problemas de razon de cambio
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Problemas de razon de Cambio Problema de la sombra
Paulina, de
de alto, corre en la noche alejandose de un poste a
la velocidad de el foco del poste que ilumina a Paulina esta a de altura. A medida que se aleja del poste la sombra de lella crece (es verdad? o realmente decrece?). Contestemos las siguientes preguntas a.- A qu velocidad cambia el largo de la sombra de Paulina ? b.- El extremo de la sombra se aleja tambin del poste, la velocidad de este alejamiento es la misma velocidad de la nia? o es la misma velocidad dada como respuesta a la pregunta anterior?.
Sea:
la distancia de la nia al poste en el instante
el largo de la sombra de la nia en el tiempo
Entonces la velocidad de la nia es
y en trmino de estas variables,
lo que buscamos para contestar la primera pregunta es
Lo que debemos hacer es encontrar una relacin en donde aparezca y despus derivar.
Como los tringulos y son semejantes (tienen los mismos ngulos), se da la siguiente relacin entre los lados
y de esta forma tenemos
Que es lo mismo que
derivando a ambos lados
La pregunta b se refiere a la derivada de la suma y como conocemos cada derivada, la respuesta es no es igual a ninguna de las dos sugeridas, la velocidad del extremo de la sombra es
Supongamos ahora que Pedrito es el que corre, pero a Cul corre ms rpido, Pedrito o la nia?
Si Pedrito mide del poste?
A qu velocidad el extremo de la sombra se aleja
Problema de la escalera Una escalera de metal con ruedas en su base esta apoyada en una muralla de tal forma que su extremo superior esta a del suelo. El
bloqueo de sus ruedas le impide moverse. La escalera mide de largo y es pesada de modo tal que cuando se desbloquean las ruedas la escalera se desliza en la muralla moviendose su extremo superior a la velocidad de Cuando esta a un metro del suelo a qu velocidad se mueven las ruedas en ese instante? Para contestar esa pregunta necesitamos definir algunas variables y hacer un diagrama del problema El diagrama del problema es:.
Sean:
la distancia de las ruedas a la muralla y la distancia del extremo superior de la escalera al suelo.
Por lo tanto
y lo que buscamos es
en
que es el
instante en que la escalera est a metro.
del suelo, es decir,
Como se ve, la muralla con la escalera y el suelo en todo tiempo forman un tringulo rectngulo asi tenemos el teorema de Pitgoras,
derivando en ambos lados de la igualdad (y usando la regla de la cadena) tenemos
y por lo tanto en el instante
Usando
podemos obtener
Por lo tanto las ruedas se deslizan a la velocidad de
Por qu nos di una respuesta negativa?
Por el sistema de referencia elegido; como la distancia disminuye, la velocidad de caida de la escalera debera ser negativa, es decir, en vez de haber puesto en Problema de la Sombra 2 deberiamos haber puesto
En el cruce de dos calles, que tienen ancho cada una, hay un poste de 3 metros de alto en una de las esquinas. En la noche Pedrito,
de , camina a alejandose de la esquina por la vereda contraria al poste y a un metro de la orilla de la calle. A qu velocidad se alarga la sombra de Pedrito cuando este se encuentra a de la orilla de la calle que recien cruz?
Como podemos ver en el diagrama este se puede simplificar a un tringulo rectngulo como sigue
Sea
distancia de Pedrito a la base del poste ( largo de la sombra de Pedrito ( )
)
distancia de Pedrito a la calle transversal a la calle donde camina ( )
Sea
el instante que Pedrito esta a
Qu buscamos ?,El valor de
,
Qu conocemos? Como tenemos dos tringulos rectngulos semejantes
Por lo tanto necesitamos conocer rectngulo, tenemos
Como AFC forma un tringulo
derivado
asi, en el instante
En el instante
usando
tenemos
De esta forma logramos
y as,
El globo de Pedrito
,En una carretera un auto va a en el interior va Pedrito con un globo con helio. Pedrito suelta el globo y este sube en forma perpendicular a globo despus de Veamos a qu velocidad se separa Pedrito del segundos.
Esquema del problema
Sea
el instante que Pedrito suelta el globo y sea
la
distancia entre el globo y el auto, la distancia del auto al punto de recto.
la distancia del globo al suelo, , donde se forma un ngulo
Qu buscamos?. Respuesta :
Qu tenemos?. Respuesta :
en particular
el cual esta en kilmetros por hora, asi que debemos cambiarla a metros segundos
Como
forma un tringulo rectngulo
por lo tanto necesitamos
despus de
segundo el globo esta a
metros
despus de metros y utilizando en
segundo el auto est a
De esta forma tenemos toda la informacin para ponerla en
La Teletn El crculo de la figura representa un escenario redondo, de radio 3 metros, ubicado al centro del Estadio Nacional y que gira a revoluciones por minutos. Don Francisco camina desde el centro del escenario (punto ) en forma recta hasta el punto del escenario La recta forma un ngulo ubicado a la orilla con la recta que une
con la ubicacin de Paula que esta en la galeria (punto ) a docientos metros del centro. A que velocidad varia la distancia entre Don Francisco y Paula si Don Francisco camina a ?.
Sea
la distancia entre Don Francisco y Paula en el tiempo
la distancia de Don Francisco al centro del escenario en el tiempo asi
el ngulo que forma la ruta de Don Francisco en el escenario con la recta OP.
Lo que buscamos es llega a
donde
es el instante que Don francisco
Como la ubicacion de Don Francisco, Paula y el centro del escenario en todo tiempo forman un tringulo, usaremos la ley del coseno
Derivando en
respecto al tiempo nos queda
Como en
y
utilizando
lograremos
De esta forma
nos queda
Problema del tren a vapor: En la figura hay una varilla de largo L fija (en el punto B),en el aro de una rueda de radio R el otro extremo de la varrilla (A) se mueve en forma horizontal (eje x). La rueda rota fija en su centro O contra el sentido del reloj a revoluciones por segundo
Veamos la velocidad del movimiento del extremo A.
Sea
la distancia desde el centro O hasta el punto A (OA) en el
tiempo . Con esta notacion podemos decir que buyscamos
Sea
el ngulo que forma el eje horizontal con el radio que une el
centro con el extremo B de la varilla en el tiempo
Utilizando la ley del coseno en el tringulo
derivando en ambos lados (no olvidar la derivada del producto y la regla de la cadena)tenemos
Qu ralacion deben cumplir
y
En que posicin del ngulo
se tiene mayor velocidad?
En que momento se tiene velocidad
?
Con un mismo Las velocidaddesaumenrtan o disminuyen si la rueda es mas grande?. Problema de arena
En un estanque en forma de cono circular recto de radio y altura se deja caer arena de tal forma que a medida que se llena el estanque se forma dos conos iguales.
Si se deja caer Con qu velocidad sube el extremos de superior de la pila de arena cuando se hecha el mximo de arena?
Sea
el nivel de la arena en la pared del cilindro en el tiempo t,
el
radio de los conos asociados al nivel
Dada estas notaciones, se puede decir que buscamos es el instante que se llena el estanque , es decir,
donde
Si
denota el volumen de la arena en el tiempo
como el volumen
total de arena en el tiempo es dos veces el volumen del cono recto de altura y radio se tiene
De esta relacin se puede obtener aparecera la derivada de
via derivacin, pero tambin
, como se ve acontinuacin
Pero si vemos el tringulo dibujado al lado del cono (como modelo matemtico), vemos dos tringulos semejantes, por lo tanto tenemos la siguiente relacin entre sus lados
y por lo tanto
y
reemplazando en
tenemos
Cuando el nivel sube ms rpido, cuando la altura de la arena es ms poca cuando est cerca deThis document created by Scientific WorkPlace 4.0.
ema 4. Derivada de una funcin 1. Una empresa hotelera tiene la funcin de costos totales: , donde x es el nmero de servicios vendidos de un ao. Calcule la razn de cambio promedio y diga cul es la interpretacin econmica de esta fraccin.
Solucin
es el costo marginal (el costo adicional de producir una unidad ms). 2. Una empresario administra un estacionamiento en una zona turstica y va a decidir la tarifa que cobrar por hora. El nmero promedio de horas rentadas Q al da est expresado en funcin de la tarifa p por: Determine la tarifa ptima que permitir maximizar los ingresos diarios del estacionamiento y calcule el ingreso mximo. Solucin Ingreso Y=Pq Donde Q est dada por la funcin de demanda Sustituyendo Q en la frmula de ingreso.
Calculamos en seguida por lo tanto Y tiene su mximo en Cobrando una tarifa de $250 se lograra el ingreso mximo de:
3. El costo anual de hacer los pedidos, de la compra y mantenimiento del inventario de cierta empresa est dado por la funcin:
donde Q es el tamao del pedido y C es el costo anual. Calcule la segunda derivada del costo, determine el signo de curva de costo es cncava o convexa. Solucin Conviene escribir la frmula del costo de la forma siguiente: y en base a ello diga si la
Por lo tanto la curva de costo es convexa. 4. Una empresa manufacturera tiene una funcin de beneficio (mensual): ;donde x es el nmero de unidades producidas y vendidas al mes. Calcule la razn de cambio promedio y de una interpretacin econmica de esta fraccin. Evale numricamente la razn de cambio promedio en el punto x=160 con un incremento de una unidad adicional de produccin (dx=1) y diga qu significado econmico tiene el signo del resultado. Solucin
es el beneficio marginal promedio. Cuando el nivel de produccin inicial es de 160 unidades y el incremento de produccin es de una unidad, el beneficio marginal es: El signo negativo del resultado indica que en el nivel de produccin inicial de 160 se puede aumentar el beneficio de la empresa reduciendo la produccin. 5. Una empresa produce harina de pescado y tiene una funcin de beneficio (mensual): , donde x es el nmero de toneladas producidas y vendidas al mes. Calcule la razn de cambio puntual y d una interpretacin econmica de esta derivada.
Obtenga el nivel ptimo de produccin x en el cual se alcanza el beneficio mximo y calcule el beneficio mximo. Solucin Al simplificar la frmula del beneficio se obtiene:
es el beneficio marginal de la empresa. Para encontrar el nivel ptimo que maximice el beneficio igualamos a cero el beneficio marginal y despejamos
Adems
, por lo tanto el beneficio tiene su valor mximo en
.
Sustituyendo en la frmula del beneficio: Beneficio mximo=61.25 6. La oferta de maz en cierta economa esta expresada enfuncin del precio por: Calcule las derivadas primera y segunda de la oferta, determine sus signos e indique si la curva de oferta es creciente o decreciente, cncava o convexa. Solucin
por lo tanto la curva de oferta es creciente y cncava.
Problemas de razn de cambio1)Purcell 3.9 Un aeroplano que vuela hacia el oeste a 300 millas por hora pasa por arriba de la torre de control al medioda y un segundo aeroplano que vuela hacia el norte, a la misma altitud, a 400 millas por hora, pasa por por la torre una hora despus. Que tan rpido est cambiando la distancia entre los aeroplanos a las 2:00 pm? Primero se identifican las variables que vamos a utilizar durante la resolucin del problema: x(t): es la distancia recorrida por el avin numero 1 a la 1 pm (para este caso avin uno lo nombraremos como A1) y(t): es la distancia recorrida por el avin numero 2 a a 1 pm ( igual que en el anterior lo nombraremos como A2) x'(t): es la derivada de la distancia de A1 por lo tanto es la velocidad de A1 que es 300 m/h y'(t): la velocidad de A2 que es de 400 m/h lo que tenemos que buscar es s'(t) que es el cambio de distancia entre los dos aviones.
Despues pasaremos a graficar la situacion para que nos sirva como apoyo sabemos en que direcciones se dirigen los aviones por lo tanto nos da un triangulorectangulo de donde los catetos seran "x" y "y" y la hipotenusa sera "s" y el origen sera la torre de control. sabemos que como el A1 lleva una velocidad de 300m/h significa que cada hora el avion recorrer 300 millas, por lo tanto cuando el A2 pasa por la torre de control a la 1 el A1 llevara recorrido 300 millas. La ecuacin principal nos quedara asi: (300 + x)2 + y2 = s2 para este caso reeplazamos por "x" 30 y a "y" 400 (300 + (300))2 + (400)2 = s2 y como queremos conocer el valor de s sacamos la raz cuadrada y nos da como resultado que s=721.11 Como ya conocemos el valor de s, sacamos la derivada de la ecuacin principal: (300 + x)2 + y2 = s2 y como queremos conocer s' entonces la despejamos en la ecuacion
reemplazamos por los valores que obtuvimos
anteriormente al problema.
471.45m / h = s' esta es la respuesta
2) Cada arista de un cubo variable esta aumentando a razon de 3 pulgadas por segundo que tan rapidoesta aumentando el nivel del cubo cuando una arista es de 12 pulgadas de longitud? x(t): la longitud de una arista v(t): el volumen del cubo x'(t): 3 pulg/seg v'(t): es la incognita a encontrar El volumen de un cubo es v(t) = x3 sacamos la derivada reemplazamos 1296pulg * seg by:jenny3
donde v'(t) =
1)Purcell 3.9 Un aeroplano que vuela hacia el oeste a 300 millas por hora pasa por arriba de la torre de control al medioda y un segundo aeroplano que vuela hacia el norte, a la misma altitud, a 400 millas por hora, pasa por por la torre una hora despus. Que tan rpido est cambiando la distancia entre los aeroplanos a las 2:00 pm? Primero se identifican las variables que vamos a utilizar durante la resolucin del problema:
x(t): es la distancia recorrida por el avin numero 1 a la 1 pm (para este caso avin uno lo nombraremos como A1) y(t): es la distancia recorrida por el avin numero 2 a a 1 pm ( igual que en el anterior lo nombraremos como A2) x'(t): es la derivada de la distancia de A1 por lo tanto es la velocidad de A1 que es 300 m/h y'(t): la velocidad de A2 que es de 400 m/h lo que tenemos que buscar es s'(t) que es el cambio de distancia entre los dos aviones. Despues pasaremos a graficar la situacion para que nos sirva como apoyo sabemos en que direcciones se dirigen los aviones por lo tanto nos da un triangulorectangulo de donde los catetos seran "x" y "y" y la hipotenusa sera "s" y el origen sera la torre de control. sabemos que como el A1 lleva una velocidad de 300m/h significa que cada hora el avion recorrer 300 millas, por lo tanto cuando el A2 pasa por la torre de control a la 1 el A1 llevara recorrido 300 millas. La ecuacin principal nos quedara asi: (300 + x)2 + y2 = s2 para este caso reeplazamos por "x" 30 y a "y" 400 (300 + (300))2 + (400)2 = s2 y como queremos conocer el valor de s sacamos la raz cuadrada y nos da como resultado que s=721.11 Como ya conocemos el valor de s, sacamos la derivada de la ecuacin principal: (300 + x)2 + y2 = s2 y como queremos conocer s' entonces la despejamos en la ecuacion
reemplazamos por los valores que obtuvimos
anteriormente al problema.
471.45m / h = s' esta es la respuesta