8/17/2019 Problemas Resueltos Relatividad-2012

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PROBLEMAS RESUELTOS DE RELATIVIDAD ESPECIAL

1) En una película de ciencia ficción un pasajero viaja en un tren superrápido que se

mueve a una velocidad de 0,75c. Cuando el tren pasa frente a la plataforma de la

estación, un empleado de la misma levanta un reloj y después lo deja. Si el pasajeroobserva que el empleado sostuvo el reloj durante 8 s, ¿qué tanto tiempo piensa el

empleado haberlo sostenido? 

Esta es una situación se tiene un intervalo de tiempo que es “medido” por dos observadores

inerciales, que tienen una velocidad relativa entre ellos. Los observadores son el empleado de

la estación y el pasajero que viaja en el tren. Como el tren se mueve respecto de la estación a

0,75c, el pasajero es el observador móvil del suceso que está pasando en el sistema de la

estación.

El suceso ocurre en la estación, por lo tanto el tiempo que mide el empleado es el tiempo

 propio y el que mide el pasajero (observador móvil respecto del sistema donde ocurre el

evento) es el tiempo dilatado.Entonces, 8 segundos es el tiempo dilatado y to es el tiempo propio que se debe hallar.

Aplicando la expresión matemática de la dilatación del tiempo será:

de donde

Finalmente:

El empleado piensa haber sostenido el reloj durante 5,3 segundos

2) En cierto sistema inercial la energía total de un protón es tres veces su energía de

reposo.

a) Encuentre la energía de reposo y la cinética, en ese sistema.

b) Respecto de otro sistema inercial que se aleja del anterior a la misma dirección y

sentido que el protón, a velocidad 0,4c ¿qué velocidad tendrá el protón?

a) Esta situación física se refiere a una partícula en movimiento a altas velocidades. La partícula es un protón y se conoce la relación entre su energía de reposo y la energía total, para un dado sistema inercial, desde el cual se han hecho las mediciones.

Para un protón su energía de reposo, expresada en Mev se obtiene a partir de la masa en

reposo de la partícula, haciendo:

Eo = m p . c² = 1,672 . 10-27 kg . (3. 108 m/s )² ≈ 1,5048 . 10-10 J ≈ 939, 325 Mev

La energía cinética es el incremento de masa debido a la velocidad adquirida expresado en

energía; su expresión matemática es la diferencia entre la energía total y la de reposo de la

 partícula. Será entonces:

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Ec = ET – Eo  y según el dato dado la energía total es el triple de la de reposo, por lo tanto

será:

Ec = ET – Eo = 3 Eo - Eo  = 2 Eo  = 2 . 939,325 Mev ≈ 1878,65 Mev

 b) Considerando la representación gráfica de una partícula en movimiento con determinada

velocidad, que es “observada” desde dos sistemas inerciales que se mueven con velocidad

relativa entre ellos, la situación dada sería:

v = 0,4 c es la

velocidad relativa

entre los sistemas

inerciales; sería la

velocidad con que el

sistema S’ se aleja del

sistema S.La velocidad de la

 partícula respecto del

sistema S (vx) , es

 posible hallarla con el

dato de la energía total de la partícula en el sistema S. Esto sería:

De esa ecuación lo que interesa es despejar la velocidad v, que es la velocidad vx  de la

 partícula medida en el sistema inercial S.

Haciendo los pasos algebraicos necesarios, resulta:

Por medio de la ecuación de transformación de velocidades, se obtiene la velocidad del

 protón, medida en el sistema S’. Esto es:

El protón tiene una velocidad de 0,872c respecto del sistema inercial que se aleja.

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3) Cuando un cohete pasa en su órbita por la Tierra con rapidez v, manda un pulso de

luz por delante de él. ¿Qué tan rápidamente se moverá el pulso de luz de acuerdo a una

persona que se encuentre sobre la Tierra?

El pulso de luz se emite en el vacío, y se desplaza a una velocidad v` x= c, con respecto al

sistema de referencia del cohete. El cohete, sistema de referencia S’ se mueve respecto de laTierra con velocidad v (medida por el observador terrestre). Entonces, la Tierra es el

observador “en reposo” y el cohete el observador móvil. Se quiere conocer la velocidad a la

que se mueve el pulso de luz (vx) desde la Tierra.

La figura muestra el esquema con los sistemas inerciales y el pulso de luz viajando. Se

indican las velocidades dadas.

De acuerdo al segundo postulado de la relatividad la velocidad de la luz es la misma medida

en cualquier sistema inercial e independiente de la velocidad de Lafuente emisora, por lo tanto

la velocidad del pulso de luz, medida por el observador terrestre también será c.

De todas maneras se puede aplicar la ecuación de transformación de velocidades, y hallar la

velocidad medida en la Tierra como, notando que v`x = c y debemos hallar vxLa ecuación de transformación de velocidades es:

El dato es , así que hay que despejar de esta ecuación ; haciendo el pasaje de factores

correspondientes (no se hacen aquí los pasos algebraicos dado que no serán de gran dificultad

 para un alumno de este nivel universitario), la expresión buscada es:

Puede verse que el resultado obtenido por el cálculo con la transformación de Lorentz es el

mismo que el predicho por el postulado de Einstein. El valor medido es el mismo,

independientemente del valor de la velocidad que tenga el sistema inercial que realiza la

medición.

El problema también puede ser resuelto considerando al cohete como sistema fijo y la Tierra

como el observador móvil que medirá la velocidad del pulso de luz. En ese caso los datos

serían la y la Tierra moviéndose en sentido contrario al del cohete con velocidad (la

Tierra se movería hacia la izquierda), habría que hallar . (queda como ejercicio

 propuesto).

S

S’

c

v