PROBLEMAS

RESUELTOS DE

GEOMETRIA

ANALITICA

IVONNE RIVERA TORRES

Localizar los siguientes puntos en un plano coordenado cartesiano.

A(-3,0)

B(4,3)

C(5,-5)

D(0,4)

E(-1,-5)

F(-6,7)

Encontrar la distancia entre los puntos A(-1,-2) y B(8,-6)

𝑑 = 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑦1 − 𝑦2 2

𝑑 = −1 − 8 2 + −2 − −6 2

𝑑 = −9 2 + −2 + 6 2

𝑑 = 81 + 4 2

𝑑 = 81 + 16 = 97

Demostrar que los puntos A(2,4), B(5,1) y C(-1,-5) son los vértices de un

triangulo rectángulo.

Sean 𝑑1 = 𝐴𝐵 , 𝑑2 = 𝐵𝐶 y 𝑑3 = 𝐴𝐶 .

𝑑 = 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑦1 − 𝑦2 2

𝑑1 = 2 − 5 2 + 4 − 1 2

𝑑1 = −3 2 + 3 2

𝑑1 = 9 + 9 = 18

𝑑2 = 5 − (−1) 2 + 1 − (−5) 2

𝑑2 = 6 2 + 6 2

𝑑2 = 36 + 36 = 72

𝑑3 = 2 − (−1) 2 + 4 − (−5) 2

𝑑3 = 3 2 + 9 2

𝑑3 = 9 + 81 = 90

Todo triangulo rectángulo debe de responder al teorema de pitagoras: el cuadrado

de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

ℎ2 = 𝑐𝑜2 + 𝑐𝑎2

En todo triangulo rectángulo debemos reconocer que: ℎ > 𝑐𝑜, ℎ > 𝑐𝑎, es decir en

un triangulo rectángulo el lado mas grande es la hipotenusa.

( 18)2

+ ( 72)2 = ( 90)2

18 + 72 = 90

Como se cumple el teorema de pitagoras se trata de un triangulo rectángulo.

Demostrar que los puntos A(-1,0), B(1,1) y C(5,3) son colineales.

Puntos colineales: son los que se encuentran ubicados sobre una misma línea recta.

Deben de satisfacer la relación fundamental de segmentos:

𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶

Sean 𝑑1 = 𝐴𝐵 , 𝑑2 = 𝐵𝐶 y 𝑑3 = 𝐴𝐶 .

𝑑 = 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑦1 − 𝑦2 2

𝑑1 = −1 − 1 2 + 0 − 1 2

𝑑1 = −2 2 + −1 2

𝑑1 = 4 + 1 = 5

𝑑2 = 1 − 5 2 + 1 − 3 2

𝑑2 = −4 2 + −2 2

𝑑2 = 16 + 4 = 20

𝑑3 = −1 − 5 2 + 0 − 3 2

𝑑3 = −6 2 + −3 2

𝑑3 = 36 + 9 = 45

Por lo tanto tenemos:

5 + 20 = 45

5 + 4 ∗ 5 = 9 ∗ 5

5 + 2 5 = 3 5

Por lo tanto tenemos que los puntos A, B y C son colineales

La longitud de un segmento es igual a 𝟔𝟖, si uno de los extremos del

segmento es A(-3,-1) y la ordenada del otro extremo en 1, determinar su

absisa.

𝑑 = 68 𝐴 −3,−1 𝐵(𝑥, 1)

𝑑 = 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑦1 − 𝑦2 2

68 = (−3 − 𝑥)2 + (−1 − 1)2

( 68)2 = (−3 − 𝑥)2 + (−2)2 2

68 = (−3 − 𝑥)2 + 4

68 = 9 + 6𝑥 + 𝑥2 + 4

𝑥2 + 6𝑥 − 55 = 0

Como llegamos a una ecuación cuadrática resolvemos por factorización:

𝑥 + 11 𝑥 − 5 = 0 𝑥1 = −11 𝑥2 = 5

Estos resultados implican que existen dos segmentos que cumplen:

Determinar la ecuación del lugar geométrico de un punto P que equidista

de A(-2,4) y B(5,-3)

Tenemos que cumplir con la condición: 𝑑𝐴𝑃 = 𝑑𝐵𝑃 , donde P(x,y)

𝑑 = 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑦1 − 𝑦2 2

(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2 = (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 3)2

Elevando ambos miembros al cuadrado:

(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2 = (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 3)2

𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 = 𝑥2 − 10𝑥 +

25 + 𝑦2 + 6𝑦 + 9

4𝑥 − 8𝑦 + 20 = −10𝑥 + 6𝑦 + 34

14𝑥 − 14𝑦 − 14 = 0

𝑥 − 𝑦 = 1

Determinar el punto medio entre A(-1,4) y B(3,0)

𝑃𝑀 = 𝑥1 + 𝑥2

2 ,

𝑦1 + 𝑦2

2

𝑃𝑀𝐴𝐵 = −1 + 3

2 ,

4 + 0

2 =

2

2,4

2 = (1,2)

El extremo de un segmento

es A(-4,-2). Si el punto medio de

dicho segmento es PM(2,1), hallar

las coordenadas del otro extremo

𝑩 = 𝒙𝟐, 𝒚𝟐

𝑃𝑀 = 𝑥1 + 𝑥2

2 ,

𝑦1 + 𝑦2

2 = (2,1)

2 =𝑥1 + 𝑥2

2 1 =

𝑦1 + 𝑦2

2

2 =−4 + 𝑥2

2 1 =

−2 + 𝑦2

2

4 = −4 + 𝑥2 2 = −2 + 𝑦2

𝑥2 = 8 𝑦2 = 4

Los vértices de un triangulo son A(2,2), B(3,-2) y C(-3,-1), determinar el

baricentro.

Baricentro: punto de intersección de las medianas.

Mediana: recta que parte de un vértice al punto medio del lado opuesto.

Determine la razón con la que los siguientes puntos dividen aun

segmento:

Razón: es la comparación entre dos cantidades (división). Si P divide a un segmento

AB entonces:

a) La razón será positiva si P se encuentra dentro del segmento

b) La razón será negativa si P se encuentra fuera del segmento

𝑟 =𝐴𝑃

𝐵𝑃

A punto de inicio

B punto final

P punto de división

Para los segmentos anteriores la razón será:

1. 𝐴𝑃

𝐵𝑃 =2

6=

1

3 2.

𝐴𝑃

𝐵𝑃 = −7

4 3.

𝐴𝑃

𝐵𝑃 =3

7

Los vértices de un triangulo son A(-3,-2), B(3,5) y C(-1,-5). Determinar las

coordenadas de los puntos que trisecan la mediana que parte de A.

El punto medio entre B y C será:

𝑃𝑀 = 𝑥1 + 𝑥2

2 ,

𝑦1 + 𝑦2

2

𝑃𝑀 = 3 − 1

2 ,

5 − 5

2 =

2

2 ,

0

2

𝑃𝑀 = 1, 0

Tomamos el segmento entre A y PM, lo queremos dividir en tres partes iguales, por

lo tanto necesitaremos dos puntos R y S.

Las coordenadas de un punto que divide a un segmento dada una razón son:

𝑥 =𝑥1 + 𝑟𝑥2

1 + 𝑟 𝑦 =

𝑦1 + 𝑟𝑦2

1 + 𝑟

𝑟𝑠 =𝐴𝑆

𝑆 𝑃𝑀 =

1

2

𝑥𝑠 =𝑥1 + 𝑟𝑥2

1 + 𝑟=

−3 + 12

(1)

1 + 12

=−3 + 1

232

=−

52

32

= −10

6= −

5

3

𝑦𝑠 =𝑦1 + 𝑟𝑦2

1 + 𝑟=

−2 + 12

(0)

1 + 12

=−2 + 0

32

=−

21

32

= −4

3

𝑆 −5

3, −

4

3

𝑟𝑅 =𝐴𝑅

𝑅 𝑃𝑀 =

2

1

𝑥𝑅 =𝑥1 + 𝑟𝑥2

1 + 𝑟=

−3 + 2(1)

1 + 2=

−3 + 2

3= −

1

3

𝑦𝑅 =𝑦1 + 𝑟𝑦2

1 + 𝑟=

−2 + 2(0)

1 + 2=

−2 + 0

3= −

2

3

𝑅 −1

3, −

2

3

Obtener el area de un polígono cuyos vértices son A(-4,1), B(-1,5), C(4,2),

D(2,-5), E(-3,-3)

a) mediante la formula de Herón de Alejandría

b) mediante el método de determinantes

a) La formula de Herón de

Alejandría se aplica para calcular el

area de triangulos y es:

𝐴 = 𝑠 𝑠 − 𝑑1 𝑠 − 𝑑2 (𝑠 − 𝑑3)

Donde 𝑑𝑖 son los lados del triangulo y

𝑠 =𝑑1 + 𝑑2 + 𝑑3

2

Para resolver este problema se dividirá

el polígono en triangulos, se calculara

el area para cada triangulo y después

se sumaran tales areas.

Calculemos las 𝑑𝑖

𝑑1 = −4 − (−1) 2 + 1 − 5 2

𝑑1 = −3 2 + −4 2

𝑑1 = 9 + 16 = 25

𝑑2 = −1 − 4 2 + 5 − 2 2

𝑑2 = −5 2 + 3 2

𝑑2 = 25 + 9 = 34

𝑑3 = −4 − 4) 2 + 1 − 2 2

𝑑3 = −8 2 + −1 2

𝑑3 = 64 + 1 = 65

𝑑4 = 4 − 2 2 + 2 − (−5) 2

𝑑4 = 2 2 + 7 2

𝑑4 = 4 + 49 = 53

𝑑5 = −4 − 2 2 + 1 − (−5) 2

𝑑5 = −6 2 + 6 2

𝑑5 = 36 + 36 = 72

𝑑6 = 2 − (−3) 2 + −5 − (−3) 2

𝑑6 = 5 2 + −2 2

𝑑6 = 25 + 4 = 29

𝑑7 = −4 − (−3) 2 + 1 − (−3) 2

𝑑7 = −1 2 + 4 2

𝑑7 = 1 + 16 = 17

Para el triangulo 𝐴1 tenemos:

𝑠 =𝑑1 + 𝑑2 + 𝑑3

2=

5 + 34 + 65

2≈ 9.44

𝐴1 = 9.44 9.44 − 5 9.44 − 34 (9.44 − 65) ≈ 14.45

Para el triangulo 𝐴2 tenemos:

𝑠 =𝑑3 + 𝑑4 + 𝑑5

2=

65 + 53 + 72

2≈ 11.91

𝐴2 = 11.91 11.91 − 65 11.91 − 53 (11.91 − 72) ≈ 26.98

Para el triangulo 𝐴3 tenemos:

𝑠 =𝑑5 + 𝑑6 + 𝑑7

2=

72 + 29 + 17

2≈ 8.99

𝐴3 = 8.99 8.99 − 72 8.99 − 29 (8.99 − 17) ≈ 8.97

Por lo tanto el area total es:

𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = 14.54 + 26.98 + 8.97 = 50.49

b) Metodo de determinantes

Determinar la pendiente y el angulo de inclinación de la recta que pasa

por los puntos A(-3,1) y B(2,.1)

𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝛼

𝑚 =−1 − 1

2 − −3 =

−2

5

𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 = −2

5 𝛼 = tan−1 −

2

5 = 21.801

Los vértices de un triangulo son A(4,5), B(1,-4) y C(-4,1), determinar los

angulos interiores del triangulo.

La formula que se emplea para obtener el angulo entre

dos rectas esta dada por:

𝑡𝑎𝑛𝛼 =𝑚2 − 𝑚1

1 + 𝑚1𝑚2

Calculemos las pendientes de cada una de las rectas que forma en triangulo.

𝑚𝐴𝐵 =−4 − 5

1 − 4=

−9

−3= 3

𝑚𝐵𝐶 =1 + 4

−4 − 1=

5

−5= −1

𝑚𝐴𝐶 =1 − 5

−4 − 4=

−4

−8= 1

2

Ahora calculemos los angulos interiores del triangulo.

Para el angulo α tenemos 𝑚1 = 12 , 𝑚2 = 3

tan 𝛼 =3 + 1

2

1 + 12 (3)

=52

1 + 32

=5252

= 1

𝛼 = tan−1 1 = 45°

Para el angulo β tenemos 𝑚1 = −1 ,

𝑚2 = 12

𝑡𝑎𝑛𝛽 =12

+ 1

1 + (−1) 12

=32

1 − 12

=3212

= 3

𝛽 = tan−1 3 = 71.57°

Para el angulo θ tenemos 𝑚1 = 3 , 𝑚2 =

−1

𝑡𝑎𝑛𝜃 =−1 − 3

1 + (3) −1 =

−4

1 − 3=

−4

−2= 2

𝜃 = tan−1 2 = 63.43°

Obtener la ecuación de la recta que pasa por A(-2,-1) y tiene una

pendiente igual a −𝟐𝟓

La ecuación punto pendiente es: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − −1 =−2

5(𝑥 − (−2))

5 𝑦 + 1 = −2(𝑥 + 2)

5𝑦 + 5 = −2𝑥 − 4

2𝑥 + 5𝑦 = −9

Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2,1) y es paralela

a la recta cuya ecuación es 𝟓𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟐𝟎 = 𝟎

Teoremas de paralelismo y perpendicularidad

- Dos rectas son paralelas si tiene la misma pendiente: 𝑚1 = 𝑚2

- Dos rectas so perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1: 𝑚1𝑚2 = −1

5𝑥 + 4𝑦 = 20

4𝑦 = 20 − 5𝑥

𝑦 =−5𝑥 + 20

4 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑚 =

−5

4

Usando la ecuación punto-pendiente

tenemos:

𝑦 − 1 =−5

4(𝑥 − (−2))

4 𝑦 − 1 = −5(𝑥 + 2)

4𝑦 − 4 = −5𝑥 − 10

5𝑥 + 4𝑦 = −6

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-3,-1) y es

perpendicular a la recta 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟔 = 𝟎

Obtenemos la pendiente de la recta:

3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0

2𝑦 = −3𝑥 + 6

𝑦 =−3𝑥 + 6

2=

−3

2𝑥 + 3

por lo tanto la pendiente de la recta que queremos encontrar debe de cumplir con la

condición de perpendicularidad.

𝑚1𝑚2 = −1 𝑚2 =−1

𝑚1

𝑚2 =−1−32

= 2

3

Como tenemos un punto y una pendiente, utilizamos la ecuación punto pendiente:

𝑦 − −1 =2

3(𝑥 − (−3))

3 𝑦 + 1 = 2(𝑥 + 3)

3𝑦 + 3 = 2𝑥 + 6

2𝑥 + 3𝑦 − 3 = 0

Determinar la distancia del punto P(4,5) y la recta 𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟎

Se obtiene una recta perpendicular a la dada que pase por P, se buscara la intersección

de ambas rectas y por ultimo la distancia del punto de intersección con P.

4𝑥 + 5𝑦 = −20 𝑦 =−4𝑥 − 20

5 𝑚 =

−4

5

Por lo tanto la pendiente de la recta que queremos encontrar debe de cumplir con la

condición de perpendicularidad.

𝑚1𝑚2 = −1 𝑚2 =−1

𝑚1

𝑚2 =−1−45

= 5

4

Usamos la ecuación punto pendiente:

𝑦 − 5 =5

4(𝑥 − 4)

4 𝑦 − 5 = 5(𝑥 − 4)

4𝑦 − 20 = 5𝑥 − 20

−5𝑥 + 4𝑦 = 0

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones por el método de suma y resta

4𝑥 + 5𝑦 = −20

5𝑥 − 4𝑦 = 0

20𝑥 + 25𝑦 = −100−20𝑥 + 16𝑦 = 0

41𝑦 = −100

𝑦 =−100

41

16𝑥 + 20𝑦 = −80

25𝑥 − 20𝑦 = 0

41𝑥 = −80

𝑥 =−80

41

Por lo tanto el punto Q(−80

41,−100

41) es

donde se intersectan la recta dada y

la que es perpendicular y pasa por P,

por lo tanto la distancia del punto P a

la recta 4𝑥 + 5𝑦 + 20 = 0 es la distancia de P a Q

𝑑𝑃𝑄 = −80

41− 4

2

+ −100

41− 5

2

𝑑𝑃𝑄 = −244

41

2

+ −205

41

2

𝑑𝑃𝑄 = 59536

1681+

93025

1681=

152561

1681≈ 9.52

Otra forma de hacerlo es utilizando la siguiente relación:

𝑑 =𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶

𝐴2 + 𝐵2

Para nuestro caso en particular tendríamos:

𝑑 =4𝑥 + 5𝑦 + 20

42 + 52=

4𝑥 + 5𝑦 + 20

41

Evalúamos en el punto P(4,5)

𝑑 =4(4) + 5(5) + 20

41=

16 + 25 + 20

41=

61

41≈ 9.53

Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-3,1) y B(1,-

5)

Ecuación punto-punto:

𝑦 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥1=

𝑦1 − 𝑦2

𝑥1 − 𝑥2

Por lo tanto la ecuación será:

𝑦 − 1

𝑥 − (−3)=

1 − (−5)

−3 − 1

𝑦 − 1

𝑥 + 3=

1 + 5

−4

𝑦 − 1

𝑥 + 3=

6

−4 −4 𝑦 − 1 = 6 𝑥 + 3

−4𝑦 + 4 = 6𝑥 + 18 −6𝑥 − 4𝑦 − 14 = 0 3𝑥 + 2𝑦 + 7 = 0

Faltan cosas de medianas, mediatices y alturas……

Escribir la ecuación 𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟐𝟎 = 𝟎 en su forma simetrica

La ecuación simetrica de la recta es aquella que se representa de la forma 𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1

donde a representa la intersección con el eje x, y b representa la intersección con el eje

y

4𝑥 + 5𝑦 = 20

4𝑥

20+

5𝑦

20= 1

𝑥

5+

𝑦

4= 1

Nombrar los elementos de la circunferencia.

Radio: segmento que une al centro con cualquier punto de la circunferencia.

Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro.

Arco: es un segmento sobre la circunferencia.

Tangente: es una recta que toca a la circunferencia en un solo punto.

Secante: es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Determinar la longitud de la cuerda que se encuentra sobre la recta

𝒙 − 𝟕𝒚 = −𝟐𝟓 de la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

𝑥 − 7𝑦 = −25

𝑥2 + 𝑦2 = 25

𝑥 − 7𝑦 = −25 𝑥 = 7𝑦 − 25

7𝑦 − 25 2 + 𝑦2 = 25

49𝑦2 − 350𝑦 + 625 + 𝑦2 = 25

50𝑦2 − 350𝑦 + 600 = 0

𝑦2 − 7𝑦 + 12 = 0

Resolvemos por factorización:

𝑦 − 4 𝑦 − 3 = 0 𝑦1 = 4 𝑦2 = 3

Sustituimos en la ecuación lineal cada una de las soluciones de la ecuación cuadrática.

𝑥 = 7 4 − 25 = 28 − 25 = 3

El primer punto de intersección es (3,4)

𝑥 = 7 3 − 25 = 21 − 25 = −4

El segundo punto de intersección es (-4,3)

Por lo tanto la longitud de la cuerda es la distancia entre los puntos de intersección

𝑑 = −4 − 3 2 + 3 − 4 2 = −7 2 + −1 2 = 49 + 1 = 50

http://azul.bnct.ipn.mx/~jinfante/circunferencia/circunferencia.pdf