 23400ton = 1560x

x = 23400ton

1560𝑡𝑜𝑛 = 15


167

20x + 15y = 260ton

4x + 3y = 52ton

Como x = y - 1

4 (y - 1) + 3y = 52ton

7y = 56ton =⇒ (x , y) = (7, 8)

210. ABEF es un rectángulo, AB = 2 BE.

CDE es un triángulo isósceles; CD=DE.

Los triángulos BCD y FED son iguales, BC = FE.

Los triángulos BCE y CDE tienen igual perímetro.

El perímetro de ABDF es 288 cm.

¿Cuál es el perímetro de ABCDF?

¿Cuál es el perímetro de BCD?

SOLUCION

AB = 2BE

CD = DE BCD = FED =⇒ BC = FE

per(BCE) = per(CDE)

per(ABDF) = 288cm

¿per (ABCDF)?

¿per (BCD)?

BC + CE + BE = CD + DE + CE

AB + BD + DF + FA = 288cm

BC = FE = AB = 2BE


168

2BE + CE + BE = 2DE + CE =⇒ 3BE = 2DE

2BE + BE + DE + DF + BE = 288cm

4BE + DE + DF = 288cm

DF = √(𝐷𝐸)2 + 4 (𝐵𝐸)2 = 5

2 BE

4 BE + 3

2 BE + √(

3

2𝐵𝐸)2 + 4 (𝐵𝐸)2 = 288 cm

11

2 BE +

5

2 BE = 8 BE = 288cm ⇒ BE =

288

8 cm = 36 cm

per (BCD) = BC + CD + BD

BC = FE = AB = 2BE

CD = DE = 3

2 BE

BD = BE + DE = 5

2 BE

Entonces:

per (BCD) = 2BE + 3

2 BE+

5

2 BE = 6BE = 6 . 36cm = 216cm

per (ABCDF) = AB + BC + CD + DF + FA = 2BE + 2BE + 3

2 BE+

5

2 BE + BE = 9BE = 9 . 36cm = 288cm

211.a) Juan escribe los números del 1 al 12, uno en cada casilla del tablero de manera que la suma de los 4

números de cada fila es la misma para las 3 filas.

Muestra una manera de hacerlo.

¿De cuántas maneras se puede completar la primera fila empezando con el 12 y con los otros tres números

ordenados de mayor a menor?

Para cada una, muestra un tablero posible.

b) ¿Podrá Juan poner los 12 números en el tablero de manera que la suma de los 3 números de cada

columna sea la misma para las 4 columnas?

Si es posible, muestra cómo.

Si no es posible, explica por qué.


169

SOLUCION

a) b) Lo pedido es imposible ya que 78 = ∑ 𝑥12

1 no es múltiplo de 4.

problemas de omñ – nivel 1 - omec · soluciones omÑ – nivel 1 4 1. ana, ceci y gabi son...

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