problemas olimpiadas

I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 1

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Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud

I.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Concepto de sistema de ecu aciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Solución de un sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Tipos de sistema s. Discusión de sistem as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Notacio nes ma tricial y vecto rial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Sistemas equiv alentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A. Teorem a fundam ental de equivalen cia. Consecuen cias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B. Método de eliminación de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Sistemas de Cramer. Regla de Cram er. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Teorem a de Rouch é-Fröbenius. D iscusión y resolución de sistemas de ecu aciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Sistemas homogéneos. Discusión y resolución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Eliminación d e parámetro s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. Problema s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. Ejercicios propuestos en las P.A.U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14. Otros ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


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1. INTRODUCCIÓN.

El objetivo general de este tema es discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales, haciendo abstracción del tipo de

problemas que origina su planteamiento.

Discutir un sistema con siste en averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es.

Resolver un sistema es calcular su solución (o soluciones).

Los casos más sencillos (2 ecuaciones con 2 incógnitas, 3 ecuaciones con 3 incógnitas ...) ya se han estudiado en cursos

anteriores. Aquí, an alizaremos el caso g eneral: cualquier nú mero de ec uaciones y cu alquier núm ero de incógn itas.

2. CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

Sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

xj son las incógnitas, (j=1,2,...,n).

a ij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n).

ci son los términos independientes, (i=1,2,...,m).

Los números m y n pueden ser cualesquiera: m>n, m=n ó m<n.

Los escalares a ij y ci son núm eros reales.

El escalar aij es el coeficiente de xj en la i-ésima ecuación.

Cuand o n es peq ueño, es u sual design ar a las incóg nitas con la s letras x, y, z, t, ...

Obsérvese q ue el núme ro de ecuacion es no tiene por qu é ser igual al núm ero de incógn itas.

Cuando ci=0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

‚

Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.

Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1.

El término independiente de la misma es el 2.

3. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA.

Solución de un sistema. Es cada conju nto de valores q ue satisface a todas las ecua ciones.

Resolver un sistema. Es calcular su solución (o soluciones).

‚ Dado el sistem a:

Una solución suya es x= ; y= ; z=0; t= . Compruébese.

4. TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS.

Podem os clasificar los sistemas atendien do al núm ero de sus solucion es:

1. Incompatible. No tiene solución.


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2. Compatible. Tiene solución.

a. Compatible determinado. Única solución.

b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones.

‚ incompatible. No tiene solución.

‚ compatible determinado. Única solución.

‚ compatible indeterminado. Infinitas soluciones.

Discutir un sistema. Es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Es

decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

5. NOTACIONES MATRICIAL Y VECTORIAL.

Los conocimientos adquiridos sobre m atrices facilitan la escritura de un sistema de ecuaciones lineales de manera más

reducida.

Consid eremo s un sistem a como el [1], escrito en forma clásica.

En él se pued en considerar las sigu ientes matrices:

A es la matriz de los coeficientes de orden mxn. B es la matriz ampliada de orden mx(n+1).

El sistema [1] se puede escribir en forma matricial así:

Si en el sistema [1] consideram os las siguientes matrices:

. . .

El sistema se escribirá en forma vectorial de la siguiente forma:

En esta notación, las soluciones de un sistema son los elementos de la forma:

S=(s1, s2, ..., sn)0Rn

y se verifica la siguiente re lación: A 1@s1 + A2@s2 + ... + An@sn = C

‚ Cons iderem os el siste ma:

A es la matriz de los coeficientes de orden 3x3. B es la matriz ampliada de orden 3x4.


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El sistema se puede escribir de las siguientes formas:

Forma matricial: = Forma vectorial: x + y + z =

‚ En el sis tema: el elemento s=(-1,1,3,2) es solución, ya que se verifica:

(-1) + (1) + (3) + (2) = . Compruébese.

6. SISTEMAS EQUIVALENTES.

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si toda solución del primero es solución del segund o y vicev ersa. (No

es necesario qu e tengan el m ismo núm ero de ecuac iones)

‚ Los sis temas: son equivalentes.

Ambos son compatibles determinados y su solución es: x=3, y=1.

Definición. En un sistema d e ecuaciones linea les, una ecuación es combinación lineal de las ecuaciones del sistema,

si se obtiene como resultado d e suma r las ecuacio nes del m ismo pr eviame nte mu ltiplicadas po r un núm ero real.

‚ Cons iderem os el siste ma:

Multiplicando la 1ª ecuación por 2, la 2ª por -1, la 3ª por 3 y sumándolas:

2(3x+2y) + (-1)(2x-2y+z) + 3(x-2y-2z) = 2@4 + (-1)@3 + 3@(-1).

Obten emos : 7x - 7z = 2, que es combinación lineal de las del sistema dado.

Los resultados que veremos a continuación, permiten ir transformando un sistema en otros equivalentes cuyas soluciones

puedan obtenerse con mayor facilidad.

A. TEOREMA FUNDAMENTAL DE EQUIVALENCIA. CONSECUENCIAS.

Teorema fundamental de equivale ncia. Si en un sistema de ecuaciones l ineales se sustituye la ecuación i-ésima

por una combinación lineal de dicha ecuación y las demás ecuaciones del sistema (siempre que el coeficiente que

multiplique a la ecuación i-ésima sea distinto de cero), el sistema resultante es equivalente al primero.

Demostración

.......................

‚ Sea el sistem a: Multiplicando la primera ecuación por (-2) y su mánd ola a la seg unda, s e obtiene :

Multiplicando la tercera ecuación por (-3) y sumándola a la segunda:

y, de aquí, se obtiene rápidamente como solución: z=-1, y=2, x=1.

De este teorem a se siguen las siguientes co nsecuencias:

1. Si en un sistema de ecuaciones lineales se suprime una ecuación que es combinación lineal de las restante s, el

sistema obtenido es equivalente al dado.

Demostración

Es evide nte a partir d el teorem a funda mental.

‚

2. Si en un sistema de ecuaciones lineales multiplicamos la ecuación i por "…0, se obtiene otro sistema equivalente.

Demostración

Es un ca so particula r del teorem a funda mental.


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‚

B. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN.

Las operaciones efectuadas en el ejemp lo anterior co n las ecuac iones del siste ma, po dríamo s realizarlas en la matriz

ampliad a del sistem a, así surge e l:

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN. Es el método de resolución d e sistemas de ecuaciones

lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada

por filas.

Los siguientes ejemplos explican detalladamente el proceso a seguir.

‚ Resolvamos el sistem a: Consideramos la matriz ampliada asociada al sistema, separando un poco la columna de los términos

independientes:

(a) Y (b) Y

(a) [0 1 3 1] = (-2)@[1 1 -1 1] + [2 3 1 3], [0 -6 7 -3] = (-5)@[1 1 -1 1] + [5 -1 2 2]

(b) [0 0 25 3] = 6@[0 1 3 1] + [0 -6 7 -3]

Luego , el sistem a ha qu edado de la sigu iente form a:

Resolviendo las ecuaciones, comenzando por la última queda: z= , y= , x= .

Se trata de un sistema compatible determinado.

‚ Resolv amos el sistem a: La ma triz amp liada es:

Intercambiando la primera fila con la tercera queda:

(a) Y (b) Y

(a) [0 2 1 -1 0] = (-2)@[1 -1 2 2 2] + [2 0 5 3 4] [0 6 5 -7 2] = (-3)@[1 -1 2 2 2] + [3 3 11 -1 8]

(b) [0 0 2 -4 2] = (-3)@[0 2 1 -1 0] + [0 6 5 -7 2]

Luego , el sistem a ha qu edado de la sigu iente form a:

Resolv emos la última e cuación , z=1+2 t; si hacem os t=", queda: z=1+2"; y= - ; x= - ; t=".

Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al parámetro ".

Es un sistema compatible indeterminado.

‚ Resolv amos el sistem a: La ma triz amp liada es:

Intercambiamos las dos primeras filas queda:

(a) Y

(a) [0 0 0 -5] = (-2)@[1 2 4 3] + [2 4 8 1]

Luego el sistem a nos h a qued ado de la siguien te form a:

Se observa que el sistema es incompatible.

Ejercicios.

1. Aplicando el método d e eliminación d e Gauss-Jorda n, resuelve los sistemas:

a) b)

Solución. a) Incompatible. b) x= , y= , z= , t=".


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7. SISTEMAS DE CRAMER. REGLA DE CRAMER.

El método de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Pero tiene

un inconveniente. Si de un sistema de 300 incógnitas tan sólo nos interesan 7, siguiendo el método de Gauss, habríamos de

seguir el proceso d e triangulación co mo si nos interesara n todas ellas.

La regla de Cramer, qu e ahora verem os, aprovecha con astucia las propiedades de las matrices y sus determinantes para

despejar, separada mente, una cualquiera de las incó gnitas de un sistem a de ecuacion es lineales.

Sistema de Cramer. Es un sistema en el que: m=n y *A*…0. Es decir: La matriz A es cuadrada y regular.

En tal caso, A tiene inversa A-1, por lo que multiplicando [2] por la izquierda por A -1:

A -1@A@X = A -1@C | X=A -1@C | |

O sea:

que son las fórmulas de Cramer, las cuales se recogen en la siguiente regla:

Regla de Cramer. El valor de la incógnita xj en un sistema de Cramer es una fracción, cuyo numerador es un

determinante que se ob tiene al ree mplaz ar la colu mna j p or la columna que forman los términos independientes, y cuyo

denomin ador es *A*.

‚ Resolv amos el sistem a: m=n=3 y *A*=7…0. Luego, es un sistem a de Cramer.

; ; .

Por tanto, la solución del sistema es: x= , y= , z= .

‚ Resolv amos el sistem a: m=n=3 y *A*=-33…0. Luego, es un sistem a de Cramer.

; ; .

Por tanto, la solución del sistema es: x=-1, y=2, z= .

Ejercicios.

1. Resuelv e el sistema:

Solución. *A*=13, x=1, y=2, z=-1.


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Rango (A) … Rango (B) ] Incompatible.

Rango (A) = R ango (B) ] Compatible. Si h=n. Determinado. Solución única.

Rango (A) = Rango (B) ] Compatible. Si h<n. Indeterminado. Infinitas soluciones que dependen de n-h

parám etros.

2. Resuelv e el sistema:

Solución. *A*=2, x= , y=5, z= .

8. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DESISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Vamos a ver ahora el caso más general de sistemas de ecuaciones lineales. Obtendremos una condición necesaria y

suficiente de compatibilidad, un criterio de clasificación y un método de resolución. Todo ello se basa en el teorema de

Rouché-F röbenius.

Consideremos el siguiente sistema de m ecuaciones con n incógnitas:

Escrito en form a vectoria l: siendo A1, A2, ..., An las colum nas de la m atriz de

los coeficientes.

Sean: A la matriz de coeficientes, B la matriz ampliada y r(A)=h.

Teorema de Rouché-Fröbenius. a) El sistema [1] tiene solución ] rango (B) = h. b) Si h=n, el sistema tiene

solución única. c) S i h<n, el sistema tiene infinita s soluciones.

Demostración

a) Si existe solución (s1,s2,...,sn), la ecuación vectorial [2] indica que C puede ponerse como combinación lineal de

A1, A2, ..., An, y, por tan to, r(B)=h . Recípro camen te, si r(B)=h, C podrá expresarse como combinación lineal de

las h column as A i linealmente inde pendientes.

Supongamos que sean A1, A2, ..., Ah. Existen (s1,s2,...,sn, 0, ..., 0) tales que : A1@s1 + A2@s2 + ... + Ah@sh + Ah+1@0 +

... + An@0 = C, y, por tanto, existe solución.

b) Si r(B)=h, su pongam os que son linealm ente indepen dientes A 1, A2, ..., Ah. Entonces, la ecuación vectorial [2]

puede escribirse de la siguiente forma:

A1@x1 + A2@x2 + ... + Ah@xh = C - Ah+1@xh+1 - ... - An@xn [3]

Esto indica que, cualesquiera que sean xh+1, ..., xn, el segundo miembro de la expresión [3] es combinación lineal

de A1, A2, ..., Ah.

Si h=n, el segundo miembro de [3] queda reducido a C, y el sistema admitiría solución única.

c) Si h<n, dando valores arbitrarios a xh+1, ..., xn en la expresión [3 ], se obtienen infinitas solucion es.

El teorema puede resumirse de la forma siguiente:

‚ Discu te y resue lve el sistem a: *A*=1. r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. El sistema es compatible determinado. Aplicando el método

de Gauss, o la regla de Cramer, se obtiene: z=-1, y=-3, x=2.

‚ Discu te y resue lve el sistem a: r (A)=r(B)=3=nº incógni tas . El s is tema es compatible determinado. Aplicando el método de

Gauss, o la regla de Cramer, se obtiene: x=3, y=6, z=11.


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‚ Discu te y resu elve el siste ma: r(A)=3; r(B)=4. El sistema es incompatible.

‚ Discu te y resu elve el siste ma: r(A)=r(B)=2 < nº incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.

Tomamos como incógnitas principales x, y. Obtenemos infinitas solucio nes dep endien tes de do s parám etros: Aplicando

la regla de Cramer y haciendo z=" y t=ß, queda como solución:

x= , y= , z=", t=ß.

Veamos algunas de las infinitas soluciones:

Si hacemos "=1 y ß=1, obtenemos: x= , y= , z=1, t=1.

Si hacemos "=-1 y ß=0, obtenemos: x=1, y=-2, z=-1, t=0.

‚ Discute y resuelve, según los valores de a, el sistem a:

Consideremos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

*A*=-a(a-1)(a-2).

Pueden considerarse los siguientes casos.

1 º) Si a…0, a…1, a…2: *A*…0; por tanto r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. S.C.D. Solución única.

Resolviéndolo por la regla de Cramer, se obtiene:

Por ejemplo, si a=-1, obtendríamos como solución: x= , y= , z= .

2 º) Si a=0: Qued a el sistem a: Como r(A)=2 y r(B)=3, el sistema es incompatible, lo cual en este caso es evidente observando

la segunda ecuación.

3 º) Si a=1: Qued a el sistem a: r(A)=r(B)=2 < nº incógnitas. S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

Aplicando Gauss, o Cramer, se obtiene: x=4-", y=", z= .

4 º) Si a=2: Qued a el sistem a: Como r(A)=2 y r(B)=3, el sistema es incompatible.

RESUMEN : Para a…0, a…1, a…2: S.C.D. Solución única.

Para a=0: S.I. Ninguna solución.

Para a=1: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

Para a=2: S.I. Ninguna solución.

Ejercicios.

1. Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales según los valores del (de los) parámetros que se

indican.

a)

Solución. S.I.

b)

Solución. Si a… : S.C.D. Si a= : S.I.

c)

Solución. Para a…0, a…1: S.I. Ninguna solución. Para a=0: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro. x=t, y=-t, z=1. Para a=1:

S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de dos parámetros. x=", y=ß, z=1-"-ß.

d)

Solución. Si a…0, a…1: S.C.D. Si a=0: S.C.I. x= , y=", z=-2. Si a=1: S.I.


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e) Solución. Si b…0, a…1, a…-2 : S .C.D.

Si a=-2 Y r(A)=2. Si b=-2 Y r(B)=2: S.C.I.

Si a=-2 Y r(A)= 2. Si b…-2 Y r(B)=3: S.I.

Si a=1 Y r(A)=1. Si b=1 Y r(B)=1: S.C.I.

Si a=1 Y r(A)= 1. Si bY1 Y r(B)=2: S.I.

Si b=0 y a=1 Y r(A)=1, r(B)=2: S.I.

Si b=0 y a…1 Y r(A)=2, r(B)=3: S.I.

9. SISTEMAS HOMOGÉNEOS. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN.

Un sistema d e ecuaciones linea les es homogéneo, si todos los términos ind ependientes son nulos.

Considerem os el siguiente sistema ho mogén eo de m ec uaciones con n incógnitas:

Aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius a este sistema, resulta que siempre tendrá solución, y a que siemp re se

cumple que r(A)=r(B).

Si r(A)=n úmero de incóg nitas, existirá un a única so lución qu e será la solu ción trivial:

x1 = x2 = ... = xn = 0

Si r(A)<núm ero de incógn itas, existirán infinitas soluciones.

Podemos enunciar, pues, el siguiente teorema:

Teorema. Un sistem a de ecu aciones lin eales hom ogéneo tiene soluc ión distinta de la trivia l ] el rango de la

matriz de los co eficientes es meno r que el núm ero de incóg nitas.

Coro lario. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene

solución distinta de la trivial ] el determinante de la matriz de coeficientes es nulo.

Demostración

Es evidente a partir del teorema anterior.

‚ Dado el sistem a: Ca lcu lemos e l rango de la matr iz A.

Y Y

r(A)=2 < número de incógnitas=3. Luego habrá in finitas so luciones , que se rán las d el sistem a equiv alente: y= , x= .

‚ Dado el sistem a: r(A)=2 < nº incóg nitas=3 . Por tan to habrá infinitas soluciones que dependen de un parámetro: x=", y=-",

z=".

‚ Dado el sistem a: *A*…0. r(A)=3=nº incógnitas, el sistema es compatible determinado. La única solución posible es la trivial:

x=0, y=0, z=0.

Ejercicios.

1. Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneos según los valores del (de los) parámetros

que se indican.


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a)

Solución. Si m…1, S.C.D. La ú nica solución es la trivial. Si m=1, S.C.I. Las infinitas soluciones son: x=-2", y=", z=".

b)

c)

d)

e)

f)

Solución. Si a=-2 ó a= , S.C.I.

10. ELIMINACIÓN DE PARÁMETROS. ................

11. EJERCICIOS.

1. Dem uestra qu e un sistem a de n ecu aciones c on n-1 in cógnitas e s incom patible si *B*…0.

2. Discute y resuelve se gún los v alores de a , el sistema:


4. a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas, ¿puede ser incompatible? Razónalo y en caso

afirmativo, pon un ejemplo.

b) Un sistema de dos ecua ciones line ales con tre s incógn itas, ¿pued e ser com patible determinado? Razónalo y en

caso afirmativo, pon un ejemplo.

c) Un sistema de dos ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, ¿puede ser compatible determinado? Razónalo y en


d) Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿puede ser compatible determinado? Razónalo y en


5. Dado el sistema: Comp rueba q ue el conjunto de sus soluciones constituye un

subespacio vectorial de Rn de dimensión n-r(A). Siendo A la matriz de coeficientes del sistema.

6. Discute y resuelve se gún los v alores de a y b, el sistem a:

12. PROBLEMAS.


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1.

13. EJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS P.A.U.

1. Determ ina el valor de m p ara que e l sistema: sea compatible y calcula su solución.

Solución. *B*=4m- 48. Si m …12, S.I. Si m=12, S.C.D. x=4, y=2, z=5.

2. Discute el siste ma: según los valores de a, y resuélvelo cuando sea compatible.

Solución. *A*=-a2. Si a…0, S.C.D. Si a=0, S.C.I. infinitas soluc. dep. 2 parámetros.

3. Un padre y sus dos hijos tienen un total de 84 años. Cuando el mayor tenía la edad del pequeño, la de éste era de la

edad actual del m ayor, y cu ando el p equeñ o tenga la edad del mayor, los tres sumarán 102 años. Calcula la edad de cada

uno resolviend o el sistema de ecu aciones lineales a que dan lugar las con diciones anteriores.Solución. x, x+a, x+a+b. 1) 3x+2a+b=84, 2) 3x-7a=0, 3) 3x+5a+b=102. m=14, M=20, P=50.

4. Determ ina el valor de a para que el sistem a: sea compatible y calcula su solución.

Solución. a=28. x= 4, y=2, z= 5.

5. Encue ntra todas la s solucion es del sistem a siguiente según lo s valores d e a:

Solución. x=1- , y= , z=".

6. Resuelv e el siguien te sistema e in terpreta ge ométric amen te el resultado :

7. Halla m para qu e el sistema: tenga solu ción distinta de la trivial.

Solución. *A* = -2m3 - 88m² + 93m + 242. Sus raíces son fraccionarias o irracionales y muy difíciles de calcular. Para las raíces (-44'97, -1'22 y 2'2)

el sistema es indeterminado.

8. Discute el sistema d e ecuacio nes: según los valores de m0R, y resuélvelo para aquellos valores

en que exista solución.

Solución. *A*=2(m²-4). Si m= 2 S.C.I. (3",-5","). Si m= -2 S.I. S i m…2 y m…-2 S.C.D . [ , , ].

9. Dado el sistema d e ecuacio nes: a) Estúdia lo según los valores del parámetro a. b) Resuélvelo en los

casos en que sea compatible.Solución. *A*=-a(a²+ 3). a) Si a =0 S.I. Si a…0 S.C.D. b) (P or Cramer).

10. Discute y resuelve e l sistema seg ún los va lores del pa rámetro m:

Solución. *A*=m-1 . Si m= 1 S.I. S i m…1 S.C.D . [ , , m 2+m]


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11. Sea el sistem a: Discútelo según los valores de m. Resuélvelo para m=5.

Solución. Si m…5 y m… S .C.D. (0, 0 , 0) . Si m=5 ó m= S.C.I. Si m=5 (-27", 8", 13").


Solución. S.C.D. para cualquier valor de a.

13. Discute y resuelve se gún los v alores de k , el sistema:

Solución. S.I. en todos los casos.

14. Discute el sig uiente sistem a en fun ción de a :

Solución. Si a= S.I. Si a… S .C .D.

15. Estudia e l sistema:

Solución. Si a=1 ó a= S.I. Si a…1 ó a… S .C .D.

16. a) Discute y resuelve, e n los casos que pro ceda, el sistem a:

b) ¿Cómo sería la discusión si los término s independien tes fuesen nulos?Solución. *A*=k(k-1)(k-2).

a) Si k=0 S.I.

Si k=1 S .C.I. [ , , "]

Si k=2 S.I.

Si k…0, k…1 y k…2 S.C.D . [ , -1, ]

b) Si k=0 S .C.I. (", 0, )

Si k=1 S.C.I. (-5", ", -2")

Si k=2 S .C.I. (", 0, 0)

Si k…0, k…1 y k…2 S.C.D . (0, 0, 0,)

17. a) Estudia p ara qué v alores de a el siguiente siste ma es co mpatib le:

b) ¿Existe algún valor de a para el que el sistema anterior sea compatible y determinado? Razona tu respuesta.Solución. *A*=(a-1)3(a+3).

18. Resuelve el sistema en función de a y luego halla el valor de a para que x+y=1.

19. a) Discute el siste ma: .

b) ¿Para qué valores de a y b el sigu iente sistem a: es equivalente al anterior? Razona tu respuesta.

Solución. a) *A*=0. Como …0 Y r(A)=2=r(B) ya que . Y S.C.I. 4 soluciones que dependen de 1 parámetro.

b) Solución del primer sistema: x=-2+2", y=", z=3"-4.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


Solución del segundo sistema: x=-b-aß, y=ß, z=(1+b)ß+2a.

Igualando soluciones: -2+2"=-b-aß, "=ß, 3"-4=(1+b)ß+2a. Resolviendo este sistema por sustitución se obtiene que a=-2 y que b=2. Salvo cuando

"=± .

20. Sean a, b, c tres número s reales positivos. Prueba que el sistema: tiene soluc ión distinta d e la trivial si y

sólo si: .

Solución.

21. Estudia para qu é valores de a y b los siguientes sistemas de ec uaciones son e quivalentes:

Solución. a) Solución de (2) con parámetro z.

b) Solución de (1) con parámetro z.

c) Igualando soluciones: ... a=6 y b=9.

22. Dado el sistema d e ecuacio nes lineales:

a) Demu estra que si a=0, dicho sistema representa u na recta y halla sus ecu aciones param étricas.

b) ¿Para qué valores de a y b representa un plano?

Solución. a) x=(2-b)-b", y=", z=b. b) a= , b=1.

23. Discute y resuelve se gún los v alores de a y b, el sistem a:

Solución. *A*=13(a- 1). Si a…1 S.C.D. (Po r Cramer). Si a=1 y b =3 S.C.I. (9"-5, ", 8-13"). Si a=1 y b…3 S.I.

24. Discute y , cuando sea com patible, resu elve el sigu iente sistem a:

Solución.

25. Estudia e l siguiente sistem a según los valores de los pará metros a y b:

Resuélvelo para algún valor de a y b que lo haga compatible determinado.Solución.

26. Discute según los valores de los parámetros que se indican el siguiente sistema:

Solución. Si a…c, a…b, b…c : S.C.D.

Si a=c ó a=b ó b =c: Si a…d y b…d, S.I.

Si a=c ó a=b ó b= c: Si a=d: S.C.I.

Si a=c ó a=b ó b =c: Si a…d y b=d: Si a=c…b, S.C.I.

Si a=c ó a=b ó b =c: Si a…d y b=d: Si a=c=b , S.I.

Si a=c ó a=b ó b =c: Si a…d y b=d: Si a=b…c, S.I.

14. OTROS EJERCICIOS.

1. a) Demu stra que si un sistema de ecuaciones lineales tiene alguna solución , el conjunto de sus soluciones es una

subvariedad afín cuyo subespacio director es el subespacio de soluciones del sistema homógeneo asociado

b) Discute, según los v alores del parám etro m, las posicione s relativas de los planos:

x + y + z = 20


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


2x - y + mz = 2

5x - 4y = 3m

c) Calcula la subvariedad afin en que se cortan los tres planos en el caso m=-3.Solución.

2. Halla una base de L( , , ) siendo (1,2,3), (2,-4,5), (1,10,4).

Solución. Sea la matriz que forman las coordenadas de los vectores.

Transf ormam os la m atriz por G auss en una trian gular: . {(1,2,3), (0,-8,-1)} es la base buscada.

3.

problemas olimpiadas

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