probleme de matematicĂ - isjvl.ro · 6 6)calculați probabilitatea ca, alegând un număr din...
TRANSCRIPT
1
Gheorghe NECȘULEU Victoria NECȘULEU
PROBLEME DE MATEMATICĂ
DE NIVEL GIMNAZIAL
DATE LA BACALAUREAT
2
Capitolul 1
PROBLEME DATE ÎN ANUL 2017
1. Numere reale
1) Calculați suma numerelor întregi din intervalul 5,5 .
2) Arătați că 1 7
2 : 23 6
.
3) Arătați că 1 4
2 22 5
.
4) Arătați că
31 1 7
1 : 12 4 8
.
5) Arătați că 1 1
2 : 32 2
.
6) Arătați că 1 8
4 24 15
.
7) Arătați că 9 33
025 55
.
8) Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, au cifrele
elemente ale mulțimii 1,2,3,4 .
Soluție. Cifra unităților se poate alege în 2 moduri. Pentru fiecare alegere a
cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 3 moduri, deci se pot forma
3 2 6 numere.
3
9) Rezolvați în mulțimea numerelor naturale nenule inecuația 3 1 6x .
10) Determinați câte numere naturale impare de două cifre se pot forma cu
cifrele 1,2,3,4 și 5.
Indicație. Numerele sunt de forma ab cu 1,2,3,4,5a și 1,3,5b .
2. Funcții și ecuații
1) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 5 23 3x .
2) Arătați că 2
1 2 1 26 1x x x x , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației
2 5 4 0x x .
3) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 5 2x .
4) Se consideră 1x și 2x soluțiile ecuației 2 4 1 0x x . Arătați că
1 2 1 24 0x x x x .
Indicație. Se folosesc relațiile lui Viete:1 2
bx x
a ,
1 2
cx x
a , dintre soluțiile
și coeficienții ecuației de gradul al doilea: 2 0, , , , 0ax bx c a b c a .
5) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 12
8
x .
Indicație. Se ține seama că 3
3
12
2
.
6) Arătați că 1 2
1 2
11
x x
x x
, unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 4 3 0x x .
7) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 12 8x .
4
8) Determinați numărul real a pentru care 1 1 2f f , unde
: ,f f x x a .
8) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 3 33 3 3x x .
9) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 23 9x .
10) Se consideră 1x și 2x soluțiile ecuației 2 3 2 0x mx , unde m este
număr real. Determinați numărul real m, știind că 1 2 1 2 1 0x x x x .
Soluție. Deoarece 1 2 3x x m și 1 2 2x x , relația 1 2 1 2 1 0x x x x , devine
3 3 0m , de unde 1m .
11) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 1
44 2
x .
Indicație. Ecuația se mai scrie: 14 4x .
12) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 1x x .
13) Determinați numărul real m , știind că punctul 2,M m aparține graficului
funcției 2: , 3f f x x .
14) Determinați numărul real m , știind că punctul 1,A m aparține graficului
funcției 2: , 2 3f f x x x .
15) Se consideră funcțiile : , 1f f x x și 2g : ,g 2x x x
Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.
Indicație. Abscisa x se determină din ecuația f x g x .
16) Se consideră funcția 2: , 1f f x x . Calculați 1 1f f .
17) Determinați numărul real m , știind că punctul 1,3A aparține graficului
funcției 2: , 2f f x x mx m .
5
18) Determinați numărul real m , știind că punctul 1,5A aparține graficului
funcției 2: ,f f x x m .
19) Se consideră funcția 2: , 6 8f f x x x . Determinați abscisele
punctelor de intersecție a graficului funcției f cu axa Ox .
Indicație. Abscisele sunt soluțiile ecuației 0f x .
2. Procente și probabilități
1) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
1,2,3,...,100A , aceasta să fie multiplu de 11.
2) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea 1,2,3,...,20A
, aceasta să fie multiplu de 5.
3) După o ieftinire cu 25% , prețul unui televizor este 600 de lei. Determinați
prețul televizorului înainte de ieftinire.
4) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor strict mai mică decât cifra
unităților.
Indicație. Cazurile favorabile sunt:
12,13,14,15,16,17,18,19,
23,24,25,26,27,28,29,
34,35,36,37,38,39,
45,46,47,48,49,
56,57,58,59,
67,68,69,
78,79,
89.
5) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 15.
6
6)Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
1,2,3,4,5,6,7,8,9A , aceasta să fie multiplu de 4.
7) Prețul unui obiect este 300 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se
ieftinește de două ori, succesiv, cu câte 10% .
8) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 3 și cu 5.
9)Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
11,22,33,44,55,66,77,88,99A , aceasta să fie multiplu de 2.
10) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 6.
11) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea
1,2,3,4,5,6,7,8,9A , acesta să verifice egalitatea 2 4 0n n .
12) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 9.
3. Geometrie și trigonometrie
1) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,2M și 4,2N .
Determinați coordonatele punctului P, situat pe axa Ox , astfel încât PM PN
Indicație. Ținem seama că avem ,0PP x și folosim formula de calcul a
distanței dintre două puncte ,A AA x y și ,B BB x y :
2 2
B A B AAB x x y y .
2) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,5 , 1,3A B și ,1C m ,
unde m este număr real. Determinați numărul real m , știind că punctul C
aparține dreptei AB .
7
Soluție. Determinăm funcția de gradul întâi : ,f f x ax b care are
ca grafic dreapta AB . Punând condițiile 2 5f și 1 3f obținem
sistemul2 5
3
a b
a b
cu soluția
2
1
a
b
.Deci : , 2 1f f x x .Punem
condiția ca punctul C să aparțină graficului funcției f și obținem 1f m ,
de unde 0m .
3) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,0O și 8,6M .
Calculați distanța dintre punctele O și M .
4) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 3,1 , 3,3A B și 0,2C .
Determinați lungimea medianei din C a triunghiului ABC .
Indicație. Ținem seama că mijlocul M al segmentului AB are coordonatele
,2 2
A B A BM M
x x y yx y
și apoi calculăm distanța CM cu formula
distanței dintre două puncte date prin coordonatele lor.
5) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,1 , 1,1A B și 3,aC ,
unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că punctele ,A B
și C sunt coliniare.
Indicație. Ținem seama că dreapta AB este graficul funcției : ,f
1f x și punem condiția ca punctul C să aparțină graficului funcției f .
6) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,3A și 4,0B .
Calculați perimetrul triunghiului OAB .
7) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,0 ,A 3,2O și
3,2B . Determinați distanța de la punctul O la punctul M , unde M este
mijlocul segmentului AB .
8) Calculați aria triunghiului ABC , știind că 045m C și 2 3AB AC .
Indicație. Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.
8
9) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,2 , 2,4A B și ,0C m ,
unde m este număr real. Determinați numărul real m , știind că punctele ,A B
și C sunt coliniare.
Indicație. Dreapta AB este graficul funcției : ,f 2f x x .
10) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,1A și 2, 1B .
Arătați că AO OB .
11) Arătați că 2 0 2 0 1sin 45 cos 60
4 .
12) Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului dreptunghic ABC
care are catetele 8AB și 6AC .
Indicație. Ipotenuza BC este diametru în cercul circumscris triunghiului
dreptunghic ABC .
13) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,3 , N 4,3M și
4,0P . Calculați perimetrul triunghiului MNP .
14) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,1 , N 4,1M și 4,4 .P
Arătați că triunghiul MNP este isoscel.
15) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu 6AB și 12BC .
Arătați că 030m C .
16) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,1A și 2,3B .
Determinați coordonatele punctului M , știind că punctul B este mijlocul
segmentului AM .
17) Calculați aria paralelogramului ,ABCD știind că 6, 3AB BC și
030m ABC .
9
18) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 4,2A și 2,4B .
Determinați ecuația mediatoarei segmentului AB .
Soluție. Reprezentând în reperul cartezian xOy punctele 4,2A și 2,4B ,
în baza simetriei figurii obținute, rezultă că mediatoarea segmentului AB este
dreapta OC cu 0,0O și 2,2C . Deci ecuația cerută este y x .
10
Capitolul 2
PROBLEME DATE ÎN ANUL 2016
1. Numere reale
1) Arătați că 2
5 2 4 5 9 .
2) Arătați că 1
1 : 0,25 04
.
3) Arătați că 2 2
2 3 2 3 22 .
4) Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma
cu cifrele 5,7,8 și 9.
Soluție. Numerele căutate sunt: 578, 598, 758, 798, 958, 978. Deci sunt șase
numere .
5) Arătați că 1 1 10
12 5 3
.
6) Arătați că 48 27 3 .
7) Determinați câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifre-
le 5, 6, 7, 8 și 9.
Soluție. Numerele căutate sunt de forma ab , cu 5,6,7,8,9a și 6,8b .
Deci se pot forma 5 2 10 numere.
8) Arătați că 1 1 1
: 13 4 12
.
11
9) Arătați că 1 1 1
2 1 1 1 52 3 4
.
10) Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii
0,1,2,3,4 .
Soluție. Submulțimile căutate sunt: 0,1 , 0,2 , 0,3 , 0,4 , 1,2 ,
1,3 , 1,4 2,3 , 2,4 , 3,4 . Deci sunt 10 submulțimi.
11) Arătați că 1
1 : 0,5 02
.
12) Arătați că 25 64 169 0 .
13) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația 3 2 9x .
14) Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii
1,2,3,4,5,6,7 .
Indicație. Se procedează ca la problema 10.
15) Arătați că 3 1
1 : 14 4
.
2. Funcții și ecuații
1) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 29 3x x .
2) Determinați numărul real m , știind că punctul , 4M m aparține graficului
funcției : , 2f f x x .
3) Calculați 1 1f f , unde : , 1f f x x .
4) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 3 5x .
12
5) Calculați produsul 1 0 1f f f , unde : , 2 2f f x x
6) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 3 43 3x x x .
7) Determinați numărul real a , știind că punctul 1,0A aparține graficului
funcției : ,f f x x a .
8) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 5x .
9) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor
: , 2 1f f x x și g : ,g 2x x .
Soluție. Punctul ,M x y aparține graficelor celor două funcții dacă și numai
dacă
f x y
g x y
.Din f x g x , obținem 1x și apoi 1 1y f .
10) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 8 33 9x .
11) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația
2 31
273
x
.
Indicație. 2 3
2 31 2 31
3 33
xx
x
.
12) Arătați că 1 2 1 24 3 2x x x x , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației
2 5 6 0x x .
13) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 2x .
14) Determinați valorile reale ale lui x , pentru care f x g x , unde
: , 3 2f f x x și g : ,g 4x x .
15) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 3 47 7x x .
13
16) Determinați numărul real m , știind că punctul 1,2A aparține graficului
funcției : ,f f x x m .
17) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4 6 3 42 4x x .
Indicație. 3 4
3 4 2 6 84 2 2x
x x
.
18) Arătați că 1 2 1 22 1x x x x , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației
2 8 15 0x x .
19) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5 1 6x .
20) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 4 4x .
21) Determinați valoarea maximă a funcției : 1,5 , 3f f x x .
Soluție. Deoarece graficul funcției f este un segment valoarea maximă este
cea mai mare dintre valorile 1f și 5f . Cum 1 2f și 5 2f rezultă
că valoarea maximă este 2 .
22) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 12 2x x .
Soluție. Deoarece 2 12 0x , pentru orice x , rezultă că radicalul are
sens pentru orice x . Ridicând ambii membri ai ecuației la pătrat obținem 2 212 4 4x x x , de unde 2x , care verifică ecuația inițială.
23) Determinați numărul real a , știind că punctul 1,aA aparține graficului
funcției 2: , 4f f x x .
24) Se consideră funcția 2: , 1.f f x x Calculați 1 1 .f f
3. Procente și probabilități
14
1) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să fie mai mic sau egal cu 30.
2) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
1,2,3,4,5,6,7,8,9M , acesta să fie divizibil cu 2.
3) Un obiect costă 100 de lei. Determinați prețul obiectului după o
scumpire cu 20% .
4) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
1,2,3,...,100M , acesta să fie pătrat perfect.
Indicație. Cazurile favorabile sunt: 2 2 2 21 ,2 ,3 ,...,10 .
5) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
10,20,30,40,50,60,70,80,90M , acesta să fie multiplu de 30.
6) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
1, 2, 3,..., 25A , acesta să fie număr rațional.
Indicație. Cazurile favorabile sunt: 1, 4, 9, 16, 25 .
7) După o ieftinire cu 10% , prețul unui obiect este 90 de lei. Determinați
prețul obiectului înainte de ieftinire.
8) O firmă folosește 6000 de lei pentru publicitate, sumă care reprezintă
5% din profitul anual al firmei. Calculați profitul anual al firmei.
Indicație. 6000 5% din x , unde x este profitul anual al firmei.
9) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
1,2,3,...,40A , acesta să conțină cifra 4.
Indicație. Cazurile favorabile sunt: 4,14,24,34,40 .
10) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
1,2,3,4,5,6,7,8A , acesta să fie divizibil cu 2.
15
11) Prețul unui obiect este 1000 de lei. Determinați prețul obiectului după ce
se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte 10% .
12) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A , acesta să fie multiplu de 3.
4. Geometrie și trigonometrie
1) Se consideră triunghiul ABC , cu 10,AC 10AB și 12BC . Arătați
că 4
sin5
B .
Indicație. Se folosește triunghiul dreptunghic ABD , unde D BC .
2) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,4A și 5,4B . Calculați
distanța de la punctul A la punctul B .
3) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 3,5A și 7,5B . Deter-
minați coordonatele mijlocului segmentului AB .
4) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,4 , 5,4A B și 5,8C .
Arătați că AB BC .
5) Arătați că 0 0 0sin 45 cos45 cos60 1 .
6) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 5,1A și 3,1B .Calculați
lungimea segmentului AB .
7) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 3,0 , 6,4A B și 0,4C .
Calculați perimetrul triunghiului ABC .
16
8) Arătați că 2 0 2 0 1sin 30 cos 60
2 .
9) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,2A și 4,5B .
Determinați ecuația dreptei AB .
Soluție. Determinăm funcția de gradul I , : ,f f x ax b , care
are ca grafic dreapta AB . Din 1 2f și 4 5f , obținem sistemul
2
4 5
a b
a b
, de unde 1a și 1b . Deci 1f x x și atunci obținem
că ecuația dreptei AB este 1y x .
10) Determinați numărul real m , știind că punctul 1,0M aparține dreptei
de ecuație 2y mx .
Indicație. Punem condiția 2M My mx .
11) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 6,0A și 0,8 .B
Calculați lungimea segmentului AB .
12) Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC , dreptunghic în A ,
știind că 3 2BC și 045m B .
Soluție. Rezultă imediat că triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.
Notând AB AC x și aplicând teorema lui Pitagora, obținem 22 18x ,
de unde 3x . Deci 3AB .
13) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,3 , 5,6A B și 5,3C .
Arătați că patrulaterul AOCB este paralelogram.
Indicație. Este suficient să arătăm că diagonalele AC și OB au același
mijloc.
14) Calculați aria triunghiului ABC , știind că 060m A și 6AB AC .
Indicație. Se poate folosi formulasin
2
AB AC AS
.
17
15) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 3,4A și 1,0 .B
Determinați ecuația dreptei AB .
Indicație. Se determină funcția de gradul I , : ,f f x ax b ,care
are ca grafic dreapta AB și atunci ecuația căutată este y ax b .
16) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,0 ,A 0,5O și 5,0B .
Arătați că triunghiul AOB este isoscel.
17) Calculați aria triunghiului ABC , dreptunghic în A cu 4AB și 3.AC
18) În reperul cartezian xOy se consideră punctul 0,3 .A Determinați
ecuația dreptei care trece prin punctul A și are panta egală cu 1.
Soluție. Ecuația are forma y ax b , cu panta 1a , deci are forma ,y x b
unde b se determină din condiția ca dreapta să treacă prin punctul A , adică
din condiția A Ay x b , de unde 3b și atunci ecuația este 3y x .
19) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,0A și 1,2B .Deter-
minați ecuația dreptei d care trece prin punctul O și este paralelă cu dreapta
.AB
Soluție. Se observă că ecuația dreptei AB este 1y x . Deoarece d AB , cele
două drepte vor avea aceeași pantă. Deci ecuația dreptei d este de forma
y x b . Punând condiția O d , rezultă 0 0 b , de unde 0b . Atunci
ecuația dreptei d este y x .
20) În reperul cartezian xOy se consideră punctul 0,1 .A Determinați
ecuația dreptei d care trece prin punctul A și este paralelă cu dreapta
de ecuație 3 2016y x .
Indicație. Dreapta d va avea o ecuație de forma 3y x b , undeb se deter-
mină din condiția A d .
18
Capitolul 3
PROBLEME DATE ÎN ANUL 2015
1. Numere reale
1) Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii
1,2,3,4,5,6,7 .
Indicație. Sunt 6 5 4 3 2 1 submulțimi.
2) Arătați că 1 3
2 : 52 10
.
3) Arătați că 2 2
5 1 5 1 12 .
4) Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot
forma cu cifrele 2 ,3 și 4.
5) Determinați numărul submulțimilor cu patru elemente ale mulțimii
1,2,3,4,5 .
Soluție. Submulțimile sunt: \ 1 , \ 2 , \ 3 , \ 4 , \ 5A A A A A ,unde
1,2,3,4,5A . Deci numărul lor este 5.
6) Arătați că 1 1 20
22 5 7
.
7) Arătați că 32 18 2 0 .
Indicație. 32 4 2 , 18 3 2 .
8) Determinați câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifrele
1, 2, 3, 4 și 5.
Indicație. Numerele sunt de forma ab , cu 1,2,3,4,5a și 2,4b
9) Arătați că 2
3 13 1
.
10) Arătați că 1
: 0,5 1 02
.
19
11) Arătați că
41 33
2 : 12 16
.
12) Arătați că media geometrică a numerelor 16a și 9b este egală cu 12.
Indicație. Media geometrică a numerelor reale pozitive a și b este ab .
2. Funcții și ecuații
1) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4 64 0x .
2) Determinați valoarea minimă a funcției 2: , 9f f x x
Soluție. Deoarece 9,f x pentru orice x și 0 9f , rezultă că
valoarea minimă a funcției f este -9.
3) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 3 1x x .
Indicație. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat, rezolvăm ecuația astfel
obținută și soluția găsită o verificăm în ecuația inițială.
4) Calculați 2 2f f , unde 2: , 4f f x x .
5) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 3x .
6) Calculați produsul 1 2 3 4f f f f , unde : , 3f f x x .
7) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 5 3 35 5x x x .
Soluție. Obținem ecuația echivalentă 2 5 3 3x x x , care se mai scrie 2 2 3 0x x și are soluțiile reale -1 și 3.
Comentariu. Dacă notăm cu 1x și 2x soluțiile ecuației și folosim relațiile
20
1 2
1 2
2
3
bx x
a
cx x
a
,obținem direct 1 21, 3.x x
8) Determinați numărul real a , știind că punctul ,0A a aparține graficului
funcției : , 2f f x x .
9) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 4x .
10) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor
: , 1f f x x și g : ,g 4 2x x .
Indicație. Abscisa x se determină din ecuația f x g x , iar ordonata y
din relația y f x .
11) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5 35 25x .
12) Calculați 3f f , unde : , 2 1f f x x .
13) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f cu
axa Oy , unde 2: , 2 2015f f x x x .
Indicație. Abscisa este 0, iar ordonata este 0f .
14) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 2x
15) Determinați numărul real a , știind că punctul 3,5A aparține graficului
funcției : ,f f x a x .
16) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4 2 28 2x x
Indicație. 4
4 3 12 38 2 2x
x x
.
21
17) Determinați numărul real m , știind că punctul m,0A aparține graficului
funcției : , 1f f x x .
18) Calculați 1 0 1f f f , unde 2: ,f f x x x .
19) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 1 5x .
20) Determinați numărul real a , pentru care 2 2 4f f , unde
: ,f f x x a .
21) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 2 33 3x x .
22) Determinați valoarea maximă a funcției : 1,4 , 1f f x x .
Indicație. Ținem seama că graficul funcției este un segment.
23) Determinați numărul real a , știind că punctul 1,1A aparține graficului
funcției : ,f f x x a .
24) Determinați numărul real m , pentru care 2 0f , unde : ,f
f x x m .
25) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 53 3x .
3. Procente și probabilități
1) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 7.
Indicație. Cazurile favorabile sunt: 7 2,7 3,...,7 14 .
2) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A , acesta să fie multiplu de 5.
22
3) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
10,20,30,40,50,60,70,80,90M , acesta să fie multiplu de 15.
4) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 5.
Indicație. Cazurile favorabile sunt: 5 2,5 3,...,5 19 .
5) După o reducere cu 10% un obiect costă 99 de lei. Calculați prețul obiectului
înainte de reducere.
Soluție. Din 10
99100
x x , unde x este prețul obiectului înainte de reducere,
obținem 10 990x x , de unde 110x .
6) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 0.
Indicație. Cazurile favorabile sunt: 10, 20, 30, …,90.
7) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
1,2,3,4,5,6,7,8M , acesta să fie divizibil cu 3.
8) Un obiect costă 150 lei. Calculați prețul obiectului după o scumpire cu 30% .
9) Prețul unui obiect este 200 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se
scumpește de două ori succesiv, cu câte 10% .
Soluție. După prima scumpire prețul obiectului este 10
200 200 220100
lei.
După a doua scumpire prețul obiectului este10
220 220 242100
lei.
Comentariu: Se observă că nu se obține același rezultat dacă facem direct o
scumpire de 10% 10% 20% .
10) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
1,2,3,...,80A , acesta să fie divizibil cu 7.
Indicație. Cazurile favorabile sunt: 7 1,7 2,...,7 11 .
23
11) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
1,2,3,4,5,6,7,8,9A , acesta să fie multiplu de 2.
4. Geometrie și trigonometrie
1) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,1A și 0,3B . Determinați
ecuația dreptei AB .
Soluție. Ecuația este y f x , unde f este funcția de gradul I al cărei grafic
este dreapta AB . Considerând f x ax b și punând 2 1f și 0 3f ,
obținem sistemul 2 1
3
a b
b
, de unde 1, 3a b .Deci 3f x x și
atunci ecuația dreptei AB este 3y x .
2) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,0 ,M 0,4O și 4,0N .
Arătați că triunghiul MON este isoscel.
3) Calculați aria triunghiului ABC dreptunghic în A , știind că 10AB și
12AC .
4) Determinați aria triunghiului MNP , știind că 12, 3MN MP și
030 .m M
Indicație. Se folosește formula sin
2
MN MP MS
.
5) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 4,2A și 4,6B . Determi-
nați coordonatele mijlocului segmentului AB .
6) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,3 ,B 5,3A și 5,6 .C
Arătați că AB BC .
24
7) Arătați că 0 0 0sin30 sin 45 cos45 1 .
8) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,a ,B 3,2A și 2,1 .C
Determinați numărul real a pentru care punctele ,A B și C sunt coliniare.
Soluție. Determinăm funcției de gradul I : ,f f x ax b și apoi
punem condiția ca A să aparțină graficului funcției f .Observăm direct că
1f x x . Punem condiția 1f a și obținem 0a .
9) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,1M și 4,1N . Determi-
nați lungimea segmentului MN .
10) Se consideră triunghiul ABC cu 5, 12AB AC și 13BC . Arătați că
5
sin13
C .
Soluție. Observăm că 2 2 2BC AB AC și atunci folosind reciproca teoremei
lui Pitagora, obținem că triunghiul ABC este dreptunghic cu 090m A .
Deci 5
sin13
ABC
BC .
11) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,5A și 3,5B .
Determinați distanța de la punctul A la punctul B .
12) Calculați lungimea laturi AB a triunghiului ABC dreptunghic în A , știind
că 5AC și 045m B .
13) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,0 ,A 3,4O și 3,4 .B
Determinați distanța de la punctul O la punctul M , știind că M este mijlocul
segmentului AB .
14) Calculați aria triunghiului ABC , știind că 045m B și 2AB AC .
Indicație. Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel cu catetele AB și AC .
25
15) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 3,3 ,B 6,3A și 4,0 .C
Determinați coordonatele punctului D , știind că ABCDeste paralelogram.
Soluție. Mijlocul diagonalei AC a paralelogramului este punctul ,M MM x y ,
unde7 3
,2 2 2 2
A C A CM M
x x y yx y
. Dar M este și mijlocul diagonalei
BD și deci 7 3
,2 2 2 2
B D B DM M
x x y yx y
, de unde
6 7
3 3
D
D
x
y
.
Rezultă 1Dx și 0Dy .
16) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,0 ,A 1,2O și 2, .B a
Determinați numărul real a , știind că punctele O,A și B sunt coliniare.
Soluție. Se observă că ecuația dreptei OA este 2y x . Punem condiția ca
punctul B să aparțină acestei drepte și obținem 2B By x , adică 4a .
17) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,3A și 5,3B .
Determinați coordonatele mijlocului segmentului AB .
18) În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație 4 1y x și
punctul 2,0 .A Determinați ecuația paralelei duse prin punctul A la dreapta d
Indicație. Ecuația este de forma y mx n , cu panta 4m .
19) În reperul cartezian xOy se consideră punctul 0,4A . Determinați
ecuația dreptei d care trece prin punctul A și este paralelă cu dreapta de
ecuație 2 7y x .
20) În reperul cartezian xOy se consideră punctul 1,1M . Determinați
ecuația dreptei care trece prin punctul M și are panta egală cu 2.
26
Capitolul 4
PROBLEME DATE ÎN ANUL 2014
1. Numere reale
1) Determinați câte numere naturale impare de trei cifre distincte se pot forma
cu elementele mulțimii 1,2,3 .
Soluție. Cu elementele mulțimii 1,2,3 se pot forma 6 numere naturale de trei
cifre distincte și anume: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Dintre acestea sunt
impare 4 numere.
2) Arătați că 5 2 3 5 3 10 .
3) Arătați că
21 19
2 : 12 9
.
4) Determinați numărul submulțimilor cu număr impar de elemente ale mulțimii
1,2,3,4A .
Soluție. Submulțimile sunt: 1 , 2 , 3 , 4 , 1,2,3 1,2,4 , 1,3,4 , 2,3,4 .
Deci numărul lor este 8.
5) Arătați că
21 3
1 12 4
.
6) Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifrele
0, 1, 2 și 3.
7) Pentru 3a arătați că 2 5
2 6
a
a .
8) Scrieți în ordine crescătoare numerele 02014 , 9 și 2 .
9) Arătați că 2
1 2 2 2 3 .
27
10) Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu
cifrele 1,3,5 și 7.
Indicație. Numerele sunt: 13, 15, 17, 35, 37, 57,
31, 51, 71, 53, 73, 75.
11) Arătați că 2 1
3 13 3
.
2. Funcții și ecuații
1) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 1 3 3 0x x .
Indicație. Rezultă 3 1 0x sau3 3 0x .
2) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 1x x .
3)Determinați numărul real a știind că 1f a , unde : , 3f f x x
4) Se consideră funcțiile : , 2014f f x x și : ,g
2014g x x . Determinați coordonatele punctului de intersecție a grafice-
lor celor două funcții.
Indicație. Abscisa punctului se determină din ecuația f x g x .
5) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 3 19 9x x x .
6) Determinați numărul real m știind că punctul .1M m aparține graficului
funcției : , 3f f x x .
7) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției
: , 4f f x x cu axa Oy .
8) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor
: , 1f f x x și : ,g 3 5g x x .
Indicație. Se determină ,M x y din condițiile f x y și g x y .
28
9) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 23 3x x x .
10) Determinați valoarea minimă a funcției 2: , 2 10f f x x x .
Soluție. Pentru orice x avem 2
1 11 11 1f x x f , de unde
rezultă că valoarea minimă este 1 11f
11) Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor
: , 2 3f f x x și : ,g 1g x x .
12) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 5 3x .
13) Determinați coordonatele punctului de intersecție dintre graficul funcției
: , 2 4f f x x și axa Ox .
14) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 12 2x .
15) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției
: , 1f f x x cu axa Ox .
16) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 23 3x .
17) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 4 45 5x x .
18) Determinați coordonatele punctului de intersecție cu axa Ox a graficului
funcției 2: , 6 9f f x x x .
19) Determinați numărul real m știind că 1f m , unde : ,f
4f x x .
20) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 22 1 1x .
29
4. Procente și probabilități
1) Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să conțină cifra 1.
2) Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 10.
3) Prețul unui aparat de fotografiat este de 360 de lei. Determinați prețul apara-
tului de fotografiat după o reducere cu 25% .
4) Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor egală cu 7.
5) Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de o cifră, acesta să fie mai mic sau egal cu 3.
6) Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să fie par.
7) Prețul unei imprimante este 120 de lei. Determinați prețul imprimantei după
o scumpire cu 10% .
8) Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să fie impar.
Indicație. Pare sunt: 2 5,2 6,...,2 49 .Numărul lor este 49 4 45 .
9) Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de o cifră, acesta să fie divizor al lui 8.
10) Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 13.
Indicație. Cazurile favorabile sunt: 13 1,13 2,...,13 7 .
30
11) În anul 2013, profitul anual al unei firme a fost de 100000 de lei, ceea ce
reprezintă 4% din valoarea veniturilor anuale ale firmei. Determinați va-
loarea veniturilor anuale ale firmei în anul 2013.
Indicație. 100000 4% din x , unde x este valoarea veniturilor anuale ale
firmei în anul 2013.
4. Geometrie și trigonometrie
1) Determinați numărul real a pentru care dreptele de ecuații 1 1y a x și
2 3y x sunt paralele.
2) Determinați raza cercului circumscris triunghiului ABC în care 3AB ,
4AC și 5BC .
Indicație. Triunghiul ABC este dreptunghic.
3) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,5A și 3,5B . Calculați
distanța de la punctul A la punctul B .
4) Arătați că 2 0 2 0 3sin 30 cos 45
4 .
5) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,3A și 2,3 .B Determi-
nați coordonatele mijlocului segmentului AB .
6) Determinați lungimea laturii BC a triunghiului ABC dreptunghic în A știind
că 6AC și 3
sin5
B .
7) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A . Arătați că
sin cos sin cos 1B C C B .
Soluție. 2 2
2sin cos sin cos 1
AC AC AB AB AC ABB C C B
BC BC BC BC BC
.
8) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,1 , 4,1A B și 4,4C .
Arătați că AB BC .
31
9) Determinați aria triunghiului ABC dreptunghic în A știind că 6AB și
10BC .
10) Se consideră triunghiul ABC cu 3AB AC și 3 2BC .Determinați
cosC .
Indicație. Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.
11) În sistemul cartezian xOy se consideră punctele 2,2 , 2,5A B și 6,5C .
Determinați perimetrul triunghiului ABC .
12) Calculați cos A știind că 3
sin2
A și unghiul A este ascuțit.
13) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,2 , 5,2A B și 2,5C .
Arătați că triunghiului ABC este isoscel.
14) Calculați aria triunghiului ABC dreptunghic în A știind că 5AB și
13BC .
15) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,1 , 3,1A B și 3,3C .
Arătați că triunghiului ABC este isoscel.
16) Determinați lungimea laturii AB a triunghiului ABC dreptunghic în A ,
știind că 10BC și 030m C .
18) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,0 , 2,0A B și 0,3C
Calculați aria triunghiului ABC .
Indicație. Se reprezintă punctele în reperul cartezian .xOy
19) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 5,6 , 2,6A B și 5,2C .
Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic.
20) Arătați că 2 0 2 060 45 4tg tg .
32
Capitolul 5
PROBLEME DATE ÎN ANUL 2013
1. Numere reale
1) Arătați că 3 2 2 3 2 6 .
2) Arătați că 3 1 2 18 3 .
3) Arătați că numărul 2
3 1 2 3n este natural
.
4) Arătați că numărul 8 2 2 3 este natural.
5) Arătați că 2 5 2 2 2 10 .
6) Arătați că 3 4 3 3 3 12 .
7) Arătați că 3 1 3 27 3 .
8) Arătați că 2 2 3 2 3 4 .
33
9) Determinați câte numere naturale impare ab se pot forma, știind că
, 2,3,4,5a b și a b .
Indicație. Se vor scrie mai întâi toate numerele naturale ab cu a b și
, 2,3,4,5a b , care sunt în număr de 12.
10) Arătați că numărul 2 7 1 28 este natural.
11) Arătați că 3 2 2 3 2 6 .
2. Funcții și ecuații
1) Se consideră funcția : , 4 1.f f x x Calculați
1 2 ... 10f f f .
Soluție. Avem 1 2 ... 10 4 1 1 4 2 1 ... 4 10 1f f f
10 11
4 1 2 ... 10 10 4 10 220 10 2102
.
2) Calculați 1 2 ... 5f f f pentru funcția : , 2.f f x x
3) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 1x x .
Indicație. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat.
4) Calculați 0 2f f pentru funcția : , 1f f x x .
5) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 25 25x .
6) Se consideră funcția : , 3.f f x x Arătați că 3 3 6f f .
7) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor
: , 1f f x x și g : ,g 2 1.x x
Indicație. Abscisa x este soluția ecuației f x g x , iar ordonata este
y f x .
34
8) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 262 2x x .
9) Calculați 3 3f f pentru funcția 2: , 9.f f x x
10) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 25 25x .
11) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 13 9x x .
12) Determinați coordonatele punctului de intersecție cu axa Ox a graficului
funcției 2: , 10 25.f f x x
13) Calculați 4 4f f pentru funcția 2: , 16.f f x x
14) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 22 8 0x x .
15) Se consideră funcția : , 3.f f x x Arătați că 3 3 6f f .
16) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 23 15 0x x .
17) Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției
2: , 3 2f f x x x cu axa Ox .
Indicație. Rezolvăm ecuația 0f x . Obținem 1,0 , 2,0A B și le repre-
zentăm în reperul cartezian xOy .
18) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 32 8x .
19) Calculați 4 4f f pentru funcția : , 4.f f x x
20) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 27 49x .
21) Calculați distanța dintre punctele de intersecție cu axa Ox a graficului
funcției 2: , 4 3f f x x x .
Indicație. Distanța este 1 2x x , unde 1 2,x x sunt rădăcinile ecuației 0.f x
35
22) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 4 2x x .
23) Calculați 1 2 ... 10f f f pentru funcția : , 2 1.f f x x
24) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 14 16x .
25) Calculați 2 0f f pentru funcția : , 1f f x x .
3. Procente și probabilități
1) După o scumpire cu 10% prețul unui produs este de 2200 de lei. Calculați
prețul produsului înainte de scumpire.
Indicație. 10%x din 2200x , unde x este prețul înainte de scumpire.
2) Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea
numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 5.
3) Prețul unui obiect este 100 de lei. Determinați prețul obiectului după o scum-
pire cu 10% .
4) După o scumpire cu 10% prețul unui produs crește cu 70 de lei. Calculați
prețul produsului după scumpire.
Soluție. Notăm cu x prețul produsului înainte de scumpire. După scumpire
prețul produsului va fi 10%x din x , unde 10% din x este scumpirea. Atunci
10% din x 70 , de unde 10
70100
x și deci 700x .Deducem că prețul după
scumpire este 700 70 770 lei.
5) Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea
numerelor naturale de trei cifre, suma cifrelor acestuia să fie egală cu 2.
36
6) După o ieftinire cu 20% prețul unui produs scade cu 200 de lei. Calculați
prețul produsului după ieftinire.
Indicație.20% din x 200 , unde x este prețul produsului înainte de ieftinire.
7) Prețul unui obiect este 100 de lei. Determinați prețul obiectului după o scum-
pire cu 20% .
8) Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea
numerelor naturale de două cifre acesta să fie pătrat perfect.
9) După o ieftinire cu 10% prețul unui produs este 90 de lei. Calculați prețul
produsului înainte de ieftinire.
10) Prețul unui obiect este 100 de lei. Determinați prețul obiectului după o
ieftinire cu 30% .
11) După o scumpire cu 10% prețul unui produs este 220 de lei. Calculați
prețul produsului înainte de scumpire.
12) Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din
mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor acestuia să
fie egal cu 4.
13) Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulți-
mea 1,2,3,...,20A , acesta să fie divizibil cu 4.
14) Prețul unui obiect este 1000 de lei. Determinați prețul obiectului după o
scumpire cu 10% .
15) Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulți-
mea 1,2,3,...,15A , acesta să fie multiplu de 7.
16) Prețul unui obiect este 1000 de lei. Determinați prețul obiectului după o
ieftinire cu 10% .
37
4. Geometrie și trigonometrie
1) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,1A și 1,3B . Calculați
distanța de la punctul A la punctul B .
2) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,7P și 2,9R . Determi-
nați coordonatele mijlocului segmentului PR .
3) Determinați lungimea laturii BC a triunghiului ABC dreptunghic în A , știind
că 40AC și 2
sin .5
B
4) Calculați raza cercului circumscris triunghiului ABC dreptunghic în A , știind
că 8BC .
Soluție. Ipotenuza BC este diametru în cercul circumscris triunghiului ABC .
Deci raza cercului circumscris triunghiului ABC este 42
BCR .
5) Calculați lungimea medianei din A în triunghiul dreptunghic ABC cu
ipotenuza 10.BC
Soluție. Centrul cercului circumscris triunghiului ABC , O , este mijlocul seg-
mentului BC . Atunci mediana 10
52 2
BCAO R .
Comentariu. În general, se știe că lungimea medianei din A în triunghiul
dreptunghic ABC este jumătate din lungimea ipotenuzei BC .
6) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,1A și 3,1B . Calculați
distanța de la punctul A la punctul B .
7) În reperul cartezian xOy se consideră dreapta h de ecuație 1y x și
punctul 2,2A . Determinați ecuația dreptei d care trece prin A și este
paralelă cu h .
38
Soluție. Panta dreptei h este 1hm . Deoarece d h obținem că 1d hm m .
Atunci dreapta d va avea o ecuație de forma ,y x n unde n se determină
din condiția A d . Rezultă 2 2 n , adică 0n și astfel ecuația dreptei d
este y x .
8) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,4A și 2,1B . Calculați
distanța de la punctul A la punctul B .
9) Calculați cos A , știind că 1
sin2
A și unghiul A este ascuțit.
10) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,3P și 4,3R . Determi-
nați coordonatele mijlocului segmentului PR .
11) Determinați lungimea laturii AB a triunghiului ABC dreptunghic în A ,
știind că 20BC și 2
cos5
B .
Soluție. Din cosAC
BBC
, obținem 2
20 5
AC , de unde 8AC . Atunci folosind
teorema lui Pitagora avem 2 2 28 20AB , de unde 2 336AB și deci
4 21AB .
12) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,3 , 3,0A B și 2,5C .
Calculați lungimea medianei din B a triunghiului ABC .
Indicație. Lungimea căutată este distanța BM , unde M este mijlocul
segmentului AC .
13) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 4,3A și 4,1B . Calculați
distanța de la punctul A la punctul B .
14) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,1P și 2,3R . Determi-
nați coordonatele mijlocului segmentului PR .
39
15) Calculați cosB , știind că 5
sinB13
și unghiul B este ascuțit.
Soluție. Folosind formula fundamentală a trigonometriei 2 2sin cos 1B B ,
obținem 225cos 1,
169B de unde 2 144
cos169
B și astfel 12
cos13
B .
40
Capitolul 6
PROBLEME DATE ÎN ANUL 2012
1. Numere reale
1) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, inecuația 12 4x .
Indicație. Inecuația din enunț este echivalentă cu inecuația 1 2x .
2) Determinați numărul real m știind că mulțimile 2A și
2| 4 0B x x mx sunt egale.
Soluție. Trebuie să determinăm m pentru care ecuația 2 4 0x mx are o
singură soluție reală și anume 2x . Avem 22 2 4 0m , de unde 4m .
Pentru 4m ecuația devine 2
2 0x și are , într-adevăr numai soluția 2.
3) Arătați că 1 22 2 0,75 .
Indicație. 1 2
1 2
1 12 2
2 2
.
4) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, inecuația 2
03x
.
Indicație. Punem condiția ca numitorul să fie strict negativ.
5) Ordonați crescător numerele 12,2 2 și 3 .
2. Funcții și ecuații
1) Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor
2: , 2f f x x x și : , 2g g x x .
41
2) Se notează cu 1x și 2x soluțiile ecuației 2 3 0x x a , unde a este un număr
real. Determinați a pentru care 1 2 1 2 5x x x x .
3) Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției
: ,f 2 5 4f x x x cu axaOx .
4) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația 13 3 4x x .
Indicație. Notăm 3x y și obținem 3 4y y .
5) Rezolvați sistemul de ecuații5
6
x y
xy
.
6) Determinați numărul real m , știind că punctul 0,1A aparține graficului
funcției : ,f 2 2 3f x x x m .
7) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor
: , 3f f x x și : , 5g g x x .
8) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația 3 12
4
x .
3. Procente și probabilități
1) Calculați probabilitatea ca alegând la întâmplare unul dintre numerele
naturale de două cifre, aceste să fie format doar din cifre impare.
Indicație. Cazurile favorabile sunt toate numerele de forma ab cu
, 1,3,5,7,9a b
2) La o bancă a fost depusă într-un depozit suma de 900 lei, cu o dobândă de
%p pe an. Calculați p , știind că, după un an, în depozit suma este de 1008 lei.
Indicație. 900 %p din900 1008 .
3) Determinați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea 1,2,...,30
acesta să fie divizibil cu 7.
42
4. Geometrie și trigonometrie
1) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul 3.3A și este paralelă cu
dreapta d de ecuație 3 2 1 0x y .
Soluție. Avem 3 1
3 2 1 0 2 3 12 2
x y y x y x . Deci panta
dreptei d este3
2dm . Fie d dreapta care trece prin A și este paralelă cu
dreapta d . Atunci panta dreptei d este egală cu panta dreptei d . Deci
dreapta d are o ecuație de forma 3
2y x n . Punem condiția A d și
obținem 3
2A Ay x n , adică
33 3
2n , de unde 15n . În concluzie
ecuația dreptei d este 3
152
y x .
2) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 0,0O și 2,3A .
Determinați coordonatele punctului B , știind că A este mijlocul segmentului
OB .
3) Determinați măsura x a unui unghi ascuțit, știind că sin 4cos
5cos
x x
x
.
Indicație. Relația din enunț se scrie sin cosx x .
4) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 0,0 , 5,1 , 3,5O A B .
Calculați lungimea medianei din vârful O în triunghiul OAB .
Indicație. Mediana are lungimea 2 2
M O M OOM x x y y , unde M
este mijlocul segmentului AB .
5) În reperul cartezian xOy , se consideră punctul 4, 1A . Determinați
coordonatele punctului B , știind că O este mijlocul segmentului AB .
43
6) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 1,2A și 3,0B .
Determinați coordonatele simetricului punctului A față de punctul B .
Soluție. Simetricul lui A față de B este punctul C cu proprietatea că B este
mijlocul segmentului AC . Deci 2
A CB
x xx
,
2
A CB
y yy
, adică avem
relațiile 1
32
Cx ,
20
2
Cy , de unde 5, 2C Cx y și deci 5, 2C .
44
Capitolul 7
PROBLEME DATE ÎN ANUL 2011
1. Numere reale
1) Arătați că 2, 5 2 .
Indicație. Avem 1 2 4 5 9 .
2) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, inecuația3 2
2 3
x x
.
Soluție. Inecuația se scrie3 3
2 2
x x
, de unde x x și deci mulțimea
soluțiilor inecuației este intervalul ,0 .
2. Funcții și ecuații
1) Determinați a pentru care funcția 2: , 1 4f f x a x este
constantă.
2) Se consideră funcția : , 5 .f f x x Calculați produsul
1 2 3 ... 10f f f f .
3) Se consideră funcția 2: , .f f x x ax b Determinați numerele
reale a și b pentru care graficul funcției f conține punctele 2,3A și 1,0B .
45
4) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația 13 3 36x x .
5) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația 17 7 392x x .
6) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 5 23 3x x x .
7) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 2x .
Indicație. Ecuația este echivalentă cu 1 2x sau 1 2x .
3. Procente și probabilități
1) Calculați probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr din mulțimea
10,11,12,...,99 , acesta să fie divizibil cu 4.
2) După o scumpire cu 5% , prețul unui produs crește cu 12 lei. Calculați prețul
produsului înainte de scumpire.
Soluție. Avem 5% din 12x , unde x este prețul produsului înainte de
scumpire. Rezultă 5
12100
x , de unde 240x .
4. Geometrie și trigonometrie
1) Determinați a pentru care dreptele 1 : 2011 0d ax y și
2 : 2 0d x y sunt paralele.
Indicație. Panta dreptei 1d este a , iar panta dreptei 2d este 1
2 .
46
2) Calculați distanța de la punctul 2,2A la dreapta determinată de punctele
1,0B și 0,1C .
Indicație. Reprezentăm punctele în reperul cartezian xOy și observăm că se
formează triunghiul isoscel ABC cu AB AC .
3) Calculați distanța de la punctul 2,3A la punctul de intersecție a dreptelor
1 : 2 6 0d x y și 2 : 2 6 0.d x y
Soluție.
Din sistemul
2 6 0 4 2 12 0,
2 6 0 2 6 0
x y x y
x y x y
obținem3 18,x de unde 6,x 6y ,
astfel încât 6,6B este punctul de intersecție al dreptelor 1d și 2d . Atunci
2 2 2 2 2 26 2 6 3 4 3 5B A B AAB x x y y .
4) Determinați lungimea laturii unui triunghi echilateral, care are aria egală cu
4 3.
Indicație. Aria unui triunghi echilateral se calculează cu formula2 3
4
lS ,
unde l este lungimea laturii triunghiului echilateral.
5) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 1,4A și 5,0B .
Determinați ecuația mediatoarei segmentului AB .
Indicație. Reprezentând punctele în reperul cartezian xOy obținem triunghiul
dreptunghic isoscel MAB cu 1,0M și ipotenuza AB . Atunci este suficient
să scriem ecuația medianei din M a triunghiului MAB .
6) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 0, 2A și 4,mB , unde
.m Determinați valorile lui m pentru care 5AB .
47
7) Determinați numerele reale m , pentru care punctul 22 1,mA m m se află
pe dreapta : 1 0.d x y
Soluție. Se obține ecuația 22 1 1 0m m , adică 2 0m m , cu soluțiile
reale 1 20, 2m m .
8) Calculați cos x , știind că 0 00 90x și 12
sin13
x .
Soluție. Folosind formula fundamentală a trigonometriei 2 2sin cos 1x x ,
obținem 2144cos 1
169x , de unde 2 25
cos169
x și deci 5
cos13
x .
48
Capitolul 8
PROBLEME DATE ÎN ANUL 2010
1. Numere reale
1) Câte elemente din mulțimea 1,2,3,...,100A sunt divizibile cu numărul 4
sau cu numărul 5 ?
Soluție. Numerele divizibile cu 4 formează mulțimea 4 1,4 2,...,4 25B .
Numerele divizibile cu 5 formează mulțimea 5 1,5 2,...,5 20C . Numerele
din A divizibile cu 4 sau cu 5 formează mulțimea B C și atunci avem relația
25 20 5 40card B C card B card C card B C , deoarece
20,40,60,80,100B C .
2) Determinați x , pentru care 1
1 13
x .
Soluție. Obținem inecuația 3 1 3x sau 4 2x și cum x ,
obținem 4, 3, 2, 1,0,1,2x .
2. Funcții și ecuații
1) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 2 1 1x x x .
Indicație. Observăm că 22 2 1 1x x x și apoi ridicăm ambii membri ai
ecuației la pătrat.
49
2) Determinați mulțimea valorilor funcției : ,f f x x .
Indicație. Ținem seama că 0x , pentru orice număr real x .
3) Determinați m pentru care ecuația 2 2 0x x m are două soluții reale
egale.
Soluție. Punem condiția 2 21 4 1 0m , de unde 2 1
4m și deci
1
2m .
4) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 12 3 1x .
Indicație. Se obține ecuația echivalentă 2 13 1x .
5) Se consideră funcțiile , : , 2 1, 3f g f x x g x x .Determinați
coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f și g .
6) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația 21 1
327
x .
Soluție. Obținem21 33 3x , de unde 21 3x , adică 2 4x . Obținem
soluțiile reale 2 și -2.
3. Procente și probabilități
1) Calculați produsul a b , știind că 150a b și numărul a reprezintă 25%
din numărul b .
Indicație. Obținem 4
ba .
2) Calculați probabilitatea ca alegând la întâmplare un element n din mulțimea
1,2,3,4 , acesta să verifice inegalitatea 22n n .
50
Soluție. Pentru 1 2 2 2 3 21 2 1 ; 2 2 2 ; 3 2 3n A n A n F
4 24 2 4 .n A Deci sunt 3 cazuri favorabile, iar numărul total de cazuri
este egal cu numărul elementelor mulțimii 1,2,3,4 . Deci probabilitatea este
3
4P .
4. Geometrie și trigonometrie
1) În sistemul de coordonate xOy , se consideră punctele 1, 2 , 3, 1M N
și 1,2P . Determinați coordonatele punctului Q astfel încât MNPQ să fie
paralelogram.
Indicație. Ținem seama că diagonalele paralelogramului au același mijloc.
2) În sistemul de coordonate xOy , se consideră punctele 3,5 ,B 2,5A și
6, 3C . Scrieți ecuația medianei corespunzătoare laturii BC , în triunghiul
ABC .
3) În sistemul de coordonate xOy , se consideră punctele 2,1 ,B 2,3 ,A
1, 3C și 4,D a , unde .a Determinați a astfel încât dreptele AB și
CD să fie paralele.
Soluție. Ecuația dreptei AB are forma y mx n . Din sistemulA A
B B
y mx n
y mx n
rezultă 1 2
3 2
m n
m n
, de unde 2n și
1
2m care este panta dreptei .AB
Ecuația drepteiCD are forma y px q . Obținem sistemul C C
D D
y px q
y px q
,
care este echivalent cu 3
4
p q
a p q
. Rezultă 3 3p a , de unde
3
3
ap
,
care este panta dreptei CD . Avem 1 3 9
2 3 2
aAB CD m p a
51
4) Un triunghi dreptunghic are catetele 3, 4AB AC . Determinați lungimea
înălțimii duse din A .
Indicație. AB AC
hBC
.
5) Determinați m pentru care punctele 2,3 , 4,5A B și 21,C m m , sunt
coliniare.
Soluție. Ecuația dreptei AB este 1y x . Punem condiția C AB sub forma
1C Cy x . Obținem ecuația 2 2m m , adică 2 2 0m m , cu soluțiile
reale 1 1m și 2 2m .
6) În sistemul de coordonate xOy , se consideră punctele 0,0 ,A 2, 2O și
6,8B . Calculați distanța de la punctul O la mijlocul segmentului AB .
52
Capitolul 9
BREVIARE TEORETICE
1. Numere reale
Scrierea ab se folosește pentru un număr natural de două cifre. Analog
pentru abc etc.
Un număr par este un număr natural cu ultima cifră cu soț.
Un număr impar este un număr natural cu ultima cifră fără soț.
Mulțimea A este o submulțime a mulțimii B , dacă orice element din A se
află și în B . În acest caz scriem A B și spunem că A este inclusă în B sau
că B include A .
Un număr natural a se divide cu un număr natural b dacă există un număr
natural c , astfel încât a b c . Spunem că ,, a este divizibil cu b ” sau că
,,b divide a “. În acest caz, a este un multiplu al lui b și b este un divizor
al lui a .
Numărul natural a este multiplu al numărului natural 0b , dacă și numai
dacă restul împărțirii lui a la b este 0 ( a se împarte exact la b ).
Mulțimea numerelor reale include ( cuprinde) mulțimile , , ,
precum și mulțimea numerelor iraționale.
Cu fracții se pot face operații de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și
ridicare la putere cu exponent natural.
53
Fie , 0.a a Prin a înțelegem acel număr real pozitiv x cu
proprietatea că 2x a .
Dacă , 0a a , avem și 1
,n
na
a
unde n 0 1 .a
Raționalizarea numitorului unei fracții se face prin amplificare cu
conjugatul numitorului:
, 0; , 0, 0,a b ca a b a
b b c b cb b cb b c
.
Formule de calcul prescurtat:
22 2 2 2; 2a b a b a b a b a ab b ;
2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc ,
unde, , ,a b c .
Media aritmetică a numerelor reale pozitive a și b este 2
a b , iar media
geometrică a numerelor reale pozitive a și b este ab și avem
, , , 0, 02
a bab a b a b
( inegalitatea mediilor),
egalitatea realizându-se dacă și numai dacă a b .
54
2. Funcții și ecuații
O funcție :f A B cu ,A B se numește funcție reală de variabilă
reală sau funcție numerică. În acest caz graficul lui f ,
, |fG x f x x A poate fi reprezentat (geometric) în plan în raport cu
un sistem xOy , obținând astfel reprezentarea grafică a funcției f .
Punctele de intersecție ale graficului funcției numerice f cu axa Ox se
determină punând 0y , adică 0f x , iar intersecția cu axa Oy se
realizează punând 0x și calculând 0y f .
Avem ,M M f M MM x y G f x y .
Punctele de intersecție a graficelor a două funcții numerice f și g se
determină din relațiile f x g x și y f x .
Funcția : , , ,f f x ax b a b se numește constantă dacă
0,a liniară dacă 0a și 0b și de gradul I dacă 0a și are ca grafic o
dreaptă numită dreapta de ecuație y ax b sau dreapta soluțiilor ecuației
y ax b .
Funcția : , , ,f f x ax b a b , al cărei grafic este dreapta AB
se determină din sistemul
.
A A
B B
f x y
f x y
Funcția : , , , ,f f x ax b a b , are ca grafic segmentul
,A B , unde ,A f și ,B f .
55
Putem rezolva probleme privind coliniaritatea a trei puncte ,A AA x y ,
, , ,B B C CB x y C x y , determinând funcția de gradul I, f , al cărei grafic
este dreapta AB și verificând dacă ( punând condiția ca) punctul C aparține
graficului funcției f .
Ecuația 0, , , 0ax b a b a , are o singură soluție reală și anume
bx
a .
Ecuația 2 0ax bx c , unde , ,a b c și 0a , are soluții reale dacă și
numai dacă 2 4 0b ac și acestea sunt date de formula1,2
2
bx
a
.
Mai avem 1 2
bS x x
a și
1 2
cP x x
a . Ecuația de gradul al doilea, care
are suma rădăcinilor S și produsul rădăcinilor P este 2 0x Sx P . În
cazul 2 4 0b ac , are loc descompunerea 2ax bx c
1 2a x x x x , unde 1x și 2x sunt rădăcinile ecuației 2 0ax bx c .
Ecuația f x g x
a a , unde , 0a a și f și g sunt funcții de gradul I
sau de gradul al doilea, se rezolvă în , rezolvând ecuația f x g x în .
Ecuația f x g x , unde f este o funcție de gradul I sau de gradul al
II-lea, și 0f x , pentru orice x ,iar g este o funcție de forma
g : , , ,g x ax b a b , se rezolvă în ridicând la pătrat ambii
membrii, rezolvând ecuația 2
f x g x în și verificând soluțiile
obținute în ecuația inițială.
56
3. Procente și probabilități
Formula 100
pa b , se folosește pentru rezolvarea fiecăreia dintre
următoarele probleme
i aflarea numărului b care reprezintă %p din a ;
ii aflarea numărului a când cunoaștem că %p din el este b ;
iii aflarea raportului procentual %p (cât la sută din el este b ).
Într-un câmp de evenimente egal probabile, probabilitatea unui eveniment se
calculează cu formula
. .
. .
nr caz favorabileP
nr tot cazuri ,
numită formula clasică a probabilității.
57
4. Geometrie și trigonometrie
O mediană în triunghi este un segment de dreaptă care unește vârful
triunghiului cu mijlocul laturii opuse.
O mediatoare în triunghi este o dreaptă perpendiculară pe o latură a
triunghiului, care trece prin mijlocul acelei laturi.
Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic ABC este chiar
mijlocul ipotenuzei triunghiului.
Mediana din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic are ca
lungime jumătate din lungimea ipotenuzei triunghiului dreptunghic.
Într-un triunghi dreptunghic ABC cu ipotenuza BC avem 2 2 2BC AB AC ( teorema lui Pitagora).
Dacă într-un triunghi ABC avem 2 2 2BC AB AC , atunci triunghiul
ABC este dreptunghic cu ipotenuza BC ( reciproca teoremei lui Pitagora).
Într-un triunghi dreptunghic ABC cu 090m A și B x sau C x
avem:
.sin
cat opusăx
ipotenuză ,
.cos
cat alăturatăx
ipotenuză ,
sin cos 1, ,
cos sin
x xtgx ctgx
x x tgx
2 2sin cos 1x x ( formula fundamentală a
trigonometriei pentru unghiuri ascuțite),
0 0sin 90 cos ,cos 90 sinx x x x ,
0 090 , 90tg x ctgx ctg x tgx .
58
Valori importante ale funcțiilor trigonometrice:
0 0 0 0 0 01 3 2sin30 cos60 ;sin 60 cos30 ;sin 45 cos 45
2 2 2 .
0 0 0 0 0 0330 60 , 60 30 3, 45 45 1
3tg ctg tg ctg tg ctg .
Pentru un triunghi ABC în care se cunosc ,AB AC și A avem formulele:
2
AB ACS
, dacă 090A ;
sin
,2
AB AC AS
, dacă A este ascuțit;
0sin 180
,2
AB AC AS
dacă A este obtuz.
Pentru un paralelogram ABCD cu A ascuțit, avem sinS AB AD A .
Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc și reciproc dacă într-un
patrulater convex diagonalele au același mijloc acesta este paralelogram.
Fie punctele ,A AA x y și ,B BB x y . Atunci:
,M Mi M x y este mijlocul segmentului AB dacă și numai dacă
2
A BM
x xx
și
2
A BM
y yy
;
59
ii Distanța dintre punctele A și B este
2 2
B A B AAB x x y y .
Dreptele distincte de ecuații y ax b , respectiv y a x b , sunt paralele
dacă și numai dacă a a , adică dacă și numai dacă au pantele egale.
Punctul ,A AA x y se află pe dreapta de ecuație y ax b dacă și numai dacă
A Ay ax b .
60
Bibliografie
[1] F. Georgescu, F. Smeureanu, A. Cojocaru, M. Crăciun, M.Gușatu,
M. Voinea, A.S. Negulescu, I. Necșuliu: Matematică, culegere de
probleme pentru clasa a IX-a, Editura Fair Partners, București, 2007.
[2] M. Gușatu, Gh. Necșuleu, I. Necșuleu, M. Crăciun, A. Pitea,
D. Cioroboiu, F. Smeureanu: Matematică. Teste Naționale, Editura
Fair Partners, București, 2007.
[3]Gh. Necșuleu: Calcul vectorial și elemente de trigonometrie. Aplicații
în trigonometrie. Aplicații în geometrie, Editura Fair Partners,București,
2007.
[4] Gh. Necșuleu, I. Necșuliu: Matematică manual pentru clasa a VIII-a.
Algebră, Editura Fair Partners, București, 2010
[5] Gh. Necșuleu, I. Necșuliu, M. Gușatu, B. Heroiu, V. Necșuleu, M.
Stroie, D. Eftenoiu: Matematică, variante de subiecte pentru bacalaureat,
Editura Fair Partners, București, 2013.
[6] Gh.Necșuleu, I. Necșuliu, V.Necșuleu: Teme și probleme de matematică
pentru bacalaureat, Partea I, Clasele a IX-a și a X-a, Editura Sitech,
Craiova, 2014.
[7] Gh.Necșuleu, I. Necșuliu, V.Necșuleu: Teme și probleme de matematică
pentru bacalaureat, Partea a II-a, Clasele a XI-a și a XII-a, Editura
Sitech Craiova, 2014.
[8] M. Postolache, M. Crăciun, T. Saulea, M. Gușatu, Gh. Necșuleu, C.
Corcodel: Matematică pentru anul de completare, Editura Fair Partners
București, 2005.
[9] M. Postolache, Gh.Necșuleu, I. Necșuleu, A. Crăciun, L. Bercu: Mate-
matică, manual pentru clasa a X-a, TC, Editura Fair Partners, București,
2005.
[10] I. Țevy, M. Crăciun, T. Saulea, M. Gușatu, A. Pitea, Gh. Necșuleu, I.
Necșuleu, A. Crăciun, L. Bercu, V. Nicula : Matematică,culegere de
probleme pentru clasa a X-a, TC+CD, Editura Fair Partners, București,
2005.
[11] C. Udriște, I. Țevy, Gh.Necșuleu, I. Necșuleu, M. Gușatu, M. Crăciun,
T. Saulea, V. Nicula: Matematică, manual pentru clasa a X-a, TC+CD,
Editura Fair Partners, București, 2005.
61
Cuprins
Prefață…………………………………………………………5
1. Probleme date în anul 2017………………………………...7
2. Probleme date în anul 2016………………………………..15
3. Probleme date în anul 2015………………………………..23
4. Probleme date în anul 2014………………………………..31
5. Probleme date în anul 2013………………………………..37
6. Probleme date în anul 2012………………………………..45
7. Probleme date în anul 2011………………………………..49
8. Probleme date în anul 2010………………………………..53
9. Breviare teoretice…………………………………………..57
Numere reale………………………………………………...57
Funcții și ecuații……………………………………………..59
Procente și probabilități……………………………………...61
Geometrie și trigonometrie…………………………………..62
Bibliografie…………………………………………………….65