Probleme seminar LFA - II - CF 1. Defini i câte o CFG pentru urm toarele limbaje independente de context peste alfabetul 8a, b< i argumenta i r spunsul: 1.1. L 1 = 8w w/ a = w/ b < Un exemplu de r spuns: G 1 = 8S ™SS aSb bSa Λ< 1.2. L 2 = 8w w/ a ‡ w/ b < Un exemplu de r spuns: G 2 = 8S ™SS aSb bSa aS Λ< 1. Solu ii detaliate 1.1. G 1 = 8S ™SS aSb bSa Λ< LHG 1 L ˝ L 1 evident pentru c la orice pas al unei deriv ri î n G 1 avem w/ a = w/ b LHG 1 L L 1 dem. prin induc ie asupra lui n = w/ urm toarea propozi ie: PHnL : Hw ˛ L 1 w/ £ 2 nL w ˛ LHG 1 L "n = 0" i "n = 1" evidente "n ™n + 1" Fie w ˛ L 1 , w/ = 2 n + 2. Putem avea urm toarele cazuri: w = aw ' b sau w = bw ' a Trat m subcazul w = aw ' b (subcazul w = bw ' a se trateaz analog). Avem w ' ˛ L 1 i w '/ = 2 n i deci, conform ipotezei de induc ie, avem S G 1 + w ' deci avem urm toarea derivare î n G 1 pentru w: S G 1 aSb G 1 + aw ' b = w w = aw ' a sau w = bw ' b Trat m subcazul w = aw ' a (subcazul w = bw ' b se trateaz analog). Avem w '/ b = w '/ a + 2 i deci putem avea una dintre urm toarele situa ii: w ' = bubv cu u, v ˛ L 1 - 8Λ< w ' = ubvb cu u, v ˛ L 1 - 8Λ< w ' = b 2 u cu u ˛ L 1 - 8Λ< w ' = bub cu u ˛ L 1 - 8Λ< w ' = ub 2 cu u ˛ L 1 - 8Λ< În toate aceste situa ii avem evident u/, v/ £ 2 n i deci, conform ipotezei de induc ie, avem S G 1 + u, S G 1 + v, deci avem urm toarele deriv ri î n G 1 pentru w î n fiecare situa ie de mai sus: S G 1 SS G 1 aSbS G 1 abS G 1 abSS G 1 + abuS G 1 abubSa G 1 + abubva = w S G 1 SS G 1 aSbS G 1 + aubS G 1 aubSS G 1 + aubvS G 1 aubvbSa G 1 aubvba = w
