problemas y ejercicios de análisis matemático tomo 1 - fl

8/13/2019 Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Tomo 1 - FL

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G. N. BERMAN

Problemas y Ejercicios de

ANALISIS

MATEMATICO



I

G. N. BERMAN

PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE

NÁLISIS

M TEMÁTICOTOMO 1 (CÁLCULO DIFERENCIAL)

Solucionarlopor: R. FIGUEROAG.

EDICIONES

M . F p j | LIMA - PERU



LÍMITE Y CONTINUIDAD

DEFINICIONES PRINCIPALES1.1 Funciones de argumento entero 1331.2 Funciones de argumento continuo 141

MAGNITUDES INFINITAS

2.1 Criterios de existencia del Límite 144

FUNCIONES CONTINUAS 155

OPERACIÓN DE HALLAR LOS LÍMITES

4.1 Funciones de argumento entero 1714.2 Funciones de argumento continuo 1774.3 Límites de Funciones Trigonométricas 1914.4 Límites Exponenciales y Logarítmicas 2024.5 Diversos Límites 2104.6 Comparación de magnitudes Infinitesimales 2184.7 Algunos problemas de geometría 2274.8 Problemas de Cálculo 233

3DERIVADAL DERIVADA. VELOCIDAD DE VARIACIÓN 237

1.1 Algunos Problemas de Física 2381.2 Función Derivada 242

C o n t e n i d o _____________________________________________________ Y

1.3 Interpretación geométrica de la derivada 248

DIFERENCIACIÓN DE LAS FUNCIONES ____________________

2.1 Funciones Algebraicas 2532.2 Funciones Trigonométricas 271

2.3 Funciones Trigonométricas Inversas 2782.4 Furiciones Logarítmicas 2852.5 Funciones Exponenciales 2912.6 Funciones Hiperbólicas 2972.7 Derivación Logarítmica 3032.8 Derivadas de Funciones Diversas 3072.9 Funciones Inversas 3362.10 Funciones dadas en forma implícita 3402.11 Aplicación de la Derivada 345

DIFERENCIAL __________________________________________

3.1 Errores Pequeños 373

3.2 Interpretación geométrica de la diferencial 373

3.3 Diferenciabilidad de las funciones 387

LA DERIVADA COMO VELOCIDAD DE VARIACIÓN ___________ 394

4.1 Funciones dadas en forma paramétricas 3994.2 Velocidad de la variación del radio polar 4164.3 Velocidad de la variación de la longitud 4234.4 Velocidad del Movimiento 427

DERIVACIÓN SUCESIVA _______________________ _ ______________ 430

5.1 Funciones dadas en forma explícita 4315.2 Funciones dadas en forma implícita 4455.3 Funciones dadas en forma paramétrica 4495.4 Aceleración del movimiento 4545.5 Fórmula de Leibniz 4585.6 Diferenciales de órdenes superiores 464



VI__________________________________________________________ Contenido

4ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES

i COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES __________________ 469

1.1 Valores máximos y mínimos de una función 4691.2 C riterio de monotonía de las funciones 4711.3 Determinación de los valores máximos y mínimos de

una función 472

APLICACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADA____________________

2.1 Teorema de Rolle 4802.2 Teorema de Lagrange 4822.3 Teorema Cauchy 4832.4 Comportamiento de las funciones en el intervalo 4992.5 Valores máximo y mínimo de una función en un intervalo 5142.6 Desigualdades 5182.7 Problemas para hallar los valores máximos y mínimos

de las funcione s 522

APLICACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA ___________________

3.1 Valores extrem os 5223.2 Convexidad. Concavidad. Puntos de Inflexión 556

TAREAS COMPLEMENTARIAS ______________________________

4.1 La fórmula de Cauchy 5754.2 Regla de L’Hospital 5774.3 Variación asintótica de las funciones y asíntotas de laslíneas 5974.4 Análisis general de las funciones y de las líneas 610

FORMULA DE TAYLOR_________________________________ __

4.1 Fórmula de Taylor para los polinomios 6814.2 Fórmula de Taylor 4.3 Algunas aplicaciones de la fórmula de Taylor 694

1.1 FUNCIONES Y FORMAS DE SU EXPRESIÓN

C 3 3 2 & B B B Sean dados los conjuntos A={x} y 3={y}. El con-

junto formado por dos elementos {x,y}, xeA, yeB,

se llama pan de los elementos x e y.

El par de la forma {x,{x,yj}, donde xeA, yeB y {x,y}es un par da

elementos x e y se denomina pan. o/idenado de los elementos x e y,

que reciben, respectivamente, el nombre de primer y segundo ele-

mento del par ordenado. El par ordenado {x,{x,y}} se denota por

(x,y), de modo que:

(x,y) = {x,{x,y}}

El conjunto de todos los pares ordenados (x,y), xeA, yeB se lla-ma p/ioducío ca/iie-ólano de los conjuntos A y B, y se denota simbó

licamente por:

AxB = {(x,y)/xeA, yeB}

Cuando A=B, el símbolo A 2 designa el producto A*A.

Dados dos conjuntos A y B, se denomina ¿unción

de A en B, a cualquier conjunto fe AxB que aso-

cia un elemento x que pertenece a A (conjunto de partida), con



2 Cavítulo 1: Función

uno y sólo un elemento y, que pertenece al conjunto B (conjunto

de llegada)t Esto es, un conjunto f es una función de A en B, q'

se denota f:A*B, si

i) fe AxB

ii) (x,y)ef y (x,z)ef *.y=z

El conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordena-

dos (x,y) de la función f se llama dominio o coa junio dedefini

ción de esta función y se denota por Df o Dom(f).

El conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordena-

dos (x,y) de f se llama /tango, neco/inido o conjunto de. imágenes

de esta función y se denota por: Rf o Ran(f).

En la Fig. 1.1 vemos que Dom(f)=D y Ran(f)=B. Si D=A, es decir,

cuando Dom(f)=A, se dice que f:A»B es unafuncióntotalmente de

finida o aplicación de A en B.

El conjunto de pares ordenados f={(x,y)} analizado como subcon

junto de AxB, se llama gnóifica de la función. El elemento xeA se

llama argumento de la función o va/iiatLle independiente, el ele-

mento y B, vaAiable dependiente.

Si f:A*B es una función, e? decir, un conjunto de pares ordena-

dos f={(x,y)/xeA, ycB}, que satisface las condiciones de la defi

nición 1.2, y (x.y)ef, entonces se escribe y=f(x), y se dice que

y es imagen de.x por f, es decir, f pone en correspondencia al e

lemento x el elemento y, o bien, el elemento y corresponde al e

lemento x por f.

Sección I: Nociones elementales sobre funciones 3

FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN

a) Por medio de Tablas. Una tabla es un cuadro a base de líneas

paralelas y perpendiculares donde se a

notan, en la parte superior, los valores del argumento, xi,x2

x 3, ... ,\x , y en la parte inferior, se escriben los valores

correspondientes de la función: yi,y 2,y 3, ... ,yn >

X Xi X2 X 3 Xn

y y i y2 ys yn

Ejemplo. Si f es una función de A en B tal que f:x+x2, confec-

cionar una tabla de valores para el conjuntode parti-

da A={1,0,1,2,3) y hallar la función f.

Solución, Según la definición 1.2, la ley de correspondencia de

la función es y=x2. En la parte superior de una tablacolocamoa los elementos del conjunto de partida A, y en la parte

inferior, los valores correspondientes del conjunto de llegada B

Esto es:

X 1 0 1 2 3

x2‘ 1 0 1 K 9

En consecuencia: f = { (1, 1), (0,0), (1, 1), (2,4.), (3,9)>

b) Por medio de Gráficas. Para construir la gráfica y represen-

tar una función dada se emplea un sis

tema de ejes rectangulares, en el que el eje de abscisas se u

tiliza para los elementos del dominio, y el eje de ordenadas,

para los correspondientes elementos del rango.

El conjunto de puntos (x,y) del plano XOY constituye lo que

se llama gráfica de la función dada.

c) Forma Analítica. Otra manera de expresar una función es por

medio de fórmulas o expresiones analíticas

a base de la dependencia fundamental: y=f(x).



4 Capitulo 1: Función

Por ejemplo, si representamos por S el área del circulo y r el

radio del mismo, por geometría elemental sabemos que:

S = irr2

en la que r es un punto cualquiera del dominio y r 2 es la imagen

o punto del rango. Si designamos por f a la función S, entonces,

simbólicamente, la regla de correspondencia que rige a la ante-

rior función es:

f :r*Trr2

o sea:

Imagen de r = f(r) = irr2

f(r) es lo que llamamos S, luego:

f (r) = irr2

Otros ejemplos de funciones expresadas analíticamente son:

(1) y = /x24 , (2) y = Cosx , (3) y = XI

El dominio de una función expresada analíticamente es el conjun-

to de los valores de x para los cuales la función y adquiere un

valor real determinado. Así, para y~/x2-U , la función es real,

si: x2 ^ 0 x2 4 x^2 ó X2-2

Esto es: Dom(f) = 2] U [2, +«°>

Dado que la función es positiva ¥xeDom(f), entonces,

Ran(f) = C°*+0Í>

Es decir, la gráfica de la función (Figura 1.2) esta integramen-

te situada sobre el eje X (y^O).

Figura 1.2

Sección 1: Nociones elementales sobre funciones 5

PROBLEMAS RESUELTOS

Q La sum

no es

te esta función. Qué valores puede tomar el argumento?

So¿ación. En la figura se puede observar que uniendo el centro

del polígono convexo con todos sus vértices se forman

tantos triángulos como lados tiene

el polígono. Dado que la suma de los

ángulos interiores de ui^ triángulo

es 180° y si la suma de los ángulos

internos del polígono es S y el núme

ro de lados es n, entonces:

S = Trn (suma de los ángulos en

el centro)

o sea:

S = irn 2-n «■*■ S = 7r(n2)

El argumento n puede tomar todos los números de la serie natural,

excepto n=1 y n=2.

La función y de x está dada en. la siguiente tabla:

Argumento x 0 0. 5 1 1.5 2 3

Función y 1.5 1 0 3.2 2.6 0

Argumento x 5 6 7 8 9 10Función y 1.8 2.8 0 1.1 1.4 1.9 2.4

Construir su gráfica, uniendo los puntos con una línea ¿uaue.. Si

guiendo la gráfica y determinando los valores de la función para

x=2.5> 3.5» 4.5» 5.5, 6.5, 7.5, 8.5» 9.5» hacer la tabla mài com

p¿e.ta.

S o (.ación. Llevando el conjunto de puntos de la tabla dada sobre

un plano cartesiano XOY, obtenemos la siguiente apro-

ximación dela gráfica de la función. .

de los ángulos interiores de un polígono convexo pía

f^ción del número de sus lados. Expresar analíticamen

6 Capítulo 1: Función

Los valores^aproximados de la función, obtenidos de la gráfica,

para los valores dados del argumento se dan en la siguiente ta-

bla:Argumento x 2.5 3.5 U. 5 5.5 6. 5 7.5 8.5

Función y 1.3 0.9 2.U 2 0.7 1.5 1.7

La función viene dada por la gráfica representada en la figu

ra 2. Atendiéndose a la gráfica contestar a las siguientes

Figura 2


a) Qué valares de la variable independiente hacen que la función

se anule?

b) Cuáles deben ser los valores de la variable independiente pa-

ra que la función sea positiva?

c) Cuáles deben ser los valores de la variable independiente pa-

ra que la función sea negativa?

So ¿uc¿6ri. a) La función se reduce a cero en aquellos puntos don

de la gráfica intercepta al eje X, esto es, en:

x=2 , x=1 y x=6

b) La función es positiva en aquellos puntos para los cuales la

gráfica está situada sobre el eje X, esto es, para: x<2 ,

2<x<1 y x>6.

c) La función es negativa en aquellos puntos donde su gráfica se

encuentra debajo del eje X, o sea para: 1<x<6.

U La fórmula de la ley de Coulomb expresa la relación de depen

dencia que existe entre la fuerza F de interacción de 2 car-

gas eléctricas e¡ y e¡ por una parte, y la distancia r que

media entre ellas, por otra:

P _ ei.e;

er2

Poniendo ei=e2=1 y e=1 formar la tabla de los valores de la

función dada para r=1,2,3,.•.,10 y construir.su gráfica unien

do los puntos con una línea suave.1

SoiaciAn. Si el=e2 = £=1i entonces: F = —p r

Determinamos los valores de la función F, en la sigui

ente tabla, para los valores dados dsl argumento r.

r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F 1 1/4. 1/9 1/16 1/25 1/36 1/49 1/64 1/81 1/100

0 Escribir la función que expresa la dependencia entre el ra-

dio r de un cilindro y su altura h siendo el volumen V=1.

Calcular los valores de r. teniendo h los siguientes valores

0.5. 1, 1.5. 2. 2.5. 3. 3.5. 4. 4.5. 5. Construir la gráfica

de la función.

Solución. Volumen del cilindro: V=Trr2h1Dado V=1, entonces:

\/ñh

Construimos una tabla con los valores del argumento h y los co-

rrespondientes valores de la función r:

h 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

r 0. 564 0.46 0.4 0.35 0.32 0.30 0.28 0.26 0.25

r

0. 5t

Expresar el área de un trapecio isósceles de bases a y b co-

mo función del ángulo a de la base a. Construir la gráfica

de la función para a=2 y b=1.

(1 ) b

So¿uc¿6n. Area del trapecio: S = ^(a+b)h

En la figura: x+b+x=a

de donde: x = ^(ab)

Pero h=xTga h = ( j jTgct

Luego, en (1): S = ( ' ^ jTgft

Para a=2 y b=1 tenemos: S = jTga

Al construir la grafica de la función debemos tener presente que


a 0 o o

45° O ov

O 90°

S 0 0.43 0.75 1.3 OÒ

J j E x p r e s a r la dependencia entre la longitud b de un cateto de

un triángulo rectángulo y la longitud de otro cateto, siendo

la hipotenusa constante e igual a c=5. Construir la grafica

de esta función.

Solución. Por el Teorema de Pitágoras: c2=a2+b2

Luego: 25=a2+b2 ** b = /25-a2

El cateto b es real •**■ 25a2>0 ■**■ a2<25 5<a<5

Pero como a>0 *■ 0<a<5

Dadas las funciones: a) f(x) = . b) g(x) =

hallar: f(0), f(1). f(2). f(2). f(1/2). f(/2), |f(1/2)| :

g(0), g(D , g(2). g(2), gU)..

Existen f(1) y g (1 )?

Solución. a) f(0) = 2 . f ( 2 ) = | j f = 0

f(1/2) = "1^2. ~ 2 = 5 , f(/2 ) = -■ = 43/21/2 + 1 /2 + 1

|±*(1/2) | = |1/2 ~ 2 | = | 1 | = 1'1 / 2 + 1 '

b ) g ( 0 ) = = 2 , g ( 1 ) = 1 = 1 , g ( 2 ) = -1.2 T 2 I = o0+1 1+1 ¿ 2+1

g(2) = ± £ * L = 4 . g U ) l £ £ L .4-2 +1 4.+1 5

No existen f(1.) y g(1) puesto que:

f(_D = z L = .» , g(_i)-1 +1 o

Q l Dada la función f(u)=u21, hallar f(1), f(a), f(a+1),

f(a1 ) y 2f{2 a).

So ¿lición. En cada caso determinamos la imagen de u por f, esto

es:

f ( D = ( 1 ) 2_1 = o , f ( a ) = a 2- 1 , f ( a + 1 ) = ( a +l ) 2- 1 =a 2+2a

f ( a - 1 ) = ( a - l ) 2- 1 = a2- 2 a , f ( 2 a ) =( 2 a ) 2- 1= 4 a 2- 1 , 2 f ( 2 a )= 8 a 2- 2

d Dadas las funciones F(x)=2x ' 2 y G(x)= 2¡x ^"2, hallar F(0),

F(2), F (3). F(1), F(2.5)» F(1.5) y G(0), G(2), G(1),

G(x), G(1)+F(1).

Solución. F (0) = 2^ ” 2 = 2- 2 = 7 , F(1) = 2' 1 ' 2 = 2- 3 = 4• 4 8

F (2) = 22 ' 2 = 2° = 1 , F (2.5) = 22 , 5 ' 2 = /2

F (3) = 2 3 " 2 = 2 , F (1.5) = 2 ' 1 , 5 ' 2 = 1 / / 3 2

G (0) = 20 - 2 = j- , G(2) = 2 I2 I~ 2 = 2° = 1 , G ( 1) =2 i~ 1 I" 2 = ^

Por definición de valor absoluto: Si x^O + |x|=x , x<0 + |x|=x

Í2 X ~ 2 , si xjOPor tanto: G(x) = < 0

( 2 x_ , si x<0

G ( 1) + F (1 ) = \ + 2 1 " 2 = \ + 1 = 1

1 - 1 - 2 1

-1 +1•2 = fCO0 +

V

|] J Dada la función G(x)=xax , hallar G(0), G(1), G(1), G(1/a),

G(á), G( a). i_a

Solución. G(0) = 0a° = 0 , G(1/a) = |(a1/a) = a a

G(1) = 1a1 = a , G(a) = a(a)a = aa+1

G(1) = 1a’1 ■=■! , G(a) = a(a)~a = a1_aa

O G(t) = t2+1, hallar G(t2) y [G(t)3 2

Solución. G(t2) = (t2)2+1 = t"+1

[jj(t)] 2 = [t2+1J 2 = t “ + 2t2 + 1

( Q F(x)= x‘*2x2 + 5. Demostrar que F(a)=F(a).

OcmoAisiación, En efecto, F(a) = a'*2a2 + 5

F ( a) = (a)"2(a)2+5 = a*2a2+5

F ( a) = F ( a)

O G(x)=x’5x. Demostrar que G(x)=G(x)

De.no¿ilación. En efecto: G(x) = (x)35(x) = (xs5x)

.\ G(x) = G(x)

H ¡ f(t)=2t2 + "^2 + \ + 5t. Demostrar que f(t) = f( )

Hcmostración. En efecto: f(i) = 2(x)2 + — — ---+ — — + 5(4)t t (1/t)2 1/t t

= + 2t2 + 5t + | = f(t)

f(t) = f(1/t)

( D f(x)=SenxCosx. Demostrar que f(1)>0.

Ormottnación. En efecto: f(1) = Sen(1)C os(1)

Como Sen( 1 )>Cos ( 1 ) * Sén( 1 )Cos ( 1 )>0

f■( 1 ) > 0

Sección 1: Nociones elementales sobre funciones ___________________________________11

C O F(x)=logx. Demostrar que F(x)+F(x1)=F£x(x+1)] .

/><nio.i¿/iación. En efecto: F(x)+F(x1) = logx + log(x1)




Por una de las propiedades de los logaritmos:

F(x) + F(x1) = logx(xl)

F(x) + F(x1) = F[x(x1)]

m F(x) = ax. 1) Demostrar que para cualquier valor de x es vá

lida la siguiente relación: F(x).F(x)1=0

2) Demostrar que: F(x).F(y) = F(x+y).

De.mo-i¿/iación. En efecto:

1) F(x)=a'x + F(x).F(x) = ax.a'x = a° = 1

F(x).F(x)1=0

2) F(x).F(y) = ax.ay = ax+y F(x).F(y) = F(x+y)

171 Dada la gráfica de la función y=f(x)y los valores de a y b de la varia-

ble independiente x (Figura 3), con

truir f(a) y f(b) en el dibujo. Cuál

es la interpretación geométrica dela relación: f(b)f(a)

ba Figura 3

Solución, Construimos f(a) y f(b) obte

niendo los puntos A[a,f(a)]

y B["b,f(b)3 de la función y=f(x).

En el AACB : Tga =

En la figura vemos que: BC = f(b)f(a)

AC = ba

Luego: Tga =D— 3.

Por tanto, la relación es igual a la tangente del éngu

lo formado entre la secante que pasa por los puntos A y B y el

sentido positivo del eje X.

Q Mostrar queScualquier cuerda de la gráfica de la función y=

f(x) está por encima del arco que aquella subtiende, se ve-

rifica la desigualdad: ■— ^ > f(2Ll+2_2.)

para todas las xi/x2.


De.nLo.ii*.ac¿6n. En efecto, sean A(xi.O) y B( x2,0) dos puntos cua-

lesquiera del eje X, tales que xi/x¡.

Sea la cuerda PQ de extremos P£xi,f(xj)l y Q[x 2»f(x2)] y que es-

tá por encima del arco PMQ.

Si D es punto medio de PQ, el seg

mentó DC es mediana del trapecio

APQB + GD

o bien:

s ñ = AP

gjj _ f(xi) + f(x2)

Pero C es punto de AB, entonces:

C(Sl£E*.0). luego: CM = f(Ü^lA)

y dado que: CD>CM, por tanto:

f ( X ! ) + f ( X 2 ) r f X l + X l }

2 2

Dada la función f (x)=x22x + 3, hallar todas las raíces de la

ecuación: a) f(x) = f(0)

b) f(x) = f(D

So¿uc¿6n. a) f(0) = (0)22(0)+3 = 3

Si f(x)=f (0) *• x22x+3 = 3

b) f(1) = (1)2 — 2(— 1)+3 = 6

Si f(x)=f(1) + x J2x+3=6

+ x22x3=0

2x = 0

x=1

x=0

x=3

x=2

f% l Dada la función f(x)=2x35x223x, hallar todas las raíces

de la ecuación f(x)=f(2).

Solución. f(2)=2(2)35(2)223(2)=10

Si f(x)=f(2) 2x 35xz23x = 10

+ 2x 3-5x 2-23x -10=0

Teniendo en cuenta que x=2 es una raíz de esta ecuación, por el

método de Ruffini podemos hallar las demás raíces, esto es:

2 5 23 10

2 -K 18 10

* 2 x 3 - 5 x 2 - 2 3 x - 1 0 = ( x + 2 ) ( 2 x 2 - 9 x - 5 ) = (x+2 )(x5)( 2 x + 1 )

Si 2x35x223x10=0x=2 6 x=5 ó x=1/2

son las raíces de la ecuación: f(x)=f(2 ).

O Dada la función f(x), hallar por lo menos una raíz de la e

cuación f(x)=f(a).

Solución. Si f(x)=f(a) ■*-*■ x=a

En consecuencia x=a siempre será una raíz de dicha e

cuación.

Señalar dos raíces de la ecuación f(x)=f(2Í?) si es sabido

que la función f(x) está definida en el intervalo f5 ,5}.

Hallar todas las raíces de la ecuación dada siendo f(x)=x2

12x+3.

Solución. Si f(x)=f( ~|) w x = |±i

de donde: x 22x8= 0 <»■ x=í ó x= - 2

Por otro lado: f(|±|) = (|±i)*12(frf)+3

Si f(x)=f(|±8 ) x 212x+3 = (í±8)2l2(|Í§)+3

de donde obtenemos: x“U x 3+36x2+56x160=0

Dado que x=2 y x=i son dos raíces de la ecuación, podemos deter

minar las otras raíces por el método de Ruffini, esto es:

1 U 36 56 - 1 6 0

- 2 - 2 32 - 1 3 6 160

1 16 68 80 0

K 4 ¿ 8 80

1 - 1 2 20

x'*Ux3 + 36x2 + 56x160 = (x+2)(x4)(x 12 x+2 0 )

= (x+2 )(x4 )(x2 )(x1 0 )

Si x1* 1x3+36x2 + 56x 160 = 0 x= - 2 ó x - 2 ó x-U ó x=1 0

F(x)=x2+6 , G(x)=5x. Hallar todas las raíces de la ecuación:

F(x) = |G(x)|.

Solución. Si F(x) = |G(x) | *■ x2 + 6 = | 5x |


*-*■ x 2 +6 = 5x ó x 2+ 6 = 5*

*-* x 25x+6=0 ó x 2+5 x +6=0 +*•x=3 ó x=2 ó x= - 2 ó x=3

m f(x)=x+1 y g(x)=x2'. Resolver la ecuación:

|f (x) + g(x) | = |f(x) | + |g(x) |

Solución., Se tiene: | (x+1) + (x2) | = |x+l|+|x2|

|2x - 1 | = |x+ 1 1 + |x- 2 |Los valores críticos son: x=1, x=1/2 y x=2 _

Entonces, los intervalos de variación de dicha ecuación son:

x< 1 , 1íx<1 / 2 , 1/2Sx<2 , x»2

Si x<1 *• (2x1) = (x+1) (x2) **• 2x + 1 = 2x+1

Como la ecuación es válida ¥xeR *■Si = {xeR/x<1}

Si 1$x<1/2 ► (2x1) = (x+1)(x2) «> 2x+1 = 1 ♦ x=1

Pero como 1 i. Jj1 > 1 /“v> + S* = $ ,

Si 1/2íx<2 *■ (2x1) =(x+1)-(x -1) **■ 2x1 = 3 »x=2

Dado que 2 i £l/2,2 *• S 3 = í

Si xj2 *■ (2x1) = (x +1) + (x -2) ** 2x-1 = 2x1

La ecuación es válida VxeR *• Si. = {xeR/x>2}

S = S 1US2US 3US u = SiUS* = {xeR/xí1 ó x»2)

Hallar los valores de a y b en la expresión de la función:

f(x)=ax2+bx+5 para los cuales sea válida la identidad:

f(x+1)f(x) = 8x+3

Solución, Si f(x+1)f(x)=8x+3 + a(x+1)2+b(x+1)+5(ax2+bx+5)=8x+3

de donde: 2ax+(a+b) = 8x+3

Identificando coeficientes se tiene: 2a=8 , a+b=3

Resolviendo el sistema obtenemos: a=¿ y b=1

m Sea f(x)=aCos(bx+c). Cuáles deben ser los valores de las

constantes a,b y c para que se cumpla la identidad:

f(x+1)f(x)=Senx

Solución. Si f(x+1)f(x)=Senx ♦ aCos|b(x+1)+c|aCos(bx+c)=Senx

*• aCos (bx+b+c) aCos (bx+c)=Senx

Transformando a producto el primer miembro de esta ecuación se

tiene:

r '

- 2 a S e n ( ^ ± b ^ | + b x + c ) .S e n( ^ + b + ° -b x - c ) = Se n x

♦ -2 aS en (b x+ c+ -jj) .Sen (■£) = Sen x (1)

o bien: 2aS en( bx+ c+ | ) .Sen(|) = -Senx (2)

La igualdad (1) se verifica si: b=1 y 2aSen(|)=1

1 1Entonces: a = ---------- ------ !--- = 1,04.

2Sen(1/2) 2(0.48)

Luego, si: Sen(x+c+^) = Senx +*■ c + - =2kir

■'-* c = +2kTt , keZ

La igualdad (2) se cumple si: b=1 y 2aSen(1/2)=1

^ _ 1 = 1.042Sen(1/2)

Si Sen(x+c =■ Senx + c j = (2k+1)rr ** c = j + (2k+l)TT, keZ

*

1.2 FUNCIONES COMPUESTAS

Si f:A+B y g:B+C, entonces la función F:AK¡ defi

nida para cada xeA por la igualdad F(x)=g[f(x)j

se llama composición de las funciones f y g, o ¿unción compuesta

y se denota por gof.

De esta forma, por la definición de cada x.eA

(gof )(x) = g [f (x ) ] (1 )

J /

Kn la figura 1.3 se explica gráficamente el mecanismo de la com-

posición de dos funciones f y g, que transforman sucesivamente:

1) La función f: el punto xeDom(A) en la imagen f(x) del conjun-

to B.

,’) La función g: el punto f(x)eDom(B) en la imagen gff(x)] del

conjunto C.

I.n fórmula (1) es válida siempre que Ran( f) a Dom(g) <J>.

I.tt figura 1.3 muestra esta condición, además:

Dom(gof) = {xeDom(f)A f (x ) eDom(g)}

11n 1 mismo modo se tiene que:

(f og ) (x ) = fTg(x)] (2)

.ilompre que, Ran(g) A Dom(f y con dominio:

Dom(fog) = {xeDo m(g ) a g(x )eDom(f)}

observaciones:

(1) La composición'de funciones no es conmutativa, esto es:

(fog)(x) ¿ (gof)(x)

(■’) La composición de funciones es asociativa, es decir:

. £fo (goh)"J (x) = [(fog)ohj (x)

S <■<i ión 1: Nociones elementales sobre funciones ___________________________________12

PROBLEMAS RESUELTOS

m y = z2, z=x+1. Expresar y como función dé x.

Solución. Sean: y=f(z) y z = g,(x)

Según la fórmula (2): y=(fog)(x)=f|g(x)|=f(z)

+ y=(x+1)2=x2+2x+1

ID y=/z+1 , z=Tg2x. Expresar y como función de x.

Soiución, Si y=f(z) y z=g(x) + y=f [g(x)]=f(z)

y = /Tg 2x+1 = /sec2x = |Secx|

1 3 y = z2, z=Vx +1, x=a . Expresar y como función de t.

Solución. Si y=f(z) , z = g(x) , x=h(t) + y=[fo(goh)] (t)



18 Cavítulo 1: Función

* y = [f°g(h(t))] = fl’g U 1)] = f (3/at + 1)

= ( 3 / a V l ) 2 = 3/ ( a t + 1 ) 2

y=Senx, v=logy, u=/l+v2. Expresar u cono función de x.

Solución. Sean: u=f(v), v=g(y), y=h(x) + u=(fogoh)(x)

+ u = fo[g(h(x))] = f[g(Senx)] =

= f[logSenx] = /l + (logSenx) 2

y=1+x, z=Cosy, v=/lz2. Expresar v como función de x.

Solución. Sean: v=f(z) , z=g(y) , y=h(x)

»■ v = (fogoh)(x) = f[g(h(x))J

> v = f[g(1+x)] = f[Cos(1+x)J = /lCos2(1+x)

= /Sen2(1+x) = |Sen(1+x)|

Presentar en forma de cadenas formadas a base de las princi

pales funciones elementales las siguientes funciones compu-estas :

(1) y=S en3x U) y = Sen2(2x+1)

(2) y = V( 1+ x) 2 (5)y = 5(3x +1)2

(3) y = log(tgx)

Solución. (1) Supongamos que: y=f(u) , u=g(x)

Si y=flg(x)] = Sen3x *• / f(u) = u>^g(x) = Senx

(2) Sean: y=f(u), u=g(x) y = f[g(x)] = 3/'(1+x)2

+ f(u) = 3/ü , g(x) = (1+x)2

(3) Sean: y=f(u) , u=g(x)

Si y = f[g(x)] = log(Tgx)

(4) Sean: y=f(u) , u=g(v), v=h(x)

+ Tf(u)=logu

|g(x)=Tgx

l'y=f (u)=u2

Si yf [g(h(x) )'J=Sen2(2x + l) -*■ i u=g(v)=Senv

I v=h(x)=2x+1


(5) Sean: y=f(u) , u=g(v) , v=h(x)

^ f y=f(u) = 5U

Si y=f[g(h(x))]=5í3x+1) + \ u=g(v)=v2

[v=h(x)=3x+1

f(x)=x3x, g(x) =Sen2x. Hallar: a) f [g(^/12)], b) g[f(x)],

c) g[f(2)] , d) fTgU) ] . e) f[f(x)] , f) f(f[f(x)]).

g) g f g ( x ) J .

Solución. a) f[g(ir/12)] = f[Sen(ir/6)] = f(1/2) = g ^

b) g[f(1)'J = g( 11) = g(0) = SenO = 0

c) glf(2)] = g(82) = g(6) = Sen12

d) ffg(x)] = f(Sen2x) = Sen32xSen2x = Sen2x(1Sen22x)

= Sen2xCos22x

e) f[f(x)’J = f(x3x) = (x3x) 3(x3x) = x 93x7 + 3x52x3+x

f) f[f(f(1))J = f[f(11)3 = f[f(0)] = 0

g) g[g(x)] = g(Sen2x) = Sen2(Sen2x)

0 Demostrar que es válida la siguiente forma de construir la

gráfica de la función compuesta y=f(g(x))=F(x), valiéndose

de las gráficas conocidas de las funciones correspondientes:

y=f(x), y=g(x). Del punto A de la gráfica de la función g(x) (Fi

gura 4), el cual corresponde al valor dado de la variable inde-

pendiente x, se traza una recta paralela al eje OX hasta que se

corte en el punto B con la bisectriz de los ángulos coordenados

primero y tercero. Del punto B se traza una recta paralela al e

je OY hasta que se corte con la gráfica de la función f(x) en el

punto C. Si del punto C se traza una recta paralela al eje OX,01 punto D de su intersección con la recta NN* será la gráfica

de la función F(x) correspondiente al valor tomado de x.

DemoAi/iación. En efecto, siendo Aeg •» A(x,g(x)).

Estando B en la misma horizontal que el punto A,

entonces: B(xj,g(x)). Como la ecuación de la bisectriz del pri-

mer y tercer cuadrantes es L:y=x y siendo BeL •» g(x)=x1( por tan

to: Bfxpxj). Estando Cef én la misma línea vertical que el pun-

to B, entonces: C (x i, f (xi ).), o bien: C [x i, f (g(x)) ]

El punto D es la intersección

de la recta horizontal que pa

sa por C con la recta verti-

cal NH1 que pasa por A, por

tanto, tiene la abscisa de A

y la ordenada de C, esto es:

D|x,f(g(x)) |. En el gráficovemos que D es la ordenada de

F(x), en consecuencia:

F(x) = (fog)(x)

NFigura U

1.3 FUNCIONES IMPLÍCITAS

Las funciones que hemos visto hasta ahora fueron las llanadas

funcione./, e.x.p llcita-i, definidas por la ecuación conocida y=f(x),

en donde f(x) era una función de una sola variable. Por ejemplo:

y = f(x) = 3x 3-5x 2+3

es una función explícita.

Si en una ecuación de dos variables tal cómo:

E(x,y):x2+y2=¿ (1)

despejamos y=f(x), obtenemos:

y = /i-x2 ó y = / 4x2

cada una de estas ecuaciones define una función de x si se espe-

cifica que a cada.número x, que pertenece al intervalo [2,2j,

le corresponde el número y=/i-x2 o bien el.número y=/¿x2, se

dice entonces que la ecuación (1) define una función implícita

de x.

I : No cio ne s e lem enta les sobr e f unc ion es 21

PROBLEMAS RESUELTOS

m Escribir en forma explícita la función y dada en forma im-

plícita mediante la siguiente ecuación:

(1) x2 + y2 = 1 . (5) 2*y = 5

(2) — 2— = 1 (6) logx + log(y +1) = 4á2 b2

(3) x 2 + y 2 =a2 (7) 2x+y (x22) = x2+7

U ) xy = C (8) (1+x)Cosy x2 = 0

\"¿uciin. Despejando y=f(x) en cada ecuación dada se tiene:

(1) y2 = 1x2 +-* y= /lx2 ó y = / Ti

(') y2 = r(x2a2) +»■ y = | /x2a2 ó y = | /x 2-e

x2

(3) y2 = a2x2 *>• y = /a2x2 ó y = /a2x2

(O xy = C *■ y X

(5) 2xy = 5 *■ xylog22 = log25 +-+ y =log25

x

1 n **(6) logx(y+1)=4 x (y +1) = 10 “ ■*>• y = —— - 1

(7) 2x+ y(x22)=x2+7 *■ (x+y)log22 + lo g2 (x22) = log2 (x2 + 7)

*■ x+y = log 2 (x2 + 7)log2 (x2 —2)

y = logz ) " x

X2 , X2v(8) (1+x)Cosyx2=0 Cosy = +*■ y=arcCos

Mostrarque para x>0 la ecuación y+|y|x|x|=0 determina la

función cuya gráfica será la bisectriz del primer ángulo co

ordenado, mientras que para son las coordenadas de todos los

puntos del tercer ángulo coordenado (incluidos sus puntos fronte

ra) las que satisfacen a la ecuación dada.

i)cino<it/iaci6n. En efecto, si x>0 s y>0 y+yxx=0 «* y=x

La gráfica es la bisectriz del primer ángulo coor

donado. Si x>0 e y<0 •* yyxx=0 x=0

La gráfica es el semieje negativo 01.

Si x$0 e y>0 ■+■ y+yx+x=0 +*■ y=0

La gráfica es el semieje negativo OX.

Si xÔ e y<0 *■ yyx+x=0 0 = 0 , que es una identidad.

La gráfica es el conjunto de todos los puntos del tercer ángulo

coordenado.

PROPIEDADES MAS ELEMENTALES DE LAS FUNCIONES

2.1 FUNCIONES Y FORMAS DE SU EXPRESION

Anteriormente hemos visto que una función se define mediante una

regla que permite calcular para un x dado un número y (imagen de

x), mediante la ecuación y=f(x). Además, ya sabemos también, que

el conjunto de todos los valores posibles de x (argumento o va-

riable independiente) para los cuales la función queda definida

se llama dominio de definición o simplemente, .dominio de la fun-

ción.

Dado que el dominio de una función se expresa, por lo general,

en forma de intervalos, se requiere fundamentalmente el conoci-

miento de ciertos teoremas sobre desigualdades, que a continua-

ción sé da, como referencia, algunos de estos teoremas, que son

de suma utilidad para el cálculo del dominio de una función.

Tj: Si a>0 y x2<a *-*■ /a <x < /a

T2: Si aÔ y x2>a <> x</aó x>/a

T 3: (xa) (xb)<0 *+ (x<a a x>b) v (x>a a x<b)Ti,: (xa)(xb)>0 (x>a a x>b) v (x<aAx<b)

T 5 : 4 0 ■*-*■ (xía a x>b) v (x>a a x<b)

T«: ^ ® (x$a A x< b) v (x>a a x>b)

T 7: Si una inecuación polinómica se descompone en factores linea

les, que no se repiten, de la forma:

(xa) (xb) (xc) (xd) S 0 (1)

ó (xa)(xb)(xc)(xd) < 0 (2)

¡i'in /, locio nes elementales sobre funciones 23

lua valores críticos, que resultan de igualar a cero cada

factor, se ubican en una escala numérica como sigue:

I,uego, se le asigna al intervalo <d,+<»> el signo positivo.

■Seguidamente se anotan, alternativamente, los signos () y

(+) sobre los intervalos contiguos a la izquierda de <d,+°°>.

K1 conjunto solución de (1) será la unión de los intervalos

positivos, y de (2). la unión de los intervalos negativos.

iu: | x | i a a x í a

T i o: |x|â x£a 6 xâ

J 2 5 S E E B S Í IGU ALDAD DE FUNCIO NES

Dos funciones f y g se dice que son iguales, es-

to es, f=g, si se verifica que:i) Dom(f) = Dom(g)

ii) f (x) = g(x) , ¥xeDom(f)=Dom(g)

'Ejemplo. Determinar si son iguales las funciones:

f (x ) = /x+T + /x2 y g(x) = /x 2-x-2

Solución. Debemos hallar los dominios de f y g para determinar

si f=g.

f es real *► x+I O a x250 *•Dom(f) =.{xeR/x? 1 a x *2}

= {x eR/x?2} = [2,+<»)

■ es real «*■ x2x2í0 -*■ Dom(g) = {xeR/(x+1)(x2)s0}

= {x eR/x$-1 ó xS2) (Ti,)

= "0 U [2,

Como Dom(f) ^ Dom(g) *• f f g

E j^ S S E B S I ÁL GEBR A DE LAS FUNCIONES

Si f y g son dos funciones reales y tienen domi-

nios Dom(f) y Dom(g), entonces f+g, fg, f.g y f/g son funciones

definidas por las siguientes reglas de' correspondencia:

i) f+g = { (x,y)/y=f (x)+g(x), xeDom(f )ftDom(g)}

ii) fg = í (x,y)/y=f (x)g(x), xeDom(f)ODom(g)}

iii) f.g = { (x,y)/y=f (x).g(x), xeDom(f)flDom(g)}

iv) f/g = {(x,y)/y = lÁZl , xeDom(f)ODorn(g), g(x)/0}g(x)

Ejemplo. Dadas las funciones f={ (1,2), (2, 3). (3, 5). (4, 8)} yg={(0,5),(1,6),(2,1),(3.0)}. Hallar: f+g, f.g y f/g

Solución. Dom(f)={1,2,3,A) y Dom(g)={0,1,2,3)

Entonces: Dom(f) a Dom(g) = {1,2,3}

Luego, según la definición 1.5 se tiene:

f+g = {(1,2+6),(2,31),(3,50)} = {(1,8),(2,2),(3,5)}

f.g = {(1,2*6),(2,3X 1),(3.5X0)} = {(1,12),(2,3),(3,0)}

f/g = { (1,2:6), (2,3:1), (3, 5:0)} = {(1,1/3), (2,3)}.

Observe que 3¿Dom(f/g) porque g(3)=0.

PROBLEMAS RESUELTOS

Formar la tabla de lo.s valores de la función de argumentoi

entero y = jp , para 1<x$6

Solución. Recordando que: n! = 1.2.3...n , la tabla de los valo

res de la función dada para x=1,2,..,6, es:

x 1 2 • 3 4 5 6

y 1 1 / 2 1/6 1/24 1/120 1/720

O El valor de la función de argumento entero u=f(n) es igual

a la cantidad de números primos no mayores que n. Formar la

tabla de los valores de u para 1«n<20.

Solución, Si n=1 + u=f(.1)=0(No existe número primo < 1)

n=2 u=f(2) = 1 (Hayun número primo < 2)

n = 3 u=f(3)=2 (Hay. dos números primos < 3)

n=4 > u=f(A)=2 (Los números primos son 1 y 3)

i don 2: Propiedades más elementales de las funciones 25

Aunll/,ando la cantidad de números primos para los demás valores

i 11 obtenemos la siguiente tabla:

11 1 2 3 i 5 .6 7 8 9 10 11 12 13

u 0 1 2 2 3 3 í K k A 5 5 6

n U 1 16 17 18 19 20

u 6 6 6 7 7 8 8

C 3 El valor de la función de argumento entero u=f(n) es igual

al número de divisores enteros del argumento distintos de 1

y de la misma n. Formar la tabla de los valores de u para

1ín<20.

\<’fución. Para n=1,2 y 3 + u=0 (No existe divisores de 1,2 y 3)

n = 4 ■* u=1 (2 es divisor de 4)

n=6 *• u=2. (2 y 3 son divisores de 6)

Analizando los valores de la función para los demás valores de n,

"htenemos la siguiente tabla:

n 1 2 3 i 5 6 7 8 9 10 11 12 13

u 0 0 0 1 0 2 0 ; 3 2 0 í 0

n U 15 16 17 18 19 20

u 2 2 3 0 i 0 A

C D La figura 5 presenta una barra formada por tres segmentos

cuyas longitudes son iguales a 1:2:1 unidad de longitud, y

l peso es igual a 2,3,1 unidades de peso, respectivamente.

r’l peso del segmento AM cuya longitud es igual a x, es función, , t de x. Para que valores de x esta definida esta función? Presen-

tar su forma analítica y construir su gráfica.

1 M ■“ — 1 — 1 — 1

M M m ....” ■

'— »— ----------1 M W /M

--- V-------Y— 2g 3g lg

Figura 5

So¿ución. Si f(x) es el peso del segmento AM, se tiene:

2x , para 0<xí1

2 + ^(x1), para 1<x<3

x+2 , para 3<x^4

Por tanto, la función viene deter-

minada cuando 0$x$4.

o Una torre tiene la siguiente forma: Un cono circular trunca

do cuyos radios de base son 2R (inferior) y R (superior) y

cuya altura es R, sostiene un cilindro de radio R y de altura 2R.

Esta última sostiene, a su vez, una semiesfera de radio R. Expre

sar el área S de la sección transversal de la torre como función

de la distancia x que media entre la sección y la base inferior

del cono. Construir la gráfica de la función S=f(x).

So ¿ución. En el intervalo OíxsR,

sea DF=r el radio de la

sección transversal (círculo)

RAABC=ADEC ABDE

BCCF rR

. RRx

de donde: r=2Rx

S (x) =7r (2Rx) 2, para Oíx$R

En el intervalo R$x$3R, el área de

la sección transversal es constan-

te, esto es:

S(x )=ttR 2, para R$x^3R

En el intervalo 3R^x^4R« sea MK el

radio de la sección transversal.

En el AOMN : MÑ2=0Ñ20M2

Vi/ ' E

TR

2R

= R2(x3R):

.. S (x)=tt (6Rxx28R2), para 3R$xg4R

Fuera del intervalo [0,4R] la'

función S=f(x) no está deter-

minada.

2 = 6Rxx

S *

B

8R:

2R

tiR'\2R 3R 4R

Si’cción 2: Propiedades más elementales de las funciones 21

O Una esfera de radio R lleva inscrito un cilindro. Hallar la

dependencia funcional entre el volumen V del cilindro y su

altura x. Indicar el dominio de definición de esta función.

Vo¿ución, Volumen del cilindro: V=Tir2x (1)

donde r es elradio de

dicho cilindro.

En el AADC: (2R)2 =(2r)2+x2 y 2

de donde: r2= R2 -j

.".ustituyendo en (1) obtenemos:

V(x) = irx(R2 j ) , 0<x<2R

m Una esfera de radio R lleva inscrito un cono recto. Hallar

la dependencia funcional entre el área dela superficie la

i'iral S del cono y su generatriz x. Indicarel dominio de definí

i'lón de esta función.

So¿ación. Sea r=CD el radio del cono

S (x) = irrx (1)

Kn el ABDE: BE2 = BC2 + EC2

► (2R) 2=x2+ÉC 2 <* EC = / tR2x2

ABPT~APn? .BC lE . J L _ 2 RADCEACDE DC Ec r EC

x (EC ) x/ ¿R2-x 2r 2R 2R

2I.uogo, en (1): S(x) = ^ ^/¿ R2x2

Kntonces, S es real ■*-* 4R2x2>0 ** x2<4R2

.’. Dom(S) = {x eR/ x>0 a -2R<x<2R}

= {xeR/0<x<2R} = <0,2R>

tn los ejercicios 47 y ^8 hallar los dominios de definición

de las funciones que se indican.

y = 1 logx

S o ¿ación. La función y es real *-*■ x>0

.'. Dom(y) = {xeR/x>0} = ^0,+«=^

y = l o g ( x + 3 )

Solución. La función y es real **• x+3>0

Dom(y) = (xeR/x>3) = <3,+°°>

y = / 52x

Solución. La función y es real ■**■ 52x50 ■*•+ 2x^5

Dom(y) = {xeR/x$5/2} = <” ,5/23

y = /px , (p>0)

Solución. Si p>0, la función y es real +*■ x$0

Dom(y) = {xeR/xíO} = <<*>,0]

1

x21

Solución. y , la función y no está definida(x+1)(x1)

para x=1 , x=1. Don (y) =R{ 1,1}

x2 + 1

Solución. Dado que x2+1>0, V x e R Dom(y)=R

1

Solución. y = ----- , la función y no está definida para x(x1)

x=0 y x=1. Dom(y) = R{0,1}

2x

x23x+2

Solución. y 2x, la función no está definida pa

(x1)(x2)

ra x=1 y x=2. í)om(y) = R{1,2}

y = 1-/1 -X2

Solución. . La función es real «> 1x2 0 ■*>■ x2<?1

Dora (y) = {xeR/1^x^1} = [1,1]

1y =

/x24x

Solución. La función es real x2¿x>0 x(x4)>0

Si <rión 2: Prop iedades m ás elementales de las funciones 29

x<0 ó x>4 (T<t)

Dora (y) = {xeR/x<0 ó x>4) = <<», 0>U<4,+°°>

y = /x 2-4x+ 3

Solución. La función es real **• x 2-4x+ 3^0

«-+ (x -1) (x- 3) 50 *-*■ x$1 ó x^ 3

Dom(y) = <<*>; i"] U [ 3 ,+»>0\)

y =/x23x+2

(Tj

Solución. La función es real x 23x+2>0

«*■ (x1 )(x2)>0 •+• x<1 ó x>2

Dom(y) = <o», 1>U<2, +°°>

y = arcSen(^)

So lución. Sabemos que: 1^Seny$1 1 < ^ ^ 1

*•4 4- x 4 4

Dom(y) = 14,4]

y = arcSen(x2)

So lución. La función es real 1$x2<:1 ■*-*■ 1.sxs3

Dom(y) = [l,3j

y = arcCos(12x)

Solución. La función es real +-*■ 1¿12xi1 «*• 2$2x^0

*-*■ 0$x$1

Dora (y) = [0,1]

y = arcCos("~^X)

Solución. 3y ++ -1 4 ~^x ■$ 1 ■*-*■ 4í 12x<4

+-*■ 5í2xi3 ++ 3$ 2x^5

.*. Dora (y) = [3/2, 5/2]

y = arcSen/2x

Solución. La función es real + + 0 ^ /2x < 1 *»• 0¿:2xí1

Dom(y) = [0,3/2j

y = /í- Ix I

Solución. La función es real +* 1|x|£0

(T.)

Dom(y) = f1,l]

y =1

/|x|x

Solución. La función es real *-*■ |x|x>0

Si x>0 ■* xx>0

+ 0 > 0 No tiene sentido

Si x<0 •> * xx>0 ■*-*■ 2x>0 ++ x<0

Dom(y) = <°»,0>

1_______

y =/x |x|

Solución. La función es real +► x|x|>0

*-*■ |x|<x x<x A x>x

**• <t> a x>0 = <t>

Dom(y)=<í> , la función no tiene sentido.

l°g( 5xx

Solución. La función es real «*■ log( 0

Luego: -^=f- >, 1

Sabemos que si logNÔ + N^1

*► x25x+4Í.O

+*• (x1)(x4)$0 1$x$4

Dom(y) = [1 ,K\

(T,)

y = logSenx

Solución. La función es real +-*■ Senx>0

Senx es positivo en el primer y seûmJo cuadran,

tes, entonces: 0 < x < ir , o bien:

2k7! < x < (2k+1)u , keZ

Dcm(y) = <2k , (2k+1)ir>, keZ

y = arcCos(2TSenx)

Solución. La función es real -t-r- - ,-------- 2+Senx

Las desigualdades se cumplen para SenxÔ

+ O x ir. Dom(y) =_ f2kir, (2k + 1 )ir7 , keZ

Vi vi ¡on 2: Propiedades m ás elementales de las funciones 31

47.24

48.1

48.2

48.3

48.4

y = logx2

Solución. Como la base de todo logaritmo es positivo, di

ferente de 1, se sigue que:

Dom(y) = <0,+°°>{1}

y = 1-- ^ + /x+2* log(1x)

Solución. Sean f(x) = ]_og(lx) ^ s M = l/x+2

Si y = f(x)+g(x) *•Dom(y) = Dom(f) A Dom(g')

La función f es real «*■ 1x>0 y xÔ «*■ x<1 y xÔ

Dom(f) = <=>, 1> {0}

La función g es real *-*■ x+2>0 ■«*■ x$2 *• Dóm(g) = £2,+«>

Por tanto: Dom(y) = (<®>, 1 >{0} ) 0 [2,+«>>

- 2 . 0 1Dom(y) = r-2,0>U<0,1>

y = /3x + arcSen ( )

Solución. Sean: f(x) = /3x y g(x) = a r c S e n ( )

La función f es real «*• 3x 0 +*■ xg3

Entonces: Dom(f) = <“ ,3]

La función g es real ++ 1 í 3~gX S 1 +*• 5S32x<5

*-* 1 4: x U

Entonces: Dom(g) = E1»4]

Dom(y) = <°>, 3.]n [1, 4] = L1.3]

y = arcSen(^2) log(¿x)

Solución. Sean: f(x) = arcSen(^j^) y g(x) = log(Ax)

La función f es real <*■1 ^ ^ 1

■*-* 1 x< x í 5 * Dom(f) = f l . 5 jLa función g es real •*+ 4x>0 +*■ x<4 *■ í)om(g) = <<*>, 4>

Dom(y) = f l , 5]n< -“>, A > = D,4>

y = /x + ” lo g(2x3Í

Solución. La función y es real ** (x$0) A (x/2) a (2x3>0)

+*■ (xíO) a (x/2) * (x>3/2)

Dora (y) = <3/2,2>U<2,+°»

y = /x^T + 2/1x + /x2+1

Solución. La función y es real ■<»■ (x1^0)n (1x^0)fl (xeR)

(x»1) a (x«1) a (xeR)

.’. Dom(y) = {1}

E E I 1 y = 2 + log(x3x)4 -x 2

Solución, La función es real +*• (í-xz¿0) A (x3x>0)

<»■ (x¿±2) a (x)(x1)(x+1)>0

Los valores críticos de la segunda inecuación son:

x=0 , x=1 y x=1. Haciendo uso del Teorema 7 se tiene:

•+ 00

.'. Dom(y) = < 1, 0>U < 1, 2>U < 2, +<»>

y = logSen(x3) + /i 6x2

Sb Ilición. La función es real +-*■ (SenX3)>0) H (16x2 JO)

*-*■ (0<x3<tt ó 2tt<x3<tt) n (x2í16)

(3< x <tt + 3 ó 3-2it< x <3- tt) ^ (4<x¿4)

{3<x<rr + 3)n (4<x<4.) U (32tt<x<3 tt) 0

Dom(y) = <3277, 3-tt>U<3i 43

y = /Senx + /l6x2

Solución. La función es real ■*-+ (Senx:*0) (16x2^0)

*-* (0<xin ó 2tt^x<tt) a (x2 16)

■*-* (0gX¿7T ó 2tt$x^tt) a (4<x^4)

<»• (0$x<TT n4<X$4) u (2tt<x^-7t (1 -4í x<4)

Dom(y) = [4,-ttJ u [0,7tJ

1

/Senx+ Senx

Sí■( c ió / i 2: Pro pie dad es más ele me nta les de las fun cio nes 33

So Ilición. La función y es real «*■ Senx>0

«*■ 0 <X<7T

Dom(y) = <2kn, (2k+1)ir> , keZ

y =.log(--------- ) >yx+5x210x+2¿

Solución, La función está definida x5 > 0

x5x 2 IOx+24

> 0(x4)(x6)

Ubicando los números críticos x=4, x=5 y x=6 en una esca-

la real, por el teorema 7 se tiene:

► + 00

* - m - ñ/ í +j

Solución, Sean f(x) = y g(x) = ■A ;1'"*i /1+xx+2

La función f es real x2x+2 i- 0

+*■ x<2 ó xj.2 (Ts)

*■ Dom(f) = <00,2>U £2 , +oo>

La función g es real +-+ (1x .O) a (1+x>0)

(x^1) a (x>1) + Dom(g) = <1,ll

Dom(y) = Dom(f)'(1 Dom(g) = (*>

Dado que Dom(y) = $, la función y no está definida en par

te alguna.

y = /x3x+2 +/3+2xx2

Solución, La función es real +>• (x23x+2 5 p) A (3+2xx2>0)

+■+ (x1)(x2)$0 a (x3)(x+1)<0

ir* (x$1 ó x^2) A ( 1<x<3) " (T„ y T s)

.*. Dom(y) = <1, 1]U[2,3>

y = (x2+x+1 ) ' 3 / 2

S o ¿uctón. El discrimínate de la expresión x 2+x+1 es:

A = (1)24(1)(1) = 3<0 ► x 2+x+1>0, VxeR

.'. Dom(y) = R

y = log(/x- 4 + / 6x)

Solución. La función es real ■*+•/x-~A + /6x > 0

<*■ x4^ 0 a 6x^0 •**■ 4íx^6

Dom(y) = [4,6]

y = log[llog(x25x+l6)j

Solución. La función es real 1log(x25x+16)>0

*-* log(x25x+l6)< 1

Si Iog(x25x+l6)<log10 **■ x25x+16 < 10

<* (x2 )(x2 ) < 0

2<x<3 (Ts)

Dom( y) = <2, 3>

© Son idénticas las funciones:

(1) f (x) = — y g(x) = j (3) f(x) = x y g(x) = /x2x2 x

(2 ) f (x) = y g(x) = x (4 ) f (x) =logx2 y g(.x)=2 1ogx

Solución. (1) f(x) = ^ , x¿0 , g(x) = j , x O

Luego, f y g son idénticas.

(2 ) f(x) = •— = x , x^O , g(x)=x

f y g son idénticas en cualquier intervalo que no contenga

al punto x=0 .

(3) g(x) = /x2 = |x J

Si x£0 *• |x|=x , entonces:g(x) = f(x) = x

x< 0 < |x|=x *• g(x)=x

Por tanto, f y g son idénticas en el intervalo [p,+°°>

(4) f(x)=logx = 2 1ogx

Luego, f y g son idénticas en el intervalo <0,+»>.

V, i ción 2: Propiedades más elementales de las funciones 35

Pensarun ejemplo de la función dada en forma analítica.

(1 ) definida sólo en el intervalo 2<x^2

(2 ) definida sólo en el intervalo 2<x<2 y no definida para

x=0 .

(3 ) definida para todos los valores reales de x, a excep-

ción de x=2 , x=3 , x=4.

Solución. (1) Por ejemplo f(x) = /¿x 2En efecto, 3f <*• 4x2^0 ■*-*■ x24í

*-*■ -24x42

(2) Por ejemplo: f(x) = 7 + --“--x /Z^x7

En efecto, 3f •<*• x¡¿0 a ¿x2>0 +*■ x¿0 A 2<x<2

(3) Por ejemplo, f(x) = ^ 5 +

En efecto, la función f es real *->■ xcR{2,3,4)

6 ) Hallar los dominios de definición de las ramas unívocas de

la función y=f(x)dada mediantela ecuación:

(1 ) y 21+log2 (xD =0 • , (2 ) y 1,2xy 2+x 2x=0

Polución. (1 )y 2=1log2 (x1 ) = log22 log2 (x1 )

+ y = ± /log2 (J7 y) + 3 f ■<>■ log2 ("y) £ 0

~ * 1 o

'**■ 1 < x g 3 (T5)

Dom(f) = <1,3]

y2 = x ± S x2- (xzx) = x ± /x . y = ± /x ± /xLa función f es real «*■ (x + /x >, 0) u (x /x 5. 0)

Para las primeras dos ramas:x + /x ^ 0 +*■ xíO Dom(f) = £0,+“>>

Para las otras dos ramas:

x /x £ 0 **■ x >y /x

«+■ (xÿb A x2>x)

<*• (x£0 A x(x1)^0)

*-*■ (xÿO a x£1 )

Dom(f) = £l,+®>

2.2 CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE FUNCIONES

5 2 2 2 S 2 S B B I FU NCIONES PARES

Una función f se dice que es una {.unción pan. si

se verifica lo siguiente:

i) xeDom(f) *■ xeDom(f)

ii) f(x) = f(x)

Observación. La gráfica de una función par es simétrica respec-

to del eje I, pues la regla de correspondencia no

se altera al sustituir x por x.

Por ejemplo, las funciones cuyas ecuaciones son de la forma y=xn

para n par, son funciones pares y sus gráficas son parábolas si-

métricas respecto del eje Y.

En particular, si n=2 y xeQ2,23,

entonces, f(x)=x2 es una función par.

En efecto, según la definición 1.6:i) xe[2,2 ] ■**■ 2íx<2

++ 2>x>2 +-*■ 2£x¿2

Luego, xe[2, 2j *■ xe £2,

ii) f(x)=(x)2=x2=f(x) + f(x)=f(x)

ÉiflflffMIftÉ FUNCIONES IMPARES

Una función f se dice que es una /unción irnpan.

si se verifica lo siguiente:

i) xeDom(f) + xeDom(f).

ii) f (x ) = f(x)

Observación. La gráfica de una función impar es simétrica res

pacto del origen de coordenadas, pues.la regla de

correspondencia no se altera al sustituir simultáneamente x por

x e y por y.

Por ejemplo., la función f(x)=xn , para n impar, es una función im

par. En particular, si n = 3 y xef1,1] f(x)= x3 , xe[1,l].

,V<•<cián 2: Propiedades más elementales de las funciones 37

Kn efecto, según la definición 1.7:

l) xe[1, 1] w 1 x 1

1 x >, 1

+*■ 1 í x 1

+*• xe [1,1.]

If) f (x) = (x)3=x3=f(x)

+» f(x) = f(x)

FUNCIONES PERIÓDICAS

Un función f se dice que es / unción pe.n.iódica si

nxiste un número T^O tal que:

i) Si xeDom(f) + (x+T)eDom(f)

ii) f(x+T) = f(x) , ¥xeDom(f)

Observación. La gráfica de una función periódica es tal que su

forma, en el primer intervalo de longitud T, se re

pite periódicamente a la derecha y a la izquierda de este inter-

valo. Por ejemplo, f(x)=Senx es una función periódica de período

T = 2tt, ya que, como se sabe: Sen(x+2ir) = Senx , ¥xeR.

PROBLEMAS RESUELTOS

___ 2 .

|.tl f(x) = ---- , indicar el dominio de definición de la función1+x2

f(x) y mostrar que dicha función es no negativa.

Solución. Como 1+x2>0 , ¥xeR, la función f es real en R, esto esDom(f) = <“ ,+«>>.

Si x<0 •> x2>0, y si x>0 + x2>0.

Además, f(x) ■= — — = — — = f(x)1 + ( x ) 2 1+x2

Luego: f(x) es una función par y f(x)^0 , •VxeR

f es una función no negativa

39

Hallar los intervalos de signos constantes y las raíces de

la función:

(1) y=3x6 (3) y=2x_2

(2) y=x25x+6 (4) y= x33x2+2x (5) y=|x|

Solución.. (1) Si y>0 *• 3x6>0 *-*■ x>2 (La función es positiva)

y<0 *• 3x6<0 *»■ x<2 (La función es negativa)

y=0 *• 3x6=0 ■«* x2 (Dna raíz de la fución)

(2) Si y>0■* x25x+6>0 (x2)(x3)>0

x<2 ó x>3 (La función es positiva)

Si y<0 •>x 2-5x +6<0 ■*>■ (x 2 )( x 3) <0

2<x<3 (La función es negativa)

Si y=0 x 2-5x +6=0 x=2 ó x=3 (Dos ceros de la función)

\ „(3) Si y>0 *• 2X_ >0. Como la desigualdad es válida VxeR,la

función es siempre positiva y no tiene ceros.

(4) Si y>0 x 33x2 + 2x>0 *-*■ x(x 1) (x2)>0

Ubicando los valores críticos x=0, x=1 y x=2 en unaescala

real y haciendo uso del teorema 7 se tiene:

~ 00 — . i" ..... o— ^ — — ► + oo

Luego, la función es positiva x e <0, 1>U<2,+°°>

la función es negativa +* xe<°°, 0>U< 1, 2>

y los ceros de la función son: x=0 , x=1 y x=2

(5) Si y>0|x¡>0 x>0 ó x<0 . La función es siempre positiva

Si y=0 * x=0 , es una raíz de la función.

0Qué funciones de las que se dan a continuación son pares,

impares y qué funciones no son pares ni impares?

y = x ‘*2x2

Solución. Si .f(x)=x,,2 x2 +f(x) = (x) l*2(x)2

=xl,2x2 = f(x)

.*. La función es par.

K U R y = x - x 2

mu Propiedades más elementales de las funciones 39

94,3

54 4

84.5

54.6

54.7

54.8

54.9

54.10

Solución. F (x) = xx2 *■ F(x) = x(x)2

= xx2 i F(x)

La función no es par ni impar.

y = Cosx

Solución. f(x) = Cosx ■* f(x) =Cos(x) = Cosx

.V Da función es par

y = 2X

Solución. Si f(x)=2X f(x) = 2'X = — j; t f(x)2X

La función no es par ni impar,

x 3 , x5y = x - v + í 2

3 5 3 5S o lución. Si f(x) == x r + *• f(x) =x + jr

+ f ( - X ) = - ( x -^ + f | ) = - f (X)

.*. La función es impar.

y = Senx

Solución. Si f(x)=Senx f(x)=Sen(x) = Senx = f(x) .

.'. La función es impar.

y = SenxCosx

Solución. Si f(x)=SenxCosx ■* f (x)=Sen(x)Cos(x)

=SenxCosx f(x)

.‘. La función no es par ni impar.

y = 1x2

Solución. Si f(x) = 1x2 *■ f(x)=1(x)2=1x2=f(x)

.*. La función es par.

y = Tgx

Solución. Si f(x) = Tgx + f(x) = Tg(x) = Tgx = f(x)

La función es impar.'

y = 2_xZ 2 2So lución. Si f(x)=2~x ■* f (x) = 2 x = f(x) .'. Es par

i 2 P i d d á l l d l f i 41

1 ! x . X\y = 2 ' a +a >

Solución. Si f(x) = Tj(ax+a x) f(x) = Tj(a’x+ax )

f(x) = f(x) La función es par.

1 /y = j ( t

So ¿uc¿6n, Si f(x) = f(x) = ^(a‘xax)

1, x X\ = ^( a a )

f(x) =f(x) La función es impar

y =

Solución. Si f(x) f(x) =

La función no eB par ni impar.

■ 1Solución. Si f(x) =■ f(x) = Ha*

1-ax

+ f(x) =

La función es impar.

= f(x)

X(Q. - 1\y = x(— — )

a +1

Solución. Si f(x) = x ( ) + f(x) = x(—— :— )

> f(x) = xí^S) =

1+ aLa función es par.

!) = f(x)

y = 2A"A

Solución. Si f(x) = 2x‘x2 +• 'f('x) = 2'x’("x^2= 2'x'x2

.'. f(x) t f(x) . La función no es par ni inpar

,, i,m 2: Propiedades más elementales de las funciones 41

Unción. Si f(x) = log(|jX ) ♦ f(x) = log(^S') = lo g( ^ )

f(x) = f(x) . La función es impar.

O Presentar cada una de las siguientes funciones como suma de

una función par y otra impar.

(1) y = x 2+3x+2 , (2) y = 1x3x*2x5

(3) y '= Sen2x + Gos| Tgx

• fuc¿6n. (1) Si f(x)=x2+2 f(x) = (x)2 + 2=x2+2 , f es par

g (x)= 3x *• g(x) = 3x = g(x) , g es impar

y = f(x) + g(x) = (x2+2) + (3x)

(.') Seaf(x) = 1x‘* ■* f (x) = 1 (x) =1xl*=f(x) , f es par

g(x)=x’2x5 > g(x)=(x)32(x)5 =x3+2x5=(x32x5)

•> g(x) = g(x) , g es impar.

y = f(x) + g(x) = (1x1*) + (x 32x5)

( l) Sea f(x)=Sen2x+Tgx ■* f(x)=Sen(2x)+Tg(x) = (Sen2x+Tgx)f(x) = f(x) , f es impar

g(x) = Cosí| 4 g(x) = Cos( &) = Costj = g(x) , g es par

y = f(x) + g(x) = (Sen2x + Tgx) + ( C o s t j )

0 Demostrar que f(x)+f(x) es una función par y que f(x)f(x)

es una función impar.

/).moAÍ/iaciin. Dada una función f(x) podemos expresarla de la si

guiente manera:

f(x) = |[f(x) + f(x)] + ^jf(x) f(x)] (1)

i llamamos: <J>(x) = •^[f(x) + f (x)J y \1j(x ) = ^[f (x)f (x)]

1 u tará probar que: <J>(x ) es par y ij)(x) es impar.

Kn ofecto: <t>(x ) = ^ff(x) + f(x)] = ~[S (x) +f(x)] = <¡>(x)

.*. (J)(x) es una función par

U<(x ) = |[f(x) f (x)]= - |[f (x) f (x)J = Ui(x.)

.'. i|j(x ) es una función impar

l

En (1) tenemos: f(x) = .<J)(x) + ijt(x)

lo cual demuestra que una función se puede expresar como la suma

de una función par y otra función impar.

m Presentar las siguientes funciones como suma de una función

par y otra impar.

(1) y = ax (2) y = (1+x) 10

Solución. Haciendo uso del artificio del ejercicio 56 tenemos:

t 1 , x , x% , 1t X X\(1) y = 2 + a > + 2 a " a '

(2) y = (H x ) 10 + (1x)10 + (1+x)10 (1x)10

2 2

m Demostrar que el producto de dos funciones pares es una fun

ción par, el de dos impares es una función par y el de una

par y otra impar es una función impar.

De.mo¿í/iación. En efecto, sea la función: .f(x) = tf>(x) .\p(x)

Entonces: f(x) = <!>(x) .\p(x) (1)

i) Si <!>(x) y iíj(x ) .son funciones pares, entonces:

<t>(x) = <t>(x) y vJj (x) = <|>(x)

Luego, en (1): f(x) = $ (x) .il> (x) = f(x) f(x) es par

ii) Si <t>(x) y ^(x) son funciones impares, entonces:

<t(x) = <t> (x) y i|>(x) = \p (x)

En (1): f(x) = [<t> (x)~J . f'Hx)] = <t> (x). (x)= f^x)

.’. f(x) es par

iii) Si <f>(x) es par -* 4>(x) = <t>(x)

vl)(x) es impar *• (— x) = <1j(x )

De modo que, en (1): f(x) = <í> (x). Ci|) (x)] = — (x) .\|j(x )

Entonces: f(x) = f(x) f(x) es impar.

Qué funciones de las que se dan a continuación son periódi-

cas?

(1) y = Sen2x (4) y = Sen(1/x) (7) y = j^xU

(2) y = Senx2 (5) y = 1+Tgx (8) y = x f[xj

(3) y = xCosx (6) y = 5

ion Propiedades más elementales de las funciones 43

fu, i ón. Según la definición 1.8 tenemos:

(1) Sea f(x) = Sen2x f(x+T) = Sen2(x+T)

= (SenxCosT+SenTCosx)2

: i í’(x) = f(x+T) •* Sen2x = (SenxCosT + SenTCosx)2

I.a igualdad se cumple fe' • CosT=1 y SenT = 0

T = 2tr y T = 2tt

Como el período es igual en ambos casos, la función es perío

dlca.

> Nea f(x) = Senx2 + f(x+T) = Sen(x+T)2

:U T(x) = f(x+T) *• Senx = Sen(x+T)2

l.u igualdad se cumple si T = 0, pero, según la definición 1.8

T ¿ 0, luego la función no es periódica.

i) Sea f(x) = xCosx *• f(x+T) = (x+T)Cos (x+T‘)

Si f(x) = f(x+T) *• xCosx = (x+T) (CosxCosT SenxSenT)

La igualdad se cumple si: T=0 , CosT=0 , SenT=0

«*• T=0 , T=n/2, T=27r

En consecuencia, la función no es periódica.

/,) Sea f(x)=Sen(1/x) *■ f(x+T) = Sen( ^j )

Si f(x) = f(x+T) Se n(~) = Sen (~)

La igualdad se cumple para T=0, por tanto, la función no es

periódica.

'.) Sea f(x) = 1+Tgx *• f(x+T) = 1+Tg(x+T) = 1 + Tgx * TgT1 TgxTgT

Si f(x) = f(x+T) *■ TgT = 0 ++ T=tt

Por tanto, lafunción esperiódica.

(<) Sea f(x) = 5 > f(x+T) = 5

Siendo f(x)=f(x+T), la función es periódica.7) Sea f(x) = jTxJ * f(x+T) = Qx+Tj = £xj + T

Siendo f(x) f f(x+T), la función no es periódica.

H) Sea f(x) = xfxj + f(x+T) = (x+T)|x+T]J = x+T([[xj + T)

= x HxJ

Siendo f(x)=f(x+T), la función es periódica.

44 Capítulo 1: Función Si P i d d á l t l d l f i 45

o Construir .la gráfica de una función periódica tal que su pe

ríodo sea T=1 y que en su intervalo semiabierto [0,1> sea

dada mediante la fórmula:

(1) y=x (2) y=x2

Solución, Dado que T=1, construiremos periódicamente las gráfi-

cas de (1) y (2) a la izquierda y a la derecha del in

tervalo [O,1>.<„ n (2):

z / y r / : 7 7 J 7 .

2 1 0 1 2 x 2 1 0 1 2

6 ) Indicar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los

intervalos en que la función dada es constante.

(1) y = Ix| (2) y = |x| x

Solución. Según la definición de valor absoluto tenemos:(1) Si xjO > |x|=x , y si x<0 *• |x'|=>

Entonces: y = f(x) 4 x , si x^O

x , si x<0

X>

y.

\ k0

Por tanto, en el intervalo <<»,0> la función f es decrecien-

te y en el intervalo <0,+°°> es creciente.

(2) Si x>0 s y=xx=0

x<0 y=xx=2x

0 , si x 0

y •

0-foo>

Entonces: y = g(x) =^2x, si x<0

Por tanto, la función g es decreciente

en el intervalo <«>,0> y constante en ¡JD,+<»>

Indicar los valores máximo y mínimo de las funciones:

(1) y=Sen2x . (3) y=1Senx

. (2) y=Cosx2 ^ y=2xZ

Solución. (1) Sabemos que 1<Senx<1 *■ 0s;Sen2x$1

Luego, el valor máximo de la función es 1, y el

Si . mu Propiedades más elementales de las funciones 45

vnlor mínimo es cero,

i hndo que 1<Cosx<_1 *• 1$Cosx2Sl

Luego., el valor máximo de la función es 1 y el valor mínimo

• 8 - 1 .

i 0 y1 = Senx ■**• 1y = Senx

Como: 1 Senx .g 1 *■ 1 S 1y í 1

+ 2 x< y ^ 0 0 v< y ^ 2Por tanto, el valor máximo de la función es 2 y el valor mí-

nimo es cero.

, x2i!, ) La función exponencial y=2 es positiva¥xeR, osea; no tie

ne un valor máximo. Para x=0 -> y=2° = 1, es elvalormínimo.

o Mediante la adición de gráficas construir la gráfica de la

función y=f(x)+g(x):

(1) Para las gráficas presentadas en la figura 6

(2) Para las gráficas presentadas en la figura 7.

•fución. Según la definición 1.5,sabemos que si: '

l'(x)+g(x) ► Dom (y ) =Dom(f) A Dom(g)

i. índonos en esta definición, por

ii i xeDom(f /\ g) se traza una línea

Mticál en donde de f+g en x se ob

• ■ne sumando los valores de f y g

• x (Ver figura). Uniendo todas

i ordenadas de f+g, con una línea

46 Capítulo 1: Función i 3 F i á i l 47

punteada, obtendremos la gráfica de la función yf(x)+g(x).

Conociendo la gráfica de la función y=f(x) construir la grá

fica de la función:

(1) y=|f(x)| (2) y = ¿Ilf(x) |+f(x)'J

(3 ) y = 4[|f(x)|f(x)]

Soíución, Supongamos que la gráfica

dada de y=f(x) sea la fi-

gura adjunta. Según la definición de

valor absoluto tenemos:

'f(x) , si f(x)50(1) y = |f(x)| ■

€ f(x), si f(x)<0

Como y>0, la gráfica de y f(x)

se encuentra integramente en el se

miplano superior y se obtiene a par-

tir.de la gráfica de y=f(x) reflejan

do hacia el plano superior todos los

puntos que se encuentran en el semi

plano infetior, permaneciendo idéntica la parte de y=f(x), que o

riginalmente se encontraba en el semiplano superior.

f( x) , si f(x)JO

t0 , si f(x)<0(2) y = ^rif(x)|+f(x)J

La gráfica

A

de y = -2 £ | f* (x ) |+f (x)]

se encuentra integramente sobre el

semiplano superior y es idéntica a

la gráfica de y=f(x), excepto en a

quellos intervalos en que la gráfi

ca de ésta se encuentra en el semi

plano inferior. En dichos intervalos la gráfica de y= 4£|f(x)| +

f(x)]

(3) y = gLIfU) lf(x)]_ =■/ 0l_f(x), si f(x)<0

La gráfica de y = [| f (x) | f (x)J

se halla sobre el eje X en aquellos

es constante y permaneciendo sobre el eje X.

si f(x)sO yi,

♦ x

•■i .m u 3: Funciones más simples 47

i ■mil.os de la gráfica de y=f(x) en el semiplano superior, refle

i nulo sobre este semiplano todos los puntos de la gráfica de y=

i(') situados en el semiplano inferior.

FUNCIONES MÁS SIMPLES

t 1 FUNCION LINEAL

La función lineal f:R>R está definida por la re-

gla de correspondencia:

f (x) = mx + b

l ' I" m y b son constantes y m^O.

!« r ni rica de esta función es una línea recta L cuyo coeficiente

éh(|'il'ir o pendiente es m=Tga. y cuya intersección con el eje X es'

( I' ¡ i;ura 1. 4)

||| i "i i i.cular, si m=1 y b=0, la función definida por la regla de

KPP' ".ipondencia:

f (x) = x

fH ;i llamada ¿unción idéntica, denotada por I:R>R y cuya gráfi

fl *• i mía línea recta que pasa por el origen de coordenadas (Fi

■ r * 1 . 5 ) .

Bu»1 I dominio de la función identidad está restringida a un

Ult piulo A R, entonces se denota:

IA (x) = x , VxcA

I »• . Ii/O, la función definida por la regla de correspondenK § l

f(x) = b , VxeDomCf)

I I ini /ida lunc ión constante., cuya gráfica es una línea hori

|hi>' ■ " una distancia b del eje X.

48 Capitulo 1: Función ion Funciones más simples 49




PROBLEMAS RESUELTOS

Sean la intensidad de corriente 1=0.8A y la tensión E=2.4V.

Aplicando la ley de Ohm, expresar analíticamente la depen-

dencia entre la intensidad de corriente y la tensión. Construir

la gráfica de la función hallada.

Solución, Según la ley de Ohm, el cociente entre la tensión o

fuerza electromotriz y la intensidad de corriente es

una constante llamada resistencia. Esto es:

de donde:

p 4 A _ o0. 8V ^

I = £1 3

>*E

Un vaso de forma cualesquiera contiene un líquido. A la pro

fundidad h=25.3cm la presión del líquido es p=18.4 gf/cm2.

a) Formar la función que expresa la dependencia entre la presión

y la profundidad.

b) Determinar la presión a la profundidad de h=14.5 cu.

c) A qué profundidad la presión resultará igual a 26.5 gf/cm2.

Solución. a) Como la presión es directamente proporsional a la

profundidad formamos la siguiente regla de tres:

p h \ * p = ^ H h = 0.727h>18.4--- * 25. 3J 25,3

b) Para h= U. 5 cm +p = 0.7 27( U.5 ) = 10.54gf/cm2

c) Para p= 26 .5 gf/cm2 *■ 26.5=0.727h + h=36.¿ cm/

m Determinar la función lineal y=ax+b, valiéndose de los si-

guientes datos:

1) X F M y 3) x y0 4 2 4.3 2.5 7.2

3 6 1.6 0 3.2 6.8

i 6 n. ) Para x= 0 , y=4 *■ 4 = a(0)+b »■ b=4

x=3 , y=6 6 = a(3)+b 1=2/3

. ion Funciones más simples 49

.\ y = |x + 4

I ■) l'ara x=2 e y=4.3 *•4.3 = 2a+b (1)

x=1.6 e y=00 = 1.6a+b (2)

¡tosolviendo (1 ) y (2) obtenemos: a=1.194 > fc=1.910

.‘. y = 1. 194x + 1.910

i «/ Para x=2.5 e y=7.2 + 7.2 = 2.5a+b (1)

x = 3.2 e y=6.8 6.8 = 3.2a+b (2)

íicsolviendo (1) y (2) obtenemos: a=0,571 , b=8.63

y = 0.51x + 8.63

j j | Un cuerpo efectúa movimiento rectilíneo bajo la acción de

la fuerza F. Partiendo de la ley de Hewton escribir la fun

I ”;i que exprese la dependencia entre la fuerza y la aceleración

m1 se sabe que cuando el cuerpo se mueve experimentando una a

1"iación de 12 m/seg2, en su trayecto S = 15 cm se realiza un tra

I•n j.> igual a W=32 'julios.

\t‘fución. Según la ley de Newton: F = mu (1)

El trabajo W es igual al producto del desplazamiento

|.nr La fuerza a lo largo del desplazamiento, esto es:

32 _ 8Vi = FxS = mtoS

■ l'O, en (1) : F =

12x15 45

I Cierta cantidad de gas ocupó el volumen de 107 cm3 a la tem

peratura de 20°C, para uña temperatura igual a 40°C el volu

"'ii llegó a ser igual a 114 cm3.

ii) Aplicando la ley de GayLussac formar la función que exprese

I a dependencia entre el volumen V y la temperatura t.I') Cuál sería el volumen a 0°C?

¡unión, a) Según la ley de GayLussac, el volumen de una masa

de gas a’ presión constante, es directamente propor

i nal a su temperatura, o sea: |r = constante

ndo el volumen una función lineal de la temperatura se tiene:

V = a+bT (1)

i a V = 107 y T = 20 107 = a+20b (2)

V=11 4 y T=40 11,4 = a+ 40b (3)

50 Capítulo 1: Función 1 / ' i á i l 51

Resolviendo el sistema (2) y (3) obtenemos: a=100 y b=0.35

Luego,’en (1): V = 100+0.35T

b) Para T=0, entonces: V=10Ó cm 3

CD Al comenzar un punto su movimiento uniforme a lo largo de u

na recta, al cabo de 12 seg. alcanza un punto que dista +

32.7 cm de un cierto punto de dicha recta, mientras que al cabode 20seg la distancia llegó a ser igual a +¿3.4cm. Expresar la

distancia S como función del tiempo t.

Soiución. Siendo el movimiento uniforme, el espacio recorrido

por el punto es una función lineal del tiempo, esto

es: S = a+bt (1)

Luego, para t = 12 y S = 32.7 ■* 32.7 = a+12b (2)

t=20 y S=43.¿ + O . A = a+40b (3)

Resolviendo el sistema (2) y(3) obtenemos: a=l6 . 6 y b=1.34

Por tanto, en (1): S = 16.6+1.34t

CD En' un circuito la tensión va disminuyendo uniformemente (de

' acuerdo con la ley lineal). Al comienzo del experimento la

tensión era igual a 12V y al final del mismo experimento, que du

ró 8seg, la tensión descendió hasta 6 .4.V. Expresar la tensión V

como una función del tiempo t y construir la gráfica de esta fun_

So ¿ación. Sea: V = a+bt (1)

Si t=0 y V=12 + 12=a+b(0)

t=8 y V= 6 .K ■* 6 . 4=12+8b

Resolviendo el sistema obtenemos:

a= 1 2 y b=0 .7

Luego, en (1): V = 120.7t

CD Hallar el incremento de la función lineal y=2x7 al pasar

la variable independiente x del valor Xj=3 al de x 2=6 .

Soiución., Si Ax es el incremento del argumento *• ix=x 2x 1 = 3

y si Ay es el inermento de la función, entonces:

y+Ay = 2(x+Ax)7 Ay = 2x+2Ax7> (2x7) Ay = 2Ax

.’. Ay=6

1 /■'unciones más simples 51

O »•> lar el incremento de la función lineal y=3x+1 correspon

11 ''lite al incremento de la variable independiente Ax=2.

Un . Si y=3x+1 *■ y+Ay = 3(x+Ax) + 1

■+• ( 3x+ 1) +Ay = 3x3Ax+1

((" i rulo: Ay = 3Ax = - 6

O u función y=2.5x+4 tuvo el incremento Ay=10. Hallar, el in-cremento del argumento.

\>fnrión. Si y=2.5x + 4 + y+Ay = 2.5(x+Ax)+¿

*• (2. 5x+4) +10 = 2. 5x+2. 5Ax+4

il" >l>,nde obtenemos: Ax = 4

CD Dados la función — y el valor inicial de la variaa b

ble independiente x t=ab, hallar el valor finito x 2 de la

variable independiente x para el cual el argumento Ay = — !— a b

fución. Si y —"a > y + Ay = x+Axaa b a b

xa + 1

a'b2

xa , X 2Xi

ab a b2 a2b 2

> 1 =a+b a+b

donde: x 2=2a

La función g(x) viene dada así: g(x)= | + 2 para »<x<2,

g(x)=5x para 2$x<+<». Hallar analíticamente y gráficamente,

las raíces de la ecuación g(x)=2x 4.,

W fución. Para x<2,'.si g(x) = § + 2

■+■ 2x4 = ^ + 2 x=4 i <co,2>

Pura XJ2, si g(x) = 5x 2x-U=5-x 3.

!<■ donde; x= 3 e[2 ,+»>

i'"f tant,o, x=3 es la raíz buscada.

52 Capitulo I Fun ción i.’/ir* litas simples 53

52 Capitulo I . Fun ción

m Construir la gráfica de la función:

(1) y = |x+1 |+|x1 |

(2 ) y = |x+1 | |x- 1 |

(3 ) y =I x - 3 I - 2 lx+ 1 | +2 | x | - x +1

Se ¿ución. Los números críticos de la función (1) son: x=1,

y los intervalos de definición 'del dominio son:

X< 1 , 1<X<1 , X>1

Luego, según la definición de valor absoluto tenemos:

Si x<1 + ’y=(x+1)(x1 = 2x

1$x<1 + y = +(x+T)(x1 ) = 2

x^1 •> y = +(x+1 )+(x1 ) = 2x

x- 1

y =

si x< - 1

si 1$x<1

si xi-1

\ '■ /

/1

1 0 1

(2 ) y = Ix +1 | | x1 ]

Como en el caso anterior, los intervalos de definición del

dominio de la función son:

x<1 , 1 Sx< 1 x5.í

Si x<1

x5‘1 y = +(x +1 ) - (x -1 ) =

, si x<-1

, si -1íx<1

, si xi 1

y i

2

t

? / .

/3 1

________/función son: x= - 1 , x=0 y x=3

(3 ) y = | x -3 1-2 J x+1 | +21x | -x+1

Los números críticos de 1?

y los intervalos de definición del dominio son:

x<1 , 1$x<0 , 0gx<3 , x>3

Si x<1 •+■ y. = (x3)+2(x+1)2xx+1 = 2x+6

1.<x<0 + y = - (x3 )2 (x+ 1 ) 2xx+ 1 6x+2

0^x <3 * y = (x3 )2 (x+1 )+2xx + 1 = 2x+2

x>3 + y = (x3)2>(x+1 ) + 2xx+1 = -A

Luego, la regla de correspondencia de la función es:

i. /ir litas simples 53

i •t> , x< - 1

11 ,1$x<0

it.’ , 0^x< 3

■/. . xÿ3

i i) P*r. qué valores de x es válida la desigualdad:

I f (X ) + g (X ) J < | f (X ) | + | g (X ) I

i f (x)=x3 y g(x)=4x _

|< /...Se tiene: | (x3) + (A-x) I < |x3|+Ux| (Pero |a|=|a|)

► 1 < |x3|+|x4l

i< 3 * 1 < (x3) (x4) ++ 1<2x+7 ++ x<3 (1 )

Mi 1 < (x3)(x4) ■<"*■ 1 < 1 No es válida

/ jK * 1 < (x3) + (xi) 1<2x7 •*-*■ x>4 (2)

r t.'into, de (1) y (2): S = {xe R/x<3 ó x>4)

f D Para qué valores de x es válida la desigualdad:

|f(x) g (x)| > |f(x)| |g(x)|

si f(x)=x y g(x)=x- 2

'itinción. Sustituyendo la imagen de cada función se tiene:

I x (x2 ) | > | x| — | x—2 | **• |x | | x —2 | < 2

M x<0 *■ x + (x2 ) < 2 «+ 2< 2

La desigualdad es válida ¥xeR{0} ■+ Sj = {xeR/x<0}

i (Kx<2 x+(x2)<2 ■**■ x<2 *• S 2 '= {xeR/0<x<2}

x^2 ■* x(x2)<2 *-*■ 2 < 2 No es válida la desigualdad

r<>r lo tanto: S = Si U Sz = {x;eR/x<2}

C D La función f:(x) está definida así: en cada uno de los inter

valos n<x<n+1 , donde n es un número entero positivo, f(x)

varía linealmente, siendo .f(n)=1, f(n+1/2)=0, Construir la

54Capítulo 1: Función I / 'uncio ne s m ás s im ple s 55

54

gráfica de esta función.

Soiuciin. Si n=0 > 0$x< 1 + f(0 ) = - 1 y f (1/2 ) = 0

n=1 »■ 1íx< 2 ♦ f(1 )=1 y f (3 /2 ) = 0

n=2 -y 2íx<3 + f(2 )=1 y f(5/2)=0

n=3 -> 3$x<¿ *• I

I 1_______

i

y f(7 / 2 )=0

3.2 FUNCIÓN CUADRÁTICA

J| gj ]J ¡2 ECnj ¿P Una función cuadrática está definida por 1 a regla de correspondencia:

f(x) = ax2+bx+c (D

donde a, b y c son constantes y a^O.

La gráfica de la función cuadrática es una parábola, la cual se

abre hacia arriba si a>0 y hacia abajo si a<0 .

Figura 1.6 figura 1.7

Si escribimos la ecuación (1) de la forma:

y = ax2+bx+c

* i ■■. |.Iutamos el cuadrado en x, se tiene:

7 = + + 71 + °

i',, i :: la ecuación de una parábola de la forma

yk = a(xh) 2 (2 )

»■i , ' vórtice es: V(h,k) = V(

....rvaciones:

( i) i a>0 (Figura 1.6), la parábola tiene su punto mínimo que

na el vértice V(h,k), es decir, k es el valor mínimo de la

['unción (1). Además, la función f decrece para xe<°°,h> y

crece para xe<h,+”>.

( ') Si a<0 (Figura 1.7), la parábola tiene tiene un punto máximo

en V(h,k), es decir, k es el valor máximo de la función (1).

Además, la función es creciente en xe<®,h> y decreciente en

xe<h,+°°>.

( l) Si f(x)=0, la función (1) tiene raíces reales siempre que el

discriminante A=b24ac£0.

a) Cuando A>0, la función f tiene dos raíces reales distin-

tas: xi^X2 (Figuras 1.6 y 1.7)., o

b) Cuando A = 0, la función f tiene una raíz doble: x]=x2=h

El vértice de las parábolas en las Figuras 1.6 y 1.7 es

tan sobre el eje X.

I/,) Si f(x)¡¿0, la función no tiene raíces reales y ocurre cuando

A = b2<5ac<0 (la gráfica de la función f no intercepta al eje

X).

PROBLEMAS RESUELTOS

C D Construir la gráfica e indicar los intervalos de crecimien-

to y decrecimiento de la función:

(1) y = jx2 (2 ) y=x2- 1 (3) y= |x21 | U) y=1x2

56 Capítulo 1: Función ■mu l Funciones más simples 57

(8) y=2x2+3

(9) y=2x26x+¿

(1 0 ) y= 3x2+6x- 1

(11) y=|3x2+6x1|

(1 2 ) y=x|x|

y = 4 x 2

(5) y=x2x+¿

(6) y=xx2

(7) y=|xx2 |

Solución. (1) n ~ 2

Como a=1/2 (a>0), la

gráfica de la función tiene laforma que la figura 1.6, pero

con vértice en el origen.

La función crece para xe<0,'+«»

y decrece para xe<“,Q>

(2) y=x2 1 +* y+1 = (x0) 2

de donde: h=0 y k = 1 ■* V(0,1)

Siendo a=1>0, la pará’oola se abre

hacia arriba.

La función decrece para xe<“,0>

y crece para xe<0,+“>.

(3) y= ¡x 2-1 |Por definición de valor absoluto sabemos que si

x 2£1 *■ y ~x 2 1

x 2<1 *■ y = (x2 1)

fx21 , si x^1 ó x51

y = < | x2 + 1, si 1 <x< 1

La gráfica de y=x21 *->■ y + 1 = (x0)2

es una parábola con vértice en

V(0,1), pero como yjO, ¥xeR, la

porción de parábola comprendida en

1<x<1 (línea punteada) se reflejasobre el semiplano superior coinci

diendo con la gráfica de y=x2+1.

La función decrecepara xe<*>,1>U<0,1> y crece para

x e<- 1, 0>U< 1, +°°>.

(4) y=1 y 1=(x0 ) 2

Luego, h=0 y k=1 V(0,1)

Como a=1<0, la parábola se abrehacia abajo.

(9)

( 1 0 )

( 1 1 )

Completando el cuadrado para x

y.1/4. = (x1 / 2 )2 ^ y (^,|)

::iendo a=1<0 , la parábola se

ibre hacia abajo.

I.a función crece para xe<“ ,1/2>

y 'decrece para xe<1/2 ,+°°>.

» x

y^|xx*|

Por definición de valor absoluto:

Si xx2ÿ0

xx2< 0

y=xx

y=x2x

si 0<x<1• i " ’.. y = i

I x2x, si xíO 6 x£1

La gráfica de la función es simi-

lar a la del ejercicio (3 ).

La función crece para xe<0, 1/2>U< 1,+“>>,

y decrece para xe<“,0>U<1/2 ,1>

y=2x 26x+4

Completando el cuadrado para x se

tiene: y+1 / 2 = 2 (x3/2 ) 2

de donde: V(3/2,1/2)

Siendo a=2>0, la parábola se abre

hacia arriba. La función decrece

para xe<”,3/2> y crece para

xe<3/2,+">.

y=3x2+6x1

Completando el cuadrado para xobtenemos: y2 = 3(x1) 2 *■ V(1,2)

Siendo a=3<0, la parábola se ex

tiende hacia abajo.

La función crece para xe<",1> y

decrece para xe<1 , +<»>..

y=|3x 2+6x 1 |

Dado que la función es positiva VxeR, se tiene:

58 Capitulo 1: Función '/i I / 'uncio nes más simpl es 59

Si y>0 y=3x2+6x1 ó y=3x26x+1

«*• y2 =3 (x 1 )2 ó y+2 =3 (x1 )2

De donde, los vértices de cada parábo

ia son: Vj(1,2) y V 2(1,2)

Trazamos la gráfica de la función de

la misma forma que en los ejercicios

(3) y (7).

Si y=0 •+• 3x 2-6x +1=0 **• x =

La función crece para x e < ,1>U<

y decrece para xe<°°,~ j^>ü<1 ,

(1 2 ) y=x|x|

Si x?0 , |x|=x + y=x(x)=x2

x<0 , |x|=x *■ y=x(x)=x 2

' 2 si x>0rx . si

y H 2 .L X z, SI x<0

La función es decreciente VxeR.

m Escribir en forma analítica la función unívoca definida enel intervalo <«,6]], si se sabe que su gráfica consta de

los puntos del eje OX cuyas abscisas son menores que 3. de los

puntos de la parábola que es simétrica respecto al eje 01 y que

pasa por los puntos A(3,0), B(0,5)> y de los puntos del segmen-

to CD cuyos extremos son C(3«0) y D(6,2).

Solución, Se sabe que los puntos sobre el eje OX tienen ordena-

da cero, entonces: y=0 , para X£<°°,3>.

Una parábola simétrica respecto al eje 0Y tiene su vértice en di

. cho eje, y su ecuación es de la forma: y=axa+c

Si A(3.0)ef + 0=a(3)2+c ■*-*■ 9a+c=0 •+• 9a=c

B(0,5)ef + 5=a(0) 2 + c «*■ c=5 a=5/9

y =|x2 + 5 , si xe[3,3]

El segmento CD,es representado por la función: y=ax+b

Si C(3,0)ef + 0 = 3a+b (1 )

D (6 ,2 )ef + 2 = 6a+b (2 )

i v W m d o el sistema' (1 ) y (2 ) obtenemos: a= 2/3y b= - 2

y = -|x 2 , x e < 3 ,6j

'■nito, la forma analítica de la función es:

0 '

9

i y

!iLlar el valor máximo de la función:

(1 ) y = 2x 2+x- 1 (3 ) y=5x 2

(• ) y= x23x+2(A) y=2x2+axa (5) y= a2x b2x 2

i" Un. Transformando cada ’¿na de las ecuaciones dadas a la

forma: yk ^a íx h ) 2 , se tiene:

-2x 2+x -1 + y = .2(x2 ix + ^ ) 1 + 1

~ y + 1 = _2(x - I) * ♦ V(i -1)! nogo, el valor máximo de la función es: y=7/8 , para x= 1/'¿

y i| = _(x + 1)2 + V(|,1I)y = x 3 x+2 i

v.'ilor máximo de la función: y=17tí, , para x= 3 / 2

5x2 y 5 = (x0)4¡ ■+ V(0,5)

V.'ilor máximo de la función:y^Sy para x=0

v 2x2+axS2 «*■ y + |a2 = 2£>. |)2 + V( |a2)

v.iLor máximo de la función: y = ja2 , para x=a/4

y -b 2x 2 + a2x «*■ y —? = b2 (x — 2 — )ib2 2 b2

valor máximo de la función: y=a"/4b2 , para. x=a2/2b2

Hallar el valor mínimo de la función:

(1 ) y= x* Ux - 2 (3 ) y=i3x+6x 2

(.’) y=2x21 .5x +0 .6 (4.) y=a2x2 + a2 (5 ) y= (ax + b) (ax2 b)

60 Capitulo I: Función iKtunes más simples 61

Sotucióa. Procediendo en forma similar al ejercicio anterior

se tiene:

(1 ) y=x 2+¿x2 y+6 = (x+2)2 + V(2,6)

Valor mínimo de la función: y=6 , para x=2

(2) y = 2x2 |x + | y T| l = 2(x |)2 * V (8* 16 )

Valor mínimo de la función: y ^ , para x=3/8

(3) y = 6x 2-3x +1 +*• y g = 6(xj)2 *• ^¿»s)

Valor mínimo de la función: y=5/8 , para x=1/4

(A) y = a2x2+a2 ya 2 = a2 (x0)2 V(0,a2)

Valor mínimo de la función: y=a2 , para x=0

(5) y = a2x 2abx2b2 ** y + jb2 = a2(x j |)2 + v (2Í»*fb2)

Valor mínimo de la función: y = |t>2 , para x=b/2a

m Presentar el número a como una suma de dos sumandos tales .

que su producto sea el mayor posible.

Solución., Sea x uno de los sumandos y ax, el otro sumando.

Entonces: y=x(ax) es el producto de ambos sumandos.2

Luego: y = x2 + ax y £ = (x^)2

Vemos que el valor máximo dela función es y=a2/4, para x=a/2

Por tanto, la suma buscada es: a = ^

Presentar el número a como suma de dos números tales que 1

suma de sus cuadrados sea la menor posible.

Solución. Sean los sumandos: x y ax *• S = x2+(ax)2

* S = 2x22ax+a2 **■ S ^ = 2(x~jj)2

Luego, el valor máximo de lafunción és S=a2/2 , parax=a/2

m Se debe levantar una valla de madera al lado de un muro de

piedra para cercar un terreno rectangular. La longitud to

• luí valla es igual a 8m. Cuál debe ser la longitud de

■ pared paralela al muro para que la valla abarque la

ni posible.

Sea x la longitud de la pared paralela al muro.

Longitud de la valla: x+2y=8

y = ¿(8x)

i ¡ terreno : S xy = §(8x)

1.+ 4x S8 = ■

12„ . ^ -----

• 1/2 (a<0), el valor máximo de la función es S=8, pare

111 ■ i es la longitud pedida.

O L. :;uma de los lados de un ángulo dado de untriángulo es

ii'ual a lOOm. Cuánto deben medir loslados para que el área

•l>■ 1 triángulo sea la mayor posible?

> ión. Sea a el ángulo dado del AABC.

Si AB=x + AC=100x

* (AABC) = S = ■g(AC) (BH)

* 4(100x)(xSena) = ^Sena(100xx2)

^Sena(x2100x+2500) + 1250Sena A;

donde : S1250Sena = |sence(x50)2

■ ino a<0, el valor máximo de la función es S = 1250Sena, para x=50

■ i tanta, los lados deben medir 50m cada uno.

m Cuál de los cilindros cuyo perímetro dado de la sección a

xial es igual a p=100cm tiene la mayor área lateral?

■rfución. Sean x e y las dimensiones de la sección axial del ci

lindro. x

i p = 100 2x+2y=100 +■+ y=50x (1)

.'rea lateral del cilindro: S = 27rrb

l'nro: x=2r y h=y + S = irxy = 7rx(50x)

►S = -7r ( x 2- 50x + ó2 5) + 62 5 tt

• i S - 6 2 5 it = n ( x - 2 5 ) 2

62 Capítulo 1: Función i"ti I Funciones más simples 63

Luego, la mayor área lateral es S=625 cm2, para x=25cm

En (1): y=5025=25cm

Por tanto, el cilindro buscado es aquel cuya sección axial es un

cuadrado.

Cuál de los conos cuyo perímetro de la sección axial es i

gual a p, tiene la mayor área lateral?

Soiución. Sean x e y, las dimensiones de la sección axial del

cono. Entonces: p=2x+y **■ y=p2x

Area lateral del cono: S=2Trrg

S = irxy = irx(p2x.) = u(2x2px)

+» s íp = 2tt(x £) 2

Como a<0, la función S tiene un máximo

para x=p/4 *■ y=p2(p/4)=p/2 »• r=p/4

Por tanto, la función S alcanza su va-

lor máximo cuando el radio de la base es r=p/'4, es decir, cuando

el cono degenera en un disco plano.

G) Consideremos un sólido cuya forma es la de un cilindro cir-

cular recto y que tiene colocado encima de él un cono (de

la misma base). El ángulo del vértice del cono es igual a 60°.

El perímetro de la sección axial es igual a 100cm¿ Cuál d'ebe ser

el radio del cilindro para que su superficie lateral sea la ma-

yor posible.

Solución. Sea x el radio del cilindro

y del cono, sea y la altura

del cilindro.

En el ACFD: CD=xCosec30°=2xPerímetro de la sección axial:

100 = AB+BC+CD+DE+AE

■* 100 = y+2x+2x+y+2x -*-*■ y=503x

Area lateral del sólido:

S = (2TTxy) + (Tix.2x) = 27rx(503x)+2TTx2 A

*■ S = (x2 2 5x) «* S6257I = ¿ff(x25/2)2

Como a<0, el valor máximo de la función es S = 62 57rcm2, para

x=12.5cm que es el radio buscado.

63

f U Un triángulo isósceles de base a y altura h lleva inscrito

un rectángulo de la manera representada en la figura 8.

1 '"i dobe ser la altura del rectángulo para que su superficie

“•■n la mayor posible?

'•■fin ión. Sean x e y las dimensiones

del rectángulo cuya área es:

S = xy ( 1)

¿DBE _ACDE

.BEBF

hhy

■•»:<>. en (1): S = f(hyy2) = f(y2hy)

'ionde ss - — - h(y - ) 22

bserva que la función tiene el valor máximo S= , cuando

» .ltura del rectángulo es la mitad de la altura del triángulo,"f.o es: y = h/2

(Q) Un cono recto dado lleva inscrito un cilindro de manera que

los planos y los centros de las bases circulares del cilin

.li" y del cono coinciden. Cuál debe ser la relación de los radi

.lo las bases del cilindro y del cono para que la superficie'

luí, ral del cilindro sea la mayor posible?

11'tución. La figura muestra la sección

axial del cono y.del cilindro.

■ mu r y h, el radio y la altura del cono

Indo. Sean x e y las dimensiones del ci-

l i n d r o inscrito cuya área lateral es:

S = 27rxy

AEFC > BHEF

h _ y

JííLFC

rrx

(1 )

y = y(rx)

en (1): S = ^^(rx) = 2lLÍ?(x2_

If"-- r -- *|

rx)

'onde: S

irhr

— (x \ ) . La función tiene el valor

S 2 ’ euana° x=r/2, es decir, el radio del cilindroser la mitad del radio del cono.

64 Capítulo 1: Función ft)!l l /■luic ione s má s simp les 65

o Sea dado un cono recto circular cuyo radio de la base es i

gual a R y su altura H. Lleva inscrito un cilindro de mane-

ra que los planos y los centros de las bases circulares del cono

y del cilindro coinciden. Cuál debe ser el radio del cilindro pa

ra que la superficie total del mismo sea la mayor posible? Consi

derar los casos H>2R y H<2R.

Solución. La figura muestra la secciónaxial del cono y el cilindro

inscrito. Sea x e y el radio y la altu-

ra del cilindro, respectivamente.

Area lateral del cilindro:

2itx + 2irxy ( 1 )

ABGC = AEFCJ3GEF

Hy

GÇ‘ FC

RRx

Luego, en (1): S = 2ttx2 +

,HR

y = p(Rx)

2ttx.^(R-x )

= -2tt (-

■ S ' . t W x

>[*

I

■]

i RH,

' HR

- (— SS)x +HRR2H2

ttRH-2tt (-

HR.R ■

4 ( H—R ) 2

rx . _ m _ ] 2L 2 (HR)J

*irRH

2(HR)

2 (HR) n * 2 (H

Vemo"S que para H>2R, ’el radio del cilindro debe ser x

Para H<2R la superficie total del cilindro inscrito será tanto

mayor cuanto mayor sea el radio de su base.

RH2 (HR )

Cuál debe ser el radio de un círculo para que el sector cu-

yo perímetro es igual a un número dado p tenga la mayor su-

perficie posible?

Solución. Perímetro del sector: p = 2r+S

1 Pero S=ra *■ p = 2r+ra ■* a= ^(p2r)

1 1Area del sector: A = ^(r2a) = :jj(pr2r2)

= (r2 |r + E|) +

.". El radio del círculo debe ser: r=p/4

m Nim ventana de forma rectangular está rematada en la parte

mporior por un triángulo equilátero. El perímetro de la

t.MlruiM es igual a p. Cuál debe ser la base a del rectángulo pa

I.» '|m> la ventana tenga la mayor superficie posible?

(i f,,, ión. Perímetro de la ventana:

p=3a+2y » y = l(p3a)

inipurficie de la ventana es:

ay + | 2/3 = f(p3a) + f /?

donde: S 2p

6/? J

■orapletando el cuadrado en el corchete

6/3T

(a 4(6/?) 4 6/?

■i tanto, la base del rectángulo debe ser: a6/3

G) Una ventana de forma rectangular está rematada en la parte

superior por un semicírculo. Cuál debe ser la base del rec

I nnfjulo para que la ventana tenga la mayor superficie siendo el

l">rímetro igual a 2m?

'lución. Sean x e y las dimensiones

del rectángulo. El períme-

tro de la ventana es: p = x+2y+ ^(2n.^)

2 = x+2y+(f)x y = {2-x- fx)

Superficie de la ventana: S = xy + ^('g)2

(2x 5x) + jjx2 = jl(7T + 4)x2+x

Completando el cuadrado para x se tiene:

S = ^ U + 4)fx2 - ^ x + + - 2 -* + 4)11

Ty

1

* * s - i T T - $ < » *> < « - •

Por tanto, la longitud de la base del rectángulo es: x = 4ÎT+4

m De un cartón de forma rectangular de dimensiones 30*50

66 Capítulo 1: Fundón / mu 'iones más simples 67

se deben cortar cuadrados de manera que doblando la hoja a lo

largo de las líneas punteadas (Fig.9) se obtenga una caja de su

perficie lateral máxima. Hallar el lado de los cuadrados corta-

dos.

Solución. Si x es el lado de los

cuadrados cortados,, la

superficie lateral de la caja es:

S = 2(502x)x + 2(302x)x

de donde: S = 8(x220x)

. + S = 8(xz20x+100)+800

++ S 800 = 8(x10)2

de donde obtenemos: x=10 cm

CE1 Es necesario fabricar un modelo de paralelepípedo recto de

base cuadrada con un alambre que mide 120cm.Cuánto debe me

dir la cara de la base para que la superficie total delparalela

pípedo sea la mayor posible.

Solución. Si x e y son las dimensionesdel paralelepípedo, su perí-

metro es: p=8x+4y *■ 120=8x+4y

+ y = 302x

y su superficie total es:

, S = 2x2+4xy = 2x2+4x (302x) = 6x2 + 120x

+ S = 6(x220x+100)+600 «*■ S600 = 6(x10)2

Vemos que la función tiene un máximo de S=600cm2, para x=10cm,

en consecuencia, la cara de la base debe medir 10x10cm2.

ÍTTil Se debe cortar un alambre de longitud a en dos partes. Una

parte estará destinada para hacer un cuadrado, la otra, pa-

ra un triángulo equilátero. De qué manera debe ser cortado el a

lambre para que la suma de las áreas de las figuras obtenidas

sea la menor posible?

Solución. Sea x el perímetro del triángulo equilátero y ax el

del cuadrado.

Entonces, la suma de las áreas _ _ _ _ _ _ ^ _ _ _

de las figuras a obtener es: _____ x ____ ______ a_x _____J

« S - | 2 i 4 f ) x ’ - f x * £

indo cuadrados se tiene:

r> U / 3 rv 2 _J8a 81a2 1 a2 9a2

L 9+4/3 (9+4/3) 2J 15i u L 9 + 4 /3 ( 9 + 4 / 3 ) 2J 1 6 ( 9 + 4 / 3 )

a2 + 9a2 = 9 + 4/3 ( x ____9a_ )

16(9+4/3) 144 9+4/3

2

Iu.■, en el 2do miembro, el coeficiente del paréntesis es

i/n, entonces la función S tiene un valor mínimo para

, es decir, el lado del triángulo debe ser: Z = — — —'H V3 9 + 4/3

a/3I cuadrado: L9 + 4/3

cm !•:n la recta y=x hallar un punto tal que la suma de los cua

Irados de la distancia que media entre éste y los puntos

Al <4. i)), B(a,0) y C(0,b) sea la menor posible.

Wftmi&n, Sea P(x,x)eL:y=x, el punto buscado.Si S = AP2 + BP 2 + CP2

+ S = (x+a)2+x 2+(xa)2+x2+x2+(xb)2 = 6x22bx+2a2+b2

= 6(x2 ^x + jg) + 2a2 + b2 ^

S 2a2 gb2 = 6(x g)2

t'.Mi" 6>0, la función S tiene un valor mínimo en x=b/6, por tanto,

^(l'/<), b/6) es el punto requerido.

En larecta L:y=x+2 hallar un punto tal que la suma de los

cuadrados de la distancia que media entre éste y las rec

i,!:3x4y+8=0 y L2:3xy1=0 sea la menor posible.

i’m ¿ón. Sea P(x,y)eL, el punto buscado •+■ P(x,x+2).

S = [dfP.Lj)] 2+[d(p,L2);

T3x 4 (x+2 ) + 8]2 + px(x+ 2 ) - 1

L /9 + 1 6 I L /9+1 IC * ) 2 + ( ¿2 z2 )

3 /Tó

H X 2 . 6X + _ 9 = l l ( x 2 . i o + 2 2 5 ) + _ 9 _ 92 5 5 10 2 5 V 11 12110 11

2

68 Capítulo I: Función A ti1!"'( 1 Fu ncio nes más sim óle s 69

de donde: S = 25^x ” 11^

Como li>0, la función S tiene el valor mínimo para x=15/11.

Por tanto, el punto buscado es: P(15/11>37/11)•

Trazar la parábola y=x 2 y, valiéndose de ella, resolver

gráficamente las siguientes ecuaciones:(1) x2x2.25=0 (3) 3.1x2Ux+5. 8=0

(2) 2x23x5=0 (4.) 4x2.12x+9=0 ,

Solución. (1) x 2-x -2. 25=0 x

Supongamos que: y = x

y = x+2.25

Evidentemente, la solución gráfica de la

ecuación (1) se halla en los puntos de in

tersección de las gráficas de la parábola

y=x2 y la recta y=x+2.25.

Trazando ambas gráficas vemos, aproximada

mente, que: xi~1.1 , x í -2.1

(2) 2x 23x5=0 2x2 = 3x+5

Se an : y = 2x2

y = 3x+5.

Trazando las gráficas de ambas ecuaciones

observamos que las abscisas de sus puntos

de intersección son:

xj=1 y x2=5/2

(3) 3.1x2 Ux +5 . 8=0 >■ 3.1x2=14x5. 8

Sean: y = 3.1xz

y = Hx5.8

El trazado de las gráficas de ambas ecuaciones se deja como eje

cicio. Las abscisas dé los puntos de intersección son, aproxima

damente: Xj=0.5 y X2~4.1

4x2 = 12x9

, y = 12x9

(4) 4x 2-12 x +9=0 -►

Sean: y = 4x?

01 ii'i/.udo de las gráficas de ambas ecuaciones también queda co

1 |h l' rol ció. Las gráficas s.e interceptan enun solopunto, esto

• l. i" ocuación dada tiene una raíz doble: x¡ = x2 a 3/2

I I M 'i *8x + 7=0 3x2 = 8x7

,inan: y = 3x2

y = 8x7

f I * *i' 'imíIo las gráficas de ambas ecuaciones

I •<I x»,cvaraos que no tienen puntos de inter

I* ¡ón, es decir, la ecuación (5) no tie

tif infcos reales. En efecto:

A bJ4ac = (8)24(3)(7) = 20<0

I L U La función g(x) viene dado así: g(x)= para -“<x £11/3,

g(x)=1+x para 11/3<x<+®. Analítica y gráficamente hallar

todas las raíces reales de la ecuación [g(x)]2=7x+25.

Uu (m Un , Si g(x) = | i , x<11/3 + (|i)2=7x+25de donde: x230x99=0 **■ Xi=3 ó x2 = 33

<.. 33>11/3, se deduce que: x=3 es una raíz real

|M k (x )=1+x , x^11/3 >■ (x+1)2 = 7x+25 <*■ x25x24.=0

*->■ xj = 8 ó x 2=3

'■"mu 3< 11/3 , Xj = 8 es otra raíz real.

fu la solución gráfica se busca el

I Hit,o de intersección de la gráfica

v ,'(x) y de la parábola y2=7x+25.

(‘»ira x<11/3, la recta Li:y= ^ -

i i''.'Tcepta a la parábola en xj = 3

I x£ 1 1/3 , la recta L2:y=x+1, in

i■iccpta a la parábola en x2 = 8.

KE9 Señalar el dominio de definición de la función:

y = log(ax2+bx+c)

ución. La función y es real <+ ax2 + bx + c>0

Completando el cuadrado para x se tiene:

70 Capitulo 1: Función - a m .1: Funciones más simples 71

— a(x2 + ■—x + — — ) + o — — > 0¿a 2 4a

r . b \2 b24ac~ a <x + 2 i } > ~ ~ á —

Si b24ac>0 y a>0, la función está definida en todo el eje real,

excepto el intervalo: xi<xíx2, donde xi y xa son las raíces del

trinomio ax2+bx+c=0

Para b24ac>0 y a<0, la función está definida sólo cuando:

X 1<X<X2,

Si b2¿ac<0 y a>0, la función está definida en todo el eje real.

Si b24ac<0 y a<0, función no está definida en parte alguna.

Para b24ac=0, la función está definida en todo el eje real, ex-

cepto un punto, a saber: x=b/2a, si a>0; pero si a<0, la fun-

ción no está definida en parte alguna.

H T Q Hallar f(x+l), dada la función f(x1)=2x23x+1.

So£uc¿6n. Si £(x1)=2x23x+1 + f[(x+1) = 2(x+1)23(x+1)+ 1

*• f(x) = 2x2+x

Luego: f(x+1) = 2 (x+1)2+(x+1) = 2xz+5x+3

lliül Mostrar que la función f(x) = --------- toma cualquier vax2+¿x+3c

lor real tsí, 0<c$1 .

3C 'f2 0De.mo-itn.ac¿6n. En efecto, sea: ----— ?■— m , donde m es cual

x2+4x+3c

quier número real, entonces:

(m1)x2+2(2m1)x+c(3ml)=0

El argumento x debe ser un número real, por consiguiente:

4(2m1) 24(m1) (3mcc) 5 0

de donde: (43c )m2 + 4( c1 )m(c1) >, 0

Pero como m es un número real esta desigualdad, a su vez,, es va-

lida sólo cuando: (43c)>0 y 16(c1)2+4(43c)(c1)^0

**• (c<4/3) a (c2cí0)

(c<4/3) a (O^cO) 1* 0 c S 1

Pero como c¡¿0 •+• 0 < c í 1

13 FUNCIÓN HOMOGRÁFICA

EZ2HHSEEESS1 Ona función homográfica es aquella definida por

la regla de correspondencia:

f(x) = bx + cdx + e

I mis b, c, d y e son constantes y dx+e^0. además be^cd:n gráfica dé una furición homográfica es la de una hipérbola e

i|h !latera, la cual puede tomar cualquiera de las formas siguien

Figura 1.9

Figura 1.10

observaciones. (1) En todas las formas dadas, el valor del para

metro t=a2/2, siendo a la distancia del cen-

tro al vértice de la hipérbola (a=semieje transverso o real)

72 Capítulo 1: Función i"ii Funciones más simples 73

(2) Las asintotas.de las gráficas de una función homógráfica son

rectas verticales y horizontales. Así, en las figuras 1.8 y

1 .9 , las asíntotas son los ejes coordenados: x =0 , y=0 .

En las figuras 1.10 y 1.11 las asíntotas son x=h, y=k.

PROBLEMAS RESUELTOS

Aplicando la ley de Boile y Mariotte, hallar la función q 1

expresa la dependencia entre el volumen del gas y la pre-

sión a temperatura t constante si es sabido que a la presión de

760 mmHg el volumen del gas es igual a 2.31. Dibujar la gráfica

de esta función.

Soiución. Según la ley de BoileMariotte,

el. volumen de una masa de gas

a temperatura constante es directamente

proporcioñal a la presión sometida, esto

es: PV = PiVi = 760x2.3 = 1748Siendo positivos el volumen y. la presión

la gráfica de la función es una rama de

la hipérbola xy=t.

B|í| La variable x es inversamente proporcional ay: y es inver

sámente proporcional a zj z a su vez, es inversamente pro-

porcional a u. Qué dependencia existe entre x y u.

Soiución. Sea t el factor de proporcionalidad. Entonces :

xy = ti (1 )

t2 . En (1): x(— ) = ti + x = (í z = mzZ . « 2

= ¿i

yz 1 2 *• y

Pero: zu = t 3 + zU

Sustituyendo en (2) se tiene: x = m(^“3) '*‘+ xu = mt 3 = t

Por tanto, la variable x es inversamente proporcional a u.

(2 )

■ La variable x es inversamente proporcional a y: y es direc

tamente proporcional a z, z es directamente propocional a

u, que es a su vez inversamente proporcional a v. Que dependencia

.. ■ ! ¡i to entre x y v?

■ fución. Si k es el factor de proporcionalidad, tenemos:

xy = ki (1 )

t k2z , sustituyendo en (1 ): x(k2z) = ki *■ xz = = m (2 )JÍ2

• k3u , sustituyendo en (2 ): x(k3u) = a + xu = f = ki, (3 )K 3

" ■ ks »• u = ^ , en (3): x(^J*) = k* .+ x = (p*)v *■ x = kv

r tanto, la variable x es directamente proporcional a v.

cm Durante la electrólisis la cantidad de sustancia que se

desprende en el electrodo es directamente proporcional a

in intensidad de corriente: ésta es proporcional a la conductibi

i'lud del electrolito, esta última es proporcional a la concen

iración del electrolito. Dada cierta cantidad de sustancia, la

i"ricentración es inversámente"proporcional al volumen del gas

liLvente. Qué dependencia existe entre la cantidad de sustancia

'l'3prendida en el electrodo y el volumen del solvente.

V<>lución. Sean: S = Cantidad de sustanciaI = intensidad de la corriente

C = Conductibilidad del electrolito

Q = Concentración del electrolito

V = Volumen del gas solvente. .

.".ngún el enunciado: S = kil

¡'oro: I = k2C *■ S = ki(k2C) = aC

C k 3Q S = a(k3Q) = 0Q

Q = jp + S = 6 ( ) <■»• SV = k

l.n consecuencia, la cantidad de sustancia desprendida es inversa

mente proporcional al volumen del. solvente.

| Construir la gráfica de la función homográfica:

^ y x^2 ^ v = 3x7 5

^ y 3rx (4) y = ~~1T' (5) y = 3_2¿Z5x

Solución. Transformamos cada una de las ecuaciones dadas a la

forma (xh)(yk)=t, efectuando la división indicada.

74 Capítulo I: Función • rióii 3: Funciones más simples 75

= i

i+ y - 1 = ^

+ (x2)(y1) = 1

De donde, las asíntotas de la curva

son h=2 y k=1. Pues.to que t=1>0, la

gráfica de la función es similar al

de la figura 1.10.

6 . _ 6(2) y = = 2

y*3x ' y+2 = 3x

de donde: (x3)(y+2) = 6

Asíntotas de la curva: h=3 y k=2

Como t=6<0, la gráfica de la fun

ción es similar al de la fig.1.11-2

r- - > X

To'III

Antes de efectuar la división en el segundo miembro observe-

mos que: 2(7.5) = 3(5)

No se cumple la condición de la definición 1.11* luego, la e

cuación (3) no corresponde a una función homográfica.

En efecto:

„ _ 2 (x2.5)

y*

3(x2.5)

La gráfica de la función es una

recta horizontal.

y=2/3

>x

(4) y y+2 = 2 ^

(5 )

2x 9 , 42x * 2x

(x2)(y+2) = -A

Siendo t=4<0, la gráfica de la

función es similar al de la fig.

1 . 11 .

v = ■ 47 3x.y . 32.25x

La función no es homográfica pues: 4(2.25) =.3(3)

En efecto:

y*43x _ 1612x _ A(A-3x)

32.25x ' 129x “

y = 2 » s i x¿A /33U3x)

y = 4/3

>x

Siguiendo, la gráfica hallar los valores máximo y mínimo de

la función homográfica en el intervalo indicado.

y = é . C1.5J(1 )

(2 ) y = 2x5 * (3) y = . ro a ]

•tución. En cada caso construimos una tabla de valores en el

intervalo indicado:

( 1 )= i

X 1 2 3 K 5

y A 2 A/3 1 4/5

Valor máximo: y=4 > para x=1Valor mínimo: y=4/5» para x=5

■’) y = 23^5 ’ xeC1«2j

X - 1 0 1 2

y 1 / 7 0 1 / 3 -2

Valor máximo: y=1/7 , para x=1

Valor mínimo: y=1 , para x=2

1x

X 0 1 2 3 A

y 1 0 1 / 3 1/2 3/5

Valor máximo: y=1 , para x=0

Valor mínimo: y=3/5, para x=¿

115 Demostrar: (1) si las abscisas de los cuatro puntos:

Mi(xi.yi), Mj(x2 *y2)* Mj(x3*y]), de la gráfica

de la función y=k/x (Fig. 11) se hallan en .la proporción:

76 Capitulo 1: Función a ni I . Fun cio nes má s sim ple s 77

xi:x2 = x 3 :x'i. , los trapecios rectilíneos MiM 2N2Ni y M 3Mi,Ni»N3

son equivalentes. (2) Si los puntos Mi y M2 pertenecen a la grá-

fica de la función y=k/x (Fig. 12), las áreas de las figuras:

AiMiM2A 2 y BiMíM2B 2 son equivalentes entre si.

Demo^i/iación. (1) En efecto:

a(M iM2N2N i ) = + M2N2)(NiN2)

= 4(yi + yi) (x2 X!)

X n

i(M3Mi,NhNj

_ k (x2 + xi)(x2______2 x ix2

■ ( ÍÍ 3 M 3 '+ NuM » ) (N sN * ) = ( y 3 + y O í x * x 3)

¿(— + — )(x,2 xj xi,

x3)

Pero : 2U = ÜX 2 X *

2 2 X 2 - X l

- £ (x* + x 3 ) (x . , - X3)2 x 3xi,

2 2 2 2 2X 3 . . X 2 - X i _ X » - X 3

X ?2

Xa x?x.

de donde:X 3X<,

X 3 ) _ x 3 (x2 + X l ) (x2 X l ;X l X l X i ,

Sustituyendo en (2): a(M3Mi,N*N3 ) = £ x 3 (x2 + x t)(x2 X l )X i X i X i *

x 3 ( x 2 + X l ) ( x 2 - X l . )

X l X 2 X 3

( x 2 + X l ) ( x 2 - X l )

(1 )

(2)

(3)2 X 1X2

Comparando (1) y (3) se deduce que: a(MiM2N 2Ni) = a(M3Mi,Ni,N3)

Los trapecios rectilíneos M 1M2N 2N 1 y MsMuNuNj son equivalentes

Imi la figura 12 se tiene:

m( A i Mi M2A2) = ^ (aT m . + Á¡M2)( a Ta 2 )

= ^ ( y i + y 2 ) ( x 2 - X l ) = ) ( x 2 - X l )

= ¿ ( X 2 + X l ) ( x 2 - X l )2 xix2

u(BiMiM2B2) = ^(bTMi + b7m2)(b Tb2 ) = 4 ( x 1 + x 2 ) ( y » - y 2 )

(1)

= ^ ( x 2 + x , ) ( Í j k_ ) _ k ( x 2 + x i ) ( x 2 - x i ) ( 2 ) x 2 ~ 2 Xi x2

iíiiLmente, de (1) y (2) se deduce que:

a(A iM iM2A2) = a(BiMiM2B2)

Construir la gráfica de la función y =

dición gráfica.

mediante là a

fucíin. Si y =X T 1

x +1

x - X

Haciendo: f(x)=x y g(x)=1/x *■ y = f(x)+g(x)

■> Dom(y) = Dom(f) Dom(g) = RA(R{0}) = R {0}

Construimos, con trazo punteado, las gráficas de f(x)=x y la hi-

pérbola g(x)=l/x. Sobre un punto del eje X, tal como A, levanta'

nniH una perpendicular que intercepte a dichas gráficas en los

untos B y C respectivamente. Siendo AB=ordenada de f y AC=orde

nnda de g, sobre esta perpen

dlcular construimos:

y = AP = AB + AC

► y = f(x) + g(x)

Procediendo asi, para otros

puntos del eje X, obtendre-

mos la gráfica de la función

ilada.

78 Capítulo 1: Función • ■i ion 4 Funció n inversa 79

FUNCIÓN INVERSA

Sea la funci°n f:A+B> donde B es el conjunto de

valores (rango). El conjunto de todos los posi_*1

bles pares ordenados de la forma (y,f (y))» yeB, forma la fun-

ción que se denomina /unción invesiAa a la función f y se denotapor f_1 ó f #, esto es, f#:B+A. La función inversa f* pone en co-

rrespondencia a cada elemento yeB su imagen f^fy), es_ deir., un

conjunto de elementos. Por esta razón, la función inversa es, en

general, una función multiforme.

Si la aplicación f:A*B es inyectiva, entonces la aplicación in-

versa, definida como siempre sobre B, es una función unívoca y

transforma B sobre A, es decir, f’*:B»A. En realidad, en este ca-

so, las imágenes de todos los puntos yeB están compuestos exacta

mente por un punto xeA (Fig. 1.12).

O b s e r v a c ió n . S i y = f ( x ) x = f * ( y ) , ¥ x e D o a ( f ) , e n t o n c e s :

a ) f*[f(x)‘J = x , V-xeA = Dom(f)

b ) f [ f » ( x ) j = y , ¥ y £ B = R a n ( f )

En e f e c t o : f * [ f ( x ) 3 = f * ( y ) = x , ¥ xe A

f [ f * ( x ) j = f ( x ) = y , Vy eB

o bien:

f * o f = I , (Identidad sobre A)

fof* = Ig (Identidad sobre B)

PROBLEMAS RESUELTOS

Hallar la función

(1) y=x (7)

(2) y=2x (8)

(3) y=13x (9)

U) y=x2+1 (10)

(5) y=l/x (11)

(6) y = ¿ x (12)

.6 n. Para determini

y = x 2 - 2 x

y-3/ x 2 +1

,._1nX1

(13) y - ^ £ 1 + 11 0 x + 1 0 ' x

(1¿) y=2Sen3x

(15) y=1+2Sen(^J)

(16) y=4arcSen/lx2

1 +2

i ! a b l e s .

( 1 ) y = x

despejar x en función de y, luego intercambiar las va

x = y + + f * ( x ) = x ó y = x

x = 1 xx 2 y 2

(3 ) y=1 -3x x = y = 1^2

(/,) y=x2 + 1 +*• x=±/y- 1 »• y=±/xí

(5) y =1/x ■» x = 1/y y = 1/x

- „ . J f c l * „ . > * 2

( 7 ) y = x 2 - 2 x ■*-*■ x = 1± /1 +y ■+■ y=1± /1+x

(8 ) y = 3/ x 2 + 1 x = ± / y 3 - 1 -►y = ±/x311 * *

(9) y = 10X ■■(> x - 1 = l o g y + y = 1 + l o g x

( 10 ) y = 1 + l o g ( x + 2 ) x + 2 = 1 0 y- 1 y = - 2 + 1 0

(11 ) y= l og 2 <-» x y=2 + yx = 2 ++ y = 2 1//x

( 1 2 ) y =1+2

2 X =

(13) y1 1 0 x - 1 0 ~ x

1 0 x + 1 0 ‘ x ^ 1 + 102x = -¿L- + 2x = lo g( ^)10 X+1 2_ y 2- y

80Capitulo 1: Función ' . i rió» 4: Función inversa 81

( U ) y = 2 Se n 3 x ++ 3 x = a r o S e n ( ^ ) + y = ^ a r c S e n ( 2 )

1 + a r c S e n

(15) y=1+2Sen(§^) ~ ^ = arcSen(*§) x = ^ „ c S e n ^ T

„ ,x1 ,

y =l + arcSení5 )

larcSen(^p)

(16) y=4.arcSen/lx2 <+ ,/lx2 = Sen(p + x ±/lSen2( )

+ X = ±Cos(*) + y = ±Cos(2) , 0<xS2tt

R Q Demostrar que la función inversa a la función homografica

= ax+b (considerando que adbcj¿0 ) es también homográfica.^ cx+d

DzmotUación, En efecto, despejando x en función de y se tiene:

bdycxy+dy = ax+b + x =

, bdxIntercambiando variables: y - cx_g

La función inversa es también una función homografica siempre

que: abcd/0.

Cuál debe ser la condición para que la función homografica

del ejercicio 118 coincida con su inversa.

. ax+b _ bdxSo ¿ación. Si I = I *■ cx+d cxa

La igualda se cumple para a=d

Mostrar que si f (x)=nv//axn , x>0, se tiene f [f(x)]x. Ha

llar la función inversa a la f(x).

De-mo-ii/iación. En efecto: _____________

f [ f ( x ) ] = f ( V £ ? * ) = V a - (n/ ¡ ^ ? ) n

« V ¡ T ( I ^ ) = = x

Despejando x en función de y se tiene: ' _________

ax11 = [f(x)]n + xn = a[f(x)]n «*• x = n/a[f(x)]n

Intercambiando variables: fíf(x) = n/ax

|[ j| Cuál es ia característica de la gráfica de la función idén

tica a su inversa.

\<>¿ución. Sabemos que f(x)=x es la función idéntica, y como:

f[f*(x)l = f*[f(x)] = f*(x) = X

la gráfica de la función idéntica coincide con la gráfica de su

Inversa.

La función y de x viene dada por la ecuación y 21+log2(x1)

=0. Hallar el dominio de definición de la función dada y

escribir la función inversa a la dada.

Solución. y2 = 1log2 (x1) + y = /llog2 (x1)

La función y es real 1log2 (x1) >, 0

*-*■ log2 (x1) 1 *-*■ 0 < x1 í 2

1 < x ^ 3

.'. Dom(y) = 0,3]

Despejando x en funci'ón de y sé tiene:

log2 (x1) = 1 y2 «<• x = 1 + 21'y21x2

Intercambiando variables: y = 1+2 , es la función inversa.

123 La funció y.de x viene dada mediante la ecuación:

y2+Sen2xy+2=0. Hallar la función inversa a' la dada,.

Solución. Despejando x en función de y se tiene:

Sen2x = yy 22 + x = arcSen/yy22

fntercambiando variables obtenemos: y = arcSenv/xx22

4.1 FUNCIÓN POTENCIAL

CS3HBEI Una función potencial está definida por la re-

gla de correspondencia:

y = f(x ) = xn

donde n puede ser un número entero positivo, negativo o un núme-

ro racional .fraccionario.

(1) Si n es un número entero positivo, la función potencial está

82 Capítulo 1: Función •Vi ’<<ion 4: Función inversa 83

definida en R. En este caso, cuando n es par o impar, la.grá

fica de la función toma las formas de las figuras 1.13 y

1 .H respectivamente.

(2) Si n es un número entero negativo par o impar, la función po

'tencial está definida en R{0}, y su gráfica toma la forma

de las figuras 1.15 y 1.16, respectivamente.

(3) Cuando n es un número racional fraccionario, la grafica dela función potencial toma la forma de las figuras 1.17, 1.18

y 1.19.

PROBLEMAS RESUELTOS

(1) y = ^x 2(6) y = 2x V 2

(7) y = í x3/"

Construir la gráfica de la función:.

5 ’

(2) y = ¿x2 C7) y ^

(3) y = x 3 + 3x2 (8 ) y = X 0 , 2

(4) y = x ’x+1 (9) y = x 2,1

(5) y = x $+2x2 (10)y = x 0,02

(11) y = ^x’»2

(12) y = 5x2* 5

(13) y = 1/|x|

Sotuciin. Las gráficas de las funciones (1) y (2) son parábolas

con vertice en el origen. Se deja como ejercicio*

(3) y=x3+3x2

Como el Dom(y)=R , expresamos

" función mediante la siguiente

l.nbla de valores:

X 3 2 1 0 1

y 0 i 2 0. K

■I" la gráfica de la función (3), por lo que se dejan como ejer

Oicio.

(6) y = 2x3/ 2 = 2 Á T

Como el índice del radical es un número par, la función es

real xj.0 , o sea: Dom(y) = [p,+«>>.

Su grafica tiene la misma forma que la figura 1.18.

(llj y = x0’2 = x 1/ 5

Dado que el Índice de la raíz es un número impar, entonces,

Dom(y)=R. Su gráfica tiene ,1a misma forma de la Fig. 1.19.

Al convertir los exponentes decimales a su fracción generatriz

las funciones (9) y (10), vemos que estos tienen índice par,

v i lo que sus gráficas tienen la misma forma que la Fig.1.18.

84 Capitulo 1: Función ■V<cción 4: Función inversa 85

(1 2) 7 .

Siendo el indice de la raíz un

número par, la función es real, si y

sólo si: x>0 4 Dom(y) =<0, +°°>.

Para construir su gráfica expresamos

la función mediante la siguiente ta-

bla:

X 0 1 2 3

y <x> 5 0.88 0.32

( 13 ) y = 1 - / | x |

La función es real «>• x£0

Entonces: Dom(y)= [o»c+">

sí / j x T = i - y 1 -y *0 + + y S l

Luego: Ran(y)=<®, i]

X 0 ±1 ±4

y 1 0 1

Hallar gráficamente los valores aproximados de las raíces

reales de la ecuación: x+3 = ¿3/x2.

So¿uci6n. Sean las funciones:

y = x+3 (a)

y = (b)

La gráfica de la función (a) es una

recta y la de (b) es similar al de

la figura 1.17.

Trazando ambas gráficas vemos quelas abscisas de los puntos de inter

sección son, aproximadamente,

x i = - 0 . 5 y x 2 = 1Otro punto de intersección que, por falta de espacio, no figura

en el dibujo es x 3=54.5 . Por tanto,, dichas abscisas son las raí

ces de la ecuación dada.

125

Dibujar la parábola cúbica y=x3 y utilizarla para resolver

gráficamente las ecuaciones:

(1) x’+x4=0

(2) x 33x*x+3=0

(3) x 36x5+9x4=0

(4) x 3+3x2+6x+4=0

VoCución. (1) x 3+x4=0 *■ x 3=4x

Sean las funciones:

y=x3 y L:y=4x

A.L trazar las gráficas de la parábola

cúbica y=x 3 (ver Fig.1.14) y la recta

l>, vemos que se interceptan en un pun

l.o de abscisa: xj=1.4

l'or tanto, una solución real de la e

'■uación dada es xi = 1.4, las otras dos

r/ifces son imaginarias.

( . ' ) xs3x2x+3=0

En este caso es necesario hacer el cambio de variable: x=x'+h

aleccionando h de tal modo que el coeficiente de x'2 se reduzca

».cero, esto es: (x'+h)33(x1+h)2(x1+h)+3=0

11" donde: x 13 + 3(h1)x12+(3h26h1)x'+h 33h2h+3=0 (a)

Unciendo: h1=0 *• h=1

y sustituyendo en (a) obtenemos: x ,34x'=0

■'¡ii/tn las funciones: y = x'3 y L:y=4x'

Al trazar, en el sistema X'OY, las grá

llnas de la parábola cúbica y la recta

I. vomos que se interceptan en los pun

i"M de abscisas: x'=2, x'=0 y x'=2

■i'o como x=x'+h + -1x, = 2+1

X 2 =0 +1 = 1

x 3 = 2 + 1 = 3

"i las raíces reales de la ecuación dada.

0 x s-6 x 2+9 x -4=0

igualmente, haciendo el cambio de variable: x=x'+h se tiene:

(x'+h)36(x'+h)2+9(x'+h)4=0

■ londe: x' 3 + 3(h2)x.' 2+( 3h s12 h+9 )x' +h 6h 2 + 9h4= 0 (b)

1 ■ l 'indo : h2=0 >• h=2

' !i1 tuye ndo en (b) obt ene mos : x ' 33x' 2=0 + x ' 3 = 3x'+2

86 Capítulo 1: Función . i n i / i 4: Función inversa 87

Im gráfica de (a) es una parábola

Sean las funciones: y = x13

L:y = 3x'+2

Al trazar las gráficas de la parábola

cúbica y la recta L, observamos que se

interceptan en el punto de abscisa

x'=2 y son tangentes en el punto de ab

scisa x'=1 (raíz doble). En consecuen

cia, si x=x'+2 , entonces:xi = 2+2 = A'

X 2 = x 3 = 1 + 2 = 1

son las raíces reales de la ecuación dada.

U) x 3+3xJ+6x + ¿=0

Según el cambio de variable: x=x'+h , se tiene:

(x'+h)3+3(x'+h)2+6(x'+h)+4=0

de donde: x '3+3(h+1)x'2 +(3h2+6h+6)x'+h +3h2+6h+A=0 (c)

Haciendo h+1=0 h=1

Sustituyendo en (c) obtenemos: x,3+3x'=0 x 13 = 3x'

Sean las funciones: y = x'3L:y = 3x'

Trazando las gráficas de ambas ecuacio

nes vemos que tienen un sólo punto de

intersección: x'=0, por tanto, si:

x = x ' + h *■ x = 1

es la única raíz real, las otras raí-

ces son imaginarias.

De acuerdo con la condición dada formar la ecuación y re

soverla gráficaaente.

(1) SI cuadrado de qué número es igual al mismo número sumado a

su valer inverso?

Solución. Sea x el número buscado

Según el enunciado:x2 = x + ^

Sean las funciones: y = x2 (ct)

y = x + ~ (6 )

127

I.m gráfica de (a) es una parábola

■• <>n vértice en el origen,

nIwiilrvese en (S) que cuando x*“>,

ni.unces, ^ *■ 0, por lo que y=x es

niin asíntota oblicua de la curva.

A.l.<más, la función no está defini

ln pora x=0, es decir, x=0 es una

(üiíntota vertical de la curva. Es

i m.", dos líneas y los puntos que se

dan en la siguiente tabla nos sir-

ven de guía para trazar la gráfica

ile dicha función.

x 0 1 2 1 2

y 00 2 2.5 2 2. 5

Las gráficas se intersectan, aproximadamente, en el punto de abs

nisa x i =1.¿65. Por tanto, el número buscado es x=1.í65

(2) Un globo de madera cuyo radio mide 10cm y cuya densidad es i

gual a 0.8g/cm3, flota sobre la superficie del agua. Hallar

la altura del segmento hundido. Rp. x = H. 2 6cm

(3) Un cubo y una pirámide de base cuadrada, ambos de madera, pe

san juntos 0.8 kgf. La arista del cubo es igual al lado de

la base de la pirámide. La altura de la pirámide mide 45cm. Ha-

llar la arista del cubo. El peso específico de la madera es 0.8

gf/cm3.

So ¿ución. Sea x la arista del cubo.

Volumen del sólido = Volumen del cubo + Volumen de la

pirámide.

*■ V = x3 + x2h = x3 + 15x2

Peos = Vxd + 800 = (x3+1$x2)0.8

da donde: x3+15x21000=0

Haciendo: x=x'+h se tiene:

(x'+h)3+15(x'+h)21000=0

de donde obtenemos:

88 Capítulo 1: Función '!jción 4: Func ión inve rsa89

x 13+(3h+15)x 12+(3h2+30h)x1+h3+15h21000=0 (1)

Si 3h+15=0 + h=5

Sustituyendo en (1): x '$7 5x 1750 = 0

Sean las funciones: y = x'3

y = 75 x '+750

La construcción de las gráficas de ambas funciones'se deja como

ejercicio (Sug. Elegir para las ordenadas una escala de 1/100).

Dichas gráficas se interceptan en un punto cuya abscisa es, a

proximadamente, x!=11.8

Pero: x=x'+h *■ x=11.85 x=6.8cm

BR Í1 Sea dada la función y=xn, x>0. Para qué valores de x esta

función tiene valores mayores que las de la función inver-

sa y para qué valores de x tiene valores menores?

Solución. Supongamos que: f(x) = xn , y su inversa f*(x)=n/x

Veamos los casos cuando n es positivo y negativo.

Para 0<x<1 f(x) < f*(x)

Para 1<x<“> *■ f(x) > f*(x)Cuando ne<1,+°°>

Cuando ne<0, 1>Para 0<x<1 f(x) > f*(x)

Para 2<x<°° *■ f(x) < f*(x)

o j , , n, i'Para 0<x<1 + f(x) < f*(x)Cuando ne<1,0> ‘ ■, rara 1<x<“>, *■ f(x) > f*(x)

Cuando ne<»,1> <¡’Para 0<x< 1 f(x) > f»(x)Para 1<x<°° •» f(x) < f*(x)

4.2 FUNCIONES EXPONENCIALES E HIPERBÓLICAS

La función f:R*H + , cuya regla de corresponden-

cia es:

f(x) = ax

s» denomina /unción exponencial de base a, donde a es un número

positivo y diferente de 1.

A una función exponencial también se le denota por:

sxpa = ((x,y)eRxR/y=ax)

Observaciones:

(1) Si a>1. la función exponencial es en todo su domi-nio (Fig.1.20), pues:

x i < x2 >• f(xi) < f (x2 )

(2) Si 0<a<1, la función exponencial es d e c i e n t e en todo sudominio (Fig.1.21), pues:

Xl < X2 •> f(Xl) > f(x¡,)

(3) Dado que a°=1, la gráfica de toda función

por el punto P(0,1).exponencial pasa

Figura 1.21

PROBLEMAS RESUELTOS

Construir la gráfica de la función:

(D y = 2X (2) y=2x + 3

¡x3U ) y = 13

"Pudóri, (1) y =r 2X

(5) y=(^)lx l

Como 2X>0 t 2X<0

+ y < 0, ¥xcRdecir, la gráfica de la función es

"■■nejante al de la figura 1.20 refleja

11 en el semiplano inferior. Además p¡

' por el punto P(0,1).

(3) y = j(3x )

(6) y = 2‘x2

90 Capítulo I: Función

(2 )

Sección 4: Función inversa 91

<°°,0> . Observe que la unión de las gráficas de ambas funciones

(2 ) y = 2 X + 3

Haciendo x'=x+3, desplazamos el

eje Y paralelamente 3 unidades a su

izquierda. Como la base a=2>1, la

y Igráfica de y ' = 2 tiene la forma se

mejante al de la figura 1.20. Obser

ve que en el sistema X'O'Y 1 el pun-to P tiene coordenadas (0,1).

(3) y = j(3x) = 3X " 1

Haciendo x'=x+1, desplazamos el

el eje Y una unidad a su derecha y

siendo la base 3> 1, la gráfica de

y 1=3X', tiene también el aspecto de

la figura 1 .2 0.

>x

U ) y = 13,x3 y- 1 = 3

,x3

Haciendo x'=x3 , y'=y1

trasladamos los ejes coordenados al

nuevo origen 0'(3*1) y cómo a= 3>1,

la gráfica de y'=3X tiene la mis

misma forma que la gráfica de la fi

gura anterior pero reflejada en el

semiplano inferior del sistema X'Y'.

(5) y = ( ^ ) |x|'

a) Si x>0 + |x|=x *■ y = ( )X

Siendo 0 < < 1, la gráfica' de es

ta función es decreciente y tiene

el aspecto de la figura 1 . 2 1 en el

intervalo [0 ,+°°>.

b) Si x<0 > |x|=x y = (^)”X ■=

Siendo a=2>1, la gráfica de estafunción es creciente y tiene

la forma semejante al de la figura 1 .2 0 , en el intervalo

, q

coinciden en el punto P(0,1).

(6 ) y=2 - x 2

En este caso, la gráfica de la

función tiene la forma de la gráfi

ca de la función del ejercicio (5 ),

pues, para xe<°°, 0> la función escreciente y decreciente en el Ínter

valo |0,+”>. Además, para x=0 y=1

Valiéndose de la gráfica de la función y=2x y sin recurrir

a otros cálculos, construir la gráfica de la función:x- 1

(1 ) y = 2X_1 (2 ) y = ^(2 ) x / 2 (3 ) y = 3 (2 ) 2 + 1

Soiuciin. Construyamos la gráfica de la función y=2x y veamos

algunas de sus caracterís,

ticas principales.

a) Es creciente ¥xeR, con Dom(y)=R y

Ran(y)=|0,+»>.

b) Intercepta al eje Y ón (0,1).

c) Tiene por asíntota el eje X (y=0).

Según estas observaciones construya-

mos las gráficas de las funciones dadas.

(1 ) y = 2X_1

La gráfica de esta función se con

sigue desplazando horizontalmente la

gráfica de y=2x una unidad hacia la de

recha. En efecto, haciendo el cambio:

x *x 1 = x - 1 , se obtiene: y = 2 .

( 2) y = ^ ( 2 x / 2 )

Dado que el coeficiente

0<1 /1 2<1 , la gráfica de esta función s

obtiene encogiendo la gráfica de y=2x

verticalmente un factor 1/1 2 , de aquí

130

g


que su intersección con el eje I sea el punto (0,1/12).

Sección 4: Función inversa 93

Además como el exponente 0<1/2<1, la gráfica de (2) se obtiene

estirando horizontalmente la gráfica de y=2x en el factor 1/2.

x- 1 x- 1

(3) y = j ( 2 ) 2 + 1 + y- 1 = 1 (2 ) 2

Haciendo en cambio de variables:

x'=x1 y y'=y1 , obtenemos:

y -

Es el mismo caso del ejercicio ante-

rior. Obsérvese que en el sistema

X'O'I 1 la gráfica pasa por el punto

(0,1/3).

La gráfica de la función y=ax §s una línea. Mostrar que la

gráfica de la función y=kax (k>0) es la misma línea pero

desplazada paralelamente al eje de coordenadas.

Mediante la adición gráfica construir la gráfica de la fun

ción: (1 ) y=x2+2x , (2 ) y=x22x

Solución, (1) y=x2+2X

Los pasos a seguir son:

a) Sean las funciones: f(x)=x2 y g(x)=2x

b) Dibujar, con líneas punteadas, las

gráficas de f y g.

c) Para un número finito de puntos del

eje X trazar las ordenadas corres-

pondientes de f y g.

d) Construir la suma de dichas ordena-das y uniendo, con trazao lleno, to

das estas sumas obtendremos la grá

de la función requerida.

(2) y = x 2- 2x

Considerando las funciones: f(x)=x2 y g(x)=2x, y siguiendo

los pasos dados en el ejercicio anterior obtenemos la gráfi-ca:

132

131

i Resolver gráficamente la ecuación 2x2x=0

Solución. Sean las funciones: y=2x

y=2x

Trazando la gráfica de ambas funciones

vemos que se interceptan en los puntos

cuyas abscisas son:

xi=1 y x 2=2

Construir la figura limitada por las líneas:

,x _ 1+xy=2 x=3

Hallar por la gráfica y de manera aproximadalas coordena-

das de los puntos de intersección de laslíneas indicadas.

Solución. Trazando la gráfica de

cada una de las líneas

liadas, la figura limitada por es-

tas es la región achurada.

I.as coordenadas de los puntos deintersección son: (1,2), (3,8),

( 3» 4 / 3 ) y ( - 1 . 5 , 1 / 3 ) .

Hallar el mayor valor posible de n para el cual 2 >x para

todas las xí100 (n es un entero). Rpta: n=15

94 Capítulo 1: Función Sección 4: Fu nción inverna95

i .H i f f l f t M U U FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Haciendo uso de ciertas combinaciones de las

funciones exponenciales y=ex, y=e x aparecen frecuentemente o

tras funciones trascendentes elementales que se conocen con el

nombre de /unciones hipe.A.lí.6 ¿ica-i. Estas son:

(1) Función Seno Hiperbólico. Está definida por:

Senhx = ^(ex e x)

y cuyo dominio y rango es R.

(2) Función Coseno Hiperbólico. Está definida por

Coshx = 'j(eX + e x)

cuyo dominio es R y cuyo rango es D»+°°> *

La gráfica de esta función se llama cate-

naria.

(3) Función Tangente Hiperbólica. Está definida por y.

Tanhx =_ , x xSenhx e e

Coshx ex + ex

Su dominio es R y su rango es <1,1>

(4) Función Cotangente Hiperbólica.

Está definida por:

Cotghx =«il. x . xCoshx e + e

X xe eSenhx

Su dominio es R y su rango es R£1,.l]

(5) Función Secante Hiperbólica. Está definida por y

1 2Sechx =

n u x , xCoshx e + e

Su dominio es R y su rango es <0,l]

(6) Función Cosecante Hiperbólica. Está definida por

Cosechx = 1/Senhx = 2/(exex)

C ü Demostrar que y=Senhx e y=Tanhx son funciones impares,

mientras^que y=Coshx es una función par. Son estas funcio-nes periódicas?

D*moU*aci6n. En efecto, si f(x) = Senhx = l( ex e'x ) , enton-

ces: f(x ) = Senh(x) = ^(exex) = l( exex )

f(x) f(x) .’. y=Senhx es una función impar

Si f(x) = Tanhx = s l z £ l + f(x) = (eXe~x )

e e" e'x+ex ex+e“x ~ ”

•• yTanhx es una función impar

:U g U ) * Coshx = l ( e x+e-x ) + g( .x ) = I ( e- x+ex) = g(x)

•• y=Coshx es una función par

i’na función es periódica <* f(x+T)=f(x ) . ¥xeDom(f) , T¿0

Kntonces, si Senh(x+T) = Senhx i(ex+T_ xTi _ J, x _x2 '

'“ Pl» <<lo par. T0, ,n con..o«.nol. noperiódica. .. ¿

y Tanhx no son funciones periódicas.

K E 3 Demostrar la validez de las siguientes igualdades:

( . ) U) s . n h ( (6) , ■_ ^

Cosh x+Sonh*x=Co.Ii2x U C o t ^ - C , ^

U; 2SehxCoshx=Senh2x

(4) Senh(a±6)=SenhaCosh6±Senh6Cosha

(5) Cosh(a±8)=CoshaCosh6±SenhaSenh6

'•"K'ói/iación. En efecto:

(1) Cosh2xSenh2x = l(ex+e'x)2 _ J.(ex.ex)24 4 *

•) i:"sh2x+Senh2x = i( ex+ex )* + l( ex_ex)2 = l[;2(e2x+e2x)j

2^e \ + e X) = Cosh2x

1 1 •’•"onhx. Coshx = (-£?-te~X) l ( 2 x 2xv2 > 1 2 > ~ 2 (e e *) = Senh2x

i •'* nh(o + B) = l|_e“+S . e-a-sJ = _ e-ae-6j

96 Capítulo 1: Función Sección 4: Función inversa97

Pero Senhx = ^(eX e x ) ex e x = 2Senhx

Coshx = ^(ex + e"x ) *• ex + e'x = 2Coshx

del sistema obtenemos: ex = Senhx + Coshx

e"x = Coshx Senhx(b)

Luego: Senh(a+B) = ^(jcosha+Senha)(CoshB+SenhB)

(CoshaSenha)(CoshBSenhB )J

Efectuando las operaciones en el corchete obtenemos:

Senh(a+B) = Senha.CoshB + SenhB.Cosha

Del mismo modo se demuestra que:

Senh(aB) = Senha.CoshB SenhB.Cosha

(5 ) Cosh(a+B) = [ea+e + e'°“ BJ = |[ e“e6 + e'ae_B]

Según las igualdades (b) se tiene:

Cosh(a+B) = ^^(Senha + Cosha) (SenhB + CoshB) +

(Cosha Senha)(CoshB SenhB )J

de donde:Cosh(a+8 ) =■ Cosha.CoshB + SenhaSenhB

Análogamente se demuestra que:

Cosh(aB) = Coshct.CoshB Senha.SenhB

X - X / X , - X M / X — X \ 2

(6 ) 1Tanh2x = 1 (e ~ e )»= (e , x ! x ^ = A e + e x (e +e )(ex+ex ) 2

2___ 12 _= (— — — ) 2 = Sech2xe +e

x , - X / X . " X \ 2 / x , - X \ 2

(7) 1 Cotgh2x = 1 (e +e x ) 2 = ( , l ~ ^ 8e e (e e x ) 2

----------- = .(— £ ) 2 = Cosech2x(exe~ x ) 2 exe‘x

4.3 FUNCIÓN LOGARÍTMICA

GBBKZ3 La función logaritmo es la función inversa de

la función exponencial y cuya regla de corres-

pondencia es:

f :R+»R/)>=log x , x>0 , aí!l

En efecto, esta regla de correspondencia se obtiene de:

f (x) = ax , a> 0‘ , a¿1

Puesto que: fof* = I . (fof*) (x ) = I(x ) = x

+ f[f*(x)] = x

af* W ='x

Aplicando logaritmos de base a en ambos extremos se tiene:f*(x) = logax «*• y = logax

Observaciones :

(1) Si a>1, la función logaritmo es creciente en todo su dominio(Fig. 1.22), pues:

xi < x2 * f(xi) < f(x2 )

(?) Si 0<a<1, la función logaritmo es decreciente en todo su do-

minio (Fig. 1.23), pues:

xi < x 2 + f(xi) > f(x2)

3) La gráfica de toda función logaritmo de la forma y=klog x pa

sa por el punto P(1,0). a

y/ l .\ 0 <a <1

\ > x0

V

\ y= io g ax

--------------------- y

Figura 1.23

PROBLEMAS RESUELTOS


(1 ) y=log 2x. (4 ) y=iog 2|x |

(2 ) y=log(i¿) (5) y= 1+log(x+2 )

(3) y=llogx| (6 ) y=log )1-X¡

(7) y=alogax

(8) y=logx2


Solución. (1) y = log2x y = log2x

•V<1cció n 4: Fun ció n inv ersa 99

figura 1.22.

Siendo la base 2>1, la

función es decreciente ¥xeR+, luego,

si 0<x< 1 »■ *y<0 y>0 (la gráfica

se halla sobre el eje X)

Si x>1 y>0 <*■ y<0 (la gráfica se

encuentra debajo del eje X).

1logx

r iog

(2) y = log(^) = log10logx

Observe que para x=10 *■ y=0

Si 0<x<10 y>0 (La gráfica es-

ta sobre el eje X)

Si x>10 *y<0 (La gráfica se halla de-

bajo del eje X)

(3) y = |logx|

Por definición de valor absoluto

se tiene:

logx si logx>Q <*■ xe[l,+<=>

sgx si logx<0 *>■ x e <0, 1®>

Como y>0, ¥xeDom(f), la gráfica de la

función se halla integramente sobre el

eje X (Primer cuadrante).

(4) y = log2 |x|


se tiene:

flog2 (x) , si x>0

\log2 (x), si x<0

Como |x| = |x|, la gráfica de la

función es simétrica respecto al eje X

(5) y=1+log(x+2) y1 =log(x+2)

Haciendo: x'=x+2 , y'=y1

se tiene: y'=logx' , cuya gráfica en

el sistéma X' Y 1 tiene la forma de la

x

>x

(6) y= log2 |1x]=log2|x1 |

Haciendo x'=x1 + y ,=log2 |x'|

La gráfica de esta función es seme-

jante a la del ejercicio (i), pero

desplazada una unidad a la derecha

del eje Y.

(7) y = alo®ax

Tomando logaritmos de base a en

ambos extremos se tiene:

l°g„y = l°g x ■**• y=x , x>0o, cL

Lu gráfica de esta función es la grá

fica de la bisectriz del primer cua-

drante.

Valiéndose de la gráfica de la función y=logx, construir

la gráfica de la función:

(1) y = ^l og(x+1) ,

Solución. Sea f.(x)=logx

(1) y = ^log(x+1)

Paciendo x'=x+1 y = ^logx1

i(i gráfica de esta función se obtiene

I" la gráfica de f encogiéndola vertí

•límente el factor 1/2 y desplazándo-

la una unidad a la izquierda del eje Y.

(2) y = 21og(^±!)

x + 1 ■- 2 ■

Haciendo x'=x+1

(2) y = 21og(^|!)

y=21og(f~)

■i gráfica de esta función se obtiene:

n) Desplazando la gráfica de f una uni

dad a la izquierda dél eje Y.

i) Kstirando verticalmente la gráficado f un factor 2.


c) Estirando horizontalmente la gráfica de f en un factor 1/2.

Sección 5: Funciones Trigonométricas 101

!'ara determinar la inversa de la función intercambiemos las va-

i bl

140. Sea dada la función y=x+log(l). Mediante la adición gráfi-

ca construir la gráfica de la función dada y por la gráfi-

ca hallar el valor mínimo de dicha función en el semiintervalo

<0,2].

Soiución. y = x + log(^) = x logx

Sean: f(x)=x y g(x)=logx

Trazamos, con líneas punteadas, las

gráficas de f y. g; luego, mediante

la diferencia y=f(x)g(x) construi-

mos un cierto número de ordenadas.

Sig.uiendo un orden, unimos con tra-

zo lleno cada una de estas ordena-

das obteniendo de esta manera la

gráfica de la función dada.

Según el gráfico vemos que el valor

mínimo de la función está en el intervalo <0,1], luego,

si: x=0.1 y = 0. 1log0.1 = 0.1(1) = 1.1

x=0.4 y = 0.4 log0 . U = 0. 4 (0 .A) = 0.8

x = 0 . 8 ■+■ y = 0. 8log0.. 8 = 0.8 ( 0. 1) = 0.9

x=1 *• y = 1 — 1 o g 1 = 1

*’* ymin = 0,8 para x= 0*4

KfjSH Mostrar que la gráfica de la función y=.loga(x+/x2 + 1) es si-

métrica respecto al origen de coordenadas. Hallar la fun-

ción inversa.

de.nio¿tn.ac.ibn. Una función es simétrica respecto del origen si

se cumple que: F(x,y) = F(x,y)Entonces, F(x,y): y = log (x+/x2+1) y = log (/x2+1x)

Pero, log(j) = logx logl[/x2 + 1x]

loe’£

/X T1+X^ = r — | = íog r ü ü l i ? ]x2+1+x)J L x2+1-x2J(/x2+1x)(/x2+1

F(x,y) = F(x,y)

log (/x2+1+x)Si

riable :

x =l o e a ( y + Z y2 +1 ) -M- y + Zy2 + 1 = ax (1 )

X =loga(y + /y2 + 1) II y + /y2 + 1 = a'X (2)

Restando (1) (2) se tiene: 2y = axa"x * y = |(ax ax)

m j Demostrar que la ordenada de la gráfica de la funcióny=logax es igual a su correspondiente de la gráfica de la

•función y=logan(x) multiplicada por n.

Demoói/iaciin. En efecto,si y=loga n(x) (an)7 = x

any = X

Aplicando logaritmos de base a en cada extremo se tiene:

nylogaa = logQx ny = loSax

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

G S H K E 9 si x e y son variables reales, entonces se defi

a) Función Seno: Sen = { (x, y )eRXR/y = Senx}, cuyo dominio y rango

son: Dom(Sen)=R y Ran (Sen)= C1,1]

b) Función Coseno: Cos = { (x , y ) cRxR/y =Cosx } , cuyo dominio y ran-

go son: Dom(Cos)=R y Ran(Cos) = [1, i]

o) Función Tangente: Tan = {(x,y)eRx r /y=Tgx}, para el cual:

Dom(Tan)=R(x/x= ■^+kir, keZ) y Ran(Tan)=R

d) Función Cotangente: Cot = { (x,y)eRXR/y=Cotgx), para el cual:

Dom(Cot)=R{x/x=kTT, keZ) y Ran(Cot)=R

e) Función Secante: Sec = {(x,y)eRx r /y±Secx), para el cual:

Dom(Sec)=R{x/x= ^fkTr, keZ}, R^íy/ | y | > 1}

f) Función Cosecante: Csc = { (x,y )eRx r /y=Cscx}, para el cual:

Dom(Csc)=R{x/x=k7T, keZ), Rf={y/ I y 151}

102Capítulo 1: Función ■Sección 5: Func iones Trigonom étricas 103

(Fig.1.24), es idéntica a la gráfica de f(x)=Senx en xe [2tt, 4tt] o

on xeC2TT,O], Las otras funciones trigonométricas cuyo período T

y

y=Secx

\ f

iV

] W

y=Cscx .

----- Ti2

71

r \

i* 2«

J \

0' TC 712

-1-Tn 2U\

r \ 1

Observaciones: (1) Todas las funciones trigonométricas son pe-

riódicas. Por ejemplo, el período de la fun-

ción seno es T=2u, es decir, la gráfica de f(x)=Senx en xt [O, 2ttJ

on xeC 2TT, O], Las otras funciones trigonométricas cuyo período T

iis 2ir son el coseno, la secante y la cosecante. El período para

1.a tangente y la cotangente es T=n.

(2) Si el período de la función trigonométrica y=f(x) es T, enf * A T

tonces el período de la función trigonométrica y=f(ax) es — .

Por ejemplo, si y=Cos3x *■ T=2tt/3

y=Sen(^) + T = = ¿tt

Gráficamente significa lo siguiente:

Si a>1, la gráfica de.y=f(ax) se obtiene encogiendo horizontal-

mente la gráfica de y=f(x) en a unidades.

Si 0<a<1, la gráfica de y=f(ax) se obtiene estirando horizontal-

mente la gráfica de y=f(x) en a unidades.

(3) Si la regla de correspondencia de la función trigonométrica

tiene la forma t=Af(x), entonces se dice que A es la ampli

tud. de ía función.

Por ejemplo, si y=2Tg3x A=2 y T=tt/3

y= (1 /3)Sen5x * A=1/3 y T=2tt/5Gráficamente significa lo siguiente:

Si A>1, la gráfica de y=Af(x) se obtiene estirando verticalmente

la gráfica de y=f(x) en un factor A.

Si 0<A<1, entonces la gráfica de y=Af(x) se obtiene encogiendo

verticalmente la gráfica de y=f(x) en un factor A.

So A<0, la gráfica de y=Af(x) se refleja en el semiplano inferi-

or todo lo que está en el semiplano superior de la gráfica de y=

Af(x) si fuera A>1 ó 0<A<1, y viceversa.

(.*) Si la regla de correspondencia de la función trigonométrica

tiene la forma y=Af(axh), entonces se dice que a=h/a radia-

nes es el ángulo de. ¿ate. y que <t=h es la inicial.

Por esta razón se dice que las gráficas de y=Af(x) e y=Af(axh)

están d&£a¿ada¿ o que sus abscisas difieren en a=h/a radianes.

Por lo tanto, la gráfica de y=Af(axh) se obtiene desplazando ho

rizontalmente la gráfica de y=Af(x) en un ángulo a=h/a radianes:

hacia la derecha si h>0 o hacia la izquierda si h<0.

I’or ejemplo si y=2Sen (3x7r), entonces el ángulo de fase es a=ir/3 .


Como h>0, la gráfica de y=2Sen(3xir) se obtiene desplazando hori

zontalmente la gráfica de y=2Sen3x un ángulo cftt/3 hacia la de-


U) y^Sení^^) = Sen(j| +

zontalmente la gráfica de y 2Sen3x un ángulo cftt/3, hacia la de

recha.

Indicar la amplitud y el período de la armónica:(1) y=Sen3x (3) y=4SenTrx (5) y=Sen(^p)

(2) y=5Cos2x (A) y=2Sen(^) (6) y=3Sen(5x/8)

Solución. Según las observaciones (2) y (3) se tiene:

(1) y=S.en3x ■* A = 1 y T=2ir/3

(2) y=5Cos2x A=5 y T = 2?r/2 = 71

(3) y^Sen^x + A=A y T=2tt/tt = 2

(4) y=2Sen(x/2) + A=2 y T=2 it/(1/2) = ¿ir

(5) y=Sen(2|i) + A=1 y T ----^ -- = ■§ A (3ir )/4

(6) y=3Sen(5x/8) ■> A=3 , T = ^ = ^

144. Indicar la amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase i

nicial de la armónica:

(1) y=2Sen(3x + 5) (3) y = ^Sen2iT(u g)

(2) y=Cos(^r1) (4) y = Sen(Z¡r±2)

Solución. Según la observación (A) tenemos:

(1) y=2Sen(3x+5) + A=2 , T=2n/3 , f=1/T=3/2Tr, <(,= 5(2) y= Cos (^ 4 . Dado que Sen(|7r + a) = Cosa, se tiene:

y=Sen('|ir + ^ p ) = Sen(rj + )

de donde: A=1 , T = j = Air , f=1/T = 1/4ir > _<t> ^,1Tg'

(3) y = •jSen(2jrco |) A=l/3 , T=2tj/2tt = 1 , f=1 , <t>=ir/3

143

PROBLEMAS RESUELTOS

de donde: A=1 , T = = 6tt2 , f=1/6tt2 , <J>=1/ 2 tt

| Construir la gráfica de la función:

(1) y=Senx (8) y=2Sen(x|)

(2) y=1Senx

(3) y=1Cosx

(A) y=Sen2x

(5) y=Sen(x/2)

(6) y=2Sen(x/3)

(7) y=Cos2x

S o l u c i ó n . (1) y=Senx

Dado que A=1<0, se

gún la observación (3), la gráfica

ile la función (1) se obtiene por

reflexión de la gráfica de y=Senx(Fig. 1.24).

(2) y=1Senx ■* y1 = Senx

Haciendo: y'=y1 ■* y'=Senx

Se observa claramente que la gráfi

ca de (2) se obtiene desplazando

verticalmente en una unidad la grá

fica del ejercicio (1).

(3) y=1Cosx > y1=Cosx

Haciendo: y'=y1 y'=Cosx

Como A=1<0, la gráfica de (3) se

obtiene por reflexión de la gráfi

ca de y=Cosx (Fig. 1.25) y luego

desplazándola verticalmente una u

nidad.

(15) y=|Tgx|

(9) y2Sen(3x+ |w) (16) y=|Cotgx

(10) y= Tj3en(.2irx1.2) (17) y=Secx

(11) y=2+2Sen(^| + g) (18) y=Cscx

(12) y=2Cos(Sj I)

(13) y=|Senx| (19) y=

(U ) y= ICosx |

Cosx

1

1/x

-7TgX$0

0<X< 1

1íxs2

106 Capítulo 1: Fundón

U) y=Sen2x

■Y. '<c ión 5: Funciones T rigonométricas ___________________________________________ 107

(9) y=2Sen(3x + -|it) = 2Sen3(x + j) ^

Como a=2>1, segur, la observa

ción 2, la gráfica de esta fun-

ción se obtiene encogiendo la grá

fica de y=Senx en un factor 2.

El período de la función es T=ir

(5) y=Sen(x/2)Siendo la amplitud A=1 y como

0 < — < 1, la gráfica se obtiene

estirando horizontalmente la grá-

fica de y=Senx en un factor 2.

(6) y=2Sen(x/3)

La gráfica de esta función se

obtiene por reflexión (2<0):

a) Estirando horizontalmente la

gráfica de y=Senx en un factor3, dado que el período es

T = 2u/ (1/3 ) = 6tt

b) Estirando verticalmente la grá

fica de y=Senx en un factor 2,

ya que la amplitud es A=| — 2 |=2.

(8) y=2Sen(xir/3)

Dado que la fase inicial es

h = ir/3» la gráfica de esta función

se obtiene de la gráfica de y=Sen

a) desplazándola horizontalmente

en h = 7r/3 unidades a la derecha

b) estirándola verticalmente en u:

factor 2.

(7) y=Cos2x

Dado que a=2>1, la gráfica de

esta función se obtiene encogien-

do la gráfica de y=Cosx en un factor 2.

Siendo la fase inicial h=ir/4

v ni período T=2ir/3» la gráfica de

tinta función se obtiene de la gráfi

cu de la función y=Senx:

m ) Encogiéndola horizontalmente en ,

3 unidades.

I') Estirándola verticalmente en un

factor A=2

■) Desplazándola horizontalmente en

ti/4 unidades hacia la izquierda.

(10) y= ^Sen(2irx6/5) = ^Sen27r(x

Siendo h=3/5tf y T=2ir/27r=1, la

i.ráfica de esta función seobtiene

ilo la gráfica de y=Senx:

n) Encogiéndola horizontalmente en

un factor a=2ir.

i) Desplazándola horizontalmente a

3/5tt hacia la derecha (h>0).

■) Encogiéndola verticalmente en

el factor A=1/2.

(11) y2 = 2Sen|(x + j)

Siendo h=1/3, T=2 it/( tt/2) = U y* \y

i<i gráfica de esta función se ob

I. tono de la gráfica de y=Senx

n) Desplazándola verticalmente 2

unidades y horizontalmente 1/3

unidades hacia la izquierda (h<0)I') Encogiéndola horizontalmente

un factor a=7j/2 .

■) Estirándola verticalmente un

factor A=2.

I.') y = 2Cosj(xir)

Siendo h=ir y T=2w/(1/3) =6tt, la gráfica de está función se


obtiene de la gráfica de y=Cosx

a) Estirándola horizontalmente

ni i Funciones Trigonométricas 109

un factor de 3 unidades.

b) Desplazándola horizontalmente

ti unidades a la derecha (h>0)

c) Estirándola verticalmente en

un factor A=2 unidades.

(13) y = I Senx |


{Senx, si SenxSO , x e [0,ttJ

Senx, si, Senx<0 , xe<Tr,2u3

Como y^O, ¥xeDom(y), la gráfica

de y=Senx es el reflejo de la

gráfica de y=Senx para xeíTr.Zir]

(14) y = | Co sx |


Cosx, si Cosx^O, xe [0, J ü 2ir]

>A

y= 7T 3Cosx, si Cosx<0, xe<2 >'g'ir>

La gráfica de y=Cosx es el reflejo

de la'gráfica de y=Cosx en

( 1 5 ) y = . | T g x [ y/fv


T g x , si Tgx%.0 , xe [0, ~>I I [ir,-|ir>

y=-Tgx, si Tgx<0 , xecj, ir>U<Jir, 2ir>

Aquí también, la gráfica de y=Tgx ®

es el reflejo de la gráfica de

y=Tgx’ , xe<'j, ir>ü<|ir, 2ir>

(17) y=Secx (Ver Figura 1.28)

(18) y=CScx (Ver Figura 1.29)

2 \ / 271 271

>x

na l.os lados de un triángulo miden 1cm y 2cm, respectivamente

Construir la gráfica del área del triángulo como función

di I tíufjulo x comprendido entre dichos lados. Hallar el dominio

i>. Inl'lnición de esta función, y el valor del argumenro x para

m ■11 /i 1 el área del triángulo sea máxima.B

v. furión. El área del triángulo es:

1S = gbh , pero h=aSenx

1 "1 — b(aSenx) = gabSenx

4(l)(2)Senx = Senx , xe<0,ir>2 1

i™ gráfica del área del triángulo es

mia ¡ircada de la sinusoide, que como

vm cubemos tiene su valor máximo pa

l>n x»ir/2

Un punto efectúa movimiento uniforma a lo largo de una cir

cunferencia de radio R, con velocidad lineal v cm/seg, con

■ iLo al de las agujas del reloj. En el momento inicial ’la abs

i, i de dicho punto era a. Formar la ecuación de la oscilación

nórtica de la abscisa de dicho punto.

9 t.U din., Una partícula está en movimiento armónico simple cuan

do su desplazamiento x respecto al origen decoordena

11■ está dada por la relación:

x = Rsen(iot + a) (1 )

mío a es la fase inicial, R es la amplitud del movimiento y ui

¡ la velocidad angular. (v=0)R)

147


En el momento inicial: t=0 y x=a

Entonces en(1): a=Rsena

y>k

— \ p

inti ' Funciones Trisonométricas 111

Pero en la figura vemos que: a=RcosB

*• Rseno = Rcos3 ** Sena = Cos0

a = + 6

*-*■ a = 5 + arcCos(^)

Sustituyendo en (1) obtenemos:

R / A ! i >

V 0 -— a — 1

x = Rsenj—t + ^ + arcCos ( f > ]

Un punto efectúa movimiento uniforme a lo largo de la cir-

cunferencia x2+y2=1. En el momento t 0 su ordenada era y0,

en el momento ti, yi. Hallar la dependencia entre la ordenada

del punto y el tiempo, hallar también el período y la fase ini-

cial de la oscilación.

Rp. y = Sen (arcSeny iarcSeny0 ) +arcSeny oj

T =2ir(titp)

arcSenyiarcSenyot iarcSen;

&tparcSenyiTo

iE£l La figura 13 muestra un mecanismo de manivela. El volante .

es de radio R, la biela es de longitud a. El volante gira

uniformemente en el sentido de las agujas del reloj dando n vuel

tas en un segundo. En el momento t=0 en que la biela y la manive

la formaron una misma recta (posición del.punto muerto), la cru

zeta (A) ocupó el punto 0. Hallar la dependencia entre el despla

Solución. Las figuras adjuntas, muestran la posición del punto

muerto (t=0) y cuando la cruzeta (A) se ha desplazado

x unidades.

" observa claramente que: x = xoxi (1)

'•t o s xo = a+R

Xi = AB + BC = /a2BP2 + RCos<!

= /a2R2Sen2<J) + RCos<!>

i11, i tuyendo en (1) se tiene:

x = a+R i/a2R2Sen2<t> RCosiJi

= a + R(1Cos<t>) /a2R2Sen24i

n donde, para n vueltas en un tiempo t, <{i=27rnt.

Mediante la adición gráfica construir la gráfica de la fun-

ción:

(1) y = Senx + Cosx

(2) y = Sen2irx + Sen3nx

/Xl X,

(¿) y = x+Senx

(5) y = xSenx

(6) y = 2x+Cosx(3) y = 2Sen(|) + 3Sen(|)

Solución. (1) y = Senx + Cosx

Sean: f(x)=Senx

g(x)=Cosx

Hado que el període f y g es 2tt,

I.razamos, con líneas punteadas,

un ciclo de ambas funciones. Es

•vidente que cada ordenada de (1)

i‘3 la suma de las ordenadas de f

y g.

(2) y = Sen2Trx + Sen_37íx

Si f(x) =Sen2iTX + T = 27r/27r=1

g(x)=Cos3Trx T=2tt/3tt=2/3

Como las gráficas de f y g tienen igual amplitud (A = 1) y diferen


te período, construimos un ciclo

de f y, un ciclo y medio de g.


I Hallar el período de la armónica compuesta:

(1) y=2Sen3x + 3Sen2x

de y, u c c o y ed o de g.

Luego, cada de (2) será la suma

de las ordenadas de f y g.

(3) y = 2Sen(|) + 3Sen(|)

Si f(x)=2Sen(|) * T = V T = ^

g(x)=3Sen(|) + T = jj -j

Siendo las amplitudes y los perío

dos diferentes, construimos un ci

cío para g y, un ciclo y medio pa

ra f. Luego, cada ordenada de (3)

será la suma de las correspondien -2

tes ordenadas de f y g.

(4) y = x '+ Senx

Sean: f(x)=x y g(x)=Senx

Construimos con trazo punteado

las gráficas de la función i

dentidad f y la función seno g,

para xeC-2-rr, 2tt] •Luego, cada ordenada de (4)

es la suma de las ordenadas

correspondientes de f y g.

(5 ) y = x Senx . Se deja como ejercicio.

Nota. La gráfica de esta función se obtiene por reflexión de

la gráfica de la función (4). respecto de la recta y=x.

3X(6 ) y = 2 X + C osx . Se deje como ejercicio.

(2) y=Senx+Cos2x

( 3 ) y = S e n ( j r x / 3 ) + Sen(T7x/4)

( 4 ) y = Sen(27rx+7r/3) + 2Sen(3irx +u / 4 ) + 3Sení>irx

Solución. (1) y=2Sen3x+3Sen2x

Si f(x)=2Sen3x + T!=27r/3g(x)=3Sen2x + T2=27t/2=ti

Cuando los períodos de las armónicas simales son números fraccio

narios o enteros y fraccionarios, se procede del siguiente modo:

i) Se reducen a común denominador los períodos: |ir y -¿ít

b) Se obtiene el común múltiplo de los numeradores:

m. c.m. (2u, 3^) = 6tt

<■) Se divide el m.c.m. entre el denominador común.

El cociente es el período de la armónica compuesta.

T = 6i r /3 = 2tt

(2) y = Senx + Cos2x

Los períodos de las armónicas simples son: Ti=2ir y T 2=it

Cuando los períodos de las armónicas simples son números enteros

"1 período de la armónica compuesta es el m.c.m. de éstos.

T = m.c.m. (Ti,T2 ) = 2tt

(3) y = Se n ( 7 r x / 3 ) + S e n ( i r x / 4 )

Los períodos de las armónicas simples son:

T » = 77J = 6 * T 2 = ^JJ~= 8 * T = mcm(T i ,T2) = 24

(4) y = Sen2ir (x + 1 /6) + 2Sen3ir (x+1/12) + 3Sen5wx

Los periodos de las armónicas simples son:

T - 2 ]L - i t - ¿ E - 2 _ _ 2tt _ 21 Oír ' » -i 2 “ o_ ~ o t 1 J -2ñ - * 2 ~ J ñ ~ 3 ’ s = ~5ñ ~ 5

a) Reducción a común denominador: ~ , -~

b) mcm(1 5 ,1 0 ,6 ) = 30

c) Por lo tanto: T = 30/15 = 2

153 Presentar en forma de armónica simple:

(1) y=Senx+Cosx (2) y=Senx+2Sen(x+TT/6)


Solución. (1) y=Senx+Sen(tj + x)

Transformando a producto se tiene:

lia Llar el dominio de definición y explicar el aspecto de

ln gráfica de la función:

h a l ó n f u n ci o ne s t ri go no mé tr ic as ____________________________________ 115

ISO

y = Sen(§ + x)+Senx = 2Sen . Cos )

= 23en(| + x).Cos(^) = /2Sen(x +

(2) y=Senx+2Sen(x+ir/6) Rp. y=/5+2/3Sen(x+d>), <t>=arcSen(/5+2/J

Indicar el período de la función y construir sfl gráfica.

v h |Senx| _Senx_\V " Cosx( 1 ) y = | Senx| + | Cosx

Soluciór

| SenxI =

Cosx

(1) Por definición de valor absoluto se tiene:

r Senx , SenxÔCo sx

Senx , Senx<0 (Cosx , CosxjO

Cosx , Cosx<0

Luego, sobre el intervalo [Ó»2tt], la regla de correspondencia de

la función es:

f Senx+Cosx , xe[0,rr/2]

SenxCosx , xe [tr/2, ir]

SenxCosx , xe[jr, 3tt/2]

Senx+Cosx , xe [3ir/2, 2tt]Í:ÍEn la gráfica vemos que el pe

ríodo de la función es T=tt/2.

(?) V = J_SenxJ.y p^ r.n síSenx

2 S Cosx |CosxI'

Análogamente, como en el ejercicio anterior, sobre el inter-

valo [0,27t3 la función es .susceptible de ser representada de

la forma:

Tgx , si x e £ o ,7 t / 2 >

0 , si x £ < tt/ 2 , 7 t]

Tgx , si xe [ir, 3tt/2>

0 , si xe<3ir/2, 2tt]

En la gráfica vemos que el pe

ríodo de la función es T = 27r.

ín 2n

- » x

(1) y=logSenx (2) y=/logSenx (3) y=Áog ("[g^y)

í f ni ión. (1) y=logSenx

La función es real <+ Senx>0, o sea si xe<0,7r>.

tu r• mral, el dominio de definición está compuesto de una infi

#i * • >i■I ilo intervalos de la forma: <2mr, (2n+1 )tt>, ¥neZ.

|li , 11u(' f(x)¿f(x) y f(x)^f(x), la función no es par ni impar

f«#|inil.ivamente. Su período es T=2rr. En el intervalo <0,u/2> el

». un .roce de 0 hasta 1, por tanto, logSenx crece hasta 0 sin de

I"r ilo ser negativo. En el intervalo <n/2,ir> el seno decrece de

I rmlu 0, por consiguiente, decrece logSenx..En el intervalo

ül seno tiene valores negativos, por tanto, la función

II 11 x no está definida.

I 1 ) y /logSenx

I.íi función es real ■*-*■ logSenxÔ. El dominio de definición es

t.á compuesto de puntos separados de la forma: x = ^ + 27in ,

Vm'/.. F.n estos puntos y=0. La gráfica son puntos sueltos del eje

< o y =v/i3g(jsîrr)

l.a función está definida ¥xeR, excepto los puntos para los

cuales Senx=0 x=irn , neZ

!. 1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

lni'lii que las funciones trigonométricas son funciones periódicas,

um ilocir, no son inyectivas en todo su dominio, éstas no poseen

invorsa. Sin embargo restringiendo a intervalos establecidos se

. mu lo conseguir la inyectivilidad y de este modo permitir que la

iiiniLón trigonométrica admita inversa. En tales restricciones o

litorvalos principales damos las siguientes definiciones.

i ) I u n c i ó n S en o I n v e r s o ( A r c o S e n o ) E s a q u e l l a f u n c i ó n d e f i n i d a

por:

arcSen: + []— tt/2, tt / 2j

x *• y=arcSenx


tal que si: y=f(x)=arcSenx *• x=Seny

Observe que el intervalo restringido

•‘n i/i 5: F unciones trigonométricas 117

x ■*• y=arcSecx

im l que pi y=f (x)=arcSecx x=Secy

a o Dom (f ) < “ ij [1 +°°> Ran (f) [O n/2>U<7r/2 ir]

para que la función y=Senx tenga in-

versa es

Luego, Doa(f ) = [1, ij y Ran(f) = [

(Figura 1.30)

b ) F u n c i ó n C o s e n o I n v e r s o ( A r c o C o s e n o )Es aquella función definida por:

arcCos: C“1*1] * [0, ttJ

x+ y = arcCox

tal que si y=f(x)=arcCosx +*• x=Cosy

cuyo Don (f) = E1,1J y Ran(f )= [o, tt]

(Figura 1.31)

c ) F u n c i ó n T a n g e n t e I n v e r s a ( A r c o T a n g e n t e )

Es aquella función definida por:

arcTg: <“>,+“> ■+■ < —tt/2»ti/2>

x *■ y = arcTgx

tal que si y=f(x)=arcTgx +»■ x=Tgy

cuyo Dom(f)=R y Ran (f) =<ir/2, ti/2>

(Figura 1.32)

Figura 1.30

d ) F u n c i ó n C o t a n g e n t e I n v e r s a ( A r c o C o t a n g e n t e )


arcCotg: <<», +<»> ■* <0,tt>

x > y=arcCotgx

tal que si y=f(x)=arcCotgx ■*+ x=Cotgy

cuyo Dom(f)=R y Ran(f )=<0, ir>

(Figura 1.33)

e ) F u n c i ó n S e c a n t e I n v e r s a ( A r c o S e c a n t e )

Es aquella función definida por”

arcSec: <«>,ljü [1,+<*» *• [0 ,ir/ 2>U<n/ 2, tÍJ

ayo Dom (f )=<“ ,iju [1, + > y Ran (f )= [O, n/2>U<7r/2, ir]

(KLgura 1.34)

r ) F u n c i ó n C o s e c a n t e I n v e r s a ( A r c o C o s e c a n t e )


arcCosec: <“ , 1J U [i,+“ > *■ [n/2, 0>U<0, tt/2]

x + y = arcCosecxtal que si y=f(x) = arcCosecx *>■ x=Cosecy

cuyc Dom (f )=<“ ,l]ü£l,+°°> y Ran(f) = [n/2,0>U<0, tt/2]

(Fugura 1.35)

PROBLEMAS RESUELTOS


(1) y = arcTgx

(2) y = 2arcSen(x/2)

(3) y = 1+arcTg2x

Solución, (1) y=arcTgx. Ver figura 1.32

(2) y=2arcSen(x/2)


obtiene de la gráfica de y=arcSenx

estirándola horizontal y vertical

mente en dos unidades.

Rsto es, Dom (f) = |I2, 2]

y Ran(f) = C7r,7r]

(4) y = j arcCos2x

(5) y = arcSen(i^)


(3) y=1+arcTg2x y1=arcTag2x


-h 11 ion 5: Funciones trigonométricas 119

I Un cuadro de altura a cuelga de la pared de modo inclinado,

formando un ángulo diedro 4> entre la pared y el cuadro. Un

'Mervador que se encuentra frente a la pared a la distancia l

obtiene de la gráfica de y=arcTgx

a) Desplazándola verticalmente ha

cia arriba en una unidad.

b) Encogiéndola horizontalmente

en dos unidades.

Esto es: Dom(f)=R

Ran(f )=<1+7t/2, 1-tt/2>

TTy 2(4) y = 2 ~ arcCoS2x


obtiene de la gráfica de y=arcCosx

(Reflexión de la Fig. 1.31)

a) Desplazándola verticalmente ha

cia arriba en tt/2 unidades.

b) Encogiéndola horizontalmente

en dos unidades.

Esto es: Dom(f) = [j 1 /2, 1/2]

Ran (f ) = [-tt/2, tt/2]

arcCos2x

y*

V 1/2

- n / 2

k /2■ > x

H>x

£(■ i Un sector circular de ángulo central a se arrolla engen-

drando un cono. Hallar la dependencia entre el ángulo üj en

el vértice de dicho cono y el ángulo a, y construir la gráfica.

S o ¿ución. Sea el sector circular de radio r y ángulo central oí.

La longitud del sector

circular es:

S = ra , ae<0, 2tt> (1)

La longitud de la circunferencia

de la base del cono de radio ri

es: S=27rri, pero n=rSen(j)

+ S = 2TTrS_en(|)

De (1) y (2) se deduce que:

(2)

ra = 2iTrSen(^)

de donde 2arcSen(jj“)

. Mervador que se encuentra frente a la pared, a la distancia l,

i •• ni borde inferior del cuadro por encima de la altura de su vi

iu (la diferencia es igual a b). Hallar la dependencia entre el

/mgulo Y (formado entre la vista del observador y el cuadro) y

■ i ángulo í>,

W>(ución. Sea BC=a la altura del cuadro

y 0 el ojo del observador.

Kn el AOEC: TgB = l£ =AD

05 “ OAEA

TV0 = AB+BDOACD

b+aCos£aSen

ABKn el AOAB : Tga = bi

londo: y = Ba •» Tgy = Tg(Ba)

► Tgy =

b+aCosJlaSen

bl

1 , b/b+aCos\' i í.aSen4>

a(bSen<l>+l,Cos(t>)

b2+2.2 + a(bCos<t>Í.Sen(j>)

Y = arcTg a(bSen<t>+g.Cosi|>) ~j

lb2+Jl2 + a(bCos<t>£Sen<t>)J

■TTÍ1 Indicar la dependenciá entre el ángulo de la vuelta que

da la manivela (véase el ejercicio 149) y el desplazamien

i" x de la cruzeta.

'•ifución. En el ejercicio 149 se determinó la ecuación:

x = a+R (1 Cos(j>)/a2R2Sen2it>

/a2R2 ( 1Cos2i,b) = ( ax)+R ( 1Cos)

i:i ovando al. cuadr"a2o ambos extremos se tiene:

' R2+R2C os2d) ,= a22ax+x2+2R(ax)2R(ax)Cos<t>+R22R2Cos<*>+R2Cos2<í>in donde: 2R(ax+R)Cosó = 2R(ax+R) x(2ax)

x(2ax)Cos42R(a+Rx) arcCos^l 2r [a+Rx)]

Hallar el intervalo en que varía x para el cual sea válida

la identidad.

(1) arcSenx + arcCosx = § (2) arcSen/x + arcCos/x = ^


y ______- -I„2

(3) arcCos/1x2 = arcSenx (7) arcCos (tj^r) = 2arcTgx

(¿) arcCos/lx2 = arcSenx (8) arcCos(!j— i) = 2arcTgx

<<>/i 5: Funciones trigonométricas 121

1 5 4 1 ++ (^fr + 1 0) a 1 0)

2 2x_25. 0 ) A ( -í+x2 * '• M + x 2 0)

(5) arcTgx = arcCotg(1/x) (9) arcTgx + arcTgl = arcTg(j^)

(6) arcTgx = arcCotg(1/x)ir (10) arcTgx+arcTgl = ií + arcTg.(jÍj)

Sotución. (1) arcSenx + arcCosx = ir/2

Si .arcSenx = A x=SenA xe f1, 1 ] y Ae [-|,|]

arcCosx = B x=CosB xe[1,lj y Be[b,ujLuego, la identidad es válida para: 1^x<1

(2) arcSen/x + arcCos/x = w/2

Si arcSen/x = A +*■ /x = SenA xe[0,l"J y Ae ]]0,i:/2J

arcCos/x = B /x = CosB •* xe[0,l] y Be[0,irj

Por tanto, la identidad es válida para: 0^xí1

(3) Si arcCos/lx2 = A ■**■ /lx2=CosA >• 1x2}0 «>■ 1«x<1

arcSenx = B *>■ x = SenB ■> O xí.1

Si A = B +-*■ (1<xí1) A (0sx.f1) «>■ 0¿x< 1

(i) Si arcCo s/lx2 = A «*• /lx2=CosA *• 1x2j0 +* 1$x^1

.arcSenx = B ■*-*■ x=SenB 1fxf1Si A = B ■<-*’ ( - 1íx<1) A ( - 1<x<0) -<-*■ 1sxs0

(5) Si arcTgx = A *-*■ x=TgA *■ xsR yAe £7F/2,ir/2]

arcCotg(1/x) = B <* ^ = CotgB *■ xeR{0}y Be<0,it>

Si A=B, entonces A debe ser positivo, ya que B siempre lo es,

es decir, Ae£o,ir/2] para x>0.

Luego, la identidad es válida si (x>0) A (xeR{0}) *■ xe<0,+=»>

(6) arcCotg( 1/x)arcTgx = rr

Si arcCotg( 1/x)=A -*-*■ = CotgA xeR{0} y Ae<0,tt>

arcTgx=B +* x=TgB + xeR y Be<-tt/2,ir/2>

Si AB=7t , entonces B debe ser negativo ya que A siempre es

positivo, es decir, Be<tt/2,0>, para xíO

Luego, la identidad es válida si: (xeR{0}) a (x$0) ■+■ xe<«>,0>

(7) Si arc Cos (^ 2 ) = A +-*■ = CosA + )e [ - 1. i ]

í+x2 * • M + x 2 0)

■«* (xeR) A (xeR) ++ xeR y Ae[0,ir]

I arcTgx=B «>• x=TgB + xeR y Be [tt/2,71/2]

Dado que A es positivo y si A=2B *• Be[0,rr/2j y xíO

Luego, la identidad es válida si xe£o,+>»>.

1 ¡2(h ) arcCos(j^r) = 2arcTgx

Si arcCoS ( ^ ) = A ~ ^1-x2 — j = CosA

■l^r > 1 «-*• xeR y Ae[b,ir]

Si arcTgx = B ■** x=TgB *■ xeR y Be [-tí/2, tt/2]

Para que B sea negativo, entonces: Be £-tt/2,0] y x.í0

Luego, la identidad A=2B es válida para xe<“,cf]

(0) arcTgx + arcTgl = arcTg(|~)

(10) arcTgx + arcTgl = tt + arcTg(j^)

Rp. xe<°°, 1>

Rp. xe< 1, +“>>

Valiéndose de las identidades del ejerciólo 161, hallar él

dominio de definición y construir la gráfica de la función

(1) y=arcCos/lx2,

(2) y=arcSen/lx+arcSen/x (4) y=arcTgxarcCotg(1/x)

(3) y=arcCos(ij~£i)

’-o-lución. (1) y=arcCos/lx2

La función es real

.'. Do¡n(y) = [1,l]

"iraglin el ejercicio (3) de 161,

rcCos/1x2 = arcSenx, xefo.lj

Entonces podemos trazar la grá-

fica de y=arcSenx para xe[p,lj.

I’ara xef1,0], trazamos ,1a re-

flexión de la misma función.

1x2%0

~>x


(2) y=arcSen/1x + arcSen/x

La función es real *-*■ 1x?0 A xSO

• ■' " 5: Funcione s trigonométricas 123

"/•'\x<37r/2, hacemos: z=xir *• x=7r + z , -tt/2í zStt/2

i"i"nces: y=arcSen(Senx) =arcSen[Sen(TT+z)]=arcSen(Senz)

xg 1 A xjo Dom(y)= [0. 1]

Según el ejercicio (2) de 161, arcSen/x + arcCos/x =

para xe[0,1 j. Pero arcSen/1x = arcCos/x , si xe[b,l]

Entonces, en (1):

arcSen/x + arcSen/1x =

Por tanto', y=u/2 , para xe[o,í]

Esto es, la gráfica de la función

(2) es una recta horizontal.

(3) y = arcCos(^p)

Por definición:, 1 - x -

' 1 +x'

.. . 1X2 . ..1 < ñ ? * 1

y e [ 0 , i r ]

y e [ '0 , ti]

(1)

Según el ejercicio (7), la desigualdad es válida ¥xeR.

dy2Además, arcCos(~, 1+x¿)=2arcTgx , si xe<0,+°°>

Luego, si y=2arcTgx , xe<0,+°°>

la gráfica de la función se obtiene

de la gráfica de y=arcTgx estirándo

la verticalmente en un factor 2.

Esto es, Ran(y)= [0,7r>.

(4) y=arcTgxarcCotg(1/x)

Por definición: ( x e R ) a (xeR{0}) + Dom(y)=R{0}

Pero según el ejercicio (5)' de 161, arcTgx=arcCotg(1/x).

Por tanto: y=0 . La función está definida por todas partes, ex-

cepto para x=0. Su gráfica es el eje X.

v 3 Construir la gráfica de la función y=arcSen(Senx). Demos-

trar que la función indicada es periódica y hallar su pe-

ríodo.

So ¿ación. Sobre el intervalo ir/2£x$7r/2, según la definición de

la,función arcSenx se tiene: y=arcSen(Senx)Ex

Para obtener la gráfica de, la función sobre el intervalo:

Construir la gráfica de la función y=arcCos(Cosx)

f'ución. Por definición sabemos que si:

y=arcCosx *->■ x=Cosy *■ 04yí--n

1ti Unces so br e el intervalo 0$x<:ir

mm tiene: y = arcCos(Cosx) = x

l ira el intervalo [ff,27r], hacemos

z=2tt-x -*■ x =2tt-z

• y arcCos rCos(2Trz)J =arcCos(Cosz)

• y a ■*■+ y=2Ttx , xe jjr, 2tt]

i'irn el intervalo [n, 0] hacemos: z=x

y arcCosfCos(z)]=arcCos(Cosz)Hz

■ y=x , xe[7r,0] , etc.

Construir la gráfica de la función y=arcTg(Tgx)

■ ución. Por definición sabemos que si:

y=arcTgx — x=Tgy .+ ye<ir/2, ir/2>

"l.onces, para trazar la gráfica de la función sobre el interva

i i nces: y=arcSen(Senx) = arcSen[Sen(TT+z)]=arcSen( Senz)

*• y=a rcSen(Senz) =z y= (x7r)=irx , xe [tt/2, 37t/2]

Análogamente, para xe [3tt/2, 5tt/2] •, hacemos: z=x -2tt y obtenemos:

y=x2?r , xe [3tt/2, 5tt/2]' , etc

Im l'unción es periódica puesto que:

f(x+T) = arcSen [Sen(x +T)j = arcSen( Senx) = f(x), ¥xeR!i período de la función es T=2 tt.


•lo 7r/2<x<Tr/2, se tiene: y = arcTg(Tgx) = x

Para el intervalo <ir/2,3n/2>, hacemos:

z = x iT *■ x = it + z > ir/2<z<ir/2

•• •‘ am 5: Funciones trigonométricas 125

I xe fir/2, 3^/2] y=x(irx)=2xtr

xe 5ir/2] ■* y=x(x2ir)=27r

z = x- iT -*■ x = it + z > ir/2<z<ir/2

Entonces: y = arcTg [Tg (ir + z)] arcTg (Tgz ) = z

y = xir , xe<ir/2,3n/2>

para el intervalo: xe<3ir/2,tt/2>, hacemos: z=x+ir *• x = z -tt

y=arcTgl"Tg(zir)]=arcTg[Tg(irz)J =arcTg(Tgz)=z

y = x +tt , si xe< 3n7 2 ,u/2> , etc


(1) y=xarcTg(Tgx) (3) y=xarcSen(Senx)

(2) y=xarcSen(Senx) (4) y=arcCos(Cosx)arcSen(Senx)

Soiución. (1) y = xarcTg(Tgx)

Valiéndonos de la gráfica del ejercicio 165 se

tiene: y,

Si xe<ir/2,tt/2> *• y=xx=0. n

xe<it/2, 3tt/2> > y=x(x7r)=n

xe<37r/2,tt/2> *■ y=x(x+ir)=3T

____ __i

271 jItt ti12

111

£ 02

7t

5 71 I tt 2jc2 2 71

(2) y=xarcSen(Senx)

valiéndonos de la gráfica del ejercicio 163 se tiene:

Si xe [-3ít/2,7r/2_| •* y=x(-tt-x )=2x +it

xe [ir/2 ,ir/2j ■* y=x -x =0

( 0 y=xarcSen(Senx)

Valiéndonos de la gráfica del ejercicio 163 se tiene:

Si xz\_-3ti/2,-i\/2] * y = x(irx) = - tt x - x 2

x e [rr/2 ,Tr/2] + y = x(x) = x2

xe [tt/2, 3ir/2] *• y = x(irx) = 7rxx2

x e [3tt/2, 5ir/2] *• y = x(x2u) = x 22irx

ifizando la gráfica de cada parábola en los intervalos indicados,

"M.enemos: *

(/,) y = arcCos (Cosx)arcSen(Senx)

Según la construcción de las gráficas de los ejercicios 163

y 16 4. se tiene:

Si xe [ir, 7r/23 y = -x -(-x-ti) = ir


Si xe<ir/2,0] + y = x(x) = 2x

xe<0,7r/2] *• y = xx = O

xe<ir/2,7r] *■ y = x(irx) = 2x7r

■■.. ion 6: Problemas de cálculo 127

•i) kn el intervalo C3,2j: =15 , para x=2IÜS.X

ymin=5’5’ para x=0‘6i i l.n función pasa del crecimiento al decrecimiento en x=2

xc<-n, 3tt /23 + y = 2 x(irx) = ir

x e<3'H'/2p 2rr] *• y = 2irx(x-2it) = 4tt-2x

PROBLEMAS DE CÁLCULO

Trazar la gráfica de la función y=x3+2x24x+7 en el inter-

valo 2], tomando los valores de x con intervalo de 0.2

En el eje de ordenadas elegir la escala .20 veces menor que la del

eje de abscisas. Hallar los valores máximo y mínimo de la función

en el intervalo C_3,2j de acuerdo a la gráfica. En qué punto pa-

sa la función del crecimiento al decrecimiento? Hallar la raíz de

la función en el intervalo [4,2]. La exactitud del cálculo debe

ser 0.1.

Solución, Construimos una tabla de valores según las condiciones

dadas.

X -4 - 3 . 8 - 3 . 6 - 3 . 4 - 3 . 2 -3 - 2 . 8 - 2 . 4 - 2 . 2

y -17 - 3 . 8 0 . 2 4 . 4 7. 5 10 12 13.4 14.3

X -2 - 1 . 8 - 1 . 6 - 1 . 4 - 1 . 2 -1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2y 15 14 .8 14 .4 13 .8 13 12 11

10.8 .9 7 .9

X 0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1. 2 1- 4 1 .6 1 .8 2

y 7 6 . 3 5 .8 5. 5 5. 6 6 6 .8 8 9 .8 12 15

Según la escala sugerida trazamos la gráfica de la función, de

donde obtenemos:

167

1 I.a raíz de la función es aproximadamente: x=3.6

di Al estudiar las leyes de dispersión de la metralla (en la

teoría balística del tiro) es necesario construir la grá

l'irn de la función y=e*cos a, e=2.718. Efectuar esta operación

(1 ni*m A=2, dando a a los valores desde 0o hasta 90° con interva-

lo 1I0 5°. El cálculo debe ser efectuado con exactitud hasta 0.01

•fución. Para A = 2 y=e2o0S a

Construimos la siguiente tabla de valores con una pre

InIón hasta 0.01.

a 0o 5° 10° 15° O

. O cv 2 5°

O O OA 35° 40°

7 .39 7 .33 7 . 2 8 6. 89 6. 52 6 .07 5 .54 4 .96 4.34

n 45° 50° 55° 60° ■ 65 ° 70° 75° 80° 85° 90°

3 .70 3 .06 •2. 53 1. 85 1.32 0. 87 0 .49 0 .22 0 .05 1

instrucción de la gráfica se deja como ejercicio. Usar papel

iImntrado.


Sean dados tres puntos Mj(1,8), M 2O . 6 ), M 3 (9,3). Trazar

la parábola y=ax2+bx+c que atraviese estos tres puntos. Ha

llar las raíces de la función ax 2+bx+c. La exactitud del cálculo

Si.. h uí <>: P rob lem as d e c álcu lo 129

’i» tulo cortado? La exactitud del cálculo debe ser 0.01.

' turión. Sea x el lado del cuadrado recortado.

Es evidente que xe<0,15>

debe ser 0 .0 1 .

Solución. Sea la función: f(x)= ax2+bx+c

Si M 1(1,8)ef + 8 = a+b+c (1)

M2 (5,6)ef 6 = 25a+5b+c (2)

M s(9,3)ef + 3 = 81a+9b+c (3)

Resolviendo el sistema obtenemos: a=1/32 = 0.0312

b=5/l6 = 0.3125

c=267/32 = 8.3440

/. y = (2 6 710 xx2) ó y = 0.0312x20.3125x+8.344

Los coeficientes han sido calculados con una exactitud de 0.0001.

Construimos una tabla de valores, hallando las ordenadas con una

exactitud de 0 .0 1 .

x - 2 0 - 1 5 - 1 0 5 0 1 5 9 10

y 2 . 1 0 6 8. 34 8.. 81 8.34 8 6 3 2.21

XJ22.09 y x 2=12.09

T7íl Una lámina de hojalata de 30x30 cm2 ha de servir para fa-

bricar una caja de 1600 cm 3 de capacidad, recortando de e

11a cuadrados iguales'. Cuánto debe medir el lado x de cada cua

1 h liase B de la caja tiene por lado

£=302x

ti1 li x es la altura de la caja, en

1 "a: V=B*h=£2h * 1600=4(15x)2x

!■ ilonde: x 330x2+225x400=0 (1)

nn la función: y=x330x2+225x400

l.nu raíces de (1) son los ceros de

111 función en xe<0,15>. Entonces vea

mu¡1 para qué valores de x la función

i' ninbia de signo.

f!l x=1 y=130+225400 = 204

x=2 »• y=8120+ 450400= 62 1Cambia de

x = 3 >• y=27270+675400=32 J

X I I *> y=64480+900400=100

x=7 >• y=3431470+1575400 = 48¡> Cambia

x = 8 y=5121900+1800400 = - 3 J

Luogo, la primera raíz, x i £ < 2 . 3 > , y la segunda

A hora, si x=2.5 * y=15.625187.50+562.50400

x=7. 8

x = 7 . 9

"9.37

<=2.6 + y=17.576202.8+585400 = 0.22

x 1=2.61

► y = 474.5521825.20+1755400 = 435

► y = 493.0391872.30+1777.50400 = 1.76

/. X 2-1. 87

Comprobar lo siguiente: si en la ecuación x ‘*+px2+qx+s = 0 p_o

y, dicha ecuación será sustituida por el sistema:neaos x

donde: y0

{ 2x -y(yyo)2+(xx0)2=r2

= ■!=£2 x 0 = . a r 2 = yo+Xo£

Valiéndose de este procedimiento, resolver gráficamente la ecua

"n x l*3x28x29=0. La exactitud del cálculo debe ser 0.1.

'in/iJtoiación. En efecto, restando y sumando x2 a la ecuación dada se tiene:


(x*+px2x 2) + (x2+qx) = s

En el primer paréntesis hacemos: x =y

íy2(1p)y]+(x2+qx) = s

h uí (< Problemas de cálculo 131

e!■ • 1 liando las potencias indicadas y agrupando términos obtene

■"« 1

« 1 '1 (/,h + a)x1 3+(6h 2 +3 ah + b)x|2+(4h ,+3ah 2 +2bh + c)x, + (h1, + ah> + bh 2 + ch+

1

Completando cudrados para ambas variables se tiene:

y2(1p )y+ (^ )2 + x2+qx+(f)2 = (^E )2+(|)2s

♦ (y - ^ ) 2 + ( x + § ) 2 = ( ^ E ) 2 + ( § ) 2 - a

Haciendo: y 0 = , Xo = | , r2 = yf+xjjsObtenemos: (yyo)2+ ( x - x o)2 = r2

En la ecuación x ‘*3x28x29 = 0, tenemos: p=3, q = 8 , s=29

r2 = 4+16+29 = 49

Sustituyéndola por el sistema:

(y2)2+(x4)2=49

Trazamos las gráficas de la pará

bola y la circunferencia de cen-

tro C(4,2) y radio r=7. Ambas se

intersectan en los puntos de abs.

cisa: xi=2.3.y X2= 3

que son las raíces reales de la

ecuación propuesta. Las otras dos

raíces son imaginarias.

Utilizando el procedimiento del ejercicio 171 demostrar lo

siguiente: al efectuar un cambio complementario de la vari

able x=xl+h, las raíces reales de la ecuación de cuarto grado

x'* + ax3+bx2 + ex+d=0 pueden ser halladas gráficamente encontrando

los puntos de una cierta circunferencia con la parábola y=x2.

Valiéndose de este procedimiento resolver gráficamente la ecua-

ción xi, +1 . 2 x 3 - 2 2 x 2 - 3 9 x + 3 1 = 0 . La exactitud del cálculo debe ser

0 . 1.

Solución. En efecto, sustituyendo x=x'+h en la ecuación dada se

tiene:(x,+h)‘, + a(x,+h) 3 + b( xl+h)2 + c(x'+h)+d=0

172

+ d )= 0 (1)

A1,iit rimos el término en x ' 3 haciendo: 4h+a =0 ■* h=a/ 4

intuyendo en (1) resulta:

1 ' t (b a2 )x1 2+ (ga3 ^ab+c )x1 j? |ac + d = 0

(tiiunclón de la forman x 1 l*+ax1 2 +6x !+y = 0I 1 acudiendo como en el ejercicio 171 se tiene:

(x1 l|+ax 1 2x 1 2 ) + (xl2+Bx']t = y

II >ii'l undo x |2=y'[y'2(1a)y 'J + (x,2+ x 1) = y

1'• ■ ni]•Letando los cuadrados para ambas variables se tiene:

y'2( 1a)y' + (lfS)2+ x'2+B x'+(f )2 = y + ( ± ? ) 2 + ( § ) 2

(y' - ^ ) 2 + (x* + | ) 2 = r 2 (2 )

i,1 la ecuación de una circunferencia, en donde:

" b * I a2 • B= b 3~ b h+c ’ 7= ■ ifs + t t * ~k + d *

r2 = ( l ^ )2 + (|)2y (3)

.I x“ + | x 322x239x+31=0 *• a=6/5, b=22, c=39 y d=31

'.iimtituyendo en las igualdades (3 ) obtenemos:

a=2 2.54 , 6=25.6 , y=41 , r2 = 2 6 2 + r= 1ó . 2

I.tingo, en (2 ), la ecuación de la circunferencia es:

(y1 11.8)2 + (x'12.8)2

Kn el sistema X'O'X' trazamos

las gráficas de la parábola

y'=x ' 2 y la circunferencia de

(.•entro 0 (1 2.8,1 1 .8) y radio

i' = T6.2, y vemos que ambas seinterceptan, aproximadamente,

on los puntos de abscisas:

xJ=3 .3 , xJ= 2 .6 , xJ=0 .9 y

xj=5.1. Dado que x=x'+h y h=

•< sea h=0 .3 , entonces:

xi=3.6, x 2=2.9, x 3=0.6, xii=4.8

non las raíces de la acuación original.


Hallar gráficamente las raíces de la ecuación exSenx=1, e=

2.718, comprendidas entre 0 y 10. Indicar la fórmula gene-

ral aproximada para los valores de las raíces restantes. La exacLÍMITE Y

CONTINUIDAD

titud del cálculo ha de.ser 0.01.

Solución. Si e Senx=1 ■<+ e

Sean las funciones: y=e

Ya

= Cosecxx y=Co secx

Trazando las graficas de

'antas funciones en el in-tervalo <0,10>, vemos q'

se interceptan en los pun

tos de abscisa: xi=0.59,

x.2=3.10, x 3=6.29, xi,= 9.43

Estos valores son las raí

ces aproximadas de la e

cuación dada.

Como 2tr = 6.28 y 3^=9.42;

entonces podemos escribir:

xs=2tt y xt,- 3v con una á

proximación de 0.01.En consecuencia, la fórmula general aproximada para los valores

de las raíces restantes es:

x = Trn , n>2

Resolver gráficamente el sistema:

x+y2=1 , l6x2+y=4

Rp. (0.57,1>26), (0.42,1.19), (0.46,0.74), (0.54,0.68)

1¡¥| Construir la gráfica de la función (en el sistema de coor-

denadas polares) para los valores del ángulo polar 0 con

el paso igual a tt/12.

(1) r=a9 (espiral de Arqúímides)

(2) r=a/0 (espiral hipperbólica)

(3) r=ea® (espiral logarítmica)

(5) r=aCos20 (rosa de 2 pétalos)

(4) r = aSen30 (rosa de 3 pét. ,

(6) r=a(1Cos8) (cardiode)

Efectuar los cálculos con exactitud hasta 0.01. Conviene ele

gir cualquier constante a>0.

CONTINUIDAD

DEFINICIONES PRINCIPALES&

I 1 FUNCIONES DE ARGUMENTO ENTERO

Dada una sucesión {un)=ui,u2, ...,u , se dice q'

el número L es el límite de la sucesión, o bien

lim u = Ln+co

«i i''ira cualquier e>0 existe un número K (que, en general, depen

• fi* do e), tal que:

|un L| < e , ¥n>N

"K'in esta definición diremos que la sucesión conve./ige a L.

Bfi" .úgnifica que, tomando L como punto medio del intervalo de

Ji ‘ii it,ud 2e, todos los términos de la sucesión, excepto un núme

f*■ ilaito de ellos, deben estar dentro de este intervalo.

¡* 2e ---------O — — — o

L- e L L+e

II 2.1 Si {unJ y son dos sucesiones convergentes ta-

les que: lim u =Li y lim v =L2, entonces:n -> oo n + > n

■■ 1 I tm (u ± v ) = Li ± L2>,►« n n

134 Capítulo 2: Límites y Continuidad

b) lim (u •v ) = L 1 .L2n - v a . n n

:) lim (£) = r 1 , si v ¡¿0 y L2f 0rx» n n

1mu I: Definiciones principales 135

í'nr tanto, en (1): |rn | < np

• 1 1 * 1 1 1fin que: — = ’(— )(— )■ y — = 0 , cuando n+<» — =0 cuando n+«>

TEOREMA2.2 El limite de una constante es la misma constante,

es decir, si un=k, ¥n, entonces:

lim u = lim k = knjoo n-+<x>

TEOREMA2.3 Si'{u }, {v } y {x } son tres sucesiones tales quev„,. n n " n

un ^ vn *n * ¥n >N * si

lim u = lim x = L *■ lim v = Ln*® n*°° n n*>®

demostración. En efecto,, si e>0, y como lim u =L , entonces sen - w o n

gún la definició 2 .1 ,

3Ni(e)>0/ Le<un <L+£ , ¥n>Ni(e) (1)

Además, lim x =L *■ 3N2 (e)>0/ Le<x <L + e , ¥n> N2 (e) (2)n+» n n

Si consideramos N(e)=max{N1 (e),N2 (e)} , ¥n>H(e) , de (1) y (2)

se tiene: Le<un^v n^xn<L+E , ¥n>N(e)

es decir, Le<vn<L+e ■<»• |"v L| < e , ¥h>N(e)

lim v = Ln>°°

Por ejemplo, lim(k í ) = 0 , pues: ^ 3 ?■!££ ^ i y lim(^)=0n~+c° n+°°

TEOREMA2.4 Si 0<|r|<1, entonces la sucesión {r } tiene por li-

mite cero, cuando n>°o.

Demostración. En efecto, si |r|<1, podemos escribir:

|r| = 'Y?p" • *P>°

Entonces: |rn0| = jrn | = --- — (1)(1 +p)n

Por el teorema del binomio: (1+p)n = 1+np+ ^ ^ ,~ p2 + .

1 „ 1

n• + P

Como cada término es positivo (1+p)n > np ----- — <(.1+p) np

i• ún el teorema 2 . 3 se concluye que |rn |>0 , o sea: rn +0

lim(rn ) = 0 , si 0<| r | < 1n*»

■ ■ n u i i n H i r f Una sucesión (u l se dice que es cr.ec¿ente, si se

cumple que: un < un+^, ¥neN

Una sucesión {un> se dice que es dec/iecie-nte. si

se cumple que: u^ > VneN

PROBLEMAS RESUELTOS

m La función de argumento entero toma los valores

u i = 0 . 9 , u 2 = 0 . 9 9 , U3=0. 9 9 9 , — , u n = 0 . 9 9 9 . . . 9 9 ,

n veces

i .| iió es igual lim(u )? Qué valor debe tener n para que el valorn**° n

ii 'iluto de la diferencia entre un y su límite no sea mayor que

> . 0,00 1 ?

fución. Si Ui = 0.9 ui = 1 yg

u 2 =0. 99 *■ u 2 =1 _ L _ 1 _ 1 •1 00 1 TcT7

• u 3 0.999 *■ u 3 =.1 1000 1 1Q

u„ = 0.999...9 + u — 1 — — !— n 1o

■ i'o, haciendo uso de los teoremas 2.1 y 2.A tenemos:lim(u ) = li m (1 — L) = lim( 1 ) lim(— !— ) = i_q = 1n **o° n*» 10 n-x° n*00 10

I u LI < e |1 1| < 0.000110x

— | < 10'^10n

1 0 ' n < 10- ¿ n= 4


mwfm La función u toma los valores■A 1 B n

u i=1 t u 2= 1/ A * u 3= 1/9 » • • • • t u^ —1/n

Hallar lim(u ). Qué valor debe tener n para que la diferencia enn**> n

i mu I: Definiciones principales 137

iiu os, si n=2k+1, keN *• L = £ = 0

i.i n par: Co s (n7r/2) =1 ó Cos(mr/2) = 1

. . (i, si n=2k , keN + L = ~ = 0

tre uR y su límite sea menor que un número dado positivo,e?

Solución. Por el teorema 2.4: lim(u ) = lim(1/n2) = “ = 0n*00 n*»

Si I- 2 oí < e ** n 2 > 7 <* n > — — In | /l

ET77I Demostrar que u = nru tiende a 1 al crecer n en forma lin n+t

mitada. A partir de qué valor de n el valorabsoluto de la

diferencia entre un y 1 no es mayor que 10 **?

de.mostn.aci6n. En efecto, consideremos la diferencia: u 1

n1 1 _ 2n+1 n+1

Valorando su magnitud absoluta, según la definición 2.1,tenemos

IÜT 1 = 'ñTT + "ñTT_< e ‘

+* n > | 1 = N( e)

Así, para cada número positivo e sepuedeencontrar un número

N = — 1 tal, que si n>N se cumpla ladesigualdad (a). Por tan-

to, el número 1 es el límite de la sucesión: un = 2pj .

Si Iun11 < 10* + _|_ < _ M l > . 10^

'«*■ n > 200001 = 19999

Cf £l La función v toma los valores:■ m n

' Cos(tt/2) Costt „ _ Cos(3ti/2)Vi , V2 - 2 * V 3 — , ....

_ Cos (nír/2) Hallar lim(v ). Cuál debe ser el valor de nn n . „ ' nn+oo

para que el valor absoluto de la diferencia entre v^ y su límite

no sea mayor que 0.001? Toma la función v^ el valor de su propio

límite?

Soiución. Sea L = lim(v ) = lim Cos(nu/2_)_n>■<*> n nx» n

Vemos que para n impar: Cos(mr/2) = 0

.’. lim(v ) = 0n«0

di |vn0k0.001 + Cos(nTr/2) ^ 0>001 ^ n ^ i000Cos(mr/2)

i ii■ (¡ue: 0 < Cos(n7f/2) .$ 1 *• n 1000

»nitud de la función v^

caso de que n=2k+1, keN

Magnitud de la función vn toma el valor de su propio límite

n a El término general u^ de la sucesión: ui = 1./2 , U 2= 5/.£ ,2n *i

u 3= 7/8 , u i ,= 17/16 , ... , toma la forma — — , si n es un2n

2 +1 *mu ro impar, y — — si n es un número par. Hallar lim(u ). Cuál

2 n» n

11• •"• ser el valor de n para que la diferencia entre ufi y el va

i"r absoluto de su límite no sea mayor que 10"4, qUe un número

1 i In positivo e?

¡"fusión. Si n es un número impar entonces:

lim ?— l = lim( 1 ---i) = 1 1 = 1„ co 2P n— 2n

/ 1 "Im os un número par lim — — = lim(1 + —~) = 1

lim(u ) = 1n»>

1| ^ 10"4 + | ^ 1 1| ,< 10'4 | i| io‘42 2

■ l" nde: 2n >, 10 4 , pero como: 213 < 1o4 < 214 ( entonces:

2n >, 2^4 ++ n U

|unl|<e + 1 $ e 2n >;1

n/indo logaritmos de base 2 en ambos miembros obtenemos:

n í - l o g 2 ( 1 / e )


Q Q Demostrar que la sucesión un= 3^ 2+2" ’ a^ crecer n infinita

mente, tiende al límite igual a 4/3 creciendo de modo mono

tono. A partir de qué valor de n, la magnitud u^ no es mayor que

/1’ii I: D efiniciones principales 139

lurii determinar el caracter de u^ supongamos que:

. >/n 2 + a2 . /(n+1 )2 + a2'i n+1 n n +1

un número dado positivo £.

De.mo¿tn.ac¿6n. En efecto, según la definición 2.1 formamos la di.

4n2+1 4 _ 5ferencia: ^ +2 " 3 " * 9n‘ +6

Valorando su magnitud absoluta tendremos: < e

de donde: 9n2 > ; ~^e *■* n > j \j N(c)

De esta forma, para cada número e>0 se puede hallar un numero

H = 1 1 / ?6e tal> que si n>fj se cumpla la desigualdad (1 ).

¿n +1Por tanto, el número 4/3 es el límite de la sucesión un= ^n 2 +2

Si 3 * un « e + 3 ’ 3^ T 2 « e + 9 ^ * e

de donde: n >, / ¿E, si £<5 / 6

Demostrar que u =+ a tiene por límite 1, al crecer n

infinitamente. A partir de qué valor de ,n la magnitud

|1_u | no es mayor que un número dado positivo e? Qué caracter

tiene la variable u ? Es creciente o. decreciente.n

de.mo¿t/iaa¿6n. Vamos a probar que: lim— n = 1(1)n+oo '

~ A » • i /n2+a2nEn efecto, la diferencia: un1 = ---- ---

Según la definición 2._1, si lim(u )=1 3e>0/ |unl|<£, ¥n>Nn*» .---

+ |/n_2íaf.* | < e (2)

<*■ /n2+a 2 < n(£ + l) n > — --- = N(e)/e (2 + e)

Así, para cada número £>0 se puetie hallar un número N= ■ a ■/ e ( 2 + e )

tal, que n>N se cumple la desigualdad (2). Por tanto, se verifi-

ca la fórmula (1 ).

Æ 2?Si | 1 u | s E 7— s £, de donde: n >. . a n n /e(2+e)

•+ (n+1 )2(n2 + a2) > n 2 (n2+2n +1+a2) +* 2a2n+n2 > 0

¡ i ilosi'gualdad as válida VnEN y ¥a£R. Por tanto, según la défini

•lón 2.3, la sucesión u es decreciente.n

IMl. La función vn toma los valores de coeficientes binomialesvi=m , v2 = , v, = , ....

ÜL1 3 ^ ¿ n~1 , donde n es un entero positivo.

i' » l I at lim ( v ).n*“

“ íución. Sea L = lim(v ) = lim Lm~ n ~ 1 .?. = lim !n>œ n n»°o n ! n+°> n !

Unciendo n=m+1 , vemos que si n>“>, entonces, m+1*»

I.licito, L = lim ! = lim — — — (Pero 0! = 1 )m+<» (m + 1)! m«» (m+1 ) !

lim -- ---n+00 (m + 1 ) !.’. L = lim -- --- = 1 = 0

■ 1 l1 Demostrar que la sucesión: un=1+(l)n no tiene límite cuan

do n crece infinitamente.

!>>■ mo4tn.ac¿6n. Demostraremos el ejercicio a,uponiéndo que la suce

sión tiene límite LeR, tal que:

lim (u ) = L * ¥e>0, 3N>0/ 11 +(1 )nL |<e , Vn>?J n+»

+ £ < 1 + ( 1)nL < E

+ L-e < 1+(1)n < L+e , ¥n>N (e ) (1 )

•ni" LeR, entonces ocurre que: a) L=0 , b) L<0 , c) L>0Analicemos cada caso:

n) ::í L=0 y elegimos, en particular, e ^ I / 2, tenemos:

" \ < 1+(1)n < \ > VnENÍEj)

Si n es un número par * - < 2 <, lo cual es falso.

I') Si L<0 y elegimos e 2 = L, entonces, en (1):

140 Capítulo 2: Límites v Continuidad

2L < 1+(1)n < 0 , ¥n >N (e2)

Si n es un número par2L < 2 < 0 , lo cual es falso

c) Si L>0 y elegimos e¿=L,entonces, en (1) se tiene:

". ruin I: Definiciones principales 141

i Ü J Demostrar el teorema: Si la sucesión ui,u2, ...,u y

vi,V 2,.••,v ,.. tienden al mismo límite común a, la suce

hi'm U|,vi,u2,v2> •••••u v tienden al mismo límite.

0 < 1 + ( D n < 2L , ¥n>N(e 3)

Si n es un número impar 0<0<2L , lo cual también es falso.

En consecuencia, no existe ningún número real L, tal que

lim(u )=L , es decir, la sucesión u ='1 + (1 ) no tiene límite, on-s-oo n

sea, un es divergente.

|y 23 Demostrar que al crecer n infinitamente la sucesión

2n + ( - 2 ✓ / 2n + ( -2 )nu = --- — — — no tiene límite, y la sucesión v = ---- n 2^ 3

si lo tiene. A qué es igual éste?

2n+(-2)n (-2)nDe.mo¿¿/iaci¿n, En efecto, u = ----- -------------- = 1 + - —

xi 2 2

un = 1 + (1 )n

En el ejercicio anterior ya se demostró que esta sucesión es di-

vergente, es decir, no tiene límite.

_ 2n+(2 )n/2 \n + / 2 ^nn " yi K 3

Si lim(vn ) _ L + ¥ e > 0 3 N>o/ |v L|<e , ¥n>Nn °° n

+ I ( | )n+ (" | ) n - Ll < e

Si n es unnúmero impar *■ | — L |<e *■ |L | <e

La desigualdad se se cumple para L=0

Si n es un número par +|2( )n L| < e

2(|)n L < e «*■ (|)n < (1)

de donde: n > log2/ 3(^p) . Si L=0 + n > log2/ 3(|) = N(e)

De esta forma, para cada e>0 se puede hallar un número N=log2 (|)3

tal, que n>N se cumpla la desigualdad (1).

Por tanto, L=0 es el límite de la sucesión v

(JJj Demostrar el teorema: si la sucesión ui,u2,...»u ,.. tien-

de al límite a, cualquier subsucesión suya (por ejemplo Uj

Ua.Us,.. ) tienden al mismo límite.

KE3 La sucesión Ui,u*,...,u ,.. tiene por límite a/0. Demostrar

que lim = 1. Qué se puede decir sobre este límite sin*» n

a=0 ? (Citar ejemplos). Rpta. Cuando a=0 este límite

puede ser igual a cualquier número o no existir.

1 2 FUNCIONES DE ARGUMENTO CONTINUO

G n n n a z B Sea y=f(x) una función definida en un intervalo

abierto I, que contiene al número a. Se dice que

* I I imite de f(x) es L, cuando x tiene hacia a, y se escribe:

l i m f ( x ) = Lx->-a

f Vi >0, 3ó>0/¥xeI, 0<|xa|<6 *■ |f(x)L|<e

C B S Sea f:<a,+°°><R una función y LeR, se dice que L

es el límite de f(x) cuando x tiende a +°°, y se

i Di' rl be

l i m f ( x ) = L.x ■*■+«>

fi y nólo si, dado e>0, existe N>0 tal que si x>N •> |f(x)L|<e

E H Sea f a>_>R una función y LeR, se dice que L

es el límite de f(x) cuando x tiende a <*>, y se

riba i

l i m f ( x ) = L

■ I , Mi'lo si, dado e>0, existe M>0, tal que si x<.H |f(x)L|<£


Estas, dos últimas definiciones se puede resumir en la siguiente

Sea í’:R‘>'R una funci°n tai tiue si i^m f(x)=L* en"

d d i ú ( d

■¡'ni I: D efiniciones principales 143

¡' u:¡ l, j tuyendo (2) y (3) en (1) se tiene: l|x2|<e + |x -2|<5e

i.'M'iro, dado E= 0.1, tomamos <5=min{ 1, 5e)

/. 5 = 5(0.1) = 0.5

t.onces, dado e>0 existe un número N>0 (que depen

de de e ) tal que sis |x |>N(e ) + |f(x)L|<e

PROBLEMAS RESUELTOS

Sea y=x2. Cuando x+2, y+4. Cuál debe ser el valor de 6 pa-ra que |x2|<6 dé por resultado |y- A 1<e=0.001?

So ¿lición. Según la definición 2.4. l ú x2 = A , entonces:x+2

¥e>0, 3ó>0/0< |x2 |<6 + !y4 I<e

Tenemos que: |y-A\= |x2A I = Ix+2|. | x2 | . (1)

Para un 6 i dado, con |x2|<ói, tomaremos 6 1 = 1 y. mayorar | x + 21,

buscando un número M>0 tal que |x+2|<M, para 0<|x2|<1.

Luego, si Si=1 + |x2|<1 1<x2<1+3<x+2<5

Por transitividad: 5<x+2<5 ** Ix + 21< 5 (2)

De (1) y (2) se sigue que: |x+2|. |x2| < 5Ix2 |

< 5Ix2| lx2| < | = 6i

Dado e=0.001, tomamos: ó=min{ 1,e/5). Luego, <5 = g(0.001)=0. 0002

x 2 1Sea y= • Para x+2, tenemos y+3/5 Cuál debe ser el va

lor de 6 para que |x21<6 dé por resultado |y3/5|<0.1 ?

= |x+2 x

| y - 3 / 5 | = - | |

Para un <5 j dado, con |x2 J < 6 x, tomamos 6 i = 1 y buscamos un número

Solución, Si lim(^TT^) = 5 ¥e>0> 36>°, tal <lue :

x_>' 2 0< | x- 2 | <6 + | y3/5 1 <e

'2 -i - ¿I = 3lííii.|x-2¡

51x2+1 |

(1)

M>0, tal que: — ¡Í L< M.51 x 2 +1 |

Luego, si: |x21< 1 ++ 1<x2<1 +*• 3<x+2<5 + |x+.2_|<5

+ 2 |x+2|<10 (2)

De otro lado, si 1<x<3 + 1<x2<9 1* 2<x2 + 1<10 **■ jx2 +1 |< 10

<-+ 5|x 2 + 1 ] <50 (3)

m m w b x1■ I')'* Sea y = 2fx+’l) * Para tenemos y+1 /A. Cuál debe ser el

valor de 5 para que |x3 I <6 dé por resultado || — y |<0.01 ?

X 1 1'■• ración. Si lim ---- _ = y , entonces, según la definición 2.A

x+3 2 (x+1) 4¥e>0, 35>0/0< |x3 I<<S + |y1/¿|<£

1 ' ■ ' « Si l - 1 ' ■ 7Ü Í Ti n I x3 I<6 i elegimos 6 i = 1 para mayorar el factor y bus

ir el número M>0 tal que ^|x + | J < M

i.n i.onces, si | x31 1 «*• 1<x3<1 <+ 3<x+1<5 <>■ 4 < — — < 5 x+1 3

r transitividad: 4 < — tt <!!<+ — 777 < i <*ti— ~rr < — = M3 x+1 3 |x+1 | 3 4I x+1112 "

i.nMgo, en (1): | x3 I < £ + | x3 | < 12e

I 'I £=0.01, tomamos: S=min{1,12e] + 6 = 12(0.01)=0.12

MEK1 Demostrar que Senx tiende a la unidad si x + tt/2. Qué con-

diciones debe satisfacer x en el entorno del punto x= 7í/ 2

I i que se verifique la desigualdad 1Senx<0.01?

ll'El Si x crece infinitamente, la función y = tiende a ce-

ro. lim(^r^7y)~0 . Cual debe ser el valor de N para que

l‘|>N dé por resultado y<£ ?

'‘ ilición. Según la definición 2.7, si lim (^r)=o", entonces:

x+co x 1dado £>0, 3N>0/ | x (>N + \~r^r 0j < e + — ¿rr < e

x + l x + 1

1 lionde: x 2 > ~ - 1 ++ | x | > ] J 1 . 1

i'n consecuencia, por transitividad: N 5. v T 1 , si £^1

g r.ra o • x21M lU x *■ «o, y ~ 2 .j 1. Cual debe ser el valor de N para


que |x|>N dé por resultado Iy— 1 |<e ?

x21Solución. Según la definición 2.7, si lira (---- ) = 1, entonces:

x-h» x2+3

dado e>0, 3N>0/|x|>N > 1 I < e

i•'/i Magn itudes infinitas 145

.Una función f se dice que es acotada ¿upe,nion-

me.ntc sobre un conjunto ScDom(f), si existe un

.. ero M tal que:

f(x) .< M , ¥xeS

dado e 0, 3 0/| | e' x2+3 I

de donde: | 1 < ’e *• j— > ■£ *■ x2 > 3x2+3l

x > 3 / F

Luego, si |x|>N y \x\> yj; 3 , por transítividad:

3 , si eíU/3

MAGNITUDES INFINITAS

CRITERIOS DE EXISTENCIA DEL LIMITE

8 3 B E 9 Una sucesión u^ es una magnitud muy grande, es

decir, diverge a °° y se denota lim(un)=<x> , si pan+oo

ra cualquier k>0 (generalmente de magnitud muy grande) es posi '

ble hallar un número N>0, que depende de k, Jal que:

u^ > k > 0 , ¥n>N(k)

Sea f una función definida en algún intervalo I

que contiene al número a, excepto a a, se dice

que limite de f(x) tiende a o° cuando x*a, y se denota:

lim f(x) = oo x+a

si para unnúmero cualquiera N>0, tan grande como se desee, exis

te 6>0, que depende de N, tal que si0 < |xa| < 6 *■ | f (x ) | > N ,VxeDom(f)

Si lim f(x) = ", entonces para cada número N>0,x-h»

existe un número M>0 tal que si xsDom(f) y

x > M ■* f (x) > M

C3ISB9 Una función f se dice que es acotada in¿e/LÍo/i-

me.ntc sobre un conjunto ScDom(f), si existe un

■m real m tal que:

f(x) 5 m , Vx eS

CZBSE1 Una función f se dice que es 'acotada sobre un

conjunto ScDom (f), si existe un número real M

i'i'iynr que cero, tal que:

|f(x) | M , ¥xeS

■• "i|uivalentemente, si existen números reales m y M tales que:

m í f(x) ^ M , ¥xeS

CHBSEBBES El ¿up/ie-mo de f sobre un conjunto S es el núme-

ro (si existe): Supf(x) = sup{f(x )/xeS}

m m m El intimo de f sobre un conjunto S es el número

(si existe): Inff(x) = inf{f(x)/xeS}

PROBLEMAS RESUELTOS

La función u toma lo.s valores: ui=3, U2=5. U3=7, ,.u =2n+1n n

Demostrar que u^ es una magnitud infinitamente grande cuan

■l'i n ■*■ “. A partir de qué valor de n la magnitud un se hace mayor

>l ue N?

i'cmoit/iación. Vamos a probar que: lim (2n + 1) = °°

n+“En efecto, según.la definición 2.8, ¥k>0, 3N>0/

i > k > 0 , ¥n>W + 2n+1 > k «» n >i 2

'lemos elegir N=k>0 * n >, ■ . De esta forma se ha probado q'

"n es una magnitud infinitamente grande, es decir: lim u = <*

magnitud u >N a partir de n > ^(N1).

196


Demostrar que el término general un de cualquier progresión

aritmética es una magnitud infinitamente grande cuando n**>

(Cuándo es positiva? Negativa?). Es válida esta aserción en el

caso de cualquier progresión geométrica?

ion ' Ma gnit ude s infin itas 147

■<íto, según la definición 2.9

¥N>0, 36>0/0<|x3 |<5 + > N

N>0 + 1^ 1 > N ** x3 ' X 1 1 ~ í <1

Vx

1 1K

Dcmo¿í/iac ión. En efecto, el término general de una P.A. es:

un=ui+(n1)d. Según la definición 2.8

si lim(u ) = oo ¥k>0, 3N>0/u > k > O , ¥n>Nn+°° n

Entonces: ui + (nl)d > k n > ^+du¡

Eligiendo N=k>0 + n > — — ■1, hemos demostrado que ufi es una

magnitud infinitamente grande, es positiva cuando d>0 y negativa

cuando d<0.• ' ' x - n " 1En una progresión geométrica: un = uir

Aplicando la definición 2.8: ujr > k ■* r“ ’ > — n1 . ^ „n1 „ k

Ul

+ n 1 > logr(fe')

Si k=N>0 >■ n > 1+l.ogr ( )

La aserción es válida sólo cuando |r|>1

Cuando x+0 tenemos y= + “ • Qu® condiciones debe satis

facer x para que se verifique la desigualdad J y | > 10 ** ?

S o ¿ación. Según la definición 2.9, si li m(^+2x) = “ , entonces:x+0 x

¥N>0, 3<5>0/0< |x0 |<6 •> > N

Luego, si 0< | x | < 6 + | | > n ■*-*■ ^ + 2 > N ó ^ + 2 < N

~ X ó X >

Como ¡ y | > 10 ** + N=10lf. Por tanto: o +2 < x < 10 ' 2

Denostrar que la función y = es infinitamente grande

cuando x*3. Cuál debe ser el valor de x para que la magni-

tud |v| sea mayor que 1000?

De.mo¿t/iación, Debemos probar que lim ( Xa) = <»x>3 x

1+N‘ N

<V

x1 1N

N

N1N

3X

. N + 1N

Ñ+f 4X < M

N1 (1) 3 < 3 < _JK .

’ N+1 J J N1 3 «*3

N + 1 < x3 < 3N1

I x3 1

l>:.i r i endo 6 = tAt ,hemos demostrado que lim (—^ 5 ) = =>JN I x .3 XJ

(I..11..1 | y | > 1000=N, en (1), obtenemos: K. x <

K ' M Cuando xM, la función y = ----- crece infinitamente. CuáJ(x1)2 -

debe ser el valor de 6 para que |x1|<6 dé por resultado

> n = 1 0 ?

•itinción. Si lim --- = °°, entonces:

x+1 (x1)2

¥N>0, 3 6>0/0< | je1 ¡<6 »■ f(x)>N

I.tingo, -- --- > N ■**■ (x1 ) 2 < i I x- 1 | < — — (x1)2 N /Ñ

::i 6 1/VfT , para »=10“ + 6 = 0.01

1 ■ -J

La función y = ---- es infinitamente grande para x*0. Qué2X1

desigualdades debe satisfacer x para que |yJ sea mayor que

1 00 ?

1 ^'" ¿.lición. Si lim (--- ) = ■», entonces:

x>0 2X1

¥N>0, 36>0/0<|x|<ó + |y|>N=100

,„„Eo, > N* |2X 1 | < ¡ 1 < 2 X- 1 < 1


H1 . x . H + 1N N

Tomando logaritmos de base 2 se tiene: log2(^^) < x < log2 '

Para N=100: log 20.99 < x < log 21.01

........... ' Ma gnit ude s in finit as 149

( I.m l'unción tangente no es acotada en todo su dominio, pues

i f(x)=Tgx, xeR {x= (2n+1 ) '} y S=|0,tt>, no existe los núme

»i>« mi y M tales que:

■i. f(x) M , ¥xeDom(S)

202. Para x»«1 tenemos, y=logx *• °°. Cuál debe ser el valor de M

para que x>M dé por resultado y>N=100?

Soíuciin, Según la definición 2.10, lim logx = <*>x-m °

Si x>M ■+■ logx > K ■<*• x > 10N

.‘. M >.. 10W = 10lo°

Cuáles de las principales funciones elementales son acota-

das en todo el dominio de su definición?

Solución, (1) La función Seno es acotada en todo su dominio. En

efecto, si f(x)=Senx, xeR y S=<0, 2ir> c Dom (f), se-

gún la definición 2.13, existe

números: m=1 y M=1 tales que:

1 í f (x) .$ 1 , ¥xeD(S) .

es decir, el conjunto de imáge-

nes f(S) es acotado superiormen

te e inferiormente en todo su

dominio. Esto es, f(S)=[1,lJ,

donde: Supf(S)=Sup [1,1J=1 y

Inff(S)=inf £1, 1]=1

(2) La función Coseno es acotada en todo su dominio. En efecto,

si f(x)=Cosx, xeR y S=<0, 2tt> c Dom(f), según la definición 2.

13, existe los números m=1 y

M=1 tales que:

1 f(x) ^ 1 , ¥xeDom(S)

El conjunto de imágenes f(S)=

[1,1] es acotado superiormen

te e inferiormente en todo el

dominio de f, esto es:

Supf(S) = sup[1,1] = 1

Inff(S)=inf[1, 1]=1

> J

Lr, el conjunto de imágenes

H ) no está acotado superiormente

■ I n l'nriormente, ya que la función

. t,á definida en x=ir/2eS

() I ni! funciones Cotangente, Secante y Cosecante no son acota-

ría en todo sú dominio.

('■i Todas'las funciones trigonométricas inversas son acotadas en

iodo su dominio de definición. Veamos la función arcoSeno.

flt f(x)=arcSenx , xe£1,l] y

I 1,1J cDom(f), existen los núme

ni 7i/2 y K=7t/2 tales que:

■ ¡i í f(x) ^ | , ¥xeDom(S)

m dncir, el conjunto de imágenes

f(:!) es acotado superiormente e

i 'i i f Lormente en todo el dominio

•i• r. Esto es:

■ ni>r(S) = sup [-tt/2,tt/2] = tt/2

1ii [' r (S ) = inf [-tt/2, tt/2] = -tt/2

E 3 Demostrar que la función y =

je numérico.1+x

es acotada en todo el e

K, ¡i/iación. En efect®, como lim y = 0, la curva se extiende aX+oo

lolargo del eje X, es decir, su dominio es R. A

y^O, ¥x eF.. Eligiendo S=<<u,+«i> cDom(f) trazamos la gráfica

La función y vemos que:

x=0eS ■+■ y=0=m

x= 1 eS t=1/2 = M f

" go, existen los números m y M

> I o3 que: aSf(x).<;M , ¥xeDom(S)


Es acotada la función y = en todo el eje numérico? SeW x 5

ría acotada en el intervalo <0,“>?

Solución. La función no está definida en x=1, pues lim (y) = “, , „ . ✓ x+1

es decir, la fu nc un

i n'in 2: Magnitudes infinitas 151

n una sucesión x para la cual y >•“).

) :'erá infinitamente grandes estas funciones?

! ■) Construir sus gráficas.

mu it/iación. En efecto, sean f(x)=xSenx y g(x)=xCosx.

es decir, la fu nc un

es infinitamente grande en x=1,

luego, no existen los números m

y M tales que:

m .< f(x) 4 M , ¥xeR

En consecuencia, la función no

es acotada en todo el eje numé-

rico .

Si S=<0,+“>>, existen los núme-

ros: m=0 (para x=0 *■ y=0)

M=í/2 (para x = 1 y=1/2)

tales que:

m 4- f (x) ^ M , xeS

Por lo tanto, la función si es acotada en el intervalo <0,+°°>.

0

■4Ü J Es acotada la función y=logSenx en todo su dominio de exis

tencia? La misma pregunta sobre la función y=logCosx.

Solución. Si y=logSenx *• 9y +*■ 0<Senx$1 ^

x e <0, h >

Como limf(x) = linf(x) = » , la funciónx+O X+7T

crece y decrece sin cota en x = 0 y x =tt,

es decir, no existen los números m y M

tales que: m f f (x) .< M , Vx eScD (f )

Si y=logCosx. ■* 3y ■*-* 0*<Cosx$1

-*-*■ x e [0,tt/2>

Como lim f(x) = , la funciónx +tt/2

decrece sin cota en x=ir/2, por lo

tanto, dicha función no está aco-

tada en S= IjD,tt/2> e Dom (f)

207 (1) Demostrar que las funciones y=xSenx e y=xCosx no son a

cotadas cuando. x«° (Indicar para cada una de ellas, por

y g

Dado que: 1$Senx^1 y 1í¡Cosx$1 , -VxeR, entonces:

I ni f(x) = lim g(x) = °°. Luego, según la definición 2.10x«o

VH>0 , 3M>0/ xeDom(f) y x>M *• M>f(x)

i ', según la definición 2.13, f es acotada sobre ScDom('f) siiM>0/|f(x)|<M , ¥x eS.

'r tanto, la función f(x) no es acotada cuando x*«>. Del mismo,

"•'lo se demuestra que g(x) no es acotada cuando x««,

ir:i la función y=xSenx: si Xo=ir/2 ■ ■+ y0=Tr/2

x i =tt/2 + 2 w + yi=7r/2 + 2u

x = + 2irn *•n ¿ yn = 2 + 2irn , nzZ

ili.mrve que: lim(y )n+“> n

mismo modo se determina xn=2wn para la función y=xCosx.') Las funciones f y g no son infinitamente grandes, pues no e

xiste un número finito x=a para el cual limf(x) = limg(x)= *x*a

0 Gráficas:

x+a


Rftl Construir las gráficas de las funciones f(x)=2xSenx y

f(x)=2_xSenX. Para cada una de estas funciones indicar dos

sucesiones x y x 1 dé los valores de x tales que: lim f(x)= yn n n*»

, mi i 2: Magnitudes infinitas 153

I,migo, si n>N y n> ( ^ N = ^(/5 + 1), con lo cual queda pro

I ni ilo que lim(u )=0 , y por lo tanto,, u es infinitesimal cuandon+co n

lim f(x')=0nw>

ETíTl Para qué valores de a la función y=axSenx no es acotada

cuando x*+°° (x+°°)?

Solución. Consideremos los sigiuentes casos:

(1) Si 0<a<1, según el Teorema 2.4

cuando x>+“ , entonces ax»0

cuando x*°° , entonces ax+“>

La función no es acotada, tampoco es infinitamente grande,

puesto que 1$Senx^1 , ¥xeR.

(2) Si a=1, la función toma la forma y=Senx, que como ya sabe-

mos es acotada en todo su'dominio.

(3) Si a> 1, cuando x*+“ , entonces ax+“>, la función no es acota

da (tampoco es infinitamente grande). Cuando x*~o° ,enton-

ces ax>0.

Será infinitamente grande la función no acotada:

(1) f(x) = “Cos(^) , para x*0 Rp. No

(2) f(x) = xarcTgx , para x*» Rp. Si

(3) f(x) = 2xarcSen(Senx) , para x*+“ Rp. No

(4) f(x), = (2+Senx)logx , para X++" Rp. Si

(5) f(x) = (1+Senx)logx , para x++“> Rp. No

Wiim La función u toma los valores:Ul=2 , U2 =3/4 , Us = 4/ 9 , ■ ■ • Un = ^'i , ...

Demostrar que u es infinitesimal cuando n*°°.^ n

de.mo¿t/iación. En efecto, si lim(u ) = 0, entonces,n+°°

dado un e>0, 3N>0/si n>N |un~L|<e

in+1 „i _ n+1 , _ .. n2 _ .. _ ^ r/5+1\

1I La función,u toma valores: ui=7, U 2 = 1/2, u3=1/27, ui,=

n on2 _ o

...., Ujj = — ¿p — , ... Demostrar que u^ es infinitesimal

cuando n+co.

I 1 H Demostrar que y = *■ 0 cuando x 0. Qué condiciones

debe satisfacer x para que se verifique la desigualdad:

y 1 0 - ?

/>• ■ 'st/iación. En efecto, si lim (— tt) = 0 , entonces:x+0 x+ '

3S>0/0< |x01<6 + 0 | < e(Def.2.4)

I >>..,/(>, si IX I < 6 + |~f I < e *->■ — LiL < e (1)x ' ¡x+1 |

6'mho la función presenta una asíntota en x=1, y se está traba

)mulo con los valores de x próximos

•i i 1 ■ro (x 0); para mayorar el fac

1x + 1

de (1), debemos tomar unO

y|r1 'i fin de que la asíntota x=1 1 0

i'iit.é en el intervalo <1,0>.

> ndo 6i = 1/2 •* ¡ x | < 1/2 <>■ — < x < ^ ■*-+ ~ < x+1 <

2 1 0 , 1 i 03 < T ñ K 2 ^ •I7 +1 1 < 2

Itni i I l.uyendo en (1): 2 1 x | < e |x| < e/2 = 6j

|t i* min{ 1/2, e/2> y 0<|x|<6 l^pjl < e

fi i hallar las condiciones que debe satisfacer x de modo que seMr ir iqu e la desigualdad | y | < 10~ *•, partimos de:

“ 1 < e ~ e < xTT < ■ “ 1 < *± 1

X“ .

Cuál debe ser el valor de N para que y<e cuando x>N? .

Demo-iiyiaciin. En efecto, si lim (/x+1/x) = 0 , entonces:

Dado e>0 , 3N>0/x>H *• |/x+í/í| < £ ' (Def. 2.7)

. ion J: Funciones continuas 155

& FUNCIONES CONTINUAS

Sea f una función definida en el intervalo <a,c>

Dado e>0 , 3N>0/x>H |/x+í /í| < £ (Def. 2.7)

-*■ i/x+1 < E+/x

Elevando al cuadrado: x+1 < e 2+2e/x+x

* ^ > U 2Í x > (1 )2

Si x>N *• N >, f1# » ’

Demostrar que si la función f(x) tiene por límite a para

X»00, 1 a función f(x) es susceptible de ser representada en

forma de la suma f(x)=a+g(x), donde g(x) es infinitesimal para

x+ro.

Presentar en forma de suma las siguientes funciones:

y3(1) y = x (2) y = f

t 1x2(3) y = --- -

x 31 2x +1 1+x2

¡}e.mo-it/iaci6n. En efecto, si lim f(x) = a , entonces:

xw°dado £>0 , 3N>0/x >N *• |f(x)a| < E (Def. 2. 7)

Si escribimos: f(xj = a+g(x) + lim f(x) = lim |a+g(x)|X*>co X"*’00

Entonces, dado e>0, 3N>0/x>N *■ | a+g(x) a| < £ *■ |g(x)|<E (1)

Pero como g(x) es infinitesimal, esto es: lim g(x) = 0xwo

Entonces, dado e>0 , 3K>0/x>N I g(x) 0 1 < £ » |g(X) |< £ (2)

De (1) y (2)’ se'deduce que: lini |a+g(x)| = aX+co

f(x) = a + g(x)

(1) y = x3

_ x 31+1 _ 1 + 1

x 31 X 3 1 X 3 1

(2) y= x2 = 2x2 _ 2x2 +11 = I +1

2x2 + 1 2(2x 2 +1 ) 2 (2x2 + 1) 2 2(2x2 + 1)

(3 ) y = 1~x2 = ( 1+x 2 ) + 2 _ _ 1 +x 2 +2 _ _ 1 +2

1+x2 1+x2 1+x2 1+x2 1+x2

el límite dé f(x) cuando x+a por la derecha es

I. y oe denota:

lim f (x) = Lx+a

ni ilndo £>0, 3ó>0/a<xa<6 |f(x)L|<£, ¥x£<a,c>

Sea f una función definida en el intervalo <c,a>

el límite de f(x) cuando x+a por la izquierda

mi I. y se denota: .

1 i m _ f (x ) = Mx+a"

ni .lado e>0, 36>0/6<xa<0 *■ |f (x) — M | < e, ¥x£<c,a>

II OREMA2.5 El límite de una función en el punto a, existe, si

y sólo si existen los límites laterales y son igua

Ii d, esto es:lim f(x) = L + lim+f(x) = L y lim_f(x) = L

Si n es un número positivo cualquiera, entonces

a) lim, (—i) = +“>x+0 xn

■5 ) iim (— ) = / n es un n^mero imparx+0 xn L+» , si n es un número par

Una función f(x) se dice que es continua en un

punto x=a si y sólo si, se satisfacen las tresn udiciones siguientes:

i) Existe f(a), es decir, f está definida en x=a

ii) Existe el lim f(x)x+a

iii) f(a) = lim f(x)x+a


Si una de estas tres condiciones no se cumplen para el punto x=a>

se dice que la función f no es continua en a o que f es d¿¿coní¿

nua en a.

"" i I: Funciones continuas 157

EE3 Los radios de las bases de tres cilindros superpuestos mi-

den 3, 2 y 1m, respectivamente. La altura de cada uno de

|nw t,res cilindros es igual a 5m. Expresar .el área de la sección

|i'universal del cuerpo engendrado como función de ladistancia

Iun mndia entre la sección y la base inferior del cilindro que o

PROBLEMAS RESUELTOS

f(x) =

La función f está definida de la manera siguiente:

' 0 , para x<0

x , para CUx<1

x 2+4x2 , para "Ux<3

4x , para x^3

Es esta función continua?

Solución. Según la definición 2.19, analicemos d* continuidad

de la función en los puntos x=0, x=1 y x=3*

Para x=0: i) Si f(x)=x + f(0)=0 , existe

ii) Si f(x)=0 + lim f(x) = 0x+0“

Si f(x )=x + lim.f(x) = 0

x+0

+ lim f(x)=0, existex+0

ii i) f(0) = lim f(x)x+0

.’. f es continua en x=0

Para x=1 : i) Si f(x)=x2+4x2 + f ( 1) = 1 +42=1 , existe

ii) Si f(x)=x + lim f(x)=1x+1*

f(x)=x2+4x2 + lim f(x)=1x+1

+ lim f(x) = 1, existex+1

iii) f (1) = lim f(x) = 1x+1

.". f es continua en x~1

Para x=3: i) Si f(x)=4x + f{3)=43=1 , existe

ii) Si f(x)=x2+4x2 + lim f(x)=1

x+3‘f(x)=4x + lim ,f(x) = 1

x+3

+ limf(x)=1, existex+3

iii) f(3) = lim f(x) = 1 f es continua en x=3x+3

En consecuencia, f es una función continua en todo su dominio de

definición.

u d a e t e a secc ó y a base e o de c d o que o

• > •11 r > la parte baja del cuerpo. Será esta función cpntinua? Cons

I iulr bu gráfica.

\i /lición. La sección transversal de cada

cilindro es un círculo de radioi , im , r 2=2m y r 3=1m

¡i I área de cada sección en función de la

illntancia x que media entre la sección y

lo buae inferior de cada cilindro es:

Î

í'i(x) = irr 2 = 9 r m 2,

f ,(x) =

f,(x) =

:> fntesis:

■nr

nr ¡

22 4ïï m 2,

TT m 2 ,

0ÍXÍ5

5<x^10

10<x$15 _L

r(x)97T

4 TT

7T

o ^ x ^ 5 .

5 < x 10

10 < x ^ 15

*i!i<' podemos observar en la gráfica,

> función es discontinua en x=5 y

>10 .

i'E'El Sea: f(x) == i"x+113a>

si x 1

ax* , si. x>1

Como debe ser elegido el número a para que la función f(x)

continua? Construir su' gráfica.

las condiciones de continui(ución. Según la definición 2.1Í

dad en el punto x=1 son:

l ) Si f(x)=x + 1 .+ f (1)=2

¡i) Si f(x)=3ax2 + lim f(x) = 3ax+1

En esta condición no se ha tomado límites laterales, dado

Que, por hipótesis, 1.a función es continua en x=1.

ii) Si f(1) = lim f(x) + 2=3a «+ a=1x+1


Construimos las gráficas de las fun-

ciones: fi(x)=x+1 , si x^1 (recta)

y fz(x)=3x2, si x>1 (parábola)

En la figura observamos que las grá-

ficas de las funciones fi y f2 se

■ión 3: Funciones continuas 159

E S En qué puntos sufren discontinuidades las funciones y=x2

e y ? Construir las gráficas de las dos.(x+2)2

' i'licar la diferencia en el comportamiento de esta funciones

‘"rea de los puntos de discontinuidad.

ficas de las funciones fi y f2 se

juntan en el punto x=1, lo que de-

muestra gráficamente la continuidad

de la función f.

^ ^ S e a : |2Senx , si x í ir/2

f(x) = ■< ASenx + B , si ir/2 < x < ti/2

I Cosx , si * ^ ti/2

Elegir los números A y B de tal modo que la función f(x) sea con

tinua. Construir su gráfica.

So ¿ación. Analicemos las condiciones de continuidad en los pun-

tos x =- tt/2 y x =7t/2

Para x =- tt/2: i) f(-ir/2) = 2Sen(7r/2) = 2 , existe.

ii) lim f(x) = lira (ASenx+B) = A+B

x+ïï/2x-*--

tt/2

iii) f(-n/ 2) = lim f(x)x +- it/2

A+B

Para x=+/2: i) f (tt/2) = CoS (tr/2) = 0

ii) lim f(x) = lim (ASenx + B) = A+Bx + tt/2 -x + it/2

iii) f (tt/2) = lim f(x) A+B = 0x+ir/2

P.esolviendo (1) y (2) obtenemos: A = 1 y B = 1

Por tanto: y.

2Senx , si x ^ - tt/ 2 o

(1)

(2)

rea de los puntos de discontinuidad.

'•'•lución. Las funciones dadas no están definidas en los puntos

x=2 y x=2 respectivamente, por tanto, safren discon

i i unidad en tales puntos.

t 1 >>i’/ir/i la función y = , tomando límites laterales en x=2 se’

I.; .me:1 1

i x>2 >• lim+(^ j) = — = + “ . La curva se extiende infinita-

mente en el semiplano superior.

1 1 "lim_(^3 p) = = » > . La curva se extiende infinita-

mente en el semiplano inferior.

x<2

x+2

x+2 0

.úiogamente para la función y

1

(x+2)2

= +00

= +oo

, tenemos:

I x>2 ■* lim ,f(x) =X + - 2 ( 0 T ) 2

x<2 ■*■ lim f(x) = --------- — x+2* (O)2

■i tanto, la función se extiende infinitamente sobre el senipla

. :;uperior en el entorno del punto x=2. Esto es, y>0, VxeR{2}

»Kl La función f(j■1

■1no esta definida para x=1. Cual de

be ser el valor de f(1) para que la función completada con

i... valor llegue a ser continua para x=1?

•fueión. Se debe verificar que: f(1) = lim f(x)x+1

160 Capitulo 2: Límites v Continuidad

x+1Esto es: f(1) = lim --(x + 1)(x: lL = li

x+1 (x1)(x2+x+1 ) x+1 x 2+x+1

Luego, la función completada se define como:

x 2 1f(x)

, si x/1

mu .i: Funciones continuas 161

Decir si es continua la función dada del modo siguiente:

I xlpara x^O , y=0 para x=0. Construir su gráfica.

( l i c i ó n . Por definición de valor absoluto sabemos que si:

x>0 + ¡x| x ■*+ y 1

f(x)

si X=1

Observáciones. (1) En los casos en que f(a) ^ lim f(x) y existex+a

el límite, la discontinuidad es de primer ge

ñero y se llama di-ic.oniinui.dad ncmovi i. le., e.uitaüle o iupe.n.a-

lle, Para tal efecto es suficiente redefinir la función f en

a,»de manera que, f(a) = lim f(x)x+a

(2) Si la discontinuidad es de 2do género, es decir, no es remo

vible se llama discontinuidad esencial o ine.uitai.le..

tTTM Qué género de discontinuidad sufren las funciones y = ■ ?. x

e y = para x=0?. Mostrar el caracter de las gráficas

de estas funciones en el entorno del punto x=0.

Solución. La función y = no está definida en x = 0, pero co .

lim (?) = 1, entonces la función puede redefinirsex+0

de la forma: f(0) = lim (§£22£) = ]x+1 x

Por tanto, la función y = tiene en x = 0 una discontinuidad

superable»

La función'y no está definida en x = 0, y como lim (— )x+0

^ = °°, no se puede redefinir f(0). Por tanto, dicha función pre-

senta una discontinuidad esencial o de 2do género para x=0.

x>0. + ¡x|=x ■*+ y = — = 1

x<0 I x | —x *+• y = - 1

Iih /;o, la regla de correspondencia de la función es

1 , si x>0

\ 1 , si x<0

0 , si x=0

i'muios las condiciones de continuidad:

l) f(0)=0 , existe (dato)

iI) Si x>0 + lim.f(x) = 1x+0

x<0 + lim f(x) = 1x+0

Como lim+f(x) ¿ lim_f(x) + ^lim f(x)x+0 x+0 x+0

Mi) Siendo f(0) i- lim f(x) , la función es discontinua en x=0.

x+0

Cuántos puntos de discontinuidad (y de qué género) tiene

la función y =

'fución. Si x>0

x<0

1

loglxl•? Construir su gráfica.

logx

1log(x)

lim f(x) = ^ = +oox+1+ U

*■ lim f(x) = i = +»x+1' u

Imi x=0,.logx no existe, la discontinuidad es removible.

l"t tanto, hay tres puntos de discontinuidad.

■ f(x) =

>x

162 Capítulo 2: Limite y Continuidad

La función y=arcTg(1/x) no está definida en el punto x=0.

Es posible completar la función f(x) en el punto x=0 de

tal modo que llegue a ser continua en este punto? Construir su

gráfica.

Solución Los límites laterales en el entorno x=0 son:

/1>ii 3: Fun cione s con tinuas 163

3 Construir la gráfica de la función f (x)=xSen(7r/x). Qué va-

lor debe tener la función f(0) para que la función f(x)

sea continua por todas partes?

i'urión. Los límites laterales de la función f en x=0 son:

lim.f(x) = lim ,xSen (tt/x ) 0. Sen(°>) = 0. (a) = 0

Solución. Los límites laterales en el entorno x=0 son:

lim,f(x) = lim,arcTg(l/x)x*0 x>0

arcTg(+°°) = tt/2

lim_f(x) = Jiin_arcTg(1/x) = arcTg(«°) = - tt/2

x*0 x»0

Como lim+f(x) i lim_f(x) + j<lim f(x) ji /2

x+0 x*0~ x>0 '

Por tanto, no es posible completar

la función dada en x=0.

Decir si es continua la función definida de la manera si-

guiente: f(x) =. Sen(ir/2x), para x/0 ; f ( 0 )=1

Construir la gráfica de esta función.

Solución. Veamos las condiciones de continuidad:

i) f(0) = 1 , existe (dato)

ii) lim,f(x) = li m, Sen(7r/2x) = Sen(+«=) = +a < 1x»0 x*0

lim_f(x) = lim Sen(7r/2x)x+O" x*0~

Sen(“>) = a >

Como lim.f(x) jí lim f(x)x*0 x+0"

^lim f(x)x*0

iii) Siendo f(0) ^ lim f(x) , la función f no es continua en x=0x+0

lim.f(x) lim , xSen (tt/x ) x*0 x*0

lim f(x) = lim xSen(Ti/x)x+0" x+0"

0. Sen( >) 0. (a) 0

O.Sen(<») = O.(a) = 0

'■onsecuencia: f(0) = lim f(x) = 0

Demostrar que la función y =1+2T7>

tiene discontinuidad

de primer género en el punto x=0. Construir de modo esque-

mático, la gráfica de esta función en el entorno del punto x=0.

moói/iación. En efecto, los límites laterales de la función en

el punto x=0 son:

1 i m ( :rrx+0 1+2

•) =1

limx+0" 1+2 17 :) =

1 + 2

1

1 + 2 '

= ¿ = 000

= 1 .

1+0

l’uBsto que, .lim.f(x) / lim_f(x)x +0 ' x*0~

i’omo ninguno de los límites laterales

':■ infinito, la función tiene discon

'inuidad de primer género en x=0.

164 Capítulo 2: Límite y Continuidad

Analizar el caracter de la discontinuidad de la función

y = 22 en el punto x=1. Se puede definir y, cuando

x=1, detal modo que la función llegue a sercontinuapara x=1?

Solución. Según la definición 2.18, los límites laterales de la

n ni 3. Fu ncio nes continu as 165

■m i'l intervalo -2£x 42 la función f(x) toma todos los valores,

■¡ii excepción, comprendido entre f(2) y f(2), y, sin embargo,

un discontinua (en qué punto precisamente?). Construir su gráfi

• ‘’I .

¡>. mo ói/iación. En efecto, por definición de valor absoluto sabe-

función y, en el punto x=1, son:

?(1/1x) 1/0“) j» 0lim, 2‘¿ = 2"¿ = 2" = 2 u = 1x"M

p(1/1x) p(1/0+) + »lim 2'¿ = 2"¿ = 2'¿ = 2"=0x+1"

Dado que, lim.f(x) / lim_f(x) ■+■ jílim f(x)x 1 x+1 x*1

En consecuencia, no se puede redefinir la función de modo que sea

continua en x=1.

Analizar el caracter de discontinuidad de la función:

21/x _iy = — zr-j--- en el punto x=0.

2 / x + 1

Solución. Haciendo uso de la definición 2.18, los límites late-

rales de la función y, en el punto x=0, son:

> \ 2 1/0 1 2"” 1 0 1 ,a) lim f(x) = --------- = ------ = --- = 1

x+0* 21/0 + 1 2‘” +1 0 + 1

Para.calcular el límite lateral por la derecha de 0,escribi

f(x) 2 -1

X

21/X +1 , 1/ x M , _ 12 ( 1 + fr:) 1 +

2T7x 2 i /x

•b) lim+f(x) = 1/2°° = 1 0

x+0T 1 + 1/2°° 1 + 0= 1

Dado que lim f(x) / lim.f(x) *• jílim f(x)x*0" x+0 x+0

Por lo tanto, la función tiene una discontinuidad esencial en el

punto x=0.

ka función f(x) está definida del modo siguiente:

+ i)

f(x) = (x+1).2 lx l x para x/0, y f(0)=0. Demostrar que

¡ / , p

mos que: si x^O ■* |x¡=x y si x<G + |x|=x

1 i .'o, en el intervalo 0<x<2, la función dada está definida por:

(— + 1)f,(x) = (x+1).2 x

un el intervalo 2<x<0:

( J + i)V X X

(x +1).2"2/x

f2 (x) = (x+1).2 A A = x+1

Kntunees, la regla de correspondencia

iiu La función es:

31 /x

I ( x ) = •

(x+1).2"

x+1

0

si 0<x^2

si 2^x<0

si x=0

íi .iLicemos las condiciones de continuidad en el punto x=0»

í) f(0) = 0 , existe por definición.

- 1/ 0 = (0+1).2 = 0.) lim.f(x) = (0+1).2x+0

lim f(x) = 0+1 = 1x+0"

Como lim.f(x) / lim f(x) + ^lim f(x)x>0 x+0” x+0

i I i) f(0) / lim f(x)x+0

.'. f(x) es discontinua en x=Ú.

Decir si es continua la función y

caracter de su gráfica.1+2

Tgx *Esclarecer el

•fución. Por trigonometría sabemos que la función tangente no

etá definida en los puntos x=(2k+1)^ , kgZ. Luego, a

11■■11 icemos las condiciones de continuidad de la función en x=ir/2.

) f(ir/2) = 1/(1+2°°) = 1/(1+°o) = 0 , existe

1___ _ 1I) lim , f (x) =Cf) + 1 +

= o

166 Capitulo 2: Límite y Continuidad

' 7 ^ ' ™ = 1

Siendo: lim ,f(x) lim_ f(x) ■* jílim 'f(x)x*(f) xif/ 2

Por lo tanto, la función es discontinua en x=ir/2

..•a I. I-unciones continuas 167

lim+ (x[x]) = nn = 0x+n

lim_(x.[x]) = n(n1 ) = 1x>n”

^lira f(x)x*n

Dado que, lim.f(x) j* lim_f(x)x+n x+n

En general, la gráfica de la función tiene discontinuidad esen-

cial o inevitable en los puntos x=(2k+1)^ , keZ.

g¡££g La función f está definida del modo siguiente: si x es unnumero racional, f(x)=0 ; si x es un número irracional,

f(x)=x. Para qué valor de x es continua esta función?

S o lución. La regla de correspondencia de la función es:

f(x ) _ i 0 , si x es un número racional

lx , si x es un número irracional

Un húmero racional es de la forma: ^ , b/0

y un número irracional es de la forma: , b/ 0

En ambos casos, si a=0 0esun número racional e irracional.

Luego: i) f(0) = 0 , existe

ii) lim £ (x) = lim (x) = 0x->-0 x+Q

iü) £(0 ) = lim f(x) f es continua en x=0x->-0

Para cualquier otro número irracional, por ejemplo, x=/2:

i) f(/2 ) = 0 , existe

ii) lim f(x) = lim (x;) = / 2 •> f(/2 ) / lim f(x)

x +/ 2 x*/5 x+/?

En consecuencia, cuando xj¿0, la función es discontinua.

K££l Decir si es continua la función y construir su gráfica:

(1 ) y = x[x] (2 ) y = — 7 — (3 ) y = (1 ) Mx W

Solución. Por la definicióndel número entero máximo no mayor

que x sabemos que si: Í M = n <► n x < n+1

QVQ = n 1 +»n1 ^ x < n

Respecto a las funciones dadas sus límites laterales en el punto

n son:

La función es discontinua cuando x es igual a un entero (po

uitivo o negativo) o a cero..

Luego, trazamos su gráfica en los intervalos siguientes.

■2<x< - 1 , [x] = - 2 > y = x +2

1¿x<0 , [x] = - 1 ■+ y = x+1

0<x< 1 , [x] = 0 > y = x

1jx<2

2^x<3

[x] = 1

[x] = 2

2 y

: 77777 .2 - 2 -1 o 1 2 3

[x]

y =y = x- 2

'lim+(— jrr) = — =x*n xjpcj nn

>x

lim_(--

x+n xLxJ)

jílim f(x)/ xrn

nn+1

La función es discontinua cuando x es igual a un numero

entero (positivo o negativo) o a cero. Considerando los in-tervalos del ejercicio (1 ) y teniendo en cuenta que la fun

,ción es asintotica cuando x=[x], obtenemos:

' 1

(x) = <

x+2

x +1

x X

1X 1

1x - 2

, si xe< 2 ,1>

, si xe < 1 ,0>

, si xe<0 ,1>

, si xe<1 ,2>

si xe<2,3>

3) y = (1)1 )W ,

Ü m +(1 )W »'(.i)“x>n

lim (1 ) M = (1 ) n " 1

Venos que sifn = número par *■ n - 1 = número impar

1 n = numero impar + n - 1 = numero pax

Entonces, los límites laterales son 1 y 1, luego,;no exis-

te el limf(x) cuando x»n. Por tanto, la función es disconti


nua cuando x es un número entero (positivo o negativo) o cero.

Luego, si:

2«x<1 , [x]=2 y=(1)

1$x<0 , [x]=1 + y= (1)“

0Sx< 1 , [x]=0 y= (1)°=

ion 3: Funciones continuas 169

C E I Valiéndose de las propiedades de las funciones continuas

comprobar que la ecuación x 33x=1 tiene, por lo menos, una

raíz comprendida entre 1 y 2.

\ ,• f nci¿n. Sea la función f(x)=x3

y sean: a=1 y b=2.

0Sx 1 , [x] 0 y ( 1)

14x<2 , [x] = 1 y = (1)1 =

2íx<3 , [x] =2 y=(1)2=1

TEOREMA 2.6 T e o r e m a d e l v a l o r i n t e r m e d i ot¿ ■■ : Oí _ _

Sea f:[a,b]*R y f continua sobre [afbj y ke[f(xi),

f(x2)] con xi,x2e[a,b]. Entonces keRan(f) y existe ce[xi,x2] o

ce[x2,xi] tal que k=f(c).

de.moitn.ac.i6a. En efecto,

supongamos que xi<x2,

como f es continua sobre £sl, t>] enton

ces Ran(f)={f(x)/xe[a,b]} es un in-

tervalo cerrado y acotado, es decir,

el conjunto de valores de la restric.

ción de f a Ixi,x2] es un intervalo

que contiene a f(xi) y f(x2) y, por

tanto, el punto k entre f(xi) y f(x2).

Así, existe una imagen c e [ x j , x 2 ] tal

que f(c)=k.

>x

TEOREMA 2.7 Teo rema de] ce ro .

Sea f:[a,b]*R y f continua sobre [a,bj y f(a).f(b)<0

Entonces existe re<a,b> tal que f(r)=0.

de.moAtn.ad 6n. En efecto,

si f(a) y f(b) difieren

en signo, entonces puede ocurrir que

f(b)<0<f(a) o que f(a)<0<f(b). Si se

hace que a, 0, b y r desempeñen el pa

peí de xi, k, x2 y c respectivamente,

en el teorema del valor intermedio,

queda demostrado.

l'niunces: f(a) =f(1) = 131 = 3

f(b)=f(2)=861 = 1

i >■ un i la función es continua en el

intervalo [1,2] y dado que:I ( !).f(2)<0, según el teorema 2.7,

n«Inte un punto re<1,2> tal que

l(r)0, o sea: r ’3r1=0

I,« solución gráfica de esta ecua

"i'ín da aproximadamente: r=1.88

3 Mostrar que: a) El polinomio de grado impar tiene por lo

menos, una raíz real; b) el polinomio de grado par tiene,

r lo menos, dos raíces reales, si toma, al menos, un valor cu

HÍgiio sea contrario del que tiene el coeficiente de su térmi

11o grado más elevado.AÍA-aciin, a) Sea el polinomio de grado impar: .

P(x) = a0xn + ajx11 + .... + a^

l'(xl) = aoXo + aix? + ... + a = x^(a0 + ~ i + ... + ~~)Ii X o Jl

mudo x0 +“» entonces:si ao<0

f P ( x 0 ) >0 ,

” | p (x o.)<0 ,

xo

absorberá todos .los términos negativos o positivos con

ixponente menor que n.

(xo) = a o ( > o) + a 1 (x o) ••• + a_na

= a0x0 + ajx0 + •• a = x0(a0 + — 1 ... + —— )n xo x o

,: Í P (- X\ p (-x

. i i v-a o) < 0 , si a„>0indo x0 ■* +“ , entonces: <¡ 0 0

c0) > 0 , si a0<0

¡ Xo absorberá todos los términos negativos y positivos con

mente menor que n.


Así, en cualquier caso,. P (xo) • P (xo) <0 y, según el teorema 2.7,

habrá por lo menos un re<xo,xo> tal que f(r)=0.

2¿2. Mostrar que la ecuación x.2x=1 tiene, por lo menos, una

raíz positiva no mayor que 1.

1ion 4: Operación d e hallar los límites 171

OPERACIÓN DE HALLAR LOS LIMITES

4.1 FUNCIONES DE ARGUMENTO ENTERO

De.mo¿tJiac¿6n, En efecto, sea f(x) = x.

que es continua VxeR.

Entonces: f(0) = 0.2°1 = 1

f (1) = 1.21 1. = 1Como f(0).f(1) = 1<0 , entonces por

el teorema del cero, queda probado

que existe una raíz re<0,1> tal que

f(r)=0.

243. Mostrar que la ecuación x=aSenx+b, donde 0<a<1, b>0 tiene,

por lo menos,, una raíz positiva siendo no mayor que b+a.

2UA- Mostrar que la ecuación a? + ■■— ?■■■ + ~ ?. = 0n x A1 x A2 x A 3

donde ai>0, a 2>0 , a3>0 y Ai<A2<A3 , tiene dos raíces rea-

les comprendidos en los intervalos <Ai,A2> y <A2,A3> .

(Sugerencia: Construir, de modo esquemático, la gráfica de la

función y = — §4" + " ? analizando su comporX - A i X —A 2 X - A 3 “

tamiento en los entornos de los puntos Ai,A2 y A3).

ITOREMA2.8 Se,an f y g , £uncione.¿ n.eale.¿ taleó que.:

lim f(x)=L y lim g(x)=M . Entonces:

x+a x+a■i lim (c) = c , c es una constante

x+a

ti) lim [cf(x)~| = cflim f(x)] = cLx+a x+a

■■) lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lin g(x) = L ± Mx+a x+a x+a

il) lim[f(x).g(x)J = lim f(x) . lim g(x) =L.Mx+a x+a x+a

x+a g(x)

IEOREMA2.9 Si lim f(x) = L , entonces:m m m x^a

lim ”/f(x) = y/lim f(x) = \/~L x+a x+a

,t L>0 y n cualquier entero positivo par o impar

I L<0 y n cualquier entero positivo impar.

tl;OREMA2.10 Sean f y g funciones definidas en <a,+“> y <b,+«>>,

respectivamente. Si lim f(x)=L y lim g(x)=M, entonx++t» x++°°

ces:

m ) lim [c.f(x)] = c.lim f(x) = c.L , c es una constante.x++°° ' x++°°

i i lim [f (x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = L ± MX++00 x++OT x++°°

r ) lim [f(x).g(x)] = lim f(x) . lim g(x) =L.MX++00 x++°° x++°°

limx++“

f(x)

g(x)

172 Capítulo 2: Límite v Continuidad

PROBLEMAS RESUELTOS

En los ejercicios 245287 hallar los límites.

h m , . ,nf 1 \lim b r )n *co

vi ion 4: Operación de ha llar los límites 173

'•■flición. Dividiendo el numerador y denominador entre n*, mayor

potencia de n, se tiene:

1000/n + 3/n 2 _ 0+0L = lim

n+» 0.001 100/n + 1/ n“ 0.0010+0

(n+1) “ (n1) 11

= 0

lim

n.co

Solución. Sea L = lim = lin (1 + ~)>co n~*co

Por el Teorema 2.10, se tiene:

L = lim (1) + lim ( ) = 1 + 0 = 1n -Mo n -**>

w m lim .lililí.2n*00 2n

Solución. Sea L = lim = 4 lim (1 + )2n .oo ¿ n n+co

* T 1(1 + — } 2 = ■ • L 2n »' 2

E n lim (n+1)S (n‘1)3n*<» (n+1)2 + (n1)2

Solución. Efectuando las operaciones indicadas se tiene:L = lim 2(3n2Í12 = lim (ialílj

n*° 2(n2 + 1) n2 + 1

Obsérvese que al sustituir el valor del argumento n, el límite

toma la forma no determinada ^ . Para obviar esta indeterminación

se divide el numerador y denominador entre n2 (mayor potencia de

n), y obtenemos:

L = lim t3 + = 3 A = 3n - «o ( 1 + 1 / n 2 ) 1 + 0

n3 100n2 +1WZlM lim

n+® 100n2+15n

Solución. Aquí dividimos el numerador y denominador entre n 3, ma' *yor potencia de n, entonces:

T ,. 1 100/n + 1/n3 1 0 + 0 1L = lim --------— --- — = ------ — = yr = ■»n+» 100/n + 15/n2 0 + 0 u

1000n3+3n2

n+°> 0.001n“ 100n3 +1lim

limn^00 (n+1) “ + (n1)

.fución. Dividiendo cada término del numerador y denominador

entre n “, se tiene:

L = lim

i) n

n+» (1 + M

_ (1+0) “(10) “

(1+0) “+(10)“

1-11 + 1

= o

lim(2n+1)“ (n1)1

n>°° (2n+1)“ + (n1)“

'c(ución. Dividimos cada término del límite entre n “ y obtenemos

d b-(2 + *)“L = lim

_ (2+ 0) (1 0 )“ = 15

n+oo (2 + — )1 (2+0)“+(10)1 17

limnx»

3/n3+2n1n+2

Sulución. Dado que n toma valores infinitamente grandes, enton-

ces, n= 3 , por tanto, se debe dividir el. numerador

y denominador entre n, esto es:

j ,. 3/l + 2/n2 1/h3 3/l + 0 0 ,L = lim ---- ----:---------- = ----------- = 1

n+“ 1 + 2/n 1 + 0

limn*”

3/^~hT

n+1

" fución. Dividiendo el numerador y denominador entre n='/n

se tiene:

L = lim .' ^ / n...Í J /A 1. = V & J J P =• on+oo 1 + 1/n 1 + 0

llm n)„:n+“> 3/n s + 1

174 Capitulo 2: Limite y Continuidad

Solución. Dividiendo el numerador y denominador entre n:

se tiene:

L = lim (/l + 1/n* + 1> = (/¡T° + = 4n+°> 3/i + 1/n6 3/í + 0

/

/ <m 4: Operación de hallar los limites 175

flfl lim ----- — nwo (n+1) ! n!

\ h(ación. Por definición de factorial se sabe que:

(n+1.)! =(n+1)n! . Entonces:

L = lim ----- — ----- = lim — — — = lim (— ) = 0n+0° (n+1)n! n! n*«> n! [ (n+1)l] n«» n

. . /n 32n2 + 1 + V n H 1lim --------------- - — — X X JU . . ------ ---- r ----------------------

nw V n 6+6ns+2 V n 7+3n3+1

Solución. Al dividir la mayor potencia de n, de la cantidad sub

radical, eritre el Índice del radical obtenemos:

En el numerador, | y ^ ; en el denominador: y

Como ¿ > | > ^ , se debe dividir el numerador y denominador en-

tre n3/2, mayor potencia de n, entonces:

/n32n2+1 + «/(nSl)

L = lim

2

9 / 6

n«¡, '*/n6 + 6n5+2 1 °/(n7+3n3 + 1)2

i«/* n15/ "

n*»ys s» * =»>*

. T = / 10+ 0 + 6/oíno )2 = 1

V 1+0+ 0 10/o(i+o+o)2

r r n "/TTi 3/ í 2Tl yWil lim — ._______ 7^~'

n+m 5/n‘*+2 >/n3 +1

Solución. Procediendo en forma similar al ejercicio anterior ve

raos que 3/2 es el mayor exponente de n, entonces:

“/n5 + 2 6/(n2 +1) 2 „/T7TT s/iíJ. + 1 \ 2

n 6/ ■+ n 9 / 6 v n n! v n na n ;L = lim ---2---------- S---- = iim

v7(n■*+1 )2 _ /^+i n+o0 /i + —

n : i s / i o n 3 / 2

= + 0 6/o(o+o) 2

l 0/0(1+0) 2 - /1+0

n+0 (n+1)n! n! n*«> n! [_(n+1)l] n«» n

(n+2)! + (n+1)!fTfl lim

n*“ (n + 3) !fución. Según la definición de factorial tenemos:

L = lim(n+2) (n+1)! + (n + 1)! = lim (n+1) ! [_(n + 2) + l]

n>«>(n + 3) (n + 2) (n+1) ! n+“> (n+1 )! (n + 3) (n+2)

■ ^ - °

lim (n+2)! + (n+1)!

n*» (n+2)! (n+1) !

w .lución. L = lim(^2) (n + 1)! tiíLtlIl=lim (n+1.l!. Jn*” (n+2) (n+1)! (n+1)! n»“ (n+1) ! [(n+2)1J

, . n+3 ■ 1 + 3/n 1 + 0= lim -t t * = li™ ----~ -------- — = 1n+0° n+«* 1 + 1/n 1 + 0

. 1 + 5 + 7 + ... + 1/2nl ( M lim ---- 3--- fÍP

n¡co 1 + j + 1 + ... + 1/3

i o(,ución. El numerador y denominador son sucesionesgeométricas

de razones 1/2 y 1/3 respectivamente. Haciendo uso de

I11 fórmula: S = — —í|j— í.— i , se tiene:

u_ = i a j í . m w > , 2 ( 1 J )

n 1 = 0 2 1 - 1 / 2 . 2 n

v = j ( l )1 - = ¿(1 . - 1 )n i=0 3 1 1/3 3n

ngo, lim u = 2(10) = 2 ; lira v = 2(10) = Jn>co 11 n°° ^

.'. L = i = A3/2 3


lira — <1 + 2 + 3 + ... + n)n

Solución. Recordemos que: l (i) = 1+2+3+ ...+n = ^(n+1)i = 0

+ L = lim §(n+1 ) = lim 1(1 + ;) = 4n+oo n+o>

1•"i 4: Operac ión de halla r los límites 177

('Mitificando coeficientes se tiene: AB=1 y A+B=0

r> donde: A=1/2 y B1/2

ii.onces: u = [ (a.) = f f---11___1i=1 1 1=1L2(211) 2 (2i+1)J

n+oo n+o>

lim (

n*00

1 + 2 + 3 + ... + n5+5 2

Solución. Según la fórmula anterior se tiene:

lim (n+co

L , u , . *1 .n*°> L n+2 J

.*. L = 1/2

1 2 + 3 4 + . . 2ni

n +1

llm 2 ^n+2 ‘ 2 llm^n+“ n+<» 1 +

' ”1 1 1 iii“ (i72 + 273 + --- + n'(n+1)5n>oo

Solución. Sea: an= T J = f + 77T * 1 = (n+1)A + B+ 1 = (A+B)n + A

Identificando coeficientes obtenemos: A=1 y B=

1 1+ an ~ n ” n+1

Según la propiedad: £ D? (i )F (i1 )J = F(n)F(0) ,i = 1

donde F(i) = rpj , se tiene:

,\ L '= lim(u„) = lim (~pj") = lim (n+oo n+“> ) = 1n+<» 1 + 1 /n

t ü J n+” \ y * + 375 + ” • • • + "(2n1)(2n+1)]

Solución. Sea an = (2n1)(2n + 1 ) = 2n^T + 2n+1

Entonces: 1 = A(2n+1) + B(2n1) = 2(A+B)n+(AB

---)2/n

Rp. 1

' - i ■

L- ’ ii: <?m> ■¡a<rrV■ íÍ'(M limnta. 2n + 1

'■ fución. L = lim — — ^ ~ ~ 1/2'1 _ 1 Q _

n+oo 2n (1 + 1/2n ) n+°° 1 + 1 /2n 1 + 0

n a Tim i_1/n -1n h» 2 1 /n +

1

•fución. Sustituyendo directamente n=«° , obtenemos

L = — ——— — = — I— 1 = o2° + 1 1 + 1

-I 2 FUNCIÓN DE ARGUMENTO CONTINUO

En los ejercicios 268304, hallar los límites.

Ü M lim x 2+5

x+2 x 23

fución. Sustituyendo el valor de la variable se tiene:

L = H I Í + Í = 1+5 = 9(2)23 43

E l lim ( ^ * ± 1 + 1)x+0

'■ fución. L = + 1 + 1 = i + 1 1

lüll 1S“ ^ iT^^ Rp » 271. lim __x2~3X + / I X - + X 2 +1

2n+1

1

Rp. 0


Observación. Al evaluar límites de funciones de argumento conti

nuo se presentan, con frecuencia, los siguientes

casos de indeterminación:

0“ 1 00 o

Para evitar tales indeterminaciones existen diversos procesos o

i'Ui 4: Operación de hallar los límites 179

tución. El límite toma la forma indeterminada t

L = lim(x1)(x+2)

limx+2 1 =

x+1 (x1) (x1) (x+1) x+1 (x -1)(x +1)

t u j 11. ( J ----- 2;)x+1 v1 x 1 — x /

p

artificios que se explican en la solución de los ejercicios que

siguen.

x22x+1WffM limx+1 . x 3x

Solución, Al sustituir el valor de la variable, el límite toma

la forma indeterminada . Para obviar esta dificul

tad debemos factorizar el numerador y denominador de modo que se

pueda eliminar el factor causante de la indeterminación, esto es

(x1) _ x1 _ 11lim = limx+1 x(x1) (x+1) x+1 x(x+1) 1(1+1)

= 0

limx+2

x +3x +2x

x 2x6

Solución, El límite del numerador y denominador es cero, e'nton

x(x + 2) (x+1) _ x(x + i;L = lim

x+2 (x+2)(x3)limx+2 x3

m i limX+1

Solución

(x -1)/2->

x 21

El límite toma la forma ^ ', entonces:

lim. (x1)/2x

x+1 (x+1)(x1)

8x31

limx+1

/2x

x+1

Wik 1 limx+1/2 6x25x+1

Solución. El límite del numerador y denominador es cero, enton

L = lim(2x 1) Ux 2 + 2x+1) 4x2+2x+1

x+1/2 (2x1)(3x1)limx+1/2 3x1

x2+x2lim ---------x+1 x 3-x 2-x+1

,1 ■(nción. En este caso el límite tiene la foriffa: <*>a>

Debemos efectuar las operaciones indicadas para tra

•m do eliminar el factor (x1), esto es:1+x+x23

L = limx+

im r..i+x+x2r.3_ _ i = iim r . (x1 ) (x+2 ) i

+1 L(1x)(1+x+x2)J x+1 L(x 1 )(x2+x+1 )J

x+2limx+1 x 2 +x+1

= -1

17 71 lim í _ 1 — --- 1 — 1x+2 J_x(x2)2 x 23x + 2j

. inción. El límite toma la forma indeterminada: <*><»

+ L im r— i-i— i = iin r,zi.í_3xi

+2 ,l_x(x2)2 (x2)(x1)J x+2 J_x (x2) 2 (x1 )limx+2

_ 4+61

limx+1

2 (0 )2(1)

x+2 , x4

>]x 25x+4 3(x23x+2)J

lución. Sustituyendo en valor de la variable obtenemos:

L

x+2 , x4L = lira [---x+1 [(x1

= lim Hx+1 L

X 4 ~[

(x 1) (x2 )J) (x4) 3(

3(x+2 )(x 2) + (x4)(x4)

3(x1)(x4)(x2)

¿(x1)

!] = li mJ x+1x+1 3(x1)(x4)(x2)

L = limx+1 3(x4)(x2)

j • A “ Ilim -------x+1 xn 1

, m y n son números enteros.

•í’ución. Como el límite del numerador y denominador es cero se

tiene:


. (x-1) (xra_1 + x“ -2 + ... + 1) -1 . xm '1 + x m' 2 + .. + 1ll“ --------- -----:-r---- llm, n1 , ' n2.I TX* 1 (x-1+(xn‘1 + x11'2 + ’.. .+ 1) X" 1 X + X + v + 1

1 + 1 t ti veces 1 . «L =

i + 1 + ... n veces 1

3

11 ni 4: Operación de hallar los límites 181

r r a ü m i ------ sL.)x+0° '2x2 - 1 2x +1 /

fui' ión. El límite tiene la forma: ®°» . Efectuando la opera-

ción se tiene:

x 3+x2 “lim r*3(2x+1) x»(2x2JI)| = lir

x yœ L (2x21)(2x +1) -* x*«xs“ (2x 21 )(2x+1 )

lira x 3+x

x+oo x‘*3x2 + 1

Solución. El límite tona la forma indeterminada — . Para salvar00

la indeterminación, dividimos el numerador y denomina

dor entre xMmayor potencia de x).

y | . 1/X + 1/X3 1 0 „L = l i m I T órQ = 0

lim x"*" xx+oo x 2-3x +1

Solución. Dividiendo numerador y denominador entre x1* se tiene:

L üir 1 5 / x 3 1 ~ 0 = ooi 1 / 2 'Q / 3 X 1 / * 0 0 + 0x*“ l/x“1 3 /x + 1/x

lim — x+°° 2x 2 + 1

Solución, Dividiendo el numerador y denominador entre x2 se tie

T i . 1 1/x 2 1 - 0 1--------- = ----- = j

xK» 2 + 1/x 2 2 + 0

lim 1 + x 3x 3

x+o° 1 + x + 3x

Solución, Dividiendo numerador y denominador entre x 3 se tiene:.

L = lim .l¿x3,±..V x! 3 = .0 f..0 J =x5“ 1/x3 + 1/x + 3 0 + 0 + 3

I l im í - i l - - Á Xmo \ x2 + 1 /X‘

Solución. El límite toma la forma indeterminada a><® . Efectuan-

do la operación indicada obtenemos:

L = lim (Z2L_ ) = i ÍD1 .1/.x— = 0 . = QX+co x + 1X->-<» 1 + 1/x2

x yœ L (2x21 ) (2x + 1 ) -* x*«xs (2x 2 1 ) (2x +1 )

livWüendo cada término del numerador y denominador entre x3, ob

. . . . 1 + 1/x 1+ 0 1i. liemos: L = lim ------------- ------- = -------- — = 7

x+» (2 1/x2 ) ( 2 + 1/x) (2 0 )(2+0 ) 4

U J I llm f j x ! - (2x- 1 ) ( 3 x2+x+_1 ) x>.<» |_2x+1 4x 2

t fución. Siendo el límite de la forma <*>“ , efectuamos la ope-

ración indicada y obtenemos:

12x 2 U x 21)(3x2+x+2) _ 4.x3 5x2+x + 2 _ “i = lim ---------------------- iim --- ---------

x+“ . 4x 2 (2x+ 1 ) x+“> 8x 3 +4.x2

) dividiendo el numerador y denominador entre x 3 resulta:

- 4 5/x + 1/x 2 + 2/x3 _ 4 * - 0 + 0 + 0 _ 11 lim — .. — -------------- — — —— — — — — — ~ 9

X*00 8 + k! x 8 + 0

(x +1 )10+(x +2) 10+ ... + (x+1 0 0)1p

íución. Dividiendo cada término del numerador y denominadori n *v

entre x , se tiene:

(1 + 1) 10 + (1 + |) 10+ ... + (1 + ^ ) :limX + c o

y 10X

( 1 + 0 ) l o + ( 1 + 0 ) 1 0 + . . . + ( H - O ) 1 0 _ 1 0 0 (1 +0 )10 = 100

1 + o

■ m /x2+i + /x■ I I I ■»/ 3 , X -Kx> V x +X X

'. fución. Dividiendo el numerador y denominador entre x ^ / x 1*,

se tiene :

L = lim ^ + 1 / x 2 + = 1/1 + 0 + ^ = 1

x+” “/1/x +' 1/ x3 1 1,1/0 + 0 1


lim»£*+7 - 3v£I7Í

x~ ” v £ ñ i - v ^ ñ T

Solución. Dividiendo cada término del numerador y denominador

entre: x = /x = 3/x 3 = Vx"‘* = 5/x"* , se tiene:

/i + 1/ 2 3/l/ + 1/ 3 /l+0 V0 +0

"ii 4: Operación de hallar los limites 183

Imii/, i6n. El límite toma la forma indeterminada . En este ca-

so debemos racionalizar el numerador a fin de elimi

iiit' ni factor x causante de la indeterminación, esto es:

l l m ( / ü x 2 - i ) ( A t i L t . J . ) = lín 2) - i

x(/l+x2 + 1) x+0 x(/l+x2 + 1)

/i + 1/x2 3/l/x + 1/x3 _ /l+0 V0 +0L = lim

*/| + 1/x1* 5/ í1/x + 1/x5 'no 5/ ho

= 1

lim 5v'x7 + 3 + "/2x31

x~ ” 6/x 8+x7 + 1 x

S o ¿uci&n. Al dividir las potencias más altas de x en cada subra

dical entre el índice de la raíz respectiva, vemos q'

1 > 4 > 4 , entonces debemos dividir cada término del numerador5 i 4

y denominador entre x 7 5, esto es:

s/x 7+3 , 2 °/(2x31)!

L = liaXH»

r7/ 5 2 8/2 0

30/(x8+x7+1)íx “2/ 3 0

L =

_x,7/S

= limX-KO

\3/i + 2 + 2 °/ — ( 2 1:V x7 V x13 x3

*«/J(i+ i + L).V x «

<2/ 53/T+5 + o

/o(<¡+o+o)5o

limXHx>

3/x ‘*+3 - *.6*+Z

3/x 7+1

Solución. Dividiendo el numerador y denominador entre x 7/3 se

tiene:

L = lira

x+oo

3/x“+3

V 7/ 3/(x3+4);.35/15

lira

x*“

3/Í + 2 . “ /V ... 3 7 V (1 _i)3

3

L '0 + 0 f r 0(1+0);Í - »

3/l+0

- Vlin_ 1 + x2 1

/. L = lim .x--- = 0x>0 /1+x2 + 1

E U limx+0 x2

iriin. El ejercicio es similar al anterior, luego, procedien

do en igual forma se tiene:

Hln (/1~^ 1) (/T+x + 1) = 1± m (1+x)' 1,

x2 (/i +x + 1) x"*’° x2(/V+x + 1)

L = lim

Él'IÉ lim

x+0 x(/T+x + 1)

/x2 + 1 1

x>0 /x 2+16 - 4

fuciin. El límite toma la forma indeterminada ^ . En este ca-

so se debe multiplicar y dividir el numerador y deno

mdor por sus respectivas conjugadas, esto es:

I (/x2 +1 1)(/x2 + 1 +'1) f/x2 + l6 + 4]

x‘*0 (Zx2 + 16 4)(/x 2+16 + 4)[/x* + 1 + 1]

(x2 + 1 1)(/x2 +16 + 4 ) i • /x2 +16 + 4 1/0 + 1 6 + 4 ,1 im — i-------- — — ■■---- — = lim — -- --- = 4.

x"'0 (x 2 + 16-16 )(/ x 2 + 1 + 1) x+ 0 + 1 + 1

u n 1 i» Æ Txm-----x+5 x5

ilición. Por simple inspección vemos que el límite toma la for

ma ^ . Luego, racionalizando el numerador se tiene:

llm +2) = llm ---- 1--- = 1

x + 5 (x5) (/x1 +2) x»5 /x1 + 2 4


lim ■ /x

So¿ación. Por simple inspección vemos que el límite toma la for

na | . En este caso, para racionalizar el numerador y

denominador, conviene hacer un cambio de variables, esto es:

Si u=/x + u^x2. Si 3?+1, entonces: u ■+■ /T = 1

i"/i ■!: Opera ción d e halla r los límites 185

I 1 m : 3A 7 x ) 3 (a/ix)3

I I m

>0 x(3/(1tx)J + 3/(1+x )(1-x ) + 3/(1x)2)

2

0 3/(1+x)2 + 3/(1+x )(1-x ) + 3/(1x)2

/ /

T T , . u“u . u(u1 ) (u2 + u+1)Luego, L = lim — -— t = lim --------------

u+r

/x+h

u1

■ /i

u+1u1

lim u(u2+utl)u+1

limh+0 ' h

Solución. El límite del numerador y denominador es cero, enton-

ces racionalizando el numerador se tiene:

1L = lim /xH/ x+h W x ) = lim .

h+0 h(/x+h + /x) h+0 /x+h + /xi

Si x>0 L = --- , y si x=0 *■ L = <*>2/x

Vï+j 1limx+0 x 2

Solución. En este caso se racionaliza ei numerador haciendo uso

de la identidad: a 3b 3 = (ab)(a2+ab+b2) , donde el

factor racionalizante es a2+ab+b2. Entonces:

r _ (3/l T ^ - 1)( 3/(1 +X 2)2 + 3/l +T 2 + 1) j j — n m ...................- ■ — ...................— — —■———— —— —

x+0 x2(3/(1+x2)2 + 3/ U x i + 1)

= lim^/ l+ x2)3 (1): lim

x+0 x2(3/(1+x2)2 + 3/l+x2 + 1)' x+0 3/( 1+x2 ):

de donde: L = 1/3

3/lTx 3/ úx

3/l+x2 + 1

frlOl limx+0

Solución.

L = limxvO

Como el límite toma la forma ^ , racionalizamos el nu

merador siguiendo el método del ejercicio anterior,

(3/ ñ x 3/ Ñ x ) ( 3/(1+x)2+ 3/(1+x)(1x) +■ 3/(1-x )2)

x(3/(1+x)2 + 3/(1+x)(1x) + 3/(1x)2)

/xb /ablinx+a

(a>b)

/< ión. Por simple inspección vemos que el límite toma la for00ma indeterminada . Entonces, racionálizando el nume

so tiene:

(xb) (ab)(/xb /ab)(/xb + /ab)I lm------------- = = --------- — = lim — __ .__/*a (x+a) (xa) (/xb + /ab) x+a (x + a) (xa) {/x^b + /ab)

-------------- i____. _ L _»♦a (x+a)(/xb + /ab) 4a/aVb

BTÍT1 lim — — --- 1 (n y m son números enteros)x+1 n/x . 1

t- nu ión. Dado que el límite toma la forma , racionalizamos

el numerador y denominador mediante un cambio de va

i t »• i■l os, e sto es :

mnn/7 = um

m /— n^ /x = u

ii.■!') x+1 , entonces, u + mn/x

(mn = común'índice)

= 1

L = lim ~ ~ 1 = lim .(u 1)(uro 1 + u"'2 + ••• + 1u+1 u

n1 u+1 (u1 ) (u11'1 + un_2 + ... + i ;

lim ul° + um 2 + • • • + 1 _ 1 + 1 + . m vece s 1 _ m

u+1 u11"1 + un_2 + ... + 1 1 i 1 + ... n veces 1 ” n

I T T I 14m-x+0

3/1+x2 Vl 2x

X + X 2

*ón. El limite toma la forma , entonces, para racionali

limx+0

zar el numerador empleamos el siguiente artificio:

3/l+x2. 1 + 1 i/l2x

x + x 2 x+0 x + x2= lim 1 t llB 1 */Ñ2^

x+ 0 x + x 2


, . 3/1+x2 1 y , .1,,/l2xSean Li = li m----------- y L2 - lim

+ Li = lim

x+0 x(1+x) x+0 x(1+x)

( 3Ä T T 2 - 1 ) ( 3v/TT+ TT2 + 3/l+x2 + 1)

x+0 x(1 +x)(3/(1+x2)2 + 3/l +7 2 + 1)

li O

¿fi , 1 , 1 1 1 4: Operación de hallar los límites 187

i., = lim --- — S J-JL Z -i------- = 1 + 1 + 1 = I4

X+1 3/(7+x3)2 + 2 3/Í 7 7 3 + 4 4 + 4 + 4

l ( „ ll m (2 - / 3+x2)(2 + / 3+x2) _ l im ____ 4 - ( 3 + x 2 )

X* 1 (x1) (2 + / 3+x2) x>1 (x1) (2 + /3 +x2)

lim ---(?x)(1+x)--- = lim z M l i = 1



= lim ---------------------- ---- ---- O

x*° (1+x)(3/(1+x2)2 + 3/l+X2.+ 1)

Para racionalizar el numerador de L2 hacemos uso de la identidad

a'b1* = (ab) (a+b) (a2 + b2)

,. (1 Vl2x )(1 + Vl 2x)(1 + /l2x)L 2 = lim ----------------------- —— ------------- —

x+0 x (1+x)(1 + Vl2 x) (1 + /12x)

(1 - /1 -2 x )(1 + /1-2x)lim ---------------- — -------------

x+0 x(1+x)(1 + V ì i 2x)(1 + /l-2x)

2-------------------------------_ 1 lim ----------------------- — — jTx+0 (1+x ) (1 + V 1+2x ) ( 1 + / 12x)

L = Li + L 2 = |

, . 3/7+x3 =•■ /3+x 2lim --------------x+1 x 1

Solución. Dado que lim ( V7+x3) = lim (/3+x2) = 2 , empleamosx+1 x+1

el mismo artificio del ejercicio anterior, esto es:

L = lim ^3+x 2 = lim + limx+1 x 1 x+1 x1 .x+1 x1

n t -1 • 3/7+x3 2 r _ u., 2 /3+x2Sean: Lj = lim y L2 = lim

x+1 x1 x+1 x1

L = lin] (3/?+x3 2 ) ( 3/(7+x3 ) 2 + 2 3/7+x3 + 4)x+1 (x -1)(3/(7+x 3)2 + 2 3/7+x3 + 4)

lim _______ (3/7+x3)3 2 3

x+1(x1)(3/(7+x3)2 + 2 3/7+x3 + 4)

= lim _______ (x1)(x2+x+1)___________

X+1 (xl)(3/(7+x3)2 + 2 3/7+x3 + 4)

lim ---(?x)(1+x)--- = lim z M l i = 1X+1 (x1)(2 + /3 +x2) X+1 2 + /3 +x2

. T _ 1 1 1

'• L " 4 ‘ 2 ~ ‘ 4

H'I1 De qué manera varían las raíces de la ecuación cuadrada

ax2+bx+c=0 cuando b y c conservan sus valores constantes

(b/0) y la magnitud a tiende a cero?

'■■ •'lición. Las raíces de una ecuación cuadrática son:

xi = ~b + '/^4ac y X2 = b /b24ac

2a 2a

1:0 : Lj = lim (xi) = lim /b 24ac b = 0a+0 a+0 2a

= lim (x.) = n m l/b24ac b)(/b24ac+_b La+0 a+0 2a(/b24ac + b)

= l ü ---£2.4*°b2--- = l lm ----i2c---- = . £

a+0 2a(/b24ac + b) a+0 /b 24ac + b

■ lo tanto, xj tiende a c/b cuando a+0

!,, = l'im(x2) = lim — Lb+./b2^ae) = zl.b+_q) =a+0 a+0 2a

1 n consecuencia, x2 tiende a °° cuando a tiende a cero.

ffül lim (/x+a /x)x+00

‘"fución. Por simple inspección vemos que el límite toma la for

ma co-00 . En estos casos, para evitar la indetermina

ii, se expresa el límite en forma de ooc'iente multiplicando y

idiendo por la conjugada de la función, esto es:

1 lim (/x+á /x)(/x+a + /x) = liffl x+ax a

/x+a + /x x+00 /x+a + /x

188 Capitulo 2: Límite v Continuidad

lim (/x2+1 /x21 ¡x*"

So¿uci6n. Para evitar la indeterminación , usamos el método

del ejercicio anterior:

L = i im (/ x2 + 1 -/ x ^ l ) (>/x 2TÍ + A 2^)) = lim (x2+1) - (x2- D

x->.a> / x 2 + 1 + /x-2- 1 X->"» / x 2 + 1 + / x 2-1

i i"ii 4: O peración de hallar los límites 189

x

lim (— = = ) = lim ■■■■;~1 ---x»co\ /x n í1 , _x / x+°° /1 + 1/x2 1 11

x

lim (/(x+a)(x+b) x)

.*•'L = lim 2/= = = 1 = 0X+oo /x +1 + VX 1

lim (/x2 + 1 x)X-*-±°°

Solución. Evaluando los límites por separado se tiene:

Lx = lira ( / ^ x) = lim ( / x ~ x K ^ + x)x>■+<» x*+°° /x2 + 1 + X

= 1ÍB ,_x.l = lim ---- „ 1 = oX*■+“> /x2 + 1 + x x*+°° /x2 + 1 + x

1= lim (/x2+1 x) = lira

X co x-^“ 00 /X2+1 + X

Teniendo en cuenta que x toma valores negativos, entonces x=/x2o bien, /x 2=x. Según e.ste argumento, el denominador del, límite

L2 tiende a cero.

.'. L2 = “>

lim x(/x2 + 1 x)X + ±oo

Soíuciin. Considerando los línites ppr separado se tiene:

xlim x(/x2+1 x) = liímx>+°° x++“ voc2 + 1 + x

Dado que x crece sin límite.para valores positivos, dividimos el

numerador y el denominador entre x= y obtenemos:

1 ’ 1 1Li = lim — ..... — ---- = — ---- -óxs+o° /1 + 1/x2 + 1 /1+0 + 1

L2 = lim x(i/x2 + 1 x) = lim — x----X- > - oo X- V- oo /x2+1 + X

Aquí x decrece sin .límite para valores negativos, entonces debe-

mos dividir el numerador y el denominador entre x=/x2 ó /x2=x

i'uriin. Evaluando los límites por separado se tiene:

Li = lim (/(x+a)(x+b) x)X>+oo

(/x2+(a+b)x+ab x)(/x2+(a+b)x+ab + x)

x<+“> /x 2+(a+b)x+ab + x

(a+b)x+ablim — ' ■ ■ ----x»+oo /x2 +(a+b)x+ab + x

ilvtdiendo el numerador y denominador entre obtenemo s:

_____ (a+b) + (ab)/x____ _ a+b + 0 a+blim — = ----

x++oo / 1 + (a+b)/x + (ab)/x2 + 1 /1+0+0 + 1 ¿

lim (/(x + a) (x+b.) x) = lim (a+A)x+abX+" x*“ /x2 + (a+b)x + ab + x

Mdiendo el numerador y denominador entre x = / x s e tiene:

lim (a+b) + (ab)/x_____ _ a+b + 0 _ a+b

x+°° /1 + (a+b)/x + (ab)/x2+ 1 /1+Q+0 + 1

lim (/x22x - 1 /x27x+3)X-»-±oo

’fuciórt. Sea: Lj = lim (/x22x1 /x27x+3)X + +co

'+ Ll = lira (/x 2-2x -1 - ✓x 2-7x +3)(/x 2-2x -1 + /x27x+3)

x>+«> /x22x 1 + /x 2-7x+3

= lim (x22x1)(x27x+3)x*+<» /xz2x1 + /x27x + 3

5x¿= limx>+°> /x22x 1 + /x 27x +3

.idiendo el numerador y el denoainador entre x=/x2, se tiene:


5 4/x_______________ _____ 50 ....

' S í . /1 2/x 1/x2 + /1 7/x + 3/x 2 /100 + /10+0

L i = 5/2

Sea: L 2 = lim (/x22x1 /x27x + 3) = lim , — ^ ¿ — x>_«, X+® /x 2x1 + /x 7x+3

Di idi d l d d i d t / 2 ti

n i<i 4 / Operación de hallar los límites 191

Hvldiendo el numerador y denominador entre x 3/ 2, obtenemos:

-L-J-111 . ■■■ : --- —"

x+co / 1 + 1/x3 + /1 1/x3 /T+Ô + / M )

•1 i LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Dividiendo el numerador y denominador entre x=/x2, se tiene:

5 A/x = 5 0

x+=° /i 2/x 1/x2 /1 7/x + 3/x2 /100 /10+0

L 2 = 5/2

L 2 = lim

KT T1 lim (3/(x+1)2 3/(x1)2)x**00

Solución. En este caso el límite se multiplica y se divide por

el factor racionalizante: a2+ab+b2, donde a=3/(x+1)2

y b= 3/(x 1)2. _____ _____ _______ .-----

+ L _ liffl (3/(x+1)2 3/(x1)2H 3/(x+1) 4 + 3/(x2l)2 +

x*“3/(x + 1)'* + 3/(x21)2 + 3/(x1)‘*

_ ________ fx+1)2 (x1)2________ _

" xi» 3/(x +1)‘* + 3/( x21)2 + 3/(x1)

H . ----------------- ^xi» 3/(x+1 )" + V( x 2-1 ) 2 + V( x- 1 )“

Dividiendo el numerador y denominador entre x1*/3, mayor potencia

de x, se tiene:

; ,. 4/x1/ 3 ___________ __L = lim = ---- , . ■ ■— u

■ x+co y (i +1)1' + yo - + yd - ^

KTTl lim x 3/ 2 (v^ +1 x>“>

Solución. Multiplicando y dividiendo por la conjugada del parentesis se tiene:

L = lim x 3/2 (yx^r? /x3 1)(/x3+1 + yx31)

X- -oo /x 3 + 1 + / X 3 -1

= l i n x j/ _2 r ( x H 1 ) - (x 3- 1 ) j = l in j -^ x 3/ .2XMo i/x3 + 1 + /x 3 1 X"*"“ /x+1 + /x 3 1

1‘Miil’ IEDADES. Para el cálculo de los límites trigonométricos se

requiere el conocimiento de los siguientes límitesMnicos:

lim Senx = 0 (3) lim (^X) = 1 (5) lim (^ L) = 1x+0 x x+0 xx+0

1 imx+0

(•') lim Cosx = 1 U) lim ( h £ ° M ) = ox+0 x

i'i "|i ledades de los límites de las funciones trigonométricas in

vi i *.üs :

i lim (arcSenx) = 0x+0

( 7 1 1 im (arcCosx) =tj

x+0

(8) iin (arcSenx} = 1

x+ 0 x

(9) lim (JSESliï) = 1x+0 x

'* ‘'nción. Dado que x '* 0 , entonces, 3 x >• 0 . Según la propie-

dad (3): L = lim (S©S3X) = 31im (Sen3x} = 3 (1 ) = 3

x+0 x+0 Jx

m lim (Tankx)

x+0 xfución. Si x + 0 , entonces, kx *■ 0 . Luego, por la propiedad

ranli"ToT

(5): L = lim ( ^ ) = klim (“ ) = k(1) = kx+0 x x+0

H1 <§Sif>

ilición. Si x + 0 , entonces: ax »■ 0 , y Bx * 0


, . /Sen'axi

x+0/SenaX\ _ /<*, _______________íl\ (_11 «

Luego: L = lim (g) ^ (SenBx) ' W ' (1) " 6x+Q

x+0

Tan2x\

6x

EO (Sen5x'So¿ación Según Tas propiedades (3) y (5) se tiene:

Si. i n 'ii 4: Operación de hallar los límites 193

. i, ü m ?.f~e.n2 í?/.?,) = ¿ lim fS">(x./.2>V = 1 (1 )2 = 1 x+0 x2 4 x+0 L x/2 J ¿

It tl f 1Cos 3X nE 3 x+0 xSen2x

J fueión. Factorizando el numerador se tiene:

t n » (1 Cosx) (1+Cosx+Cos2x)

So ¿ación. Según Tas propiedades (3) y (5) se tiene:

Tan2x ,, . _ fTan2x

z f Ü V 2 = (f)iÜ = |xÍ0 5\ ê n¿ x/ 5 lira{Sen|x) (1)

5X x+0 5x

lim ( n y m son números enteros positivos)x+0 (Senx'‘m

Soiución. Haciendo uso de la propiedad (3) tenemos:

n Q„ n — 1 l i m f ^ e n x )

/x"* x+0 xn . (1) _ nmT - 1 • X _ , X n x+U X _ ,X_} _L — lim \ . Scnv. m * m '

limx+0

_ ' m , . /Senxa ' nr m ix+0 ..a/Senxjm x lim (-- — ) x {1)

Dado que x *■ 0, pueden ocurrirlos siguientes casos:

a) Si n>m -*■ L=0 b) Si n<m + L= c) Si n=m L=1

■,FM| , . /2arcSenxiKjLkJÍ lim (— tí— >

x+0 JX

Sotuci&n. Según la propiedad (8) se tiene:

> T2 , . /arcSenxí 2,-\ _ 2L = tj lxm (-------) = (1) = 5

^ x+0 x ^ ^

, . 2x arcSenxEKjJ lim -------------

x+0 2x + arcTanx

So ¿ación. Dividiendo cada término del numerador y del denomina

dor entre x, se tiene:0 arcSenx

r * . ¿ ~ x _ 2 1 _ 1J. 1 ni m — — — — —x>0 2 + arcTanx 2 + 1 3

X

E S I ü m (1z££25)x+0 x2

Solución. Recordemos que: 1Cos2A = 2Sen2A

t n » (1Cosx) (1+Cosx+Cos2x)L — 1171 .... —.......i ■ —..........-

x+0 2xSenxCosx

ljLm f2Sen2 (x/2)1 (1+Cosx+Cos2x ) _ 1 fSer>2| , HCosx+Cos2x4 Cos*x+0 4,xS8n(^)Cos (^)Cosx x>0 — J Cos Cosx

I’, r las propiedades (2) y (3): L = 1) (1 *1 v

Cffl lim Tanx

í)

x+0 3/( 1 Cos x) 2Tanx

J..fu ció n. L = lim — = lim

lim

x+0

/Tanx

^/(2Sen2f)2 x*° S e n M x / 2 )

x » 0 ____________ 1 _ 1

ü ; y is.„f •' 0 ‘ ’

14_ 1 + Senx Cosx1 1 ni----------------x*0 1 Senx Cosx

■ ilición. Dividiendo el numerador y denominador entre x se tie-

ne :

/ 1CosX', , Senx, lim (1~Cosx) + lim (£§S£)x x x>0 X" Ó ^

x+0 (~ôsx) (^22) lim (lôgX) . lim (Senx}x x x+0 x+0 x

■<’r las propiedades (3) y (4) obtenemps: L = .¡j = - 1

■ i Tanx Senx^ ■ lim--------- --x+0 x 3

Senx senx),t ación. L = lim .Senx (1Cosx)

x^ x+0 x 3Co sx


L = lim 2Ser. (x/2)Cos(x/2)l]2Sen2 (x/2)]

x+0 ‘x 3Cosx

, * ü . Iísen(x/2)"|1 [cos(x/2)l , , 1

x *0 8L x/2 I L COSK J 0 1 2

, . 1 Cosxlim------------x+0 Tan x Sen x

\ ( 1' mn 4: Ope ración de hallar los límites 195

= U n Cos(u + ir/2) = lla Senu

u+0 3/[lSen(u + tt/2)]2 u+0 3/(1Cosu)2

2Sen^.Cos^ 2Cost|Senu _ 2 2 . ¿■ lim — ------- n ® ----------------

u+0 3/( 2S en ^) 2 u+0 Senf 3A¡ en ¡ u>0 3A¡ ¡n f

- - - g i l í =3ATÖ)

Solución. L = lim --- 1 Cosx = lim Co3»x( 1CobxJLx+0 Se n3x c 3 x+0 Se n3x{1Co s3x)

----- ben xCos 3x

Cos3x _ 1 _ 1 _L = lim = -------- “ Ti _

x+0 Sen3x(l+Cosx+Cos2x) 0(1+1+1)

x+o (senx ' Tanx )x+0

Soíuci&n. Por simple inspección vemos que el límite tona la for

ma indeterminada. <*>“ , entonces:

1Cosx\ n

0

/ tUOSX \, . / 1 Cosx\_,.( x \ _ 0

x+0 ' Senx Senx/ x^O \ / 1

» • 1 Senxlirax+tt/2 x) 2

So ¿ución. Si x + | , entonces, x + 0

Haciendo el cambio: x = u , vemos que u + 0

+ L = lim +J L } = 1ÍB l^ os u = liffl 2Sen2 (u/2)

u+0 (u)2 u+0 u2 u+0 u2

= .1 lim 2 (1)2 1

A u+0 L u/2 I K 2

limx+tt/2

( Co sx \

\ 3/( 1Senx)2 /

Solución. Si x + ^ , entonces: x + 0

Haciendo el cambio: u = x ^ , vemos que u + 0

Luego, en el límite se tiene:

)

/ Sen3x \

' Sen2x '

>M'l lim

x+ir \ Sen2x '

(ución. Si x + ir, entonces: x7r + 0

Haciendo el cambio: x -tt =u , se tiene que, u + 0

Sen3(ir+u) _ Sen3ul.imgo, L = lim --- — --- — = lim *—

u+0 Sen2(ir+u) u+0 Sen2u

,,Sen3u\

_ lim 3U 2 (1) 1u+0 2(S2|2a) 2 (1) 2

jtHÉ lim (■?■ x)Tanxx + tt/2

'cíución. Por simple inspección vemos que el límite toma la for

ma indeterminada'0.“Como x + , entonces: x ? + 0

* itHaciendo el cambio: x 2 = u > se tiene que, u + 0

!,migo, L = lim (u)Tan(5 + u) = lim (u)(Cotgu) = lim — — u+0 u+0 u+0 Tanu

v por la propiedad (5): L = 1

S «ii» . . SenxHcfrJ lim

X+1T ^ X 2TT

, , ■, t n . w2SenxSolución. L = limX+7T ( TT+X ) ( TTX )

Si x + tt, entonces x - tt + 0

Haciendo el cambio: x - tt = u , se tiene que: u + 0

Luego, L = lim JLÍSen(aiu). = lim ( r¡±_) (Senu ) = (*i)(1>u+0 (tt+tt + u) (u) u+0 27r+u u 2n


EtEl lira (1x)Tan(Tix/2)x+1

Solución. Por simple inspección vemos que el límite tona la for

ma indeterminada 0." . Dado que x+1, entonces x1 + 0

Haciendo el cambio: x1=u , se tiene que, u+0.

Luego, L = lim (u)Tan?(u+1) = lim uCotg(5u) = lim-------u+0 u+0 u+0 Taní^u)

. ion Operación de hallar los límites 197

2Sen(S) .Cos(tj)liB -------Senu---------- = 1ÍB -------_ 2_^---- 2---

u+0 Cos(^) Cos(u + ) u+0 2Sen(g + gJ.Sení ^)

Cos(u/2) 1 _ 1 _ > lim ----¿--- — ----- --- ¿u+0 Sen(g + ■*>) Sen(ir/6) 1/2

1Sen|li ' “



^u2 , . 2 2 M n _ 2

" * iio Tan(fu) ‘

lim (Sen^^ •x+a

Solución. Si x+a , entonces, xa+0

Haciendo el cambio: xa=u , vemos que u+0

+ L = lim Sen(^).Tan^(a+u) . Pero Tan(? + a) = Cot'gau+0* ¿ ¿

+ L = lim Sen(^). Cotg(?“)■ = limu+0 u+0 Tan(7ru/2a)

Sen(u/2)

_ * a llm u/2 _ _ a (1) _ _ a

71 u+0 Tan(iru/2a) 71 (1) 77

Tru/2a

Cosx SenxJcMjJ limx + tt/4 Cos2x

Solución. Por simple inspección vemos que el límite toma la for

ma indeterminada . Entonces, multiplicando el nume-

rador y denominador por la*conjugada del numerador, se tiene:

r n . (CosxSenx)(Cosx+Senx) _ , . Cos2xSen2xu — ■1 1 ................— .. — J.1D1 ...... ■■■:-------- — x+tt/4 Cos2x(Cosx+Senx) x+tt/4 Cos2x(Cosx+Senx)

. T _ 1;. 1 _ /2• • ~ J. i lii ■px+tt/4 Cosx + Senx

lim Sen (x tt/6 )

x W 6 q _ Cosx

Solución. Si x + 7r/6 , entoncesxtt/6 + 0

Haciendo el cambio:x-tt/6 = u , vemos que u+0

lim ' “x+ir Costj(Cos j Sen )

'■•■fución. Multiplicando y dividiendo por la conjugada del deno-minador se tiene:

(1Seni)(Cosy + Seny) (1Sen|)(Cosy + Seny)> jjj — lim -- —. .. ....

x+ir Cos| (Cos^j Senz|) x + tt Cos| (Cos|)

_x , „_x(1Senf)(Cosy + Seny) Cosy + Seny ^

lim ------ — ----------5 = lim ----i------¿i- = — x+tt 1 Sen I x + tt 1 + Sen-2

lim (2xTanx — — )x+tt/2 Cosx

/ 2xSenx tt \V Cosx /

•o(ución. Sea: L = limx + tt/2

Si x + tt/2 , entonces: x tt/2 + 0

11rciendo el cambio: x tt/2 = u , se tiene que: u + 0

2(f + u)Sen(f + tí) * (rr + 2u)Cosu irL = lira ------------ = lira ---------- :-------

u+0 Cos(^ + u) u+0 Senu

lia ( ^(lCosu) + 2uCosu \

u+0 \ Senu Senu/

1Cosu

= l i l K n ■ 2 u+S ( )'Cosu = “ 2(1)(1) = ~2

I M¡| Cos(a+x) Cos(ax)

x+0 x

\n(.ución. Transformando a producto el numerador se tiene:

t - i -í „ 2Sen(a). Sen (x) . . ,SenxiL lira --------------- = 2Sena lim (—Siü) = _2Senax+0 x x+0 x


C£ ni i _ Cosax CosbxE H J lim — -------------

x+0 x2

Solución. Transformando a producto el numerador se tiene:

_2Sen(S4bX).Sen(J^)

L = limxK) x2

S (^4 ^) S ( ^5^)

ni ■!: Operac ión de halla r los límites 199

„/Senb\ ,„\ / \ 2SenbCo sb _ Sen2b■ = 2b~ • ' ' .Cosb. 11 ; ------ 2b ~ 2b^

V Sen(a+2h) 2Sen(a+h) + Sena

h+0 h2

„ T . [Sen(a+2h) + SenaJ 2Sen(a+h)ión. Sea L = lim — ---i---------------------------

h+0 h 2

Transformando a producto el corchete se tiene:



Sen(^4^)x Sen(^5^)x= 2 lim------1--- . ---- J~---

x>0 x x

O 2i (a+bx Sen(á2^)x /ab\

x+0

L = 2 ( ¿ ^ ) = ±(b2a2)

Btfíl 1im Sen (a+X) ~ Sen(ax)x»0 Tan(a+x) Tan(ax)

Solución. Transformando a producto el numerador y el denomina-

dor se tiene:

L = lim 2Cosa.Senx _ ^ 2Cosa. Senx.Cos (a+x).Cos(ax)

x+0 Sen (a+xa+x) x>0 2Senx.GosxCos(a+x).Cos(ax)

_ j •Cosa.Cos(a+x).Cos(ax) _ Cosa.Cosa. Cosa „ ,iim ------------------------ = ----------------- = Cos3ax+0 Cosx 1

R n ■ _ Sen2a - Sen2b■Cf-¥M lim --------------a*b a2b2

Solución. Sea L = ~n m (Sena + Senb)(Sena Senb)

a*b (ab)(a+b)

Si a ■* b , entonces ab 0

y haciendo el cambio: ab = u , se tiene que: u 0

+ L = lim CSen(b+u) + SenbJ] ¡J3en(b+u) SenbJu+O u(b+u+b)

[ 2Sen(-S±M6 ) . c o s ( f ) ] [ 2C0S ( M | ± Í ) . S en ( | ) ]

u+0 (2b+u)u

a_/'_2b + U'iSen ( ry )= lim 2 ------ ±— . Cos(^) . C

u+0 2b+u|) . Cos(2M“ ). ( Sen (u/2 ) \

V u/2 '

1 , m [2Sen(a+h).Cosh_l 2Sen(a+h) _ lim 2 (1Cosh). Sen (a+h)

1,tO h 2 h*0 h2lim 2p Sen. ^ l Sen(a+h) = lim — 1 Sen(a+hjh+0 * h2 h>0 * h/2

.’. L = (1)2Sena = Sena

Tan(a+2h) 2Tan(a+h) + Tana

h2

Cución. Ordenando los términos del numerador se tiene:

§ E *1 i 1® .h+0 h2

limh+0

lim

r [Tan (a+2h)'T an(a+ll)3 IT.

h+0 h 2

Sen(a+2hah) Sen(a+ha)Cos(a+2h)Cos(a+h) Cos(a+h)Cosa

h2

Senh Senh

Cos(a+2h)Cos(a+h) Cos(a+h)Cosa

hK) h2

Senh TCosa Cos(a+2h)l= lim [

Cosa Cos(a+2h)1

Cosa.Cos(a+2h) Jh+0 h2Cos(a+h)

Senh p2Sen(a+h).Sen(h)I= lim

J~2Sen(a+h).Sen(h)1

h+0 h2Cos(a+h)|_ Cosa.Cos (a+2h) J

, / Senh \2= lim 2(— r— )h+0 n [

Sen(a+h)_7 2 ( 1 ) 2 f SenaCosa.Cos(a+h).Cos(a+2h) [cosaCosaCosaJ

200 Capítulo 2: Limile y Continuidad

Solución. Por simple inspección vemos que el límite toma la for

tiene :

ma indeterminada0 Racionalizando el numerador se

L = lim 1+Cosx ) (✓?+/1 +Cosx)

x+0 (/2+/l+Cosx).Sen2x

= lim 1Cosx= lim

2Sen2(x/2)

x+0 (/2+/l+Cosx) Sen2x x+0 Sen2x(/2+/l+Cosx)

i,in ■!: Ope ración d e halla r ¡os limites 201

lim (^~ osx os^x^x+0 ' x2 /x+0

¿6n. Racionalizando el numerador se tiene:

(1Cosx/Cos2x)(1+Cosx/Cos2x)L = lim . v,_

x+0 x 2 (1+Cosx/Cos2x)

1 Cos2xCos2x _ . 1Cos2x(12Sen2x)= lim---------- ------ = lim ---------- — —

lim2(|)(1)2 /2

x+0 (.££22)2 (/2 + / 1 +Cosx) ( 1 ) 2 (/2+/T+7) 8

limx+0

/1+xSenx /Cos2x

Tan2(x/2)

Solución. Dado que el límite tiene la forma , racionalizamos

L = limx+0

= lim

el numerador:

(/l+xSenx /Cos2x)(/1+xSenx + /Cos2x)

(/l+xSenx + /Cos2x)Tan2(x/2)

______ xSenx + 2Sen2x

x+0 (/l+xSenx + /bos2x)Tan2(x/2)

= lim y x+0 (/1+xSenx + /Cos2x)Tan2(x/2)

Dividiendo el numerador y denominador entre x 2, se tiene:

Senx)[ 1+2 (■Senx )]

x+0 y (Tj"x/ 2)2 (/l+xSenx f /cïï1(1+2)

</2s2x) f( 1 )2 (/T+/T)

im {+0 \

lix+0

/1 +Senx /1Senx

Tanx /

Solución. Racionalizando el numerador se tiene:

L = iin (l/'î~+Senx /lSenx) (/l+Senx + /lSenx)

x+0

limx+0 Senx

Co sx

(1+Senx)

Tanx(/1+Senx + /1Senx)

(1Senx) _ i._ 2Cosx

(/1+Senx + /1Senx)

L ----------- 211 )

= lim

' 1+0 + /1 -0

x+0 /1+Senx + /lSenx

= 1

lim lim x+0 x2 (1+Cosx/Cos2x) x+0 x2 (1+Cosx/Cos2x)

1Cos2x+2Sen2xCos2x ,. Sen2x + 2Sen2Cos2x lim ---------- - — ---- — = lim ------ — -- . -- - — x+0 x 2(1+Cosx/Co s2x x+0 x2 (1+Cosx/Cos2x)

lim ( Sen2S)2 r.„;H 2 Ç ^ ==~] = (1)2 ^ fx+0 M+Cosx/Cos2xJ

1+2 _ 2

(TT1 l i m í 3/''+arc'Tan 3x Vl arcSen3x ^

x+0 V /larcSen2x /l+arcTan2x /

finlución. Con el objeto de facilitar el proceso de racionaliza-

ción, del numerador y denominador, supongamos que:

n1 lurcTan3x , b=1arcSen3x , c=1arcSen2x ,d=1 + arcTan2x

yiliaervemos que: lim a/a = lim 3/b = lim /c = lim /d = 1x+0 x+0 x+0 x+0

(3/a 3/b) (3^ J + 3/ab + 3/b^) (/o + /d)i, —■ 3 m ** *.. *' * ' ~ " j—— "

x+0 (/c /d) (/c + /d) ( 3/a^ + 3/ab + 3/bI)

= n m (ab) (/c + /d)~L-L ili ... .„i.,, _____ i

x+0 (cd)(3/a2 + 3/ab + 3/b2)

(arcTan3x + arcSen3x)(/T + /T)______

x+0 (arcSen2x arcTan2x)( 3/T + 3/T + 3/T )

arcTan3x , arcSen3x- 3x~ + jx = 1 + 1 = _ 1

.5 arcSen2x arcTan2xx+0----23E--------- 2x 1 1

i i m : /¥ /arcCosx 'T U lim ---- ----------

x+-1 /T+x

fución. Sea: arcCosx = y . Si x + -1 , entonces y + tt, o sea

que y-ir+0 . Haciendo el cambio: y-7r = u , vemos que u+0

iii consecuencia:


L = iin /i /ÍT+5 _ =

u+0 /1 + Cos(w+u) u+0 /1-Co s u

Racionalizando el numerador se tiene:

L = lim ■...11 ' --------- = iimu+0 /2Sen2 (u/2) (/¥ + /tt+u ) u+0 /SSenïj (/ir + /ir + u)

L = * lim f— 2— ^ ---- = 2 ( 0 L = — —

ion 4: Operación de hallar los limites 203

( .tu. 3. Si lim f (x) = 1 y lim g(x) = ±“>, el límite L tiene lax+a x+a

±03

forma indeterminada: 1

ln usté caso se supone que: f(x) = 1+a(x) , donde lim a(x) = 0x+c°

/, por consiguiente:

L = limx+aim ÎC1 + «(XÏ]T O |+a L J

1 ». / \ , , lim a(x).g(x)rril «(x).g(x) x^a s

/2 u+0f 2 2 ( 0 L \ Sen§ / Æ + /ÍTÍ /2 2/Ï /2?

4.4 LÍMITES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

denomina número e (número de Neper), al lími

te de la sucesión {(1 + ~)n) , cuando n crece

infinitamente. Esto es:

e = lira (1 + — )nnn+co

y cuyo valor aproximado es: e2.7182...

TEO RE MA 2.8 Si f:R+R es una función tal que f(x) = (1 + ~)X> eQ

tonces:

lim (1 + ) x = eX + ± ° °

y" si f(x) = (1+x)1/x, entonces: lim (1 + x ) ^ X = ex+0

Observación 1. Al hallar los límites de la forma:

lim [f(x)]g(x) = Lx+a

se debe tener en cuenta los siguientes casos:

Caso 1. Si existan los límites finitos: lim f(x) = A

x+ay lim g(x) = B , entonces: L = A®

x+a

Caso 2. Si lim f(x) = A / 1 y lim g(x) = ±oo, entonces el límix+a x+a

te se resuelve directamente, pues si:

A>1 + A+ = +<» y A” = 0 ; 0<A<1 + A+°°=0 y A~“=+<»

ül..ervación 2. Para evaluar límites de funciones exponenciales

y logarítmicas es necesario tener presente lo si»ulonte:

a)x

lim e = +“>X++co

e) ln(e) = 1

b) lim ex = 0 ' f) ln(1) = 0

X+œg) lim,(Inx)

c) ln(ex ) = xx+0

d)Inx h) lim (inx)e = x X++o>

■ Si lim f(x) = L > 0, entonces:x+a

lim logb [f(x)] = logb [lim f(x)J = logfc(L)

x+a x+a

PROBLEMAS RESUELTOS

ÜÍ| limXKX>

• “ ¿uc¿6n. Si f (x) = -z£- y g(x)=x + lim f(x) = 1 y lim g(x) =X + t » X - * * >

El límite tiene la forma indeterminada 1°°.

iactuando 1^ división: = 1 + , expresamos f(x)=1+a(x)

x+1,i 1 \'"gún el caso 3: L = lim (1 +

x+°°

r el teorema 2. 8, el corchete es el número e v L = e

linde: u = lim (~pp)X + “ >

1 ► L = e- 1 1


lim (1 tH»

Solución. Para aplicar directamente el teorema 2.8, escribimos:

L = lim [(1 + = W " 1 = |fcK»

X+1

Si-i ción 4: Operación de h allar los límites 205

n a i im ( í l !ü ) x2X+oo X21

„ 2 + 1 2• •• fución. Sea: T(x) = --- = 1 + ---- , por el caso 3, escribi

x 21 x21

X 2_ 1 ! /__L ) y 2X 2 1

L = lim (1 +x+“

2x 2

lim (1 +^) xX+oo

x+1

Solución. Sea: L = lim [(1 + ^)X] X * , entonces, por el teoremaX+eo

2.8 , L = e11 , donde u = lim (2¿i) = 0x*° x2

.'. L = e" = 1

lim (1 + *) fflxx+»

Solución. Sea: L = lira [(1 + £) kJ X-HX,

Por el teorema 2.8: L = emk

K m n • / X + 1 \ 2 X - 1tEfrl lim hr-j)X+»

Solución. Por simple inspección el límite toma la forma indeter

minada 1°°. Según el caso 3, escribimos:

)íf ^ < 7 ^ ) ( 2x - 1 ;1* l í A i S \ J I Aira [<’ * Á ^ ] ^X o

y por el teorema 2.8: L = e11 , donde: u = lim ( = ^

XVoo

X-í-oo

/. L = e€

lim 3

X>=° + ¿

Solución. Sea f(x) = = 1 + ’ ^ t 011083 según el caso 3

x+1

3x+T

[ (1 + 3x +escribimos: L = lim

X->co

Por el teorema 2.8: L = eu , donde u = limx>°°

L = e’2/3

?x+2

2

•2(x +1 )

3x + 2

2x 2y por el teorema 2.8: L = eu, donde: u = lim (— — ) 2

X+oo x21

m irm , . , x + 1\X* 2 3 *+„(2x^V

x+±°°

'i f ución. Sea L = lim (¿x'i *x+±oo

Si f(x) = — 4 > A = lim f(x) = 4 / 1x+±°°

g(x) = x *■ lim g(x) = ±®Xv±co

lio que: 0<A<1 , según el caso 2: si x»+=, entonces: L=(1/2)°°=0

y :>i x+“>, entonces: L=(1/2) ”=+»>

r m ü m |)xx+±“>

Polución. Si f(x) = + 1 »■ A = lim f(x) = 2 / 1x~ x*±°°

g(x) = x *■ lim g(x) = ±==x + ± oo

in.|o que A=2>1, según el caso 2, se tiene:

-feox ■> +°°, entonces, L = 2 = +«

x + 00, entonces, L = 2 °° = 0

1\*lim (1 + — )x+°° x2

•fución. Sea L = lim |(1 + — -j** 1/xX+oo L X 2 IX+oo

Por el teorema 2.8: L = e11, donde u = lira (— ) = 0x+» x

.'. L = e° = 1


lim ( 1 + MXX+±<»

Solución. Sea L = lim f(1 + — )x|Y+ + 00 L. x 4

I xI V i t T.)

X+±°°

Por el teorema 2.8: L = eu , donde u = lim (x) = ±°>+ oo x+±°°

Luego, cuando: x + +=° , entonces: L = e = +=>

x + <*>., entonces: L = e“°° = 0

n I ()i>cración de hallar los límites 207

ITT! nix*0

ln (1 + kx)m ----------

I Ón Sea L = lim ln(1 + kx) = lim ln(1 + kx)1/,xx+0 x x+0

Según la definición 2.21, escribimos:

L =ln("lim {1 + kx)1/kx~|k = ln(e)k = k•■x+0 J

KTT1 lim (* Íl Ml )x

x+oo x 2|x+2

Solución. Si f(x) = —— ^xf 1 = ] 4 ---1--- t según el caso 3 sex24x+2 x 24x+2

x 2¿x+2 / 2x- 1 stiene: T, = l í in I M + — "~~ ) 2x1 | x 24x+2

y por el teorema 2.8: L = eu donde u = lim (— Í2l!z2£) = gX+ oo x 2¿x+1

KESl lim ( 1 + Senx)Cosecx

x+ 0

Soiución. Se tiene: L = lim (1 + Senx)^//' enxx+0

Sea u=Senx . Si x+0 , entonces, u + SenO = 0

Por tanto: L = lim (1 + u)”'//u = eu+0

KT71 lim (1 + Tan2/?)1/2xx+ 0

Solución. Como el límite toma la formaindeterminada 1°°, según

el caso 3, podemos escribir:

--- - — " (Tan2/x)(1/2x)L = lim I(1 + Tan2/?)TanVx = eu

x+ 0 J

donde: u = lim Ign .2>/x = lim ^( Tarn ^p = J ( 1 ) 2 = 1

x+0 2x x+ 0 /x

L = e 1/ 2 = /e

i m lim ln(a+X^ —

x+0 x1/x

___ , JLX1V I T — y

x+0 XL a J x+0

ai 1

,6n. Sea: L = lim i f l n ^ ) ] = lim ln(1 + f) 1yx+0 xL a J x+ 0 a

+ L = Inílim (1 + ~)xl a = lnfe]”1 = — Lx+0

E Q J 1 1 m xíln(x+a) lnx]X+oo L

Un. Sea: L = lim ¡ln(^)"|X = lim ln(1 + f)5x ->co L - X -J x-* »

+ L = ln [lim (1 + f)x/al a = m [ e ] a =

Lx+<x> *

n a n. (isiji)x+e

•tía ión. Si x+e, entonces, xe+0. Haciendo: u=xe, entonces u+0

Luego: L = lim [ln<etul ÍSe] = lim ¿[ln(^)]11+0 L u J u+0 e Ju+0 L u u+0

i li. [l„(l * f,l/»] , ln [ii. (1 * _ i n W ,/2 _ ,

tlíl lim (— í— í)" h+0 n

\i'/ui l6n. Sea a 1 = u + a'1 = 1 + u

Aplicando logaritmos: hlna = ln(1+u) + h ln(1+uf * lna

Si h+0, entonces, u+a°1 = 0

ü m u lna _ _____lna_____ _ lna

u+0 ln(1+u) ln^lim (1+u)”*/UJ ln Ce}u+0


2x A e 1lim -----

Solución, Seas e2x1 = u + e = 1+u

Aplicando logaritmos: 2x = ln(1+u) + x = jjlnO+u)

Sí x + 0, entonces, u + e°1 = 0

? r ,1 "I 2 . 1 2 1 _ 2Luego: L = lim rrf------ = ^ lim — — _ ~ 3 . , 3

u+0 [ln(1 +u)J u+0 lnriin (1+U)1/’J ln^e)

<>n 4: Ope ración de ha llar los límite s 209

/ Sen2x \ /„Senx Sen2x 1 Senx, i in. JLs----- :.lL:_Í£---- z H = n » .5----- ii iin i---- 11

xH) x x+0 x x +0

Sen2x_ 1 Sen2x ,eSenx1u Senx^■ • "Sen2x )(~ ^ T } ‘ ^ { Senx')(~ r ) '

i’i:ún el ejercicio 3 6 9 y la propiedad 3 , se tiene:

L = 2(lne)(1) (lne)(1) = 1

[ ( ) ( ) / )

Lu+ 0 J

lim ( ¿ ^ )x+1 X 1

Solución. Si x+1, entonces, x1+0 . Haciendo x1=u + u+0

L = = li = e li ¿ Vu+0 ' u ' u+0 u u+0 u

Pero: lim (-— - lna (Ver ejercicio 369)x+0 x

L = elne = e

____ x2R E I , . e Cosx

lim ---------x+0 x2

Solución Sumando y restando la unidad al numerador obtenemos:

L = lim eX'1+ = lim * 2 ^ 1 ) + llnx+0 x2 x+0 x2 x+0 x2

Comparando los sumandos con los ejercicios 369 y 321, respectiva

mente, resulta que:

L = lne + 1 22 2

, . e elim --------x+0 Senx

ex . i/ex . e2x 1S o ¿ación.♦ Sea: L = lim --------- = lim -- ----

x+0 Senx x+0 e Senx

L = u “ -i{e ■■2x‘J) {s ^ r ) = = 2x+0 e eu

* Sen2x SenxKfTl . e eE2¿J lira --------------

x+0 x

Solución, Sumando y‘restando la unidad al numerador se tiene:

lim (§--- =S— )

ax _bx

('x+ 0

\‘ i'ué.i6n. Sumando y restando la unidad al numerador se tiene:

ax 1 1 bx .ax * bxt i •/ e ~ i T i — e \ , e — i \ . / e 1 \i, = iim (----- _------ ) = i1Dl (— _— ) . i1Hl (— _— )x+0 x x+0 x x+ 0

ax 1 bx 1= a lim (-1— ) b lim (-------r— — )

x+ 0 ax x+0 bx

V |>or el límite del ejercicio 3 6 9 , obtenemos:

L = alne bine = ab

lim x ( e ^ x 1 )X+oo

1/x n . e1/x 1'•elución. Sea: L = lim x(e 1) = limx + oo x + oo 1 / X

Haciendo: u = ^ , vemos que s:i x+°°, entonces, u+0

u _ 1L = lim (---- — ) = lne = 1 (Ver ejercicio 369)

u+0 u

| lim (Coshx Senhx)X + ± o o

\o¿ución. Se sabe que: Senhx = ^(exe x) y Coshx = (ex+e~x )

L = lim |(ex +e'x ex+e"x ) = lim(e'x )X + ± a > X + ± o o

'uando x + +oo , entonces, L = e"“ = 0

x +'a» , entonces, L = e+”° = oo

378 lim TanhxX + ± a >


x x 2x 1 2xSoiución. Si Tanhx = ■ ■■ = ■ + L = lin — ÖZ-- ’ Llra 2x

e X+1 . x*±°> e + 1

1 1/e2x _ 1 0Cuando x *■ +<», entonces: L = lim ---— — ------ 1

1/<~¿ x

2x

X++CO 1 + 1/e 1 + 0

t 1 e 1 _ 0 1 _x ► entonces: L = lim — ---- = — — ----- = i

x - > - - c o + 1 e + 1 0 + 1

.. uní 4: Operación de hallar los límites 211

il M lim x(/x2+/x‘*+1 x/2)

(’lición. Racionalizando el paréntesis obtenemos:

L = lim x ( x 2 + ^ x » +1 ~ 2 x 2 ) = l i m . x .O V t l .. . - . x2J _

x ~ /x2 + /xk + 1 + x/2 x*» /x 2+/x * + ] + x / 2

¡onalizando nuevamente el numerador se tiene:

x

4.5 DIVERSOS LÍMITES

En los ejercicios 379401 hallar los límites:

K m lim .i..ax., ,t..JJ . Considerar respectivamente los casos en q'X+oo xn + A

n es (1) un número entero positivo, (2) un número entero

negativo, (3) cero.

Soiuciin. (1) Dividiendo el numerador y denominador entre xn se

1 \n\ a t —

tiene: L = lim

! i I .(a +¿ _ _ (a + 0)n _ n

X+co 1 + 4 ' 1 + 0xn

(2) Si n es un número entero negativo:

T . lít, (ax+ 1)n _ -m -. (ax+ 1)nL = lim --- ----- lim -- ------ = lim x

x*oo + A x**> (ax+1)n (1+An )x

donde n es positivo. Consideremos los siguientes casos:

a) Si A>0 ó A<0, y a^O, el grado.del numerador es menor que

el grado del denominador, por tanto: L=0

b) Si A=0 y a 0 L = lim ax ^ — x+“ x¿

Aquí, el numerador y denominador son del mismo grado.

Por tanto: L=an.

c) Si A=0 y a=0 L = lim —^ = 0n 00X»“00 x

(3) Si n=0 + L = lim ° = — — x+t» x°+A 1+A

xL = lim

x+±” (/x2+v ^Vl + x/2)(/x“ + 1 + x2)

'mío que el grado del numerador es menor que el grado del denomi

ui'lor (grado impar), ocurre que:

Si x + +“ , entonces, L = 0

x + oo , entonces, L = «

xtü | lim — — — , a>0

x*±oo a + 1

• tución. Considerando separadamente los’ límites cuando x++°° y

x»00, se tiene:

.) :!i a> 1 L = lim — = lim --- ----- = -1 - = 1

L = lim -- 2-- = — 5— = o0 + 1

Si 0<a< 1 + L = lim ---2--- = — 2— = o

ax + 1

ax

ax + 1

Xa

ax + 1

ax*

ax + 1

ax

ax + 1

1+0

0 + 1

f -i . a. "1 1 .L = lim ------ = ----------------- = ---- = 1

1 + 1/ax 1 + 0

Si a=1 »• L = lim --- --- = — — = 41 + 1 ¿

3 3 lim ax ' ■ ax (a>0)X++0O a +. a

ax a"x a2x 1'tildón. Sea L = lim --------- = limx - y ? Y

x-**±oo a + a x->±oo a +1

2x .i ) l'ara a>1 -► L = lim — -— -- = lim —— I— liÜ 1 "0

+ 1 X+ 1 + 1/a2x " 1+0


,a2x 1, 0 1 1+ L = 1iB 2x~~~ Z ~ TT TT "1

x+°° a + 1

2xb) Para 0<a<1 ■* L = lim f e --- —)■ = q+ 1 =

x++oo a + 1

,a2x 1, . n;. ,1 l/a2x' _ J^ O _ ,"*■ L = lim (— 5 — ---) - lim \ 2x' ~ 1 + 0

x co a + 1 x**®5 1 + 1/a

2x

1mil 4: Operación de ha llar los límites 213

i TT l limh+0

Sen(a+3h) 3Sen(a+2h) + 3Sen(a+h) Sena

¡i/ución. Agrupando términos convenientemente.se tiene:

T _ -1 • _ CSen(a+3h)Sena] 3 [Sen(a+2h)Sen(a+h)ILi— 11ra —.........................•........1 . . 1 1 .1 —......... ...1.1.,1- .—.,

h+0 h 3

[2C0 S(a + |h).Sen(2|)] 3[2Cos(a + |h).Sen(|)J= lim ------------------------------------------------h+0 h3

c) Para a=1 L = lim ( % v----) ' 4vr = 0x*±“ a + 1

E m , . /Senx,lim (— — ) .x+oo

Solución. Dado que: lim (Senx) = a , siendo 1<a<1, y lim(x) = =>XH» XK»

Entonces: L = lim (-■— -) = ¿ = 0 x-h» x

l ü lim (?rc£SS3) X+co

Solución. Sea arcTanx = y *■ x = Tany

Si X+"5, entonces, Tany >»+>■ y *tt/2, o sea: y7r/2 >0

Haciendo el cambio: yir/2 = u , vemos que u+0

Luego: L = lim — ”/2 + u = lim ¥/2 * — = lim (| + u)Tanuu+0 Tan(2 + u) u+0 Cotgu x+0

L = (| + 0)0 = 0

. /X+Senx,wm iiz( )Solución. Dividiendo el numerador y denominador entre x se tie

1 , Senx, . x 1 + 0 ■

ne: L = li a--- r — = i" v "y," = ixh» 1 + Qggy 1 + 0

v m v n ■ arcSenxÍ M l l imx+1 Tan(^|)

Solución. Si x+ 1, entonces, x1+0. Haciendo: x1=u * u+0

T , . arcSen(1+u) . arcSen(l+u)L = lim---- =— ---- = lim ------- ---

u+0 Tanj(1+u) u+0 Cotg(^v)

= lim arcSen (1+u). Tan (5u) = (ir/2).(0) =0u*0

2Cos (a + |h)(sen(-2|) - 3Sen(|)J= lim --------------------------------

h»0 h 3

■ la identidad: Sen3A = 3SenA ¿Sen3A , se tiene:

. 2Cos(a + |h)[3Sen(|) 4Sen3(|) 3Sen(|)]: U n --------------------------------------------

h+0 h3

lim. -8Cos(a + |h) I S?n -i?/-2 I = - lim Cos(a+ |h) 3h+0 ¿ L h3 J h+0 ¿ L h/2 J

L = -Cosa(l)3 = -Cosa

I lia Tan2x(/2Sen2x + 3Senx + A - *^3enJx+6Senx+2)x-*n/Z

/"/ación. Racionalizando la expresión entre paréntesis se tiene

_____tan2x(Sen2x3Senx+2)_______

i T T l limx+0

L = lim — — _____________ _____________x+tt/2 /2Senzx+3Senx+4. + /Sen2x + 6Senx+2

_ Sen2x(Senx1)(Senx+1) ________

x+ir/2 (1Senx)(1+Senx)(/2Sen2x+3Senx+4_ + /Sen2x+

a 2 /n -,1 6Senx+2)___________ Sen2x(Senx 2)________________ _

x+Tr/2 (1+Senx)(/2Sen2x+3Senx+4 + /sen2x+6Senx+2)

(1)2(21 ) = _J

(1+1)(/2+3+4 + /1+6+2) 12

1 Cos(lCosx)

ración. Sea L = lim..1 ~ Cos (2Sen2x/2) = lim 2Sen2 (Sen2x/2)

x+0 x 1* x>0 x 1*

Multiplicando y dividiendo por Sen‘‘(x/2), se tiene:


L = 1 x

im i fSenCSen2x/2)1 2l~Sen(x/2)~| 11 _ i(|) 2

;+0 Se n2x / 2 J L x / 2 J( 1) - = 4

Cos^ . . . . Cos—^)2

= Cos(—^)2

+ un

Cos(~~).Sen(~~)____ 2^______ 2

Sen (—r )2

ion 4: Operación de hallar los límites 215

¿jy(usión. Transformando a producto la diferencia de cosenos se

tiene:

, . llB .2Sen(^±I + iI ). se n (^ ÍI ^)X+oo

2 limX+c»

Sen(/x^ +/5?)

/x +1 + /x----2----

O ... ,/x + 1/Sen \ 2 J

/x+1 /x

(/x+1+/5} (/x +1/^

"i lim ( 5PX) = o (Ver ejercicio 383)

2n'1¡

Sen(^)2

'2nS

2i'1Sen(I2T )2

+ Cos$ . C0 S7 . . . . C os -r = T T r2 4 2 i=1 2 Se n( ~)

2

Según la propiedad: TT ~ ~ — ~ = ^ » sá tiene:i=1 F(i) F(n)

Si F(i) = 21 Sen(4) + ,2

F(n) = 2nSen(~~)2

F(0) = 2°Sen (— ) = Se

v 20n

Luego, L = lim TT u„ =Senx Senx

1 u xxw — — ----- „„n+«> 1 =1 n+OT 2 Sen(— —) lim 2 Sen(—— )

2 n+» 2

(1)

Sea: Li = lim 2nSen(|) . Haciendo: = u , vemos que si n + »,nK» 2” 2

x,„ \ j _ ,Senu) = xentonces, u + 0 . Luego: L, = lim ^(Senu) = x lim

u+ 0 u+ 0

/ \ t SenxEn consecuencia, en (1;: L —

E E U ■ ^ os x^X+oo

•1Solución. Haciendo: — = u , vemos que si: x+<», entonces, u+0

r t . 1 / .\ /1—COSU\Luego: L = lim — (1Cosu) = lim (-- ) = -5

u+ 0 u2 u+0 u2

(Ver ejercicio 321)'

lim (Cos/x+1 Cos/x)X + c o

"i lim ( —5PX) = o (Ver ejercicio 383) X+ oo

.’. L = 2(0) (0) (x + |~x) = 0

H f l ü m x(arcTan|^ j)

B.'fue.ión. Sustituyendo: ■£ = arcTanl y haciendo uso de la iden

atidad: arcTana arcTanb = arcTanC~|'' )» obtenemos:

l. limxíarcTan— l arcTanl)■= lim x TarcTan (0~] 0)1x+oo x+¿ x+» L 2x +3J

*un: nrcTaní^jj) = u + Tanu = ¿x+J ** x = (Cotgu + 3)

*1 * + 00, entonces, Tanu + 0 , o sea: u + 0

l,>" : L = ü m ¿(Cotgu + 3)u = - i lim (m 77) | lim (u)u+ 0 ¿ 2 u+0 Tanu 2 u+0

” 1 = 1(1) f(0) = \

JJ2J lim xíarcTan^i arcTan— ^)

¿1'turión. Valiéndonos de laidentidad del ejercicio 393 se tie

ne que: L = lim x[arcTan(— £¿2----- )] (1 )x+co L 2x2 + 5x+4 I

pi n : u = arcTan(-- Tanu = ---------------- 2Í2— (2 )

2x2+5x+¿ 2x2+5x+4

i, ,|,,nde • x2 = x + 2 . 5x +A + x + 2 5x + ¿2Tanu 2 2xTanu " 2x

dn (.’) vemos que si x+“ , entonces, Tanu + 0 *+ u + 0

í 1 ¡'ii, en (1): L = lim [~gx + 2 ux + o o L 2xf anu 2x J

lim (2 g.)\ lira (■fi^ r) lim (i§±¿). lim (u) = 1X+» ¿x u+0 lanu x+oo 2x u+0 2


limx+0

arcSenx arcTanx

Soluciin. Haciendo uso de la identidad: arcSenA = arcTg(

L = lix+0

arcTg(^===) arcTgx.

+0 \ x 3 >

'1-A 2

y según la identidad del ejercicio 393, obtenemos:

1 <>l’t' ración de halla r los límites 217

i n i lim (Cosx)1/Senxx+o

| .... f>n. Sea: L = lim (Cosx)1/Senx = lim (12Sen 2* ) 1 /Senxx+0 x+0

Supongamos que 2 = 2Sen2^

■ l lim [~(1 + z)^/z"jsenx _ gu donde: u = lim (5 — ■)x- 0 L J x+ 0 Senx

í /

L = lim — arcTan — 2== — —— = li® ~ arcTan---- .

x+0 x3 , /lx2+x2 x+0 x3 (x2+/lx2)(1+/1X2)

(1)

Sea u = arcTan(x2+/lx2)(1+/lX2) (x2+/lx2)(1+/lx2)

de donde: x 3 = (x2+/1x2 )(1+/1x2)Tanu

Si x + 0 , entonces , u arcTan(0) = 0

Luego, en (1): L = lim ~

o bien:

x+0 (x2+/Tx2)(1+/1X2)Tanu

: L = f"lim ---- j = ~ --------- Ì [~lim (¡frrrr)"!l_x»0 (x2+/lx2) (1+/lx2 )J |_u+ 0 J

L =1

(0+/T)(1+/T)(1) = i

KITJ lim (1 + — )X (n>0 )x+°° xn

Solución, Consideremos los casos siguientes para valores de n:

a) Si 0<n< 1 ♦ L = lim (1 + ~4)X = lim F( 1 + "4)* lU"X-»-00 V V-K» L X JXoo

*• L = e11 , donde u ■= lim (~)x*«> x

1 nComo n<1 t 1n>0(, luego,'u = lim (x " ) = °°

X+ oo

T “.. L = e = ®

b) Si n- 1 + L = limx-k» (1 + ¿)x = e

c) Si n> 1II lim

[(1

ni / n+ l)x ]x/x = e

X11X->co L

donde : u = liraX+ co (í>

= lim (—~— r) = 0 + L = e° = 1X-Voo X

ISeíix/2 \ 2

\ x / 2 /11 = lim :.2Sen.2x//2 = ¿ lim y c¡x/2 = 4 — ‘1'2 = 0x+0 Senx 4 x+0 ®(1)

L = e° = 1

t m lim lnCosxx0 x 2

jj|. í... ¡An. Sea L = lim *r! .0sx= ^.im IníCosx)^^x+0 x 2 x+0

L = lim ln(1+Cosx1)1//x = lim ln["( 1 +z )1 Z1z^x 2x+0 x*0

= ln(e)u = u

i. : u = lim 2— = lim ?°sx~ ' = lim "^osx = \ (Ver 321)x+0 x x+0

L = u = 1

Senx

m i l i m 1S e n x ' x " S e n xx+0

a i in. Sea: L = 1 íb ( §2 2* )¿ Üs x = l i m í n ^ - 1 ) l ^ f ~ xx+0 \ x / x-*-0L x J

Supongamos que: _ 1 = z

zSenx

mees: L = lira F( 1+ z)1^Z1x ~Senx = eu , donde: u=iim zSenxx+0 J x>0 xSenx

+ u = lim (Se|x,_ 1)(_§¡S2) = llB .(SeffiE) = ^x+ 0 x . x benx x+0 x

L = e ' 1 = 1


lim (Cosx + Senx)"^xx+0

Solución. Sea: L = lim Pl + (Cosx+Senx1)11/xx+0 *

Haciendo: z = Cosx + Senx 1, se tiene:

L = lim f (1 + z ) 1 / z l z / x = [e]u = eu , donde: u = lim (f)x+0 x+0 x

♦ u = iim (Cosx+Senx 1) = liffl (Senx} . llffl (ICogxj = ,_0 = 1

( >i k ración de ha llar los límites 219

Si f(x) y g(x) son infinitésimas cuando x+a, y

limJíül = Lx+a g(x)

entonces puede ocurrir lo siguiente:

i i !, i 0, las funciones f(x) y g(x) reciben el nombre de

.n f in itísimas de. un mismo o/iden.

x+0 X x+0 x x+0

L = e

(1/3lim (Cosx + aSenbx )1 xx+0

Solución. Sea: L = lim ["i + (Cosx+aSenbx1 )"] 1 xx+0 L J

Haciendo: z = Cosx+aSenbx1 , se tiene:

L = lim f( 1+z )1/z] z/x = e11 , donde: u = lim (f)x+0 U x+0 x

... /Cosx + aSenbx1 \ 1+ u = 1 im ( ■ ■■■■■■ ■ —— j , , . /benbx\ i _ / iuosx^v+0 x ' = ab lam (--g— ) lim (--- — )x 0 x+0 bx x+0 x

= ab(1)(0) = abT ab

.. L = e

4.6 COMPARACION DE MAGNITUDES INFINITESIMALES

Si lim f(x) = 0, esto es, six+a

¥e>0, 36>0/0<|xa|<6 + |f(x)|<e

la función f(x) se llama infinitésima (infinitamente pequeña)

cuando x + a .La suma y el producto de un número limitado de infinitésimas,

cuando x+a, es también un unfinitésimo cuando x+a.

( S i S B E E B Si lim f(x) = 0, es decir, six+’=°

¥e>0, 3K>0/x>N + |f(x)|<e

la función f(x) se llama infinitésima (infinitamente grande)

I) i I, = 0, se dice que la función f(x) es una infinitísima de.

■ ./«vi supe.n.ion. respecto a g(x).

|) l 1, las funciones f(x) y g(x) se llaman equivalentes

■ Minndo x+a: f(x) = g(x)

I’(.i* ejemplo, cuando x+0, Senx = x , Tanx = x , etc.

f| i i llm— ÍIÍíl}— . = l > donde 0< |L|< +<=° , entonces la funciónf(x)x+a [g(x)]n

un denomina infinitísima de o/iden n respecto a la función g(x)

Olí■,i rv .i ci on es : ^ ,

( i I l.n suma de dos infinitésimas de orden distinto, equivale al

mimando cuyo orden es inferior.

( ) !■: 1 límite de la razón de dos infinitésimos no se altera si

los términos de la misma se sustituyen por otros cuyos valo-

res respectivos sean equivalentes..

Según esta observación, al hallar el límite de la fracción

x+a g(x.)

donde f(x)+0 y g(x)+0, cuando x+a, al numerador y denomina.

lor de la fracción se le pueden sumar o restar infinitésimas

de orden superior, elegidos de tal forma, que las cantidades

resultantes sean equivalentes a las anteriores.

„ . . 3/ x3+ ax“ , . 3v/x"3~ 1

Por ejemplo: l i m ---------= lim ----- = — x+0 ln(ax+1) x+0 ax

La magnitud infinitesimal un toma los valores:

u, = 1 , u ¿ = 1 / 2 , us=1/3 ... , 1 / » ...

y la magnitud infinitesimal v^ respectivamente:

vi1 , v 2 = 1/2! , v 3 = 1/3! , ... , vn=1/n!

402


Compara y vfi. Cuál de las dos es de orden infinitesimal supe-

rior?v

Solución. Sea: L = lim = lim ' = lim — 2 = lim —— --- = 0n+°° n n+°° 1/n n+“> n! n+°° (n1)!

Como L = 0, según la definición 2.24b, vn es de orden

infinitesimal superior.

E hk I La. función u , toma los valores:

. no n 4: Operación de hallar los límites 221

f i n Dada la función y=x3, mostrar que Ay y Ax cuando ¿x+0 y

Ax/0, son infinitesimales del mismo orden. Comprobar que

Ii magnitud Ay es infinitesimal de orden superior.que Ax cuando

K' (i. Para qué valor de x son equivalentes los incrementos Ay y

¿"ilición. Si y = x 3 +. y + Ay = (x + Ax)3

+ x 3 + Ay = x 3 + 3(x 2+x A x )A x + A3x

do donde: = 3(x2+xAx) + A2x

ui=0 , U 2 = 3 / 8 , u 3=8/27 , ... , un =(n21)/n3 , ...

y la función vn> respectivamente:

v i=2 , v 2= 5/8 , v 3 = 10/27 , ... , v = ( n 2+l)/n3 , ...nComparar estas dos magnitudes infinitesimales.

u 2 iSolución. Sea: L = li m— — = lim---- = 1

nH» vn n+°° n2 + 1

Según la definición 2.24c, uR y vn son infinitesima-

les equivalentes, esto es: un = v^.

La magnitud infinitesimal u , toma los valores:

ui=0 , u 2=1/4 , u 3=2/9...... , un=(n1)/n2, ...

y la magnitud infinitesimal v^, respectivamente:

vi=3 , V2=5/4 , v 3= 7/9 ...... vn=(2n+1)/n2 , ...

Comprobar que un y vn son infinitesimales del mismo orden, pero

no equivalentes.u

Solución. Si L = li m---, debemos prob,ar que L / 0n+<» vn

En efecto, L = lim / 0n+oo

Por tanto, un y vn son infinitesimales del mismo orden y como

L / 1, un y vn no son equivalentes.

Las funciones y = e son infinitesimales cuando

x+1. Cuál de las dos es de orden infinitesimal superior?

Solución. Sea: L = lim = l i m---- ^ 2 -----x+1 g(x) x+1 (1+x)(1/x)

L = lim ,(1~x) (H/x.) _ lim _l+/x_ _ 1

x+1 (1+ x )(1-x ) x+1 1+x

Por tanto, ambas funciones son del mismo orden e equivalentes .

Ax *

ti l. lim + L = 3(x2 + 0) + 0 =. 3x2Ax+0 Ax

fll x/0 + L/0, luego, las magnitudes Ay y Ax son infinitesima

1 o ¡i del mismo orden.

fli x=0 + L=0 , luego, Ay es infinitesimal de orden superior q1

A«. Ay y Ax serán equivalentes ■*■+ L=1, esto es, si 3x2 = 1

iln donde: x=±/3/3

Comprobar que las magnitudes infinitesimales: 1x y 13/x

son del mismo orden infinitesimal cuando x+1. Son equiva-

lentes?

'•• 'ución. Sean f(x) = 1x y g(x)=13/x+ L = linlí*! = lim = lim . (1x) (1 + 3/x+3 J )

x*1 g(x) x*1 1Vx x+1 (13/x) ( 1 + 3V/3c+3/x )

= lim (1x)(1 + 3 ) = liln (i + 3/j+3y 7) = 3

x+1 1 - X x+1

W1 nudo L/0 , las magnitudes f.(x) y g(x) son‘infinitesimales del

m> ni!> orden. Además como L^1 dichas magnitudes no son infinitesi

mnlns equivalentes.

Sea x+0. Entonces /a+x3/a (a>0) es una ma*gnitud infinite

simal. Determinar el orden respecto a x.

•• ilición. Si f (x) =/a+x 3/a + lim f(x) = 0x+0

Luego, f(x) es una magnitud infinitesimal.

, \ T t • f (x) , . /a+x3/ái| migamos que g(xj=x + L = lxm ---5— — — = li m----- ----

x+0 [g(x)j x+0 x

"finalizando el numerador obtenemos:

222 Capitulo 2: Límite v Continuidad

10

L = li m ----- * ...... . Para que 0<|L|<» + n=3x+0 xn (/a+x3 + /a)

es decir: L = lim ---- = — ~ (con a>0 y L>0)x+0 /a+x3 + /a 2/a

Por lo tanto, f(x) es de tercer orden respecto a x.

Definir el orden, respecto a x, de la función infinitesi-

mal para x+0.

a ’ii 4: Operación de hallar los límites 223

L = lim a(/x+Ax/50(/x+Ax+/x) = llBAx+0 bAx(2x+Ax)(/x+Ax+/x) Ax+0 b(2x+Ax)(/x+Ax+/x)

• L = a _ a

2bx(2/x) ib/x3”

" I., que: x>0 y a/0 , b/0 + L/0 . Por lo tanto, Ax y Ay son in

I I n¡te simales del mismo orden.

•níri equivalentes ++ L=1 , esto es: -- ^= r = 1 *-*■ x = 4 3/a2/2b24b/x3 ¿



,10

Solución. (1) Sea L lim- — — — lim n

(1 ) x3+1000x2 (3) U )1+/x x 3+1

(2) 3/x2 /x

f(x) = lim x3+1000x2

x+0 r g ( x ) ] n x+0 xn

= lin.x2(x+10002 + 3L>0 ^ n=2

x+0 x11

/o\ o T -t ■ V ^ /x(2) Sea L = lim ------ ---

x+0 xn

Para racionalizar el numerador determinamos el común índice

n.c.m(2,3)=6 , entonces, haciendo:

✓ 3 E = u 3

3/5 = u2 + V i 2 = U*U ** U 3 u3(u il

Luego: L = lim---t — -- lim-------- gu+0 ubn u+0 uon

Entonces: 9L>0 *+3■ = 6n ■*-*■ n=l/2

(3) Sea L = lim ^ x + 1— + 3L>0 ++ n=1x+0 x (1+/x)

(4.) Sea: L = lim — — ----- + 3L>0 ** n=10x+0 xn (x3+1)

TE S Demostrar que los incrementos de las funciones u=ai/x y

v=bx2 para x>0 y para el incremento general Ax+0 son del

mismo orden infinitesimal. Para qué valor de x son equivalentes

(a y b son distintos de cero).

De.moA¿/iac¿ón, En efecto: u+Au = a/x+Ax + Ax = a/x+Ax a/x

v+Av = b(x+Ax)2 + Av = b(x+Ax)2bx2= (2bx+b¿x)Ax

L = lim = limAx+0 v(x) Ax+0 x(2bx + bAx) ,

{

EXD Mostrar que cuando x+1 las magnitudes infinitesimales 1x

y a(1v/"x), donde á/0 y k es un número entero positivo, son

i■ i mismo orden infinitesimal. Para qué valor de a son equivalen

'u- muAt/iación. En efecto, sean: f(x)=1x y g(x) = a( 1 ^x)

L = limíiül = lim --1=2---x+1 g(x) x+1 a(1v/x)

1c / ** kini'li'ndo: \/ x = u + x=u . Si x+1 , entonces, u+1

lim 1uk = lim (1u)(1+uk'1+uk'2+ ...+1)

u+1 a(lu) u+1 a(lu)

]■ 1+uk ^+u 2 + ... +1 1 + 1 + 1+ ... k veces 1 klim — ------------------- = — .■ ■■ — u+1 a a a

"uní n/0 y k>0, entonces L¿0. Por tanto, f(x) y g(x) son magnitu

(na infinitesimales, del mismo orden,

ti'r/ín equivalentes ** L=1, o sea, si ^ = 1 + a=k

3 3 Demostrar que las funciones SecxTanx y tt-2x son infinite-

simales del mismo orden cuando x+ir/2. Serán equivalentes?

hn o ¿ilación.. En efecto, sean f (x)=SecxTanx y g(x)=ir2x

+ L = lim J & Ü = lim (Le£.?.,Tanx,)x + tt/2 g(x) x + tt/2' tt-2 x /

i *■tt/2 , entonces, x7r/2+0. Si hacemos x -tt/2= u + u+0

■o: L = Sec^ / 2 +u)Tan(Tr/2 +u) = m Cscu + Cotgu

u+0 2u u+0 2u

■ l ' T Ü g i ) ■ ■ í i i ;u+0 2 uSenu u+0 uSenu 4 u+0 u/2 Senu


Como L/0 las funciones f(x) y g(x) son infinitesimales del mismo

orden. Además, no son equivalentes puesto que L/1.

{{¡J Demostrar que las magnitudes infinitesimales e2xex y

Sen2xSenx son equivalentes cuando x+0.O y v

De.mo¿t/iac.l&n. En efecto, sean f(x)=e e y g(x) =Sen2xSenx

+ L = lim = lim --Xx+0 g(x) x+0 Sen2xSenx

1ipcración de hallar los límites 225

ir1 onalizando el numerador se tiene:

[/l+2x(1+/x) |/l+2x+(1+/x)] /xCv x 2)i | m . — ■■... — x j.iu — x+0 xn (/1+2x + 1+/x) x+0 x (/1+2x + 1+/x)

.... existe jL | >0 -*-+ xn=x^2 *-*■ n=1/2

■in es, el orden de la función f(x) es 1/2 respecto a x.

y * 1un: f(x)=e’/x y g(x)=x + L = lim = lim— -- —

x+0 [g(x)J x+0 x

U i d / + 2 Si +0 t +0

3X (ex1) _ * * 1 ^ )+ L = lim --- — .■ = limx+0 Senx(2Cosx1) x+0 ("■) (2Cosxl)

e°. lim(— ~ ) ^

= lim--- — ------ - liln (S— :_1) = ine = 1 (Ver 369)x+0 (1)[2(1)1j x+0 x

En consecuencia, f(x) y g(x) son magnitudes infinitesimales equi

valentes.

EiEl Definir el orden de la función infinitesimal respecto a x,

cuando x+0.

(1) 3/1+3/ x - 1 (5) ln(1+/xSenx) (9) Cosx 3/Cosx

(2) / 1+2x1/x (6) /l+x2Tan(~) (10) Sen(/1+x 1)

(3)/xe x 1 (7) ex Cosx (11) ln(1+x2)23/(ex

U)eSenx _ 1 V 2

(8) e Cosx (12) arcSen(/4+x22)

Soiución. (1) Sean : f(x )=3/l +3/?1 y g(x)=:X

+ L = lim = lim 3/r+ 3A 1

' x+0 [g(x)J x+0 nX

Multiplicando el numerador y denominador por el factor racio

nalisante a2+ab+b2, donde a=3/l+3/x1 y b=1, obtenemos:

L = lim------- :-- 3 x+0 xn (3/(1 + 3Æ ) 2 + 3/T+3/?+1)

+ 3 |L|>0 +■+ xn = x"^3 S+ n=1/3 (orden de f(x))

(2) Sean: f (x)=/l+2x-1-/x y g(x)=x + L = lim (x+0 V vn /

Unciendo: /x=u + x=u2. Si x+0, entonces, u+0

• I, l i m ( H ± ) = lim (£ M ) ( 1r) = linfj l^. )u+0 V u / u+0 u u2n~1 u+0 \ u )

Luogo, existe |L | >0 <+ 2n1 = 0 <+ n=1/2

f¡ ^ „Senxan: f(x) = eSenx1 y g(x)=x + L = lim = lim----- ~

x+0 [g(x)J x+0 xn

■ L = lim (s i i H J)(Äsr )("irri) = (1) (1)Ji" (i>x+0 Senx x x 1 x+0 xn

’intonces, existe |L|>0 <+x=xn *+ n=1

.';in : f (x) =l n(1 +/xSenx) y g(x)=x + L = lim

x+0lnra mayor claridad, supongamos que z=/xSenx

ln(1+/xSenx)

ln ( = lim ln(1 + z)1/x = lim ln f( 1+z )1/z] z/x► L.= limx+0 x x+0 x+0

, . i , >z/x t ! Zv _ í/xSenxi= lim ln(e) = lim (— )■ - li» (--- •=— )x+0 x+0 x x+0 x

x //Senx n x /./Senx , _ , x,= lim — (-----i - lim — (y— — ) lim ;

x+0 x /x x+0 x x+0 x

F.uego, existe |L |>0 **• x=xn *>■ n=1

Por tanto, f(x) es infinitesimal equivalente a x. (L=1)

Sean: f(x)=/í+x2Tan(^£) y g(x)=x + L = lim ^~*x Tan.(..?x/2)¿ x+0 xn

= lim X li m( Æ E Î )X+0 X11 \ 7TX/2 / ' x+0 V x /

+ L

Luego, existe |L|>0 *-* n1 = 0 ++ n=1 , esto es, el orden de

f(x) respecto a x es 1, pero no es equivalente a x ya q 1 L/1

226 Capítulo 2: Limite v Continuidad

(7) Sean: f(x)=exCosx y g(x)=x + L = lim— * * ^ ■ = limx+0 [g(x)]n x+0 xn

Sumando y restando la unidad al numerador se tiene:

L = lim f a ^ ) + (1Cr )l(~t) = D + O] lim (g)x+0 L x x J xn x+0 xn

Entonces, existe |L|>0 ■**• x = xn ++ n=1

X 2(8) Sean: f(x)=ex Cosx y g(x)=x + L = lira (— --- ^.°s.x )

x+0 V xn '

imi 4: Operación de hallar los límites227

) Sean : f ( x )=ln(1+x 2)23/(ex1 )2 y g(x)=x

+ L = limf(x) = lim

x+0 fg(x)Jn x+0

= limx+0

= lirax+0

|ln(1+

L x2/

+ x2 ) 2

ln(1+x2)23/(ex1)2

(eX1)2/ 3l (x 2/ 3

J xnx2/3 x~

+ X2) ' eX1 '■> ! « ! /X2/ 3 >Jx1*/3. ln( 1+x2 ) _2(^— ^ ) 2/ 3J (— — )

2/ 3

L = lira + l ^ x ] (4)' = [1 + i] lira (S¿)x +0L x 2 x 2 J xn L 2J x +0 x

Luego, existe |L|>0 *+ x2=xn n=2

(9) Sean: f(x)=Cosx’/Cosx y g(x)=x + L = lim -Cox+0 x


= lira r h l ß s E 1zÇ££.x ~| (2d) (Dx+0 L x 2 X 2 J xn

1Cosx 1Por el ejercicio 321 'sabemos que: lim 2 .

o T 13/Cosx . (13/Cosx)(1+3/Cosx+3/Cos2x)Sea: Li = lim -------- = lira — ---------,------------------ -x+0 x2 x+0 x2 (1+3/C os x+ VCos 2x)

Tim t 1 Co SX \ ________ 1_____________________________ / 1 N 11

x+0 \ X2 / 1+ 3/Cosx+3/Cos2x 2 1+1+1

Luego, en (1): L = (4 ¿)li™ ( ~ r )b ¿ x+0 x11

Por tanto, existe |L|>0 ■**■ x2=xn +»■ n = 2

(10) Sea f (x)=Sen(/í+x1) y g(x)=x + L = lim ?f.n^ .1+x .7 .1)x+0 x11

Pero: Sen(/1+X1) = Sen (— — — )

✓1+X+1

/ Sen(— ~— ) \

Entonces: L = lim (---ü x.T.lí.1— ] ------ 1--- (— )x+0 \ ---- ^ + 1 xn

' ✓xTT + 1 '

+ L = (1 ) (~rpr) lira (£) = 1 lim (g) + 3 | L | >0 w n=1x+0 x 1 x+0 x

= r(or /3m 2(1)2/ 3] lira ( < 3) = 2 lim Ä* x+0 xn x+0 x

2/ 3

Por tanto, existe |L|>0 n=2/3

(I.1) Sean: f(x)=arcSen(/4+x22) y g(x)=x

f (x)+ L = lim lim

arcSen(/ ¿+x22)

x+0 fg(x)]n x+0

Pero: ar.cSen(/¿+x22) = arcSenA +x 2+ 2

arcSen(

+ L = limx+0

/¿+x2+2 (___ 1

A + x 2 + 2

.___ ) = 7 li“ (\ )A + x 2+ 2 x 4 x+0 x

Por tantö, existe |L|>0 <+ x2 = xn n=2

4.7 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRIA

m Con.Side.yie.mos un triángulo equilátero de. lado a. Sus tres

alturas sirven para engendrar un nuevo triángulo equitáte

¡o íj asi sucesivamente n veces. Rallar el ¿imite de la suma de

í . i áreas de todos ¿os triángulos cuando n+co.

'olución. En un triángulo equilátero

las alturas son también me

llanas, mediatrices y bisectrices de

l icho triángulo. Luego, cada triángu

1■' engendrado tiene por lado la mitad

ImI lado del triángulo que le precede.


S i An e s e l á r e a d e l t r i á n g u l o n - é s i m o , s e t i e n e :

La suma: S4 42 4 3

s u c e s i ó n g e o m é t r i c a d e r a z ó n 1 / 4

i'

■•<1

/Vi« 4: Operación de hallar los límites 229

1 vi—1

.*. Si = irR n d /2 )ni

L 1 / 2 J2ttR2 ( 1 ---4)

:(2 + 1 + 1 + ... + n^2 ) = R2 l (i)1’2 = 2R2_[ (1)lvi1

i = 1

S2 = 2Rf~1 (1/ 2)ríl =

* 11/2 J4R2(1



Si S ■ * s .i'rs l > w « ) . nj - i ¿ g ( i - - i1r A 11/4 3 41 - 1 / 4

lim S =n«o

c m ün círculo de radio R lleva inscrito un cuadrado, éste,

lleva inscrito un círculo el cual, a su vez, tiene inscri-

to un cuadrado, y así sucesivamente n veces. Hallar el límite de

la suma de las áreas de todos los círculos y el de la suma de to

das las áreas de los cuadrados cuando n*“.

So íu.c¿6n. Sean u y v las áreas nésimas del círculo y el cua..... n n

drado respectivamente.Para él primer círculo: Ui = irR2

Para el primer cuadrado: l i=R/2

+ v x = 11 '= 2R 2

Para el 2do círculo: r 2 = ^ i = 2 ^

7 r ( ^ )2 = (§)R**■ u2

Para el 2do cuadrado il 2 = r2 / 2 = (^)/2

&2 = R + v2 = R2

Para el 3er círculo: r3 = 2 = ^ + u 3 = (|)R2

R 1Para el tercer cuadrado: i 3 - r 3/2 = ^ /2 v3 = gR2

Entonces tenemos las sucesiones geométricas:

1 1/2 J

■:11 consecuencia: lim Si = 2irR2 y lim S2 = 4Rn*“ n*°°

Un triángulo isósceles rectángulo cuyo cateto es igua a a,

tiene dividida su hipotenusa en n partes iguales. De los

puntos de división están trazadas rectas paralelas a los catetos

1'Multando una línea quebrada, AKLMNOPQRTB (véase la figura 16),

uya longitud es igual a 2a para cualquier n. De ahí que el lími

I.» de su longitud es igual a 2a. Pero, por otra parte, la línea

piobrada va aproximándose infinitamente a la hipotenusa del trián

rulo cuando n crece infinitamente. Por consiguiente la longitud

■I>* la hipotenusa es igual a la suma de las longitudes de los cáintos. Este razonamiento encierra un error. Hallarlo. B

' oíación. El error, en el razonamiento es

el siguiente:

1 1 línea quebrada viene aproximándose a

Im recta en el sentido de que sus puntos

aproximan, pero de ello no se deduce

¡mi.' la longitud de la línea quebrada ti-

ntilla a la longitud del segmento.

Figura 16

El segmento AB cuya longitud es a, está dividido en partesiguales por n puntos, desde las cuales se han trazado ra

11; 1 en ángulos ir/2n (véase la.figura 17). Hallar el límite de la

licitud de dicha línea quebrada cuando n crece infinitamente.

Hipara con el resultado del ejercicio anterior..

•Pación. La longitud de cada división es ^


Sea AP — , una división,n

♦ AM = -jjAP•a

2n

AAAAAAAB

En el AAMC: i = AMseca

+ í = gl sec^2n> + 2ní = aSec(^)

Como por cada división consideramos dos

rayos de longitud i,- entonces el límite

de la longitud de la línea quebrada es:

Figura 17

-M a _ Jn *1

ion 4: Operación de ha llar los límites231

ungo, en (1): S aarcSen(^) = a( )

L lim S = — n+00

EE9 Dos círculos de radios R y r respectivamente (R>r) tocan

al eje Y en el origen de coordenadas y están colocados a

l"iocha del eje (véase la fig. 20). De qué orden respecto a x,

■u ol segmento infinitesimal MM1 y el ángulo infinitesimal a

i d ?



L = lim n(2S.) = lim aSecí^) = aSec(O) = an+00 n+"

I El segmento AB cuya longitud es a está dividido en n par -

tes iguales. Los pequeños segmentos resultantes, sirven de

cuerda.s y subtienden arcos de circunferencia, cada uno de los cua

les es igual a ir/n radián (véase la figura 18). Hallar el límite

de la longitud de la línea resultante cuando n+“>. Como cambiaría

el resultado si las cuerdas subtendiesen una semicircunferencia.

Solución. Supongamos un arco de

circunferencia de lon_

gitud s=AP y cuyo ángulo central

es . Como AB=nAP

Entonces: MP = x =

Dado que s = ra +

+ AP =

a2n

TTra =

Figura 18

En el AOMP: Sen(§) = ¿ = 2*n

de donde: a = 2arcSen(2^n)

La longitud S de la línea resultante es la suma de todas las cu

erdas, esto es: S = ns = nra + S 2nrarcSen(2^ ) (1)

Si L es el límite de dicha longitud cuando n+c“, entonces:

L = lim 2rnareSen(jjj)nn»

o „ arcSen(^r)L = lim (— —)arcSen(^) = a l i m---- — ---- = a( 1) = a

u+ 0 u 2r u+0 •(■§£■)

En el caso de que las cuerdas subtiendan una semicircunferencia,

entonces: x=r , o sea, r=a/ 2n *-*■ a=2nr

imndo x+0 ?

Solución. Sean M'(x,y') y M(x,y)

La ecuación de la circunfe

ronda de centro C' es:

( H ) 2+y2=R 2 + y'=/2Rxx2

, do la circunferencia de centro C es

(« r)2+y2=r2 + y = /2rxx2

MM' y'y = /x(/2Rx /2rx)

ílndn f(x)= /x(/2Rx/2rx) y g(x)=x

lim f(x) = lim ~(/2Rjfí’/2rx)Figura 20

x+0 rg (x )] n x+0 xn(/2R /2r) lim — . Luego, existe |L|>0 ++

x+0 x

1 donde: n=1/2 , es decir, MM! es de orden 1/2 respecto a x.

WI m(f0PM' ) = e* y m(^0PM)=e -----°» Q 'p'~ Tan0,Tan8

_ x(y1y) _

x 2+y'y x2+x(/2Rx)(2rx))

f/x(/2Rx /2rx)

l'X X

1V 2

a = e ' - 0 •+• Tana =

_ x( y*-y ) _ x/ x( /2 R- x - /2r-x )

ilcinde: a = arcTan-x).J

lineemos u

x + /(2Rx)(2rx)

/2Rx /2rx

x+0

/2R /2r _ „lim u ----------- > 0x + /(2Rx)(2rx) x+0 2/Rr

itiponiendo que: a=f(x)=arcTan(/xu) y g(x)=x , se tiene:

f(x)lim ___x+0 [g(x)Jn x+0

arcTan(/xu)U n = iim r^rcTan(^u)j(/i)u

x+0 L /xu J xnn


de donde: L = K — •-zí}-- ) lim\ 2/Rr ' x+0 x

Luego, existe |L | >0 *»• /x = xn n1/2

Por tanto, el ángulo a es del orden 1/2 respecto a x.

fEC T El segmento lineal OP une el centro de una circunferencia

con el punto P, que se halla fuera de aquella. De éste tra

zamos una tangente PT a la circunferencia. Del punto T bajamos u

r ■a / Operación de hallar los límites 233

A Ti QB = 2rSena (2)

ffi ■ RI‘ = AB2x = 2rSena2x (3)

A1 .1' ADFB , por tener sus lados

i nti|."divamente perpendiculares.

» ni ({DBF) = a + x = BD(Cosot)

fi roí BD = DM ■* x = DM(Cosa)

■ i, en (3): CD=2rSenaCDCosot

dn donde:

■^CD(Cosa)

jTg _ 2rSena

c /

/ 1 \' 1 \

1 \11¡M \ D

/y*00* 111 l \

1 x\iQ

1+Cosa

na perpendicular, TN, sobre la recta OP. El punto de intersección

de la recta OP con la circunferencia es A. Demostrar que los seg

mentos AP y AÑ son. infinitesimales equivalentes cuando P + A.

De.moAt/iac¿6n, Según la definición 2.24c, debemos probar que:

lim (■P+A

AP)AN

En efecto, sea r el radio de la circunferencia.

Por geometría elemental sabemos que:

PT2 = BPxÁp = (2r+AP)AP

En el ABTA: TN 2 = BÑxÁÑ = (2rAÑ)ÁÑ B

En el ATNP: PT2 = TÑ2 + ÑP2 (Pitágoras)

+ (2r+AP)AP = (2rAÑ)AÑ + (AÑ + AP)2

de donde: rAP = rAN + ANxAPAPAN

T T * tAP \L = llla ÜÑ

P+Alim (1 + )P+A r

1 + 0

C ' 3 E» i°s puntos extremos y medio del arco AB de una circunfe

rencia se han trazado las tangentes y los puntos A y B se

han unido por una cuerda. Demostrar que la razón de las áreas de

dos triángulos resultantes tiende a i, disminuyendo infinitamen-

te el arco AB.

De.mo¿i/iación.. En efecto,, sean las tangentes AP , BP y CD , y el

arco AMB cuyo ángulo central es 2a.

Por ser CD|¡AB + AAPB = ACPD

Si designamos por Sj=a(AAPB) y S2=a(ACPD) , entonces:

Si : S2 = ÁB2 : CD2 (1)

1+Cosa

ii I nuces, en (1) : — =S2

Ar Sen a _/2rSena \ 21+Cosa

a*0(ÍÍS2

lim (1+Cosa)2a*0

(1+Cosa)2

(1+1)2 =

4.8 PROBLEMAS RESUELTOS

i m Partiendo de la equivalencia de las funciones /1+x1 y x,

cuando x+0, calcular aproximadamente:

(1) /Í05 (3) /250 (5) /0.31

(2 ) / 9 1 2 U ) yTSyz (6) /0 . 0 2 1

\ ofución.. Sean f (x)=/1+x1 y g(x)=x/2

. L = 1 im I M = lim - llm 2 (/T+x1) (i/T+x + 1)

x0 g(x) x+0 x/2 x+0 x(/1+x + 1)

2= lim ------1

x+0 /1+x + 1

i uego, f(x) y g(x) son funciones infinitesimales equivalentes,

isto es: f(x) g(x) /1 +x1 - 7;+► /

So debe advertir que esta aproximación solo es posible cuando x

loma valores muy pequeños, es decir, cuando x+O.

(1) /Í05 = /100 + 5 = 1 0 / 1 + = 10'/'l+0*°5

Según (a): /i + 0.05 = 1 + N p = 1025

.‘. /T Ó J = 1 0 ( 1 . 0 25 ) = 10.25

234 Capítulo 2: Límites y continuidad

(2) /9 Ï2 = / 900+Ï2 = 30 < j 1 + = 3 0 /l + 0.0 13

Según (a): /Ï + 0.013 1 + — ~ 1.0065

/. /9Ï2 = 30(1.0065) = 30.195 = 30.2

(3) / 26ÏÏ = /25 6 + 4 = 16 y 1 + 255 = 16/ 1+0.0156

Según (a): /Ï + 0.0156 1 + = 1.0078

’ /2 6Ô = 16(1 0078) = 16 125

1ión 4: Operación de h allar los límites 235

, n (u1 ) , ... n(n- 1 )L = lím _ _ ----- llB ------ ¿A".. — u+1 u - 1 u+1 (u1 )(un_ ,+u“”‘‘e+ ... + 1 )

n n n= lim 1--— 5-------- = ------------------- — = 1

u+1 u +u + ... +1 1+1+1+ .. n vec

. '. VT+x - 1 a S +♦ VTTx - 1 + ^ (a)

(I) Vl047 = 3/100C + 47 = 10\/l" + lélü = 10 3/l + 0.047

Según (a): V i + 0.047 = 1 + = 1.016



.. /2 6Ô = 16(1.0078) = 16.125

(4)

(5)

''I63 2 = / 1 6 0 0 + 3 2 = 40 /i + = 40 /l + 0 . 0 2

Según (a): /Ï + 0.02 = 1 + ^ 1.01 >

/ 1 6 3 2 = 1 0 (1 .0 1 ) 4 0 . 4

/ O T = /31ÔÏÏ = ^02 5 + 75 =

= 0.55/1 + 0.025

Según (a): /i + 0.025 = 1 + °'Tg ^ = 1.0125

.’. /0 .31 = 0. 55(1.0125) = 0.557

3025

(6 )

= O.U /Í + 0.0 7U

Según (a): /i + 0.0714 = 1 + 0,° ^

.'. /0.021 = 0.14(1.0357) 0. 145

1.0357

gp TÜ Mostrar que las funciones V 1+x_1 y x/n son infinitesima-

les equivalentes cuando x+0. Valerse de ello para calcular

aproximadamente las raíces:

(1) Vl 04 7 (2 ) V81 44 (3) s/l7í (4) V i o 80

Hallar el valor de las referidas raíces en la tabla de logarit-

mos. Comparar los resultados.

Demost/iaciin, En efecto, sean: f(x) = VT +x l y g(x)=x/n

T ,. f (x). VT + x 1+ L = lim — — '■ ~ l i m----------x+ 0 g(x) x+0 x/n

Sea 1+x = u + un1 . Si x+0 , entonces, u + 1

.". J/1047 = 10(1.016) = 10.16

(;>) 3/8144 = 3/8000 + 144 = 2 0 l / 7 7 = 203/l +0.018

Según (a): 3/ l + 0.018 = 1 + -0--3— =1.006

.*. 3 / 8 1 4 4 = 20 (*1.006) = 2 0 .12

( )) V108 0 = V1 02 4 + 56 = 4' V 1^+ itÜ% = 4(S/1 + 0.054)

Según (a): Vi + 0.054 = 1 + = 1 . 0 1

S/1080 = 4(1.01) = 4.04

Valiéndose de la equivalencia de ln(1+x) y x cuando x+0,

calcular aproximadamente los logaritmos naturales (neperia

11■■n) de los siguientes números: 1.01, 1.02, 1.1, 1.2. Hallar los

logaritmos decimales de los mismos números y compararlos con los

(lutos presentados en la tabla.

Soíuci&n. Sean: f(x)=ln(1+x) y g(x)=x

+ L = lim = lim iüÜtgj = lim ln(1+x)1//xx+0 g(x) x+0 x x+0

Inflim ( 1 + x ) 1 / x 1 = InLx+0 J

(e) = 1lx+0

.’. ln(1+x) = x

Aplicando esta aproximación para los números dados se tiene:

(1) ln(1.01) = ln(1 + 0.01) = 0.01

(2) ln(1.02) = ln(1 + 0.02) = 0.02

(3) ln(1.1) = ln(1 + 0.1) = 0.1

(4) ln(1.2) = ln(1 + 0.2) a 0.2

236 Capítulo 2: Limites y continuidad

r m Una circunferenciacuyo radio es R está dividida en n pun-

tos Mi, M2 , . . . , en partes iguales. Cada uno de los re

feridos puntos sirve para trazar desde él un arco de circunferen •

cia (cuyo radio es r) hasta que se corte con otros arcos traza-

dos desde los puntos vecinos (véase

la figura 19)* Hallar el límite de

la longitud de la línea cerrada re

sultante cuando n crece infinita-

mente.

DERIVADACÁLCULO DIFERENCIAL

So lu.c¿6n. Separemos un elemento

diferencial de longitud

s cuyos ángulos centrales son a y 8.

+ *CD = R8, pero: CD=M iM2=M 2M j= ...

+ nCD = 2ttR •*» nR8 = 2nR + 8=2ir/n

Supongamos que: h=0B

En el AOEB: x=hSen(^) x=hSen(^)

En el AMiEB: x=rSen(|) + hSen(^)=rSen (|)

de donde: a = 2arcSen

s = 2rarcSeSi s=ra

Siendo S la longitud de la línea cerrada,

entonces: S = ns

L lim S = lim 2arcSenn +00 n+<”

lim h = R+rnvoo

Luego

Pero:

+ L = lim 2rn. arcSen í(^*— )Sen ( )ln->-co L r n Jnx»

Haciendo: — = u ■*n

Si n + 00, entonces:

7Tu

L = lim S = 2n(R+r) limu+0 u+0

arcSen f(R+r ■X.-

Senul

(R+£)Senu

^Senuj

L = 2ir(R+r) (1) (1) = 2ir(R+r)

V i -DERIVADA, VELOCIDAD DE VARIACIÓN

Si xi y X 2 son valores del dominio de la función

/ l'(x), mientras que yi=f(xi) e y2=f(x2) son los correspondien

1. valores de dicha fTmción, entonces:

Ax = x 2 - Xi (1)

un llama incremento del an.gume.nto

• ile. la van.ia6.le. x en el segmento

I x 1 ,x2 |, y

Ay = y 2 - yi (2)

Ay = f (x2 ) - f (x ! > = f (x j + A x ) - f (x ! )

recibe el nombre de incremento de

ía (.unción en el mismo segmentoT 0

I<1,x2 I (En la fig.3.1 Ax=PiA y Ay=AP2)

razón: = Tan$ U)

■'presenta el coeficiente angular de la secante PjPj de la gráf_i

m de la función y=f(x), y se llama velocidad media de variación

' la función y en el segmento <xi,xi+Ax>.

238Capítulo 3: Derivadas

1.1 ALGUNOS PROBLEMAS DE FÍSICA

Dada la ecuación del movimiento rectilíneo del punto:

s = 5t+6

hallar la velocidad media del movimiento: a) en los primeros 6

seg. b) en el intervalo de tiempo transcurrido entre el final

del tercer segundo hasta el final del sexto segundo.

Solución. a) Sea s=f(t), entonces, según la definición 3.1 se

.’/i / De riva da - Velocidad de variación 239

i > ('imndo: ti=240 seg. y t2=420 seg ■* At=t2ti = 180 seg.

Kntonces, en (1 ): v = 8°' = °55 ra/s

i ) Kn el intervalo [ti,tí}: v = 1+ 2~^ 1 m/s1200 1200

C H 3 Dada la ecuación del movimiento rectilíneo: s=t3+ , ha-

llar la velocidad media del movimiento en el intervalo de

) ( ), , g

tiene: As = f(t i+At)f(tj)

= 5(ti+At)+6 (5t i + 6) = 5At

"*• ff = 5 ' ¥t

Esto es, la velocidad media de variación de la función s es cons

tante en todo tiempo.

BÍ EU El punto M va alejándose del punto inmóvil A de modo que

la distancia AM aumenta, siendo proporcional al cuadrado

del tiempo. Al.transcurrir 2 minutos desde que comenzó el movi-

miento, la distancia AM era igual a 12m. dallar la velocidad me-

dia del movimiento: a) en los primeros 5 minutos, b) en el inter.valo de tiempo desde t=4min hasta t=7min, c) en el intervalo de

tiempo desde t=ti hasta t=t2.

So¿uc¿¿n. Sea s=AM la distancia dirigida al desplazarse el pun

to M desde A en t seg.

Entonces s es la función definida

por: s = kt 2 t, = 0 t, t3 to— ^ — o

Si AM=12m para t=2min=120seg. ^ g

12 = k( 120)2 k --- — L1200t2

Luego, la ecuación del movimiento es: s = "^ qq

y cuya velocidad media es: v = ff

donde: As = f (ti+At)f (ti) = k(ti+At)2 ktf = k(2ti+At)At

de donde: ff = '"^500^ (1 ]

a) En los primeros 5x60=300seg., ti=0 y t2=300 + At=t2t!=300

llar la velocidad media del movimiento en el intervalo de

u. Nipo desde t=4 hasta t=4+At, poniendo At=2 , 1 , 0.1 , 0.03.

■ur ión. Si As = f(t+At) f(t) , entonces:

As = (t+At)3 + (t3 + \)

= 3t2At + 3tA2t + A 3t 3Att(t+At)

— ■ = 3t2 + 3tAt + A21 3Att(t+At)

l'nia t=4 y At=2 + ff = 3(4)2+3(4) (2) + (2)2 = 75.875

w y At=1 + ff = 3(4)2+3(4)(1)+(1)2 = 60.85

t=4 y At=0.1 ff = 49.03

t=4 y At=0.03 •> ff = 48.18

[ Q J Dn cuerpo efectúa la caida libre de acuerdo con la ley:

s = jS 2> donde g (9.80m/seg2) es la aceleración de la

gravedad. Hallar la velocidad media del movimiento en el interva

I» de tiempo desde t=5 seg. hasta (t+At) seg.»poniendo At=1s,

u.1s, 0.05s, 0.001s,hallar la velocidad del cuerpo en caida li

lue al final del quinto y del décimo segundo. Obtener la fórmula

'lo la velocidad del cuerpo en caida libre para cualquier momento

de tiempo t. ;

solución. Si As = |g(t+At)2 igt2 = g(t + ^At)At

+ ff = S(* + ÍAt)

rara t=5 y At=1 + ff = 9.8(5+0.5) = 53.9 m/s

240 Capitulo 3: Derivadas

Para t=5 y At=0.1 41 = 9.8(5+0.05) 49.49 m/sAt

t=5 y At=0.05 * ff = 9.8C5+0.025) = 49.245 m/s

t=5y At=0.001*■ || = 9.8(5+0.0005) = 49.005 m/s

Si v (t) = lim = lim g(t+ =At+0 At+0 ¿

entonces, para t=5s , v(5) = 9.8(5) = 49 m/s

t=10s , v (10) = 9.8(10) = 98 m/s

■< ióii I: Derivada - Velocidad de variación 241

i111 del punto A, b) en el mismo punto A, c) en el extremo de la

t u r r a ,

\ •> f.ución, Incremento de la función:

Am = 3U+A£)2+5U+AiO(3J!.2+5S.) = AÍ,(6£+5+3ASL)'

<ii' donde: = 6A + 5+3AÍ. A ¿ P BO.. 111.. . ......I...... . .....o

l,n densidad lineal en cualquier ^ ____________*|

1'unto.P de la barra AB es:

.1(4) = lim (xf) = lim (6H + 5+3AS.) = 6JI + 5A*+0 X AJl+0

y para cualquier tiempo t segundos: v(t) = 9.8t m/s

1 Consideremos una barra delgada de estructura heterogénea

AB cuya longitud L=20cm. La masa de un segmento AM aumenta

proporcionalmente al cuadrado de la distancia entre el punto M y

el punto A, siendo la masa del segmento AM=2cm igual a 8g. Ha-

llar: a) la densidad^media lineal del segmento AM=2cm de la ba-

rra, b) de toda la barra, c) la densidad de la barra en el punto

M.

Solución. Sea x la longitud del segmento AM

Si m=f(AM) *■ m=kx2 .nA x M B

Para AM=2cm y m=8g 8=k(2) T

de donde:k=2 + m=2x2 I" L — 20cm*|

Incremento de la función:

Am = f(x+Ax)f(x) = 2 (x +Ax )2-2x 2 = 4xAx + 2A2x *■ ¿f = ¿x+2Ax

La densidad ..media lineal de la barra en un punto x es:

d = lim^ = lim (4x+2Ax) = 4xAx+0 x Ax+0

ga) Densidad media del segmento AM=2cm es: d = g = 4 g/cm

b) Densidad de toda la barra (L=20cm): x = íf = 10cm

.'. d = 4(10) = 40 g/cm

c) densidad de la barra en el punto M: d = 4x g/cm

KfcJI La masa (en g) de una barra delgada de estructura heterogé

nea AB, que mide 30cm, está distribuida de acuerdo con la

ley m=3£2+5$,, donde SL es la longitud de un segmento de la barra

medida a partir del punto A. Hallar: 1) la densidad media lineal

de la barra, 2) la densidad lineal: a) en el punto que dista £=5

(1) La densidad media lineal de la barra es: d(lj)=6(15) + 5 = 95 g/cm

(2) a) d(5) = 6(5)+5 = 35 g/cm

b) d(0) = 6(0)+5 = 5 g/cm

c) f(30) = 6(30)+5 = 185 g/cm

La fórmula Q=t+0.00002t2+0.0000003t3 establece la cantidad

de calor Q (en calorías) necesaria para que la temperatura

de 1g de agua pase de 0o a t°C. Calcular la capacidad calorífica

del agua para t=30° y t=100°.

Solución, El incremento de la función es:

AQ = (t+At)+2x10'5(t+At)2+3x10'7(t+At)3

(t+2x10"5t +3x10"7t 3)

3t = 1+¿x'lo"5t+9x10“ 7t2 + 2x10'5At+9x10‘7tAt+3x10'7A2t

Si C es la capacidad calorífica del agua, entonces:

Para t=30° >• C = 1+4*10" 5 (30) +9x10* 7 (30):

C = lim (|§) = 1+4x10'5t+9x10'7t 2At+0

1+0.0012+0.0081 = 1.00201

1 > 0 0 2 Salorias a ^ Julio ag.grados ^ Kg.grados

0 V r — u iyin'síiníi\iQ(íin'7íirmU 1 m o calor i asPara t=100° •> C = 1+4x 10'5 (100)+9x10'7 (100) 2 = 1.013 g.grados

La velocidad angular de la rotación uniforme es definida

como la razón del ángulo de giro respecto al correspondien-

te intervalo de tiempo. Dar la definición de la velocidad angular

ríe la rotación no uniforme.


1.2 FUNCIÓN DERIVADA

Sea f:A+R una función real definida en cierto in

tervalo A. Se llama de./iivada de la función y con

respecto al argumento x, al límite de la razón ^ , cuando Ax »O

es decir:

f ' ( x) = l i m (*E) = l i m f ( x+ ¿x ) - f ( x > ( 5)Ax+0 Ax+0 Ax

. 1<ion I: D erivada - Velocidad de variación 243

f'(Xl) = li;f(x2) f('Xl)

x2*x.i X2X 1

’ l sustituimos a x2 por el punto genérico x, y x¡ por el punto a

■Muñár emos otra forma de exprezar la derivada de una función en

ni punto a, esto es:

f(x) f (a)f ' (a ) = 1 ira

x+a(8)



si dicho límite existe.Simultáneamente con la notación f 1 (x) para la derivada se emple

an, también, otras designaciones, tales como:

y' , , Df(x) , ^f(x) . etc

Sea f:A+R una función real definida en el punto

acA. Sé dice que f es derivable en el punto a,

si y sólo si, el, . f(a+Ax.) f(a)xim ■- ■Ax+0 Ax

existe y es único, y cuyo valor concreto se designa por f'(a),

esto es:f 1(a) =

Ax+0 Axf ' ( a ) = l i m f ( a i A x ’ '-1 -1 (6)

Observaciones. (1) A cada valor de x le porresponde un valor de-

terminado de f'(x), es decir, la derivada es.

también función de x.

(2) La operación que tiene por objetó hallar la derivada de la

función f(x), se llama de.nivac.L6n de esta función.

(3) Por comodidad se emplea la letra h para designar al incremen

to de x, es decir, si h=Ax, entonces en (5) se tiene:

f'(x) = lim £lx+h L.~. Ii*? (7)h+ 0 ' h

(4) Como: Ax = X 2X 1 + x¡ = Xi+Ax + f(x2) = f(xi+Ax)

Si Ax + 0, entonces, X 2X 1 + 0 ■**■ x¡ +

Luego, la fórmula (5) se puede escribir:

PROBLEMAS RESUELTOS

I Hallar el incremento de la función y=x3 en el punto Xi=2,

poniendo el incremento Ax de la variable independiente X-

gual a: (1) 2 , (2) 1 , (3) 0.5 , (4) 0.1

■ elución. Si y=x 3 + Ay = f(xí+Ax)f(x1 ) (Def.3.1)

(1) Para x a=2 y Ax=2 + Ay = f(2+2)f(2)

= 4 3 2 3 = 56

(.’) Para Xi=2 y Ax=1 + Ay = f(3)f(2)=332 3 = 19

(3) Para Xl=2 y Ax=0.5 + Ay = f(2.5)f(2) = (2.5}32 3 = 7.625

(4) Para Xi=2 y Ax=0.1 + Ay = f (2.1)f(2) = ( 2 . D 3 2 3 = 1.24

Hallar la razón ^ para las siguientes funciones:

(1) y = 2x3x2+1 , para x=1 , Ax=0,1

(2) y = — , para x=2 , Ax=0.01

(3) y = /x , para x=4 , Ax=0.4

Mostrar que cuando Ax+0, el límite de la referida razón en el

primer caso es igual a 4., en el segundo, 1/4 , en el tercero, -7

'•elución. Según la definición 3.1 se. tiene:

(1) Ay = f(x+Ax)f(x) = 2(x+ Ax) 3(x+Ax)2+1(2x3x2+1)

= Ax(6x22x+6xAx+2A2xAx)

+ = 6x 22x+6xAx+2A2xAx

i /ira x=1 y Ax=0.1 + ^ = 62 +6 (0. 1)+2 (0. 1) 2(0.1) = 4 . 5 2

244Capítulo 3; Derivadas

Si L = lim (4^) = 6x22x , para x = 1 + L = 62 = 4Ax+0 üx

(2) y = — + ¿y x+¿x x x(x+Ax) + Ax x(x+Ax)

Para x=2 y x=0.01 + ^ = 2'(¿'j'oi'T =

+ L = lim = J— , para x = 2 + L = 1/4.Ax+0 Ax x2

(3) y = /x + Ay = /x+Ax /x = Ax---- + Ax =/x+Ax + /x Ax /x+Ax + /x

ion I: Derivada - Velocidad de variación 245

Knlonces: f'(1) = 3(1)2 = 3 , f'(0) = 3(0)2 = 0

f«(/2) = 3(/2)2 = 6 , f 1 (1/3) = 3 (1/3) 2 = 1/3

f(x)=x2. En qué punto f(x)=f'(x)?

'"lución. f'(x) = lim f(x+Ax)f(x) = liffl Jx +Ax^x» = 2x

Ax+0 Ax Ax+0 Ax

Si f(x) = f'(x) + x 2=2x ++ x=0 ó x=2

C U Comprobar la siguiente aserción: para la función f(x)=x2

Para x=4 y x=0 .4 + ^ = .0 .244

+ L = lim ( ^) = — — , para x=4 + L = 1/4Ax+0 2/x

j : J Dada la función y=x2, hallar los valores aproximados de la

derivada en el punto x=3, poniendo sucesivamente Ax igual:

a) 0.5 b) 0.1 c) 0.01d)0.001

So¿uc¿6n. Según la definición 3.3 se tiene:

f 1 (a) = lim fU+ Ax) fjx) = llm (a+Ax)2

Ax+0 Ax Ax+0 Ax

= 2a + Axa) Para a=3 y Ax=0.5 + f1(3)=6+0.5=6.5

b) Para a=3 y Ax=0.1 + f ’(3)=6+0.1 = 6.1

c) Para a=3 y Ax=0.01 + f'(3) = 6+0.01 = 6.01

d) Para a=3 y Ax=0.001 + f'(3) = 6+0.001 = 6.001

EFE1 f(x)=x2 . Hallar f'(5) , f ’(2) , f»(3/2)

c e -a if i f(a+Ax)f(a) , . (a+Ax)2a2 _ _ .Soíucton, f'(a) = lim — — -- -- — = lim ---- ---- = 2aAx+0 Ax Ax+0 Ax

Por tanto: f1(5)=2(5)=10 , f'(2)=2(2)=4

f '( 3/2)=2( — 3/2)=3

E J J f(x)=x3. Hallar f'(1), f1 (0) , f'(/2) , f • (1/3)

Solución. f1 (a) = lim £l?.tSx >f <a> = lim (L+**■\ *'~x' = 3 a2Axt0 Ax Ax+0 Ax

es válida la relación f'(a+b) = f'(a)+f'(b). Es válida es

ta identidad para la función f(x)=x3?

., \ . f(x+Ax)f(x) t . _ (x+Ax)2x2 „\nfuctón» f'(x) = lim — ----¿ 1— = lim i---- ---- = 2xAx+0 Ax Ax+0 . Ax

Entonces: f'(a+b) = 2(a+b) (1)

i'(a)=2a y f'(b)=2b +f'(a)+f'(b) = 2a+2b = 2(a+b) (2)

l.nogo, de (1) y (2): f'(a+b) = f'(a) + f'(b) Es válida

:l f(x) = x 3 + f'(x) = lim = 3X2Ax+0 Ax

Kntonces: f ' (a+b) =3( a+b)2 , f'(a)=3a2 y f'(b)=3b2

Como 3(a+b)2 / 3a2+3b2 + f'(a+b) ^ f'(a) + f'(b)l'or tanto, no es válida la identidad.

Hallar la derivada de la función y=Senjc para x=0.

solución. f 1 (x) = limf(x+Ax)f(x)' = lim^ i .x+Ax 2 ~SenxAx+0 Ax Ax+0 Ax

lim SenxCosAx + SenAxCosx Senx

Ax+0 Ax

= lim íSa nxdCosAx) + (SenAx)f,ng

Ax+0 L Ax Ax

= Senx lim (1^ff ^) + lim ^SSáx)CosxAx+0 Ax+0 Ax

= Senx(0) + (1)Cosx = Cosx

.“. f'(0) = CosO = 1

Hallar la derivada de la función y=logx para x=1

Solución. f ' (x) = lim f.(x+A.x> f (xj = lim log(x+Ax) logxAx+0 Ax Ax+0 Ax

246 Cavítulo 3: Derivadas

f.w , n . r ' ^ 1 * 11 * ^ )x/‘x] ’Ax+0 L Ax J Ax+O

/x

= log(e)1/,x = -loge

f ' (1) = loge = 0. 4343

Hallar la derivada de la función y=10x para x=0.

Solución. f'(x) = lim f(x+¿x ) ~f(x = H »Ax+0 Ax Ax+0

1Qx+Ax _ 1Qx

Ax

Vi i ión 1: Derivada - Velocidad de variación247

Análogamente se demuestra que: lim JlÍÍLL = g'(0)x+0 x

y como g'(0) ^ 0, dividiendo los extremos de ambas igualdades

i" tiene:

l i m J ^

- x* ° , x . = I l i o ) l iB f W = I l i o )lim x g ' (0 ) x+0 g (x) g'(0)

Demostrar lo siguiente: si f(x) tiene la derivada cuando

i r»ÀX 1= lim 10x ( 1'

Ax+0 Ax

Dado que: lim ( '■•)=lna (Ver ejercicio 369) + f1(x)10xln10h +0 n

Luego, para x=0 + f1 (0) = 10°ln10 = ln10 = 2.303

É W J Es sabido que la función f(0)=0 y que existe el límite de

la expresión "•£— para x+0. Demostrar que este límite es

igual a f1(0). . > . f(x+Ax)f(x)

De.mo4¿/iact6n. En efecto, si y=f(x) ¿je = ----- Ax-----

f(x+Ax)f(x)

Ax

Para x=0 + f'(0) = .lim f(Ax)~f = lim £ i Ax 2 , ya que' f(0)=0Ax+0 Ax Ax+0 Ax

Como y=f(x), en el límite podemos intercambiar Ax por x, en con-

secuencia:

lim JLÍ*2 = f ' (0)x+0 x

Según la definición 3.2: f'(x) limAx+0

Demostrar el siguiente teorema: Si f(x) y g(x) son iguales

a cero, cuando x=0 [f(0)=0 , g(0)=0] y tienen derivadas pa

ra x=0, siendo g !(x)/0, se tiene:

f(x) _ f'(0)limx+0 g(x) g'(0)

De.mo¿í/iaci6n. En efecto, según el ejercicio anterior:

lim f(x) = f'(0)x+0

x=a, se tiene: lim x (a)~aí,(x ) _ f(a)af'(a)x+a xa

ihmo¿¿/iaci6n. En efecto, sumando y restando af(a) al numerador

del límite dado, se tiene:

lim xf(a) ~af(x) _ limxf(a) af(a) af(x) + af(a)

x+a x a x+a ’ x a

= lim (x~a)f(a) a[f(x)f(a)]

x+a x a

= lim íiL: f(a) a lim f(xJ'f(a)x+a xa x+a xa

= f(a) af1(a)

Demostrar que la derivada de una función par es una función

impar, mientras que la derivada de una función impar es una

función par.

i)c.mo¿t/iación. En efecto, sea y=f(x) una función par, cuya deri-

vada, según la definición 3.2, es:

f'(x) = lim £i xtAx >f<x> + f.(x) = ii0 f(xAx)f(x)Ax+0 Ax Ax+0 Ax

= lim f [(x+¿x)3~f(x)Ax+0 Ax

loro como f(x) es una función par + f(x)=f(x) , ¥xeDom(f)

+ f'(x) = lim = lim £íx.^x,)f(x ),= _f ,(x)Ax+0 Ax Ax+0 Ax

Kn consecuencia, f!(x) es una función impar.

Análogamente se demuestra que si y=f(x) es una función entonces,

r'(x) es una función par.


1.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

funci°n y=f(x) es derivabtLe en el punto Xj,

entonces la recta tangente a la gráfica de f en

punto Pi(xi.yi) es la recta que pasa por P que tiene pendiente

m definida como:

f (x a+Ax) f (x i)limAx +0

(9)Ax y iL / /

/<’ m I: Velocidad de variación 249

/ación. Si f(x)=x2 ■*f 1 (x 1) = lim f + [*}lAx>0 Ax

= lim (x 1 + Ax )2xt _ 2xi

Ax*0 Ax

M"i;ún la definición 3.4: m = 2x 1

I.>1 n|'o: (1) Para xj=0 *■ m=0 ; (2) EnXj=3 + m=2(3)=6

(3) En xi=2 > m=2(2)=4

(/,) (y=x2) A (y=3x2) = (1,1) ó (2,4)

En xi=1 ♦ m = 2 ( l ) = 2

xi=2 ■* m = 2(2) = 4

si el límite existe.

En efecto, según la definición 31,

fórmula (4), sabemos que él coefi-

ciente angular de 1a secante P 1P 2

es: Tg* = fí = ¿L XlíAxif.U , ,)

En la figura 3.2 podemos observar

que cuando Ax+0, los puntos P 2 se a

proximan a Pi, es decir, las pendien

tes de las rectas secantes P 1P 2 se a

proximan a la pendiente de la recta

tangente L, o sea: lim Tgi¡> = Tga = mAx+0

(10)

Vr / / ' ' / / 'Ay //^\-\ Ip, 1 i

^ 7 T ' ~ T j A\ ! 1 *

"f 0 / X, x; X<

H — Ax — H

Figura 3.2

Aplicando límites en (10) se tiene

f(x í+Ax )n = lim

Ax+0

lim Tg<J> =Ax+0

f (xi )

limAx+0

f(xi+Ax)f(xt)

Ax

Ax

y por la definición 3.3: m = f'(xi)

Por tanto, la derivada f'(xi) es la pendiente de la recta tangen

te a la gráfica de f en el punto xi.

PROBLEMAS RESUELTOS

Hallar el coeficiente angular de la tangente a la parábola

y=x2 : 1) en el origen de coordenadas, 2) en el punto (3,9)

3) en el punto (2,4), 4) en los puntos de intersección de la pa

rábola con la recta y=3x2.

45 4

f En qué puntos es igual a 3 el coeficiente angular de la

tángete a la parábola cúbica y=x3?

Solución. Si f(x)=xJ f 1 (xj) = limf 1xL+a_xL ^ 1 ^Ax+0 Ax

. . = lim = 3xfAx*0 .Ax

I f'(xi) = m + 3x2 = 3 x2 = 1 «+ Xi = 1 ó Xi=1

l'nr tanto, los puntos buscados son: (1,1) y (1,1)

B U En qué punto la tangente a la parábola y=x2: (1) es parale

la al eje OX, (2) forma un ángulo de 45° con el eje OX?

Vo¿ación. Según el ejercicio anterior, si f(x)=x2 * f'(xl)=2xl.

(1) Para m=0 2xi=0 x ^ O

Luego, en (0,0), la tangente es paralela al eje 0X.

( 2 ) Param=Tan45° = 1 + 2Xl = 1 Xj = 1/2 .*. P(l/2,1/4) es el

punto requerido.

f¡!tl Una tangente a la parábola cúbica y=xJ puede formar un án-

gulo obtuso con el eje 0X?

Salación. Según la definición 3.4, se sabe que:

m = Tana = f'(xj) = lim .L(xi*Ax)~f )Ax+0 Ax

+ Tana = lim <x V " X1 = 3x2Ax>0 Ax

como x2>0 , ¥xieR, se deduce que: Tana>0, VxjeDomíf)

l’or tanto, la tangente a la curva y=x3, no puede formar un ánguloobtuso con el eje 0X.

250 Capítulo 3: Derivadas

Qué ángulos forman al cortarse la parabola yx 2 y la recta

3xy2 =0 ?

50 ¿ución.. Si f (x)=x2 + f'(xi) = lira (xi+Ax) ~x_i = 2xiAx*0 Ax

(y=x2) a ( 3xy2=0 ) = (1 ,1 ) y (2,4)

Luego, los coeficientes angulares de las tangentes en tales pun-

tos son: Para Xj = 1 Tanai=2(l) = 2

Xj=2 *■ Tana2=2(2) = 4

51 L:3xy2=0 *■ m=Tana =3

" ' i ión 1: Velocidad de variació n251

l'nra xi = 1 m i=1

í c(x)=/x + g'(x) = lim — X+AX ~ Sx =

l 'nra x i =1 -

I,tingo: Tan0

m 2

Ax+0

: ' ( x i ) = 5

Ax

m2mi _ 1/2 + 1

1+mi • ni2 1 - 1/2

Ax+0 /x+Ax + /x 2/x

0 = a r c T a n ( 3 )

Escribir la ecuación de la tangente y de la normal a la

curva y=x3 en el punto cuya abscisa es 2. Hallar la subtan

Sean 0i y 02 los ángulos que lormanla recta L con las tangentes+ Tan0i = Tana Tanai = 3J2 = 1 _0j= arcTan(1/7)

1 + Tga.Tgcii 1+6

Tan02 = Tanot2 ~ Tana = = -A ^ 0 2= arcTan( 1/13)1 + Tga.Tga2 1+12

Qué ángulos forman al cortarse lasparábolas y=x2 e y 2=x?

Solución. (y=x2)a (y2=x) = Pi(1,1) y P 2 (0,0)

Si y=x2 f'(xi) = lira (xi +Ax)2~.- I = 2xjAx+0 Ax

Para xi=1 + mi=Tanai=2(1)=2

x2=0 + mi=Tancti = 0

/— r..! ■> */x 1+6x /*! _ „.Si y = A f (xi) = l i m - linJLAUi --- --- __

Ax+0 Ax Ax+0 /xi+Ax + /xi

= 1/2/xT

Para xi = 1 Tana 2 = 1/2 , para x=0■*■m2=°>

_ ,\ _ „ tanaiTana2_ 2 1/2 _ ¿Luego, en P (1,1): Tan0i--------------- — ¿

1+TgaiTga2 1+2(1/2) 4

0i = arcTan(3/4)

En P 2 (0,0)., Tan02= « + 02=ir/2

PfrfU Qué ángulo. forman al cortarse la hipérbola y=1/x y la parabola y=/x?

Solución. (y=l/x) A (y=/x) = P i (1,1) ^

Si f(x) = ± f'(X l) = lim Xl+¿---£» = - 7x Ax+0 Ax xí

gente y la subnormal.

' fución. Para x=2 y=(2) 3 =8, entonces, el punto de tangencia

es T(2,8 ).

« I (x) = lira = iim (x+Ax)3x s= 3x

Ax+0 Ax Ax+0 Ax

l'nra x=2, la pendiente de la tangente es: m = f'(2) = 3(2)2 = 12

y la pendiente de la normal es: n = 1 / 1 2

lonación de la tangente.: y- 8 = 1 2 (x2 )

i'.ouación de la normal: y- 8 = y¡j(x2 )

Li :12 xyl6 =0

L2 :x+12y98=0

longitud de la tangente:

TR i _ | f(xi)'i::T = PR =

ST 1—8 1 = 2112 1 3

f ‘ (x, )l

longitud de la subnormaL:

:¡N = | AQ | = | TR.Tana |. = |f(

.’. SN = |(8 ) (12)| = 96

T £YM Para qué valor de la variable independiente son paralelas

las tangentes a las curvas: y=x2 e y=x3?

Solución, Si f(x)=x2 y g(x)=x3, en anteriores ejercicios, se hadeterminado que los coeficientes angulares de las tan

i.untes a ambas curvas son, respectivamente:

i '(xi)=2xj y g 1(xi)=3xf

¡.■ i:i tangentes a ambas curvas serán paralelas *>■ f 1 (xi)=g' (xi)

Koto es: 2xi = 3xf xi=0 ó xi=2/3


En qué punto la tangente a la parábola y=x2: (1) es parale

la a la recta Lj:y=4x5 » (2) es perpendicular a la recta

L2:2x6y+5=0 , (3) forma un ángulo de 45° con la recta L 3:3xy=0.

Solución. El coeficiente angular de la recta L, tangente a la

parábola y=x2 en el punto Pi(xi,yi), es:

m = f'(x>) = lim (*i+¿x)2 xj = 2xiAx+0 Ax

(1) Si L| |Li i =m **■ 2xi = 4. ■* Xi=2

Para xi=2 yi = (2)2=4 • Pi(2,4)

463

¡un 1: Diferenciación de las funciones 253

<1 •• I ííngulo formado entre el radio focal del punto y la recta pa-

rí. 1" la al eje de la parábola y que pasa por el punto dado.

0rmn-\t/iaci6n. En efecto, sea la parábola P:y 2=4ax *• y=2/i3T

y sea T(xi,yi) el punto de tangencia.

ni;ún la definición 3.2

r • (x) limAx>0

= lim

2/a(x+Ax) 2/ax

Ax

2a 2a

Ax+0 /ax+aAx + /ax 2/ax

2



(2) Si L L2 + m = 1/m2 2xi=3 + Xi=3/2

Para xi = 3/2 *■ yi = (3/2)2 = 9/4 P2(3/2,9/4)

(3) Si L3:3xy=0 + m 3=3

Tan45° = --"fll. + 1 = 2 x i ~'~ , de donde: Xi = -1l+m.nia 1 + 6xi

Para xi=1 + y=(1)2 = 1

Demostrar que la subtangente correspondiente a cualquier

punto, de la parábola y=ax2 es igual a la mitad de la absci

sa del punto de tangencia. Valiéndose de esta circunstancia, for

nular el método para trazar la tangente .a la parábola en el pun-

to dado.

De.mo¿t/iaci6n, En efecto, si f(x)=ax2, entonces por la definición

3.2 , se tiene:

f« (x) = lim ,f(x+Ax)f_(x) = lim a(x+Ax) 2 ,ax2 = 2ax

Ax*0 Ax Ax>0 A

+ f'(xi) = 2axi

Si ST =* I.JSULO I ST = I XL. IIf1(xi)I I2axiI

st = = i|xi |I 2axi I

El método para trazar la tangente a la

parábola en el puntp P(xi,yi) dado, con.

siste en ubicar el punto T(xi/2,0) sobre el eje OX y luego unir

éste con el punto P de tangencia mediante un trazo continuo.

464

465 Demostrar que la normal a la parábola en cualquier, punto

que pertenezca a ésta desempeña la función de bisectriz

m f'(xi) = 2a2/axi

.... T(xi,yi)EP + y i=2/ ax i + m

l '•n.líente de la recta normal: n =

m nm i■ m.no: Tana = r •i+n.m i

JU _ yi2a xia _ y i (a+xi ) _

2a

Tanß = , como m2 = 0 Tanß = n = ^

tanto, de (1) y (2): Tana = Tanß *-*■ a=B

(1)

(2)

DIFERENCIACIÓN DE LAS FUNCIONES

2.1 FUNCIONES ALGEBRAICAS

NI GLAS DE DERIVACIÓN. Si f:A+R y g:A»R son dos funciones deriva

bles en un punto xjeA, y ceR, una constan

'.i, entonces se cumplen las siguientes propiedades o reglas de

.!.. ri vación.

Ii,: Derivada de una constante. Si f(x)=c + f'(x)=0

La derivada de una constante es 0

En efecto, según la definición 3.3 se sabe que:


fi(x,) = lim fUx) = lim f(x)f(xx)_

Ax+O Ax x+xj xxi

Paro: f(x) = c y f(xi)=c f'(xi) = lim —— — = 0X+Xi XXl

D2 : D e r i v a d a d e l a f u n c i ó n i d e n t i d a d : S i f ( x ) = x -*■ f ' ( x ) = l

En efecto, f'(x) = lim ~ f(xi) = ü m (í_Z_2Ll) = 1X+Xi x Xi X+Xi x Xl

D 3 : D e r i v ad a d e l a f u n c i ó n p o t e n c i a . S i f ( x ) = x n *► f ’ ( x ) = n x

u ’ii 2. Diferenciación de las funciones 255

n. si F (x) = — — ■* F'(x) -----f '(x)f ( x ) [ f ( x ) ] 2

Kn efecto, F»(x) = lim Si*)---X+X X XX X

= lim nr(x)f(x1n ____ i V - Y , J -P (Y ) i X+X 1 L XXx J f(x).f(xx)

Poro comi f es continua en xx *■ lim f(x) = f(xx)X +X x

Por tanto, F'(x) ----- x ^

Tf( )]2



n xnEn efecto, f 1 (xi)= lim x 1

X+X1 XX1

= lim (xn1+xn2x l+xn3x?+ ... + x r 1)X+X l

= nxí" 1 *■ f '(x) = nxn_ 1

Di , : S i F (x ) = c f (x ) -*■ F 1 ( x ) = c f ' ( x )

D5 : S i F (x ) = f (x ) + g (x ) F ' ( x ) = f ’ (x ) + g ' ( x )

En efecto, 4fr(x)+g(x)l = lim > (x)+g(x)f(xx)g(x_Jax X+Xi XXl

. F,.(X) = lim [£MzIÍ£ill lim [g(x)-e,(xjjlX*XlL XXxJ X+XxL XXx J

= f '(x) + g 1(x)

D e : S i F ( x ) = [ f ( x ) ] n + F ' ( x ) = n [ f ( x ) J n _ 1 . f ' ( x )

D 7 : D e r i v a d a d e u n p r o d u c t o .

S i F ( x ) = f ( x ) . g ( x ) + F ' ( x ) = f ( x ) . g ' ( x ) + g ( x ) . f ' ( x )

En efecto, dado que f y g son funciones derivables en xlP o

sea que son continuas en Xx, entonces lim g(x)=g(xx)

X+Xx

F 1(x) = lim ff(x).g(x) f( x1).g(x1)|

X + X 11 X X l J

= lim ff(x) í*.1.? + g(x) _X+ Xl L XXl XXl

= f(x).g'(x) + g(x).f'(x)

f (x)f (xx )1

Tf(x)]21 1

En particular, si F(x) = — + F'(x) =

D* i D e r i v a d a d e u n c o c i e n t e .

Si F ( x ) = ^ (x ) 4 . F 1 (x ) = " f ( x ) %g l (x^

g(x) Ígíx)]2

En efecto, F'(x) Aplicando De Se tiene:

p , ( *> ■ ■ É b i í r ] * i r i r •

= f(x)[~ +--

L ,f'(x)L l g ( x ) ] 2J g ( x )

_ g(x).f'( x ) - f ( x ) . g 1 ( x)

[g(x)j 2

D i o: D e r i v a d a d e l a s F u n c i o n e s C o m p u e st a s ( R e g l a d e l a Cadena)

Si F , f y g s o n f u n c i o n e s d e r i v a b l e s , t a l e s q u e:

F (x ) = (f og ) (x ) = f[ g( x) J

e n t o n c e s l a d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n c o m p u e st a F e s t á d e f i n i

da por:

- F ' ( x ) = f ' f g ( x ) ] . g ' ( x )

De esta propiedad podemos dedudir lo siguiente:

a) Si F=f(u). § = f ( u ) . g , y siu=g(x) +f = gI(x)

de modo que: ^ = f ' jj(x)J.g '(x) = (fj)(ff)

b) Si F(x) = [f(x)]n + F'(x) = n[f (x)Jn'1. f' (x)


Dj i : S i f e s un a f u n c i ó n d e r i v a b l e , e n t o n c e s :

a) 4 - ( / f ( x )) =dx

b) ^ ( V f ó ó ) =

2/f(x)

r'A*Ln - ¡y [ f ( x )"]

n - i

PROBLEMAS RESUELTOS

E l j i i d t á f t i

i“i¡ 2: Diferenciación d e las funciones 257

f'(x) = a(2x) + b(1) + 0 (D3 y D2)

= 2ax+b

(/,) f (x) = 3/x + 3/2

► f'(x) = | (V £) + f (3/2)= — + 0 = 4 t=- (fin y Di)dx dx 3 3/^2 3 3/^

•'} f(x) = 2/x 1 + */3

• f W - a f e l / í ) * i e / 3) (0 , y o . )

= 2(_L) +J + 0 = — L + 1 (Dll y D.)

2/x x2 2/x x2

En los ejercicios de este párrafo x,y,z,t,u,v,s son varia

bles independientes, a,b,c,d,m,n,p,q son constantes.

Derivar la función:

(1) f(x)=3x25x+1 (9) f(«> = mz2+mz+ipp+q

(2) f(x)=x“ 1x 3+2.5x 20.3x+1 (10) f(t) = 0.1t*2/3 5‘

(3) f(x)=ax2+bx+c(11) f(x) = (x0.5)2 t

U) f(x)=3/x + 3/2 (12) f(x) = /x(x3/x+1)

(5) f(x)=2/x 1 + “/I(13) f(v) = (v+1)2(v1)

(6) f (x)=0. 8“/x ^1 +

1

5x2 ( (14) f(x) = 0.53(ax)2

(7) f(x )= x B +m x m

m2(15) f(x) = ax3+bx2+c

x (a+b)

(8) _ mx2 + rax/x

~/5 3/i

p/ xX

(16) f(u) = /mu + n u P

Solución. (T) f(x) = 3x25x+1

d

(.2) f(x) =

f'(x) = 3 |;(x2) 5 &(x ) + ^(1 )

= 3(2x) 5(1) + 0

= 6x 5

4x3 + 2.5x2 0.3x + 1 .

(Dif y Ds)

(D3,D2 y. D i)

f '(x) ~ d x ^ ^ " 3 dx 3 +‘ 2,5 d x ^ ^ " 0,3 dx^x^ + d x ^

= U 3 j(3x2) + 2. 5(2x) 0.3(1) + 0 (D3,D2 y D j

= /ix’ax2 + 5x0.3

(3) f(x) = ax2 + bx+c f'(x) = a f^(x 2) + b f^(x) + fj(c.)

2/x x2 2/x x2

(<,) f(x) = 0.8 V i Ó7 J + 5^

• f W 0.8 0;3 £(, •> * \ (0, y 0.)

= 0. 8(----- 1 = ) - ■!§( 3x2) + i ( - — ) (Dl l , D3 y D.)U /x3 3 5 x

5 V x 3 5x

m f(x) = x + £ + xi + sí'n 1 m x m 2 x2

* f ’<*> ■ i f e<* > * ■ s< í> * * " ’ fe * ; - <D> » » ■>= 1(1) ■ £ + £ * (D2, D 8 y D,)

x2 m2 x3

(H) f(x) 52L* + Sx£x . j/x/x 3/5f x

Efectuando operaciones con las potencias de x obtenemos:

f(x) = mx!/2 + nx7^6 px~1/2

f'(x) = m f^ (x 3/2) + n ^ ( x ’/s) p fj(x” l/2) (D„ y Ds)

= ¡m x 1/ 2 + gnx1/6 + •x ~3^2 (D3)

= |m/x + gn 6/x + 2¿x 7

J

f,(z) = ?fe[n h {z2) + n fi(z) + i7Up )] y D=>

(9) f(z) =


+ f ,( x ) + “ (D + o) = ^ 4 ^

(10) f(t) = 0.1t2/3 ---+ Sil = 0.1t2./'35.2t‘7/ 5+2.5t'l/5t1/“ 5/t

+ = Tü ft(t_2/3) * |í<t7/‘) + | ^ ( t / 5)

= ( §)t*/3 . 2 6(. 2)t*lz/ s + |( l)t6/5

= yl t5/3 + 1||' t’ 12/5 1 t'6/5

(11) f(x) = (x0.5)2

Si, i ión 2: Diferenciación de las funciones 259

FT5 1 f(x) = 3x2/x . Hallar f(1), f'(D , f(4) , f'U) , f(a2) y

f*(a2)

aolución. f'(x) = 3 (x) 2 dx^1 ) = ~

= 3 1//x

l'or tanto: f(1) = 3(1')2/T = 1 > f'(1) = 3 1//T = 2

fU ) = 3(4)2/4 = 8 , f'(4) = 3 1//I = 5/2

f(a2) = ,3a22/a^ = 2a22|a|

f 1 (a2 ) = 3 1/v 1 = 3 1 / I a |

f'(x) = 2(x0.5) §j(x) = 2x1 (Ds)

(12) f(x) = /x(x3/x+1 ) = x7/2 x + /x

+ f« (x ) =^ (x 7/*) jj(*) + &( ✓* )• (Ds)

= 2 x5/2 1 + — — (D3 , D2 y Djí)¿ 2/x

* f1 (x) = (v+1)2 (v 1 ) + (v1) §^(v+1)2 (D,)

(13) *f(v) = (v+1)2(v1)

fy(v1) + (v1) f

= (v+1)2(1) + (v1)2(v+1) |^(v) (D2 y D,)

= (v+1)2 + 2(v21) = 3v2+2v1

CU) f(x) = 0.5 3(ax)2

+ f'(x) = |^(0.5) 3 fj(ax)2 = 0 3(2)(ax) |j(x) (D6)

= 6x(a,x)

<” > t M = = íÍí<«2 + bx +

+ f,(x) = i?b[a k ^ 2) + b f^(x) + <D y

= I+b ra(2x) +b(1) + "x^] (D3.D2 y De)

! _ 2ax3 + bx2 c

(1.6) f(u) = (ÜUL±_«)3 + . f((x) = 3(lH+n)i á_(JÍLü±£.) (d 6)

f.(u) = 3(™± n y ¡ M á - (u) + d.(|)j _ÍH(mu + n)a

f(t)= t'2~5t~1 . Hallar: f(1), f(1), f'(2) ,f'(1/a)t

■ fución. f(t) = l - 'i- - — f'(t) = ~ 5(~)(.2^)t t2 t3 t2 f

. -L . I 2 + 2 .t2 t3 f

l'or tanto : f(_i) = Jlübl = - 5 , f«(1) = 4 + \ = í-1

f ,(2) = . 1 + 1| + _3 = J|

f i (1/a) = --- — + — — + — — = a2 + 10a3 + 3a1*1/a2 1/a3 1/a"

■ f (z) = 2z3 3z 4 . Hallar f * ( 1/4)z

.Solución. f(z) = 2z23+z1/2 iz

f'(z) = 2(2z) 0 + ( \ z3/2)' ( i»)

Az __ 1_ + J_

2/z"3 z2

intonces: f ’ (1 /4) = 4(1 /4) — 7 = = = + — --- = 1 4 + 1 62/n7TT3 ( 1/4) 2

.'. f1 (1/4) = 13

f^TíE f(x)=45x+2x3x5. Mostrar que: f 1(a)=f1(a)

Solución. f'(x) = 05(1)+2(3x2)(5x*) = 5+6x25x1*

*• f'(a) = 3+6a25a“ y f(a) = 5+6(a) 25 ( ■‘•a)1


* f'(a) = 5+6a25a f'(a) = f'(a)<

En los ejercicios 471489 derivar las funciones que se in-

dican.

gTIi (1) y=(x2*3x + 5) (x2+2x1 ) (2) y= (x 33x+2) (xHx!1 )

(3) y=(/5+1)(1//5 1) (4) y=(— /3)(4x .3/5 + ^ E )/x 3x

(5) y= (3/5+2x) (1 + 3/x"2+3x) (6) y=(x21)(x24)(x29)

(7) y=(1+/5)(1+/55)(1+/15)

¿l ■■mu 2: Diferencia de funciones261

* y' = (3/x+2x ) (0 + | x ’ l / 3 +3) + (1+ 3/x"2 + 3x) (-- ^==r + 2)3 3. 3A *

= 3 + 4. 3/x + 3/x"* + — + 1 2x3 3. V k 2

= ---(1 + 12x+9. 3/x 2+10x. 3/x +3 6x . 3/x 2)3. V x 2

(».) y = (x 21) (x 24) (x 29) = (x ‘*5x2 + 4) (x 29)

y 1 = (x" 5x2 + 4)| (x29) + (x29 ) |^ (x 5 x2 + 4) ( D 7 )

= (x ‘*5x2 + 4) (2x -0) + (x2 9)’(4x 310 x+ 0)



So ¿Lición. (1) y = (x23x+5) (x2+ 2x 1)

y' = (x 2-3x +5)^( x 2+ 2x1) + (x2+2x1 )^ (x23x + 5)

= (x23x+5)(2x+20) + (x 2+2 x -1)(2x -3+0)

= (2x3-4 x2+ 6) + (2x 3+x2 8x+3) = 4x33x28x+9

(2) y = (x33x+2)(x“+x21)

y* = (x33x+2)^(x*+x21) + (x+x21)^(x33x + 2) (D7)

= (x 3-3 x +2)(4x 3+2x -0) + (x^+x2! )(3x23+0) (D3)

= 7x610x"+8X312x 2 + 4x +3

(3) y = (/x+1)(l 1) = (1 +/ 5) (1 ^) = = *' l/2 /*/5 /x /x

■* y I = - 1 x1/2 ---1 ------ — --- — = ----- (— + 1 )2 2/5 2x/5 2/5 2/5 x

(4 ) y = (I . / J ) U x . 3/5 + X5) = (2x"»/*/3)(4x*/* + lx 1/3)/x 3x

y» = (2x1/2/3)|^(4x“/3 + x 1/3) + (4x"/3+ x 1/3)|^(2x1/23)

= (2x1/2/3)(1| x1/3 - ■IxVb.) t _ ( ¿ x ‘. / 3 + Ix'1/3)(xV20)

= 20 x-x/t I^x*11/ 6 ^ | / 3 X 1/ 3 + x“ */3

= 1(_60 . +

9 6/5 x. V x 5 X. 3/5

(5) y = (3/x+2x)(1+3/£2+3x)

y' = (3/x +2x )^( 1 + 3/^ + 3x ) + (1+3/£* + 3x )^ ( */x+2x)

= 2x (3 x‘*28x2 + 49)

('/) y = (1+/x)(1+ /2x)(1 +/3x) = (1+/Sx+/x +/5x) (1+/5x )

y' = (1+/2x +/5+/2x ) ^ ( 1+/35) + (1+/3x)g^(1+/I5+/5+/2x)

Aplicando la propiedad Du se tiene:

y' = (1 +/2x+/x+/2x) (— 2_) + (1+/3x)(— — + — + /5)2/3x 2/55 2/5

= (1+/25+/5+/2x )(— 1) + (1+/J5) (£1+1 1^25^

2/x 2/5

= — L(1+/2+/3+2/25+2/3x +2/55+2x/5)

2/x

mvrm .. _ x+1.

(x1)~(x+1) (x+1)4(x1)solución. y' = ----- 22---- _ _ _ ---¿x----- (D#)

_ (x1)(1+0) (x+1)(10) _ 2

(x 1)2 (x 1)'

x2+1(x2+1 )f(x) x|(x2+1 )

Solución. y' = ------ 25------- ax------ (Do)( X 2 + 1 )2

(x2+1 )(1 ) x(2x+0 ) _ 1x2

(x2+1 ) 2 ~ (x2+1 ) 2

w m e 3t2t1L2 kl s t1

■ , , (t1)ft( 3 t 2 + 1) (3t2 + 1 )4r(t1)Solución. s1 = ----- Si------------------ SÍ_____ ( D o )

(t1 )*


_ (t+1 )(6 t+ 0 ) (3 t 2+ 1 )( 1 0 ) = 3 t 2+6t - 1

(t1 ) 2 (t 1 ) 2

v 32vu =

---- v 2+v+1

(v 2+v+ 1 )4r( v 32v) (v 32v )| ( v 2+v+1 )Solución. u 1 = ------------------- -- ---------------- (Dg)

■ (v2+v+1 ) 2

= (v 2+v +1)(3v 22) (v 32v)(2v+1 ) (Dj)

(v2+v+1)2

_ v 1>+2v 3 +5v2 - 2

(v2+v+1)2

i' iii 2: Diferenciación de funciones 263

•* i = (1+x3) (03x2) (1x3) (0+3x2) _ 6x2

y (1+x3)2 (1+x3)2

FTEIx 31

'■11 fución. y 1 = 2r ^ (x3~1)] _.

L (x3i)2J

6x2

(x31):(Da)

3 1 u =jdzv±i

a23

>fución. u 1 = -- — 4:(v2v+1) = i Ü La 3 a 3 (D„)

ax+b

..............(cx+d )^(ax +b) (ax+b)f^(cx+d) ^ ,Solución. y' = — — ------ (Dg;

(cx+d ) 2

(cx+d)(a+0 ) (ax+b )(c+ 0 ) _ adb c

(cx+d) 2 (cx+d ) 2

n a z = + (x 2-d (i-x )3(x 21)

Solución. z 2— tl_ + (x 3+x 2 +x 1)

3(x21)

. I(x21)fj(x2+1) (X2 + 1 4 ( X 21)

+ (3x2+2x+1)3(x21)2

(x21)(2x+0) (x2 + 1)(2x0) + ^ +2X3x2

3(x21)2

= — ZÁ1--- + 1 + 2x3x23(x21)2

v 5u

. . .. ' . v ^ ( V 2 )So ¿LLC-LÓn, u 1 = -------- -------------------

(v 32)2

= (v32)(5v‘t) v5(3v20) = 2v‘,(v35)

(v 32) 2 (v32) 2

E S I y1+x /< I„3\d /i __ 3 \ „ 3 \d

(1+X 3)|( 1X3 ) (1X3)| (1+X 3)

Solución. y' = ------ a*----- ( T + F P--- ------

a 3 a 3

L£fl y =

)fución.*

1 - x 3

/tt

y = 3x2/ tt /ñ

( „)

(D„)

1

t 2+t +1

V olución. z 1 It(t2+t+1) = __________

(t 2 +t + 1 ) 2 (t2+t+ 1 ):

2 t + 1

1

t 2 3 t+6

2x

2t3

b x

'olución. y 1 = 2

ft(*23t+6)

(t2 3 t+6 ) 2 (t 23 t+ 6 )

'(b2 2) ^ * ) (x“4 ( b 2x2 )J

(b2x2)2

= 2 R b 2x 2) U x 3). x “ (02x)~] = 4x 3 (2b2

L (b2x2)2 J rb2x2

x2)

y =

Solución.

x 2+x - 1

x 3 + 1

(De)

(De)

(Ds

(x3 + 1 )f^(x2+ x 1) (x 2+x - 1 ) ^ ( x 3 + 1)

(x3+1)2

(x 3 + 1)( 2x+1) (x 2+x1)(3x 2) = 1+2 x+3 x22x3xi<

(x 3 + 1)2 (x 3 + 1)2

(D9)


y (1x2)(12x3)

4 —( 1x2) ( 12x3)1 'Solución. y 1 = 3 ------------------ (De)

(1 -x2) 2(1-2x 3) 2J■Er ( 1 - X 2 ) ^ ( 1 - 2 X 3 ) + ( 1 - 2 X 3 ) ^ ( 1 - X 2 n

L" (1x2)2(12x3)2 J

(1x2)(6x2) + (12x3)(2x)

(D,)

(1x2)2 (12x3)2

= 6x(1+3x5x3)

(1x2)2(12x 3)2

V • n 'ti 2: Diferenciación de funciones 265

*fflición. Aplicando la regla del ejercicio anterior se tiene:

F ' (x) = (x1) (x2)^(x3) + (x 1) (x3)^(x2) +

+ (x2)(x3)fj(x1)

= (x1)(x2) + (x1)(x3) + (x2)(x3)

• F'(0) = (01)(02) + (01)(03) + (02)(03) = 11

I ’ • (1) = (11)(12) + (11)(13) + (12)(13) = 2

K1(2) = (21)(22) + (21)(23) + (22)(23) = 1

f u F(x) = ^ 2 + TTTl <• hallar F'(0) y F'(1).

4—(x+2) 4—(x2+1)

y =

(1 x2)2(1 2x 3)2

ax + bx2

am + bm2

Solución. y' = -- ---- 4(ax+bx2) = (Di,)am+bm2 m(a+bm)

a2b2c2

(xa) (xb) (xc)

p ^(xa) (xb) (xc).Solución. y 1 = a2b2c2 -------------------------------------- (D8)

L (x-a)2(x-b)2(x-c)2J

Debido a la asociatividad de la derivada de un producto, siF(x)=f(x).g(x).h(x), entonces, de la propiedad D7 se sigue que:

F 1 (x) = [f (x).g(x)]h!(x) + [f(x).h(x)]g'(x) + fg(x).h(x)]f'(x).

„i _ (xa) (xb) (10) + (xa) (xc) (10) + (xb) (xc) (1)1

y L — (x a) 2"("xb) 2~x"c) 2J

• yt _ a2b2c2 j[(xa) (xb) + (xa)(xc) + (xb)(xc)J

(xa)2(xb)2(xc)2

f( x) = (x2+x+1)(x2x+1), hallar f'(0) y f 1 (1)

Solución. f'(x) = (x2+x + 1 )^ (x 2x+1) + (x2x+1 )^(x2+x+1) (D7)

= (x 2+x +1).(2x -1) + (x2x+1) (2x+1)

Para x=0 *■ f'(0) = (0+0 + 1)(01) + (00+1)(0+1) = 1 + 1 = 0

x= 1 )• f'(1) = (1 + 1 + 1) (21) + (11 + 1) (2+1) = 3 + 3 = 6

Í F H F(x)=(x1)(x2)(x3) : hallar F'(0), F'(1) y F'(2).

4—(x+2) 4—(x2+1)\'f ución. F ' ( x ) = ^ ----- ------ (D a)

---- (x+2)2 (x2 +1)2

1 2x

(x+2)2 (x 2 +1)2

l.m.go, F 1 (0) = | ; F 1 (1 ) = 1 + | = \

S(t) = ~ ; hallar s!(0) y s!(2).

3 xr(5t) . , ,ración. s> (t) = — — ----- + - — (t2) = — ¿ f ~

(5t)2 5 dt (5t)2 5

s ' ( 0 ) = '25 ; s ' ( 2 ) = ^ + - | = y |

g(x) = (l+x3) (5 1/x2) ; hallar g'd) y g'(a)

'"ución. g'(x) = d + x 3)^(5 p ) + (5 x2^fx^1+x^

= (1+x 3)(0 + — ) + (5— “) (0+3x2) (DB y D 3)

= 15x2 + f3 1

i(1 ) = 15+21 = 16 ; g1 (a) = 15a2 + 1a

I p(4>) = ---- , hallar p !(2) y p»(0)i<t2

¿ución. P'U) = ------ a*-------- -------- = .L# > - <H24>)d<t>2)2 d4»2)2

donde: p ' (<t>) = ■— ----- + p ' ( 2 ) = í ; p ' (0) = 1(1*2)2 9 '


'l'(z) = jjf , hallar *'(1)

(1 + z)^( a z) (az)|^(1 + z)

(1+z):

_ (1+z)(1) (az)(1) = . 1 + a

(1+z)2 (1+z):

Soiución. ' (z ) = 2 (D<

t i / i \ 1 + a.. \l)' (1) ----- —

yHQI = + "Ot : hallar z'(0).

Solución z(t) = t5/2+t + z'(t) = ft3/2+1

r i ii'm 2: Diferenciación de funciones267

( 0 f(x)=(lx) 20 + f 1 (x)=2 0 (1x ) 19 f^O x) (D6)

=2 0 (1x ) 1 9(01 ) = 2 0 (1x) 19

U) f(x) = (1+2x) 30 •> f ' (x) = 30(1 + 2x) 29 ^(1+2x) (D6)

= 3 0 (1+2x ) 2 9(2 ) = 60(1+2x)2 9

('.) f(x) = (1x2 ) 10 ■+' f'(x) = 10(1x2 ) 9 f^(1x2) (D6)

= 10(1x2)9(2x) = 20x(1x2)9

((.) f(x)=(5x3+x24)5 f'(x) = 5(5x3+x24)‘*|j(5x3+x2.4) (Ds)

Solución. z(t) = t5/2 + t + z'(t) = ft3/2+1

/. z 1 (0) = 1

En los ejercicios 498513 derivar las funciones que se in

dicaji.

E 3 (1)

(2) f(x)

= (xa)(xb)(xc)(xd)

= (x 2+1) u

(7) f(x) = (x3x)6

(8) f(x) = (7x2 ¿ + 6)6

(3) f(x) (1x)20 (9) f(x) = (x3 J, + 3)"

(4) f(x) = (1+ 2x)30 (10) y = (f ^ )2

(5) f(x) = (1x2)10 (11) y = (}£ )5

(6) f(x) = (5x 3+x 2-4)5 (12) y = (2x3 + 3x2 + 6x + 1)11

Solución, (1) f(x) = (xa)(xb)(xc)(xd)

Según la propiedad asociativa de la derivada de

un producto se tiene:

f 1 (x) = (xa) (xb) (xc)|^(xd) + (xa) (xb) (xd)^(xc) +

(xa) (xc) (xd)^(xb) + (xb) (xc) (xd)^(xa)

= (xa)(xb)(xc) + (xa)(xb)(xd) + (xa)(xc)(xd)

+ (xb)(xc)(xd)de donde: f'(x) = 4x33(a+b+c+d)x2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x

(abc+abd+acd+bcd)

(2) f(x) = (x2 + 1),t + f'(x)=4(x2+1)3f^(x 2+1) (Ds

= 4(x 2 + 1)3(2:c) = 8x(x2 + 1) 3

= 5(5x3+x24)(15x2+2x)

= 5x( 1 5x+2) ( 5x3+x24) *

(7) f(x) = (x3x) f'(x) = 6 (x3x ) 5 -f ^(x3-x)

= 6 (x3x)5 (3x21 )

00 f(x) = (7x2 - 1 + 6)6 + f ' (x) = 6(7x2- -i +6) 54—(7x2- ± +6)X Q X X

f'(x) = 6(7x2 4 +6 )5(Ux + K ) .x x

= 1 2 (7x + f 2)(7x 2 + 6) 5

( 9 ) f(x) = (x3x"3+3)* + f'(x) = 4(x 3x~3+3 )3 |_(x 3x" 3+3 )

= 4(x3x~3+3 ) 3 (3x2.+3x" 11)

, T 1 W„. 1

tí£±J'l2 -v „1 _ ofX±l\ d ,x + 1

= 12,(x2 + ~k)(,x3- ^ 3 + 3)

<’0 )y = ( ^ ) 2 * y = 2(|±1) (Di)

= (x1 )(1+0 ) (x+1 )(10 )*“■> (x.1)2 • s)

= _ 4(x+l)

(x1 ) 3

" D y = * y (D§)

= 5 (]+x2) <. (1+x) ( 0 +2x) (1+x2)(0 +1 )

1+X (1+x ) 2

= 5 (x2 +2x1) (1+x2)11

(1+x ) 6


(12) y = (2x3+3x2+6x+1 )11 + y ' = 4(2x 3 + 3x2 + 6x+1)3 ^ ( 2 x 3 + 3x2 + 6x+1)

=4(2x 3+3x 2+6x +1)3(6x2+6x+6)

= 24(x2+x+1)(2x3+3x2+6x+1) 3

E a v . i g f

S'tucU,. V , ~ (,U)‘ f e — . (D.)(s+3) 2

= (s+3)2(s+4) (s+4)2 (1) = (s+4)(s+2 )

(s+3) 2 (s+3) 2

- 1 mi Diferenciación de funciones 269

I M l y = lx2

J .1 t u r i i n . ' Según 1.a regla de derivación Bjia, se tiene:

y ' =. 0 2x

2/ 1x1 /ix2

m y = (12x1 2 ) **

¿ t n ci ón . y = (12/x) + y 1 = 4(12/x)3 4-( 12/7)dx

4(12/x)3(22/7

(D6)

(Diia)

m P = t3dt)2

dt)5 f^ít3) . t3 i d t ) 2Solución. s1 = ------------------------------ (D9)

(1-t)*

= (1-t)2(3t2) - t32(1-t)(-1) _ (3-t)t2

(1-t)* . (1-t)3

WTT9 .. .. 1+/x

1+/2x

( 1 + / S J ) ^ - ( 1 + / 3 E ) - ( 1 + / 7 ) f - ( 1 + / 2 l )Solución. y 1 = ---------------------------------- - (D9)

( 1 + / H ) 2(1+/2Í)(0 + — ) (1+/í)(0 + — )

2 / 7 2 / 2 7

(1+/2x)2

(1+/2x) (1+/x)/2 _ 1/2

2 / 7 ( 1 + / 2 7 ) 2 2 / 7 ( 1 + / 2 7 ) :

1 3/57

1 + 3/2J

(Bi.a)

(1+3/27)S(13/27) (13/27)£(1+3/2Í)Solución. y' = --------------- ---- — -------------- - “ (Ds)

(1+3/27)2

/ = ) (1 ----- ,-----3.3/ o E P _____________3. 3/(2x)2. (1 + 3/2x ) ( ---2_ „ ) (1 3/2x) (---^ = 0

(1 + 3/2x )2

-2(1 + 3/2x ) - 2(1-3/2x ) _______^

3 3/4x2 (1 + 3/5x) 2 3 3/4x2 ( 1 + 3/5x)2

4(12/x)3

/7

E U u = ( ^ ) m

loción. u' = m( ^ ) n * 1

(~ (lv)(1) v(01)l _

' 1_v L (1-v)2 J "

r m y = — 2-----(x2x+1)2

..ra 1

(1v)m+1

' lución. y = 2(x2x+1)2 y 1 = 2(2) (x2x+1)“ 3 ( x 2x+1)

= -4(x 2-x +1)"3(2x1)

= ¿(2x1)

(x2x+1)3

Polución, y = (a2x2)*1/'2 y 1 = |( a2x2)'xf 2 f^(a2x2)

= ;|(a2x2)~3/2 (2x)

= a/nV 1 +

/ u

1+x2

elución. y = (1+x2)"1/3 >• y' = ~(1+x2 ) ~ 11/3 'fjO+x2)


y' = 4(1+xi)"*/5(2x) --------,2X ---y 3V 3 3 / ( 1 + x 2 ) -

y =1

/1-X- -X8

Solución. y = (l-x'-x8)'1^2

y = - 2

12

1+x

y =

* = - (1-x"-x8)-3/í|^(1-x--xe)

- ¿(1- x,*-x8)'3/2(0-4x3-8x7) = 2/X^ 1!?---p-:¿ ' /(1-x“-x8)3

( d 6 )

•)Vi/»2 : Dife ren cia ción de func ion es 271

donde: y 1 = ------- ---- - — ---------- — 3(2x -1)‘,/3 2(x 2 + 2)7/‘

u(x) = (x2+x+2)3^2, hallar u'(1).

■ /ución. u'(x) = |(x2+x+2) 1/l<2 (2x+1) (D6)

*■ u 1 (1) = J(1+1+2)i/2(2+1) = 9

B Q *<*> = vfrr

'•••¿ución. y = (x+1) l/2(x1)‘ l/2



Solución. y = (1+x)(1-x)~

+ y' = (1+x)C- 4(1-x)'3/2(-1)] + (1-x)*l/2(0+1 ) (D7)

= (1+x)[|(1-x)-3/2]+ (1-x)’1/2

- * (1-x)] - p f c íx):

/x2+a2

Solución. y = x2(x2+a2)"l¡2

u =

' = x2[- |(x2 + a2r 3/2(2x)] + (x2+a2)*1/2(2x) (D7)

= x2[-x(x2+a2)-3/2] + (x2+a2)‘l/2(2x)

= x(x2 + a2 )” 3/2 [*x2+2(x2+a2 )] - x(x +2&v (x2+a2)3

1

Solución

v - /a2+v2

ión. Racionalizando el denominador de la función obtenemos

+ u. = . ± [1 +a2 2/a2+v2

u = — — (v + /a2+v2)9

* u' i F i + - £ — 1

a2L 2/a2+v2J

v + /a2+v2

a2/!2^

3/1*Solución. y = (2x-1) 1 / 3 + 5(x2+2)

y' = - (2x-1)“ ‘/3(2) + 5(- ■2)(x2 + 2)‘7/,,(2x) (De)

¿ y ( ) / ( ) /

y' = (x + 1) 1/2 !: ¿( x 1) 3/2] + (x 1)"l/2 [l(x+1)l/2J

= |(xl)'3/2(x + 1)l/2 [:(x+1) + (x1)J

y 1 (2 ) J __ = . Ü./(x1)3./x+T (1)(/3) 3

i t M 1 (x) = 7 1~x , hallar y ’(0)" 1+x2

'•«¿ución. y(x) = ( 1x2 ) l//2 (1 +x2 ) ”l^2

y 1 (x) = (1x2)x/2 C ^(1+x 2)-3/2(2x )] +

+ (1+x2)l/2 [|(1x2)l/2 (2x)]

= x(1+x2)_3/2(1x2)l/2[(lx2) + (1+x2)]

2x

/(1+x2)3(1x2)y 1 (0 )

2.2 F U N C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S

REGLAS DE VARIACIÓN. Si u=f(x) es una función derivable con

respecto a la variable x, entonces se cum

¡ilen las siguientes reglas de derivación:

I D er iv ad a de l a fu n c ió n se no

Si y=Senu ^(Senu) = Cosu ( )

K’mostración., En efecto, según la definición de derivada:


dv f(u+Au)f(u) Sen(u+Au) Senur*4” = lim ------------ lim -----------------au Au+O Au Au+O Au

Senu.CosAu + Cosu.SenAu Senu= liraAu+O Au

SenAu.Cosu Senu(1CosAu)= limAu+O Au

= lim (S6nAU)Cosu _ lim (1~C°i*¿u) = (1)Cosu (O)SenuAu+O üu Au+O au

dv / dv dv du+ = Cosu , pero, según D10b: ^

|^(Senu) = Cosu (|^)

■iion 2: Diferenciación de funciones 273

l . : Derivada de la función Cosecante

^ \ — - U O l iU t u O t ^ U l d XSi y=Cscu + 4— (Cscu) = Cscu.Cotgu (4~)

PROBLEMAS RESUELTOS


dican :

y = Senx + CosxS l ió S ú l l Ti T2 ti

| (Senu) Cosu (| )

T 2 : D e r i v a d a d e l a f u n c i ó n c o s e n o

Si y=Cosu + ^(Cosu) = Senu ( ~)

de.rn.ostn.ac.ibn. En efecto:

•|j(Cosu) = |^[Sen(^ u)j = Cos(| u) |^(tj u)

= Cos(| u) • ( = Senu ( ~)

T3 : D e r i v a d a d e l a f u n c i ó n t a n g e n t e

Si y=Tanu + ^(T anu) = Sec2u (^)

Demostración, En efecto:

c Cosu 4(Senu) Senu 4— (Cosu)d n d íSenui . dx dxcS<Tanu> ïïx C o s u -------------- ^

Cosu.Cosu (•^~) + Senu.Senu (^~)

Cos2u

Cos2u + Sen2u /du\ _ 1 /duv

Cos2udx " Co s2 u dx

= Sec2u (^)

T , ; D e r i va d a d e l a f u n c i ó n c o t a n g e n t e

Si y=Cotgu + |^(Cotgu) = Csc2u (^

T 5 : D e r i v a d a d e l a f u n c i ó n S e c a n t e

^(Secu) = Secu.ia,.u VflxSi y=Secu + 4— (Secu) = Secu.Tanu (4 )

Solución. Según las reglas Ti y T2 se tiene:

y r = Cosx Senx

v = --- 2__* 1Cosx

Solución. Aplicando la regla D9 se tiene:

(1Cosx)^(x) x — (1Cosx)

(1Cosx)2

(1~0°SX)(1)x(0+Senx) _ 1CosxxSenx

(1Cosx)2 (1Cosx)2

Tanx

Solución. y'x ^j(Tanx) Tanx fj(x)

_ xSec2x Tanx x SenxCosx

(D,)

x Cos2x

n a p = <J>Sen<J) + Cos<t>

So¿ucíón» p 1 == (J) (Se mtO + Sen* J^U) + (Cosct) (D7)

= <í>Cos4> + Seni)) Sen* = <()Cos4)

Senx , xz = ----+ 7;----x Cosx

Solución. z1 = x 4(Senx) Senx 4(x) Senx(1) x(Senx)'Se n 2 x

xCosx Senx + Senx xCosx

(xCosxSenx)(

Sen x

1 X


Solución. s'

Sent1+Cost

(1+Cost) ^(Sent) Sent ^(1+Cost)

(1+Cost)2

_ (ncost)cost Sent(OSent) _ Cost+Cos2t+Sen2t

(1+Cost)2 (1+Cost)2

1+Cost _ 1

Senx + Cosx(Senx+Cosx)4^(x) x ^(Senx+Cosx)

'•ni ' Dife ren ciac ión de fun cio nes 275

Culi y = jTan’x Tanx + x

'■ tm-ión. y' = ^(3Tan2x)^(Tanx) Se c2x + 1

= (Tan2x)(Seo2x)Sec2x+1 = Tan2xSec2x(Sec2x1)

= Tan2xSec2x Tan2x = Tan2x(Sec2x1) = Tan2xTan2x

= Tan 'x

y = xSec2x Tanx

>. tildón, y' = X |^(Sec2x) + Sec2x f^(x) ^(Tanx)

(2S ) ^(S ) + S 2 S 2

(Senx+Cosx)2

_ Senx+Cosxx(CosxSenx)

(Senx+Co sx)2

xSenx

So¿ución. y '

1+Tanx

(1+Tanx)^(xSenx) xSenx ^( 1+Tanx)

(1+Tanx)2

(1+Tanx)(xCosx+Senx) xSenxSec2x

(1+Tanx)2

y=Cos2x

So¿ución. y= (Cosx) 2 y 1 = 2Cosx ¿(Cosx) = 2Cosx(Senx)dx

2SenxCosx = Sen2x

y = ¿Tan'x

Solución. y = j(Tanx)“ + y ' = |(Tanx)3 ¿^(Tanx) = Tan3xSec2x

y = Cosx ^Cos3x

Salación. y' = ¿^(Cosx) Cos2x |^(Cosx) = SenxCos2x(Senx)

= Senx + Cos2xSenx = Senx(1Cos2x)

= Senx(Sen2x) = Sen3x

y = 3Sen2x Sen3x

Solución. y 1 =3(2)Senx “ (Senx) 3Sen2x ¿^(Senx)

= 6SenxCosx 3Sen2xCosx = ijSen2x(2Senx)

= x(2Seox) ^(Secx) + Sec2x Sec2x

= 2xSecxTanxSecx = 2xSec2xTanx

1 y = Sec2x + Csc2x

'•••tildón. y' = 2Secx ¿^(Secx) + 2Cscx g (Cscx)

= 2Seox(SeexTanx) + 2Cscx(CscxCotgx)

= 2Sec2xTanx 2Csc2xCotgx = ^Senx — 2SenxCos3x Sen3x

_ 2(Sen1|x Cos^x) _ 2(Sen2x+Cos2x) (Sen2xCos2x)

Sen3xCos3x (1/8)(2SenxCosx)3_ 16(1) (Cos2x) _ _ 1'6Cos2x

(Sen2x)3 Sen32x

na y = Sen3x

a, fución. y' = Cos3x ^(3 x) = 3Cos3x

1frEl y = aCos(^)

■■■/ución. y' = aSen(|) ^jj( ) = |Sen(|)

IK^j y = 3Sen(3x+5)

■ ■ (ución. y' = 3Cos(3x+5) |^(3x+5) = 9Cos(3x+5)

Ifr£l y = Tan(~)

'■ lución. y' = Sec2( |l) f ; ^ ) = Sec2(^)

IHj y = /l+2Tanx


(1+2Tanx)' _ O + 2Sec2x _ Sec2xSo ¿uc-LÓn. y* = — ,,,. — — — ---- - p = = ---

2/l+2Tanx 2/1+2Tanx /1+2Tanx

y = sen(^)

Soiuci'ón. y' = Cos(l) = “ ^"J^osC—)

y = Sen(Senx)

Salación. y' = Cos(Senx) |^(Senx) = Cos(Senx).Cosx

y = Cos34.xSolución. y' = 3Cos2¿x |j(Cos¿x) = 3Cos24x(Sen¿x) f^ Ux )

/ r>/» 2: Diferenciación de funciones 277

E 3 y = Cos (Í^|)1+/x

i of lición. y' = 2Co s( !^) |C os( I^) (D6)1+/x ax 1+/x

= 2Cos(.ll^) fSeníl^) |(l^í)l • (T2)1+/x L 1+/3c QX 1+/x J

. y. = ■2Sen(l^)Cofl (^)p ,n^ ).(1~ ^ V .rl1,,? M l ^ ,"|1+/x 1+/x L (1+/x)2 J

= ■S en 2(l^ i) r(l+/x)(.1./2<x) (1 ^H V2/x)| (D }

1+/Í L (1+/Í)2 J

y ¿ |j( ¿ ) ( ¿ ) )

= 12Sen4xCos24x

y = /Tan(x/2)

. [Tan(x/2)]' _ Sec (2) d^(2} = Sec2 (x/2)S O C . LL C . 4 . 0 f ) . t V —- r *"T>//\

2/Tan(x/2) 2/Tan(x/2) ¿/Tan(x/2)

y = Sen/l+x2

Solución. y' = Cos/T+x^ (/í+x2) = Co s/l +x2 ( )

xCos/l+x2

/T+P'

y = Cotg( 3/l+x2)

Solución. y' = Csc2;(3/l+T2) |^( 3/l+x2 )

,.,77— 7, 0 + 2x 2xC se2 (3/l +x2).= Cscz (3/1+x'! 1---------- = — ---------- —

33/( 1+x2j 2 3 3/( 1+x2 )2

y = (1+Sen2x)lt

So ¿ución. y' = 4 (1 +Sen2x) 3 — (1+Sen2xj = 4( 1+Sen2x) 3 (2SenxCosx)

= 4.(1+Sen2x) 3Sen2x

|¡2J y = /í+Tan(x + ^)

[1+Tan(x + 1)]' Sec2 (x + ■£) |(x + j)So ¿ación. y' = X— = ---- X flX

2/l+Tan(x+ 1/x) 2/l+Tan(x+ 1/x)

Sec2(x+ 1/x)(1 1/x2) _ (x21)Sec2 (x+ 1/x)

2/1 +Tan(x+ 1/xj 2x2/l+Tan(x+ 1/x)

= Sen2(1 ^ x.)r~'l~>/x~1't'!/x| = ----1---- Sen2(l^)1+/x l.2/x(1+/x)2J /x (1+/x )2 1+/x

C U y = Sen2(Cos3x)

§•■ tur i ón. y' = 2Sen(Cos3x) ^ Sen(Cos3x) (D6)

= 2Sen(Cos3x).Cos(Cos3x) í^(Cos3x) (Ti)

= Sen(2Cos3x).(3Sen3x) = 3Sen3x.Sen(2Cos3x)

ca Deducir las fórmulas:

(1) (Sennx.Cosnx) ' = nSen11" 1x. Cos (n+1 )x

(2) (Sennx. Sennx) 1 = nSenn~1x.Sen(n+1)x

(3) (Cosnx. Sennx) 1 = nCos11" 1x. Cos (n+1 )x

(4) (Cosnx.Cosnx)1 = nCosn"lx.Sen(n+1)x

#i i'u, /ón. (1) Sea y = Sennx.Cosnx

y 1 = Senn_1x |^(Cosnx) + Cosnx^(Sennx) (D7)

= Sennx(nSennx) + Cosnx(nSenn~1xCosnx)

= nSennxSennx + nSen11" CosxCosnx

= nSenn_1x(CosnxCosx SennxSenx)

= nSenn‘1x.Cos(nx+n) = nSen111. Cos (n+1 )x

i 1 "■>n: y = Sennx.Sennx

► y' = sennx |^(Sennx) + Sennx |^(Sennx) (D7)

A


+ y ! = Sennx(nCosnx) + Sennx (nSenn"'x. Cosx)

= nSennx.Cosnx + nSennx. Sen11"'x. Cosx

= nSenn_1x(Sennx.Cosx + Senx.Cosnx)

= nSenn_^x.Sen(nx+x) = nSen11" "'x. Sen (n + 1 )x

(3) Sea: y = Cosnx.Sennx

y 1 = Cosnx “ (Sennx) + Sennx ^( Co snx)

= Cosnx(nCosnx) + Sennx[nCos111x(Senx)]

= nCosn_1x.Cosnx nSennx. Co sn~ "'x.Senx

11 ' ( )

.. ......... ’ / diferenciación de funciones 279

l'rnio que: Cosy>0 , ¥y e<7r/2, tt/2> *■ Cosy = /lSen 2y = /íu2

''""8°. en (1): = = =/1u

, i'<>r la regla de la cadena: = (|) (| )

doduce que: ^(a rcS enu) = ■ — . (g ) , |u |<1

Ali Hi rivada de la función arco coseno

I uf(x) es una función derivable, tal que.|u|<1, y si

y nrcCosu , entonces:

d r(arcCosu) = |u |<1

= nCos11 'x (Cosnx. Cosx Sennx.Senx)

= nCos11"'x. Cos (nx+x ) = neos11 x.Cos(n+1)x

(4) Sea: y = Cosnx.Cosnx

* y 1 .= Cosnx í^(Cosnx) + Cosnx ~(Cosnx)

= Cosnx (nSennx) + Cosnx [nCosn~ "'x (Senx)]

= nCosnx.Cosnx nSennx.Cos11 x.Senx

= nCosn~^x(Cosnx.Cosx Sennx.Senx)

= nCosn" ”*x. Co s (nx+x ) .= nCos11^x. Co s (n+1 )x

2.3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

REGLA DE DERIVACIÓN

A Derivada de la función arco seno

Si u=f(x) es una función derivable, tal que: Iu |<1 y si

y=arcSenu, entonces:

(arcSenu) = — (4^)dx /1u2 dx

De.mo.6t/Lact6ri. En efecto, si y = arcSenu + u=Seny , ye<ir/2,

Derivando respecto de y se tiene:

— = Cosv àx = — 2 (1)dy Uosy du Cosy Vu

tt / 2>

d r(arcCosu) = , |u |<1dx

*♦> Orrivada de la función arco tangente

^(arcTa nu) = _ L _ ( H)dx 1+u2 dx

As Hirlvada de la función arco Cotangente

■^(arcCotgu) _L_ (lü) ' Wv }1 +u

h-,* Hirivada de la función arco secante

■j— (arcSecu) = --—= = dX u/u2l

1 /du. i l ,(dl) ’ ¡“l*1

U Urrivada de la función arco cosecante

•j— (arcCscu) = --- vj•dx u / ^ 7 d*

EJERCICIOS RESUELTOS


dican.

23 y = xarcSenx

i'.'i ¿6n. y ' = x ^j(arcSenx) + arcSenx *j (x)

/lx2+ arcSenx

(D7)

(Ai)


_ arcSenxy ” arcCosx

arcCosx(arcSenx)1 arcSenx(arcCosx)1

(arcCosx) 'Solución. y' = -------r „ >2

a r c C o s x ) arcSenx( ■ — = _______________________ Z l Ü L ( A l

(arcCosx)2

arcCosx + arcSenx ^ j )

/lx2(arcCosx)2

Probaremos que: arcSenu + arcCosu = ^

En efecto, si Sen(| x) = u <+ § x = arcSenu

(D,)

y Ai)

n ’ Diferenciación de funciones 281

| | S i H ión. y' = xSenx(arcTanx)* + xarcTanx(Senx) ' +

+Senx.arcTanx(x)'

= xSenx(~Jxi) + xarcTanx(Cosx) + Senx.arcTanx

_ _£Senx + x>arcTanx.Cosx + Senx.arcTanx1+xa

I d y _ arcCosx

y' = x(arcCosx) ' arcCosx(x)1 (D^

= x (1//l~x* arcCosx x + /T^x2arcCosx



Pero Sen(^ x) = Cosx * Cosx = u *>■ x = arcCosu

Sumando miembro a miembro estas igualdades obtenemos:

arcSenu + arcCosu =

Por tanto, en (1)2/1x2(arcCosx)2

y = (arcSenx)2

So ¿ución. y' = 2(arcSenx) |j(arcSenx)

. 1 > d / í 2( arcSenx)= 2 (a rc Se nx )( = ) ^( x) = _ S— =

HE TB y = xarcSenx + /1x2

Solución. y' = x |^(arcSenx) + arcSenx §^(x) +

r) + arcSenx + — ?x.— (Ai y1= x I , T a r U O c I I A T -- —

/ Ñ 7 2 2/Ì3X2

= arcSenx

■5T 1 = 1K££ÍS y arcSenx

Solución. y* = ------ ------ ^(arcSenx)(arcSenx)2

1

/lx2(arcSenx)2

(Ds)

(A j

(D,)

D x ia)

(De)

553 y = xSenxarcTanx

x ( 1//l x arcCosx _ _ x + /T x2arcCosx

x2 x2 /lx2

d i y = arcTanx

tutu, ión. y ' = /x |^(arcTanx) + arcTanx ^fj(/x) (d7)

= /x(‘i+ 72) + arcTanx(— L) (Aj y Diia)2/x

_ /x + arcTanx

1+x2 2/x

c u y = (arcCosx + arcSenx)n

ración. Dado que: arcSenx + arcCosx = j (Ver ejercicio 549)

Entonces: y' = (■j)11 •* y'=0

j 1ÍÁ y = arcSecx Rp. y 1 = — 1x/x21

ÍIi1 y = arcTanx

>■ tuciin. y' = Q + x 2)(x)' x(1+x2)' _ __1_

(1+X2 ) 2 1+x2

= (1+X2)(1) x(2x) _ 1 = _ 2x 2

(1+x2 ) 2 1+x 2 (1+x2 ) 2

IT T 1 y =/ 1x2 _

' "•ución. y' /i x2(arcSenx)1 arcSenx(/lx2)1

(/Ü72)2 (Ds)


/1xz(7==r) arcSenx( V— %) ,----- r/lx2 _____2/1x _ /1x2 + xarcSenx

(1x2) /V¡x2) 3

" arcTanx

. . . . . arcTanx(x2)1 x2(arcTanx)*Solución. y 1 = ■ -- —— -----

(arcTanx)

2xarcTanx - x2 ('-f+x2) 2x x2

(arcTanx)2 arcTanx (1+x2)(arcTgx)2

KjiJ y = arcSen(x-l)

St •""i Diferenciación de funciones 283

y = 2a rc Ta n( l/ x) [ ^] ^( i) (Aj)

= 2arcTan( 1/x) (._*L_)(— L ) = 2arcTan(1/x)X2 +1 x2 1+x2

K m y = 1 (arcCosx)2

.fu,-Un. Según D a: y' = = 2arcCosx(arcCosx)'2/1(arcCosx)2 2/1(arcCosx)2

arcCosx (-- — ■— )+ yt ______________ /lx2 . _ _____arcCosx

/1(arcCosx)2 /Í- x 2/1(arcCosx)2

Solución. y' = ■ . I>x'1.?-W = .— L^r (Ai)-------- /1(X1)2 /2xx2

y =arcCos ( 1|)/3

y' = - 7 7 T ¿ T J 7 f e 1( = 1) (Az)

* " /3

_/3_____ (_2) = . /g ■

/3(2x1)2 /3 /l+2x2x2

Kj cJ y = arcTanx2

(y2 So¿uc¿6n, Según A3: y 1 = -------- = ------------- 1+(x2)2 1+x“

ü i l y = arcSen()

Solución. Según Ai : y' = — p======= . ===• ( - 72 )/i (2/x ) 2 A H Ü x

/ x2

(.£_)/x 2~4 |X|2 |x|/x24

J Ü J y = arcSen(Senx)

„ , „ , (Senx)' Cosx CosxSolución. Según Aj: y' = — = -7 :.r_ ---------------/I(Senx)2 /Co s2x |Cosx|

y = arcTan2(1/x)

Solución. y 1 = 2arcTan(1/x) J^arcTan (1/x )J (D3)

ti! j y = arcSen(/j^J)

¿> f''ri6n. Según Ai: y' = ----j-----

/ ' - í / M ) ’

= Si+x _ . /1+x f(1+x)(1) (1x) (1)1

/(1+x)(1x) 2/üx L (1+x)2 J

= 1+x j~1x1+x~| _ 1

L d+x)2J2 /2x /1x L (1+x )2J (1+x) /2 x(1x)

1 í'I'i y = | 11/arcSen ( /x2+2x)

Iv/i<£¿á5. Según Di ib: y' = ---- 1 .. ■ (st- ^ / y ^ P y )'

8 ‘‘S ’ arcSen/x2+2x)3

y' = --------y 1 ___ = r 1 = r - ( / x 2 + 2 x ) ' ( A j )

8 lf/(arcSen/x2 + 2x) V1( /x2+2x)2

= 1 ___________r 2x + 2 [

8 ^/í arcSen/x2 + 2x) 3 /l2xx2 *2/x2+2xJ

_ ___________ x+1

8 */'arcSen/x2 + 2x)"3 ./(12xx2)(x2 + 2x)

rYTl y = arc Sen (SgaSi. q x }'lCosa.Cosx'

’ f'“ ¿ón.. Según Ai se tiene:


1 Id / Sena. Senx i”] n\y' = ■:---- = l'dx 1Cosa.Cosx U '

,/1_/ Sena. Senx v2 l J* 1Cosa.Cosx

d / Sena.Senx x _ (ICosa..Cosx) (Sena.Senx) (SenaSenx)(1CosgCx) '

dx 1Cosa.Cosx ( 1CosaCosx)2

(1CosaCo sx)(SenaCosx)(SenaSenx)(CosaSenx)

(1CosaCosx)2

SenaCosx SenaCosaSos2x SenaCosaSen2x

» . (1Cos Cosx)2

SenaCosx SenaCosa(Cos2x+Sen2x)

(1CosaCosx)2

Sena(CosxCo sa)

'ni 1 I mi Dife ren cia ció n de func ion es 285

/( 111 IiiIobx) 2(b+aCosx) 2 = /(a2b2)(a2b2)Cos2x

= /(a2b2)(1Cos2x) = /(a2b2)Sen2x

= i/a2b2 |Senx j (3)

Anni, t tuyendo (2) y (3) en (1), se tiene:

la+bCor* = bCo sx i j~ (a2b2 )Senx~j _ a2b2

s2|Senx|[_ (a+bCosx)2J | a+bCosx |/ I ^ b 2

I ti'É y = arcTan(x/l+x2)

1 (m-ión. Según A 3: y 1 = ----- \___ |4(x/l+x2 )11+ (x -/1 +x 2) 2Ldx J!)¡

si Senx>0

Luego, en (1) : y 1 =

y '

(1CosaCosx)2

_______ l 1CosaCosx |______

V ( 1CosaCosx)2Sen2aSen2x

________Sena(Cosx-Cosa) [Sena(Cosx-Cosa)

(1-CosaCosx)2 J

1-CosaCosx|/l-2CosaCosx+Cos2aCos2x-(1-Cos2a)(1-Cos2x)

_______ Sena(CosxCosa)_____ _ ____ Sena(CosxCosa)____

|1CosaCosx|/(CosxCosa)2 |lCosaCosx||CosxCosa|

-n i SenaSi Cosx>Cosa *■ y1 = --------------|1CosaCosx|

. __ SenaSi Cosx<Co3a

I 1Co saCo sx

/b+aCosxvy = arcCos(rvñ— •)a+bCosx

Solución, Según A2 : y ’

/, /b+aCosXy2

'ft+hfioñx' [d >b+aCosX'1dx a+bCo sx J

(1)

'a+bCosx

. _ __I a+bCosx|____ fd/b+aCosxri y “ r .—“TT----- rj— . ’7------ Táldx a+bCosx ■'I

/(a+b Cos x) (b+aCosx) L J

d /b+aCosX' _ (a+bCosx)(b+aCosx)1 (b+aCosx)(a+bCosx)1dx a+bCosx (a+bCosx)2

(a+bCosx)(aSenx) (b+aCosx)(bSenx)

(a+bCo sx)2

. (á2b2)Senx

(a+bCosx)2

;(1--- M=r)2 (1+X2) 2x/l+x2 2/ 1 +x2

1 r/i+x2xi ___ 1

ll /1 +x2J 2(1 +2/1+x2(/1+x2x)I (1+x2)

Ü.4 FUNCIONES LOGARITMICAS

MINCIÓN LOGARITMO NEPERIANO La función logaritmo neperiano es

aquella cuya base es el número

1. .’.718..., definida por:

f :R+*R/y=lnx

i!nmo se puede observar sn la figura

ii.IJunta, la función logaritmo es in

,. l.iva y creciente ■¥x e < 0 , + “» . Ade

w/Sb :

i) lia f(x) = +“x*■+»>

ii) lim f(x) = o»x+0

DI KIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO

1 u=f(x) es una función derivable, ¥xe<0,+“> y si y=lnu, enton


Demostración. En efecto, según la definición de derivada se tie

n6' i¿/U+AU)= lim f(u+^u)f(u) = lim ln(u+Au)lnu „ lin ---u _

du A u+0 Au

A U+ 0

1 = 1 u u

Por la regla de

Au+0 Au

Lu+0

A u+0 Au

. ii. in d * mi li , (i * A , 1 * 0 U * - A u + 0 J

Entonces: d i , \( 1\duâj(lnu) = () ^ (Li)

■■ Ion ' Dife ren cia ción de las func ion es 287

I3 ZI y =

\ '• f n , /f i n .

E n y =

Imturión.

ln2x

y = (lnx)2 + y' = 2(lnx)|^(lnx) (Ds)

= 2 lnx(|) =^i|2L) (Li)

x(logx)

yI = x dx^loSx) + logx d ^ x) (D 7 )

' TñTO T TñTcT

1 + lnxln 10

/

DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE BASE a

Si u=f(x) es una función derivable ¥xe<0,+”> y si y=logau, enton

^ ( l o g au) = (logae) (¿)

demostración. En efecto, si y=logau , entonces, por la propie-

dad: logbN = logba.logaN , se sigue que:

y = (log e)lnu

y según (Li): ^ = (! \ 1 du°â u dx

o bien: dx(log u) = (loge) (1 ) fü (L.)

Pero cono: logae.lna = 1 + Hx ^loSau ^ ~ ^lna û dx (Lj)


En los ejercicios 5735.97 derivar las funciones que se indican,

y = x 2log3x

Solución. y 1 = x 2 (logjx)' + lo g3x (x2)' (D7)

= X 2 (j^3> 1 + log3x (2x )

= + 2xlog 3X

(La

C E D y =

I”tur ión.

na y = fu f u e i ón .

tu y =ón .

E 3 y

'i' loción.

t i l y =

i nfue ión.

/lnx

Según la regla Du a: y 1 = Ck5x ) ' = -- J__2 / 1 nx

x - 1log2x

lnxSegún la propiedad: log2x = f se tiene:

y = (f=J)ln2 + y' = In2 p nx(x1)* (xO(lnx)'l* (lnx)2 J(lnx):

+ y. = ^ ¿ 12 _ [ L >X _ (X_ 1 ) ( i ) ] = ( h 2Í 2Í E ? ) i n 2

(lnx)2 L X J x!n2X

xSenxlnx

y' = xSenx(lnx)* + xlnx(Senx)' + Senx.lnx(x)'

1= xSenx() + xlnx(Cosx) + Senx.lnx

= Senx + xlnx.Cosx + Senx.lnx

1Lnx

Según Ds: y' = inx^ ^(lnx)2 xln2x

lnx

x11

„1 _ xn(lnx) 1 lnx(xn )1 _ xn (1/x) lnx(nxn_1)

2 a 7 " -----------

xIl~1(1 nlnx) _ 1nlnx

x2n xn+1


1lnx1+lnx

Solución. y 1 =(1+lnx)(1lnx)1 (1lnx)(1+lnx)1

(1+lnx) 2

(1+lnx)(1/x) (1lnx)(1/x) _ _ 2_____

(1+lnx) 2 x(1+lnx) 2

y =lnx

1+x2

Solución. y' =(1+x2)(lnx) 1 - (lnx)(1+x2 ) 1

(1+x2)2

_ (1+x2)(1/x) - lnx(2x) _ 1+x2-2x2lnx

(1+x2)2 x(1+x2)2

(D,)

Sv '“'i Diferenciación de las funciones 289

y = ln(Tanx)

1,,/iH tón. Según (Li): y' = ('fanx^ (Tanx) 1 = (¿g^X)Sec2x

1 2Senx.Cosx Sen2x

c m y = ln(arcCos2x)•1

1,'furión. Según Li: y' = (arcCos2x^ arcCos2x^ ' '

= (----3---W _ --- §ârcCos2x / ].(2X )2

2_______/l4x2(arcCos2x)

(1+x2)2 _ x(1+x2)2

Solución. y' = xn (lnx)• + lnx(xn)'

= xn (1/x) + lnx(nxn_1)

= xn~^(1+nlnx)

/l+ln2xy =

Solución. c * n i (1+In2x)' _ 0+2lnx(1/x)Según Dua: y' =— 5---- — = ----------- 5--

2 / 1 +ln2xlnx

2/l+ln2x

(D,)

(Lj y D,)

x/ 1+ln2x

E 9 y = ln ( 1 2x)

Solución. Según Li: y' = (~_~g~ ) = (“ 2 x ^ “2 ^ = 2x^1

y = ln(x2¿x)

Solución. Según Li: y ’ = (-- ---) 4— (x22x) = |2x x 22 x x 24x

In(Senx)

Según La: y' = ^(Senx) = (si^)Cosx = Cotgx

lo g3 (x21 )

Según L3: y' = (5^) (^y^j) (x21)' = --------

B£Xf y =

S olución.

« j p i y =

Solución,(xz1 )ln3

IT Tl y = lnSenx

h fin ión, y = (lnSenx)1* *• y 1 = 4(lnSenx)5 (InSenx)1 (De)

y' = 4 ln ’Senx[(g^^ ) (Senx)'J (La)

= 4 ln3Senx(¿'1' )Cosx = 4Cotgx(ln3Senx)O 071X

y = arcTan fin (ax+b)J

fiirión. Según A 3 : y' = ----- ------ [lníax+bíj11+ln2 (ax+b)

1----- (— Ir;) (ax+b)' ----- ” y _ y J yo.-A. r uy —

1+ln2 (ax+b) ax (ax+b) |/l+ln2 (ax+b)J

i m y = (1+lnSenx)n

Ii'fución, y 1 = n(1+lnSenx)n ”^(1+lnSenx)1 (Ds)

= n(1+lnSenx)n_1 [o+(g^^) (Senx)'J (Li)

= n(1+lnSenx)n~^Cotgx

ca y- log 1 (íog3(log5x)]

''• fución. Sean: u=logsx , v=log3u , y=log2v

Derivando cada una de estas funciones, según L3 se

tiene:

= (Tn 5^ x^ ; du = : dv = (1^ 2^ v^

t I» regla de la cadena: = (ii) (ii) (|£)


* v' = PTí'ln2' v ln3 u ln5 x ” xu v' vln2 .In3.1n5

_________________ 1_______________

xlog2x.log3 (logsx).(In2.ln3.ln5)

R?E1 y = ln(arcTan/l+x2)

Solución. y 1 = (-----1 ----)(arcTan/l+x2)1 _(Li)arcTan/1+x2

= (----- 1, _.) --- 1 ... (/ ñT 2)' (A,)arcTan/1+x2 1+(/l+x2 ) 2

= --------- ---- (— yz..") (Dxia)(2+x2 )(arcTan/l+x2 ) 2/1+x2

¿t ■. u ’ii Diferen ciació n de las funcio nes 291

; 'i FUNCIONES EXPONENCIALES

FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE e. La función exponencial de base e

es aquella función definida por

la regla:

f:R+R+/y=ex

"iiyu liominio es R y rango, <0,+“>,

un Inyectiva y creciente VxeR.

A ■t < • tu A n se cumple:

i) lim f(x) = +“x++

ii) lim f(x) = » x

(2+x2)/l+x2 (arcTan/1 +x2)

y = arcSen2 [ln(a3+x 3)J

Solución. y 1 = 2areSen fin (a 3+x 3 )] í^[arcSenln(a3+x3)J (De)

= 2arcSenln(a3+x3) ¡""— .. ^ ----- 4— ln( a3+x3)~]• L /lln2(a3+x3) dx . J

= 2areSenln(a3+x3) f~~7 ~~= (— — — )1 (Li)

L /lln2(a3+x3) a3+x3 J6x2arcSenln(a3+x3)

(a3+x 3)/l ln2(a3+x3)

^ ^ 3 y = 3/lnSen (^^)

So ¿lición, y

3 / ln2Sen(2£Í¿ )

■flnSení2 ) (Dn b)

------- — pr 4—Sen(^r^) (Li)

3 yin*S .n(^i 2) S"

Cotg(^P)

ii) lim f(x) » xx+“

OI KIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a.

ni nf(x) es una fynción derivable y si y=au, entonces:

^ < a U) = au(lna) (Ei)

l>, mo4¿/iación. En efecto, si y=au Iny = ulna

Derivando respecto a u: (~)^j = lna= ylna = aulna

l‘"i la regla de la cadena: = (jj£) (|)

/. ^ ( a u) = au(lna)(£)

DI RIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE e.

nl «n la fórmula Ei hacemos a=e + lne=1

(E2)

los ejercicios 598633 derivar las funciones que se indican:

x■TTil y 2

i'ución. Según Ei! y1 = 2x (ln2)(x)' = 2xln2


« * 1 y = 10*

Solución. Según Er: y' = 10x (ln10)(x)1 = 10x(ln10)

y = “x3

ln3Solución, y = 3~ • + y* = 3” (ln3)(x)f____ 3

C H S y = - f ¿x

Solución. y = x(4~x) y 1 = x(4 X) ' + 4 X (x)'

= xE4'x (ln4)(x)’] + 4'x

X 1X= x U “*)ln4. +' = U

(Ei)

(D,.)

(Ei y D2)

(1xln4)

nm 2: Diferenciación de las funciones 293

\ *'f uc ¿ón.

m i y =

' ■■(ución.

C U y =

y, _ Senx(ex )' ex (Senx)' _ Senx(ex) ex(Cosx)

(Senx)2 Sen2x

Sen 2x

Cosx

e (SenxCosx)

y = e”xCosx y ’ = e_x(Cosx)' + Cosx(e~x )

= e“x (Senx) + Cosx(e_x)

= ex(Senx+Cosx)

^x/lnx

y = x(10x )

Solución. y1 = x(10X )’ + 10x (x)'

x(10 ln10) + 10x = 10 (1+xln10)

y = xe

Solución. y 1 = x (eX)' + eX (x)f

= xex + ex = ex (x+l)

Solución. y = xe”x y 1 = x(ex)' + e_x(x)'

:(e'x)(1) +

y =x 3+2x

Solución. y = (x3+2x)ex *• y 1 = (x 3+2x) (e_ x) 1 + e"

* y 1 = (x3+2x )[e X(x)'] + e~x [3x2+2xln2j

= ex[3x2x32x (1ln2)'J

y = exCosx

Solución. y' = ex(Cosx)' + Cosx(ex )'

= ex(Senx) + Cosx(ex ) = ex(CosxSenx)

(D,)

(Ei)

(D7)

(e 2)

(d 7)

(e 2)

X (x3+2X) '

(E2 y Ei)

i >■(ución,

U B I y =

! .C / (5/¡.

n a y =

í i*fue ión.

IXE I y =

i»» < (5n

G O y =

ft iión.

K m y =

í m(uc. ión.

Según E i: y' = 2x/lnx(ln2) í ^ ) '

_ 2x/lnx (in2) pnx ~ x(1/x)IL lnJx J

5x/lnx

i ¿ * r < l n x - 1)ln2

x 33x

y i = 3x23x(ln3)

Según Di ja: y 1 = liíü

(D9)

2/l +ex 2/1 +ex

(x 22x+3) ex

y 1 = (x22x+3)(ex)1 + ex (x22x+3)' (D7)

= (x22x+3)ex + ex(2x2) = ex(x2+1)

v' (1e )(1+e )' (1 + e )(1e )1 (D9)

(1ex)2

(1ex)(ex) (1+ex)(ex) _ 2ex

(1ex) 2 (1ex)2

1 - Í 0 X

y t = ( H ~ 1 0 ) ( 1 1 0 ) 1 - ( 1 1 0 ) 0 + 1 0 ) ' ( D s )

( 1 + 1 0 x ) 2


, _ (1 + 1Ox)(10xl n1 0) (110x )(10xln10) (Ei)

y " (1+10x)2

_ 10xln10 (1+10x+l10x ) _ _ 2.10xln10

(1+10x )2 (1+1ox)2

exy =

1+x2

y' = (^ x 2)(ex)' ex(1+x2V

(1+x2)2

(1+x2)ex ex (2x) _ eX (x1)2(1+x2)2 (1+x2)2

■1ii ■» 2: Diferenciación de las funciones 295

i11tildón.

H D y =

' 11tlición.

1ÍM y =

yi _ a^en x(ina)(Sen*x)' (Ei)

= aSen x (lna)(3Sen2x)(Senx)' (D6)

_ 3as©n x(jna )(sen2xcosx)

3arcSen2x

y, = earcSen2x(arcSen2x)' = earcSen2x(^ = l = )/i (2x)2

2earcSen2x

/ 1 - 4 x 2

3X2JX X



y = xex (Cosx+Senx)

So¿u.c¿6n. y' = xex (Cosx+Senx) ' + x(Cosx+Senx)(ex )' +

ex(Cosx+Senx)(x)'

= xex (Senx+Cosx) + x(Cosx+Senx)ex + ex(Cosx+Senx)

= ex(2xCosx + Cosx + Senx)

liiri y = e‘x

Solución. y 1 = e x (x)' = e x .

E 3 y = i o2x" 3

Solución. Según Ei: y' = 102x'3(ln10)(2x3)' = 2.102x_3(ln10)

ft [.'* /x+1l i m y e

Solución. y' = e ^ f ^ M ) ’ = e/x?1 (— L = ) 2/x+1 2/xíí

y = Sen (2X)

Solución. y' = Cos(2X ).(2X)' = Cos(2X).(2xln2)

= 2x(ln2)Cos(2x)

.Senxr n w y = t

Solución. y' = 3SenX(ln3)(Senx)' = 3S®nX (ln3)Cosx

Sen’x( 2 £ J y = a

11 tildón.

n a y =

Ui Ilición.

t m y =

\ ttiuc ¿ón,

na y =i111 ni 1 ón.

l i l i y =

I«tni i6n.

y' = 23 (ln2)(3X)' = 23 (ln2)(3Xln3)

.X= 2 .3x(ln2)(ln3)

e/IS

y, = e ^ í / L ^ ) ' = e/rSx( ^ r) =2/1 nx 2x/lnx

Sen(ex2+3x2)

y' = Cos(ex2+3x2)(ex2 + 3x2)'

= Cos(ex2+3x'2)(ex2+3x'2)(x2+3x2)'

= Cos(ex2+3x2)(ex2+3x2)(2x+3)

101Sen“3x

yi = 101'Sen''3x(ln10)(1Sen‘,3x) ' (Ej)

= 101'Senl,3x(,4Sen33x)(Sen3x)' (D.)

= 4.101"Sen,,3x(ln10)(Sen33x)(Cos3x)(3)

= 12.101'Sen,,3x(ln10)(Sen33x.Cos3x)

p/ín(ax2+bx+c)

yl = e/ln(ax2 + bx+e)(^ - (7 x H bx + c)) ■

= e/ín(ax2+bx+c) [ln(ax2+bx+c)11

2/ln(axi+bx+o)

(E2)


eAn(ax2+bx+e) (ax2+bx+c) , = (2ax+b).e/ln(ax2+bx+c)

2/ln(ax2+bx+c) ax2+bx+c 2 (ax2 + bx + c) An( ax2+bx + c)

y = ln(Sen 3/arcTane )

Solución. Según (Li): y = (Sen 3/arcTane % »

Sen(3/arcTane^x)

y . . Cos( 3 rcTane^j (3/arcTane3x). (Tl)

Sen(3/arcTane3x)

= Cotg ( 3/arcTane3x) (arv.Ta.ne ) — (Djjb)

3 3/(arcTane^x)2

¿ i . 11, i» 2: Dife ren cia ció n d e l as f unc ione s 291

(D7)

(D, y Ei)

y.G FUNCIONES HIPERBÓLICAS

1,110 funciones hiperbólicas son funciones trascendentes que tieinn como regla, combinaciones de potencias de base e, tales como

Ji fución. y 1 = ax(xa)1 + xa (ax)'

= ax(axa_^) + xa (axlna)

= axxa (f + lna)

= Cotg( s/arcTane^x) ---- 1r ... (— ) (A3)

3 3/(arcTane3x)2 1+6

(e3x)Cotg( 3y/arcTane^X)

(1+e^x)3/( arcTane3x)2

FST7V b2x21*1'! y = ae

Solución. y 1 = ae” b x (b2x2)' = 2ab2x(e b x

---- x2/a2y = x e

Solución. y' = x2(e”x )1 + ex (x2)1 ( D 7 )

= x2 (e“x2/a2)( |Í)' + ex2/a2(2x) (E.)

= x2ex2/a2(~|f) + ex2/a2(2x)

= f|(a2x2)ex2/a2

y = Ae"k xSen(tox+a)

1 2 . '2Solución. y' = Ae K x [Sen(oox + a)J 1 + Sen (cox+a). (Ae K x )1 (D7 )

= Ae~k x [Co s(wx+a). (tox + a)'3 + Sen(ux+a). Ae k x(k2)

= Ae~k x [ojCo s(lox+a)J + Sen(tox+a). (k2Ae A x )

= Ae_k x [a)Cos(tox+a) k 2Sen(u)x+a)J

y e"'x. Estas funciones son las siguientes:

il) l'unción Seno Hiperbólico. Es la funciónf:R*R, definida por

f (x) = Senhx = ^(ex e x)

(.') Función Coseno Hiperbólico. Es la función f:R+11, +<*», defi-

nida por:

f (x) = Coshx = ^(eX + e x )

A lagráfica de esta función se le denominacatenaria.

( i) Función Tangente Hiperbólica. Es la función f:R*<1,1>, defi

nida por:. T , Senhx ex e x

f(x) = Tanhx = ----- .= — --- — Coshx e +e

cuyo Dom(f) = R

y Ran(f)'= <1,1>

298 Capítulo 3: Der iva das

(¿O Función Cotangente Hiperbólica. Es la función definida por:

f(x) = Cotgx =Coshx ex+e x x xSenhx e e

cuyo Dom(f) = R{0}

y Ran(f) = R£1,ll

nida por:

f(x) = Sechx = X —XCoshx e +e

>»i ion 2: Diferenciación de las funciones 299

It . Senh2x = 2SenhxCoshx

I «: Cosh2x = Cosh 2x + Senh2x

i Senh(x) = Senhx

lio: Cosh(x) = Coshx

lii: Senhx + Senhy = 2Senh (^)Cosh

I1 2: Coshx + Coshy = 2Cosh (^i)Cosh ir— 1-)

l i j : S e n h ( -5f) = t —~ I i s = 2 S e n h 2x = C o s h 2 x - l

In: Cosh(i) = / Cos^ X 16: 2Cosh2x = Cosh2x+l

Coshx e +e

cuyo Dom(f) = R

y Ran(f) = <0,l]

(6) Función Cosecante Hiperbólica. Es la función definida por.

1 2f(x) = Cschx =

Senhx exe x

>■ xcuyo Dom(f) = R{0}

v Ran(f) = R{0}

IDENTIDADES HIPERBÓLICAS considerarlo de interés, a conti-

nuación se da un cuadro de las más im

portantes identidades hiperbólicas, en donde se podrá observar

la analogía que existe con las identidades trigonométricas ele-

mentales. La verificación de las mismas se hace a base de las de

finiciones dadas para las funciones hiperbólicas, quedando éstas

como ejercicio para el lector.

Ij: Cosh 2x Senh 2x = 1I„:Senh(x±y)= SenhxCoshy±SenhyCoshx

I2: Sech 2x + Tanh2x = 1 Is:Cosh(x±y) = CoshxCoshy±SenhxSenhy

„ . , , Tanhx ± TanhyI 3 : Ctgh 2x Csch2x = 1 I 6 •' Tanh(x ± y) =.----- ----------

1 ± Tanhx.Tanhy

Ii?: (Senhx + Coshx)n = Senh(nx) + Cosh(nx)

DLRIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

i'rlvada de la función seno hiperbólico. Si u=f(x) es una fun-

ción derivable ey :;onhu, entonces:

His ^(Senhx) = Coshu (— )

iicmostn.ac.iin. En efecto,

fj(Senhu) = = ( ^ P ) ( ^ ) = Coshu (ff)

I.m:j derivadas de las otras funciones hiperbólicas se establecen

<ln la misma forma.

• I : j(Coshu) = Senhu ("j~)

111 = ^(Tanhu) = Sech2u ("^)

IU: — (Cotgu) = Csch 2u ( )

111 : ir(Sechu) = SechuTanhu (j )dx 'dx .

n‘: ^ ( Cschu) = CschuCotghu (~|~)

1



En los ejercicios 634649 derivar las funciones que se indican.

KC JI y = Senh 3x

Solución. y' = 3Senh2x(Senhx)1 = 3Senh2xCoshx (D, y H x)

E sQ y = ln^Coshx)

Solución. y' = - ) ( C o shx ) ' = ( ^ j ^ ) (Senhx)(L,yH2)

= Tanhx

y arcTan(Tanhx)

Si . . hm Diferenciación de las funciones 301

na y =lo fui- i ó n .

na y =' *■iución»

C 3 y =' nlución.

= eCosh2x(2Coshx)(Senhx) = eCosh2xSenh2x (H2 e I7)

Tanh(lnx)

y' = Sech2(Inx).(Inx)1 = Sech2 (lnx) (Hj y

xSenhxCoshx

y' = x(Senhx)' + Senhx(x)' (Coshx)'

= xCoshx + Senhx Senhx = xCoshx (Hi y H2)

“/(1+Tanh2x) 3

y = (1+Tanh2x) s/1' ♦ y' = |( 1 +Tanh2x)" l/"i 1+Tanh2x) '

y arcTan(Tanhx)

Solución, y' = (---- — ) (Tanhx)' = (---- ---)Sech2x (A3 y H s)1+Tanh2x 1+Tanh2x

_ _____ 1_____ (_ _! _) Cosh2x

1 + Senh2x Cosh2x Cosh2x+Senh2x Cosh2x

Cosh2xr

= Sech2x (la)Cosh2x+Senh2x Cosh2x

y = Tanh(1x2)Solución. y' = Sech2(1x2).(1x2)' = 2xSech2(1x2) (H3)

y = Senh2x + Cosh2x

Solución. Por I8: y = Cosh2x ■+ y' = Senh2x (2x)' (H2)

= 2Senh2x

íC:, á y = Cosh( Senhx)

Solución. y1 = Senh(Senhx).(Senhx)' = Senh(Senhx)Coshx (H2)

y = /Co shx

. . . . , (Coshx) 1 Senhx ÍT. _ .. „ \

Solución. y 1 = — = — .. ID.na y H2)2/Coshx. 2/Co shx

m n cosh2xy = e

Solución. y' = eCosh2x(Cosh2x) 1 = eCosh2x(2Coshx)(Coshx)'

C U y =

' n/lición*

ca y =

'"/ución.

y' = |(1+Tanh2x)‘ ^"[^Tanhx íTanh x)'] (Ds)

= |( 1+Tanh 2x) ” 1/ 1* [2Tanhx (Se ch2x)] (H 3)

_ 3TanhxSech2x

2 */f+Tanh2x

|Tanh(|) gTanh3^)

y' = |sech2(§),(§)> £.3Tanh2(f).(Tanhf)' (H,yD,)

= |sech2 (§) |Tanh2(|) . Sech2(§).(¿)

= |sech2 (|) [lTanh2 (|)] = ¿Sech2 (§) [Sech2 (f)]

= jsechíf)

n/HTanhxy 1Tanhx

Pasando la Tanhx a Senhx y Coshx obtenemos:

y = = (CoshxSenhx)"V2/CoshxSenhx

y 1 = (CoshxSenhx)'3/2(CoshxSenhx)' (d 6)

= ^(CoshxSenhx)~ 3^2(SenhxCoshx)

= 4(CoshxSenhx)" 2= —■■■■ ^■2/Co shxSenhx


m„ „ .i. i /2_ /1 +/2Tanhx\f? Tl y = Tanhx + l n t-- — ---- J

2 o i_/2Tanhx

Solución, y = Tanhx + ¿f|ln'1+/2Tanhxln(1/2íanhx)

1 , 2 /2 f/ 5Sec h2x /?Sech2x ~|y 1 jSech x ■ “ g[1+>/2Tanhx i/2Tanhx J

1 , /2 /Tro T 1/2Tanhx+U/?Tanhx 1

2Se0h X + ”§ * /?SeCh X [(1+/2Tanhx)(1/?Tanhx)J

i r 1 1 1„ .2 r2(1Tanh2x)l

2S" h'*[1 * ,.2I„h“ J ' 5 "L 12T«nh>* J

Sech2r Seeh2x _ 1 r 1/Cosh2x

[l2Tanh2xJ Cosh2x _l 2Senh2x

Cosh2x

n i 11 2 : Dife ren cia ció n d é la s f unc ion es 303

¡1 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

fu los ejercicios 650666 derivar las funciones que se indican a

1 1 1 'rindo la regla de la derivación logarítmica.

r r a y = xx"

' ■tución. Aplicando logaritmos neperianos en ambos extremos se

x 2tiene: Iny = ln(x ) *■ Iny = x 2lnx

+ (Iny)1 = x2(lnx)< + (lnx)(x2)'

+ í ' = x 2( i ) + (lnx) ( 2x) *= x + 2x1 nx.2+ y ’ = xy (1+21nx) = x.xx (1+2lnx)

.1 1Cosh2x(Cosh2x2Senh2x) (1+Senh2x)(1Senh2x)

1

1Senh‘*x

v = — Co sh2x + /xSenh2x•’ x

Solución. — (Cos2x)'+Cos2x(^)' + /x(Senh2x)1+Senh2x(/x)1X x

i(2Senh2x)+Cosh2x( ^ 2) + /x(2Cosh2x)+Senh2x(—

Senh2x — Cosh2x + 2/xGosh2x + 2^Senh2xx .. 2A

— 1— fx(4+/x)Senh2x + 2(2x2/71)Cosh2x]?v 2 L

)2/x

y = x2e Cschx

íán> y = x2e3x(Csehx)' + x2Cschx(e3x)' + e3xCschx(x2)'

= x 2e3x(CsohxCotghx) + x2Cschx (3e3x) + e33CCschx (2x)

= xe3xCsohx(xCotghx + 3x + 2)

xe3x r_„ Coshx + (3x+2)1

Senhx L Senhx >

3x

Senh2x[(3x +2)Senhx xCoshxj

.% y' = xx +^(1+2lnx)

ÍTTI y = x

\otución. Tomando logaritmos neperianos se tiene:

xIny = ln(xx ) *■ Iny = xxlnx

linrivando: = xx (lnx)' + lnx(xx)' = x.x (~) + lnx(xx )' (1)y x

il u = xx + Inu xlnx *■ — = x(lnx) 1 + lnx(x)' = T+lnx

+ u' = (xx) ' = xx (1+lnx)

l.migo, en ¿ + lnx xx (1+lnx) = xx (;; + lnx + ln2x)y x x

y' = xxX . xx ( l + lnx + ln2x)

w m y = (Senx)Cosx

'clución. Si y=(Senx)Cosx Iny = Cosx(lnSenx)

Derivando: ^ = Cosx(lnSenx)1 + InSenx(Cosx)1

= Cosx^Senx)(^enx)1 + lnSenx(Senx)

•1= Cosx(gnx)(Cosx) Senx.InSenx

•\ y 1 = (Senx)Co3X('~ggnX Senx.InSenx)

304 Capítulo 3: De riva das

w m y = (lnx)x

Sotación. Si y=(lnx)x + Iny = xln(lnx)

Derivando:^' = x[in(lnx)']' + ln(lnx).(x)'

= x(í ^) (l nx)' + In(lnx)

= x(l Í )(7 ) + ln <lnx > = TTx + ln<lnx>

y ' = (l n x ) x F ¿ + l n ( l nx ) J „

y= (x+1 )2,/x

So¿u.c¿6ri. Si y=(x+1)2//x lny = ~ ln(x+1)

D i d í [l ( +1)"j1 + l ( + 1) ( )'

. mu 2: Diferenciación de las funciones 305

U U y =

t Hfue i<3n.

i m y =

U C ¿<5/i.

11 r» i* 1 vando

xlnx

Si y = xlnx * lny = Inx.lnx = (inx)2

Derivando: JL = 2(lnx)(lnx)’ = 2(lnx)(—)y x

y' = 2xlnx(Í2 2 )X

(x +1 )3. 14

Tomando logaritmos neperianos se tiene:

lny = 3ln(x+1) + "|ln(x2) |ln{x3)

y' = J L + 1 « 2 _ 57x2-302x+361y x+T 4U2J * 5 (x3) 20(x+1)(x2)(x



Derivando: í = ~ [ln (x +1)"j 1 + ln(x+1). (¿)'

y' = 2(x +1)2/xr— ----- Jln(x+1 )lLx(x+1) x2I

jj^^j y = x e Sen2x2

S o ¿ución, Si y = x 3ex Sen2x + lny = 31nx + x2lne + lnSen2>:

= 31nx + x2 +lnSen2x

. 1. 1Derivando: = 3(~) + 2x + (gen2x)(Sen2x)'

= ^ + 2x + 2Cotg2x

2y 1 = x2ex Sen2x(3 + 2x 2 + 2xCotg2x)

= _(x2)2.3AÍ 1

(x5)3

SoCución. Tomando logaritmos neperianos se tiene:

lny = 21n(x2) + ^ln(x+1) 31n(x5)

Derivando: X ’ = + - - ¿ jy

, = ( x - 2 ) 2 . 3/ x + l r 2x 22 2x- 2y'

(x5)3 I3(x2)(x+1)(x

2 (x2) (x2 + 11x+'l )

3(x5)‘,;3/(x+1)2

— 1c-5)J

n a y =

\ •fue ión ,

lier I vando :

1 0 3 y =

V ofue ión .

i1" 1v a n d o :

y

_ (x+l)3.“/ ^ f 5 7 x 2 - 3 0 2 x +3 6 1^ -j ~|

5/Tx-3)2 L20(x+1)(x2)(x3)J

= (x+1 )2(57x2.302x+361 )

20 -/ÜT2T1.V(x-3)7

>^cSenx/l ex

Tomando logaritmos neperianos se tiene:

lny = g|lnx + InSenx + ^ln(1ex )J

£ = i [ i + s - ¿ ^ x) +

y = |£ L + Gotgx e

2(1e )

0 r -a.*-1 —e P “ >-» u w a - ■■• i

2 L x 2(1 -ex)JxSenx /1 e I + Cctzx

Xe

/1arcSenx

1 + arcSenx

Aplicando logaritmos neperianos se tiene:

lny = \ Qln(1arcSenx 1n(HarcSenx)J

T = i O - ¿ r c S “ x ( 1 - a r cS e n x) ’ * 1 + a r c S e n " x ( 1 + a r c S e n x ) ' ]

= 1--- (7 = = ) ------- 1--- (7=^)1L1arcSenx /1x2 1+arcSenx /l_x2 J


y' _ 1 [~ 1+arcSenx+1arcSenx

y 2/IX2 L ( 1 arcSenx ) (1+arcSenx).,] _ ± _ f _______ 1 ______ I = -------------------1-----------------/lx2 L1(arcSenx) 2 J /lx2 [(arcSenx)21]

^1 x 2 £( arcSenx) 2 ij

1/xy = x

Solución. Si y=x^//x + lny = ^(lnx)

Derivando: = ^(lnx) 1 + lnx(^) 1y x a

= ^(^) + .lnx(^z) = ~ 2 ( 1 lnx)

•" ' / diferenciación de las funciones 307

= /í(l) + lnx(i) = _ L + =2/x /x 2/x 2/x

(2+lnx)

../xy 1 = —— (2+lnx) = x ^ ’^^ í 2+lnx)

/ x

y = (x2+1)Senx

/¿n. Si y = (x2H ) Senx + lny = Senx.ln(x2 + 1)

Derivando: =£ = Senx [ln(x2 + 1)] ' + ln (x2 + 1). (Senx) 1

= Senx( X ■ ) + ln(x2+ 1) .Cosxx2 + 1

y' = (x2 +1 )Senx 2xSenx

L x2+1+ Cosx.ln(x2 +1 )



■1 = JL (1lnx)

y = XSenx

Solución. Si y=xSenx lny = Senx(lnx)

Derivando: = Senx(lnx)1 + lnx(Senx)1y -1

= Senx(— ) + lnx(Cosx)

y' = xSenx( ^ + Cosx.lnx)

v m / x \x E¿J y = (7 +3

Solución. Si y = (jf^)X + lny = x[lnx ln(1+x)]

Derivando: = x [lnxln(1+x)3 1 + [lnxln( 1+x)J (x) '

= x(^ fj) + lnx ln(1+x)

de donde: y' = ( ^ ) X + ln(y ^)]

V xy = 2x

/xSolución. Si y = 2x lny = ln2 + /x(lnx)

Derivando : = /x(lnx)' + lnx(Zx)1

L x2+1

G 3 y =V(x21)2

£r C.i. ìón. Tomando logaritmos neperianos se tiene:

lny = £lnx + ln(x2 + 1) 2ln(x21)J

Li l = i r (xl,+6x2 + 1)1

.. .1 j 3 L x(x 1 ) I

é

1 vando : = \ [£

" y [ 3x(1.x,J

+ 2x 2( ^xx 2 +1

x lf+6x2 + 1 /x(x2 +1 )(x21)

H DERIVACIÓN DE FUNCIONES DIVERSAS

t u l o s e j e r c i c i o s 667-770 de r i var l as func i one s que s e i nd i c an .

rm y=• (1+vx)Ilición. y' = 3(1+ 3/x) 2 (1+ 3/x) 1 = 3(1+ 3/£) (0 + — !— :)

3 ’/x2

de donde: y' =


y = /l+/2px

So éución. y 1 = -- — ¡--- (1+/2px) ' = — (0 + — 5E_)

2/l+/2px 2i/l+/2px 2/5px

______ 1________

2J 1 +/2px (/2px).

y = arcTan(x23x+2)

Solución. y' = = ---- 2x^3----1+(x23x+2)2 1+(x23x+2)2

L24I y = log(xCosx)

Solución y' (x Cosx) 1 ^

.,•/! V Dife ren cia ció n de las func ion es 309

m y = (Senx)eCosx

ii furión. y' = Senx(e^°“x ) ' + eôsx(Senx)'

= Senx (eÔK>x) (Cosx) 1 + eôs x(Cosx)

= Senx(eôsx)(Senx) + eôsx(Cosx)

= eCosx(CosxSen2x)

y y = xs . 3¡/x 6-F

■■"fución. Aplicando logaritmos neperianos se tiene

lny = 51nx + ^ln(xs8)

v 1 5 , 6x _ 7x6 40I»! 1 I vando: “ + ------ -------

y x 3(x68) x(xs8)



Solución. y' = (xCosx) 1 =---^ -------x Cosx (xCosx)ln10

y = 3C o s 2x Cos3x

Solución. y' = 6Cosx(Gosx)' 3Cos2x(Cosx)'

= 6Cosx(Senx) 3Cos2x(Senx)

= óSenxCosx + 3SenxCos2x = 3Sen2x + ^Sen2xCosx

= ^Sen2x(Cosx2)

y = 5Tan(|) + Tan(^)

Solución. y' = 5Sec2(^).(^)1 + 0 = Sec2( )

w m 1L¿¿1 y ■

v w T

Solución. y = (x+Zx)“1/ 3 >■ y' = j(x+/x)""l*/3 (x+/x) 1

♦ y' = 4(x+/3fr*/*(1 + L ) = -- U2/x ,3 2/í 6/x(x+/x)1*/3

y = Sen(^)Sen2x

Solución. y' = Sen(^).(Sen2x)' + Sen2x.(Sen^)1

= Sen(|).(2Cos2x) + Sen2x.(^Cos|)

= 2Sen(|)Cos2x + |sen2xCos(|)

y x 3(x6 8) x(xs 8)

. . 7x6A0 , 5 3/~r~ny x“(7x6¿0)1. donde: y' = — (x . /x 8 ) = — 7 7=======-...........- \ A • r a ~ vj / — / ...................

x(x68) V ( x 68)2

X 2ifi1 y = e lnx

(tic.i6n* y f = e X (lnx)* + lnx(e X )f

= ex 2(^) + lnx(ex )(2x) = e”x

C ¡a y = * ) 10 ■

'"fución. y' = 10(/x + — )’.(/x + x" 1/ 2)'/x

1 \ 9 t 1 2 „ - J10(/5F + 1 )9. (L . ix' 3/2)/£ 2/x 2

= 10(/7 + 1 )\ ( _L — 1_) = Ikzll/x 2/x 2x/x x/x

■ ll| y = arcTan(|3 |)

'■.fución. y' = ---- 7rríT7(t n í'1 + (fff)2 X

= (x1 ) 2 _ (x 1 )( 1 )(x+1 )( 1 )

(x1 ) 2 + (x+1 ) 2 ' (x 1 ) 2

m y = e 2x +3 (x 2-x + i )

2xlnx)

(v^ + — i) 9/i

_1 __

1+x2


Solución. y' = e2x+3(x2x+ J) « + (x2x+ (e2x+3)*

= e2x+3(2xD + (x2x+ |)(e2x+3)(2)

= e2x+3(2x1+2x22x+1) = 2x22x+3

2Sen2x

* "* Cos2x

„ „ ., ,„ Cos2x(Sen2x)1 Sen2x(Cos2x)1Solución. y' = 2 -----------------------— — —

Cos22x

2 Cos2x(2SenxCosx) - Sen2x (-2Sen2x)

Cos22x

2 Sen2x(Cos2x + 2Senzx) _ 2Sen2x

Cús^2x Cos22x

' ■■i mu 2: Diferenciación de las funciones 311

y' = Sen2^C-Csc2|(|)] + Cotgf 02Sen|Cos|(l)]

= 4sen24Csc2$ + IcotgfSen2^

m - - 5’ 2y =3x

ÍO(uciin. Aplicando logarimos neperianos se tiene:

lny = ^ln(4x5+2) ln3 4.1nx

». . . - Ivando: = k-^) - 0 - ± = - ¿ ( 3 1 x 5 + 1 8)y y 4x5+2 x 9 x U x 5 + 2)

4(31x5+18) 9/¿x5+2 = _ ¿(31x5+18)

9 2) ' 3 “ " 27 5 (4 5 2)8

y = — arcTan ( - x— )/3 1-x2

Solución

—1 [~ (1-x2)2 1 (1-x2)(x/3)1 - x/3(1-x2)’

” /3 L(1-x2)2+3x2J (1-X2)2

-1(--- --- )[(1-x 2)/3 x/3(2x)]/3 1+x2+x"

1+xs

1+x2+x*

Tan^ + CotgTj

Solución. Reduciendo el segundo miembro a Senx obtenemos:

y =xSenx x2Sen2x

■(xSenx)1

[x(Senx)' + Senx(x)'Jx2Sen2x

2(xCosx + Senx)x2Sen2x

y = Sen2^.Cotg|

Solución. y' = Sen2|(Cotg|)1 + Cotg|(Sen2|) 1

9 x U x s+2) ' 3x“ " 27x5. V (4 x 5+2)8

B y = ln(x + /a2+x2)

'• ión. y' = (---- ■) (v + /a2+x2 ) 'x + /a2+x2

= (----7 = ) ( 1 + £ )x + /a 2+x2 2/a^+x2

x + /a2+x2 /a2+x2/a2+xJ

y = xarcTan/x

vt ación. y* = x(arcTan/x)’ + arcTan/x(x)'

= x -- ----(/x)1 + arcTan/x1+(/?)2

X 1= --- (---) + arcTan/x = arcTan/x + /£

1+x 2/x 2(1+x)

11 11 y = /l+Tan2x+Tan'*x

'■■Sudón. y' (1+Tan2x+Tan‘‘x) ' _ 0+2Tanx.Sec2x + ¿Tan3xSec2x2/l+Tan2x+Tan‘*x 2/l+Tan2x+Tan‘*x

= TanxSec2x(1+2Tan2x)

/1+Tan2x+Tan‘,x


Solución. y' = Cos2x(lnx)' + lnx(Cos2x)'

= Cos2x(—) + lnx(2Sen2x) = 2Sen2x.lnx

§aroTanx + iarcTan(— — )3 3 1x2

Solución.. y 1 _j _) + \ r— i — i1+x2 3 1 + (_JL_)2

L • 1x2 J1X2

X

.2 , 1 f (1x2)2 ~ (1X2)(1) x(2x)

*[■3 (1+x2) J I (1x2)2+x2

2 , 1+x2 _ 1+x

(1x2)2\ 2

3(1+x2) 3(1-x 2+x '*) 1+x 6

Al ■i“" Diferenciación de las funciones 313

E l i y =

l »•fue ión.

i m y =

l•< f u e i ó n .

Cos(arc¿— )

y , = _SeB («e SenX ) (arcSenx),

2 / Ü P

2 ' 2

1 gen(arcSenx}

/x + /x + /x

Según la regla Diia, se tiene:

yi = — ... (x + /x + /x) 1

2/x + /x + /x

= — ("i + /— !-----1 (x + /x) •2y L 2/x + /x J

/ / 1 ^ 1 ^

y = arcSen(nSenx)

„ . . , , 1 r r. \ i nCosxSolución. y 1 = ........ r— ínSenx] 1 /ln2Sen2x /ln2Sen2x

y = arcsen/seax

Solución. y ’ = —p= == r («''Senx) 1 = — = = = r ( "° )/lSenx /1Senx '2/Senx’

____ Cosx____

2/SenxSen2x

G 2 3 y = YgSen63x 2^Sen83x

Solución. y 1 = yg(6Sen53x).(Sen3x)1 TrjÍ8Sen73x).(Sen3x)1

= j(Sen53x). (3Cos3x) ^(Sen73x). (3Cos3x)

= Sen53x.Cos3x(1Sen23x) = Sen 53xCos33x

y = x/lx2arcSenx

Solución, y 1 = 1 [ A x2(arcSenx)1 + arcSenx( / T ^ 2)]= 1 /lv2 ( ■ ) arcSenx (— ik )

,/1x2 2/1x2

_ 1 _ i + xaroSenx _ xarcSenx

/i — x 2 /u¡

1 :1 n y =

\ t.fue ¿ón.

na y=< ¿ón.

B U y =

'ffución.

2/n + /x + 1 ~l + 1 ^

2/x + /x J 2/x= -1 f.

2y L

(2/x + /x + 1)(2/x + 1)

8y/x(/x + /x)

arcCos(/i-3x)

y’ = - V.. 1 (/ % * )• = T.1 ( ^ Lr )

/l ( / T 3 ó 2 /1'1 + 3x 2/T-3x

2/3x9x2

Sen2 (~ ~j ~)

y . = 2Sen(J^i2E)[sen{Í¿H*)]«

= 2Sen(^^).Cos( 1 4 M).(ÍlÍ2 X)'

= Sen2 ( b lM ) j~2LÍ°llM (1 lnx) j

= (Í2£r2)Sen2(^ÍM)

log 3 (x2Senx)

y . = _ L ( ---1---). (x2Senx) 1 = --- ?*rc°sx _ln3 x2Senx (x2Senx)ln3

314 Capílulo 3: Derivadas

Q Q y = arcTan (|/^ )

1So ¿ución. y' =

1 +

(Iii)21A' ~x* 1 +x

f e '

(1"x )1M + x ;

,1 +Xn / 1 +x r(1+x)( D (1 x)( 1 )~|

v ¿ 1x L ñTTi1 j

(JÍ2.) /1+X r 2

/1x

±£ r— — q

x Ld+x)2J

(1+x)2

i

= ln(x + /lx2

Ir i.'» ’ Dif ere ncia ció n de las func ion es

tlftnde:(1+ex)2

S ec 2 (i^L)

1+e

IHti,

y = Cosx(/l+Sen2x)

ión. y' = Cosx(/l+Sen2x)1 + i^1+Sen2x(Cosx) 1

= Cosx(^ ß ^ B ^ ) + /l+Sen2x(Senx)2/1+Sen2x

_ Senx(1Sen2x) Senx(1+Sen2) _ 2Sen3x

/1+Sen2x /l+Sen2x

| Q 3 y = 0.4 [Cos(2X|2'~*')SenO. 8xJ 2

W*in,¡ón. y' = 0.80Cos(^ ~)Sen 0.8x] £Cos (^~ ) Sen O. 8x] 1

315



So ¿ución. yln(x + /lx2) Inx

1 : (x + /1x2 ) ' j> XX + /lx‘

____ 1_

X + /1X2

/i X 2

(1 +2x

2/ï^

^1x (x + '/lX2 ) ^1x2 (x + /lX2)

j7 ¿S y = xarcSen(lnx)

S o ¿ución, y' = x Ear cSen (Inx ) ] ' + arcSen (Inx ). (x) '

= y . ■ 1---- (Inx)' + arcSeji(lnx)/i(inx)2

(— ) + arcSen(lnx) --- — / ü ï 7- X

E J J y = T a n ( i ^ )1 + e

So¿ución. y 1 = Sec2(— ^ ) . (— 2_

/lln2x+ arcSen(Inx)

See2 (

= Sec2(

1+eA 1+e

X r (1+ex)(1ex ) 1 (1ex )(1 + ex)'1

(1+ex)2 J!=£)[■ J1 +ex L

k >p1+e L(1+eX )(e ) (1e )(e )

(1+eX)2

= 0.8 [(Ios(2x*1 ) SenO. 8x] [Sen(2^±1 )0. 8Cos0. 8x]

= 0.8[Cos(^|i)Sen0.8xJISen(^Íl)+0.8Cos0.8xl

p n y = x d o 1 )

Ir/./, ión. y' = x(10 Æ)' + lO^fx)' = xOO^UnlOÍ/í) ' + 10*

= x ( lO1 )ln10 (— — ■) + 10Æ = 10^( 1 + —ijlnlO)2/x ¿

c u1

Tan22x

,ón. y = Cotg22x + y 1 = 2Cotg2x(Cotg2x)1

= 2Cotg2x(Cotg2x.Csc22x)(2)

= 4Cotg22xCsc22x

P'11 y

f * fui i f)t I,

ln( arc Tan ^)

r I s 1 1------- (arcTanrr— ) 1arcTan(y^)

1

ar cT an (^ ) [i + (j^) 2] ' Ux )

1 r (i+x)2 ir 1 i

arcTan(r¡^) L(1+x)2 + 1 JL (1+x)2J


de donde: y' = . (x2+2x+2)arcTan(yj^)

Q H J y = ln(— /==)x+/x21

So ¿ación. y = In1 ln(x+/x2 1) y' = 0 -, (x+/x2!)'x+/x21

1 (1 + ---------—

x+/x21

1

2 /x 1r) =

c+/x21 /x2 1

✓x 2 ?

Q Q y = s/ 1 +x/xT3

1

Si 11 ion 2: Diferenciación de las funciones 317

+ y' = x 3(— L ) ( x3)' + arcTanx3(3x2)1+x6

= — — + 3x2arcTanx31+xs

|7 1 InSenxI A U y = ----------

InCosx

fui i(5/i y' = 3nC° sx(lnSenx) 1 InSenx(lnCosx) 1

(InCosx)2

. ln C o sx ( i f ü > - l nS en x^ i >

(InCosx)2

lnCosx(Cotgx) + lnSenx(Tanx)

ln2Cosx



Soiución. y 1 = .(1+x/x+3)13 3/( 1+x/x+3)2

— 1 r o + x(/x+3)1 + /x+3 (x)n3 3/(1+x/x+3)2 L J

1

3 3/ (1+x/x+3)2 L 2/^+3

_______ x+2________

2/xTJ ,3/(1+x x+3)2

l 2A T 3 +

y = x"

S o ¿ación. y 1 = x2(/i +/x)1 + /i +/x (x2)>

(1+/x)' + /l+/x (2x)2í - - M12 / 1 +/xJX2 (0 + — L ) + 2x/T77f =

4 / 1 +/x2^1+/x 2/x

/1+Sen2x

So¿uci6n. y = (1+Sen2x)‘ J/2 *■ y 1 = ¿( 1+Sen2x )~3/2(1+Sen2x) 1

y ' = [•( 1+Sen2x)~ 3//2 (2SenxCosx) ------- Sen?x2(1+Sen2x)3'2

m ] y = x3areTanx3

S olución. y' = x 3(arcTanx3)1 + arcTanx3(x3) 1

y = ArcSenx + /1j

fueión y ' = 1 + 2x _ 1x _ .I 1x

1 x2 / 1 x 2 V 1+X

JL

/ 1x 2 2>/

■ m arcSen¿xM i i y

. turí¿n t _ (lAx)(arcSenAx)1 arcSen¿x(1¿x)1

(1 4x)2

(14x) ( 7 = = = r ) arcSen¿x(4)______ /116x2__________ ______

(14x)2

= ----( __ ■.:) + arcSen4X(1¿x)2 /(1¿x)(1+4x)

= (ü h )2(]/i rS + arcSen¿x)

y = e1/!™

\ o tución. y' = e1/lnx( ¿ ) ' = e1/lnx[ ÍL nxI ’] =

nx L ln2x J

1y = ln (~j~)

e

ifución. y = ln(1ex ) lnex = ln(lex )

e1/lnx

xln2x

318 Capítulo 3: La Derivada

y ’ = ( - L v ) 0 - e x ) ' - 1 = - ^ 4 - 1 =

xTanx

1 X i x X .1e 1e e1

mt'bM y = 10

Solución. y' = 10x 'L anx . In10. (xTanx) 1

,xTanx= 10xTanx.ln10 [x(Tanx)1 + Tanx(x)’]

= 10x^anx.ln10.(xSec2x + Tanx)

M A M y

Solución, y' = Sen2x(Senx2)1 + Senx2(Sen2x)•

= Sen2x [Cosx2(2x )3 + Senx2(2SenxCosx)

= 2xSen2xCosx2 + Senx2Sen2x

'.»i Dif ere ncia ción de las func ion es 319

2(1+x2)

. ir 1 n 1/ 1 \ _ 1/ix+i+x\+ y' = - t t x\ - 2(- > - 1 — — >

1+x2 (1x2) _ x2

2(1x2)(1+x2) 1x*

1 7 1 y = 2x/lnx

y' = 2x/lnx.ln2.(^_)' = 2x/lnx.ln2 f lnx(1 ] lnx ln2x J

= 2x/lnx(lnx1)ln2

ln2x

D 3 y = /(ax) (xb) (ab) arcTan\/|5

fi-fiición. y = /ax + bxx2ab (ab) ar cT an^| ^

C Z n 2Cosx

/üos2x

Solución, y = 2Cosx(Cos2x)~*/2

y 1 = 2ÍCosx[(Cos2x)_1/ 2J • + (Cos2x)"l/ 2(Cosx)1}

= 2{Cosx[ ^(Cos2x)_3/2 (2Sen2x)] + (Cos2x)~ 1/ 2 (

= 2{ CcosxSen2x(Cos2x)3/2] Senx(Cos2x)~*/2}

= 2(Cos2x)3/ 2 [CosxSen2x Senx(Cos2x)}= 2(Cos2x)”3/ 2 [Sen(2xx)J = ---2Sg;Px ■

Cos2x/Cos2x

1x

1+x2

Solución, Tomando logaritmos neperianos se tiene:

lny = lnx + ¿fin (1x)ln( 1+x2)]

Derivando:

de donde:

K£¿J y =Solución.

y ’ 1 + irL 2x “I _ 1 1 [1+x2+2x2x2~y X • 2 jjx "

1 +x 2J x 2 L(1-x )(1+x 2).

_ 23xx3 ,h-x

2(1x)(1+x2) '1 1+x2

ln (j ) ^aroTanx

y = |[ln(l+x)ln(1x)j ■ ■aroTanx

Senx))

. , (ax+bxx2ab)' ab / /ax \ ,y __w__ n " 1 t M ^ x b )

xb

(ab)(xb) T 1 1 <aX',

xb+ax x‘b

2/(ax )(>:b)

a+b2x

2/(ax) (x■b)

á+b2.x

2/[ ax) (x■b)

a+b2x

2/Tax) (x■b)

a+b2x

á+b2x _ /xb f (xb)(1)(ax)(1)'

2/ax L (xb)2

f j~ (ab) ~|

l.(xb)2J

= = \ / ^xb) V xt

Sen3x

2Sen2xCosx

ración. y = 3Senx¿Sen3x = ---- 3_^_ . 2Senx = 3Csc2x.2Tanx

2Sen2xCosx 2SenxCosx Cosx

+ y 1 = 3Csc2xCotg2x(2) 2Sec2x

//__ L_wJ¿o s2x\ 2 _ 6Cos2x 2Sen2x Sen2x' Cos2j< Sena2x Cos2x

6Cos2xCos2x + 2Sen22x

Sen22xCos2x

6(2Cos2x1)Cos2x + 8Sen2xXos2x

Sen22xCos2x


+ , 6(2Cos2x D + 8(1Cos2x) = _ 2(2Cos2xH)

Sen22x Sen22x

y = eu , donde u =

Solución. y' = eU (u) '• = eU '

eu/T+x Iro+x)(-D - o-x)o)"iI eu/ l + x 1r _2- i2 /Toe IL o+x)2 J 2 / T -x |L 0+x)2J

( 1 + x ) / 1 - x 2

• u = \ / M

y = /a2x2 aarcCos(^)

J í i r ’ Dif ere ncia ció n d e la s f unc ion es 321

y _ Sen3x l . .Co_s321 = Sen 2x - S e n x C o s x + C o s 2 x

Senx + Cosx

= 1 ^ S e n 2 x y' = 0 jj ( C o s 2 x ) ( 2 ) = - C o s 2 x

ln(x + /x21) •.

(t/ilOión. y = ln(x+/x21 ) x(x21)1/ 2

y . xr(x21)l/ 2j ’ (x21)'l/2(x) 'x+/x21

X + / X1 = ( 1 + - xT- i'(x -1) / (2x)H -x2-1 2/!*3T L 2 J ,

(x21)1/2

---+ :L - = (x21)'3/ 2fx2 + (x2l)1



Solución. y 1 = (-- j lía1 ?1 !1 + a( = -- ) . ( ) 1 2 / £ ^ 2 /l(x/a)2 a

2x + a(--- a .) (i) = a~x = / s U, a /r— , V a+x

y

2/a2x2 /a2x2 a /a2x2

/x2 + 1 - + \/1 + ~t )

;o¿uctiin. y = /x2 + 1 ln(1+>/'x + ) = /x* + 1 [ln( 1+/x2 + 1 )lnx]

y, (x/ +1)’ ("--- L = 0+/x*+Í) ' i]2/x2+1 L 1 + / x 2 + 1 J

= — ~ — (------1------ ) (0 + — 2x— ) +2 / x 2 + 1 1+/x2+1 2 / x 2 + 1

X

/ x 2 + 1 / x 2 + 1 ( 1 + / x 2 + 1 ) X

= x 2 ( 1 + / x 2 + D - x 2 + / ^ T i O + Z ^ h T )

X l / x 2 + 1 ( 1 + / x 2 + 1 )

, , , , ( 1 + / x 2 + 1 ) ( x 2 + 1 ) _ / x 2 + 1de donde: y' = ■ ______ 5 ..rrrj— = -----x / x 2 + 1 ( 1 + / x 2 + 1 ) x

y =Sen2x + Cos2x

1+Cotgx 1+Tanx

Solución. y = + Q°f2x. = Sen3x + . Cos3x

1 + 'Seff 1 + cftt Senx+Cosx Cosx+Senx

(x+/x21) /x 21

1 -1

/x21 (x21) /x 1 /(x21)3

Ei'H y = eax(aSenxCosx)

l Hf ución, y 1 = eax(aSenxCosx)1 + (aSenxCosx)(eax) 1

= eax(aCosx+Senx) + (aSenxCosx)aeax

= eax(aCosx+Senx+a2SenxaCosx) = (1+a2).eaxSenx

n n 1cosx■fll y = xe

Solución'. y> = x(e1Cosx)' + e1Cosx(x)'

= x[e1CosxOCosx)'] + e1Cosx

[’1Cosx/»,„ n , 1Cosx_\1Cosxe (0+Senx)J + e= (1+xSenx)e

ETT9 1k £ U y --------- ^

aroTane

selución. y 1 = ----- "ZoZ — (aroTane 2x) 1

(arcTane )2

L ’ 2 x) 2 [ l + ( i - 2 x )2 (e ’ 2X) ,J(aroTane )

1

(aroTane

_J_______ r2e~2x ~| _ 2e'2x_________

Tane2x)2 L1+e_^x J (1+e x )(arcTge'2x)2


y = e x ( S e n 3x - 3 Co 3 3 x

Solución, y ' = e x ( S e n 3 x - 3 C o s 3 x ) ' + ( S e n 3 x - 3 C o s 3 x ) ( e x ) '

= e x ( 3 C o s 3 x+ 9 S e n 3 x ) + ( S e n 3 x - 3 C o s 3 x ) ( e x )

de donde: y ' = 10exSe n3x

Q Q y = 3 x ’ a rc S en x + ( x 2+ 2 ) / l - x 2

Solución, y' = 3[x3(arcSenx)1+arcSenx(x3) 'J + (xz+2)(/1x2) 1

/ 1 - x 2 ( x 2 +2 ) 1

= d\-z=== + arcSenx(3x2)l + (x2+2) (— =p==)+/í^xl/ T ^ J 2/1x

?v3 , r (x3+2x)2x( 1x2)= — + 9 x a r c S e n x - — ----------. ■------------/i^T2

+

~(2x)

ln n ' I diferenciac ión de las funciones 323

, exSenx + exCosx + e"xCosx exSenx+ y' = ------------

exCosx + e xSenx

Senx(ex + e~x ) + Cosx(ex + e~x )

exCósx + e"xSenx

(ex + e~x )(Cosx Senx)

exCosx + e”xSenx

1 + xarcTanx

/ Ü x *

ifur.iin. y = (1+xarcTanx) (1 +x2)” V 2

. y' (1+xarcTanx) £ 1 +x 2) ~ 3/ 2 (2x) j + (1 +x 2) " V 2 (1+xarcTgx) 1

= (1+xarcTanx) £x(1+x2)” 3/z~\ + (1+x2)“ i/ 2 — + arcTanx~J

d e d o n de : y ' = 9 x 2 a r c S e n x

t c U y =/ , ✓*/1 + e

Solución, y = (l+e1 ) ' 1/2 + y 1 = ^(1+e"1 ) 3/2(1+e '

y = 1(1+ e ^ r 3/*[0 + e‘/*(/3t)']

y = 2arcSen(^) /2+Ixx2✓5

. . . . .„ 1 rx~2\i (2+4xx2) 'Solución. y 1 2 ■ ■ 5 --- v— --- . —

2 /5 2/2+^xx2

2/5 (. 1 _ 42x __

/6(x2 ) 2 / 6 2/2+Axx2

2 2 x ________ x

/2 + 4xx2 /2+Axx2 /2+4xx2

(2 2J y = ln(exCosx + e“xSenx)

Solución. y' = (— ----- --- — ----) (eXCosx + e xSenx)'e Cosx + e” Senx

= (1+xarcTanx) £ x(1+x2) 3/z~\ + (1 +x2) i/ 2 + arcTanx~J

= (1+x2) 3/2fx(1+xarcTanx) + (1+x2) (— — + arcTanx)”]L 1+x2 J

= (1+x*) "V 2Q x x2arcTanx + x + arcTanx + x2arcTanxJ

arcTanx

(1+x2 ) 3/ 2

1y =Cos(xCosx)

W>(ación. y = Sec(xCosx) y 1 = Sec(xCox)Tg(xCosx) (xCosx)f

= Sec(xCosx)Tg(xCosx)(1+Senx)

= (1+Senx)Sen(xCosx)

Cos2 (xCosx)

M M | X 3|¿¿J y = e SenxCos x

'"f-ución. y 1 = exSenx(Cos3x) 1 + exCos3x(Senx) 1 + SenxCos3x(e x ) 1

= exSenx[[3Cos2x(Cosx)'J + exCos3xCosx +

+ SenxCos3x(ex)

= 3exSenxCos2xSenx + exCo sl,x + exSenxCos3x

= exCos2x[SenxCosx + Cos2x 3Sen2x]

= ex.qRnvrnRxnnR2v rSenxCosx * C°s2* ~ 3Sen2xlL SenxCosx >

32 4 Capítulo 3: La Derivada

de donde: y' = exSenxCos3x(1+Cotgx3Tanx)

I B I y = 1 r/9+6. 5/x*"

S o l u c i ó n . y = f9+6(x)*/sJ 1

- y . = y l ( 9 + 6x9/ 5) “ 1 “Z 1 1 ( 9 +6x * / 5 ) '

i 4 ( 9 + 6x 9 / s ) " 1 °/11(-^ éx 1* /5 ) = --------ILS^55 11/(9+ 5/ ^ ’)10

ln(2ex + 1 + >/e2x + 4.ex+1)

Solución. Sea u = /e 2x+4ex+1 *■ y = xln (2ex + 1+u)

y' = 1 (— 7T --- ) (2ex + u ' ) = 1 (— ^ ---)(2ex + 2e2X+¿e*2u

/ ></« u nciación de las funciones 325

oX + e”x

v , (eX + ex )(ex2)' (ex 2)(eX + e~x )'

(ex + e ~x ) 2

_ (ex + ex )(2xex2) ex 2(ex e~x )

(ex + e x )2

ex2

(ex + ex)2[2x(ex + e_ x) (ex e'x )]

y lnTan^ Cotgx. ln (1 +'Senx) x

>ón. y ’ = -- Í(Tan$)' Coygx 0Ln( 1 +Senx)] * ln(1+Senx).Tanf 4

2u2x.^ x

= 1 . (__<--- ) (2eX + e .+2e.)2e +1+u u

_ u(2ex+1+u) (2uex+ e2 x+2ex ) _ u2+u e2x 2ex

(2ex+1+u)u (2ex+1+u)u

= (e2x+4ex+1) +ue2 x2 ex = ,2ex+1+ u = ±

(2ex+1+u)u (2ex+1+u)u u

1

/e2x+4ex+1

y _ earcTam/l +ln(2x+3)

Solución. Sea u = ar cT an /1 +ln(2x + 3) “*■ y ' = (1)

= ----. 1 = (/1 +ln (2x + 3) ) 'dx 1+(/l+ln(2x+3))2

1 ( 1...~-- )(— £_)2+ln(2x+3) 2/l+ln(2x+3) 2x+3

1

(2x+3)[2+ln(2x+3)l /l+ln(2x+3)

earcTan/l+ln(2x+3)Luego, en (1) se tiene: y 1 = --------

(2x+3) C2+ln(2x+3 )]/l+ln(2x+3)

4s eC2* (C°tgX)' * 1 Cotgx(£— ?_ ) ln(l+Senx)(Csc2x) 1

Tamj 1+Senx

1 Cos2x + ln(1+Senx) ^

2SemjCosí| Senx(1+Senx) Sen 2x

_1_ ^ 1Sen2x + ln(1+Senx)

Senx Senx(1+Senx) Sen2x

1Senx 1Senx + ln (1+Senx) _ ln(1+Senx)Senx Senx Sen2x Sen2x

á/ r| y = 21n(2x3/l4x2 )6arcSen2x

i . . t u c i ó n . y' = - = ( 2 x 3 / ü i x 1)' 6(~— 2 .. )2x3/l4x2 /14.X2

= 2 r2 _ 3(~8x) | _ 12

2x 3/1Ax2L 2/14x2J /l4x2

^ 2 ^^ / Ñ T x ^ + x ., _ 12

2x 3/T 4.x2 /14x2/l4x2

= 4/l4x2+ 24x 12(2x3/l4x2) = 40/14x2 (2x3/14x2) 2x3/l4x2

2llzl + ln/l+x2 + arcTanx3x 3

326 Capitulo 3: La Derivada

Solución, y = ~ 1 + ¿Ln(1+x*) + arcTanx3x ’ 2

- L - i ( - Í 2 Í) + i (J * _ ) + ^ _ x2 xs 1+x2 1+x2

1 , 1 . x x 1 - x 5+1

B t l y = ¿(3x)/l2xx2 + 2areSen(x*— )¿ /5

Solución. y 1 = 4f b x) (/ i 2xx2 )' + /l2xx2(3x)'1 +

* _ J ___

(Sil).X + 1 j 2 / 2

/2

- y' = i [ (3 x) - / l - 2x-x2] + ~r 2r T2(7=)

/ '</. nm ¡ación de las funciones 327

/x+2(3x)“

(x+1)s

Aplicando logaritmos neperianos se tiene:

lny = Tjln(x+2) + ¿ln(3x) 5ln(x+1)

f = + 4(T 7 ) = x232x73— y 2 x+2 3x 1+x 2(x+2)(3x)(x+1)

y I = /x+2 (3x)11 x232x73 _ (x232x73) (3x)3

(x+1)5 2(x+2)(3x)(x+1) 2(x+1)e./x+2

y 5/(1+xe/x) 3

y = (l+xe'^)3''5 ■* y' = |d +x e/x)'2/5(1+xe/x ) '

y i [ (3_x) / l 2x x2] + r 2r T2(7 )2L 2/l2xx _ J /2(x+1) /2

.1f ( 3-x) (1+x) (12xx2) | 2

" ’ 2 /1-2x -x 2 /l2xx2

= . 1 r 42x2 | + 2 _ x2

2L/l-2x-x2J /l-2x-x2 /l-2x-x2

y = lníxSenx/ToT2)

Solución. y = lnx + InSenx + ^;ln(1x2)

y' = 7 + (Senx)' + ±( — -)(1-x2)'1x2.

x Senx 2 1x2 x 1x2

R 3 1 y = x/l +x2Senx ,

Solución. Aplicando logaritmos neperianos se tiene:

lny = lnx + ln(1+x2) + InSenx

+ j L - J + — — )(x2)' + (— — ) (Senx) 1y x ¿ 1+x2 Senx

— + x2 + Cosx _ (1+2x2 )Senx + x(1+x2)Cosx

x 1+x2 Senx x(1+x2)Senx

. _ (l+2x2)Senx + x(1+x2)Cosx* * y j

/l+x2

,• = |( 1 +xe'^x) “2/ 5 [o + xíe1 )* + e ^ x ) * ]

= ¿ ( l + x e ^ r ^ C x t e ^ H L ) + e ^ d ) ]2/x /—

= |(l+Xe/ x)2/5r| e^f/x + 2)1 = 3e (/x + 2

L J 10 5/ { U x ?

2)

‘)’

Vxión. Sea u = x 2arcTanx + ilnx +1 *• 4^ = 2x — — + -tt ---- . 2 dx 1 + x 2 2x

i , x1/ 2eu *• y' = 4x_3/,2eu + x_1/ 2eu (4 )2 ° c vdx'

oU 1 1e + — ( 2x ---— + — )

2x/x /x

(---- + 2/x 2x 1+x2 2x

— — ) — 1+x2 /x

= (. _J. + 2x _ + 1

= ( 2x - J — ) .- ^-

ETT1 y = + | ln(— —— — |)ACos^x 8Cos2x 1 Tan^

■ fue ión. y = ^TanxSec3x + ^TanxSecx + ^ ln ('*¿Q"g”X )


* y = iTgxíSec’x + |seex) + ^ £"ln( 1+Senx) InCosx]

+ y' = ^Tgxj^Sec’xTgx + •|secxTgxJ + (Sec3x + Jsecx) (•|sec2x) +

, ¿ r Cosx _ Senx~|8 Ll+Senx ’ CosxJ

= |sec3xTg2x + fsecxTg2x + ±Sec5x + |sec3x + | [ c ^ J

= ■•jSec 3x(Sec2x1 ) + ^Secx (Seeíx1 ) + ^Secsx + |seo3x + ^Secx

= ^Seo5x ^Sec3x + |sec3x |secx + ^Se csx + |sec3x + ^Secx

de donde, simplificando obtenemos: y 1 = See5x

ión 2: Diferenciación de las funciones 329

«Pilcando la regla de derivación Du a, se tiene:

y = /x 2(x2 + a2)3 + /Ç*+a2x 2 + ¿J\ln (x+/x2+a2 )

' y 1 = x2 D ( x 2+a2 )2(2x)j + (x2+a 2) 3(2x) + ¡a2|~ x 3+2a2x] +

2/ x2 (x2 + a2 )3 2 L2/x <. + a2x2J

+ — t= = ) ( i + , 2x )2 x+/x +a2 2/x2+a2

= 2x(x2+a2)2 p x 2 + (x2 + a2)] + 3af r2x(2x2 + a2)~[ +

2x /(x2+a2)3 2 L 2x/x 2+a2 J

+ 2fL* (__ 1 //x2 + a2+x 2 x+/x2+a2 /x2 + a2

= /x 2 + a2U x 2 + a2) + 3a2 /2x2 +a2 x + 3 a\ 1

2 /x2+a2 2 /x2+a2

Iny = lnx + xlne + ln(arcTanx) 51n(lnx)

Derivando: = 1 + 1 + ( _ j __)(_!_) . 5(¿)(¿ )

y [ 1 + i + ____ 2----------- L.1L X ( 1 +x2)arcTanx xlnxj

[ ’exarcTanx + x + 1

ln 5x L (1+x2)arcTanx lnx.

y = ( 1 X1 ) e3x~ Cosx

(arcCosx)3


Iny = ln(1x2) + (3x1)lne + InCosx 31n(arcCosx)

Derivando : i ’ ÍJH J.) * 3 * ( ^ ) <=.»> J ^-X a

y I (1x2)e3x~ Cosx(arcCosx)3

r i^ x xf _ Tanx + _ ^_,3— i

1x2 /lx2arcCosxj

= x/(x2 + a2)3 + ¿ V ' /x2 + a2 + ln(x+/x2 + a2)y — A r VA. ra , J x --^ v TC* T —<5“

Solución. Introduciendo x en los dos primeros radicales y luego

____ 2 /x2 a2 2 /x2 a2

= /x2 + a2U x 2+a2) +iil2(2xll |Ha2) =2 /x +az

= /x2+a2 U x 2 + ¿a2) = 4 /(x2+a2)3

K H I y = X(arcSenx) 22x+2/lx2arcSenx

' ■ f u c i ó n . y' = x [(arcSenx ) 2j ' + .(arcSenx) 2 (x) 1 2 +

2 JVTx"2 (arcSenx) ' + arcSenx (/ix2 ) ']

y' x J~2 ( arcSenx) (—ü__) + (arcSenx) 2J 2 + .? |/l ::21 ) +

+ arcSenv (•— ?x )~12/lx2 J

= 2x ar ^e nx + (arcSenx)2 . 2 + 2 . = ( a r o S e n x ) 2

M M X - X

lili y = lnCosarcTan(2— — )

a c i ó n . Sea u = arcTan(^g~*) _> Tanu = (eX~e'X)^ 2

Derivando respecto a x se tiene:

áü = ______1_ /exe~x í . / „x ,.xdx ~ x (— T ) ’ = ---- A --------(áje )

e \? , ?v _ < 21 + — )2 4+(e2x2+e'2x)

_i____ ;ex+e'x.O /

(ex+e_x)2 2 ex+ex

330Capítulo 3: La Derivada

Si y=lnCosu + y' '= cosü^SenU^ dx ^ ~ ‘Tanu^dx^

„x xy. = .(« S)( x . a-Xe + e

x xe ex , _xe + e

y = -- L arcTan(emx \f$)y m/áb V b

Soiución. Sea u = erax V t * Í = «“ ñ = * ñ °

i , 1 ,__1_\ /■dU'.Si y = — — arcTanu + y 1 = — 7M dx'

m/ab m/ab 1+u1 ¡ 1 ) m/ab enix

m/ab 1 + fe2nlx b

de donde: y ’mx

I diferenc iaci ón de las fun cio nes 331

^1x2 (/í+x /1x) x

jL/JJ* + / i ^ ) 2 _ _ i + d+x)/T+^ r(i+x)(i)(ix)(i)

T T L1x2 [(1+x)(1x)3 x 2/1x L (1+x)2

, 1 - r _ o 11 + x + 2/1x2 + 1 x 1 + 1 r - 2 1

“ 75 " * 2 / T ^ L / h i J'1x2(2x)

1 + /1x2

x/lx2

J.rl.1x2 = ..1x = i/ ij

c/ n? X/ T 72 v 1+X

cu (Tan2x)Cotg2

<ín. Aplicando logaritmos neperianos se tiene:

lny = (Cotg^),in(Tan2x)

de donde: y ’ , . 2mx “ “x , mxb + ae ae + De

y = lln( ,x+1— ) + ^arcTan i.n ; t — o*-----------------,3 /x2-x+1 /3 /?

Solución, y = ±[ln(x+1) iln(x2x+l)] + arcTan C2^ )

. 1 T 1 + _ L f ___3----1(22=1)1

+ y ’ 3 [x+1 " 2 x2x+1 J /3 |_ 1 + )2J 73/ 3

1 r 3 (1 x) i + 1 = ---ix+1+x----

~ Z l(x+1)(x2x+1)J 2(x 2x+1) 2(x+ 1)(x2x+1 )

x 3 + 1

g E E l y = in(/1_ ^ ~ / 1=1) + 2a r c T a n \ / ^/1+x + /1x

Solución. Racionalizando el denominador del logaritmo obtenemos

f 1x(/1+x_- /1 xj._ + ¿arcTan

2x= 21n(/í+x / W j ln2x + 2arcTa n\/{^

+ y’= 2( ____'1— t = ) ( — h= - 'X -1 ‘x + 2(T ~ v 1/ 1+x/ThT / ux 2/i+x 2/ u x 1 +

JLiX'i t

1+x

\ Cotg|[ln(Tan2x)] 1 + ln(Tan2x).(Cotg^)1

Cotgf (T ¿ 2 ^ )(Tan2x)' + Inían2x(Csc2|)(|)

Cotg| (Cotg2x)(2Sec22x) ■|csc2|.lnTan2x

2Cotgf (fSüf)í1__j _ lnTan2x

Cos22x 2Sec2|

= (Tan2x)Cotef í'Í£2ÍiñZ2. lnTan2x *|L Sen^x 2Sen2$J

na y = V;/x2+4

fución. Aplicando logaritmos neperianos se tiene:

lny = j£ln(x5) ^ln(x2 + 4)]

+ - f - K ¿ 5 - Í i“? ")] = -^ ° * +2°y 5 x 2+4 J 15 (x5) (x2+4.)

3x 2+10x +20> y > = 3x2 + 10x+20 3 / _____ __ ____________ _____________

15(x5) (x2+¿) s / ^ T ¡ 15(xiH ) m ,y

E3 y = l n V / V ^ + — J~arcTan(22±l) + arcTan (-2^ )1V x x+1 2/5 L / 3 /J J

•fución. Según la identidad: arcTana + arcTanb = areTanf a+b)1ab'


y = 4& n( x 2+x+Dln(x 2x+1)3 + — — arcTan(^£)4 ‘ 2 / 3 1 - x 2

- y . . 4 r . 2xJiL . JszLl + J L f — J --------

i- x 2+ x+ 1 X 2-X + 1J 2 / 3 L 1 | ( / 3 x 1 - x 2 J1 - x 2

- i f 2 - 2x 2 ~1 + _ 1 _ |~ ( 1 - x 2 ) 2 ~| ( 1 - x 2 ) /5 - /? x ( -2 x )

^ <-x 1,+x2+lJ 2/3 L (1 -x 2) 2+3x2J (1 -x 2)2

= 1 f 1~x2 ~l + Í (_ Ü 2 lL ) = 12 L x ‘,+x2+i J 2 x ‘*+x2+1 x'*+x2+1

v2n_1y = arcCos (— 5— )x¿n+1

1 2 n 1So ¿lición. y 1 = — (Xw— ) 1

~~^ñ- ¡ x +11 ) ‘‘

"i Diferenciación de las junciones 333

i U) = *2arcTg(Í£LL) f»(x ) = ¿2T.-- 1 _ — ](Í2zI)ib /? 6 Ll + (Íí^l)2J /3

/3

1

2(12x+4x2)

... . 1~l6x3 + 1 r 3(12x) -1 + 1

(1 + 8x3)2 ° L (1+2x ) (12x+¿x2)J 2(12x+4.x2)

. 116 x 3 + (12x )+(1+2x) = _ 116x 3 + 1

(1+8x3)2 2(1+2 x)(12x+4x 2) (1+8x3)2 1+8x3

donde: y> = — ^x3

(1+8x3)!

n a Pnmostrar que la fiínción y=ln(yj^) satisface la relación

xy * +1 = ey

' 1- ) ‘‘x ‘ “ +1

/ 1 - ( 4 ^ -K x +1

x2n+1 r(x 2n +1)(2nx2n~1)(x2n1)(2nx2n‘1 )1

[■/(x2n+l)2(x2n+l)2 i (x2n+1)!

------ -- — [~2nx2n~1 (x2n+1x2n + 1)1

(x2n+1) A Z *

¿nx2n"1 _ 2nx2n~ 1(x2n+1)(2lx|n) fx|n (x2n+1)

n1n• ' i in n . , 2nxSi n es un numero par: |x| = x *■ y ' =

2n ,x +1

-1 0 n1/ . i in n 11 i . ¿nx

Si n es un numero impar: x = x x y' =

I x|(x2n+1)

+ 1 ln .+ *5 arcTan(Í2zl)12 t 2 O ./Q1+8 x3 12 X+A X2 /3

S o ¿ación. y = — — +(^21n( 1 +2x)ln( 1 2x+4x2 )]J +

+ ~gar cT an (“ ~ )

, = . (J. + 8x 1),-_x (24x 2) + 1 P 2( 2 }._ I2 + 8x_1+ fl(x)

(1 + 8x3)2 12 L 1 2x 1 2x+4x2

; ifin. En efecto, si y=ln(^;) «*■= ey «*■ x = llS?ey

Además: y = ln1ln(1+x) + y 1 = = ey

| *t‘ imito: xy' + 1 = (—~e' ) (~ey ) + 1 = eyey

u n Hnmostrar que la función:

= § + 4x/x2 +1 + ln(/x + /x2+1)y t t 2

■mtisface la relación: 2y = xy' + ln y1

\/t ación. En efecto:

y = + -jj / x ' + x 2 + ^ l n ( x + / x 2+1 )

. 3 ,

x + i < ~ ^ = f ) + — T = ) ( 1 + - p — )2/x +x ¿ x+/x2 + 1 2/x2 + 1

x + + i(_ u = r ) ( ^ ± x )/x2+1 x+/x2+1 /x2+1

x +&1H + ■■_L_ = x + >/x2+i

/x2 +1 2/x 2 + 1

xy' = x2 +x/x2 +1 , lny' = ln(x+/x2+í) = 21n ( ^ v P t T)

1 natas dos igualdades se tiene:

1 l n y ' = x2+x/x2+1+21n(/x+/x2+1) = 2y

334 . Capitulo 3: La Derivada

W R cE Demostrar que la función y = arc^e^— satisface la rela,l f< r1 X

eión: (1x2)y'xy = 1

DemoUsiaciin. En efecto: y = (1x2)"1 / 2 arcSenx

yi = (1x2 )' l / 2 (arcSenx) 1 + arcSenx[(1x2) J/2] 1

+ y' =(1x2)~1/2( ..1— ) + arcSenx f |( 1x2 )" V 2 (2x)]/1x2

1 r ,,,/i1 1 . xarcSenx= — + arcSenx lx( 1x2) 3/2J = -------- + — --7 7 7 = =

1x 2 L 1x2 (1x )/1x

= _L_ fl + xarcSenxl = J _ r, + xy1

1x2 / Ü 7 2 J 1x2* J

( 1 - x 2 ) y ' = 1 +xy -*-►(1 - x 2 ) y 1-xy = 1

fJ Zl Calcular las sumas:

<(ión 2: Diferenciación de las funciones 335

(1X) | ixi _ 1 = (1Xn ) n(1x)xn

X 1 = 1 x( 1x)

d. donde: \ ix1 ’ 1 = ( n * 1i- 1 (1x ) 2

n .• ') Kn este caso calculamos el valor de la suma £ i(i1)x

1 = 1

partiendo de la propiedad telescópica del ejercicio anterior,

o e t o es: \ F i d - D x 1'2 (i1 ) (i2 )xi3l = n(n1 )xn. 1 = 1 L J

2 0

1-2 nl i d - D x 1"2 - £ Ci(i-D-2(i-1)nxi'3 = n(n-1)xn'21=1 i=i

• J i d - D x 1'2 - l i d - D x 1'3 + 2 l (i.í)x1-3 = n(n-1)xn’2i1 1=1 1=1

a) 1 + 2x + 3x2 + .... + nx11' 1

b) 2 + 2 .3x + 3 .4x2 + - + n(n1 )xn ' 2

So¿ación, a) Calcularemos la suma indicada mediante la sumato

n .ria: \ ix , haciendo uso de la propiedad te

i =1

lescópica: \ Tí (i)F(i1)J = F(n)F(0)1 = 1 _

donde: F(i) = ix1 " 1 + F(n) = nx11' 1 y F(0) = 0

Luego: \ [ix1 '1(i1 )x12] = nxn ' 1 0i = 1

+ { ix1 1 i ix12 .* f X11 = nxn1i=1 i=1 1 =1 ’

* fix 1 ' 1 i T ix1 " 1 + 1 y x1 - "1 = n x n ' 1i =1

i1 1 X

n i 1l ix +

i=11 i x1X i = 1

2 . i1l IX

i — 1

i n+ l(1'x )

x 1x

n -1= nx

? . i1I IXi = 1

n- 1= nx i ( l i )

x M x >

„ „ . . .. .. *. ___n- 1/X1 1

X i=1 x x x( 1x)

Multiplicando por 1 ambos miembros se tiene:

l i d - D x 1 "2 - 1 1 i d - D x 1'2 +‘2 f ix1*3 - 2 ? x1'3 =11 . “1=1 1=1 1=1

• (íf!) y itiDx 1 ' 2 + — f y ix1"1] 2 ? x1 * 1 = n(n1 )xn ' 21) i i d D x 1 - 2 + I i x 1] 2 j x1 - 1 = n(n- 1 )xEi = 1 x * 1 = 1 J X 2 1=1

•pn <>1 corchete aplicamos la fórmula obtenida en el ejercicio an

•«rlor:

♦ (S¿2) l i d Dx 1'2 + 2 - f~1" (n+1 )xn+nxnt1l _ l_/1xn} =i=1 x2 L (1x)2 J x2 1x

• (¿^) l i (i1:)x 1=1

xi2 + 2_ r 1 (n+1 )xn+nxn+1 (1x11) (1 x)~1 =

x2 L (1x)2 J

k ( ^ ) í i d - D x 1'2 = - f r i^? ,xD~1+nxn-xn~| + n(n. 1)xn - 21=1 X L (1-x )2 J

M'ill Iplicando por 1 ambos extremos se tiene:

(hx.) l id i )xi2 = 2( 1nxn~1+nxnxn ) n(n1 )xn'2( 1x)2

* i=1 x (1x)2

.1. <!nnde: f i d D x 1'2 = 2n(">1)xn'1+2(n21)xnn(n1)xn+11=1 (1x)3

336 Capitulo 3: La Derivad

2.9 FUNCIONES INVERSAS

S u p o n g a m o s q u e i l a r e g l a p a r a d e r i v a r l a f u n c i ó n p o t e n c i a l

f u l e s t a b l e c i d a s ó l o p a r a u n e x p o n e n te e n t e r o y p o s i t i v o .

D e d u ci r l a f ó r m u l a p a r a d e r i v a r l a r a í z , a p l i c a n d o l a r e g l a p o

r a d e r iv a r l a f u n c i ó n i n v e r s a .

Solución. S i y = f ( x ) e s u n a f u n c i ó n d e r i v a b l e y a d mi t e f u n c i ó n

i n v e r s a x = f * ( x ) , q ue ta m b ié n e s d e r i v a b l e , e n t o n c e s

dx _ 1dy _d£

dx

En efecto, dado que: x=f*(x) =

i

, ; i ■,/«/■n,u n ión de las funciones 337

m - í In ( , c ompr obar l a r e la c i ó n : = 1

16n. En e f e c t o , t i u = ^ D . n ( 1 + v ) - l n ( l - v ) ]

| * $ = iíik - t Í f ] = ( 1)

f a '"<-&> * i r í = e2u - (2)

, ( e 2 u- 1 ) 2 . ( e 2 u + 1 ) M e 2 u - l ) 2 _ ¿e2u

( e 2 u+ 1 ) 2 ( e ^ u + 1 ) 2 ( e 2 u + 1 ) 2

L u n ..... (1): (3)4©

* .i mlo (2) respecto a u se tiene:

lly (e2u+ 1) (e2u 1 )' (e2u 1) (e2u +1 )'

a . d o na .: ! ; & * < * ) ] = i 0 *

dx

(1)

dx

Por la regla de derivación D6» si y

Luego, según (1): ^

dxII- I/UU\

nu fe*

n/ nn v y

(— )du

x=earcSeny, ¡la]_]_ar 2a expresión para ^ mediante y, median

te x.

Solución. Derivando respecto a y se tiene:

dx = earcSeny(arcSeny)I = earcSeny(^ = .) =

y /i y2

Luee°: fx = "TET

^arcSeny

d7 earcSeny

Para derivar mediante x, tomamos logaritmos neperianos, esto es:

Inx = arcSeny ■* y = Sen(lnx)

dy _ d /, \ Cos(lnx)•> £ = Cos(lnx).^dnx) ----------

j t=23s+ss, expresar ^ mediante s.

Solución. = 03+3s2 = 3(s21) + ff = 1

3 ( s2 1 :

( e 2 u + 1 ) 2

( e 2 u+ 1 ) ( 2 e 2 u ) - ( e 2 u- 1 ) ( 2 e 2 u ) _ ¿ e 2 u (l)

)|ttl l\ pl loando miembro a miembro (3) y (4) o b t e n e m o s :

(dUy/dV) = 1'dv du 1

■ 2 U T e n i en d o e n c u e n t a qu e l a s f u n c i o n e s a r c S e n / x y S e n 2 x s o n

r e c í p r o c a m e n t e i n v e r s a s y q ue ( S e n 2x ) ' = Se n 2x , h a l l a r

( a r c S e n / x ) ' .

if/uci¿n. S e a f ( x ) = S e n 2 x +• f ' ( x ) = S e n 2 x

Si f* (x)=arcSen/x •* ^;[f*(x)] = — -

i: ^(arcSen/x) = —

d x ’ • f ' ( x )

S e n 2 x 2 S e n x C o s x 2 S e n / l - S e n 2 x

l*nro, como x=Se nax -*■ /x= Se nx

.*. ^ ( a r c S e n / x ) = — — -------- 1

2 / x / 1 - x 2 / x - x 2

c u D es ig ne mo s l a f u n ci ó n i n v e rs a a l a f u n c i ó n p o t e n c i a l exp o

n e n c i a l y = x x , p o r e l s í m b o l o a ( x ) , e s d e c i r , s u po n ga m os q'

'I" y = x x s e d e d u ce x = a ( y ) . H a l l a r l a f ó r m u l a p a r a l a d e r i v a d a d e

. i f un ci ón y = a ( x ) .


Solución. S i y =x x , l a f u n c i ó n i n v e r s a l a o b t en e mo s i n t e r c a m

b i a n d o v a r i a b l e s , e s t o e s : x = y y , d o nd e y = a ( x )

A p l i ca n d o l o g a r i t m o s n e p e r i a n o s s e t i e n e : l n x = y l n y

D e r iv a mo s r e s p e c t o a x: ^ = y ( l n y ) ' + l n y ( y ) 1

* ~=y(£~) + y' lny = y'O+iny)x y

d e d o n d e :x(1+lny) x[l+lna(x)J

tT TB Las funciones que son inversas a las funciones hiperbóli-

cas son designadas por los símbolos arcSenhx, arcCoshx,arcTghx, Hallar las derivadas de estas funciones.

Solución.. Sea y=Senhx , intercambiando las variables se tiene:

x = Senhy •**• y = arcSenhx

fe ... • ’ / 1i/rn nciación de las funciones 339

■ 1 x -i E x p r e s a r 4 ^ m e d i a n t e x , m e d i a n t e y . M o s t r ar q ue1 +x“ ay

. .n v á l i d a l a r e l a c i ó n ( "j ) ( ^ ~ ) = 1

D e r i v a n d o y r e s p e c t o d e x s e t i e n e :

dx . (l+ X»)( ¿X3) (1X») (¿X3) _

( 1+ x " ) 2 ( 1 + x " ) 2

•8x

•I w

«ydxdy

( l + x " ) ;(1)

# Qy

| « l i ' | mi do x = f ( y ) o b t e ne m o s : x =

fun-. logaritmos se tiene: lnx = - [ln (1-y)-ln (1+y)]

. 1 r^i. i i ix dy ¿ L 1-y - TTyJ - - 2 ( 1 . y ) ( i + y )



^ t^ x^ = f^ Senhy 1 = Coshy(l í )

de donde: = = 1 •— + 4(arcSenhx) = -j==~dx Coshy /l+Senh2y /l+x2

b) Sea y=Coshx, intercambiando las variables se tiene:

x = Coshy ■** y = arcSenhx

+ = ^( Co shy ) +*■ 1 = Senhy(|^)

de donde: = — — = , ^ ==~ + r( arcCoshx) = — dx Senhy /cosh2x1 , / x ^ T

r

c) Sea y=Tanhx , intercambiando las variables se tiene:

x = Tanhy y = arcTanhx

+ I7(x) = f^(Tanhy) ■” 1 = Secli2y(^)

de donde: = — ---- = ------- - + f^(arcTanhx) = — !— dx Sech2y 1Tanh2y dx 1x2

1 s=te ^ , hallar

So¿ución. = t(e ^ ) 1 ' + e (t) 1 = t(e ^)+e °

,, t• dt _ e" ds 1t

. 4S . _____ 1 _____ r M ü i =dy ?-d-y)(l+y) L-/T+7J

(2)y)(1+y) >/T+7J 2 "/(1—y)s(1+y)s

MmI U p l i can do miembro a mie mbro ( 1 ) po r l a i n v e r s a d e ( 2 ) s e t i e

m . (g)'(g) = */(iy)s(H y )s]

= 1 +x‘>)2[~2y*/(i . 18x3 L V 1+x" 1+x" J

. (1+x")2'

8x " ) 2 r 8 x - i

3 L d+ x" )2J

l+x’ = 1

□ x = y 34y+1 . H a l l a r ^

S a t u s . ión. D e r i v a n d o x r e s p e c t o d e y , s e t i e n e :

dxdy

= 3y 2 4 di =

3y24

Si t = a r c S e n 2 s , h a l l a r l a e x p r e s i ó n p a r a m e d i a n t e s , me

d i a n t e t .

: (nc-ión./l(2 S', 2

(2s)' =/i (2s)2

'122 s

dt 2 s l n 2

Ml tarcSen2s *■ 2s=Sent *■ sln2 = InSent

i1" i1 vando: (||)ln2= (g^tHCost) = Cotgt + = S2Í£Íln2


RÍ TH Comprobar la validez de la relación x e ^

se relacionan por la dependencia:

(1) y=x2+ax+b ; (2) y=x'n ; (3) y=ln(x21)

SoCuc¿in. (1) Derivando respecto á x: = 2x+a

Derivando respecto ay : 1 = 2x( ) +

de donde: — dy 2x+a

** ^dx^dy^ = (2x+a) (2x + a^ “ 1

(2) Si y=x“n *■ = nx‘n"1 =

Derivando respecto ay: 1 = nx n ”*(^) ’’ dy ~ ”

n+1

,St ión 2: Diferenciación de las funciones 341

2Sen2x1 Cosx(2Senx+1)-------- + ---- i---- ---- = Tanx

Cosx 1+Senx

P " i i Idénticamente iguales entre sí.

fitnnti/iaciAn, En efecto; sean: f(x) = 2Sen x1 + Sen2x+Cosx

Cosx 1+Senx

y g(x)Tanx

, r'(x) = Cosx(¿SenxCosx)(2Sen2xl)(Senx)

Cos2x

+ (1+Senx)(2Cos2xSenx)(Sen2x+Cosx)(Cosx)

(1+Senx)2

_ ¿Senx(1Sen2x)+2Sen3xSenx +

Cos2x

+ (1+Senx)(2Co s2xSenx)(2Senx+1)(1+Senx)(1Senx)

(1+Senx)2

n 1• (^L)fÚZ.) = (. q ,„)(. 2---) = 1*• dx dy ' x n

(3) Si y=ln(x21) = ~ -nx x 1

_ . , , i _ / 2x wáx dx _ x21Derivando respecto ay: 1 l— — )I * dy ~ 2x

x 1 ^

... 1 '

2.10 FUNCIONES DADAS EN FORMA IMPLICITA

Aplicando la derivación mostrar que las derivadas de los

dos miembros de la igualdad Sen2x = 1Cos2x son idéntica-

mente iguales entre sí.

D&mosi/iac ¿6n. En efecto, sean: f(x)=Sen2x y g(x)=1Cos2x

*■ f' (x)=2Senx(Senx) 1 2SenxCosx = Sen2x

g'(x) = 02Cosx(Cosx)' = 2Cosx(Senx) = Sen2x

f 1 (x) = g 1 (x)

Aplicando la derivación mostrar que las derivadas de los

dos miembros de la igualdad:

788

787

3Senx2Sen3x , 12.Senx2Sen2x ' 1T ' ■«■.i • — s: Sec x

(1+Senx)(1Senx) 1+Senx Cos2x

f i n(x)=Tgx ■*• g 1 (x) =Sec2x ,

f 1 (x) = g 1 (x).

O H A qué es igual el coeficiente angular de la tangente a lav ^ -\r

ulipse “ + ¿ = 1 en el punto P(l,/2).

<f*" iin- Derivando implícitamente la ecuación de la elipse se

tiene: — + Sil.' = o *■ y' = 2(~)

■ para el punto P(1,/2): m. = 2(----) - /2/2

C U A qué es igual el coeficiente angular de la tangente a la

hipérbola xy=a (á/0) en el punto P(a,1).

Mi-f,,, i in. Derivando implícitamente la ecuación dela hipér

se tiene: xy1 + y = 0 y* = %■

|i.i ... .-.i, para el punto P(a, 1): m =1/a

A qué es igual el coeficiente angular de la tangente a la

.' Ircunferencia (x1)2 +(y+ 3)2 = 17 en el punto T(2,1)?

'•*’"• Derivando implícitamente la ecuación dada se tiene:

342Capítulo 3: La De riva da

2(x1) + 2(y+3)y' = 0 + Y ’ = 7 T T

21 _ 1_Para el punto T(2,1): m = 1+j = “ ¿

En los ejercicios 792812 hallar las derivadas de las fun-

ciones y dadas en forma implícita.

r m si + = 1

,2x , 2yy1 _ nSolución. Derivando implícitamente: — + — —

de donde : y 1 = —

b2

b2xa 2y

x l / 2 + y l / 2 = a l / 2

Solución. /x + /y = /a + — + = 0 + y ' " " \ x

'■<<i ni» 2: Dife ren cia ció n d e l as fun cio nes 343

j .if ución. ix3 + 4ysy' = x2 (2yy') + y2(2x)

2 y *y * - x 2y y ' =: x y 2 - 2 x 3 ♦ y 1 = x(y*-?x2) y(2y2-x 2 )

Ii í l - I x J + ax 2y + b x y2 + y 3 =0

Jv (ución. ( x 3 ) 1 + a ( x 2 y ) ' + b ( x y 2 ) ' + ( y 3 ) ' = 0

+ 3 x 2 + a£x 2y 1 + y ( 2 x ) ] + b j x ( 2 y y ' ) + y 2 ( 1 ) ] + 3 y 2 y ' = 0

y ' ( a x 2 + 2 b x + 3 y 2 ) = - 3 x 2- 2 a x y - b y 2

, = 3 x 2 + 2 a x y + b y2

a x 2

+ 2 b x + 3 y2

m S e n ( x y ) + C o s ( x y ) = T a n ( x + y )

f Ji 1(ución. D e r i v a n d o i m p l í c i t a m e n t e s e t i e n e :

Cos(xy).(xy)* Sen(xy).(xy)1 = Sec2(x+y).(x+y)*

Solución. /x + /y /a + + 0 + y \ x2/7 2/y

^ 2 3 x’+y33axy=0

Solución. 3xi+3yíy'3a(xy'+y)=0 + x 2ay + (y2ax)y' = 0

- yy ax

y2Cosx = a2Sen3x

Solución, y2(Cosx)' + Cosx(y2)'= a2(Sen3x)'

y2(Senx) + Cosx(2yy’) = a2(3Cosx)

, 3a2Cos3x+y2Senxde donde: y 1 = ---------------

2 y C o s x

y 33y+2ax=02a

Solución. 3y2y 1 3y' + 2a = 0 + y 1 =3 ( 1 - y 2 )

y22xy+h2=0

Solución. (y2 )1 2 (xy)1 + (b2)' = 0 + 2yy' 2(xy'+y) = 0

+2(yx)y1 2y = 0 +•*• y' =

798 x'*+y‘‘=x2y2

-*• I C o s ( x y ) - S e n ( x y ) I ( x y 1+y) = Sec 2 ( x + y ) + y * S e c 2 ( x + y )

i .1» Monde : y' = _ S e c 2 ( x +y ) - y [ C o s ( x y ) - S e n ( x y ) ]

S e c 2 ( x + y ) - x £ C o s ( x y ) - S e n ( x y ) J

r m 2 x + 2y = 2 x+ y

“<■ ión. D e r iv a n do i m p l i c i t a m e n t e s e t i e n e :

2 * ( l n 2 ) + 2y ( l n 2 )y ' = 2 x + y ( l n 2 ) ( x + y ) '

+ 2 X + 2 yy ' = 2 x+y ( 1 + y 1) -*■ 2 y ( 1 - 2 x ) y ' = 2 x ( 2 y - 1 )

I « » donde : y' = 2 x - y ( l L l )1 - 2 X

2 y l n y = x

ión. D e r iv a n do i m p l i c i t a m e n t e : 2 [ y ( l n y ) 1 + lny (y ) ' ] ] = 1

+ 2 C y ( í - ) + y ' l n y ] = 1 + y 1 = ------- — y . 2(1+lny)

m xy = arcSenxarcSeny

jAi fa, ión. Derivando implícitamente: 1y1 = ~* — ¿LL_/1x2 /1y2

344 Cavitulo 3: La Derivad«

y xx í = y

Solución. Tomando logaritmos neperianos se tiene:

y l n x = x l n y -*■ y ( ^ ) + l n x ( y 1 ) = x ) + I n y

de donde: y' =x(xylnx)

Ü 2 3 y. = Cos(x+y)

Solución. y 1 = Sen(x+y).(x+y)' = Sen(x+y)(1+y')

, , , Sen(x+y)de donde: y = --- 2—

1+Sen(x+y)

Cos(xy) = x

• n-nr¡ación de las funciones 345

I — --- (aTSp' = 2f------ — ] (|Sec2|1 +m2Tg2^ J Ll+m2Tg2^J 2 2

llm2Tg2^ Cos2,f + ro2Sen27j (1m2 )Cos2tj + m2

1 . 1 = ---£k v rot,z2 _ 1+Cosx1 1+k 1+k y Cos 2 2

\f ( 1 xys \/Lii . —

V 1 +k____________ l1+l{,V 1+k /Tí

(y ) ( g~'~ ) + k+kCosx+1k 1+kCosx

'»nxCos(xy) = 0

m y ( S e n x ) ' + Senx(y') + Sen(xy).(xy)' = 0.

► yCosx + y 1 Senx + S„en (xy). (1 y1) = 0

, = yCosx + Sen(xy)

Sen(x y) Senx

Solución. Derivando implícitamente: Sen(xy).(xy)' = 1

, „ . 1+Sen(xy)+ Sen(xy) (xy +y) = 1 ■* y 1 --------------- -— 7

xSen(xy)

f T Ü x 2 ' 3 + y 2/ 3 = a2 / 3

Solución. |x - 1 / 3 + |y‘1/3 = 0 «"*■ y1 = \/f

{JjJjl y = 1+xey

Solución. y' = x(ey )' + ey (x)' = x(eyy') + ey

eyde donde: y' = -----

1 xey

Eílíl xSenyCosy+Cos2y = 0

Solución. x(Seny)' + Seny(x)' (Seny)y' 2Sen2y(y') = 0

+ xCosy(y') + Seny + Seny(y') 2Sen2y(y') = 0

de donde: y 1 = -Seny-------2Sen2ySenyxCosy

B U Tanl Tan| _

Solución. Sea m = + Tan| = mTanf ► y =2arcTan(mTanX | ( M

Sen(xy) Senx

x+arcTany

( — 1- ) y ’ - y ' = — 1+y y

■»/><> <ón. y 1 = 1 + (-- — )y' *• y' = — tü. ■

III Mostrar que la función y definida por la ecuación xy—lhy=.1,

níitisface también la relación: y2+(xy1)y* = 0.

I '<ración. En efecto, derivando implícitamente la ecuación da

da se tiene:xy1 + y = 0

*■ xyy' + y2 y' = 0 y2 + (xy1)y' = .0

»11 APLICACiONES DE LA DERIVADA

C O En la parábola y=x2 se han marcado dos puntos cuyas absci-

sas son xj=1 y x 2=3. Por estoa puntos pasa la secante. En

Hhó punto de la parábola la tangente a ésta es paralela a la selum'.e trazada.

’<ic¿6n. Para xj = 1 yi = (1)2 = 1 y para x 2=3 ♦ y2=(3)2=9

Luego, P 1 (1,1) y P2 (3,9) son puntos por donde pasa la.. .'inte.

346 Capítulo 3: La I )<>|

Pendiente de la secante:

En el punto de tangencia T(xo,y o)e(y=x2) : m^

y como = f1 (xo) + K = 2xo x 0=2 *■ yo = (2) 2 = 4.

En consecuencia, T(2,4) es el punto buscado.

ISffcl Una cuerda está trazada dé manera que pasa por el foco do

la parábola y es perpendicular al eje de ésta. Por los p«i|

tos de intersección de la cuerda y la parábolapasan tangente«,

Demostrar que éstas se cortan en ángulo recto.

De.mo¿i/iac.¿&n, En efecto, sea la parábola y2=4px, cuyo foco tione por coordenadas F(p,0). La cuerda focalperpnjj

dicular al eje es el lado recto cuyo

valor es: LR = 14PI» entonces, por

simetría: L(p,2p) y R(p,2p).

ilición de las funciones 347

.m que el segmento de la tangente a la hipérbola xy=a

,u<!ido entre los ejes coordenados está dividido en 2

inlnn por el punto de contacto.

..'/i. En efecto, sea Po(xo.yo) el punto de contacto, esi

decir, si Po(x0,y o)e(xy = a) + y0 = — A0

l r . f .

\ a..yo) m. = —

ilo la tangente: y — = (xx0)xo x§

= — (xxo]•2

x=2xo

ay ---

xo(xo) y=2a/x0

(p, p) y (p, p)

Si y2=4px + 2y y1 = 4p y ' =

Luego, las pendientes de las tangen-

tes en L y R son, respectivamente:

Bx= |£ =■ 1 y B2 = ^ = 1

Dado que nn.ma=1, las tangentes se

cortan en ángulo recto.

;| Escribir la ecuación de la tangente y de la normal a la hi_

pérbola xy = 1 en el punto cuya abscisa es x=1/2. Hallar la

subtangente y la subnormal.

Soíución. Para x=1/2 y=2 , luego T(1/2,2) es el punto

de tangencia.

Si y = xy. = _ 1

(1/2)=

Ecuación de la tangente: y+2 = 4(x + ) *+ Li:4x+y+4=0

1 "1Ecuación de la normal: y+2 = j(x + -z) L2:2x8y15=0.

Longitud de la subtangente:

Longitud de la subnormal:

g/p _ | f ( X o )

l~ |f '(x0)I

SN = |f(xó).f1(x„)| = | (2)(4)I = 8

xo

In hipérbola intercepta a los e.jes coordenados en los pun

il.’xo.O) y B(0,2a/x0).

>n punto medio de AB M = 0 + — ) = (xo>a/xo)2 2

|IH! M=Po» entonces Po divide al segmento AB por la mitad.

i i a Mostrar que respecto a la hipérbola xy=k el área del triáni'ulo formado por cualquier tangente y los ejes coordenados

■ k i i; nal al cuadrado del semieje de la hipérbola.

U,n, .\i/ia'ci¿n. En efecto, sabemos que una hipérbola equilátera

de la forma xy=k, cuyas dos ramas se extienden a

R| I ii i ó ticamente en el primer y tercer cuadrantes, tiene por ecua

pii'ii H:xy=a2/2, donde a es el semieje transverso.

IH'io, si Po(xo,yo) es el punto de tangencia,

* <oyo = a2/2 ■*-*■ y 0=a2/2x0 .". Po(x0,a2/2x0)

I"ilvando implícitamente la ecuación de la

hipérbola se tiene: xy'+y=0 •> y'= y/x

rnra P 0(x0,a2/2 x0) *■ m. = a2/2x2

í nación de la tangente: y ¿x0 2x„

(xx0)

348

Capítulo 3: La Derivada

Interceptando con los ejes coordenados obtenemos:

A(2xo.O) y B(0,a2/xo)

a(AAOB) = l|(2xo)(a2/xo)l = a2

Un punto móvil se desplaza sobre una recta de modo que su

d í i n c i . . del P»nto inicia! >1 «•>» ‘ "

„nal • , .) En momento .. .»contro ,n .1 P «

t. inicial .1 punto r.f.ridc » .cent. ^ l g ^ * «•”

su velocidad?

Solución. a) En el momento inicial s=0 , entonces:

4t* 4f+ l6t * = ¿t*(t8)2 = 0 tx0 ó t2=8

t3 i2t +32t t(t A)(t 8)

819

'•»a. .n 8 sgg. Hallar 1, velocidad „ e„ i „ „ al cabo ,

111 comenzar el movimiento. g*

"lución. Según el enunciado: a = kt 2

En una vuelta: o=2tt y t = 8

líntonces: 27r = k(8)2

dadt

k = _132

7Tt

a = — £+ 232

i.\ - n ^T5 * y Para t=32s - > ( 0 = 2* rad/seg.

1 1 3 l áT ; 6’ qUS 86 f°rma al dar Una VUelta Una alabo de t seg., es igual a e=at2bt+c, donde a.b.c son cons

• daos ; ; r Haiir ia veiocidad «”n qUe m0nlent0 es ^ ual “ « r o la velocidad angular?

I r.rión. La velocidad angular co en un tiempo de t seg, es:

, w = ¿a = t3.i2t2+32t = t(tA)(t8)D> w dt

v=o -*■ t i = 0 , t 2 = A , t 3= 8

'i TCc? pfectúa movimiento recti| Un cuerpo cuya masa es de 3 ¿g. elecxua

lineo de acuerdo con la ley: s1+t+tj.* + /vo +■ pn segundos. Determinar la

s viene expresada en centímetros, t. en según

'*■ fJEXll del cuerpo al cabo de 5 seg. al iniciarenergía cinética (y) del cuerpo

el movimiento.

La velocidad d,l C.r po .1 c.Oo d, t . « « d o . ...

v = || _ 1 + 2t . Para t=5 seg. *■ v 1 + 1° 11 seg.

Luego, la energía cinética, e n ergios, del cuerpo al cabo de 5

Seg. es: Ec = |mv2 = ±(3000)(11 ) 2 = 181.5x10a erg.

El ángulo a de giro de una polea en funció n del tiempo t

v i e n e expresado por la función a=t2+3t5. Hallar la velo

cidad angular para t=5 seg.Solución. La velocidad angular de la pol ea en t seg. es:

o, = §£ = 2t+3 . Pa ra t=5 u>=10+3 = 13 rad/seg.

Una rueda gira de modo que el ángulo de giro es

nal al cuadrado del tiempo. La primera vuelta ha822

821

820

g p g,.. _ d9 .

dt ^ ü) = (2atb) rad/seg.

ocidad se reduce a cero cuando 2atb=0. es. decir, cuando:

t = 2i see

® n a r t l rT r ^ ele°trÍCÍdad Pasa P<~ un conductor a

■ Partir del momento de tiempo t=0, se calcula con la fóxmuImbuiente: Q=2t2+3t+1 (culombios). "

'a intensidad de corriente al final del quinto segundo.

I#". <6n. La intensidad de corriente I. en un tiempo t seg. es

ta dada por: I = || * j = ¿t+3

■ a t5a I = 20+3 = 23 amp.

linea y=x 2(x2)2 hallar los puntos en los cuales las

'"./rentes son paralelas al eje de abscisas.

Derivando la ecuación de la línea se tiene:

y = X L (X -2 )2j 1 + (X-2)*(-r*)t - O 21= 4.x(x2) (x1) } " 2x2(x2^ + ^ ) 2(2x)

"ün Paralelas al eje X cuando mt=f ' (Xo)=0.

•v'“0 + 4x (x1)(x2) =0 ~ x=0 , X=1 , x=2/

.y * ’ X2 1 + y 2'1(1-2 ) 2 = 1 ; x3= 2 + y 3=9 (2-2 ) 2 = 0• <>o puntos requeridos son: (0,0), ( 1 , 1 ) y ( 2 > 0 )


Mostrar que la línea y=xs+5x12 entodos suspuntos esta in

clinado hacia el eje OX, formándose entre ellosun ^ agudo.

Solución. En efecto, derivando la ecuación dada se tiene:

y' = 5x*+5 = 5(x*+1)

Dado que y’>0 , ¥xeR, la línea está inclinada hacia el eje OX,

es decir, las tangentes en cada punto de la línea forman ángulos

agudos con el eje OX.

. | En qué puntos de la línea y=x3+x2 la tangente a ella es

paralela a la recta y=4.x1 ?So¿uciin. Derivando la ecuación de la línea obtenemos:

f1 (x)=3x2 + 1 + mt = f'(xo) = 3x2 + 1

Si Li:y=4x1 + mi=4 y para los puntos Po(xo,yo) de la línea se

debe verificar que: mi =f'(xo) = A

" '' '"n 2-’Diferenciación de las funciones

351

t'nm x. 1 ♦ yo = (1)J+3(1)25=3 P.(1,3)

r.unción de la tangente: y+3 = 3(x+1) <+ L:3x+y+6=0

En l o s e j e r c i c i o s 8 3 0 - 8 33 fo r ma r l a s e c u a c i o n e s d e l a t a n

g e n t e y d e l a n or m al a l a s l í n e a s q u e s e i n d i c a n .

O J J y S en x ,en el punto M(xo#yo)

\»tuc¿6n. y- = f . ( x ) = Cosx + m = ff (x #) =

Ecuación de la tangente: yy0 = Cosx0(xx0)

yyo = (xxo)cosxof ' unción de la normal: yy„ = 1 v i

y ■yo ^o sx 5U 'XoJ

4~* yy0= (xxo)Secxo

C Q y = lnx ,en el puntoM(x0,y0)

debe verificar que: mi f (xo) A

o sea: 3x^+1 4Xo =1 ó xo = 1

Para x0=1 .+ y o = (1)3+(1)2 = -i

x0 = 1 '+ yo = ( 1) 3+ (1 )2 = 0

Luego, los puntos requeridos son: (1,¿) y (1,0)

g¡2¡g Formar las ecuaciones de las tangentes a la línea y=x —

en los puntos de su intersección con el eje de abscisas.

S o ¿uciin. Si y=0 x = 0 *■ x21=0 ■*■+ * x = 1 ó x=1

Luego, los puntos de tangencia son Pi(1,0) y P2(1,0)

Derivando la ecuación de la línea se tiene: y 1 = 1 + 1/x2

Para x=1 mi = 1 + 1=2 , para x=1 *■ m 2=1+1=2

Por tanto, las ecuaciones de las tangentes son:

y0 = 2 (x 1) ++ L i :2xy2=0

y0 = 2(x+1) <*■ L2 :2xy+2=0

Formar la ecuación de la tangente a la línea y=x3+3x25

perpendicular a la recta Li:2x~6y+1=0

Soluciin. Si f(x)=x3+3x25 f'(x)=3x2 + 6x

y si Li:2x6y + 1=0 mi = 1/3

En el punto de tangencia Po(x0,yo)> = 3x2+6x0

Dado que: ii.m^ = 1 *■ mt=3 3 = 3x2+6x0, de donde: x 0=1

C Q y lnx ,en el puntoM(x0,y0)

u,(ación. y* = f.(x ), = 1 + fI(xo) = =Xo

Ecuación de la tangente: yy 0 = — (xxo)X o

""*■ Xo(yyo) = xxo

Ig mmción de la normal: y y0 = xn(xvn} / ij xovxxo; yyo+xo (xx0 ) = 0

y = 7 J +axV en el Punto cuya abscisa es 2a.

»»fución. Sea x0=2a y0, _ ?*3 = Po(2a a )Aa2U a 2 roUa.a;

y' = f'(x) = V t e x ) = 16a3xU a 2+x2)2 ( a2+x2 )2

| Cm« x0=2a >• f'(Xo) = m = 16a3(2a) = _ _1

(4a2+4a2)2 2

Sfi unción de la tangente: va = —(■* Te oo. y a 2u 2a; e+ Li :x+2y4a=0

*... l6n de lan°rnal: ya = 2(x2a) L2 :2xy3a=0

yí = 2 a ^ (Oisoide) en el punto M(x0,y0)

W»f»'ión. Derivando en forma implícita se tiene:

2yy1 = (2ax)(3x2) x 3(01) _ 6a2x2

(2ax)2 (2ax)2


de donde: y 1 = — 3a*x* . Para x=x0 m = f 1 (x0)y( 2ax) 2

3a2x?Ecuación de la tangente: yyo = -- — — (xxo)

yo(2axo)

* ^ i i y0 (2aXo) 2 / v „ \Ecuación de la normal: yyo ----j—5--- (,xxo/

3a xo

| Mostrar que la subtangente a una parábola denésimo orden

y=xn es igual a ^ parte de la abscisa del punto decontac-

to. Indicar el modo de construir la tangente a la línea y=x .

de.mostn.ac.L6n, En efecto, sea M(xo.yo) el punto de tangencia.

Si f (x) = xn + f'(x) = nxn_ 1

Para x=xo m = f'.(xo) = nx?

Longitud de la subtangente: ST = I —

834

- 2 23 a xp

y 0(2ax0)2

¿ 1 1 1 m u 2: Dif ere nc iac ión de las func ion es 353

.. .. 5 1 '

lulinormal: SN = | f (x0) . f1(x o ) I = |x í1 | / z( - ¿x ó 3 /2 ) | = —

- 1 / 2

2xo

m i Formar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la

parábola x2=¿ay en su punto M(x 0.yo). Mostrar que la tan

d»nl,e en el punto cuya abscisa es x 0=2am tiene la siguiente e

mmción: x = + am.Hl

[t<'fuci¿n,. 4ay = x 2 + ¿ay' = 2x ■<-* f'(x) = hi-

para el punto M(xo.yo): m = f'(xo) = ||

»unción de la tangente: yy0 = (xx0) (1 )2

lindo que: M (xo, y o ) e (x2=4ay) *■ xü = 4ay0 +">■ y0 = r24a

g g

•** ST = l i l i = ¿|X»!A partir del punto T(xo,0), proyección del punto M(x 0,yo) sobre

el eje X, construimos el segmentó ST: = ^|x„|. Ubicado elpunto S,

unimos éste con el punto de contacto M, obteniendo de estaforma

la gráfica de la tangente.

| Hallarlas subtangentes y las subnormales a la línea y=x3,

y2=x3, xy2=1. Indicar el modo de construir las tangentes a

las líneas indicadas.

Solución. Sea M(xo.yo) el punto de tangencia de cada curva dada.

Si y=x3 y ' =3xz ■+■ m = f'(xo) = 3x§

Subtangente: ST = I ■ "7 — ? I = |_~ 2’| = 3¡x °If'(xo)' 3Xo'

Subnormal: SN = |f(xo).f1(xo) I = |x0.3x0| 31x0|

Para y2=x 3 y=x3 ^2 . Derivando: f'(x) = * f'(x0) = g/xo"

Subtangente: ST = | (xo)I = |xol

Subnormal: SN = |f(xo)•f 1 (xo)I = lxo^ ’2X°^ ^lxol

Para xy2 = 1 + y = x 1/ 2 ■* f'(x) = 3^2)

835

4a

Utii.onces en (1 ): y (xx 0) y = |i(x |í)

Ki’imción de la normal: yyo = — (xx0)x o2a/Xo

fnra x0=2am ♦ 4a2m2=¿ay0 yo=am2 M(2am,am2)

'nación de la tangente: yam2 = 2|S(x2am) x = * + ara

H U La cuerda de la parábola y=x22x+5 une los puntos cuyas abs

cisas son xi=1 y X 2=3 . Formar la ecuación de la tangente a

la parábola paralela a la cuerda.

\«tuci6n. Para xi = 1 ■* y 1 = (1) 22 (1) + 5 = 4

x 2=3 y2 = (3)22(3) + 5 = 8

l.iidRo, los extremos dela cuerda son: Pi(1,¿) y P 2 (3,8)

1 uya pendiente es: mi =4 ^4 = 25 i

Como f(x)=x 2-2x+5 ♦ f'(x)=2x2

'I M(xo.yo) es el punto de tangencia ♦ f'(x0) = m =2x0- 2

Mlntido la cuerda paralela a la tangente, entonces: m = mipul,o es: 2xo - 2 = 2 , de donde: x 0= 2 yo = (2 )z2 (2 ) +5= 5

l'"r tanto: M=(2,5), y la ecuación de la tangente es:

y5 = 2(x2) <*■ L :2xy+1 =0


. . . , , / x23x+6Formar la ecuación de la normal a la linea y x

en el punto cuya abscisa es x=3.

99+6 2Solución. Para x=3 + y ----g-- = 3

Luego, el punto de tangencia es: M(3,2/3)

Si f(x) = 1 \ + | 2 f'(x) = 2-- 12

3 12 1Pendiente de la tangente: = f'(3) = 9 " 2^ = ~ 9 "*■ mn=^

Ecuación de la normal: y2/3 = 9(x3) L:27x~3y79=0

Formar la ecuación de la normal a la línea y=/x+2 en elpunto de su intersección con la bisectriz del primer angu

lo coordenado.

Solución. Ecuación de la bisectriz del primer cuadrante: y=x

El punto,de tangencia es: (y=x)A(y=/x+2) = M(1,1)

■■ÉlH 1 l ' i h ..... un ión de las funcion es 355

M M 4 4

II f(tj

f i m # i

•mi

Los puntos de tangencia son: Pi(0,1), P 2(1,3) y

P s ( 5/2,19/

« n + f * (x) =2X - 1

• m 1 = f ’(0 ) = 2 (O) - 1 = - 1 + rn =1

* i>2 = f ’(1) = 2 (— 1) — 1 = 3 + n 2 = 1/3

► m 3 = f 1 (5/2) = 2 (5/2)1 = A n 3=1/4

11«> las normales: y1 = 1(x0) «* Lj:xy+1=0

y3 (x+1 )

y 12 = . l(x . 5)y A Ay . 2

L 2 :x3y+10=0

L 3 :2x+8y¿3=0

l|§«< •'* 11 1 ^2) * (xy+1=0) (x3y+10=0) =P(7/2,9/2)

Hfi'i.u 1 < mi 1;1 ahora que Pe L3.

■ . . . . ai PeL3 + 2 (7 /2 ) +8 (9/2 )43 = O

+ 7 +36 A3 = O

+ 0 = 0

ca

p , g (y ) (y / ) ( , )

Si f'(x) = --- — * m , = f'(1) = 4 m = 22/7 11 ¿

Ecuación de la normal: y1 = 2(x1) L:2xy1=0

[¡ ¡J Formar la ecuación de la normal a la parabola y=x26x+ 6

perpendicular a la recta que une el origen de coordenadas

con el vértice de la parábola.

Solución. Pasando la ecuación de la parábola a su forma reduci

da se tiene: y+3 = (x3) 2 + V(3,3)

La ecuación de la recta que pasa por el origen tiene la forma:

Lx:y=mix . Si V(3,3)eLj + 3=m!(3) , de donde: rn 1

Siendo Li perpendicular a la normal a la parábola f(x)=x 26x+6,

entonces f'(xo) = «^ = «i *■ 2xo6 = 1 , de donde: Xo = 5/2

+ y 0 = (J) 26 (|) +6 = 11/4 . Luego, el punto de tangencia es:

M(5/2 , - 1 1 /4) y la ecuación de la normal:

y + = 1(x f) <► L:¿x4y21=0

í rirá Mostrar que las normsJ.es a la línea y=x2x+1, trazadas en

los puntos cuyas abscisas son x x=0, x2=1 , x 3=5 / 2 se cor-

tan en un solo punto.

ca !ím los puntos de intersección de la recta L:xy+1=0 y la

pnrábola y=x24x+5 están trazadas las normales a la parábo

1 «, Millar el área del triángulo engendrado por las normales y

I» ■ unrda que subtiende los referidos puntos de intersección.

S ju Lul. tón. Resolviendo (xy+1= 0)A(y=x 24x+5) , obtenemos:

Pi(1,2) y P 2 (4, 5)

#1 r(x)=x2¿x+5 ♦ f'(x)=2x41 ... n xi = 1 *■ mi=2(1)4=2 ni = 1/2

X 2-Í * m2=2(A)-A=A * n 2=1 / 4

inunciones de las normales:

y.’ = (x1) Li:x2y+3=0

|(x4) L 2 :x+4y24=0

Entonces: L 1 A L 2 = P( 6,9/2 )

1 2

6 9 / 2

A 5

1 2

Mostrar que las tangentes a la hipérbola y = en los

puntos de intersección con lo,s ejes coordenados son paralelas entre sí.


Be.mosiA.ac.ión. En efecto, los puntos de intersección de la hipér.

bola con los ejes coordenados son A(4,0) y B(0,2)

si f( x) = ü d : v f(x ) = (x2)(l)(x0(,l) =

x2 (x2)2 (x2) 2

Luego, las pendientes de las tangentes a la hipérbola en los pun

tos A y B son:

Para x = 4 mi = _ 2 _ = ¡ . Para x=0 + m 2 = = \

Por tanto, siendo ti=ii2, las tangentes son paralelas entre si.

Trazar la tangente a la hipérbola y = x .j de modo que atraviese el origen de coordenadas.

. . w n x+9 . fifvl (x+5)(1)-(x+9) (1) = _ __

Solución. Sx f(x) x+5 ( (x+5)2 (x+9):i

i(1 )Sea M(xo.yo) el punto de tangencia f'(xo)

11 >n 2: Difer encia ción d e las funci ones 357

t ' ilición. Derivando, en forma implícita, la ecuación de la lí-

nea dada se tiene:

«J;¡7 (x+y) + (x +y )^ (x 2) = a2|^(xy)

‘ <J(1+y') + (x+y)(2x) = a2(1y')

l'nra x=y=0 : 0 (1+ y 1)+(0+0)(0 ) = a 2(l-y'), de donde: y'=m =1

l^'iiación de la ta ngente : y= mx -*■ y=x ■*->■ x-y =0

g a Demostrar que las tangentes a la línea y = trazadas

en los puntos en los cuales y=1, se cortanen el origen de

coordenadas.

j ■ ■t/iación. En efecto, para y = 1 tenemos: 1 =3+x2

de donde: x2 = 1 «> x=1 ó x=1

I ni onces, los puntos de tangencia son: Ti (1,1) y T2 (—1,1)

jjil r(x) 1+3x2 + f»(x ) (3+x2)(6x)(1+3x2)(2x) 16x

( y ) p g ( )(xo+5)

Dado que la tangente pasa por el origen, su ecuación es L:ymx ,

además M(xo,yo)£L + m = ü2 (2)Xo

De (1) y (2) se tiene: J± = - ---1 — + = ' 7--1771*xo (xo+5) xo(xo+5) (x0+5)

de donde: . xo+18xo+15=0 ■*-*■ xo=3 o xo=15Sustituyendo en (1) obtenemos: mi=1 o m2=1/25

Por tanto, las ecuaciones de las tangentes son:

y = -x ■**• Li :x+y=0 ó y j^x <*■ L 2:x+25y = 0

En la línea y = 1|x2 hallar el punto en el cual la tangen-

te sea paralela al eje de las abscisas.

Solución. Si f(x) = — --- f 1 (x) =1+x2 (1+x2)2

Dado que la tangente es paralela al eje X, su pendien

te m=0, esto es, f ' (x)=0 2x=0 +■+ x=0 y=1Por lo tanto, P(0,1) es el punto buscado.

Hí jH Hallar la ecuación de la tangente a la línea

x2 (x+y)=a2(xy) en el origen de coordenadas.

jjil r(x) 1+3x2 + f»(x ) (3+x2)(6x) (1+3x2)(2x) _ 16x

3+x2 (3+x2)2 (3+x2)2

fura xi = 1 mi = f'(1) = — — = 1(3+1)2

x 2=-1 + m 2 = f'(1 ) = _llá— = -1

(3+1)2

Kntmciones de las tangentes: y1 = 1(x1) ■*-*■ Li:y=x

y1 = 1(x+1) —* L2:y=x

.. Las dos tangentes pasan por el origen de coordenadas.

P J J Trazar la normal a la línea y=xlnx que sea paralela a la

recta L i:2x2y+3=0.

Jmtur ión. Como la normal es paralela a larecta L !:2x2y + 3=0,

entonces: m = 1 v hk = -1n J t

»1 r(x)=xlnx >• f 1 (x) = x f^( lnx ) + lnx |^(x) = x(^) + lnx

Pmn ol punto de tangencia T( x 0,y 0): f' (x 0) = 1+lnx 0 = -1

rt» ‘londe: lnxo = -2 + Xj = e 2 ■> y 0 = e” 2ln e " 2 = 2 e-2

C": T=(e 2,2e"2) y la ecuación de la normal es:

y+ 2 e”2 = 1 (xe 2 ) *-* xy 3 e" 2 = 0


f%j¡| Hallar la distancia que media entre el.origen y la normal

a la línea y=e2x+x2, trazada en el punto x=0.

Solución. Para x=0 •+ y=e°+0=1 .’. T(0,1)

Si f(x)=e2x+x2 »

*■ mt=f1 (0)=2e°=2

f '(x)=2e2x+2x

■ n- 1 / 2Para x=0

Ecuación de la normal: y1 = '~(x0) L :x+2y2=0

d(0,L)10+2(0)2| _ 2

/T+Z /F

Construir la gráfica de la función y =Sen(2x-tt/3) y hallarel punto de intersección de las tangentes a la grafica,

trazadas en los puntos cuyas abscisas son xi=0 y x 2 = 5ir/12.

Solución.. Para xi=0 yi=Sen(tt/3) = Sen(u/3) = /5/2

X2=5^/12 *■ y 2=Sen( 57i/6Tr/3)=Sen(Tr/2) = 1

■""i 2: Diferenciación de las funciones 361

m i Mostrar que la subtangente a la línea y=ae^x (donde a y b

son constantes) tiene longitud constante en todos los pun-

tos.

I /i» ót/iación. En efecto, sea f(x) = aetx *• f'(x) = abebx

Para el punto de tangencia H( x0,y0), la longitud

■ *1«. I/i subtangente está dada por: ST = I |

bx 'f’U o ) 1

ST = 1 1 = ^ constante' abe )

i m Mostrar que la subnormal a la línea y=xln(cx) (donde c escualquier constante) en cualquier punto de la línea referí

.... la cuarta proporcional a la abscisa, a la ordenada y a la

i «nina de la abscisa y de la ordenada del punto referido.

i li. »/o ¿tsiación. Recordemos que cuasita p/iopo/ic.ional es cualquiera

Entonces, los puntos de tangencia son: Ti(0,/3/2), T 2 ( 5tt/ 12,1)

f'(x) = Co s (2x-ti/3) |^(2x-ti/3) = 2Cos(2xu/3)

Para xi=0 *■ mi = f®(0) 2Co s (-tt/3) = 2(1/2) = 1

x 2 =5tt/12 *• m 2 = f'(5ir/12) = 2Cos(n/2) = 2(0) = 0

Ecuaciones de las tangentes: y + = 1(x0) <

y1 = 0 (x 5tt /12)

L i A L 2 = (1 + , 1)

En eltrazado de la gráfica de ,y=Sen(2xn/3) podemos observar:

a) El periodo de la función es: T = 2ir/2 = v

b) La gráfica está desfazada 2x=tt/3 *-*■ x=ir/6 , a la derecha del ,

eje Y, respecto de la gráfica de y'=Sen2u.

c) El valor máximo de la función es 1 y su valor mínimo 1.

Li :y=x —

*■ L2 :y=1

de los cuatro términos de una proporción geométri

: "ii iliscreta. Asi, para los números a:b=c:d cualquiera de estos 4

K términos es cuarta proporcional respecto de los otros tres.

■ íni.onces, si T(a,b) es el punto de tangencia, debemos probar que

a a+bb = SN

I ►:n efecto, si f(x) = xlncx *■ b = f(a) = alnca (1)

' ' (y) = x (2) + lncx = 1+lncx *• f'(a) = 1+lnca

I l.migitud de la subnormal: SN = |f(a).f'(a)|

*■ SN = | (alnca) (1+lnca) | = |lnca(a+alnca) |

f Ili'i'ún la ecuación (1): SN = j (a+b)|

i iln donde, prescindiendo de las barras de valor absoluto, obtene

1 Ifrl Mostrar que cualquier tangente a la línea y = i /x¿x2 se

corta con el eje de ordenadas en un punto equidistante en• i ” el punto de contacto y el origen de coordenadas.

!>.■ mott/iación. Si P equidista de los puntos 0 y T, probaremos

que: 0P = PT


En efecto, sea T(a,b)el punto de tangencia y M(|,|) el puntó

dio de OT, cuya pendiente es: m i = a

Entonces, la ecuación de la mediatriz del segmento OT es:

t b _ a/ a*L i - y - 2 ' ' b ( x " 2)

Como PeLi, su ordenada la obtenemos in

terceptando Lj con el eje Y, esto es,

^ b _ a., avpara x=0 y— 2 ~ “tJV“ 2'

me

y = 2b(a2+b2) ( 1 )de donde

Pero T(a,b)e(y = j /x-ix2)

+ b = /a4 a2

Sustituyendo en (1) se tiene:

y = + |(a4a2)J , de donde

Vi . ión 2: Diferenciación de las funciones 363

'tira M(xo.yo): m = f'(x'o) = ““it5)a yo

ímmción de la tangente: yyo = - ~ t (“ )(x-x 0)a yo

* a2yoy a2y2 = b2x0x + b2x„ + b2x0x + a2y0y = b2x2+a2y£

'nro M(xo,yo)eE b2x 2 + a2y„ = a2b2

b2xox + a2yoy = a2b2 «*■ 2íí + = 1

I T H Mostrar que la tangente a, la hipérbola b2x2a2y2=a2b2, en

el punto M(xo,yo) tiene la siguiente ecuación:

xox _ yoy _ 1a2 " b2

H problema es similar al anterior, por lo que se deja como ejer

rielo para el lector.

i D t l l l li l i t

y

Por otro lado: y' = —j= ■4/x4.x2

1 8a

i/a-¿a:

Ecuación de la tangente: yb =

Para x=0 obtenemos: yb

1 8a

4 , /a - ¿ a :

( 8a1) a

4./a4a2

(xa)

Luego, PT = /(0a) 2+ (yb) 2 = 7a 2 4 llí8a~ .1i2__________ __ I6(a4a2)

aJ 16(a¿a2)+(8a1) 2 _* _ í _ 9 A16(a4a2) 4/a4s ¿(2b)

a8b

De (2) y (3) se deduce finalmente que: OP = PT

(3)

X 2 v 2Mostrar que la tangente a la elipse E:— +, 1 en el

a2 b2punto M(xo,yo) tiene la siguiente ecuación:

2E± + liL°_ = 1a2 b2

De.mo-it/iac¿6n. En efecto, derivando implícitamente la ecuación

de la elipse obtenemos: y ' =bí(X)

a2 y

i m Demostrar que la normal a la elipse en cualquier punto que

le pertenece divide en dos partes iguales el ángulo entre

i " ■■ radios focales de este punto (véase la Fig. 21). Deducir el

procedimiento para construir la tangente y la normal a la elipse

/)<•mo¿t/iaci6n. En efecto, sea la elipse:

E:b2x2+a2y2=a2b2

miyos focos son: Fi(c,0) y F 2(c,0)

Mnrivando implícitamente la ecuación de

I« olipse obtenemos: y' = "¡Jl (y)

'nrfi el punto M(x 0,y0) de tangencia:

1 n = r,( 2.)yo

Tea = TTHii

á + c Figura 21

_ y°_ b 4o' ~ xo + c _ Xpyo(a2b2)+a2cyo

1 +2 2

a y 2 (b2x2+a2y2)+b2cx0

b2xo(xo+c)>i., M(xo,yo)eE *■ b2xjí+a2y2 = a2b2, además: c2 = a2b2

i ro:: Tga = x°y°c + a2gy° _ cxo(a2+cxo) _ cyo

a b + b 2c x 0 b 2 ( a 2+ c x o )(1 )

364 Cavitulo 3: La Derivada

Pendiente del radio focal MF i: mi = xoc

m in1 +

o2v 2a y a

xoyo(a2b2) + a2cyo

(b2xJ + a2y J) a2cx0

(xoo)b2xo

cyo(a2eyo) _ cyo

a2(a2cyo) a2(2)

Por tanto, de (1) y (2): Tgct = TgB *>• a = B

El procedimiento para construir la tangente y la normal a una e

lipse de ecuación dada es el siguiente:

a) Se hallan los focos de la elipse.

b) Se construye los radios focales correspondiente al punto de

tangencia M.

c) Se traza la bisectriz del ángulo formado por los radios foca-

les, que es precisamente la recta normal.

■

' 1ion 2: Diferenciación de las funciones365

" ' l l a r t o d o s l o s l u g a r e s g e o m é t r ic o s p a ra :

n ) L a p a r á b o l a y 2 = 2p x c ) L a c i r c u n f e r e n c i a x 2+ y 2=a 2

M l -a l o g a r í t m i c a y = l o g b x d ) L a t r a c t r i z y =Z r ?T 7 ?_ ^ n ( a -h /a2 - x 2 }

•"•roción. L a e c u a c i ó n d e l l u g a r g e o m é t r i c o e s d e l a f o r m a L :y =m x

S ab e m os q ue s i y = f ( x ) e s l a e c u a c i ó n d e u n a c u r v a da d a

x o . y o ) e s e l p u n to d e t a n g e n c i a , e n t o n c e s l a p e n d i e n t e d e l a

' in g en t e e s m = f ( X o ) . L u e g o, l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a r e q u e r i d a e s

L : y = x f 1 ( x 0 )

U ocuación de la recta vertical que pasa porM(xo,yo)es L lSx=x„

consecuencia, la ecuació n del lugar geomét rico de lospuntos' L A Li) es de la forma: y = xf'(x) ■(1)

* *) y 2 = 2px 2y y' = 2p -*■ y» = ft(x) = E

Luego , en ( 1 ): y = x(2) y2=px

t i l u g a r g e o m é t r i c o e s u n a p a r á b o l a

d) Por el punto M se traza la tangente perpendicular a la normal

fHrjá Formar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola 7x 2

2y 2=14 que sean perpendiculares a la recta L i:2x+4y3=0.

S o íución, Derivando en forma implícita la ecuación de la hipér.

*bola se tiene: y'

7x

2ym JS.mt ~ 2y

m, = = 2

i f r

7x22(|x) 2 = H , de donde: x 2= 16

mt = 2Si Li:2x+4y.3=0 ■+■

Luego: = 2

Sustituyendo en la ecuación de la hipérbola se tiene:

xi=4 ó x2=4

y 17 ó y2=7

Los puntos de tangencia son: Ti(4,7) y T2(A,7)

Hay dos soluciones: y7 = 2(xA) «+■ 2xyl=0

y+7 = 2(x+¿) 2xy+1=0

C Lv¥ Unarecta pasa por el origen de coordenadas y es paralela

a la tangente trazada a una curva en un punto cualquiera

M de la misma. Hallar el lugar geométrico P de los puntos de in

tersección de la recta referida con una recta que sea paralela

al eje de ordenadas y que pase por el punto M.

t i l u g a r g e o m é t r i c o e s u n a p a r á b o l a .

' l ° v * y' • (í>¡h . e„ (,), , , I(i, i , i... x Inb lnb

lugar geométrico es una recta paralela al eje X.

1 x +y = a2 2x + 2yy1 = 0 y» = .y

Luego, en (1 ): y = x (. p + x 2+y2=0

K1 1Ugar Se°métrico es el origen de coordenadas.

a[Ln(a+/a 2x2)lnx]

2x=? - a l* y' =

2/a2x2

+ a

F --- L r = ( ~ ^ = ) 1]L a + /a 2x2 2/a2x2 xJ

r x2 + a/a2x2 + a2v2~j

L x/a2x2(a + /a2x2)J

/a2x2----- T — ii...—= _

/a2x2 x/a2x2 x/a2x2 x

I.uogo, en (1): y = /a 2x2 x2+y2=a2

i lugar geométrico es una circunferencia.

N» lo. ej.r.lcio. 859.86< hall„ los ángílo> que s> ro ri m ^

l.arse las lineas que se indican.

E H (1) y =f p . y (2) y = ( x _ 2 ) 2 ^ y = /l x_ x 2 u


S o ¿lición. (1) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones dadas

obtenemos los puntos de tangencia:

Ti (0,1/2) y T2(6,5/4)

f ^x)'= fr Í f '^x ^ = g(x) ¿ -^( *2 + 4x+8) +g'(x) = - ^

Para xi=0 ■+ mi=f'(0) = 1/4 , y m2=g'(0) = 1/4

Como las pendientes son iguales, las tangentes en Tson parale

las, esto es, el ángulo que forman es 8=0°

Para x2=6 ♦ mi=f'(6) = 1/16 y m2=g'(6) = 1/2

• • • • r / ; 6 ; 1; a - $ ? * e ,

(2) (y=(x2)2)A(y= 4x x 2+4) = Ti(0,4) y T2(4,4)

f(x)=(x2)2 *■ f'(x)=2(x2) ; g (x) =4xx2+4 * g'(x)=42x

Para xi=0 ■+ mi=f'(0)=4 y m2=g,(0)=4.

1 «'<n 2: Dife renc iació n de la s funcione *367

Ta ñe , = Í-J U -111! ! - 11 /2 + 1 / 3 ,'T+munz! I" _ V6 j = 1 + 01=45°

l'nra T2 ( 3 , - 2 ) s e t i e n e : mi = 1 / 2 y m2 =3

T a n 92 = | T? i - m2| = 11 / 2 - 3 1 _ l+mim 2 1 11 + 3^2 | " V 3 0 2= a r c T a n ( 1/ 3 )

l i l i x 2 - y 2 =5 ; 4x2+9y2=72

( x 2+ y2 = 5) A ( 4 x 2 + 9 y 2 = 1 2) = T l ( 3 , 2 ) , Ta ( - 3 . 2 ) . T , ( 3 . - 2 )

y T j - 3 , - 2 )

" * - y2

= 5 + 2 x - 2 y y 1

=0 «-•*• y ' = 2yJ+9y 2 = 7 2 -»• 8 x + 1 8 y y ' = 0 +--► y i = . . Í S

. f - 9y1 nra T i (3 , 2 ) obt en em os: m'i = 3 / 2 y mz = -2/3

» - l o q u e ■1 . B , - _ 1 , I a a t a n g e n t e s s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s i unl .o es : 0 1=9O°. ’

T“ 8 - ' It t S í I * I ñ é r i l * i f *

Para x2=4 *■ mi=f'(4)=4 y m2=g'(4)=4

Como los coeficientes angulares son los mismos, entonces:

02' = arcTan(8/l5)

t m (1) x2+y2=8 , y2=2x

(2) x2+y24x=1 , x2+y2+2y=9

Solución. (1) (x2+y2= 8) A( y2=2x) = T,(2,2) y Tz (2,2)

x2+y2 = 8 + 2x+2yy1 =0 y' = ^

y2=2x + 2yy' = 2 +» y1 = ~

Para T1(2,2) se tiene: y m2 = 1/2

Tan0‘ = I t t S 1 = rj 1 y l \ = 3 + 0 i=arcTan(3)

(2) (x2+y24x=1) A (x2+y2+2y=9) » T j d ^ ) y T 2(3,2)

x2+y24x=1 2x+2yy'4 = 0 «*■ y' = y

x2+y2+2y=9 *■ 2x+2yy1+ 2y1 =0 ■**■ y> =

Para Ti (1,2) obtenemos: mi=1/2 y m2=1/3

' ' - a l o s o t r o s p u n t o s s e o b t i e n e e l m ismo r e s u l t a d o , e s d e c i r

l o » c u r v a s d a d a s s e c o r t a n o r t o g o n a l m e n t e .

L U I x 2 + y 2 =8 ax , y 2= - 2 Í _ 2ax

I \»luci6n. ( x 2+y 2 =8 ax) A ( y 2 = - | i . ) = T l ( | a , J | a ) , T2 ( f a , - i | a )

y t 3 ( o , o )

| » ' Iy 2 =8 ax ->• 2x+ 2yy ' =8 a + y< - 4a- x

■ 2 Í T ^ * 2 y y 1 = l £ a - x ) 3 x 2 - x 3 ( - 1) ^ ,r, _ x 2 ( 3 a - x )

8 ,6r i ( 5 a , - j a ) o b t e n e m o s : m-i =3 / 4 y m2=7

T an © i = = I 3 / 4 - 7 i

1+mim2 lr + 21/J = 1 * '6l^ 5

[ >’ '>>•'! T 2 ( | a , ~ ± | a ) s e t i e n e : ¡ n ^ - 3/ 4. y m2=. ?

T a n 0 2 = 1 -»■ e 2 =4 5 °

1 1,1 T j ( 0 , 0 ) s e t i e n e: mi=«o y m2=o

1 " t a n g en t e s s on p e r p e n d ic u l a re s , e s t o e s : 8 3=9 0 °

ITEl x 2 = 4ay ; y = — -8a 3- x 2 + 4 a 2

I n t e r c e p t a n d o a m b a s c u r v a s o b t e n e m o s :


8a*

x2+4a2

,a) y T2(2a, a)

2x = ¿ay1 y = ú -

> v 1 =8a3(2x)

j (x2 + ¿a2)2

a) : mi = 1 y m2=1/2

1 mimj i = I1 + 1/2| = 3' 1 +ra j.m2 >1 1/2'

Por simetría, para T2Í2a,a): Tan02=3 0 102=arcTan(3)

y=Senx , y=Cosx , O^x^it

Solución.. Interceptando ambas curvas se tiene:

Senx = Cosx *• Tanx = 1 *■ x=ir/U

f(x)=Senx + f1(x)=Cosx : g(x)=Cosx g'(x)=Senx

Para x=ir/4 + mi=f1(tt/4) =/2/2 y m2=g 1 (ir/4)=>/2/2

mím 2 I = |/2/2 + /2/2 I 2 / 2 >■ 0=arcTan(2/J)

i l " ’ Dife ren cia ció n d e las func ion es 369

mil a a para todos sus puntos.

!', <<• \t/iación. Sea M(xo,yo) un punto de tangencia

Derivando implícitamente la ecuación dada obtene

t"1 1 y' = ■ y ? • Entonces, para el punto M: m. = - Jll u * Xo

Inunción de la tangente: yyo = /^ (x xo)f X o

, )"M ¡nterceptos con los ejes coordenados son:

(•mn y = 0 -*• x = xo + /xoyo

x=0 y = y0 + /xoyo

I» nurna de.estas igualdades nos da: x+y = x0+y0+2/x0yo (1)

limlii que .M. pertenece a, la curva ■* /x¿ + /y7.= /a

f liivnndo, al cuadrado, ambos extremos resulta: x0+yo+2/x0yo=a (2)

fm lanto, de (1) y (2) se deduce.que: x+y = a

m i Mostrar que el segmento de la tangente a la astro de

Tan0 = Im ím 2

1 +miH2

I = |/2/2 + /2 /2 I _ 2 / 2 >■ 0=arcTan(2/J)

I I 1 - 1 / 2 1

EfCl Formar la ecuación de la tangente y de la normal a 1a. cur-

va: (^)n + = 1 , en el punto cuya abscisa es a.

Solución. Para x=a obtenemos y=b T(a, b)Derivando, en forma implícita, la ecuación dada se

tiene: n(f )n'1 (±) + n(*)n'1 < f > = 0 y ' = (J) ^

b n.” "1Para T(a,b) se tiene: = — (1)

Cuando n es un número impar: m^b /a y mn=a/b

Ecuación de la tangente: yb = |(xa) f + = 1

Ecuación de la normal: yb = g(xa) ■*-+ axby=a2b2

Cuandon es un número impar: m^ = ±b/a y mn = *a/b

Entonces, las ecuaciones de las tangentes y las normales son,

respectivamente: a * b = 1 ’ ax ± by = a2b2

KTjjTjJ Demostrar que la suma de los segmentos formados en los e

jes coordenados por la tangente a la curva /x + /y = /a es

x2/3+y2/3=az/3 limitado por los, ejes de coordenadas tiene

longitud constante e igual a a.

I ••tn.ación. En efecto, sea M(xo,yo) un punto de tangencia

Derivando implícitamente la ecuación dada sé tie

ii": y' = • entonces para el punto M:

inunción de la tangente: _yiyo = ^Í 2(x x0)

(■■i i nterceptos con los ejes X e Y son respectivamente:

(*”’ '* y=0 x = x° + 3‘/x7yf + x2 = x2 + 2xoVx„y2 + yo3/x2y0

x = 0 + y = y 0+ 3/xIy7 + y2 = y? + 2y0V x 2y0 + x03/x0y2

>: x2+y2 = x2 + y o + 3x0 3/x0y2 + 3yo3A|y"0 = (’/*! + 3^y§)3

M(xo,yo) pertenece a la curva •> 3/xJ + 3/y* = 3/eJ

fciiiunces: x2 + y2 = (3/a"2) 3 = a2

fli os la longitud del segmento de tangente comprendido entre

.

.....¡es coordenados, entonces: í = /x2 + y2 = a

T T 1 Demostrar que el segmento de la tangente a la tractriz:


limitado por los ejes de coordenadas y el punto de contacto, tie

ne longitud constante.

De-mo-it/iación. En efecto, sea M(xo,yo) el punto de contacto.

y = §[ln(a+/a2x2) ln(a/a2x2)] /a 2 x2

ar 1 f 2x \ 1____ ~2x — ll — ~2x -

" y = 2 L ¡ ^ P 2 ^ 2 ‘ a - A 1^ 2 / ^ T 2 J 2 ¿ ^ ?

a r _______2______ — _ — — x ~1 + x ■" 2 L /¡ ^^ ía +Z a2^ 2) /a2x2(a/a2x2)J /a2x2

fxr _ _ _ ¿ a --------q +

L /a2x2(a2a2+x2)J /a2:

a2__ * x = x2a2 = _ /a2x2

x/a 2x2 /a2x2 x/a 2x2x/a2.x2

Para el punto M(xo,yo): = —

/a2_x2 .

Ecuación de la tangente: yyo = ----'

" >n2: Diferenciación de las funciones 371

n.= 22t y0

l'nra M(xo,yo):

r: unción de la recta normal:

yyo - - | ^ (x -x 0 )A 0

m ,i y=0 •> yo = X 2( xx 0)Xo

tionde: x=2x0 N=(2x0,0)

MN = /(2xj¡

MN = r

uii) Mostrar que el segmento cortado en el eje de abscisas por

la tangente en un punto cualquiera de la curva + ¿,= 1x y

«■i proporcional al cubo de la abscisa del punto de contacto.

U/iaci6n. Si x es el segmento del eje X y M(x0,yo), el pun-

to de tangencia, probaremos que: x=kx^



Si x = 0 yyo = J(xo) y = y o + A 2 - x 2

de donde: x = xo(

'•o

Xp

Si & es la longitud del segmento de tangente •» l /x2+y

£ 2 _ a2 o ay = „ryo+j V ^ ?Entonces:-------- '— ~ * 36 /—=--; v r~i 2

.,2 a2x 2 /a X« /a2 2

/, 2_ y2 ■ ,y 0+/a 2-X„\0 .+ yo = x'n (x~x0) + X = ^0 ( /f= T °J ' XO /a x;

y A 2 2

_+ x2+y2 = x2+a2x2 = a2

y2 a2x§ a2x2

y a xj /a x¡¡ * a *0

Mostrar que para cualquier punto M(x0,y0) de la hipérbola

equilátera x2y2=a2 el segmento de la normal desde el pun -

to M hasta el punto de intersección con el eje de abscisas es i

gual al radio polar del punto.

De.mOsiiA.aciín. En efecto, sea MN el segmento de la normal y r elradio polar del punto M.

Derivando implícitamente la ecuación de la hipérbola se tiene:

. = 22x 2yy' = 0 > y y

g , p q

(Su nfecto, derivando implícitamente la ecuación dada se tiene:

+ by 2 = 1 2ax"':i2by3y' b x

nra el punido M(x0,yo): m = r(^)3D X o

"unción de la tangente: yy0 = ■|(X? )3(xx0)

D X o«••« y=0 y„ = |(.|£)3(xxo) x = x„ + () (i 2

que Me ( - 2 - + - L = 1) > y 2 =

y x0a

bx?

,b'fx°2

yo(1)

I. Ltuyendo en (1): x = x 0 + ( - ) ( x ° ^x°~a^) =a , 2 ' 0

bxo

x = kxí

C O Demostrar que la ordenada de cualquier punto de la línea

2x2y2x“=c (donde c es una constante) es una media propor-

c i o n a l entre la abscisa y la subnormal trazada a la línea en el

» l >mo punto.

.........U/iac¿¿n. Sea M(x0,y0) el punto de tangencia y SN la subnor

mal trazada de M. Demostraremos que:

yo = xo(*o SN)


En efecto, derivando implícitamente la ecuación dada se tiene:

2 [x2 ( 2yy * ) + y2(2x)] 4.x3=0 y'. x2y2

xy

Para el punto M(x0,yo

Si SÑ

f'(xo) Vi

x 0yo

f ( x 0 ) . f ' ( xo ) |

yj = xo(xo - SN)

SN = + x0SN = xj y?Jv Oj O

U 3 Dadas las elipses b2x2+a2y2=a2b2 cuyo eje 2a es común,

mientras que los ejes 2b son diferentes (véase la fig.22),

demostrar que las tangentes trazadas en los puntos cuyas absci-sas son las mismas, se cortan en un mismo punto que pertenece al

eje de abscisas. Valiéndose de ello señalar el procedimiento sen

cilio para construir la tangente a la elipse.

De.mos¿yiací¿n. Sea M(x0.yo) el punto de tangencia de cualqiera

de las elipses mostradas en la figura 22.

s‘' ‘ión 2: Diferenciación de las funciones373

l') Ubicar el punto T(x,0), construyendo la magnitudx= a2/x0.

■) Trazar las tangentes uniendo los puntos M y T.

Mostrar que la línea y=ekxSenmx toca a cada una de las lí-

neas y=eKX, y=ekx en todos los puntos que son comunes pa-ra ellas.

l'*mo4Uaci¿n. Bastará probar que las pendientes de las tangen-

tes en todos los puntos que son comunes alas líiMwiri dadas, tienen el mismo valor.

.... resolviendo el sistema

y * eíxSenmx ; y = ekx

M tiene:

Il»nmx=1

ekxSenmx = ekx

► mx = nTT + (_i)n (I)

X = S I . + (l)n (»/2) , neZ

de as e pses ost adas e a gu a

Derivando implícitamente la ecuación

de las elipses obtenemos':

i b2/Xiy' = -

Para los puntos M: m = •

Ecuaciones de las tangentes:

y - y0 = - - p ( ^ ) ( x - x 0)

2 2

Para y=0 ■+ x- x0 = "frí^-)

Dado que M(x0,y„) pertenece a cual-

quiera de las elipses, entonces: y2

a2-x2Luego, en (1), se tiene: xx„ = — — 2

Figmxá222

r(aJx§)

a2Xo

Como a y x0 son comunes para todas las elipses, se concluye afir

mando que T(x,0) es el punto de intersección, con el eje X, de

todas las tangentes trazadas de los puntos M.

El procedimiento para construir la tangente a la elipse es el si_

guiente:

a) Por el punto S(xo»0) levantar una perpendicular al eje X has-

ta su intersección con la elipse en M(xo,yo).

k todos los puntos de intersección,

j >n particular, para n=1, x0=ir/2m

I li«i 1 vando ambas ecuaciones obtenemos:

i ' (x)=eJtx(mCosmx+kSenmx) y g'(x)=kekx

i* » ' " « o =ir/2m + su=f ' (ir/2m)=ekx° [m(0)+k(1)] = k e kx °■+ m2=g' (ir/2m)=kelyCo

1. mi m2* las tangentes son coincidentes, esto es, la línea

»nmx toca a la línea y=eKX en todossus puntos comunes:

x0 = ( nEZ

[>• r'«mente se demuestra que la línea y=ekxSenmx toca a la 1 íkx . i _

í* ' " en 3US puntos comunes: Xi = ¿[nir + (1 )n(ïï/2)] , neZ

B D 1 ,ira construir la tangente a la catenaria y=aCosh(x/2) se

procede de la manera siguiente: en la ordenada MN del pun

1 pío sirve de diámetro, se traza una semicircunferencia

SM<la fig.23) y se marca la cuerda NP = a, la recta MP será la

■flu"",!" buscada. Demostrarlo.


DIFERENCIAL

Supongamos que la función f: [a, b] +R/yf (x) es u

na función derivable sobre el intervalo [a,b]•

En un punto xe [a, b] la derivada de esta función se determina por

la igualdad:

lim (4í) = f '(x)Ax+0 Ax

Cuando Ax+0, la razón tk tiende a un número determinado f'(x) y,

por consiguiente, se diferencia de la derivada f 1(x) en una mag-

nitud infinitamente pequeña, esto es:

£*.= f(x) + h

donde h+0, cuando Ax+0.

Despejando Ay de esta igualdad obtenemos:

A f'( ) A + h A (1)

■'"n 3-' Diferencial 375

■ln Ó3ta en una magnitud infinitamente pequeña, deorden superior

inipecto a Ax. Si f ’(x)¿0, h.Ax es un infinitesimal deorden su

i"wlor también respecto a dy, y, por consiguiente:

lim (4*3 = 1 + lim --M .* .. = 1 + lim -- — = •)Ax+0 * Ax+0 f'(x).Ax Ax+0 f'(x)

i ii.o nos permite utilizar, en los cálculos aproximados, la igual

•1 mi aproximada:Ay = dy (5)

0 bien:

f ( x+ A x) - f ( x ) * f ' ( x ) d y ( 6 )

1 ERRORES PEQUEÑOS Una de las aplicaciones de los diferen-

ciales es la de determinar la influencia

1 un tienen pequeños errores en los datos sobre el cálculo de mag

ni ludes. Si se mide una magnitud y el valor determinado es a, pe

' " hay un error h, se define el e.si/iosi a .ilativo o proporcional al

nuciente:

Ay =f'(x).Ax + h.Ax (1)

Como podemos observar, el incremento Ay de la función se compone

de dos sumandos, dé los cuales el primero recibe el nombre [cuan

do f(.x)¿0] de pa/ite. pn.lnc.Lpal del incremento, que es lineal con

relación a Ax. El producto f'fx).Ax se denomina d.Ue.yie.ncial de

la función y se designa por dy o por df(x), de modo que:dy = fr(x).Ax (2)

Considerando la igualdad dx=Ax como definición de la diferencial

de una variable independiente, la fórmula (2) se puede escribir:

dy = f ' (x ). dx (3 )

de donde se desprende que:

f'(x) =

Por lo que, la derivada f'(x) puede ser considerada como la ra-

zón de dos diferenciales; la diferencial de la función respecto

a la diferencial de la variable independiente.

Introduciendo la fórmula (3) en la formula (1) tendremos:

Ay = dy + h.Ax (4)

como vemos, el incremento de la función difiere de la diferencial

nuciente:

6 = Üa

y el ¿n.n.OJi porcentual como: e = (■■jJx'lOO

Supongamos que f es una función de variable real x, la cual ha

nido objeto de medición en la que hay un error en la medida del

v/ilor de a, es decir, la función puede tomar el valor f(a+h) en

I upar de f(a). El error de la función es:

Af = f(a+h) f(a)

y el error relativo es simplemente:

, _ Af _ f(a+h)f(a)o f f

:¡ln embargo, en cálculos de este tipo es conveniente utilizar la

nproximación para el error relativo:

6 = d f = L H i M (7)

f f ( a )

I 2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIAL

Sea la función y=f(x) y su correspondiente gráfica,

limemos un punto P(xj,yi) cualquiera de la curva y=f(x) y trace

"">s una tangente T a la curva en este punto y designemos por a


e l á n g u l o f o rm a d o p o r l a t a n g e n t e T y e l e j e X .

I n c r e m e n t an d o a l a v a r i a b l e x i u n

i n c r e m e n t o A x =P S, e n t o n c e s l a f u g

c i ó n r e c i b i r á e l i n c r em e n t o Ay=SQ

E n e l APSR s e t i e n e :

Tana = • + SR = P S.Tana

D ad o q u e : Ta n a = f ' ( x i ) y P S= Ax

e n t o n c e s :

SR = f ' ( x j ) . A x

P e ro p o r d e f i n i c i ó n : d y = f ' ( x ) . A x

SR = dy

E s t a ig u a l d a d s i g n i f i c a q ue l a d i

f e r e n c i a l d e l a f u n c i ó n f ( x ) c o r r e s p o n d i e n t e a l o s v a l o r e s d’a d os

x i y Ax , e s i g u a l a l i n c r e m e n t o d e l a o r d e n a d a d e l a t a n g e n t e a

l a c u r v a y = f ( x ) e n e l p u n t o d ad o x i .

ión 3: Diferencial 377

ri. ol segundo caso: a=Ay=0.0201 y h=0.02010.02=0.0001

. I'<>r tanto, los errores relativos son, respectivamente:

A‘ = °°5 y = T t i § T = °00«

■*

0 0 Hallar el incremento Av del volumen v de una esfera al au-

mentar el radio R=2 en AR. Calcular Av, si AR=0.5, 0.1,

Cuál será el error en el valor de Av, si se limita al tér-

mino que contiene sólo el primer grado de AR?

'"f ación. El volumen de la esfera es: v = ttR3

Av = f (R +A R)- f(R ) = Í t t (R+AR ) 3 - | t t R 3

= AR(3R2+3RAR+A2R)

l'ra R=2 y AR=0.5 + Av = 0. 5(12+3+0.25) = 7.625

R=2 y AR = 0.1>• Av.= 0.1(12+0.6+0.01) = 1.261

R=2 y AR = 0.01 Av = 0.01(12+0.06+0.0001) = 0. 1206

f I id ól l té i ti l i d d

E n l a f i g u r a s e o b s e r v a q ue A y> d y, p e r o n o s ie m p r e o c u r r e e s t o ,

h a y o c a c i o n e s e n q u e A y < d y .

PROBLEMAS RESUELTOS

Hallar el incremento de la función y= x2 correspondiente al

incremento Ax de la variable independiente, CaLcular Ay si

x=1 y Ax=0.1, 0.01; cuál será el error (absoluto y relativo) del

valor de Ay, si se limita al término que contiene sólo el primer

grado de Ax?

Solución. Si f(x)=x2 f(x+Ax} = (x+Ax)2 = x2+2xAx+A2x

Entonces: y = f(x+Ax)f(x) ” Ax(2x+Ax)

Para x=1 y Ax=0.1 + Ay — 0.1(2+0.1) 0.21

x=1 y Ax=0.01 *■ Ay = 0.01 (2+0.01) = 0.0201

Considerando sólo el término lineal de Ax, se tiene: Ay = 2xAx

Luego, para x=1 y Ax=0.1 + Ay = 2(0.1) = 0.2

x=1 y Ax=0.01 + Ay = 2(0.01) = 0.02

En el primer caso, la medida de la magnitud es a=Ay=0.21

y el error absoluto en la medida es h=0.210.2=0.01

877

f. I ae considera sólo el término que contiene el primer grado de

AH, entonces: Av = 3R2AR

I,lingo, para R=2 y AR=0. 5 t Av = 12(0.5) = 6

R=2 y AR=0.1 + Av = 12(0.1) = 1.2

R=2 y AR=0.01 *• Av = 12(0.01) = 0.12

r r tanto, los errores respectivos son:

h = 7.6256 = 1.625

h = 1.2611.2 = 0.061

h = 0.12060.12 = 0.0006

( 2 J Dada la función y= x3 + 2x, hallar el valor del incremento y

de su parte lineal principal que corresponden a la varia-

ción de x desde x=2 hasta x=2.1.

m (ución. Ay = f(x+Ax)f(x) = (x+Ax)3+2(x+Ax)(x3+2x)

= Ax(3x2 + 2 + 3xAx + A2x)

Para x=2 y x=2.12=0.1 se tiene:

Ay = 0.1(12 + 2 + 0.6 + 0.01) = 1.461

I.m parte lineal principal, según la fórmula (3) es: dy=f'(x)dx

dy = (3x2+2)dx

1 ira x=2 y dx=0.1+ dy = (12+4)0.1 = 1.^61


Mil Qué incremento recibe la función y=3xzx al pasar el valor

de la variable independiente de x=1 a x=1.02? Cuál es el

valor de la parte lineal principal correspondiente? Hallar la ra

zón entre los valores segundo y primero.

Sotuciin. Ay = f(x+Ax)f(x) = 3(x+Ax)2(x+Ax) (3x2x)

= Ax(6x1+3Ax)

Para x=1 y Ax=1.021 = 0.02 se tiene: Ay = 0.02(61+0.06)=0.1012

La parte lineal principal es: dy = f'(x)dx = (6x1)dx

Para x=1 y dx=0.02 *■ dy = (61)0.02 =0 .1

^ = 0.9881

gj Qg Dados la función y=f(x) y el incremento Ax=0.2 en un punto

x, hallar la derivada en el punto x, teniendo en considera

ción que la parte principal correspondiente del incremento de la

función resultó igual a 0.8.

So¿uciin Sabemos que: dy=f'(x)dx

-'»■i i ión 3: Diferencial 379

y al error relativo es: 6 = = 0.00 52

li JJ Hallar el incremento y la diferencial de la función y=/x

para x~A y Ax=0.41. Calcular los errores absoluto y relati

vo. Trazar la gráfica.

VDtuciin. Ay = /x+Ax /x = A+ 0. ¿1 /£ = 2.12 = 0.1

dy = f1 (x)dx = (■— L) dx = ( — )(0.¿1) = 0.10252/5 2/1

Krror absoluto: h = Aydy = 0.0025

Krror relativo: 6 = = 0.025

ll'irÍi “*x * para x=2 calcular Ay y dy, dando a Ax los valores

Ax—1 , Ax=0.1 , Ax=0.01. Hallar los valores correspondien-

t e al error relativo:6 = [Ax dy l

IA |

So¿uciin, Sabemos que: dy=f (x)dx

Entonces, para dy=,0.8 y Ax=dx=0.2 , se tiene:

0.8 = f '(x)(0.1) , de donde: f'(x)=4

Sea dada la función f(x)=x2. Es sabido que en un punto al

incremento de la variable independiente Ax=0.2 le corres-

ponde la parte principal del incremento de la función df(x)=0.8

Hallar el valor inicial de la variable independiente.

Solución. Si dy=f'(x)dx + 0.8 = f'(x)(0.2) «+ f'(x)=4

Para f'(x)=2x ■* 4=2x x=2

FTjKg Hallar el incremento y la diferencial de la función y=x2x

para x=10 y Ax=0.1. Calcular los errores absoluto y relati

vo que se obtienen al sustituir el incremento por la diferencial

Trazar la gráfica.

So ¿uciin. Ay = f(x+Ax)f(x) = (x+Ax)2(x+Ax) (x2x)

= Ax(2x1+Ax)Para x=10 y Ax=0.1 *■ Ay = 0.1(201+0.1) = 1.91

dy = f'(x)dx = (2x1)dx = (201)0.1 = 1.9

El error absoluto es: h=Aydy = 1.911.9 = 0.01

I Ay |

'‘■‘(uciin. y = (x+Ax) s(x+Ax) (x3x) = Ax(3x21 + 3xAx+A2x)

dy = f'(x)dx = (3x21)dx

l'ua x=2 y Ax=1 > Ay = 1 [12 1 + 3(2) (1) + 1 2] = 18

*■ dy = (121) (1) = 11

' |Ay dy | = j 1811 | = 7 *• 5 = = 0.39

l'«ra x=2 y Ax=0.1 + Ay = 0.1(121+0.6+0.01) = 1.161

dy = (121)(0.1) = 1.1

1 |Ay dy I = |1.161 1.11 = 0.061 > 6 = 0.0526

l'Mia x=2 y Ax=0.01 + Ay= 0.01(121 + 0.06+0.0001) = 0. 110601

■> dy = (121) (0.01) =0.11

I' |Ay dy| = 0.000601 + 6 = = 0.0055

ll IJ Para la función y=2x, cuando x=2 y Ax=0.4, hallar gráfica-

mente (trazando la gráfica en papel milimetrado a gran es

,l) incremento y la diferencial y calcular los errores abso

■ y relativo al sustituir el incremento por la diferencial.

(uciin. Ay = 2x+Ax 2X = 22' k 22 = 5.2784 = 1.278

dy = 2xln2dx = 22 (0. 69) (0. 4) = 1.104.


Error absoluto: h = |Aydy| = 0.174

Error relativo: 6 = JAL lÉZÍ = ,Pr.!7A. = 0.136I Ay i 1.278

La solución gráfica se deja como ejercicio.

El El lado de un cuadrado mide 8cm. En cuanto aumentará su á

rea si cada lado se prolonga en: a) 1cm , b) 0.5cm , c)

0.1cm . Hallar la parte lineal principal del incremento del área

del cuadrado y valorar el error relativo (porcentual) al susti-

tuir el incremento por su parte principal.

Solución, Si x es el lado del cuadrado, la función que define

el área es: f(x)=xz

El incremento de esta función es: Af = (x+Ax)2x2 = Ax(2x+Ax)

y su parte principal: df = f'(x)dx = 2xdx

a) Para x=8 y Ax=1 *• Af =1 (16+1) =17 , df=2(8) (1) =16

Error porcentual: e = 1005 = 100(■' ^ ^ ) = 5.88$

i .... < / diferencial 381

II) 0,25/x (9) i¡¡~% (17) 2_1,/Cosx x *(¡O (10) mfii (18) lnTan(| |)

°*2

(1) _ 1 _ (11) (x2+¿x+2)(x2-/x ) (19) Cosx 0.5x2 1x2

(4 ) —— (12) x— (20) /arcSenx+(arcTgx)4X1* x 31

I M - i - (13) 1(21) 3arcSenx4arcTgx+

1 7. ' / x 1t2 garcCosx ^arCtgx

(fe) 1 (U ) (1+xx2)3 (22) 31/x + 3x 3. ^

_ Z La+b (15) Tan2x

E (16)x

q

,lnTanx

b) Para x=8 y Ax=0.5 •*■ Af =0. 5(16+0. 5) =8. 25 , df=l6(0. 5) = 8

Error porcentual: e = 1 0 0 ( ^ = 3.03Í

c) Para x=8 y Ax=0.1 *• Af=0.1 (16+0. 1) =1.61 , df=16(0.1) = 1. 6

Error porcentual: e. = 100 (^ * = 0.62?

Es sabido que al aumentar cada lado de un cuadrado en 0.3

cm la parte lineal principal del incremento del área cons-

tituye 2.¿cm2. Hallar la parte lineal principal del incremento

del área que corresponde al incremento de cada lado en: a) 0.6cm

b) 0.75cm , c)1.2cm.

Solución. Sea x el lado del cuadrado y f(x)=x2 la función que

su área.

Dado que df=f1 (x)dx + df=2xdx ' 2.4=2x(0.3) ■*"*■ x=4

a) Para x=4 y dx=0.6 df = 2(4)(0.6) = 4. 8 en2

b) Para x=4 y dx=0.75 df = 2(4) (0.75) = 6 cm2

c) Para x=4 y dx=1.2 + df = 2(4)(1.2) = 9.6 cm2

889 Hallar la diferencial de la función:

¿uamencia. El uso de la fórmula dy=f'(x)dx para determinar la

diferencial de una función se reduce en realidad al

* 4l< uLo de la derivada, ya que, al multiplicar ésta por la dife

I* nlal de la variable independiente se obtiene la diferencial

rt•. I/i función. Por tanto, siendo bastante fácil el cálculo de c¿

■1 , 'iirivada, se deja al lector como ejercicio.

m i Calcular el valor de la diferencial de la función:

(1 ) y = — _ _ al variar la variable independiente des(Tanx+1) 2

de x = n / 6 hasta x = 6 1 tt/ 3 6 0

I ) y=Cos2iJ) al variar iti desde 60° hasta 60 030'

I ) y=Sen2<li al variar i|> desde ir/ 6 hasta 61tt/360

I .) y=Sen3>l> al variar íji desde tt/ 6 hasta 61tt/360

('0 y=Sen(8/3) al variar 0 desde ff/ 6 hasta 61tt/360

' i'nción. y=(1+Tgx)”2 *• dy = 2(1+Tgx)~^(Sec2x)dx = ^ e°2x dx(1+Tgx) 3

Para x=ir/ 6 y dx = (61tt/360) (ir/6) = tt/360 se tiene:


dy = . ^ (2 //5 )2 (JU ) ------------- 2------- = .0.0059(1 + / 5 / 3 ) * ^ 2 0( 3 + / 5 ) *

(2 ) y=Cos*<li ♦ dy=-2CosHiSenil( dO = -Sen24id'l>

Pa ra i» = ^ y d\|> = 30* = * d y = - ( S e n ^ j )

dy = -(£f)(35ó> = -°-0075

( 3 ) y=Sen2i| > ♦ dy = 2Cos2<|>di|>

P ar a <p=ir / 6 y d y = ( 6 l i r / 3 6 0 ) - ( * / 6 ) = i r / 3 6 0 -* d y =2 C o s | ( 3| 5 )

.% d y = 2 < ^) ( 3^5 -) = 0.00872

(A) y=Sen3^ •+■ dy = SCosS d»!)

S i vp=ir / 6 y d^=ir/360 * dy = 3(C os^ ) (-jg^) = 0

(5 ) y= Se n( 0 /3 ) ♦ dy = -^Cos í^JdO

P a r a e=u/6 y de= i í /360 + dy = ^(Coffyg ) ( 3 5 5) = 0 . 0 0 2 8 7

Si i mu .i: Diferencial 383

U2J H a l l a r e l v a l o r a p r ox im a do d e l i n c r e m e n to d e l a f u n c i ó n

y = i - 5 o s x a l v a r i a r * d e s d e 3 h a s t a j + ^

I n/ iic ión. f 1 ( x ) - ( 1 - C o s x ) ( - S e n x ) - ( H - C o s x ) ( S e n x ) _ _ 2 S e n x

( t - C o s x ) 2 ( 1 - C o s x ) 2

2 S e n x d xA y = d y = f • ( x ) d x = -( 1 - C o s x ) 2

„ x = i y dx = 1 + Ay „ 2Sen<»/3) (1/100) = _ V ?

3 W ( 1 - C o s i ) 2 ^

= 0.0693

t m p = k Cos2i|i , hallar dp\ ■•Ilici ón. dp = f 1(ip)dp = k — 2..??n 2ltl dUJ = kSen2^ dtJj

2 Cos20 Co s2i|j

1 i Í~1 y = 3 ^ x + 2 ^ 2x + (/*, Calcular dy para x=1 y dx=0.2

■■■■tución. f'(x) = 31/xln3(±)' + 21/2xln2(2^)' + ó^lnóí/Sc) 1



B H H a l l a r e l v a l o r ap ro xi m ad o d e l i n cr e m e nt od e l a f u n c i ó n

y = S e n x a l v a r i a r x d e s d e 3 0 ° h a s t a 3 0 ® 1 ' .A q u e e s i g u a l

S e n 3 0 ° 111

Solución. S i f ( x ) = S e n x + d f = C o s xd x

P ara x = \ y d x = 1 ' = ( ~gj ) ( ^ = . s e t i e n e

A f - d f = ( c o s f K - ^ W ) - * ° * 0 0 0 2 5

S e g ún l a f ó r m u l a ( 6 ) : f ( x + A x ) = f ( x ) + f ' ( x ) d x

E s t o e s : S e n ( 3 0 ° + 1 ' ) = S e n 3 0 ° + A f = \ + 0 . 0 0 0 2 5 = 0 . 5 0 0 2 5

B C T H a l l a r e l v a l o r a p ro x im a d o d e l i n c r e m e n t o de l a f u n c i ó n

y =T a nx a l v a r i a r x d e s d e ¿ 5 ° h a s t a 4 5 ° 1 0 ' .

Solución. A y = d y = f ’ ( x ) d x = S e c 2 x d x

Si x = | y dx = 10» * 5 ^ ) =

E n t o n c e s : A y = S e c 2 ( ^ ) ( jq^q~) - ( /? ) 2 ( - |oA0^ ~ ° *° °5 82

tuc ó ( ) / ( ) / ( ) ó ó /Sc)

= 31/xln3( — ) + 21/2xln2(---1) + L)x2 2x2 2/x

o1/x ,1/2x ¿/x= --- ln3 ----ln2 + -— ln6

x2 2x2 2/x

Knlonces: f'(1) = -31n2 - ln2 + |ln6

= -3(1.0986) - (0.707)(0.6981) + 3(1.7918)

= -3.2958 - 0.49 + 5.375A = 1.5896

.’. dy = f' (1)dx = (1.5896) (0.2) = 0.31792

T T 1 Calcular aproximadamente Sen60°3' , Sen60°18'. Comparar

los resultados obtenidos con los datos tabulares.

••tución. Sea la función f(x)=Senx + f'(x)=Cosx

Según la fórmula: f(x+Ax) = f(x) + f'(x)dx

"" donde: x = 60° = | , dx = 3' = ( •)(j§ó) = 3S0Ó *se tiene:

(' (60° +1 ') * f(l) + f.(|)dx .S en* + C o s * ^ ) = + 1(-^_)

i- donde: f(60°1») = Sen60°1' = 0. 8 6 6 4 5

• ’i’ún los datos tabulares: Sen60°1' = 0.8664.61


Si dx = 18' (■gó~)(18C>) 600

f(60° + 18') = Sen(^) + Cos(|). (g gO = + ■|('6oÓ^

de donde: f(60°+18') = Sen60 °18'.= 0.8686

Según los datos tabulares: Sen60018' = 0.868776

rC TM Comprobar que la función y = satisface la relación

2x2dy = (x2y2+1)dx.

Compn.óHac.l6n., En efecto, diferenciando la función dada se tiene

(xxlnx)(j) (1+lnx) [lx(^)lnx]dy = — dx

(xxlnx)2

* dy = _! +i n! x_ dx . x2dy * 1+ln^dx (1)x2(1lnx)2 (1lnx)2

1+lnx . í„2 + i . (1Hnx)2, 1 _ 2(1Un2x)

' " 1lnx (1lnx)2 (1lnx)2

+ x2y 2+1 Hln2x (2)

■" " i J : Dif ere nc ial 385

AIi't o bien: f(1) = e0,1^11^ = e° = 1

f'(x) = e°*l(x_x2)£0.1(12x)] * f'(1) = e°[0.1(12)]= 0.1

l.uoKo, en (1): f(1.05) = 1(0.1) (0.05) = 0.995

I H 3 Calcular arcTan1.02 y arcTan0.97

i mfución. Si hacemos f (x.)=arcTanx, el objetivo será calcular

f(1.02) y f(0.97) mediante la aproximación:

f(x+Ax) e f(x) + f'(x)dx

..i 1(1.02) = f (1 + 0. 02) = f(1) + f * (1) (0.02)

1(1) = arcTand) = \ ; f'(x) = ^ f'(1) = = 1

.*. f (1.02) » I+ |(0.02) = 0.795

•') f (0. 97) = f (10.03) = f(1) + f ' (1) (0.03)

= 0. 785 5 (0 .0 3 ) = 0.770

y _

2 (1lnx)2

Al sustituir (2) en (1) obtenemos: 2x2dy = (x2y2+1)dx

Comprobar que la función y definida por la ecuación

arcTan(*) = ln/x2+y2 satisface la relación:

x(dydx) = y(dy+dx)

Compn.oi.ad6n, En efecto, derivando implícitamente la ecuación

dada se tiene:

---1----(i). = ---- 2---(x2+y2)'1+(x/y)2 x 2(x2+y2) .

* < - ^ ¡ ) < ^ > ■ ~ * < g > - y ■ * ♦ ( g ) yx +y x 2(xz+y‘!)

de donde: x(dydx) = y(dy+dx)

f(x) = e°*1x(1_x), Calcular aproximadamente f(1.05).

Solución. Si f (1.05) = f(1+0.05) , utilizaremos la aproximación

f(x+Ax) ■= f(x)+f'(x)dx f (1 + 0.05)=f(1)+f1(1)dx (1)

Calcular aproximadamente ./■ (^»037)_y (2 .0 3 7 )2+

- 3

5

/x 2 3---- , en este caso debemos calcular

x 2 + 5

f(2.037) utilizando la aproximación:f(2+0.037) f (2) + f 1(2)(0.037) (1)

(•')f O 2 4. Z 322+5

Tic „2_,i(x) = /x z+5 (xZ~3 ), = f (x 2+5)(2x ) - (x 2-3)(2x )1

2/x23 x2+5 2/x23 L (x2+5) 2 J

----- — ------- - f' (2)------ 16 163(x 2 + 5)3/2 / T 3 U + 5 ) 3/2 27

i.uogo, en (1): f(2.037) = j + ^(0.037) = 0.355

l'I'frJ Calcular aproximadamente: aróSenO. 4983

"Iución. Haciendo f(x)=arcSenx, nuestro objetivo será calcular

f(0.4983 ) valiéndonos de la aproximación

f(x+Ax) = f(x) + f1(x)dx

I"’i’0 teniendo cuidado en elegir x y dx. Por ejemplo, si elegimos


x=1 y dx=0.5017, la comparación entre las magnitudes entre x y

dx no es muy grande; pero, si elegimos x=0.5 y dx=0.017, la cojn.

paraclón es notoria.

Por tanto: f(0.50.017) f(0.5) + f 1(0.5)(0.017) (1)

f(0.5) = arcSen(0.5) = £

f'(x) = f1 (0.5) =1

/ 1 - 1 / 4 /5 .

Luego, en (1): f(0.4983) = ? + (— ) (0.017) = 0.52164° n

, | 3 Si la longitud de un hilo pesado (cable, cadena) (véase la

fig.25) es igual a 2s, el medio tramo es í, y la flecha es

igual a f, se tiene la igualdad aproximada:

s = {. (1 + ill)312

a) Calcular qué cambio sufre la Ion |.

gitud del hilo al variar su fle-

1'<>» 3: Difer enc ial 387

Jf nn

n ii

: Axs y Axt los errores producidos al calcular el ángulo por

•iono y tangente, respectivamente.

>ntunees, por definición de diferencial:

¿y = (InSenx) 'Ax ■**■ Av = (- °s x1ay s Senx s

¿xs = (Tanx)Ay

Az = (lnTanx)'Ax. <+ Az = (§ f° f* Ux = / 2 >t ' Tanx t ~ (S Í 5 S M x t

_ Axt = |sen2x.Az (2)

"ludiendo (1) entre (2) se tiene: ¿Xg Sec2:c(Ay )

Axt AzI Oflilo que: Ay = Az (dato) _ xs Sec2x

Axt

I1". tanto, la exactitud obtenida para el ángulo con ayuda del lo

i «ritmo de su tangente es mayor que la obtenidamediante el log¡i i i'ino de su seno.

cha en la magnitud df. ^

b) Tomando en consideración la va-

riación ds que sufre la longitud

del hilo (por ejemplo, al alterar

se la temperatura o la carga), de

cir qué cambio opera en la flecha debido a ello.

Solución. a) El cambio que sufre la longitud del cable es 2ds.2 f 2

Luego, si s = £ (1 + ---)3¿2

2ds = (|§)df

ds = í. (0 + Í L )df3a.2

(1)

b) El cambio operado en la flecha es df.

Luego, en (1): df = (|f)ds

' "fCT Cuando se calcula un ángulo por su tangente y por su seno

con ayuda de tablas logarítmicas, se cometen errores. Ha-

cer un paralelo entre éstos, es decir, comparar la exactitud de

los resultados obtenidos para el ángulo x con las fórmulas

lnSenx=y y lnTanx=z, si y y z son dadas con errores iguales.

Solución. Sean Ay = dy y Az dz, los errores de y y z.

H E I Al efectuar cálculos técnicos sa, recurre, muy a menudo, a

la reducción de tt y (g es la aceleración de la gravedad)

... . °aSO e" que uno de estos números está en el numerador y el

en el denominador. Cuál es el error relativo que se comete.

____ Rp. 0.3*

m i Expresar la diferencial de la función compuesta por medio

de la variable independiente y su diferencial.

(3) z=arcTgv , v =

U) v = 3 1/x , x = inTanx

(5) v = ez , z = lnt , t=2u23u+1

(6) y = lnTan(~) , u=arcSenv , v=Cos2s

J* ¿ución. (1 ) Segúm la regla de la cadena se tiene:

dy = (l ^ (f r ) d t ( a)

+5 = 2 f 1 3 + 2 t + + *>

3 3/(x2+5x) 2 33/[(t3 + 2t+1)2 + 5(t3+2t+ 1 )]2


- £ =2t3+¿t+7

3 */[(t*+2t+1) (t’+2t+6)]2

4| = 3t2 + 2dt

, . . ( 2 t s + ¿ t + 7 ) ( 3 . t £ ± 2 l d t _ Luego, .» «0 : d, - ,/[{t,t2t,l)(t,42t,¿ip

(2) ds . <$} ><$ {>« (8)

3 = C o s 2 z + = - 2 C o s z S e n z = - S e n 2 z = - S e n ( — g - )

t 2 - 1 , dz _ tz - T d t ~ 2

x + 2 — j

L u eg o , e n ( 3 ) : d s = - T jS en (— ) d t

(3 ) z=arcTgv , v=C otgs + dz = ds

-► d z = ( — — ) ( - C s c 2 s ) d s = - ( ------ --------- ) ( C s c 2 s ) d s1 +v 2 1 + C o t g 2 s

= - (------— ) (C s c 2 s ) d s -<-*■ d z = - d sC s c 2 s

■i ■■ 3: Diferencial 389

(>■) y=ln(Tg?j) , ü=arcSenv , v=Cos2s

♦ & . (- X ) (S e c 2| ) (l ) = — 1 — u = 1 1Tang

1

2Sen^Co¿ 2Senu v ~ Cos2s

d u ___________________ ______

/lv2 /lCos22s Sen2s

dvds = 2Sen2s

dy = <& )( £> (£ > = (ñ7rk>(5Í) (2Sen2s)ds = Cos2s Sen2s2ds

Cos2s

J.3 DIFER ENCIA BILIDAD DE LAS FUNCIONES

J * S¡ D1 2I 3E GÍ Si f es una función definida en el punto xi ,

las expresiones:

fj(x) = lim f(xi+Ax) f(xi)Ax*0 Ax

C s c 2 s

U ) V = 3 ' 1 / x , X = InTgs ’

-1/x42 = 3” 1 / x l n 3 ( - 1)' = r 1 / x l n 3 ( J ) = — l n 3ax x x x

a l = ( f i i ) S e c2 s = S e n2 s

S i d v = t f | > ( 4 f ) d s - d v = - y / } ^ -------dsdx ds 3 ' x Sen 2x

_ 21 n3 ds ________

3 ^ l n T g s ( ln T g s) 2S e n 2 s

( 5 ) s = ez , z = | l n t , t = 2 u z - 3 u+1

4 a - = e z = e l n 1 = t = / 2 u 2 - 3 u+1dz

.dz = 1(1) = ______ 1---------- ; ái = 4.u-3d t 2 t 2 ( 2 u 2 - 3 u + 1 ) u

ds = ( ' f l X ^ O d u = (/2u 2-.3u + 1) ( 2 ( 2 J utT )) ( ^ 3 ) d u

_ U u - 3 )d u

2 / 2 u 2 - 3 u+1

y f 1(x) = limf(xi+Ax) f(xi)Ax*0” Ax

I »•> llaman respectivamente de.A.¿vada a ¿a de./ie.c.ha o a ¿a izq.uie./ida

I ilt. la función f(x) en el punto xj. Para que exista f'(x) es nece

I mulo y suficiente que:

fj(x) = f^(x)

in,.ervación. Las expresiones anteriores para las derivadas late

rales de una función suelen escribirse equivalente

■ mite en la forma:

fj(x,) = 1 1 ^ f(x) ~X + X l X - X l

fj(x ) = n m_ f(x) x + x l X - X l

mm' "íí3s®Si una función f es derivable en xi, entonces es conti

nua en xi.

/'* n)4ÍA.ac¿ón, En efecto, si f es derivable en x 1# entonces exis

te lira f( xi) , o sea existef'(xi)x+x.


Si f(x) = f(x) f(xi) + f(xi) = (xxi) f(x> I + ¡C(xi)

Aplicando límites a ambos extremos, cuando x+xi, se tiene:

lim f(x) = lim (xxi) . lim f(x)"f(xii + lim f(xi)x+xi x+xt x+xi xxi x+x,

= ( 0 ) f ' (x) + lim f(xi) = f(xi) x+x

En consecuencia, f es continua en x=xi*

Observación. El recíproco del teorema no siempre es verdadera

pues ocurre que existe funciones que son continuas

en un punto pero no derivables en dicho punto.

PROBLEMAS RESUELTOS

E i B La función f(x)=|x| es continua para cualquier x. Compro-

bar que no es derivable cuando x=0

>i '"11 Diferencial 391

H•»«<in la definición 3.6 se tiene:

tfj(O) = li» ( ¿U & ) = lim (x2) = 0x+0 x u x+0

,*(()) . lim (xl~ °) = lim (x2) = 0 y = ‘xx+0 x‘° x+0'

BI mido f|(0)= f* (0) , entonces existe

f'(0) y por tanto, f es derivable en x=0

^a función f(x) está definida de la manera siguiente:

f(x)=1+x para x<0 , f(x)=x para 0<x<1 , f(x)=2x para

y f(x)=Oxx2 para x>2. Averiguar si si la función f(x) es

("■ut.inua y aclarar la existencia y continuidad de f'(x).

'■ '«<■ ión. La regla de correspondencia de la función f es:

1+x , si x .0 y

f(x) = x * si 0<x<12x , si 1*x*2

3xx2, si x>2

bar que no es derivable cuando x=0.

De.m.0¿ttiac.ión. En efecto, la definición de valor absoluto esta-

blece que si x»0 + f(x)=x

y si x<0 + f(x)=x

Luego: f'(0) = lim f(x) ' =lim+ ( M ) = lim+ (f) = 1

+ x+0 x0 x+0 x x+0

f'(0) = lim (Jx ^ = lim(— ) = 1x + 0 “ x - 0 x + 0 x

Como f|(0) t f1(0) , entonces la función f no es derivable en x=0

KjTíTJ Efectuando un análisis, decir si la función y=|x3| para x0

es continua y derivable.

Solución. Sea f(x) = |x3 j = x2|x| (|x2 |=x2)

Si x>0 + f(x)=x2(x)=xs , x<0 + f(x)=x2(x)=x>

Veamos las condiciones de continuidad en x=0

i) f (0) = O3 = 0 ,existeii) lim.f(x) =lim f(x) = 0 + limf(x) = 0 , existe

x+0 x+0" x+0

iii) f (0) = lim f(x) + f es continua en x=0x+0

_3x x2, si x 2

Analicemos las condiciones de continuidad

«ii los puntos x=0 , x=1 y x=2»

f«ra x=0 : i) f(0) = 1+0 = 1

ii) li = lim+f(x) = 0 ; L2 = lim f(x) = 1 + 0 = 1

x+0 x+0"Lj ^ L2 + ^lim f(x)

x+0

iii) f(0) / lim f(x) .. f es discontinua en x=0x+0

l'nra x=1:i) f(1) = 1+0 = 1

ii) L T = lim f(x) = 21 = 1 , L2= lim f(x) = 1x+1 x+1"

Como Li=L2 , entonces existe L = lim f(x) = 1x+1

iii) f (1) = L .*. f es continua en x=1

lira x=2:i) f(2) = 22 = 0

ii) L 1=lim+f(x)=3(2)22=2 , L 2=lim f(x) = 2 2 = 0x+2 . x+2"

Como L x / L2 , no existe lim f(x)x+2

iii) f(2) ¿ L .'. f es discontinua en x=2


En consecuencia, f es continua en todas partes excepto en los

puntos x=0 y x=2.

Analicemos ahora la existencia y continuidad def'(x).

En x=0 : f*(0) = lim+ (|=$) = 1 ; £'_(0) = lin = »

fj(0) / f^(0) + no existe f'(0)

En x= 1: f! (1) = lim,(2~x~ (?~12) =1 ; f'(1) = lim (^4) = 1+ x+1 X_1 " x+1' x 1

fj(l) i f^(1) + no existe f'(l)

En x=2: f'(2) = li m. (3x~xM 2'2 !) = +« ; f'(2) = lim (2'x¿ )=1

x+2 x¿ ‘ x+2 x"¿ff(2) ¿ f^(2) + no existe f'(2)

En consecuencia, f'(x) existe y es continua en todas partes ex-

cepto en los puntos x=0, x=1 y x=2, donde no existe.

5'.^ '■! La función y=|Senx| es continua para cualquier x. Mostrar

d i bl d 0 E i t t l d

Jn <ion 3: Diferencial 393

■P:si x*0

si x<0f(x)

i) f(0) = e"° = 1

H) x+0+f(X) = v+ñ+e"X = 1 ; li”f(x) = e° = 1 + lim f(x) = 1x u x+0 x+0 x+0

') f (0) = lim f (x) f es continua en x=0x+0

1íTÚn la definición 3.6, las derivadas laterales en x=0 son:

, J(0) = xÍS+('2^ I) = = •>x+0* x‘ü xi5+ e>

3 X ~

x*0" x"u: x+0"' x'(0) = = lini = Ine = 1

x+0 x u x+0 x

' irao fj(0) f2(0) + f'(0) no existe, es decir, f no es deriva

•■lo en x=0.

E 3 f(x)=x2Sen(1/x) para x=0, f(0)=0 Es derivable la función

que no es derivable cuando x=0. Existen otros valores de

la variable independiente para los cuales la función no seaderi

vable?

Solución. En efecto, según la definición de valor absoluto:

f(x) = Senx , si Senx>0 ■**■ xefo.ir]

f(x) = Senx , si Senx<0 ■** xe<w,27i>

Luego, las derivadas laterales en x=0 son:

f 1(0) = lim ■ (— "x0~ °) = 1 ,• f 1 (0) = lim (~SexV ) = 1+ x+0 x*u * x+0“ x"u

Como f|(0) i f^(0) , la función f no es derivadle en x=0

Los ángulos que tienen el mismo seno están dados por la formula

x = kir + (1)ka, keN

Por tanto, si a=0 + x=kir, keN, son otros valores de x para los

cuales la función f no es derivable.

_ _ _ j j|i l| Averiguar si la función y=e 1 1 es continua y derivable pa

ra x=0.

Solución. Veamos si f es continua en x=0, escribiendo para ello

E 3 f(x) x2Sen(1/x) para x 0, f(0) 0. Es derivable la función

f(x) cuando x=0?

Solución. Según la definición 3.6 se tiene:

f+ (0) = lim+ (xl^n (1/x)f(0)) = (1) =

x+0 x0 x+o x

f(o) = ii¡.(^( i / x ) f ( o ) ) = liB xSen(i}.= Qx+0 x0 x+0‘ x

1 í (0) = f'(0)=0 , esto es, la función f es derivablenn x=0.

O O f (*) =J^ " 1 Para x=0 • f(0)=0. Es derivable y continua

la función f(x) cuando x=0?

Solución. lim f (x) = lim ~ 1 =ii m _______/x _ Q

x+° x+0 i/x x+0 (/x+1 + 1)

Como f(0)=lim f(x) =0 + f es continua en x=0x+0

:;(o) ■ ^ — a — ..x 0 x*0 x/x x+0 /x(/x+1 + 1)


f^(0) = lim_ = lim_----- — L ----x+0” x0 x+0~ /x(/x+1 + 1)

íM(0) no existe, ya que ¿0^ es imaginario

Dado que fj(0) ¿ f^(0) + ^f'(O) , esto es, f no es derivable

en x=0.

t Q Dada la función f(x) =1+V (x1 )2, demostrar que la parte li

neal principal del incremento de la función no es suscepti

ble de ser despejada cuando x=1 y, por lo tanto, la función f(x)

no tiene derivada para x=1. Dar la interpretación geométrica del

resultado.

De.mo.ii/Lac.i6n. En efecto, f'(x) = 0 + ^(x1)"1 3 =

Las derivadas laterales en x=1 son:

2 2 /______1

'x1

f 1(1) = lim. i. ,__+ x+1 + 3 3/TTÍ ■ ■ 4"

f'(1) = lim (---1" 3 3/ 1

) = 4( o3 ' 3/ F

Vi i mn 3: Diferencial 395

i l ) l i m f ( x ) = lim ( x a r c T a i t ) = 0 " ( - 5 ) = 0 x+ 0 ' x+ 0 '

P u e s t o q u e: l i m . f ( x ) = l i m _ f ( x ) + l i m f ( x ) = 0x+0 x+ 0 ” x+0

III) f(0) = l im f ( x ) f e s c o n t i n u a e n x =0

x+0

l ' ( x ) = x T ---------1 ( ' + a r c Ta n ( -i ) = ( — — ) ( - — ) + a r c Ta n ( -i )L 1 +0 / x) 2J x x 1+x2 x 2 x

= - — — + a r c T a n ( ^ )1 + x 2

|. ni.onces: f|(0) = lim+ I”------- ---- — + arcTan( )l = 0 + 5 =5x+0 L 1+x2 *

f ' ( 0 ) = l im (" - - i — + a rc Ta n( -l )' ] = 0 + ( - § ) = - 5x+0” L 1+x2 x J ¿ ¿

i).uno f|(0) ^ f'(0) + f no es derivable en x=0.

1[.| f(x) = — x1r para x^O y f(Ó)=0. Es continua lafunción f1+e l/x

cuando x=0? Es derivable?



x+1" 3 3/x1 3 ' 3/ F

Dado que: fj(l). i ‘f'(.1) + f ’(1) no está determinada, esto es:

para x=1 , luego, dy no es susceptible de ser despejada.

y, por lo tanto, la función f(x) no tiene derivada enx=1.

Interpretación geométrica:

Como lim ( ) = «» , los incrementosx+1 Ax

Ay y Ax son magnitudes de distinto

orden infinitesimal.

f(x) =xarcTg(1/x) para Xj O, f(0)=0. Es continua la función

f(x) cuando x=0? Es derivable? Dar la interpretación geom¿

trica del resultado.

Solución. Veamos las condiciones de continuidad en x=0

i) Por definición: f(0)=0 , existe

•J \ i.» f m 1 n+ /ff^

\..lución. Las condiciones de continuidad en el punto x=0 son:

i) f(0) = 0 , existe

II) L i = lim.f(x) = lim.x(— W ) =0(— *) = 0(¿) = 0x+0 x+0 1+e» 1+e»

L2 = lim f (x) = lim x (-------- = 0(— — ) = 0(sJñ) = 0x+0' x+0' 1+e 1+e"“ 1+U

Como Lj = L2 ■+ L = lim f(x) = 0x+0

lll) f(0) = L ■+ f es continua en x=0.

r'(.) = (1+e1/x)(1) x(e1/x)(1/x2) = 1 e1/x

(1+e1/x)2 1+e x(1+e1/x)2

i i : derivadas laterales de la función f , en el punto x=0, no

tsten, por tanto, no es derivable en dicho punto.


LA DERIVADA COMO VELOCIDAD DE VARIACIÓN

Si s es una línea' definida por la ecuación:

s = f(t)

y una partícula se mueve a lo largo de una linea recta tal que

el número de unidades en la distancia dirigida de la partícula

desde un punto fijo en t unidades de tiempo, entonces laveloci

dad de la partícula al tiempo de t segundos es v(t)unidades de

velocidad donde:

= i t

o sea, la velocidad es la razón de cambio del espacio s con res

pecto al tiempo t.

Hay muchos problemas relacionados con la razón de cambio de dos

o más variables afines con respecto al tiempo.

Por ejemplo, si x=x(t) e y=y(t) , entonces:

ion 4: La derivada como velocidad de variación 397

'•••fución. La velocidad de variación de p respecto de 9 es ^d0

Luego, si p = a8 ^ = a

no Un punto se mueve sobre la espiral logarítmica p=ea6. Ha-

llar la velocidad de variación del radio polar si se sabe

que gira con velocidad angular u.

'••■fución. Derivando ambos miembros respecto del tiempo se tiene

á£ = ea0dt e (ae)'

a0(4ír) = aea0(w) = aojea0

n a Un punto se mueve sobre la circunferencia p=2rCos8. Hallar

la velocidad de la variación de la abscisa y la ordenada

•I"! punto si el radio polar gira con velocidad angular u>. En es

i" caso el eje polar desempeña la función del de las abscisas, y

i* I polo como origen del sistema de coordenadas cartesianas.

'•■•fución. Las coordenadas del punto P(x,y) en términos del argu

ménto 0 son, respectivamente:

v _ es la velocidad de variación de la abscisa respectox dt

al tiempo.

v = es la velocidad de variación de la ordenada respectoy dt

al tiempo. *

Si estas dos variables x e y están ligadas mediante la ecuación

E(x,y)=0 y se conoce la razón de cambio de una de ellas respec-

to del tiempo, para determinar la razón de cambio de la otra va

riable con respecto al tiempo, essuficiente derivar implícita-

mente la ecuación E(x,y)=0 con respecto al tiempo y sustituir

los valores dados de la misma.

PROBLEMAS RESUELTOS

91 7 Un punto se mueve sobre la espiral de Arquimides p=a6. Ha-

llar la velocidad de variación del radio polar respecto al

ángulo polar 0.

* pCos0 = (2rCos0)Cos0 = 2rCos20

y pSen0 = (2rCos0)Sen0 = rSen20

flnrivando ambas ecuaciones respecto del

ii

’rapo y, teniendo en cuenta que tu =

tiene: •*

2r(2Cos0Sen6) (“jpr) = 2rioSen20

,d0,

d0dt

¡j 2rCos28(^) = 2r<uCos20

^ circalo de radio R rueda, sin deslizarse, sobre una rec

ta. El centro del circulo se mueve con velocidad constante

v. Hallar la velocidad de la variación de la abscisa x y la orde

"'"la y para un punto que pertenece al límite del círculo.

' n,c/ie.ncia. Sea P(x,y) un punto de la circunferencia (límite

del círculo) y sea el ángulo formado entre el eje

'i” ordenadas y el radio polar del punto F. Entonces:

v = v( 1+Costy) , v = vSeniJJ

398 Capítulo 3: La.Derivada

La presión barométrica p sufre alteraciones al variar la

altura h de acuerdo con la función ln(£)=ch , donde po esPo

la presión normal y c es una constante. A la altura de 5540m

la presión alcanza la mitad de la normal. Hallar la velocidad de

variación de la presión barométrica en función de la altura.

Solución, En la función: ln(£—) = ch , para h=5540m la presiónP 0

barométrica es: p = ♦ l n ^ = c(55¿0)

de donde: c = > entonces: lnp lnpo = (

Derivando p respecto de la altura h se tiene:

0 = w + & = 0.000125P

Entre x e y existe la relación y2=12x. El argumento x cre-

ce uniformemente a una velocidad de dos unidades por según

do. A qué velocidad aumenta y cuando x=3?

Solución. Para x=3 + y2=l6 «*■ y=6 ó y=6

" 11 U)n 4: La derivada como ve locidad de variación399

| 2 | En q ué p un to de l a e l i p s e 1 6x 2 + 9 y 2 = 40 0 l a o r d e n a da d e c r e c e

c o n l a m is ma v e l o c i d a d c o n q ue c r e c e l a a b s c i s a ?

elución. D e r iv a n do r e s p e c t o d e l t ie m p o l a e c u a c i ó n de l a e l i p

s e s e t i e n e :

'•’x(f-£) +1 8 y ( | £ ) = 0 + 1 6 X( | | ) = - 9 y ( | i )

1 a f = I f * 16x = 9y — y = Í|x

l.'ingo, en la ecuación de la elipse: 16x 2 + 9(^|x)2 = 400

d0nde: x2=9 ~ x=3 x=3 + y=l6/3 ó y=l6/3

I'"' tanto, los puntos requeridos son: (3,16/3) y (3,16/3)

C U El lado de un cuadrado aumenta con velocidad v. Cuál es la

velocidad de la variación del perímetro y del área del mis

. °n 61 momento en que su lado llega a ser igual a a.

ción. Sean p y A el perímetro y el área del cuadrado respecti t

Solución. Para x 3 + y2 l6 « ■ y 6 ó y 6

Derivando implícitamente, respecto del tiempo, la e

cuación dada, se tiene: 2y("g^ = 12(|jíf) * y ^3t^ = ^d t^

Luego, para y=6 ó y=6 , = 2 u/seg , obtenemos:

g| = 2 u/seg ó |£ = 2 u/seg

KM cl La ordenada del punto que describe la circunferencia x2+y2

=25 decrece con una velocidad de 1.5 cm/seg. A qué veloci-

dad varía la abscisa del punto cuando la ordenada llega a ser i

gual a í cm?

Solución, Para y=4 + x 2 + 16=25 x=3 ó x=3

Por derivación implícita, respecto del tiempo, se tie.

».= 2 » # * 0 * (í)(f)• V *.

Para el punto (3, i) y = ~ \ cm/seg * = |( |) = 2cm/s

y para el punto (3,4): ^ = |( = 2cm/seg

tivamente.

P = a * *<Sf> ~ f? = 4v

A = a2 + t = 2*(ft) * 2av

E J El radio de un círculo cambia con velocidad v. Cuál es la

velocidad de la variación de la longitud de su circunferen

■y. y del area en el momento en que su radio llega a ser igual ¡

ijíiüción. Sea C la longitud de la circunferencia

Si C=27rr * M = 2ir(— ) ♦ * £ £ bdt ¿7 d t ; Tt 27rv

A, del círculo: A= r2 + M = 2lrr(^ ) = 2*rv

_ *

E J El radio de una esfera cambia con velocidad v. Con qué ve-

locidad varía su volumen y su superficie?

'Jr/»r¿6n. Volumen de la esfera: V= ^ r 3 + = 4 ^ 4 (Í£)

• áZ , 2•• dt - 2nr v


Area de la esfera: A=¿rrr2 * = 8wr(; ) = 8irrv

Para qué valor del ángulo su seno varía dos veces más len-

to que el argumento?

Solución.. Sea la función: y=Senx ^ = Cosx(^)

Dado que: ff = ±2(f£) f* = ±2Cosx(f*)

de donde: Cosx = ±1/2

Para Cosx = 1/2 > x = 2ku ± ir/3 , keZ

Cosx 1/2 x =2kir ± 27r/3 • keZ

tB l Para qué valor del ánguloson iguales las velocidades de

la variación de su seno y de su tangente?

Sot.uc.t6n.. Sean: y=Senx , z=Tanx

Derivando, respecto del tiempo, ambas ecuaciones se

t i e n e : = C o s x ^ a i^ 1 = Se° 2 x f | f '

f■H*c°#

a "i 4: La derivada co mo ve locidad de variación 401

|i mi diámetro, entonces: V = kDJl’nrlvando respecto del tiempo se tiene: = 3kD2( )

(1 unrido D=90cm = 3k(90)2(|£)

D=18cra. * = 3k(18)2(f)

lilvidiendo ambos extremos de estas igualdades obtenemos:

dVx _ (90\2{dV 2 \ _ ocr dV 2 \dT (— 8> 25(d F }

4.2 FUNCIONES DADAS EN FORMA PARAMÉTRICA

i f y g son funciones que tienen un dominio co-

mún D, entonces x=f(t) e y=g(t) se denominan las

*• naciones pan.am¿tnica¿ de la curva yf(x), con parámetro t y cu

y n gráfica es:

G = { (x, y)e R2/x= f(t) , y=g(t ) , teD}

S1 f ■H*c°«#- ■ 1Cosx = 1 +~+ X=2k7T

pR il La velocidad del crecimiento del seno aumentó en n veces.

Cuántas veces aumentó la velocidad del ..crecimiento de la

tangente?

Solución. Si y=Senx *■ = Cosx(jj r)

Pero ^ = n(|f) + Cosx = n

1 _L fdxvT” dt a'dt'

js*x n

Luego, la velocidad de la tangente aumentó en 1/n2 veces.

Sea y=Tanx *• 4? = Sec2x(4ir) = — — =* dt dt Cos2x dt n2 dt

Supongamos que el volumen del tronco de un árbol es propor

cional al cubo de su diámetro y que éste crece de año en a

ño uniformemente. Mostrar que la velocidad del crecimiento del

volumen, siendo el diámetro igual a 90cm, en 25 veces mayor que

la del crecimiento para el caso del diámetro igual a 18cm.

Solución. En efecto, si V es el volumen del tronco del árbol y

J E S S Ü S B E O I DERIVACIÓN PARAMÉTRICA

Si la dependencia entre la función y y el argu-

mento x viene expresada por medio del parámetro t, esdecir:

■ f(t) e y=g(t) , entonces:

d1dy _ dt _ g 1 (t )

dx " I T ‘ f ’ >

observación. Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva

x = f(t) , y = g(t) (1)

'i I eliminar el parámetro t, se obtiene una ecuación cartesiana

E(x,y) = 0 (2)

'•iiLonces, todopunto obtenido de (1) es punto de la gráfica de

Sin embargo, la recíproca de la observación no siempre es

verdadera.

Probar si un punto dado por las coordenadas cartesianas es

tá en la línea cuya ecuación se da en forma paramétrica:

■i) Está el punto P (5, 1) sobre la circunferencia C:x=2+5Cost ,


y = - 3 + 5 S e n t

b ) E s t á e l p u n to P ( 2 , 3 ) s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a C : x = 2C o s t,

y = 2 S e n t

o „« vtc i i r . / 5 = 2 + 5 C o s t -*■ C o s t = 3 / 5Solución, a ) S i P ( 5 » 1 )e Cf 5 = 24

U « 3

b ) S i P ( 2 , / J ) e C

*{:

- 3 + 5 S e n t S e n t = 4 / 5

V ea mo s s i e s t o s v a l o r e s d e l a s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s s a

t i s f a c e n l a i d e n t i d a d : S e n 2 t + C o s2t = 1

(¿ )2 + (|). = , <> 2? + |f = 1

«+ 1 = 1

E n c o n s e c u e n c i a , P ( 5 >1 ) e s t á s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a C .

2 = 2Co st + Co st = 1 ♦+ t=0

✓3 = 2Se nt + Se nt = /J /2 -<-* t =ir/2

Como t n o e s ú n i c o , e n t o n c e s , P n o e s t á s o b r e l a c i r c u n f e r e n

c i a C .

E C T C o n s t r u i r l a s g r á f i c a s d e l a s f u n c i o n e s d a d a s e n f or m a p a

'< 4: La derivada como velocidad de variación 403

t X y

2 8 0

3 15 3

I.« grafica de la ecuación paramétrica

"ii una parábola. En efecto, restando

ambas ecuaciones se tiene: yx=4t

y Humando: x+y=2t2 ■> ‘ x+y = 2 ( ^ ) 2 — x2xy+y28x8y=0

i r una rotación de ejes según un ángulo de 6=45° obtenemos:

*■ x

y '2 = 4x1

E J J De las ecuaciones que dan la función en forma paramétrica

eliminar el parámetro.

< i) x=3t # y=6tt 2 (4) x=4)Sen<t) , y=1Co

(.') x=Cost , y=Sen2t(5) x=Tant , y=Sen2t + 2Cos2t

( ') t3+1 6t t2

r a m é t r i c a .

a ) x = 3 C o s t , y = 4 S e n t c ) x = C o s t , y = t + 2 S e n t

b ) x = t 2 - 2 t , y = t 2 +2 t d) x= 2 t _ 1 , y = j ( t 3+ 1 )

Solución. S e gú n l a d e f i n i c i ó n 3 . 8 , c o n s t r u i m o s u na t a b l a d e v a

l o r e s p a r a l a s v a r i a b l e s t , x e y de c a da c u r va .

a ) x = 3 C o s t , y = 4 3 e n t

t X y

0 3 0

n/2 0 4

L a g r á f i c a d e l a e c u a c i ó n e s ' u n a

e l i p s e , e n e f e c t o , s i ^ = C o s t ,

-*■ = C o s 2t + S e n 2t = 1

b) x=t22t , y=t2+2tt X y

0 0 0

1 1 3

t X y

2 0 8

1 3 1

( ') x=t3+1 , y=6tt2

In/ución. (1) De la primera ecuación: t = | , sustituyendo en

la segunda ecuación: y = 2x (|)2

de donde: x218x+9y=0

(.’) x=Cost , y=Sen2t

En la segunda ecuación: y2=4Sen2tCos2t •* y2=4<1Cos2)Cos2t

+ y2=4x2(1x2)(3) x=t3+1 , y=t2

Si y=t2 + y 3=t =(t3)2 y 3 = (x 1)2

U) x=<!>Sen<|>, y=1Cos<t)

Si y=1Cos<í> Cos0 = 1y ► 4>=arcCos(1 y)

Co s2(J>=(ly)2 1Sen2 = 12y+y2 Sen2* = 2yy2

*-*■ Sen* = ±/¡2yy2

.’. x = arcCos (1y) ± /2yy2

x=Tant , y=Sen2t+2Cos2t *■ y=2SentCost + 2(Cos2tSen2t)

2(7=S=r)(74 ^ ) + 2 ( — — +.ÍÍ/i +x 2 /i +x 2 1+x2 1+x2

2 ( 1+ x - x 2 )

1+x 2


I Hallar el valor del parámetro que corresponde a las coorde

nadas dadas del punto sobre la línea cuya ecuación se da

en forma paramétrica.

(1) x=3(2CostCos2t) , y=3(2SentSen2t) , (9,0)

(2) x=t2+2t , y=t 3 + t , (3,2)

(3) x=2Tant , y=2Sen2t+Sen2t , (2,2)

U) x=t21 ,y=t3t , (0,0)

Solución. (1) 9=3(2CostCos2t) A 0=3(2SentSen2t)

3=2Cost(2Cos211) a 2Sent2SentCost=0

Cos2tCost2=0 A 2Sent (1Cost) =0

(Cost+1) (Cost2)=0 A Sent(lCost)=0•*■+ Cost=1 ó Cost=2 A Sent=0 ó Cost=1

•*■+ t=2kir+ir ó t = 4> A t=2ku+7r ó t=k7r

t=(2k+1 )tt

(2) 3=t2 + 2t A 2=t3+t «*■ t2 + 2t3=0 A t3+t2=0

. <+ (t+3) (t1 )=0 A (t1) (t2+t+2)=0

<> t=3 ó t=1 A t=1 ó t=d>

‘" 'ig /1 4: La derivada como velocidad de variación405

g ' = "li'= 3bSen2(Cos<t>) = 3bCo s<t>Sen<¡>& d<J>

di = g' U) _ bT• • d x ------- ■ TTan<S>

f ’(<¡>) a

U i i l x=a(<t>-Sen) , y=a(l-Cos<t¡)

Solución. f.(*) = M , a(1Cos*) ; gU) = g = a(0+Sen<t>)

+ = g 1 (<ti) _ Sen¡t> = 23en(4>/2)CosU/2)

X f ' (<t>) 1Cos<t> 2Sen2 (<J?/2)

•'* fí = Co tg(f)

EE9 x=1= t2 , y=t -t3

Solución. f . ( t ) = H = _ 2t ¡ g'(t) =| | » l_3t*

+ áz. = g*(t) = 1 3t2 _ 3t2 1

dX f'(t) 2t "

H 3 3 x = ±+1 ( y = t -1

La solución común al sistema es: t = 1

(3) 2=2Tant A 2=2Senzt.+ 2SentCost

*+ 1=Tant A 1=1Cos2t+SentCost

Tant=1 A Cost (CostSent) =0

Tant=1 A Cost=0 ó Tant=1 •<*• Tant = 1 ■*•» t = kir +

U) 0 = t21 A 0=t 3t (t+1)(t1)=0 A t(tl) (t+1)=0

(t = 1 Ó t = 1) A (t=0 Ó t=1 Ót = 1)

t=1 ó t=1

En los ejercicios 936945 hallar las derivadas de y respecto

a x.

I x = aCos<l> , y=b3ení>

Solución. f ' (<t>) = = aSen<t ; g' (<}>) = = bCos(t>

♦ p.

= g ' t ») = bCos = - J2cotg4>dx f'(<t>) aSeniJ> a

x=aCos3(t> , y=bSen3¡¡)

Solución. f '(<)>) = = 3aCo s2<í> (Seniji) = 3aSeni)>Cos2il

Solución. x = 1 + 1 + fi(t) = 1/t2

t

• di _ g'(t) _ „d x - ---------------------- = - 1

f'(t)

x~ln(l+t2) , y=tarcTant

Solución. f'(t) = g'(t) = 1

1+t 1+t2 1+t:dx g*(t) _ t

x<t)(1 Senct1) , y=(J)Cos<f)

f.(*) = = «K-Co b *) + (ISen*) = 1Sen**Cos*

df = <t>(Senct>) + Cos = <()Sen<t)+Cos

d

= g 1 ( 3 Co s<t><t>Seri(l>dx ————— i

£'($) 1 Sen<¡>iJjCo s cf>1lt3 _ 1

y =t21 t21

406 Capitulo 3: Derivada\

_ . .. dx (t21)(3t2)(1+t3)(2t) _ t( t33t_2|Solución. ^ = jT (t2.1)2

2tái ___________d t ( t 2 - D 2

dy _ r ' (t) _ 2t

dx ~ f'(t) t(tJ3t2) (t2)(t+1)‘

x=etSent , y=etCost

Solución. f'(t) = ff = e^Cost + Sentíe*) = e1 (Cost+Sent)

gt(t) = 4* = et(Sent)+Cost(et)= e*(CostSent)

3at

1+t3

* ái R 1(t) CostSent 1Tantdx f 11(t) Co st+Sent 1+Tant

3at2

1+t 3

dx (1+t3)(1)t(3t2) . 3a(12t3)dt

(1+t3)2 (1+t3)2

S¡ Mii '/i I. La der iva da com o vel oci dad de vari ació n 407

Puní t=0 y t = 1 , obtenemos: nu=0 y m 2 = 1/3

IÜ TI x=t3+1 , y=t2+t+1 en el punto (1,1).

Solución, Si x=1 *■ 1=t3+1 + 't=0

§ = 3t2 , 4í = 2t+1 +& = 2t+ldt dt dx -^ 2

Para t=0 +■ m = = » (no existe)

c u x2Cost , y=Sent en el punto (1,/5/2)

Solución. Para y=/J/2 /J/2 = Sent t=?i/3

it = 2Sent , = Cost j g =_2§f§| •Jctgt

Luego, si t=u/3 *■ m = ^Cotg(7r/3) = |( ^|) = ^

na Para la línea dada paramétricamente mostrar la relación en

tre el parámetro t y el ángulo a que forma la tangente a

la línea con el eje de abscisas.

(I) x=Cost + tSerit ■|t2Cost , y=SenttCost lt2Sent

dy (1+t3)(2t)t2(3t2) 3a(2tt)

dt.pa ■

(1+t3)2 (1+t3)2

, £z = ? * (t) _ t(2t3)dx f ’(t) 12t3

En los ejercicios 946949 hallar los coeficientes angula-

res de las tangentes a las líneas que se indican.

x=3Cost , y=4Sent , en el punto (^S 2/2)

Solución. Para x = ~ 3Cost *• Cost = — g

*-*■ t = tt/¿

|f . 3Sent 4Coat * £ ■ rf ff t

Luego, para t=u/4 *■ m = ^(Tan^) = 3

x=tt** , y=t2t3 , en el punto (0,0)

Solución. Si y=0 + 0=t 2(1t) <+ t=0 ó t = 1

|f !«• , & 2t3f * g

y

(.') x = aCos3t , y=aSen3t

( i) x=aCost(/2Cos2t) , y=aSent(/2Cos2t)

ínfución. (1) = Sent+(tCost+Sent) [t2(Sent)+2tCost]

= Sent+tCost+Sent + ^t2SenttCost = jt2Sent

= Cost[t(Sent)+Cost] |(t2Cost + 2tSent) = lt2Cost

Entonces: = |§f± = Cotgt '

Poro: m = ^ = Tana Tana = Cotgt = Tan(t |)

a = t j *>• t = - + a

* ) = 3aCos2tSen't > ¿t = 3aSen2tCost + ^ Sen 2tCostx Cos2tSent

de donde: Tana = Tant = Tan(irt) «*• a = irt *■ t=ira

( 0 x = a/zCo s2tCo s2t + ~ = ¿(20° s2tCos2tJJ[

2/2Cos2tCos2t


dx _ 2a¡~Cos2t(2Co stSent)+Cos2t(2Sen2t)Jdt 2Cost/2Cos2t "

¿aCost(SentCos2t+Sen2tCost) _ _ 2aSen(2t+t)

2Cost/2Cos2t /2Cos2t

_ 2aSen3t

/2Cos2t

y = a/2CoS2t Se n~ 4* = a(2Cos2tSen»tlLdt 2/2Cos2tSen t

dy _ 2a[Cos2t(2SentCost)+Sen2t(2Sen2t)]

dt 2Cost/2Cos2t

_ ¿a Sent(Cos2tCostSen2tSent) _ 2aCos(2t+t) _ 2aCos3t

2Sent/2Cos2t /2Cos2t /2Cos2t

Luego: 4* = S l M = 2aCos3t. . = Cotg3tdxf'(t) 2aSen3t

Si Tana = Cotg3t = Tan(3t |) + a = 3t j

• + - 1 4. “• • * - z + 3

f c t t ' " " L ¿ a derivada como velocidad de variación 409

.... ros: y = 4* = iií*2 = (3+2t)/t3 = t

JÜL vh3 = 1J+. >• vvt3 =

dx f'(t) (3+2t)/t *•

P*i'<: x = IT 0 *■ xt3 = 1+t xy'3 = 1+y'

m i Comprobar que la función dada en forma paramétrica median-

te las ecuaciones x=Cosht , y=Senht satisface la relación

yy1x=0.

■'«»i/v/toiaciin. En efecto, = Senht , = Cosht

+ v » = ái = Cosht ' ■ y dx Senht

yy' x = Senh't(g^ j ^ ) Cosht = 0

na Comprobar que la función dada en forma paramétrica median

,. 1 /1 +i/í +t2 tte las ecuaciones: x = — = = ln( '

/1 +t 2 t ’ /1 + t2

satisface la relación: y/l+y12 = y 1

'1/,/ioíaciin. En efecto: x = (1+t2)1^2 ln( 1 +/1 +t2) + lnt

K? CT Comprobar que la función dada en forma paramétrica median-

te las ecuaciones: x=2t+3t2, y=t2 + 2't3 satisface la relación

y=y' +2y' (la prima denota la derivación con respecto a x, esto

es, y' = g )De.mo-itA.ac¿6n. En efecto, = 2+6t ,= 2t+6t2

di _ , _ t(2+6t) _ t

dx 2+6t

Luego, y 12 + 2y13 = t2+2t3 = y

Comprobar que la función dada en forma paramétrica median-

te las ecuaciones: x = lü. , y = 2 + — satisface la reíat3 2t2 t

ción: xy13=1+y'.

Comp/iolaci6n. En efecto, x = t3+t~2 + 'ft = ‘*2t 3 = —

y = | f 2+2t> + = 3t* 32t"2 = 2Í2 L

t"

+ # = ±(1+t2)*3'2(2t )---- 5 = |dt 2 1+/l + t2 2/ 1+t2 %

t______t2 /l+ t2(1+/l+t2)

/(1+t2) 3 t/l+t2(1+/l+t2)t , 1 1

/(1 + t2)3 t/1 + t2 t/(1+t2j3

= t[ Jd + t * r » ' 2(2t)] + (1

= (i+t2)_3/2Ct2+(i+t2)] =

t d + t 2)'1/2 + = t[ J(i+tír » ' 2(2t)] + d + t 2)i/2( D

/(i+t2);

'.n i.unces: y' = ^ = tf'(t)

n"i;o: y/1+y1 2 = ( . ■ )( / 1 + t2 ) = t ■** y/l+y1 2 = y 1/1 + t2

na Comprobar que la función dada en forma paramétrica median

Unt _ 3+21rt2 ’ y " tte las ecuaciones x = ''"í g'*' » y = satisface la reía

ción yy'=2xy,2+1.

.notación. En efecto: dx g t2(1/t) (1+lnt)(2t) = . 1 + 21ntdt . ,


¿x = t(2/t) (3+21nt) _ _ 1+21ntdt t2

dv (1+2lnt)/t _ *Entonces: y 1 = --- --- — ~ 1

dx (1+2lnt)/t

Luego: yy' = )t = 3+21nt (1) (1)

2x y' 2 + 1 = 2('H *2)t2 + 1 = 2+2lnt+1 = 3+21nt (2)

Por tanto, de (1) y (2) se tiene: yy’ = 2xy,2+1

Hallar los ángulos que forman al cortarse las líneas:

(1) y=x2 y x = |cost , y = |sent

at2 y _ at/5

1+t2 ’ 1+ts

at(2) x=aCos<i) , y=aSen<¡> y x = — -- , y =

Solución. (1) Interceptando ambas líneas se tiene:

■|sent = ^ C o s 2t *■ ^Sent = 1Sen2t

de donde: 20Sen2t+9Sent20=0 «* Sent=4/5 ó Sent=5/¿

ión 4: La derivada como velocidad de variación 411

rn Pi(^

at2

a/3\

1+t2

at/3

1+t2

= f'(t) = a

/3

(1+t2)(2t) t2(2t) _ 2at

(1+t2)2 (1+t2):

dü _ g i (t) = a/3 (1+t2)(1) t(2t) _ a/3(112)

dt (1+t2)2

n tunees: y i = g 1 (*) = a/3(1 12)

f'(t) 2at

(1+t2)2

Para t=1

■iro : Tan0 i i2mi

1+m¡m2

o + /5/3 = £2

1+0 3

► m 2=0

= 30°

a a/Tl'ni'i Pzf'j »-------- ° t = 1, se obtiene el mismo resultado: 02=3O°

Mostrar que cualquiera que sea la posición del círculo ge-

nerador de una cicloide, la tangente y l a normal en el pun

tu correspondiente de la cicloide pasan por su punto superior e

Inorior, respectivamente.

Ilritioii/iación. Determinemos las ecuaciones paramétricas de la ci

cloide, sabiendo que ésta es una curva generada

Para Sent = *■ y = = 1 x2 = 1 x=±1

Luego, los puntos de intersección son: Pi(1,1) y P*(1.1)

Si y=x2 *• y ’=2x ; para x=1 *■ mj=2

á5 = ¿Sent , = fcost y =(5/*¿g°5Í= ¿Cotgtdt 3 dt U _(5/3)Sent 4

Para Sent=¿/5 *■ Cotgt=3/¿ + mj=(3/¿) (3/4) = 9/16

Si Tan01 = m2~Bl' ■+ TanBi = ~9/>16 JL = ¿1/21+mim2 1 18/16

0 j = arcTan(¿1/2) = 87°22'

Para elpunto P2(1,1) se halla el mismo resultado: 02=87°22'

(2) Interceptando ambas líneas se tiene:

xz+y2 = a2(Cos2<l>+Sen2<!>)=a2 ■* — — --- + 3a — = a¡(1+t2)2 (1+t2)2

de donde: t2 = 1 **■ t=1 ó t=1

Los puntos de intersección son: P i(j; > y ~^

x 2+ y 2= a 2 -*• 2x+ 2yy ' = 0 -*■ y 1xy

I*"'' un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin deslizar,

<i"lire una recta.

Üiwt P(x,y) el punto fijo des

|nmn de haber girado la cir

ii imferencia, de radio a, un¿unido t=m (^BCP).

liM.iu que la circunferencia

.. . sin deslizar, entonces

"A AP = at

« 0D = OADA = OAPB

ataSent = a(tSent)

j - PD = AB = ACBC = aaCost = a(1Cost)

dx= a(1Cost) , 4? = aSent

dxSent

1, 1 llVyCO• J l —LAVI—Vu ü u / • TI —U.UD1Iu . ---- — — ----- — ------------dt ' ’ dt dx 1Cost

1 M(xo,yo) el punto de tangencia + x 0=a(tSent)

yo=a(1Cost)puntos superior e inferior de la circunferencia tienen por

leñadas E(at,2a) y A(at,0), respectivamente.

molón de la tangente Li:yy0 = * (xx°)


*■ Lis ya( 1Cost) = (xat+aSent)

Si E(at, 2a)eL i ■*■ 2aa+aCost = rj ^^ (a t at +a Se nt )

a( 1+Cost) 1C osH = Se nH

Es una identidad, en consecuencia, la tangente Li pasa siempre

por el punto superior del círculo.

1Cost, \Ecuación de la normal L2: yyo = Señt 'x'x°'

L 2: ya(lCost) = 1^° ° * (xat + aSent)

Si A(at,0)eL2 * 0a+aCost = 'sent^^

a(1Cost) = a(1Cost)Por tanto, la normal L2 pasa siempre por el punto inferior del

círculo.

Kt ül Hallar las longitudes de la tangente, la normal, la subtan

gente y la subnormal a la cardiode:

x = a(2CostCos2t) , y = a(2SentSen2t)

en un punto cualquiera de ésta.

¿i i ' '‘‘ii -I: La derivada como velocidad de variación 413

p 1."licitud de la tangente: T = /y 2+ST2 = /y 2+y2Cotg2Jt= |yCsc|t|

,i■■11, • i t u d de la normal: N = /y2+SÑ2 = /y2+y 2Ta n2|t = .|ySec|t|

m Hallar las longitudes de la tangente, la normal, la subtan

gente, la subnormal a la astroide: x=aSen3t , y=aCos3t

en un punto cualquiera de ésta.

[i fución. — = 3aSen2tCost , ^ = 3aCos2tSent

y , a g'(t) = Qa Co sH Se nt = _Cotgt

f'(t) 3aSen2tCost

I."licitud de la sub'tangente: ST = |— | = | __Z__ ¡ = |yTant|y 1 Cotgt

I."licitud dela subnormal: SN = lyy'l = lyCotgt)

I."licitud dela tangente: T = /y 2 + ST2 = /y 2+y2Tan2t = |ySect|

I,"licitud de la normal: N = /y2+SN2 = /y2+y2Cotg2t = |yCosect|

m Demostrar que la tangente a la circunferencia x2+y2=a2 es,

al mismo tiempo la normal a la evolvente de la circunferen

Sofución. f'(t) = = a(2Sent+2Sen2t) = 2a(2SentCostSent)

= ¿aSen|cos|[2(2Cos2| 1) 1]

= 4aSe n| UC os 3| 3Cos|) = ¿aSen|cos|t

g'(t) = = a(2Cost2Cos2t) = 2a¡Cost(12Sen2t)J

= 2a C (1Cost) + 2(Sen|Cos|)2]

= 2a[2Sen2| + 2 USen2|co s2|)J

= ¿a[Sen2| + ¿Sen2|(1Sen2|)]

= ¿aSen|(3Sen| 4Sen3|) = 4aSen|sen|t

Luego: y 1 = g ■■■■ = Tan|tf'(t) 2

Longitud de la subtangente: ST = |í_ | = |yCotg^t|y'

Longitud de la subnormal: SN = lyy'l = lyTani|t|

al mismo tiempo, la normal a la evolvente de la circunferen

cia: x=aCCost+tSent) , y=a(SenttCost)

f'IIl Hallar las longitudes de la tangente, la normal, la subtan

gente y la subnormal a la evolvente de la circunferencia:x=a(Cost+tSent) , y=a(SenttCost)

'••fución. f'(t) = ff = a( Sent + tCost + Sent) = atCost

g'(t) = = a[Cost (tSent + Cost)] = atSent

y , = sHt) = atSent = Tant

f '(t) atCost

l.' ncitud de la subtangente: ST" = 1 = |yCotgt|

I.' ncitud de la subnormal: SN = |yy'| = |yTant|

i 'licitud de la tangente: T =/ y 2+ST2 = V y 2+y2Cotg2t = |yCsct|

' •ncitud de la normal: N = /y2+SÑ2 = /y 2+y2Tan2t = |ySect|

ITTl Demostrar que el segmento de la normal a la curva

x=2aSent+aSentCos2t , y=aCos3t

41 4 Capitulo 3: Derivados

limitado por los ejes coordenados, es igual a 2a.

Demosi/iación. En efecto, sea P(xo.yo) el punto de tangencia.

♦ f'(t) = = 2aCost+a[Sent(2CostSent)+Cos2tCostJ

= 2aCost2aSen2tCost+aCos3t

= 2aCost(lSen2t)+aCosst = 3aCos3t

g'(t) = = 3aCos2t(Sent) = 3aSentCos2t

Entonces: y' = ,ilíÍ> = 3aSentCos2t. = ?antf'(t) 3aCosst

Ecuación de la recta normal: yyo = Cotgt(xxo)

Para x=0 •> yyo = XoCotgt •+■ y = yo+XoCotgt • (1)y=0 *• y0 = Cotgt(xxo) + x = xo+yoTant (2)

Pero, P(xo,yo) pertenece a la curva dada, entonces:

xo = 2aSent+aSentCos2t , yo = aCos’t

Luego, en (1) y (2) se tiene: ,

y = aCos3t + (2aSent+aSentCos2t)Cotgt

= aCos3t + (2aCost+aCos3t) = 2aCost

x = 2aSent+aSentCos2t aSentCos2t = 2aSent

" ‘l: La derivada como v elocidad de variación 415

[ f <<nl.o de tangencia: T(1/2,1/2)

f ¡Tt = Cost * fí = 2Sen2t g » 4Sent

I *|| fi t = 7i/6 *• m=4Sen(ff/6) = 4(1/2) = 2 ♦ n=1/2

f’ f ■unción de la tangente: y1/2 = 2(x1/2) *>■ L,:¿x+2y3=0

■*'M,nción de la normal: y1/2 = |(x1/2) <+ L2:2x4y+1=0

C 3 x=2ln(Cotgt) + 1 , y=Tant+Cotgt , para t=ji//t

Solución. Para t=ir/4 obtenemos: x = T e y2 •>• T(1,2)

dx _ ^/Csc2t,

dt ' Cotgt ' 4Csc2t

^ =. Sec2tCsc2t = — !— .. — 1 _ = /,Cot«atCsü2tCost Ses2t

l>n loncos: y 1 = .~4Cotg2tCse2t _ t

4C sc2t

!•' I t=ir/4 *■ m = Cotg(it/2) 0 n (no ¿Kiste)

■ Melón de la tangente:y2 O(xl) •*>•L 3:y2=0

n.ición de la normal: y2 = "(x1) .■«» L':xs1=Q

x 2aSent+aSentCos2t aSentCos2t 2aSent

Si I es el segmento;de la normal limitado por los ejes coordena-

dos *• í = /x2+y2 = /K a2 (Cos2t+Sen2t) = 2a

En los ejercicios 963966 formar las ecuaciones de la tangen-te y la normal a las líneas que se indican en los puntos cita

dos.

x=2et , y=e~^ , para t=0

Solución. Para t=0 •> x=2e°=2 , y=e°=1

Luego, el punto de tangencia es: T(2,1)

¿2 = 20 * ¿i = e_t + v' = 4* = ~e~ = dt dt y dx 2et 2e2t

Para t=0 *• m=1/2 y n=2

1Ecuación de la tangente: y1 = ^(x2) *■* Li:x+2y4=0

Ecuación de la normal: y1 = 2(x2) *-+ L2:2xy3=0

| K | x=Sent :, y=Cos2t. , para Jt=ir/6

S o l u c i ó n . S i t = i r / 6 •> x = S en (ir /6 ) = 1 / 2 , y = C o s ( n / 3 ) = 1 / 2

y

d | ( 1 ) x = M . , y = 3a!2. 21+t2 1 + t2

l ii/ación. Para t=2, el punto do tangencia es T( a , ^a)

f(t) = 4f = 3a Á'l^ 2)(1)fc(2t) = 3a.( lt2)

(1+t2)2 (1+t2 )2

K .(t) = 4f = ^ (1+ i2) (2t)t2(2t) _ 6at

(1+t2)2 (1+t2)2

+ y 1 = = 6at _ 2t

f( t) 3a(1t2) ~ 1t2

l,n"go, para t=2 obtenemos: m = 4/3 + n=3/4

nación de la tangente: y i|a = j(x | a) — L,:4x+3y12a=0

■■ nación de la normal: y 2|a = |(x |a) ~ L2: 3x4y+30a=0

1 > x=t (tCost2Sent) , y=t(tSent + 2Cost) para t=7r/ 4

Solución. Para t=ir/¿, las coordenadas del punto de tangen

cia son: x = /Z(tt8) e y = /2(n + 8)


= t(tSent+Cost2Cost) + tCost 2Sent = (2+t2)Sent

= t(tCo st+Sent2Sent) + tSent + 2Cost) = (2+t2)Costa t

_ , . (2+t2)Cost _ r + +Entonces: y' --------------- Cotgt

(2+t2)Sent

Luego, para tir/4 se tiene: ra=1 + n=1

Ecuación de la tangente: y (tt + 8) = l[x ^/2(ir8)]

de donde, Li: l6x+l6yir2/5=0

Ecuación de la normal: y + = 1 [x

de donde: L2 :2x2y+ir/5=0

(3) x=Sent , y=a^ , para t=0.

Solución. . Para t=0, el punto de tangencia es: T(0,1)

rtv dv t, • a lnadf = Cost • dt = a lna y = “ cóat

Luego, para t=0 se tiene: m = lna + n = 1/lna

Ecuación de la tangente: y1 = lna(xO) ■*■+ Li :xlnay+1=0

i derivada como velocidad de variación 417

»11 ■■ ión. En efecto, sea P(xo.yo) el punto de tangencia.= 3aSen2tCost , ^ = 3aCos2tSent

, 3aCos2tSent „ . .---------- _ = Cotgt3aSen2tCo st

| I . le la tangente:

| ,. ;,y0 = Cotgt(xxo)

f i |mrtenece a la curva,

* .....n 3t , y o =aCo s 3t

lu«| <>, , aCos3t = Cotgt(xaSen3t)

i n ■li>, Li :xCotgt+yaCost = 0

* .11 ■ .1(0,Lx) = A ^ M L/Co tg t + 1

* 'iSen2t ■<-*■ 4-OT2 = a2Sen22t

i ni. .n de la normal: yyo = Tant(xxo)

* y t = Tant(xaSen3t) xTant y + aCos3t a(~i^ i) = 0CO S"t

xTanty+aSect (Co s2tSen2t) =0

xTanty + aSect(Cos tSen t)(1) = 0

Ecuación de la normal: y1 = Tna^x<^ L2 :x+ylnalna=0

Mostrar que en dos puntos de la cardiode:

x=a(2CostCos2t) , y=a(2SentSen2t)

los cuales corresponden a los valores del parametro t que2

se diferencian en tt , las tangentes son paralelas*

De.moAtn.ación. En efecto, en el ejercicio 958 hallamos:

y* = m = Tan(^t)

Suponiendo que: t l=n/6 > m 1=Tan(n/4) = 1

y para t2 = + j* = |tt + m2 = Tan(|Tr) = Tan(n + |) = Tan| = 1

.*. ii = m2 +~* L11 IL2

Demostrar que si las líneas OT y ON son las perpendiculare

bajadas desde el origen de coordenadas hasta la tangente yla normal a la astroide. x=aSen3t , y=áCos3t , en cualquiera de

sus puntos, se tiene:

4.ÓT2 + ÓÑ2 = a2

968

967

L2 :xTanty+aSectCos2t=0

* d(0, L2) = I aSect£o£2t [ = aCos2t + qÑ2 = a2Cos22t/Tan2t+1

I. r Umto: ¿OT2 + 0N 2 = a2 (Sen22t+Co s22t) = a2

m i Hallar la longitud de la perpendicular bajada desde el ori

gen de coordenadas hasta la tangente a la línea:

2x = a(3Cost+Cos3t) , 2y = a(3Sent+Sen3t)

Mmitrar que: ¿p 2=3p2 + 4.a2, donde p es el radio polar del punto da

do y p es la longitud de dicha perpendicular.

\a f.uciin. Sea P(xo,yo) el punto de tangencia.

2x=a(3Cost + 4Cos 3t3Cost) *•' x=2aCos3t

2y=a(3Sent + 3Sent4.Sen 3t) y=a(3Sent2Sen 3t)

^ = 6aCos2tSent = 3aSen2tSent

^ = a(3Cost6Sen2tCost) = 3aCost(12Sen2t) = 3aCostCos2t

>• ■ -- j & a b ü • -


Ecuación de la tangente: yyo = Cotg2t(xxo)L: xCotg2t+yXoCotg2tyo= O

Pero P(xo,yo) pertenece a la curva dada, entonces:

xo=2aCos,t , y0=a(3Sent2Sen3t)

L: xCotg2t + y 2aCos3tCotg2t a(3Sent2Sen3t) = 0

.x I2aCos 3tCote2t + a(3Sent3Senst) L

pí(°L) * P --------- /Cotg23t * 1

+ p = Sen2t[2aCos3t(|f ^) + a( 3Sent2Sen3t)]

= 2aCos3tCos2t + 3aSentSen2t 2aSen3tSen2t

= 2aCos3t(2Cos2t1) + 6aSen2tCost 4aSenl*tCost

= 4aCo35t 2aCos3t + 6aSen2tCost 4aSen*tCost

= 4aCo st(Co s'tSen"t) 2aC os3t + 6a(1Cos2t)Cost

= 4aCost(Cos2tSen2t) 2aCos3t + 6aCost 6aCos3t

= 4aCost(Cos2tSen2t) 8aCos3t + 6aCost

= 4aCost(Co s2tSen2t2Cos2t) + 6aSent

= 4aCost(Sen2t+Cos2t) + 6aCost

p = 2aCost

Demostraremos ahora que: 4p2 = 3p2+4a2

¿p i cion ■): La derivada co mo ve locid ad de variación 419

I la regla de la cadena: = Cos0(f£) pSen0

fe = Sen (fg) + pCose

(1)

(2 )

P' 1 “ la medida en radianes de la inclinación de la recta tangen

i I , ontonces:

Tana = = S^ j ) * P0°<*

x Cos0(^ ) pSen0

!|iI vIdiendo cada término del numerador y denominador del segundo

mlnmbro entre Cos0 se tiene:

T,n. - 41 -

dfi PTanS (3)

q p p

En efecto, si p es el radio polar de P(x0,yo) + P 2 = xj + yj¡

+ p 2 = 4 2(3Cost+Cos3t)2 + 72(3Sent+Sen3t)24 *+

+ 4p2 = a2(9Cos2t+6CostCos3t+Cos23t) + a2(9Sen2t+6SentSen3t+Sen231= a2 [9(Sen2t+Cos2t) + (Cos23t+Sen23t) + 6(Cos3tCost+Sen3tSent)]

= a2 T9 + 1 + 6Cos(3tt)] = 2a2 (5 + 3Cos2t)

= 2a2 13 + 3(2Cos2t1)] = 2a2(6Cos2t + 2)

= 12a2Cos2t + 4.a2 = 3(2aCost)2 + 4a2

4p2 = 3p2 + 4a2

4.3 VELOCIDAD DE LA VARIACIÓN DEL RADIO POLAR

P e n d i e n t e d e u n a r e c t a t a n g e n t e a u n a c u r v a p o -

1 a r .Sea p=f(e) una ecuación polar de la curva: x=pCos8 , y=pSen0

donde x e y son consideradas como funciones de 6 toda vez que

p = f(e)

i'i fórmula (3) es generalmente complicada de aplicar. Ona fórmu

Ii más simple se obtiene al considerar el ángulo entre el radio

i."lar 0P y la recta tangente t. Este ángulo tendrá como medida <¡>

y ;ie mide desde la recta 0P, en sentido antihorario, a la tangen

i' . de modo que: 0 <J> < tt

Kklaten dos casos posibles:

Kn la figura 1: a>0 y 4> = a-Q

I'11 la figura 2: a<0 y $ =.ir(ea)

Mi cada caso: Tan<t> = Tan(a0) = ^ana ~ ?an9

1 + Tana.Tan0■i::tituyendo (3) en (4) obtenemos: Tan* = — =£—

0£d0

(4)

(5)


PROBLEM AS RESUELTOS

Dada la circunferencia p=2rSen0, hallar el ángulo <t> forma-

do por el radio polar y la tangente, y el ángulo a que for

man entre sí el eje polar y la tangente.

= 2rCos0Solución, Si p=2rSen9

Tan't’ = lido

m , 2rSen9 m ._.nTan<tl = "2rCo’¥0 Tane

Dado que: 4> = ot—0 a. = <}>+8 **■ a=2it>

i>=0

Demostrar que para la parábola p=aSec2 (0/2) la suma de losángulos formados por la tangente con el radio polar y el e

je polar es igual a dos ángulos rectos. Valiéndose de esta propie

dad construir la tangente a la parábola.

dcmoit/iación. Vamos a demostrar que: + a = 2(n/2) = tt

En efecto, si p=aSec2 (j)

■*■§§ 2 S (|) S (|) T (|) (|) S (|) T (|)

i ion 4: La derivada como velocidad de variación 421

■»>1 Dada la línea p=aSen3(0/3) (Concoide), mostrar que a=4.ij>(las designaciones son las que se dan en el ejercicio 970)

IUmn¿i/iación. En efecto, f^ = 3aSen2(0/3)Cos(8/3)(1/3)

= aSen2(0/3)Cos(0/3)

Mni;ún la fórmula (5): Tan<!> = --- aSen (0/3)------ _ Tan(|)a£

83

mio: <t> =a- 8 •>• t¡> = a3<!> a = 4<t>

aSen2(0/3).Cos(0/3)

Mostrar que las parábolas: p=aSecz(0/2) y p=bCsc 2(0/2) se

cortan formando un ángulo recto..

!.‘urina ción. En efecto, intersectando ambas curvas se tiene:

r§\ ^ o.i_/0 \ _ I a ■aSec2 ( ) = bCsc 2 (tj) +* Cotg^) y b

:i p = aSec2(|) + fe = 2aSec(|) ,Sec(|) .Tan(|). (|)

= aSec2(^) .Tan(|)

bC 2(|) >■ 2 C (|) C (|) C t (|) (1)

■*■§§ = 2aSec(|).Sec(|).Tan(|). (|) = aSec2 (|) .Tan(|)

Según la fórmula (5): TaniJ) = — &^ t ? 0 — g~ = Cotg( j)aSecM^.Taníg)

Entonces: Tan<í> = Tan( jj)

Por otro lado, se sabe que: t|) = a0 ■* 9 = a<¡>

Por tanto, de (1) y (2) se sigue que: a4> =

(1 )

(2)

«*• <J>+a = tt

En la figura adjunta se tiene:

a + m(^OTP) = tt, (suplementarios)

Pero: a+<& = ti •+■ m(^OTP) = <)>

Como la m(40PT)=4> (opuestos por el vert.)

entonces el AOPT es isósceles, por tanto,

haciendo centro en el polo 0 y con radio

igual al radio polar del punto P, traza-

mos un arco hasta interceptar al eje po-lar en el punto T. Uniendo P y T tendre-

mos construida la tangente.

\ y' l /

y /

Í v t - n/e \ \ A

o'f / T

p = bCsc2(|) >■ = 2aCsc(|).Csc(|).Cotg(|). (1)

= aCsc2 (|) .Cotg(|)

luciendo uso de la fórmula (5 ) tenemos:

.. . aSec2 (0/2) „ .,0,_,n 0N , ir 0I un<|)i = ---- ------ -------- = Co tg(■*) = Tanfe 3 ) + <J>1 = ~ f

aSec2 (0/2)Tan(0/2) 2 2 2 2 2

1‘nro: «ti = a1- 0 di - 0 = ■§ “1= + §

I.ucgo, Tana 1 = Tan(^ + |) = Cotg(|) = ^ + m = -

T'in<¡>2 = ----- a2L?.Ü .g/.2J----- = Tan(|) = TanU f)aCsc2 (0/2)Cotg(0/2) ¿ ¿

0 0Kntonces: <t>2 = ir - *-* a2-0 = 17 - 2 a 2 = n + ~

negó: Tana2 = Tan(n + §) = Tan(|) = + 1112 = ^

mi . m2 ( =

1n consecuencia, las parábolas se cortan perpendicularmente.


tiVIl Hallar el valor de la tangente del ángulo formado entre eleje polar y la tangente a la línea p=aSec 2 6 en los puntos

en que p=2a.

Solución. Sip=2a + 2a = aSec20 + Sec20= ±/2

*-*■ 0i = ir/¿ ó 02 =

Por la fórmula (5): Tan<t> = ----aSee_9------ _ _cotg02aSec0.Sec0.Tan0

1 3 1Para: 0 1 = Tamt i = * para 02 = * Tan4>2 =

... _ Tan+Tan0Dado que: a = +0 Tana = 1_TanlJ).Tan¿

.*. Tana i = ■ 1./.?— -- = 3 ; Tana2 = — ~1/2 = 31(1/2)(1) 1(1/2)(1)

gyni Hallar la tangente del ángulo formado entre el eje polar y

la línea tangente en el origen de coordenadas: (1 ) a la li

nea p=Sen50, (2) a la línea p=Sen39 .

Solución. (1) Para p=0 '+ Sen30=O ■**• 0 = 0

Tan<t ■= -- Se — ---- =ÍTan03S 0 C 0 J

i mu 4: La derivada como velocidad de variación 423

l’r la fórmula (5): Tandi =a(OCos0) Sen0

Tanií)2 = a(1Cos0) _ 1Cos0

a(0+Sen6) Sen0

I1 ma 0i=u/2 *■ ‘ Tan<t>i = = 1 <*• <¡>i = ti

+ Tarntj = y— = 1 ■*>■ <t>2 = '7• *+

I a=it>+0 + ai = jtt + = ■|if ; a2 = ^ j

l.uego: mi = Tanai = Tan(|/T) = Tan(?i + = Tan(ir/4.) = 1

m2 = Tana2 = Tan(|7i) = Taníir = Tan(Tt/¿) = 1

Kntonces: mi.m2 = - 1 i por tanto, ambas cardiodes se cortan en án

iulo recto en el punto 0 i=7t/2.

Análogamente se demuestra para 02=tt/2. '

I La ecuación de la línea en las coordenadas polares es dada

en forma paramétrica: p=fi(t), 0=f2 (t). Expresar la tangen

U) del ángulo 4> entre la línea tangente y el radio polar. como

3Sen20.Cos0 J

Si 0=0 + Taní> = 1/3(0) = 0 <► $=0

Como a=^>+0 * a=0 Tana = 0

(2) Sip=0 + Sen30 =0 —*• 30 = 0 > 0=0+*■ 3 6 = TT + 0 = 7 l /3

-*-> 3 0 = 2 tt -*■ 0 = 2 7 t/ 3

* Sen36 _Tan '3Cos30 3Tan30

Siendo Sen38=0 *■ Tan36=0 , o sea Tan=0 ■*-*■ 4>=0

Luego, si ot=<t>+0 *► a=0

Tanai=0 ; Tana 2=Tan(u/3)=/'3 ; Tana 3=Tan ( 2tt/3) = /?

fTT^I Mostrar que dos cardiodes p=a(1+Cos0) y p=a(1Cos0) se cor

tan formando un ángulo recto.

De.mo.ii/iac-ión. En efecto, interceptando ambas curvas se tiene:a(1+Cos6) = a(1Cos0)

de donde: Cos0=O ■*-+ 0 i=tt/2 ó 02=tt/2

función de t.

solución. Según la fórmula (5): Tan<¡> = (1 )

d0

Por la regla de la cadena: |§ = (|£) (|f) = ) = tTTT

dt f2tW

.ustituyendo en (1) obtenemos: Tan<t> = £.2.1.!' f{(t)

Una línea viene dada mediante las ecuaciones p = at 3 y 0=bt2.

Hallar el ángulo entre el radio polar y la tangente.

solución. fj(t) = = 3at2 ; f>(t) = || = 2bt : f i (t) =at3

Aplicando la fórmula obtenida en el ejercicio anterior

:;e tiene: Tan* = (ati)(2bt) = 2fet2

3at‘.2 3

= arcTan ( bt2) = arcTan(^0)

979 Dada la elipse x=aCost , y=bSent expresar el radio polar p


y e l á n g u l o p o l a r 0 c o mo f u n c i ó n d e l p a r á m e t r o t . V a l i é n d o s e d e

l a f or m a a s í o b t e n i d a p a r a d a r ,1 a e l i p s e , c a l c u l a r e l á n gu l o f o r

mado e n t r e l a t a n g e n t e y e l r a d i o p o l a r .

Solución. p = >/ x í +yz = /a 2 Cos2t + b 2S e n 2 t

* -

Tan0 = i = fe—r = Tant + 6 = arcTan(^Tant)x aOost a a

dp _ 2a2CostSent+2b2SentCost: _ (b2a2 )Sen2t

d6

2v/ a 2C o s 2 t + b 2S e n 2 t

1

2 / a 2C o s 2 t + b 2S e n 2 t

(¿Tant)'(b/a)Sec2t _ ab

1+(^Tant)2 a 1+(b/a)2Tan2t a2Cos2t+b2Sen2t

Haciendo uso de la fórmula obtenida én el ejercicio 977 se tiene

( /a2Cos2t+b2Sen2tTan*

f b2a2)Sen2t

2/a2Gos2t+b2Sen2t

<J> = arcTan

____ ab________

a 2Co 8 2t + b 2S e n 2t (

2ab

2 ab

( b 2 - a 2 ) S e n 2 t

|_(b2a2 )Sen2tJ

*ama ‘iu.itange.níe. polar a la proyección del

Sección 4: La derivada como velocidad de variación 425

¡j Mostrar que la longitud de la subtangente polar de la espi

ral hiperbólica p=a/0 es constante.

Demostración. En efecto,

“ st ' | * st ' | i ^ | ' i - l ' ■

Mostrar que la longitud de la subnormal polar de la espi-

ral de Arquímides p=a6 es constante.

Demostración. En efecto,

si Sn = fe Sn = fé(ae) = “

Hallar la longitud de la subtangente polar de la espiral

logarítmica p=a®

Solución. 4q = a9lna = pina *■ S. = = —2— = £— de K t d£> pina Ina

d6

K ü J Hallar la longitud de la subnormal polar a la espiral loga* —

f i 0rítmica p=a

segmento de la tangente desde el punto de con-

tacto hasta su intersección con la perpendicular levantada al ra

’ dio polar en el polo, sobre dicha perpendicular. De igual forma

se define la subnormal potan. Tomando esto en consideración re-solver los problemas de los ejercicios 98098jÍ.

Deducir la fórmula para la subtangente polar y la subnor-

mal polar de la línea p=f(e).

Solución. Según la definición 3.11

OT = subtangente (S^.)

ON = subnormal (S )

En el ATOP: OT = pTan<t>2

Por la fórmula (5): =

En el ANOP : ON = pTanui

PCote* = tïïïï

dïï dïï

pTan(^ 4>)

S = âe.n de

So lución. S = *• S = a®lna = pinan ao n

4.4 VELOCIDAD DE LA VARIACIÓN DE LA LONGITUD

C 3 B E & B La diferencial de la longitud del arco s de una

curva plana, dada su ecuación en coordenadas car

tesianas x e y, se expresa por la fórmula:

ds = J( dx)2 + (dy)2 (I)

Si la ecuación de la curva tiene la forma:

a) y = f(x) + ds = ^1 + (g ) 2dx , para dx>0

b) x = g(y) + ds =^/l + ( 0 ) 2dy , para dy>0

c) x=f(t), y=g(t) + ds = J(^L)2+ (^.)2dt , para dt>0

(2 )

( 3)


I 2y F |2 + F li 7 + F 1 ■d) F(x,y)=0 »• ds = — - Idx ¡ — — L I dy | (5)¡F| |F'|

e) En coordenadas polares:

ds = / (d 6) 2 + (p d0 )2 = / p 2 + (^§>2de (6)

Si 4) es el ángulo formado por el radio polar de un punto de la

curva y. la tangente a la curva en este misno punto, tenemos:

g , Sen « = p(* f) (7)Cosí) =

Si a es el ángulo que forma la dirección positiva de latangente

(es decir, dirigido en el sentido del crecimiento del arco de la

curva) con la dirección positiva del eje OX, tendremos:

5ena = ^ , Cosa = (8)

PROBLEMAS RESUELTOS


sí di = j r T l M y * 4a = A + ¿"y 2 =y * dy dy / bx2 b2 |x |

La parábola y 2 =2px, hallar ds.

Solución. Derivando implícitamente se tiene:

2yy1 = 2p •> y' = p/y

Entonces: ds = /i + (ff)2dx = /i + (p/y)2dx = j^ HÉ Jd x

i y I

I Ü J La parábola semicúbica: y2=ax 3 , hallar .

Solución. 2yy

1 =

3ax

2 g = 3

| £ 2 ff =

3 ^ 2

ÜÜL - f T J Ü 9a2x‘* * 9axy2

= /i +dsdy Y 9ax

La sinusoide y=Senx , hallar ds.

Solución. = Cosx ds = / 1 + y|2dx = Á + Cos2x dx



En los ejercicios 985999, s designa la longitud del arco

de la línea correspondiente.

d sLa recta y=ax+b , hallar

Solución, = a * según fórmula (2): =/l+a2

La circunferencia x2+y2=r2, hallar .

Solución. Por derivación implícita se tiene:

2x + 2yy 1 = 0 *

.. 4 f ■ f T W ? ■ / 7 7 ^Entonces:

dy _ xdx ~ " y

7

y

ds

+y _ _r_

yl

La elipse b x +a y a b , hallar ^Solución. Por derivación implícita se tiene:

dy _ b2 /X\

/ y

x , xLa catenaria y = ---^2— (y=Coshx) , hallar

Solución. y' = ^(ex e”x )

= /l + y - 2 = /i + l(exe- x ) 2 = i/ ^( exe- x ) 2

= \ 'j(ex+e” x ) 2 = l(ex+ex ) = y

La circunferencia: x=rCost , y=rSent : hallar 4| .

Solución. 42 = rSent , = rCost

* Ü = /c|f ) 2 + ( ^ ) 2 = V r 2Sen2t + r2Cos2t = r

La cicloide: x=a(tSent) , y=a(1Cost) , hallar

So¿uc¿&n.= a(lCost) , —^ = aSent

dsdt

d s _ / ( ¿ X ) 2+ ( d i )2 - / a 2 ( 1 - C o s t ) 2+ a 2S e n 2 t = a / 2 - 2 C o s tdt Y dt dt

/ 2 { 1 - C o s t ) = a /iS e n 2 ( t / 2 ) = 2 a S e n ( | )

428 ___________________________________________ Capítulo 3: Derivadas

= a

L a a s t r o i d e : x = a C o s 3t , y = a S e n 3 t , h a l l a r d s .1

So¿uc¿6n. = - 3 a C o s 2 t S e n t , | | = 3 a S e n 2t C o s t

d s = ^ ( á | ) 2 + ( ¿ X ) 2 = / 9 a 2C o s ‘‘ t S e n 2t + 9 a 2S e n ‘, t C o s 2 t

= / 9 a 2 S e n 2t C o s 2 t ( C o s 2t + S e n 2t ) d t

= 3 a S e n t C o s t d t

L a e s p i r a l d e A r q u í m i d e s : x = a t S e n t , y = a t C o s t , h a l l a r d s .

Solución. = a ( t C o s t + S e n t ) ,~ | | = a ( - t S e n t + C o s t )

ds = Se.2( tC o s t + S e n t ) 2 + a 2 ( C o s t - t S e n t ) 2 d t

= a / t 2 ( C o s2t + S e n 2 t ) + 1 d t = a / l + t 2 d t

L a c a r d io d e : x = a ( 2 C o s t- C o s 2 t) » y = a ( 2 S e n t - S e n 2 t ) , h a l l a r d s


|| = a(Sent + ^ ) = a(S||Í) = aCostCotgt

|| = aCost + (||)2+(||)2 = a2Cos2t(Cotg2t + 1)

= a2Cos2t(Csc2t) = a2Cotg2t

ds = /(||)2 + (|f)2 dt = aCotgt.dt

La evolvente de la circunferencia:

x=a(Cost+tSent) , y=a(SenttC.ost) . hallar ||

dxSolución. ^ = a(Sent + tCost + Sent) = atCost

|| = a(Cost + tSent Cost) = atSent

■* + ^|t^2 = a2t2(Sen2t + Cos2t) = a2t2

* ¿2 = at• • dt

La hipérbola: x=aCosht , y=aSenht ; hallar ds.

Solución. || = aSenht , || = aCosht



Solución. | | = a ( - 2 S e n t + 2 S e n 2 t ) , | | = a ( 2 C o s t - 2 C o s 2 t )

* ( | S ) 2 = ¿ a 2 ( S e n 2t - 2 S e n t S e n 2 t + S e n 2 2 t )

a t= ¿ a 2 ( C o s2t - 2 C o s t C o s 2 t + C o s 2 2 t )

U"t>

( | | ) 2 + ( | | ) 2 = ¿ a 2 [ 1 - 2 ( S e n 2 t S e n t + C o s 2 t C o s t ) + 1 ]

= 4 a 2 [ 2 - 2 C o s ( 2 t - t ) ] = 8 a2 ( 1 - C o s t )

= 8 a 2 ( 2 S e n 2 | ) = l 6 a 2Sen2-g

ds = 4 .aSen(^)dt

La t r a c t r i z : x = a ( C o s t + l n T a n | ) , y = a S e n t j h a l l a r d s .

Solución. 4 r = a f - S e n t + ------ --------( S e c 2 ¿ ) ( ^ ) " |d t l T a n ( t / 2 ) ¿ ¿

= a f - S e n t + ------------------------------------- ----------~|2Sen(t/2).Cos(t/2)J

+ (|f)2+(||)2 = a2(Senh2t + Cosh2t) = a2Cosh2t

• • ds= / (H) 2+ (||) 2 dt = a /Co sh2t dt

4.5 VELOCIDAD DEL MOVIMIENTO

UÜÜJ Una escalera, que mide 10m de longitud, tiene apoyado su

extremo superior contra una pared vertical. Su extremo in-

ferior se halla apoyado en el suelo y se desliza apartándose de

la pared a 2 m/mln. A qué velocidad va descendiendo el extremo

■ uperiorde la escalera cuando el inferior dista 6m de la pared?

Cuál es la dirección del vector de la velocidad?

Solución. Sean A y B las posiciones de la parte inferior y superior de la escalera, respectivamente, en un determina

lo momento. En cualquier posicion de A y B se debe verificar:

x2 + y2 = 100 (Pitágoras)


Derivando respecto del tiempo se tiene:

■ o ■ °'dt' dt

Cuando x=6

''dt'

y = /10036 = 8

Dado que: vx = ^ = 2 m/min

Entonces :

o sea: v

6(2) + 8( &) = 0 = Idt

= 1.5 m/min

El vector de velocidad está dirigido verticalmente hacia abajo.

TI Un tren y un globo aerostático parten de un mismo punto

simultáneamente. El tren se traslada a unavelocidad uni-forma de 50 km/h. El globo sube (tambiénunifórmente) a 10km/h.

A qué velocidad se aparta el uno del otro? Cuál es la dirección

del vector de velocidad?

50 ¿ución. En una hora, el tren recorre

una distancia PT = 50 km, y el

globo sube la altura PG=10 km.

51 z es la distancia entre el tren y el

ni 4. La derivada c omo veloc idad de variación 431

2

1.7

2 - x - y

3 ~ 1.71. donde: 1.3x = 3y + 1.3(|^)=3('^)

34

dxdt U. 63 km/h

3(6. 34)

la velocidad co que se traslada la som

■11 que proyecta la cabeza del hombre.

¡J1 La figura 26 muestra, de manera esquemática, el mecanismo

de manivela de una máquina a vapor: A es la cruceta, BB 1

"ti las correderas de la cruceta, AP es la biela, P es el gorrión

i manivela, Q es el volante. El volante, de radio R, gira unifor

«mínente con velocidad angular oj. La longitud de la biela es igual

m d. Cuál es la velocidad que tiene la cruceta al desplazarse, en

I momento en que el volante ha girado un ángulo a.

globo en t horas, entonces:

z2=(50t)2+(10t)2=2600t2 ■+ z=10/2St

i =Luego, se apartan uno del otro a una ve

locidad de: v = 10/2E = 51 km/h

El vector de velocidad sigue la dirección de la hipotenusa del

triángulo rectángulo uno de cuyos catetos es horizontal e igual

a 50 km, y el otro es vertical e igual a 10 km.

Un hombre de 1.7m de estatura se aleja, a 6.34 km/h, de

una fuente luminosa que se encuentra a 3m de altura. A q'

velocidad se traslada la sombra que proyecta su cabeza?

Solución, Sea y la distancia horizontal que separa al hombre de

la fuente luminosa, z la longitud de la sombra, x la

parte más alejada de la sombra.

Por semejanza de triángulos se tiene:

¿ución. Las figuras adjuntas muestran la posición inicial del

gorrión P y la posición final del gorrión cuando el

volante ha girado un ángulo a.

y en la posición final: = a + AD + DO

= a + /í,2PD2 + RCosa

= a + R Sen a + RCosa


Dado que: x = x„ xf x = ¡L + R A 2R2Sen 2oc RCosa

Derivando respecto del tiempo* con i y R constantes, se tiene.

, -2R 2Seno¡Co sa(4r) <3«U ■— p + RSena(ff) ; pero: ff = udt 2/j. 2R2Sen2a dt

.*. = Rufsena + — ^ = = = = " 1dt |_ 2A 2-R 2Sen2aJ

DERIVACIÓN SUCESIVA

Anteriormente habíamos señalado que dada una función derivable f,

su derivada es otra función f'(x) y que por lo tanto es suscepti

ble de volver a derivarse, esto es:

t e ' ( x ) ] = lim f1(x+Ax) f’(x)x Ax>0 Ax

si existe el límite.

Entonces a esta nueva función se le da el nombre de segunda de/ii

Sección 5: Derivación sucesiva 433

1006

■1007

1008

1009

FUNCIONES DADAS EN FORMA EXPLÍCITA

y =x 2 - 3 x + 2 , hallar y".

Solución. y' = 2x3+0 = 2x3 + y" = 2

y = 1x2xi* , hallar y"'

Solución. y 1 = 02X4X3 y" = 212x2

.*. y'" =-2íx

f(x) = (x+10)6 , hallar f"'(2)

Solución. f'(x) = 6(x+10)5 *■ f"(x) = 30(x+10)1*

f'"(x) = 120 (x+10) 3

.". f" 1 (2) = 120(2+10) 3 = 207,360*

f (x) = x 6 - 4 x 3 + 4 , hallar fiv(1)

Solución. f 1 (x) = 6x512x2 + f"(x) = 30xl*2¿x

+ f"’(x) = 1 2 0x 3—2 ¿ fiv (x) = 3 6 0x2 '

i

Entonces a esta nueva función se le da el nombre de segunda de/ii

vada de f, que se denota por:

y« , f..(x) , D2f(x)

dx2 XEn forma similar, la te./iae./ia de./L¿vada de f es:

fi?» (x) = lim f" (x+Ax) f"(x) f si existe el límite

Ax+0 Ax

la cuasita de/iivada de f es:

fiv (x ) = lim f' Cx +A x) f11' U ) > si existe el límite

Ax^0 Ax

y así sucesivamente, la derivada n-ísima de f es:

fn (x) = lim fn~1 (*+Ax)

Ax*0si existe el límite.

Ax

1010

1011

1012

fiv(1 ) = 3 60

y = (x2+1 )3 , hallar y"

Solución. y 1 = 3 (x 2+1)2 (x2 +1) 1 = 6x(x2+1)2

y" = 6 [2x(x2 +1)(2x) + (x2 + 1)2 (1)]

= 6[¿x2 (x2+1) + (x2 + 1)2;|

= 6(x2+ 1)(¿x2+x2+1) = 6( 5x‘*+6x2 + 1)

y = Cos2x , hallar y "1

Solución. y ’ = 2Cosx(Senx) = 2SenxGosx = Sen2x

y" = 2Co s2x ♦ y"1 = 4Sen2x

f(x) = e2x~ 1 , hallar f"(0).

Solución. f'(x) = e2x"1(20) = 2e2x“ 1

f"(x) = 2e2x1(20) = 4e2x"1 f»(0) = ¿/e


f(x) = arcTanx , hallar f"(1)

Solución. f'(x) = — 2— + f»(x) 2x1+x2 (1+x2)2

+ f"(1) = 2 12 2

(1+ 1):

f(x) = , hallar f'(x).

Solución. f(x) = (1x) - 1 + f'(x)=(1x)”2(1)=(1x) ” 2

f»(x) = - 2 { 1 - x ) ' j ( - 1 ) = 2 ( 1x)” 3

f'"(x) = 2x3(1x)‘"(1) = 2x3(1x)"*

fiv(x) = 2x3x4(1x)_s(1) = 2x3x4(1x) ' 5

fv (x) = 2x3x^x5 ( 1x)”6(- 1 ) = 2x3x^x5(lx )t

fV (x) = 5!

(1x)(

x 3lnx , hallar yiv

Solución. y 1 = x 3(^) + lnx(3x2) = x2(1+3lnx)

y" = x2(0 + ^) + (1+3lnx)(2x) = x(5+6lnx)

Si'<rión 5: Derivación sucesiva 435

y = * h a l l a r y ( n ) -Solución, y 1 = (1+x)(1)(1x)(1) = »2(1) (1+x)**2

(1+x)2

• *• y" = 2(1) (2) (1+x)~ 3 = 2(1X2) (1+x)**3

yin = 2( 1x2x3) (1+x)""lf

= 2(1)n(n !)d +x) '(n+1) = SÍrll^nL(1+x)n+1

En los ejercicios 10191028, hallar las segundas derivadas

de las funciones.

] y = xex

Solución. y' = x(ex .2x) + ex (1) =ex (2x2+1)

y" = ex (¿x+0) + (2x2 + 1)ex (2x)

= ex (4X+4x3 + 2x ) = 2x{2x2 + 3)ex

»

y = x2(0 + ) + (1+3lnx)(2x) = x(5+6lnx)

y'" = x(O + f ) + (5+6lnx)(1) = 11+6lnx

yiv = ^J X

f(x) = , hallar f"(x).x

Solución. f(x) = ax“n *■ f'(x) = nax*"n_1

+ f" (x) = n(n+1 )axn**2 =

j l|p = aSen20 , hallar —

de*, 2 ,

Solución. 4# = 2aCos26 + ¿2 = 2a(2Sen2e) = ¿aSen20dH d02

+ — - = 4a(2Cos20) = 8aCos20d03

plv = 8a(2Sen20) = l6aSen26

Solución. y = (1+x2)** *■ y' = 1 (1 +x3) **2 (3x2)

*■ y" = 3[x2(2)(1+x3)‘3(3x2) + (1+x3)”2(2x)j

= S f óx Vl +x 3)'3 + 2x (1 + x3)" 2j

= 3(2x)(1+x3)"3[3x3+(1+x3)] = 6x (2x 3-1)(1+x3)2

| y = (1+x2)arcTanx

Solución. y' = (1 + x2)(-- — ) + arcTanx(2x) = 1+2xarcTanx1 + x2

y" = 2fx(— — ) + arcTanx"]= — ■+2arcTanxL 1+x2 J 1+x2

y = /a2x2

Solución. y 1 = -,2 x■ ■ = x(a2x2 )” J/2

2 y ¡ ^ 7 2y" = {x[x(a2x2)~3/2J + (a2~x2)1/2}

= { ( a2x2 ) 3/2 [x2 + (a2x2 )] } = a2 (a2x2 ) ~ 3/ 2


y = ln(x + /1+x2)

So¿ución. y' = — 1 = ( 1 + - & = ) = — ^ ± 2 ^ = x+/l+x2 2/1+x2 /1+ x 2(x +/1+x 2)

y 1 = (1+x2)"1/2

* y" = i(1+x2)*3/2 (2x)2 /( 1+x2 ) 3

1y- =

a + /x

So ¿ación. y=(a+/x) _1 y 1 =(a+/x) ~ 2 (— — ) =\ 1.— — 2/x 2 /x

^ /3?[2(a+'/;)~3(1/2/i)] (a+/^)~2 (1/2/5E)j

i f (a+/x) ~ 3[2/x + (a+/x)]1

" 2 l 2x /J J

a+ 3/x

¿x/x(a+/x)3/?

y = e • /i?

Sotución. y' = e^(— !— ) = ¿(--)2/x /x

* 1 ✓J(e/ *) (1/2/5) e/3r(l/2/3í) _ e ^ / x Uy •2 -.... ..... ~ — —:---

c<ión 5: Derivación sucesiva 437

y = arcSen(aSenx)

So tac ión. y 1 = = ---(af!nsy) = aCo sx (1 a 2Sen2x) " x 2/la2Sen2x

y" = aCosx£ j(1a2Sen2x)” 3/ 2(2a2SenxCosx)J +

+ (1a2Sen2x)"l//2(aSenx)

= a( 1a2Sen2x) ~ 3/ 2 [ a2Sen2xCosx Senx( 1a2Sen2x)]

= a(1a2Sen 2x )"3/ 2 £a2SenxCos2x Senx + a 2Sen3x]

= a(1a2Sen 2x)" 3/2 [a2Senx(1Sen2x) Senx + a2Sen3x]

a(a21)Senxde donde: y" = — ' ■■— / (1a2Sen2x ) 3

y = xx

So ¿ación. Aplicando logaritmos neperianos se tiene:

lny = xlnx + ^ = x(l) + lnx ■* y'=y(1+lnx)y x

+ y" = y ( 0 + ^) + (1 +lnx)y 1 = I (1 +lnx)y (1 Hnx)

* + y (1+lnx) 2 = xx[ l + (1 +1 nx)2J

x 4 x/x

y = /lx2arcSenx

S o ¿ución. y' = /lx2(, ^ •■) + aroSenx(— ~S = = )1x2 2/T 2

= 1 (— 7=== )areSenx/ W 2

= ( ; x„ ..) (arcSenx) 1 arcSenx [x( 1x2)“ 1/JQ 1/1x2

= (===) (7==) arcSenxjx( ¿) (1x2)"3^2 (2x) +/Ñ3 C2 /1 X2 L 2

+ (1x2)_l/2(1)J

arcSenx[x2(1x2)”3/2 + (1x2)"1/2]1x2

x

1x2 (1x2)3/2 [x2+ 0 x 2)]arcS enx

x _ arcSenx _ _ x/lx2 + arcSenx

1X* ( 1 —X 2 ) 3 / 2 /(1X2)3

En los ejercicios 10291040 hallar las expresiones comu-

nes para las derivadas de nésimo orden de las funciones.

axy = e

So ¿ución. y 1 =i ea x(a) = aeax + y" = aeax(a) = a2eax

y"' = a2eax(a) = a 3eax

.’. y (n) = aneax

xy = e

So ¿uc ión. y' = e X + y "= ( )e X = e X

ii1 »x . (n) / ,\n xy — — e + y = (1 ) e

y = Senax + Cosfcx

S o ¿ución. y' = aCosax bSenbx(1)

Antes de proseguir con la segunda derivada re

cordemos que:


Sen(A + = CosA y Cos(A + ^) = SenA

Según estas identidades: y ’ = aSen{ax + tj) + bCos(bx +

Derivando (1): y" = a2Senax b2Cosbx (2)

Según Xas identidades: Sen(A+7r) = SenA y Co s (A+tt) = CosA

podemos escribir: y" = a2Sen[ax+2(^)J + b2Cosfbx+2{^)]

Derivando (2): y"' = a ’Cosax + b’Senbx

Según las identidades: Sen(A +Jtt) = CosA , Cos(A +ir)=SenA

se tiene: y"' = a3Sen[ax+3(^)] + b3Cosfbx+3(^)J

Analizando las derivadas y* , y" , y"1 , se deduce que:

y(n) = anSen[ax+n(^)] + bnCo s [ax+n (^)J

m j j y = Sen2x

Solución, y 1 = 2SenxCosx = Sen2x = 2°Senx

y" = 2Cos2x = 2lSen(x +

y'" = 2(Sen2x)(2) = 22Sen2x = 22Sen[2x+2(|)J

7

Vc( ción 5: Derivación sucesiva _______ 439

1035

1036

1037

y(n) = (l)n (n2) !x_(n‘1) = ~7 ’ * n>2

__1_^ ax+b

Solución, y = (ax+b)'1 y 1 = a(ax+b)“2

•+■ y" = +a2 ( 1x2) ( ax+b) ” 3

*■ y'" = a3(1x2x3) (ax+b)"“

y<n > = (1)nan(n!)(ax+b)(n+1^ =(ax+n)

y = ln(ax+b)

Solución, y' = — ■ = a(ax+b)_1

y" = a(ax+b)"2(a) = a2(ax+b)2

y"' = a2(2)(ax+b)"3(a) = +a3(1x2)(ax+b)3

ylv = a3(1x2) (3) ( ax+b) "11 ( a) = a" ( 1x2x3) ( ax+b) " *

y (») = (1)n1an (n1)!(ax+b)n =(ax+b)n

y = loga(x)

yiv = 22Cos2x(2) = 2aCos2x = 23Sen [2x+3(§)]

.*. y (n) = 2n_lSen[2x + (n1)|]

Solución. y' = xeX + eX = eX(x+1)

y» = ex(1+0) + (x+1)eX = ex(x+2)

y"' = ex (x+0) + (x+2)ex = ex(x+3)

/. yU) = ex(x+n)

y = xlnx

Solución, y' = x(i) + Inx = 1+lnx *• yn = J. _ 1x x

= - K x ) ’= 1.2(x)"»

En este caso, la función de la derivada nésima se obtie

ne a partir de la segunda derivada, esto es:

1038

y g

Solución. y * = 1^(1) * JLUi)

y" = - i f a (x '2) - y"' - +

y (n) = (l)n1(n1.)!,„n} = (1)n~1(n1) I

Ina xnlna

Solución, y = ----- 21— --- = — (|)(x+1)(x—1) x+1 x1

x = A(x1) + B(x+1)

= (A+B)x + B A

Identificando coeficientes: 1 = A+B , 0 = BA

de donde obtenemos: A = B = 1/2

Luego, .» (,): y . _ i _ , _ L _ . ' ( « „- 1 * . „ - 1


1039

+ y> = I(x+1)'2 |(x1)'2

+ y" = ^ ( 2 ) ( x + 1 ) ' 3 + ^ ( x - 1 ) ' 3

♦ y ' " = - ! ( 2 x 3 ) ( x + 1 ) ' 4 •- -1(2X3) ( x - 1 ) ' 4

. .. y ( n ) = ^ ( . 1 ) n ( n ! ) ( x + l ) - (n + l ) + Í ( - D n ( n ! ) ( x - i r ( n+ l)

- ( - 1 ) n ( n l ) r ___ i_____ + ____ 1____ 1

2 L( x+l)n+1 (x -1)n+l !

1y =

x23x+2

So ¿ación. y = ----- = —— + --

(x2)(x1) x2 x1

+ 1 = A(x1) + B(x2)

= (A+B)x A2B

Identificando coeficientes: A+B=0 , A2B=1

de donde obtenemos: A=1 , B=1

Luego, en (1): y = 7 ^ 2 “ ¿ í = (x2^ “

+ y' = (x2)'2 + <x1)2

Vi 'i <ión 5: Derivación sucesiva 441

Derivando (2): y'" = 4Sen4x(4) = 42Sen4x

Pero: Cos(A + |ir) = SenA + y"' = 42Cosfix+3(^)J

y(n>' = 4n 1Cos[4x + n(f)]

CIO Demostrar que la función y=(x21)n satisface la relación

(x21)y(n+2> + 2xy(n+1> n(n+1)y<n> = 0

' ifemostrar que la función y=exSenx satisface la relación

y"2y'+2y=0 , mientras que la función y=e"xSenx satisface

la relación yn+2yf+2y=0.

th\mo¿i.A.ac.¿6n. En efecto:

y=exSenx *• y' = exCosx + e'xSenx = ex (Senx+Cosx)

*• y" = ex(CosxSenx) + (Senx+Cosx)ex =ex (2Cosx)

y"2y1 +2y = 2exCosx 2exSenx 2exCosx + 2exSenx = 0

y=e‘xSenx *■ y 1 = e'xCosx e'xSenx = e'x (CosxSenx)

+ y" = e'x (SenxCosx) (CosxSenx)e'x

( ) 2 "

1040

+ y (x 2) 2 + <x 1) 2

+ y" = +2(x2)"3 2(x1)~3

► yiii = 2*3(x2) + 2x3(x1)"^

* y(») = (1)nn!(x2)(n+1) (1)nn!(x1)(n+1)

y<n > = (1)n<n! ) [ (x_2)n+1 ' (x.,)n+l]

y = Sen^x + Cos^x

Solución., y = Sen'x + Cos^x +2Sen2xCos2x 2Sen2xCos2x

= (Sen2x + Co s2x) 2 2(^SenxCo sx)2

= 1 |s en22x

+ y' = |(2)Sen2xCos2x(2) = Sen4x (1)

Como: Cos(A + §) = SenA + y' = CosUx + -j¡)

Derivando (1) se tiene: y" = 4Cos4x (2)

Según ia identidad: Cos(A+tt) =CosA + y" = 4Cos[4x+2( w

N

= e~x (SenxCo sxCo sx+Senx) = 2e"xCosx

•• y +2y +2y — 2e Cosx + 2e Cosx 2e xSenx + 2e xSenx = 0

0 2 3 Demostrar que la función y = satisface la relación

2y'2 = (y1)y".

i'ie.moAtA.ac.ión. En efecto: y' = 1 (x3) 1 _ 7(x+^)“2(x+4)2

♦ y" = U( x+4 )'3

l.uego: 2y'2 =2[7(x+4)'2] 2 = 98(x+4)‘ (1 )

(yDy" = (f^| D [ - U ( xH ) ' sJ

= ( ■^ )I 1 4( x+ 4) 3] = 98 (x+4)" 11 (2)

l'iir tanto, de (1) y (2) se deduce que: 2y'2 = (y1)ylr

U J J I Demostrar que la función y=/2xx2 satisface la relación

y3y" + 1 = 0 .


de.moAtn.ac.ión. En efecto, y' = ,2~2* r = (1x) (2xx2)“ 1/2

2/2xx2

* y.. = (1x)C ^(2xx2)"3^2 (22x)] + (2xx2)'l/2(1)

= (1x) [(1x)(2xx2)3/2] (2xx2)”*/2

= (2x -x 2)_3/2[-(1-x )2-(2x -x 2)] = (2xx2)“ 3/2

y 3y"+1 = /(2xx2) 3 ( ■. 1 ■■■■:•) + 1 = 1 + 1 = 0/(2xxz)3

Demostrar que la función y=e^x+2e x satisface la relación

y" 1 13y112y=0

De.moAtn.ación. En efecto: y 1 = 4e^X2e x

y" = l6eAx+2e'x + y"' = 64e4x2e'x

Luego: y'"13y'12y = (6 4e^x2ex)1 3(4eix2e_x)12(eAx+2e_x)

= e^x (644212) + e‘x(2+2624) = 0

Demostrar que la funcióny=e' x+e x satisface la relación

xy" + jy1 |y = 0

DemoAtn.ac ión. En efecto: y 1 = e ^ í — L) + e ---1— )2/x 2/7

Si i . ión 5: Derivación sucesiva 443 ..

y" = ex LSenex(ex)Cosex (ex)] + (CosexSenex )ex

=e2x(Senex+Cosex ) + ex (CosexSenex)

y"y’+ye2x = e2x (Senex+Cosex) + ex(CosexSenex)

ex(CosexSenex) + e2x (Cosex+Senex)

= 0

|U£jJ Demostrar que la función y=ASen(tút+w0 ) +BCos(íot+ü)0 )

(A, B, u y u 0 son constantes) satisface la relación:

y” + <o2y = 0

¡U’moAtn.ación. En efecto:

y 1 = AiüCos(wt+Uo) Bu)Sen(ut+u)o)

y" = Aü)2Sen(cot+too) Büo2Co s(u)t+(jj0)

= cj2 [ASen(ut+u)0) + BCos (ut+o)0)] = (o2y

y" t- u)2y = 0

Demostrar que la función y=aienx+a2e“nx+a3Cosnx+ai,Sennx

(ai, a2, a 3, a«, n son constantes) satisface la relación

iv uy = n y

E f t

2/x 2/7

1 */X 1 o>/x= k — ) 4(— )

2 / 7 2 / 7

y„ = 1 /xe'/x( 1/2/x) el/ ( 1/2/x)j _ 1 |V7 e ‘^ (1 /2/7) e ' ^ (1 /2/7)j

= e^ C/ x O + e/x(/x+1)

4x/x 4x/x .

. i , . . i * . " ^ p t j £ . d í . j £ . d i^ 4,/x ¿/x ¿/x ¿/x 4- 4

de donde: xy" + gy1 |y = 0

Demostrar que la función y=Cosex+Senex satisface la rela-

ción: y"y1+ye2x=0

DemoAtnación. En efecto:

y 1 = Senex (ex)+Cosex(ex ) = ex(Cosex Senex )

OcmoAtnación. En efecto:

y ’ = naienx naje nx na 3Sennx + nai,Cosnx

y" = n2aienx + n2a2e~nx n2a3Cosnx n2a<,Sennx

y" 1 = n 3aienx n3a2e~nx + n3a3Sennx n 3ai,Cosnx

* ylv = n'ajeM + n “a2e"nx + n'asCosnx + n'a^Sennx

= nl,(aiellx + a2e nx + a3Cosnx + anSennx) = n'y

Demostrar que la función y=Sen(narcSenx) satisface la re-

lación: (1x2)y"xy1+n2y=0

iiemoAtnación. En efecto: y 1 = Cos(narcSenx(~^==r)/ Ñ ^ 2

= n(1x2)~1/2Cos(narcSenx)

y" = n( 1x2)' l/2 fSen(narcSenx) (==)] +/1x2

+ Cos (narcSenx) £- 2( 1x2 ) '3/2 (2x)J


+ n n2Sen(narcSenx) + nxCos(narcSenx)

1x2 (1x2)/lx2

+ (1x2)y" = n2Sen(narcSenx) + "xCoS(narcSenx)/1x2

(1x2)y"xy'+n2y = n2Sen(narcSenx) + nxvOs( naicS enx)

. nxCo3 (narcSenx) + n2Sen(narcSenx)

/1x2

= 0

JJJ23 Demostrar que la función y=eaarc^enx satisface la rela-

ción: (lx2)y"xy'a2y=0.

De.mo¿ta.ac ¿6n. En efecto:

yt = e°‘arcSenx(_^ L _ ) = o (,_x2) i/2e°iarcSenx

/1 x2

y» = a(1x2)l/2CeaarCSenX(7=S=)] + eaarcSenx[ §( 1x2)'3/2(2x)J/1x2

a2eaarcSenx axe¡aarcSenx

1x2 (1X2)/1X2

„ aarcSenx „ aarcSenx/„ „ , _i aarcSenx , axe oxe(1xz)y"xy'ay = a^e +

a ni 5: Derivación sucesiva 445

,,,, donde: y" k2 (x+/x2+l)k _ kx(xjVx^7í¿

x2+1 (x2+1)/x2+1

. (1+x2)y"+xy1 k2y = k2( x+ ATñ ) k kx (x^ xHÍ ).k + kx(x+ZgT i).*l/x2 + 1 /x2+1

k2(x+/£*+Í)k

(1 + x2 )y"+xy'k2y = 0

•m m / y i* i 3 vn 2i[iMcl Demostrar que la expresión S = ¿ ) no vana si

y' ¿ y'

sustituimos y por — ,esto es, si suponemos y = 4 > sey ^ i

tiene: y i ií-Lü2 = S

y í y í

i’cmoAt/iac L&n. En efecto: Si y = — *• y' - — y J y ~2

y" = y J (2y~ 3y J ) + y;2(y'J) = - l i ( 1 )'

y\ y*- y" = 2 y j 3 ( y J ) 2 - y~*(y")

.v"’ = 2y j 3 ( 2y J y " ) + (y *) a ( - 6y j* y Í) - y ^ y ? ’ ) - y 'j ( -2y ; 3y ¡)

.In donde: y"' = - 6^ i )3 + Sïll l - ili. , (2)

.. (1 xz)y xy ay a e +/íx2

a2eaarcSenx

= 0

Etifcftl Demo strar'que la función y=(x+/x2 + 1 )k satisface la rela-

ción: (1+x2)y"+xy'k2y=0

De.mo¿t/iac¿&n., En efecto:

y' = k(x+/x2 + 1 )k~^ (1 + — j — — )__2/x2+1

= k (x +Z ^M )k"1( ^ @ ^/x 2 + 1

= k(x2+ D ’ 1/2 (x+/x2TT)k

y” = k(x2 + i r V 2fk(x+.'x2+Í)k'1(1 + — ===)! +

L / x 2 +1 J

+ (x+/^2TÍ)k (: |( x2 + 1)"3/2(2x)‘J

y : y¡i’Lvidiendo (1 ) y (2 ) entre y' se tiene:

_ y ! = . 2 (ül-) + H _y 1 y 2 yí

y " 1 = 6 (y l l 2- 6 i i + z l Ly ' y i y x y}

Il I

?■2(y )2 = 6(y?)2- 6yí + y"' . i r_ 2 (y¡) +2 l l -2 y' y2 yx y[ 2 L y; y; J

vil ! / V v v» * •} / V » V .. donde: Z— ^(i_)2=Zj— ç(Ll.)2 = S

y 1 y ' y } y j

Sea dado y=f(x). Expresar mediante y Mostrar

, (i+v i2 )3 /2que la formula R = -- y " --- es susceP'tible de ser redu

cida a la forma: R2/ 3 = ,2.! + — rj(ÉZI)z/ 3 /• d X' 2 / 3M x 2' dy 2


( f í >3 = y ’ 3 = - T a f e ^ * y'2 = ^ t t " )2/3

Solución. Si y=f(x) ^ = ~ + >

dx dx

Por la regla de la cadena se tiene:

áÍ2(¿X) = _ _1— d_(dx} _ jc£x = _ 1_

dy2 dx (f*)2 dx dx dy2 T ^ T 3dx2

Dado que: R = ílílLfill2 R2/3 = — L _ + — 1— (y• 2)(1)y" (y" ) 2 / 3 (y" ) 2 / 3

De la fórmula obtenida anteriormente:

. r ^ B 1 ’ * ■'cssr«/dy2 dy2

Sustituyendo en (1) obtenemos:p í / 3 _ ___ _J _______ + -------- J -----------

y W a ( Ü í ) V 3dx2 dy2

E íiW jJ Sea F (x) = f(x).<t>(x) siendo f 1 (x). 4’’ (x)=c. Demostrar que:

F" f» ^ 2c_ F _¿ f J. , ü lF ~ f <¡> f. <t> y F f <t>

de.mostn.ación. En efecto: F'(x) = f'(x).<t>(x) + f(x).<t>'(x)

»■ F" (x) = f"(x).<t>(x) + f ’ (x).*1 (x) + f'(x).<t>'(x)

'•>¡ción 5: Derivac ione s sucesivas 447

5.2 FUNCIONES DADAS EN FORMA IMPLÍCITA

b2x2+a2y2=a2b2, hallardx2

Soiución. Por derivación implícita se tiene

b2 /x2b2x + 2a2yy1 = 0 + y' =

b 2x \

». . - tí(JL ja lì) . b‘p x| Ì 4 1]

2 a2 L v 2 I2 2a y aL y2 . =2„2it,2v2.= _ b (a y +b x ^

a2 a2y 3

i) li.'iérvese que el numerador de la expresión entre paréntesis es elprimer miembro de la ecuación dada. Esto ocurre, generalmente, al

obtener la segunda derivada de una función algebraica cuya ecua-

ción se dá en forma implícita.

/. y" = £Í(±ÍSÍ) = . b*a2 a2y 3 a2y 3

x2 + y2 = r2, hallardx2

Soiución. Por derivación implícita se tiene:

+ f(x).lt>"(x)

+ F11 (x) = f"(x).d>(x) + <t"(x).f(x) + 2c (1)

Dividiendo ambos extremos de (1) entre F(x) se tiene:F" (x) _ f"(x).»(x)+ <t>"(x).f(x) + 2c

F (x) f(x).ij>(x) f(x).<l)(x) f(x).<f>(x)

• II f" 4. ü!. 4. 2cF f <t> f. <t>

Derivando nuevamente la ecuación (1) se tiene:

F" ' (x) = f" 1 (x).<t>(x) + f’'(x).<t>'(x) + 4)'" (x) .f (x) + <¡>"(x).f' (x)+0

= f'"(x).<í)(x) + d>"'(x).f(x) + [f"(x).d>'(x) + <t>" (x). f' (x)3

Pero: f1 (x). 4> * (x)=c *■ f" (x). d>' (x) + f 1 (x). <fi" (x) = 0

Entonces: F"'(x) = f" 1 (x). <¡> (x) + <t>" 1 (x). f (x)

Dividiendo ambos extremos de la igualdad entre F(x) obtenemos:F" * f" 1 <t>» i

So uc ó o de ac ó p c ta se t e e

2x + 2yy * = 0 y» = |

t v" = y xy ' = y x(x/y) _ _ y2 + X22 2 3y y y.

Obsérvese el numerador del segundo miembro de y". Obviamente la

sustitución por el segundo miembro de la ecuación dada facilita-

rá el cálculo de otras derivadas superiores, esto es:

y" = — = r2y"3 + y" 1 = 3r2y/*y' = 3r2y_,*( ) = y 3 y y5

y = Tan(x+y) , hallar y"'.

Solución. y' = Sec2(x+y).(1+y') = (1+y') jj+Tan2(x+y)]

= (1+y')(1+y2) de donde: y 1 = y_2_1

*• y" = 2y~ 3y' = 2y'3(y_2l) = 2y's2y3

+ y'" = 10yGy' + ^y’^y1 = 10y"6(y‘21)+6y~*(y'21) *


de donde: y"1 = = — (1+y2) ( 5+3y2 )dx3 y0

n?EÜl s = 1 + tes , hallar

dt2Solución. s' = 0 + teS(s') + es *■ s' = gf

+ sii (2s) ess1 es(s1) _ es( 3s) s1

(2s)2 . " (2s)2

. g„ _ d2s _ es (3s)^ es^ _ (3s)e2s

dt2 (2s)2 2s (2s)3

y3 + x3 3axy = 0 , hallar y".

Solución. Por derivación implícita se tiene:3y2y'+3x23a(xy'+y)=0 + y 1 =

y2ax

+ ytt _ (y 2 ax) ( ay1 2x) (ayx2) (2yy 1a)

(y2ax)2

(y2ax)[a(|^|^)2x] (ayx2 ) [2y (f%5|^)a]

(y2ax)2

(y2ax)(a2y+ax22xy2) (ayx2)(ay2+a2x2yx2)

(y2ax)3

... i ión 5: Derivación sucesiva 449

donde: y" [lCos(x+y)] 2 £lCos(x+y)l 2

.*. v" = [lCos(x+y)J:

ex+y = Xy , hallar y".

Solución. Derivando .implícitamente se tiene:

ex+y(1+y') = xy'+y xy(1+y') = xy'+y

* y ' = y~xy + yti = (xyx) (y'xy'y) (yxy) (xy'+yl)

xyx (xyx)2

= (*?*) x ( ^ ) y ] (y xy )[ x( ^) + y1]

(xyx)2

»educiendo términos en el"numerador obtenemos:

„ _ x3y+2x2yxy3+2xy22xy _ xy(x22x + y22y + 2)

x 3(y1)3 x3(y1)3

• ■ . y[(x1)2+(y1)2]

x2(y1)3

Deducir la fórmula para la segunda derivada de la función

inversa a la dada y=f(x).

2a3xy 2x‘*y 2xy‘* + 6ax2y2

(y2ax)3

_ 2a3xy 2xy(x3+y33axy)(y2ax)3

Obsérvese el paréntesis del numerador y la ecuación dada.

• y» = 2 a3xy 2x y(0) _ _ 2a 3xy

(y2 ax )3 (y 2 a x) 3

y = Sen(x+y) , hallar y".

Solución. y' = Co s (x+y ) . (1+y ' ) *• y 1 = . Oo s (x+y)_1Cos(x+y)

y" = D0os(x+y)] j'Sen(x+y). (1 + y1)] Cos(x+y) ¡Sen(x+y). (1+y' )J

[1 Cos(x+y)J 2

_ [lCos(x+y)] L'yd+y1 )] Cos(x+y) Cy(1 + y')]

[lCos(x+y)]2

^ y xr HSolución. Ver ejercicio 1054. Rp. ---- = —¿—

dy2 y'3

ey + xy = e , hallar y"(x) para x=0.

Solución. Para x=0 + ey=0 •<* y=1

Por derivación implícita se tiene:•k

eyy' + xy1 + y = 0 (1)

Para x=0 e y = 1 •> ey' + 1=0 +*■ y' = 1/e

Derivando (1): eyy" + y'(eyy')+xy" + y' +y 1 = 0

+ eyy" + y ,2ey + xy" + 2y' = 0

l’ara x=0 , y=1 , y'=1/e , se tiene:

ey" + ( )2(e) + ( “ ) = 0, de donde: y"(0) = 1/e2

y2=2px , hallar la expresión k =/(1+y12)3


Soiucibn. Por derivación implícita se tiene:

2yy' = 2p + y' = py"1

y" = -py " 2y ' = -py ‘ 2 (py-1 ) = - p2y ' 3

Luego: K =2 “ 3 2

p y __ _____ es

/ ( 1 + p V 2 )* A y 2+P2 )' :

Comprobar que de y2+xz=R2 se deduce k=1/R , donde

k =

/ ( 1+y ' 2 ) 3

Demostración. En efecto, por derivación implícita se tiene:

2yy1 + 2x = 0 y' = x/y

i y» = y xy1 = y x(x/y) _ _ y 2+x2 .. _ R 2y 2 y 2 y 3 y 3

Luego : k '= l -R 2/ y 31 = ' Rz R2 _ J.

/T¡ + x2/y2)3 /(x 2+y2)3 /(R2)3 R

Demostrar que si: ax +2bxy+cy +2gx+2fy+h=0 , se tiene:

dy; ax+by+g d2y _ A_____dx y

bx+cy+f dx2 (bx+cy+f)3

donde A es una constante que no depende de x e y.

11 in 5: Derivación sucesiva 451

ilonces, si A=h(acb2)af2+2bfgcg2, queda demostrado que:

d2y _ ____ A_____dx2 (bx+cy+f)3

Demostrar que si (a+bx)ey/,x=x se tiene: x 3(¿i)=(x|^ y)2dx

De.mostsiac.i6n. En efecto, aplicando logaritmos neperianos

en la ecuación dada se tiene:

n (a+bx) + l = inx + H l ^ L = 1 + x ( f * ) - y = <1)x a+bx x2 x ax a+bx

inrLvando nuevamente obtenemos:

(a+bx)a ax(b) _ a2y" + y' - y'

(a+bx)2 (a+bx)2

Multiplicando por x2 se tiene: x3(— í.) = (¿fg)2 (2)dx2

iomparando (1) y (2) se ha demostrado que:

‘».3 FUNCIONES DADAS EN FORMA PARAMETRICA



Demost/iaciónEn efecto, por derivación implícita se tiene:

2ax+2b(sy1+y)+2cyy1+2g+2fy1 = 0

+ yi = _ ax+by+gbx+cy+f

y» = (bx+cy+f ) (a+by ' ) ( ax+by+g) (b+cy')

(bx+cy+f)2

Sustituyendo en el numerador el valor 'de y' y luego reduciendo

términos obtenemos:

y" = (acb2) [ax2 + 2bxy+cy2 + 2gx+2fyl+af22bfg+cg2

(bx+cy+f)3

Comparando la expresión entre corchetes con la ecuación dada se

deduce que: y" = 1*2^? ,h2...+.af22bfg+cg2(bx+cy+f)3

_ h(acb2)af2+2bfgcg2(bx+cy+f)3

Vemos que el numerador es una expresión que no depende de x e y,

Anteriormente habíamos visto que si la dependencia entre la fun

■iñn y y elargumento x viene dada por medio del parámetro t, es

i 'i es: x = f (t) , y = g(t)

" .i tonces: = |Í_ = X M ,(1)

dt 1

. una función de t, es decir, = y 1 = h(t) (a)

ih(t) es derivable, la segunda derivada de y respecto de x se

dy 1

• ibtiene de: y" = ¿íi , f(Íi) = |JLÍ =J , 2 dx dx dx _dx

ax dt

/ según (a): 1 1 1 = Ali*) (2)dx2 f( t)

'i sea: y" = H(t) (8)


Si H(t) es una función derivable, la tercera derivada de y res-

pecto de x se obtiene de:dy 1

v'" = íLÜl = = áfv") dty — dx T~ 2 dx y ' dxdx 3 QX dx2

dt

qué según (S): = JLLÍll (3 )dx 3 f'(t)

Así sucesivamente, para el cálculo de la nésima derivada de yf n 1)

respecto de x, si y Gft) es una función derivable, entonces

d (n1)

(n) = _d\ _ d_f dn~ 1y ■. _ dy (n~1) = _dt^ _ G' (t)

dxn dx dx11' 1 dx ' |f ' f'(t)

PROBLEMAS RESUELTOS

x=at2, y=bt3, hallar .— 2.dy 2

Solución. Si x=f(t) + f'(t)=2at

y=g(t) + g '(t)=3bt2

Entonces: = JLIÍÍÍ = _¿a_ = + h'(t) 2a

■n'in 5: Derivación sucesiva 453

intución. Si x=f(t) f'(t) = aSent

y=g(t) g'(t) = bCost

l.ni.onoefl: y' = ■ = ^Cotgt = h(t) h'(t)= —C sc2tdx ft ^tj a a

I,migo: y.. „ ifjr , h'(t) = (b/a)Csc2t = _ b Csc3t

dx2 f'(.t) aSent a2

1 H(t) = — Csc3t -*■ H*(t) = sc2t (C sctCotgt)a2 a2

+ H*(t) = — Csc3tCotgta2

Ü = ¡ L Ü Ü = (3b/a2)Csc3tCotgt = _ ib CsctCotgt

dx 3 f 1 (t) aSent a3

i[iW'l x=a(tSent) , y=a(lCost) , hallar Y.dx 2

Solución. Si x=f(t) * f'.(t) = a(1Cost)

y=g(t) + g 1 (t) = aSent

Luego: = IiíÍ2 = ^ S £ l h(t)X f'(t) 1Cost

*■ h'(t) ^ 1Cost)Cost Sent(Sent)

(1Cost) 2 1Co st



_ _dy g'(t) 3 bt ’ ' 3bt2

2a

Luego: Üf = *lU1L = 3bt2 = _ 2ady 2 gl(t) 3bt 2 9b2t“

« M » d 2 VKlinj x=aCost , y=aSent , hallar

dx2

Solución. Si x=f(t) + = f'(t) = aSent

y=g(t) + = g'(t) = aCost

Entonces: y ' = = J L Ü H = Cotgt = h(t) + h' (t )= C sc 2tax f'(t)

y» = Ü Z = h>(t) = = . —C sc3tdx 2 f 1 (t) aSenta

CTjJJl x=aCost , y=bSent , hallar ÜlZ.dx 3

d2y _ h 1 (t) _ 1/(1Cost)

dx 2 f 1 (t) a(lCost) a(1Cost) 2

(1) x=aCos3t , y=aSen3t , hallar d y

dx3Solución. Si x=f(t) *■ f'(t) = 3aCos2tSent

y=g(t) *■ g'(t) = 3aSen2tCost

iitonces: 4^ = JL_lÍl = Tant = h(t) h'(t) = Sec2tdx f'(t)

uogo: Ü Z = Ü líÜ = ■ = ( Se cH Cs ct ) = H(t)dx2 f'(t) 3aCos2tSent

• H'(t) = ^^Sec HfSe ctTa nt ) + See “t (CsctCotgt)]

=— r__L. (4 Sent Co styi _ 4Sen3tCos2t

3a LCos‘‘t CostSen2t J 3aCos5t.Sen2t

. d3y _ H 1 (t) _ Cos2t4Sen3t

dx 3 f'(t) 9a2Cos7tSen3t

454

/

Capítulo 3: Derivadas

(2) x=aCos2t , y=a.Sen2t , hallar — Z

dx2So ¿lición. Si x=f(t) +f'(t)= 2aCostSent = aSen2t

y=g(t) g'(t) = 2aSentGost = aSen2t

Luego: = g',(t.) = _,aSen2t , ^ + £ y = Q

x f'(t) aSen2t dx2

r m (1) x=lnt , y=t 21 , hallardx2

So ¿ución. Si x=f(t) *■ f'(t) = jr

y=g(t) + g 1(t) = 2t

Entonces: 4^ = i— í_ = 2t2 = h(t) •>h'(t)=4tdx f'(t) 1/t

¿2y = h 1 (t) = 4t _dx2 f'(t) 1/t

(2) x=arcSent , y=ln(1t2) , hallar d .ydx2

S o ¿ución. Si x=f(t) *■ f'(t) =

= 4t2

/lt2

y=g(t) *■ g 1 (t) = ~2tlt:

Entonces: 4^ = £— — = 2t(1t2)"x 2 = h(t)

. i i inn 5: Derivación sucesiva 455

fluctuando y reduciendo términos en el numerador obtenemos:

h'(t) = 2(Sen2t+Cos2t) + t2(Sen2t+Cos2t) _ 2+t2(CosttSent)2 (CosttSent)2

. h'(t) = 2+t2

dx2 f'(t) a(CosttSent)3

nes paramétricas: y=e^C9 St , x=e^Sent , satisface la reía

j[iMÍ Demostrar que la función y=f(x) dada mediante las ecuacio

nes paramétricas: y=e^C9 st ,

ción: y"(x+y)2 = 2(xy'y).

ih-moit/iación. En efecto: Si x=f(t) *■ f 1(t)=6^(Cost+Sent)=x+y

y=g(t) g ' (t)=et(CostSent)=yx

. y i = e' W =lzli+ y" =(x+y) (y'1)(yx ) (1+y') _ 2(xy'y)f'(t) x+y (x+y)2 (x+y)2

Mu donde: y"(x+y)2 = 2(xy'y)

t U M l Demostrar que la función y=f(x) dada paramétricamente me-

diante las ecuaciones: y=3tt3, x=3t2 satisface la rela-

ción 36y"(y/3x)=x+3.

W>¿ución. En efecto, si x=f(t) •*• f'(t) = 6t

y=g(t) g'(t) = 33t2

Entonces: 4 £ 2t(1 t2) x 2 h(t)dx f'(t) / ü t J

* h'(t) = 2t[ |(1t2)‘ 3/2(2t)] + (1t2)_l/2(2)

= (1t2)3/2 U~2t2 2 (1 t2 )] = 2(1t2)3/ 2

• Éll = h 1(t) =2(1t2)~3/2 = _ 2■

dx2 ~ f'(t) ~ (1t 2)"1/2 " 1t2

fTO1 x=atCost , y=atSent , hallar i1. .ydx2

So ¿ución. Si x=f(t) +f ’(t) =a(tSent+Cost)

y=g(t) +g'(t) =a(tCost+Sent)

Entonces: ^ , tCost+Sent = h(t)

f'(t) CosttSent tCostSent)

*• h 1 (t) = (Q°s^~^Sent)(tSent+Cost+Cost) (tCo st+Sent) (Sent

(CosttSent)2

y g g

Kntonces: 4* = y 1 = 3.— = 2 — = h(t)ax f'(t) 2t

+ h'(t)= 1 t(2t) (1t2)(l) = _ 1+t2

2 t2 2t2

Luego: y 11 d2y h.'(t? 1+t2 (Hx/3) x+3dx 2 f'(t') 12t3 12 (3ty) 36(y3t)

l'oro: 3t2=x *■ 9t2=3x + 3t = /3x

y" = --------- t~> 36y"(y/3x) = x+336(y/35c)

Demostrar que la función dada paramétricamente mediante

las ecuaciones x=Sent ■, y=Senkt , satisface la relación:

(1x2) Ü Z x(|Z) + k2y = odx2 ax

¡‘.■moitn.ación. En efecto, si x=f(t) + f 1 (t) = Cost


y = g(t) + g' (t )= kCoskt

Entonces: = ¿lili = = h(t)ax f'(t) Cost

*■ h'(t) ]: Cost(kSenkt)Coskt(Sent) kSentCosktk2SenktCost

Cos2t Cos2t

„ h'(t) kSentCosktk2SenktCost Sent/kCosktv k2Senkt-*• y" = — — - = ------------------------------------- - = ----- — l---------- 1 ----------- - —

f'(t) Cos3t Cos2t Cost Cos2t

*■ (1Sen2t)y" = Sent(y') k2Senkt

/. (1x2) Ü Z x(|*) + k2y = 0dx2 ax

Demostrar que si: x=f(t)Costf1(t)Sent, y=f(t)Sent+:

+f'(t)Cost, se tiene:ds2 = dx2+dy2 = [f(t)+f"(t)J2dt2

De.mo¿t/iac¿6n. En efecto

dxdt

= [f ’(t)Costf(t)Sent]{f"(t)Sent+f* (t)Costl

+ dx = Sent ff(t)+f"(t)]dt

= [f'(t)Sent + f(t)Cost] + [f"(t)Cóst f'(t)Sent]

dy = Cost[f(t) + f"(t)Cost]dt

L d 2 d 2+d 2 (S 2t+C 2t)[f(t) + f"(t)]2dt2

■■■(<ión 5: Derivación sucesiva 457

ii partir de t, la velocidad se incrementará en un Av.

Kntonces, se denomina ace.ZeA.adin en un instante dado al límiterio la razón del incremento de la velocidad respecto al incremen

i.u del tiempo, cuando éste tiende a cero, esto es:

a = —a dt

ds . d /ds> d2s «„/i\o 9ue: v = dt + a = dt (dt} = 7^7 = f (t)

Un punto efectúa movimiento rectilíneo cuando s= ^t3t+5.

Hallar la aceleración al finalizar el 2do segundo (s está

expresado en metros; t, en segundos).

dtPolución. En t segundos la velocidad es: v = = ¿t21

y la aceleración: a = — — = 8tdt2

Luego, para t=2seg. *• a = 16 m/seg2

Un movimiento rectilíneo se efectúa de acuerdo con la fór

muía s=t24t+1. Hallar la velocidad y la aceleración del

movimiento.

Solución. Si v = + v = 2t¿ ; a = 5—5. *■ a = 2

Luego: ds2 = dx2+dy2 = (Sen2t+Cos2t)[f(t) + f"(t)]2dt2

ds2 = [f(t) + f»(t)l2dt2

5.4 ACELERAC ION DEL MOVIMIENTO

El espacio s que recorre un cuerpo en movimiento de traslación

en función del tiempo t, se expresa como:

s = f(t)

La velocidad v del cuerpo en un instante, dado es igual a la pri-

mera derivada del espacio recorrido respecto al tiempo:

ds

v “ dtSupongamos que en cierto instante t la velocidad del cuerpo era

v. Si el movimiento no es uniforme, en el intervalo de tiempo At

¿ ;dt dt2

]T¡y Un punto efectúa movimiento rectilíneo, siendo

s = •^Sen(^|) + so. Hallar la aceleración al finalizar el

primer segundo (s está expresado en cm; t, en segundos).

S o (ución. v = = ^(^)Cos(^|) + •Jj-(so)

Para t=1 *■ v = ^Cos(^) + v0 ■* vo=0

ds T í„ / TTt \ . d2sTí /TT\ c ,TT t\uego: dt = Tjí0013 ^ + a = — =

d t2

Inra t = 1 •» a = yg cm/seg2

Un punto efectúa el movimiento rectilíneo, siendo s=/t.

Demostrar que el movimiento del punto es retardado y que

la aceleración a es proporcional al cubo de la velocidad.


De.mo¿í/iación. En efecto, si s=/t +

* - a i ■ - l * ' ' 7 ' - -

ds _ _1_ _ Í+ 1/ 2dt

12/t . 2L

4/t:

Como la aceleración a<0, en todo tiempo,' el movimiento del punto

es retardado.

1Por otro lado: 2 ( — ■— ) 32/t

= kv3

Sljljíl Una viga pesada, que mide 13m,

se hace deslizar hacia el suelo

de la manera siguiente (Véase Fig.28):

su extremo inferior está sujeto a una

vagoneta, mientras que el superior semantiene fijo en un cable devanado en

un cabrestante. El cable va desenro-

llándose a 2m/min. Qué aceleración ex

perimenta la vagoneta cuando se apar-

ta rodando, en el momento en que dista

5m del punto 0?

So ¿ación. Sea x la distancia de la pared a

la vagoneta; y , la altura del

punto superior de la viga

Figura 28

ion 5: Derivación sucesiva 459

E S La cubierta de una barcaza se encuentra ¿m más abajo de

la altura del muelle. Tirando de la barcaza, la hacen a"rcarse para que se ponga al lado del muelle, mediante un cable

I cual va devanándose en un cabrestante a 2m/seg. Qué acelera

• Ión experimenta la barcaza al moverse, en el momento en que dis

i 8m del muelle (en línea horizontal).

"¿ución. Sea x la distancia de la

barcaza al muelle y, z la

i'.ugitud del cable .

u.mdo x=8 *• z = /I6+64. = 4/5

nogo, si: z 2 + 1 6 = x 2

= 2x^dt^

ira: = 2 m/seg

(1 )

4 / 5 ( - 2 ) = 8 ( f f ) = /5 m/seg

wivando, respecto al tiempo, 1¿ ecuación (1) se tiene:

/d2z\ , /dzwdz \ _ /d2x\ , dx/dx\z(^ } ' (dt)(dt} = x(— i> + dt(dt5

>mo la barcaza se tira uniformemente d2z

dt2= 0

punto superior de la viga.

/l3252 = 12Dado que: x = 5 , {.=13 + y

Si x2+y2=132 dt

x(¿£)dt'

0

(1)

Para ft = W m/ses + |

. dx 2 /* dt = 25 m/seg‘

Derivando, respecto al tiempo, la ecuación (1) se tiene:

/d x\ , ax/QX\dx/dx\ _,d2y\ dy/dyv

, uogo :

! • • donde

(|f)2 = x ( H X) +dt dt2

(ff)2 (2)2 = 8 ( ^ ) + (/5)2t d2x^

dt2

d x

dt2

I / 2= - -ñ m/seg*

KmJ Un punto efectúa movimiento rectilíneo de manera que su

velocidad varí proporcionalmente a la raiz cuadrada del

i1 lyecto recorrido. Mostrar que el movimiento se efectúa al ac

i uiir una fuerza constante sobre el punto indicado.

/'• mo-it/iación. En 'efecto, sea x el trayecto recorrido por el pun

to. Si v es su velocidad, entonces:

■— = k(L) (|f) = k(1dts 2/x 2/ x

■)k/3E = h 2

¡’ i lo que : F = ma ■* F = ^nik2 constante


5.5 FÓRM ULA DE LEIBNIZ

Las reglas de derivación Di*: [cf (x)] 1 =cf1 (x) ,

Ds :.[f (x)+g(x)] ' = f'(x)+g'(x)

y D7:[f(x).g(x)]1 = f '(x).g(x)+f(x).g'(x)

se pueden generalizar para cualquier orden de derivadas.

Así, para las reglas Di* y Ds son evidentes las fórmulas:

[c(x)3(n) = c[f(x)](n) y [f(x).+g(x)](n) = [f(x)](nM g ( x ) ] (n)

Demostraremos la fórmula de Leibniz suponiendo que son dadas dos

funciones u(x) y v(x) derivables hasta el orden n, y que el pro-

ducto y=uv es derivable también hasta el orden n. Hallemos prime

ro varias derivadas consecutivas y estudiemos luego la ley gene-

ral aplicable para el cálculo de una derivada de cualquier orden

y = uv

y 1 = u 1 v + uv 1

y" = u"v + u1v 1 + u'v1 + uv" = u"v + 2u'v1 + uv"

yin = un iv + u iiv i + 2u"v' + 2u'v" + u'v" + uv"1

= u"'v + 3u"v' + 3u'v" + uv "1

y^v = uivv +u",v l + 6u"v" + ¿u'v"1 + uv^v

Podemos observar que la ley de obtención de las derivadas esvá-

lid d i d d l i d i

i// V De riva ció n s uce siva 461

(n) ,rr s (n) ,n> (n-1) , ,n. (n-2) „= (q )u 'v + (j)u 'v! + (2)u 7v" + ....

+ (n)u(n-k)v(k) + _ + (n)uv(n) (II)

= ¿ (")u(nk)v (k)k=0 K

id cada coeficiente binimial se calcula por la fórmula:

(£) = c” =

uyno propiedades son:

k k!(nk)!

B 1 ! ( ? ) = ( n ) = 1 B * : < k> * ( k - 1 > - ( n k 1 )

(£) = ^nk^ B ": ^k+1) = k + 1 ^

PROBLEMAS RESUELTOS

Aplicar la fórmula de Leibniz para calcular la derivada:

(1) [(x2+1)Senx]^20^ (2) (exSenx)^n) (3) (x3Senax)^n)

lida para derivadas de cualquier orden y es como sigue:

Se desarrolla la expresión (u+v)n por la fórmula del binomio de

Newton y en la serie obtenida se sustituyen los exponentes de u

y v por los índices del orden de las derivadas: además, los expo

nentes cero, u ^^ y v ®) que entran en los términos extremos del

desarrollo, se sustituyen por las propias funciones, esto es:

(0) ' (0)u = u , v = v *

Entonces:

y (n) =( u v ) ( n ) = u ( n ) v + n u < n - 1 } v ' + u < n "2 } v" + . . .

+ n v ( n ) ( I )

Es la llamada fórmula de Leibniz.

Esta fórmula también se puede expresar como:

•■í„ci6n. (1) [(x2+ 1 ) S e n x J = [Senx.(x2 + 1)]^20)

Supongamos que: u(x)=Senx y v(x)=x2+1

ITii I, enees: u' = Cosx = Sen(x + íj) , v ' = 2x

u" = Senx = Sen[x + 2(^)J , v" = 2

u"'= Cosx = Sen¡.x + 3(|)] , v"1 = 0• •• •• •

u(n) = Sen£x + n(^)] , v^n^ = 0

■i:ún la fórmula (I) se tiene:

y(n ) = u ^ v + nu n_ 1) v 1 + |n(n1)u^n"2^v" + 0 + ...

. y ( 2 ° ) _ u ( 2 0 ) v + 2 0 u ( 1 9 ) v > + 1 0 ( 1 9 ) u ^ ® ) v "


+ y (20) = Sen(x+107r). (x2+1) + 20Sen[x + . (2x) + 190Sen(x+9ir) ( 2)

= (x2 + 1)Senx + 40x[Cosx] + 380(Senx)

[(x2 + 1 )Senx] = (x2379)Senx 4OxCosx

(2) (exSe n x ) ^

So¿ución. Sea: u = ex , v = Senx

u' = ex , v 1 = Cosx = Sen(x + 75)

u" = ex , v" = Senx = Sen(x + 2(^)• •* •• » •

u(n) = ex , v (n) = Sen [x + n(f)]

Según la fórmula (II) se tiene:

(uv)(n) = (“)exSenx + (")exSen(x + §) + (^e^enLx + 2(|)] +

+ ... + (^)exSen[x+n(|)]

= ex [(£)Senx + (”)Sen(x + f) + (”) Sen [x+2 (£)] + ... +

+ (”)Sen[x+n(^)]J

(exSenx)(n) = ex ¿(£)Sen[x + k(|)]k=0 K 4

\¡ <<ión 5: D eriva ción s ucesiv a 463

(x3Senax) = anx 3Sen[ax+n(:|)] + 3nx2an”^Sen[ax+ (n1 )S|] +

3n(n1)an2xSen[ax+(n2)^] +

+ n(nl) (n2)Sen[ax+(n3)^]otn”^

02 19 Mostrar que si y= (1 x) ”ae~“x , se tiene: (1x)| = axy

Aplicando la fórmula de Leibniz mostrar que:

(1x)y(n+1> . (n+ax)y(n) na y(n1) = 0

,\noitn.aci6n. En efxcto,

& (1x)arae“xj + e“x [a(1x)“1(1)]

= a(1x)aeax + (l.x)“eax

= -“y + ^ x - n

•** (1*x)fx = “xy

Horivando, sucesivamente, esta fórmula se tiene:

(1x)y" y 1 = a(xy'+y) ■> (1x)y" = (1+ax)y! + ay (1 )

(1x)y,M y" = (l+ax)y" + ay 1 + ay1

(1x)y"' = (2+ax)y" + 2 ay' (2)

( ) ^ " ( ) "' " "

k=0 K 4

(3) (x3Se na x) ^ = (Senax.x3) ^So¿u.ci6n. Sea: u = Senax , v = x.3

u 1 = aCosax = aSen[ax +, v 1 = 3x2

u" = a2Senax = a2Sen[ax+2 ( )] , v" = 6x

u"' = a3Cosax = a JSen [ax+3 (í;) j , v"1= 6

u(n) = anSen[ax+n(|)] , v(n) = 0

Según la fórmula (II) se tiene:

^(n) _ (^)ansen[ax+n(^)]x3 + (“) an”"*Sen £ax+(n1 ) ] (3x2) +•

+ (^)an~2Sen[ax+ (n2)^] (6x) + (^)an%e n[ax + (n3) ] (6 )

(1x)y^v y " 1 = (2+ax)y"' + ay" + 2ay"

+ (1x)yiv = (3+ax)y" 1 + 3ay" (3 )

Luego, de (1), (2) y (3) se establece la fórmula:

(lx)yvn+^ (n +a x) y^ nay^n1^ = 0

(E J J La función y=eaaroSenx satisface la relación

(1x2 )y"xy,a2y=0 (véase el ejercicio 1051). Aplicando

la fórmula de Leibniz y 'derivando esta igualdad n veces, mostrar

■iue: (1 x2 )y^n+2 ^ (2n+ 1 )xy n+ 1^ (n2 + a2)y^n^ = o

;ic.moj¿/iac¿6n. En efecto:

(1x 2)y" = xy' + a2y (1 )

’ (1x2)y"' 2xy" = xy"+y'+a2y'

■+' (1x 2)y’" = 3xy" + (l + a2)y! (2 )


(1x2)yiv 2xy"' = 3xy"' + 3y" + (1+a2)y"

(1x2)yiv = 5xy''' + (22+o¡2)yn (3)

(1x2}yv 2xyiv = 5xyiv + 5y"' + (22+a 2)y"'

+ (1x2 )yv = 7xyiv + (32 + a2)y'" (A)

Analizando las relaciones (1), (2), (3) y (4) obtenemos:

(lx2)y(n+2) = (2n+1)xy(n+1) + (n2+a2)y(n)

Q H J ] Mostrar que: (eaxC o s b x ) = r neaxCos(bx+n0) , donde

r=/a2+b2, Tan9 = .

Aplicando la fórmula de Leibniz, llegar a las siguientes fórmu-las: rnCo s( n6 ) = anC2an'2b 2+Cân ’"^bl‘......

rnSen(n9) = Cân"1b c \ n"3b 3 + Cân'5b 5 ___

dem.ostn.ac ¿6 n. En efecto, sea: u=eax , v=Cosbx

u ’ = aeax , v 1 = bSenbx

u" = a2eax , v" = b2Cosbx

u"1 = a3eax , v"1 = b3Senbx

Sección 5: Derivación sucesiva 465

’ * Mostrar que la función y=arcSenx satisface la relación

(1x2)y"=xy' . Aplicando a ambos miembros de esta ecuaciónla fórmula de Leibniz, hallar y^n ^(0), (n>2).

ne.mostn.ac.i6n. En efecto, y 1 = — =■=== = (1x2) 1 /2/ Ü P

y" = 4(1x2)"3/2(2x) =2 (1x2) ( / W )

de donde: (1x2)y" = x( ■. ,•) *■* (1x2)y" xy1/lx2

En el primer miembro: sea u=y" , v=1x2

u' = y" i »■ v» = -2x

U " = y i v . v" = -2

u'" = Vy t v"'= 0

->• = y(n+2) , v (n) = 0

u(n)v + nu(n-

1)v' + u (n-2)v" + 0 + ...

y (n+2) (1-x 2) + ny<n+1>(.-2x) + S Í § = H y (n)(-2)

= (1x2)y(n+2) 2nxy(n+l) n(n1)y(n)

En el segundo miembro, sea: u = y' , v = x

+ u' = y" , v' = 1

u(n) = aneax ^ v (n) = b«C os[bx+n(:|)]

Según la fórmula de Leibniz se tiene:

(uv)(n) = (q )aneaxCosbx (“)an1eaxbSenbx (“)an2eaxb2Cosbx +

(^)a11 3eaxb3Senbx + (^)a11 ^eaxb1,Co sbx + ....

+ eaxbnCos £bx+n(^)J

= eaxCosbx [(")an (£)an’2b2 + ( p a n' V ........ ]

, T/nv n1, ,n\ n 3v s i /D> rí5v5 T e Senbx I (j)a b [j) a. b + b •• I

= eaxCosb£rnCosn0^ e axSenbx [rnSenn9"]

= rneax[CosbxCosn0 SenbxSenn9j

(eaxCosbx) = rneaxCo s(bx+n6)

U " = y t t l , v ' l = 0

* U<n > = y ( n + 1 > , v (n) = 0

* (uv) n^ = u ^ v + nu ^' ^v ' + 0 + . . . .

= y (n+l)x + ny(n)(1) = xy (n+1) + ny (n)

Luego: (1x2)y(n+2) 2nxy(n+1) n(nDy(w) = xy(n+1) + ny (n)

de donde: (1x2)y^n+2^ (1+2n)xy^n+^ n2y^n^ = 0

1094 Aplicando la fórmula de Leibniz n veces, mostrar que la

función y=Cos(marcSenx) satisface la relación:

(lx2)y(n+2)(2 n+ Dx y{n+1) + (m2n2)y(n) = 0


Si y=(arcSenx)2, se tiene:

(1x2)y(n+1)(2n1)xy(n)(n1)2y{n'l)=0

Hallar: y*(0) , y»(0) , ..... ,y(n)(0)

Rpta: y(2n'1 )(0)=0 , y(2n)(0) = 2 [2.4.6.,.(2n2)J2

5.6 DIFERENCIALES DE ÓRDENES SUPERIORES

*

Sea la función f :A*R/y=f (x), derivable sobre*el intervalo

A=<a,b>. Como ya sabemos, su diferencial:

dy = f 1 (x) dx

que sedenominatambién su p/iime/ia dii.ereac.iat, depende de dos

variables x y dx. Si f*(x) es a su vez diferenciable én cierto

punto xo£<a,b>; entonces la diferencial en este punto de la fun

ción dy analizada como una función sóio de x (es decir, para al

gún dx dado), tiene la forma:

d(dy) = d[f'(x)dxl = [f'íxjdx]'!X— X. 0 | X“A0

++ d2y = f" (x0)dx2 (I)'

De forma similar, en el caso de que la derivada de(nl)ésimo

1095

Si <ción 5: Derivación sucesiva 467

n bien, utilizando la escritura simbólica:

dn(uv) = (du + d v ) ^

✓ (n)ilonde la expresión (du + dv)v ' se escribe según la fórmula del

binomio de Newton, es decir, es una suma de la forma:

Jl.

JkvZ C"(dn'ku)(dkv) , y además, para cualquier función u se consik=0

,0 (0), (0); n ii = 11' ' nv ' ' =ilura: d u = u dx = u.

observaciones. (.1) En la fórmula (I), por dx2 se denota (dx)2y

en general dx11, neN, se denota (dx)n y no

d(xn ).

(2) Las fórmulas (II) y (III) son válidas en general para n>1,

si y sólo si x es una variable independiente.

(3) Veamos el caso de diferenciales de orden superior para funcio

nes compuestas.

Supongamos y=f(u) , u=g(x) dos funciones que son dos veces de

rivables. Entonces:

dy = f1(u)du

diferenciando nuevamente:

d( dy) = d[f'(u)du] d2y = f'(u)d(du) + d[f'(u)]du



, q ( )

orden yn~"' es derivable en el punto xo» o seacuando x=x0 existe

la derivada de nésimo orden y _ , se define la diferencial de.

n-¿¿imo orden dny de la función y=f(x) en el punto x=xu como la

n "1diferencial de la diferencial de (nl)ésimo orden d " y, esto

es: dny = d(dn_1y) = y (n)dxn (II)

de donde se deduce que: y^n^ = —— ^ (III)dx11

Propiedades de las diferenciales de orden superior

P i f i / \ ,n .ni: d (u + v ) = d u + d v

P 2 : dn (cu) = cdnu , c es una constante

P 3 : dn (uv) = l (?)dn"kudkvk=Ó K

= f'(u)d2u + [f"(u)dujdu

d2y = f'(u)d2u + f"(u)du2 (IV)

PROBLEMAS RESUELTOS

y = 3/x2" , hallar d 2y.

Solución. Si f(x)=x2/3 f'(x) = fíx' 1/3)

f"(x) = f(x-"/3)

2dx2

9x.3/x

9 x . 3 / x

y=x , hallar d3y.


Solución, Si f(x) = xm *■ f'(x) = mxm^

f"(x) = m(m1)xni"2

*• f"'(x) = m(m1)(m2)xm_^

d3y = f"'(x)dx3 ■* d3y = m(m1) (m2)xm^dx3

J U 2 3 y = (x+1)3 (x_ ^ ) 2 » hallar d2y.

Solución. f«(x) = (x+1) 3 |j2 (x1) J + (x1)2 [3(x+1)2J

= (x -1)(x +1)2[2(x +1)+3(x -1)]

= (x+1)2(5x 26x +1 )

+ f"(x) = (x+1)2 [l0x6j + (5x 26x +1 )[2(x+1 )]

= (x+1) r(x+1)(1 0x-6)+2(5 x2-6x+1)]= (x+1)(20x28x¿)

d2y = f" (x)dx2 = 4(x+1) ( 5x 2-2x-1 )dx2

y = 4’x , hallar d2y.

Solución, Aplicando logaritmos se tiene: lny = x2ln4

"*■ y' = (2x)ln¿ ■* y' = 21n¿(xy)

y" = 21n4(xy'+y) = 21n4 [x(2xyln¿) +y I

= 2yln4( 2x2ln4 + 1)

Sección- 5: D erivación sucesiva 469

1102

1103

ü /*) 1,521+

f r. ^ 1 = L ¿---------------------------------x2(/Í^Ti)2

ln3x¿lnx+4 + ¿2^ _ (ln3x¿lnx+¿)dx2

x2/(ln 2x¿) 3 x2/(ln2x4)3

y = Sen2x , hallar d 3y.

Solución. Si f(x)=Sen2x f 1 (x) =2SenxCosx=Sen2x.

*■ f"(x) = 2Co s2x *■ f'"(x) = 4Sen2x

d3y = f" 1 (x)dx3 = 4Sen2x.dx3

r !Co s30 a2Se n30 = 0 , hallar d2r.

Solución. r2 = — kJ0n 9 = a2Tan30 ■* r = ±a(Tan0)3/2Gos 30

f'(0) = ± |a(Tan0)1/2Sec20

f"(0) = ± |a[j(Tan0)_1/2Sec20.Sec20+(Tg0) 1/2(2Sec20Tg0)]

= ± | a f ~ = r + /Tan0(2Sec20Tan9)l¿ L2/Tan0 J

= ± ,3aSg?Íe (Sec20+¿Tan2O )4/Tan6

d2r = f "(0)d©2 = ± 3a ec20(H5Tan20)d02

= 2yln4(2x2ln4 + 1)

d2y = 2 U ' x2)ln4.(2x2ln4 1)dx2

y = arcTan(—Tanx) , hallar d2y.3.

abSolución, f'(x) = ["■*— tt------1 — (Sec2x) =

L1+(—Tanx)2J a a2Cos2x+b2Sen2x

>• f"(x)

d2y =

a

ab(2azCosxSenx + 2b2SenxCosx)

(a2Cos2x+b2Sen2x) 2

ab(a2b2)Sen2xdx2

(a2Cos2x+b2Sen2x)2

y = /ln2x4 > hallar d 2y.

Solución. f'(x) =2 / l n 2x - 4 x / l n 2 x-4-

1104

1105

d2r = f (0)d©2 = ± .3a ec20(H5Tan20)d02¿/Tan0

x2/3+y 2/ 3=a2/ 3, hallar d2y.

Solución. Por derivación implícita se tiene:

|x *1/3+ fy '1/3y' = 0 + y' = (^)1'3

- y" = - l ( i ) - 2/ 3(SLL.^_y) = . 1 ( | ) 2/ 3[ ^ ^ 1 _ ljl J

V 2 / 3 ( X 2 / 3 y 3 + y } = a / S )

* * 3 v 23y2/ 3 x2 3y2/x

a2/3 d2y = a1/3dx23xV 3 y l/3 3x'/3yl/3

y = ln(~x ) , x=Tant, expresar d2y mediante:1 + x2

(1) x y dx , (2) t y dt


Solución. (1) Según la fórmula (IV): d2y = f'(x)d2x + f"(x)dx2

2x 2xf(x)=ln(1x2)ln(1+x2) + f ’(x) =1x2 1+x2

de donde: f' (x) = + f"(x) = A = lili!x“1 (x1)2 (x*1)2

d2y = (_^í_)d2x 1 4 dx2X1 (x*1)2

(2) x=Tant + f(t) = ln(1Tan2t )ln(1+Tan2t)

= ln(1Tan2t)ln(Sec2t)

+ fi(t) = 2TantSec2t _ 2SeetTant _ 2Tant( Se° 2t + 1)

1Tan2t Sect • 1Tan2t

= 2( 2Tant ) = 2Tan2t + f"(t) = ¿Sec22t1Tan2t

d2y = f" (t)dt2 = ¿*Sec22t. dt2

M U * y=Senz , z=ax , x=t3 , expresar d2y mediante:

(1) z y dz (2)x y dx (3) t y dt

Solución. (1) f(z) = Senz * f ’z) = Cosz , f"(z) = Senz

Por la fórmula (.A)' d2y = f'(z)d2z + f"(z)dz2

d2y = (Cosz)d2z (Senz)dz2

ANALISIS DE LAS FUNCIONES

■

COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN

G B B 5 D Sea f una función, de dominio D, definida en el

intervalo [a,b]. Se dice que la función f tiene

un valor máximo nclativo o local en un punto ce<a,b>, si para to

da x£<a,b>cD, se cumple que:

f( ) 5 f( )

(2) Sea f(x) = Senax *• f'x) = Cosax (axlna) = axlna(Cosax )

*• f"(x) = axlna QSenax (axlna)3 + InaCo sax [axlna]

= axln2a(axSenax + axln2aCosax

= axln2a(axSenax Cosax )

d2y = (axlnaCosax )d2x axln2a(axSenaxCosax )dx2

(3) Sea f(t)=Sena^ f't) = Cósa^ [a lna(3t2)H

= 31na(t2a^ Cosa*1 )

*■ f"(t) = 31na t2a^ [Sena^ . a^ lna(3t2)3 +

+ t2Cosa^ [a lna(3t2)] + a^ Cosa^ (2t)

= 3a^ lna[(2t + 3t'*lna)Cosa^ Sf'lna.a*' Sena*’ J

d2y = 3a't lna[t(2 + 3t3lna)Cosat 3t‘‘lna.at S ena ^J dt 2

f (c) 5. f (x)

Las figuras ¿.1 y i.2 muestran cada una, una porción de las grá-ficas de una función f que tiene un valor relativo.

472 Capítulo 4: Análisis de las funciones

C 2 H 2 X E 9 Sea f una función con dominio D y definida en el

intervalo £a, bj . Se dice que la función f tieneun valor mínimo /ie.laiivo o ¿ocaí en el punto ce<a,b> si para to-

da xe<a,b>crD, se cumple que:

f (c) < f (x )

Las figuras A. 3 y A. A muestran una porción de la gráfica de una

función que tiene su valor mínimo en c.

Figura 4.3 Figura 4.4

Observación. Si la función f tiene un máximo o un valor mínimo

relativo en el punto c, entonces se dice que f tie

ne un e x t/ie mo /ie lativo en c

Sección 1: Comportamiento de las funciones 473

Si x se aproxima a c por la izquierda »■ xc<0, y por tanto:

■g(xI f(?) < o + lim ,f(x) ^ c) < o (2)Xc x+c xc

Dado que f'(c) existe, los límites (1) y (2) deben ser iguales y

además ambos deben ser iguales a f'(c). Así de (1) y (2) tenemos

respectivamente:

f '(c) > 0 y f '(c) < 0

Ya'que éstas desigualdades se toman como ciertas, éstas se cum-

plen simultáneamente solo cuando: f'(c)=0

La interpretación geométrica del Teorema 4.1 es que si f tiene

unextremo relativo en c y si f'(c) existe, la gráfica de y=f(x)

debetener una recta tangente horizontal en el punto x=c(Figu-

ras 4.1 y A.3).

Existen casos en que f puede tener un extremo relativo en c, y

f'(c) puede no existir. Esto se ilustra en las figuras A.2 y A. A

donde las tangentes a las gráficas de y=f(x) en el punto c son

rectas verticales cuyas pendientes no están definidas.

En conclusión, si una función f está definida en un número c, u

na condición necesaria, pero no suficiente, para que f tenga un

extremo relativo en c es que f'(c)=0 ó f'(c) no exista.

Si c es un número en el dominio de la f

ne un e.x.t/ie.mo /ie.lativo en c.

El teorema siguiente nos permite localizar los posibles valores

de c para los cuales existe un extremo relativo.

TEORÍMA41 ®ea ^ una función definida en el intervalo <a, b>.* , .. ... ~ s £ ^^ene un extremo relativo en ce<a,b>, y si

f'(c) existe, entonces f'(c)=0.

Dem.o¿t/iación. El teorema será demostrado suponiendo que la fun

ción f tiene un valor mínimo relativo en c.

f(x)-f (c)En efecto, por la definición 3.3: f'(c) = lim ----- ----

x+c xc

Dado que f tiene un valor mínimo relativo en c, si x está sufi-

cientemente cerca de c resulta que: f(x)f(c) 5 0

Si x se aproxima a c por la derecha *■ xc>0

Por tanto, f U) f(c ) ^ 0 llm+ f ^x^~f.í.c) » 0 (1)xc x+c xc

y si f'(c)=0 ó f'(c) no existe, entonces c se de

nomina un níme/io c/iítico de f.

CRITERIO DE MONOTONÍA DE LAS FUNCIONES

CSBBB Una función f definida en un intervalo cerrado

[a, bj se dice que es caleciente, si para dos númg

ros xj y x 2e;|.a,b] con:

X i < X j ■* f (x i) < f (x2)

Es decir, una función es creciente sobre ra>bj, si al crecer el

argumento x los valores de la función también crece (Figura A.5)

o viceversa, si:

X 1 > X2 -*• f ( x i ) > f ( x 2 )

474 Capitulo 4: Análisis de las funciones

83EIBES Una función f definida en un intervalo cerrado

(]a, b] se dice que es de.c./ie.cie.nte. si para dos nú-meros xi, X2c[a, b] con:

X i > X 2 + f(xj) < f(x2)

Es decir, una función f es decreciente sobre [a,b], si al crecer

el valor del argumento x, lps valores de la función decrecen (Fi

gura 4.6), o viceversa:

X 1 < X 2 +

y i

f(x2)

f(x,)

i

y=t(*y/

i r l ia x, x, b" x

Figura 4.5

Si una función es creciente o decreciente en el intervalo cerra-

do | a, b| entonces se dice que f es monitoria en el intervalo.

f (x i) > f (x2)

Y*

f( x2)f(x,)

i

1 1 I I, 1 1 1 1 w

o'«

a x2 Xj b x

Figura 4 6


mínimo en el punto xi, si su valor, f(xi), es menor que en cual-

quier otro punto del entorno que corresponde al punto xj, Es de-

cir la función tiene un mínimo en x=xi si se cumple la desigual-

dad :

f('xi + Ax) > f(xi)

para cualquier valor de Ax (positivo o negativo) suficientemente

pequeño en valor absoluto. En la figura 4.8, la función y=f(x)

tiene mínimo cuando x=xi.

Figura 4.7 Figura 4.8

*

Observaciones. (1) La función definida en un intervalo £a,b]

puede alcanzar su valor máximo o mínimo sólo

l t did d t d l t id d

DETERMINACIÓN DE LOS VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LA FUNCIÓN

Sea la función f definida en cierto entorno del

punto xo. Se dice que la función f(x) tiene un

máximo en el punto xo, si su valor, f(x0), es mayor que en cual-

quier otro x del entorno que comprende el punto Xo. Es decir, la

función tiene un máximo en x=xo si se cumple la desigualdad:

f(xo + Ax) < f(x0)

para todo valor de Ax (positivo o negativo) suficientemente pe -

queño en valor absoluto. En la Figura 4.7, la función y=f(x) tie

ne máximo cuando x=x0.

Sea la función f definida en cierto entorno del

punto xi. Se dice que la función f(x) tiene un

en los puntos comprendidos dentro del entorno considerado.

( 2 ) Es un error suponer que el máximo y el mínimo de una funciónen un intervalo |_a, b] son respectivamente el mayor y menor

valor de la misma en este intervalo. En el punto del máximo,

la función tiene el mayor valor sólo en el entorno E(x0,<5)

al punto delmáximo. En el punto del mínimo, la funcióntie-

ne elmenorvalor sólo en el entorno E(xi,6) al punte del mí

nimo.

Así, en la Figura 4.8 se presenta una función definida en el

intervalo fa,bj , que tiene:

máximo , cuando x=x0 y x=x2

mínimo , cuando x=xi y x=x3

Obsérvese que el mínimo de la función en x=x3 es mayor queel máximo en x=x0.


PROBLEMAS RESUELTOS

Mostrar que el punto x=0 es el punto del mínimo de la fun-

ción: y = 3xl*4x 3+12x2+ 1

De.rn.oit/iac ¿6 n. En efecto, según la definición 4.7, f(x) tiene un

valor mínimo en xi=0 si se verifica ladesigualdad

f(0 + Ax) > f(0) +•*• f(Ax) > f(0)

Esto es: f(Ax) = 3Al,x 4A3x + 12A2x + 1

f (0) = 3(0)* 4(0)3 + 12(0)2 + 1

+ A2x (3A2x 4Ax + 12) + 1 > 1

La desigualdad es válida tanto para Ax>0 como para Ax<0.

+ f(Ax) > f(0)

Por tanto', x=0 es el punto del mínimo de la función dada.

Partiendo de la definición de la funcióncreciente y de-

creciente y de los puntos del máximo y del mínimo, mostrar

que la función y=x33x+2 crece en el punto x í=2, decrece en el

punto x2=0, alcanza su máximo en el punto X 3 = - 1 y su mínimo en el

punto x*=1.

De.moAt/iación, Probaremos que: xi<x f(xi) < f(x) (Def.4.4)

En efecto, si xi=2 y x=3

1108

1107


lida. Por tanto, en x 3 = 1 la función f tiene un máximo.

<l) Probaremos que: f(1+Ax) > f(1) (Def.4.7)En efecto, f(1+Ax) = (1+Ax)33(1+Ax)+2 = A2x(Ax+3)

f( D = ( D 33(1) + 2 = 0

Entonces: A2x(Ax+3) > 0 , la desigualdad es válida.

Por tanto, para Xi, = 1, la función f tiene un valor mínimo.

1109. Igual que en el ejercicio 1108, mostrar que la función

y=Cos2x crece en el punto xj = (3/4)’f. decrece en el punto

x2=u/6 , alcanza su máximo en el punto x 3=0 y su mínimo en el pun

to Xi,=7r/2.

i)amojt/iac¿¿n. a) Probaremos que: xi>x ■+ f(xi) > f(x)

En efecto, si x = tt/2 f(x) = Cosn = 1

xi = + f(x) = Cos(|w) = 0

Luego: ^ > \ + 0 > 1 , la desigualdad es válida

Por tanto, la función f es creciente en xi=(3/4)u.

b) Probaremo#s que: x2<x ■+ f(x2) > f(x)

En efecto, si x 2=tt/6 * f(ir/6) = Cos(tr/3) = 1/2

x =ir/4 + f(Tr/4) = Co s (tt/2) ■= 0

Luego: g c ^ + f(tt/6) > f(n/4) . la desigualdad.es válida

e ecto, s y 3

+ f(2) = 86+2 = 4 y f(3) = 279+2 = 20

Dado que: 2<3 ■* 4<20 ,la desigualdad es válida

Por tanto, f(x) es creciente en xi=2.

b) Probaremos que: x2 < x f(x2) > f(x) (Def.4.5)

En efecto, si x2=0 y x=1 , entonces:

f(0) = 03(0)+2 = 2 y f(1) = 1 3+ 2= 0

Como 0<1 * 2<0 , la desigualdad es válida

Por tanto, f(x) es decreciente en x2=0.

c) Probaremos que: f(1+Ax) < f(1) (Def.4.6)

En efecto: f(1+Ax) = (1+Ax)33(1+Ax)+2 = A2x(Ax3)+4

f (1) = (1)33(1)+2 = 4

Entonces: A2x (Ax -3) + 4 < 4Como Ax<0 (está en el entorno de x3=1) la desigualdad es vá

Por tanto, la función fes decreciente en x2=7r/6.

c) Probaremos que: f(0+Ax) < f(0) ■*-*■ f(Ax) < f(0)(Def.4.6)

En efecto, f(2Ax) = Cos(2Ax) y f(0) = Cos‘0 = 1

Luego: Cos(2Ax) < 1 , la desigualdad es válida para todo va

lor de Ax, por tanto, la función f tiene un máximo enx 3=0.

d) Probaremos que: f(^ + Ax) > fííj) (Def. 4.7)

En efecto, f(^ + Ax) = Co s (tt + 2Ax ) = Cos(2Ax)

f (tt/2) = Co s (tt) = 1

Entonces: Cos(2Ax) > 1 Cos(2Ax) < 1

La desigualdad es válida para todo valor de Ax, por tanto, la

función f alcanza un mínimo en xi»=tt/2.


Sin recurrir al concepto de la derivada, analizar el com-

portamiento de la función dada en el punto x=0.

(1) y=1xl* U) y = 3/x* (7) y = ¡ln(x+1)|

(2) y= x5x3 (5) y = (8) y = e'lx|

(3) y = 3/x (6) y = |Tanx | (9) y = /x3+x2

SoCuciin. (1) Sean f(x) = 1x'* ,xo=0 ,y xi=1 , X 2 = 1 dos puntos

en el entorno de xo.

Entonces: f(0) = 1 0 = 1 , f(1)=11=0 , f(1)=11=0

Podemos observar que: x0 > xi *• f(x0) > f(xi)

o sea que f es creciente en Xo=0

Además: xo < x2 f(xo) > f(x2) f es decreciente

Puesto que una función no puede ser creciente y decrecientea la vez en un mismo punto, éste debe ser un extremo.

Veamos si se cumple la desigualdad: f(xo+Ax) <f(xo)

f(0 + Ax) < f(0) +*■ 1 A“x < 1

Como Ax •*. 0, la desigualdad es válida, por tanto, x0=0 es un

punto del máximo de la función, (y =1)max

(2) Sean f(x)=x5x3 = x3(x21) , Xo=0

En este caso no podemos elegir xi=1 y x2 = 1 en el entorno de

x o , puesto que la función toma el mismo valor para x o = 0 .

Entonces, si xi=1/2 y x2=1/2 se tiene:

1110

Sección I: Comportamiento de las funciones 479

Vemos que: x 0 > Xi *■ f(xo) < f(xi) , f esdecreciente en xo

xo < x2 f(x0) < f(x2) > f es creciente en x0

La función debe tener un mínimo en x0. En efecto:

f (xo+Ax) > f(xo) ■+ |Tan(0+Ax) | > |Tan(0) | «+ |Tan(Ax) | > 0

Siendo la desigualdad válida para Ax>0 y Ax<0, según la defini-

ción ¿.7, la función’ tiene un mínimo en x0=0.

(7) f(x)= |ln(x+1) | , sean x0=0 y xi=1/2 , x2=1 dos puntos en el

entorno de x0. Entonces:

f(x0)=|ln1|=0 ; f(xi)=|ln(1/2)| =|ln1ln2|= ln2 , f(x2)=ln2

Vemos que: x0 > xi * f( x0) < f(xi) , f es decreciente en x0

xo < x2 ■+■ f(xo) < f(x2 ) , f es creciente en x0

La función debe tener un mínimo en x0. En efecto, sif (xo.+Ax) > f (x o) »■ |ln(0+Ax+D| > |ln(0+1)| <*• |ln(1+Ax)| > 0

Siendo la desigualdad válida para Ax>0 y Ax<0, la función tiene

un mínimo en Xo=0.

(8) f(x) = e” x l ; sean xo=0 y xi=1 , X2=1 dos puntos en el en-

torno de xo. Entonces:

f(x0)=e°=1 : f(xi)=f(xj)=e‘ != 1/e

Vemos que: xo > xi f( x0) > f(xi) , f es creciente en xo

xo < X 2 ■* f (x0) > f (x2) , f es decreciente en x0

L f ió d b t á i 0 E f t ú l d fi

f(x0) =0 : f(x,■)=■(- | ) M - | ) 3 = 3 I ; f ( * 2 ) = = - 3 !

Vemos que: xo > x¡ *■ f(xo) < f(xj)

Xo < x2 •* f(xo) > f(x2 )

Por tanto, según la definición A.5, la función es decreciente

en Xo=0.

En los ejercicios (3), (A) y (5) se procede enidénticaforma que

en el ejercicio (1). Las respuestas son: En (3), lafunción es

creciente en x=0, en (A), la función tiene un mínimo en x=0, en

(5), la función tiene un máximo' en x=0.

(6) f(x) = |Tanx| , sean x0=0 y Xi = —n/A , x2=ir/A dos puntos en el

entorno de xo.Entonces: f(xo)=0 ; f(xi)=1 , f(x2)=1

La función debe tener un máximo en x 0. En efecto, según la defi-

nición A-6: f(x0 + Ax) < f(xo) e l()+Axl < e” 1

+ e"^Ax < 1 <*■ e^úx > 1

Siendo la desigualdad válida tanto para Ax>0 como para Ax<0, la

función tiene un máximo en xo=0.

1 Mostrar que la función y=ln(x2+2x3) crece en el punto

xi=2 , decrece en el punto xz~-A y no tiene puntos esta-

cionarios.

SoCución. En efecto, sea f (x) =.ln(x+3) (x1)

*■ 3f ■*-*■ (x+3)(x1)>0 (x>1)v(x<3)

Dom(f) = <—c°,3> U <1,+oo>

Si xi=2eDom(f) , también x 3=3eDom(f) . Entonces:

480 Capitulo 4: Análisis de las funciones

f ( x i ) = l n ( 2 + ' 3 ) ( 2 - 1 ) = l n 5 y f ( x 3 ) = l n ( 3 + 3 ) ( 3 -1 ) = l n 12

Se cumple que; xi < x 3 .+ f(xi) < f(x3)Por tanto, la función es creciente en xi=2

Si x2 = 4.eDom(f), también xi, = 5eDom(f) , entonces:

f ( x 2 ) = l n ( - ¿ + 3 ) ( - ¿ - 1 ) = l n 5 y f ( x j = l n ( - 5 + 3 ) ( - 5 - 1 ) = ln 1 2

Se cumple que: x¡ > x* *■ f(x2) < f(x*)

Luego, la función es decreciente en x2 = ¿

p 2x + 2Derivando la ecuación dada obtenemos: f'(x) = -------

x2+2x3

Según el Teorema K.1> el valor extremo de una función se obtiene

haciendo f'(xo)=0 ■+■ 2xo + 2=0 +*■ xo=1

Como x0=1¿Dom(f), entonces la función no tiene puntosestaciona

rios.

Esclarecer el comportamiento de la función y=Senx+Cosx en

los puntos xi=0 , x2=2 , x 3=-it/3 > x'*=2.

Solución. Sea f(x)=Senx+Cosx *• f 1 (x) =CosxSenx

Posteriormente demostraremos que una función es cre-

ciente en xo si f'(xo)>0 , y es decreciente en Xo , si f(xo)<0

Luego, para xi=0 *■ f'(0) = CosOSenO = 1>0 , f es creciente

Para x2 = 1 *• f 1 (1) =Cos1Sen1

Dado que Cos1<Sen1 *•f ’ (1)<0 , entonces , f es decreciente

Para xj=u/3 f'(ir/3) = Cos (rr/3) Sen(ir/3) = 1/2(/3/2)>0

l f ió i

1112

Sección 2: Aplicación de la primera derivada 481

Para xi,1 + f’(1) = 11 = 0 , xu es un punto extremo

Para determinar si la función tiene un máximo o mínomo en este

punto, veamos si se cumple la desigualdad: f(xi,+Ax) > f(x*)

+ f (1+Ax) > f(1) (1+Ax)ln( 1+Ax) > 1ln1

+ Axln(1+Ax) > 0 ln(1+Ax) < Ax

La desigualdad es válida, tanto para Ax>0 como para Ax<0, por lo

tanto, la función alcanza un mínimo en xi, = 1

Si x=a f'(a) = 1 “ , como 1 > 4 > ¥a>1 + f'(a)>0, cuandoü el

a>1, entonces la función es creciente en x=a.1

Si x=1/a + f'(— ) = 1a ■+ f'(1/a)<0 cuando a>1; por tanto, la

función es decreciente cuando x=1/a.

Esclarecer el comportamiento de la función y=xarcTanx en

los puntos: xi=1 , x2 = 1 y x 3=Ó.

Solución. Si f(x)=xarcTanx •+• f'(x) = —— + arcTanx1+x2

Para xi = 1 f'd) = + arcTan(l) = 1 + i > 0

La fuición es creciente.

Para x2=1 *• f'(1) = + arcTan(l) = ~ j < 0 ,

La función es decreciente.

Para x3=0 f'(0) = + arcTan(O) = 0 x3 es un valor extre

1114

entonces, la función es creciente.

Para x^=2 >• f ' (2) =Cos2Sen2 (2 rad = 1U°12')Como Cos2<0 y Sen2>0 *■ f'(2)<0, entonces la función es decre-

ciente.

Esclarecer el comportamiento de la función y=xlnx en los

puntos Xj= 1/2 , x 2=2 , x3 = e y x,, = 1 y mostrar que si la fun

ción dada crece en el punto x=a, en cambio, decrece en el punto

1/a (a>0).

Solución. Si f(x)=xlnx *■ f ' (x) = 1 ^

Para xi=1/2 + f 1(1/2)=12=1<0 , f es decreciente

Para xj=2 f'(2) = ^ es creciente.

Para x 3=e ■* f'(e) = 1 1/e > 0 , f es creciente.

1113

Para x3=0 f'(0) = + arcTan(O) = 0 , x3 es un valor extre-

mo. Veamos si se cumple la desigualda: f(x3+Ax) > f(x3)(0+Ax)e.rcTan(0+Ax) > OarcTanO >■ AxarcTan(Ax) > 0

Siendo la desigualdad válida para Ax>0 y para áx<0, la función

alcanza un valor mínimo .en Xj=0.

Esclarecer el comportamiento de la función

Senx — — , para x^O

1 , para x=0

en los puntos xi=1/2 , x2=1/2 y x3=0

Solución. Si f(x) = §££* f .(x) = xCo sxSenx > para xjíQ

■v

1115


1 1 1■^Cos-^ - Sen-~ . ,1 1

p a r a x i = 1 / 2 + f ' ( x i ) = ------------ ---------- = 2 ( C o s — - 2 Se n7 j)

A 1 1

Dado que CoS'j < Senjj •+■ f ' ( x i ) < 0 f es d e c r e c i e n t e e n x j .

P a r a x 2 = - 1 /2 * f ( x 2 ) g _ ( -1 / 2) C o B( - 1 / 2 ) - S e n ( - 1 / 2 )

Mí

= 2 ( -C os | + 2Sen-Í )

+ f ( x 2 ) > 0 .". f e s c r e c i e n t e e n x 2 .

P a r a . x 3 =0 , f ( x ) = 1 + f ' ( x 3 ) = 0 , x 3 e s u n v a l o r e x t r e m o .

V e am os s i s _e c u m pl e l a d e s i g u a l d a d : f ( x 3 + Ax ) < f ( x 3 )

f ( 0 + Ax ) < f ( 0 ) + < 1

Como Ax-*-0 , l a d e s i g u a l d a d e s v á l i d a , p o r t a n t o , l a f u n c i ó n a l

canza un va lor máx imo en x 3 =0 .

APLIC ACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADA

2.1. TEOR EMA DE ROLLE

T EOR EMA 4 . 2 S i f e s u n a f u n c i ó n p a r a l a c u a l :


t e d e a y de b , y a q u e s e gú n l a c o n d i c i ó n f ( a ) = f ( b ) = 0 ( F i g . í.9)

S i f ( c ) e s e l v a l o r m áx imo de l a f u n c i ó n , e n t o n c e s :f(c) = üm ClxI~lL?J

x +c x ' c

Da do qu e f t i e n e s u v a l o r m áx imo e n c, y s i x e s t á s u f i c i e n t e m e n

t e c e r c a d e c , r e s u l t a q u e :

f ( x ) - f ( c ) < 0

C ua nd o x - c > 0 , o s e a s i x + c + , e n t o n c e s :

l i m f ( x ^ , ~ f ( c ) » 0 f ' ( c ) ^ 0 ( 1 )x+c X - C

y c u a n d o x - c < 0 , o s e a s i x + c " , e n t o n c e s :

l i m ¿ o «->• f ' (c ) < 0 ( 2 )x+ c

P u e s to qu e f ' ( c ) e x i s t e , l a s d e s i g u a l d a d e s ( 1 ) y ( 2 ) s on c o mp a ti

b l e s s ó l o p a r a e l c a s o . e n q u e f ' ( c ) = 0 .

En c o n s e c u e n c i a , d e n t r o d e l i n t e r v a l o f a , b ] h ay un p u n to c , e n

e l c u a l l a d e r i va d a f ' ( x ) = C .

La i n t e r p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a d e l T eo r em a d e R o l l e e s muy s e n c i

l l a . S i u n a c u r va c o n t i n u a c o n t a n g e n t e e n c ad a u no d e s u s p u n

t o s , c o r t a a l e j e 0 X e n l o s p u n t o s d e a b s c i s a a y b, e n t o n c e s e n

e s t a c u r v a e x i s t i r á p o r l o m en os u n p u n to d e a b s c i s a c e < a , b > , e n

e l c a l l a t a n g e n t e e s p a r a l e l a a l e j e OX ( F i g A 9 )

i ) f e s c o n t i n u a e n e l i n t e r v a l o c e r r a d o [ a , b ]

i i ) f e s d e r i v a b l e e n e l i n t e r v a l o a b i e r t o < a ,b >

i i i ) f ( a ) = f ( b ) = 0

e n t o n c e s e x i s t e p o r l o m e n o s u n n ú m e r o c e < a , b > t a l q u e

f ' ( c ) = 0 .

de.mostA.ac.ibn, En e f e c t o , p u e s t o q u e l a f u n c i ó n f e s c o n t i n u a s o

b re e l i n t e r v a l o [ a , b ] , de b e t e n e r e n e s t e i n t e r

va lo su va lo r máximo M, y su va l or mínimo m. En ton ces para tod os

l a s x e [ a , bj s e c u mp le l a d e s i g u a l d a d : m ^ f ( x ) < K

a ) S i M=m o c u r r e q ue f ( x ) e s c o n s t a n t e y p or l o t a n t o f ' ( x ) = 0 s o

b r e [ a , b } . E n r e a l i d a d e l p u n t o c s e p u ed e t o ma r en c u a l q u i e r

p u n t o d e l i n t e r v a l o < a , b > , y e l t e o r e m a q u e d a d e m o st r a d o .

b ) S i M /n , s u p o ng a m os q u e M>0 y q u e l a f u n c i ó n t i e n e s u v a l o r má

x i mo c u an d o x = c , e s t o e s , f ( c ) = M . O b s e r ve m o s q u e c e s d i f e r e n

e l c u a l l a t a n g e n t e e s p a r a l e l a a l e j e OX ( F i g . A.9 ) .

O b s e r v a c i ó n . E l Te o r em a d e R o l l e e s t a m b i é n v á l i d o p a r a u na f u n

c i ó n d e r i v a b l e q u e en l o s e x t r e mo s d e l i n t e r v a l o

[ a , b ] n o s e r e d u z c a a c e r o , s i n o t om e v a l o r e s i g u a l e s : f ( a ) = f ( b )

( F i g . 4 . 1 0 ) .


2.2. TEOREMA DE LAGRANGE

TE OR EM A4.3 TEOREMA DEL VALOR MEDIOW&Msmm&SiS&sm v/''.Z'aví

S i f e s u na f u n c i ó n t a l q u e :

i ) e s c o n t i n u a e n e l i n t e r v a l o c e r r a d o £ a , t j

i i ) e s d e r i v a b l e e n t o d o s l o s p u n t o s d e < a ,b >

p o r l o m e no s un nú m er o c e < a , b > t a l q u e :

e n t o n c e s e x i s t e

f ' ( c ) f ( b ) - f ( a ) b - a

de.moitn.ac Un. En e f e c t o , a n a l i c e m o s l a f u n c i ó n a u x i l i a r :

F ( x ) = f ( x ) - Xx ( 1 )

y d e f i n a m o s e l n úm er o X d e f o r m a t a l q u e F ( a ) = F ( b ) , e s t o e s :

f ( a ) - X a = f ( b ) - A b , d e d o n de : X = ( 2 )

P a ra l a f u n c i ó n F ( x ) s e c um p le n t o d a s l a s c o n d i c i o n e s d e l t e o r e

ma d e R o l l e . En e f e c t o , f ( x ) e s c o n t i n u a s o b r e [ a , b ] , y l a f u n

c i ó n Xx, a l s e r l i n e a l , e s c o n t i n u a V-cR, p o r t a n t o , t a m bi é n l a

f u n c i ó n F ( x ) = f ( x ) - X x s e r á c o n t i n u a s o b r e £ a , b ] .

L a f u n c i ó n f e s d e r i v a b l e e n t o d o s l o s p u n t o s d e < a , b >* y l a f u n

c i ó n Xx e s d e r i v a b l e e n t o d o s l o s p u n t o s d e l e j e r e a l , p o r t a n t o

s u d i f e r e n c i a , F ( x ) t a m b i én e s d e r i v a b l e s o b re < a , b > . F i na l m e n t e ,

e n l o s e x t r em o s d e l s e g m en t o £ a , b ] , p o r e l e c c i ó n d e X, l a f u n c i ó n

Sci ción 2: Aplicación de la primera derivada 485

K nt o n ce s: ^ =¡ TanB

y c omo l a d e r i v a d a f ' ( c ) e s l a t a n g e n t e d e l á n g u l o a d e i n c l i n a

c i ó n d e l a l í n e a t a n g e n t e a l a c u r va e n e l p u nt o d e a b s c i s a c ,

n 3 d e c i r , f ' ( c ) = T a n a . S eg ú n e s t o , l a i g u a l d a d ( 3 ) p u e de s e r e s

c r i t a d e l a f o rm a:

Tana = Tan6

De e s t a f o r m a , e l T e or e ma d e L a g r a n ge m u e s t r a q u e e n e l i n t e r v a

l o < a, b > d e b e e n c o n t r a r s e u n p u n t o c e n e l c u a l l a t a n g e n t e a l a

g r á f i c a e s p a r a l e l a a l a c u e r da AB.

2.3 TEOREMA DE CAUCHY

TEOREMA 4.4 S e an l a s f u n c i o n e s f y g

i ) c o n t i n u a s en e l i n t e r v a l o c e r r a d o [ a , b ]

i i ) t i e n e n d e r i v a d a s e n c a d a p u n to d e l i n t e r v a l o a b i e r t o < a ,b >

l i i ) g 1 f 0 e n t o d o s l o s p u n t o s d e l i n t e r v a l o < a , b > .

E n t o n c e s e x i s t e u n p u n t o c e < a, b > , t a l q u e :

f ( b ) - f ( a ) = f ' ( c )

g ( b ) - g ( a ) g 1 ( c )

Tle.moitn.ao.iin.. En e f e c t o , a n a li c e mo s l a f u n c i ó n a u x i l i a r

F (x ) = f (x ) - Xg (x ) (1)

F ( x ) a l c a n z a v a l o r e s i d é n t i c o s : F ( a ) = F ( b ) . P or e s t o , e x i s t e a l me

n o s u n pu n t o c e < a , b> t a l q u e F ' ( c ) = 0 .

De (1 ) s e t i e n e : F ' ( x ) = f ' ( x ) - X -*■ F ' ( c ) = f ' ( c ) - X

S u s t i t u y e n d o a q u í X d e ( 2) o b t e n e m os :

f ( c ) = £í -b ) ~

f ' ( c ) = X

b - a( 3 )

E l s e n t i d o g e o m é t r i c o d e l t e o r e

m a d e L a g r a n g e c o n s i s t e e n l o

s i g u i e n t e :

S e an A [ a , f ( a ) ] ' y B [ b , f ( b ) ] l o s

e x t re m o s d e l a g r á f i c a d e l a f u n

c i ó n f , y AB l a c u e r d a q u e u ne l o s p u n t o s A y B ( F i g . 4 . 1 1 ) .

d o nd e e l n úm er o X s e h a e l e g i d o d e t a l f o r m a q u e F ( a ) = F ( b ) , e s t o

es:

f ( a ) - X g ( a ) = f ( b ) - X g ( b ) + X = ) ~.f ( a ) ( 2 )g ( b ) - g ( a )

La f u n c i ó n F s a t i s f a c e t o d a s l a s c o n d i c i o n e s d e l T eo re ma d e R o

l l e , p o r / t a n t o , e x i s t e u n p u n t o c' e<a , b >, t a l q ue F ' ( c ) = 0 .

Pero de ( 1 ) : F ' ( x ) = f ! ( x ) - X g ' ( x) + - F' ( c) = f ' ( c ) - X g '( c )

de d on de : - X = Sc ( 3 )g' (c)

d e ( 2 ) y ( 3 ) ob te ne mo s: JLliLÍ—I—£(g ( b ) - g ( a ) g ' ( c )

O b s e r v a c i ó n . L a f ó r m u l a d e C a uc h y , a l i g u a l q u e l a f ó r m u l a d eL a g r a ng e e s v á l i d a n o s ó l o s i a < b, s i n o t a m b i é n pa

ra a>b.


TEOREMA4.5 ( 1 ) S i un a f u n c i ó n f ( x ) e s c r e c i e n t e e n e l i n t e r v a

l o [ a , b] y e s d e r i v a b l e s o b r e e l i n t e r v a l o < a , b> , e n t o n c e s s u d e r i va d a e s f ' ( x ) >0 s o b r e < a , b > .

( 2 ) S i l a f u n c i ó n f ( x ) e s c o n t i n u a e n e l i n t e r v a l o [ a , b j .yd e r i

v a b l e s o b r e e l i n t e r v a l o < a , b > c u a n d o f ' ( x ) >0 , ¥ x e < a , b > , e s

t a f u n c i ó n e s c r e c i e n t e s o b r e e l i n t e r v a l o [ a, b ] .

de.moitA.ac.L6n, L a d e m o s t r a c i ó n d e l t e o r e m a c o m p r e n d e d o s p a r t e s :

l a n e c e s id a d y l a . s u f i c i e n c i a .

( 1 ) Necesidad. S i l a f u n c i ó n f ( x ) e s c r e c i e n t e s o b re [ a , b] , e n

t o n c e s p a r a u n i n c r e m e n t o A x d e l a r g u m e n t o x c o n

s i d e r e m o s l a r a z ó n : . .f ( x t A x ) - f ( x ) ( - |)

AxS e g ún l a d e f i n i c i ó n 4 . 5 : f ( x + A x ) > f ( x ) , p a r a Ax >0

y f ( x + A x ) < f ( x ) , p a r a Ax <0

. f ( x + A x ) - f ( x ) ^ n (2)En ambos casos : ------------- u

f ( x + A x ) - f ( x ) s nv. po r lo t a n t o : li m --------------------------------------- — ¿ uJ Ax+0 Ax

e s d e c i r, f ' ( x ) * 0 , l o q ue s e t r a t a b a d e de m o s t r a r .

( 2 ) Su¿ ic lene la. S e a f ’ ( x ) > 0 , ¥ - x e< a, b > y s e a n x i , x 2 e < a , b > t a

les que a<Xi<X2<b

Entonces, por el teorema de Lagrange:


( 1 ) S i l a f u n c i ó n e s c/iec lente, s o br e e l i n t e r v a l o Ca, b ] , l a l í

n e a t a n g e n t e a l a g r á f i c a d e y = f ( x ) e n c ad a p u n to d e l a m i s ma, f orma con e l e je X un ángulo agudo a, o e n a l g u n o s p u n

t o s p u e d e s e r p a r a l e l a a l e j e X. L a t a n g e n t e d e e s t e á n gu l o

e s p o s i t i v o : f ' ( x ) = Tanc tj O ( F i g u r a 4 . 1 2 ) .

( - í ) S i l a f u n c i ó n f ( x ) e s dec/iec lente, s o b r e e l i n t e r v a l o £ a, b } ,

e l á n gu l o a de i n c l i n a c i ó n d e l a l i n e a t a n g e n t e s e r á ob t u so

( e n a l gu n o s p u nt o s l a l í n e a t a n g e n t e p u e de s e r p a r a l e l a a l

e j e X ) . L a t a n g e n t e d e e s t e á n g ul o e s n e g a t i v a : f ' ( x ) = T a n a $ 0

( F i g u r a 4 . 1 3 ) .

iEOREMA 4 7 ( C o n d i ci ó n n e c e s a r i a p a r a l a e x i s t e n c i a d e un va l o r

f'(c) - X-~ , X l < C < X 2X 2 X 1

Dado q u e: f ’ ( c ) > 0 f ( x * ) - f ( x i ) > 0

l o q ue s i g n i f i c a q ue f ( x ) e s u na f u n c i ó n c r e c i e n t e .

T EO RE MA 4. 6 ( 1 ) S i u n a f u n c i ó n f ( x ) e s decreciente e n e l i n t e r v a

l o [ a , b ] y e s d e r i v a b l e s o b r e e l i n t e r v a l o < a , b >

e n t o n c e s s u d e r i v a d a e s n e g a t i v a , e s d e ci r , f , ( x )< 0 s o b r e e l

i n t e r v a l o < a , b > .

( 2 ) S i l a f u n c i ó n f ( x ) e s c o n t i n u a e n e l i n t e r v a l o [ a , b ] y d e r i

v a b l e s o b r e e l i n t e r v a l o < a , b > c u a n d o f ' ( x ) <0 , ¥ -xe<a ,b> , es

t a f u n c ió n e s d e c r e c i e n t e s o br e e l i n t e r v a l o [ a , b ] .

O b s e r va c i ó n. L os T eo re ma s 4 . 5 y 4 . 6 t i e n e n l a s i g u i e n t e i n t e r

p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a .

iEOREMA 4.7 ( C o n d i ci ó n n e c e s a r i a p a r a l a e x i s t e n c i a d e un va l o r

e x t r e m o )S i x o e s u n p u n t o d e ex t r e m o de l a f u n c i ó n f , d e f i n i d a e n c i e r t o

e n t o r no d e l p u n to x 0 . E n t o n c e s , o b i e n l a d e r i v a d a f ' ( x 0 ) =0 , o

b i en f ' ( x o ) no e x i s t e .

±H 9At/iact¿n. E n e f e c t o , s u p o n g a m o s q u e e n e l p u n t o x o l a f u n

c i ó n t i e n e u n m áx im o, o s e a s i x 0 e s un punto de

" xt r em o p a r a l a f u n c i ó n f , e n t o n c e s e x i s t e u n e n t o r no E ( x o , A x ) ,

L a l q u e e l v a l o r d e l a f u n c i ó n f e n e l p u n t o x 0 s e r á e l m a y o r e n

' ■s te e n t o r n o , e n t o n c e s s e v e r i f i c a r á :

f ( x o + A x) < f ( x 0 ) -*■ f ( x o + A x ) - f ( x o ) < 0 ( D e f . 4 . 6 )

Kñ e s t e c a s o , e l s i g n o d e l a r az ó n : f ( x p + A x ) - f ( x o )Ax'■ d e t e r m i n a p o r e l d e Ax .

488 Capítulo 4: Análisis de las Funciones

Cuando Ax<0 + f ( x 9 + A x ) - f ( x o ) > 0

y cuando Ax>0 + K Q Ax

f ( x o + A x ) - f ( x o )P or d e f i n i c i ó n d e d e r i v a d a : f ' ( x o ) = l i m

Ax+0 Ax

S i A x + O- , s i e n d o n e g a t i v o Ax f ’ ( x o ) 5- 0

S i Ax + 0 + , s i e n d o p o s i t i v o Ax + f ' ( x o ) < 0

L a s d o s d e s i g u a l d a d e s s o n c o m p a t i b l e s ú n i c a m e n t e c u an d o

f ' ( x o ) =0

A n á l o g a m en t e s e d e m u e s t r a e l t e o r e m a c u an d o s e t r a t a d e l m ín i mo

d e l a f u n c i ó n .

TEOREMA 4 .8 ( C o n d i c i o n e s s u f i c i e n t e s p a r a l a e x i s t e n c i a d e un

v a l o r e x t r e m o )

S up on ga mo s q u e l a f u n c i ó n f ( x ) e s c o n t i n u a s o b r e u n c i e r t o i n t e i

v a l o , a l c u a l p e r t e n e c e e l p u n t o , d e ex t rB m o x o , y e s d e r i v a b l e

e n c a d a p u n t o d e l m i sm o ( e x c e p t o , p o s i b l e m e n t e , e l m is mo p u n t o

c r í t i c o xo). S i , a l p a s a r p or e s t e p u n t o de i z q u i e r d a a d er e c h a ,

e l s i g n o d e l a d e r i v a d a c a m b i a d e mía a menoA, e n t o n c e s l a f u n

c i ó n a d m i t e m áx i mo e n x = x o . S i , a l p a s a r p o r e l p u n t o x o , d e i z

q u i e r d a a d e r e c h a , e l s i g n o d e l a d e r i v a d a c a m b ia de me.no<¡ a mí.

l a f u n c i ó n a d m i t e u n mí n im o e n e s t e p u n t o .

De modo que s i:


f ( x ) - f ( x 0 ) = f 1 ( c ) ( x - x 0 )

d o n de c e s e l p u n t o c o m p r e n d i d o e n t r e x y x 0

( 1 ) Se a x < x c e n t o n c e s se t i e n e :

c < x o + f ' ( c ) > 0 , l u e g o : f ' ( c ) ( x - x 0 ) < 0

y p o r t a n t o , f ( x ) - f ( x o ) < 0 +-► f ( x ) < f ( x 0 ) ( 1 )

(2) S e a x>x0» o s e a xXo>0, e n t o n c e s s e t i e n e :

c > x o + f ' ( c ) < 0 , l u e g o : f ' ( c ) ( x - x o ) < 0

y , p o r t a n t o : f ( x ) - f ( x 0 ) < 0 f ( x ) < f ( x o ) ( 2 )

L as d e s i g u a l d a d e s ( 1 ) y ( 2 ) m u e s t r a n q u e p a r a t o d o s l o s v a l o r e s

d e x , e n e l e n t o r n o d e x o, l o s v a l o r e s d e l a f u n c i ó n , s o n m en or e s

q ue e l v a l o r d e é s t a e n e l p u n t o x o . E n c o n s e c u e n c i a , e n e s t e p un

t o l a f u n c i ó n f ( x ) t i e n e u n m áx im o.A n á l o ga m e n t e s e d e m u e s t r a l a s e g u n d a p a r t e d e l t e o r e m a , e s d e c i r ,

l a c o n d i c i ó n s u f i c i e n t e p a r a e l v a l o r m í n i m o .

De modo que s i:

.).f f f ( x ) > 0 , para X < Xo En e l p un to xo l a f un ci ón

f 1 ( x ) < 0 , para X > Xo t i e n e máximo

b> .\f f ( x ) < 0 , para X < Xo * En e l p un to xo l a f un ci ón

^ f ' ( x ) > 0 , para X > xo’ . t i e n e mínimo

De.mo.it/iaci6n.. V e a mo s p r i m e r o e l c a s o e n q u e e l s i g n o d e l a d e r i

v a d a c a m b i a d e mí¿ a me.no/>, e s d e c i r q ue p a r a t o

d o s l o s p u n t o s x , s u f i c i e n t e m e n t e p r ó x im o s a l p u n t o x o» s e t i e n f

f ' ( x ) > 0 , pa ra x < x 0

f 1 (x) < 0 , pa ra x > x 0

En e f e c t o , a p l i c a n d o e l t e o r e m a d e L a gr a n ge a l a d i f e r e n c i a

f ( x ) - f ( x o ) > o bt en em os :

La s f i g u r a s ¿ . 1¿ y ¿.15 n o s i l u s t r a n c l a r a m en t e e l s i g n i f i c a d o

d e l T e o r e m a ¿ . 8 .

S u po n ga m os qu e e n e l p u n t o x = x j t e n e m os f ' ( x l ) = 0 , y , p a r a t o d o s

l o s v a l o r e s d e x e n e l e n t o r n o de x ¡ , s e c u mp l en l a s d e s i g u a l d a

d e s: f ' ( x ) >0 , p a r a x < x x

f 1 ( x )> 0 , p a r a x > x j

e n t o n c e s , s e d i c e qu e l a f u n c i ó n e s cAe.cle.nte t a n t o p a r a x < x t co

mo p a r a x > x j . P o r t a n t o , p a r a x = x l t l a f u n c i ó n n o t i e n e n i m á xi -

n i m í n i m o .

S i e n e l p u n t o x = x 2 t e n e m o s f ' ( x 2 ) =0 , y , p ar a t o d o s l o s v a l o r e s do x e n e l e n t o r n o d e x ¡ , s e c u m pl e n l a s d e s i g u a l d a d e s :


f 1 ( x )< 0 , p a r a x < x 2

f ' ( x )< 0 p a r a x > x 2

e n t o n c e s s e d i c e q ue l a f u n c i ó n e s decreciente f-x. P o r t a n t o , p a

r a x = x 2 , l a f u n c i ó n n o t i e n e n i m áx imo n i m í n im o .

PROBLEMAS RESUELTOS

V e r i f i c a r l a v a l i d e z d e l t e o re m a d e R o l l e p a r a l a f u n c i ó n

y = x 3+ 4 x 2 - 7 x - 1 0 e n e l i n t e r v a l o [ - 1 , 2 j .

Solución. S e a f ( x ) = x 3+ 4 x2 - 7x - 10 y [a , b] = [ -1 , 2]

Da do qu e f e s c o n t i n u a e n [ - 1 , 2 ] y d e r i v a b l e e n < - 1 , 2 >

l a s p r i m e r a s c o n d i c i o n e s d e l t e o r e m a d e R o l l e s o n s a t i s f e c h a s . V e a m o s l a t e r c e r a c o n d i c i ó n :

i i i ) f ( a ) = f ( - 1 ) = - 1 + 4+ 7 - 10 = 0

f ( b) = f ( 2 ) = 8 + 1 6 - U - 1 0 = 0

f 1 (x ) = 3x 2 + 8 x - 7 + f ' ( c ) = 3 c 2+ 8 c - 7

S i f ( a ) = f ( b ) ■* a c e <- 1 , 2 > / f 1 ( c ) = 0

♦ 3c2 +8c- 7= 0 - 6 C2 = r i V l 2

+ c i = 0 . 6 9 e < - 1 , 2 > ó c 2 - - 3 . 3 6 i < - 1 , 2 >

P o r t a n t o , p a r a c i - ^ 3 7 - 4 e s v á l i d o e l t e o r e ma de R o l l e .

1116


i ) f e s c o n t i n u a en [ b. Tr ]

i i ) f ' ( x ) = 4 ^e nXl n ¿ ( C o sx ) -*• f e s d e r i v a b l e e n < 0 , 7r>

i i i ) f ( 0 ) = ¿S e n0 = = 1 ; f (tt) = 4Senlr = 4 o = 1

-*• f ( a ) = f ( b ) = 1 + 3 ce < 0 , ti> / f ' ( c ) =0

-*■ 4 ^ e n c l n ¿ ( C o s c ) = 0 + C o s c = 0c=tt/2 e<0 ,7t>

P or t a n t o , e s v á l i d o e l t e o r e ma de R o l l e p a r a c =i r/ 2

V e r i f i c a r l a v a l i d e z d e l t e o re m a de R o l l e p ar a l a f u n c i ó n

y= 3/x 23 x+ 2 e n e l i n t e r v a l o C l , 2 j .

Solución. S i f ( x ) = 3/x23x+2 -*• f ' ( x ) = - ........ . - ,£#72, ---------------3 3/ ( x - 1 ) 2 ( x-'2> 2

f e s r e a l p a r a x > 0 y par a x<0 + Dom{f)=R No e x i s t e f 1 p a r a x = 1 y x= 2

E n t o n c e s : i ) f e s c o n t i n u a e n [ 1 , 2 ]

i i ) f e s d e r i v a b l e e n < 1 , 2 >

i i i ) f ( l ) = f ( 2 ) = 0 + 3 c e < 1 , 2 > / f 1 (c ) = 0

+ 2 c - 3= 0 +-*• c= 3 /2

2 - x 2L a f u n c i ó n y = -------- t o ma v a l o r e s i g u a l e s e n l o s e x t r e m o s

x 4

d e l i n t e r v a l o [ I- 1, 1J . M o s t r a r q ue l a d e r i v a d a d ed i c h a

f u n c i ó n n¡j s e r e d u c e a c e r o e n p a r t e a l g u n a d e l i n t e r v a l o [ - 1 , 1 ]

1120

1119

V e r i f i c a r l a v a l i d e z d e l t e or e m a de R o l l e p a ra l a f u n c i ó n y = l n S e n x e n e l i n t e r v a l o [ t t/ 6 , 5 n / 6 j .

Solución. S i f ( x ) = l nS e nx 3 f *~+ Senx>0 +-+■ x£<0 , ir>

i ) L u e go , l a f u n c i ó n e s c o n t i n u a e n | jr r/6 , 5tt/6]

i i ) f ' ( x ) = - § § f § = T an x , no e x i s t e f 1 ( x ) p a r a x = i r / 2

o s e a , l a f u n c i ó n f no e s d e r i v a b l e e n <7r/ 6 , 5 tt/ 6 >

Como l a s e g u n d a c o n d i c i ó n n o e s s a t i s f e c h a , e l t e o r e m a d e Ro

l i e n o e s v á l i d o p a r a y =l n S e n x .

V e r i f i c a r l a v a l i d e z d e l t e o r em a de R o l l e p a ra l a f u n c i ó n

y =4 ° e nx e n e l i n t e r v a l o [ 0 , t t ] .

S o l u c i ó n . S i f (x )= 4 ^ enX + 3 f -w- Senx>0 ó Senx<0 *-*■ xeR

1118

1117 y e x p l i c a r e s t a d e s v i a c i ó n d e l t e o r em a de R o l l e .

So Ilición. En e f e c t o , s i f ( x ) = f | ( x ) = x ~ 4)x" x 5

f ' ( x ) =0 -*■ x 2 - 4 =0 •<-*■ x=± 2 ¿ [ - 1 , 1 j

Vemos que para x=0e [ - 1 , 1 J , t a n t o f ( x ) c omo f ' ( x ) n o e s t á n d e f i n i

d a s, p o r t a n t o , a l n o c u m p l i r s e l a s d o s p r im e r a s c o n d i c i o n e s d e l

t e o r e ma de R o l l e , n o e x i s t e ce<1,1> / f ' ( c ) =0.

La d e s v i a c i ó n d e l t e o r e m a de R o l l e s e e x p l i c a e n e l h e c h o de qu e

l a c u r va e s a s i n t ó t i c a e n x= 0 , o s e a e s d i s c o n t i n u a e n x =0 ; ade

má s, l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s s i m é t r i c a r e s p e c t o a l e j e Y, d e

a l l í q ue ? ( - 1 ) = f ( 1 ) = 1 .

1121 La f u n c i ó n y = | x | t om a v a l o r e s i g u a l e s e n l o s e x t re m o s d e l

i n t e r v a l o [ - a , a ] . M o s t ra r q ue l a d e r i v a d a de d i c h a f u n c i ó n

492 Capitulo 4: Análisis de las Funciones

n o s e r e d u c e a c e r o e n p a r t e a l g u n a d e l i n t e r v a l o [ - a , a ] , y e x

p l i c a r e s t a d e s v i a c i ó n d e l t e o r em a de R o l l e .

Solución. E n e f e c t o , s i f ( x ) = | x | f ( - . a ) = | - a | = a

f ( a ) = I a | = a

L a f u n c i ó n f t o m a l o s m i s m o s v a l o r e s . _ __ — 2 x x

Da do qu e | x | = ^ c * , s i h a ce m os f ( x ) = / x 2 * f ' ( x ) = — -j= ~ ^

P a r a x >0 , | x | = x + f ' ( x ) = | = 1

P a r a x <0 , | x | = - x + f ' ( x ) = — = -1

S i en d o l a s d e r i v a d a s c o n s t a n t e s f 1 ( x ) ^ 0 e n [ - a , a ]

L a d e s v i a c i ó n d e l t e o r e m a de R o l l e s e e x p l i c a e n e l h e ch o d e q ue

l a d e r i v a d a de l a f u n c i ó n n o e s t á d e f i n i d a e n x = 0 e [ - a , a ]

D e m os t ra r e l s i g u i e n t e t e o r e m a : S i l a e c u a c i ó n

a 0x n + a i x n _ 1 + . . . '+ an ^ x=0 , t i e n e r a í z p o s i t i v a x = x0 , l a

e c u a c i ó n n a o X 1 1 - * + ( n - 1 ) a i x n _ 2 + . . . + a n _-i = 0 , t a m b i é n l a t i e n e ,

s i e n d o e s t a r a í z m e no r q u e x o .

Demostración, En efecto, sea f(x )=a oX +aiX *an iX

y g(x )=n aox n l+(n 1) aix n 2+ ... + an_j

Como f y g son funciones pol inómicas, ambas son continuas y d e r i

1122


E n t o n c e s : g ( x ) = x ^ í x - l ) 15

A mb as f u n c i o n e s f y g s o n p o l i n ó n i i e a s p o r l o q ue s o n c o n t i n u a s y

d e r i v a b l e s e n t o d o s u d o m i n i o.

S i g ( x ) = 0 ■* x = 0 ó x = 1 s o n l a s r a í c e s d e g ( x )

A de más g , ( x ) = f ' ( x ) -*■ g ' ( c ) = f ' ( c )

E n t o n c e s , p o r e l t e o r e ma de R o l l e , 3 c e < 0 , 1 > / g 1 ( c ) = f 1 ( c ) = 0

P or t a n t o , f ' ( x ) = 0 t i e n e p o r l o m e no s u na r a í z ce<0,1>

M o s t r a r q u e l a e c u a c i ó n x 5 - 3 x + c = 0 n o p u e d e t e n e r d o s r a í

c e s d i s t i n t a s e n e l i n t e r v a l o < 0 , 1 >.

Demostración. En e f e c t o , s e a f ( x ) = x 3 - 3 x + c .

P o r s e r f u na f u n c i ó n p o l i n ó m i c a , l a s d o s p r i m e r a s

h i p ó t e s i s d e l te o r em a d e R o l l e s e c u mp l en , e s d e c i r , f e s c o n t i

n u a y d e r i v a b l e e n < 0 , 1 >.

S u p o n i e n d o q u e f(a)=f(b) e n t o n c e s 3ce<0,1>/f1( c ) =0

S i f ' (x)=3x23 f ' (c )=3c23=0 -<-► c = - 1 ó o=1

Como - 1 ¿ < 0 , 1 > y 1 ¿ < 0 , 1 > , ' e n t o n c e s l a e c u a c i ó n d a da no p u e d e t e n e r

d os r a í c e s d i s t i n t a s e n <0 , 1 >.

S i n c a l c u l a r l a d e r i v a d a de l a f u n c i ó n

f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 )

e s c l a r e c e r c u á n t as r a í c e s r e a l e s t i e n e l a e c u a ci ó n f ' ( x )=0

e i n d i q u e e n q u é i n t e r v a l o s e s t á n .

Solución, S i e nd o f u na f u n c i ó n p o l i n ó m i c a , é s t a e s c o n t i n u a y d e

1125

1124

y y

v a b l e s p a r a t o d o x c R. A d em as s e t i e n e q u e .

f 1 (x) = naoxn " 1+(n l )a 1xn2 + ... + a n _ ^

o s e a: f ( x ) = g ( x ) f ’ ( o ) = g ( c ) ( 1 )

S i x = x 0 e s . u n a r a í z p o s i t i v a d e f ( x ) , s up on ga mo s q ue t i e n e o t r a

r a í z p o s i t i v a x = x i t a l . q u e x i < x 0 . E n t o n c e s p or e l t e o r e m a d e R o

l l e , H c e < x i, X 2> t a l q ue f ' ( c ) = 0 , e s t o e s , s e g ú n ( 1 ) : g ( c ) - 0

En c o n s e c u e n c i a , g ( x ) t a m b i é n t i e n e u na r a í z p o s i t i v a : c < x 0 .

S e a d ad a l a f u n c i ó n f ( x ) = 1 + x m( x - 1 ) n , d o nd e m y n s on núme

r o s e n t e r o s p o s i t i v o s . S i n c a l c u l a r l a d e r i v a d a m os ur ar

q ue l a e c u a c i ó n f ' ( x ) = 0 t i e n e , p o r l o m e no s un a r a í z e n e l Í n t e r v a l o < 0 , 1 > .

de.moi tn.ac ión . En e f e c t o , s u p on g am o s q u e : g ( x ) = f ( x ) - 1

1123

, p , y

r i v a b l e e n t o d o s u d om i n io A de má s, e v a l u a n d o d i r e c t a m e n t e e n l a f u n c i ó n d a da ob t e n e m o s :

f ( 1 ) = f(2) = f ( 3 ) = f U ) = 0

.'le c u mp l en l a s t r e s h i p ó t e s i s d e l t e o r em a de R o l l e e n l o s i n t e r v a

l o s : [ 1 , 2 ] , [ 2 , 3 ] y [ 3 , 4 ]

E n t o n c e s , e x i s t e : Cje<1,2> t a l q ue f ’ ( c 1 ) =0

c2e<2,3> t a l q ue f ' ( c 2 )=0

c 3e<3,4> t a l que f ' ( c 3 )=0

Po r t a n t o , f ' ( x ) = 0 t i e n e t r e s r a í c e s r e a l e s : Cj , c 2 y c 3 .

M o s t r a r q u e l a f u n c i ó n f ( x ) = x n + p x + q n o p u e d e t e n e r m á s d e

d o s r a í c e s r e a l e s , s i e n d o n p a r , y má s de t r e s r a í c e s s i e n

do n impar.

1126


DemosiJiactin. En e f e c t o , s i e nd o - f un a f u n c i ó n p o l i n ó m i c a , é s t a

e s c o n t i n u a y d e r i v a b l e V- xe R.

S u po n ga m os qu e p a r a n p a r , l a f u n c i ó n t i e n e p o r r a í c e s x i y x 2

t a l e s q u e x i < x 2 , es t o e s : f ( x i ) = f ( x 2 )=0

E n t o n c e s p o r e l t e o re m a d e R o l l e e x i s t e c e < x i , x 2 > / f ' ( c ) =0

A h or a : f ' ( x ) = n x n ' 1 +p * f ' ( c ) = n c n _ 1 +p

D ad o q u e n e s p ar + n - 1 e s i m p ar , l u e g o p a r a f ’ ( c ) = 0 s e t i e n e :

c = n~i/-p/n e s un n ú me r o r e a l .

S i n es impar + n-1 es par + c = ± i/-p / n

H ay d o s r a í c e s : c i = - n k/-'p/n y c 2 = n - í / -p7 n

En c o n s e c u e n c i a , c u an d o n e s p a r l a f u n c i ó n t i e n e d o s r a í c e s r e a

l e s t a l e s q u e : x i < c < x 2 , y , c u an do n e s i m pa r l a f u n c i ó n f t i e n e t r e s r a í c e s r e a l e s t a l e s q ue : x i < c i < x 2 < c 2 < x s

i EK fr j E s c r i b i r l a f ó r m u l a , d e L a g r a ng e p a r a l a f u n c i ó n y = S en 3 x

e n e l i n t e r v a l o [ x i , x 2] .

Solución. S i f ( x ) =S en 3x -*■ f ' ( x ) = 3 C o s 3 x

S u p on i e nd o a f c o n t i n u a y d e r i v a b l e e n [ x i , x 2] , e n t o n

c e s , p o r e l t e o r e m a de L ag r a n g e , e x i s t e c e < x ? i , x 2> t a l e s q u e :

f , („ ) , ' f ( * 2 ) - f ( x x ) + 3 C o s3 c = S e n 3 x 2 - S e n 3 x iX 2X 1 X 2Xl

+ S e n 3 x 2 - S e n 3 x i = 3 ( x 2 - x i ) C o s 3 c , d o n d e : x i < c < x 2


S u p o n i e n d o f c o n t i n u a e n [ x o , x o + A x ] y d e r i v a b l e e n < x o, x ¡>+ Ax >,

e n t o n c e s p o r e l t e o r e m a d e L a g r a n g e e x i s t e c e < x o , x c + A x > t a l q u e

f ' ( c ) - f ( x 0 + A x ) - f ( x p ) + 2 _ f ( x 0 + A x ) - f ( x 0 )

x o+ A x- x o / l - ¿ c 2 Ax

d e d o n d e : a r c S e n 2 ( x 0+Ax)-arc Sen2x<> = ■y — — *1 - 4 c 2

,J V e r i f i c a r l a v a l i d e z d e l t eo r em a de L ag ra ng e pa r a l a f u n

c i ó n y =x n e n e l i n t e r v a l o [ 0 , a ] , n>0 , a> 0 .

Solución. L a f u n c i ó n f ( x ) = x n e s c o n t i n u a e n [ 0 , a ] y d e r i v a b l e

e n <0 , a > , e n t o n c e s 3 c e < 0 , a > / f ' ( c ) =

S i f ' ( x ) = n x n * 1 n o 11" 1 = , de donde: c = a /n~¿ /ñ~

a y

V e r i f i c a r l a v a l i d e z d e l t e o r e m a d e L a gr a n ge p ar a l a f u n

c i ó n y = ln x en e l i n t e r v a l o [ l , e ] .

Solución.. S i f ( x ) = l n x f ' ( x ) = 1 / x

E n t o n c e s , f e s r e a l ■*->■ x >0 . D o m( f ) =<0, +■»>

f e s r e a l ■*-*■ x / 0 -*• D o m ( f' ) = R- { 0}

L as d os p r i m e r a s h i p ó t e s i s d e l t e o r e m a de La g ra n ge s o n s a t i s f e

c h a s p u e s t o q u e f e s c o n t i n u a e n [ l , e ] y d e r i v a b l e e n < 1 , e > .

L u eg o , e x i s t e c e < 1 , e > t a l q u e : f ' ( c ) = 1 ■* — =© “ I C 6 — i

de don de: c = e -1

S e n 3 x 2 S e n 3 x i 3 ( x 2 x i ) C o s 3 c , d o n d e : x i c x 2

r r n i E s c r i b i r l a f ó r m ul a d e L ag r an ge p a ra l a f u n c i ó n y = x ( 1 - ln x )

e n e l i n t e r v a l o [ a, b j . .

Soluc ión. S i f ( x ) = x ( 1 - l n x ) -*• f ’ ( x ) = x ( 0 - l ) + ( 1 - l n x ) = - l n x

S i e n d o f c o n t i n u a e n [ a , b ] y d e r i v a b l e e n <a , b >, p o r

e l t e o r e m a de L a g r an g e , e x i s t e c e < á , b > t a l q u e :

' f , ( c ) = f ( b ) - f ( a ) + _l n c = b (1 - l n b ) - a (1 - , lna),_ D-a d- ci

d e d o n d e : a ( 1 - l n a ) - b ( 1 - l n b ) = ( b - a ) l n c

K J K j E s c r i b i r l a f ó r m u l a de L a gr a n ge p ar a l a f u n c i ó n

y = a r c S e n 2 x en e l i n t e r v a l o ' [ x o >x o+ Ax j .p

S o l u c i ó n , S i f ( x ) = a r c S e n 2 x f ' ( x ) =/ l - ¿ x 2

de do de: c e

M e d i a n t e l a f ó r m u l a d e L a g r a n g e d e m o s t r a r l a s d e s i g u a l d a

d e s : 4 l n ( ^ ) , p a r a 0 <b^a

De.moittiación. En e f e c t o , s u po n g am o s q u e : f ( x ) = l n x + f ' ( x ) = 1 / x

D ad o q u e 0 t a l q ue

f l ( c ) = + 1 = l . n a - l n b > d e d o n de ; l n ( a } = a ^b ( 1 )

S i c e< b, a> + b < c < a -*• — < 1 < 4 (2)a c b

S i e n d o a ^b a - b ^0 , m u l t i p l i c a n d o ( 2 ) p o r a - b s e t i e n e :

ab a — b ab t * \ a — b -> / a \ ci—b — « — * — > luego, en (1): — « ln(f) ^ ^


t Ele E l M e d i a n t e l a f ó r m u l a d e L a gr a n g e d e m o s t r a r l a s d e s i g u a l d a

d e s : -- - - - - <Tana-TanB < ■■ , s i en do 0<B <cK tt/ 2C o s 2 6 C o s 2 a

dcmost/iac¿ón. En e f e c t o , s e a l a f u n c i ó n f ( x ) =T a n x + f ' ( x ) = S e c 2 x

L a f u n c i ó n f e s c o n t i n u a y d e r i v a b l e e n <0 , tt/ 2>

\ f ( a ) - f ( B ) c 2 Tana-TanB* 3 c e < B, c t > / f 1 ( c ) = ->• S e c c = -------------------a-B a -B

de don de : T ana-TanB = ■a ■ ( 1 )C o s 2 c

Si ce<B,ct>•+■ B<c<a -*■ Cosa < Cose < CosB

1 . 1 _ ■ 1 (2 )C os 2B C os 2c Co s 2a

Como: 6< a -> a -B ^O • M u l t i p l i c a n d o ( 2 ) p o r ( a - B ) s e t i e n e :

s ...üzL. * ^ Tana-TanB «C o s 2B C o s 2c C o s 2a C o s 2 B C o s 2a

P a r a a >b d e m o s t r a r m e d i a n t e l a f ó r m u l a d e L a g ra n g e l a v a

l i d e z d e l a s . d e s i g u a l d a d e s :

n b n ” 1 ( a - b ) < an - b n < na n _ 1 ( a - b )

s i n> 1 , y l a s d e s i g u a l d a d e s o p u e s t a s , s i n<1

de.rn.0At/iac ión. En e f e c t o , s e a f ( x ) = x n -*• f ' ( x ) = n x n ^

L a f u n c i ó n f e s c o n t i n u a e n [ b , a j y d e r i v a b l e e n


e l l a l a f ó r m u l a de La g r an g e en e l i n t e r v a l o [ b , ir ] :

f ( x ) - f ( 0 ) = x f ' ( c ) ( 0 <c<x)

1 1 1o b t e n d r e m o s : x 2S e n — = x ( 2 c S e n — - C o s—)

1 1 1i ie d o n d e : C o s— = 2 c S e n — - x S e n — . H ac e m o s a h o r a q ue x t i e n d a aC C X n

c e r o , e n e s t e c a s o c t a m b i é n t e n d e r á a c e r o , y de e s t e m od o l l e

g am os a : l i m Cos - = 0 . E x p l i c a r e s t e r e s u l t a d o p a r a d ó g i c o . c +0 c

explicación. C u an d o x t i e n d e a c e r o , c t i e n d e a c e r o t o m an d o no

t o d o s l o s v a l o r e s i n t e r m e d i o s s i n o t a l s u c e s i ó n de

é s t o s p a r a l a c u a l C os -jj t i e n d e a c e r o .

¿XxA p l i c a n d o l a f ó r m u l a : f ( x 0+ Ax ) = f ( x 0 ) + f ' ( x o + ^ ) &x

a l a f u n c i ó n f ( x )= a r c T a nx en e l i n t e r v a l o [ 1 , 1 . 1 ] , h a l l a r

e l v a l o r a p r o x i m a d o d e a r c T a n l . 1

Solución. f ( x ) = a r c T a n x * f ' ( x ) =

f ( x o + A x) = f ( 1 + 0 . 1 ) = a r c T a n l . 1

K n to n ce s : a r c T a n l . 1 = f ( 1 ) + f ' ( l + - ^ - b ( O . l )

= arcTanl + ( -------- ----------) ( 0 . 1 ) = y + 0 . 0 4 81+( 1 .0 5)2 4

/ . arcTanl - . 1 = 0 . 83 3

. P o r e l t e o r e m a d e L a g r a n g e : 3 c e / f 1 (c ) = -

n -1 a n - b n / n - 1 n , n / \■+ nc= —— r- * n ( a - b ) c = a - b ( 1 ;

a - b

D ad o q u e c e -*• b < c < a

P a r a n >1 , o s e a : n - 1 > 0 s e t i e n e : bn ^ < cn < a11 ( 2)

S i a >b -*• a -b >0 , l u e g o : n ( a - b ) > 0

M u l t i p l i c a n d o p o r n ( a - b ) l a s d e s i g u a l d a d e s ( 2 ) o bt e n e mo s :

n a n - 1 ( a - b ) < n ( a - b ) c n _ 1 < n ( a - b ) b n -1

L u e g o, s e gú n ( 1 ) : n a11 ^ ( a - b ) < an - b n < n b n ^ ( a - b )

j x 2Sen (^) , para x O

|_ 0 , p a r a x =0

E s d e r i v a b l e p a r a c u a l q u i e r v a l o r d e x. E s c r i b am o s p ar a

A n a l i c em o s l a f u n c i ó n : f ( x )

E n l o s e j e r c i c i o s 1 13 7- 11 4- 1 a p l i c a n d o l a f ó r m u l a:

f ( x o + A x ) = f ( x o ) + f 1 ( x o + ^ f ) A x

c a l c u l a r l o s v a l o r e s a p r o x im a d os d e l a s e x p r e s i o n e s q u e s e i n

d i c a n .

arcSenO. 54

Solución. S e a f ( x )= a r e Se n x ■+ f ' ( x ) = — -------/ T T 2

S i x 0 = 0 . 5 y A x = 0 . 0 4 , s e t i e n e :

( ' ( 0 . 5 + 0 . 0 4 ) - f ( 0 . 5 ) + f 1 ( 0 . 5 + 0 . 0 2 ) ( 0 . 0 4 )

- arcSeni + (---- ----- )(0.04) - t + 0.04761 - ( 0 . 5 2 )2 6

. *. f ( 0 . 5 4 ) = 0 . 5 7 1 1


L o g1 1 . C om p ar a r c o n l o s d a t o s t a b u l a r e s .

1 1

Solución. S e a f ( x ) = l o g x f ' ( x ) = (]_n - jo)

H a c i e n d o : x 0 +A x = 1 0+ 1 , s e t i e n e :

f ( 1 0 + 1 ) - f { 1 0 ) + f T (10 + ^ ) ( 1 ) = f ( 1 0 ) + f 1 ( 1 0 . 5 )

. -. Log 11 = lo g io + ( i^ Tó) ("toTT) = 1+ 0 *4 U 3 = 1 -0414-3

En u na t a b l a d e l o g a r i t m o s h a l l a m o s : L o g 1 1 =1 . 0 ¿ 1 3 92

Q £ £ J l n ( x + / l + x 2 ) p a r a x = 0 . 2 R p ta : 0 . 1 9 9 0

l o g 7 , s a b i e n d o q u e l o g 2 = 0 . 3 0 1 0 y l o g 3 = 0 . ¿ 7 7 1 . C o mp ar ar

e l r e s u l t a d o c on l o s d a t o s t a b u l a r e s .

Solución. S i f ( x ) = l o g x -*• f ' ( x ) = ( Xn 10^ ^

f ( 7 ) = f ( 6 + 1 ) -*■ x 0 = 6 y A x= 1

-> f ( 6 +1 ) = f ( 6 ) + f ' C 6 + i ) ( 1 ) = f ( 6 ) + f 1 ( 6 . 5 )

- f ( 7 ) - l o g ó + ( x ~ f o ) ( - g fj ) = l o g 2 + l o g 3 + ( 6 > 5 i n 1 0 )

l o g 7 = 0 . 3 0 1 0 + 0 . ¿ 7 7 1 + 0 . 0 6 6 8 = 0 . 8 ¿ ¿ 9

' n i l o g 6 l . Co mp ar ar e l r e s u l t a d o co n l o s d a t o s t a b u l a r e s .

1 1Solución. S e a f ( x ) = l o g x •+■ f ' ( x ) = (^ ^ ^ q) ( —)

T o ma n d o: x - = 6 0 y x = 1 s e t i e n e :


2.4 COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EN UN INTERVALO

U £ j J M o st r ar q ue l a f u n c i ó n y = 2 x 3+ 3 x 2 - 1 2 x +1 d e c r e c e e n e l i n

t e r v a l o < - 2 , 1 > .

úamoAt/iación. En e f e c t o , s e a f ( x ) = 2 x 3 + 3x 2 - 12 x +1

f ’ ( x ) = 6 x 2 + 6 x - 1 2

P a ra x = 0 e < - 2 , 1 > se t i e n e : f ’ ( 0 ) = - 1 2 <0

S e gú n e l t e o r e m a ¿ . 6 , f e s d e c r e c i e n t e s o b r e < - 2 , 1 >

M o s tr a r q ue l a f u n c i ó n y = / 2 x - x 2 c r e c e e n e l i n t e r v a l o

< 0 , 1 > y d e c r e c e e n e l i n t e r v a l o < 1 , 2 > . C o n s t r u i r l a g r á f i

c a d e l a f u n c i ó n .

De.moAtA.ación. En e f e c t o , s e a f ( x ) = / 2 x - x 2 •* f ' ( x ) = —p j ~ ^

P a r a x = 1 / 2 e < 0 , 1 > + f * ( -1) = 1/ 2

/ 2 x - x ‘

1

2 / l - 1 / ¿ / J

E n t o n c e s , p o r e l t e o r e m a ¿ . 5 , f e s c r e c i e n t e s o b r e <0 , 1>

i

> 0

P a r a x = 3 / 2 e < 1 , 2 > •+■ f ' ( | ) = ■ = - — < 0/ 3 - 9 / ¿

L u eg o , f e s d e c r e c i e n t e s o b r e < 1 , 2 > .

L a f u n c i ó n e s r e a l *-*■ 2 x - x 2 > 0

+ x 2 - 2 x < 0 ** 0 < x < 2 -*■ D o m ( f ) = [ 0 , 2 ]

y

f ( x „+ A x ) = f ( 6 0 ) + f 1 ( 60 + | ) ( 1 ) = f ( 6 0 ) + f * ( 6 0 . 5 )

+ lo g 6 l = lo g6 0 + ( 'x 'n i o ) ('¿ó '1 5 ) = l ° g ' i 0 + l ° g 2 + l ° g 3 + 0 . 0 0 7 2

= 1 + 0 . 3 0 1 0 + 0 . ¿ 7 7 1 + 0 . 0 0 7 2 ^ 1 . 7 8 5 3

C o n fi r ma r qu e ap l i c a n d o l a f ó r m u l a f ( b ) = f ( a ) + ( b - a ) f 1 ( a ^~)

p a r a c a l c u l a r e l l o g a r i t m o d e N + 0 .0 1 N , e s d e c i r , p o n i e n d o

l o g ( N + 0 . 0 1N) = l o gN + — k á ¿ á 2 9 0 . 0 1 a = logN + SLÁ2J£1N + 10 0. 5

c o m e t e m os un e r r o r m e no r q u e 0 . 0 0 0 0 1 , e s d e c i r , o b t e n e m o s c i n c o

c i f r a s e x a c t a s d e s p u é s d e l a c om a s i e s q u e l o g N v i e n e d a do c o n

c i n co c i f r a s e x a c t a s .

Pa ra x=0 •* y =0x =1 -*• y =1

x = 2 -*• y =0

L a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s u n a s e m i c i r c u n f e r e n c i a .

m ¡ j M o st r ar qu e l a f u n c i ó n y = x 3+x c r e ce p or t o d a s p a r t e s

De,mo¿tn.ación. En e f e c t o , s i f ( x ) = x 3 +x -*■ f ' ( x ) = 3 x 2 +1

Da do qu e f e s c o n t i n u a y d e r i v a b l e e n t o d o s u d o

m i n i o , e n t o n c e s , p a r a x> 0 y p a r a x< 0 , s i e m p r e f ' ( x ) > 0 .

En c o n s e c u e n c i a , . p o r e l t e o r e m a ¿ . 5 , l a f u n c i ó n e s c r e c i e n t e e n

t o d a s p a r t e s .

1146 M o st r a r qu e l a f u n c i ó n y = a r c T gx - x d e c r e c e p o r t o d a s p a r t e s


x 2de.moiin.ac.Un., En e f e c t o , s i f ( x ) = a rc T an x - x + f ' ( x ) = - ----- -

1+ x¿

L a f u n c i ó n f 1 e s n e g a t i v a t a n t o p a r a x >0 c omo p a

r a x < 0, e s t o , e s , f ' ( x ) < 0 , V xe D om ( f ) . P o r t a n t o , l a f u n c i ó n f e s

d e c r e c i e n t e p o r t o d a s p a r t e s .

r r m M o s t r a r q ue l a f u n c i ó n y = -x c r e c e e n c u a l q u i e r I n t e r

v a l o q u e n o t e n g a a l p u n t o x = 0 .

Demo-it/iac¿6n. E n e f e c t o , s i f ( x ) = x - — * j- 1 ( x ) - 1 + —-

V e m o s q u e l a s f u n c i o n e s f y f 1 t i e n e n u n p u n t o d e

d i s c o n t i n u i d a d e n x = 0. , ad e m á s, l a f u n c i ó n f 1 e s p o s i t i v a p a r a x >0

y p a r a x <0 ; en c o n s e c u e n c i a , l a f u n c i ó n f e s c r e c i e n t e p or t o d as

p a r t e s e x c e p t o e n e l p u n t o x = 0 .

M o s t r a r q u e l a f u n c i ó n y = S e n ( x +— v a r í a d e ma n e ra m on ó- • l i Ü J S e n ( x + b )

t o n a e n c u a l q u i e r i n t e r v a l o q u e n o e n c i e r r e p u n t o s de d i s

c o n t i n u i d a d d e l a f u n c i ó n .. . S e n ( x + b ) C o s ( x + a ) - S e n ( x + a ) C o s ( x + b )

De.mo-it/iací6n. En e f e c t o , f ^ x ) -------------------------- — —■ ■S e n ( x + b )

+ f i (x ) Se n^ x + b)~^x+ a^ =e n ( b - a )

S e n 2 ( x + b ) S e n 2 (x+b)

E l d e n o m i n a d or e s p o s i t i v o V - x e Do i n( f ) , y , e l n u m er a d o r e s p o s i t i


H a l l a r l o s i n t e r v a l o s d e m o no t o n ía de l a f u n c i ó n

y = x ’ - 3 x 2 - 9 x+ 1 4 y c o n s t r u i r l a g r á f i c a e n e l i n t e r v a l o <-2,i> s i g u i e n d o s u s p u n t o s .

Soluci&n.. f 1 ( x ) = 3 x 2 - 6 x - 9 = 3 ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( 1 )

S e g ún e l t e o r e m a 4 . 7 , s i f ' ( x ) = 0 + X x= - 1 y x 2 = 3 s o n

l o s p u n t o s c r í t i c o s o e xt r e mo s de l a f u n c i ón f , e n t o n c e s l o s i n

t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n : < - o o, _ i > , < - 1 , 3 > , <3 ,+o»>

E l i g i e n d o u n p u n to e n c ad a i n t e r v a l o y s u s t i t u y e n d o e n ( 1 ) o b t e

n em os e l s i g n o d e f ' ( x ) , e s t o e s :

S i x = - 2 e < - " , - 1 > f ' ( - 2 ) = 3 ( - 1 ) ( - 5 ) = 1 5>0 f e s c r e c i e n t e

x= 0e <- 1 , 3> ■* f 1 ( 0 ) = 3 ( 1 ) ( - 3 ) = - 9< 0 + f e s d e c r e c i e n t e

x = 4 e < 3 ,+ “ > f 1( 4) =3( 5) ( 1 ) = 15> 0 -*■ f e s c r e c i e n t e

P ar a t r a z a r l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n

c o n s t r u i m o s u na t a b l a d e v a l o r e s t e

n i en d o e n c u en t a l o s i n t e r v a l o s de

m o n o to n í a de l a f u n c i ó n :

< - 2 , - 1 > U < - 1 , 3 > U < 3 , 4 >

X -2 -1 0 1 2 ' 3 4

y 12 19 14 3 -8 -13 -6

E l d e n o m i n a d or e s p o s i t i v o V x e Do i n( f ) , y , e l n u m er a d o r e s p o s i t i

v o s i ( b - a ) e 10,tt | y n e g a t i v o s i (b - a ) e E n c o n s e c u e n c i a , l a

f u n c i ó n c r e c i e n t e y d e c r e c i e n t e e n c u a l q u i er i n t e r v a l o e n q ue

(x+b)¡¿kir , k=0 , 1 , . .

U R i l D e m o s t r ar l a d e s i g u a l d a d Ta nx- 2- > s i e n d o 0< xx <x 2< tt/ 2T a n x i x i

• ¿-i \ TanxD e m o s t r a c ió n . En e f e c t o , s e a l a f u n c i ó n f ( x ; = x

y s e a n X i , x 2 e < 0 , tt/ 2 >

S i x x . x 2e f - f ( x x ) = ^ p y f ( x a ) = ^

D ad o q u e l a f u n c i ó n T a n g e n t e e s c r e c i e n t e e n < 0, t t / 2 > , e n t o n c e s

s e g ú n l a d e f i n i c i ó n 4 . 4.: xx < x 2 + f ( x i ) < f ( x 2 )

TanXl < Tanx2 , i Tanx2 > x¿_Xx x 2 Tanx i xj

H a l l a r l o s i n t e r v a l o s d e m o n ot o n ía de l a f u n c i ó n :

f (x )= x h -2 x 2-5

Soíuci&n. f ' ( x ) = 4 x 3 - 4 x = 4 x ( x + l ) ( x - 1 ) ( 1 )

S i f 1 ( x ) = 0 •+ x =0 , x = - 1 , x= 1 , s o n l o s p u n t o s c r í

t i c o s d e l a f u n c i ó n f , y l o s i n t e r v a l o s d e m o n ot o n ía s o n:

<-CO, - 1 > , < - 1 , 0 > , <0 , 1 > , < 1 ,+°o>

K l i g i e n d o u n v a l o r e n ca d a i n t e r v a l o y s u s t i t u y e n d o e n ( 1 ) o b t e

n em os e l s i g n o d e f ' ( x ) , e s t o e s :

S i x = - 2 e < -«>, - 1 > + f 1 ( - 2 ) = ( - ) ( - ) ( - ) =-. - <0 -*■ f e s d e c r e c i e n t e

x = - 1 / 2 e < - 1 , 0 > + f 1 ( - 1 / 2 ) = ( - ) ( + ) ( - ) = + >0 + f e s c r e c i e n t ex = 1/ 2 e < 0 , 1 > + f 1 ( 1¡2) = ( + ) ( + ) ( - ) = - <0 + f e s d e c r e c i e n t e

x = 2 e< 1 , +°°> ■+■ f ' ( 2 ) = ( + ) ( + ) ( + ) = + >0 ■+■f e s c re ci en te


En l o s e j e r c i c i o s 1 1 52 - 1 16 4 h a l l a r l o s i n t e r v a l o s d e m o no t o

n í a d e l a s f u n c i o n e s

ÍIEE1 y = (x2)5(2x+1 )"

Solución. f ' ( x ) = ( x - 2 ) 5 [ 4 ( 2 x + 1 ) í ( 2 ) J + ( 2 x + 1 ) ‘* [ 5 ( x - 2 ) ‘*]

= ( 2 x + 1 ) 3 ( x - 2 ) ‘, [ 8 ( x - 2 ) + 5 ( 2x + 1 )]

= ( 2 x + 1 ) 3 ( x — 2 ) ■*(1 8 x — 1 1 ) ( 1 )

S i f ' ( x ) = 0 x=1/2. , x = 1 1 / 1 8 , x= 2 so n l o s p u n t o s c r í t i c o s y

l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n :

< - “ » - 1 / 2 > , < - 1 / 2 , 1 1 / 1 8 > , < 1 1 / 1 8 , 2 > , <2 , + » >

E l i g i e n d o u n v a l o r d e x e n c a d a i n t e r v a l o y s u s t i t u y e n d o e n ( 1 )

o b t e n e mo s :

S i x = - 1e < - “ , - 1 / 2 > -v , f * ( _ l ) = ( _ ) ( + ) ( _ ) = t + f e s c r e c i e n t e

x = 0 e < - 1 / 2 , 1 1 / 1 8> ■*■ f 1 ( 0 ) = ( + ) ( + ) ( - ) = - f e s d e c r e c i e n t e

x = 1 e< 1 1 / 1 8 , 2 > f ’ ( 1 ) = ( + ) ( + ) ( + ) = + -*■ f e s c r e c i e n t e

x = 3 e < 2 , +° >> -*■ f ' ( 3 ) = ( + ) ( + ) ( + ) = + ♦ í e s c r e c i e n t e

Q g j g ] y = 3/ ( 2 x - a ) ( a - x ) , a >0

Solución. D e r i va n d o l a f u n c i ó n o b t e n em o s :

f ' ( x ) ------------2 ( ^ a~-3?Ü---------3 3/ ( a - x ) ( 2 x - a ) 2

P a r a f ' ( x ) = 0 2 a - 3 x = 0 -*-»• x = 2 a / 3

f 1 ( x ) =“ a - x =0 ó 2 x - a =0 -<-*■ x=a ó x=a / 2

S<cción 2: Aplicación de la primera derivada 503

ft(ir) - 2 ( x +1 ) ( x - 1 )

(1+X+X2)2

S i f ' ( x ) = 0 -*■ x =- 1 ó x =1 s on l o s p u n t os c r í t i c o s de l a f u n c ió nI n t e r v a l o s d e m o n o t on í a : < -= » ,- 1 > , < - 1 , 1 > , < 1 ,+a>>

S i x = - 2 e < - ° ° , - 1 > ■* f ' ( - 2 ) = — — — — 1 = + -»• f es c r e c i e n t e( + )

x= 0 e < - 1 , 1 >f 1 ( 0 ) = lLLLÍ zI = - ■+■ f e s d e c r e c i e n t e( + )

x =2 e< 1 , + »> ' + f ’ ( 2 ) = f e s c r e c i e n t e( + )

B E S y = - — 10

4 x 3 - 9 x 2 +6 x

Solución. D er iv a nd o s e t i e n e : f ’ ( x) = - ~ P ( ) ( x~~Ux 2 ( 4 x 2 - 9 x + 6 ) 2

S i f * ( x ) = 0 x = 1 / 2 ó x =1 , y s i f ' ( x ) = ° ° -*■ x =0

Lo 8 i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n :

< - ° ° , 0 > , <0 , 1 / 2 > , < 1 / 2 , 1 > , < 1 ,+»>

S i x = - 1 e < - “ >, 0 > + f 1 ( —1) = — —Lí — 1 s _-*■f e s( + ) ( + )

x = 1/ 4 e < 0 , 1 / 2 > -*■f 1 (1 /4-) = — —Lí — ) = • + f e s d e c r e c i e n t e( + ) ( + )

x = 3 / 4 e < 1 / 2 , 1 > •* f ' (3 /4 ) = ^^ ^ } = + + f e s c r e c i e n t e( + ) ( + )

x =2 e < 1 ,+°°> -*• f ' ( 2 ) = 60 ( -I-) (+ ) - -> f e s d ec re c i e n t e

L u e g o , l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n :< - » , a / 2 > , <a/ 2 , 2 a / 3 > , < 2 a / 3 , a> , < a ,+“>>

■S i x = 0 e < - “ , a / 2 > * f ' ( 0 ) = ------ — = + -*■ f e s c r e c .3 3/ ( + ) ( - ) 2

x = 7 a / 1 2e < a / 2 , 2 a /3 > £ '( ■? §) = — ^ ¿ L = r = + f e s c r e c1 2 3 V ( + ) ( + ) 2

x = 5 a / 6 e < 2 a / 3 , a> + f ' ( x a ) ----------= - ■*• f es dec reC :6 3 3/ ( + ) ( + ) 2

x = 2 a e<a ,+°°> -*■ f ' ( 2 a) = ------^ ........... — = + f e s c r e c i e n t e3 * / ( - ) ( + ) *

g n ri y = l- *+x21 + x + x2

So¿ución. D e r i v an d o l a f u n c i ó n o b t e n em o s :

x 2 e < 1 ,+ > f ( 2 ) 60 ( I ) (+ ) _ > f e s d ec re c i e n t e( + ) ( + )

m ¿ | y = x - e x

Solución. f ' ( x ) = 1 - e x

Si f ' (x ) =0 + ex =1 +■+ x=0

I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < - c ° , 0 > , < 0, +t » >

S i x = - 1 e < - ° ° , 0 > f * ( —1 ) - 1 - e 1 > 0 f e s c r e c i e n t e

x = 1e < 0 , +<»> ■+ f 1 ( 1 ) = 1 - e < 0 f e s d e c r e c i e n t e

D E J y = x 2 e - x

Solución. f 1 (x ) = x 2 ( - e ' x ) + e _ x ( 2 x) = - x e ‘ x ( x - 2 )S i f ' ( x ) = 0 -*■ x =0 ó x =2


I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < - c» , 0> , < 0 , 2 > , < 2, +° ° >

S i x = - 1 £<- =>, 0> f * ( - 1 ) ' = - ( - ) ( + ) ( - ) = - f e s d e c r e c i e n t e

x = 1 e < 0 , 2 > f 1 ( 1 ) = - ( + ) ( + ) ( - ) = + -*■ f e s c r e c i e n t e

x = 3 e < 2 , +“>> + f ' ( 3 ) = - ( + ) ( + ) ( + ) = "+ + f es cr ec ie n te

xy " lnx

Solución. f (x ) = + 3f +•+ x>0, x/í1

E n t o n c e s : D o m ( f ) = < 0 , + “ > - {' 1 }

D e r i va n d o l a f u n c i ó n o b t e n e m os : f 1 (x ) = ±£HL_1l n 2 x

S i f ' ( x ) = 0 > l n x = 1 +-+ x =e

f ' ( x ) = > -*• l n x =0 -*-*■ x =1 ( p u n t o d ed i s c o n t i n u i d a d )

L o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n : < 0 , 1 > , < 1 , e > , < e, +° ° >

S i x = 1 / 2 e < 0 , 1 > ■+■ f * ( 1 / -2 ) = Sz} f e s d e c r é c i e n t e( + )

x = 2 e < 1 , e> f ' ( 2 ) = - i i i = - f e s d e c r e c i e n t e( + )

x = 3 e < e , + “>> f ' ( 3 ) = — ==+ * f e s c r e c i e n t e( + )

y = 2 x 2 - l n x

S o l u c i ó n . f ( x ) = 2 x 2 - l n x -*• 3 f +-»• x >0 ■* Do m( f) =<0,+ “>>

f ■ (x ) = (2x - D ( 2 x +-Q

1159

1158


/7J-Si x=Ti /4 e <0 ,Tr/3 > . * {'(u/i) = 1 - 2 ( — ) = - . • * • f e s d e c r e c i e n t e

x = 2i r / 3 e <7 T / 3, 5 i r / 3> f ' ( 2 i r / 3 ) = 1 - 2 ( ^ ) = + + f e s c r e c i e n t e

x = 7ir/4e< 5w/3. 2tt> -*■ í *1 ( 7 t t / 4-) = 1 - 2 ( í | ) = - * f e s d e c r e c .

Q j ] y = 2 Se nx +C os 2x , 0< x<2 tt

Solución, f ' ( x ) = 2 C o s x - 2 S e n 2 x = 2 C o s x ( 1 - 2 S e n x )

S i f ' ( x ) = 0 ■*-*■ C o s x =0 ó S e n x = 1 / 2

Cosx=0 ■*-*■ x = 7r / 2 ó x=3tt/2

S e n x = 1 / 2 +-*■ x =,rr / 6 ó x = 5 n / 6

L u e go , l o s i n t e r v a l o s d e m o n oy o n ía s o n :

<0,t t/ 6> , < tt / 6 , i t / 2 > , < tt /2 ,57 t /6> , ’} n / 2 > , < 3 t t / 2 , 2 it>

: ! i x = 7 t / 1 2 e < 0 , i r / 6 >f ' ( w / 1 2 ) = 2 ( + ) ( + ) = + •* f e s c r e c i e n t e

x= ir /3e<Tr/6 , i r /2>-*• f ' ( i r /3') = 2 ( + ) ( - ) = ■ - - * ■ f e s d e c r e c i e n t e

x = 2 h / 3 £<tc/2 , 5t / 6 > -> f 1 ( 2t t/ 3 ) =2 ( —) ( - ) = + -*• f e s c r e c i e n t e

x=tte< 5 tt /6 , 3u/2> f ' ( 7r) = 2 (—) (+ ) = - f es de cr ec ie nt e

x=5tt /3e< 3it/ 2 , 2tt> f • ( 5 /3) = 2 ( + ) ( + ) = + f e s c r e c i e n t e

y=x+Cosx

Solución. f ! ( x ) = 1 - S e n x

S i f ' ( x ) = 0 S e nx = 1 x =tt/ 2

I n t e r v a l o s d e m o n o t o n ía : < 0 , u / 2 > , <tt/ 2 , 2 7 i>

S i x = t r / 3 £ < 0 , i r / 2> + f 1 ( i r / 3 ) = 1 - 1 / 2 = 1 / 2 > 0 + f e s c r e c i e n t e

S i f ' ( x ) = 0 + x = 1 / 2 ó x = - 1 / 2 i D o m ( f )

f i ( x) = « > -*• x =0 ( P un t o d e d i s c o n t i n u i d a d )

I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < 0 , 1 / 2 > , < 1/ 2 ,+ =» >

S i x = 1 / 4 e<0 , 1 / 2 > -> f ' ( 1/ 4. ) = f e s d e c r e c i e n t e( + )

x = 1e < 1 / 2 , +<»> ■* f ' ( 1 ) = i - t l l i i = + * f e s c r e c i e n t e( + )

y = x - 2 S e n x , x e [ 0 , 2 ttJe*

So tación. f 1 ( x ) = 1 - 2 C o s x

S i f ' ( x ) = 0 -*• 1 - 2 C o s x = 0Cosx = 1/2 -«-» x =tt/ 3 ó x =5 tt/ 3

I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < 0 ,7 r / 3> , , < 5 ^ / 3 , 2 n >

1160

x=5’t / 6e <h /2 , 2 ir> f 1 ( 5 ^ / 6 ) = 1 - 1 / 2 = 1 / 2 > 0 ■* f e s c r e c i e n t e

P or t a n t o , l a f u n c i ó n f c r e c e d e ma ne r a m o nó t on a .

B E 9 y = l n ( x + / l + x 1 )

Solución. D e r i v a n do l a f u n c i ó n o bt e n e m o s:

f ' ( x ) - 1

/ 1 + x 2

V em os q u e f ' ( x ) > 0 , ¥ x £ Ü o m ( f ) -*• f c r e c e d e m a n e ra m o nó t o n a.

y = x / a x - x 2 ( a > 0 )

Solución. D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f ' ( x ) = ,.x ^ 3a - 4 x )2 / a x - x 2


La fu nc ió n f es re a l -*-*• ax -x 2>0 *-*■ 0<x<a Don ( f ) - Q) , a ]

S i f ' ( x ) = 0 x =0 ó x = 3 a / 4

f 1 (x)=»> •*■ x =0 ó x=a

L u eg o , l o s i n t e r v a l o s de m o n o to n í a s o n : < 0 , 3 a / 4 > , < 3 a / ¿ , a >

S i x = a / 2 e < 0 , 3 a / 4 > + f ' ( a / 2 ) = + > 0 -*■ f e s c r e c i e n t e

x=7a/8e<3a/4,a> -»• f'(7a/8) = - l i l i l í = - + f e s d e c r e c i e n t e( +)

En l o s e j e r c i c i o s 1 1 65 - 11 8 4 h a l l a r l o s v a l o r e s e x tr e m os d e

l a s f u n c i o n e s .

Q £ £ | y =2 x 3- 3 x 2

Solución. f '( x ) = 6 x 2-6x = 6 x ( x - 1 )

S i f ' ( x ) = 0 + x =0 ó x =1A n a l i ce m o s e l c o m po r t am i e n to d e l a f u n c i ó n f ' ( x ) e n l o s e n t o r n o s

a l o s v a l o r e s c r í t i c o s x =0 y x =1

S i x = - 1 e < - oo, 0 > -*• f 1 ( —1) = 6 ( - ) ( - ) = + + f ' ( - 1 ) > 0

x =1 / 2 e < 0 , 1> + f 1 ( 1 / 2 ) = 6 ( + ) ( - ) = - - f 1 (1 / 2 ) < 0

x= 2 e< 1 , +»>> + f ' ( 2 ) = 6 ( + ) ( + ) = +-*-f ' ( 2 ) > 0

S e g ú n e l t e o r e m a 4 . 8 , p a r a x = 0 l a f u n c i ó n t i e n e u n m á x i m o ,

y p a r a x =1 l a f u n c i ó n a l c a n z a u n mí n im o .

L u e g o , s i x = 0 ■+ y ma x= 2 ® 3 —3( 0) 2 = 0

* = 1 * yrain=2 ( l ) 3 - 3 ( 1 ) 2 = - 1


x 2 + x +1

Solución. f ' ( x ) = --------( x 2 + x + 1 ) 2

S i f ' ( x ) = 0 x =0 ó x = -2 ( V a lo r e s c r í t i c o s )

I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : - 2 > , < - 2 , 0 > , < 0 , +" >

A n a l i c e m o s e l c o m p o r ta m i e nt o d e f ' ( x ) e n l o s e n t o r n o s d e l o s v a

l o r e s c r í t i c o s .

S i x = - 3e < - ° ° , - 2 > + f » ( - 3 ) = —

“Mínimo en x=0

x = - 3 e< - ° ° , - 2 > ->■ f ' ( - 3 ) = ' = - .

( + > > M Í

s = - 1e < - 2 , 0 > f * ( - 1 ) = + = + ^

^+ Máximo en x=0

x = 1e < 0 , +« > + f ' d ) = .zitlLt). = - ^( + )

P o r t a n t e : y . = = | ; y = M ü = ¿m l n ( - 2 ) 2 + ( - 2 ) + 1 3 max 0 +0+ 1

y = 3/ c 3 - 3 x 2 +8

Solución. f ' ( x ) = ■ x ( x - 2 j ----- ( 1 )3/ ( x 3 - 3 x 2 + 8 ) 2

S i f ' ( x ) = 0 x =0 ó x= 2 ( V a l o r es c r í t i c o s )

I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < - °° , 0 > , < 0 , 2 > , < 2, +■ »>

A n a l i c e m o s , e n ( 1 ) , e l . c o m p or t a m ie n t o d e f ' ( x ) e n ca d a i n t e r v a l o

J J J J J y = 2 x 3 - 6 x 2 - 1 8 x + 7

Solución. f 1 ( x ) = 6 x 2 - 1 2 x - 1 8 = 6 ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( 1 )

f ' ( x ) = 0 X =- 1 ó x = 3 ( V a l o r e s c r í t i c o s )

L o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n : <- <*>, - 1 > , < - 1 , 3 > , < 3, +“>>

E l i g i e n d o v a l o r e s d e x e n l o s e n t o r n o s a l o s v a l o r e s c r í t i c o s y

s u s t i t u y e n d o e n ( 1 ) ob t e n e m o s e l s i g n o d e l a d e r i v - a d a, e s t o e s :

S i x = - 2e < - ° °, - 1> -*• f 1 ( —2) =6 ( - ) ( - ) = + -Máximo en x=-1

x=0e<-1, 3> -*• f ' (0) = 6( + ) (-) = -Mínimo en x=3

x=4e<3,+° °> + f *(4-) = 6 ( + ) ( + ) = . +

L u e go , y mfi x = 2 ( - 1 ) 3 - 6 ( - 1 ) 2 - 1 8 ( - 1 ) + 7 = 1 7

y = 2 ( 3 ) 3 - 6 ( 3 ) 2 - 1 S ( 3 ) + 7 = - 4 7

Si x = - 1 e < - « , 0 > f » ( - 1 ) = S íll = +

K=1e < 0 , 2 > -> f ' ( x ) = l i l i l í

^ M á x i m o e n x =0

( + ) \

+ )( + ) .

' Mínimo en x =2

x= 3 e < 2 , + » > -*•f 1 (x ) = ( + ) = +( + )

P o r t a n t o : y m a x = 3/ 8 = 2 ; y min = 3/ 8 - 1 2 + 8 = 3/ J

r r m 1l iufcl y = ---------------------------

l n ( x ‘* +4 x 3 + 3 0 )

S o lución. f 1 ( x ) ----------- --------- - 4 x 2 ( x + 3 ) -----------------

(x 1,+4 x3+ 30 ) l n2 ( x ‘*+4x3+30)S i f ' ( x ) = 0 ■* x =0 ó x = - 3 ( V a l o r e s c r í t i c o s )

I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < - o0 j _ 3 > ( < -3 ,0> , < 0 ,+<»>


A n a l i c e m o s e l c o m p or t a m ie n t o de f ' ( x ) e n c a d a i n t e r v a l o .

Si x=-4e<-“.-3> *f 1 (x) = ZÜ rj — bi = + ^>Máximo en x=--3

x=- 2e<-3 .0> +f 1 (-3 ) = -LAlrU JJ = -( + H + ) ^> ^M áx im o ni mínimo

x= 1e<0, +°°> -*■ f i (1) = -lÜ lLlí l = -( + ) ( + )

Obsérvese que en el entorno de x =0 la derivada no cambia de signo,

f'(x)< 0 en xe<-3 ,0>U<0 ,+«», por.esta razón la función no tiene má

ximo ni mínimo en x=0, es decir, la función decrece de manera mo

nótona.1 1

E n t o n c e s , s i x=-3 * -------------r =max ln(81 -10 8+3 0) ln3

= - x 2 / x 2 +2

Solución. f ' ( x ) = - x ( 33l l ! ,/ I/x 2+2

S i f ' ( x ) = 0 ■* x =0 ( U n i co v a l o r c r í t i c o )

Si x= -1 e< -£°, 0> + f ' (-1 ) = - lililí = +

( + ) ^ > M á

x= 1e<0,+"> + f 1(1) = - {+)(+) - ^

Máximo en x=0( + ) ( + )

( + )

Luego , si x=0 -» ymax=0


P o d e m o s o b s e r v a r q u e e n e l e n t o r n o d e x = 7 / 6 l a d e r i v a d a d e l a

f u n c i ó n no ca m b ia d e s i g n o , f ' ( x ) > 0 , p o r l o q u e l a f u n c i ó n c r e c e

de manera monótona .

L u eg o , s i x =0 ♦ y = 4 ( 0 ) * . Vo -7 = 0max 3

2in " 3

w i

x = i - = i d ) 2 . 5« ^ = - 2 / 3

U X U y _ ___

9 x / 1 - x

Solución. La fu nc ió n e s re a l -*-*■ 1-x> 0 A x/ 0 -*-► x<1 , x^O

E n t o n c e s : D o m ( f ) = < - " , 1 > - { 0 }

D e r iv a nd o l a f u n c i ó n o b t e n e m os : f ' ( x ) = —2 / J ( 3 x - 2 ) _ 9 x 2 ( 1 - x ) 3/2

S i f 1 ( x ) = 0 x = 2 / 3 , y s i f ' ( x ) = » -*■ T x =0 ¿ Dom(f)f x=0

lx=1 i Dom(f)

L u e g o , l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n : < - <» , 0> , < 0 , 2 / 3 > , < - j , + ro>

S i x = - 1 e < - “ , 0 > + f 1 ( - 1 ) = — — ( - ) 2 ( + ) \

- ) _ X

+ ) * ( + ) \

+ X

No ex i s te máx imo ni

x= • j e < 0 , 2 / 3 > ♦ f'(^) = -— — r = - ^ mínimo.

x = | e < 2 /3 , 1 > f ' ( | )

Mínimo en x=2/3

( + ) * ( ♦ )

Como p o d e m os o b s e r v a r , l a f u n c i ó n d e c r e c e d e ma n e r a m o n ó t on a en

x e < - » , 0 > U < 0 , 2 / 3 > .

y = yx 2 . V o x - 7

Soiución. f ' ( x ) = 2 8x 3 ( x - I )— 3 V ( 6 x - 7 ) 2

S i f 1 (x )= 0 + x=0 ó x=1 ; f ' (x )=<» -»■ x=7 / 6

I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < - o o, o > , < 0 , 1 > , < 1 , 7 / 6 > , < 7 / 6 , +°°>

S i x = - 1 e < - t», 0> f ' ( - 1 ) = l e l i l í = +

Máximo en x=0( + ) ( - ) _ /x= 1/2e<0,1> f * (1/2 ) = VT'1- - =

x=2e<7/6, +=»> + f ' (2) = *-■* = +( + )

Por t a n to , p ar a x = 2/ 3 + y m4„ = — = 2v n:Ln 6 /1 /3

ma y=—/Z+5 2

Solución. D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f ' ( x ) = —= ~ = = / ( 4 + 5 x 2 ) 3

S i f ' ( x ) = 0 -*• x = 12 / 5 ( Un ic o v a l o r c r í t i c o )

S i x = 1 e < - » , 1 2 / 5 > ♦ f 1 ( 1 ) = I t l = +

Máximo en x=12/5- ) /x = 3 e < 1 2 / 5 , +“ > f ' ( 3 ) = 1 ^ 1 - -

( + )Luego , si x=12/5 + y = 1.13(12/5)_. = / 2 p

/¿+5(12/5)2


y = 3/ ( x 2 - a 2 ) 2

Solución. D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f ' ( x ) =

_l 2L_

3 ’ / ( x + a) ( x -a )

P ar a f ' ( x ) = 0 x =0 , y p a r a f ' ( x ) = “ > -*• x = - a ó x =a

D a d o q u e e l D o m ( f ) = R , l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n :

< - » , - a > , < - a , 0 > , <0 ,a> , <a,+°°>

S i x = - 2 a e < - " , - a > f ' ( - 2 a ) = - —| \ = -

^ M í n i m o e n x = -a

> Máxi mo e n x =0

x = a / 2 e < 0 , a> ■+ f ' ( a / 2.) - — ^( + ) ( - ) Mínimo en x=aJ ± L _ - , ^

x=2

a e< a, +»> •+• f ' ( 2

a) = ( + ) ( + )

P o r t a n t o , s i x = - a + y m i n =0 : x = 0 ♦ y m a x= 3> ^ r ! x = a - y m i n =0

y = x - l n ( 1+x )

So lución. La fu nc ió n e s r e al ■*■+ 1+ x>0 -«-*■ x>-1

Dom(f) = < -1 ,+">

f 1 ( x ) = 1 - _ — = ■■■x1 w 1 1 +x 1 +x

S i f ' ( x ) = 0 -*• x =0 ( U ni c o v a l o r c r í t i c o )

L ue g o, s i x = - 1 / 2 e < - 1 , 0> + f ’ ( - 1 / 2 ) = —— = -

^+ Mínimo en x=0


i U U y = ( x - 5 ) 2 . 3/ ( x + 1 ) 2

Solución. D e r i v an d o o b t e n e m o s: f ' ( x ) = ( 2 x - 1)_ 3 3/ x + 1

S i f ' ( x ) = 0 + x=1/2 ó x= 5

f 1 (x )=°° -*■ x =- 1

Como e l D o m ( f ) = R , l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a so n :

< - » , - 1 > , < - 1 , 1 / 2 > , < 1 / 2 , 5 > , < 5 , +°°>

A n a l i c e m o s e l c o m p or t a m i en t o d e l a d e r i v a d a e n c a da i n t e r v a l o :

S i x = - 2e < - ° °, - 1 > + f ' ( - 2 ) = = -

^ ^ ■ M í n i m o e n x =- 1

- ( - ) ( - ) _ ^x = 0 e < - 1 , 1 / 2> + f ' ( 0 ) = .Í111Z1 = +( + )

x = 1 e < 1 / 2, 5 > + f ' ( D = idlll = ¿Mí

=6 c < 5,+”> + f 1(6) = li li lí = +x( + )

L u e g o , s i x=-1 -*• y mi n= ( - 1 - 5 ) 2 . s/ ( - 1 + 1) 2 = 0

x = 1 / 2 + y m a x = ( 1 / 2 - 5 ) 2 - V ( 3 / 2 ) 2 = 1 § - 3*/ TS

x =5 •> y m, n = ( 5 - 5 ) 2 . 3/ ( 5+1 ) 2 = 0

y = ( x 2 - 2 x ) l n x - -lx2+ 4x2

Solución, L a f u n c i ó n e s r e a l ■*-*■ x > 0 -*■ D om ( f ) = < 0 , + “ >

D e r i v a n do o b t e n e m o s : f '2

1) 1)

x = 1 e < 0 , + = » + f 1 ( 1 ) = J l i = +

( + )

P o r t a n t o , p a r a x = 0 y . = 0 - l n ( 1 + 0 ) = 0* min

| U y y = x - l n ( 1+ x 2 )

( x - 1 ) 2Solución, D e r i v a nd o o b t e n e m o s : f ' ( x ) - " -1+ x 2

S i f ' ( x ) = 0 + x = 1 ( U n ic o v a l o r c r í t i c o )

P ara x=0e<-°° , 1> f 1 ( 0 ) = - i i i = +

^ J ^> No e x i s t e m áx im o n i m ín im o

x = 2 e < 1 ,+°°> + f ' ( 2 ) = - i í l = +

( + )Co mo f ' ( x ) > 0 , V -x e Do m( f ) , l a f u n c i ó n c r e c e d e m an e r a m o n ó to n a .

(x)'=2(x (lnxS i f ' ( x ) = 0 * x=1 ó l nx =1 -*•x= e

L o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n : < 0 , 1 > , < 1 , e > , < e, +° ° >

A n a li c e mo s e l s i g n o de l a d e r i v a d a e n e s t o s i n t e r v a l o s :

x = 1/ 2 e < 0 , 1 > + f 1 ( 1 / 2 ) ■= 2 ( - ) ( - ) = +Máximo en x=1

x = 2 e < 1 , e> •>f ' ( 2 ) = 2 ( + ) ( - ) = - CTMínimo en x=e

x = 3 e < e, +“ > ■> f ' ( 3 ) = 2 (+■)( +) = +

L u e g o , p a r a 34=1 + ^max^ 2 ' y pa i -a x=e + ymin =

y = ¿ ( x 2 + 1 ) a r c T a n x - t ¡ x 2 -

Solución, D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f 1 ( x ) = x ( a r c T a n x - i r /U)

S i f ' ( x ) = 0 -»• x =0 ó a r c T an x =7r / 4.

x=0 ó x=1


Co mo e l D o m ( f ) =R , l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n :

< - 00, 0 > , <0 , 1 > , < 1 t+°o>

S i x = - 1 e < - » , 0 > f ’ ( - 1 ) = ( - ) ( - ) = + ,Máximo en x=0

x = 1 / 2 e < 0 , 1 > + f • ( 1 / 2 ) = (+ )( -> = -

x=2e< 0 ,1> ♦ f ' ( 2 ) = ( + ) ( + ) = + —— Mínimo en x=1

L u e g o , p a r a x = 0 •> y r aax= 1 / 2 : p a r a x = 1 - yfflin=*/8

y = ^ | ( x 2 - ■ j ) a r c S e n x + ^ / l - x 2 - j | x

Solución. La fu nc ión es rea l +-*• 1 - x2>0

«-*• -1^x<1+ Dom(f ) = [ - 1 , 1 ]

D e r i v a n do l a f u n c i ó n o b t e n e m o s : f ' ( x ) = x ( a r c S e nx - T r /6 )

S i f 1 (x ) =0 -*■ x=0 ó arcSenx=Tr / 6

•* x =0 ó x = 1 /2

I n t e r v a l o s d e m o n ot o n í a: < - 1 , 0 > , < 0 , 1 / 2 > , < 1 / 2 , 1>

A n a l i c e m o s e l c o m p o r t a m i e n to d e l a d e r i v a d a en c ad a i n t e r v a l o :

S i x=1/2e<1,0> *• f »(1/2) = ()() = + ..>Maximo en x=0

x = 1 / 4 e< 0 , 1 / 2 > ♦ f ' ( 1 / 4 ) = ( + ) ( - ) = .Mínimo en x=1/2

x =3 / 4 e < 1 / 2 , 1 > - f 1 ( 3 / 4 ) = ( + ) ( + ) = +3 / 5 - 2

L u e g o , p a r a x= 0 + y m a x= c » y P a r a x = 1 / 2 + y m i n = j g -

1 2y = x S e n x + C o s x - jx , - •g


S i x= 0 * y m i n =0 • y p a r a x = n / 3 * y max = -6 ^ - 3r 1 8 “ 1 - 13

C E U y= ^5 “ x )C osx + Senx - X—^x , 0 $ xítt/ 2

Solución. D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f ' ( x ) = ( x - ■ j M Se n x - ry)

S i f ' ( x ) = 0 + x = 1 / 2 ó S e n x = 1 / 2 + x=tt/ 6

I n t e r v a l o s d e m o n o t o ní a : < 0 , 1 / 2 > , < 1 / 2 , t t / 6 > , < t t /6 , 7t / 2 >

A n a l i z a n d o e l s i g n o d e l a d e r i v a d a e n c a d a i n t e r v a l o s e t i e n e :

x = t t / 1 2 e < 0 , 1 / 2 > -*■ f ' ( t i / 1 2 ) = ( - ) ( - ) = + ^

/ ■ M á x i m o e n x = 1 / 2

x = 0 . 5 1 e < 1 / 2 , u / 6 > + f ' ( 0 . 5 1 ) = ( + ) ( - ) = - CT/ M í n i m o en x =u / 6

x=Tr/3 e -*• f 1 ( t t / 3 ) = ( + ) ( + ) = +

L u e g o , p a r a x =1 /2 * y ma x = S en ^ + T 5

x=tt/ 6 -> y ml n = y ^ ( 3 6 / 5 - 1 2 t t /3 + 7 2 - t t 2+6ti)

I t i a y = a ep x + b e *p x

Solución. D e r i va n d o l a f u n c i ó n s e t i e n e :

f ' ( x ) = a p e px - b pe "p x = p ( a e p x - b e - p x )

S i f 1 ( x ) = 0 + a e p x = b e _ p x + e 2 p x = ¿ ( 1 )a

2 l ^ }

Solución. D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f ' ( x ) = x ( C o s x - -jj)

S i f 1 ( x ) = 0 -*■ x =0 ó C o s x = 1 / 2

+ x =0 ó x=±tt/3

I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a :

< - r r / 2 , - i r / 3 > , < - i r / 3 . 0 > , < 0 , i r / 3 > . <tt/ 3 , it/ 2 >

x = - W l 2 e < - 7r / 2 , - t t / 3 > + f 1 ( - 5 tt /1 2 ) = ( - ) ( - ) = + ^,„^>Maximo en x = - it/ 3

x = - u / 6e < - u /3 , 0 > -*■ f ' ( - 7r / 6 ) = ( - ) ( + ) = - _ ___ Mínimo en x=0

x= 7r / 6 e <0 , i r / 3 > + f ' ( i r / 6 ) = ( + ) ( + ) = + — Máximo en x =tt/ 3

x = 5 ^ / 1 2 £ < t t/ 3 , u / 2 > +f 1 ( 5Tr/ 12 ) = ( + ) ( - ) = -

/o 6 tt /3 - n 2 +18 . „Luego , pa ra x=-t t /3 + ymax = ---------- 3 3 ------- = 1. 13

+ x = 2p l n ^ a}S u s t i t u y e n d o e n l a e c u a c i ó n d a da , y t e n i e n d o e n ' c u e n t a , d e ( 1 ) ,

q u e : e p x = / J y e ‘ p x = / 1

S e t i e n e : y = aJ¿ + b i / f = a +b J— = - 1 / 1 5 + -L/aE 'a b U 2 «b 2 ¡a | |b |

P ue d en o c u r r i r l o s s i g u i e n t e s c a s o s , r e s p e c t o a l s i g n o de a y b .

a ) S i a b< 0 , n o e x i s t e n v a l o r e s e x t r e m o s

b) S i a b >0 y a >0 , s e t i e n e : | a | = a y | b | = b .

E n t o n c e s : y n i n = 2 / a b , p a r a x = 2^ 1 n ( | )

c) S i a b >0 y a <0 , s e t i e n e . : | a | = - a , | b | = - b

E n t o n c e s : y max = - 2 / a E , p a r a x = ^ l n ( | )


2.5 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO•

S e a f : [ a > b]-»-R u n a f u n c i ó n c o n t i n u a s o b r e [ a , b ] .

S i f ( x ) t i e n e u n v a l o r m áxi mo a b s o l u t o M y u n v a

l o r m ín imo a b s o lu t o m e n e l i n t e r v a l o | a , b | , e n t o n c e s e x i s t e pu n

t o s x i y x 2 e n [ a , b ] t a l e s q u e :

M=f (x i ) y m=f (x2 )

s e c u m p l e :

f ( x ) 4 M , V x e [ a , b ]

En 1.af i g u r a ¿ . 1 6 s e o b s e r v a qu e M y m a l c a nz a n s u v a l o r e n e l i n

t e r i o r d e l i n t e r v a l o [ a , b ] , y e n l a f i g u r a ¿ . 1 7 s e m u e s t r a q ue M

y m a l c a n z a n s u v a l o r e n l o s e x t re m o s de d i c ho i n t e r v a l o .

De h e ch o s e i n f i e r e e n l a s i g u i e n t e r e g l a p a r a c a l c u l a r l o s v a l o

r e s m á x i m o y m í n i m o a b s o l u t o s d e u n a f u n c i ó n e n u n i n t e r v a l o .

a ) H a ll a r l o s v a l o r e s e x t r e m o s de l a f u n c i ó n ( x i , x 2 , e t c ) y l ú e

go c a l c u l a r l o s p u nt o s c r í t i c o s f ( x i ) , f ( x 2 ) . e t c .

b ) D e t e r mi n a r l o s v a l o r e s d e l a f u n c i ó n e n l o s e x t r e m o s d e l i n

t e r v a l o [ a, b ] , e s t o e s , f ( a ) . y f ( b ) .

c ) E l e g i r c o m o :

M=mayor de la s orde nada s en (a ) y (b)

m=menor de la s orde nada s en (a ) y (b)


PROBLEMAS RESUELTOS

En l o s e j e r c i c i o s 1 1 8 5- 1 1 97 h a l l a r l o s v a l o r e s m áx im os y m ín i

mos de l a s f u n c i o n e s d ad a s en l o s i n t e r v a l o s q ue s e i n d i c a n .

i iKf r l y = x ‘* -2x 2 + 5 , [ - 2 , 2 ]

Solución. a) f 1 ( x ) = ¿ x 3 - ¿ x = ¿ x ( x + 1 ) ( x - 1 )

S i f 1 (x ) =0 + x i = -1 , x2=0 , x 3 = 1

E n t o n c e s : f ( x i ) = ( - 1 ) “ - 2 ( - 1 ) * + 5 = ¿ ; f ( x 2 ) =0 - 0 + 5 = 5

f ( x 3 ) = ( 1 ) **-2 ( 1 ) 2 + 5 = 4

b ) f ( a ) = f ( - 2 ) = ( - 2 ) ‘* - 2 ( - 2 ) 2 + 5 = 13

f ( b ) = f ( 2 ) = ( 2 ) **-2 ( 2 ) 2+ 5 =■ 13

c) En co ns ec ue nc ia : H=13 y m=¿

y = x+2/x , ( 0 , ¿]

Solución. a) f 1 (x) = 1 + . S i f ' ( x ) = x i =0

L u e g o : f(xj) = 0+2/0 = 0

b) f ( a ) = f{0 ) = 0

f (b) _= f(¿) = ¿+2/¿ = 8

c ) P or l o t a n t o : M=8 y m=0

ITEfl y = x 55x“+5x3+1 , [1,2]

Solución. a) f'(x) = 5x‘*20x3 + 1 5x2 = 5x2 ( x - 1 ) (x3)

S i f 1(x) =0 *• x i =0 ,x2 = 1 , x 3= 3 i [ - 1 , 2 ]

E n t o n c e s : f(xi) = f(0) = 1

f(x2) = f(1) = 15+5+1 = 2

b) f (a) = f (1 ) = 1 5 5+ 1 = . 1 0

f ( b ) = f ( 2 ) = ( 2 ) s - 5 ( 2 ) "+ 5 ( 2 ) 3 +1 = - 7

c ) P o r l o t a n t o : M = f ( x2 ) = 2 ym = f ( a ) = - 1 0

l U J y = x 3 - 3 x 2 + 6 x - 2 , [ - 1 , 1 ]

Solución. a ) f ' ( x ) = 3 x 2 - 6 x + 6 = 3 ( x 2 - 2 x + 2 )

f ' ( x )='0 +

x 2 - 2 x+ 2= 0 -(-* x = 1± i ( i m a g i n a r i o )

No e x i s t e v a l o r e s e x t r e m o s.


b) f ( a ) = f ( - 1 ) = - 1 - 3 - 6 - 2 = - 1 2

f ( b ) = f ( 1 ) = 1- 3 +6 - 2 = 2

M=2 y m= - 1 2

y = / l O O - x 2 , - 6 ^ x < 8

Solución. a ) f ( x ) = -

b)

c )

/ Í O O - x 2

S i f 1 ( x ) = 0 + x = 0

f i ( x ) = «> -*■ x =±10 i [ - 6 , 8 ]

L u e g o, p a r a x i = 0 f ( 0 ) = 10

f ( a ) = f ( - 6 ) = / 1 0 0 - 3 6 = 8 ; f ( b ) = f ( 8 ) = / 1 0 0 - 6 4 = 6

. ’ . M. = f (x i) = 10 , m = f (b) = 6

n j y = 2 ^ 1 , 0 « X « 1

1 + x - x 2

2 ( 2 x - 1 )Solución. D e r iv a nd o o b t e ne m o s : f ( x ) = -------------- ——

( 1 + x - x 2 ) 2

Si f I ( x ) =0 + 2x -1 =0 +•+ x= 1 / 2

L u eg o, p a r a x i = 1 / 2 o b t e ne m o s : f ( x i ) = 3 / 5

b) f ( a ) = f ( 0 ) - i + 0 _ o

M= 1 y m=3/5

= 1 f ( b ) = f ( 1 ) = = 1

y = , 0 4 x 4 i

S i f ' ( ) " + 1 i [O i]

'«■¡rión 2: Aplicación de la primera derivada 517

n i f ( b ) .

■•) Como (a + b ) 2 > a 2+ b 2 s e r í a u n e r r o r c o n s i d e r a r M = ( a+ b) 2 y m=a2 +b 2

p u e s n o s a b e m o s s i x j y xi s o n v a l o r e s e x t r e m o s e n <0 , 1>.P ar a s a lv a r e s t a d i f i c u l t a d , d em os v a l o r e s p a r t i c u l a r e s a a y b

l ura a>b : a =2 y b =1 -*• x i = 2 / 3 £< 0 , 1 > : x 2 =2 ¿< 0 , 1 >

a =3 y b=1 -*■ x i = 3 / 4 e < 0 , 1 > ; x 2 =3 / 2 i <0 , 1 >

l’ara a

En c o n s e c u e n c i a , x 2 n o e s u n v a l o r e x t r e m o d e f e n < 0 , 1 >

l ' nr a d e t e r m i n a r s i x i e s u n v a l o r d e l m á x im o o d e l m í n i mo d e l a

P u n c i ó n , c o n s i d e r e m o s : a =2 , b=1 -*■ x i = 2 / 3 e < 0 , 1 >

E n to nc es : f ' ( x ) = - — +x 2 ( 1 - x ) 2

S i x = 1 / 3 e < 0 , 2 / 3 > ♦ f 1

(1 /3 ) = . -3 6 + -2 < 0 - Mínimo en x= 2 / 3

x = 5 / 6 e < 2 / 3 , 1 > f • ( 5 / 6 ) = 3 6 > 0

P or l o t a n t o , e l v a l o r m í ni m o a b s o l u t o d e f e s : m = ( a +b ) 2

E l v a l o r m á x i m o a b s o l u t o n o e x i s t e .

y = S e n 2 x - x , -tt / 2 4. x 4 tt/2

Solución. a ) f ' ( x ) = 2 C o s 2 x - 1

{2x=n/3 + xi=ir/ 6

2x=tf/3 x 2= - tt/6

f ( x i ) = S e n ( 5 ) - t - = 3 - ? ; f ( x 2 ) = S e n ( - 4 ) + . -z = - ^-5 +

S i f ' ( x ) = 0 + Co s2 x=

Solución. a ) f ' ( x ) =( x + 1 ) 2

b ) f ( a ) = f ( 0 ) = -1 ; f ( b ) = f U ) = |

c ) M=3/5 y m=-1

f c e h y = f - + í t I ( a > 0 y b>0) > 0 - s x ^ 1

Solución. D e r i va n d o o b t e n e m os : f ' ( x ) =

. S i f ' ( x ) = " + x = -1 i [O, i]

( b 2 - a 2 ) x 2 +2 a 2x - a 2

x 2 ( 1 - x ) 2

S i f 1 (x ) =0 + (b 2 - a 2 ) x 2 + 2 a 2 x - a 2=0 +-> Xi = ó x 2 = -£Tb

L u e go , f ( x j ) = ( a + b ) 2 y f ( x 2 ) = a 2 + b 2

b ) Como x= 0 y x= 1 s o n p u n t o s d e d i s c o n t i n u i d a d , n o e x i s t e n f ( a )

b) f (a) = f (tt/2) = S e n ( - i r ) + j = j

f ( b ) = f ( i r / 2 ) = S e n ( ir ) - | = - |

c ) M = f ( a ) =, m = f ( b ) = - ^

y = 2Tanx-Tan2x , 0 x 4 ir/2

Solución. a ) f ' ( x ) = 2 S e c 2x ( 1 - T a n x )

S i f ' ( x ) = 0 S e c 2x= 0 ó Tan x=1 ■<-*■ x=<t> ó x=irlk

E n t o n ce s : f ( x i ) = 2 ( 1 ) - ( 1 ) 2 =1

b ) f ( a ) = f ( 0 ) = 2 ( 0 ) - ( 0 ) 2= 0 , p a r a x =0 no e x i s t e f ' ( x ) .

c ) P o r t a n t o , e l m á x im o a b s o l u t o e s M= 1. E l m í ni m o a b s o l u t o n o e x i s t e .


QT?EI y =xx , 0 . 1 < x < “

Solución. D e r iv a n do o b t en e m os : f ' ( x ) = x x ( 1 + l n x)

S i f ' (x ) = 0 + ln x = - 1 ++x = e " 1 = 1/e

P ue s to que xx>0 , V-xeR , ob sé rv es e que en:

<0 . 1 , 1 / e > , 1+ l n x <0 -*• f 1 ( x )< 0

1, 1 s-ii Mínimo en x=1 /e< 1 / e , .+ “ > , 1 + l n x >0 + f ' ( x ) > 0 " ^

L u e g o , p a r a x i = 1 / e ■*f ( x i ) = ( 1 / e ) ^ e

b ) P ar a x = 0 . 1 f ( a ) = ( 1 / 1 0 ) ^ ^

c ) P o r t a n t o , e l m í ni m o a b s o l u t o e s : m= ( 1 / 1 0 ) 1 ^

E l m á x i m o a b s o l u t o n o e x i s t e .

y =3/ ( x 2 - 2 x ) 2 , 0 « x ^ 3

Solución. f 1 (x) = ------3 V x ( x - 2 )

S i f 1 (x ) =0 x=1 ;f 1 (x ) = 00 + x =0 ó x=2

E n t o n c e s : f ( x i ) = f ( x j ) = 0 : f ( x 2 ) =1

b ) f ( a ) = f ( 0 ) = 0 ; f ( b ) = 3/ ( 9 - 6 ) = 3/9

c ) m=0 y M=3/ ^

| ¡ ^ | y = a r c T a n (j ^ ) , 0 x ^ 1

-|Solución. a ) D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f ’ ( x )

1 + x 2

Gomo f 1 ( x ) <0 ¥ x e [ 0 l ] l a f u n c i ó n e s d e c r e c i e n t e o s e a no

, <ión 2: Aplicación de la primera derivada 519

r(x) = 2/73 + x (X>D + f ,( x ) = L 1 =x S x X 2 X 2

L u e g o , s i f ’ ( x ) = 0 x / x - 1 = 0 x=1l iado q ue l a f u n c i ó n f e s r e a l x >0 , l o s i n t e r v a l o s d e m o n ot o

n í a d e é s t a , s o n : <0 , 1 > , < 1 ,+®>

= . - M =

Mínimo en x=1

I x = 1 / 2 e < 0 , 1 > f f 1 ( 1 / 2 ) = = ( . )( + )

x = 2 e< 1 . +°°> ->• f 1 ( 2 ) = i i i = ( + )( + )

l 'nr t a n t o , l a f u n c i ó n f t i e n e u n m i n in o ú n i c o , q u e e s : f ( l )= 0

E n t on c e s, s e gú n l a d e f i n i c i ó n A.2, ¥ x >1 s e de be v e r i f i c a r q u e :

r ( x ) > f ( D , e s d e c ir : 2 / x - 3 + ^ > 0 2 / x > 3 - ^ l . q . q . d

ex > 1 + x ( x / 0 )

Demostración. En e f e c t o , s e a l a f u n c i ó n : f ( x ) = e X- ( 1 + x)

+ f 1 ( x ) = e x - 1 . S i f ( x ) = 0 -*■ e x = 1 + + x= 0

i a ra x = - 1e < - “ , 0 > f ’ ( — 1 ) = e _ l -1 < 0 ^ ^ ^Mínimo en x=0

x = l £ < 0 , +» > -*• f 1 ( 1 ) = e 1 - 1 > 0 — "

i n c i ó n t i e n e u n m in im o ú n i c o : f ( C

l u e g o , p a r a xf 0 , se d e be v e r i f i c a r qu e : f ( x ) > f ( 0 )

i'B d e c i r , e x - ( 1 +x) > 0 -*■ e x > 1 +x

Gomo f ( x ) <0 , ¥ x e [ 0 , l ] , l a f u n c i ó n e s d e c r e c i e n t e , o s e a, no t i e n e m á x i m o n i m í n i m o r e l a t i v o s e n [ 0 , 1 ] .

b ) f ( a ) = f ( 0 ) = a r c T a n l = i r / 4

f( b) ' = f (1) = arcTanO = 0

c ) P or l o t a n t o : m=0 y M=tt/4-

2.6 DESIGUALDADES

¿n los ejercicios 1 1 9 8 - 1 2 0 7 demostrar la validez de las desigual

dades.

2 / x > 3 - ^ (x> 1 )

demostración. En e f e c t o , e x a m in e m os l a f u n c i ó n

( ^ 2 3 x > l n ( 1 + x ) ( x > 0 )

demostración. En e f e c t o , s e a l a f u n c i ó n : f ( x ) = x - l n ( 1 + x)

-> 3 f •«--+ 1+x>0 •*-•* x> -1 - 'y Dora ( f ) =< -1 , +“»

D e r i v a n d o l a f u n c i ó n o b t e n e m o s : f ' ( x ) = ^x ^ . S i f ' ( x ) = 0 ■+■ x =0

l . ue g o, l o s i n t e r v a l o s d e m on o t o n ía s o n: < - 1 , 0 > , <0 ,+°»>

l x =- 1 / 2 e < - 1 , 0 > -> f 1 ( - 1 / 2 ) = - i l i = ( - )

^+ Mínimo e n x=0

x = 1 / 2 e < 0 , +<=> + f 1 ( 1 / 2 ) = - i ±2 = ( + )( + )

La f u n c i ó n f t i e n e u n m í ni m o ú n i c o : f ( 0 )= 0

l ' o r t a n t o , ¥ - x> 0 , s e d eb e v e r i f i c a r q u e: f ( x ) > f ( 0 )

. d e c i r : x - l n ( x + 1 ) > 0 x > I n ( x + 1 ) , s i x >0


r c m t 2 ( x - 1 )ma inx > x+t" * x>1

De.mo¿t/iación, En e f e c t o , s e a l a f u n c i ó n :

f (x ) = ln x - + Dom(f) = <0 ,+co>

( X "| J 2D e r i va n d o l a f u n c i ó n o b t e n em o s :f 1 (x) = — ------------ ---------------------------—

x ( x + 1 )

P a ra f ' ( x ) = 0 * x - 1 = 0 «-*• x =1 U n i c o v a l o r c r í t i c o

I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < 0 , 1 > , < 1 , + co>

S i x = 1 / 2 e < 0 , 1> + f 1 ( 1 / 2 ) = ( + ) \( + M + )I ^ N o e x i s t e m áx imo n i

x = 2 e< 1 , +°°> - f ' ( 2 ) = L t L = ( + ) mínimo( + ) ( + )

La f u n c i ó n e s c r e c i e n t e ¥ x> 1 , e s t o e s , f ( x ) > 0

l n x - > 0 l n x > 2 ( x ; ] } , s i x >1

( £ 2 0 2 xa rc Ta nx > l n ( l + x 2 )

Demostración. En e f e c t o , s e a f ( x ) = 2 x a r c T a n x - l n ( 1 +x 2 )

D e r i va n d o s e t i e n e : f 1 (x ) = 2 a rcTa nx

P a r a f ' ( x ) = 0 a r c T an x = 0 + + x =0

Como e l D o m ( f ) = R , l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n : < - ° = , 0 >, < 0 ,- + «>

S i x = - 1 e < - * , 0 > + f ’ ( - 1 ) = 2 ( — tt/4-) < 0>■ Mínimo en x=0

x = 1 e < 0 , +“» -»■ f 1 ( 1 ) = 2 (tt/4-) > 0

L u e go , l a f u n c i ó n t i e n e u n m í ni m o ú n i c o e n x = 0 , f ( 0 ) = 0

St ‘cción 2: Aplicación de la p rimera derivada 521

K n t on c e s, s e g ún l a d e f i n i c i ó n 4 . 2 , V -x eD om (f ) s e t i e n e : f ( x ) > f { 0 )

♦1

+ x l n ( x + / l + x 2

) - / l + x 2

>0

«->•1

+ x l n ( x + / l + x 2 ) > / l + x 2

CEI3 ln (1+x) > ST-ffanx , x> 0

De.mostA.ac ¿6 n. En e f e c t o , s e a f ( x ) = l n ( l + x ) - —

+ f i ( x ) = ( 1 + x + a r cT a n x ) ( 1 +x 2 ) - ( 1+ x)

( 1 + x 2 ) ( 1 + x ) 2

l ' ar a f ' ( x ) = 0 ■> ( 1 + x + ar c T a nx ) ( 1 + x2 ) = 1 +x ++ x= 0

So o b s e r v a qu e e l d e n o m in a do r de f ' ( x ) e s p o s i t i v o ¥ x e R .

l u e g o , e n e l n u m e r a do r , p a r a x <0 f ' ( x ) = ( - )

x >0 f 1 (x ) = ( + )

! .u f u n c i ó n f t i e n e u n m í ni m o ú n i c o e n x =0

, e s t o e s , f ( 0 ) = 0

S eg ún l a d e f i n i c i ó n 4 . 2 , p a r a x >0 s e d e b e v e r i f i c a r q u e :

r ( x ) > f ( 0 ) + l n ( 1 + x ) - —^ ^ a n x > 0 -<->■ l n ( 1 +x) > STcTanxItX \+x

x 3

x 5

Se nx < x - -g- + ’ x>®

Demostración. En e f e c t o , s e a f ( x ) = S e n x - x +

f ' ( x ) = C o s x - 1 + 2 Í . ( 1 )

l ' ar a f ' ( x ) = 0 C o s x = 1 “ §~ + f J

I n i g u a l d a d s e c u m p l e p a r a x = 0 .

n|)3Órvese en ( 1 ) que para x <0 f ' ( x ) > 0

L u e go , l a f u n c i ó n t i e n e u n m í ni m o ú n i c o e n x 0 , f ( 0 ) 0

E n t o n c e s , s e g ú n l a d e f i n i c i ó n 4 * 2, V -x eD om íf ) s e d e b e v e r i f i c a r

q u e : f ( x ) > f ( 0 ) -*-+ 2 x a r c T a n x - l n ( 1 + x 2 ) 5- 0

2 x a r c T a n x ^ - l n ( 1 + x 2 )

I H i f c l 1 + x l n ( x + / l + x 2 ) > / l + x 2

Demostración. En e f e c t o , s e a f ( x ) = 1 + x l n ( x + / l + x 2) - / 1 + x

c u y a d e r i v a d a e s : f 1 ( x ) = l n ( x + / l + x 2 )

S i f 1 ( x ) = 0 + l n ( x + Z T+ x 2 ) = 0 * x + / l + x 2 = 1 -*■ / l + x 2 = 1-x ++ x=0

Como e l D f= R, l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n : < - » , 0 > , < 0 , + “»

S i x = - 1 e < - ° ° , 0 > f 1 ( - 1 ) = l n ( - 1 + / 2 ) < 0 x = 1 e < 0 , +«» - f ' ( 1 ) = l n ( 1 + / 2 ) > 0

L a f u n c i ó n t i e n e u n m ín im o ú n i c o e n x = 0, e s t o e s : f ( 0 ) = 0

n|)3Órvese en ( 1 ) que para x <0 f ' ( x ) > 0

x >0 + f ’ ( x ) < 0

L ue g o, l a f u n c i ó n f t i e n e un má xi mo ú n i c o e n x =0 , e s t o e s ,

i ( 0 ) =0 , y s e gú n l a d e f i n i c i ó n 4 .1 , f ( x ) < f ( 0 )

> S e n x - x + f " - < . 0 «-*■ S e nx < x - ^ * x> 0

Se nx + Tan x > 2x , 0 < x < tt/ 2

Demostración. En e f e c t o , s e a f ( x ) = S e n x + T a n x - 2 x

f ' ( x ) =C o s x+ S e c2 x- 2 . ( 1 )

i f 1 ( x ) = 0 C o s x + S e c 2 x = 2 . L a i g u a l d a d s e c u m p l e p a r a x= 0

"l ,3 l r v < # s e , e n ( 1 ) , q u e p a r a x <0 -*■ f ' ( x ) > 0 y p a r a x >0 + f ' ( x )>0

" :>ea, l a f u n c i ó n e s c r e c i e n t e ¥ -x e<0 , 7r / 2 > , a l c a n z a n d o s u m en o r


v a l o r e n x = 0 , e s t o e s, f ( 0 ) = 0 , l u e g o , s e gú n l a d e f i n i c i ó n í.2

f ( x ) > f ( 0 ) , V-xe<0 , n / 2 >

o se a : Senx+T anx- 2x > 0 *->■ Senx+Tanx > 2x , xe<0 , ir /2>

Y 2Co sh x > 1 + — • x¿0

x2Be.mostA.ac.¿6n. E n e f e c t o , s e a f ( x ) = C o s h x - 1 -

f 1 ( x ) = S e n h x - x

S i f ' ( x ) = 0 S e n h x= x . L a i g u a l d a d s e c u m pl e p a r a x =0

L u e g o, p a r a x < 0 f ' ( x ) < 0 , y p a r a x > 0 -*■ f ' ( x ) > 0

L a f u n c i ó n t i e n e u n m ín im o ú n i c o e n x = 0 , e s t o e s : f ( 0 ) = 0

E n t o n ce s , s e g ú n l a d e f i n i c i ó n i.2: f ( x ) > f ( 0 ) , x / 0

2 x2 io sea : Coshx - 1 - — > 0 -*--*■ Coahx > 1 + — xfO

2.7 PROBLEMA S PARA HALL AR LOS VALORESMÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LAS FUNCIONES

L a t e o r í a d e m á x i m o s y m í n i m o s p e r m i t e r e s o l v e r m u c h o s p r o b l e

ma s p r á c t i c o s q u e s e da n e n g e o m e t r í a , m e c á n i c a , e c o n o m í a , e t c , ,

M uc ho s d e e s t o s p r o b l e m a s q u e s e n o s p r e s e n t a n c o n s i s t e n e n o b t e

n e r r e s u l t a d o s o p t i m o s . Co n f r e c u e n c i a n o s i n t e r e s a e l máx imo o

e l m í ni mo d e a l g o . S i a l p r o b l e m a q ue s e n o s p r e s e n t a p o d em o s a -

s o c i a r l e u na f u n c i ó n , s e r e d u c e a e n c o n t r a r l o s m áx im os y m í n i d t f i ó E l i i l i i t

1207

■S'<cción 2: Aplicación de la primera derivada 523

Solución. a ) S e a S l a c a n t i d a d a o p t i m i z a r

S i x e s u no d e l o s s u ma n do s ( x > 0 ) , e n t o n c e s y = 8 - x

: : or á e l o t r o s u m a nd o . L u e g o , s e g ú n e l e n u n c i a d o :S ( x ) = x 3 + ( 8 - x ) 3

ii) A h or a y a e s t a m o s en c o n d i c i o n e s d e a p l i c a r l o a p r e n d i d o p a r a

e n c o n t r a r l o s v a l o r e s m áx i mo s y m í n i m o s , e s t o e s :

S ' ( x ) = 3 x 2 - 3 ( 8 - x ) 2 = ¿ 8 ( x - ¿ ) ( 1 )

S i S ' ( x ) = 0 -*• x - 4 = 0 «-->■ x = ¿

O b s é r v e s e e n (1) q u e s i x < ¿ -*• S ' ( x ) < 0 , y s i x >¿ S ' ( x ) > 0

L u e g o, p a r a x = 4 , l a f u n c i ó n S t i e n e u n m í ni m o.

En c o n s e c u e n c i a , l o s n ú m e r os s o n : x = 4 e y= ¿ .

Qu é n úm er o p o s i t i v o s u ma do a su i n v e r s o d a l u g a r a l a s u

ma máxima?

volución, a ) S e a S l a c a n t i d a d a o p t i m i z a r

S i x e s u no d e l o s s u m an d o s y — e l o t r o s u m an do

S(x) = x + ^

b) D er i v a n d o s e t ie n e : S ' ( x ) = 1 - — = ^ )x 2 x 2

S i S 1 (x ) =0 -► x=-1 ó x —1

P u e s t o q u e x > 0, e l n ú me r o b u sc a d o e s : x = 1

D i v i d i r e l n ú m e r o 3 6 e n d o s f a c t o r e s t a l e s q u e l a s u m a d e

s u s c u a dr a d os s e a e l . m e n o r p o s i b l e .

S l ió

1210

1209

, ymos de e s t a f u n c i ó n . E l c am in o a s e g u i r e s e l s i g u i e n t e :

a ) I d e n t i f i c a r l a c a n t i d a d q u e s e v a a o p t i m i z a r ( má xi mo o m í n i

mo) a l a q u e s e s i m b o l i z a p o r u n a v a r i a b l e c u a l q u i e r a . L u e g o ,

s e e x p r e s a e s t a c a n t i d a d c omo f u n c i ó n d e un a s o l a v a r i a b l e .

S i a p a r e c e n má s d e u n a v a r i a b l e , e s t a s s e r e d u c e n a u n a s o l a

v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e p o r me d io d e r e l a c i o n e s m a t e m á t i c a s d a

d a s .

b) I d e n t i f i c a d o e l t i p o d e ex t re m o a c a l c u l a r , s e a p l i c a e l c r i

t e r i o d e l a p r i m e r a d e r i v a d a a p re n d i d o p a r a h a l l a r l o .

1208 D i v i d i r e l n ú m e r o 8 e n d o s s u m a n d o s t a l e s q u e l a s uma de s u s c u b o s s e a l a m e no r p o s i b l e .

Solución. a ) S e a S l a c a n t i d a d a o p t i m i z a r , y se a n x y 2 0S 2

f a c t o r e s . S ( x ) = x 2 +( 3 6 / x ) 2

b ) S ' ( x ) =l h í±?.§.)í*+V(x-6) ms . s , u ) = 0 + x=_ 6 . x= 6

X 3

O b s é r v e s e q u e p a r a x <6 S ' ( x ) < 0 , y p a r a x >6 S ' ( x ) > 0

L u e g o , p a r a x =6 l a f u n c i ó n S t i e n e u n mí n im o.

En c o n s e c u e n c i a l o s f a c t o r e s s o n : x =6 , y =6

S e d e b e h a c e r u n a c a j a c o n t a p a , c u y o vo l u m e n s e a d e 7 2 c m3

L o s l a d o s d e l a b a s e h an de e s t a r e n l a r e l a c i ó n 1 : 2 . Cu á

L es d e be n s e r l a s m e d i d a s d e t o d o s l o s l a d o s p a r a q u e l a s u p e r f i ■l e t o t a l s e a l a m en or p o s i b l e .

1211


j a , e s t o e s : V=Bx h

= i áde donde:2x

21 6

(1 )

Solución. a ) S e a S l a m a g n i t u d a o p t i m i z a r , y s e a n x , 2x l o s

l a d o s d e l a b a s e e y l a a l t u r a d e l a c a j a .

S ( x , y ) = 2 ( 2 x ) ( x ) + 2 ( x ) ( y ) + 2 ( 2 x ) ( y ) = ¿ x 2+6xy

D e b e m o s b u s c a r u n a n u e v a r e l a c i ó n e n t r e

x e y q u e n o s p e r m i t a e x p r e s a r S . co mo

f u n c i ó n d e un a s o l a v a r i a b l e . E s t a r e í a

c i ó n l a o b t e n e m o s d e l v o l u m e n d e l a c a -

7 2 = ( 2 x ) ( x ) ( y )

(2 )

1

X

S u s t i t u y e n d o e n ( 1 ) s e t i e n e : S ( x ) - 4x

b) s 1 (x ) = 8x . ¿ 1 6 = 8 ( x - 3 ) (x 2 +3 x +9_)9 2 *X2 xz

P a r a S ' ( x ) = 0 x - 3 = 0 -*-+ x = 3 , s u s t i t u y e n d o e n ( 2 ) : y = 4

E n c o n s e c u e n c i a , l a s d i m e n s i o n e s d e l a c a j a s o n : 3 c m , 6 cm y 4-cm

tViPi D e u n a h o j a de c a r t ó n , d e 1 8 x 1 8 c m2 ,

d e be n s e r r e c o r t a d o s c u a d r ad o s i g u a

l e s d e modo q ue d o b l a nd o l a h o j a , s i g u i e n d o

l a s l í n e a s p un t e ad a s ( v é as e l a f i g . 2 9 ) , r e r

s u i t e u na c a j a q u e t e n g a l a m a y or c a p a c i d a d

p o s i b l e . C u á nt o d eb e m e d ir c a d a l a d o d e l c u a

d r a d o . F i g u r a 2 9

Solución. S e a V l a m a g n i t u d a o p t i m i z a r y


Solución. a ) S e a. V l a m a g n i t u d a o p t i m i z a r y s e a x e l l a d o d e l

c u a dr a d o qu e s e de b e c o r t a r , t a l q u e : 0 <x < 2 . 5

: ; i V=Bxh + V(x ) = ( 8 -2 x ) ( 5 - 2x )x K n t o n c e s : V ' ( x ) = ¿ ( x - 1 ) ( 3 x- 1 Q. ) ( 1 )

."■i V ' ( x ) =0 ■+ x= 1 ó x = 1 0 / 3 i <0 , 2 . 5 >

O b s é r v e s e e n ( 1 ) q u e s i :

xe< 0,1 > -*■ V 1 ( x ) > 0

x e < 1 , 2 . 5 > V 1 ( x ) < 0 '

l 'o r t a n t o , e l l a d o d e l c u a dr a d o d eb e

m e d i r : x = 1cm.

> Máxi mo e n x=1

8 — -— h

8-2x - _ L1X

1 5-2x 1

111

“ l 1 i

m y E l vo lu m en de un p r i sm a t r i a n g u l a r r e g u l a r e s i g u a l a V.

C u á nt o d e b e m ed i r e l l a d o d e l a b a s e p a r a qu e s u s u p e r f i

c i e t o t a l s e a l a m en or p o s i b l e .

Solución. a ) S e a S l a m a g n i t u d a o p t i m i z a r

y s e a x e l l a d o d e l a b a s e d e l

pri s iaa . S i V=íxh + V = ' (^Z/3 ) y y = !¿2LU 3 x 2

S u p e r f i c i e t o t a l : S = 2 B + 3SJL, 2 __ „2

- S = 2 ( 2 - / 3 ) + 3 x y = 2 ( | - / 3 ) + 3 x ( 4 / 3 V j

3 x 2

* S ( x ) = | / I + 4 /3V

b ) D e r i v a n d o o b t e n e m o s :

L u e go , s i S ' ( x ) = 0

S ' ( x )

: 3- 4V=0 ++ x = 3/¿V

> M áx im o e n x = 3

18-2x

Solución. S e a V l a m a g n i t u d a o p t i m i z a r y

s e a x e l l a d o d e l c u a dr a d o q ue

s e d eb e c o r t a r , t a l q u e : 0 < x <9

S i V =B xh + V ( x ) = ( 1 8 - 2 x ) 2 x

b ) V 1 ( x ) = 1 2 ( x - 3 ) ( x - 9 ) ( 1 )

S i V ' ( x ) =0 <-+ x=3 ó x=9 i < 0 , 9 > ■

O b s e r v e e n ( 1 ) q u e p a r a :

xe< 0, 3> V 1 ( x ) > 0

xe<3> 9> + V' (x )<0

En c o n s e c u e n c i a e l l a d o d e l c u a d r ad o d e b e m e d i r : x = 3c m.

18

R e s o l v e r e l p r o b l e m a a n t e r i o r p a r a e l c a s o d e l a h o j a r e e

t a n g u l a r d e 8x 5 cm2.

L u e go , s i S ( x ) 0 : 3 4V=0 ++ x 3/¿V

i m j Un a t i n a a b i e r t a t i e n e l a f o rm a de c i l i n d r o . S i en d o su vo

l u m e n i g u a l a V . C u ál d e b e s e r e l r a d i o d e l a b a s e p a r a

' pi e s u s u p e r f i c i e t o t a l s e a l a - m e n o r p o s i b l e ?

Solución, a ) S e a S l a m a g n it u d a o p t i m i z a r , y s e an x e l r a d i o e

y l a a l t u r a d e l c i l i n d r o . S i en d o l a t i n a a b i e r t a ,

c u s u p e r f i c i e t o t a l e s : S = SI + B

( 1 )

(2)

► S ( x , y ) = 2 ir xy + ttx2

l’ero V=7rx2y y = V/irx 2

1. ne g o , e n ( 1 ) : S ( x ) = ^ + ttx 2


D e r i va n d o s e o b t i e n e : S ' ( x ) = 2 ( —— —)x 2

P a r a S ' ( x ) = 0 ■+■ i r x3 -V =0 ■*■+ x = ~ v

S u s t i t u y e n d o en ( 2 ) : y = ^ ( ^ ) 2^ 3 = 3>/~"

P or t a n t o , l a s u p e r f i c i e t o t a l d e l a t i n a e s óp t i m a c u an do e l r a

d i o d e l a b a se e s i g u a l a l a a l t u r a d e l a t i n a .

H a l l a r l a r e l a c i ó n e n t r e e l r a d i o R y l a a l t u r a K d e un

c i l i n d r o q ue t i e n e l a me nor s u p e r f i c i e t o t a l p o s i b l e , c o

n o c i e n d o s u v o l u m e n .

Solución. a ) S e a S l a m a g n i t u d a o p t i m i z a r

+ S (R , H) = 2ttRH + 2i tR 2

S i V e s e l v ol u me n c o n oc i d o d e l c i l i n d r o

1 - ( 1 )ttR

+ S( R) = 2nR (—— ) + 2ttR 2 = 2(^) + 2ttR 2! 2 nttR

R 2b) S» (R) = - — + ¿ttR = 2 ( —■— - )

’ 2 R 2

R S i S ' ( R ) = 0 -*■ 2 tt R 3-V=0

S u s t i t u y e n d o e n ( 1 ) : H = = * \ J =

. . H=2R

V, teión 2: Aplicación de la primera derivada 527

P ur a V ' ( x ) = 0 + ¿0 0 - 3 y 2 =0 «-»■ y = - 2 ^ 1

Un s e c t o r d e l á n g u lo c e n t r a l a e s t á r e c o r t a d o d e u n c í r c ul o . A l e n r o l l a r s e e l s e c t o r , h a s i d o e n g e nd r a da u na s u p er

f l c i e c ó n i c a . C u ál d e b e s e r l a a b e r t u r a d e l á n g ul o a p a r a qu e e l

v o lu m e n d e l c o n o o b t e n i d o s e a e l m ay or p o s i b l e ?

Vo¿ución. a ) S e a V e l v o l u m e n ó p t i m o , y

s e a x e l r a d i o d e l c o n o e n

^ o n d r a d o p o r e l s e c t o r c i r c u l a r .

:;i V = -jBxh + V = -jir x2y

* V (x ) = -^x2/ r 2 - x 2 ( r e s c o n s t a n t e )

l ) D e r i v an d o s e t i e n e : V ' ( x ) = 7TX( 2 r ~ 3 x . L3 / r 2 - x 2

■ I V 1 (x) =0 + 2r 2 - 3 x 2 = 0 «-*• x = r / | " ( 1 )

Po ro ,' l a l o n g i t u d d e l s e c t o r e s i g u a l a l a

l o n g it u d d e l a c i r c u n f e r e n c i a d e l a b a s e ,

" o t o e s : r a = 2 ?rx -*--*■ x =27T

. "■ us ti tU ye nd o e n ( 1 ) o b t e n e m o s : a = 2 u = 2 9 3 ° 5 6 '

E l p e r í m e t r o d e un t r i á n g u l o i s ó s c e l e s e s 2 p. C u án t o d e

b e n m ed i r s u s l a d o s p a r a q u e e l v o l u me n d e l c u e r p o e n g e n

d r ad o p o r l a r o t a c i ó n d e l t r i á n g u l o e n t o r n o a su b a s e s e a e l ma

1219

1218

S e d e b e h a c e r un e mb ud o c ó n i c o q u e t e n g a l a g e n e r a t r i z i -

g u a l a 20 cm . C u ál d e b e s e r l a a l t u r a d e l c i l i n d r o p a r a q '

s u v o l u m e n s e a e l m a y or p o s i b l e ?

Solución. a ) S e a V l a m a g n i t u d a o p t i m i z a r y s e a n x , e l r a d i o ,

e y , l a a l t u r a d e l c o n o .

S i V = - jB*h. + V (x ,y ) = - j i rx2y (1 )

P e r o x 2 + y 2 = ( 2 0 ) 2 x 2 = 4 0 0 - y 2

En ( 1 ) : V ( y ) = ^ i r U 0 0 - y 2 ) y = | U 0 0 y - y 3 )

b) V '( y ) = i ( 4 0 0 - 3 y 2 )

y o r p o s i b l e ?

U>¿ución. a) S e a V e l v o l u m e n ó p t i m o d e l c u e r p o e n g e n d r a d o .

Sean b=2x , y=Jt lo s la do s

d ni t r i á n g u l o g e n e r a d o r y h e l r a d i o d e

piro.O p

Ent onc es : V = ^7ih2x = -jTí{y2-xz)x ( 1 )

l oro: 2 p = 2 x+ 2 y ■+■ y - p - x ( 2 )

( . ’ ) e n ( 1 ) r e s u l t a : V ( x ) = ( p 2x - 2 p x 2 )

1 V '( x ) = - Ti (p 2 - 4 p x ) = -|pTr(p- 4x )Pa ra V ' (x)= 0 p-4x= 0 «-»•: x=p /4

528Canitulo 4: Análisis de las Funciones

3S u s t i t u y e n d o e n ( 2 ) : y = ^P

P or t a n t o , l o s l a d o s d e l t r i á n g u l o i s ó s c e l e s d e be n me d ir :

b= p / 2 , y = 3 p / 4

E l p e r ím e t r o d e un t r i á n g u l o i s ó s c e l e s e s 2 p. C u án to d e

b e n m e d i r s u s l a d o s p a r a q u e e l v o l u m e n d e l c o no e n g e n d r a

do p or l a r o t a c i ó n d e l . t r i á n g u l o e n t o r n o a s u a l t u r a b a j a da s o

b r e l a b a s e s e a e l m ay or p o s i b l e ?

Solución. a ) S e a V e l v o l u m e n ó p t i m o d e l c u e r p o e n g e n d r a d o .

S e a n b = 2 x e H = y l o s l a d o s d e l

t r i a n g u l o g e n e r a d o r .

Si V = 4í>xh -*■ V = ii rx 2h = | x 2 / y 2 - x 2' (1 )

Per o: 2p = 2x+2y +' y = p- x

En ( 1 ) : V ( x ) = i r x 2 / p 2 - 2 p x b,M I \ pttx(2p5x)

b) Derivando la función obtenemos: v w 3/p2_2px

S i V 1 ( x ) = 0 2 p - 5 x = 0 x = 2 p / 5 . L u e g o, e n ( 2 ) : y - 3 p / 5

P or t a n t o , l o s l a d o s d e l t r i á n g u l o i s ó s c e l e s d e be n m ed ir :

b = 4 p / 5 , y = 3 p / 5

H a l l a r l a a l t u r a d e l c i l i n d r o q ue t e n g a e l v o l um e n máxi mo

p o s i b l e ' y qu e s e a s u s c e p t i b l e d e s e r i n s c r i t o e n u na e s f e

r a d e r a d i o R .

Solución. a ) S e a V e l v o l u m e n ó p t i m o .

1221

1220


: : o a n x e y e l r a d i o y a l t u r a d e l c o n o

r e s p e c t i v a m e n t e .

; ; i V = - ^Bx h -*■ V = jTrx2y ( 1 )

Kn e l ABCD: EC2 = BExED + x 2 = y ( 2 R - y )

Luego , en ( 1 ) : V ( x ) = - | ( 2 R y 2 - y 3 )

i>) V ' ( x ) = ^ | (4Ry-3y2) = ^ (4R-3y)y

P a r a V ' ( x ) = 0 ■* 4R-3y=0 *-*■ y=liR/'}

I f r Wi l U n a p a l a n c a d e s e g u n d o g é n e r o t i e n e A p o r s u pu n t o d e a po

y o . D e l p u nt o B (A B= a) e s t á s u s p e n d i d a l a c a r g a P . E l p e

no d e l a u n i d a d d e l a l o n g i t u d d e l a p a l a n c a e s i g u a l a k . C uá l

< lo be rá s e r l a l o n g i t u d d e l a p a l a n c a p a r a q u e l a c a r g a P q u e d e .■ti e q u i l i b r i o c o n l a f u e r z a m í n i m a ? ( E l m om en t o d e l a f u e r z a c om

p e n s a d o r a d e b e e q u i v a l e r a l a s um a d e l o s m om en t os d e l a c a r g a P

y d e l a p a l a n c a ) . R p ta . / ( 2 a B) / k

g T T7 1 T r e s p u n t o s A , B y C s e h a l l a n s i t u a d o s d e m od o q u e 4ABC =

6 0 ° . U n a u t o m ó v i l s a l e d e l p u n t o A y e n e l m i sm o mo me nt o

Mol p u nt o B p a r t e u n t r e n . E l a u t o m ó v i l a v a n z a h a c i a e l p u n t o B

■i 80 k m /h , e l t r e n s e d i r i g e h a c i a e l p u n t o C a 5 0 k m/ h . T e n i e n -

l" en c u e n t a q u e l a d i s t a n c i a A B =2 00 km , e n q u é m om e nt o , a l c o me n

,',nr e l m o v i mi e nt o ^ s e r á m í ni ma l a d i s t a n c i a e n t r e e l a u t o m ó v i l y

e l t r e n ?í >l ió ) S d AP l d i t i ó t i



Solución. a ) S e a V e l v o l u m e n ó p t i m o .

S e an x , e l r a d i o , e y, l a a l t u

r a d e l c i l in d r o i n s c r i t o .? ( 1 }

S i V =B*h + V = irx y v '

P e r o : ( 2 R ) 2 = ( 2 x ) 2+ y 2 + X2 = ¿(4R 2 - y 2 )

Sustituyendo (2 ) en (1) obtenemos: V ( y ) = ^ ( 4 R 2y - y s )

b ) V ' ( y ) = ' ^ ( 4 R 2 - 3 y 2 ) ., „ 2R/3

Si V 1 ( y ) =0 + 4R 2 - 3 y 2 =0 ^ y = — 3

H a l l a r l a a l t u r a d e lcono de máximo vo lumen que sea su s

c e p t i b l e d e s e r i n s c r i t o e n u na e s f e r a d er a d i o R .

Solución. S e a V e l v o l u m e n ó p t i m o d e l c o n o .

1222

ír>lución, a ) S e a d=AP l a d i s t a n c i a ó p t i m a .

En ¿un t iem po t e l aut om óv i l re co rr e AP = 80 t ,km

Kn e l m i s mo t i e m p o t , e l t r e n r e c o r r e

H q ~5 0 t km. P o r l a l e y d e l o s c o . s e n o s :

BQ2 - 2 ( B P ) ( B Q ) C o s 6 0 0= BP 2 +

= ( 2 0 0 - 8 0 t ) 2 + 2 5 0 0 t 2 - 2 ( 2 0 0 - 8 0 t ) ( 5 0 t ) ( | )

d(t)=/l00(208t)2+2500 t2500(20t8t2)

r u m 200(208t) (8)+5000t500(20l6t)

2/l00(208t)2+2500t2500(20t8t2)

Para d 1 (t) =0 •+ 16 00( 20 8t ) + 500 0t 500( 201 6t ) =0

de dond e: t = 70/ 43 = 1h 38 min.


D ad o un c i e r t o p u n t o A e n u na c i r c u n f e r e n c i a , t r a z a r u n a

c u e r d a BC p a r a l e l a a l a t a n g e n t e e n e l p u n t o A d e mo do q 1

e l á r e a d e l AABC s e a l a m ay or p o s i b l e .

Solución, a ) S e a S e l á r e a ó p t i m a . S e a n h=AH l a a l t u r a d e l t r í a n

g u i o y R» e l r a d i o d e l a c i r c u n f e r e n c i a .

S i e n d o l a c u e r d a BC p a r a l e l a a l a t a n g e n t e , A

l a a l t u r a AH p a s a e l c e n t r o d e l c í r c u l o .

E n t o n c e s : S = ^ ( B C * h ) _

En e l AOHC: HC = / r 2 - 0H 2 = / R 2 - ( h - R ' ) 2

Como: BC = 2HC •* BC = 2/ 2h R -h 2

L u e go , e n ( 1 ) : S ( h ) = h / 2 R h - h 2

b) S 1 (h) = -h.(.3R~2h )- . S i S 1 ( h ) = 0 / 2 R h - h 2

: d

3R-2h=0 h=3R/2

P o r t a n t o , e l á r e a d e l AABC s e r á má xi ma s i l a d i s t a n c i a q u e

m e di a e n t r e l a c u e r d a y e l p u n t o A d e be s e r i g u a l 3 / 4 d e l d i á m e

t r o de l a c i r c u n f e r e n c i a .

H a l l a r l o s l a d o s d e l r e c t á n g u l o d e m á x i m o p e r í m e t r o e i n s .

c r i t o e n u n a s e m i c i r c u n f e r e n c i a d e r a d i o R .

Solución. a ) S e a p e l p e r í m e t r o o p t i m o , y s e a n : b =2 x e y , l a s d i

m e n s i o n e s d e l r e c t á n g u l o .

E n t o n c e s : p = 4 x + 2 y ( 1 )

P e r o : x 2 + y 2 =’R: ( 2 )* / \

/

‘ 1">n 2: Aplicación de la primera derivada531

U n c i a d e l c e n t r o d e l c í r c u l o , d e r a d i o R, a l a c u e r d a q u e su b t i e n d e e l a r c o.

En to nc es : S = 2xy _ ( - j) a

üm e l AOCP: 0P 2= P C2 +C 02

►R2 =x2+ (y + h ) 2 x = /R 2 - ( y + h ) 2 ( 2)

u s t i t u y e n d o ( 2 ) en ( 1 ) s e t i e n e :

S ( y ) = 2 y / í 2 - ( y + h ) 2

•') - S 1 ( y ) = 2 - y ( y + h ) + R 2 - ( y + h ) 2

»',R2- (y+h ) 2

S i S ' ( y ) = 0 - y ( y + h ) +R 2 - ( y + h ) 2=0

_ / 8R 2 + h 2 - 3h l

Pc x ///// Y \B /

0

de donde: y =

' 2y 2 + 3h y + h 2 - R 2 =0

, e s l a a l t u r a d e l r e c t á n g u l o .

E E j C i r c u n s c r i b i r e n t o r n o a un c i l i n d r o d ad o e l c o no qu e t e n

g a e l m en or v o l um e n p o s i b l e ( l o s p l a n o s d e l a s b a s e s c i r

c u l a r e s d e l c i l i n d r o y d e l co no de b en c o i n c i d i r ) .

Solución. a ) S e a V e l v o l u m e n o p t i m o d e l c o n o , y s e a n x e y , e l

r a d i o y l a a l t u r a d e l c o no , r e s p e c t i v a m e n t e . L os

d a t o s d ad o s d e l c i l i n d r o s on e l r a d i o r \y l a a l t u r a h .

Si V = ¿Bxh 1

( 1 )

AB EF '

hxx r

BCFC

i = - 2L. h x - r

( 2 )

V = ■jirx2y

AABC = AEFC h

d e d o n d e : y

L u e g o , e n ( 1 ) : p ( x ) = ¿x +2/r 2- x 2

b ) D e r i v a n d o s e t i e n e : p ’ ( x ) = ~ x ~ X1/ R 2 - x 2

* / v \

- 4 ____

P ara p 1 ( x ) = 0 2 /R -x = x -*-+ x = 2 R / 5en ( 2 ) ‘: y =

P or t a n t o , l a s d i m e n s i o n e s d e l r e c t á n g u l o s o n :

R / 55

I n s c r i b i r e l r e c t á n g u l o d e ma yo r á r e a p o s i b l e e n un s e g

m e n to d ad o d e l c i r c u l o .

Solución. a ) S e a S e l á r e a d e l r e c t á n g u l o o p t i m o , y s e a n b = 2x e

y l a s d i m e n s i o n e s d e l r e c t á n g u l o , y h =0 B, l a d i s -

x - r ( 2 )

(2 ) en ( 1 ) : V(x ) = -h ( - ~ )

b ) D e r i v a n d o ob t e n e m o s : V ' ( x ) = ü h f x 2 ( 2 x - 3 r ) 1

( x - r ) 2 J

P a r a V ( x ) = 0 + 2 x - 3 r = 0 «--► x = 3 r / 2 . L u e g o , e n ( 2 ) : y = 3 h

En c o n s e c u e n c i a , e l r a d i o d e l a b a s e d e l c o no e s 1.5 v e c e s m a y o r

q ue e l d e l c i l i n d r o , y s u a l t u r a 3 v e c e s m a yo r q ue l a a l t u r a d e l c i l i n d r o d a d o .

I B U H a l l a r l a a l t u r a d e l co no r e c t o c i r c u l a r , d e me no r v o l u

me n p o s i b l e , c i r c u n s c r i t o e n t o r n o a u na e s f e r a d e r a d i o R.

Solución. a ) S e a V e l v o l um e n ó p t i m o d e l c o n o , y s e a n x e y , e l


r a d i o y s u a l t u r a r e s p e c t i v a m e n t e .

Si V = -jBxh + V = ^Trx2y

AABC = AODA

( 1 )

ABBC

12.OD

= / ( ^ R Í ¡ - R 2y^ 2 R 7T V2

S u s t i t u y e n d o e n ( 1 ) : V ( y ) = - gR 2 (—* )

b ) v - ( y ) =3 L(y _ 2R)2i

P a r a V.' ( y ) = 0 y =0 o y =¿ R

E n c o n s e c u e n c i a , l a a l t u r a d e l c o no d e b e s e r ¿ v e c e s m a yo r q u e e l

r a d i o d e l a e s f e r a .

f £J cV J H a l l a r e l á n g u l o e n e l v é r t i c e d e l a s é c c i ó n a x i a l d e un c o no qu e t i e n e l a m e no r s u p e r f i c i e l a t e r a l p o s i b l e y qu e

e s t á c i r c u n s c r i t o e n t o r n o a u na e s f e r a d a d a.

Solución. a ) S ea S l a s u p e r f i c i e l a t e r a l ó p t i m a. S e an x e y , e l

r a d i o y l a g e n e r a t r i z d e l c o no , r e s p e c t i v a m e n t e , y

a =2 0 , e l á n g u l o e n e l v é r t i c e .

S i S = irRg S = TTxy ( 1 )

En l a f i g u r a s e t i e n e : y=AD+DC

P o r p r o p i e d a d d e l a s t a n g e n t e s : DC=BC

Ent onc es : y = RCotg0 + x

En e l AABC: y = xCs c0

D e e s t a s d o s e c u a c i o n e s o b t e n e m o s :RCo s 8 RCotg9

V. ■<ción 2: Aplicación de la primera derivada 533

I C u á l h a d e s e r l a a b e r t u r a d e l á n g u lo e n e l v é r t i c e d e un

t r i á n g u l o i s ó s c e l e s , d e á r e a d a da , p a r a q ue e l r a d i o d e l

í r c u l o i n s c r i t o e n d i c h o t r i á n g u l o s e a e l ma yo r p o s i b l e ?Polución. a ) S e a a =2 8 l a a b e r t u r a d e l á n gu l o en e l v é r t i c e .

S e a n S e l á r e a d a d a d e l AABC y R e l r a d i o d e l c í r -

i -u lo . S e s abe qu e: S = Rp

a + a + b „ „ , 2 a+b\donde : p = s— “ D' ---------S = R(

l 'ero : a = BH.Sec0 = hSec 8

+ b=2hTan0

l uego , S = $■( 2hSe c0 + 2hT an8 ) = hP.(Se c8+Tg 9)

| = BH.TanO

Pero: h = R+OB = R+RCsc0 = R(1+Csc0)

K n t o n c e s : S ( 0 ) = R 2 ( 1 + C s c 0 ) ( S e c 8 + T a n 0 ) = 2R ' 1-t-SenO) 2

+ S ' ( e ) = 2 R 2 S e n 2 0 [ 2 ( 1 + S e n 9 ) C o s 8 ]

Sen20

( 1 + S e n8 ) 2 ( 2 Co s29 )

S e n 2 2 6

,„ 2 ( 1 + S e n 0 ) [ C o s 0 S e n 2 6 - ( 1 + S e n 8 ) C o s 2 0 j - 4rC ---- . ■- ■

S e n 2 2 8

b ) S i S ' { 0 ) = O C o s 8 S e n 2 0 - ( 1 + S e n 8 ) C os 2 8 = 0

-*■ 2 S e n 0 C os 2 0 - ( 1 + S e n 0 ) ( 1 - 2 S e n 20 ) = 0

de dond e: 2Se n28 + Sen 8-1= 0 SenO = 1 /2 ó Sen 8 =

6=30° ó 0=270°

a= 2 8 =6 0 °

[ r í í l H a l l a r l a a l t u r a d e un c on o qu e t i e n e e l m e no r v o lu m e n po i b l t á i i t t i ' f



RCo s 81 -Sen 9 ’ y =

L u e go , e n ( 1 ) : S ( 8 )

RCotg91-Sen6

= irR 2( 1 - S e n 0 ) 2

= ttR'1+Sen 6

( 1 - S e n 0 ) S e n 0

b) S> (0) = ttR

= ttR

S i S ' ( 6 ) = 0

2 ["( S e n O - S e n 2 0 ) C o s 0 - ( 1 + S e n 0 ) ( C o s 6 - 2 S e n 0 C o s 6 )

L (S én 6 - S e n 20 ) 2 J

2 C o s 8 ( S e n 28 + 2 S e n 9 - 1 )

( S e n 0 - S e n 20 ) 2

S e n 2 8 + 2 S e n 8 - 1 = 0 + S e n 8 = -1+ /TTÍ = /2 -1

0 = 2 ¿ ° 2 8 1 + a = 4 - 8 ° 5 6 >

s i b l e y qu e e s t á c i r c u n s c r i t o e n t o r n o a u na s em i ' e s fe r a

l e r a d i o R ( e l c e n t r o d e l a b a s e d e l c o n o c o i n c i d e c o n e l d e l a

e s f e r a ) . A

Solución, a ) S e á V e l v o l u m e n ó p t i m o d e l

c o n o y s e a n , x e y e l r a d i o

y su a l t u r a , r e s p e c t i v a m e n t e .

S i V = - ^Bxh

AA03 = AACO

de d o n d e : j

V = ^ 7r x2 y : d

_A0

0B

Ry ...

/R2y2

AC0C

x. -x R


S u s t i t u y e n d o e n ( 1 ) : V ( y )nR

(-y 2 - R !

-)

_ d 2 v 2 ( 2 _'1d 2 '

b ) D e r i v a n d o o b t e n e m o s : V ’ ( y ) = —5 " -* — ----------- '■3 (y2R2)2

S i V 1 ( y ) =0 -*• y 2 - 3 R 2=0 y = R / I

I K f cH C u ál h a d e s e r l a a l t u r a d e un co no i n s c r i t o e n un a e s f e r a

d e r a d i o R p a r a q u e s u s u p e r f i c i e l a t e r a l s e a l a ma yo r p o

s i b l e ?

Solución. a ) Se a S l a s u p e r f i c i e l a t e r a l ó p t i ma d e l c on o .

S e an x e y, s u r a d i o y s ü a l t u r a r e s p e c t i v a m e n t e .

Si S = wRg -*■ S = Trx/x2 + y 2 ( 1)

É n e l t r i á n g u l o r e c t á n g u l o B C D :

CH2

= BHxHC -*• x 2

= y (2 R-y )En ( 1 ) o b t e n e m o s : S ( y ) = / 2 R n ( > ^ R y 2 - y 3 )

¿ R v - 3 y 2b) S 1 ( y ) = / 2 Rir(2 / 2 R y ' - y "

S i S 1 (y ) =0 + ¿R-3y=0 -w y=4R/3

= / 2 l2 / 2 R -y

D e m os t r ar q u e l a c a n t i d a d d e t e l a n e c e s a r i a p a r a h a c er u n a .

t i e n d a d e c a mp a ña de f o r m a c ó n i c a y d e - c a p a c i d a d d a d a s e r á

l a m en or p o s i b l e e n e l c a s o d e qu e s ua l t u r a s e a / 2 "ve ce s mayor

q ue e l r a d i o d e . l a b a s e .

Solución. a ) En e f e c t o , s e a S l a c a n t i d a d ó p t i m a d e t e l a ( s u p e r

f i c i e l a t e r a l d e l c o n o ) . S e a n x e y , e l r a d i o y l a

a l t u r a d e l c o n o r e s p e c t i v a m e n t e

Sección 2: Aplicación de la primera de rivada 535

I T r a z a r u n a r e c t a d e m od o q u e p a s e p o r u n p u n t o d a do P ( 1 , 4 )

y qu e l a s uma de l a s l o n g i t u d e s d e l o s s e g me n t o s p o s i t i v o s

• n r t a d o s p o r d i c h a r e c t a e n l o s e j e s c o o r d e n a d o s s e a n l a m e n or po

n i b l e .

\olución. a ) S e a S l a s um a ó p t i m a d e l o s s e g m e n t o s a y b , t a l e s

que a>0 y b>0 . •+• S = a+b

: 'i oa l a r e c t a L : — + í = 1a b

:: i P ( 1 ,4.) eL > ^ + | = 1 _ £ aa - 1

( 2 )

( 2 ) e n ( 1 ) s e t i e n e : S ( a ) = - ~ +-3 a

1)) S'(a)( a - 3 ) ( a +1 )

. Pa ra S ' ( a ) =0 + a =

S 1 ( a) =°° -> a= 1( a - 1 ) 2

Vemos en ( 2 ) qu e p a r a a =1 , n o e s t á d e f i n i d a l a m a g n i t u d b .

i o r t a n t o , a =3 m i n i m i f i c a l a f u n c i ó n S

. ' u s t i t u y e n d o en ( 2 ) : b =6 L: ^ ^ = 13 6

H a l l a r l o s l a d o s d e l r e c t á n g u l o , d e m ay or ár e a p o s i b l e ,

i n s c r i t o e n l a e l i p s e E : b 2x 2 + a 2y 2 = a 2 b 2 .

Solución. a ) S e a S l a s u p e r f i c i e ó p t i m a d e l r e c t á n g u l o c u y a s d_i

m e n s i o n e s s o n : £ = 2x y h=2 y

d e mo do q u e : S = ( 2 x ) ( 2 y ) = . 4 x y ( 1 )

De l a e c u a c i ó n d e l a e l i p s e s e t i e n e :

( 2 ) -

y*

¿ / a 2 ->x2

yX

0

, - >x



a l t u r a d e l c o n o, r e s p e c t i v a m e n t e .

S i S = TrRg S = ir x/ x 2 + y 2

D ad o q u e V = i i r x 2 y + x 2 := — i 7iy _______

E n ( 1 ) o b t e n e m o s : S ( y ) = 1/ 3 V( )

b ) E n t o n c e s : S ’ ( y ) = / 3 V (— )2 y 2/3V+Tiy3

P a r a S ' ( y ) = 0 + i r y3- 6 V =0 -*■ y 36V

TT JL2 - i i

2 ny ( 3)

De (2 ) y (3 ) se deduc e que: ^ = x 2 -*• y = / 2 x l . q . q . d

( 2 ) e n ( 1 ) : S ( x ) = - ^ ( x / a 2 - x 2 )

b) S« (x ) =a / 2 2/ a - x

S i S ' ( x ) = 0 a 2 - 2 x 2 = 0 + x = a / 2 / 2 . L u e g o , e n ( 2 ) : y = b / 2 / 2

Kn c o n s e c u e n c i a , l o s l a d o s d e l r e c t á n g u l o s on :

A= a / 2 , h=b / 2

H a l l a r l a e l i p s e c u ya á re a, s e a l a m e no r p o s i b l e q ue e s t á

c i r c u n s c r i t a e n t o r n o a u n r e c t á n g u l o d ad o ( e l á r e a de l a

■ L i p s e d e - s e m i e j e s a y b e s i g u a l a i r ab ) .


So ¿ución. a ) Se a S e l á r e a ó p t i m a d e l a e l i p s e E : b 2x 2 +a 2y 2 = a 2b 2

S = irab

gu io de áre a dada: A = ¿Jth

Si P (£ . , h)eE -*■ b2Jl2 +a 2h 2 = a 2b 2

d e d o n d e : a h

a2-í 2

( 2 ) e n ( 1 ) : S ( a ) Tta^h

/ a2 2

b) Derivando obtenemos: S'(a) = Jfnal'8~2^ .)./ ( a 2 - í . 2 ) 3

Si S'(a)=0 a - 2 £ =0 a = £/2 , l u e g o , e n ( 2 ) : b=h / 2

SE n t o n c e s : S = tt(í,/2) (h/2) = 2ir£h = §(4Jlh) +

/ 2 *. ’. A r e a d e l r e c t á n g u l o = —( á r e a d e l a e l i p s e )

( | ) A

S e a d a da l a e l i p s e E : -g 1 - T r az a r un a t a n g e n t e

d e n od o q u e , e l á r e a d e l t r i á n g u l o e n g e n d r a d o p o r d i c h a

t a n g e n t e y l o s e j e s d e c o o rd e n a d a s , s e a l a m en or p o s i b l e . P or

q ué pu n t o d e l a e l i p s e d e be p a s a r d i c h a t a n g e n t e ?

So ¿ación. a ) S e a S e l á r e a ó p t i m a d e l t r i á n g u l o AOB y s e a

P ( x o , y o ) - e l p u n to d e t a n g e n c ia .

Ent onc es : S = -(ab ) ( 1 )

E c u a c i ó n de l a t a n g e n t e L: ^ f = 1c u ya p e n d i e n t e e s : m = -b / a

ii i ión 2: Aplicación de la primera de rivada 537

■ y x o ( a - x o ) = , d e d o nd e : xo =

:: u n t i t u y e n d o e n ( 2 ) o b t e n e m o s : yd = 1 8 / b

, a ( 1 8 / b ) ^ v 2 1 8 a 2Luego , en ( 3 ) : b = — i------— - b . = --------

a - 8 / a a 2 - 8

K n t o n c e s , en ( 1 ) : S ( a ) = 4 ( , a - )2 vi^T- 8

i-) D e r i v a n d o o b t e n e m o s : S ' ( a ) =2 / ( a 2 - 8 ) 3

S i S ' ( a ) = 0 + a 2 - 1 ó = 0 a = 4 . e n ( 4 ) : b=6

_ 1 3 .L u e g o , x o yo = = 3

( 4 )

Kn c o n s e c u e n c i a , l a t a n g e n t e p a s a p o r e l p u n t o P ( 2 , 3 ) .

S e a n d a d o s l o s p u n t o s AX 1 ,4 -) y B ( 3 , 0 ) e n l a e l i p s e E : 2 x z + y 2 = 1 8. H a l l a r e l t e r c e r p u n t o C t a l q u e e l . á r e a d e l AABC

s e a l a m a y o r p o s i b l e .

Sotución. a ) S e a S e l á r e a ó p t i m a d e l ABC, y s e a C ( x , y ) e l t e r

c e r v é r t i c e .

1 4

+ 3 = iX3

y0

I I

W | - a

í

1 y

+ S = 2x -y +6 ( 1 )

( 2 )

- > x

P ero CeE y = ± / i 8 - 2x 2

( 2 ) en ( 1 ) , s e t i e n e : S ( x ]

Ó

c u ya p e n d i e n t e e s : m b / a

D e r i va n d o i m p l í c i t a m e n t e l a e c u a c i ó n

d e l a e l i p s e o b t e n e m o s : , _ S f X ’vy

P a r a P ( x 0 , y o ) : m = - = - 74 y o a

d e d o n d e : * *b .= ? a ( — ) ( 2 )4 yo

P e r o P e L •> -2L2 + X * = 1 + b = ( 3 )a b a-x0

De ( 2 ) y ( 3 ) s e t i e n e : - ?a (- |£ ) = - S p - •> y 2 = | x 0 ( a - x 0 )4 yo a-xo 4D e l a e c u a c i ó n d e l a e l i p s e ' : yo = -|(8-Xo)

b ) S 1 (x ) = ¿i.Ó 3 -2xi .^ ü ./ 1 8 - 2 x 2

Si S ' (x )= 0 -*• 18 -2 x2 = -x

I,a e c u a c i ó n a d m it e s o l u c i o n e s r e a l e s *->■ 1 8 - 2 x 2 J 0 A -x í -0

<»• x2^ 9 A x^O

*-*■ - 3'í.x$3 A xí .0 ■<-*• -3^ x-^ 0

L u e g o, e l e v a n d o a l c u a d r a d o : 1 8 - 2 x 2 = x 2 ->■ x 2 =6 ' + x = - / 5 e [ - 3 , 0 ]

A n a l i c e m o s e l s i g n o d e S ' ( x ) e n e l e n t o r n o d e x =- V 6 , e s c r i b i e n d o

, , . i 2 ( / i 8 - 2 x 2 + x )p a r a e l l o : S ' ( x ) = — -------------------------i

±y

ü i x = - 2 . 5 e < - 3 , - / 6 > -> f 1 (-2 . 5 ) = M z l


c=1e< 6,0> f ' ( - 1 ) 2 ( + )

±yP a r a q u e s e c um p l a l a c o n d i c i ó n s u f i c i e n t e d e má xi mo en x = - / 6 ,

e s n e c e s a r i o q u e e l p r i m e r c o c i e n t e s e a ( + ) y e l s e g un d o Es

t o s e l o g r a c u a nd o e l d e n o m i n a d o r e s n e g a t i v o ( y < 0 ) .

E n t o n c e s , e n ( 2 ) : y = - / 1 8 - 1 2 = - / 6

En c o n s e c u e n c i a , e l v é r t i c e b u s c a d o e s C ( - /ó ", - /b" )

______ y 2 =2pxS e a n d a d o s l a p a r á b o l a y u n p u n t o e n s u e j e , a u n a d i s t a n

c i a a d e l v é r t i c e . I n d i c a r l a a b s c i s a x d e l p un to d e l a

p a r á b o l a má s p r ó x im o a l p u n t o r e f e r i d o .

S o l u c i ó n . a ) S e a d l a d i s t a n c i a ó p t i m a d e l p un t o P ( x , y ) a l p u n

t o A ( a , 0 ) ,y *

+ d = / ( x - a ) 2 + y 2 = / ( x - a ) 2 +2p x b ) D e r i v a n d o s e t i e n e :

d ' ( x ) = =/ ( x - a ) 2 +2p x

P a r a d ' ( x ) = 0 x - a + p = 0 + x = a - p

Si a > p -*■ x = a -p

a < p •+■ x = a - a =0

K H j t l U na b a n d a d e h i e r r o , d e a n c h u r a a, h a d é s e r e n c o r v a d a d e

modo qu e to me l a f o r ma de c a n a l ó n c i l i n d r i c o a b i e r t o , ( l a

s e c c i ó n d e l c a n a l ó n h a d e s e m e j a r s e a u n a r c o de s e g m e n to c i r c u

l a r ) . C u ál h a de s e r. l a a b e r t u r a d e l á n g u l o c e n t r a l q u e s e a p oy a

e n e s t e a r co p a r a q ue l a c a p a c i d a d d e l c a n a l ó n s e a l a m ay or p o s i


AB = a ■* ra = a ++ r = a / a

L u e go , e n ( 1 ) s e t i e n e : V(a) = (~~ S8nct)2 a 2

h) v 1 ( a ) - |V ( 1 - C o s a ) - ( a - S e n a ) ( 2 a) j _ la 2 | q ( 1 - C o s a ) - 2 ( a - S e n a ) j

S i V ' ( a ) = 0 a ( 1 - Co s a ) - 2 ( a - S e n a ) = 0

-<-*• a( l+ C ós a) = 2Se na (2)

Dad o q u e a e <0 , i r | , l o s ú n i c o s v a l o r e s d e a q u e s a t i s f a c e n l a e c u a

c i ó n ( 2 ) s o n l o s v a l o r e s e x t r e m o s, e s t o e s , a =0 y a=ir .

En c o n s e c u e n c i a , l a a b e r t u r a d e l á n g u l o c e n t r a l d e b e s e r : a =n

Rs d e c i r , l a s e c c i ó n d e l c a n a l ó n h a d e t e n e r l a f o r m a d e un s em i

c í r c u l o .

U n t r o n c o d e á r b o l q u e m i d e 20 m , t i e n e l a f o r m a d e u n c o n o t r u n c a d o . . L o s d i á m e t r o s d e s u s b a s e s m i d e n 2 m y 1¡n r e s

p e c t i v a m e n t e . S e de b e c o r t a r u na v i g a d e s e c c i ó n t r a n s v e r s a l c u a

- Ir ad a c u y o e j e c o i n c i d a c o n e l d e l t r o n c o y c u y o v o l u me n s e a e l

m ay or p o s i b l e . Qué d i m e n s i o n e s d e b e t e n e r l a v i g a .

So¿ución. a ) S e a V e l v ol u me n ó p ti m o d e

l a v i g a d e s e c c i ó n c u ad r ad a

: 'e an : y , l a l o n g i t u d d e l a v i g a , a = x / 2 ,

e l l a d o d e l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l de l a

v i g a d e d i á m e t r o 2 x .

S i V=Bx- h •» V = a 2 y = 2 x 2 y

ACFE = ABDE FE . 20 1/ 2DE y “ 1- x

( 1 )

b l e .

Solución. a ) S e a V l a c a p a c i d a d . ó p t im a d e l c a n a l ó n . S e a n : .« , l a

l o n g i t u d d e l a b a n d a d e h i e r r o , a l a a b e r t u r a d e l

á n g u l o c e n t r a l ( 0<oí t t) y r e l r a d i o d e l s e c t o r c i r c u l a r .

S i V = Bx h •+■ V = ( á r e a d e l . s e c t o r c i r c u l a r - á r e a d e l AAOB)

+ V = ( - | ar 2

Pero: -ÂB = CB = rSe'nlj

I a b x o c M

OC r C o s ^

ÂBxOC = r 2

Sen^Cos-| = ■jr2f

de donde : y = 4 0 ( 1 -x.)

( 2 ) e n ( 1 ) : V ( x ) = 8 0 ( x 2 - x 3 )

b) V 1 ( x ) = 8 0 x ( 2 - 3 x )

S i V 1 (x ) =0 +-*• x=0 ó 2 - 3x = 0

''omo xÔ * x = 2 / 3 , l u e g o e n ( 2 ) : y = 4 0 / 3

En . c o n s e c u e n c i a , l a s d i m e n s i o n e s d e l a

v i g a ó p t i m a s o n : a =2 / 2 / 3 m , y = 4 0/ 3 m

U na s e r i e d e e x p e r i m e n t o s c o n l a m a g n i t u d A h an d ad o como

r e s u l t a d o n v a l o r e s d i s t i n t o s x l f x 2 , . . . , x . Con f r e

c u e n c i a s e a d m i te c omo v a l o r d e A u n v a l o r d e x t a l , q u e l a su ma

d e l o s c u a d r a do s d e s u s d e s v i a c i o n e s d e x l t x ¿ , . . . , x s e a l a rae-

( 2 )


ñ or p o s i b l e . H a l l a r x q ue s a t i s f a c e e s t a c o n d i c i ó n .

Solución. a ) S e g ún e l e n u n c i a d o , e l e r r o r o d e s v i a c i ó n q ue se

c o m e t e e n c a d a m e d i c i ó n c o n l a m a g n i t u d A s o n :

( x - x i ) , ( x - x a ) , . . . , (x - x^ )

S i d e s i g n a m o s p o r 6 l a s u m a ó p t i m a d e l o s c u a d r a d o s d e e s t a s d e ¿

nv i a c i o n e s , e n to n c e s : S ( x)

i = 1( x - x . )

b ) De r i va n d o s e t i e n e : ó ' ( x ) = 2 2 1 ( x - x . )i =1

S i 6 ' ( x ) = 0n

Xi = 1

n

( x - x . )i =1 1 = 1

E n t o n c e s : nx x .

i

X = X l + X 2 + X. 3 + x n

i = 1 1 nP or t a n t o , e l v a l o r b u s c ad o e s l a m e di a a r i t m é t i c a d e l o s r e s u l

t a d o s de l o s c á l c u l o s x i , x 2 , . . . , x .

| Un t o r p e d e r o e s t á a n c l a d o , a 9km d e l p u n t o m ás p r ó x i m o d e

l a o r i l l a . S e n e c e s i t a e n v i a r a un m e n s aj e r o a l c am pa me n

t o s i t u a d o e n l a o r i l l a . La d i s t a n c i a . e n t r e é s t e y e l p un to más -

p r ó x i n o r e f e r i d o , e s i g u a l a 1 5k m. T e n i e n d o e n c u e n t a qu e e l me n

s a j e r o r e c o r r e a p i e 5km/h, y en una bar ca , r emando , ¿km/h, de

c i r e n qu é p un t o d e l a o r i l l a d e b e d e s e m b ar c a r p a r a l l e g a r a l - cam

p a m e n t o l o m á s p r o n t o p o s i b l e .

So¿uciin. a ) S e a t l a m a g ni t ud a o p t i m i z a r . S e a x l a d i s t a n c i a

d e l p u n t o 0 a l p u n t o P d e d e s e m b a r c o

Vi cción 2: Aplicación de la primera derivada 541

Un f a r o l d e b e s e r c o l g a d o e x a c t a m e n t e e n c i m a d e l c e n t r o

d e u n a p l a z u e l a c i r c u l a r d e r a d i o R. A q ué a l t u r a d e b er á

■: : t ar e l f a r o l p a r a qu e i l u m i n e , l o m e j o r p o s i b l e , u na s e n d a qu e

m d e a l a p l a z u e l a ? ( La i l u m i n a c i ó n de l a p l a z o l e t a e s d i r e c t a m e n

i.>■ p r o p o r c i o n a l a l c o s e n o d e l á n g u lo d e i n c i d e n c i a d e l o s r a y o s

l u m i no s o s e i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l a l c u a d r ad o d e d i s t a n c i a

i ue in ed ia e n t r e e l f o c o l u m i n o s o y l a p l a z o l e t a e n m e n c i ón ) .

' o ludia. a ) S e a E l a i l u m i n a c i ó n ó p t i m a , y s e a x l a a l t u r a d on

d e d e b e r á e s t a r e l f a r o l .

/ C o s i n//////////

E(x) =

= k ( - * ) d 3

kx

( x 2+R 2 \ 3 / 2

D e r i v a n d o o b t e n e m o s :

E 1 ( x ) = k ( R 2 Tg* -2-) - / ( x 2 +R2 ) 5

S i E 1 (x) =0 +■> R 2 - 2 x 2 = 0 , + x

í f j l En u n s e g m e nt o d e l o n g i t u d % q u e u n e d o s m a n a n t i a l e s d e

l u z d e i n t e n s i d a d l u m i n o s a l j e I 2 , h a l l a r e l p u n t o p e o r

i l u m i n a d o . ,

volución. a ) S e a: P e l p u n t o p e o r i l u m i n a d o t a l q u e AP =x , P B = £ - x

L a i l u m i n a c i ó n e n e l p u n t o P e s :

K = Ei + E2

Como l a i l u m i n a c i ó n e s i n v e r s a m e n t e

' f i l l d d d l d i

d e l p u n t o 0 a l p u n t o P d e d e s e m b a r c o .

E l t i e m p o q u e d e m o r a e l m e n s a j e r o e n

ir de T a P y lue go de P a C, es :T

. _ TP PC t ~ 4 + 5

t ( x ) =


5x - l/x2\81

/ x 2 + 81 , 1 5 - x 4 5

t 1 ( x)2 0 / x 2 + 8 1

P a r a t ’ ( x ) = 0 5 x - 4 / x 2 + 81 =0

d e d o n d e : x 2 =1 ¿¿ * x =1 2 15

P o r t a n t o , e l m e n s a j e r o d e b e d e s e m b a r c a r a 1 5 - 1 2 = 3 k m d e l c a r n p .

n

b

¡ ' f o p o r c i o n a l a l c u a d r ad o d e l a d i s

t a n c i a a l f o c o l u m i n o s o , e n t o n c e s :

E ( x )

b ) E 1 ( x ) =

I, h

í 2 (SL-x)2

2 1 1 + 212è-x -

B

Si E ' (x) =0 ->■ - Üx 3

x 3 - U - x ) 3

l i _ I 2

U - x ) : I 2

V i , X

H-x

de donde: Z . 3/ l i

u - x ) 3 3/ í ¡

e s e l p u n t o p e o r i l u m i n a d o , e s d e -V f T + 3/ i ¡

i r , l a d i s t a n c i a £ s e d i v i d e p o r e l pu n t o P a r a z ó n d e V ì i s


Un c u a d r o d e a l t u r a 1 . 4m c u e l g a d e l a p a r e d d e mo do q ue

s u b o r d e i n f e r i o r e s t á a 1 . 8 m p o r e nc i m a d e l r a d i o d e l a

v i s t a d e un o b s e r v a d o r . A q u é d i s t a n c i a d e l a p a r é d d e b e s i t u a r

s e e l o b s e r v a d o r p a r a qu e s u p o s i c i ó n s e a l a m ás v e n t a j o s a p a r a

c o n t e m pl a r e l c u a dr o ( e s d e c i r , p a r a q ue e l á n g u lo v i s u a l s e a e l

m a y o r p o s i b l e ) .

Solución. a ) S e a a e l á n g u l o ó p t i m o y

s e r v a d o r a l a p a r e d .

En l a i l u s t r a c i ó n g r á f i c a de p r ob l em a :

r. 4. o X _ 5x u o t g S - “ TE

Cotg

s e a x l a d i s t a n c i a d e l o b

x1 . 8

5x 9

0 = arc Cot g (-^g)

8 = arcCo tg ( - | x )

b ) a ' ( x ) = -80 45

Si a ' (x ) =0 +

de donde:

2 5 6 + 2 5 x2 8 1 + 2 5 x 2

80 _ 45

2 5 6 + 2 5 x 2

-AAL ~ 25

81 + 2 5x

12= 2.4m

U n a c a r g a d e p e s o P s i t u a d a e n u n p l a n o h o r i z o n t a l d e b e

s e r d e s p l a z a d a b a j o l a a c c i ó n d e l a f u e r z a F a p l i c a d a a e

l i a . L a f u e r z a de r o za m i e n t o e s p r o p o r c i o n a l a l a q u e a p r i e t a e l

c u e rp o c o n t r a e l p l a no y t i e n e l a d i r e c c i ó n o p u e s t a a l a d e l a

f u e r z a qu e d e s p l az a e l c u e rp o . E l c o e f i c i e n t e d e p r o p o r c i o n a l i d ad ( e l c o e f i c i e n t e d e r o z a m i e n t o ) e s i g u a l a k . Qué v a l o r d e be

.Vi 'i ción 2: Aplicación de la primera derivada 543

I.m f u e r z a d e r o z a m i e n t o e s k N y l a c o m p o n e n t e h o r i z o n t a l d e l a

T u e r za a p l i c a d a e s FCosc| > . C u an d o é s t a i g u a l a a l a f u e r z a d e r o -

. . ' imiento obtenem os^ .

kPCosí>+kSen<t> ( 1 )FCos<t> = k(P-FS en<!>) -*• F ( <í>) =

i.) f ' ( 4>) = kP(-Sen<t>- fkCos<|>)

(Co s<t>+kSen<¡>) 2

S i F 1 ( ) —0 -Se niJ i+k Co stj>—0 Tani)>=k ** 4>= ar cT an k

l.a f u e r z a m í ni m a d e d e s p l a z a m i e n t o l a o b t e n e m os s u s t i t u y e n d o

Tnn<t>=k en ( 1) : kP kP

/ 1 + k 2 A +k 2

En u na p á g i n a d e u n l i b r o e l t e x t o i m p r e s o d e be o c u p a r S

c m2 . L os m á r ge n e s s u p e r i o r e i n f e r i o r d e b e n se r i g u a l e s a

.'1 c m, l o s d e i z q u i e r d a y d e d e r e c h a , i g u a l e s a b c m. S i t o m am os

' ii c o n s i d e r a c i ó n s ó l o l a . e c on o m í a d e l p a p e l , q u é d i m e n s i o n e s de

l a p á g i n a s e r í a n l a s más v e n t a j o s a s ?

Solución. a ) S e a A e l á r e a ó p t im a d e

l a p á g i n a . S i x e y s on

l a s d i m e n s i o n e s d e l a p a r t e i m p r es a ,

e n t o n c e s , l a s d i m e n s i o n e s de l a p á g i

n a s e r á n : x +2 b y + 2 a ( 1 )

A r ea de l a p á g i n a : A = ( x + 2 b ) ( y + 2 a )

A = x y + 2 a x + 2 b y + 4 a b ( 2 )

l'oro: S = xy y = x

I (2 ) A( ) S 2 2 ^ 4 b I'

t e n e r e l á n g u l o <t> f o r ma d o e n t r e e l h o r i z o n t e y l a f u e r z a F a p l i

c a da p a r a q ue e l v a l o r d e é s t a r e s u l t e e l m en or p o s i b l e ? H a l l a r

e l v a l o r m í ni m o d e l a f u e r z a d e d e s p l a z a m i e n t o .

Solución. a ) Sea F(<b) l a f ue rz a a pl ic ad a ópt ima , ' donde <J>£. [o, tj ]

Como se mues tra en

l a f i g u r a , F t i e n e u n a c o mp on e nt e

v e r t i c a l h a c i a a r r i b a : FSen<¡>

E n t o n c e s , l a f u e r z a n or m al n e t a

q u e p r e s i o n a c o n t r a e l p l a n o e s

N = P-FSen<¡>

FCosij)

I.ucgo, en (2 ): A(x) = S + 2ax + -2 ^ + 4ab I'

¡O A ' ( x ) = 2 a - ¿ 5 2 . s i A ' ( x )=0 + x 2 = — + xx 2 a

bS J H 1 a

/aS"- y = V—

l'or t a n t o , e n ( 1 ) , l a s d i m e n s i o n e s d e l a p á g i n a s o n:

2 b + / * § y 2 a +

( [ ¿ ¿ y Un e mb ud o c ó n i c o , d e r a d i o de b as e R y a l t u r a H e s t á l l e

n o d e a g u a . U na e s f e r a p e s a d a e s t á s u m e r g i d a e n e l e mb ud o,

i■11á l h a de s e r e l r a d i o d e l a e s f e r a p a r a q u e e l v o l um e n de a g ua

544 Capítulo 4: Análisis de las Fundones

e x p u l s a d a d e l e mb ud o p o r l a p a r t e s u m e r g id a de l a e s f e r a , s e a l a

m a y o r p o s i b l e ?

Soiución. a ) S e a V e l v o l u m e n ó p t i m o de

a g u a d e s p l a z a d a y s e a x e l

r a d i o d e l a e s f e r a .

En l a i l u s t r a c i ó n g r á f i c a d e l p r ob l em a :

CA = OA-OC = OA- x ; CA = BÁ- BC = H-BC

* OA-x = H-BC «-+ BC = H+x- OA ( 1)

J3DDA

OEOA

xOA

EX R

h= a l tu ra de agua = BC

r = r a d i o d e l a e s f e r a = x

Lueg o, en (1 ) : BC .= H+x

V o l u m e n d e a g u a d e s p l a z a d a = V o l u m e n d e l s e g m e n t o e s f é r i c o

V o l . d e l s e g m e nt o e s f é r i c o = ^ h 2 ( 3 r - h )

E n t o n c e s : V ( x ) = - | ( B C ) 2 ( 3 x - B C )

= | ( H + x - ^ | ) 2 ( 3 x - H - x +

= ^ ( H+ x - ^ | ) 2 ( 2 x - H + Zf)


V 1 ( x ) = | ( H + x - [ ( ? ^ £ -) ( H+x - Sf ) + 2 ( ^ S ) (

Si V' (x) =0 - (J B* g) (RH.tHg.-.e x ) + 2 (Rz£)(.2RxzHR+gx) = Q

2x-H +

( 2 R + g ) R H + ( 2 R + g ) ( R - g ) x + 2 ( R - g ) ( 2 R + g ) x - 2 ( R - g ) H R = 0

Sección 2: Aplicadán de la primera derivada 545

.",ean b = x i- x 2 y h = y i - y 2 , l a s d i m e n s i o n e s d e l r e c t á n g u l o A B C D , d o n

He x i , X2 , y i , y 2 > s o n l a s a b s c i s a s y o r d e na d a s d e l o s p u n t o s de

I n t e r s e c c i ó n d e l a p a r á b o la y l a c i r c u n f e r e n c i a .

Ent onc es : S = - {x j - x 2 ) ( y i - y 2 ) ( 1 )

l i c ua c ió n de l a c i r c u n f . x 2 + y 2 =R 2

l i c u a c i ón d e l a p a r á b o l a y 2 = 4-p(x+R)

I n t e r c e p t a n d o a m b a s c u r v a s o b t e n e m o s

x i=R-4p , X2 = -R "*■ x i -X 2 = 2 (R- 2p)

y i = 2 / 2 p R - 4 p 2 , y 2 = - 2 / 2 p R - 4 p 2

+ y i - y z = 2pR- Ap 2

Kn (1 ): S ( p ) = - l | ( R - 2 p ) ( / 2 p R - 4 . p 2 )

b) D e r i v a n d o l a f u n c i ó n o b t e n e m o s :

( p ) = 1 6 ( R - 2 P ) ( R - >1

3 / 2 p R - ¿ p 2

” i S ' ( p ) = 0 -*-*■ R - 2 p = 0 ó R - 8 p = 0 *-* p=R/2 ó p=R / 8

A n a l iz a n d o e l s i g n o de S ' ( p ) e n l o s i n t e r v a l o s < 0 , R/ 8 > y

< R / 8 , R / 2 > s e d e t e r m i n a q ue e l v a l o r ó p t i m o d e l p a r á m et r o e s :

p = R / 8

Un p l a n o , p a r a l e l o a l a g e n e r a t r i z , c o r t a u n c on o cü yo r a

d i o d e b a s e e s R y c u y a a l t u r a e s H . C u ál h a d e s e r l a d i s

i .a n ci a e n t r e l a l í n e a d e i n t e r s e c c i ó n d e d i c ho p l a n o c on e l p l a no

d e l a b a s e c ó n i c a y e l c e n t r o d e l a b a s e c ó n i c a p a r a q ue e l á r e a

d e s e c c i ó n s e a l a m a yo r p o s i b l e ?

Solución a ) S e a S e l á r e a ó p t i m a d e

de donde : x RHg

( g - R ) ( g + 2 R )

Un a p a r á b o l a t i e n e s u v é r t i c e s i t u a d o s ob re , u na c i r c u n f e

r e n c i a d e r a d i o R, y e l e j e d e l a p a r á b o l a s i g u e l a d i r e

c i ó n d e l d i á m e t r o . C u ál h a d e s e r e l p a r á m e t r o d e l a p a r á b o l a p

r a qu e e l á r e a d e l s e gm e nt o l i m i t a d o p o r l a p a r á b o l a y l a c u e r d

c omú n p a r a é s t a y l a c i r c u n f e r e n c i a , s e a l a m ay or p o s i b l e ? ( El

r e a d e l s eg m en t o p a r a b ó l i c o s i m é t r i c o e s i g u a l a do s t e r c i o s d e l

p r o d u c t o de s u b as e p or l a a l t u r a ) .

So ¿ución. a ) S e a S e l á r e a ó p t i m a d e l s e g m e n t o p a r a b ó l i c o .

ü j

c d I

R j

' C ti l

Solución. a ) S e a S e l á r e a ó p t i m a d e

l a s e c c i ón r e s u l t a n t e y

;;ea x=0 P l a d i s t a n c i a b u s c a da .

Por e l e j e r c i c i o a n t e r i o r :

S = ¿(DExPQ)

AABC - AAQPCB

APAC

PQ

Æ :jÇTTTTï

de do n de : PQ = — ( R+x)

+H

DE 2DP = 2/0D 2- 0 P 2 2 Á 2- x 2


Sustituyendo ( 2 ) y ( 3 ) en ( 1 ) se tiene:

S (x) = (R+ x )/r 2- x 2 = k(R +x) /R2 -x2 ( k es constante)

b ) D e r i v a n d o l a f u n c i ó n S o b t e n e m o s : S ' ( x ) = - k ( 2 x - R ) ( x + R )

/ r 2 - x 2

S i S 1 (x ) =0 +-*■ 2x -R =0 ó x+R= 0 -*->• x= R/ 2 ó x=- R

D ad o q u e xe < 0 , R > , l a d i s t a n c i a ó p t i m a e s x = R/ 2

S e a d a d a l a p a r á b o l a y 2 = 2 px y l a n o r m a l e n u n p u n t o P .

D ón de d e b e e s t a r s i t u a d o e l p u n t o P p a r a q ue e l s e g m e nt o

d e l a n o r m al s i t u a d o d e n t r o d e l a p a r á b o l a t e n g a l a l o n g i t u d m í

nima .

Soéuciin. S e a d l a d i s t a n c i a ó p t im a d e l p u nt o P ( x , y ) a l pu n t o

P i ( x i . y i ) .

-*• d = ' / ( x - x i ) 2+ ( y - y i ) 2 ( 1 )

S i y = 2p x -*■ 2 y y 1=2p * y ' = y

E n t o n c e s l a e c u a c i ó n d e l a n o r m a l q u e

p a s a p o r P y P i e s :

( 2 )

S u s t i t u y e n d o ( 2 ) e n ( 1 ) s e t i e n e :

d

y - y i = - ^ ( x - x i )

= / ( ï - x i ) 2 + L ( x - x i ) 2| X - X ,p 1 |/p2+y2 = I - ^ I V p ^+2^

2

yj = 2p* i -» x i =

( 3)

S i e n d o P 1e ( y 2 =2px)

En (2): yyi = *¿(x fe) ^ yyi + 2p 2yi2py (x+ p) =02f 1 '

P ' "

( ¡óii 2: Aplicación de la primera de rivada 547

d , ( x) _ P ( 2 x + p ) ( x - g j

x 2 / p 2 +2p x

MI d ’ ( x ) = 0 + 2x+p=0 ó x -p= 0 -<-*■ x= -p /2 ó x=p

i'.uno p >0 y x > 0 , e l e x t r e m o q u e m i n i m i n i z a l a f u n c i ó n e s x= p

i . u og o ,. s i y z =2p x y = ± p / 7

l ' o r t a n t o , l o s p u n t o s b u s ca d o s s o n: P ( p , ± p / 2 )

E l s e g m e n t o d e l a t a n g e n t e a u n a e l i p s e c o m p re n d i d o e n t r e

l o s e j e s , t i e n e l o n g i t u d mí n im a. M o s t ra r q ue l a t a n g e n t e

no d i v i d e , e n e l p u n t o de c o n t a c t o , e n d o s p a r t e s i g u a l e s a l o s

n o m ie j e s d e l a e l i p s e , r e s p e c t i v a m e n t e .

i \ moAt/iación. En e f e c t o , s e a d =AB, l a l o n g i t u d m í ni m a d e l s e g

m en to de t a n g e n t e , P ( x i , y i ) e l p u n to d e t a n g e n c i a

y l a e l i p s e E : b 2x 2 + a2y 2 = a 2 b'2 .D e r iv a n do i m p l í c i t a m e n t e E s e t i e n e :

y ' = - ( i ) J ( f ). 'bzx+ 2 a 2 y y ' = 0

Kn P e E, l a e c u a c i ó n d e l a t a n g e n t e e s :

. v -y i = - ( | ) 2 ( y í - ) ( x - x i )

. le donde: b2x ix + a2y i y = a 2b 2

I n t e r c e p t a n d o c o n l o s e j e s c o o r d en a d o s2 y . 2

obte nem os: A(-— , 0 ) y B ( 0 , — ) ( 1 )x i . ' yi

K n t o n c e s d = AB

d ( x

= J'~z + ~ * P er o d e E: y í = ( g ) 2 ( a 2 xf ¡

Y xf y 2

,) =,/ fL* + ----- . = a / I T

( 2 )

y i

- d 2 ± / p " ‘f + 2 p y 2 ( x + p ) - p 2 - i / p ' * + 4p 2 x ( x + p )

____ ~ y

p 2p/ (p +2 x) 2 = _ 2¡>/ . ,

y y

(y i<o )

L u e go , e n ( 2 ) : y + ^ ( x + p ) = - ^ ( x - x i )

p y 2 +2p 2 ( x + p ) = - y 2 ( x - x i )

d e d o n d e : x ~ x * = - ( P * 2 - ) -»■p x

L u e g o , e n ( 3 ) : d ( x ) = ( ^ + 2 ) v / p2 +2pj

2p 2x + 2 p 2 (x+p) = - 2 p x ( x - x i )

, x p ‘ + 2

b ) D e ri v a nd o l a f u n c i ó n o b t e n e a o s :

d ( x

d 1 ( x i )

,) , _• x? b 2 ( a 2 - x ? ) V x?

[b 2 ( a 2 - x 2 ) » Xj

- 2 a 2x ~ 3 - b 2 ( a 2 - x 2 ) ~ 2 ( - 2 x i

2 / * l + _ Ü T! x\ a 2 - x 2

2 a 2

]

Como AB e s m í n i m a d ' ( x i ) = 0 ■+• - ------ + 2 b 2 x i

( a 2 - x 2 ) := 0

( a 2 - b 2 ) x j - 2 a l,x 2 + a 6 =0 , de donde: x f =

M u s t i t u y e n d o e n ( 2 ) o b t e n e m o s : y 2 =

L u eg o, e n ( 1 ) s e t i e n e : A ( / a ( a + b ) , 0 ) y B ( 0 , / b ( a + b ) ]


E n t o n c e s , l a l o n g i t u d m í ni m a e s : d = AB = / a ( a + b ) + b ( a + b ) - a + b

r,P RP x , BP a V^a+b BPAPCB = AAOB = = f , = ------

-0A AB x a+D / a (a + b ) a+b

+ - T t = TT + BP = a y AP ~AB-BP =(a+b)-a = b a+b a+b J

D e m os t r ar q u e l a d i s t a n c i a e n t r e e l c e n t r o d e l a e l i p s e a

c u a l q u i e r n or m al n o es . s u p e r i o r a l a d i f e r e n c i a d e l o s s e

m i e j e s . ( Es c o n v e n i e n t e r e c u r r i r a l a e x p r e s i ó n p ar a m é t r i c a de

l a e l i p s e ) .

Tierno strac ¿6 n. E n e f e c t o , s e a n x = a C o s t , y = b S e n t l a s e c u a c i o n e s

p a r a m l t r i c a s d e l a e l i p s e d e c e n t r o C ( 0 , 0 ) .

E n t o n c e s : = - a S e n t , = b C o s t -*■ ^ = - - j j Co tg t

P a r a e l p u n t o de t a n g e n c i a P ( x o , y o ) > l a p e n d i e n t e d e l a n o rm al

e s : n = - | T a n t , y s u e c u a c i ó n : y - y o = ■ | Ta n t( x - x< >)

de donde, L:aTantx - by = axoTant - byo

P e r o : x o = aC o s t , y 0 = bS e n t + L : ( a T a n t ) x - b y = a 2 S e n t - b 2 S e n t

„ ,T i Ia 2 S e n t - b 2S e n t | _ ( a + b ) ( a - b ) | S e n t |E n t o n c e s : d ( 0 , L ) = — , ______ = ---------------- , ■■-t--.--■. — L

/ a 2 T a n 2 t + b 2 / a 2T an t + b 2

P u e s t o q u e : 0 s | S e n t [ $ 1 -> 0 í ^ ^ £ 1/ a 2 T a n 2 t + b 2

d ( 0 , L ) 4: a - b

S £ | & 1 ' E n e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s XOI v i e n e n d a d o s e l p u n t o ( a , b ) y l a c u r v a y = f ( x ) . - M o st r ar qu e l a d i s

Vi 'i i ión 2: Aplicación de la primera derivada 549

l 'n ro s a b em o s q u e : m = f ' ( x ) * n = - .¡m ( x ) * * f ' ( x ) = - ~

l .uego , en ( 2 ) : d ' ( x , y ) ■

n / ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2

."■i d ' ( x , y ) =0 n ( x - a ) = y - b + x - a = ( 3 )

O b se r va m os qu e e n e l e n t o r n o d e x - a , d ' ( x , y ) >0 ó d * ( x , y )< 0 s e g ú n

■|Ue n >0 ó n<0 , e s d e c i r , l a f u n c i ó n d a l c a n z a un e x t r em o s i g u i e n

d o l a d i r e c c i ó n d e l a n o r m a l .

." .us t i tuyendo (3 ) en ( 1 ) s e t i e n e :

d = / ( ^ ) 2 + ( y - b ) 2. = l ^ l / T ^ 2

DEFI NI CI ON 4 . 9 S e l l a m a f u n c i ó n p r i m i t i v a d e l a f u n c i ó n f ( x ) a

l a f u n c i ó n F ( x ) c u ya d e r i v a d a e s i g u a l a l a d ad a,

e s t o e s , F ' ( x ) = f ( x ) .

En l o s e j e r c i c i o s 1 2 6 0 -1 2 6 2 m o s tr a r ( d e r i v a n do y s i n d e r i v a r )

q ue l a s f u n c i o n e s d a d a s s o n p r i m i t i v a s d e un a m is ma f u n c i ó n .

1 2 6 0. y = l n a x , y = l n x o

Demostración. En e f e c t o , s e a n F ( x ) = l n a x y G ( x' ) =l n x

S i F ( x ) = l n a + l n x = l n a + G ( x )

-*■ F' (x) = G* (x) = 1/x

F ( x ) y G( x ) s o n p r i m i t i v a s d e l a f u n c i ó n f ( x ) = ^

■afc1 2 6 1 . y = 2 S e n 2 x , y = - C o s 2 x

Demostración. En e f e c t o , s e a n l a s f u n c i o n e s :

F ( x ) = 2 S e n 2 x y G ( x ) = - C o s 2 x

t a n c i a e n t r e e l p u n to c o n s t a n t e ( a , b ) y l a v a r i a b l e (x', f ( x ) ) p u e

d e a l c a n z a r s u e xt r e mo s ó l o s i g u i e n d o l a d i r e c c i ó n d e l a n or m al

a l a c u r v a y = f ( x ) .

de.1n.0 4tn.ación. En e f e c t o , s e a d l a d i s t a n c i a ó p t im a e n t r e l o s

p u n t o s ( a , b ) y ( x , y ) .

E n t on c e s : d ( x , y ) = / ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 ( 1 )

D e r i va n d o i m p l í c i t a m e n t e s e t i e n e :

d' (x v ) = 2 ( x - a ) +2 ( y - b ) y 1 = ( x ~ a ) + ( y - b ' ) f 1 ( x ) ( 2 )

2 / ( x -a ) 2 + ( y - b ) 2 / ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2

D e r i va n d o a mb as f u n c i o n e s s e t i e n e : F 1 (x) =4-SenxCosx=2Sen2x

G ' ( x ) = S e n 2 x ( 2 ) = 2 S e n 2 x

.' . F ( x ) y G( x ) s o n p r i m i t i v a s d e l a f u n c i ó n f ( x ) = 2 S e n 2 x

1 2 6 2 . y = ( e x + e ' x ) 2 , y = ( e x - e *x ) 2

Demostración. En e f e c t o , s e a n l a s f u n c i o n e s :

F ( x ) = ( e x + e~x ) 2 y G ( x ) = ( e x - e ‘ x ) 2

> F ' ( x ) = 2 ( e x + e _ x ) ( e x - e ' x ) = 2 ( e 2 x - e “ 2 x )


G ' ( x ) = 2 ( e x - e - x ) ( e x + e “ x ) = 2 ( e ¿ x - e ' ¿ x )

F ( x ) y. G ( x ) s o n p r i m i t i v a s d e u na mi s ma f u n c i ó n :

f ( x ) = 2 ( e 2 x - e ‘ 2 x )

M o s t ra r q ue l a f u n c i ó n ; y = C o s2 x + C o s2 (-^ + x ) - C o s x C o s + x)

e s c o n s t a n t e ( e s d e c i r , n o d e p e nd e de x) * H a l l a r s u v a l o r *

De.mo¿t/iacíón. S i l a f u n c i ó n d a d a e s c o n s t a n t e , s u d e r i v a d a de b e

s e r c e r o * E n e f e c t o :

y ' = - 2 C o s x S e n x - 2 C o s ( ^ + x ) S e n ( ^ + x ) - [ - C o s x S e n ^ + x ) - C o s ( | j + x ) S e nx ]

= - S e n 2 x - S e n (- ti + 2x) + Se n( ^ + 2x)

= - S e n 2 x - [ S en ( |T r + 2 x ) - S e n ( | + 2 x ) ]

T r a ns f o rm a nd o a p r o d u c t o e l c o r c h e t e s e t i e n e :

y ' = - S e n 2 x - [ 2 C o s ( | + 2 x ) . S e n ( £ ) ] = - S e n 2 x - [ - S e j i 2 x . ( ■£) ] = 0

Da do q ue l a f u n c i ó n e s c o n s t a n t e V x ’ D o m ( f ) , e n t o n c e s , p a r a x= 0

s e t i e n e í y = ( 1 ) 2 +Cos2 (r p- (1 )Cós(- ^) = 1 + 2 ~ ~l

M o s t r a r q u e l a f u n c i ó n y =2 a r c T a n x + a r c S e n ( " ^ ^ ,2") es const an.

t e c u an do x >1 . H a l l a r e l v a l o r d e e s t a c o n s t a n t e .

de.rn.OAtn.ac.lbn. Debemos probar que y '=0 .

E n e f e c t o :

. 1 , ____

1 f ( 1 + x z ) ( 2 ) - 2 x ( 2 x ) 1

y = ( 1 +x 2> O - 2 ) 2 J+X2'

d on d e 0 < b^ a e s c o n s t a n t e c u a n d o x ^O. H a l l a r e l v a l o r d e e s t a c o n s

t a n t e .

De.moAtn.ad6n. Debemos pr oba r que y' =0 , ¥-x5-0

E n e f e c t o :

y I = _ ________ } ________ r ( a +b C o s x ) ( - a S e n x ) - ( a C o s x + b) ( - b S e n x ) ~|

[ /aC osx+bs 2 L (a+b Cosx ) 2 JV ” a+bCo sx

= - [ a+bCosx | r -(a2-b2)Senx~í

/(a+ bCos x)2-(a Cosx+b) 2 L (a+bCosx)2J

fa+b ___________ "I / a 2 - b 2 ^ 1 ^

( a + b ) + ( a - b ) T a n 2| J a +b C o s 2|

Cuando xj,0 , a .b>0 Ia+b Cosx| =a+bCosx

Sección 2: Aplicación de la primera derivada ____________________ _ ______________ 55 1

„ yi _ _ ________ ( a + b C o s x ) ( a 2 - b 2 ) S e n x _ / a 2 - b 2

/ ( a 2 - b 2 ) - ( a 2 - b 2 ) C o s 2 x ( a + b C o s x ) 2 ( a + b ) C o s 2^ + ( a - b ) S e n 2 |

_ ( a 2 - b 2 ) S e n x _ __________________ / a 2 - b 2 ________________

i^(a2 - b 2 ) S e n 2 x ( a + b Co s x ) a ( S e n 2í + C o s 2f ) + b ( C o s 2^ - S e n 2^ ) / --------- > --------- ¿ 2

- *a 2 - b 2 S e n x / a 2 - b 2 , . . . .- ~ ' ~ * -------------- (Cuando x O ♦ | Se nx | =Se nx)

( a + b C o s x ) | S e n x | a + b C o s x

/ . y ' = j £ Ü ¡ ! . J ± Ü Ü . = oa+bCosx a+bCosx

Como l a f u n c i ó n e s c o n s t a n t e ¥ -x S0 , e n t o n c e s , p a r a x= 0 s e t i e n e :

y = a r c C o s ( f ± ^ 2 a r c T a n [ / f = | ( 0 ) ] = a rc Co s ( 1 ) 2 a r c T a n ( 0 ) = 0

1 + x

+ 1+x2 - p ( 1- x »)1 = _L _ + 1-x 2- (_ 2_ )/( 1 x 2 )2 L(1 +x2) J 1 +x2 |1 x2| 1 +x2

Cuando x»1 ■* x 2»1 x 2 - 1 * 0 , o b i e n : 1 - x 2-S0 ->• | 1 -x 2 | = - ( 1 - x 2 )

y ' = - £ _ + ( - 1 ) ( - 2 — ) = 0

1+ x 2 1+ x 2

S i e nd o l a f u n c i ó n c o n s t a n t e ¥x>1, e n t o n c e s p a r a x=1 s u v a l o r e s :

y = 2arc Tan ( 1) + arc Sen = 2( ^) + = ir

M os t ra r q ue l a f u n c ió n y =a r cC o s ( ^ ^ x ^ ) - 2 ar c Tg

y = a r c C o s ( f ± ^ - 2 a r c T a n [ / f = | ( 0 ) ] = a rc Co s ( 1 ) - 2 a r c T a n ( 0 ) = 0

H Ü J C o mp r ob a r q u e l a s f u n c i o n e s - | e 2x , e x S e n hx y e x C o sh x d i f i e

r e n e n u n a m a g n i t u d c o n s t a n t e . M o . s t r a r q u e c a d a u n a d e l a s

f u n c i o n e s i n d i c a d a s e s u na f u n c i ó n p r i m i t i v a c o n r e s p e c t o a l a

f u n c i ó n e 2 x .

De.noAtn.ad6n, En e f e c t o , s e a n : F ( x ) = ^ e 2 x

G ( x ) = e x S e n h x = e x ( ^ ) ( e x - e _ x ) = - j e 2 x - j

H ( x ) = e x C o s h x = e x ( ^ ) ( e x + e ‘ x ) = ~e2x + j


Como p od em o s o b s e r v a r , l a s f u n c i o n e s F , G y H d i f i e r e n e n un a

m a g n i tu d c o n s t a n t e , q u e e s 1 / 2 .

S i d e r i v a m o s c a d a u n a d e e s t - a s f u n c i o n e s o b t e n e m o s :

F 1 (x) = G1(x) = H1(x) = | ( e 2 x ) ( 2 ) = e 2x

/ 2 xP or t a n t o , F , G y H s o n p r i m i t i v a s de l a f u n c i ón f ( x ) = e

APLIC ACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA

3.1 VALORES EXTREMOS

S u po n ga m os q u e e n e l p u n t o x = c , p e r t e n e c i e n t e a l i n t e r v a l o < a , b > , l a f u n c i ó n y = f ( x ) e s d e r i v a b l e y f ' ( c ) = 0 . A d mi t im o s, a de m ás ,, q ue

e x i s t e f " ( x ) y e s. c o n t i n u a s o b r e e l e n t o r n o d e l p u nt o c . E n t o n c e s

p a r a e s t é c a s o e s v á l i d o e l s i g u i e n t e t e or e m a:

TEOREMA 4.9 S e a y = f ( x ) u na f u n c i ó n d i f e r e n c i a b l e e n un i n t e r v a l o

a b i e r t o I , q u e c o n t i e n e a l p u n t o x = c , y s u p o n ie n d o

q ue f " ( x ) e x i s t e , s e t i e n e :

i ) S i f ' ( c ) = 0 y f " ( c ) < 0 , e n t o n c e s f ( c ) e s un má xi mo r e l a t i v o

i i ) S i f ' ( c ) = 0 y f " ( x ) > 0 , e n t o n c e s f ( c ) e s u n m ín im o r e l a t i v o

i i i ) S i f ' ( c ) = 0 y f " ( c ) =0 ó f " ( c )= ° ° , e l c r i t e r i o no e s c o n c l u

y e n t e .

de.n.0¿ilación. D e m os t r a re m o s l a p r i m e r a p a r t e d e l t e o r e m a.

En e f e c t o , p or l a d e f i n i c i ó n 3 . 2 s e t i e n e :

Sección 3: Aplicación de la segunda derivada 553

4 . 7 ) , s e t i e n e q ue f ' ( c ) e s un máxi mo r e l a t i v o de l a f u n c i ó n f .

PROBLEMAS RESUELTOS

A p li c an d o e l c o n c ep t o d e l a s e gu n da d e r i v a d a, h a l l a r l o s e x t r e

mos de l a s f u n c i o n e s q u e s e i n d i c a n e n l o s e j e r c i c i o s 1 2 6 7 - 1 2 7 5 .

y = x 3 - 2 a x 2+ a 2 x ( a > 0 )

Solución. f 1 (x ) = 3 x 2 - 4 a x + a 2 = ( 3 x - a ) ( x - a )

S i f 1 ( x ) =0 + ( 3 x - a ) ( x - a ) = 0 ++ x i = a / 3 ó x 2 =a

P a ra x l = a / 3 + f ( f ) = - 2 a ( f O + a 2 ( f ) = ^

x = a f ( a ) = a 3 - 2 a ( a ) 2 + a 2 (a ) = 0

f " ( x ) = 6 x - 4 a = 2 ( 3x - 2 a)

P a r a x i = a / 3 + f " ( x i ) = 2 ( a - 2 a ) = - 2 a < 0 +

x 2 = a + f " ( x 2 ) = 2 ( 3 a - 2 a) = 2 a > 0 +

A S 3

27

y • = 0J mi n

y = x 2 ( a - x ) 2

Solución. D e r i v an d o l a f u n c i ó n o b t e n e m o s:

f ' ( x ) = 2 x ( a - x ) ( a - 2 x)

:'.i f 1 ( x ) =0 -*• 2 x ( a - x ) ( a - 2 x ) =0 -t-+ x i = 0 , x 2 = a , x 3 =a / 2

i .o s v a l o r e s e x t r e m o s d e l a f u n c i ó n s o n : f ( x i ) = 0 , f ( x 2 ) = a V l 6

y f ( x 3 )= 0

::.i f 1 ( x ) = 2 ( a x - x 2 ) ( a - 2 x ) -*• f " ( x ) = 2 ( 6 x 2 - 6 a x + a 2 )

í ' n ra x i =0 ' + f ' ( x i ) = 2 ( 0 - 0 + a 2 ) = . 2 a 2 > 0 +~ y . = 0Jman“ m:

f " ( c ) = l i m f ' ( x) .Z.J--Í21 x>c X c

P e r o , p o r h i p ó t e s i s f ' ( c ) = 0 + f " ( c ) = l i m £.— x+o x -c

Da do q ue f " ( c ) < 0 + e x i s t e 6 >0 t a l qu e :

:f^ X " < 0 , ¥- x e I, s i e m p r e q u é 0 < | x - c | < ó (1 )

L u e go , s i c - ó < x < c x - c < 0 , y d e ( 1 ) : f ' ( x ) < 0

s i c<x<c +6 + x - o O , y d e ( 1 ) : f ' ( x ) > 0

En c o n s e c u e n c i a , p o r e l c r i t e r i o d e l a p r i m e r a d e r iv a d a ( t e o r em a

J mana 1*T5

x 2

x 3'= a

“ m:

a / 2 + f " ( x 2 ) = 2 ( ^ a 2 - 3 a 2 + a2 ) = - a 2 < 0 •+7max

+ f " ( x 3 ) = 2 ( 6 a 2 - 6 a 2+a2) = 2 a 2 > 0 -*■ y . = 0•’ mm

y = x + , a >0

X x*

S i f 1 (x ) =0 + (x+ a) (x = a) =0 -«-*■ x a=-a ó x 2=a

■>s v a l o r e s e x t r e m o s de l a f u n c i ó n s o n : f ( x i ) = - 2 a y f ( x 2 ) = 2 a

:i f 1 (x ) = 1 - a 2x ‘ 2 -> f " ( x ) = 2 a 2 x ' 3= 2 a 2/ x 3


P a r a x j = - a + f " ( x , ) = ~ = - f < O - y max = -2 a

x 2 = a + f " ( x 2 ) = 'iSÍ = f > O -v y m. n = 2 a

y = x + /I X

So ¿ución. La f .un ción e s re a l ■<■+ 1-x> 0 +-*■ x$1

E n t o n c e s : D o m ( f ) =

D e r iv a nd o l a f u n c i ó n o b t en e m o s: f ' ( x ) = 2 / T ^ x

S i f 1( x ) = 0 +■ 2 / T Ó í = 1 4 (1 - x ) =1 * * x = 3 / 4

P a r a x = 3 / 4 + f ( 3 / 4 ) = 5 / 4

S i f ' ( x ) = 1 - ^ ( 1 - x ) - 1' 2 - f " ( x ) = - - J = f

P a r a x = 3 / 4 + f" ( 3 /4 ) = -2 < 0 y ff lax = 5 / 4

y = x / 2 - x 2

Solución. 3y 2 - x 2^0 x 242 +->- - / 2 < x <. /2

f I ( x ) . 2 ( 1 + x M l - x l

✓ / 2 - x 2

S i f 1 ( x ) = 0 + ( 1 + x ) ( 1 - x ) = 0 «-► x i = - 1 ó x j = 1

L os v a l o r e s e x t r e m o s de l a f u n c i ó n s on : f ( x i ) = - 1 y f ( x 2 )=1

f ' ( x ) = 2 (1 - x 2 ) ( 2 - x 2 ) “ J / 2 + f " ( x ) =

P ar a xx = -1 + f" ( x i ) = = 4 > 0 * y min = -1

f " ( 2 ) ( ) j ^

Vi cción 3: Aplicación de la segunda derivada 555

:' .i f ' ( x ) =0 -*■ x ( 2 - x ) = 0 *->■ x i =0 ó X2= 2

Lo s v a l o r e s e x t r e m os de f s o n : f ( x i ) = 0 y f ( x 2 ) = 4 / e 2

i’ ' ( x ) = e ' x ( 2 x - x 2 ) + f " ( x ) = e - x ( x 2 - 4 x + 2 )

l ’a r a x i =0 f " ( x i ) = e ° ( 0 - 0 +2 ) = 2 > 0 -*■ Ym n = 0

x 2 =2 -*• f " ( x 2 ) = e ” 2 ( 4 - 8 +2 ) = - 2 e " 2 < 0 + ymov = 4 / e 2Jli 3 X

OTPPVK X■■■■• y ~ Inx

Solución, 3y <-*■ x>0 , x^1 Dom (f) =<0 , +«>- { 1 }

D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f ' ( x ) = l n x - "'l n 2x

.".i f ' ( x ) = 0 -*■ l n x = 1 -*-*• x=e . P ar a x= e -*• f ( e ) = e

D e r i v a n d o n u e v a m e n t e l a f u n c i ó n s e t i e n e : f " ( x ) = ■2 ~. -n xx l n 3 x

P a r a x = e ■* f " ( e ) = ■ — = — > 0 ->■ y . = ee ( 1 ) 3 e n l n

IES y =x 1 /x

Solución. A p l i c an d o l o g a r i t m o s n e p e r i a n o s s e t i e n e :

l n y = hnx * = I ( ¿ ) + l n x ( - ± 2 )

1 / xf 1 (x ) = -21 2 _ ( 1 - l n x )

: 'i f ' ( x ) = 0 1 - l n x =0 ** x = e . P a r a x = e ■* y = e ”*//e = t/e"

l. a s e g u n d a d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n l a o b t e n e m os d e :X 1 = l = l n x + y y " - y ' 2 _ x 2 ( - l / x ) - d - i n x ) ( 2 x)

*

x 2 = 1 - f " ( x 2 ) = ( 2 ) j ~ ^ = - 4 < 0 -> y max = 1

j Q Q y = Co sh ax

Solución. f ' ( x ) = a S e n ha x

S i f ' ( x ) = 0 -*■ S e nh ax =0 +~* x= 0

P ar a x=0 > y=Cosh( .0 ) = 1

f " ( x ) = a 2 C o s h ax . P a r a X =0 f " ( 0 ) = a 2 > 0 ->• ymj n = 1

2 - x

y = x eS o l u c i ó n . f ' ( x ) = x ( - e ” x ) + e “ x ( 2 x ) = x e " x ( 2 - x )

y ~ x * y 2

de donde; yy" - y ' 2 _ _ 1 +2 l n x

y2

ee >—

P a r a x = e , y ' = 0 f " ( e ) = - - X - ? ( 1 + 2 ) < 0 + y = ; / eg 3 Jmax v

1 W 1 P a ra qu é v a l o r d e a l a f u n c i ó n f ( x ) = a S e n x + ^ S en 3x t i e n e

e l e x t r e m o p a r a x =tt/ 3? Será máx imo o mínimo?

Solución. f ' ( x ) = aC os x+ Co s3 x

S i f t i e n e u n e x t r e m o p a r a x = t t / 3 ■* f ' ( 7r / 3 ) = 0

P i n t o n e e s : a C o s ( 7r / 3 )+Cos( iT )= 0 -«-*■ a ( 1 /2 ) -1 = 0 +-»• a=2


E n t o n c e s : f ' ( x ) =2 C os x +C o s 3x + f " ( x ) = - 2 S e n x- 3 S e n 3 x

P a r a x =it/ 3 + f " ( i r / 3 ) = - 2 S e n ( i r / 3 ) - 3 S e n ( ti) = - /J < 0

P o r t a n t o , p a r a a = 2, l a f u n c i ó n t i e n e u n m áx im o.

H a l l a r l o s v a l o r e s d e a y b p a r a l o s c u a l e s l a f u n c i ó n

y = a ln x + bx 2 + x

t i e n e e x t r em o s e n l o s p u n t o s Xi=1 y x 2 =2. M o s t r a r q u e p a r a e s t o s

v a l o r e s d e a y b l a f u n c i ó n d a d a t i e n e e l m í n im o e n e l p u n t o x ¡

y e l m á x i m o e n e l p u n t o x j .

Salación. f ' ( x ) = + 2 b x + 1 ( 1 )

Par a xi = 1y f 1 (1 ) =0 .+ a+2b+ 1=0

x z =2 y f ' ( 2 ) = 0 a / 2 +4 b +1= 0

R e s o l v i e n d o e l s i s t e m a o b t en e m o s : a = - 2 / 3 y b = - 1 / 6

L u e go , e n ( 1 ) : f ' ( x ) = - 3“ - ^ + 1 f" (x ) = —S— - -13x

Par a xi = 1 •* f " ( 1 ) ■ = > 0 -*■ f t i e n e u n m í ni m o

x 2 =2 f " ( 2 ) = = - •¡r < 0 f t i e n e u n m áx im o

3.2 CONVEXIDAD . CONCAVIDAD . PUNTOS DE INFLEXIÓN

S e d i c e q ue l a g r á f i c a d e u na f u n c i ó n y = f ( x ) e s

cóncava hacia ansiiHa e n e l p u nt o T ( c , f ( c ) ) , d on

d e ce l = < a ,b > , s i t o d o s l o s p u n t o s P ( x , f ( x ) ) de l a

c u r v a s e e n c u e n t r a n p o r en c i m a de l a l í n e a t a n g e n t e L a l a g r á f i

c a e n e l p u n t o T .

<■ción 3: Aplicación de la segunda derivada 557

Ir« f i g u r a 4 . 1 9 m u e s t r a q ue l a o r d e n a d a d e c u a l q u i e r p u n t o P d e

I a c u r v a e s m en or q ue l a o r d e n a da d e l a t a n g e n t e , e s t o e s :

f ( x ) < f ' ( c ) ( x - c ) + f ( c ) , ¥ x e < a ,b > - { c ]

, n d i r e c c i ó n d e l a c o n c a v i d a d d e l a g r á f i c a d e u na f u n c i ó n e s c a r a c t e r í s t i c a i m p o rt a n t e de un a f u n c i ó n . M e di a nt e e l s i g u i e n t e t e o

rui na d e t e r m i n a r e m o s l o s c r i t e r i o r s e g ún l o s c u a l e s , d u r a nt e e l e s

l u d i o d e l a f u n c i ó n y = f ( x ) , p o d e mo s j u z g a r s o b r e l a d i r e c c i ó n d e

::u c o n c a v id a d e n d i f e r e n t e s i n t e r v a l o s .

IE OR EM A 4.10 S e a f ( x ) u na f u n c i ó n d e r i v a b l e e n e l i n t e r v a l o 1=

< a , b > qu e c o n t i e n e e l p u n t o c .

O S i f " ( c ) > 0 e n t od o s l o s p u n t o s, d e I , e n t o n c e s l a g r á f i c a d e

y = f ( x ) e s c ó n ca v a h a c i a a r r i b a e n d i c h o i n t e r v a l o ,

i ) S i f " ( c ) < 0 en t o d o s l o s p u n t o s de I , e n t o n c e s l a g r á f i c a de

y = f ( x ) e s c ó n c av a h a c i a a b a jo e n e s t e i n t e r v a l o .

lícmost/iación. P r o ba r e m os l a p a r t e i ) . E l t e o r e m a qu e d a rá d e m os

t r a d o , s i e s t a b l e c e m o s q u e t o d o s l o s p l i n t o s de l a

En l a f i g u r a 4 . 1 8 s e m u e st r a l a r e c t a t a n g e n t e L d e e c u a c ió n :

y = f 1 ( c ) ( x - c ) + f ( c ) y e l p un t o P ( x , f ( x ) ) e f , e n d on de s e ob s e rv a q '

f £ x ) > y , e s t o e s :

f ( x ) > f ' ( c ) ( x - c ) + f ( c ) , ¥ x e <a , b >- { c }

S e d i c e q ue l a g r á f i c a d e u na f u n c i ó n y = f ( x ) e s

cóncava hacia atajo en e l p u nt o T ( c , f ( c ) ) , d on

d e c e< a , b >, s i t o d o s l o s p u n t o s P ( x , f ( x ) ) . de l a c u r v a, e x c e p to ? ,

s e e n c u e n t ra n p o r d e ba j o de l a l í n e a t a n g e n t e L a l a g r á f i c a d e

f e n e l p u n t o T

■ ur va e n e l i n t e r v a l o I e s t á n s i t u a d o s p o r e nc i m a d e l a t a n g e n t e ,

■ d e c i r , l a o r de n a da d e c u a l q u i e r p u nt o de y = f ( x ) e s ma yo r q ue

I a o r d e n a d a y d e l a t a n g e n t e , p a r a u n m is mo p u n t o x .

D e b e m o s p r o b a r e n t o n c e s q u e :

f ( x ) > f ' ( c ) ( x - c ) + f ( c ) , ¥ -x e< a, b > - { c }

Kn e f e c t o , s e a l a f u n c i ó n : F ( x ) = f ( x ) - f 1 ( c ) ( x - c ) - f ( c ) ( 1 )

l u r i v a n d o , d o s v e c e s , a mb o s m i e mb r o s o b t e n e m o s :

F ' ( x ) = f ' ( x ) - f 1 ( c )

F " (x ) = f ’’ (x ) F "(c ) = f" (c ) > 0


A p l ic a n do l a d e f i n i c i ó n d e d er i v a d a a F " ( c ) s e t i e n e :

. 1 1 .x+ c

D ad o qu e : f ' ( c ) = 0 •> F ' ( c ) = 0 , y c omo F" ( c ) = f " ( c ) >0

F " ( c ) = l i m JLLÍ2Ú.x+ c

x - cf " ( c ) > 0

L u e g o , e x i s t e u n <5>0 , t a l q u e :

^ ^ > 0 , s i e m p r e q u e : 0 < | x - c |<6

e n d o n de , e l s i g n o d e F ' ( x ) s e d e d uc e d e l e n t o r n o : - ó < x - c <6

i ) S i c - 6 < x< c -> F ' ( x ) < 0 , p u e s x - c <0

i i ) S i c <x <c + S - F ' (x ) > 0 , p ue s x -c >0

E n o t r a s p a l a b r a s :

a ) F ( x ) e s d e c r e c i e n t e e n e l i n t e r v a l o

[ c -< 5, c ] , e s t o e s :F ( x ) > F ( c ) , s i c - 6 < x < c ( D e f . 4 . 5 )

b ) F ( x ) e s c r e c i e n t e e n e l i n t e r v a l o

[ c , c + ó ] , e s t o e s :

F ( x ) > F ( c ) , s i c <x <c + ó ( D e f . 4 . 4 )

En c o n s e c u e n c i a , s i x ^ c e n e l i n t e r v a l o < c - 6 , c + ó > s e c u m p l e

F ( x ) > F ( c )

o s e a : f ( x ) - f 1 ( c ) ( x - c ) + f ( c ) > F ( c )

P e r o , en ( 1 ) , s i x= c •+■ F ( c ) = 0

• \ f ( x ) > f ' ( x ) ( x - c ) + f ( c ) 1 . q . q . d .

ESH3ZBÍ E l p u n t o ( c , f ( c ) ) q u e e n un a c u r v a c o n t i n u a s e

p a r a l a p a r t e c o n v e x a d e l a c ó n c a v a, s e ll a m a

m< , -ión 3: A plic ac ión de la s egu nda deri vad a 559

e v i d e n t e q u e e n e l p u nt o de i n f l e x i ó n l a t a n g e n t e c o r t a a l a

r u r v a d e m o d o t a l q u e a u n l a d o d e l p u n t o l a c u r v a e s t á s i t u a d a

p or d e b a j o de l a t a n g e n t e , y a l o t r o l a d o , p o r e n ci m a d e é s t a .

A s i, e n l a f i g u r a 4 . 2 0 , p a r a e l p u n to c e < a , b > s e o b s e r v a q u e:

f " ( x ) <0 e n a < x< c y f " ( x )>0 en c<x0 e n a < x < c y f " ( x )<0 e n c < x < b

T EO RE MA 4, 11 S e a y = f ( x ) l a e c u a c i ó n de u n a c u r v a . S i f " ( c ) = 0 o

f " ( c ) n o e x i s t e , y l a d e r i v a d a f ' ( x ) c am b ia d e s i j

tío a l p a s a r po r e l v a l o r x = c , e n t o n c e s , e l p u n t o de l a c u r v a d e

a b s c i s a x = c e s e l p u n to d e i n f l e x i ó n .

ilc.moit/iación. En e f e c t o , c o n si d e re m o s l o s s i g u i e n t e s c a s o s :

( 1 ) S i f " ( x ) < 0 c u an d o x < c y f " ( x ) > 0 c u an d o x > c

E n t o n c e s , p a r a x < c l a f i g u r a e s c ó n c a v a h a c i a ab a j o y p a r a

x > c e s c ó nc a v a h a c i a a r r i b a . P o r t a n t o , e l p u n t o P d e l a c ur

v a , d e a b s c i s a x =c e s e l p un t o de i n f l e x i ó n ( F i g . 4 . 2 0 )

( 2 ) S i f " ( x ) < 0 c u a nd o x < c , y f " ( x ) < 0 c u a n d o x > c , e n t o n c e s , p a r a

x < c l a c u r v a e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a y p a r a x >c , e s c ó n c a v a

h a c i a a b a j o . P or c o n s i g u i e n t e , e l p u n t o Q de l a c u r v a d eab s

c i s a x= c e s e l p u n to de i n f l e x i ó n ( F i g . 4 . 2 1 )

PROBLEMAS RESUELTOS

A c l a r a r s i e s c o n v e x a o c ón c a v a l a l í n e a y = x 5 - 5 x 3- 1 5 x 2+ 30

e n l o s e n t o r n o s de l o s p u n t o s ( 1 , 1 1 ) y ( 3 , 3 ) .

1278

punto de. inflexión d e l a c u r v a .e n l o s e n t o r n o s de l o s p u n t o s ( , ) y ( 3 , 3 ) .

Soiución. D e r i va n d o d o s v e c e s l a f u n c i ó n s e t i e n e :

f ' ( x ) = ■5x‘* -1 5x 2 - 3 0x

f " ( x ) = 2 0 x 3 - 3 0 x - 3 0 = 1 0 ( 2 x s - 3 x - 3 )

P a r a x =1 + f " ( 1 ) = 1 0 ( 2 - 3 - 3 ) = - 4 0 < 0

x = 3 + f " ( 3 ) = 1 0 ( 5 4 - 9 - 3 ) = 42 0 > 0

P or e l t e o r e m a 4 . 1 0 , l a c u r v a e s c ó n c a v a h a c i a a b a j o en e l e n t o r

n o d e l p u n t o ( 1 , 1 1 ) y c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n e l e n t o r d e d e ( 3 >3 )

1 2 79 . A c l a r a r s i e s c o n v e x a o c ó n c a v a l a l í n e a y = ar c T a nx e n l o s


e n t o r n o s d e l o s p u n t o s ( l , i r / ¿ ) y (-1, -n/A)

So ¿ución. D e r iv a n do do s v e c e s l a f u n c i ó n f s e t i e n e :

f i ( x ) = - 1 — + f " ( x ) = - 2x1 +x2 n + x 2 )2

P a r a x =1 + f " ( 1 ) = - j < 0 . Para x=-1 +f " ( - D = j > °

E n t o n c e s , l a f u n c i ó n f e s c ó n c a v a h a c i a a b a j o e n e l e n t o rn o d e

x =1 y c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n e l e n t o r n o d e ( - 1 , —tr /A)

A c l a r a r s i e s c o n ve x a o c ó n c a v a l a l í n e a y = x l n x e n l o s

e n t o r n o s d e l o s p u n t o s ( 1 , 0 ) y ( 1 / e 2 , - 2 / e *)

So¿ución. D e r i va n d o d o s v e c e s l a f u n c i ó n d ad a o bt e n e mo s :

f 1 (x ) = x ( 1 +2 l n x ) f " ( x ) = 3 +2 1 nx

P a r a x = 1 f " ( 1 ) = 3 + 2 ( 0 ) = 3 > 0x = e " 2 + f " ( e ' 2 ) = 3 +2 ( - 2 ) = - 1 < 0

P or t a n t o , l a f u n c i ó n f e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n e l e n t o r no

d e l p u n t o ( 1 , 0 ) y c on v e x a ( c ó n c a v a h a c i a a b a j o ) e n e l e n t o r n o

d e l p u n t o (1 / e 2 , - 2 / e k )

g ¡ 2 ¡ Q M o s t ra r qu e l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n y = x ar c T an x es c ó n c a

v a e n t o d a s p a r t e s .

demostración. En e f e c t o , d e r i va n d o d os v e c e s l a f u n c i ó n s e t i e -

X , __ _________ . . o l í / __ \ _ 2n e : f ' ( x ) = -------- + a r c T a n x f " ( x ) =1+ x 2 ( 1 + x 2 ) 2

P a r a c > 0 f " ( c ) = -------

------ > 0 , Pa ra c <0 ■* f " ( c ) = -------

------ > 0( 1 + c 2 ) 2 ( 1 + c 2 ) 2

L u eg o, f " ( c ) > 0 , ¥ -c eR , e n c o n s e c u e n c i a , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n

i-cción 3: Aplicación de la segunda derivada 561

¡ j ^ j j D e m o st r a r q ue s i l a g r á f i c a de u na f u n c i ó n e s c o n v e x a en

t o d a s p a r t e s o c ó n c av a en t o d a s p a r t e s , l a f u n c i ó n r e f e r í

d a p u e d e t e n e r n o m á s , q u e u n v a l o r e x t r e m o .

-'<mostración. S e a l a f u n c i ó n f: R -* - R/ y =f ( x) , d o s v e c e s d i f e r e n c i a

b l e , c u y a g r á f i c a - e s c ó n c a va h a c i a a r r i b a e n t o d o

;>u d o m i n io , e s d e c i r , f " ( x ) > 0 , ¥ x e D om ( f ) .

D eb em os p r o b a r q u e e x i s t e u n ú n i c o c D om ( f ) t a l q u e f ' ( c ) = 0

Kn e f e c t o , s e a n x i y x ¡ d o s p u n t o s e n e l e n t o r n o d e c , e s t e s ,

s i < c < X 2 . S e gú n l a d e f i n i c i ó n 4 . 1 0 , t o d o pu n to P ( x , f ( x ) ) d e l a g r á

l ' i ca d e f s e e n c u e n t r a p o r e n c i m a de

I a l í n e a t a n g e n t e t r a z a d a e n c , e s t o

■•s : f (x ) > f 1 ( c ) ( x - c ) + f ( c )

A s i , p a r a x e < - ” , c > , f ( x i ) > f ( c )

x e < c , + “ > , f ( x 2

) > f ( c )L ue go , s i x i < c ■> f ( x i ) > f ( c )

I. a f u n c i ó n e s d e - c r e p i e n t e e n < - ” , c >

y S i X2 >C -*■ f ( X2 ) > f ( c )

La f u n c i ó n e s c r e c i e n t e e n < c , + “ >

l’o r t a n t o , e x i s t e u n p u n to e s t a c i o n a r i o c t a l q ue f ' ( c ) = 0 , es de

e i r , e x i s t e un v a l o r e x t re m o de l a f u n c i ó n e n c .

J W j iJ S e a P ( x ) un p o l i n o m i o d e c o e f i c i e n t e s p o s i t i v o s y e x p o

n e n t e s p a r e s . M o s tr a r qu e l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n

y = P ( x) + a x+ b e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n t o d a s p a r t e s .

'rmostración. En e f e c t o , s e a e l p o li n o m i o :

P( x) ‘= a 0x n + a i x 11" 2 + a 2xn "‘l + . . .

' 'i f ( x ) = P ( x ) + a x + b f ' ( x ) = P ' ( x ) + a

e s c ó n c a va h a c i a a r r i b a e n to d a s p a r t e s .

M o st r ar q ue l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n y = l n ( x 2 - l ) e s c o nv e

x a e n t o d a s p a r t e s .

demostración. En e f e c t o , d e r i va n d o 2 v e c e s l a f u n c i ó n s e t i e n e :

f ' ( x ) = — + f " ( x ) = - ¿ H t í l lx 2 - 1 ( x 2 - 1 ) 2

P o de m o s o b s e r v a r q u e p a r a c> 0 f " ( c ) < 0 , y p a r a c <0 -> f " ( c ) < Q

L u eg o , f " ( c ) < 0 , f ce R. P or t a n t o , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s

c o n v ex a ( c ó n c a v a h a c i a a b a j o ) e n t o d a s p a r t e s .

' 'i f ( x ) = P ( x ) + a x + b f ' ( x ) = P ' ( x ) + a

-*■ f " ( x ) = P » ( x )

i e r o , P ' ( x ) = n a o x11* 1 + ( n - 2 ) a i x n _ 3 + (n- A)a 2x n - 5 + . . .

f " ( x ) = P " ( x ) =n ( n - 1 ) a 0x n " 2 + ( n - 2 ) ( n - S j a i x ” - 1' + . . * .

I'or h i p ó t e s i s , l o s c o e f i c i e n t e s a o, a i , . . , s on p o s i t i v o s y l a s

p o t e n c i a s x n ’ 2 , x 11” “*, , . , s o n p a r e s , e n c o n s e c u e n c i a , f " ( x ) >0 ,

V-xeR, e s d e c i r , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s c ó n c av a h a c i a a r r i b a

u n t o d a s p a r t e s .


y "> O

y »<0

M o st r a r q ue a s p e c t o o f r e c e l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n s i s e

s a be q u e e n e l i n t e r v a l o < a , b > .

( 1 ) y >0 , y 1 >0 , y " < 0 ( 3 ) y < 0 , y ’ > 0

( 2 ) y >0 , y ' < 0 , y " > 0 (4 ) y>0 , y ' < 0

Solución. (1) y >0 i n d i c a q u e l a g r á f i c a d e

l a f u n c i ó n , e n < a ,b > , e s t a a

r r i b a d e l e j e X.

y 1> 0 i n d i c a q ue l a c u r v a e s c r e c i e n t e

y "< 0 i n d i c a q u e l a g r á f i c a e s c ó nc a va h a c i a

a b a j o ( c o n v e x a ) .

( 2 ) y >0 , l a g r á f i c a d e f e s t á p o r e n c im a

d e l e j e X.

y ' < 0 , i n d i c a q ue l a c u r v a es d e c r e c i e n t e

y " >0 , i n d i c a q ue l a g r á f i c a d e f e s c ó n c a

v a h a c i a a r r i b a .

( 3 ) y <0 i n d i c a q ue l a g r á f i c a d e f e s t á p or

d e b a j o d e l e j e X

y ' > 0 i n d i c a q ue l a c u r v a e s c r e c i e n t e

y " > 0 i n d i c a qu e l a g r á f i c a d e f e s c ó n

c a v a h a c i a a r r i b a .

( 4 ) y >0 i n d i c a q ue l a g r á f i c a d e f e s t á p o r

e n c i m a d e l e j e X.

y ' < 0 i n d i c a q ue l a c u r v a e s c r e c i e n t e

y "< 0 i n d i c a qu e l a . g r á f i c a d e f e s c ó n c a v a h a c i a a b a j o ( c o n v e x a ) .


Como e l D o it ¡ (f ) =R , l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n

5 /3> y <5 /3 .+“ >

S i x = 0 e < - ° ° ,5/3> + f " ( 0 ) = 2 (05)=10 < 0

I.a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s c ó n c a v a h a c i a a b a j o ( c o n v e x a )

S i x=2e< 5/3, +“» f" (2)=2(65)=2 > 0

La g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a .

i N : í : l y = ( 1+ x) ‘*+ex

Solución. f 1 ( x ) = 4 ( x + 1 ) 3+ e X -> f " (x ) = 1 2 ( x+ 1) 2 + e x

Como l a e c u a c i ó n f " ( x ) = 0 n o t i e n e s o l u c i ó n , l a

; ; r á f i c a de f , n o t i e n e p u n t o s de i n f l e x i ó n , a de m ás , f " ( x )> 0 p a r a

t o do x , e n c o n s e c u e n c i a , l a g r á f i c a d e f e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a

e n t o d a s p a r t e s .

1 M* 1 y

Solución, f ' ( x ) = 4 x 3- 3 6 x 2 + 96 x -*■ f " ( x ) = 1 2 x2 - 7 2 x + 9 6

= 1 2 ( x - 2 ) ( x - 4 )

S i f " ( x ) = 0 ( x - 2 ) ( x - 4 ) = 0<-»■x= 2 ó x= 4

T o m o e l D o m ( f ) = R , l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n

< - « , 2 > , <2 ,4> , < 4 . +°°>

Para x=2 •> y = ( 2 ) “- 1 2 ( 2 ) 3+ 4 8 ( 2 ) 2 - 5 0 = 6 2 -* l j ( 2 , 6 2 )

x = 4 - y = ( 4 ) ‘‘- 1 2 ( 4 ) 3 + 4 8 ( 4 ) 2 - 5 0 = 2 0 6 I 2 ( 4 , 2 0 6 )

; ;i x = 1 e < - “ , 2 > + f » ( 1 ) = 1 2 ( 1 - 2 ) 0 - 4 ) = 3 6 > 0

x=3e<2,4> + f " (3) = 12(3- 2) (3-4 ) = -12 < 0 ; '> 1 1

x=5e<4. +°°> + f " (5) = 12( 5-2 ) (5-4 ) = 36 > 0 ■ > ‘ ? 2l 'o r t a n t o , l a g r á f i c a d e f e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n < -= >,2 >U

4 . + 0 0>, y e s c ó n c a v a h a c i a a b a j o e n < 2 , 4 >.

En l o s e j e r c i c i o s 1 2 87 - 13 0 0 h a l l a r l o s p u n t os d e i n f l e x i ó n , i n

t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d y de c o n v e x i d a d de l a s g r a f i c a s d e l a s

f u n c i o n e s q u e s e i n d i c a n .

y = x 35x2 + 3x5

Solución. f 1 ( x ) = 3 x 2 - 1 0 x + 3 + f " ( x ) = 6 x - 1 0 = 2 ( 3 x - 5 )

S i f " ( x ) = 0 + 3 x - 5 = 0 +- * x = 5 / 3

P a r a x = 5 / 3 + y = ( 5 / 3 ) 3- 5 ( 5 / 3 ) 2 + 3 ( 5 / 3 ) = - 2 5 0 / 2 7

L u eg o, e l p u n t o de i n f l e x i ó n e s : l ( - j , - 2 5 0

27

y = x+36x 2 - 2 x 3 - x “

Solución. f ' ( x ) = 1+ 7 2 x - 6 x 2 - 4 x 3 -*• f " ( x) = 7 2 - 12 x - 1 2 x 2

= - 1 2 ( x + 3 ) ( x - 2 )

: ü f " ( x )= 0 - ( x+ 3) ( x - 2 ) = 0 ^ x = -3 ó x =2

' i on d o e l D o m( f )= R, l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d ad s o n :

< - » , - 3 > , < - 3 , 2 > , < 2 , + »>

¡' ■•ira x = - 3 y = - 3 + 3 6 ( - 3 ) 2 - 2 ( - 3 ) 3 - ( - 3 ) “ = - 2 9 4 I i ( - 3 , - 2 9 4 )

X=2 + y = 2 + 3 6 ( 2 ) 2 - 2 ( 2 ) 3 - ( 2 ) " = 1 14 - I 2 ( 2 , 1 1 4 )


* f " ( - ¿ ) = - 1 2 ( - ¿+ 3 ) ( - 4- 2 ) = - 7 2 <

f " ( 0 ) = - 1 2 ( 3 ) ( - 2 ) = 72. > 0 ___ ^ I 2

S i x = - 4 e < - “ , - 3 >

x=0e< -3*2> -i

x =3 e <2 ,+ »> •> f " ( 3 ) = - 1 2 ( 6 ) ( 1 ) = - 7 2 < 0

P or t a n t o , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n f e s c ó n c av a h a c i a a ba j o en < - “ , - 3 >U< 2 , +<»>, cónc ava ha ci a a rr ib a en < - 3 , 2 >.

U m j y = 3 x 5 + 5x ‘*+ 3x - 2

Solución. f ' (x) = 15 x , ,- 2 0 x 3 + 3 -> f " ( x ) = 60 x 3- 6 0 x

= 6 0 x 2 ( x - 1 )

S i f " ( x ) = 0 * x 2 ( x - 1 ) = 0 ** x=0 ó x=1

P ara x=0 y=- 2 , par a x=1 •+• y=-1 . Ent onc es , A( 0 , -2 ) y B(1 , —1)

s o n do s p r o b a b le s p u n t o s d e i n f l e x i ó n .

L o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n : <o°,0> , <0 , 1> , <1,+®>>

S i x = -1 e < - “ , 0> -*■ f " ( - 1 ) = 6 0 ( - 1 ) 2 ( - 2 ) = - 1 2 0 < 0

x= ^e< 0 ,. 1> f » ( | ) = 6 0 ( | ) 2 ( - ¿ ) = - 7 . 5 <

x = 2 e< 1 , +“» f" ( 2 ) = 6 0 ( 2 ) 2 ( 1 ) = 2 4 0 > 0

O b s é r v e s e q u e e n e l e n t o r n o d e x = 0 , f " ( x ) n o c am b i a d e s i g n o , p o r

l o q u e n o e x i s t e p un to , d e i n f l e x i ó n e n x =0 ; m i e n t r a s q u e e n e l e n

t o r n o d e x = 1 , f " ( x ) s i c a m b i a d e s i g n o , e n c o n s e c u e n c i a , e l p u nt o

d e i n f l e x i ó n e s 1 ( 1 , - 1 ) , l a g r á f i c a d e f e s c ó n c av a h a c i a a b aj o

e n < - “ , 1> y c ó n c av a h a c i a a r r i b a e n < 1 ,+°°>.

y = (x+ 2 ) 6+2 x +2

S olución, f '(x)=6(x+2)5 + 2 *■ f " (x)= 3 0(x+2)*

S i f " ( x ) = 0 + ( x + 2 ) ‘‘ =0 - w x = - 2 D ad o q ue f " ( x ) > 0 , ¥ x ED o m ( f ) , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n n o t i e n e

p u n t o d e i n f l e x i ó n y e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n t o d o s u d o m i n i o .

Vc< xió n 3: Ap lic ac ión de la s egu nda der iva da 565

Como e l D o ir . (f ) =R , l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n :

< - » , - 3 a > , < - 3 a , 0 > , < 0 , 3 a > , < 3 a,+«>>

::i x=-4ae<-»,- 3 a> ■+■ f"(-4a) = - i z l L l h i = ( + )

(t) _ > * I.(3a,|.)

x = - 2 a e < - 3 a , 0 > + f " ( - 2 a) = - ízííl).Ál ) = ( _ )( + )

x= 2 a e < 0 , 3 a > + f » ( 2 a ) = - - i z l i í l i í l = ( + )

( + ) - + I 3 (3a , -2a )

x = 4 a e < 3 a , + » > + f " ( 4 a ) = _ i i i í í i L Ü = ( - )( + )

l’o r t a n t o , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n f e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n

-<*>, -3a>U<0 , 3a> y có nca va h ac ia abaj o en < -3a , 0>U<3a ,+°°> .

= a - 3/ x - by

Solución, f 1 ( x ) = - — — J — -► f " ( x) =3. V ( x - b ) 2 9 . 3/ ( x - b ) 5

S i f " ( x ) = <*> + x - b = 0 ■*-*■ x= b

¡ E nt o nc e s A( b , a ) e s u n p r o b a b l e p u n t o d e i n f l e x i ó n .

C o m o e l D o m ( f ) = R , l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n :

<- “ , b> y <b, +>*»

: ' i x = b / 2 e < - », b > f ” ( b / 2 ) = - 2 — = ( - )

I (b , a )

x = 2 be<b,+o=» f "( 2 b) - = ——— = ( + )9( + )

Kn c o n s e c u e n c i a , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s c ó n c a v a h a c i a a ba j o

un <-a>,b> y cónca va h ac ia ar r i ba en - .

U £ £ J y = e^enx , xe f -TT/2 , i r /2 ]

y = a>0

x 2 +3 a 2

Solución. D e r i v an d o d o s v e c e s l a f u n c i ó n o bt e n e m os :

f . ( x ) =( x 2+ 3 a 2 ) 2

6 a 2x ( x + 3 a ) ( x - 3 a)

( x 2+3 a 2 ) 3

S i f " ( x ) = 0 -»■ x ( x+ ; 3a ) ( x - 3 a ) = 0 *-*■ x=0 ó x=-3a ó x=3a

L u eg o, l o s p r o b a b l e s p u n t o s d e i n f l e x i ó n s on : A ( - 3 a , - 9 a / 4 ) ,

B ( 0 , 0 ) y C ( 3 a , 9 a / 4 ) .

y , , ]

Solución. f ’ ( x ) = e^ e nx Co sx -*• f " ( x ) = e ^ e n x ( Co s2x - S e n x )

S i f " ( x ) = 0 -*• C o s 2 x - S e n x =0 ■* S e n 2x + S e n x - 1 =0

Senx = - ^ * x = a r c S e n ( ^ ~ - ) . S e a u = = 0.618

L os i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n : < - t t / 2 , a r c S eñ u > , < a r c S e n u , t t / 2 >

S i x =0e<-tt/2, arcSenu> + . f"(0) = ( + ) ( + ) = ( + )I (arc Sen u, e 11)

x = Tr / 3 e< a rc S e nu , Tr / 2> + f " ( i r / 3 ) = ( + ) ( - ) = ( - )

l . ue go , l a g r á f i c a d e f e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n < - i r / 2 , a r cS e nu >

y c ó n c a v a h a c i a a b a j o e n < a r c S e n u , i r / 2 > .


y = l n ( 1 + x 2 )

Solución. f ’ ( x ) = 2 x f " ( x ) =

2 ( 1 +x) ( 1 - x )

1 + x 2 ( 1 +x 2 ) 2

S i f " ( x ) = 0 + ( 1 + x ) ( 1 - x ) =0 +*- x = - 1 ó x =1

L u eg o , l o s p r o b a b l e s p u nt o s d e i n f l e x i ó n s o n: A ( - 1 , l n 2 ) , B ( 1 , l n 2 )

C o m o e l D o m ( f ) = R , l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n :

<->», - 1 > , < - 1 , 1 > , <1 , +“>

S i x = - 2 e < - ” , - T > + f " ( - 2 ) = 2 ( ~ ) ^ -) = ( - )( + ) + 11 (1,1 n2)

x= 0 e < - 1 , 1> f " ( 0 ) = ■¿ l i l i l í = ( + )

( + ) -*■ I 2 (1 , l n 2 )

■ x = 2 e < 1 , +°» + f " ( 2 ) = 2 l i l L l = ( . )( + )

P or t a n t o , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s c ó n ca v a h a c i a a b a j o e n

<-<»,- 1 >U< 1 , +° °>, y e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n < — 1» 1 >.

= - l n 0 , a >0

a f 21 n ( x / a ) - 3 ]Solución. f ' ( x ) = •— ( 1 + l n a - l n x ) f " ( x ) =

x 2 x -

S i f 11( x ) = 0 2 1 n ( f ) = 3 - *• x = a e 3/ 2

Como e l D o m ( f ) = < 0 , + “» , l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d so n :

<0 , a e 3 / 2 > , < a e 3 / 2 , + »>

S i x = a e <0 , a e 3 / 2 > + f "- ( a ) = ■- — - ( - )( + ) . ; > + I ( a e 3 / 2 , | e - 3/ 2 )

x = 5a e < a e 3 ^ 2, + ° » f " ( 5 a ) = - - = ( + )( + )

P or t a n t o , l a g r á f i c a d e f e s c ó n c av a h a c i a a r r i b a e n < a e 3/ 2 , +» >

Sección 3: Aplicación de la sezunda derivada 567

y _ earcTanx

a r c T a n x _ w „ ? , 1 \ arcTgxSolución. f» (x ) = - -------------- + f " ( x ) = +1 )e ------------

1 + x 2 ( 1 + x 2 ) 3

S i f " ( x ) = 0 -*■ 1 - 2 x = 0 +-*■ x = 1 / 2

Luego , A( tj, e a r c ^ a n ^ ^ 2 ^ ) e s u n p r o b a b l e p u nt o d e i n f l e x i ó n .

Como e l D o m (f ) = R, l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n :

< - » , 1 / 2 > , < 1 / 2 ,+»>

S i x = 0 e < - » , 1 /2 > -*• f " ( 0 ) .= i i l i l l L t l = ( + )( + ) 0 a r c T a n ( 1 / 2 ) ^

x =1 e < 1 / 2 ,+=» + f » ( 1 ) = = (_ )( + )

P or t a n t o , l a g r á f i c a d e f e s c ó n c av a h a c i a a r r i b a e n <- °° , 1 / 2> y

c ó n c a v a h a c i a a b a j o e n < 1 / 2 ,+<*».

y = x " ( 1 2 l n x - 7 )

Solución. f ' ( x ) = 16 x 3 ( 3 l n x - 1 ) ■* f " ( x ) = 1 ¿ 4 x 2l n x

S i f " ( x ) = 0 + x 2 ln x= 0 •*-■> x=0 ó x=1

D ad o q u e = f +-»• x > 0 , e l p r o b a b l e p u n t o d e i n f l e x i ó n e s A ( 1 , - 7 )

y l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d so n : <0 , 1 > , < 1 ,+°>>

S i x — ¿ £ < 0 , 1> •> f ' ( - l ) = 1 U ( + ) ( - ) = ( - ) ^2 2 > - 1 ( 1 , - 7 )

x= 2 e < 1 , +« » -*• f " ( 2 ) = 1 U ( + ) ( + ) = ( + )

P or t a n t o , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s c ó n c a v a h a c i a a b a jo e n

<0 , 1> y c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n < 1 , + “ > .

Í E D M o st r ar q ue l a l í n e a y = t i e n e t r e s p u n t os de i n f l ex 2 +1

, g ,

y c ó n c a v a h a c i a a b a j o e n <0 , a e 3 // 2> .

IKfcU y = a - 5/ ( x - b ) 2

Solución. f ' ( x ) = - | ( x - b ) ‘ 3/ 5 + f " ( x ) = — 6 - — 5 2 5 ( x - b ) /

Si f" ( x) =■»■*■ x- b=0 ■*->• x=b

Como e l e x p o n e n t e d e ( x - b ) e s u n - n ú me r o p a r , f " ( x ) > 0 , ¥ x £ R.

P or t a n t o , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n no t i e n e p u n t o s d e i n f l e x i ó n ,

e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n t o d a s p a r t e s .

x i ó n q ue e s t á n s i t u a d o s e n un a m is ma r e c t a .

DemoAi/iación. En e f e c t o , d e r i v a n d o d o s v e c e s l a f u n c i ó n t e ne m os

f 1 (x ) - - x +2 x - 1 ^ f 11(x ) = 2 ( x ~ 0 ( x + ¿ x + 1 )( x 2 + 1 ) 2 ’ ( x 2 +1 ) 3

S i f " ( x ) =0 + ( x - 1 ) ( x 2 + ¿x+ 1) =0 +-*■ x —1 ó x= -2 ±/ 3

L u eg o , l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n s o n :

A ( 1 , 1 ) , B ( - 2 - / 7 , ^ ) , C ( - 2 + / 3 , ^ )

= Z (1~’ )~1 _ 1 - / T - Í _ 1 . _j(/3+1)1 _ /3+14"AB 2/31¿(3/3)U ’”AC2


_ | ( 1 + / ^) - | ( ' | - / 3 ) = 1 4 / ? - 1 + / ? = 1

mBC " ( - 2 + / I M - 2 - / I ) 4 ( 2 /1 ) 4

S i e n d o r n g = m^c = m ^ , l o s p u n t o s A , B y C s o n e o l i n e a l e s , e s

d e c i r , e s t á n s i t u a d o s s o b r e un a m is ma r e c t a .

1 3 02 . M o st r a r q ue l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n d e l a l í n e a y =x S en x

e s t á n s i t u a d o s en l a l í n e a : y 2 ( 4 + x 2 ) =4x 2 .

de.mostn.ac ión. En e f e c t o , d e r i va n d o d os v e c e s l a , f u n c i ó n s e t i e n e

f ' ( x ) = x C o sx + S e nx f " ( x ) = 2 C o s x - xS e n x

S i f " ( x ) = 0 -*• 2 Co s x= xS e nx

-<-*• 2C os x=y ó 2C ot gx =x (1 )

Como e l D o m( f )= R, l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n d e l a f u n c i ó n s e o b t i e

n e n r e s o l v i e n d o g r á f i c a m e n t e l a e c u a c i ó n ( 1 ) . V ea mo s s i s u s t i t u

yendo ( 1 ) e n l a e c u a c i ó n d e l a l i n e a d a d a s e c um p le l a i g u a l d a d .

4Cos 2 x ( 4 + 4 C o t g 2 x ) = 4 ( 4 C o t g 2x) -*■ 16Cos2x( 1 + C o t g2x) = l 6 C o t g 2 x

l 6 C o s 2 x ( C o s e c 2x) = 1óCotg2x

l 6 Cotg2x = l 6 C o t g 2 x

P or t a n t o , l o s p u n t o s de i n f l e x i ó n d e y = xS e n x e s t á n s o br e l a l i

n e a y 2 ( 4 + x 2 ) = 4x 2 .

M o st r ar q ue l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n d e l a l í n e a y = ^— 2

e s t á s i t u a d o s e n l a l í n e a y 2 ( 4 + x 2 ) = 4

De.rn.ost/iaciin. En e f e c t o , d e r i v a nd o d o s v e c e s l a f u n c i ó n s e t i e n e

f i ( x ) _ x C o s x - S e n x + f " ( x ) = ~ x 2 s e n x ~ 2 x C o s x 't' 2 Se n x

x 2 x 2

S i f " ( x ) = 0 -*• ( 2 - x 2 ) S e nx = 2 xC o sx ■>-+ Tanx - 2x2 - x 2


Sofución. D e r i va n d o d o s v e c e s l a f u n c i ó n f ( x ) = e " x S e n x s e t i e n e :

f ’ ( x ) = e ” x ( C o sx - S en x ) ■+■ f " ( x ) = - 2 e - x C o sx

S i f " ( x ) = 0 + C o s x = 0 -«-*■ x = 2 k 7r±ir / 2

T oma nd o s ó l o l o s v a l o r e s p a r a k= 0 , e s t o e s , x i =tt/ 2 y x 2 = - it/ 2 ,

l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n s on : 11 ( i r / 2 , e ’"7^/,2) , 1 2 ( - t i / 2 , e 77 2 )

O b s é r v e se q u e am bo s p u n t o s p e r t e n e c e n a l a s g r á f i c a s d e l a s f u n

c i o n e s y = e ~ x e y = - e _ x , r e s p e c t i v a m e n t e .

L os c o e f i c i e n t e s a n g u l ar e s d e l a s t a n g e n t e s a l a l í n e a y = e ~x S en x

e n a m b o s p u n t o s s o n :

P ara x i =7r/2 + mi = e _ 77/, 2 ( 0 - 1 ) = - e -77/ 2

x 2 = - t t / 2 -*• m2 = e _ 1T 2 ( 0 + 1 ) = e 77/12

A ho r a b i e n , s i y = e ” x -*■ y ' = - e - x , p a r a x i = i r / 2 -*■ m3 = - e -77^2

y = -e x •+• y '= e_x , par a x 2 = - t t / 2 = e 77 2

Da do q u e : B i = i is y m2 =nU , l a s f u n c i o n e s y = ± e " x t i e n e n t a n g e n t e s

c om un es e n l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n d e l a l í n e a y = e ~ x S e nx .

P a r a ’ q u é v a l o r e s d e a y b e l p u n t o ( 1 , 3 ) e s e l d e i n f l e

x i ó n de l a l í n e a y = a x 3+ b x 2 .

Solución. f ' ( x ) = 3 a x 2 + 2bx f" (x) = 6ax+2b

Como 1 ( 1 , 3 ) e s e l p u n t o de i n f l e x i ó n d e l a l í n e a , e n

t o n c e s , p a r a x = 1 , f " ( 1 ) = 0 , e s t o e s : 6 a+ 2 b=0 ■*-» 3 a + b =0 ( 1 )

A de má s l ( 1 , 3 ) e f ->■ 3 = a +b ( 2 )

R e s o l v i e n d o ( 1 ) y ( 2 ) o b t e n e m o s : a = - 3 / 2 y b = 9 / 2

E l e g i r a y b t a l e s q u e e l pu nt o A ( 2 2 5 ) s e a e l d e i n f l e1306

1305

Co sx =2 - x 2

/ 4 +x

o b ie n: (2 -x 2 ) xy = 2xCosx y = ,2Cosx _ j c__r. 2 - x 2 A + x V

de donde: y 2 ( 4 + x ‘l ) =4

K T 7 Í C o n fi r m ar q ue l a s g r á f i c a s d e l a s f u n c i o n e s y =± e "x e

y = e "x S en x ( l a c u r v a d e o s c i l a c i o n e s a m o r ti g u ad a s ) t i e n e n

t a n g e n t e s c om un es a l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n d e l a l í n e a y = e x Se nx

E l e g i r a y b t a l e s q u e e l pu nt o A ( 2 , 2 . 5 ) s e a e l d e i n f l e

x i ó n de l a l í n e a x 2y + a x+ b y = 0. Q ué o t r o s p u n t o s d e i n f l e

x i ó n t i e n e l a l í n e a r e f e r i d a ?

Solución. y + f ' ( x ) = - ? ( x ,2 --b- L - f " ( x ) = ^ X.(.3. b: x 2 )b + x 2 ( b + x 2 ) 2 ( b + x 2 ) 3

S i f " ( x ) = 0 + x ( 3 b - x 2 ) = 0 ( 1 )

Como A ( 2 , 5 / 2 ) e s un p u n t o de i n f l e x i ó n , e n t o n c e s , p a r a x= 2 ,

f " ( x) =0 , e s t o e s : 2 ( 3 b - 4 ) = 0 *-*■ b= 4 / 3

A de m ás A ( 2 , 5 / 2 ) E f •> | = - +-*• a = - 2 0 / 3

1306

Sustituyendo el valor de b en ( 1 ) se tiene:

x ( 4 - x 2 )=0 +-*• x =0 ó x = - 2 ó x =2

P o r t a n t o , e x i s t e n o t r o s d o s pu n t o s de i n f l e x i ó n q ue s o n:

B ( 0 , 0 ) y C ( - 2 , - 5 / 2 )

P a r a q u é v a l o r e s d e a t i e n e p u n t o s d e x n f l e x i o n l a g * a f i -

c a de l a f u n c i ó n y = e x - a x .

Solución. f ' ( x ) = e x - 3 a x 2 + f " ( x ) = e x - 6 ax

S i f " ( x ) = 0 + e x - 6 a x = 0 + e x = 6 a x ( 1 )

Puesto que: ex>0 , ¥-xeR + ax>0 <-* (a>0 A x > 0 ) v ( a < 0 A x<0)

P a ra l a p r i m e r a a l t e r n a t i v a : a >0 A x > 0 , e n ( 1 ) : ex > 6 ax

E n p a r t i c u l a r , p a r a x= 1 + e a- 6 a a e / 6

L u eg o , l a f u n c i ó n f t i e n e p u n t o s d e i n f l e x i ó n p a r a a > 0 y a- ce / 6

P a r a l a s e g un d a a l t e r n a t i v a n o h a y s o l u c i ó n .

D e m o st r a r q ue l a a b s c i s a d e l p u n to d e i n f l e x i ó n e n l a g r a

f i c a d e un a f u n c i ó n no p u e de c o i n c i d i r c o n e l p u n t o d e l

e x t r e m o d e e s t a m is ma f u n c i ó n .

KKT'iTil D e m d s t r a r q u e e n t r e d o s p u n t o s d e e x t r e m o s d e c u a l q u i e r

■ f u n c i ó n d e r i v a b l e d o s v e c e s e s t á s i t u a d a p o r l o m e n os un a

a b s c i s a d e l p u n to d e i n f l e x i ó n de l a g r á f i c a d e l a f u n c i ón

t K H C om pr ob ar l o s i g u i e n t e , t om an do l a f u n c i ó n y = x ‘t+ 8x , + 18x2 +8

c omo e j e m p l o : e n t r e l a s a b s c i s a s d e l o s p u n t o s d e i n f l e

x i ó n d e l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n p u e de n o h ab e r p u n t o s d e e xt r em o

570 ____ ________________________________ Capítulo 4: Análisis de las Funciones Sección 3: Aplicación de la segunda derivada 571

S i f ' ( x ) = 0 -*■ x ( x + 3 ) 2 = 0 «-*• x = 0 ó x = - 3

x = - 3 n o p u e d e s e r u n v a l o r e x t r e m o d e l a f u n c i ó n , p u e s e s l a a b s

c i s a de pu n to d e i n f l e x i ó n .C o m o 0 ¿ < - 3 , - 1 > , q u e d a c o m p r o b a d o q u e e n t r e d o s a b s c i s a s d e p u n t o s

d e i n f l e x i ó n d e l a f u n c i ó n no h ay p u n t o s d e e x tr e m o .

l ü i l O bs e rv an do y ex am in an do l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n ( v é a s e l a

f i g u r a 3 0) i n d i c a r e l a s p e c t o d e l a s g r á f i c a s de su p r i m e

r a y s e g un d a d e r i v a d a .

y ' = f ( x )

-> x

Solución. E nu me r em os l a s a b s c i s a s d e l o s p u n t o s e x t r e m o s y d e

i n f l e x i ó n e n e l i n t e r v a l o [ a , b ] .

I n d ic a re m o s e l a s p e c t o de l a g r á f i c a d e y ' = f ’ ( x ) s i g u i e n d o e l c r i

t e r i o d e m o n ot o n í a y de l a c o n d i

c i ó n n e c e s a r i a p a r a un v a l o r e x

tremo .

f ' ( x )>0 e n < a , 1> : l a g r á f i c a de

y ' e s t á a r r i b a d e l e j e X , e n x =1

y ' = 0 . f ' ( x ) <0 e n < 1 , 3 > : l a g r á f i

g p p

Solución. D e r i va n d o d o s v e c e s l a f u n c i ó n s e t i e n e :

f ' ( x )= 4x ( x + 3 ) 2 + f " ( x ) = 1 2 ( x + 3 ) ( x + 1 )

S i f " ( x ) = 0 -»• ( x + 3 ) ( x +1 ) = 0 -*-*■ x = - 3 ó x = -1

L o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s on : < - ° ° ,- 3 > > < - 3 , - 1 > . <- 1, +° °>

S i x = - 4 e < - ° ° , -3 > + f " ( -U)= 12 ( - ) (-■) = ( + ) + 3 j

x = - 2 e< - 3 , - 1 > + . f " ( - 2 ) = 1 2 ( + ) ( - ) =

x= 0 e< - 1 , +“ > ■+ f " ( 0 ) =12 ( +) ( + ) = ( + )

P o r t a n t o , x = - 3 y x = - 1 s o n a b s c i s a s d e l o s p u n t o s de i n f l e x i ó n d e l a g r á f i c a d e f .

y 0 . f ( x ) <0 e n < 1 , 3 > : l a g r á f i

c a d e y ' e s t á d e b a j o d e l e j e X,

e n x = 3 , y ' = 0 . f ' ( x ) >0 e n < 3 , 5 >:

l a g r á f i c a d e y ' e s t á a r r i b a d e l e j e X, e n

A h o r a . i n d i c a r e m o s e l a s p e c t o d e * y"

l a g r á f i c a d e y" = f ( x ) s i g u i e nd o

e l c r i t e r i o d e c o n c a v i d a d y d e l

p u n t o d e i n f l e x i ó n .

f " ( x )<0 6 n < a , 2 >: l a g r á f i c a d e ®y" e s t á d e b a j o d e l e j e X , e n x= 2

y" =0 . f " ( x )>0 en <2 , 4> : l a g r á f i c a

x = 5, y ' = 0 .

x

572 Capítulo 4; Análisis de las Funciones

d e y " e s t á a r r i b a d e l e j e X, e n x =4 , y " = 0 . f " ( x ) < 0 e n < 4 ,b > : l a

g r á f i c a d e y'-' e s t á d e b a j o d e l e j e X , e n x =6 , y"=0 .

H a ce r l o m is mo c o n r e s p e c t o a l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n r é p r e s e n t a d a e n l a f i g u r a 3 1 .

> x

So¿ucL6n. Como e n e l e j e r c i c i o a n t e r i o r , e xa m in e mo s e l a s p e c t o

d e l a g r á f i c a de y ' = f ' ( x ) .

f , ( x ) >0 e n < a , 1 > : l a g r á f i c a d e y ’

e s t á a r r i b a d e l e j e X . En x = 1, l a

g r á f i c a d e y = f ( x ) p r e s e n t a u na cu s

p i d e e n l a q u e f '( x ) = a > . E n l a g r á

f i c a de y ' , x =1 e s u na a s í n t o t a v e r

t i c a l . f ' ( x )<0 en < 1 , 4->: l a g r á f i c a '

de y 1 e s t á d e b a j o d e l e j e X, e n x =¿

y ' = 0 . F i n a l m e n t e , f ' ( x ) > 0 e n < 4 , b > :

l a g r á f i c a d e y 1 e s t á a r r i b a d e l e j e

X.

A ho ra , s i g u i e n d o e l c r i t e r i o d e c o n c a v i d a d y d e l p un t o d e i n f l e

V<ción 3: Aplicación de la segunda derivada 573

I n d i c a r e l a s p e c t o d e l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e x am in a nd o

l a g r á f i c a d e s u d e r i v a da ( v é a se l a f i g u r a 3 2 ).

I n d i c a r e l a s p e c t o d e l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e x a mi n an do

l a g r á f i c a d e su d e r iv a d a ( v é a s e l a f i g u r a 3 3 ) .

dx

m i J L a l í n e a v i e n e d ad a e n f or ma p a r a m é t r i c a p or l a s e c u a c i o

n e s x = f ( t ) , y = g ( t ) . M o s tr a r q ue a l o s v a l o r e s de t p a r a

, f , e-ll - e l f "l o s c u a l e s l a e x p r e s i ó n — 2 — £------ c a m b i a d e s i g n o ( l a p r i m a d e -

f 'Mi gn a l a d e r i v a c i ó n r e s p e c t o a t ) y f ' ( t ) ¡ ¿ 0 , l e s c o r r e s p on d e n

l o s p u n t os d e i n f l e x i ó n d e l a l í n e a r e f e r i d a .

0cmostn.ac.L6n.. En e f e c t o , s e a y = F ( t) l a f u n c i ó n c u y a s e c u a c io n e s

p a r a m é t r i c a s s e c o n o c e n . C a l c u l a r e m o s s u p r i m e r a

' i o r i v a d a m e d i a n t e : 4 ^ = —— f ' ( t )

- J Ü z . = ^ M t ) | =d x 2 dx f ' ( t )

l’o ro : ' (Jj *( t ) - f ' ( t ) . g " ( t ) - g ' ( t ) . f ' ' ( t )

apongamos que! <J>(t ) = -I— LLlf ' ( t )

( 1 )

x i ó n , e x a mi n e mo s e l a s p e c t o d e l a

g r á f i c a d e y " = f" ( x ) ,

f " ( x ) > 0 e n < a, 1 > U < 1 ,2 > : l a g r á f i c a

d e y" e s t á a r r i b a d e l e j e X . E n x =1

no e x i s t e p u n to de i n f l e x i ó n ( y " / 0 )

f " ( x ) <0 en < 2 , 3 > : l a g r á f i c a d e y"

e s t á d e b aj o d e l e j e X. f " ( x ) > 0 e n

< 3 , b > : l a g r á f i c a d e y " e *s tá a r r i b a

d e l e j e X .

[ f ' ( t ) J 2

Luego , en ( 1 ) : -¿—Z. = ^ • g" ~ g ' ( t ) . f " ( t ) ^ f i ( t ) / 0

d x 2 f ' ( t ) [ f * ( t ) J 2

*' 'i do q u e [ f ' ( t ) ] 2 >0 , V-teR, e l c ambio de si gn o de .d.2y , que det erd x 2 .

¡ na l a e x i s t e n c i a de p u n t o s de i n f l e x i ó n e n l a g r á f i c a d e y= F( x )

p nr a c i e r t o s v a l o r e s d e t , d e p en d e d e l c am bi o de s i g n o d e l a e x -

. , f < CT,r -cr 1f »p i 'c s io n — £— s------ , f ' / O , p a r a t a l e s v a l o r e s de t .

f '

( 2 )


n T T H H a l l a r l o s p u nt os de i n f l e x i ó n p a r a l a l í n e a x - t 2 , y - 3 - t + t 3

S o lu c ió n . S i f ( t ) = t 2 - f 1( t ) =2 t + f " ( t ) =2

g ( t ) = 3 t + t 3 -*• g ' ( t ) = 3 + 3 t 2 + g " ( t ) = 6 t

. . \ f « ( t ) . f c " ( t ) - K ' ( t ) . f " ( t ) „„ -------S egún l a fó r mul a : f " (x ) = ----- ------- 5----- [ f ' ( t ) J 3---------------- ’ tl en e •

, _ 2 t ( 6 t ) - ( 3 + 3 t2 ) ( 2 ) = 3 ( t + 1 ) ( t - 1 )

( 2 t ) 3 U 3

S i f " ( x ) = 0 -*■ ( t + 1 ) ( t - 1 ) = 0■*->■ t» = -1 ó t -2= 1

I n te r v a l os de c onc a v ida d: < -“ , -1 > , < -1 , 0 > , <0 , 1 > , <1 , +“ >

Si t =- 2e <- “>, -1> +■ f" (x ) = ~ | ^~ ■■ = ( - )

t = - i e < - 1 , 0 > f M x ) = = ( + )( *)

t = 4 e <0>1> + f " ( x) = - ( + ) = ( - )2 ( + )

t =2E< 1 , +“> + f" ( x ) = ~+ = (+)( + )

El cambio de s igno de f" (x ) en los ento rnos de t i = -1 , t=0 y t 2=1

i n d i c a n qu e e x i s t e t r e s p u n to s d e i n f l e x i ó n e n l a g r á f i c a d e l a

función dada.

P a ra t = - 1 + x = ( - 1 ) 2 =1 , y = 3 ( - 1 ) + ( - 1 ) 3 =- ¿ * I i ( 1 . - 4 )

t = 0 x=0 , y = 0 -*• 1 ( 0 ,0 )

t = 1 -> x = ( 1 ) 2 = 1 , y=3( 1 ) + (1 ) 3 = 4- +I 2 ( 1 , 4 )

I H P I H a l l a r l o s p un t os de i n f l e x i ó n p a r a l a l í n e a x =e t , y = Se nt

S o lu c ió n . S i f ( t ) = e t + f ' ( t ) = f " ( t ) = e'fc

g ( t ) = S e n t •* g ' ( t ) = Co st + g " ( t ) = - S e n t

i f ' ( t ) g » ( t ) g 1 ( t ) f ' ( t ) e t S ent et C ost

Sc<-ción 4: Tareas com pleme ntarias 575

TAREAS COMPLEMENTARIAS

4.1 LA FÓRMULA DE CAUCHY

" o g ú n e l t e o r e m a \. U, s a b em o s q u e, d a d a s d os f u n c i o n e s f y g

i ) c o n t i n u a s en e l i n t e r v a l o f a ,b ]

l i ) d e r i v a b l e s e n e l i n t e r v a l o < a ,b >

l 1 1 ) g ' ( x ) / 0 e n t r e l o s p u n t o s d e l e n t o r n o <a , b >

f ( b ) - f ( a ) _ f ' ( c )e n t o n c e s e x i s t e c e < a , b> , t a l q u e:

< • c o n o c i d a c omo l a f ó r m u l a d e C au c hy .

g ( b ) - g ( a ) g ' ( c )

m | | J E s c r i b i r l a f ó r m u l a d e C au ch y p a r a l a s f u n c i o n e s f ( x ) = S e n x y g ( x ) = l n x e n e l i n t e r v a l o [ a , b j , 0 <a<b .

Solución. A n a l i c e m o s l a s c o n d i c i o n e s de l a f ó r m u la .

i ) f ( x ) = S e n x e s c o n t i n u a ¥ xe R y p o r t a n t o e n [ a , b ]

g ( x ) = l n x e s c o n t i n u a ¥- x>0 , t a m b i é n e n [ a , b ]-1

l i ) f ' ( x ) = C o s x y g ' ( x ) = — ; am ba s s on d e r i v a b l e s e n < a ,b >

¡ i i ) E n t o n c e s : 3 Ce < a , b > / | e ” b - S e n a = £ o s c.l n b - l n a 1 / c

c C o s c = S e n b - S e n a

l n ( b / a )donde a<c<b

| j j y E s c r i b i r l a f ó r m ul a de Cau chy pa r a l a s f u n c i o n e s f ( x ) = e 2 x y g ( x ) = 1 + e x e n e l i n t e r v a l o f a , b ] .

Solución. L a s d o s p r i m e r a s c o n d i c i o n e s d e l t e o r e m a d e C a uc h y s e

i f ( t ) . g » ( t ) - g 1 ( t ) . f ( t ) - e t S ent - et C ost

‘ C f ' ( t ) ] 3 e 3t

Sent + Cost 2t

e3

Si f" (x )= 0 Sent+Cost=0 Tant=-1 +-*■ t = ki r + -£ir

Luego, para t=3v/ K , l o s puntos dé i n f l e x i ó n s on

±kir (k=0, 1 , 2 , . . . )

c u m p l e n , l u e g o :

f ' ( x ) = 2 e2x + f 1 ( c ) =2 e 2 c ; g ' ( x ) = e x -»• g ' ( c ) = e c

2 b 2 a + 3 c e < a , b > / — * e 2 e

1 + e - ( 1 + e a )«-*■ e b + e a = 2 e °

Q Q j J C om p ro b ar l a v a l i d e z d e l a f ó r m u l a de C a uc h y p a r a l a s f u n

c i o n e s f ( x ) = x 3 y g ( x ) = x 2 +1 e n e l i n t e r v a l o [ 1 , 2 ] .

Solución. E n ' e f e c t o , f y g s o n - c o n t i n u a s y d e r i v a b l e s e n <1 , 2 > .


. 3 c e < 1 , 2 > / - f ( 2 ) ■- f l 1 ) ♦ J t Jg ( 2 ) - g ( 1 ) g 1 ( c ) 5 - 2 2 c

de donde: c = e <1 ,2>

I C om pr ob ar l a v a l i d e z d e l a f ó r m u l a d e Ca uc hy p a r a l a s f u n

c i o n e s f ( x ) = S a n x y g ( x ) = x+ C o s x e n e l i n t e r v a l o [ o , i r / 2 ] .

Solución. En e f e c t o , f y g s o n c o n t i n u a s e n [ 0 ,t t / 2 ] y d e r i v a b l e s

e n < 0 , ir / 2 > . E n t o n c e s , s a t i s f a c e n l a s d o s p r i m e r a s co n

d i c i o n e s d e l t e o r e m a d e C a u c h y .

P or t a n t , 3 c e < 0 (1r / 2> / l í l Z £ ) _ L_ f ( 0 ) = _ _1 ^ 0_ = ^

g ( 7 i / 2 ) - g ( 0 ) g ' ( c ) i r / 2 -1 1 - S e n c

Sene = -liAzl).= 0 , 5 0 9 tt2 1- Se nc 7í2-4ti +8

c = tt/ 6 e <0 , ir /2>

D e m os t r ar qu e s i e n e l i n t e r v a l o | a , b | s e cu m pl e l a e x p r e

s i ó n ] f 1 ( x ) | > | g ' ( x ) | , y g ' ( x ) n o s e re d u ce a c e r o , t am b ié n

s e r á v á l i d a l a e x p r e s i ó n | A f ( x ) | & |A g ( x ) j , d on de A f ( x ) = f ( x + A x ) -

f ( x ) , A g ( x ) = g ( x + A x ) - g ( x ) , y x y x+ Ax so n c u a l e s q u i e r a p u n t o s d e l

i n t e r v a l o [ a , b j .

de.mostn.ac.i6n. En e f e c t o , p o r l a d e f i n i c i ó n de d e r iv a d a

f « ( x ) = l i m f U + A x ) - f ( _ x j

Ax+0 Ax

+ = T in . | f ' ( x +A x ) - f ( x ) | y | g , ( x ) | g l i m ¡ g ( x +A x ) - g ( x 2 j

Ax+0 Ax Ax+0 Ax

L ue go : I ? 1 (* ) I = If ( x + A x ) - f ( x ) | ^ | f 1 ( x ) [ _ | A f ( x ) | ^

|g’ (x) | |g(x +Ax) -g(x )| |g *(x ) | |Ag (x;

Sección 4: Tareas complementarias 577

q ue e n e l i n t e r v a l o [ 1 / 2 , 1 ] : a r cT a nx - l n ( l + x 2 ) Z j - l n 2

Demosinación. E n e f e c t o , a p l i c a n d o é l t e o r e m a dé C a uc h y e n e l

i n t e r v a l o [ x ,x + Ax ] p a r a l a s f u n c i o n e s f ( x ) = l n ( 1 +x 2)

y g( x ) =a r c T an x , ‘ s e t i e n e :

f ( x + A x ) - f ( x ) _ f 1 (x )

g ( x + A x ) - g ( x ) g ' ( x )

Si ce <x , 1/ 2> ■+■ Mí*) = lili). = 2c / ( 1 + c 2 ) = 2c

A g ( x ) g ' ( c ) 1 / ( 1 + c 2 )

P er o : 0 < c 0 •*■ A f ( x ) < Ag( x )

A n á l o g am e n t e , s i c e < 1 / 2 , x > = 2 cA g ( x )

P e r o : ¿ < c < x ■* 2 c > 1 , e s d e c i r , > 1 ■*-»■ A g ( x ) < A f ( x )A g ( x )

S i A f ^ > 1 + f ( x+ A x )- f ( x ) > 1

A g ( x ) g ( x + A x ) - g ( x )

[ x , x + A x J = D / 2 , 1 1 + ' x +A x = 1

L u e g o : 7 A ; x ) 5. 1 +f ( 1 ) - f ( x ) >, g ( 1 ) - g ( x )g ( 1 ) - g ( x )

-*■ g ( x ) - f ( x ) 5 - g ( 1 ) - f ( 1 )

. * . a r c T a n x - l n ( 1 + x 2 ) J 7 - l n 24

4.2 REGLA DE L’HOSPITAL

TEOREMA4.12 S e a n l a s f u n c i o n e s f :R- »- R y g : R+ R t a l e s q u e s a t i s f a

S i en [ a, b] s e c um pl e q ue : | f ' ( x ) | ^ [ g ' ( x ) | ■+ J -£ — 5- 1t g ' ( x ) |

Luegff, en (1 ): IAx( x) | -| ^ | Af (x ) | >. [Ag (x ) || A g ( x ) |

D e m o s t r a r q u e e n e l i n t e r v a l o [ x , 1 / 2 ] ( x £ 0 ) e l i n c r e m e n t o

d e l a f u n c i ó n y = l n ( 1 + x 2 ) e s m e no r q u e e l d e l a f u n c i ó n

y =a r cT a nx , y e n e l i n t e r v a l o [ l / 2 , x ] , v i c e v e r s a , e s d e c i r ,

A a r cT a nx < A ln ( 1 + x 2 ) . V a l i é n d o s e d e e s t a ú l t i m a r e l a c i ó n m o s t r ar

c e n e n c i e r t o i n t e r v a l ó | a , b | l a s c o n d i c i o n e s d e l

t e o r e m a d e C a u c h y y s e r e d u c e n a c e r o e n e l p u n t o x = a , e s d e c i r ,

f ( a ) = g ( a ) = 0 , e n t o n c e s , s i e x i s t e e l l í m i t e d e l a r a z ó n í -l i iS2

g ' ( x )í>/ \

c u an d o x+ a , e x i s t i r á t a m b i é n e l l í m i t e d e —i —- c u a nd o x+ a , y a d e

lim £Í2L> = l im tlÁÚ = L

I (x)= L

x+a g ( x ) x-*-a g ' (x )

Demostnación. E n e f e c t o , s e a x e < a , b > . P o r e l t e o r e m a d e C a uc h y,


s e t i e n e : f ( * ) - f ( a ) = f ' ( e ) , a<c <x ( 1 )g ( x ) - g ( a ) g ' ( o )

P e r o, p o r h i p ó t e s i s : f ( a ) = g ( a ) = 0 , e n t o n c e s , e n ( 1 ) :

f ( x ) = f ' ( c ) ( 2 ) .g (x ) g 1 ( c )

S i d i v i d i m o s e l n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r d e l p r i m e r m i e m b r o d e

( 1 ) e n t r e x - a , y l u e g o , a p l i c a m o s l í m i t e s e n am bo s m i e mb r o s , c u an

do x+a , obtenemos:

J L I W = l i m ILÍSílg ' ( x ) x +a g 1 ( c )

S i x + a , t a m b i é n c + a , y a q u e , e n ( 1 ) : c e < a , x >

f 1 ( x ) » f ' ( c )As i mismo , s i L = l im ----¡— - , e n t o n c e s e x i s t i r á L = l i m ----------

x+a g 1 (x) c+a g ' (c )

E s e v i d e n t e q u e :

l i m LÍZJ- = l im = l im í'('°) = l im ü l i i = Lx +a g ( x ) x +a g ' ( c ) c + a g ' ( c ) x +a g ' ( x )

y f i n a l m e n t e :

l i m lljÚ = l i m í'Jl:) = Lx+a g (x) x+a g 1 ( x)

O b s e r v a c i ó n 1 . E l t e o r e m a e s v á l i d o t a m b i é n e ne l c a s oen que

l a s f u n c i o n e s f y g n o e s t á n d e f i n i d a s e n x = a,

pero que:

l i m f ( x ) = 0 , l i m g ( x ) = 0

x+a x+a

A qu í e s n e c e s a r i o d e f i n i r a d i c i o n a l m e n t e l a s f u n c i o n e s f ( x ) y

g ( x ) e n e l p u n t o x = a d e t a l m od o q u e é s t a s s e a n c o n t i n u a s e n x = a

P ar a e s t o e s s u f i c i e n t e p o n e r:

f ( a ) = l i m f ( x ) = 0 , g ( x ) = l i m = 0

Vi ición 4: Tareas complementarias 579

f 1 ( i r 1 f " ( - ¡c)obten emos: L = l im ------ i— - = l i m — i— , e t c

x +a g ' ( x ) x + a g " ( x )

O b s e r va c i ón 3 . S i g ' ( x ) = 0 , p e r o f ' ( x ) ^ 0 , e l t e o r e m a s e a p l i c a a

l a r a z ó n i n v e r s a q ue t i e n d e ac e r o , c u a n d of ( x )

t i (g ( x )

/ f ( x )x+ a . P o r t a n t o , l a r a z ó n —i— - t i e nd e a l i n f i n i t o .

O b s e r v a c i ó n 4 . L a r e g l a d e L ' H o s p i t a l t a m b ié n p u e d e s e r a p l i c a

d o , c u a n do : l i m f ( x ) = 0 y l i m g ( x ) = 0

X+ co x+°°1

I'".n ef ec to , haci end o x = — , vemos que z+0 cuando x+°° , y , por lo

t a n t o :

l i m f í ^ ) = 0 y l i m g(-^) = 0

z+0 z+0 2

A p l ic a n do l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l a l a r a z ón h a l l am o s :g ( 1 / z )

l i m = l i m Ú = l i m f ' ( 1 / ,z ^ = l i m ,f 1 ( V z )x+<° g( x) z +0 g ( 1 / z ) z +0 g ' ( 1 / z ) ( - 1 / z 2 ) z+0 g ' ( 1 / z )

i . f ' ( x )= l i m ------:—-x+“ g 1 ( x )

TEOREMA 4,13 S e a n f : R + R y g : R + R d o s f u n c i o n e s c o n t i n u a s y d e r i -

v a b l e s p a r a t o d o s l o s v a l o r e s d e x / a e n l a v e c i n d ad

d e l p u n t o a , y q u e l a d e r i v a d a g ' ( x ) n o s e r e d u c e a c e r o . S u po n ga

i o s q u e :

l im f( x ) = °° , l i ra g ( x ) = “■ x+a * x+a

y que e x i s t e e l l í m i t e : L = l i m £ — ‘ ( 1 )x + a g ' ( x )

( ) ( ) , g ( )x+a * x+a

y a q ue e l l i m — n o d e p e n d e d e q u e l a s f u n c i o n e s f y g e s t á n o x + a g ( x )

n o d e f i n i d a s e n e l p u n t o x = a .

O b s e r v a c i ó n 2. S i f ' ( x ) = 0 y g ' ( x ) = 0 y l a s d e r i va d a s f ' ( x ) y g ' ( x )

s a t i s f a c e n l a s c o n d i c i o n e s d e l t e o r e m a de Ca uc hy ,f i ( x )

e n t o n c e s , a p l i c a n d o l a r e g l a de L ' H o s p i t a l p a r a l a r a z ón i— - ,

g ' ( x )

E n t o n ce s e x i s t i r á t a m b ié n e l l i n , o s e a :x + a g ( x )

L = , l im JLÍüA = l im £ !J ü l (2 )x + a g ( x ) x + a g ' ( x )

de.mo4tn.ac.i6n. En e f e c t o , , en e l e n t o r n o d e l p u n t o a c o n si d e r e m o s

dos punt os a y x de ta l modoque: ot<x<a

Por e l t eo re ma de C auc hy: ^ ^ ' ( c ) a <c <x ( 3)g ( x ) - g ( a ) g ' ( c )


n - — \f ( x ) / f ( x ) \ _ f ' ( c ) ^ f ( x ) _ f í o ) / g ( x) ]

E nt on ce s: — —----------------------------- — * — — - . , " l ---------T Ig ( x ) y 1 _ g ( q ) ) g ’ ( c ) g ( x ) g ' ( c ) y - i _ f ( a ) f

g ( x ) f ( x)

De ( 1 ) s e d e d u c e q u e ¥ e > 0 , 3 a > 0 t a n p r ó x i m o d e a , q u e p a r a t o d o s *

l o s v a l o r e s d e x = c , d o nd e a <c < a , s e c u m p l e l a d e s i g u a l d a d :

I f 1 - l | < e +*■ L-e < f ' < L+ e (5)

I g ' ( c ) I g ' ( c )

1 g ( o l )

g(x) Analicemos, ahora, la fracción:

f (x)

Fijemo s a de modo que se cumpla la desigu aldad (5), y aprox ime

mos x al va lo r a, ya que f( x) +» y g(x)+«° , cuando x->-a, tendre mos

1 - g ( a )

l i m — s k i = 1

x+a 1 _ f(a)

" f(x)

P or t a n t o , p a r a e l v a l o r d e e >0 y p a r a x, s u f i c i e n t e m e n t e p r ó x i -

mo de a , te ndre mos:

1 - : ( “ ) . 1 _ e ( “ )

g ( x )

1 .

< e «-+ 1-e < g<x ) < 1 +e ( 6 )f (ot)

f ( x ) f ( x )

M u l t i p l i c a n d o c a d a e x t re m o de l a s d e s i g u a l d a d e s ( 5 ) y ( 6 ) obtene / 1 - i h í \

mos: ( L- e ) ( 1- e) < f ' ( -------------^í üL ) < (L+e) <1+e)

«'teJ V 1 -Sllt )

Succión 4: Tareas complementarias 581

Obs erv ació n 1 . S i en (1 ): L = l im f ■' x- = <», la ig ua ld ad ( 2 )x+a g 1 ( x )

s i g u e s i e n d o v á l i d a . E n e f e c t o , d e l a e x p r e s i ó n

? ' ( x )• i n t e r i or s e t i e n e : l i m s.— — L = 0

x +a f * ( x)

S e g ún e l t e o r e m a d e m o s t r a d o : l i m j =J ü2 = l í » g ' ( x ) = qx +a f ( x ) x +a f ' ( x )

d e d o n d e : l i m .** = °°x + a g ( x )

O b s e r v a c i ó n 2 .

FORMAS INDETERMINADAS REDUCIBLES a £ ó 0 00

E n t r e l í m i t e s i n d e t e r m i n a d o s q u e s e r e d u c e n a l o s c a s o s e x am i n a-0 , oo

d o s : g- o — , s e p r e s e n t a n , s i m b ó l i c a m e n t e , l o s s i g u i e n t e s :

a) 0 . a3 b) 0 ° c) °°° d) 1 e ) «>-«>

E l s i g n i f i c a d o d e e s t o s l í m i t e s i n d e t e r m i n a d o s e s como s i g u e :

a ) S u p o n i e n d o q ue l i m f ( x ) = 0 , y l i m g ( x ) = h a l l a rx+a x+a

l i m [ f ( x ) . g ( x ) ] = Lx + a *

S i e s c r i b i m o s : L = l i m ^ ^ , 0 b i en : L = l im

- X+a g( x) x* a FH^T

E n e l c a s o d e q ue l i m f ( x ) = “ , l i m g ( x ) = “>, y X+ oo x+°°

f 1 (x)e x i s t e l i m -----:— - , e n t o n c e s :

x+°> g ' (x)

L = l i m l i ü l = l i m l l i

x+» g (x ) x+“ g 1 ( x )

« teJ V 1 Sllt )f ( x )

y s e gú n U ) : ( L - e ) ( 1 - e ) < l M < ( L + e ) (1 + e ) ( 7 )g ( x )

Dado que e es un númeroa r b i t r a r i a m e n t e p e q u e ñ o , cu an do x s e e n

c u e n t r a l o s u f i c i e n t e m e n t e p i -ó xi m o de a , d e ( 7 ) s e d e d u c e q u e :

L = l im iSl) = l i m I L Í ü lx + a g ( x ) x + a g 1 ( x ) .

h a b r e m o s o b t e n i d o u n a i n d e t e r m i n a c i ó n d e l a f o r m a :

0 / °o0 o ®

b) S e a l i m f ( x ) = 0 , l i m g ( x ) = 0 ,. h a l l a r L. = l i m [ f ( x ) ] g ^x + a x + a x + a

E s c r i b i e n d o : y = [ f ( x ) ] g ^x ^ y a p l i c a n d o l o g a r i t m o s e n a mb os

e x t r e m o s o b t e n em o s : I n y - g ( x ) [ l n f ( x ) J

S i x + a , o b t e n e m o s e n e l s e g u n d o mi e m br o un a i n d e t e r m i n a c i ó n

d e l a f o r m a 0. o= . C a l c u l a d o e l l i m l n y , e s f á c i l h a l l a rx+ a


l i m y . En e f e c t o , e n v i r t u d d e l a c o n t i n u i d a d d e l a f u n c i ó n l o - x+ a

g a r í m i ca s e t i e n e : l i m l n y = l n ( l i m y )

x+a x+aA h o ra , s i l n ( l i m y ) = b , e n t o n c e s

x+ alim y = e x+a*

D e modo s i m i l a r s e c a l c u l a n l o s l í m i t e s i n d e t e r m i n a d o s de l o s c a

s o s ( c ) y ( d ) .

PROBLEMAS RESUELTOS

En l o s e j e r c i c i o s 1 3 2 4- 1 36 4 h a l l a r l os . l í m i t e s .

e r e n - 3* ^l i m -------------------

x +a / x - / a

Solución. S i f ( x ) = 3/ x - 3/ a + f ( a ) = 0

g ( x ) = / x - / a + g ( a )=0

E l l í m i t e t i e n e l a f o r m a i n d e t e r m i n a d a ^

S e gú n l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l :

L = l i m = l im -1 / í.3 :-. l /x3 ). = l i 2 / í 2 /a

x + a g ' ( x ) x + a 1 / 2 / x

I n C o s x

x+a 3. 3/x2 3 . 3 ' /a 2 3 . s / a

l i mx+0

So ¿ución. S i f ( x ) = I n C o s x + f ( 0 ) = I n 1 = 0g ( x ) = x g ( 0 ) = 0

- S e n x

P o r L ' H o s p i t a l : L = l i m - L i l i l í = 1 im ?,°s.c =■ l i m ( - T a n x ) = 0

Sección 4: Tareas complementarias583

E2 J lim sl X-Cosa x

x+0 e -CosBx

Solución. S i f ( x ) = e “ x - C o s a x + f ( 0 ) = 1 -1 = o

g ( x ) = e 6 x -C os Bx + g ( 0 ) = 1 - 1 = 0

L = l i m H í i l = U n g e ° X + Q Se n ax _ a e ° + a ( Q ) _ a

x+0 g 1 (x) x+0 £Se0x + eSenBx Be° + 6( 0) 6

2 3 l i m . ^ ar cT an x x+0 x 3

So ¿ución. S i f ( x ) = x - a r c T a n x +f ( 0 ) =0

g ( x ) = x 3 + g ( 0 ) = 0

1 1 ___

L = li m I 1 Í 2 Í = i l B ---------1 + x l = l i m _ 1 = 1

x + 0 g ' ( x ) x +0 3 x 2 x +0 3 ( 1 + x 2 ) 3

xxm ---- ■— x + 0 / S e n b x

Solución. S i f ( x ) = e a i / x - 1 + f ( o ) = e ° - 1 = 0

g ( x ) = / S e n b x + g ( 0 ) = 0

l i m H h l = i i n = n a e a^ / A señbx^x +0 g 1 ( x ) x +0 x Í S ^ ' x ( '/ ~ ^ )

2 / S e n b x

= l i m -------(J ~ ? b x ) = a e ° ( / J ) = _ a

x + 0 / b C o s b x ’ b x / b C o s O / b

E J U n. x - s e nx

x+ 0 x - T a n x



x+0 g ' ( x ) x+0 1 x+0

- 1 )l i m ( í x+0 Senx

Solución. S i f ( x ) = e X- 1 + f ( 0 ) = 0

g ( x ) = S e n x + g ( 0 ) = 0

P o r L ' H o s p i t a l : L = l i m f ' ( x ) _ = l imx+0 g ' ( x ) x+0 Cosx CosO

= 1

So¿ución. S i f ( x ) = x - S e n x + f ( 0 ) = 0

g ( x ) = x - T a n x + g ( 0 ) = 0

L = l i m 111*1 = U n 1 -Co sx _ _ 0 , . 'x + 0 g « ( x ) x + 0 1 - S e c 2 x ~ 1 - 1 “ 0 ( d e t e r m i n a d o )

L = l im I l í í i = ü m --------S e n x ____ = Cosx ,

x+0 g " ( x ) x + 0 - 2 S e c 2 xT a nx x+0 2 S e c 2 x

= - j l i m ( C o s 3x ) = - 4 ( 1 ) 3 = - 4

¿ x +0 2 2

584 Cavítulo 4: Análisis de las Funciones

, . i r - 2 a r c T a n x l i m ------------------y .x+c° l n ( 1 + —)

Solución. S i f ( x ) = i r - 2arc Tanx + f ( '“>) = = 0

g ( x ) = l n ( 1 + b + g ( ” ) = I n 1 = O

L = l im JLLkiíl = l i m

- 2 ( _ i - )1 + x 2

X+oo g ’ (x ) X+" (

i * í

l i mX-Vco

2 ( x 2 +x )

1 + x 2

L = l i m f " ( x-) = ü m = l i m ( 2 + ^) = 2

X+oo g II ( x ) X+°° 2x X-K»

l i m ■

Solución. S i f ( x ) = x m- a m

g ( x

f 1 ( x ) _

/ \ n n g ( x ) = x - a

m- 1

+ L = l i m ■ = limx + a g ' ( x ) x +a n x

ñ^ T

+ f ( a ) =0

+ g ( a ) = 0

= l i m ^ ( x ) rx + a n

n ( a )

l i m x +0 c J'

a - b

Solución. S i f ( x ) = a x - b*

g (x ) = c x - ds

' f ( O ) = a ° - b ° = 0

g ( 0 ) = c°-d° = 0

f i ( x ) , . a x l n a - bx l n b _ l n a - l n b _ l n ( a / b )l i m - — - = l i m — -------------------- — -------------------------------------;— — ~x +0 g ' ( x ) x +0 c l n c - d l n d l n c - l n d l n ( c / d )


Solución. S i í ( x ) = e x - e x + f ( 0 ) = 0

g ( x ) = ¿ S e n 2 x + g ( 0 ) = 02

Lmx + 0 g ' ( x ) x +0 C o s 2xl im Ü M = l im -eX

. a - bl i m ---------------

Solución. S i f ( x ) = a x - b x + f ( 0 ) = a ° - b° = 0

g ( x ) = x / l - x 2 + g ( 0 ) = 0

L = l i m f = a-Xl n a - bx l nb _ l n a - l n b _ ^ n( —)

x +0 g ' ( x ) 1 - 2 x 2 1 b

/ Ü P

f t L L J C o s x . l n ( x - a )x +a l n ( e x - e a )

Solución. S i f ( x ) = C o s x . l n ( x - a ) + f ( a ) = C o s a . l n O = °°

g ( x ) = l n ( e x - e a ) + g ( a ) = I nO = °°

J _

*■ L = l i m C o sx . l i m Ü - 2^ - 2- 1 — = C os a . l i m — — x + a x + a l n ( e x - e ) x + a e x

x a x= C o s a . l i m ■ — = Cosa . l i m --------- ----------- = Cosa

x +a e ( x - a ) x +a e x + ( x - a ) e x

ÍESE1 l i m : . . 2 xx + 0 x - S e n x

Polución. S i f ( x ) = e x - e - x - 2 x + f ( 0 ) = 1 - 1 - 0 = 0



l i m- 1

x+0 C o s x - 1

Solución. S i f ( x ) - . e x - 1 + f ( 0 ) = e ° - 1 = 0

g ( x ) = C o s x - 1 + g ( 0 ) = C o s 0 - 1 = 0

L = -l imf ' ( x ) .

= l im 2 x e = l im

- 2 e

x + 0 g ' ( x ) x +0 - S e n x x + 0 (S e n x

= z2sl

) ~ ( 1 )

= -2

el i mx + 0 S e n x C o s x

g ( x ) = x - S e n x + g ( 0 ) = 0

> L = li m Í 1 M = li m e~- + e ~X - 2 = 0x + 0 g ' ( x ) x + 0 1 - C o s x

, . f " ( x ) i • e x - e - x 1- 1 0► L = l i m — = lis -------------------- - = ñ

x + 0 g " ( x ) x + 0 S e n x * 0

_ . f ' " ( x ) -i . e x + e " x 1 + 1 '>• L = l i m — ----- i ü - = l i m ----------------= — v- = 2

x + 0 g " 1 ( x ) x + 0 C o s x


______ Tanx „xF K f ! t t • e - eE kku J l i m ---------------------

x+0 Tanx - x

Solución. S i f ( x ) = e T a nx - e x + f ( 0 ) = e - e = 0

g ( x ) = T a n x - x + g ( 0 ) = 0

. , . f ( x ) e T an x S e c 2 x - e x _ , , „ e T a n x- e x C o s 2x . 0+ L = l im ----- — - = l i a ---------------------- — ' " j 0

x + 0 g ' ( x ) x + 0 S e o x - 1 x + 0 S e n ' x

f " ( x ) ' , . e T a n x S e c 2 x - ( - 2 e x C o s x S e n x + e x C o s 2x)+ L = l im —— — — = l im ---------------------------------------------------------------- --------- —

x ->0 g" (x ) x+0 2SenxCosx

e T a nx S e c 2 x + e x ( S e n 2 x - C o s 2x) _ 0= l im --------------------------- —— ------------------------ - o

x + 0 S e n 2 x - C o s 2 x)

f u i ( v i . . e T a nx ( S e c * x + 2 S e c2x T a n x ) + e x ( 2 C o s 2 x + 2 S e n 2x -+ L = l i m — ----- = l im ------------------- i----- — --------------------------------— -------------------—

x +0 g ' "( x ) >x+0 2 Co s2 x

- e ° ( 1 +0 ) + e° ( 2 +0 - 1 ) _ 1 +1 _

2 (1 ) 2

---------- ®X ' ~ f ~ ~ x ~ 1H »x+0 Cosx + ^ - 1

Solución. " Si f ( x ) = e x - - x - 1 +■ f ( 0 ) = 0

• • x f 2

g ( x ) = C o s x + 4 - - 1 + g ( O ) - 0

1 U f l (1/2)^x,1 , í

x+0 g 1 ( x ) x + 0 - S e n x + x

, . f " ( x ) , . ex - x - 1 _ 0L = l i m •— - = l i m ---------------- -

x + 0 g " ( x ) x + 0 - C o s x + 1

, . f" 1 (x ) _ ex - 1 _ 0L = li m -------------- -— = l i m - - ■g

+0 " ' ( ) + 0 S

Si t ejón 4: Tareas com plementarias 587

L = l i m . £ l L xJ = l i m 3 x 2 e x3 - 3 x 2 = l i m _____ x 2 ( e x i - 1 )

x + 0 g ' ( x ) x + 0 1 2 S e n s 2 x C o s 2 x x + 0 ¿ S e n 2 2 x ( S e n 32xCos2x)

= ( ^ ) i i m ( _ i x . ) 2 (------ = ( 1 ) l im „ ax + 0 S e n 2 x S e n 32xCos2x 10 x + 0 S e n 32xCos2x 0

L = lim 1 2 1 * 1 = 1 Ura ----------------------------- 3 x l ¿ ____________________

x+ 0 g " ( x ) x +0 S e n 32 x ( - 2 S e n 2 x ) + C o s 2 x ( 6 S e n2 2 x C o s 2 x )

= 32

, . 2 _ X 3

l i m2 x +0 S e n 2 2 x ( 3 C o s 32 x - S e n 22x )

= l i m ( | ) ( ' s f ^2 ) 2 ( -------- ------------- -----) = _ L ( 1 ) 2 ( _ L ) = _ Lx+0 4 üen¿x 3Co s 2x - Sen 2x 128 3 -0 128

_ _ _ _ _ l n ( 1+x) l ,-4 x +2 x 2 - ^ x ’ + x*l i m — — ------------------------------- ¿----------

x+0 6 S e n x - 6 x + x 3

Solución. P o r s i m p l e i n s p e c c i ó n ve m os qu e e l l í m i t e t om a l a f o r

ma i n d e t e r m i n a d a ^ .

► L = l i m f ' ( x) = l i m ¿ ( 1 + x ) ' 1- ¿ x + ¿ x - 4 x 2 + 4 x 3 = 0x +0 g ' ( x ) x + 0 6 C o s x - 6 + 3 x 2 0

► L= l i m f ', ( x ) = l i m - ¿ Q + x r 2 + ¿ - 8 x + 1 2 x 2 = 0x + 0 g " ( x ) x + 0 - 6 S e n x + 6 x 0

► L= li m '■-x) = l i m 8 ( 1 + x ) ~ 3 - 8 + 2¿x = 0x + 0 g " 1 ( x ) x + 0 - ó C o s x + 6 0

* L= l i m X l M = l i m ~ ^ ( ^ x ) - - + 21 m 0

x + 0 g l v ( x ) x + 0 ó S e nx 0

+ L = l i m = l i m -9 6 d + x ) 5 = i á = 16

x+0 g (x ) x+0 6 Cosx 6

x +0 g " ' ( x ) x + 0 S e n x

L . n . i £ k i . n . - £ Lx+0 g (x ) x+0 Cosx

m l i m , 6 * ’ - 1 - x3

x + 0 S e n s 2 x

Solución. S i f ( x ) = e x 3 - 1- x 3 + f ( 0 ) = 1 - 1 - 0 = 0

g ( x ) = S e n 62 x + g ( 0 ) = 0

«TT tl i , -™ lnS en2 x lim — ______

x + 0 I n S e n x

Solución. S i f ( x ) = l n S e n 2 x ->• f ( 0 ) = I nO = «>

g ( x ) = l n S e n x + g ( 0 ) = I n O = „

2Cos2x

• L= l i m ^ = l i m S e n 2 x = 2 C o t g 2 x _ ~

x +0 g ' ( x ) x +0 f l f f x +0 C o t gx *


+ L = lim x+0

f " ( x ) _ - 4 - Co se c 2 2x l i mx+0

4 S e n 2 x

g " ( x ) x+0 - C o s e c 2 x S e n 2 2x

+ L = lim x +0

f " ' ( x ) = l im x+0

8S e n x C o s x l i mx+0

2 S e n 2 xg " 1 ( x) ¿ S e n 2 x C o s 2 x SenAx

+ L = lim x+0

f i v ( x )

g 1V ( x )

l n x *

= lim x+0

4Cos2x _ CosO

4Cos4x CosO= 1

1 -i*3a a B mx+0 I n S e n x

Solución. S i f ( x) = l nx : + f ( 0) = InO = OO

g( x) = InS enx + g ( 0 ) = InO = °°

♦ L = limlili} = limU^S = lim (§S£*) (*!•) = (1)4) = 1x+O g'(x) x +o |! |[ x+O x Cosx 1

| f t n l n ( 1 - x ) + T an (7r x / 2 )

X+1 CotgTTX

Solución. S i L= l i m .l n ( 1 ~ x ) + l i m l 5 £ l ü 2 L ¿ £ j ( 1 )X+1 CotgTTX X+1 CotgTTX

E n t o n c e s : L i = l i m y L2 = l i m l a n( ,TX/ 2 ?X+1 CotgTTX X+1 CotgTTX

Ambos l í m i t e s t i e n e n l a f o rm a i n d e t e r m i n a d a ^

L ue go ,- a p l i c a n d o l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l a ca d a l í m i t e s e t i e n e :

T , . - 1 / 1 - x , . S en 2Trx 0

L i = l i m ---------- :--------- = l im ------------ = qx+1 -Tr Cos ec2 Trx x+1 tt(1x)

T , . 2¥SenTrxCo s t t x . . _ _ „+ Li = l i m ------------------------ = l i m Sen2TTx = 0

X+1 -TT X+1

<‘ ión 4: Tareas complementarías589

( x n e _ x )X + c o

lución. E l l i m i t e t i e n e l a f o rm a i n d e t e r m i n a d a : =>.0

+ L = l i m ( “ ) = + L = l i m - S i ! ! ! = “x+» e x-).» ex

■ L = l im ü i q .- D x 11" 2 = l i m n ( n - 1 ) ( n - 2 ) x n - 3 _ -

x+°° e x x->~ e x " “

A p l ic a nd o l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l n v e c e s o b t en e m os :

L = l i m £Í £_ - 1 ) ( n - 2 ) . . . . 1 = ^ _ nj _ = n ! _ Q

x+°° e x+°° e x

U U I ü m ( 7r - 2 a r c T a n x ) l n xx+ 0 0

' 'lución. P o r s i m p le i n s p e c c i ó n v e m os e l l í m i t e t om a l a f o rm a :

0 . “ + L = l i m ( - - 2 a r c T a n x N _ 0x+» - 1- ; _ 0

l n x

_ _ 2 __

♦ L = li ra JLUiS i = ------ ] + x2 = l i m 2 x l n 2 x _ «X+” g ' ( x ) - -1 (1 ) x+»1 +x 2

l n 2x x

' L = l i m l " ( x ) = l i m 2 x ( 2 1 n x ) ( l / x ) + l n 2 x _ n.n2 1 n x + l n 2 x

x+°° g"(x) X+“ 2x x+» ’ x

• L = l i m — " ' ( x ) = ü m 2 / x + 2 l n x ( 1 / x ) = 2 + 2 1 n x

x+a. g '" ( x ) x+°° 1 . x+» x= l im l L1/ x ) = l i m ( 2 j = 0

x+“ 1 x+°° x

8

I 8

La = l i m U / 2 ) S e c 2 (TTX/ 2 ) = 1±m - S e n 2TTx =

x+1 irCosec2TTx x+1 2Cos 2 (ttx/2)

T _ -i . - 2 TTSen7rxCosTTx , Sen2 7rx _ 0+ Lz - lim -------------------------- = lim ------ =x+1 -4 . (Tr/ 2 )Cos( irx /2 )Se n(TTx/2 ) x+1 Semrx

t „ 2irCos2TTx 2Cos2ir 2( 1 ) _ 0 -+ L2 = l i m ---------------- = ------------ = —-—- = - 2

x+1 TrSenTTx Costt -1

P o r t a n t o , e n (1 ): L = 02 = 2

m i j ü m x Se n( a/ x )X+ oo

"luaón. P or s i m p l e i n s p e c c i ó n v em os q ue e l l í m i t e t o ma l a f o r

ma: «>.0 + L = l i m -Se n( a/ x ) _ 0x+°° 1 / x 0

A p l ic a nd o l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l s e t i e n e :

= llallí*} = U n , Co s ( a / x ) ( - a / x 2 )

x +» g ' ( x ) x + » ~ -------------------l i m a C os ( a/ x) = aX+oo


l im ( .J L - - L )x+1 x - 1 I n x

Solución.. V e mo s q u e e l l í m i t e t o m a l a f o r m a : <*>-»

T , . x ln x - x + 1 _ 0+ L = l i m ------------------------ — - ñ

x+1 ( x - 1 ) l n x

A p l i ca n d o l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l s e t i e n e t

L =. l i m U l i Ü = ü m .x ( 1 / x ) + l n .x -J — = l l Bx+1 g ' ( x ) x+1 ( x - 1 ) ( 1 / x ) + l n x x+1 x - 1 + x l n x

, . f » ( x ) x ( 1 / x ) + l n x _ 1 + l n x _ 1= 1 im . = lim ----- - J-im 2

x +1 g " ( x ) x+1 1 + x ( 1 / x ) + l n x x +1 2 + l n x

l i m ( a 2 -<t>2 )Tan(-5^)<¡>+a

Solución. A qu í e l l í m i t e t i e n e l a f or ma in d t e r m in a d a : 0 . »

T _ , . a 2 -4 >2 _ 0

l l n r +■ /■tt<j) N ” 04>+a C ot g (“2 ^)

A p l i ca n d o l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l s e t i e n e :

L = l i m = l i m ---------- '■------------- — jx- = li m --------<j)+a g'( <t>) <t>+a ( - 2 ^) Co sec (g” ) <J)+a irCosec C^ )

. L _ 4 a 2 _ ¿ a 2

n C o s e c 2 ( t j ) V

f l ñ e m i - r 1 x ss L u I ^----- " ------>

x +1 l n x l n x

Solución. E n e s t e c a s o : L = l i m ( t — 7 ) =x +1 nX

S e gú n l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l s e t i e n e :


L = lim H M = l im ------ h 3 . g ° 2 * = l i m ------ ~T an 2?t = £x +0 g ' ( x ) x+O x S e c 2x + T a nx x + 0 x S e c 2x+Tanx

= = l i m ----------- - 2 T a n x S e c 2 x------------ = lif fl -2 Ta nx

x+0 g "(xy x +0 2 x S e c 2x T a n x + S e c2 x +S ex 2 c x +0 2 x Ta nx +2

l i mx + 1 C o s(ttx/2) . l n ( 1 - x )

a s o e l l i

S e c ( i r x / 2 )

Solución. En e s t e c a s o e l l í m i t e t i e n e l a f or ma : -¡r— U• 00

L = limx +1 l n ( 1 - x )

L = l im f ' = l im ( , f / 2 ) S e c ( 7r x / 2 ) T a n ( T i x /2 )

x +1 g ' ( x ) x +1 - 1/ 1 - x

= l im ------ --------------------------- = ox + 1 2 C o s ( í j ) C o t g ( í | ) 0

L = l i m — S i l = limx +1 g "(x ) ' x +1 2!- • |C o s( - I| )C s c2 ( ^ ) - | s e n ( ^ | ) C o t g ( ^ | ) !

= l i m ------------------------------- = ---- 1 — = _ 00

x + 1 - C o s ( ^ - ) C s c 2 ( ^ ) - S e n í ^ C o t g í ^ ) - 0 -0

• l i m | 3/(a+x ) ( b + x ) (c+x) - xl■y-y00 J

Solución. En e s t e c a so e l l í m i t e t i e n e l a f or maM u l t i p l i c a n d o y d i v i d i e n d o p o r e l f a c t o r r a c i o n a l i z a n

t e a2 + a b + b2 o b t e n e m o s :

l = l i m _________(a +b - f c) x 2 + (a b+a c+b c)x + a be ________________



L = l i m l ' . í g ] = •— = l i m ( - x ) = - 1

x+1 g * ( x ) 1 / x x+1

( E g l l ir a ( C ot gx - ^ ) x +0

Solución. En e s t e c a s o , e l l í m i t e t i e n e l a f or m a i n d e te r m i n ad a

. , . /X - Tanx i _ 000-00 . + L = la m (------------- J- g’

x+0 xTanx

E n t o n c e s, p o r l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l s e t i e n e :

x ' **°í / l( a + x ) 2 ( b + x ) 2 ( c + x ) 2 + x . 3/ ( a + x ) ( b + x ) ( c + x ) + x 2

A h o ra , e l l í m i t e t o m a l a f o r m a i n d e t e r m i n a d a : — OO .

D i v i d i e n d o e l n u m e r ad o r y d en o m in a d o r e n t r e x 2 , s e t i e n e :

j _ ( a +b +c ) + ( a b + a c + b c ) / x + ( a b c ) / x 2

x+“ + 1 ) 2 ( | + + D 2 + y 1( f + d ( |

E v al u an d o e l l í m i t e r e s u l t a : L = - - f e* 0

+ 1 ) ( ~ + 1 ) + 1


l im [ x ( e ^ x - 1 ) ]X+oo

Solución.. E l l í m i t e t i e n e l a f or ma i n de t e rm i n a da s “ . 0

. t n / e 1 / x - 0* L - l i m (— — ------ ) = □x-*oo 1 / x

S e gú n l a r e g l a d e L* H o s p i t a l s e t i e n e :

L = l i m X l i í l = ü m = l i m e 1 ^x = e ° = 1x - h » g ' ( x ) x+oo - 1 / x 2 X+0»

J / x 2| ] ^ ) l im ( x 2e ) x +0

So ¿ución. A q uí e l l í m i t e t om a l a f o r ma i n d e te r m i n a d a O.oo

1 / x 2

+ L = l i m (■------------------------) - -x+0 1 / x 2

f ' ( x ) e 1 ^ x Z ( - 2 / x 3 ) 1 / x 2+ L = l i m . W = l i m -------------V ¿ /X 1 = l im e l /x = e

x +0 g ' ( x ) x+0 - 2 / x 3 x+0

l i m (Tan x)2x_7T x+ir / 2

Solución. E n e s t e c a s o , e l l í m i t e t o ma l a f o r m a i n d e t e r m i n a d a =°°

Sea y=( Tan x)2x_7T + ln (y ) = ( 2 x - 7i ) l n T a n x

A p l i c an d o l í m i t e s e n amb os e x t r e m o s s e t i e n e :

l i m ( l n y ) = l i m ( 2xtt ) l n T a n x + l n ( l i m y ) = l i m l n T ^ nx x+tt/2 x+7t/2 x+tt/2 x+tt/2

A p l i c a n d o l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l e n e l s e g un d o mi e mb ro s e t i e n e :

l n ( L ) = l i m ( 1 / T a n x ) S e c 2_x = l i m . ..( g x - j j * =

x+tt/2 2/(2xtt)z x+tt/2 S e n 2 x

A l i d t l l d L ' H i t l b t

Si. •■ión 4: Tareas comp lemen tarias 593

i ' int.onces : l i m ( l ny ) = l im ( ^nx __ ) =x+0 x+0 Gosec x

Api i c a nd o l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l e n e l s e g u n do m i em br o s e t i e n e :

1 „ ( l im y) = l i m --------------------- + ln (L ) = l im : .SenxTanx = 0x +0 x + 0 - C o s e c x C o t g x x + 0 x

• l n ( L ) = l i m £l .' ( x ) = l i m . . S e n x S e c 2 x+TanxCosx = Q x+0 g " ( x ) x+0 1

L = e ° = 1

r m i ü m x l n ( e X - 1)x+0

\ o(ución. En e s t e c a s o e l l í m i t e t o ma l a f o rm a i n d t er m i n a d a 0 o

1

S e a y = x l n ( e X ‘ 1 ) + l n ( y ) . - — Í S £ -----

l n ( e x - 1 )

' l i m l n ( y ) = l i m — i ü í ----- = ^x+0 x+0 I n ( e x - 1 )

- l nD -i m ( y ) ] = l im = ü m - I / * - = l i m . e L d . ¿ 2

x + 0 x + 0 g ! ( x ) x + 0 e x + 0 x e x

e x - 1

• l n ( L ) = l i m = l i m ■— S ? - = l i m ( - L ) = 1x +0 g " ( x ) x+0 xe + e x+0

l n ( L ) = 1 «-*• L = e

l i m ( i ) T a n x

x+0 x

vp¿ución. E l l í m i t e t o ma l a f o r ma i n d t e r m i n a d a : o»0

-x

S e a : y = ( ^ ) T a n x + l n ( y ) = T a n x ( l n ( - ) )X

A p l i c a n d o n u e v a me n t e l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l o b t e n e m o s :

l n ( L ) = l i m = ~ A Í 9 ) = 0 + L = e° = 1

•x+tt/2 2Co s 2x -2

• w » , . / Se nxvi r H Si l i m ( x )

x+0

So ¿uc ión. E l l í m i t e t om a l a f o rm a i n d e t e rm i n a d a : 0 o

Sea: y = x^enx l n y = S e n x ( l n x )

l n ( 1 / x )+ l i m ( l n y ) = l i mx+0 x+0 Got gx , ”

► l n ( l i m y ) = l i m f ^ = l i m -^l . - 1-Zx- \ = ü m ( ^ ^ ) S e n x = 0

x + 0 x + 0 g ' ( x ) x + 0 - C s c 2 x x + 0 x

l n ( L ) = 0 + L = e ° = 1

, X 4. , M 1 / xl i m ( e + x )

x+0


Solución, E l l í m i t e t o ma l a f o r ma i n d e t e r m i n ad a : 1

S i y = ( e x + x ) 1 / ,x + l n y = ^ l n ( e x + x )

+ ' l im ( l ny ) = l i m ^n.^e . .+x-- = jr x +0 x+0

e x + 1

l n ( l i m y ) = l i a ? = l i m —— Í - Í -x +0 x+0 g ' ( x ) x+0 1

l i oex + 1

= 2

x +0 e + x

l n ( L ) = 2 + L = e 2

x T“ ( Í )1 3 6 2 . l i m ( 2 - $ )

x + a a

Solución, E l l í m i t e t o ma l a f o r m a i n d e t e r m i n a d a : 1°°

T an (— )S i y = ( 2 - f ) 2 a + l n y. = T a n ( | f ) . l n ( 2 - | )

+ l i m ( l n y ) = l i a - n ^2 ^x+ a x + a C o t g ( | - | )

+ l n ( l i m y ) = l i m ~ — = l i m

- -.1 / y2 - x / a = 1 im

2 a S e n 2 ( ^ ~ )

x + a x +a g ' ( x ) x +a - ^ C o s e c 2 ( ^ | ) x + a ? r(2 a - x )

l n ( L ) L = e 2/7t

ts m i im <1 + ~ ) xX + “ > X 2

o

Solución, E l l i m i t e t o m a l a f o r m a i n d e t e r m i n a d a : 1

S i y = (1 + — ) x + l n y = x l n ( 1 + — )

+ l i m ( l n y ) = l i m l n ( 1 + I / * 2.),, = 2

•ion 4: Tareas complementarias 595

= l i m r ( 1 + x ) l n ( 1+ x ) - x 1 = fi X->0 L x2 J

f 1 ( x) = l i m ( H x ) ( 1+ ^) + l n ( 1 + x ) ' 1 = l i n l n ( 1+x) = 0* L = l im

x +0 g ' ( x ) x +0 2 x x+0 2 x

» L = l i m ,f . ''.Lx 2 = l i r a. - l Í 2 L = l i m -----1------- = -1

x +0 g " ( x ) x +0 2 x +0 2 ( 1 +x )

C om pr ob ar q ue l i m e x i s t e , p e r o n o e s s u s c e p t i b l ex+oo x + S e n x

d e s e r c a l c u l a d o d e a cu e r d o c on l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l .

i omp/iotación. En e f e c t o , e v a lu a m o s e l l í m i t e d i v i d i e n d o e n nume

r a d o r y d e n o m i n a d o r e n t r e x ... Senx

,, = l i n . , x _ = i _ i _ 2 = t

X +oo 1 + 1 + 0X

A p l ic a n do l a r e g l a d e L * H o s p i t a l s e t i e n e :

L = l i m = l i m = .IrCosoo

X + o o g ' ( x ) X+o° 1 +Co sx 1 +Co s“

Dado q u e Co s x e [ - 1 , l j , V -xe R, C o s ” n o t i e n e s i g n i f i c a d o , e s t o e s ,

o í l í m i t e L n o t o ma n i n g u n a d e l a s f o r m a s i n d e t e r m i n a d a s c o n o c í

d a s . En c o n s e c u e n c i a , e l l í m i t e e x i s t e ( L = 1 ), p e r o no e s s u s c ep

t i b i e d e s e r c a l c u la d p p o r l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l .

'l /S e a x +0 . D e m o st r a r q u e e - ( 1 + x ) e s u na i n f i n i t e s i m a l de

p r i m e r o r de n r e s p e c t o a x.

De.mo¿í/iación, Debemo s pro ba r que s i L= l im ("e—( 1 +x ) t e n t o n -x +0 L

c e s L = 0 .

En e f e c t o , s e a y = ( l + x ) 1 / /x + l n y = ^ l n ( l + x )x



- 2 / x 3X+oo 1 / x

\ . f ' ( x ) ■1 +1 / x 2 -i.2 xn+ l n ( l i m y ) = l i m -----= l i m -------------- ----- ------ = l i m — — = 0

x+“> X+co g i ( x ) x+°° -1 /> X+oo x 2 + 1

l i

x+0

im n vfl -L-

. *. l n ( L ) = 0 + L = e ° = 1

l n ( 1 + x ) 1 + x

í ]So lución. E l l í m i t e t o m a l a f o r m a i n d e t e r m i n a d a:

x

A p l i c a m o s l í m i t e s en a mb os e x t r e m o s : l i m ( l n y ) = l i m 1 + x )•j x +0 'x +0 x

+ l n ( l i m y ) = l i n — —i —- = l i m - Ü ü = l i m —— = 1 + l im y = ex +0 x +0 g ’ ( x ) x +0 1 x +0 1 +x x +0

. ’ . L = l im e - l im y = e -e = 0x +0 x +0

1369 S e a x +0 . D e mo s t ra r qu e l n ( 1 + x ) - e l n l n ( e + x ) e s u na i n f i n i -


t e s i m a l d e s e gu n d o o rd e n r e s p e c t o a x .

de.mostn.ac.L6n. S e a y = l n ( 1 + x ) - e l n l n ( e + x )

Debemos pro bar que s i L = l im y + L/0

x+0

1+xE n e f e c t o : y = l n ( 1 + x ) - l n [ l n ( 1 + e ) J 6 = l n f --------X -—1

Un(e+x)eJ

+ L = l im y = l im l n .x +0 x+0 L l n í e + x )[ l n ( e + x ) e ] ~ l n [ l n ( e ) e]

l n e "

L = -1 fí 0

L a t a n g e n t e t r a z a d a e n e l p u n t o A a u n a c i r c u n f e r e n c i a d e

r a d i o r ( v é a s e l a f i g . 3 4 ) l l e v a m ar c ad o un s e gm e n t o AN c u

y a l o n g i t u d e s i g u a l a l a d e l a r co AM. L a r e c t a MN c o r t a l a p r o

l o n g a c i ó n d e l d i á m e t r o AO e n e l p u n t o B . C o m pr o b ar q u e :

OB = r ( a C o s a - S e n o ) d o nd e a e s l a m e d i d a e n r a d i a n e s d e l á n g u l o S e n a - a *

c e n t r a l c o r r e s p o n d i e n t e a l a r c o AM, y m o s t r a r q u e l i m OB = 2 r .a+0

Compn.oí.acl6n. En e fe ct o , ABAN - ABPM

(1 )

PM = r S e n a

AN = AB PM PB

AN = AM = ra

ÂB = r + ÔB

AB = OB + OP = OB + rC o sa

ra r + OBL u e g o , e n ( 1 ) :

de do nde : OB

rSe na OB + rCo sa

TTj. _ r( aC os a- Se na )S e n a - a

2 rP r o b a r e m o s a h o r a q u e l i m OB a+0

En e f e c t o , s i f ( a ) = a C o sa - S e na f (0 ) = 0

F i g u r a 3 4

■•a 'ión 4: Tareas com pleme ntarias 597

4.3 VARIACIÓN ASINTÓTICA DE LAS FUNCIONES Y ASÍNTOTAS DE LAS LINEAS

S i u n p u n t o P ( x , y ) s e d e s p l a z a c o n t i n u a m e n t e p o r u na c u r v a y = f ( x ) d e t a l f o r m a q u e l a d i s t a n

f i a 6 e n t r e u n a r e c t a L y e l p u n t o P t i e n d e a c e r o , m i e n t r a s q u e

■I p u n to P t i e n d e a l i n f i n i t o , e s t a r e c t a r e c i b e e l n o mb re de a-

\t.ntota d e l a c u r v a ( F i g u r a 4 . 2 2 )

E nt r e l a s a s í n t o t a s s e d i s t i n g u e n ,

l as a s í n t o t a s v e r t i c a l e s , h o r i z on

t a l e s y o b l i c u a s

c s m i L a r e c t a x = a e s u n a

asíntota ue/iticaí

le l a c u r v a y = f ( x ) s i e x i s t e e l n úme

i -o ta l que se cumple uno de lo s enun

r i a d o s s i g u i e n t e s :

n) l i m f ( x ) = «ox+ a

b) l i m + f ( x ) x+ a

c ) l i m f ( x ) x + a “

F i g u r a 2 2

+oo (ó -«>)

- » ( ó +00)

Un l a f i g u r a 4 . 23 ' s e m u e s tr a n a l g u n as d e l a s a l t e r n a t i v a s p a r a

q ue l a r e c t a x =a s e a un a a s í n t o t a v e r t i c a l a l a c u r va y = f ( x ) .

, ( )

g ( a ) = S e n a - a +

)

:(o) = o

l im OB = l im- a+0 a+0 g 1 ( a )

l i ma+0

r ( - a S e n a + C o s a- C o s a)

Cosa - 1= l im

a+0

r ( a S e n a )

1 - C o s a

. f " ( a ) . . r ( a C o' sa +' Se f ia ) 0lxm OB = lim -i— - = l im — ------------ - -------------- = q-a+0 a+0 g"( a ) a+0 Sena

l i m OB = l i m f ' " ( a ) = l i m r ( - a S e n a + C o s a +C o s a ) r ( 0 + 1+ 1 ) = 2r

a+0 a+0 g " ' ( a ) a+0 Cosa

F i g u r a 4 . 2 3


L a r e c t a y = b e s u n a asíntota ho/iizontat d e l a

c u r v a y = f ( x ) s i e x i s t e u n n úm er o b t a l q u e s é

c u m p l e u n o d e l o s e n u n c i a d o s s i g u i e n t e s :

a ) l i m f ( x ) b ) l i m f ( x ) = b c ) l i m f ( x ) = b x-*--“

L a f i g u r a í.2 ¿ m u e s tr a d os a l t e r n a t i v a s p a r a q ue l a r e c t a y - b

s e a un a a s í n t o t a h o r i z o n t a l a l a c u r v a y = f ( x ) .

L a r e c t a L : y = k x + b e s u n a asíntota olticua a l a

c ur va y = f ( x ) , s i e x i s t e n l o s l í m i t e s :

k = l i m y b = l i m [ f ( x ) - k x ]X-*-+» X X-*-+“>

En e s t e c a s o s e d i c e q u e l a r e c t a L e s u n a a s í n t o t a o b l i c u a a l a

d e r e c h a de l a c u r v a y = f ( x ) .

S i e x i s te n l o s l í m i t e s :

f y b j = l i m [ f ( x ) - k i x ]ki = l imx-*--“X + - ” X

l a r e c t a L : y = ki x +b i e s u na a s í n t o t a o b l i c u a a l a i z q u i e r d a de l a

c u r v a y = f ( x ) .

Sección 4: Tareas complementarías 599

.Vo(ución. E n . e f e c t o , d i v i d i e n d o c a d a t é r m i n o d e l n u me r ad o r e n

t r e e l d e n o m i n a d o r s e t i e n e : y = 2 x +1 + — x 3

. " . o g ú n l a d e f i n i c i ó n i. 1.2 , c u a nd o l a d i s t a n c i a e n t r é u n p u n to P

ilo l a l í n e a y l a a s í n t o t a L, t i e n d e a c e r o , e n t o n c e s e l p u nt o P

t i e n d e a i n f i n i t o , e s t o e s , c u an d o x+°° ', e n t o n c e s ( 1 / x 3 ) 0

P or t a n t o , y =2 x +1 e s u na a s í n t o t a d e l a c u r v a d ad a .

P a r t i e n d o d e l a d e f i n i c i ó n , c o mp r o ba r q u e l a r e c t a L : x +y = 0

e s u na a s í n t o t a d e l a l í n e a : x 2 y + a y 2 = 1.

Soíución. En e f e c t o , d e s p e j a n d o y = f ( x ) s e t i e n e :

v - 2 + A x i 2 4. 1y - - 2 - + -

l’ ar a v a l o r e s d e x s u f i c i e n t e m e n t e g r a n d e s , e s t o . e s , c u an d o x+<»,

" t i t o n c e s , 1 / x + O

Luego, y = - | ± | -w- y —Oó y= -x

La r e c t a y = 0e s ' u n a a s í n t o t a h o r i z o n t a l , e n t o n c e s L: x +y =0 e s l a

a s í n t o t a o b l i c u a .

D e m o st r a r q u e l a s l í n e a s y = 3/ x 3 + 3 x 2 e y= ^ s e ap rox ima n

. a s into t icamente cuando x -*±a>

ilemost/iac ión. D e be m os p r o b a r q u e a mb as c u r v a s t i e n e n l a m i sm a a

s í n t o t a c u a n d o x+t00

Ln e f e c t o , s e a L i : y = k i x + b i l a a s í n t o t a d e l a p r i m e r a c u r va .

> k a = l i m ± M = l im i inl «l / T 7 T

X + ± ° o X x + i “ X X -* - ±" x

Obs ér ves e que c uando x-*-+“> ó x->--°° , e nt on ce s, — -*■ O

Ln c o n s e c u e n c i a k j =1

b i = l i m [ f ( x ) - k i x j = l i m [ 3 Á3+3x 2-iJ¡ x+i” x->±»

1373

1372

y ( )

PROBLEMAS RESUELTOS

P a r t i e n d o d i r e c t a m e n t e d e l a d e f i n i c i ó n , c om pr o ba r q ue l a/ / 2x "f -1

r e c t a L : y= 2x + 1 e s u na a s í n t o t a d e l a l i n e a y --------------------

M u l t i p l i c a n d o y d i v i d i e n d o p o r e l f a c t o r r a c i o n a l i z a n t e a 2+ab+b2

' b t e n e m o s : b i = l i m ______________ __________________

X+±” V ,(x 3 + 3x 2)2+x . 3/x 3+3 x 2+x 2

í 1va luando e l l í m i t e cuando x++» ó x-*--» , obtene mos: bj = 1

L i :y= x+1

:'na L2 : y = k 2x + b 2 l a a s í n t o t a d e l a s e g u n d a c g r v a .


E n t o n c e s : k 2 = l im £ ^ = l im —- — = 1X+±°° X X21

b 2 = l i m [ f ( x ) - k 2 xj = l i m ( — — - x ) = l i m (3^ ) = "•

X + ± “ > X + ± ° ° X - 1 X + í 00

L u e g o : L2 :y=x+1

Dado que L i =L2 , queda demostrado que ambas curvas se aprox iman

a s i n t o t i c a m e n t e c u an d o x+ ±“=

1 3 7 4. D e m o st r a r q u e l a s f u n c i o n e s f ( x ) = / x s + 2 x ,' + 7 x 2 + 1 y g ( x ) = x 3+x

s o n e q u i v a l e n t e s a s i n t o t i c a m e n t e c u a n d o x + ° ° . V a l i é n d o s e d e

e s t a c i r c u n s t a n c i a c a l c u l a r a p r o xi m ad a me n te f ( 1 1 5 ) y f ( 1 2 0 ) . C ua l

s e r í a e l e r r o r s i p u si é r am o s f ( 1 0 0 ) = g ( 1 0 0 )?

de.mo¿t/iación, D os f u n c i o n e s s e d i c e q ue s o n e q u i v a l e n t e s a s i n t ó -f ( x )

t i c a m e n t e , s i l i m ------- - , en to nc es L = 1X+oo g ( x )

„ x T , . / x s + 2 x“+ 7 x2 +1 _ / l + 2 / x 2 + 7 / x l, + 1 /x 6 . ,E n e f e c t o : L = l i m ---------------------------- --- l i m --------------------------------------- i

X+“> x 3 +x X+001+1 / x

P or t a n t o , f ( x ) = g ( x ) .

f (115) = g(115) = (115)3 + 115 = 1520875 +115= 1520990

f(120) = g( 120) = (120)3+120 = 1728000 +120« 172812Q

f(ioo) = /l 0l2+2(10)8+7(10)9+1 = 1000100.03

g(100) = 106 + 100 = 1000,100

P or t a n t o , e l e r r o r - e s : h = f ( 1 0 Í ) - g ( 1 0 0) = 0 . 0 3

V En l o s e j e r c i c i o s 13751391 h a l l a r l a s a s í n t o t a s de l a s l í n e a s d a d a s .

2„ 2 =0 2>,2b x -a y =a b

Solución., D e s p e j a n d o y = f ( x ) s e t i e n e : y = ± — / x 2 - a 2


_ b -, j ( x 2 - a 2 ) - x 2 b . -a~ b 2 - — l im " j — • - - — l i m ■■ — 1 1 = 0

xa x++œ / x 2 - a 2 +, x a x++°° / x 2 - a 2 +

• t . b•• Lj:y = -x

A n á l o g a m e n t e , p a r a y = - - a 2 , c u a n d o x +- <» , o b t e n e m o s r

^2 = - 7 y b 2 = 0 L 2 : y = - ^ x

xy = a

So ¿ución. S i x y = a -*■ f ( x ) = ^

P or s i m p l e i n s p e c c i ó n s e t i e n e :

1) l i m f ( x ) = e n t o n c e s : x =0 e s u na a s í n t o t a v e r t i c a l x +0

!■) l i m f (x ) = 0 , e n t o n c e s : y =0 e s u na a s í n t o t a h o r i z o n t a l X +c o

c ) La g r á f i c a d e l a e c u a c i ó n no t i e n e a s í n t o t a s o b l i c u a s .

1m u y = —

x 2 - 4 x + 5

Solución. P or s i m p l e i n s p e c c i ó n s e t i e n e :

a) x 2 - 4.x +5¡^0 , e n t o n c e s , l a c u r v a n o t i e n e a -

s í n t o t a s v e r t i c a l e s .-j

b) l i m f ( x ) = — = 0 + y =0 e s u na a s í n t o t a h o r i z o n t a lx+“>

c ) La c u r v a no t i e n e a s í n t o t a s o b l i c u a s

„ 3IKM J y = c +

( x - b ) 2

So ¿ación. P or s i m p l e i n s p e c c i ó n s e t i e n e :

a ) l i m f (x ) = c + •§ = 00 x = b e s u na A . V e r t .x +b



, p j y ( ) y

P or s i m pl e i n s p e c c i ó n , l a c u r v a no t i e n e a s í n

t o t a s v e r t i c a l e s n i h o r i z o n t a l e s . ______

S e a L i : y = k i x + b i l a a s í n t o t a o b l i c u a d e r e c h a d e y = / x 2 - a 2

. . . . f (x) b , . V x 2 - a 2 _ b/^-, _ bE n t o n c e s : k i = l i m — i— - = — l i m -------------- - ' - ~

x++«> x x++°° x

b i = l i m [ f ( x ) - k 1x j = ¿ li m f / x 2 - a 2 - xl

x++°° a X++"

l>) l i m f ( x ) = c + ^ = c + y = c e s u na a s í n t o t a h o r i z o n t a lx+«°

■) L a c u r v a n o t i e n e a s í n t o t a s o b l i c u a s .

( J £ £ J 2 y ( x + 1 ) 2 = x 3

So¿ación. S e a f ( x )

2(x+1 )2i) l i m f(x) = ra >■ x+1=0 e s u na a s í n t o t a v e r t i c a l .

x+-1


b ) l i m f ( x ) = l a cu r va n o t i e n e a s í n t o t a s h o r i z o n t a l e s x-*-“

c ) A s í n t o t a s o b l i c u a s : y = k x + b (1 )

k = l i m - i - i = l i m -------- — ------ = ix -»-00 x x + " 2 x ( x + 1 ) 2

b = l i m [ f ( x ) - k x ] = l i m ----- - ----- - 4 x 1 ■ = 4 l i m — -2x..~+-x) =x-»-“ x +CD 2 ( x + 1 ) 2 x-*-«> x 2 +2 x +1

■1

L u e g o , e n ( 1 ) : y = • j x - 1

^ [ 2 3 y 3 = a 3- x 3

So ¿ación. S e a : f ( x ) = 3i / a 3- x 3

P o r s i m p l e i n s p e c c i ó n v e m o s q u e l a c u r v a n o

t i e n e a s í n t o t a s v e r t i c a l e s n i h o r i z o n t a le s ,

c ) A s í n t o t a s o b l i c u a s : y = k x + b ( 1 )

k = l i m l M = l im 3 / * 3- x 3 = - 1

X*03 X X**00 V 3

b = l i m [ f ( x ) - k x j = l i m f"3/ a 3- x 3 + xl X-í -oo x - h x ,

= l i m - .... — ‘j.— -----------------------------------------/" ------- -------------- = 0

x-*-“ 3/ ( a 3 - x 3 ) 2 - x . 3/ a 3 - x 3 + x 2

L u e g o, e n ( 1 ) : y = - x *-*■ L : x + y = 0

So íución. S e a f ( x ) = 3i/ 6 x 2 + x 3

P o r s i m p l e i n s p e c c i ó n v e m o s q u e l a c u rv a , n o

t i e n e a s í n t o t a s v e r t i c a l e s n i h o r i z o n t a l e s ,

c ) A s í n t o t a s o b l i c u a s : y = k x + b (1)

. 3, , . f(x) . 3/6x2+s

Vn t 'ión 4: Tareas complementarias 603

>¿ución. D e s p e j an d o y = f ( x ) s e t i e n e : y = ±

o) Como x 2+1 ¿ 0 , l a c u rv a no t i e n e a s í n t o t a s v e r t i c a l e s ,

ti) l im f ( x ) = ± »>, l a c u r v a n o t i e n e a s í n t o t a s h o r i z o n t a l e s .X-MO

■ ■) A s í n t o t a s o b l i c u a s : L i : y = k i x + b i , L 2 : y = k 2 X+ b2 (1)

k i = l i m J Ü i i l = l i mX++» x X++oo ' X

J S Z . ,' x > t 1

. ___ • .

k 2 = l i m - l í ü i = l i m - = -1

X-*-” X X+ -“> * x2+ 1

b i = l i m |f(x)-kx| = l i m |x J* - xl X->- +00 + °° * X 2 + 1 •

= l i m [ 7 = — y=£= ------7- — 1 = o

x-*-+°°|_/x2 + 1(/x2-1 + / x2+ 1)JA n á l o g a m e n t e , p a r a b 2 = l i m [f(x) + xj , o b t e n e m o s : b 2 = 0

X+-00

P o r t a n t o , e n (1): Lj: y-x =0 , L 2 :y+x=0

x y 2 +x2y = a 3

Solución. D e s p e j an d o y = f ( x ) s e t i e n e : y = — — ± x2 x

a ) l i m f ( x ) = “ , e n t o n c e s x =0 e s u na a s í n t o t a v e r t i c a l x+ 0

b ) l i m f ( x ) = 0 y =0 e s u na a s í n t o t a h o r i z o n t a l . x -h»

c ) B u s ca r em o s l a a s í n t o t a o b l i c u a p a r t i e n d o d i r e c t a m e n t e d e l a

d e f i n i c i ó n d e a s í n t o t a , e s t o e s : y = - ± J ( ^ ) 2 +

Cuando x-*°>, e nt on ce s a 3 /x -*■ 0 , p or lo que:

, , . f(x) . 3/6x2+sk = l i m — -— — - l i m ----------

x*°° x x*°° X 3

b = l i m [f(x)kx[l = l i m f 3 i / 6 x 2 + x 3 - xjx**> x-**>

= l i m .... _ ...6 x 2................................ ...........■.--------------- = 2

x>o¡> 3/(6x2+x3)2 + x. 3/ox2+x3 + x2

L u e g o , en ( 1 ) : y=x+2

1382 y 2 ( x 2 + 1 ) = x 2 ( x 2 - 1 )

x i ' x „ /y = ' 2 2y = 0 0 y = _x

L ue go , l a a s í n t o t a o b l i c u a e s L :x +y =0

y ( x 2 - 3 bx +2 b2) = x 3 - 3 a x 2+ a 3

So¿ación. D e s p e j an d o y = f ( x ) s e t i e n e : y _ x 3 - 2 a x 2 + a 3

( x - b ) ( x - 2 b)

a ) P or s i m p l e i n s p e c c i ó n : x =b y x =2 b so n a s í n t o t a s v e r t i c a l e s .


b) lim f(x) = n + la curva no tiene asíntotas horizontales,xwo

c) Asíntotas oblicuas: L:y = kx+b (1)

, • f(x) _ x ’3ax2 + a 3 _ 1

k = lim — — - = lim ------------ ix+“> x x+o° x33bxz+2b2x

b = lim |f(x)kx| = lim J~— 3ax..+ a~ xlx+°o x+°o “x2 bx+2b2 I

= lim p( b a) x23b2x+a31 = 3(b_a)

x+oo L x23bx+2b2 I

Luego, en (1): L : y=x+3(ba)

(y+x+1)2 = x2+1

So ¿ución. Desarrollando el cuadradoobtenemos:

y z+2xy+2x+2y=0 + x = y +y 2 ( y +1 )

a) lim f(y) = 00 +y+1=0 es una asíntota horizontal.y+_1

b) lim f(y) = “ + la curva no tiene asíntota vertical.

y*“

c) Asíntota oblicua: L:x=ky+b (1)

'2'l2y\ _ _2k = lim iSll = lim ( J±t 5Z ) = l

y+“ y y*002y2+2y

b = lim [f(y)ky] = lim (..y ~t._y + iy) = lim (— L)y-x» y-x» 2y +2 y*00y+1

Luego, en (1): Líx = ¿y i <*■ L:2x+y+1=0

J U J 3 y = xln (e +

1Solución. a) y “ cuando e + — + 0 + x = 1/e es una

asíntota vertical de la curva

Vi i i ión 4: Tareas complementarias 605

b = lim ¿Lü¿ = llB (— S ) = 1x+a> g ' (X) x+" e + —

l.tiugo, en (1): y = x + ■**■L:exey+1=0

y = xe2,/x+1

S o l u c i ó n . a) lim f(x) = lim (xe2//x+1) = O.°o + 1x+0 x+0

+ lim f(x) = lim(2L+ 1) = lim j~e ^ (2/x2)~j _ lim 202/xx+0 x+0 1/x x+0 L 1/x2 J x+0

lim f(x) = 00 , entonces x=0 es unaasíntota vertical.x+0

i') lim f(x) = 00 , la curva no tiene asintotas horizontales.X+oo

■ •) Asíntotas oblicuas: y=kx+b (1)

, • f(x) , . /xe2/ x+1»k = lxm — i— . = lim (-------) = — X + o o x X+“ X

Aplicando la regla de L'Hospital obtenemos:

k = lim e2/>x( + 1) = e°(0+1) = 1x+°° x 2/x

b = lim [f(x)kxj = lim [xe2^x+1x] = lim ( ---iJ) + lim (1)x+oo X+°o X + o o 1/x x+°°

= lim + 1 = lim 2e2/,x + 1 = 2+1= 3X+°° 1/x2 X+oo

l.uegó, en (1): L: y=x+3

y = xarcSecx

Solución. Por simple inspección vemos que la curva no

tiene asíntotas verticales ni horizontales.

■O Asíntota oblicua: y=kx+b

asíntota vertical de la curva.

b) lim f(x) = a> + la curva no tiene asíntota horizontal.x+0

c) Asíntota oblicua: y=kx+b (1)

k = lim = lim ln(e + j) = lne = 1x+°° x x+°° _ i

r 1 i finCe + ) llb = lim ff(x)kxl = lim ¡xln(e + — )x = lim ----- -------

X + o o X + 0 0 X + ' ° ■ - 1/x -*

k = lim SJjí] = lim (arcSecx) = ^x+°° x x+"

b = lim [f(x)kxj = lim [xarcSecx ^x3 = lim f~.rcSe cx..~ ïï/21X+oo X+“ X+“> 1/x

Aplicando la regla de L'Hospital obtenemos:

b = lim ( = = ) = 1x+" /x21

líiiego, en (1): L:2y=irx2


| £ g Q y = 2x+arcTan( )

So ¿ación. La curva no tiene asíntotas verticales ni hori

zontales.

c) Asintotas oblicuas: y=kx+b (1)

k = lim li il = lim (2x+areTan(x/2)} =

X^“ X X+“> X2

Aplicando la regla de L'Hospital obtenemos: k = lim (2 + ----)x+“ 4+x2

> 2Obsérvese que cuando x>±a> , k = 2 + — = 2

b = lim £f(x),kx] = lim r2x+arcTan($)2xl = lim [arcTan ($)"]X»co XHo S x+“>

Aquí se observa que, cuando x+±°° , entonces, b= tt/2

Luego, en (1), hay dos asíntotas oblicuas: y = 2x ± ir/2

n t l i y = xí(x) + x > ¿onde f(x) es un polinomio, (f(x)^0)f(x)

So ¿ución. Sea f(x) = a0xn+aixn_^+ ... + aR , de grado n>1

a) Dado que f(x)/0, la curva no'tiene asínto-

tas verticales.

, \ . xf(x) + x ... / , x \b) lim y = lim ■— — - = lim (x + --------) = <=°

x+a» x+“> f (x) x+°°f (x)

La curva no tiene asíntotas horizontales.

c) Asíntotas oblicuas: y=kx+b (1)

k = lim = lim (1Í2SÍ_LJ) = lim (1 + — )

X*” X x+°° f.(x) X+“ f(x)Cuando x+0, entonces f(x) *■ °° , luego, k=1

b =’lim ¡F(x)kx] = lim xl = lim ("— — 1X+“ X+«> L f (x) J x+°> L f (X) J

Como el grado de f(x) es n>1 + b=0

ii i i'ión 4: Tareas complementarias 607

,i la ecuación de la asíntota es y=kx+b , se tiene:

limg(t) , b = lim |"g(t)kf(t)l

4V+ _ *t+to f(t) t+to

'’unió sepodrían hallar las asíntotas paralelas a los ejes coorde

nudos?

mostración. En efecto, sea y=F(x) la ecuación de la curva don

de x=f(t) e y=g(t), y L:y=kx+b , la ecuación de

I>i asíntota.

I’ur definición de asíntota:

í = lim PQ = 0x+°° _

(1 )

Kn el APQN : PN = ES-CO sa

(2 )Ent onc es : l im P1J = l im —ES— = 0 x+oo x+«> C os a

l’oro : PN = PR - NR = y - y i= F ( x ) - ( k x+ b )

:'egún (2) : l i m £f ( x ) - ( k x + b ) ] = 0 ( 3 ) / j

f n xpiiD k . ¿i oX+oo L x -I

T u e s t o qu e x+° °, o ' s e a f ( t ) - * » ( c u a n do t + t 0 , d e b e c u m p l i r s e l a i -

f ; u a l d a d : l i m fg(t) - k - b l = 0 + lim klLf(t) f(t)J t+t 0 f ( t ) -1

Kntonces, para que k/0, deben existir simultáneamente:

lim g(t)t+to

Por tanto, de (¿): 1 lim

y lim f(t)t+t o

(t) (5 )t+to f(t)

y de (3): b = lim [g (t)kf (t)]t+to

Para que k no esté definida (k=“>) es necesario, en (5), que:

Luego, en (1): y=x

toVV* Una línea es dada paramétricamente por las ecuaciones

x=f(t), y=g(t). Demostrar que las asíntotas no paralelas

a los ejes coordenados pueden existir sólo cuando para los valo-

res de t=t0, .existen simultáneamente:

lim f(t) = “> y lim g(t) = °°t+t 0 t+t 0

lim f(t) = a y lim g(t) = «>t+t0 t+t0

entonces, x=a es una asíntota vertical.

y para que k=0, es necesario, en (5), que:

lim f(t) = “> y lim g(t) = bt+to t+to

ontonces, y=b es una asíntota horizontal.

I

608 _________ Capítulo 4: Análisis de las Funciones

C M & I Hallar las asíntotas de la línea: x=1/t , y ^ ^

Solución. Sean f(t) = y g(t) =

Por simple inspección vemos que las variables

x e y nó están definidas en los puntos t=0 y t=1, respectivamen

te, entonces:

a) lim g(t) = °° , lim f(t) = 1 + x=1 es una asíntota vert.= t+1 t+1

b); lim f(t) = «o , lim g(t) = 0 + y=0 es una asíntota horizontalt+0 t+0

c) No existen asíntotas oblicuas porque no existe un valor de t

tal que: lim f(t) = <*» y ITín g(t) = “>, simultáneamente,t+to t+t0

2 t tetHallar las asíntotas de las líneas x = j— ^ , y = ^

Solución. En este caso no existen asíntotas verticalesni horizontales, ya que x+“> e y+°° cuando t = 1,


k = limlÍÜ = lim— 2 = \ t+1 f(t) t+1 2e

b = lim [g (t)kf (t)J = lim 4 (|^)1 = lit+1 t+1 Lt1 ¿ 1 J t+1

Luego, en (1): y = gx + e

tim e = e

Hallar las asíntotas de la línea: x = --- , y = ----f 1-t2 1-t2

Solución. En este caso tampoco existen asíntotas verticales y horizontales, ya que x+<» e y+«> cuando

t=1 ó t=-1.


kj =lim MJJJ = lim-Í— = 4 ! k2 = lim JLÍÍI = lim (4) = - 4

Vi. i ion 4: Tareas complementarias 609

fETEl Hallar las asíntotas del folio de Descartes: x = ,

1+t3

Solución. En este caso no existen asíntotas verticalesni horizontales, ya que x+”° para t=1,

i) Asíntotas oblicuas: y=kx+b (1)

k = lim ® = lim (¿SÍ) = lim (t)=1t+1 x t+1 3at t+1

b = lim (ykx) = lim (¿2¿ + = lim () = at+1 t+1 1+t5 1+t3 t+1 1t+t2

Luego, en (1): L:x+y+a=0

_____ f "b8 3KrP/3 Hallar las asíntotas de la línea: x = "

t24 t(t24)

So ¿unión. a) Obsérvese que en este caso sólo y+«> cuandot+0. Entonces: lim f(t) = lim ■ = 2

t+0 t+0 t24

Luego, x=2 es una asíntota vertical.

b) Dado que x+“> e y+“> para t=±2 , no existen asíntotas horizont.

c) Asíntotas oblicuas: Li:y=kix+bi , L2:y=k2x+b2

ki = lim (í) = lim 3 = x ” / t+2 x t+2 t(t8) 4

k2 = lim (Z.) = lim f - _3

t+2! x t+ 2 t(t8)

bj = lim (ykix) = lim r — 3

t+2 t+2 L t(t24)

b2 = lim (yk2x) =I

lim r- 3

t+Z t+2 Lt(t2 4)

de donde: b2=9/40

L (1 1

2 — l-4)J

t4= lim ---- — t+2 4t(t+2)

8) T , . — = lim¿)J t+t(t24) 20(t 24)J t+2 20t(t2)

2* + 2

kj = lim MJJJ = lim Í = 4 ! k2 = lim JLÍÍI = lim (4) = 4t+1 f(t) t+1 2t ¿ t+-1 f(t) t+-1 ¿

bi = lim [g(t)-kf(t)l = lim f-— — - — — ■*]= lim {- -vtt) = - 4t+1 J t+1 Ll-t2 1-t2J t+1 1 ¿

b2.= lim — + — — 1= ü m ( rr)' = - 4 t+-i u- t2 i-t2J t+-i l-t ¿

Luego , en (1): L l : x - 2 y - 1 = 0 ó L 2 :x+2y+1=0

Luego, en (1 ): y = ■4X " 8 f y

++ Lj:2x+ 8y+ 1 =0 ó L2 ■ 6x

2* + 220 40


4.4 ANÁLISIS GENERAL DE LAS FUNCIONES Y DE LAS LINEAS

El análisis general de las funciones y de las líneas se reduce

geralmente a la determinación de los siguientes elementos.

(1) Limites de variación de la variable x: existencia de la cur-

va y simetrías. Se estudia el dominio de la función o línea;

su simetría, si la curva es o no pz/iiódica , es decir, si se

cumple que f(x+T)=f(x). Si la función o linea es pan., es de-

cir, si f(x)=f(x), su gráfica es simétrica al eje de ordena

das. Si la función o línea es impan, , es decir, si f(x)=

f(x), su gráfica es simétrica respecto a origen de coordena*

das..

(2) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

(3) Puntos de intersección con los ejes coordenados.

(4) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

o línea.

(5) Los puntos del máximo y del' mínimo, así como los valores m á-

ximos y mínimos de la función.

(6) Los dominios de concavidad y convexidad de la gráfica y los

puntos de inflexión.

(7) Posición de la curva con relación a las asíntotas.

PROBLEMAS RESUELTOS

En los ejercicios 13981464 sfectuar un análisis exhaustivo de

las funciones que se indican y trazar sus gráficas.

Sección 4: Tareas complementariás 611

(2) lim f(x) 0 , entonces, y=0 es una asíntota horizontal.X+oo

(3) Para x=0 + y=0 , la curva pasa por el origen.

(4) f( x) = 111*)(>* )(1+x2)2

Las raíces de f ’(x)=0 son: x=1 y x=1

Como (1+x2)2>0, ¥xeR, el signo de f'(x) lo determina el pr o-

ducto (1+x)(1x), esto es:

Si x e < - ° o , - 1 > + f'(x)<0 ,f es decreciente

xe<1,1> + f'(x)>0 ,f es creciente

xe< 1,+«» + f'(x)<0 ,f es decreciente

(5) En x=1 , la función pasa por un mínimo y en x=1, por un má-

ximo. Esto es: y(min) = f(1) = 1/2 ; y(max)=f(1)=1/2

(6) f"(x) = M ? 23)

(1+x2)3Las raíces de f"(x)=0 son: x=0 , x = ~/3 x-/l

Puesto que (1+x2)3>0 , ¥xeR, el signo de' f" (x) lo determina

el producto: x(x+/J) (x/3)

Si xe<o°,/3> + f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajo

xe</5,0> + f" (x) > 0 , f es cóncava hacia arriba

xe<0,/3> + f" (x) < 0 , f es cóncava hacia abajo

xe</3,+“> + f"(x) > ,0 , f es cóncava hacia arriba

Luego, existen tres puntos y*

de inflexión:

1+x2

Solución. (1) La función está definida por todas partes, es de-

cir, Dom(f)=R.

Siendo f(x)=f(x) la gráfica es simétrica respecto al origen.

N 0lición. (1) La función está definida en todas partes, excepto

para los valores x=±1. Dom(f)=R{ 1,1). La función

es par, pues, f(x)=f(x), la gráfica de f es simétrica respe_c

to del eje Y.

(2) lim f(x) = “ + x=1 y x=1 son asíntotas verticalesx+±1lim f(x) =0 + y=0 es una asíntota horizontal.X+ oo


(3) Intersecciones con el eje Y: Si x=0 y1 A(0,1)

U) f*(x) =2x

(D

x=0

(1x‘

Si f '(x)=0

Si f'(x)=“> ♦ x=±1 t Dom(f) ; x = 1 y x=1 no son puntos crí

ticos. Como (1x2)2>0, ¥xeR{1, 1}, el signo de f'(x), en el

entorno de x=0, lo determina el numerador de (1), esto es:

f'(x)

f'(x)

< 0 , f es decreciente

> 0 , f es creciente

X£<'°,1>U<1,0>

xe<0,1>0<1,+“>

(5) Por el criterio de la primera derivada, en x=0 la función pa

sa por un mínimo: y(min)=f(0)=1

(6) f„(x) = ii 3x !±n(1x2)

Puesto que f"(x)/0 , la curva no tiene puntos de inflexión.

Si xe<«=,1> *• f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajox e < - 1 , 1 > ■* f" (x) > 0 , f es cóncava hacia arriba

xe<1,+°°> f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajo

(7) Para ubicar laposición de la curva con relación a las asín-

totas, analicemos el signo dej

la función y = ---------- , en los(1+x)(1x)

entornos de x=1 y x=1

Si x<1 + y<0

x>1 y<0

En ambos casos la curva está deba

jo del eje X, a la izquierda de

x=1 y a la derecha de x=1, simé-

tricamente respecto del eje Y.

Si 1<x<1 *■ y>0 . La' curva se ex-

tiende sobre el eje X, arriba de


para los valores: x=±1 . Como f(x)=f(x), la gráfica de la fun-

ción es simétrica respecto del origen.

(2) lim f(x) = 00 *■ x = 1 y x = 1 son asíntotas verticales.x+±1

lim f(x) = 0 * y=0 es una asíntota horizontalXH»

(3) Si x=0 ■* y=0 , la curva pasa por el origen.

U) f.(x) = (x21)2

f 1(x) / 0 , la gráfica de la función no tiene extremos.

Además, f ’(x)<0 , VxeR{1,1}, es decir, la función es decre

ciente en todo su dominio.

(5) La función no tiene máximos ni mínimos.

(6) f"(x) 4x(x2+2) _ , Ax{x2 +2)t2+2)

(x 21) 3 (x+1)3 (x1)3(1 )

xe<-<», _ -]>

La raiz de f"(x)=0 es x=0, y la de f"(x)=°° , son x=1 y x = 1Luego, los intervalos de concavidad son:

<®,1> , <1, 0> , <0,1> , < 1 , +oo>

Anlicemos el signo de los factores de (1) en estosintervalos

f"(x) = — jlil = () , f es cóncava hacia abajo

xe<1»0> + f"(x) = —— — — — = ( + ) , f es cóncava hacia arriba• (+)()

x e < 0 , 1 > f" (x) = lliLtl = () f es cóncava hacia abajo(+)()

xe< 1,+«>> f"(x) = LtlXíl = ( + ) , f es cóncava hacia arriba

(+)(+)Luego, 1(0,0) es un punto de inflexión.

(7) Anali cemos el signo de

y = ----- -----(x+1)(x1)

tiende sobre el eje X, arriba de

A(0,1), simétricamente respecto

del eje Y. Las flechas indican el comportamiento asintótico de

la curva.

x2 1

Sc¿uc.¿6n. (1) La función está definida en todas partes, excepto

(x+1)(x 1)

en los entornos de x=1 y x=1

x<c1 í y<0 0<x<1 + y<0

1<x< 1 ■> y>0 x< 1 > y>0

Obsérvese que para x<1 y 0<x<1 la

gráfica de la función se encuentre

debajo del eje X, y en 1<x<0 y x>1,

arriba del eje X.


y(x1)(x2)(x3) = 1

Solución. (1) f(x) =1

Dom(f)=R{ 1, 2, 3}(x1)(x2)(x3)

(2) Las asíntotas verticales son: x=1 , x=2 y x=3

lim f(x) = 0 *■ y=0 es una asíntota horizontalxn»

(3) Intersección con el eje Y: Si x=0 y = 1/6 *■ A(0,1/6)

3x212x+11 ^

(x1)2(x2)2(x3)2 _____

- 3x 2-12x+11=0 ~ x = 6 W J

(4) f'(x) = •

Si f'(x)=0

de donde: xi=1.42 , x22.58

El signo de f'(x) en los entornos de x=1» x=2 y x=3, lo de-

termina el numerador de (1) : (3x2 12x+1 1)

Si xe<°°,1> + f'(x) < 0 , f es decreciente

xe<1 , 1.42> + f'(x) < 0 , f es decreciente

xe<1 .4 2,2> f'(x) > 0 , f es creciente

xe <2,2.58> f'(x) > 0 , f es creciente

xe<2.58,3> •* f'(x) < 0 , f es decreciente

xe<3,+°°> * f' (x) < 0 , f es decreciente

(5) Por el criterio de la primera derivada, en Xi=1.42 la función

pasa por un mínimo: y(min)=f(1.42)=2.6 , y en X2=2.58, la fun

ción pasa por un máximo: y(max)=f(2.58)=2.6

(6) fM(x) 'l2xl,96x3 + 282x2360xH70

(x1)3 (x2)3(x3)3 '

Como f" (x) ¡í 0 , la curva no tiene puntos de inflexión

(7) y = ------- 1— ------(x1)(x2)(x3)

La posición de la curva en

relación con las asíntotas es

como sigue:

Si 1<x<2 y x>3 + y>0 ;

Sección 4: Tareas complementaria t 615

U1!£J y =x1

Solución. (1) La función está definida en R{1,1}

f(x)=f(x) , la curva es simétrica respecto deleje Y.

(2) Las asíntotas verticales son: x=1 y x1

lim f (x) = 1 y=1 es una asíntota horizontalx»oo

(3) Si x=0 ■* y=0 , la curva pasa por el origen

2x(4) f'(x) (1)(x+1)2(x1)2

La raiz de f'(x)=0 es x=0, y las de f'(x)= <=°, son: x=1, x=1

Entonces, los intervalos de c r e c i m i e n t o y decrecimiento son:

<°°,1> , <_1,0> > <0,1> , <1»+“ >

Observese que la variación de los signos de f.’(x), en los en

tornos de x=0 y x=±1, Se obtiene del numerador de (1):

f 1(x) > 0 , f es creciente

f *(x) > 0 , f es creciente

f'(x) < 0 , f es decreciente

xe< 1,+<=> + f'(x) < 0 , f es decreciente

(5) Por el criterio de la primera derivada la función tiene un

máximo relativo en x=0, esto es, y(ma x)=f(0)=0

(6) f"(x) = 2 (3x2 +1)

(x21)3

Cono f"(x) ^ 0 , la gráfica de la función no tiene puntos de

inflexión.

(7) y

Si xe<°°, 1>

xe<1,0>

xe<0,1>

(x+1)(X—1)

La posición de la curva en

relación con las asíntotas es

la curva está arriba del eje X.

Si x<1 y 2<x<3 + y<0 ;

la curva está debajo del eje X.

como sigue:

Si x<1 y x> 1 > y> 1

La gráfica de f está arriba de

la asíntota y=1

Si 1<x<1 + y<0

La gráfica de f está debajo del

eje X.


c r m y = (x2 d 3

Solución. (1) La función está definida ¥\xeR.

f(x)=f(x) , la curva es simétrica resp ec-

to del eje Y.

(2) La curva no tiene asíntotas.

(3) Intersecciones con los ejes coordenados.

Si x=0 *■ y=1 > A (0, 1)

y=0 *■ x=1 ó x=1 ♦. B (1, 0) y G (1, 0)

(4) f'(x) = 6x(x+1)2(x1)2 (1)

Si f 1(x)=0 + x=0 . x=1 , x=1

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:

<_co,_1> , <1,0> , <0,1> . <1,+“ >

£1 signo de f'(x) en cada uno de estos intervalos lo determi

na el primer factor de (1), esto es:

Si xe<“>,1> *■ f'(x) < 0 , f es decreciente

xe <- 1,,0> f'(x) < 0 , f es decreciente

xe<0,1> *• f'(x) > 0 , f es creciente

x e < 1 , + “ > ■*• f'(x) > 0 , f es creciente

(5) Por el criterio de la primera derivada, lafunciónpasa por

un mínimo en x=0 , y(min) = f(0) = 1 , osea A(0,1) es el

punto mínimo relativo.

(6) f"(x) = 6(x21)(5x21) = 6(x+1)(x1)(/5x+1)(/51)

Si f" (x)=0 > x=1 , x=1//5 , x=1//5 , x=1

Si xeí00, ^ + f" (x) > 0 , f es cóncava hacia arriba

xe<1 ,1//5 + f"(x) < 0 ,

xe<1//5,1//5> •> f"(x) > 0

xe< 1// 5,1> f"(x) < 0 ,

xe< 1 ,+«> +f"(x)>0 ,

Obsérvese que los puntos B(1 0)

f es cóncava hacia abajo

, f es cóncava hacia arriba


f es cóncava hacia arriba


y = 32x2(x21)3

Solución. (1) La función está definida en R. Su gráfica

gráfica es simétrica respecto al eje Y, ya

que: f(x)=f(x)“N( 2 ) La gráfica de la función no tiene asíntotas

(3) Intersecciones con los ejes coordenados

Con el eje X: y=0 + x=0 , x=±1 >• A(0,0), B(1,0), C (1,0)

(4) f'(x) = 64x(x21) 2 (2x+1) (2x1)

Si f 1(x)=0 +■+ x=0 , x=1 , x=1 , x=1/2 , x=1/2

Como (x21)2>0, V-xeR, el signo de f'(x) en los entornos de

los valores críticos lo determina,el producto: x(2x+1)(2x1)

Si xe<°°,1> *• f ’(x) < 0 , f es decreciente

xe<1,1/2> >• f'(x) < 0 , f es decreciente . . .Mínimo en x=1/2

xe<1/2,0> f'(x) > 0 , f es crecientexe<0,1/2> ■+ f'(x) < 0 , f es decreciente^”* Maximo en x=^

xe<1/2,1> f1 (x) > 0 , f es creciente — Mlnimo en x=1/2

xe< 1,+<»> >• f 1 (x) > 0 , f es creciente

(5) Por el criterio de la primera derivada se tiene:

y(min) = 27/8 , para x=±1/2 ; y(max)=0 , para x=0

(6) f"(x) = 64(x 21) (28xl*17x2 + 1)

Si f" (x)=0 +*■ x21=0 ó 28x‘*17x2 + 1=0

~ x2 = 1 ó x2 = J 7 j l_¿289 1T2 = ,_L7.,.¿ 13.30

x=±1 ó x 2=0.51 ó x 2=0.066

+-+ x=±1 ó x^±0.735 ó x=±0.257Los puntos de inflexión son:

11 (1,0), 1 2 (1,0 ), en donde

las tangentes son horizonta-

les. Para x^iO.735 y x±0.257

1404

Obsérvese que los puntos B(1,0)

y C (— 1,0) son puntos de infle-

xión con la tangente horizontal

Los otros puntos de inflexión

son: Ii(1//5.6 4/1 2 5 ) y

I2(1//5,64/125)

existen otros cuatro puntos

ile inflexión.


Œ 0 y = ¿ + ¿x2

Solución.. (1) La función está definida en R{0)

(2) x=0 es una asíntota vertical(3) Si y=0 + x = 3/2/2

U ) f,(x) = gxf - 1 = (2x 1 )Ux » + 2x+ 1J

x 2 X2

Si f ' (x) =0 + 2x1 =0 +*• x = 1/2

Si x e < - “ , 0 > ü < 0 , 1/2> + f'(x) < 0 , f es decreciente

xe<1/2,+“> f'(x) > 0 , f es creciente

(5) Por el criterio de la primera derivada, la función pasa por

un mínimo en x=1/2, e

(6) f"(x) = 2(1 U^ 3)x 3

Si f" (x)=0 1+4x 3=0

de donde: x= 3/2/2

l(-3/2/2,0)

i m a y = x + — X

Solución. (1) La función está definida en RÍO}f(x)=f(x) , la gráfica es simétrica res-

pecto del eje Y. (2) x=0 es una aíntota vertical

(3) No hay intersección con los ejes coordenados.

(4) f ' W


un mínimo en x=±1, esto es: •

y(min) = f(±l) = 2

Kn x=0, la función no tiene un

máximo por cuanto, 0¿Dom(f).

(6) f"(x) = 2 + — ‘x*

f"(x)¡¿0, la curva no tiene

¡»untos de inflexión,

f" (x)>0 , V;xÉDom(f), la curva

■ s cóncava hacia arriba en to-

das parte's.

y =2x1

(x1)2

Jo lución. (1) El dominio de la función es.R{1)(2) x=1 es una asíntota vertical

y=0 es una asíntota horizontallim f(x) = 0X+co

(3) Intersecciones con los ejes coordenados:

Con el eje Y: x=0 ■+■ y=1 ■* A(0,1)

Con el eje X: y=0 + x=1/2 B(1/2,0)

U) f ’(x) =

Si X£<“,0>

xe<0, 1>

x e < 1 , + “ >>

.Una raíz de f'(x)=0 es x02x

(x1)3

f'(x) < 0 , f es decreciente

f'(x) > 0 , f es creciente

f '(x) < 0 , f es decreciente


un mínimo en x=0, esto es, y(min)=f(0)=1

En x=1 no existe máximo, puesto que en este punto no está de

finida la función.

(6) f"( ) 2 (2 +1> í 0 1/2

(4) f Wx3 x 3

Las raíces de f!(x)=0 son: x=1 y x=1

Si x e< — , -1 > +f'(x) < o . f es de cr ec ie nt e^ Minimo en x=_1

x e<- 1,0> •> f'(x) > 0 , f es creciente

XE<0,1> + f ’(x) < 0 , f es dec re ciente^ Minlm0 en X=1

x e < 1 , + " > .*• f'(x) > 0 , f es creciente


(6) f"(x) = 2 (2x+1>(x1 )'

. Una raíz de f"(x)=0 es x=1/2

Si xe<°°,1/2> *■ f" (x) < 0 , f es cóncava hacia abajo

xe<1/2 ,1> *■ f"(x) > 0 , f es cóncava hacia arriba

x£<1 ,+“> •* f" (x) > 0 , f es cóncava hacia arriba.

Luego, si x=1/2 > y=8/9 . Punto de inflexión: I(1/2,8/9)


(7) Posición de la curva en

relación a las asíntotas:

2x1

y (x1)2Si 1/2<x< 1 y x>1 > y>0

La gráfica de la función está

por encima del eje X.

Si x< 1 /2 * y<0 . La gráfica

de la función está debajo del

eje X.

■CWJ y = --------3x2

Solución. (1) La función está definida en ,R{/?»/3}f(_x)=f(x) . La gráfica es simétrica res-

pecto del origen de coordenadas.

(2) x=/3 y x=/3 son asíntotas verticales.

(1 )

x^.— :— = u n

X+»

X =

L3 . - 2

Asíntota oblicua: y=kx+b

. . . . ,2

xx» 3x2= -1

b = lim [f(x)kx] = lim j~— —X+00 X+oo >3_x2

Luego, en (1): L:y=x

+ x = lim (JíJ X+00 3x2

= 0

(3) Para x=0 y=0 , la curva pasa por el origen.

(4) f 1 (x ) x2(3+x)(3x)

(3x2)2

Si f 1 (x) =0 »• x=0 , x=3 , x=3

f'(x)=“ *■ x=/5 , x=/3

Obsérvese que x2 y (3x2)2 son positivos para todo x, luego,


(5) La función pasa por un mínimo en x=3 y por un

esto es: y (¡nin) =f (3) =9/2 , y (max) =f (3) =9/2

(6) f" (x) 1 2 x(2 x 1*+3x 2+2 7)

(3-x 2)3Si f" (x) =0 *• x=0

El punto de inflexión es I(0,0)

Si xe<to,/3> + f"(x) > 0

la curva es cóncava hacia arriba

x e < - / 3 , 0 > + f"(x) < 0

la cur va’es cóncava hacia abajo

x e < 0 , / 3 > + f " ( x ) > 0


x e < / J , + “ > ■* f"(x) < 0

la curva es cóncava hacia abajo

máximo en x=3,

y =2 (x+1)2

Solución. (1) La función está definida en R — { 1}

(2) x=1 es una asíntota vertical

Asíntota oblicua: y=kx+b (1)

f(x) ”2 1k = lim J-12LL = un,X + t o x+°° 2(x+1)2

b = lim Ef(x)kxJ = lim f-- ---- $1 = ü mx «1 x*® L2(x+1)2 j x+

2x2x Á| Jillli ■ 'x*” x*® L2(x+1)2 j x*® 2(x+1)2

Luego, en (1): L:x2y2=0

(3) Para x=0 y=0 , la curva pasa por el origen.

(i) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

= -1

f*(x)! (x+3)

2(x+1)3

Las raíces de f'(x)='0 son x=0 y x= 3

el signo de f'(x), en los entornos de los valores críticos,

lo determina el producto: (3+x)(3x)

Si xe<“ ,3> + f'(x) < 0 , f es decreciente^, MÍnimo en x=_3

xe<3,/3> *• f'(x) > 0,fes creciente

xe <-/3,/3> f'(x) > 0,fes creciente

xe</3,3> *■ f'(x) > 0,fes creciente

xe<3, +°°> f ' ( x ) < 0 , f e s d e c r e c i e n t eMáximo en x = 3

Las raíces de f'(x)='0 son x=0 y x=3

Si xe<“ ,3> f'(x) > 0 , f es creciente

xe<3,1> ■+ f'(x) < 0 , f es decreciente

x£<.1,0> f'(x) > 0 , f es creciente

x£<0,+°» f'(x) > 0 , f es creciente

> Máximo en x=3

(5) La función pasa por un máximo en x=3, esto es, y(max)=27/S

En x=0 ,no existe máximo ni mínimo.


(6) f"(x) = — (x+1)“

Si f"(x)=0 + x=0

f"(x)=» + x=1

Intervalos de concavidad:

x e < - o o , - 1 > -*■f" (x) < 0la curva es cóncava hacia abajo

xe<1,0> *• f"(x) < 0


x e < 0 , + « ° > f"(x) > 0


Luego, 1(0,0) es el punto de in-

flexión.

C u ) y(xl) = x3Solución. (1) La función está definida en R(1}


(3) Si x=0 *■ y=0 , la curva pasa por el origen de coordenadas

(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

f'(x) =(x1)2

Para f'(x)=0 *' =0 , x=3/2

Puesto que x2 y (x1)2 son positivos para todo x, el signo

de f'(x), en los entornos de x=0, x=1 y x=3/2, lo determina

el factor (2x3).

Si x£<00,0> »• f'(x) < 0 , f es decrecientexe<0,1> ■* f'(x) > 0 , f es creciente

xe<1,3/2> *• f'(x) < 0 , f es decreciente

xe<3/2,+“ > + f'(x) > 0 , f es creciente■Mínimo en x=3/2

(5) La'función pasa por un mínimo en x=3/2, esto es:

0 i á i i í i

y(min)=27/4


Si xe<1,+°°> f"(x) > 0

La curva es cóncava hacia artiba

Luego, el punto de inflexión de

la gráfica es 1(0,0).

K Q Q y (x 3 1) = x

Solución. (1) La función está definida en R — {1}



k = lim f ^x) = lim (-*— ) = 1■31X - Mx > X+0>

b = lim [f(x)kx] = lim (— XK» x+“> x

— x) = lim (— — ) = 03 1 X+a» X 3 1

Luego, en (1): L:y=x

(3) Si y=0 *• x=0 , la curva pasa por el origen de coorde.nadas.

(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento

f' (x) = -£í h L A l(x31)2

Si f'(x)=0 x=0 , x= 3/4 ; si f' íx) ™ + x=1

xe <-°°,0> *■ f'(x) > 0 , f es creciente

x£<0, 1 > •*■ f'(x) < 0 , f es decreciente

X£<1, 3/4> f'(x) < 0 , f es decreciente

x£ <3/4,+“> + f'(x) > 0 , f es creciente

Máximo en x=0

Mínimo en x=.3/4

(5) La función pasa por un máximo en x=0, y(max)=0 , y por un mí

nimo en x=3/4 , esto es, y(min)=4.3/4/3

(6) Intervalos de concavidad

En x=0 no existe máximo ni mínimo.

(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = ?x — — 3x+3)(x1)3

Si f"(x)=0 + x=0 ,

xe<w ,0> f"(x) > 0

xe<0,1> *■ f" (x) < 0

y si f" (x) =<*> x=1

, f es cóncava hacia arriba

, f es cóncava hacia abajo


f"(x) = 6x2(x3+2)

(x31)3

Para f"(x)=0 *• x=0 ,x = -3/2 ; para F"(x)=“ + x = 1

x e<-“,-3/?> *• f" (x) > 0 , f es cóncava hacia arriba

xe< 3/2”, 0> v f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajo

xe<0,1> + f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajo


x£<1,+°°> * f"(x) > O

La curva es cóncava hacia arriba

Luego, el punto de inflexión es:

l(3/2,|3/?)

m ti (xD2Itlrl y = — ----(x+1)3

Solución.. (1) La función está definida en R{ 1}

(2) x=í es una asíntota verticallim f(x) = 0 y=0 es una asíntota horizontalX+co

(3) Interceptos con los ejes coordenados

a) Con el eje Y: x=0 ■* y=1 .*. A(0,1)

b) Con el eje X: y=0 x=1 .*. B(1,0)


f .(x) = .(x1)(5x)(x+1 )*

Para f' (x)=0 + x=1 ó x = 5 i para f'(x)=<» + x = 1

Si xe<“ ,1> + f'(x) < 0 , f es decreciente

xe<1,1> •* f'(x) < 0xe<1,5> + f'(x) > 0

xe <5,+00> + f'(x) < 0

(5) La función pasa por un mínimo en x=1, y(min)=0

ximo en x=5, esto es, y(max)=2/27. | f

f es decreciente^, M£nimo en x=1

f es creciente, . . > > Máximo.en x=5

f es decreciente

y por un ma

St'cción 4: Tareas complementarias 625

(PVEI _ x3+2x2 + 7x3<M - mmM J j

2x

Solución. (1) La función está definida en R{0) ’


l’ara determinar la asíntota oblicua escribimos la ecuación de la

función en la forma: y = ¿x + 1 + (^x ~ 3)¿ 2x2

l'ara valores muy grandes de x, esto es, cuando x+“>, entonces

{ x~3) •+• .0 , por tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es:

12x

L: y = gX + 1


fi(x) (x1)(x2)(x+3)

2x 3

lara f'(x)=0 x=3 , x=1 y x=2 ; para f'(x)=<*>

”i xe<-c»,-3> + f'(x) > 0 , f es creciente

xe<3,0> f'(x) < 0 , f es decreciente

xe<0,1> f 1(x) > 0 , f es creciente

xe <1,2> + f'(x) < 0 , f es decreciente

*• x=0

Máximo en x=3

Máximo en x=1

■Mínimo en x=2x£<2,+°°> f'(x) > 0 , f es creciente

(5) La función pasa por un máximo en x=3 y x=1, esto es:

y(max)=f(3)=11/6 , y(max)=f(1)=7/2 , y por un mínimo en x=2

y(min)=f(2)=27/8

(6) Intervalos de concavidad: f"(x) =x*

Para f"(x)=0 *• x=9/7 , y para fu(x)=«° x=0

Si x£<“ ,0> ■* f" (x) < 0

La curva es cóncava hacia abajo

x£<0,9/7> f"(x) < 0


xe<9/7, +“> •> f''(x) > 0

(6) Puntos de inflexión.

fn(x) = 2(x210x+13)

Si f"(x)=0

(x+1)5

x210x+13=0

x = 5 ± 2/5

son las abscisas de los puntos de inflexión

[,a curva es cóncava hacia arriba

Por tanto, hay un punto de infle-

xión cuya abscisa es x=9/7.


Q Q Q xy = (x21)(x2)

Solución. (1) La función está definida en R{0}


(3) Intersecciones con los ejes coordenados:Con el eje X: y=0 x=1 ó x=1 o x=2

A (1,0) , B (1, 0) , C (2, 0)


f.(x) = 2(x3^.:Üx2

Si f ' (x)=0 + x 3x21=0 *■ x=1.46 ; y si f'(x)=<*> x=0

Si xe<“ ,0> •> f'(x) < 0 , f e s decreciente

xe<0, 1. 46> + f'(x) < 0 , f es d ecr ec ien te^ MÍnimo en x=1.¿6

xe<1 .46, +«=> + f'(x) > 0 , f es creciente

(5) La función pasa por un mínimo en x=1.46 , esto es:y(mln) = f(1.46) = 0.28

(6) Intervalos de concavidad:

f"(x)2 ( x 3 + 2 )

Para f"(x)=0 + x= 3/2

Si xe< », 3/2> t f"(x) > 0


x e < - 3 / 2 , 0 > + f"(x) < 0


xe<0, +<*>> f"(x) > 0


Luego, hay un punto de inflexión

cuya abscisa es x=3/2.

(yxJx'+S = 0

Sección 4: Tareas complementarias 62 1


f '(x) x *!±32x5

Para f'(x)=0 x5 + 32=0 •«+. x=2 ; pa ra f'(x)=“>+x=0

Si xe<“ ,2> f'(x) > 0 , f es creciente > .„ , , ^ Má xi mo en x=2


Xe<0,+»> + f'(x) > 0 , f es creciente


un máximo en x=2, esto es, y(max)=f(2)=5/2


f"(x) = 160

consecuencia, la gráfica de la

función es cóncava hacia abajo

en todo su dominio, y no tiene

puntos de inflexión.

y =■

Solución. (1) La función está definida en R.

(2) lim f (x) = lim— = lim (— ) = 0x*” X+” e x+co ex

Entonces, y=0 es una asíntota horizontal

La gráfica de la función no tiene asíntotas verticales ni

cuas.

(3) Si x=0 y=0 , la curva pasa por e^ origen.

obli

Solución. (1) y =x 8 , la función está definida en

R{0}.

(2) x=0 es una asíntota vertical.

y = x 8/x" , cuando x*“ , entonces S /x^O

Luego, y=x es una asíntota .oblicua.

(3) Intersecciones con el eje X: y=0 ■* x=5/S

(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento: f'(x)

La raíz de f'(x)=0 es x=1.

Si xe<oo, 1> * f 1 (x) > 0 , f es creciente

xe<1,+oo> t f'(x) < 0 , f es decreciente.

(5) La función pasa por un máximo en x=1, esto es, y(max) =f(1 ) =

1/e.

1 xX



f"(x) = e_x(x2)

Para f"(x)=0 + x2=0 «*• x=2

Si xe<“ ,2> *• f" (x) < 0La curva es cóncava hacia abajo

xe<2,+°°> *■ f"(x) > 0


Luego, el punto de inflexión es:

1(2,2/e2)


,2xlim (£)■ = lim (¿§) = lim (“ £)x+oo e x+°° e x+°°

(2) lim f(x)x-ko x"*00 x**00 e x*00 e

= 0 + y=0 es una asíntota horiz.(3) Si x=0 y=0 , la curva pasa por el origen.

x 2 ■■ x)(¿) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento: f'(x) ----- -

e

Para f'(x)=0 *■ x=0 ó x=2

Si xe<°°,0> + f'(x)„< 0 ,f es decreciente MÍnlm0 en x=0

Máximo en x=2xe<0,2> + f'(x) > .0 • , f es creciente

xe<2,+"> + f'Ox) < 0 , f'es decreciente


un máximo en x=2 y un mínimo en x=0, esto es: y

y(max)=f(2) = ¿/e2 , y(min)=f(0)=0

(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = ■— — —

Para f"(x)=0

Si xe<«,,2/2>


xe<2/2,2+/2> + f"(x) < 0

x2-ix+2=0 ++ x-2±-/u-2 = 2±/2

f"(x) > 0


. exy = —

Solución. (1) La función está definida en R{0}


lim f(x) lim (~—)■ = lim (ex) = 0 *■ y=0 es una asíntota horiz.X+-00 X+00 X+00

(3) No existe intersección con los ejes coordenados.

(4.) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento: £' (x) e (x1)x2

Para f'(x)=0 + x=1 , y para f'(x)=<» + x=0

Si xe<“ ,0> + f'(x) < 0 , f es decreciente

xe<0, 1> + f'(x) < 0 , f es decreciente __ . ,, ^» Mí ni mo en x=1

xe<1,+»>> *■ f'(x) > 0 , f es creciente

(5) La función pasa por un mínimo en x=1, esto es: y (min)=f(1)=e

.(6) Intervalos de concavidad: f" (x) =— /x ~2x+2)x 3

Para f"(x)=0 + x22x+2=0 **■ x = 1+/72 = 1 t i (imaginario)

Para f"(x)=°° *• x=0

Si xe<“ ,0> + f"(x) < 0


xe<0,+"> + f"(x) > 0


Por tanto, en x=0 na existe pun-

to de inflexión, puesto que:

x=0 i Dom(f).

(¿¡¿I y = xln(x+1)

Solución. (1) La función es real x+1>0 s+ x>1

Entonces: Dom(f) = <1,+oo>

xe<2+/2,+”> f"(x) > 0


Por tanto, hay dos puntos de in-

flexión en x=2/2 y x=2+/2.


(4) Intervalos de crecimiento y de deerecinfiento; f'(x) = —~

La raíz de f'(x)=0 es x=0

Si xe<1, 0> *■ f ' (x) < 0 , f es decreciente

xe<0, +<=> *• f ' (x) > 0 , f es creciente


Por el criterio de la primera derivada, la función pasa por un

mínimo en x=0, esto es, y(min)=f(0)=0

(6) Intervalos de concavidad: f"(x) =

Dado que, f"(x)>0 , VxeDom(f) ,

la función es cóncava hacia arriba

en todo su dominio. Por tanto, la

gráfica no tiene puntos de infle-

xión.

m j j y = ln(x2+1)

Solución. (1) Como x2+1>0 , ¥xeR, la función está definí

da en R.

f(x)=f(x) , la gráfica es simétrica respecto del eje Y.(2)La gráfica de la función no tiene asíntotas.

(3) Para x=0 y=ln1=0 , la curva pasa por el origen.

(¿) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: f'(x) = — — x2 + 1

Para f'(x)=0 2x=0 x=0

Si xe<“>, 0> f'(x) < 0 , f es decreciente M 'nici0 en x=0

xe<0,+“> *• f'(x) > 0 , f es creciente

(5) La funciónpasa por un mínimo en x=0, esto es, y(min)=0

(6) Intervalcrs de concavidad: f"(x) = ^ '*~x^(x2+1)2

Para f"(x)=0 *-+ x=1 ó x = 1Si xe<“ ,1> f'l(x) < 0


xe<1, 1> f"(x) > 0


xe<1,+“>> *■ f"(x) < 0

.SV’cción 4: Tareas complementarias 631

¡J y = x e

Solución. (1) fca función está definida en R.

f(x)=f(x), la gráfica es simétrica respec

to del eje Y.lim (— %? ) = lim ( ~ ) = 0x+" 2xe x*“ e

(2) lim f(x) = limx+oo x>“ e

Entonces y=0 es una asíntota horizontal

(3) Six=0 ♦ y=0 , la curva pasa por el origen.

(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento:

f'(x) = 2xe"x2(1+x)(1x)

Para f'(x)=0 + x=0 , x=1 , x=1

Si xe<-°°, 1 > + f'(x) > 0 , f es creciente


xe<0,1> *■ f'(x) > 0 , f es creciente

xe<1,+“ > ■*' f'(x) < 0 , f es decreciente

Máximo en x=1

Mínimo en x=0

Máximo en x=1


un máximo en x=±1, y por un mínimo en x=0; esto es,

y(max) = f(±1) = 1/e ; y(min) = f(0) = 02

(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = 2e“x (2x‘*5x2 + 1)

Si f"(x)=0 + 2x'*5x2 + 1=0

y = x3e’"x

Solución. (1) La función está definida en R

(2) lim f(x)X+ co

lim ’(.21) = lim (22EÍ) = lim ( %x>co e x oo e x>co e

Por tanto, hay dos puntos de in-

flexión: Ii(1,in2) , I2(1,ln¿)

X+ co x>co e xoo e x>co e

= lim (A) = 0x>® e

Entonces, y=0 es una asíntota horizontal

(3) Para x=0 *■ y=0 , la curva pasa por el origen.



f1(x) = x2e"x(3x)

Para f'(x)=0 x=0 , x=3

Si xe<°°, 0> f'(x) > O, f es creciente

xe<0,3> f'(x) > O , f es creciente Máxim0 en x=3

xe<3,+“ > + f'(x) < O , f es decreciente'

(5) La función pasa por un máximo en x=3, esto es, y(max)—27/e •

La función no tiene mínimos.

(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = xe x(x26x+6)

Para f"(x)=0 + x=0 ó x26x+6=0 x=0 ó x=3±/3

Si xe<“>,0> f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajo

xe<0,3/3> f"(x) > 0 , f es cóncava hacia arriba

xe<3/3, 3+/3> f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajo

xe<3+/3, +<»> •> f"(x) > 0 , f es cóncava hacia arriba

Por tanto, existen tres punto

de inflexión, cuyas abscisas

son: x=0 , x=3/3 » x=3+/5

x 2 / 2y = xe


f(x)=f(x), la función es simétrica res-

pecto del origen (función impar).

(2) La gráfica de la función no tiene asíntotas.(3) Para x=0 y=0 , la curva pasa por el .origen.


f'(x) = ex ^ ( H x ) (1x) . Para f'(x)=0 *• x=1 ó x=1

Mínimo en x=1Si xe<°°,1> + f'(x) < 0 , f es decreciente

xe< 1 1> +■ f'(x) > 0 f es creciente

Vi ccián 4: Tareas complementarias 633

l’ara f " (x) =0

iii xc<<*>, /3>

xe</J,0> + f"(x ) > 0

xe<0,y~3> ■* - f" (x) < 0

xe</3, +°°> *• f"(x): > 0

luego, la gráfica de la

¡'unción tiene tres pun-

tos de inflexión:

11(/5,/3e3/2), I2(0,0)

raí/I./Je’3/2)

x=o , x= -/5 , x=/3

•+ f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajo




y =

Soiución. (1) La función está definida en R{0}


lim f(x) =0 *• y=0 es una asíntota horizontalX+ + “

lim f(x) = 1 ■+■ y=1 es una asíntota horizontalx*“

(3) No hay intersección con los ejes coordenados.


f.(x) = — (e 1) 2

Dado que f'(x) t 0, la función no tiene extremos, y como

f'(x) < 0 , VxeDom(f), la función es decreciente en R{0}


(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = —— Lll®— 1

Para x>0 f"(x) > 0

Máximo en x=1xe<1, 1> +■ f'(x) > 0 , f es creciente

xe<1,+»> f’(x) < 0 , f es decreciente'

(5) La funciónpasa por un mínimo en x=1 y por un máximo en x=1,

esto es, y(max)=f(l)=1//e ; y(min)=f(1)=1/fe

x2/2(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = x(x+/3)(x/5)e

Para x<0 + f"(x) < 0


Siendo x=0 un punto de dis-

continuidad, la gráfica de f

no tiene puntos de inflexión


x +lnx

Solución. (1) La función está definida sólo para valores

positivos, esto es: Dom(f) =<0, +*■>>

(2) lim f(x) = 00 , entonces, x=0 es una asíntota verticalx+0

Asíntota oblicua: y=kx+b

k = lira = lio (1 +X-*00 X X+00 v

,lnx

X+oo x 00

Luego, en (1): y=x

(1)

lnx) = 1 + lim (HZi) = 1X" X»00

b « lim [f(x)kx3 = lim = 0 •

2x

x2+1lnx(3) Para y=0 x2=lnx , xe<0,1>

(4) Intervalos de monotonía de la función: f'(x) =A

Como f’(x) 0, la función no tiene extremos. Es creciente en

todo su dominio.

(5) La gráfica de la función no tiene máximos.ni mínimos.

(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = 2^nx 3x3

Para f"(x)=0 *■ 1lnx3=0 **■ lnx=3/2 ■** x=e3/2=e/e

Si x£<0,e/e> f"(x) < 0


xe<e/¥, +ro> 'y f"(x) > 0


Luego, existe un punto de infle-

xión: l(e/tT, e/e + 2e/e

U E 3 y = + x)X


(3) La curva no intercepta a los ejes coordenados.

(4) Intervalos de monotonía de la función:

En xe<“>,1> la función crece desde e hasta , y en x£<0,«°>,

crece desde 1 hasta e. Es decir, la gráfica de la función es

creciente en todo su dominio.


Q Q J y = x+Senx

Solución. (1 ) La función está definida en R.

f (x)=x+Sen(:x)= (x+Senx) = f(x)

La gráfica de la función es simétrica respecto del origen.

(2) La gráfica de la función no tiene asíntotas

(3) Si x=0 ■> y=0 , la curva pasa por el origen.

(4) Intervalos de monotonía: f'(x) = 1+Cosx

Para f'(x)=0 + Cosx=1■**+ x = ±kn (k=1, 3, 5,... )

Obsérvese qué para x£<0, tt>ü<h , 2w>ü ... , f'(x) > 0 '

lo mismo sucede para x £ < - t t , 0>ü<2n, ir> U...

Es decir, la gráfica de la función es creciente en todo su

dominio, y no tiene extremos.Además, para x=tkir|, k=1,3,5,.

(6) Puntos de inflexión

f11 (x)=Senx

f"(x)=0 ■* Senx=0

> x=kir

la función es estacionaria

U E 3 y = + x)X

Solución. (1) La función está definida cuando x¿0 y xjí1,

esto es, Bom (f )=<<*>,1>U<0,+co>

(2) Asíntotas: a) lim f(x) =*>-*■ x=1 es una asíntota verticalx+1

b) lim f(x) = e •> y=e es una asíntota horizontalX+oo

Los puntos de inflexión son

I(kir,kir) , k=0,±1,±2,±3, .. .

En los puntos de inflexión

la gráfica cruza la recta

y - x .

>x


y = xSenx

So ¿ación. (1) La función está definida en R

f(x) = xSen(x) = xSenx = f{x)

La gráfica de la función es simétrica respecto del eje Y.(2) La gráfica de la función no tiene asíntotas.


(4) Intervalos de monotonía: f'(x) = xCosx + Senx

Si f'(x)=0 Senx '= xCosx

Los puntos extremos satisfacen la ecuación: Tanx = x

(6) Puntos de inflexión:

f(x) = xSenx + Cosx + Cosx = xSenx + 2Cosx

Si f"(x)=0 *• xSenx = 2Cosx

Los puntos de inflexión satisfacen la ecuación: xTanx = 2

X0 tt

/6tt / 3 tt/2 ’ 2 u / 3 5tt/6 ir 7/6 W 3

y 0 tt/ 1 2 /3 tt/6 tt/2 / J n / 3 5tt/12 0 -7tt/12 - 2 u / 5 / 3

3n/2 5tt/6 11it/6 27r

-3tt/2 -1 17T/ 1 2 0


nida en los intervalos <7r/2 + 2k7r,7r/2+2kir>, k=0,±1,±2, ...

La función es periódica (T=2ir), pues, f (x+27r)=lnCos (x+2ir)=lnCosx

Además, f(x)=lnCos(x)=lnCosx=f(x). La gráfica es simétrica res

pecto ál eje Y.

(2) lim f(x) = “ , entonces, las asíntotas verticales de la gráfix+ ti/2

ca son: x = r; + kit

(3) Para y=0 >■ Cosx=1 ++ x=2k7t , k=0,±1,±2, .. , son los interce£

tos con el eje X.

(4) Cálculo delos valores extremos:

= - - f f f t = -T—

Si f ’(x)=0 ■*' Tanx=0 x=2kn

f"(x) = Sec2x . Como f"(x) < 0, VxeDom(f), la gráfica de la

función es cóncava hacia abajo en los intervalos de defini-

ción de f. Esto es, la función pasa por un máximo en los pun

tos: x=2k7r , k=0,±1,±2 ,...

(6) La gráfica no tiene puntos de inflexión. «

| 2 S 3 y = CosxlnCosx

Sotución. (1) La función está definida para Cosx>0, esto

es, en los intervalos <ir/2+2kir,7r/2+2kir>

d d k 0 1 ±2 L f ió iódi (T 2 )

y = InCosx

Solución. (1) La función es real, si Cosx>0

• xe<7r/2, -tt/2> , o bien; f está defi

donde k=0,¿1,±2...... La función es periódica (T = 2tt), pues

f(x+2ir)=f(x). Además, f(x)=f(x), la gráfica de la función

es simétrica respecto al eje Y.

(2) Dado que f (x) •*<*> , cuando Cosx 0, las asíntotas vertica-

les de la curva son: x = + kir

( 3 ) P a r a x= 0 -*■ y =1 .'. A (0,1)


(4) Cálculo de los valores extremos: f 1 (x)=Senx+Tanx

Si f'(x)=0 *■ Senx = Tanx ■«*• Senx(lSecx) = 0

Senx = .0 ó Secx = 1

**■ x=2kir , k=0,±1,±2, ..

Siendo f una función par, es suficiente estudiar la restric-

ción de f a un intervalo de amplitud tt , por ejemplo:

<— tt/2 ,tt/2 > .

Si xe <-tt/2, 0> f'(x) < 0 , f es decreciente

xe<0,7r/2>‘ f'(x) > 0 , f es creciente

(5) La función pasa por un mínimo en x = 0, así mismo en x=2kir, es

to es, y(min)=f(0)=1

(6) Puntos de inflexión: f"(x) = .'*~C?SCos2x

Si f" (x)=0 Cosx=1 *■+ x=2kir

Puesto que x=2kir son valores extremos, la curva no tiene pun

tos de inflexión. Es cóncava hacia arriba en todo su dominio

y = x2arcTanx

So ¿ación. (1) La función está definida en R

f(x) = xarcTan(x) = (xarcTanx)=f(x)

La gráfica de la función es simétrica respecto del origen.

(2) í bli k b (1)

1431


b2 = lim [f(x)kxj = lim [2arcTanx] = 2( ?■) = nx*” x*“

Luego, en (1), se tiene: Li;y=x7r , L2:y=x+ir

(3) Para x=0 *■ y=0 , la curva pasa por el origen.

Para y=0 x=2arcTanx , xe<ir,ir>

(4) Intervalos de monotonía: f ’(x) = i x+ ^x~ 1+x2

Para f ’(x)=0x=1 ó x=1

Si xe<“>,1> ■* f'(x) > 0 , f es creciente

xe<1,1> > f'(x) < 0 , f es decreciente'

xe<1,+®> *■ f*(x) > 0 , f es creciente


un máximo en x=1 y por un mínimo en x=1, esto es;

y(max) = f(1) = 1 + ^ ; y(min) = f(1) = 1 ~

Ax

Máximo en x=1

Mínimo en x=1

(6) Intervalos de concavidad: f"(x)

Para f"(x)=0 x=0

Si xe<°°,0> f"(x) < 0


xe<0,+°°> f"(x) > 0


Por tanto, existe un punto de in

flexión: 1(0,0).

(x 2 +1) ‘

So ¿ación. Sea u = , x¡¿1 , x/3x24x+3 (x1)(x3)

Entonces, la función está definida en R{1,3}

(2) Asíntotas oblicuas: y=kx+b (1)

k = lim 11*1 = lim (1 2a rPTanx) = 12(0) = 1X+°° X X»a> X

bi = lim £f(x)kx] = lim [2arcTanxJ = 2(5) = - t t

x++°° x +°°

(2) x=1 y x=3 son asíntotas verticales.

lim f (x) = e° = 1 y = 1 es una asíntota horizontalx+<x>

(3) Para x=0 *■ y = e1/ 3 = 3/e .*. A(0, 3/e)

(4) Intervalos de monotonía: f'(x) 2(x2)e

( x - 1 ) 2 ( x - 3 ) :


Para f 1 (x)=0 *• x=2

Si xe<», 1>ü<1,2> > f'(x)>0

La función es creciente

Si xe<2,3>U<3,+“> * f'(x)<0

La función es decreciente

(5) La función pasa por un mí

ximo en x=2, esto es:

y(max)=f(2)=e_l=1/e

y = e3enxSenx (sin buscar puntos de inflexión)


Dado que Sen(x +2tt) =Senx, la función es pe-

riódica.

(2) La gráfica de la función no tiene asíntotas.


Con el eje X: si x=0 + y=e°=1 .\A(0,1)

Con el eje X: no hay intersecciones

(4) Intervalos de monotonía:f 1 (x) = Cosx(eSenx1)

Para f'(x)=0 *• Cosx=0 ó e3enx=1

(x = 2kTT + 5 , k=0,±1,±2, ...

X = 2klf + TT

Si e3enx = e° Senx=0 ■**■ x=ku , k=0,±1,±2, ...

Para el intervalo <0(2ir>, los puntos extremos de lafunción

son: x=0 , x=7r/2 . x=tt, x=3n/2 y x=2tt

Si x£<0, tt/2> f'(x) > 0 , f escreciente ^ MáxÍB0 en x=lr/2

1433

Sección 4: Tareas complementarias

y (max) = ' ! + “ » para x = +

y(.min) = 1 , para x=kir

2ku

y = x

So ¿ución. (1) La función está definida en R.

(2) La gráfica de la función no tiene asíntotas

(3) Si y=0 3/x 2=x -*-*■ x=0 ó x = 1

Luego, la curva pasa por (0,0) y (1,0)

(4) Intervalos de monotonía: f ’(x) = ,2~3» ¿X3.3/3T

Para f'(x)=0 3/x = 2/3 *"»• x = 8/27

fi(x)=o> >■ 3/x = 0 x=0

Si xe<»,0> f 1 (x) < 0 , f es decreciente . „, , Mínimo en x=0 ■

x e<0,8/27> + f’(x) > 0 , f es creciente

xc<8/27, +“> •> f(x) < 0 , f es de crecient^ Máximo enx = 8/27

(5) La función pasa por un máximo en x=8/27 y por unmínimo en

x=0, esto es, y(max)=f(8/27)=4/27 , y (min)=f(0)=0

(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = — — 9. 3'

Como f"(x)<0 , ¥ xeR-{0}, la

gráfica de la función no tiene

x£<ir/2,Tr> f'(x) < 0 , f es decreciente

x e<h ,3tt/2> +f'(x) > 0 , f es creciente Minino en x tt

x£<3tt/2, 2tt> ■* f 1 (x) < 0 , f es decreciente Máximo en x3tt/2

(5) Por tanto, la función pasa por un máximo en x=it/2 y x=3ir/2,

y por un mínimo en x=tt . Esto es:y(max) = e - 1 , p ar a x = 75 + 2ku

gráfica de la función no tiene

puntas de inflexión, es cóncava

hacia abajo en todo su dominio.


= x2(x24):

Solución. (1)

x=0

Mínimo en x=1

Máximo en x=0..

Mínimo en x=1

y = (x2¿)x2'J

La función está definida en R

f(x)=f(x) , la gráfica de la función es simétrica respecto

del eje X.

(2) La función no tiene asíntotas.


Para y=0 x=0 , x=2 , x=2

La curva pasa por (0,0) , A(2,0) y B(2,0)

(¿) Intervalos de monotonía: f'(x) 8(x+1)(x 1)3. V x

Para f'(x)=0 + x=1 , x = 1 . Para f'(x)=“>

Si xs<»,1> f' (x) < 0 , f es decreciente

xe<1,0> + f'(x) > 0 , f es creciente

xe<0,1> + f'(x) < 0 , f es decreciente;

x e < 1, +°°> ■* f'(x) > 0 , f es creciente

(5) La función pasa por un mínimo en x=1 y x=1, y por un máximo

en x=0j esto es: y(min)=f(±1)=3 , y(max)=f(0)=0


f»(x ) = 8(5x2+1)

9 x V 3

Como no existe raíces para f"(x)=0

la gráfica de la función no tiene

puntos de inflexión. Es cóncava ha

cia arriba en todo su dominio.

IE5EI (3y+x)3 = 27x

Solución. (1) y = 3/x ^

La función está definida en R.

La función es impar, pues, f(x)=f(x) , es decir, la curva

es simétrica respecto del origen


(4) Intervalos de monotonía: f'(x) = U l / H

Para f'(x)=0 3/x2"=1 *>■ x2 = 1 ■**■ x = 1 ó x=1

f 1 (x) = 00 *■ x=0

Si xe<“ ,1> •+ f'(x) < 0 , f es decreciente

xe<1,0> f'(x) > 0 , f es creciente

xe<0,1> f'(x) > 0 , f es creciente

xe<1,+°°> f'(x) < 0 , f es decreciente

Mínimo en x=1

Máximo en x=1

(5) La función pasa por un mínimo en x = 1 y por un máximo en x = 1

esto es, y(min)=f(l)=2/3 , y(ma x)=f(1)=2/3p

(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = -----9 x S / 3

Para f"(x) = <*> ■* x=0

Si xe<c°,0> *■ f"(x)> 0 , f es cóncava hacia arriba

xe<0,+<°> + f" (x)< 0 , f es cóncava hacia abajoT,a cráfica de la función tiene un Dunto de inflexión en 1(0.0).

C E E S y = 3/ ( x + D 2 - ’/x2 + 1


(2) lim f(x) = 1 >■ y = 1 es una asíntota horiz.

(3) Intersecciones x+a>

Con el eje Y: si x=0 * y = 2 .'. A(0,2)

Con el eje X: si y=0 ■* x=1 .*. B(1,0)

(i) Intervalos de monotonía: f'(x) ~.2 (3>/x 3/x+1]

es simétrica respecto del origen.



Si y=0 3/5c = | * x2 =27 x=±3/3 . Si x=0 + y=0

La curva pasa por: (0,0) , A(3/3,0) y B(3/3,0)

( ) ( ) ( ]_

3.3/x(x+1)

Para f'(x)=0 + 3/x = 3> c+T No existe soluciones reales

f'(x) = ® +x (x+1) =0 <+ x=0 ó x=1

Si x£<“>,1> ■* f'(x) < 0 , f es decre ciente^ ,Mínimo en x=1

xe<1, 0> *■ f '(x) > 0 f es creciente


Si xe<0,+“> •* f'(x) < O , f es decreciente


un mínimo en x=1 y por un máximo en x=0, esto es,

y(min)=f(1)=0 , y(max)=f(0)=2

(6) Intervalos de concavidad:9.3/x*(x+ D*

Para f"(x)=0 (x+1) > t / 3 _ v V 3

Para f"(x) =»'>■ x=0 ó x=1

Si xe<“ ,1> f"(x) < 0


xe<T, 1/2> f"(x) > 0


xe<1/2,0> + f"(x) < 0


xe<0,+°°> f"(x) > 0



xión: I(1/2,1)

<»■ | x+11 = | x |

x+1 = x ** x=1/2

(Valores extremos)

Í T S Ü y = (x1)2/3(x+1)3


(2) No tiene asíntotas


Con el eje X: y = 0 + x=1 ó x=1 .’. A (— 1, 0) y B (1, 0)

Con el eje 1: x=0 y=1 C (0, 1)(4) Intervalos de monotonía: f 1 (x) = Í2LÍJ1— LLli_jLL

3(x1) /

Para f'(x)=0 *■ x=1 ó x=7/11 . Para f'(x) = <»•*• x=1

Si xe<“>, t1> ■* f'(x) > 0 , f es creciente

xe<1,7/11>*+ f'(x) > 0 , fes c r e c i e n t e ^ Máximo en x=?/1

xe<7/11,1> *• f'(x) < 0 , f es decreciente


(6) Puntos de Inflexión. f"(x) = 8(x+1 ).( 11x21^x+2).9(x1)'*/3

Si f " (x)=0 *■ x+1=0 ó 11x2-Ux+2=0 yA

x=1 7 ± 3/1 11

son las abscisas de los puntos

de inflexión.

y 3 = 6x2x3

Solución. y = 3/óx2X 3

(1) La función está definida en R.(2) La gráfica de la función no tiene asíntotas verticales ni ho-

rizontales.


k = li «l í* > = lin, l Æ z E Î = Un, ( V/T ~ 1 ) = 1X-*-co X>oo

b = lim [f(x)kxj = lim (3/óx2 x3 + x)x+»

= lim ( ■ 6x2XM° \

1 3/(6x2x3) 2x. 3v^>x2x'3+x2

Luego, en (1): L:x+y=2

(3) Inters ecciones con los ejes coordenados:

Si y=0 > x2 (6x)=0 x=0 ó x=6

La curva pasa por (0,0) y A(6,0)

(4) Intervalos de Monotonía: f'(x) = — i*~x

) *

3/x(6x)2

Para f'(x)=0 + x=4 , y para f'(x) = + x=o ó x=6

xe<7/11,1> f (x) < 0 , f es decreciente„ . ___^>Mínimo en x=1

xe,<1,+«» *■ f'(x) > 0 , f es creciente

(5) Por tanto, lafunción pasa por un máximo en x=7/11 y por un

mínimo en x=1, quyos valores son: y(max)=2.2 , y(min)=0

Si xe<œ,0>

xe<0,4>

xe<4,6>

xe<6,+°°>

f'(x) < 0

f'(x) > 0

f'(x) < 0

f 1 (x) < 0

f es decreciente

f es creciente

f es decreciente

f es decreciente

^»fínimo en x=0

Máximo en x=4


(5) La gráfica de la función pasa por un mínimo relativo en x=0,

y por un máximo relativo en x = 4, cuyos valoresson: y(min)=0

y(max)=2. 3/Z , 8

(6) Intervalos de concavidad: f" (x) ... =p~V x (bx);

Para f"(x) = °° + x=0 (valor extremo) ó x=6

Si xe<»,0> *■ f"(x) < 0


xe<0,6> *■ f"(x) < 0


xe<6, +”> f11 (x) > 0


Luego, 1(6,0) es un punto

de inflexión.

(yx)2 = x 5

Solución. yx = ±/T* «+ y = x ± /T*

(1) La línea dada es una función bivalente,

pues, define dos funciones:

y = f x(x) = x + /T= e y = f2(x) = x /xT

Ambas funcio.nes están definidas para x >,0.

(2) Ambas funciones no tienen asíntotas

(3) Pasan por el origen de coordenadas.

(4) Intervalos de monotonía:

fj(x) = 1 + 2 Jx* '• = 1 ‘ 2 ^

La ecuación fJ(x)=0 no tiene solucioes reales

Para todo x > 0 , fj(x) > 0 , la función f t crece de manera

monótona. No tiene máximos ni mínimos.

1440



f!¡(x) = /x *• f” (x)>0 ,¥x>0

La gráfica de fx no tiene puntos

de inflexión, es cóncava hacia arriba.

f2 (x) = 1| /x *■ f!;(x)<0 ,¥x>0

La gráfica de f2 no tiene puntos

de inflexión, es cóncava hacia a

bajo.

Í P T 1 (yx2)2 = x5

Solución. (1) yx2 = ±/xs y

La línea es una relación bivalente que de-

fine a las funciones: y=f 1 (x)=x2+/x*" , y=f 2 (x)=x2/x*"Ambas están definidas para x > 0.

(2) No tienen asíntotas.

(3) fi pasa por el origen y f2 pasa por el origen y (1,0)


fj(x) = 2x + | /c7, f¿(_x) = 2x |

La ecuación fj(x)=0 no tiene soluciones reales,portanto, fx.no

tiene extremos, es creciente ¥x>0.

Si f^(x)=0 + 2x = /x3, de donde: x=1ó/25

0 < x < 16/25 + f^(x) > 0 , Í 2 es creciente

x > 16/25 + fj(x) < 0 , f2 es decreciente

(5) Por tanto, la gráfica de f2 pasa por un máximo enx=16/25


f" (x) = 2 + y'x

f'¿(x)>0 , ¥x>0, fi no tiene puntos de

Si f J (x) =0 + /x3 = | '«»• x = V20/5

Si 0 < x < 31/2Ó/5 + f¡(x) < 0 , f2 es decreciente

x > 3/2Ó/5 + f2 (x) < 0 , f2 es decreciente

Por tanto, la gráfica de f2 decrece de manera monótona..No tiene

máximos ni mínimos.

inflexión, es cóncava hacia arriba.

f"(x) = 2 1| /£

Si fy(x)=0 + /x = 8/15 + x=64/125

0 < x < 64/125 + f!| (x) > 0

> x


x(x1)2

Solución. y = ±(x -1)/x

(1) La línea está definida para x^O , es biva-

lente, define alas funciones:fi(x) = (x1)/x y f2(x) = (x1)/?

Además, es simétrica respecto del eje X.

(2) No tiene asíntotas.

(3) Intercepta a los ejes coordenados en (0,0) y (1,0)

(4.) Intervalos de monotonía: fj(x) = ¿i —1 , fj(x)2/x

Para fj(x) = fj(x) = 0 + 3x1=0 «+ x=1/3

Si 0 < x < 1/3 * fJ(x) < O , fi es de cr ec ie nt e^ M£nim0

x > 1/3 •* fj(x) > 0 , fi es creciente

0 < x < 1/3 *■ f2 (x) > 0 , f2 es creciente M£xlmo

x > 1/3 f^(x) < 0 , f2 es decreciente

(5) Por tanto, la función fi tiene un mínimo y la función f2 tie-

ne un máximo en x=1/3» cuyos valores son, respectivamente:

y(min) = 2/3/9 , y(max) = 2/3/9

3x1

2/x

(6) Intervalos de concavidad: fj'(x) =6x+1 f"(x) =

6x+1

4x/x ¿x/x

Para f'|(x) = f"(x) = 0 + 6x+1=0 ++ x=1/6 i <0,+»>

Luego, las gráficas de fi y fj

no tienen puntos de inflexión.

f"(x) > 0 , ¥x£<0,+“>

fi es cóncava hacia arriba

f (x) < 0 , ¥xe<0,+»>

f2 es cóncava hacia abajo.

Q Q j y2 = x2 (x1)



La curva pasa por (0,0) y (1,0)

(4) Intervalos de monotonía: f!(x) = ■■*— , f'(x) = 3x~22/xl 2/^TT

Para f'r(x)=0 + 3x2=0 +* x=2/3 i [1, +<*»

Por tanto, la curva no tieneextremos. Para x>1, f'j(x)>0 y

f^(x)<0 , es decir, fi escrecientey f2 es decreciente.

(5) La gráfica de la línea no tiene máximos ni mínimos.

(6) Intervalos de concavidad: f” (x) = — &¿(x1)3'2

Para f'J(x)=0 x = 4/3

Si 1 < x < 4/3 + f'j(x) < 0

fi es cóncava hacia abajo

Si x > 4/3 f'j'(x) > 0


En los mismos intervalos para

f2 obtenemos: fj[(x)>0 y f!j(x)<0

Luego, los puntos de inflexión

son : I , I2( i ¿ g )

Solución./ ” 3 _ 2

(1) y = ± J — — , la relación está definida para x<01 3x

y para x í 3/2 . Es bivalente y define a las fun

2,(x) y í*2 (x) = / ¡ 213x i 3x

Además, es simétrica respecto del eje Y.


Asíntotas oblicuas: y=kx+b

k = lim = lim ±(J'á2\2) = ± i ±

Solución. (1) y = ±x/x1 , la línea es bivalente y está

definida para x=0 y x^1.

Es simétrica respecto del eje X.


k = lim = lim ±(J á2\2) = ± ix*°° x x*» 3x *

(3) Intersección con el eje X: si y=0 ■* x = 3/5

(4) Intervalos de monotonía: f!(x) =3 x / x 2 - 2 x

Pa r a f [ ( x ) = 0 •> ' x 3 + 1 =0 x = - 1

= ±


Si xe<°°, 1> + f [ (x) > O , fi es creciente ~~^u¿ximo en

x e < - 1 , 0 > ■>■ f[(x) < 0 , fi es decreciente

xe< 3/2, +“>> + f[(x) > O , fi es creciente

Para la función f2 : f!(x) = ==~2 3x/x“2x

xe<°°, 1> + f'(x) < O , f2 es decreciente^ MínilI10 en

xe<1,0> > f¿(x) > O , f 2 es creciente

xe< 3/3’, +°°> f|(x) < O , f2 es decreciente/?;/ 1_2v3 )

(6) Intervalos de concavidad: f' (x) = — . rr x/(x 2x)

Si f'{(x)=0 + 12x 3=0

> x^/T/Z i < 3/2, +“>

Las gráficas de fi y f2 no tienen

puntos de inflexión

Si x e<-=°,0> > f'jtx) < 0fi es cóncava hacia abajo

Si x e<3/2,+°°> + f'j(x) > O


(5) y(max)=f i (1) = 1

y(min)=f2(1) = 1

x=1

x=1

xzy+xy2=2

Soíuc¿6n. y =x +8x

2x3y x “ + 8x > 0 , x/0

+-*■x ( x 3 + 8 )

> 0

x>0 ó x í 2

La relación es bivalente, pues define a las funciones:

. / x . >/VÑ8xfl<x> = 2 + 2x

f 2CX ) = - f -/x‘‘ + 8x

2x

Obsérvese que en la ecuación dada, al cambiar simultáneamente x

por y, dicha ecuación no se altera, por tanto, la gráfica de la


de donde: k=1 (para k=0 , y=0)

b = lim [f(x)kx'J = lim ( ± / — x + x) = 0X~°° X" 00

Por tanto, en (1): y=x

(3) La curva no intersecta a los ejes coordenados.

(4) Para hallar los extremos de la línea, derivamos implícitamen

te la ecuación dada, esto es:

x2y 1 +2xy+2xyy' +y2=0 «>■ y ' (x2 + 2xy )+y (y+2x) =0 y ' = y (2x4y)x(x+2y)

Si y'=0 2x+y=0 * y=2x

Sustituyendo en la ecuación dada se tiene:

x2(2x)+x(2x)2 =2

de donde: x 3 = 1 x=1 *■ y=2

Luego, el punto extremo es (1,2)

Por el criterio de la segunda deri

vada se tiene:y' (2x+2xy'+2x)+(x2+2xy)y"+y(y'+2) +

+(y+2x)y'=0

Pero y'=0 para (1,2), entonces:

(x2+2xy )y" + 2y=0 y" = ----2y

Para (1,2) + y» = ----zL.

x ( x + 2y )

= 431(14)

Como y"<0 y(max)=2 para x=1

3y > 0 , x/a

O S E O y2 ~ x2 (~^y) » a>0 (estrofoide)

Soiución. (1) y = ± x l ax ax

*-*■ a x < a

Luego, el dominio de la relación es [a, a>

Su gráfica es simétrica respecto del eje X.

Además, es bivalente, pues define a las funciones:’

relación es simétrica respecto de la recta y=x.

(2) Las asíntotas vertical y horizontal son: x=0 , y=0


k = lim = lim ( 4 ± 4 /i + 87x 3) = 4 ± 4xx» X X + o o

f.<*> • * /S ¡ y ü m - .„/Sí •(2) x=a es una asíntota vertical.

(3) La gráfica de la relación pasa por el origen e intercepta al

eje X en el punto x=a.



../ % _ x2axa2 pt(v) = _____

1 X (a+x)/x2a 2 ’ 2 (a+x)/x2a2

£ + a/5Para f}(x)=0 + x2axa*=0 ++ x = — ---

x = §(1 / 5 ) ó x = f(1+/5) i ra.a>

Luego, un valor extremo para fi y es: x = tj(1/5)

Si xe<a,f(1/5)> + f'(x) > 0 , fi es creciente¿ 7> Máximo

xe<|(1/ 5 ),a> + 'fj(x) < 0 , fi es decreciente

Para la función f2 :

Si xe<a,§(l/5)> * fl(x) < 0 . fz es decreciente

xe<|(1/5 ),a> + f^(x) > 0 , f2 es creciente

(5) En consecuencia, fi y f2 pasan

por un máximo y mínimo respec

.mente para el

cuyos valores son:

> Mínimo

tivamente para el punto x= §(1/5),

\ /5/511y (max) = a J --- j—

y (min)„ /5/5r_ a yí--- 7-

9y2 = 4X3 x11

So tuci&n. (1) y i •/U'A-y 3y 4.xx2 0

+•+ x(x4) •< o

+*■ 0 í x í 4

Lagráfica de la relación es simétrica respecto del eje X.

Es bivalente, define a las funciones:

f 2 (x)f 1 (x) = j A x x 2 3


fj(x) = 2x(3x)

3/Zxx2

f.¡(x) = _ _2,x(3 x}

3/4-x -j

Máximo en x= 3

Para fj(x) = f](x) = 0 •> x=0 ó x=3

Si xe<0,3> + fi(x) > 0 1 fi es creciente

xe<3»4> ♦ f^(x) < 0 , fj es decreciente

Para la función f2 :

Si xe<0,3> '* f I Cx ) < 0 , f 2 es decre ciente^ ,,, .2 ¿ J> Mm im o en x3

xe<3. A> f](x) > 0 , f2 es creciente

(5) Por tanto, las gráficas de fj y f 2 pasan por un máximo y un

mínimo, respectivamente, en el punto x=3 , cuyos valores son

y(max)=/3 , y(min)=/J

(6 ) Intervalos de concavidad:

= 2(x26x+6) ■ T ”2f»(x) = , fn(yV = . 2íxj 6x+6)

/x./U^xP /x./(4x)3

x=3+/3 i [0 ,4]Si f'.¡(x) = f '(x) = 0 *■ x 26x+6=0

+*■ x=3/J ó

Si xe<0,3/3> + V\(x) > 0


xe< 3/3,4> fy(x) < 0

fj es cóncava hacia abajo

Para la función f 2 :

Si xe<0,3/3> + fj(x) < 0

f2 es cóncava hacia abajo

xe<3/3, 4> * f"(x) > 0

f2 es cóncava hacia arriba

Luego, x=3/J es la abscisa delpunto de inflexión de fi y f2.

J 25yz = x2 (4x 2 ) 3

Sotudón. (1) y = ± ^(4x2)3/2 >• 3 y

+ + - 2

L l ió bi l t d fi l f i

j 3(2) Ambas funciones no tienen asíntotas.

(3) Si y=0 *• x 3 (i-x) =0 w x=0 ó x = 4

La curva pasa por (0,0) y (4,0)


La relación es bivalente, define a las funciones:

f 1 (x) = |(4 x 2 ) 3/ 2 f 2 (x) = fU x 2)3/ =

La gráfica de la relación es simétrica a los ejes coordena-

dos y al origen.

(2) No tiene asíntotas.


fj(x) = (1+x) (1 x )A x 2

(3) Para y=0 *■ x=0 ó x=±2

La curva.pasa por (0,0) , (2,0) , (2,0)


f¡(x) = (■1+x)(1x)/i^r

Para fj(x) = f¿(x) = 0 +x=1 ó x=1

Si xe<2,1> f[(x) < 0 , fi es decreciente

xe<1,1> fj(x) > 0 , fi es creciente

xe<1,2> > f[(x) < 0 , fi es decreciente

(5) Por tanto, fi pasa por un mínimo en x=1 y por un máximo en

x=1, cuyos valores son: y(min)=3/5/5 , y(max)=3/3/5

Análogamente, f2 pasa por un máximo en x=1 y por un mínimo

en x=1, esto, es: y(max)=3/5/5 , y(min)=3/5/5

(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = — -¿2.">/¿X2

Mínimo en' x=1

Máximo en x=1

i=±/5

5/4x

y*Para fy(x)=0 x=0Si xe<2,/3> t fj(x) < 0

fi es cóncava hacia abajó

xe</3,0>f" (x) > 0


xe<0,/3> + f'j(x) < 0

fi es cóncava hacia abajo

xe</3,2> f ’(x) > 0



de las gráficas de fi y f2 son (0,0), (±/3,±/5/5)

\ j \ \ / ¡ \ i

¡ i / 1 iv.r i v-¿ V i-i -oy 11 s 2

i \ ! / \ i hV ¡ / f e

= x2 x1'

Solución. (1) y = ± x/lx2 ay 1x2 i o

X2 :%• 1 +* 1<X<1

La gráfica de la relación es simétrica respecto a los ejes

coordenados y al origen.

Es bivalente define a las dos funciones:


f.(x) = iJlgx2 )1 /1 x2

f 2 (x) = ~ ~ r

Para fj(x) = f^(x) = 0 •> x = /2/2 ó x = /¡?/2

Si xe<1,/2/2> *■ f!(x) < 0 , fi es decreciente — .1 Mínimo

xe</2/2,/2/2> f[(x) > 0 , fi es crecientexe</2/2,1> fj(x) < 0 , fi es decreciente'"'"3’ M®xinl0

(5) Por tanto, fi pasa por un mínimo en x=/2/2, y por un máximo

en x=/2/2, cuyos valores son: y(min)=1/2 , y(max)=1/2

Análogamente, en f2, obtenemos:

y(max)=1/2 , para x=/2/2 ; y(min)=1/2 , para x=/2/2

(6) Intervalos de concavidad: fn(x) = xi .2.x23L/(1x2)3

Para fy(x)=0 + x=0 ó

Si xe<1,0> + f'j(x) > 0


xe<0, 1> + f'¿ (x) < 0fi es cóncava hacia abajo

Luego, 1(0,0) es el punto de

inflexión de fj.

Análogamente se deduce que I

es el punto de inflexión de f2

JJ x2y2 = 4(x1)

Solución. (1) y '= ± ¿ /x1 •+■ 3y ++ x í 1

La gráfica de la relación es simétrica

respecto del eje X. Es bivalente, pues define a las funcionesfi(x) = /x1 y f2(x) i

(2) lim fj(x) lim f2(x) 0. + y=0 es una asíntota horizontalx»“ X+“>

(3) Para y=0 •+■ x=1 , la curva pasa por (1,0)

(4) Intervalos de monotonía: f!(x) = — ~xx2/ÍTi

, f'(x) = 2x

x2/3TT

Es bivalente, define a las dos funciones:

f*(x) = x/1x2 f2(x) = x/lx

(2) La gráfica de la relación no tiene asíntotas

(3) Intercepta a los ejes coordenados en (0,0), (1,0) y (1,0)


Para fj(x) = f¿(x) = 0 + x=2

Si xe<1,2> f'(x) >. 0 , fj es creciente

x e < 2 , + “ > f } ( x ) < 0 , f i e s d e c r e c i e n t eMáximo en x=2


Luego, en fi tenemos: y(max)=1

y en f2, y(min)=1 , para x=2


f"(x)

3x212x+8

2x3/(x1)3

Si f"(x) = 0 + 3x212x+8=0

6+2/T / 62/3 j n«*• x = -- o X = — ------- ¿ t u >

Luego, la abscisa de los puntos

de inflexión de fi y f2 es:

x =6+2/3

y2(2ax) = x3 , a>0 (Cisoide)

Solución. (1) y = ± x 2a?x

«+ 0 x < 2a

La curva es simétrica respecto del eje X. La relación es bi-

valente, define a las funciones:

= * v /s r - f z ( x ) = - x / s í

(2) lim fi(x) = lim f2(x) = ® + x=2a es una asíntota verticalx+2a x+2a

(3) La curva pasa por el origen de coordenadas.

(¿) Intervalos de monotonía:

f, (x) =/ (2ax)3

Para f'(x)=0 + x=0 ó x=3aAmbos puntos no pertenecen al inter

valo <0,2a>, por lo que la gráfica

de la relación no presenta extremos,

fi es creciente y f2 es decreciente

para xe<0,2a>.

para x=~


>+ x 1 ó x ^ 2 , xj¿0 ++ xe<” , 0>U<0,1]U [2,+«>>

La curva es simétrica respecto del eje X.

La relación es bivalente, dado que define a las funciones:

fi (x) = ¿flsrÜ Isz2?. y f2(x) = ■ á xz 1)(.X2)

(2) lim fi(x) = 1X+co

lim f2(x) = 1X+oo

Entonces, y=1 e y=1 son asíntotas horizontales.

lim fi(x) = lim f2 (x) = " + x=0 es una asíntota verticalx+0 x+0

(3) Para y=0 + x=1 , x=2 ; la curva pasa por (1,0) y (2,0)


3x¿fÎ(x) = fí(x) = 3x4.

2x2/(x1)(x2)

x=¿/3 i Dom(fi y f2)

2x2/(x1)(x2)

Para f}(x) = fj(x) = 0 h

Luego, fi y f2 no tienen extremos.

Dado que lo.s denominadores de fj(x) y fj(x) son siempre positi-

vos ¥xeDom(fi y f2 ), el signo de las derivadas, en los entornos

de x=0, x=1 y x=2, lo determina el numerador ±(3x¿)

Si xe<<», 0> + f J (x)<0 y f£(x)>0 ,

fi es decreciente y f2 es creciente

xe<0,1> + fJ(x)>0 y f¡(x)<0

fi es creciente y f2 es decreciente

xe<2,+”> + f|(x)<0 y f](x)>0

fx es decreciente y f2 es creciente

(5) La gráfica de la relación no tiene máximos ni mínimos


12x3+51x272x+32

2x V(x 1 )3(x2)3

Si f"(x)=0 + 12x351x2+72x32=0

La ecuación admite una solución

en el intervalo <0,1> para el

cual existen dos puntos de in-

flexión

x2y2 = (x1)(x2)

S o l u c i ó n . , (1 ) y+ /(x1)(x2¡

+ 3y -*-+ ( x- 1 ) (x -2 X > 0 , x¿ 0

flexión.


x2y 2 (a+x)3(ax) , a>0 (concoide)

Solución. (1) y = ±a+x /a2>

ay a2x2 0, xjíO

x2 a2 , x/0 »* a x a , x/0La gráfica es simétrica respecto del eje X. Es bivalente, de

fine a las funciones: fx(x)a+x Á y f; (x) = a ± V ^

(2) lim fj(x) = lim f2(x) = » + x=0 es una asíntota vertical' x+0 x+0

(3) Para y=0 x=a , x=a . La gráfica corta al eje X en los pun-

tos (a,0) y (a,0).


f|(x) = a3+x3

c2/a2-y., f¡(x) =

a3+x 3

x2/a2x2

f | (x) < 0 , ¥xe<a,a> + fj es decreciente

f * (x) > 0 , ¥xe<a, a> •> f2 es creciente

(5) En consecuencia, la gráfica no tiene extremos, esto es, no

tiene máximos ni mínimos.

(6). Puntos de inflexión.

i,/ > _ a2(x+a)(x2+2ax2a2)

x3/(a!i x T

Si f"(x)=0 x2+2ax2a2=0

x = a+a/3 x

Sustituyendo en .(1) obtenemos los

puntos de inflexión:

Ii(a/3á, \/27/4a)

IJ (a»^a,,,/27/4a)

11) y = ±

J J 2 3 1óy2 = (x24)2 (1x2)

Solución.*

+ 3y <>■ 1x2 > 0 , x24=0


La relación es bivalente, define a las dos funciones:

f i ( x ) f2 (x) = .(-XÍlÍj/ T T 2



Con el eje X: y=0 ♦ 1x2=0 x 4=0

x=±1 ó x=±2 (puntos aislados)

Con el eje Y: x=0 *■ I6y2 = 1ó +* y=±1

(4) Intervalos de monotonía: f[(x) = — ^, fj(x) = — ^~'¡H

Para fj(x) = f|(x) = 0 x=0

Para la función f j:

Si x£<1,0> *■ fj(x) < 0 , fi es decreciente

xe<0,1> + fJ(x) > 0 , f¡ es creciente

Luego, y(min)=1 , para x=0

Para la función Í 2 :

Si xe<1,0> ■>

fj es creciente

XE<0, 1>

f2 es decreciente

Por tanto, y(max)=1 , .para x=0

(6) La gráfica no tiene puntos

de inflexión. >

4/ 1

ó x=±/2 t <1, 1 >

Minino en x=0

f'(x) > 02

f](x) < 0

y2 = (1x2 ) 3

Solución. y = ± (1x2)/lx2

*■ By 1x2 > 0 t 1**• 1 í x 1

La gráfica es simétrica respecto de los ejes coordenados


fi(x) = (1x2)/lx2 y f2 (x) = (1x2)/lx2

(3) Intesecciones con los ejes coordenados:

Con el eje X: y=0 + x2 = 1 *>■ x=±1

+ 3y <>■ 1 x2 > 0 , x2 4 0

x2 1 , x = ±2

+->■ 1 < x 1 i x = ±2

La gráfica es simétrica respecto a los ej.es coordenados

Con el eje I: x=0 > y2=1 ++ v=±1

(4) Intervalos de monotonía: fj(x) = 3x/lx2 , f'(x) = 3x/l x2

Para fj(x) = f^(x) = 0 > x=0 ó x = ±1 i <1,1>


Si xe<1,0> + f J (x) > O , fi es creciente en x=0

xe<0,1> * f|(x) < 0 , fi es decreciente

Si xe<1,0> + fj(x) < O , f2 es de cr ec ie nt e^ Mínitno en x=0

xe<0,1> *■ f’(x) > O , f 2 es creciente

(5) Por tanto, fx y f2 tienen un máximo y mínimo, respectivamen-

te, para x=0, cuyos valores son: y(max)=1 , y(min)=1

(6) Puntos de inflexión: f"(x) = 3^ 2 x _ Q1 /lx2

Para f1' (x)=0 + 2x21=0

Entonces: y (11/2):

de donde: y = ± /2/4

Luego, existen cuatro puntos de

inflexión: I (±/5/2, ±/2/4)

gESTI y 2xl* = (x21)3

Soiución. (1) y = ± (—— )/x21x2

>• 3y x2 > 1 ■*-*■ x < 1 ó x >s 1

La gráfica es simétrica respecto de los ejes coordenados


fl(x) = (ilzl) /^7 í y f 2 (x) =x2 x2

(2) La gráfica no tiene asíntotas verticales ni horizontales.

Asíntotas oblicuas: y=kx+b (a)

k = lim í M = lim t(*!ll)(.!ÍÜp) = ±1X*“ X X*” X 2

b = lim [f(x)kx] = lim f"(í—^ ) / x 21 xl =X+00 V2 •X+°°

x_1 >

x2

Luego, en (a) se tiene: y=±x

(3) Para y=0 >* x=±1 , la gráfica intercepta al eje X en los pun

tos (1,0) y (1,0). 2 ____



f"(x) = Sí*-*2) x V x 21

Para f" (x)=0 *■ 2x2=0 ++ x=±/2

Sustituyendo en (1): y=±1/2Luego, los puntos de inflexión de

la gráfica son: I(±/?, ±1/2)

2x

Solución, y = ± ex

(1) La relación está definida para x>0. La grá

fica es simétrica respecto del eje Es bivalente, define a

las funciones: fi(x) /2ex f 2 ( X ) = 'Zex e e

(2) lim fi(x) = lim f2(x) = 0 •> y=Ó es una asíntota horizontalX+oo xyco


(4) Intervalos de monotonía: f'(x) = 1 ~2x) f'(x ) = e(12x)ex/2ex ex/2ex

Para fJ(x) = f *(x) = 0 + 12x=0 «+ x=1/2

Si xe<0,1/2> + f! (x) > 0 , fi es creciente ,, , .. . 1 Máximo en x=1/2

xe<1/2,+«» *■ f'(x) < 0, fi es decreciente

xe<0,1/2> + fj(x) < 0 , f2 es decreciente

xe<1/2,+«> + f • (x) > 0, f2 es creciente ^Mínimo en x=1/2

(5) Luego, fj y f2 pa3an por un máximo y mínimo,respectivamente

„ en x=1/2, cuyos valores son: y(max)=1 , y(min)=1


fjfx) = e(¿x24xlj_

2xex./2ex

Para f'1'(x)=0 *■ 4x24x1=0

(4) Intervalos de monotonía: f'(x) = )/x21x 3

Para f'(x)=0 x21=0 «*■ x=±1 i <“ , 1>U< 1, +“»

fi(x)=co»x=0 i. < », 1 >U< 1,' +“>>

(5) Por tanto, la gráfica de la relación no tiene extremos.

+ x =2

es la abscisa de los puntos de

inflexión de fi y f2.


BE3 y = e 1 / x - x

Solución. (1) La función está definida en R{0)

(2) lim f(x) = 00 x=0 es una asíntota vert.x+0

Asíntota oblicua: y=kx+b (a)

k = lim = lin (— -- — ) = lim -----1) = 1X+oo X X+OO X X+oo

b = lim [f(x)kx] = lim ( e ^ xx + x) = lim (e x) = 1X-VOO X-* oo X->-co

Luego, en (a): y=x+1 ** L:x+y=1

(3) Para y=0 + e1/,xx=0 , la gráfica de la función intercepta al

eje. X en el punto que satisface la ecuación e

(¿) Intervalos de monotonía: f'(x) e1/x + x2

x2. /

Dado que f'(x)^0 , la gráfica de la función no tiene extre-mos, es decreciente en todo su dominio.

(5) Puntos de inflexión: f"(x) = (

Para f” (x)=0 + 1+2x=0 ■*+ x = 1 /

Luego, el punto de inflexión es

í>l(¿,e"2+

r i m Tanxu ü l y = e

Solución. (1) La función está definida en R, excepto pa-

ra x = kn + , donde k=0,±1,±2, ...

Como Tan(x+tt) =Tanx , la función es periódica (T=ir)

(2) Las asíntotas verticales de la curva son: x = kn + j

(3) L áfi i t t l j Y l t (0 1)


(6) Puntos de inflexión

f" (x)=eTanxSec2x(1+Tanx)2

También f"(x)>0 , VxeDom(f),

luego, la gráfica es cóncava

hacia arriba, no tiene puntos

de inflexión.

1

ix|y = 1x.e' |JW cuando x/0 , y = 1 para x=0

Solución. Cuando x>0 •> |x|=x , la función es equivalente

a y=1xe” x . Cuando x<0 + |x|=x , la función

es idénticamente igual a la función lineal: y=1x . De modo que:

r 1 x , si x<0

f(x) = ■ 1 , si x=0

. 1x. e“2/,x , si x>0(1) La función está definida en R.

(2) Asíntota oblicua: y=kx+b (a)

2/xk = lim liül = lim (_xe ) = lim (i e'2/x) = i'

= 1 + li» = 1 + ilB r0e~2/x(2/x2)]x+co 1/x x+co * 1/x2 »

X + “ X X + “ ■■ X + 00

b = lim Tf(x)kx] = lim (lxe2^x+x) = lim [l + x(1e*2^x)lX*00 X+00 X'*00

,2/x

X+oo 1/x x+co

= 1 + lim (2e"2/,x) = 1 + 2 = 3X+oo

Luego, en (a): L: y=x+3

('3) Intervalos de monotonía para la función fi(x) = lxe"2^ , x>0

f'i(x) = -(*±2)e-2/x

Para f ’i(x) = 0 + x+2=0 +•+ x=2 i <0, +■»>

Luego, la función fi no tiene extremos,, es decreciente Vx>0.

’(4) d i fl ió f"i( ) ( 1) 2/

(3) La gráfica intercepta al eje Y en el punto (0,1)

(¿) Intervalos de monotonía: f'(x) = e^anxSec2x

Como f'(x) > 0, ¥xeDom(f), la función es creciente y no tie-

ne extremos.

’(4) Puntos de inflexión. f"i(x) = ¿(£¿1) e_2/,xx3

Para f"i(x) = 0 + x+1=0 <*• x=1 t <0,+°°>

Por tanto, la grafica de fi no "tiene puntos de inflexión, es

66 6 Capítulo 4: Análisis de las Funciones

cóncava hacia abajo.

(0,1) es el punto angular de,

la gráfica con dos tangentes

diferentes.

y = x24|x|+3

Solución. Si xJO >■ |x|=x , y si x<0 |x|=x

x24x+3 , si .x 5 0 (f i)

x2+¿x+3 , si.x < 0 (f2) •

(1) El dominio de la función es R

La gráfica es simétrica respecto al eje Y , f(x)=f(x)


(3) Interceptos con los ejes coordenados:

Con el eje X: fi(x)=0’ x24.x+3=0 «*■ x=1 ó x = 3

f2 (x)=0 » x2+4x+3=0 <*• x=1 ó x=3

Con el eje Y: x=0 y=0 , la curva pasa por el origen.


fi(x)=x2¿x+3 + f }(x)=2 (x2) , si fj(x)=0 x=2

f2(x)=x2+4x+3 + fJ(x)=2(x+2) , si f2 (x)=0 ■> x=2

En fi: xe<0,2> fj(x) < 0 , f, es de cr ecie nte^ , KÍniln0 en x=2

xe<2,+“> ■> fJ(x) > 0 , fi es creciente

En f2 : xe<<»,2> fj(x) < 0 , f2 es de cr ec ie nt e^ M£nimo en x=_2

xe<2,0> fj(x) > 0 , f2 es creciente

(5) Por tanto, fi y f2 pasan por un mínimo en x=2 y x=2respecti

vamente, cuyo valor es: y(min)=1 y


Como f"(x)=f2(x)=2 > 0 ,

la gráfica de la función no

tiene puntos de inflexión

1464


En los ejercicios U6 5 K6 9 analizar las funciones dadas en

forma paramétrica y trazar sus gráficas.

x=t ’ + 3t+1 , y=t s3t+1

Solución. (1) Las funciones x=f(t) e y=g(t) están defini

das ¥teR, y la función y=F(x), ¥xeR.

(2) La gráfica dela función no tiene asíntotas.

(3) Intervalos de monotonía: f 1(t)=3(t2 +1) , g 1(t)=3(t21)

+ F'(x) = g'i/y. = i!zl = G(t)f'(t) t2+1

Para F 1 (t) =0 t21=0 +*■ t=1 ó t = 1

Si te<<»,1> ■* F'(x) > 0 , F es cre ci en te__ , , . ,, Máximo en t=1

te<1,1> * F'(x) < 0 , F es decreciente

te<1,+“>> >• F 1 (x) > 0 ,F es creciente "^"Minimo en t1

(4) Para t=1 + x = 13+1 = 3 , y = 1+3+1 = 3

t = 1 + x = 1+3+1 = 5 , y = 13+1 = 1Luego, el punto máximo es (3,3) y el mínimo es (5,1)

(5) Puntos de inflexión: G'(t) = — — ---(t2+1)2

F" (x) = ~ (t) = ---AÍ-- ; para F'(x)=0 + t=0f'(t) 3(t2+1)3

Si te<“,0> *■ F" (x) < 0 , F es cóncava hacia abajo

te<0,+“ > + F"(x) > 0 , F es cóncava hacia arriba

Por tanto, la gráfica de la función tiene,un punto de inflexión

en 1(1,1) , para t^O. Cuando x .+ el ángulo de inclinación de

la línea hacia el eje X tiende a ¿5°.

tiene puntos de inflexión.

Obsérvese en la gráfica que

y(max)=3"para x=0. El punto

(0,3) es el punto angular de lagráfica con 2 tangentes diferentes.

66 8 Capitulo 4: Análisis de las Funciones

x=t33n , y=t36arcTant

Soiuai&n. (1) Las funciones x=f(t) e y=g(t) están definí

das ¥tgR, y la función y=F(x) , •VxeR.

(2) Asíntota oblicua: y=kx+b (a)

, i > n . ,t36arcTant> _ ^3t2 6/1+t2 ^k = lim (i) = lim (----------- ) = lim (----------- — ;

t-H» X t+00 t 3 - 6 tt t-*«>

= lin 3t H 3 t ^ = 1

t+® 3t2(1+12)

b = lim (ykx) = lim (t36arcTantt3 + 3tt)i,>±oo

= lim (3ir6arcTant) = 3tt 6(5) = Ot++»

= lim (37r6arcTant) = 3ir 6( ?) = 6irt>00

Luego, en (a), las asíntotas son: Lj:y=x , L2 :y=x+6ir

3t2

lia (3iróarcTant)"t> + oo

(3) Intervalos de monotonía: f'(t)— 3t2 , g'(t) =

+ F'(x) = = .3(t2+2)(t*1) = Q

f'(t) 3t2(1+t2)

Para F '(x)=0 »■ t21=0 «*■ t=1 ó t=1

Si tE<“ >1> F'(x) > O , F es creciente

te<1,1> F'(x) < 0 , F es decreciente

te<1,+<x>> > F'(x) > 0 , F e s creciente

3t ‘* + 3t26

1+t2

* > Máximo en t=1

Mínimo en t=1

(4) Para t=1

t=1

y = - 1 + I71X = 13*

x = 1371 , y = 1 J*

Luego, el punto máximo es (1 3 , 1 + 3ti /2) y.el mínimo es(13ir,13"/2) y^

(5) Puntos de Inflexión: G'(t) = ■

F" (x)f'(t)

4(1+2t2)

3t5(1+t2)2

Para F" (x) = 00 + t=0

Si t < 0 + F"( ) < 0


_ 3t

1+t3

3t

1+t3(Folium de Descartes)

Soíac-iin. (1) Las funciones x=f(t) e y=g(t) están defini_

das ¥teR, excepto t=1.

(2) Asíntotas. Dado que lim f(t) = +00 y lim g(t) = «>t+1’ x+1

o bien: lim ,f(t)t1 +

lim ,g(t) = +°°t*1 +

la gráfica de la función no tiene asíntotas horizontales ni

verticales.

Asíntotas oblicuas: y=kx+b (a)

t) = 1k = lim (y) = lim _( — — ) = lixv+oo x t+1

Lim

b = lim (ykx) = lim ( 3tJ 3t 3t•) = lim (1+t3 t+1* 1t+t2

= -1

= 3t(2t3)

(1+t3)2 .

= 0 (t) (b)

x+ +°° t>1 1+t3

Luego, en (a): L:y=x,1

Al mismo resultado se llega cuando x *■

(3) Intervalos de monotonía: f'(t) = g ’(t)(1+t3)2

F'(x) S ' M t(2t3) =

f'(t) 12t3

Para F'(x)=0 y F'(x)=°° , los números críticos son, respectivamén

te: t=0 , t = 3/2 , t=3/Í/2

Si t < 1 ■* F'(x) < 0 , F es decreciente

1 < t < 0 >■ F'(x) < 0 , F es decreciente

0 < t < 3/l/2 F'(x) > 0 , F es creciente

Vl/2 < t < 3/2 + F'(x) < 0 , F esdecre ci entet > 3/2 + F'(x) > 0 , F e¡

Obsérvese en (b) que cuando t=0

entonces F '(x)=0, es decir la

tangente es horizontal en (0,0)

(si t=0 * x=y=0).Cuando t*« , en

tonces F'(x) *■ es decir, la >x

Si t < 0 + F"(x) < 0

F es cóncava hacia abajo

t > 0 F" (x) > 0

F es cóncava hacia arriba

Luego, para t=0 l(3ir,0)

.tangente es vertical en (0,0),

(si t+°° * x=y = 0). Por tanto, la

curva pasa dos veces por el ori

gen, esto es, (0,0) es un punto


múltiple, los ejes coordenados sirven de tangente en este punto.

También en (b) : si t= s/2 + x=’/2 , y=3/Z , F'(x)=.0; luego, en

A( 3/2 , 3/Z) la tangente es horizontal. Si t = Vl /2 x=3/¿,

y = 3/2 , F'(x)=“ , luego, en B(3/¿,3v/2) la tangente es vertical.

x=te y=te"

Solución, (1) Las funciones x=f(t) e y=g(t) están defini-

das ¥teR, y la función y=F(x), ¥x>1/e

(2) Asíntotas: lim f(t) = lim g(t) = lim (”r) = lira (“+") = 0e t**+°° e

Entonces: y=0 es una asíntota horizontal.

) olim f(t) = lim (tet co t*00

Entonces: x=0 es una asíntota vertical

; lim g(t) = lim (te*1)t*00 t00

(3) Intervalos de monotonía: f'(t)=e^(t+1) , g 1 (t) =e~1:' (1 t)

F 1(x ) = J L Ü Ü = ( ^ ± )f'(t) 1+t

e‘2t = G (t) (a)

Para F'(x)=0 y F'(x)=“> , lo's puntos críticos son t =1 y t = 1

Si te<“ ,1> F'(x) < 0 , F es decreciente

te<1,1> > F'(x) >0 , F ’es creciente

.tc.<1,+«»> F'.(x) < 0 , F .es .decreciente •

-1x=e

Mínimo en t = 1

> Máximo en t=1

1(4) Para t = 1 + x=e~' , y = e , para t = 1 x=e , y = e

r 1 /Luego, el punto mínimo es ( —,e) y el máxi mo(e,1/e)

(5) Puntos de infle2t

n: De (a): G * (t) = ¿íllzilg— (1+t)J

+ F"(x) = 1 Ü 1 1 = 2(t22)8~2tf'(t) (1+t)3

Para F"(x)=0 * t22=0 ** t=±/2

Si te<«,/2> >* F" (x) < 0

F es cóncava hacia abajo.

te</2,1> i F" (x) > 0


te<1,/2> > F"(x) < 0

>x


Por tanto, la gráfica de la función tiene dos puntos de infle-

xión. Para t=/2 + 1 1 (/2/ev/2,/2. e1 )

para t=/2 + I2 (/2. e/2,/2/ / 1 )

Obsérvese en la gráfica que, cuando 1/e<x<0 la función es biva-lente, y cuando x>0, la función es univalente. Además la línea

es simétrica respecto a la recta L:x+y=0.

CHD x=2aCostaCos2t , y=2aSentaSen2t (Cardiode)

So ¿uci&n. (1) La cardiode es una curva cerrada para

te[o,2ir]. Si x=f(t) e y=g(t), entonces

f(t)=f(t) y g(t)=g(t). La línea es simétrica respecto del

ej e X.


Con el eje X: Si t=0 x = 2aa = a

t=?r x = 2aa = 3aCon el eje I: Si t=n/2 + y = 2a(l)a(0) = 2a

t-3ií/2 y = 2a(1)a(0) = 2a

(3) Intervalos de monotonía: f'(t) = 2a(Sen2tSent)

g'(t) = 2a(CostCos2t)

Entonces: F'(x) = .L'.W = CostCos2tf '(t) Sen2tSent

Para F'(x)=0 ■+■ CostCos2t=0 «*• 2Cos2tCost1 =0

«r* Cost = 1 ó Cost = 1/2

t=0 ó t=2n/3 ó t =4ir/3

Para F'(x)=® + Sen2tSent=0 Sent(2Cost1) =0

Sent = 0 ó Cost = 1/2

t=7r ó t=n/3 ó t = 5ir/3

A

X

F es cóncava hacia abajo

te</2,+“> + F"(x) > 0



(4) Por el criterio de la primera derivada, la curva pasa por un

máximo para t=2n/3 y por un mínimo para t = 4Tr/3, y cuyos valo

res son: Max( ga,3a!^) Min ( |a,

(5) La gráfica de las ecuaciones dadas no tiene puntos de infle-

xión.

En los ejercicios 14701477 analizar las líneas cuyas ecua-

ciones son dadas en el sistema de coordenadas polares.

(Nota. Se admite aquí que si r(0)<O, en elcorrespondiente

rayo no existe el punto de la gráfica).

1JEM¡| r = aSen30 (rosa de tres pétalos)

Solución. (1) Intersecciones:

a) Con el eje polar: Si 0=0 ó 0=7T + r=0

\ Ño existe intersección,

b) Con el eje a 90°': Si 0=it/2 + r=aSen (3tt/2) = aComo r<0, no existe el punto (tt/2, .a)

Si 0=3tt/2 + r=aSen(9ir/2) =aSen(ír/2) = a

(2) Simetrías, (a) Con el eje polar: f(6) = Sen38 / f(6)

No es simétrica

(b) Con el eje a 90°: f(iT0) = aSen3(ff0) = aSen36 = f(0)

Si es simétrica

(c) Con el polo: f(tt+0 ) =aSen3(iT + 0 ) =aSen38 , no es simétrica

C3) Tangentes en el polo. Se obtienenhaciendo r = 0

Si r=0 Sen30=O 39 = 0 , tt, 2tt, 3tt, ítt , 5tt

► + 6 = 0 ,t t /3 , 2 t t /3 , t t , 4t t /3 , 5t t /3

(4) Extensión. Del paso anterior se deduce que la función r=f(6)

está definida en los intervalos:

lo, tt/3] , [2n/ 3, ttJ , [4tt/3, 5tt/3J

(5) Valores extremos: >■ 3aCos30

Para = 0 + Cos38 = 0

<»• 30 = tt/2 , :3tt/2 , 5tt/2~, 9tt/2


Q Q J r = aTan8

Solución. (1) Intersecciones:*1'a) Con el eje polar: Si 6=0 ó 6=ir + r=0

La curva pasa por el polo.

(2) Simetrías:

a) Con el eje polar: f(6) = aTan6 / f(6) No es simétrica

'b) Con el eje a 90°: f (ir0) =aTan0 £ f(9) No es simétrica

c) Con el polo: f (tt + 0) = aTan6 = f(0) Si es simétrica

(3) Tangentes en el polo:

Para r = 0 * Tan6 = 0 6=0 ó 6=tt

(4) Extensión: Si r + entonces Tan8 + +~+ 0=tt/2 ó 6 = 3tt/2

La función está definida en los intervalos:

[0 ,tt/2>U[tt,3tt/2 >

Las rectas x=a y x=a so las asíntotas verticales.

(5) Valores extremos: 4? = aSec2(

Sec26=0

No existe' soluciones reales

Como > 0 ,V0eDom(f), la fun-

ción es creciente, por tanto no

tiene valores extremos.

I W I r = a(1 +Tan0 )


a) Con el eje polar: 0=0 ó 0=tt r = a

b) Con el eje a 9 0 ° : Para 0 = t t / 2 , r no existe

(2) Simetrías:

a) Con el eje polar: f (0)= a(1Ta n0) / f (0) . No es simét.

b) Con el eje a 90°: f(ir0) = a(lTan0) / f(8) . No es sim.

c) Con el polo: f (tt+0 )=a( 1+Tan0) = f(0) . Es simétrica.

<» 30 tt/2 , :3tt/2 , 5tt/2 , 9tt/2

*■■*6 = tt/6 tt/2 (r<0) , 5tt/6 , 3t/2

Luego: 0 = t t / 6 , 5 t t / 6 , 3tt/2 son puntos extrenos.

( 3 ) Tangentes en el polo:

Si r=0 + Tan0 = 1 *> 6 =3 t t / 4 ó 6 =7 t t / 4

( 4 ) Extensión. Lá función está definida en los intervalos:


[O, it /2 > U [3 tt / 4 , 3 i r /2> U [7 t f / ¿ , 2 tt3

di*(5) Valores extremos: = aSec

Si = 0

No existe solución, por tanto,

la función no tiene extremos.

aSec 0=0

/ TT [La gráfica tiene como asíntotas a

las rectas: x=2a , x=2a.

(6) Punto de inflexión:

= 2aSec20Tan0d02

Para Aí1 = 0 Tan9=0 0=0d02

Luego, el polo es el punto de inflexión.

(2 )

Q r = a(1+Cos0) (Cardiode)


a) Con el eje polar: 0=0 *■ r=2a

0— tt *• r=0

b) Con el eje a 90°: 0=tt/2 ó 0 = 3tr/2 r = a

simetrías:

a) Con el eje polar: f(9)‘ = f (9) . Es simétrica

b) Con el eje a 90°: f (tt-0 ) =a( 1Co s0) jí f(e) . No es simét.

c) Con el polo: f (n+6)=a(1Cos0) ¿ f(9) . No es simétrica

(3) Tangentes en el polo: Para r=0 Cos0 = 1 ■»*• 0= ti

(¿) Extensión. La función existe para todos los valores de 0.

La línea es cerrada.

(5) Valores extremos: ■gj = aSen0

Si

d2r

d02

drd0

0 *• Sen0=O 0=0 ó 0=ir

= aCos0


r = a(1+bCos0) , a>0 , b>0

Solución. 1)Intersecciones:

a) Con eleje polar: 0=0 ■*• r=a(1 + b)

0=n + r=a(1b)

b) Con el ejea 90°: 0=tt/2 + r = a

© = 3^/2 , r=a

2) Simetrías:

a) Con el eje polar: f(0) = f(0) .'. Es simétrica

b) Con el eje a 90°: f(ir0) = a(lbCosO) ¿ f(0) .'. No es sim.

c) Con el polo: f(ir + 0) = a(lbCos0) f (0) .". Noes simétrica

3) Tangentes en el polo:

Si r = 0 + Cos0 = 1/ d 0 = arcCos (— 1 /b)

P

| 0 = 2 71 ” arcCos (4)2*1 _i'o'

O Extensión: La función está definida en los intervalos:

5) Val ores extremos:

^ = abSen0

Si ¿rSl d0 Sen0=O 0 =

Para 0 = 0 *■ r =a(1+b)max

r = (Litus)

, r no existe

*■ r=1


a) Con el eje polar: 0=0

0=ir

d0 2

para 0=0 > r"(0) = a < 0

0=71 r" (0 ) = a > 0

Luego: r(max)=2a y r(min)=0

El polo es un punto de retroceso.

*■ r=10=ir

b) Con el eje a 90°: 0=u/2 *• r = /2

■ 0 = 3tt/2 + r = /¿T?

(2) Simetrías: La línea no es simétrica con ninguno de los ejes


ni con el polo.

(3) No existe tangentes en el polo.

(4) Extensión. La línea está definida para 9>0.

SI eje polar es la asíntota. La línea se desa-

rrolla alrededor ¿el polo en forma espiral, acercándose aéste de manera asintótica.

/ i dr /ñ _ . r(5) Valores extremos. r "d9 = ~ ~ ~ '2Q

29/^

Si 8 es el ángu.lovque forma el radio polar con la tangente,

se sabe que: TanS = = 26

Pero: a=3+9 (a es el ángulo de inclinación de la tangente)

+ Tana TanB + Tan9 dx . 20+Tan9 = Q(e)

1 Tan6Tan6 dx 1+29Tan0

Para 4*^ = 0 29 + Tan9 = 0dx

Los extremos de la línea satisfacen la ecuación: 26=Tan9

(6) Puntos de inflexión: G 1 (0) = _ (1 )Sec e(1+20Tan9)

d2y _ G 1 (9) _ (1492)Sec29

dx2 r ’ (9) 29/Éf( 1 + 26Tan9)

Para — I = 0 ■+ 1492=0 <>■ 0 = 1/2 ó 9=1/2 < 0dx 2

Por tanto, el punto de inflexión es: I(/2tt, 1/2)


a) Con el eje polar: 9=0 r = 0

0=, r = f (J) = i

b) Con el eje a 90°: 0=tt/2 * r ^arcTaníg)

9 = 3rr/2 + r = ^arcTan(^)

(2) Simetrías. La línea no es simétrica con ninguno de los ejes

ni con el polo.

(3) Tangentes en el polo: Si r=0 + arcTan(|)=0 +>■ 0=0

(4) Extensión. La línea está definida par?

Obsérvese que si r=1 *■ arcTan(^) =

Luego, la gráfica de la línea

es una espiral que parte del

polo y se acerca, de manera a

sintética, a la circunferen-

cia r=1 adió r=1.

r = ST-t2 , 9=arcSent + /it2

So ¿ución. 3r 1t2 'i- 0

t2 1 1 ^ t 4 1

La gráfica de la línea es cerrada. No tiene asífttotas.

dr t d0 _ 1 t 1t• * = dt

/it: " dt " / u P ‘ / ü p = A T T

1476 r = —arcTan( )TT TT

S o l u c i ó n . ( 1) I n t e r s e c c i o n e s :

Entonces: 4§ = — t t dr1t

La línea tiene un mínimo para t=0, esto e"s: r=1 , 0 = 1


Si = » *■ t=1 . Para t = 1 , r=0 y 6=7r/2 (Tangente en el polo)do

Luego, la gráfica de la línea estásituada integramente a la dere.

cha del eje a 90°.

Si F (t) =

dr

d9»■ F » (t) =

'1-t2

1

(t-D:d2r = F1(t) = ____

de2 e'(t) (t-1 ) 3

Si d r

d620 1-t2=0 t=±1

Son puntos extremos del dominio

de la línea, por tanto, no exis

te puntos de inflexión.

En los ejercicios 14.781481 analizar y construir las líneas

después de haber reducido sus ecuaciones al sistema de coor

denadas polares.

1478. (x2+y2)3 = 4a2x2y2

Solución. Según las relaciones: r2=x2+y2, x=rCos0,

y=rSen0, se tiene:

(r2)3 = 4a2 (r2Cos20) (r2Se n20) = 4a2r 1,Se n29Cos29 = a2r‘*Sen220

r = aSen26

(1) Intersecciones

a) Con el eje polar: 0=0 + r=0

0=7T -*■ r=0

b) Con el eje a 90°: 8=ir/2 +r=0

8 = 3tt/2 + r=0

No hay intersecciones con ambos ejes, la curva pasa por

el polo, que es un punto autotangencial doble.

(2) Simetrías:

a) Con el eje polar: f (2ir9) =aSen2(2w0) =aSen29 Es sim.

b) Con el eje a 90°: f (ir0) =aSen2 (ir9) = aSen28 Es simét.


Si r=0 -> Sen26 = 0 28 = 0 , ir, 2tt , 3tt , 4tt

0 = 0 , t t /2 , n , 3ir/2 , 2ir

(4) Extensión:

La gráfica de la línea es una

rosa de cuatro pétalos, q ueestá definida ¥ 8eR.

» 0°

a2y■> r = /aTanS

(La línea pasa por el

polo)

(x2+y2)x

S olución. (r2)rCos8 = a2rSen0

(1) Intersecciones:

a) Con el eje polar: 0 = 0 * r = 0

0=tt r=0

b) Con el eje a 90°: 9=it/2 ■> r = »

No existe intersección. La asíntota de la línea es 0=ir/2

(2) Simetrías: La gráfica de la línea no es simétrica respecto

al eje polar y al eje a 90°.

Como Tan(rr+6 ) =Tan 0, la línea es simétrica respecto al polo.

(3) Tangentes en el polo: Si r=0 + Tane=0 +~» e=0

(4) Extensión: 3r *»■ Tan6 > 0

++ 0e [0,tt/2>ü[tt, 3ir/2>

Esto es, la línea pertenece integramente a la banda:

a/ 2 a/ 2■ T < X Í T

d2r _ /aSec20(4Tan20Sec20)

d9 2 4Tan0 /Tan9

6ir

(5) Puntos de Infl e x i o n :



c) Con el polo: f (tí + 6) =aSen2(ir+9) =aSen29 Es simétrica

(3) Tangentes en el polo:

d9 2 4Tan0 ./Tan9AÍ-

Para — - = 0 ■* 4Tan28Sec20 = O +*■ Sen9 = ±1/2d0 2

6=7r/6 ó 8 = 7u /6


Para = 00 + Tan0=O 0d62


son! 8=0 , ©=7t/6 , 6 = 7rr/6

8 E S 1 x ‘*+y11 = a2 (x2+y2 )

Solución. La línea es simétrica respecto a los ejes X e

Y y también a las rectas v=x , y=x.

Si x=0 y2 = a2 **■ y = ±a

y=0 + x2= a2 *-* x = ±a

Por tanto, la línea es cerrada y tiene 4 puntos de retroceso.

(a,0) ,(a,0) , (0,a) , (0,a)

Como (0,0) satisface la ecuación, éste es un punto aislado.

Pasanndo a coordenadas polares se tiene:

(x2+y2 )22x 2y2 = a2 (x2+y2)

r1* 2(r2Cos26) (r2Sen 20) = a2r 2

r2 2r2Se n20Cos26 = a2

r2(1 gSen228) = a2

Observe que si 0 = 0 ó 0=it r=±a

y si 0=tt/2 ó 0=3n/2 r=±a

son los 4 puntos de retroceso

obtenidos anteriormente.

ÉífeM'B (x2+y2) (x2y2) 2 = 4x2y2

Solución. (r2)(r2Cos20r2Sen 20)2 = 4(r2Cos20)(r2Sen20)

r s(Cos20)2 = r‘t(2Sen0Cos0)2

Sección 5: Fórmula de Taylor 681

b) Con el eje a 90°: 0=tt/2 +■ r=0

6 = 3tt/2 ■> r=0

El polo es un punto cuadruplo.

(2) Simetrías: La línea es simétrica respecto al eje polar, al

eje a 90°y al polo. Además es simétrica respecto a las rectas y=x , y=x.

(3) Tangentesen el polo: Si r=0 ■+Tan20=O

»■ 28 = 0 ,ir , 2tt , 3ir , 4it

«-* 0= 0 , tt/2 , 3tt/2 , tt, 2tt

(4) Extensión. La línea no está definida para:

0=ir/4 , 0=3ir/4 , 8 = 5tt/4 , 8=7tt/4

Estas rectas representan las asíntotas de la línea, que en

el sistema rectangular están definidas por: (x±y)2=1/2

La línea presenta la forma de "molino" , cuya gráfica se

muestra en la carátula del libro, en donde se puede apre-

ciar que las ramas de la curva tocan los ejes coordenados

en el origen o polo.

FÓRMULA DE TAYLOR

5.1 FÓRMULA DE TAYLOR PARA LOS POLINOMIOS

»Supongamos que la función y=f(x) definida en el entorno del pun

to* x=a y que es derivable hasta el orden n+1 inclusive en este

punto. Determinemos un polinomio y=Pn(x) de grado no superior a

n, tal que:

Pn(a)=f(a) , P¿(a)= f1(a) , P»(a)=f»(a) , ..... P^n)(a)=f(n)(a)

Es de suponer que este polinomio, en cierto modo, será "próximo"

a la función f(x) en el entorno del punto x=a. *

Hallemos el polinomio Pn(x) siguiendo las potencias de (xa) con

( ) ( )

r2(Cos220) = Senz26 +>■ r = |Tan20|

(1) Intersecciones:

a) Con el eje polar: 0 = 0 + r=0 , 0=ir *■ r = 0

coeficientes indeterminados:

Pn(x) = Ao + Ai(xa) + As(xa)2 + ... + Afi(xa)n (2 )


Determinemos los coeficientes indeterminados Ao, Ai, A2, ••• An>

de modo que se cumplan las condiciones (1), calculando previamen

te las derivadas de Pn(x):

P'(x) = Ai + 2Az(xa) + 3A3(xa)2 + ... + nA (xa)n1

P"(x) = 2A2 + 3.2Aj(xa) + ... + n(n1)A (xa)n n n2 (3 )

,(n),’ n

Sustituyendo x por el valor de a en los dos miembros de las i*

gualdades (2) y (3) y sustituyendo, según (1), Pn(a) por f(a),

P¿(a) por f'(a) , etc, obtendremos:

f(a) = Ao

f'(a) = Ai 1

f"(a) = 2 .I.A2

fín)(a) = n(n1)(n2)--- 2.1.Ar

de donde:

Ao = f (a) , Ai = f ' (a) , A2 = f"(a)

••••t A — 1 f (a)(4)

n 1. 2.. . n

Sustituyendo (4 ) en la fórmula (2) obtenemos el polinomio busca-

do .

P (x) = f (a) + ^ f'(a) + (l42 f ' (a) + ... + (n)(a) (5)n 1 c\ n ;

que es llamado polinomio de. aproximación de f(x) en el entorno

de x=a.

Designemos por Rn(x) a la dife-

rencia :

Rn(x) = f(x) Pn(x)

de donde:

f(x) = Pn(x) + Rn(x)

o bien:

f( ) f ( ) + ^ f 1( ) + ( )


El término Rn(x) se conoce con el nombre de t¿/imino complementa

a lio o ne-iio de orden n de la ¿unción f(x).

En un entorno del punto a, E(a,ó), el término Rn(x) es muy pe-

queño y el polinomio Pn(x) da un valor aproximado de la función

f(x). De este modo, la fórmula (6) permite sustituir la función

y=f(x) por el polinomio y=Pn(x) con el grado correspondiente de

presición, igual al valor del término complementario R.n(x).

Consideremos el término complementario * en la forma:

t in + lR ( x) = ------- Q(x ) (7)

(n + 1)!

donde Q(x) es la función por determinar.

Escribamos la fórmula (6), del siguiente modp:

f(x) = f (a ) + f 1 (a ) + — "(a) + .....

+ % M V n) (a) .(A a)n + 1Q(x) (8}(n+1)!

Para valores de a y x fijos, la función Q(x) tendrá un valor

constante, que designamos por Q.

Introduciendo la función auxiliar de te<a,x>, definimos:

F (t) = f(x) f(t) ^ f'(t) (x¡|)2f»(t) ....

. ixr tl nf (n)(t) . ,.(xt)n+1

n ' (n+1)!

donde fel valor de Q es determinado por (8), cuando a y x son nú-

meros fijos.

Derivando F(t) tenemos:

F 1 (t) = f'(t) + f'(t) i^Í)f»(t) + 2(^ t^f»(t) — ¿>)2f'"(t)

' (t) + ... (xt)n~1f (n)(t} 4 n(xt)n'1f(n)1

(n1)! n!

(xt)nf( n + 1 ) ^ (n+1)(xt)n Q

n! (n+1)!

f (x) = f (a) + ^ f 1 (a) + (a)

+ % T ^ - n f ( n ) ( a ) + R n ( x) ( 6)F i g u r a 4 . 2 5

y reduciendo términos resulta:


Por tanto, F(t) es derivable en todos los puntos t entre a y x.

Según la fórmula (8) se tiene:

F(x)=0 , F(a)=0

Es decie, F satisface el teorema de Rolle, luego, existe un va -

lor t=ce<a,x> , para el cual F'(t)=0. De aqui, según (9), obte-nemos:

_ l x-c ln f (n+ 1) (e) + q = q «-► q = f (n+1) (c)n ! n !

Sustituyendo esta expresión en la fórmula (7), resulta:

Rn (x) .= (x~a) -l1f (n + I) (c) (10)(n + 1) !

Esta es la f.ó/imula de. Lag/iange. para el término complementario.

Dado que ce<x,a> , puede ser expresada en la forma:

c = a + 9(xa)

donde 0 es un número comprendido entre 0 y 1, es decir, 0e<O,1>.En este caso la fórmula (10) toma la forma:

R h (x ) = k ^ l V n +1 )[a+e(xa)](n+1)!

Entonces, en (6), la fórmula

f (x ) = f (a ) + ^ f ' ( a ) + -^ -p)2f " (a) + ----

+ (x-a)nf (n) (a) + .^ -a )n.l1f <n + 1) [a + 0(x -a )] (11)

n! (n+1)!

se denomina {.6/im.ala de. Taylo/i para la función fT[x).

Haciendo a=0, obtenemos la -f.6A.mala de. Placlau/iin para la función

f(x):

f (x) = f (0) + £ f ' (0) + 2~r f " (0) + ....

n / \ n + 1 / ■« v+ —— f (0) + - ^ ---- f ( *(0x) - (12)

n ! (n + 1 ) !

donde 0e<O,1> .


. PROBLEMAS RESUELTOS

( O Ü J Desarrollar el polinomio P(x )=x ‘‘5x3+x23x+4

en potencias del binomio x4.

Solución. Determinemos el polinomio de aproximación P(x) de

f (x) en torno del punto x = 4

f (x) = x l*5x 3_x23x+4 + f(4) = 56

f 1 (x) = 4x315x2+2x3 + f'(4) = 21

f"(x) = 12x 2-30x +2 f" (4) = 74 '

f’"(x) = 24x30 + f’"(4) = 66

flv(x): = 24 ♦ fi v(4) = 24

Luego, según la fórmula (5) se tiene:

Pi(x) = f (4) + f * (4) + '--¿v 2f"(4) + -X|3i 3f”1 (4) + "

= -56 + 21 (x-4) + ( x-4)2+ ^|(x-4)3 + ff(x-4)“

P i» (x) = (x-4)“+ 11 (x-4)3 + 37(x-4)2 + 21(x-4) 56

Desarrollar el polinomio f (x) =x 3 + 3xz2x+4 en potencias

del binomio x+1.

Solución. Para el punto x=1 se tiene:

f(x) = x 3+3x 2-2x +4 + f(1) = 8

f'(x) = 3x 2+6x -2 + f 1(1) = 5

f"(x) = 6x+6 + f."(1) = 0

f" 1 (x) = 6 + fi" (_ 1) = 6

Según la fórmula (5), el polinomio de aproximación es:

P 3 (x) = f (1) + ^pf'(1) + .Í2Ltl).2fn(T) + (x+1)3f„, (_D

= 8 5(x+1) + 0 ■ 2 + (6)

= (x+1)3-5(x +1)+8

D ll l li i P( ) l0 3 5+1 t i d l

Desarrollar el polinomio P(x)=xl03x5+1 en potencias del

binomio x1.

S o l u c i ó n . . P a r a e l p u n t o x= 1 se " t i e n e :


f(x) = x l03 x s +1 *■ f(1 ) = - 1

f'(x) = 10x915x‘* f'O) f= 5

f.»(x) = 9 0x 860 x 3 f"(1 ) = 30 .

f"'(x) = 720x7180x2 + f" '( D = 540

flv(x) =5 0 4 0 x 6 - 3 6 0 x fiv(D = 4 6 8 0

fv (x) = 30240xs360 fv(1 ) = 29880

fvi (x) = 151200x“ + fvi ( D = 151200

fvii(x) =6 0 4 8 0 0x 3 + fvll{1 ) = 6 0 4 8 0 0

fviii (x) = 1814400x2 fviii(1 ) = 1814400

fix (x) = 3628800x + flx (1 ) = 3628800

fX (x) = 3628800 + fx( D =.3628800

Según la fórmula (5), el polinomio de aproximación es:

P(x) = f(T) + (x1)f '(D + + 'fo' j^f1" (1) +

+ X¡] '■‘,fÍV(1 ) + X g]5fV d) + ■■¿■p fV1 (1 ) + (x' p f7 (l)

+ 8f(8)(1 ) + .U.1,)_9fiX(i) + Í 2SzlIi°fx( D

en donde, sustituyendo los valores hallados anteriormente resul

ta:

P(x) = (x1)lo+10(x1)9+45(x1)8+120(x1)7+210(x1)s+249(x1)s+<0

+ 195(x<1) l*+90(x1)3 +15(x1)2 5(x1 )>

J 2 3 3 Desarrollar la función f(x)=(x23x+1) 3 en potencias de x,

aplicando la fórmula de Taylor.

Solución. Determinemos el polinomio de aproximación en torno

del punto x=0 .

f (x) = (x23 x+ 1 ) 3 + f(0 ) =' 1

f 1 (x) = 3(x23x+1)2 (2x3) f'(0) = 9

f"(x) = 30(x23x+1)(x23x+2) + f"(0) = 60

f"'(x) = 30(2x3)(2x26x+3) *• f"'(0) = 270

fiv(x) = 360(x23x+2) fiv(0) = 720

fv (x) = 3 6 0 ( 2 x - 3 ) + fv(0 ) = 1080

fvi(x) = 720 + fvi(0) = 720



> P(x) = 1 9x + ¿fx2 ° x 3 + gx * ^fg x 5 + |g x6

de donde: P(x) = x 69xs + 30x‘,4 5x 3+30x29x+1

i B ¡ 3 f(x) es un polinomio de cuarto grado. Sabiendo que

f(2 ) = - 1 , f 1 (2 ) = 0 , f"( 2 ) = 2 , f (2 ) = - 1 2 , fi v(2)=24 ,

calcular: f(1 ) , f'(0 ) , f''(l).

Solución. Sea el polinomio: f(x) = a0x ‘,+a1x 3 + a2x 2 + a 3x+a1,

f( 2 ) = - 1 >■ 1 6a o +8a j +4a2 +2a 3 + ai, = - 1 (1 )

f 1 (x)=4a0x3 + 3aix2 + 2a2‘x+a3

,f’(2 ) = 0 32ao + 12ai+4a2 + as = 0 '(2 )

f" (x) =1 2a0x+ 6aix+2a2 f" (2 ) = 48ao+12ai+2a2 = 2 (3 )

f'"(x) = 24a 0x+6ai >■ f'"(2) = 48a0+6 a1 = 12 (4 )

flv(x) = 24a0 + fl v(2 ) = 24 + 24a0=24 *>■ a0=1 (5)

Resolviendo el sistema: (1) , (2) , (3) , (4) y(5) obtenemos:

ao =1 t ai= - 1 0 , a2 = 3 7 , a 3 = - 6 0 , aif= 3 5

Luego: f(x) =x ‘f10x 3 + 37x260x+35

En consecuencia: f(1) = 1+10+37+60+35 = 1 4 3

f'(x) = 4x330x2+74x60 + f 1 (0 ) = 60

f''(x) = 12x260x + 74 ■* f"(1) = 26

FÓRMULA DE TAYLOR

U U J Escribir la formula de Taylor de nésimo orden para la

función y =1/x cuando xo=1 .

Solución. f (x) = 1/x *• f (1 ) = - 1

f 1 (x) = x- 2 + f 1 (1 ) = - 1

f"(x) = 2x” 3 + f"(1 ) .'= - 2 = 2 !

f'"(x) = 2.3x‘ “ *■ f"'(1 ) = 2 . 3 = 3 !

P(x) = f(0) + ^ f'(0) + ^jf" (0) + yyf"1 (0) + jyf'LV(0) + |^fV (0)f (n)(x) = (1 )nn!xL{n+1) f(n^(l) = _¿!

f(n+1 )(x) = (1 )n+ 1 (n+1 )!x(n+2)

+ f(n+1)C1+e(x+1)l = (1)n+1 (n+1)!C1+é(x+1)J(n42)


Luego, según la fórmula (11) se tiene:

f (X) = 1 (x+1) (x+1)2 (x+1)3 (x+1)1* ... (x+1)n

(~1)n , donde O<0<1[1+6(x+1)Jn

;v: 3J Escribir la fórmula de Taylor (la de Maclauren) de nési

mo orden para la función y=xex para xo=0.

Solución, f(x) = xex f(0) = 0

f'(x) = (x+l)ex *• f'(0) = 1

f"(x) = (x+2)ex + f"(0) = 2

f (n)(x) = (x+n)ex f (n)(0) = n

f (n+1)(x) = (x+n+1) ex *• f*n+ 1) (0x) = (6x+n+1)e0xPor lo tanto, en la fórmula (12) tenemos:

2 3 n n+1f(x) = x + ¡(2) + ihr(3) + ••• * ----- (0x+n+1)e

n ' (n+1)!3 n n+1 o

= x + x2 + + ... + — --- + — ------ (6x + n+1) e ,0<0<1(n1) ! (n+1) !

SHutl Escribir la fórmula de Taylor de nesimo'orden para la

función y=/x cuando xo=¿.

Solución, f(x) = /x + f(¿) = 2

f'(x) = — f • (4.) =

42/x 4

f"(x) = — ! = -¿ 7 = > f" U) = -ÁATT3 2 \ A T 32

f'"(x) = = ?Xt r f," ^ ) = 255"8/x* 2s./x1’

fiv (x) = _ fiv (¿) = . _LL_

16/x7 27./xr 2CU8


y f n+ 1^f¿+e(x¿)] = -----

n!.22n+1./[¿+0(x4)J2n+1

Sustituyendo estos valores en la fórmula (11) obtenemos:

Wv) = o + ZzA _ .(*¿)2 4. U r Á l 3 x i (1)n'1 (2n2)!(x¿)n ,

* s i 5 1 2 •••• + ~(; i). . 2 ^ + 2 — +

* ------- 0<e<1

n!(n +1)!.22n+1,/[¿+0(x¿)] 2n+1

1 Ü Ü 3 Escribir la fórmula de Taylor de 2nésimo orden para la

función: y = ■g(ex+e x) cuando xo-0.

Solución. f(x) = ■g(exle'x) ■+■ f(0) = 1

f'(x) = i( ex-e’x ) + f'(0) = 0

f"(x) ='-l(ex +e' x ) > f"(0) = 1

' ^ ( x ) = •|(exe"x) »■ f ^ ( 0 ) = 0

f (2n)(x) = i(e x+ex ) + f (2n) ( 0 ) = 1

y f (2n+1)¡O+0(xO)| = f(2n+1)(0x) = |(e0x+e'8 x)

Luego, sustituyendo en la fórmula (12) obtenemos:

, . x 2 <t ,,2n 2n+1 9x. 0xf (x) = 1 + 7jy + •jy + . . . + --- — + — ---- («_te--- } Q<e<1

(2n )! (2n +1)! 2

Escribir la formula de Taylor de nésimo orden para la

función y=x3lnx cuando xo=1.

Solución. f(x) = x 3lnx + f(l) = 0

f 1 (x) = x2 (l + 31nx) + f 1(1) = 1

f"(x) = x(5+6lnx) *■ f"(1) = 5

f, M(x) = 11+6lnx + f" »(1) = 11

f (n)(x) = _ l D n~1 (2n2)! f (n)(t) = ( 1)n~1(2n2)!

(n1)! 22n- ] / ^ (n1 ) !. 2

fi v(x) = óx ’1 fiv(1) = 6

fv (x) = 6x~2 > fv (1) = Ó

fv i(x) = 6.2.x“ 3 fvi (1) = 12


fvii(x) = -6X2X3X-1* - fvii(1) = -36

f(n)(x) = 6(-1)n(n-4)!.x~(n~3)X

+ f (n)(1) = 6(1) n (n4)!


f(x) = ( x - 1 ) + l y ' C x- 1 ) * + 3 t ( x - 1 ) s + f i í x - D 1* + ... +

+ 6(1)n(x1)n ■ 6(1)n +1 (x1)n+1

n(n1)(n2)(n3) n(n +1)(n1)(n2)[1 +6 (x1 )]

donde: O<0<1

n - 2

BTÜSI Escribir la fórmula de Taylor de 2nésimo orden para la

función y=Sen2x cuando x=0.

Solución. f(x) = Sen2x + f(0) = 0

f'(x) = 2SenxCosx = Sen2x *■ f'(0) = 0

f»(x) = 2Cos2x *■ f"(0) = 2

f"'(x) = 22Sen2x f'"(0> = 0

fi v(x) = 23Cos2x + fiv(0)= 2 3

fv (x) = +2*Sen2x fV (0> = 0

fv i(x) = +25Co s2x fvi(0) = 25

f (2n)(x ) _ (_1 jn1>2 2n_1Cos2x + f^2n^(0) = (1)n 1¡

f( 2n+D (x) = (_ Dn ,22 nSen2x + f^2n+ 1 )(0x) = (1 )n. 22nSen26x


,/ , 2x 2 2 3x ‘t , 2 5x6 •2 7x 8 , ,f(x) = — ~ — + ~T\-S T + ••• +

+ ( D n"122n~1x2n + ( ~ D n. 2^

(2n)! (2n+ 1 )Sen29x , 0<9<1

2nl


Solución. Haciendo n=3 en la fórmula (11) de Taylor tendremos

que el polinomio de aproximación es:

f (x) f (2 ) + f'(2 ) + — 2f" (2 ) + 3f" ; (2 ) + R3 (x) (1 )

donde Rs(x) = f [ 2+9 (x2)] es el error que se comete al

considerar y=f(x) en el entorno del punto x= 2 .

Luego, si: f(x) = ■~T' * f(2) = 2x1

f'(x) = (x1 ) " 2

f"(x) = 2 (x1 ) ' 3

f"'(x) = 6 (x1 )"‘

f'(2 ) = - 1

f"(2 ) = 2

f'" (2 ) = 3!

flv(x) = 24(x1)~ 5 >■ flv(2 ) = 4 !

Sustituyendo estos valores en (1) obtenemos:

f (x) = 2 (x2 ) + (x2 ) 2 (x2 ); (x2 ) 1

[2+e(xD]5

(1)

| H m Escribir la fórmula de Taylor de segundo orden para lafunción y=Tanx cuando xo=0 y construir la gráfica de la

función dada y de su polinomio de Taylor de segundo grado.

Solución. Para n=2 en la fórmula de Taylor tendremos:

f (x) = f(0) + yf'(O) + |^f"(0) + |Ifiii(9x)

f(x) = Tanx + f(0) = 0

f 1 (x) = Sec2x + f '(0) = 1

f"(x) = 2Sec2xTanx + f"(o) = 0

f"'(x) = 2Sec2x(Sec2x+2Tan2x)

f'"(9x) = 2( f2Sen26x)

Cos“9xEn (1): f (x) = x + ^ ( lí.2Sen2?x)

5 r> « „ a

Obsérvese que cuando x + 0 ,

entonces Rs(x) + 0. Luego

para la gráfica consideremos

la aproximación: f(x)=x

* f'"(0) ‘= 2

, donde 0<6<1 y

y=/ * /

Panx / JT

Jf 1^ 1

. A 0 il x■ 2

'2111

: Escribir la fórmula de Taylor de tercer orden para la

función y = cuando xo =2 y construir las gráficas d

la función dada y de su polinomio de Taylor de tercer grado.

f(x)=y

11i


i K E I Escribir la fórmula de Taylor de tercer orden para la

función y=a rcS enx cuando x=0 y construir la gráfica de

la función de.da y de su polinomio de Taylor de tercer grado.

Solución.. Para n=3 en la fórmula (12) tenemos:

f(x) = f(0) + xf'(O) + §^f"(0) + f^f'"(0) + j^ fl v(6x)3 ! J

f(x) = arcSenx f(0) = 0

f'(x) =

f"(x) =

f"'(x) =

/(1x2)3

2x2+1„.

/(1x2)5

riv (x) = .x (6x,lt2 l

/(1x2)7

f(x) = X + f - +■ j y C

f'(0) ='1

■> f"(0) = 0

»■ f" 1 (0) = 1

flv(6x) =

xj* / 99x + 603x3j

6e3x3+99x

/ d - e 2x 2) 7

, donde: 0<6<1

/(102x 2)7

Cuando x + 0, entonces Rit(x) 0,

luego, para la gráfica considera

remos la aproximación:

f(x)

f 1 (X ) = 1 + f

* +

2

si ¥' (x)=0 x 2=-2

La función no tiene extremos.

f"(x) = x

Para x>0 ■* f"(x)>0 ,


Para x<0f" (x)<0

f es cóncava hacia abajo.

Por tanto, (0,0) es un punto de inflexión.

i M M Escribir la fórmula de Taylor de tercer orden para la

función y=1//x cuando xo = 1 y construir la gráfica de la

Sección 5: Fórmula de Taylor

f(x) = f(D + f>(l) + ^x~])2f»(l) + tx~])3f'"(l) +

+ — ^ 'tflv[n8(x1)) (1 )

f(x) =

f1 ( x ) =

f"(x) =

f'" (x)

j x i

„ m i l

2 \ / 7

f"d ) = |

f» *(i) =

fiv(x) * fiv[i+e(x1 )] = — 2*./^

Luego, en (1):

2‘*./[l+0(x1)J'

f(x) = 1 i(x1) + — (x1)2< ¿ 2i(x1)3. 2 !

2.3!

1x3x5x7 (x1)“

2\4!/[l+0(x1)]9Para el trazado de las gráficas consideremos el polinomio de a

proximación: f(x) = ^§x3 + TEX " ~ ttx

35

, 21 2 35 , 35+ T T X - T T7TX + ^

* f'(x) = T5x2 +

> f"(x) = i|x + ~

21

El polinomio f(x) no tiene extre-

mos dado que las raíces de f'(x)=0

son imaginarias, f es decreciente

Si f" (x)=0 x=7/5

Para x > 7/5 *■ f"(x) < 0

x < 7/5 + f"(x) > 0


xión para x=7/5.

m t J Demostrar que el número 8 en el término complementario

de la fórmula de Taylor de primer orden:

f (a+h) = f(a) + hf'(a) + | 2f"(a+8h)

i 1/3 0 i i ^Ó

y y g

función dada y de su polinomio de Taylor de tercer grado.

S o l u c i ó n . P a r a n =3 , e n l a f ó r m u l a ( 1 1) s e t i e n e :

tiende a 1/3 para h+0 , si f"'(x) es continua para x=a y f"'(a)^Ó

D&moAt/iación. En efecto, debido a la continuidad y a la existen


cia de la tercera derivada, en la fórmula de Taylor se tiene:

f(a+h) = f(a) + hf'(a) + |^f"(a) + |^f'"(at0ih)

Comparando con la expresión dada se deduce que:

íyyf" (a+8h) = |^f"(a) + ^yf'"(a+e1h)

de donde: f"(a+6h) f"(a) = 1 f«.(a+eih)

h

o bien: e[f"(a+9h) \ f (a +0 1h)6h

♦ e lim ff” (a+eh) f".U)l = i lim[f,M(a+e lh)j

h*0 L 8h J J h+0

* e[f"'(a)]' = •|[f",(a)] ** 8 + 1/3

5.3 ALGUNAS APLICACIONES DE LA FÓRMULA DE TAYLOR

En los ejercicios 15141519 analizar el comportamiento de las

funciones dadas en los puntos que se indican.

y = 2x6x3+3 , en el punto x=0

So¿ución. y = 2x6x3+3 + y(0) = 3

y' = 12xs3x2 > y 1 (0) = 0

y" = óOx.^óx + y" (0) = 0

y" ' = 2 4 0 x 3 - 6 + y"1( 0 ) = - 6

Siendo las demás derivadas iguales a cero para x=0, elpolinomio

de aproximación en el entorno de x=0, según la fórmula (12) es:f(x) = 3 x3 = 3x3 + f 1(x) = 3 x2

Vemos que f es decreciente ¥xeR, por tanto, el polinomio de a

proxiraación y la función dada no tienen extremos en x=0.

f" (x) = 6x .. Para x<0 ■+ f"(x) > 0

x > 0 + f " ( x ) < 0

Luego, el punto de inflexión de la gráfica es 1(0,3).

1514

1515 11+3 6+1 l t 0


y" = 11xl0+18x5 •+ OII

o>»

y" = 110x 9 + 90x‘* + oII

o* >»

y"’ = 990x8+360 x3 + y" 1 (0) = 0

y i v = 7920x7+1080x2 ♦ yi v(0) = 0v

y = 554¿0x 6+2160x yv (0) = 0vi

y = 3326¿0x5+2160 + yv i(0) = 2160

Luego, el polinomio de aproximación a la función dada, según la

fórmula (12) es:

f(x) = 1 + x 6= 1 +3 x6

f 1(x ) = 1Sx5

Para x < 0 *■ f'(x) < 0

x > 0 f 1 (x) > 0

Por tanto, la función tiene un mínimo: y , =1 para x=0.m m r

I H M y = 2Cosx+x2 en el punto x=0

So ¿ución. y = 2Cosx+x2 ■>y(0) = 2

y' = 2Senx + 2x ■* y 1 (0) = 0

y" = 2Cosx + 2 > y" (0) = 0

y"' = 2Senx ■* y"'(0) = 0 ■

y^v = 2Cosx y^V (0) = 2

Luego, el polinomio de aproximación, según la fórmula (12) es:

f(x) = 2 + I j x“ = 2 + . f'(x) =^x3

Para: x < 0 ■+ f'(x) < 0

x > 0 •+ f' (x) > 0

Por tanto, la función tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es y=2

m u y = 6lnx2x3 + 9x218x en el punto x=1

Solución. y = 6lnx2x 3 + 9x218x *• y(l) = 11

y 1 = 6x2+18x18 y' (D = 0

y11 = 6x" 2 12x+18 > y" (1) = 0

•y" 1 = 12x~ 3 12 •> y'" (1) = 0

yiv = 36*** + yi v(1) = 36

1515 y = x11+3x6+1 , en el punto x=0

Solución. y = x 1j+3xg + 1 *• y(0) = 1Luego, el polinomio de aproximación, según lá fórmula (11) es:

f f x ) = - 11 . | f ( x - 1 ) * = - 11 - | ( x - 1 ) “ + f ' ( x) = - 6 ( x - 1 ) 3


Para: x < 1-*■ £' (x) > O

x > 1 + f' (x) < O

Por tanto, la función tiene un máximo en x=1, cuyo valor es

y=1 1 .

y = 24ex24x12x24 x3x't20 , en el punto x=0

Solución. y = 24qX24x12x24x3x“20 y(0) =• 4

y' = 24ex2424x12x24x3 * y'(0) = 0

y» = 24eX2424xl2x2 + y"(0) = 0

y'" = 24ex2424x + y"' (O) = 0

yiv = 24ex24 yiv(0 ) = 0

yv = 2 4ex -*■ 'yiv(0 ) = 24

Según la fórmula de Taylor,elpolinomio de aproximación es:

f (x) = A + |tx s = A + 3 X 5 + f'(x) = x"La función es creciente, no tienemáximo ni mínimo en x=0.

f"(x) = Ax 3 , luego, para: x < 0 *• f"(x) < 0

x > 0 f"(x) > 0

Por tanto, (0,4) es un punto de inflexión de la gráfica.

f(x) = x 1 °3x6+x2+2 . Hallar los tres primeros términos

del desarrolo por la fórmula de Taylor para xo = 1 Calcu-

lar aproximadamente f(1.03).

Solución. f(x) = x 1 03x6+x2+2 + f(1) = 1

f '(x)' — 10x918x5 + 2x + f 1 (1) = - 6

f"(x) = 90x890x"+2 + f"(1) = 2

Según la fórmula (11) el polinomio de aproximación es:

f(x) = 16 (x1 )+(x1 )2+ ---

Entonces: f(1.03) 16 (0,03)+(0.03) 2

= 10.18+0.0009 = 0.8209

f(x) = x 82x 7 + 5x6x+3 . Hallar los tres primeros términos

del desarrollo por la fórmula de Taylor üara x0=2 Calcu-1521

1520

1519


Solución. f(x) = x 82x7+5x6x+3 + f(2) = 321

f 1 (x) = 8x7 U x 6+30x51 + f 1 (2) = 1087

f"(x) = S ó x ' ^ x H l S O x 1* + f11 (2 ) = 3 2 9 6


f(x) = 321+1087(x -2)+1648(x -2)2+ ...

Entonces: f(2.02) = 321+1087(0.02)+1648(0.02) 2

= 321+21.74+0.6592 = 343. 3992 = 343.4

f(1.97) = 321+1087(0.03)+1648(0.03) 2

32132.61+1.4832 = 289.8732 = 289.9

f(x) = x B0x l‘ 0 + x20 . Hallar los tres primeros términos

del desarrollo de f(x) en potencias de x - 1 y calcular a

proximadamente f (1.005).

So lución, f (x) = x 8 0x‘*0+x 20

f'(x) = 80x7 940x3 9+20x19 *■ f'(1) = 60

f"(x) = 6320x7 61560x3 8+380x18 ■+■ f»(1 ) = 5140

Luego, según la formula de Taylor, el polinomio de aproximación

es: f (x ) = 1+60(x1)+2570(x -1)2+ ...

+ f (1.005) = 1+60(0.005)+2570(0.005)

= 1+0.3 +0 . 0 6 4 2 5 0 = 1 . 3 6 4

f(x) = x 55x 3+x . Hallar los tres primeros términos del

desarrollo en potencias de x2. Calcular aproximadamente

f (2.1). Calcular f(2.1) exactamente y hallar el error absoluto

y relativo.

Solución. f (x) = x 55x3+x

f 1 (x) = 5x.,15x2 +1 f 1 (2 ) = 21

f"(x)■= 2 0x 3 3 0x > f" (2 ) . = ‘100

Luego, el polinomio de aproximación es:

f(x) = 6+21(x2)+50(x2)2+ ...

> f (2 .1 ) = 6+2 1 (0 .1 ) +5 0 (0.1 ) 2 = 3 . 4

Valor exacto: f (2..1) = (2.1) 55(2.1) 3 + 2.1 = 3.36399

1523

1522

del desarrollo por la fórmula de Taylor üara x0 2. Calcu

lar aproximadamente f(2.02) v f(l.97).Error absoluto: 6 = ¡3.36399+3.4J = 0.036

E r r o r r e l a t i v o : 6 ' = ^ 3 ° ^ ~ 0 .01 1 ->■ 6 ' = 1.1#


Comprobar que calculando los valores de la función y=ex

para 0 <x¿T/ 2 con arreglo de la fórmula aproximada:

ex * 1 + x + + f-3

se comete un error menor qué 0.01 . Valiéndose de ello,hallar

con tres cifras exactas.

Comp/ioíación. En efecto, el término complementario en el poli-

nomio de aproximación es:

Rn(x) = . ^ Ü e0x R 3 (x) = £ e0x(n+1 )! ^

fix /Como 0<e<1 y x tiene un valor fijo, la magnitud e esta acota

O y Q yda, esto es: e < e , si 0<x^1/2 y e <1 cuando x<0

• • R 3 (x ) < e k: 5 < 0*01

Para x=1/2 /e 1 + | + 1 + a 1 . 6¿5

Con 6 < 0.01 ► /~e - 1.65

2Valiéndose de la formula aproximada ex = 1+x + , ha-

llar 1/‘*/e y calcular el error.

So¿uc.tón. Si x=1/4 "*■ e 1 = — — 1 ^ + ■jj 0.78"/e

En este caso, el término complementario en el polino

mió de aproximación dado es: 8 2 ÍX) = e6x , 0<0<1

La magnitud e6x está acotada, esto es, e0x > e6, cuando x>0

0 y

y e< 1

cuando x<0

. ' . 6 < +->• 6 < 0.01

Comprobar que para los ángulos menores que 28 el error

que resultaría de haber tomado la aproximación5

x jj + en vez de Senx, sería menor 0.000001. Valiéndose de

ello, calcular Sen20° con seis cifras exactas.

Solución. En efecto, hallemos las derivadas sucesivas de la fun

1526

1525

1524

Sección 6: Curvatura 699

f(x) = Senx + f(0 ) = 0

f ’(x) = Cosx = Sen(x + tj) + f'(0) = 1

f"(x) = Senx = Sen[x + 2(|)] f"(0) = 1

f'"(x) = Cosx = Sen [x + 3(§)] + f" ' (0) = 0

flv(x) = Senx = Sen[x + 4(^)3 + fiv(0) = 0

f ^ ( x ) = Sen[x +n( )J f^n^(c) = Sen[c+(n+1 ) ]

Sustituyendo, estos valores en la fórmula deTaylor obtenemos:

2 5 n n+1f(x) = x + fr ... + ^ySen(n|) +----- Sen[c+ (n+1 )|] '

(n+1 )!

Evaluemos el error que se comete al considerar los tres primeros

términos del desarrollo, para x = 28° =7tt/45 y para x = tt/6

R 5 = l jl Sen( c + 3ir) , dado que Sen(c+3n) S 1 + Rs < 6

de donde: Rs~ 0.1582x10”^ < 0.000001

Para x = £ ► Rs = (£)e(¿y) = 9.11517x10~6 > 0.000001

En consecuencia, para x < 28°, el error cometido es 6 < 0.000001

Cálculo aproximado de Sen20°:3 5

Sen20° = * ------ + — ---- = 0.3490660.007087+0.000043’ 93 . 6 95.120

.*. Sen20° = 0.342020 con un error <5 < 0.000001

Hallar el Cos10° con exactitud hasta 0.001. Mostrar que

es suficiente tomar la correspondiente fórmula de Taylor

de segundo orden para alcanzar la exactitud indicada.

S o lución. f(x) = Cosx ■* f(0) = 1

f'(x) = Senx = Cos(x + |) *■ f'(0) = 0

f"(x) = Cosx = Cos[x+(2)|] •> f"(0) = 1

f'"(x) = Senx = Cos[x+(3)|] + f" ’(0 ) = 0

fiv(x) = Cosx = Cos [x+ (4)^] fiv(0) = 1

ción f(x)=Senxf(n )(x) ='^Cos[x+(n)4] + f^n)(o) = Cos(n)£


f(n +1^(x) = Cos[x+(n+l)§J + ^.(n+ "I) (e) = Cos[c+(n+1)|]


f (x) = 1 + jr - . .. + fjC°s(n|) + Cos[c+(n+l)§]

3 o x 3Para n=2 ♦ R 2 * jyCos(c + gir) ,*■ R 2 <

Si x=10° = zrk + R 2 < — — = 0.00087 < 0.00118 1 83.6

Cos10° = 1 .il/lil! = 1 0.015 = 0. 985 , con 6 < 0.0012

ItMiJ Aplicando la fórmula aproximada

, Clx X2 , X 3 X*ln(1+x) = x — + ~ ~ ~

Hallar el ln1.5 y calcular el error.

Solución. Sea f(x)=ln(1+x) > f(0) = 0

f 1 (x) = = (1+x)' 1 »• f ' (0) = 1

f"(x) = 1(1+x )"2 + f"(0) = 1

f" ' (x) = 1.2(1+x)"3 f" ' (0) = 2

fiv(x) = 1.2.3(l+x)‘ * + flv(0) = 6

f ( n ) ( x ) = ( . i ) n + 1( n . 1 ) ! ( 1 + x ) - « + f <a +1>( x) = ' (~ 1)n ^+ 1d + e x ) n

Luego, en. la fórmula (12) de Taylor obtenemos el desarrollo:

' x2 . x3 x . . ( D n+ 1( nD!xn , (1)n+2n!xn+1 .

r M - ‘ - 7 * 3 - ( •• :i! (1+x)n (n*1).(l*ex)“*1

X2 , x 3 X , , (1)n+1(n1)xn x (i)n+2xn+1

= X _ 2 3 4 •• (l+x)n (n+1)(l+0x)n+1

Evaluando el error, para n=5, en el término complementario obte

mos: R 5 = |—z~| — ---6 (1+0x)6

.1Dado que: O<0<1 y x=0.5 < 1 + ------- < 1

(1+ex)6

Por tanto, R s = |f6 | = ^ 2) 6 = 0.0026 <0.01


CURVATURA

Se denomina curvatura en un punto de una curva,

' a la rapidez con cambia la dirección de la cur

va en dicho punto y se denota por K.

Supongamos que la curva está definida por la ecuación: y=f(x)

y que la función f(x) es continua y derivable dos veces.

Tracemos las tangentes a la curva

en los puntos M y Mi cuyas absci-

sas son x y x+Ax, respectivamente.

Designemos por a y a+Aa los ángu-

los formados por estas tangentes

y el eje X (Figura ¿.26).

Sea s la medida.de la longitud del

arco M 0M 1 , entonces:

As = M o M 1 M o M

Por definición:

y |A s| = MM1

„ , . I Ac¡ IK = lim —

As+OiAs I

Dado que a y s son funciones de x,

entonces a se puede considerar co-

mo una función de s y suponer que

y=f(x) se ha dado por las ecuaciones paramétricas mediante el pa

rámetro x.

Entonces: lim (4 ) = 4^As "As+0

Pero : dads (— )(— ) dx ds

y como: Tana = ^

ds

a = arcTan(^)

.da.'ds1

dadx

1+ (& >dx

ó y Y

■(Ü2)1 dx2

De otro lado se sabe que: ^

Entonces, sustituyendo (3) y (A) en (2) se tiene:

(1)

(2 )

(3)

U )

L u e go : l n ( 1 + 0 . 5 ) + 40 * c o n á < ° - 01


y según (1): K = , * .

* /U+ y' 2)3 'dx21

Observaciones:

(1) En cualquier punto M(x,y) de la curva y=f(x), la curvatura

siempre es positiva.(2) Si la línea está dada en forma paramétrica: x=f(t) , y=g(t)

dx f'(t) dx2 [f'(t)]2

y sustituyendo en (5) obtenemos:

,, _ I g " ( t ) . f 1 ( t ) - g ' ( t ) . f " ( t ) l (& )

/ [ f 12 ( t ) +g 12 ( t ) ] 3

(3) Si la curva está dada en coordenadas polares, es decir, si

r=f(0), entonces: x=rCos6 , y=rSen6

Luego: = (^)Cos0rSen6 , = (^)Sen6+rCos0

,d2,x = (¿Íí )Cos02(4§)Sen6rCos0d62 d20 de

lí l = (Ü£)Sene + 2(4§)Cos0rSen0d20 d26 de

Sustituyendo las dos últimas expresiones en (6)obtenemos

la curvatura de una línea en coordenadas polares:

K = | r 2 + 2 r ' 2 - r r " | ( 7 )

/(r 2+r ' 2)3

La magnitud inversa a la curvatura se llama n.a-

dlo de. cusivaiu.'iu en el punto dado y ee denotapor R, es decir: R = 1/K.

Id2y«R = — --- — — (8)

Sea la circunferencia de centro C y radio R, en donde el ángulo

Aa entre las tangentes es igual al ángulo formado por los radios

de los puntos de tangencia H y Mx (Figura 427). Para la longitud


As = RAa *■=■ = ! — I'As 1

y según la definición 4. 15, para

la circunferencia tenemos:

K = lim 1*21 = 1As +0 1 As

En consecuencia, la curvatura pa-

ra la circunferencia es constante

(no depende del punto) y es igual

a la magnitud inversa del radio.

CENTRO DE CURVATURA. Sea la curva definida por la ecuación

y=f(x). El punto C(a,B) se llama centro de

cu.Jivaiu/La de esta curva en el punto M.

La circunferencia de radio R y

centro en el punto C, se deno-

mina c i/icu.n£e./ie.n.c¿a. de. cu/ivatu-

/ia de la línea dada en el punto

M. De esta definición se deduce

que en el punto M dado, la cur-

vatura de la línea y=f(x) es i

gual a la de la circunferencia

de curvatura.

En la Figura 4.28 tenemos:

0A = OQAQ

de donde:

Ib = ÄP+PC

a = xPM

= xRSen4>

= x ( ^ E Ü

y"

: X J - (1+y '2)

y"

ß = y+RCos6 = y +

)(Tandi

/l+Tan2;) (Tanj)=yl

/(1+y'2)3,___1

y" /l+Tan2i>

(9)



del arco As entre estos puntos se tiene la fórmula:d e d o n d e : 1 + y ' 2

y

= y ( 1 0 )


Observaciones. (1) Si la línea está dada por las ecuaciones pa

ramétricas: x=f(t) , y=g(t)

las coordenadas del centro de curvatura se obtiene de las

fórmulas (9 ) y (1 0 ) sustituyendo en éstas y' e y" por:

, _ g'(t) . „ . f'(t).g»(t) g'(t).f"(t)

f'(t) ’ f l2 (t)Entonces:

= y +x 1 (x 12+y'2)

(11 )

( 1 2 )x 'y11 x"y 1

(2) El conjunto de todos los centros de curvatura de la línea da

da es el lugar geométrico de una nueva línea, llamada, evolu

ta de la cu/iua. Para determinar el lugar geométrico bastará

eliminar x e y entre la ecuación de la línea dada y las dos

expresiones que dan las coordenadas del centro de la circun-

ferencia de curvatura.

(3) La línea estudiada y=f(x), con relación a su evoluta, se lia

la evolvente. o involuta.

PROBLEMAS RESUELTOS

En los ejercicios 15291536 hallar la; curvatura de las líneas

que se indican.

De la hipérbola xy=4 en el punto M(2,2).

So ¿ución. Las dos primeras derivadas de la ecuación dada

son: y 1 = : y" = 3üíx ■ x 2

Para el punto M(2,2): y 1 = 1 : y" = 1

|y"l ^ v _____1_____&Si K =/( 1+y ' 2 ) 3

K =/ ( 1+1 ) !

De la elipse b2x2+a2y2=a2b2, en los vértices.

S i ió L é ti d l li V( 0) B(0 b)


y las dos primeras derivadas de la ecuación son:

y' = 4(S> e y" = - ba2y 3

En B(0,b) y'=0 , y la curvatura, en

dicho punto, según la fórmula (5) es

b* ■ _ _b

a2b3I ’ a2K ly"

En el vértice V(a,0), y' no está de-

finida. Para salvar esta dificultad,

despejamos y=f(x), esto es:

y'bx

a/a2x2

Luego: K =

* y

ab

ab

v f /(a“x

/(a 2x2)3

a^b

/( a1,a2x2 + b2x2)3n +

L a2 ( a2 x2 )J

Para V(a,0) *■ K = — — r==z. = — / ( a 2b 3 ) 3 b 2

||i£y y = x ‘*4x318x2 en el origen de coordenadas.

Solución. y' = 4x 312x236x + y" = 12x224x36

Para x=0 -*■ y'=0 , y"=36

Según la fórmula (5): K=|y"| = 36

yJ =8x en el punto M(9/8,3).

Solución. Por derivación implícita obtenemos:

ir ' = ¿y.

Para el punto ¡4(9/8,3): y 1 = 3 , y" = •-jpj

I y"

y

. 4

16/27

» = All = 16

y2 y!16

16

/( 1+y ' 2 ) 3 /( 1 +1 6/9 ) 3 125= 0.128

y = Inx , en el punto M (1, 0)

Soiución. y' = ^ ; y" = 1/x2

P M (1 0) *■ ' 1 " 1

Soiución. Los vértices de la elipse son V(a,0) y B(0,b) Para M(1,0) *■ y'=1 , y"=1

Luego, según la fórmula (5): K = /2/4


y = ln(x+/l+x2 ) en el origen de coordenadas.

Solución. y 1 =■ 1 : (1 + = 5 = ) =p3=<+/l +x2 /T +x2 '1+x'

/(1+x2)3

Para x=0 *■ y ’=1 , y"=0 . Luego, por la fórmula (5): K=0

y=Senx en los puntos comprendidos en los extremos de la

función.

Solución. y'=Cosx í y"=Senx

Si y'=0 *• Cosx=0 •*>■ x = nir + , n=0,±1,±2, ...

Para n=0 , x=tt/2 * y" = 1

I Y" lK = = 1/(1+y'2)3

Del folio de Descartes x 3+y3=3axy en el punto M(^a. a)


y i = ayx2 . = . 2 a3xy

y2 ax (y2ax)3

Para el punto M(3a/2,3a/2): y'=1 , y" = 32/3a

* x = ly"I = 32/3a = 8/2

/(1+y'2 )3 /(1+1)3 3a

En los ejercicios 15371542 hallar la curvatura de las líneas

que se indican en un punto cualquiera M(x,y).

y = x 3

Solución. y'=3x2 , y"=6x

Para M(x,y): K =

b2x2a2y2=á2b2

|6x!

/[l + (3x2)2] 3 /(1+9x"):


b"

a2y3

Sección 6: Cürvatura 707

y = InSecx

Solución.

k =

SecxTanx= Tanx

Secxy" = Sec2x

|Sec2xl_________ ______________ Sec2x

/(1+y'2)3 / (1+Tan2 x)3 |Secx|3= Cosx

X 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3

Solución. Derivando implícitamente obtenemos:

3^y 1 = l/v ; y" =

'x y

Si K/(1+y'2)3

K =3.3/a¡ xy |

xm j. ym _m 1 -lUla b

Solución. Por derivación implícita se tiene:bm,xm1y » = _ - ° _ ( 2 ------- _ ) y . . '

a ym


(m^1)b2mxm'2m <lm1

a y

K _ [(m1)(ab)2m(xy) |

,2m 2m2b x + a y2m 2m2 \ 3

y = aCosh(|)

Solución. y' = aSenh(^)(1/a) = Senh(— )3. cL

y» = Cosh(f)0/a) = ^Cosh(f)

• K _ l(1/a)Cosh(x/a)| _ ¡ Cosh(x/a)[______________ = lSec h2(f)

/(1+Senh2(^))3 aj Co sh(— ) |Co sh2 (— )

En los ejercicios 15431549 hallar la curvatura de las líneas

que se indican.

3 x=3t2 , y=3tt3, para t=1

Solución. Sean: f(t)=3t2 ■* f(t )= 6t y f"(t)=6



-> K = aHba2y3

/ ( b l,x 2 + a ,,y 2 ) 3

( ) ( ) y ( )

g(t)=3tt3 + g'(t)=33t2 y g"(t)=6t


Para t=1 *■ f'(t)=6 , f"(t)=6 ; g»(t)=0 , g"(t)=6

Sustituyendo cada uno de estos valores en la fórmula (6) obtene

6(0)0(6)| _ 1mos: K =

/(36+0)3

H x=aCos3t , y=aSen3t para t=ti.

Solución. f (t)=aCos3t f 1 (t)=3aCos2tSent

* f"(t) = 3a(3Sen2t D

g(t)=aSen3t *• g'(t)= 3aSen2tCost , g"(t)=3a(3Cos2t1)

Para t=t y haciendo uso de la fórmula (6) obtenemos:

K = 9a2Sen2tiCos2t 1 1(3Coszti1)+(3Sen2ti1)l

/(9a2Sen2tiCos2ti)3(Cos2ti+Sen2t 1)3

2de donde:

3aISen2t1 |

\ í x=a(Cost+tSent) , y=a(SenttCost) , para t=ir/2.

Solución. f(t)=a(Cost+tSent) + f'(t)=atCost

■* f" (t)=a(CosttSent)

g(t)=a(SenttCost) + g'(t)=atSent

g" (t) =a(tCost+Sent)

Para t=7r/2 *• f'(t)=0 , f " (t) =ira/2 ; g'(.t)=7ra/2 , g"(t)=a

Sustituyendo estos valores en la fórmula (6) se tiene:

K ~ U(0)(7ra/2)(Tra/2)| _ _2

/L02+(ira/2)2] 3Tra

x=2aCostaCos2t , y=2aSentaSen2t en un punto cualquiera.

Solución. f(t)=2aCostaCos2t + f 1(t)=2a(Sen2tSent)+ f"(t)=2a(2Cos2tCost)

g(t)=2aSentaSen2t g ' (t) =2a(CostCos2t)

+ g"(t)=2a(2Sen2tSent)

Sustituyendo estas expresiones en la fórmula (6) y reduciendo

términos semejantes, obtenemos:

X _ 12a2 11(Cos2tCost+Sen2tSent)| _ 3 l1Cost|

8a3./8[lCos(2tt)] 3 2a/8( 1Cost)3


K =

r = a , en el punto r=1 , 6=0

Solución, r 1 = ^ = a®lna , r" = a®ln2a

Haciendo uso de la fórmula (7) se tiene:

1 20, 2 9 2 I 20 1 , 2 n 2 1a +2a ln aa .a ln a __ a 1+ 2l n¿aln a

/(a20 + a26ln 2a) 3 a39./( 1+ln2a) 3

M+ ln2a| _ 1

a®|1+ln2a|/l+ln2a a9/l+ln2í

1Luego, para 0 = 0 K

/1+ln2

r=a0 en un punto cualquiera.

Solución. “Tenemos: r'=a y r"=0

|r2 +2r12rr"IK =

/(r2+r'2)3 /(a202+a2)3

a2 (62 + 2) _ 2 + 02

a3./(02+1)3 " a/ ( 1+ 02)3

I r=a0 en*un punto cualquiera.

Solución. r' = ak0^^ , r" = ak(kl)8k ~2


| a282k+2a2k282k~2a2k(k1)82k ~2l _ a2 |82k+(2k2k2+k)62k~2 j

v/(a282k+a2k282k~2) 3 /4 6(82k+k 2e2k~2)3

a282k~2 ¡82+(k2+k)j _ [02+k2+k|

a3./(02k'2)3(02+k2)3 a0k_1./(02+k2 )3

Hallar el radio de curvatura de la elipse b2x 2+a2y2=a 2b2

en el punto en que el segmento de la tangente entre los

ejes coordenados se divide en dos partes iguales por el punto

de contacto.

Solución. Sean M(xi,yi) el punto de tangencia, A(x,0), B(0,y)

los extremos de la tangente

P d i ió i lí it d l ió d l li bt



2a/1Co st 2a/l6Sen2(t/2) 8a|Sen(t/2)

Por derivación implícita de la ecuación de la elipse obtenemos:

■ . b2 / x i „ b 1*


\ h Mostrar que el radio de curvatura de la parábola es igual

al segmento doble de la normal comprendido entre los pun-

tos de intersección de la normal con la parábola y su directriz.

Demo.it/iaci6n. En efecto, sea la parábola y2=4px , cuya directriz

Sean: M(xi,yi) el punto de tangencia

y P(P.y)» la intersección de la ñor

mal con la directriz de la parábola.

Por derivación implícita se tiene:

y' = ~£L , y" = ^P2

Para yj), la pendiente de la .

pendiente de la normal es: n = JL}.

2Py su ecuación: yy! = -m ÜÍÍx -X!)

2p

Para x=p * 2py2py, = yjfpXj) +-+ y =

— — — — — 2plongitud del segmento ABí Jt = /(xi+p)2 + (yyi)2

i y

PN

1

11 °

1

1

1

[ F (p,0)

Para el punto M la pendiente de

la tangente es: m = — (— )a2 yi

y su ecuación:

yyi = — (— )(xxi) (1)

a2 yi

Si y=0 + yi = — (üi)(xxi)a2 yi

de donde: b2xix = b2xf+a2y|

■+ b2xix = a2b2 +*• xix=a2

Como el punto M biseca al segmento

AB + x=2xi; luego: 2x2 = a2 xi = a/2/2

Análogamente, si x=0, en (1) obtenemos: yi = b/2/2

Entonces, para M(— , bl ) se tiene: y 1 = ~ » y"

_ /(1+Y12)3 + R _ /(á2+b2)3Por tanto, si R =— i— «■ — R =

| y"| 2ab/2

. 2b/2


». = ( v ^ r ^ + pi ^p +x x) = Ixx+pl./pCptxi) {1)

Radio de curvatura: R = = ¿LÚII l IV I y " ! 4p2/ y f 4p2

-*■ r = /U p x i H p 2)3 _ 8p | xi+p 1 ./p(xi+p) _ 2 |xi+p|.>p(xi+p)4p 4p2

De (1) y (2) se deduce que: R = 21

(2 )4p 4p 2 p

Mostrar que el radio de curvatura de la cicloide en cual-

quier punto suyo es dos veces mayor que la longitud de la

normal en el misrap punto.

De.rn.oit/iaci6n. En efecto, las ecuaciones paramétricas de la ci-

cloide son: x=a(tSent) , y=a(1Cost)

Si f(t)=a(tSent) f 1 (t) = a(1 Cost) y f"(t)=aSent

g(t)=a(1Cost) *■ g'(t)=aSent y g"(t)=aCostR = 1 = /ff,2(t)+g»2(t)l3 = /ra2 d Co st )2 + a2Sen2t]3

K |g"(t).f'(t)+g1(t)f"(t)| |a2Cos t(1Cost(aSent)(aSent) |

= . a l : / 8 ( > C ? s l 11 = a|1^Cost|./8( ,1Cost) = AajSen(t/2)| (1)

|a2(Costl)| |lCost|

Longitud de la normal: N = y./l+y'2

_ dy _ g 1 (t) _ aSent

dx f'(t) a(1Co st)

N = a( 1 Cost) ■/1 + g?.P2E Z = a/2( 1 Co st) = 2a|Sen(t/1 (1Cost)2

De (1) y (2) se deduce que: R=2N

Mostrar que el radio de curvatura de la lemniscata

r2=a2Cos20 es inversamente proporcional al radio polar

correspondiente.

De.mo¿t/iaci6n. En efecto, R ---- r +r----- (1 )|r2+2r'2~rr"|

Por derivación implícita se tiene:

2rr' = a2 (2Sen26) + rr1 = a2Sen20 ■+ r1 = — Sen26r

g g ( p) (y y )rr" +r 1.r1 = 2a2Cos20 > rr" = 2a2Cos28 — "'sen220


, , , „ a“O +Cos 220)de donde: rr" = -

r 2

A , '7:,. r, , , B\«?nna20,, /(a'*CoB220 + a'*Sen220)3Luego: /(rz+r|z)d = y + -------- ) ------------- ----------

r2 r

/a>2(Cos226 + Sen 220)3 _ s¿ (2)

I rz + 2rr' 2rr" | = Ir2 + S e n 226 + — (1+Cos220) I1 1 r2 r2 1

1 a‘*Cos220 + 2 a‘,Sen220 + a “( 1+Cos220) |

ja1* + 2a<t(Cos220+Sen220) I _ 3a1* (3 )

I „2 I "p2

a6/r 3 a2Sustituyendo (2) y (3) en (1) obtenemos: R = -- --- — = ~yj.

3 a /r2

Por tanto, el radio de curvatura R es inversamente proporcional

al radio polar r.

Hallar la circunferencia de curvatura de la parábola y=x2

en el punto M(T, 1).

Solución. y=x2 + y'=2x , y"=2

Para el punto M (1,1 ) *• y'=2 , y" = 2

Las cordenadas del centro de curvatura son:

o¡¡= x (1+y|2) = 1 í|(1 + 4) = -A

y" ________ _ _______

_ « /(1 +v ' 2 ) 3 . /(1+ ¿ ) 3 .. 5/5Radio de curvatura: R = --- ---------------- ------ly"I 2 2

Circunferencia de curvatura: (xa)2+(y8 )2=R2

( x U ) 2t(y7/2) 2 = 125/4

Hallar la circunferencia de curvatura de la hipérbola

xy =1 en el punto M (1 ,1 )

Solución. y = 1/x y 1 = 1/x2 , y" = 2/ x3


Coordenadas del centro de curvatura: C(a,6 )

12

a = x l l (1+y*2) = 1 + ^(1 + 1) = 2 ; B = y + J l í l ! = 1 + 1 = 2 ________ ______ y"

Radio de curvatura: R = — Llt#..!— L. = 1 + ) = / 2

ly" I 2

Circunferencia de curvatura: (xa)2+(yB)2=R2

(x2 )2 + (y —2 )2= 2

Hallar la circunferencia de curvatura de la línea y=ex

en el punto M(0,1)

Solución, y=ex y 1 = y" = ex

Para el punto M(0,1): y 1 = y" = 1

Centro de curvatura, C(a,B): a = x JLl(l+y'2) = 0 i(l+1) = 2V»y

y + i ± ^ = 1 +± Ü. = 3y" 1

Radio de curvatura: R =J^LLÍxElL = ^ ^ X. = 2 / 2y"

Circunferencia de curvatura: (xa)2+(yS)2=R2

(x+2 ) 2+ (y3) 2 =8

Hallar la circunferencia de curvatura de la línea y=Tanx

en el punto M(^/4 ,1 ).

Solución. y=Tanx + y'= Sec2x , y"=2Se,c2x.Tanx

•Para x=tt/4 *■ y'=2 , ylr =4

Coordenadas del centro de curvatura C(a*(3):

a = X lJ(l+y'2) = f .1 (1 + ) = I.Z ]0y"

y + i ± ^ = 1 +^± i = ivn 4 4

Radio de curvatura: R = ~ S 1+Y !— L = — („1ly" I ~ *

Circunferencia de curvatura: (x | ^ ) 2 + (y - | ) 2 = —^

1558 Hallar la circunferencia de curvatura de la cisoide

2 2 0



Para el punto M(1,1):y 1 = 1 , y"=2 (x2+y2 )x2ay2=0 en el punto M(a,a).


Solución. x 3+xy22ay2=0 *■ 3x2+2xyy'+y24ayy'=0

3x2+(2xy4ay)y'+y2=0 (1)

Para M(a,a): 3a2 + (2a24.a2 )y' +a2=0 ■*-> y '2

Derivando implícitamente la ecuación (1) se tiene:

6x+(2xy4ay)y"+y1(2xy'+2x2ay')+2yy'=0

Para M(a,a): 6a+(2a?4a2)y"+2(4a+2a8a)+4a=0 **■ y"=3/a

Coordenadas del centro de curvatura C(a,B):

a = x 2— (1+y'2 ) = a ^|(l+4) = ^a

6 = y + i ü ü = a +■ 4a 'y» 3 /a ^

~ . . n /(1+y '2)’ _ / ( 1 +4 ) 3 _ 5a/"5Radio de curvatura: R = ---- “---- = ------- ------

I y" I 3 / a 3

V 8 125Circunferencia de curvatura: (x + ja)2 + (y *^a)2 = ^ a2

En los ejercicios 15591562 hallar los vértices (es decir,

los puntos en los cuales la curvatura toma su valor extremo)

de las líneas que se indican.

/x + /y = /a

So ¿ución. Por derivación implícita obtenemos:

y

Curvatura de la línea: K =

/x . ..ii _ /&

/y 2x/x

I y" ! _ /a

/( 1+y'2)3 2/(x+y)3

Pero, y = ( / W £ ) 2 K(x) = *f[ x+ (/a/3F) 2J' 3 '2

+ K'(x) = ^[x+ (/i /í )2]'s/2[l+2(/í/í)(— )J4 2/x

3/a(2/x/a)

’ 2/í(x+y)5/2

Para K'(x)=0 + 2/x/a = 0 x=a/4 , luego, y=a/4

En consecuericia, el vértice de la línea es: (a/4»a/4)

1560 y = Inx


K -- 1 ylf 1 ■— = ---- 1/xí--- + K'(x) = —=======■/(1+y'2)3 /(1 + 1/x2)3 /(1+x2)3

Para K*(x)=0 *• 12x2=0 ■«»■ x=±/5/2

Dado que x>0 + x=/2/2 , luego, y=ln(/2/2)= ln2/ó •(

Por tanto,. el vértice de la línea es: (—^ , Tjln2)

C E U y = e>:

Solución. y = ex ■+■ y' = y" = e31

K = hl l___ e*

/(1+y'2)3 /(1+e2x )3

+ K ' (x) = e 1~2e2X)

/(1+e2x)s

Para K'(x)=0 + 12e2x = 0 **• e2x=1/2 «+ x = ^ln2

. _ x _ / 2x _ /2

y = e = / e ~ 2

Luego, el vértice de la línea es: ( 7jln2 , ~ )

x=a(3Cost+Cos3t) , y=a(3Sent+Sen3t)

So ¿ución. Si f(t)=a(3Cost+Cos3t) *■ f'(t)=3a(Sent+Sen3t)

f"(t)=3a(Cost+3Cos3t)

g(t) = a(3Sent+Sen3t) + g'(t) = 3a(Cost+Cos3t)

+ g"(t) = 3a(Sent+3Sen3t)

Haciendo uso de la fórmula (6) y simplificando términos en el nu.

merador y denominador, obtenemos:

K = 36a2|l+Cos2tl = 2_______ = 1 = i

54a3./2(1+Cos2t)3 3a/2(l+Cos2t) 3a|Cost| " 3a

♦ K'(t) = 1 (_SectTan_t}

a |Sect|

Si K'(t) = 0 + Tant=0 t = nir , n=0,±1,±2, ..

Para t=0 x=a(3 + l)=4a ; y=0

Luego, uno de los vértices de la línea es: (4a,0)

Hallar el mayor valor del radio de curvatura de la línea

r=aSens(0/3)

Solución., y=lnx »• y'=1/x , y" = 1/x 2


Solución. r' = 3aSen2(6/3)[^Cos(6/3)] = aSen2 (0/3)Cos(0/3)

r" = |Sen(6/3) [3Cos(0/3)1]

r2+2r,2rr" = a2Sen6 (•|)+2a2Sen‘f (■|)Cos2( ) y-Sen“1(y) [3Cos2| 1]

= a2Sen**(|)CSen2(|) + Cos2 (§) .+ = ¿a^ en ^f )

/ (r2+r' 2 )3 = / [a 2Se n6(0/3) + a2S en 1* (6/3)Co s2 (0/3).] 3 = a3Sen 6(|)

Si R * + R =|aS en2(|) (1)r2+ 2r12rr" 4 ^

*• R' (0) = |Sen(29/3)

Para R'(0)=O Sen(^j) =■ O = 71 ^

Luego, en (1) : R = ^a(Sen^)2 = ja

es el mayor valor del radio de curvatura.

Mostrar que la curvatura en un punto P de la línea y=f(x)

es igual a |y"Cos3ct|, donde a es el ángulo formado por la

tangente a la línea en el punto P con el eje positivo de las abs

cisas.

de.mo¿t/i ación. En efecto, la curvatura de la línea y=f(x) en

cualquier punto P(x,y) de la misma es:

k ■ ,lr"L/( 1+y ' 2 ) 3

Pero, el coeficiente angular de la tangente en el punto P es

y'=Tanoc , entonces:

K = ly" l .. - = , ly " l - = ly” l . = ¡y" co s 3a |/ (1+Tan2a)3 /(Sec2a)3 |Seca|3

Mostrar que la curvatura de una línea en un punto cual-

quiera puede ser expresada pe la relación K = | I

donde a tiene el mismo significado c e en el ejercicio anterior.

De.no¿i/iación. En efecto, por definí ión de curvatura sabemos

v _ da / * \


da da da da

Pero: 4 * = 4f = = = =M = = ---^ = |Cosa| (^)/i+y'2 /i+Tan2a |Seca| dx

Luego, en (1): K = |Cosa(||)| = |d(Sena) j

La función f(x) está definida del modo siguiente: f(x)=x2

en el intervalo °°<x<1 , f(x)=ax2+bx+c en el intervalo

1<x<+°° . Cuáles deben ser los valores de a, b y c para que la

línea y=f(x) tenga una curvatura continua por todas partes?

Rpta: a=3 , b=3 , c=1

En los ejercicios 15681574 hallar las coordenadas del cen-

tro de la curvatura y la ecuación de la evoluta para las lí-

neas que se indican.

U¡JJJ Parábola de nésimo orden: y=xn

Solución. y=xn y'=nxn '^ , y''=n(n1 )xn2

»■ a = x li(l+y'2) = x ---- — --- — T,(l+n2x2n'2 )y" n(n1)x

n /-1 , 2 2 n —2 \"n T +n x )

, 1+v'2 , 1+n2x2n'2 n , 1+n2x2n'2 _ y + = y + ■ ■ :2 = x + — - -■ — -2

y" n(n1;x n(n1)x

Hipérbola: b2x2a2y2=a2b2


. b2x b"

De las coordenadas del centro de curvatura se sigue que:

x3 al*a + x 2 _ a2 (ag)2/3

~ a2 + b2 (a2 +b2)2/ 3

3 = b8 + 2. =b2(bg)2/3

a2+b2 (a2+b2)2/ 3

Sustituyendo en la ecuación de la hipérbola se tiene:

b2 a2 (ag) 2 3 _ a2b2(bg)2/3 = a2b¡!

(a2+b 2)2/ 3 " (a2+b2 )2/3

de donde obtenemos la ecuación de la evoluta de la hipérbola:

(act)2/ 3 (bB)2/3 = (a2+b 2)2/ 3

Astroide: x2/3Jy2/3 = a2/ 3


3/y „ a2/ 3y' = ----- sL , y" = ---------

3/^ 3x. 3/xy

Coordenadas del centro de curvatura: C(a,B)

3i/w 2 / . 3 vA/ 2 v 3i/y v2 / a2 /3 <a = x y!(l+y'2) = x + 3x^/xy_2 (l + = x + 3x. /xyy" a2 3. 3/x 3/ ^ a2/3.3Vx 3/ ^

= x + 3. 3/c y2

6 = y + ltJ12 = y + 3x. 3/xy (3/ ^ + V y * ) = y + 3 .3/ ^

y" a2/ 3. V x 2

Cálculo de la ecuación de la evoluta:

Sumando y restando las coordenadas del centro de curvatura se

tiene: a + B = x + y + 3. 3»/x2y + 3. 3/xy 2 = (x1/Í3 +y l / 3 )3

a 6 = x 3.3/ ^ + 3.3/ ^ 7 y = (x1/3:;1/3)3

» (a + B)2/ 3 + (a 6) 2/3 = (x1' *+yV 3 ) 2 + (x 1 /3 y1 /3 ) 2

= (x2/3+y2/3)

(a+B) 2 / 3 + (aB) 2 / 3 = 2a2/ 3

E k M l Parábola semicúbi.ca: y 3 =ax 2*


y = , y = _ _ 2a

3y 2 9y 2


a = x — (1+y12) = x + 3x( 1 + .Í2_*_). = x + 3x ( 2 U ^ M 1 ) y" 9 y" 9y l*

a = x + 3x ( M 5 ) =^(3y+a ) + a = ± | (3y+a)

B = v + 1+y' 2 = v 9y'* + 4ay3 = 9y2+2ay

y" 2ay2 2a

Q J Q Parábola: x=3t , y=t26

Solución. Si f(t)=3t + f 1(t)=3 y f"(t)=0

g(t)=t26 g'(t)=2t y g"(t)=2

yt = g'(t) = 2t = f'(t)g''(t)g'(t)f"(t) = 3(2)2t(0) =

f'.’(t) 3 ’ f,3(t)27


a = x — ' (1+y>2 ) = 3t Ü Z 3(1 + % 2) = 4t3y» 2/9 V i

B = y + = t26 + 1+ V ? » . 3 ta, |

y" 2/9 ¿

Ecuación de la evoluta:

a = |t3 a2 = ^|t6 (1)

B + | = 3t2 ■> (8 + |)3 = 27t6 (2)

Eliminando t 6 de (1) y (2) obtenemos:

a2 = — — (B + ) 3a 243'P 2

Q 2 Z 3 Cisoide: y2 =

'Solución. Derivando dos veces la ecuación dada obtenemos, _ /x(3ax) „ 3a2

(2ax)3/2 ’ /x(2ax)5/2

Coordenadas del centro de curvatura: C(ct,8)

a = x x(3ax) (2ax) T (2ax) 3fx(3ax) 2~j = x _ x(3ax) (8a3x)

3a2 L (2ax)3 J 3(2ax)2

de donde: a =3 (2ax)2

B = y + 1+y ’2 = v + >/xT(2ax) 3+x(3ax)2J _ v + a ;/x(. :a3x)

y" 3a2./2ax 3a2;/2ax



3y 2 9y 2


y 3a2./2a x 3a2;/2a x


6 = y + laÚL . = y + % ^ L ) . y3/2ax /2ax 3x /2ax

B = (||)y

Eliminando x e y de las coordenadas del centro de curvatura ob-

tenemos la ecuación de la evoluta:(¿§)*+6a2(¿§)2+3a3a = 0

La línea: x=a(1+Cos2t)Sent , y=aSenztCost

Rpta: a2/3+B2/3=(2a)2/3

Mostrar que la evoluta de la tractriz: x=a(lnTan|

X=*a (lnTanlj + Cost) , y = aSent , es una catenaria.

de.mo4tn.ac.l6n. En efecto, sean f (t) =alnTan^ + Gost , g(t)=aSent

*■ f'(t) = a(SentCsct) y f"(t)=a(Cost+CsctCotgt)

“*■ g'(t) = aGost y g"(t) = aSent

Luego, y 1 = g'(tI = ---2 ^ ---- = _Tantf'(t) a(SentCsct)

„ = f(t).g"(t) g«(t).f"(t)~

f'3(t)

a2(SentCsct)Senta 2Co st(Cost+CsctCotgt)

a3(SentCsct)3

de donde: y" = —TantSec3ta


a = x L(1 +y12) = x + aTant---- (]+Tan2t) = x+’ aC os t.y" TantSec3t

a = a(lnTanj +Cost) + aCost = alnTan^ *■ lnTaní; = ~

de donde: ^an'| = e~a^a (1)

0. = y + = aSent + --- l4Ta)?H --- = aSent + a(^¿H)y" (1/a)TantSec3t Sent

6 = aCosect , & - JLtIS£ÍÜ/g> - .1 = l(e«/a + ea/a}a 2Tan(t/2) 2e_a/a 2

de donde: 6 = aCosh(^) La evoluta es una catenaria


6E B Q Mostrar que la evoluta de la espiral logarítmica r=a er

exactamente la misma espiral, pero desplazada un poco con

cierto ángulo. Será posible elegir un valor de modo que la evolu

ta coincida con la espiral?

'"'{jJU Mostrar que cualquier envolvente de una circunferencia

puede ser engendrada desplazando una de ellas con un án-

gulo correspondiente.

- Mostrar que la distancia entre un punto de la cicloide y

el centro de la curvatura del punto correspondiente de la

evoluta es igual al diámetro doble del círculo generador.

Be.m04tn.ac ¿6 n. Las ecuaciones paramétricas de la cicloide son:

x=a(tSent) , y=a(lCost)

donde 2a es el diámetro dél círculo generador. Si P(x,y) es un

punto de dicha cicloide y C(a,B) es el centro de la curvatura

correspondiente a P, debemos probar que: d(P,C)=4a.

En efecto, si f(t)=a(tSent) f 1 (t) =a( 1Cost) , f"(t)aSent

g(t)=a(lCost) + g'(t)=aSent y g"(t)=aCost

v' g' (•t) Sentf'(t) 1‘Cost

„ _ f1(t)g"(t)g'(t)f"(t) _ a2(1Cost)Costa2Sen2t _ ____ ]____

f ,3(t) a3(1Cost)3 a(1Cost)2

Coordenadas del centro de curvatura: C(a,8)

a = x Z_( 1+y1 2) = x +a( 1Cost)Sent 11 + — — "1 = x+2aSenty" L (1Cost)2J

a=a(t+Sent)

B = y + 2LZ-- = a(1Cost) 2a(lCost) = a(lCost)y" ---------------Entonces: d(P,C) = /(xa)2+(yB)2

= /a .2(tSenttSent) 2 + a2 ( 1Cost+ 1Co st )2

= i/4a2Sen2t + 4a2(12Cost+Cos2t)

= 2a/2(1Cost) = 2a/4Sen2(t/2) = 4a|Sen(t/2)|

Luego, para t=77 *■ d(P,C) = 4a

de donde: 6 aCosh( ) La evoluta es una catenaria.


£ Q ¡ Q La parábola semicúbica py 2 = :j^(x2p)3 sirve de evoluta

a la parábola y2=4px. Hallar la longitud del arco de la

parábola semicúbica desde el "pico" hasta el punto (x,y).

Rpta. 2p 3

i k M J Hallar la longitud de la misma'evoluta de la elipse cu-

yos semiejes son iguales a a y b

Solución. Sea la elipse dé ecuaciones paramétricas:

x=aCost , y=bSent

Si f(t)=aCost *• f'(t)=aSent y f"(t)=aCost

g(t)=bSent *■ g'(t)=bCost , g"(t)=bSent

Luego: y' = i— = rjCotgtf'(t)

y = f'(t)g"(t)g'(t)f"(t) = abSen2t+abCos2t = _ b_Cosec3t

f ,3(t) a3Se n3t a2Coordenadas del centro de curvatura: C(a,S)

a = x ^(1+y'2) = aCost aCostSen2t(1 + ^ <'03 )y" a2Sen2t

>i2 h2= aCost aCostSen2t — Cos 3t = (a — )Cos3ta a

Del mismo modo: 6 = y + — — = (b •£)Sen3ty"

Eliminando el parámetro t obtenemos la ecuación de la evoluta

de la elipse: (f)2/ 3 + (f)2/ 3 = (i ) 2/3

Si ds es el diferencial del arco de la evoluta, entonces:

ds _ f dt y

(á“}2 + ( M ) 2 (1)dt dt v u

f t = 3(~ 2¿)Cos2tSent : 3( )Sen2tCost

(|£)2 + (II)2= 9(a2b2)2Cos2tSen2t( 2£ £Ü + SenHjat at a 2 ^2

Luego, en (1): = 3(a2b2 )SentCost A 1* ( 1Sen H) +a S enHa t V a2 b.2

^ (a 2b2).SentCost /b2 + ( a2 b2 )Sen21


Entonces :

£[ b2 + (a2b2)]3/2 [b2 + 0 p / 2J= __áab

, , , . 4( a3 b3)de donde : s = — — — -

Mostrar que la astroide x=aCos*t , y = aSen3t tiene por evo

luta una astroide dedimensiones lineales dobles ygirada

¿5o.Valiéndose de ello calcular lalongitud del arco de la as-

troide citada. Rpta: 6a

BSTíEl Mostrar que la evoluta de la cardiode x=2aCostaCos2t ,

y=2aSentaSen2t es también una cardiode semejante a la da

da. Valiéndose de ello hallar la longitud del arco de toda la

cardiode. _

De.no¿i/iación. En efecto,f 1(t)=2a(Sen2tSent)y f"(t )=2a(2Cos2tCost)

g '(t)=2a(CostCos2t) y g" (t)=2a(2Sen2tSent)

Luego: y' g '(t) CostCos2t ^ 1+y,2 _ 2(1Cost)

f 1(t) Sen2tSent (Sen2tSent)2

„ = f'(t)g"(t)gl(t)f"(t) = 3(1Cost)

f ,3(t) 2a(Sen2tSer>t) 3

Coordenadas del centro de curvatura C(oc,8):

a = z J L( l+ y|2) 2aCostaCos2t 4a(CostCos2t)

y"■|aCost |Cos2t (1)

6 = y + 1+y'2 = 2aSentaSen2t + 4a(Sen2tSent)y"

6 = |aSent + |Sen2t (2)

Por tanto, (1) y (2) son las ecuaciones paramétricas de la evo-

luta, que es una cardiode semejante a la dada.

Cálculo de la longitud del arco de toda la cardiode:

/dss2 /dx}2 ,'dt dt dt

= 4a2 f(Sen2tSent ) 2 + (CostCos2t) 2]



ds = —1 d f ( b2+ ( a 2-b 2 )S en 2t J 3 /í 2= ¿a2£22(Cos2tCostSen2tSent)]


(f§)2 = 8a2 ('1 Cost) > 8a2 (2Sen2|)

*• 4a|Sen | *■ ds = ¿aSen dt

r +~i .'. s = 4a|2Cos|¡ = AaC2(1)+2(1)J = 16a

Demostrar el siguiente teorema: si la curvatura del arco

de cierta línea sólo crece, bien solamente decrece, las

circunferencias de la curvatura correspondientes a distintos pun

tos de dicho arco no se cortan y se hallan situadas una dentro

de la otra.

(Sug. Valerse de la dependencia que existe entre la longitud de

la evoluta y el incremento del radio de curvatura.)

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problemas y ejercicios de análisis matemático tomo 1 - fl

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