1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(1, 2, 3) y P2(0, 1, 2) dando la ecuación vectorial, la paramétrica y la cartesiana.

RESPUESTA 1

Podemos considerar, sobre un sistema de ejes cartesianos en el espacio, dos puntos P1 y P2 y un punto genérico P de la recta. Teniendo en cuenta la figura adjunta, resulta:

Y considerando que todo vector arbitrario P1P es combinación lineal del vector P1P2, la igualdad anterior nos queda:

Y sustituyendo por los valores de las coordenadas:

Que es la ecuación vectorial de la recta pedida. La anterior ecuación también e puede poner:

Que es la ecuación paramétrica de la recta.Eliminando el parámetro se obtiene la ecuación cartesiana:

Y en nuestro caso concreto:

2) Determinar la ecuación del plano que contiene a la recta:

Y pasa por el punto (1, 2, 3)

RESPUESTA 2

Si eliminamos denominadores, obtenemos la ecuación de la recta como corte de dos planos. Tomando las ecuaciones dos a dos, resulta:2•x – 1•y + 1 = 0

1•y – 2•z + 1 = 0Se define como haz de planos al conjunto de los planos que se cortan en una recta común. Todos los planos del haz se pueden obtener como combinación lineal de dos planos pertenecientes al haz. Obtenemos entonces la ecuación del haz que satisfacen los dos planos anteriores:2•x – y + 1 + (y – 2.z + 1) = 0Como el plano que nos interesa debe contener al punto (1, 2, 3), la anterior ecuación debe quedar satisfecha por dicho valor:2•x – y + 1 + (y – 2.z + 1) = 0 2•1 – 2 + 1 + (2 – 2.3 + 1) = 0 = 1/3Hemos obtenido de ese modo el valor del parámetro que satisface las condiciones pedidas. Sustituyendo en la ecuación y agrupando coordenadas, tenemos:

Podemos también resolver el problema en otra forma. Para ello obtenemos tres puntos que pertenezcan al plano y desarrollamos el determinante:

Necesariamente, el punto (1, 2, 3) debe pertenecer al plano, por lo que será uno de los puntos. Si tomamos complementariamente dos puntos de la recta, tendremos los necesarios. Considerando las dos primeras ecuaciones y dando valores a una de las coordenadas, obtenemos las otras dos:

Con lo que podemos formar el determinante:

Que resuelto por los adjuntos de la primera fila nos da:

Y desarrollando:3•x – 1•y + (-1)•z – (-2) = 0 ? 3•x – y – z = 0Ecuación que coincide con la obtenida por el método anterior.

3) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (4, 2, -1) y es perpendicular a los planos:1•x – 3•y + z – 6 = 0 ; x + 4•z – 8 = 0Determinar también el ángulo del plano hallado con cada uno de los ejes de coordenadas.

RESPUESTA 3

La ecuación general del plano es de la forma:A•x + B•y + C•z + D = 0Vamos a obtener los coeficientes A, B y C y el término independiente, D, para lo cual planteamos un sistema de ecuaciones. Sabemos que el punto (4, 2, -1) pertenece al plano, por lo tanto, satisfará la ecuación anterior, es decir:4•A + 2•B – C = - DPor otro lado, nos dan las ecuaciones de dos planos perpendiculares al solicitado y sabemos que la condición de perpendicularidad de dos planos es:A•A’ + B•B’ + C•C’ = 0Por lo que tendremos:A - 3•B + C = 0 ; A + 4•C = 0Y podemos formar el sistema:4•A + 2•B – C = - D ; A - 3•B + C = 0 ; A + 4•C = 0Si tomamos D como valor conocido obtenemos:

Y sustituyendo en la ecuación general:

Simplificando, cambiando de signo y eliminando denominadores, queda:4•x + y – z – 19 = 0Que es la ecuación pedida.Sabemos que el ángulo formado por los vectores directores de un plano y una recta es el complementario del formado por el plano y la recta, por lo tanto tenemos:

Sabiendo entonces que los vectores directores de los ejes X, Y y Z son, respectivamente, vx = (1, 0, 0), vy = (0, 1, 0) , vz = (0, 0, 1) tenemos:

Y el problema ha quedado resuelto.

4) Determinar la distancia desde el punto P(1, 2, 3) a la recta:

RESPUESTA 4

En la figura adjunta se tiene:

Por otro lado, el producto vectorial del vector director de la recta con el vector P0P se expresa:

Las coordenadas del vector director de la recta viene dadas por los denominadores de la ecuación continua v(1, 1, 2). Las coordenadas de un punto de la recta vienen dadas por los términos conocidos del numerador, es decir P0 = (1, 0, 1).El vector P0P tendrá entonces de coordenadas (x-x0, y-y0, z-z0) = (0, 2, 2). El módulo del producto vectorial será entonces:

El módulo del vector director valdrá:

Con lo que, finalmente:

5) Hallar la proyección ortogonal sobre el plano x – 3•y + z – 2 = 0, de la recta:

RESPUESTA 5

Podemos resolver el problema obteniendo la ecuación del plano que contenga a la recta y sea perpendicular al plano pedido, de ese modo, la recta de corte de los dos planos será la proyección de la recta dada. Determinamos la ecuación del haz de planos que contienen a la recta del enunciado.

La ecuación del haz de planos será:

Como debemos tomar un plano perpendicular al dado, se deberá cumplir la condición de perpendicularidad:

Y sustituyendo el valor de lambda en la ecuación del haz:

Podemos así poner la ecuación de la recta como corte de dos planos:9•x + 10•y + 3•z – 6 = 0 ; x – 3•y + z – 2 = 0

6) Determinar las coordenadas del punto simétrico del (-3, 1, -7) respecto de la recta:

RESPUESTA 6

La ecuación general del plano es:A•x + B3y + C•z + D = 0Vamos a obtener la ecuación de un plano que sea perpendicular a la recta y contenga al punto dado; dicho plano también contendrá a su simétrico según la recta. Como el referido punto pertenece al plano, cumplirá la ecuación pedida y, además, por ser perpendicular a la recta, tendrá el mismo vector director que esta; por lo tanto:x + 2•y + 2•z + D = 0 - 3 + 2 – 14 + D = 0 D = 15y la ecuación del plano será entonces:x + 2•y + 2•z + 15 = 0Nos interesa ahora encontrar el punto de corte de la recta con el plano, para lo cual resolvemos el sistema:

Y sustituyendo el valor de las coordenadas en la ecuación del plano:

Poniendo el valor obtenido en las ecuaciones de las coordenadas:x = (-2) – 1 = -3 ; y = 2(-2) + 3 = -1 ; z = 2(-2) – 1 = - 5El punto (-3, -1, -5) será el punto medio entre (- 3, 1, - 7) y su simétrico según la recta dada:

Por lo tanto, las coordenadas del punto buscado son (-3, -3, -3)

7) Un tetraedro tiene tres vértices fijos en los puntos a(0, 0, 0) , b(2, 0, 1) , c(0, -1, 3) y el cuarto vértice, P, variable sobre el plano x + y + z – 1 = 0.Determinar el lugar geométrico de P cuando el volumen del tetraedro valga 1.

RESPUESTA 7

Sabemos que el volumen de un tetraedro se puede obtener por el determinante de cuarto orden en el que se tienen las coordenadas de los vértices, completadas con el vector columna (1, 1, 1, 1). La sexta parte del valor del determinante es igual al

volumen del tetraedro. Podemos poner así:

Desarrollando el determinante por los adjuntos de la segunda fila, tenemos:

Es decir, el punto buscado estará en el plano obtenido. Como también tiene que pertenecer al plano x + y + z – 1 = 0, el lugar geométrico serán aquellos puntos que cumplan las dos condiciones, es decir, una recta :x – 2•y – 2•z – 6 = 0 ; x + y + z – 1 = 0Vamos a escribir la ecuación de dicha recta en forma continua o cartesiana. Para ello debemos determinar su vector director. El vector director de una recta se puede determinar a partir del producto vectorial de los vectores directores de los planos:

Para determinar un punto de la recta, damos valores a una de las variables de las ecuaciones que la definen. Si damos a z el valor 0, obtenemos x = 8/3 ; y = - 5/3, y la ecuación de la recta queda en la forma:

8) Determinar la ecuación del plano paralelo a las rectas:

Y que limita con los planos coordenados un tetraedro de volumen unidad.

RESPUESTA 8

Como el plano buscado limita con los planos coordenados un tetraedro, tendrá puntos de corte con ellos y podemos ponerlo en forma segmentaria:

Siendo a, b y c los valores no nulos de las coordenadas de los puntos de corte. Quitando denominadores tenemos:bc•x + ac•y + ab•z = abcPuesta la ecuación del plano en forma general, podemos plantear tres condiciones:1ª.- El plano es paralelo a la primera recta dada en el enunciado. La suma de los productos de los vectores debe ser nula:A•a + B•b + C•c = 0 ? 3•bc + 4•ac – 3•ab = 02ª.- El plano es paralelo a la segunda recta. Se tiene de igual forma:-2•bc + 2•ac + 2•ab = 0 - bc + ac + 2•ab = 03ª.- Forma un tetraedro de volumen unidad en su corte con los ejes coordenados:

Tenemos así el sistema:3•bc + 4•ac – 3•ab = 0 ; - bc + ac + 2•ab = 0 ; a•b•c – 6 = 0Que resuelto nos da:

Con lo que podemos poner la ecuación del plano:

Que es la solución pedida.

9) Hallar el plano simétrico del Z = 0 con respecto al plano x + 3•y – 2•z = 0.

RESPUESTA 9

Vamos a resolver el problema tomando tres puntos del plano Z = 0 y determinando después los simétricos respecto al plano pedido, para después plantear la ecuación que nos interesa. Los tres puntos del plano Z = 0 que vamos a tomar son:

a = (1, 0, 0) ; b = (1, 1, 0) ; c = (0, 1, 0)

La recta que una cada punto con su simétrico será perpendicular al plano de simetría y, puesto que una recta y plano perpendiculares tienen el mismo vector director, podemos plantear la siguiente ecuación de la recta que contiene al punto (1, 0, 0):

Esta recta tendrá un punto común con el plano x + 3•y – 2•z = 0, por lo que tenemos el sistema:

Sustituyendo el valor de lambda en las coordenadas del punto, tenemos:

Para las rectas que contienen a los puntos (1, 1, 0) y (0, 1, 0) se procede de modo análogo al visto, obteniéndose las ecuaciones:

Siendo los respectivos puntos d ecorte con el plano x + 3•y – 2•z = 0

Estos tres puntos hallados son los puntos medios de los del plano z = 0 respecto al otro plano; por lo tanto, las coordenadas de los puntos simétricos podemos determinarlas aplicando la fórmula general:

Las coordenadas del primer punto simétrico serán:

Haciendo de igual forma con los otros dos puntos, se obtienen como coordenadas de los simétricos:

Conociendo tres puntos del plano simétrico podemos obtener la ecuación del mismo:

Desarrollando el determinante, nos queda como ecuación del plano: 2•x + 6•y + 3•z = 0

Este problema puede resolverse también por otro método. Sabemos que los tres planos, el plano z = 0, el plano de simetría y el plano simétrico, se cortan en una recta común; por lo tanto, los tres planos forman parte de un haz. Sabiendo que las ecuaciones de dos de los planos del haz son:z = 0 ; x + 3•y – 2•z = 0La ecuación del haz será:

El plano z = 0 y su simétrico tendrán el mismo ángulo respecto del plano de simetría, por lo tanto, podemos hacer:

Es decir, se cumplirá:

Simplificando nos queda: = 7/2 y sustituyendo en la ecuación del haz de planos:

Que, naturalmente, es el mismo resultado que en el método anterior.

10) Dado el plano x + 2•y + 2•z – 13 = 0, determinar las coordenadas del punto donde le corta una recta perpendicular al mismo y que pasa por el punto (2, -3, 4)

RESPUESTA 10

La ecuación general de la recta en forma continua es:

Donde los valores x’, y’, z’ son conocidos y expresan las coordenadas de un punto de la recta. Por otro lado, los coeficientes a, b, c son las coordenadas del vector director de la recta. El vector director de una recta y un plano perpendiculares entre sí es el mismo. Por consiguiente, podemos poner:

La ecuación continua de la recta la podemos poner n forma paramétrica:

Existe un punto común entre la recta y el plano, por lo tanto, las anteriores ecuaciones satisfarán a la del plano:

Sustituyendo el valor del parámetro en las ecuaciones paramétricas, resulta x = 3 ; y = -1 ; z = 6, y el punto de corte de la recta con el plano será (3, -1, 6)

11) Hallar el simétrico del plano 2•x – y + 2•z – 5 = 0 respecto del punto (-2, 1, 3)

RESPUESTA 11

Vamos resolver el problema tomando tres puntos del plano y determinando los simétricos respecto del punto dado; los tres puntos obtenidos determinarán el plano buscado. Dando valores a dos coordenadas de la ecuación del plano obtenemos:A = (0, 1, 3) ; B = (0, -5, 0) ; C = (3, 1, 0)Sabemos que el punto (-2, 1, 3) dado, es el punto medio entre estos tres y cada uno de sus simétricos. Aplicando la fórmula general para la obtención del punto medio de dos,

Obtenemos los puntos simétricos A’ = (-4, 1, 3) ; B’ = (-4, 7, 6) ; C’ = (-7, 1, 6). Conociendo tres puntos del plano, podemos obtener su ecuación desarrollando el determinante

Lo cual nos da 2•x – y – 2•z + 3 = 0, que es la ecuación del plano pedido.

12) Hallar un punto sobre el eje OY que equidiste de los planos:2•x + 3•y + 6•z – 6 = 0 ; 6•x + 9•y – 72•z + 73 = 0RESPUESTA 12

Si el punto buscado se encuentra en el eje OY tendrá de coordenadas (0, y, 0). Por otro lado, si equidista de los referidos planos, habrá la misma distancia en ambos casos y para resolver el problema podemos aplicar la expresión general de la distancia de un punto a un plano, que vamos a obtener.

En la figura se tiene:

Con lo que podemos poner:

Si hacemos –A•x – B•y – C•z = D tenemos finalmente:

En este problema concreto tendremos:

Y las coordenadas del punto buscado serán (0, 73/12, 0)

13) Calcular el área de la proyección ortogonal del triángulo de vértices A = (7, 0, 4) , B = (2, 1, 1) y C = (5, 2, 2) sobre el plano 3•x – 5•y + z – 2 = 0

RESPUESTA 13

Sabemos que el producto vectorial de dos vectores expresa en módulo el doble del área del triángulo que definen, por lo tanto, si consideramos dos de los lados del triángulo como vectores, tendremos:

Nosotros debemos calcular el área del triangulo proyectado. En la figura se tiene:

Siendo alfa el ángulo formado por los dos planos.

Calculamos entonces el vector director del plano en el que está el triángulo. Conociendo tres puntos, se tiene:

El vector director del plano que contiene al triángulo será V = (4, -4, -8) = (1, -1, -2) y el vector director del plano que nos han dado es (3, -5, 1); el ángulo entre ambos será, entonces:

Y el área pedida será:

14) Escribir las ecuaciones de los planos que pasan por la recta x + 3•y – 6 = 0 ; x – 3•z + 7 = 0 y quedan a una distancia igual a 1 del punto (1, 2, 1)

RESPUESTA 14

La ecuación del haz de planos que pasan por la recta es:

De todos los planos del haz. Solo nos interesan aquellos que estén a la distancia 1 del

punto (1, 2, 1):

Sustituyendo el valor de lambda en la ecuación del haz, obtenemos los dos planos que cumplen la condición pedida.15) Determinar la distancia mínima de la recta

Al eje de las x.

RESPUESTA 15

De todos los planos que pasen por el eje de las x, habrá uno que será paralelo a la recta dada. Todos estos planos formarán un haz que tiene por ecuación:

Como el plano buscado tiene que ser paralelo a la recta dada, se ha de cumplir

La ecuación del plano que contiene al eje x y es paralelo a la recta dada es y + 2•z = 0. La distancia entre este plano y la recta es constante por ser paralelos y coincide con la distancia mínima de la recta al eje x. Tomando, por ejemplo, el punto (-4, 3, -2) que pertenece a la recta, se debe cumplir lo dicho, es decir:

Por lo tanto, según las hipótesis mantenidas, el valor obtenido es la distancia mínima entre el eje de las x y la recta dada.

16) Escribir la ecuación del plano tangente y la normal a la siguiente superficie

Considerando el punto P = (1, -2, 5)

RESPUESTA 16

Vamos a determinar en primer lugar el gradiente de la función en el punto dado. Como la función viene dada en forma implícita, ponemos:

Y derivando:

Por lo que el gradiente de la función en el punto considerado será:

Sabiendo que el gradiente es un vector perpendicular a la superficie en el punto considerado, podemos escribir:

Y simplificando:

Que es la ecuación del plano tangente.Sabiendo, por otro lado, que la ecuación de la normal al plano tangente viene dada por la expresión:

Podemos poner:

17) Escribir la ecuación del plano tangente y la normal a la superficie

En el punto P = (4, 3, 4)

RESPUESTA 17

Para determinar la ecuación de la tangente a la curva dada en el punto considerado, calculamos el gradiente de la función. Como la función está dada en forma explícita,

podemos calcularlo directamente:

Con lo que tendremos:

Es decir:

Sabiendo ahora que el gradiente es un vector perpendicular a la superficie en el punto considerado, podemos escribir:

Y para la normal tendremos:

18) Obtener las ecuaciones del plano tangente y la normal a la superficie dada por la ecuación

En el punto P = (R•cos a, R.sin a, R)

RESPUESTA 18

Para resolver el problema debemos obtener el gradiente de la función en el punto considerado. Previamente transformamos la ecuación dada:

Calculando las derivadas parciales de esta función, tenemos:

Y considerando valores en el punto P:

Por lo tanto, podemos poner para el plano tangente:

Desarrollando los paréntesis y simplificando nos queda:

Finalmente, la ecuación de la normal al plano será:

19) Determinar la distancia desde el punto P(1, 2, 3) a la recta:

RESPUESTA 19

En la figura adjunta se tiene:

Por otro lado, el producto vectorial del vector director de la recta con el vector P0P, se expresa:

Las coordenadas del vector director de la recta vienen dadas por los denominadores de la ecuación continua, es decir, v(1, 1, 2).Las coordenadas de un punto de la recta vienen dadas por los términos conocidos del numerador, a saber, P0 = (1, 0, 1).El vector P0P tendrá, entonces, de coordenadas:

El módulo del producto vectorial será:

El módulo del vector director será:

Y, por lo tanto, la distancia pedida vendrá dada por:

20) Hallar la proyección ortogonal sobre el plano – 3•y + z – 2 = 0, de la recta:

RESPUESTA 20

Podemos resolver el problema obteniendo la ecuación del plano que contenga a la recta y sea perpendicular al plano pedido; de ese modo, la recta de corte de los dos planos será la proyección de la recta dada.Determinamos la ecuación del haz de planos que contienen a la recta del enunciado:

La ecuación del haz de planos será:

Como debemos tomar un plano perpendicular al dado, se deberá cumplir la condición de perpendicularidad:

Sustituyendo el valor del parámetro en la ecuación del haz:

Podemos así poner la ecuación de la recta como corte de dos planos:

21) Determinar las coordenadas del punto simétrico del (-3,1-7) respecto de la recta:

RESPUESTA 21

La ecuación general del plano es:

Vamos a obtener la ecuación de un plano que sea perpendicular a la recta y contenga al punto (-3,1,-7). Dicho plano también contendrá a su simétrico según la recta. Como el referido punto pertenece al plano, cumplirá la ecuación solicitada y además, por ser perpendicular a la recta, tendrá el mismo vector director; por lo tanto:

La ecuación del plano será entonces:

Nos interesa ahora encontrar el punto de corte de la recta con el plano; para ello resolvemos el sistema:

Sustituyendo el valor de las coordenadas en la ecuación del plano:

Poniendo el valor obtenido para el parámetro en las ecuaciones de las coordenadas:

El punto (-3, -1, -5) será el punto medio entre (-3, 1, -7) y su simétrico según la recta dada:

Por lo tanto, las coordenadas del punto buscado son (-3, -3, -3)

22) Un tetraedro tiene tres vértices fijos en los puntos a(0, 0, 0) ; b(2, 0, 1) ; c(0, -1, -3) y el cuarto vértice p variable sobre el plano x + y + z -1 = 0Determinar el lugar geométrico de p para que el volumen del tetraedro valga 1.

RESPUESTA 22

Sabemos que el volumen de un tetraedro se puede obtener por el determinante de cuarto orden en el que se tienen las coordenadas de los vértices completadas por el vector columna (1, 1, 1, 1). La sexta parte del valor del determinante es el volumen del tetraedro. Podemos poner así:

Desarrollando el determinante por los adjuntos de la segunda fila, obtenemos:

Es decir, que el punto buscado estará en el plano obtenido. Como también tiene que pertenecer al plano dado en el enunciado, el lugar geométrico buscado serán aquellos puntos que cumplan las dos condiciones, o sea una recta. Vamos a escribir la recta:

En forma continua o cartesiana. Para ello debemos determinar el vector director de la recta. El vector director de la recta se puede determinar mediante el producto vectorial de los vectores directores de los planos:

Para determinar un punto de la recta, damos valores a una de las variables de las ecuaciones que las definen. Si damos a z el valor cero, obtenemos para x e y los valores respectivos (8/3) y (-5/3) y la ecuación de la recta queda en la forma:

23) n tetraedro tiene tres vértices fijos en los puntos a(0, 0, 0) ; b(2, 0, 1) ; c(0, -1, -3) y el cuarto vértice p variable sobre el plano x + y + z -1 = 0Determinar el lugar geométrico de p para que el volumen del tetraedro valga 1.

RESPUESTA 22

Sabemos que el volumen de un tetraedro se puede obtener por el determinante de cuarto orden en el que se tienen las coordenadas de los vértices completadas por el vector columna (1, 1, 1, 1). La sexta parte del valor del determinante es el volumen del tetraedro. Podemos poner así:

Desarrollando el determinante por los adjuntos de la segunda fila, obtenemos:

Es decir, que el punto buscado estará en el plano obtenido. Como también tiene que pertenecer al plano dado en el enunciado, el lugar geométrico buscado serán aquellos puntos que cumplan las dos condiciones, o sea una recta. Vamos a escribir la recta:

En forma continua o cartesiana. Para ello debemos determinar el vector director de la recta. El vector director de la recta se puede determinar mediante el producto vectorial de los vectores directores de los planos:

Para determinar un punto de la recta, damos valores a una de las variables de las ecuaciones que las definen. Si damos a z el valor cero, obtenemos para x e y los valores respectivos (8/3) y (-5/3) y la ecuación de la recta queda en la forma:

24) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

En el punto t = 1

RESPUESTA 24

La ecuación de la tangente será:

Y tenemos:

Con lo que resulta:

O puesta la ecuación en forma continua:

25) Hallar las intersecciones del plano X1X2 con las rectas tangentes a la hélice:

RESPUESTA 25

En primer lugar calculamos la ecuación general de las tangentes a la hélice. Para ello derivamos respecto al parámetro t:

Con lo que dicha ecuación será:

Por otro lado, sabemos que la ecuación del plano X1X2 es X3 = 0. Así pues, tenemos que resolver el sistema:

Sustituyendo el valor del parámetro dado por la tercera ecuación, tenemos para las otras dos:

Y resulta la ecuación de una parábola.