problème d’affectation quadratique

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Problème d’affectation quadratique SELLAM Mohammed Yassine DJELLOUL Imed Eddine 1ére année Master Section 1 Groupe 5 TIC Dirigé par : Mr HAMDAOUI

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1ére année Master Section 1 Groupe 5 TIC. Problème d’affectation quadratique. SELLAM Mohammed Yassine DJELLOUL Imed Eddine. Dirigé par : Mr HAMDAOUI. Sommaire . Introduction Définition Modélisation Exemples & Applications Méthode de résolution Méthode de recherche locale - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Problème d’affectation quadratique

Problème d’affectation quadratique

SELLAM Mohammed YassineDJELLOUL Imed Eddine

1ére année Master Section 1 Groupe 5 TIC

Dirigé par : Mr HAMDAOUI

Page 2: Problème d’affectation quadratique

Sommaire • I n t r o d u c t i o n• D é f i n i t i o n• M o d é l i s a t i o n• E x e m p l e s & A p p l i c a t i o n s• M é t h o d e d e r é s o l u t i o n• M é t h o d e d e r e c h e r c h e l o c a l e• E x e m p l e

• A l g o r i t h m e é v o l u t i f • V i s a n t u n o p t i m u m < < R é d u c t i o n > >

• E x e m p l e

• C o n c l u s i o n

Page 3: Problème d’affectation quadratique

I n t r o d u c t i o n D e s b e s o i n s c o n c r e t s n o u s o n t p o u s s é s à r e c h e r c h e r u n e p r o c é d u r e p r a t i q u e p e r m e t t a n t d e r é s o u d r e l e s p r o b l è m e s d ' a f f e c t a t i o n q u a d r a t i q u e d e t a i l l e m o y e n n e ( e n t r e 1 0 e t 3 0 ) , p o u r l e s q u e l s l e s m é t h o d e s p r o p o s é e s p r é c é d e m m e n t é t a i e n t d é f a i l l a n t e s .

L a m é t h o d e p a r r é d u c t i o n d e s m a t r i c e s e t d é c o m p o s i t i o n e n p a r t i e s l i n é a i r e e t q u a d r a t i q u e d e l a f o n c t i o n é c o n o m i q u e , q u e n o u s d é c r i v o n s c i - a p r è s , a é t é p r o g r a m m é e e t e s s a y é e s u r d e n o m b r e u x e x e m p l e s e t s e m b l e e f f i c a c e .

E l l e p e r m e t d ' a b o r d e r e n u n t e m p s r a i s o n n a b l e l e s p r o b l è m e s d e t a i l l e v o u l u e e t d e c o n n a î t r e u n e b o r n e d e l ' e r r e u r c o m m i s e e n t r e l a s o l u t i o n r e t e n u e e t l ' o p t i m u m t h é o r i q u e .

Page 4: Problème d’affectation quadratique

Présentation du problème

Le problème d'affectation se présente fréquemment en recherche opérationnelle. Il consiste à réaliser une bijection des éléments i d'un ensemble I sur ceux j d'un ensemble J, de même cardinalité, de telle manière qu'une certaine fonction de coût, dépendant du choix des couples (i, j) soit minimale. Lorsque cette fonction de coût est linéaire, c'est un problème classique et sa solution est donnée par un algorithme polynomial [en 0(), si | I | = | J | = n] : la méthode hongroise. Pourtant, il existe des problèmes appartenant à de nombreux domaines, aussi variés que l'électronique, l'économie, l'architecture, l'informatique, etc., pour lesquels la fonction de coût est quadratique. Le problème d'affectation s'appelle alors « affectation quadratique »; c'est un problème NP-complet et donc beaucoup plus difficile à résoudre que l'affectation linéaire.

Figure1 : exemple d’un PAQ

Page 5: Problème d’affectation quadratique

ModélisationL e p r o b l è m e d ’ a f f e c t a t i o n q u a d r a t i q u e c o n s i s t e à p l a c e r

n u n i t é s c o m m u n i q u a n t e n t r e e l l e s s u r n s i t e s

p r é d é t e r m i n é s . E n t r e u n e u n i t é i p l a c é e s u r u n s i t e k e t

u n e u n i t é j p l a c é e s u r u n s i t e l s e p a s s e u n e i n t e r a c t i o n

q u i a u n c o û t : c i j k l . E n g é n é r a l , c e c o û t e s t l e p r o d u i t

d u f l u x f i j e n t r e l e s d e u x u n i t é s p a r l a d i s t a n c e e n t r e

l e s d e u x s i t e s d k l . E t l e p r o b l è m e c o n s i s t e à m i n i m i s e r

l e c o û t t o t a l d e l ’ i m p l a n t a t i o n d e s n u n i t é s s u r l e s n

s i t e s .

Page 6: Problème d’affectation quadratique

modélisation• Ré s oud r e un p rob l è m e d ' a f f ec t a t i on

quad ra t i q ue , r e v i e n t à r é soud r e l e p rog r am m e qua d ra t i q ue s u i va n t :

• 1 è r e c o n t r a i n t e : S i X i j v a u t 1 , l ' é l é m e n t i d e I e s t a f f e c t é à l ' é l é m e n t j d e J

L e s t r o i s p r e m i è r e s c o n t r a i n t e s d é f i n i s s e n t u n e a f f e c t a t i o n :

• 2 è m e e t 3 è m e c o n t r a i n t e s : à u n é l é m e n t d e I e s t a f f e c t é u n e t u n s e u l é l é m e n t d e J .

• C i j k l r e p r é s e n t e l e c o û t l i é à l ' a f f e c t a t i o n r e s p e c t i v e d e i e n j e t d e k e n l .

L ' a f f e c t a t i o n o p t i m a l e e s t c e l l e q u i m i n i m i s e u n e f o n c t i o n d e c o û t à v a l e u r s p o s i t i v e s , d ' o ù l a f o n c t i o n é c o n o m i q u e ( 4 ) o ù :

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Exemples et appl icat ions du problème d'af fectat ion quadrat ique

E n é c o n o m i e , l e p r o b l è m e f u t p o s é p o u r l a p r e m i è r e f o i s p a r K o o p m a n s e t B e c k m a n n , e n 1 9 5 7 , s o u s l e n o m a n g l a i s d ' « i n d i v i s i b l e r e s s o u r c e s a l l o c a t i o n p r o b l e m » . I l s ' a g i t d ' i m p l a n t e r d i v e r s e s u n i t é s d e p r o d u c t i o n à d e s e m p l a c e m e n t s d i f f é r e n t s d é j à d é t e r m i n é s . D e s q u a n t i t é s f i x é e s d e p r o d u i t s ( m a r c h a n d i s e s , m a t i è r e s p r e m i è r e s , . . . ) d o i v e n t c i r c u l e r e n t r e c e s u s i n e s , e t l e u r c o û t d e t r a n s p o r t d é p e n d d e l a d i s t a n c e p a r c o u r u e L ' i m p l a n t a t i o n d e s u s i n e s c h e r c h é e e s t é v i d e m m e n t c e l l e q u i a s s u r e r a u n c o û t d e t r a n s p o r t m i n i m a l : I e s t l ' e n s e m b l e d e s n u s i n e s . J c e l u i d e s n e m p l a c e m e n t s p o s s i b l e s . X i j = 1 , s i l ' u s i n e i e s t i m p l a n t é e e n j , = 0 s i n o n . f i k , l a q u a n t i t é d e p r o d u i t s à t r a n s p o r t e r d e l ' u s i n e i à l ' u s i n e k . d j l , l e c o û t d e t r a n s p o r t d ' u n e u n i t é d e p r o d u i t s d e l ' e m p l a c e m e n t j à l ' e m p l a c e m e n t l .

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Exemples et applications du problème d'affectation quadratique

Dans l'industrie des automatismes et ordinateurs, le problème se pose

lors de la conception de la plaquette qui doit supporter les circuits intégrés.

Pour obtenir un bon tracé de connexions, il faut chercher à implanter les

modules de circuits intégrés sur cette plaquette de manière à minimiser la

longueur totale des liaisons :

I est alors l'ensemble des modules.

J, celui des emplacements possibles pour ces modules sur la plaquette.

Xij = 1, si le module i est placé en j, = 0 sinon.

fik, le nombre de liaisons du module i au module k.

dji, la longueur d'une liaison, c'est-à-dire la distance euclidienne ou

rectangulaire entre l'emplacement j et l'emplacement i.

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M é t h o d e d e r é s o l u t i o n  

La solution courante de ces algorithmes évolue en allant « regarder autour » s’il n’y a pas d’amélioration possible. Ceci fait donc appel à une notion de voisinage qu’il faut définir dans notre cas.

Pour le problème d’affectation quadratique, une définition simple du voisinage est la suivante : une permutation p1 est voisine d’une permutation p2 si elles diffèrent seulement par un échange entre deux de leurs valeurs. Cette définition du voisinage a un double avantage : d’une part, il est d’une taille raisonnable ( n.[n-1]/2 voisins pour chaque permutation), et d’autre part, la différence de coût entre deux permutations voisines est facilement calculable.

Avec : p la solution courante puv la solution obtenue en échangeant le placement des unités u et v de p

Δ p(u,v) la variation de coût occasionnée par le passage de p à puv.

1 - M é t h o d e s d e r e c h e r c h e l o c a l e

Page 10: Problème d’affectation quadratique

A i n s i , p a r c e s a v a n t a g e s , c e v o i s i n a g e e s t t r è s

m a j o r i t a i r e m e n t u t i l i s é d a n s t o u t e s l e s h e u r i s t i q u e s d e

r e c h e r c h e l o c a l e .

L a m é t h o d e q u i a d o n n é l e s m e i l l e u r s r é s u l t a t s e s t l a

m é t h o d e Ta b o u . S a p r e m i è r e a p p l i c a t i o n a u p r o b l è m e

d ’ a f f e c t a t i o n q u a d r a t i q u e e s t d u e à S k o r i n - K a p o v e n

1 9 9 0 .

O n a :

Page 11: Problème d’affectation quadratique

2 - Algorithme évolutif Evidemment, la recherche locale n’a pas été la seule voie explorée pour la résolution de ce problème tant étudié. Des heuristiques telles que les algorithmes génétiques, ou les méthodes de recherche par dispersion ont également pris part à la course à la meilleure solution. Ces deux exemples sont basés sur une population de solutions qui évolue. Mais finalement, ils n’offrent, tous seuls, que peu de résultats, se confinant souvent dans un domaine de l’espace et n’atteignant que rarement l’optimum global.  Et c’est ainsi que sont nés les algorithmes hybrides évolutifs/recherche locale. En effet, lors de l’évolution de la population dans ces algorithmes, les auteurs ont pensé à utiliser la recherche locale sur ces solutions pour les améliorer, avant de les « accoupler » en mélangeant leurs gênes. Ces hybridations d’algorithmes se sont finalement avérées très efficaces .

Page 12: Problème d’affectation quadratique

E x e m p l en unités communiquant entre elles doivent être placées sur n sites distants. On note fij > 0 le flux d’échanges entre deux unités i et j et dkl > 0 la distance entre deux sites k et l. Le coût d’interaction du placement des unités i et j respectivement sur les sites k et l est égal au produit du flux entre les unités par la distance entre les sites :

 cij = fij.dkl.  Le problème d’affectation quadratique (QAP) consiste à trouver une affectation des unités aux sites (une unité par site et un site par unité) qui minimise la somme des coûts d’interaction sur toutes les paires d’unités. (1) exprimer toute solution réalisable du QAP en terme de permutation ;

dénombrer l’ensemble des solutions réalisables du QAP.

1. On numérote les unités de 1 à n et les sites de 1 à n, alors à toute solution réalisable du QAPcorrespond une unique permutation p de l’ensemble {1, . . . , n} telle que p(i) désigne le numéro du site affecté à la i-ème unité. L’ensemble des solutions réalisables du QAP est donc de cardinalité n! (nombre de permutations possibles).

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(2) exprimer la valeur du coût d’une solution réalisable du QAP par une formule mathématique, sachant que les matrices de flux f et de distance d sont symétriques.

2. on minimise 2c(p) sur l’ensemble des permutations p avec c(p) =

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3 – Méthode visant un opt imum « Réduct ion »

Parmi les méthodes dont l'objectif est d'atteindre un optimum, certaines proposent de : - Trouver un programme linéaire équivalent au programme quadratique. La méthode par réduction consiste à mettre la fonction de coût sous la forme de la somme d'une fonction linéaire et d'une fonction quadratique, dite « Réduite ». Cette décomposition permet de trouver aisément à la fois une borne inférieure et une borne supérieure de la solution optimale, l'obtention des deux bornes permet de guider efficacement la construction de l'arborescence.

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Le problème d'affectation quadratique (A.Q.) est posé sous la forme :Chercher la permutation ρ de P = {1, 2, ..., n} qui minimise

Soient C' = (C'ij) la matrice obtenue par réduction de C :

D' = (D‘kl) celle obtenue par réduction de D :

Nous appelons problème d'affectation quadratique réduit le problème d'affectation de fonction économique :

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Où Z' (ρ) est la fonction économique du problème d'affectation quadratique réduit,K (ρ) la fonction économique d'un problème d'affectation linéaire de matrice K et γ une constante positive. 

Ce théorème découle directement de ce qui précède. Nous avons donc pu décomposer la fonction coût d'un problème A.Q. en la somme d'une fonction quadratique et d'une fonction linéaire. Cette décomposition va permettre de trouver aisément à la fois une borne inférieure et une « bonne » borne supérieure de la solution optimale du problème A.Q.

La recherche de pk amène à résoudre un problème d'affectation linéaire de matrice des coûts K

Borne supérieure :

Borne inferieure :

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Exemple :

La façon la plus simple de procéder pour réduire une matrice est de soustraire à chacune de ses lignes son minimum, puis de procéder de même pour chaque colonne

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de même pour la matrice D

Calculons K dans le cas où C et D sont symétriques :

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Tous les éléments d'une ligne de K soient rangés par ordre croissant, tous les éléments d'une colonne de K par ordre décroissant. C'est donc la permutation optimale :

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C o n c l u s i o n Pour conclure, il est important de rappeler la place importante qu’occupent les

problèmes quadratiques dans les utilisations pratiques de l’optimisation. Il est

évident que toutes les situations ne peuvent pas être formalisées dans un contexte

linéaire. Et il arrive plus que fréquemment de tomber sur un problème

d’optimisation qui s’avère être quadratique.

Certes, d’un côté, la programmation quadratique offre dans un nombre

conséquent de cas une solution optimale.

De l’autre côté se trouvent pour tous ces grands problèmes combinatoires (dont

les problèmes quadratiques font partie) les heuristiques qui permettent, elles, de

trouver une solution satisfaisante en un temps correct, mais dont on ne peut

garantir l’optimalité.

Alors pour en savoir plus sur la programmation quadratique, c’est à vous !

Page 21: Problème d’affectation quadratique

Merci pour votre attention