ANÁLISE VETORJAL 15

REFERÊNCIAS SUGERlDAS1. Grossman, S. 1.: "Calculus," 3d ed., Academic Press and Harcourt Brace

Jovanovich, Publishers, Orlando, 1984. Vector algebra and cylindrical andspherical coordinates appear in chap, 17, and vector ca1culus is introduced inchap.20.

2. Spiegel, M. R.: "Vector Analysis," Schaum Outline Series, McGraw-HillBook Company, New York, 1959. A large number of examples andproblems with answers are provided in this concise, inexpensive memberof an outline series.

3. Swokowski, E. W.: "Calculus with Analytic Geometry," 3d ed., Prindle,Weber, & Schmidt, Boston, 1984. Vector algebra and the cylindrical andspherical coordinate systems are discussed in chap. 14, and vector ca1culusappears in chap. 18.

4. Thomas, G. B., Jr., and R. L. Finney: "Ca1culus and Analytic Geometry,"6th ed., Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Mass., 1984. Vectoralgebra and the three coordinate systems we use are discussed in chap. 13.Other vector operations are discussed in chaps. 15 and 17.

1.7 Dado o campo vetarial E = 4zy2 cos 2xax + 2zy sen2xay + y2 sen 2xa" determine, para as regiões, Ix lI y Ie I z 1< 2: (a) as superfícies nas quais E; = O;(b) a região na qual E; = E,; (c) a região para a qualE = O.

PROBLEMAS

1.8 Dois campos vetoriais são dados por F = -lOa, +20x(y - lja, e G = 2x2yax - 4ay + za,. Para o pontoP(2, 3, -4), determine: (a) IF l (b) IG l (c) um vetarunitário da direção de F - G; (d) um vetar unitário nadireção de F + G.

Dados os vetares M = + l Üa, + 4ay - 8a, e N = Sa,'"-7~ - Za, determine: (a) um vetar unitário na dire-ção de -M + 2N; (b) o módulo de Sa, + N - 3M;(c) IM 112N I(M + N).

Dados três pontos A(4, 3, 2), B( -2, O, 5) e C(7, -2,1): (a) determine o vetar A dirigido da origem ao pontoA; (b) determine um vetar unitário dirigido da origematé o ponto médio da linhaAB; (c) calcule o perímetrodo triângulo ABC.

Um vetar da origem ao ponto A é dado por ôa, - 2ay

- 4az, e o vetar unitário da origem ao ponto B é

(~, - ~, l). Se os pontos A e B estão separados

em 10 unidades, ache as coordenadas do ponto B.

Dados os pontos A(8, - 5, 4) e B( -2, 3, 2), determi-ne: (a) a distância entre A e B; (b) um vetar unitáriodirigido de A para B; (c) um vetar unitário dirigido daorigem até o ponto médio da linha AB; (ti) as coorde-nadas do ponto pertencente à linha que conecta A e B .no qual esta linha intercepta o plano z = 3.

Um campo vetorial é dado por G = 24xyax + 12(x2 +2)ay + 18z2az• Dados dois pontos, P(I, 2, -1) e Q( -2,1,3), determine: (a) G em P; (b) um vetar unitário dadireção de G em Q; (c) um vetar unitário dirigido deQ até P; (d) a equação da superfície na qual IG 1= 60.

Para o campo G dado no Probo 1.5 acima, faça esbo-ços de Gx, G; Gz e] G lao longo dalinhay = 1, z = 1,para O -s x :s 2.

1.925

Um campo é dado por G = x2 +y2 (za, + y~). Deter-

mine: (a) um vetar unitário na direção de G em P(3, 4,-2); (b) o ângulo entre G e a, no ponto P; (c) o valor

da integral dupla L~to G· dxdza y, no plano y = 7.

Use a definição de produto escalar para encontraros ângulos internos em A e B do triângulo definidopor estes três pontos: A(1, 3, -2), B( -2,4,5) e C(O,-2,1).

Dados os pontos M(O,I; -0,2; -0,1), N(-0,2; 0,1;0,3) e P(O,4; O;0,1), determine: (a) o vetar RMN; (b) oproduto escalar RMN . RMP; (c) a projeção escalar de RMN

em RMP; (ti) o ângulo entre RMN e RMP'

Dados os pontos A(lO, 12, -6), B(16, 8, -2) C(8, 1,4) e D( -2, -5,8), determine: (a) a projeção vetorialde RAB + RBC sobre RAD; (b) a projeção vetorial de RAB

+ RBC sobre RDC; (c) o ângulo entre RDA e RDC'

1.10

1.11

1.12

16 CAPíTULO UM

1.13 (a) Determine a componente vetorial de F = l Oa, - 1.22 Um campo é dado em coordenadas cilíndricas como F63y + 5a, que é paralela a G = O.Ia, + 0,2ay + 0,3a,;

= [p:~1 +3(cosifJ + sen ifJ)]ap + 3(cos<f>- sen<f»a",(b) Determine a componente vetorial de F que é per-pendicular a G. (c) Determine a componente vetorialde G que é perpendicular a F. - 2a,. Faça esboços simples de IFI: (a) vs <f> com p =

1.14 Os quatro vértices de um tetraedro regular estão loca-3; (b) vs p com <f> = 0°; (c) vs p com <f> = 45°.

lizados em 0(0, O,O),A(O, 1, O), B(0,5.fi; 0,5; O) e 1.23 As superfícies p = 3 e 5, <f> = 100° e 130° e z = 3 e 4,5

C(.fi /6; 0,5; ~2 /3 ). (a) Determine um vetor unitá-limitam uma superfície fechada. (a) Determine o vo-lume contido. (b) Determine a área total da superfície

rio perpendicular (para fora) a faceABC. (b) Determi- limite. (c) Determine o comprimento total das dozene a área da faceABC. bordas da superfície. (d) Determine o comprimento da

1.15 Três vetores dirigidos a partir da origem são dados por maior linha reta que está contida inteiramente dentrorI = 7ax + 33y - 2a" r2 = -2ax + 7ay - 3a, e r3 = do volume.2ax - 2ay - 3aZ"Determine: (a) um vetor unitário 1.24 No ponto P( -3, -4,5), expresse o vetor que se diri-perpendicular a rI e a r2; (b) um vetor unitário per- ge de P a Q(2, O, -1) em: (a) coordenadas retangula-pendicular aos vetares rJ - r2 e r2 - rJ; (c) a área do res; (b) coordenadas cilíndricas; (c) coordenadas es-triângulo definido por r. e r2; (ti) a área do triângulo féricas. (d) Mostre que cada um destes vetores possuidefinido pelos extremos de rI' r2 e rJ. o mesmo módulo.

1.16 Descreva a superfície definida pela equação: (a) r . a,= 2, onde r = xa, + yay + za.; (b) I r X a, 1=2. 1.25 1 ( sen~)Seja E = ---;- cos~ar + --ea~ .DadoopontoP(r=

1.17 O ponto A( -4,2,5) e os dois vetores, RAM = 20ax + r sen

l Sa, - 10a, e RAN = -lOax + Sa, + 15a" definem 0,8; ()= 30°; <f> = 45°), determine: (a) E em P; (b) I E Ium triângulo. (a) Determine um vetor unitário per- em P; (c) um vetor unitário na direção de E em P.

pendicular ao triângulo. (b) Determine um vetor uni- 1.26 (a) Determine uma expressão para 3yem coordenadastário no plano do triângulo e perpendicular a RAN• (c) esféricas em P(r = 4; () = 0,21T; <f> = 0,81T). (b) Ex-Determine um vetor unitário no plano do triângulo presse 3yem componentes cartesianas em P.que divide o ângulo interno A em duas partes iguais. 1.27 As superfícies r = 2 e 4, ()= 30° e 50° e <f> = 20° e 60°

1.18 Dados os pontosA(p= 5, <f> = 70°, z = -3) eB(p= 2, limitam uma superfície fechada. (a) Determine o vo-<f> = -30°, z = 1), determine: (a) um vetor unitário lume contido. (b) Determine a área total da superfícieem coordenadas cartesianas em A e dirigido para B; limite. (c) Determine o comprimento total das doze(b) um vetor unitário em coordenadas cilíndricas em bordas da superfície. (d) Determine o comprimento daA e dirigido para B; (c) um vetor unitário em coorde- maior linha reta que está contida inteiramente dentronadas cilíndricas em B e dirigido para A. do volume.

1.19 (a) Expresse o campo vetorial D = (x2 + y2)-1 (ra, + 1.28 (a) Determine as componentes cartesianas do vetor deyay) em componentes cilíndricas e variáveis cilíndri- A(r = 5, ()= 110° <f> = 200°) aB(r = 7, ()= 30°, <f> =caso (b) Calcule D no ponto p = 2, <f> = 0,21T(rad) e z 70°). (b) Determine as componentes esféricas do ve-= 5. Expresse o resultado em componentes cartesia- tor de P(2, - 3,4) a Q( - 3,2,5). (c) Se D = Sa, - 3a8

nas e em componentes cilíndricas. + 4a"" determine D . ap em M(1, 2, 3).

1.20 Expresse em componentes cartesianas: (a) o vetor que 1.29 Expresse o vetor unitário a, em componentes esfé-se estende de A(p = 4, <f> = 40°, z = - 2) até B(p = 5, ricas no ponto: (a) r = 2, () = 1 rad, <f> = 0,8 rad;<f> = -110°, z = 2); (b) um vetor unitário emB direci- (b)x = 3,y = 2, z = -1; (c) p = 2,5; <f> = 0,7 rad;onado para A; (c) um vetor unitário em B direcionado z = 1,5.para a origem. 1.30 Dados A(r = 20, () = 30°, <f> = 45°) e B(r = 30, () =

1.21 Expresse em componentes cilíndricas: (a) o vetor de 115°, <f> = 160°), determine: (a) I RAB ~ (b) I RAC l dadoC(3, 2, -7) a D( -1, -4, 2); (b) um vetor unitário em C(r = 20, () = 90°, <f> = 45°); (c) a distância de A a CD direcionado para C; (c) um vetor unitário em D di- em uma grande trajetória circular.recionado para a origem.