Problema 1Gândiţi-vă la un număr şi îl scrieţi. Înmulţiţi acest număr cu 2 şi adunaţi 1. Apoi înmulţiţi cu 5 şi scădeti 5. Numărul obţinut împărţiţi prin 10. Rezultatul scrieţi-l lângă primul număr gândit. Ce aţi obţinut?

Soluţia Problemei 1Numărul gândit.

Problema 2Gândiţi-vă la un număr şi îl scrieţi, înmulţiţi cu 5, adăugaţi 2, înmulţiţi cu 4 şi adăugaţi 3. Acum înmulţiţi rezultatul primit cu 5 şi adăugaţi încă 7. Scrieţi numărul primit. Tăiaţi ultimele două cifre. Ce număr aţi obţinut?

Soluţia Problemei 2Numărul gândit.

Problema 3Înscrieţi în cerculeţe pe desen numerele de la 1 până la 7 astfel, încât pe fiecare dreaptă suma numerelor să fie egală cu 15. (Soluţie problemei nu-i unică.)

Soluţia Problemei 3

Problema 4Completaţi pătrăţelele pe desen cu numerele 2, 4, 8, 12, 16, 18 astfel, încât suma numerelor unite de drepte să fie egală cu 30 în toate direcţiile. (Soluţie problemei nu-i unică.)

Soluţia Problemei 4

Problema 5Pe o casă sunt patru coşuri de fum, pe casa vecină – trei, iar pe casa următoare – două. Ce obţinem în rezultat?

Soluţia Problemei 5În rezultat vom primi fum.

1

Problema 6Desenaţi acest plic fără a ridica creionul de pe hârtie (fără întrerupere).

Soluţia Problemei 6

Problema 7Un băiat a avut tot atâtea surori cât şi fraţi. Dar fiecare soră a avut fraţi de două ori mai mulţi, decât surori. Câţi copii în total au fost în familie? Câţi din ei au fost băieţi şi câte fete?

Soluţia Problemei 77 copii: 4 băieţi şi 3 fete

Problema 8Trenul electric merge de la est spre vest. Accelerând mersul, trenul face 60 km pe oră. În aceeaşi direcţie, de la est spre vest, suflă vântul, dar cu viteza 50 km pe oră. În ce direcţie va fi dus fumul trenului?Soluţia Problemei 8În nici o direcţie. Trenul electric nu face fum.

Problema 9Din 12 beţişoare sunt compuse 5 pătrate. Înlăturaţi 2 beţişoare astfel, încât să rămână numai două pătrate de dimensiuni diferite.

Soluţia Problemei 9

Problema 10Compuneţi exemple cu răspuns 100. Se poate de folosit semnele matematice +, –, ×, / :a) de cinci ori cu cifra 1 ;b) de patru ori cu cifra 9 ;c) de cinci ori cu cifra 5 .Spre exemplu, "de cinci ori cu cifra 3" : 33×3+3/3 = 100.

Soluţia Problemei 10a) 111–11 = 100;b) 99+9/9 = 100;c) 5×5×5–5×5 = 100.

2

Problema 11Opt numere 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 trebuie de aranjat în pătrăţele astfel, încât fiecare din patru sume (în pătratul exterior, cel interior şi pe diagonale) să fie egală cu 20.

Soluţia Problemei 11

Problema12Mutaţi unul din beţişoare astfel, încât egalitatea să fie adevărată:

Soluţia Problemei 12    sau    

Problema 13Zburau nişte raţe: una înainte şi două în urmă, una în urmă şi două înainte, una-i printre două şi trei în rând. Câte raţe au zburat în total?

Soluţia Problemei 13Au zburat trei raţe, una după alta.

Problema 14Doi săpători dezgroapă 2 m de groapă în 2 ore. Câţi săpători în 5 ore vor dezgropa 5 m de groapă?

Soluţia Problemei 14Doi săpători.

Problema 15Doi taţi şi doi feciori au prins trei iepuri, dar fiecărui ia revenit câte un iepure. Se întreabă, cum aşa s-a întâmplat?

Soluţia Problemei 15Au fost bunicul, feciorul lui şi nepotul

3

Problema 16Aranjaţi numerele 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8 în pătrăţelele pătratului magic astfel, încât suma în fiecare rând şi coloană să fie egală cu 18.

Soluţia Problemei 16

Problema 17Ce este aceasta: două capuri, două mâini şi şase picioare, iar în mers numai patru?

Soluţia Problemei 17Un călăreţ pe un cal.

Cifra 9Luând numerele de la 1 la 10 şi înmulţind pe fiecare din ele cu numărul 9, se

obţin următoarele produse: 1 x 9 = 9, 2 x 9 = 18, 3 x 9 = 27, 4 x 9 = 36, 5 x 9 = 45, 6 x 9 = 54, 7 x 9 = 63, 8 x 9 = 72, 9 x 9 = 81, 10 x 9 = 90

Ce observăm privind coloanele de cifre de mai sus? Cifrele zecilor ale acestor produse se succed în ordinea lor naturală, iar cifrele unităţilor se succed şi ele, însă în ordine descrescătoare. Aceste rezultate se explică prin faptul că 9 = 10 - 1, şi deci înmulţirea cu 9 nu este decât o înmulţire cu (10 - 1). Astfel:

4 x 9 = 4 x (10 - 1) = 40 - 4 = 36 = 30 + 6 5 x 9 = 5 x (10 - 1) = 50 - 5 = 45 = 40 + 5

Prin urmare, pentru fiecare creştere a deînmulţitului cu o unitate, produsele cresc şi ele cu o zece, dar descresc cu o unitate.

Exemple interesante cu cifrele de la 1 la 9 Cu toate cifrele semnificative de la 1 la 9, fără a se schimba ordinea lor naturală,

se obţine numărul 100 prin simple operaţii aritmetice: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 x 9 = 100

4

1 + 2 x 3 + 4 x 5 – 6 + 7 + 8 x 9 = 100 1 + 2 x 3 + 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100 1 x 2 + 34 + 56 + 7 - 8 + 9 = 100 12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100 123 – 45 - 67 + 89 = 100

Pătratele unor numere formate din repetarea cifrei 1 Să luăm toate numerele care se pot forma cu cifra 1, începând cu 1 şi terminând

cu numărul format din repetarea cifrei 1 de nouă ori. Să efectuăm şi ridicarea la pătrat a acestor numere. Vom obţine:

12 = 1 112 = 121 1112 = 12.321 1 1112 = 1.234.321 11 1112 = 123.454.321 111 1112 = 12.345.654.321 1 111 1112 = 1.234.567.654.321 11 111 1112 = 123.456.787.654.321 111 111 1112 = 12.345.678.987.654.32 1

Special nu am aşezat numerele care reprezintă pătratele, astfel încât să vină, unităţi sub unităţi, zeci sub zeci, sute sub sute etc. Am preferat să le aşezăm într-un triunghi isoscel spre a putea scoate în evidenţă simetria lor. Despre acest tablou de numere şi despre altele similare, care cuprind pătratele unor numere formate din aceeaşi cifră care se repetă, ne vorbeşte matematicianul arab Ibn-al-Barmma în cartea sa „Talkhis'amali al Kassib” („Rezumatul analitic al operaţiilor de calcul”) scrisă în sec. al XIII-lea.

Pătratele unor numere formate din cifrele 1 şi 0112 = 121, 1012 = 10.201, 10012 = 1.002.001, 100012 = 100.020.001, 1000012 = 10.000.200.001, ...

Observaţi că toate numerele care ne dau aceste pătrate sunt formate din doi de 1, între care sunt intercalate tot atâtea zerouri câte s-au intercalat între cifrele lui 121.

5

Pătratul unui număr format din repetarea cifrei 9 Numerele care se pot forma prin repetarea cifrei 9 sunt: 9, 99, 999, 9.999... Dacă

ridicăm la pătrat aceste numere, obţinem: 92 = 81 992 = 9.801 9992 = 998.001 9.9992 = 99.980.001

Se observă că pătratele numerelor formate prin repetarea cifrei 9 prezintă următoarele particularităţi:

- toate cuprind cifrele 8 şi 1; - începând de la pătratul lui 99, toate cuprind şi cifrele 9 şi 0; - cifrele 9 şi 0 se scriu de atâtea ori câte cifre are numărul format prin repetarea

cifrei 9, minus una. Putem deci scrie deodată pătratul oricărui număr format prin repetarea cifrei 9.

Astfel: 9.999.9992 = 99.999.980.000.001.

6