PROBLEMAS DE DINÁMICA ROTACIONAL(PARTE 3)

1. Un cilindro homogéneo macizo de radio R rueda por un plano horizontal que traspasa una sección que tiene un ángulo de inclinación con respecto al horizonte (figura 1). Hallar el máximo valor de la velocidad , con la cual el cilindro pasa al plano inclinado todavía sin salto. Considerar que no hay rozamiento.

Figura 1

SoluciónAl pasar del plano horizontal al inclinado sin perder el contacto el análisis puede realizarse como si el cilindro estuviese rotando alrededor de la esquina “0” que se ubica entre los planos, se obtiene un esquema como se muestra en la figura

Considerando la posición del centro de masa (CM) se observa que el mismo a barrido un ángulo con respecto al punto “0”.Del principio de conservación de la energía se tiene

(1)

Se sabe que

Para I se tiene que aplicar el teorema de Steiner al momento de inercia del cilindro

Para hallar L, evaluamos la geometría con respecto a las posiciones de los CM cuando pasa al plano inclinado, de esta manera se tiene:

Ahora con estos criterios evaluamos (1) de la siguiente forma.

(2)

Ahora por dinámica lineal cuando el cilindro está en el plano inclinado se tiene

De donde se obtienen las siguientes ecuaciones

(3)

Al considerar el valor máximo para el cual el cilindro pasa al plano inclinado sin salto (sin perder contacto con el plano) implica que N debe tener un valor muy pequeño (

), por lo tanto de (3) se tiene

(4)

(4) en (2) se tiene

Finalmente

2. Dos masas puntuales y están separadas por una barra sin masa de longitud L, siendo I el momento de inercia de un eje perpendicular a la barra y que pasa a través de ésta por un punto situado a una distancia x de la masa . Determinar el valor de x para el mínimo valor de I.

Solución

Debido a que las masas son discretas se tiene

(5)

Para hallar el valor de “x” para I mínimo se tiene

(6)

De (6) en (5)