probleme propuse pentru examenul de semnale Și ......probleme propuse pentru examenul de semnale...

Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE ȘI SISTEME

1

1. SEMNALE ȘI SISTEME

1. Probleme rezolvate Problema 1

a. Arătați, că dacă [ ]x n este un semnal discret impar, atunci [ ] 0n

x n∞

=−∞

=∑ .

b. Dacă [ ] [ ] [ ]i px n x n x n= + , unde [ ]ix n este un semnal impar, și [ ]px n este un semnal par,

determinați [ ]ix n și [ ]px n în funcţie de [ ]x n .

c. Arătați, că [ ] [ ] [ ]2 2 2i p

n n n

x n x n x n∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

= +∑ ∑ ∑ .

Rezolvare Problema 1 a. Pentru un semnal impar este valabilă relația: [ ] [ ]x n x n− = −

Pentru 0n = , avem: [ ] [ ]0 0x x= − , [ ]2 0 0x = , rezultă că [ ]0 0x = .

[ ] [ ] [ ] [ ]1

1

0n n n

x n x n x x n∞ − ∞

=−∞ =−∞ =

= + +∑ ∑ ∑ (1)

[ ] [ ] [ ]1

1 1

n m

n m m

x n x m x m− ∞ ∞=−

=−∞ = =

= − = −∑ ∑ ∑ (2)

Din (1) + (2) rezultă, că

[ ] [ ] [ ]1 1

0n m n

x n x m x n∞ ∞ ∞

=−∞ = =

= − + =∑ ∑ ∑

b.

[ ] [ ] [ ]i px n x n x n= +

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i p i px n x n x n x n x n− = − + − = − +

Avem, deci:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

i p

i p

x n x n x n

x n x n x n

= +

− = − +

Rezultă:

[ ] [ ] [ ]2p

x n x nx n

+ −= și [ ] [ ] [ ]

2i

x n x nx n

− −=


2

c.

[ ] [ ] [ ]2 2 2i p

n n n

x n x n x n∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

= +∑ ∑ ∑

Se știe, că: [ ] [ ] [ ]i px n x n x n= +

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]22 2 22i p i i p p

n n n n n

x n x n x n x n x n x n x n∞ ∞ ∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞ =−∞ =−∞

= + = + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Notăm: [ ] [ ] [ ]i py n x n x n= . Trebuie demonstrat, că: [ ] 0n

y n∞

=−∞

=∑ .

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i p i py n x n x n x n x n y n− = − − = − = −

Rezultă, deci că [ ] [ ]y n y n− = − este un semnal impar. Conform punctului a.) pentru un semnal

impar este valabilă relația:

[ ] 0n

y n∞

=−∞

=∑

În final:

[ ] [ ] [ ]2 2 2i p

n n n

x n x n x n∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

= +∑ ∑ ∑

Problema 2 Pentru următoarele semnale:

1.) ( ) ( )4cos 5x t tπ=

2.) ( ) ( ) 1 2x t tσ= −

3.) [ ] ( )4cosx n nπ=

4.) [ ] ( )2sin 3x n n=

a. Determinați analitic, care dintre ele sunt periodice (în caz afirmativ, determinați perioada semnalului) b. Reprezentați-le grafic Rezolvare Problema 2 1.

În cazul general, avem: ( ) ( )0cosgx t A tω= . Iar ( ) ( )4cos 5x t tπ= . Prin identificare, se obține:

4A = , 0 5ω π= .

0

2 25

5T

T

πω π= = ⇒ = . Rezultă, că este un semnal periodic, cu perioada:

2

5T = . În figura P2.1

este reprezentat grafic semnalul ( ) ( )4cos 5x t tπ= .


3

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

t

A

4cos(5π*t)

Figura P2.1

2. ( ) ( ) 1 2x t tσ= −

( )1, 0

0, 0

tt

tσ

≥=

<. Semnalul nu este periodic.

Figura P2.2

3.

În cazul general, avem: [ ] 2cosgx n A n

π =

. Pentru semnalul [ ] ( )4cosx n nπ=

(Semnalul este periodic, dacă 1n = ) Prin identificare rezultă A=4 și 2 = . (Rezultă, că: 2

n

ππ= Ω = ) Deci semnalul considerat este periodic de perioadă 2.

n 0 1 2 3

[ ] ( )4cosx n nπ= 4 -4 4 -4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

n

A

4cos(ππππ*n)

Figura P2.3


4

4.

[ ] ( )2sin 3x n n=

23

Ω = ≠

π pentru întreg.

Semnalul [ ] ( )2sin 3x n n= nu este periodic.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

n

A

2*sin(3n)

Figura P2.4

Problema 3

Fie un sistem, S , cu intrarea [ ]x n și ieșirea [ ]y n , obținut prin conectarea în cascadă a două

sisteme liniare și invariante în timp, 1S și 2S . Relațile de legătura intrare-ieșire pentru sistemele

1S și 2S sunt:

1 :S [ ] [ ] [ ]1 1 12 4 1y n x n x n= + −

2 :S [ ] [ ] [ ]2 2 2

12 3

2y n x n x n= − + −

unde [ ]1x n și [ ]2x n indică semnalul de intrare.

a. Găsiți relația de intrare-ieșire pentru sistemul S b. Verificați relația intrare-ieșire a sistemului determinat la punctul a.) dacă se inversează

ordinea sistemelor 1S cu 2S .

Rezolvare Problema 3

a.

Figura P3.1


5

Se poate observa din figura P3.1, că intrarea sistemului 2S , notată cu [ ]2x n este egală cu ieșirea

sistemului 1S , [ ]1y n . Prin urmare:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]

2 2 2 1 1

1 1 1 1

1 1 1

1 12 3 2 3

2 21

2 2 4 3 2 3 4 42

2 2 5 3 2 4

y n x n x n y n y n

x n x n x n x n

x n x n x n

= − + − = − + − =

= − + − + − + −

= − + − + −

În final, pentru sistemul S , avem:

[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 5 3 2 4y n x n x n x n= − + − + −

b.

Figura P3.2

Pentru schema din figura P3.2 se poate scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

1 1 1 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 4 1 2 4 1

1 12 2 3 4 3 4

2 2

2 2 5 3 2 2

y n x n x n y n y n

x n x n x n x n

x n x n x n

= + − = + − =

= − + − + − + −

= − + − + −

Rezultă în final:

[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 5 3 2 4y n x n x n x n= − + − + −

Deci, nu se schimbă relația intrare-ieșire pentru sistemul S , dacă se inversează ordinea sistemelor 1S cu 2S .

Problema 4 Se consideră sistemul în timp continuu, descris de ecuația diferențială:

( ) ( ) ( ) ( )2

22

2d y t dy t

t t y t x tdt dt

+ + =

având condiții inițiale nule. a. Să se studieze liniaritatea sistemului b. Să se studieze invarianța în timp a sistemului


6


a.

( ) ( ) ( ) ( )2

22

2d y t dy t

t t y t x tdt dt

+ + =

Liniaritate=aditivitate+omogenitate

i. aditivitate

Dacă la intrarea ( )1x t sistemul răspunde cu ( )1y t iar la intrarea ( )2x t sistemul răspunde cu

( )2y t , atunci aplicarea sumei celor două semnale la intrare, ( ) ( )1 2x t x t+ va determina la ieșire

( ) ( )1 2y t y t+ .

( ) ( )1 1:x t y t→

( ) ( )2 2:x t y t→

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2:x t x t y t y t+ → +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

21 1 2

1 12

22 2 2

2 22

2

2

d y t dy tx t t t y t

dt dt

d y t dy tx t t t y t

dt dt

= + +

= + +

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )2

1 2 1 2 21 2 1 22

2d y t y t d y t y t

x t x t t t y t y tdt dt

+ ++ = + + +

Deci, sistemul este aditiv

ii. omogenitate

Aplicarea unui semnal la intrare amplificat cu factorul α va determina la ieșire un semnal amplificat cu același factor.

( ) ( )x t y tα α→

( ) ( ) ( ) ( )2

22

2d y t dy t

t t y t x tdt dt

α α α α+ + =

Deci sistemul este şi omogen. În consecinţă el este liniar. b. Invarianța în timp

( ) ( )S x t y t→

( ) ( )?

0 0S x t t y t t− → −


7

La excitația ( )0x t t− , sistemul răspunde cu ( )0ty t care reprezintă soluţia ecuaţiei diferenţiale:

( ) ( ) ( ) ( )2

0 0 20 02

2t t

t

d y t dy tx t t t t y t

dt dt− = + +

iar ( )0y t t− se obţine înlocuind în ecuaţia din enunţ variabila t cu variabila t-t0.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

20 00 0 0 02

2d y t t dy t t

x t t t t t t y t tdt dt

− −− = + − + − −

Întrucât membrii drepţi ai celor două relații intrare-ieșire nu sunt identice, sistemul considerat nu este invariant în timp. Problema 5

Se consideră sistemul în timp continuu cu intrarea ( )x t și ieșirea ( )y t unde:

( ) ( )( )siny t x t=

a. Este acest sistem cauzal ? b. Dar liniar ? Rezolvare Problema 5 a. Sistemul nu este cauzal, deoarece ieșirea ( )y t poate precede intrarea. De exemplu:

( ) ( )0y xπ− =

b. Se consideră intrările:

( )1 :x t ( ) ( )( )1 1 siny t x t=

( )2 :x t ( ) ( )( )2 2 siny t x t=

Fie

( ) ( ) ( )1 1 2 2x t a x t a x t= +

( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )1 1 2 2

1 1 2 2

sin

sin sin

y t x t

a x t a x t

a y t a y t

=

= +

= +

Deci, sistemul în cauză este liniar. Problema 6 Să se determine dacă următoarele sisteme sunt liniare și invariante în timp: a. [ ] [ ]2 2y n x n= −

b. [ ] [ ] [ ]1 1y n x n x n= + − −


8

Rezolvare Problema 6 a. Fie

[ ] [ ] [ ]21 1 1 2x n y n x n→ = −

[ ] [ ] [ ]22 2 2 2x n y n x n→ = −

[ ] [ ] [ ]1 1 2 2x n a x n a x n= +

[ ] [ ]

[ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

2

2

1 1 2 2

2 2 2 21 1 1 2 1 2 2 2

1 1 2 2

2

2 2

2 2 2 2 2

y n x n

a x n a x n

a x n a a x n x n a x n

a y n a y n

= − =

= − + −

= − + − − + − ≠

≠ +

Sistemul nu este liniar

[ ] [ ] [ ]20 0 02S x n n x n n y n n− = − − = −

unde

[ ] [ ]20 02y n n x n n− = − −

Deci:

[ ] [ ]0 0S x n n y n n− = −

Sistemul este invariant in timp

b. Fie

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 11 1x n y n x n x n→ = + − −

[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2 21 1x n y n x n x n→ = + − −

[ ] [ ] [ ]1 1 2 2x n a x n a x n= +

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )

[ ] [ ]

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

y n x n x n

a x n a x n a x n a x n

a x n x n a x n x n

a y n a y n

= + − −

= + − − + + − −

= + − − + + − −

= +

Sistemul este liniar

[ ] [ ] [ ] [ ]0 0 0 01 1S x n n x n n x n n y n n− = + − − − − = −

[ ] [ ] [ ]0 0 01 1y n n x n n x n n− = + − − − −

Sistemul este invariant in timp


9

1. Probleme propuse Problema 1

a. Se consideră semnalul [ ] [ ]nx n a nσ= , cu 0 1a< < . Notând cu [ ]is n partea sa impară,

calculaţi: [ ] ?i

n

s n∞

=−∞

=∑

b. Arătaţi că: [ ] [ ] [ ]2 2 2i p

n n n

x n x n x n∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

= +∑ ∑ ∑ .

c. Reprezentați grafic părţile pară şi impară ale semnalului [ ] [ ]2x n n nσ= .

Problema 2 Pentru semnalul din figura PP1.2, desenați: a.) ( )3x t + ; b.) ( )/ 2 2x t − ; c.) ( )1 2x t− ; d.) ( )4 / 4x t ; e.) ( ) ( )/ 2 1x t tδ + ; f.) ( )2 1x t − ;

g.) ( ) ( ) ( )1 1x t t tσ σ+ − − ; h.) ( ) ( ) ( )0.5x t x t tσ+ − .

Figura PP1.2

Problema 3 Se consideră sistemul în timp discret, a cărui relație de intrare-ieșire este dată de ecuația:

[ ] [ ]2

2

n

k n

y n x k+

= −

= ∑

a. Să se studieze liniaritatea și invarianța în timp a sistemului. b. Să se determine răspunsul la impuls al sistemului și să se reprezinte grafic acest răspuns. c. Precizați, dacă sistemul este cauzal și justificați răspunsul. Problema 4 Să se determine, dacă următoarele sisteme sunt: 1. liniare, 2. invariante în timp, 3. cauzale.

a. [ ] [ ] [ ]S x n g n x n= ⋅ , cu [ ]g n dat. b. [ ] [ ]x nS x n e= c. [ ] [ ]3 2S x n x n n= − ,

d. [ ] [ ]0

n

k n

S x n x k=

= ∑ , e. [ ] [ ] [ ]3 1S x n x n nσ= + + ,


10

2. CONVOLUȚIA SEMNALELOR

1. Probleme rezolvate Problema 1

Calculați și reprezentați grafic [ ] [ ] [ ]y n x n h n= ∗ , unde:

[ ]1, 3 8

0, in rest

nx n

≤ ≤=

și [ ]1, 4 15

0, in rest

nh n

≤ ≤=


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k

y n x n h n x k h n k∞

=−∞

= ∗ = −∑

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

n

x[n]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

n

h[n]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8y n x h n x h n x h n x h n x h n x h n= − + − + − + − + − + −

Rezultă, în final: [ ]

6, 7 11

6, 12 18

24 , 19 23

0, in rest

n n

ny n

n n

− ≤ ≤ ≤ ≤

= − ≤ ≤

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6

7

n

y[n]


11

Problema 2 Se consideră sistemul DLIT cu schema din figura 1:

Figura P2.1

unde [ ] [ ]2h n nσ= și D reprezintă un bloc de întârziere.

a. Exprimați legătura dintre [ ]y n și [ ]u n și demonstrați că sistemul cu răspunsul la impuls,

[ ]2h n este un sumator.

b. Determinați și schițați răspunsul sistemului din figura P2.1, la semnalele cu graficele din figura P2.2.

c. Determinați și reprezentați grafic răspunsul la impuls al sistemului din figura P2.1.

-2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

n

x1[n]

-2 0 2 4 6 8 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

n

x2[n]

-4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

n

x3[n]

Figura P2.2


a.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2

n

k k

y n u n h n u n n u k n k u k−∞

∞

=−∞ =

= ∗ = ∗ = − =∑ ∑σ σ

Deoarece [ ]y n se exprimă ca și suma eșantioanelor lui [ ]u k anterioare momentului n , se poate

afirma ca sistemul descris de [ ]2h n este un sumator.

b.

Semnalul [ ]1u n are expresia: [ ] [ ] [ ]1 1 1 2u n x n x n= − −

Rezultă, că:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

1 1 1 1

1 1 1 2

2

2

k k k

n n

k k

y n u k n k x k n k x k n k

x k x k v n v n

σ σ σ∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

=−∞ =−∞

= − = − − − − =

= − − = −

∑ ∑ ∑

∑ ∑

unde [ ] [ ]1 1

n

k

v n x k=−∞

= ∑ și [ ] [ ]2 1 2n

k

v n x k=−∞

= −∑


12

-2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

v1[n]

-2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

v2[n]

-2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

n

y1[n]

Semnalul [ ]2x n se poate pune sub forma: [ ] [ ] [ ]2 1 1 3x n x n x n= − − . Având în vedere, că sistemul

considerat este liniar și invariant în timp, rezultă că:

[ ] [ ] [ ]2 1 1 3y n y n y n= − −

-2 0 2 4 6 8 10-3

-2

-1

0

1

2

3

n

y2[n]

Pentru [ ]3x n , avem: [ ] [ ] [ ] [ ]3 1 1 13 2 3x n x n x n x n= + + + − . Utilizând proprietatea de liniaritate și

invarianța în timp, avem:

[ ] [ ] [ ] [ ]3 1 1 13 2 3y n y n y n y n= + + + −


13

-4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

n

y3[n]

c.

[ ] [ ] [ ]2u n n nδ δ= − −

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]2 2y n u n n n n n n n h nσ δ δ σ σ σ= ∗ = − − ∗ = − − =

-2 0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

n

y[n]

Problema 3

Se consideră SLIT discret din figura P3.1. Știind, că [ ] [ ] [ ]2 2h n n nσ σ= − − și că răspunsul la

impuls al sistemului are graficul din figura P3.2, determinați: a. Expresia analitică a lui [ ]1h n .

b. Răspunsul sistemului la semnalul: [ ] [ ] [ ]1x n n nδ δ= − −

Figura P3.1


14

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 80

2

4

6

8

10

12

nh[n]

Figura P3.2

Rezolvare Problema 3 a.

[ ] [ ] [ ]2 1h n n nδ δ= + −

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]2 2 1 1 2 1 2h n h n n n n n n n nδ δ δ δ δ δ δ∗ = + − ∗ + − = + − + −

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]1 2 2 1 1 1 12 1 2 2 1 2h n h n h n h n h n n n n h n h n h nδ δ δ= ∗ ∗ = ∗ + − + − = + − + −

Pentru

0n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 11 0 2 1 2 0 1h h h h= + − + − ⇒ =

1n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 15 1 2 0 1 1 3h h h h= + + − ⇒ =

2n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 110 2 2 1 0 2 3h h h h= + + ⇒ =

3n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 111 3 2 2 1 3 2h h h h= + + ⇒ =

4n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 18 4 2 3 2 4 1h h h h= + + ⇒ =

5n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 14 5 2 4 3 5 0h h h h= + + ⇒ =

6n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 11 6 2 5 4 6 0h h h h= + + ⇒ =

7n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 10 7 2 6 5 7 0h h h h= + + ⇒ =

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

h1[n]


15

b.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]1 1y n h n x n h n n n h n h nδ δ= ∗ = ∗ − − = − −

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-6

-4

-2

0

2

4

6

n

y[n]

Problema 4 Se consideră SLIT discret, cu răspunsul la impuls:

[ ] [ ]1

5

n

h n nσ =

a. Determinați constanta A astfel încât:

[ ] [ ] [ ]1h n Ah n nδ− − =

b. Folosind rezultatul de la punctul a), determinați răspunsul la impuls [ ]g n , al sistemului

invers, sistemului cu răspunsul la impuls [ ]h n .

Obs. Răspunsul la impuls [ ]g n satisface condiția: [ ] [ ] [ ]h n g n nδ∗ =


[ ] [ ]1

5

n

h n nσ =

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

1

1

1 11 1

5 5

1 1 11

5 5 5

15 1

5

n n

n n

n

h n Ah n n A n

n A n

n A n

σ σ

σ σ

σ σ

−

−

− − = − −

= − ⋅ −

= − −

(1)

Este cunoscută relația:

[ ] [ ] [ ]1n n nσ σ δ− − =


16

Pentru ca membrul drept al relației (1) să fie proporțional cu [ ]nδ este necesar ca 5 1A = . În

acest caz relația (1) devine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0

1 11

5 5

n

h n Ah n n n nδ δ δ − − = = =

Deci relația propusă este satisfăcută, dacă 1

5A = .

b.

[ ] [ ] [ ]h n g n nδ∗ = (2)

Dar

[ ] [ ] [ ]11

5h n h n nδ− − = (3)

Membrul stâng al relației (3) se scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

1 11 1

5 51

15

11

5

h n h n h n h n n

h n n h n n

h n n n

δ

δ δ

δ δ

− − = − ∗ −

= ∗ − ∗ −

= ∗ − −

(4)

De aceea relația (3) se mai scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ]11

5h n n n nδ δ δ ∗ − − =

(5)

Identificând membrii stîngi ai relațiilor (2) și (5) se obține:

[ ] [ ] [ ]11

5g n n nδ δ= − −

Problema 5 Fie

( ) ( ) ( )3 5x t t tσ σ= − − −

și

( ) ( )3th t e tσ−=

Calculați ( ) ( ) ( )y t x t h t= ∗ .


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

0

3 5y t x t h t h x t d e t t dττ τ τ σ τ σ τ τ∞ ∞

−

−∞

= ∗ = − = − − − − − ∫ ∫

În intervalul ( ) ( )5 3t tτ− < < − valoarea semnalului ( ) ( )3 5t tσ τ σ τ− − − − − este diferită de

zero. Se disting trei cazuri:


17

Cazul I: 3t ≤ ,

( ) 0y t =

Cazul II: 3 5t< ≤

( )( )3 3 3

3

0

1

3

t te

y t e dτ τ− − −

− −= =∫

Cazul III: 5t >

( )( ) ( )3 563

3

5

1

3

tt

t

e ey t e dτ τ

− −−−−

−

−= =∫

Prin urmare, rezultatul convoluției poate fi exprimat sub forma:

( )( )

( ) ( )

3 3

3 56

0, 3

1, 3 5

3

1, 5

3

t

t

t

ey t t

e et

− −

− −−

−∞ < ≤ −

= < < − < ≤ ∞

Problema 6 a. Arătați că dacă intrarea unui sistem liniar și invariant în timp continuu este periodică, atunci și ieșirea acestuia este periodică și cele două semnale au aceeași perioadă. b. Fie ( )x t un semnal periodic de perioadă T și ( )1x t restricția sa la intervalul [ )0,T . Fie ( )h t

răspunsul la impuls al unui sistem liniar și invariant în timp continuu și ( )y t și ( )1y t

răspunsurile acestui sistem la semnalele ( )x t și ( )1x t . Demonstrați relațiile:

1( ) ( ) ( )n

x t x t t nTδ∞

=−∞

= ∗ −∑

1( ) ( )n

y t y t nT∞

=−∞

= −∑

c. Dacă ( )h t are reprezentarea grafică din figura P6.1a, iar ( )x t reprezentarea grafică din figura

P6.1b, determinați și reprezentați grafic semnalul ( )y t .

Figura P6.1a Figura P6.1b


18


Figura P6.2

a). ( ) ( )x t x t T= +

( ) ( ) ( ) ( )x t T x u T x u x tτ τ− + = + = = − unde u t τ= −

( )( ) ( )y t x t h dτ τ τ+∞

−∞

= − ⋅∫

( )( ) ( ) ( )y t T x t T h d y tτ τ τ+∞

−∞

+ = + − ⋅ =∫

În concluzie, semnalul ( )y t este periodic cu perioada T .

b).

( )1( )n

x t t nTδ+∞

=−∞

∗ −∑ reprezintă prelungirea prin periodicitate cu perioada T a semnalului ( )1x t ,

adică tocmai ( )x t . Ca urmare, se scrie: ( )1( ) ( )n

x t x t t nTδ+∞

=−∞

= ∗ −∑

1 1( ) ( ) ( )y t x t h t= ∗

( )

1 1

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

T T

T

n n

y t x t h t x t t h t x t h t t

y t t y t t nT y t nT

δ δ

δ δ+∞

=−∞

= ∗ = ∗ ∗ = ∗ ∗ =

= ∗ = ∗ − = −∑ ∑

c).

Figura P6.3


19

Cazul I. 0t < , ( )1 0y t =

Cazul II. 1 0t − < , 0t ≥ ⇔ [ )0,1t∈ 1

0

( )t

y t d tτ= =∫

Cazul III. 1 0t − ≥ , 2t < ⇔ [ )1, 2t∈ 1

1

( )t

t

y t d tτ−

= =∫

Cazul IV. 1 2t − ≤ , 2t ≥ ⇔ [ )2, 3t∈ 2

1

1

( ) 3t

y t d tτ−

= = −∫

Cazul V. 3t > ( )1 0y t =

Reprezentarea grafică a semnalului ( )y t este cea din figura P6.4 de mai jos:

Figura P6.4

Problema 7

Se consideră sistemul cu răspunsul la impuls: ( ) [ ] ( )n

h t h n t nTδ∞

=−∞

= ⋅ −∑ .

a. Demonstrați că dacă la intrarea acestui sistem se aduce semnalul ( )x t :

( ) [ ] ( )n

x t x n t nTδ∞

=−∞

= ⋅ −∑

atunci la ieșirea sa se obține semnalul ( )y t :

( ) [ ] ( )n

y t y n t nTδ∞

=−∞

= ⋅ −∑

Care este legătura dintre secvențele: [ ]x n , [ ]h n și [ ]y n ?

b. În continuare se consideră că secvența [ ]h n este de durată limitată: [ ] 0h n = pentru 0n < și

n ≥ . Desenați o formă de implementare a sistemului considerat folosind amplificatoare, sumatoare și linii de întârziere, care realizează o întârziere cu T . Un astfel de sistem se numește filtru transversal.


20

c. Care este legătura dintre semnalele de la intrarea și ieșirea filtrului transversal de la punctul b). dacă toate valorile nenule ale secvenței [ ]h n sunt egale cu 1 ? Cum ați denumi un astfel de

sistem? d. Reprezentați grafic răspunsul sistemului de la punctul c) pentru 3 = la semnalul:

( ) ( ) ( )x t t t Tσ σ= − −


( )

( )

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ]

m n p

n n m

n p p n

y t x t h t x n h t nT x n h m t mT nT

x n h p n t pT x n h p n t pT

δ

δ δ

+ =

= ∗ = ⋅ − = ⋅ − − =

= − ⋅ − = ⋅ − ⋅ −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

Dacă se face notația: [ ] [ ] [ ]

n

y p x n h p n= ⋅ −∑ , rezultă:

( )( ) [ ]p

y t y p t pTδ= ⋅ −∑

Relația de legătură dintre secvențele [ ]x n , [ ]h n și [ ]y n este următoarea: [ ] [ ] [ ]y n x n h n= ∗

b.

1

0

( ) [ ] ( )

n

h t h n t nTδ−

=

= ⋅ −∑

Implementarea sistemului considerat folosind amplificatoare, sumatoare și linii de întârziere cu T este prezentată în figura P7.1:

Figura P7.1

c. Relația de legătură dintre semnalele de la ieșirea și intrarea filtrului transversal de la punctul b) este de forma:

1

0

1( ) ( )

n

y t x t nT

−

=

= −∑

Un astfel de sistem s-ar putea numi "mediator".


21

d.

( ) ( )( )x t t t Tσ σ= − −

Răspunsul sistemului de la punctul c) pentru semnalul ( )x t , definit cu relația de mai sus, și

pentru 3 = este următorul: [ ]1( ) ( ) ( ) ( 2 )

3y t x t x t T x t T= + − + −

Reprezentarea grafică a lui ( )y t este cea din figura P7.2.

Figura P7.2

1. Probleme propuse Problema 1 Fie sistemul discret, liniar și invariant în timp cu răspunsul la impuls:

[ ] [ ] [ ]1h n n n σ σ= − − −

unde este un număr întreg, 0 < . Răspunsul acestui sistem la semnalul de intrare [ ] [ ] [ ]10x n n nσ σ= − − va fi [ ]y n .

Să se determine valoarea lui astfel încât [ ]4 5y = și [ ]14 0y = .

Problema 2

Calculați convoluția [ ] [ ] [ ]y n x n h n= ∗ , unde [ ]x n și [ ]h n sunt reprezentate în figura P2.1

-4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

n

x[n]

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.5

1

1.5

n

h[n]


22

Problema 3

Se consideră un sistem în timp discret cu intrarea [ ]x n , şi cu răspunsul la impuls [ ]h n , dat de

următoarele ecuaţii: [ ]0, 0

, 0

nx n

n n

<=

≥, [ ]

1, 0

1, 1

0,

n

h n n

în rest

=

= − =

.

Determinaţi şi reprezentaţi grafic răspunsul sistemului la semnalul [ ]x n .

Problema 4

Să se determine și să se reprezinte grafic convoluția semnalelor ( )x t și ( )h t , unde:

1.

( )1, 0 1

2 , 1 2

0, in rest

t t

x t t t

+ ≤ ≤

= − < ≤

și ( ) ( ) ( )2 2 1h t t tδ δ= + + +

2.

și 3.

( )1, 0 1

0, in rest

tx t

≤ ≤=

și ( ) ( )h t x t α= , unde 0 1α< ≤

4.

( ) ( )2 10x t tσ= − și ( ) ( ) ( )sin 2h t t tσ=

5.

( ) ( ) ( )4x t t tσ σ= − − și ( ) ( )2 th t e tσ−=

6.

( ) ( ) ( )4x t t tσ σ= − − și ( ) ( )3h t tδ= −

Problema 5

Aria unui semnal ( )v t în timp continuu este definită ca:

( )vA v t dt

∞

−∞

= ∫

Arătați, că dacă: ( ) ( ) ( )y t x t h t= ∗ , atunci

y x hA A A= ⋅


23

3. SERII FOURIER

Problema 1

Se consideră semnalele periodice [ ]1x n și [ ]2x n în timp discret de perioada, 4 = , având

coeficienții seriei Fourier ka respectiv kb , 0 3 1a a= = , 1 2 2a a= = și 0 1b = , 1 1b = , 2 1b = , 3 1b = .

a. Să se determine expresiile [ ]1x n și [ ]2x n .

b. Să se determine coeficienții seriei Fourier ai semnalului [ ] [ ] [ ]1 2g n x n x n= ⋅ .


[ ] 0

1

0

jk n

k

k

x n c e−

Ω

=

=∑ , unde 0

2

4 2

π πΩ = =

[ ]33

2 2 21

0

1 2 2jk n j n j n

j n

k

k

x n a e e e eπ π π

π

=

= = + + +∑

[ ]33

2 2 22

0

1jk n j n j n

j n

k

k

x n b e e e eπ π π

π

=

= = + + +∑

b.

[ ] [ ]3 3

2 2 2 21 2

3 322 2 2 2

3 5 3 52 2 32 2 2 2

3

2 2

1 2 2 1

1 2 2 2 2

2 2 2 2

6 6 6 6

j n j n j n j nj n j n

j n j n j n j nj n j n j n

j n j n j n j nj n j n j n j n

j n j nj n

x n x n e e e e e e

e e e e e e e

e e e e e e e e

e e e

π π π ππ π

π π π ππ π π

π π π ππ π π π

π ππ

⋅ = + + + ⋅ + + + =

= + + + + + + + +

+ + + + + + + +

= + + +

Rezultă, în final: 0 1 2 3 6c c c c= = = =

Problema 2

Fie semnalul periodic, [ ]x n , având perioada fundamentală, 5 = . Coeficienții seriei Fourier

atașate semnalului sunt:

0 1c = , * /42 2

jc c e π−= = , * /3

4 4 2 jc c e π−= =

Să se exprime semnalul [ ]x n în forma:

[ ] ( )01

sink k k

k

x n A A n ϕ∞

=

= + Ω +∑


24


[ ]2

k

jk njk n

k k

k k

x n c e c e

π Ω

= =

= =∑ ∑

[ ]2 2 2 2

2 2 4 4

0 2 2 4 4

2 2 2 22 2 4 4

4 5 4 5 3 5 3 51 2 2

41 2cos 4c

5 4

j n j n j n j n

j j n j j n j j n j j n

x n c c e c e c e c e

e e e e e e e e

n

π π π π

π π π π π π π π

π π

− −

− −

− − − −

= + + + +

= + + + +

= + + +

8os

5 3

4 3 8 51 2sin 4sin

5 4 5 6

n

n n

π π

π π π π

+

= + + + +

Problema 3 Se consideră semnalul periodic în timp discret cu graficul din figură:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

0

1

2

3

4

n

x[n]

a. Să se determine coeficienții seriei Fourier exponențiale atașate semnalului b. Evaluați puterea semnalului pe baza eșantionelor [ ]x n și apoi pe baza coeficienților kc .


Perioada semnalului, 4 = . Coeficienții seriei Fourier exponențiale se calculează, prin:

[ ]21

0

1 jk n

k

n

c x n e

π− −

=

= ∑

Pentru 0k = .

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]23 04

00

1 1 1 30 1 2 3 4 2 1 1

4 4 4 2

j n

n

c x n e x x x xπ

−

=

= = + + + = + + − = ∑


25

Pentru 1k = .

[ ] [ ] ( )2 33 1 04 2 2

10

1 1 1 14 2 4 2 1 3 3

4 4 4 4

j n j jj

n

c x n e e e e e j j jπ π π

π− − −−

=

= = + + − = − − − = −

∑

Pentru 2k = .

[ ] [ ]23 2 0 2 34

20

1 1 14 2 4 2 1 1 1

4 4 4

j nj j j

n

c x n e e e e eπ

π π π− − − −

=

= = + + − = − + + = ∑

Pentru 3k = .

[ ] [ ] ( )2 3 93 3 0 34 2 2

30

1 1 1 14 2 4 2 1 3 3

4 4 4 4

j n j jj

n

c x n e e e e e j j jπ π π

π− − −−

=

= = + + − = + − + = +

∑

b.

[ ] [ ] ( )21 1

16 4 1 1 5.54 4x n

P x n W= = + + + =∑

2 22 3 3 3 31 9

1 5.54 4 16 16kc k

j jP c W

− += = + + + =∑

Deci:

[ ] kcx nP P=

Problema 4

Se consideră semnalul [ ]x n dat de expresia:

[ ] [ ]4k

x n n kδ∞

=−∞

= −∑ .

Acest semnal se aplică la intrarea unui SLIT, având răspunsul în frecvență, ( )jH e Ω . Ieșirea

sistemului este: [ ] 5cos

2 4y n n

π π = +

. Determinați valorile funcției de transfer, ( )2jkH e π

pentru 0,3k = .

Rezolvare Problema 4 Semnalul [ ]x n este periodic, având perioada 4 = . Coeficienții seriei Fourier sunt:

[ ]234

0

1 1

4 4

jk n

k

n

c x n eπ

−

=

= =∑

[ ] ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

32 / 4 2 / 4

0

/ 2 / 2 3 / 2 3 / 20 01 1 1 1

4 4 4 4

j k j n

k

k

j j n j j n j j nj j n

ky n c H e e

H e e H e e H e e H e e

=

=

= + + +

∑ π π

π π π π π π


26

[ ]3

2 4 2 4 2 4 2 45 1 1 1 1cos cos

2 4 2 4 2 2 2 2

j n j n j n j n

y n n n e e e e

π π π π π π π ππ π π π + − + + − = + = + = + = +

Prin identificare, avem:

( ) ( )0 0j jH e H e π= =

( )( ) ( )2 42j jH e e

π π=

( )( ) ( )3 2 42j jH e e

π π−=

Problema 5

Se consideră semnalul periodic, ( )x t , de perioadă 2T = , cu restricţia la perioada principală:

( )1, 0 1

2 1 2r

tx t

t

≤ ≤=

− < <

Derivata semnalului ( )rx t poate fi pusă sub formă: ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 2

rdx tA t t A t t

dtδ δ= − + −

a) Reprezentaţi grafic semnalele: ( )rx t , ( )x t şi ( )rdx t

dt.

b) Determinaţi valorile: 1A , 2A , 1t şi 2t .

Rezolvare Problema 5 Semnalul ( )x t are reprezentarea grafică din figura P5.1:

Figura P5.1

Semnalul ( )rx t are reprezentarea grafică din figura P5.2:

Figura P5.2

Derivata semnalului ( )rx t are reprezentarea grafică din figura P5.3.


27

Figura P5.3

( ) ( ) ( )1 1 2 2rdx t

A t t A t tdt

= − + −δ δ

Prin identificare, avem: 1 3A = , 2 3A = − , 1 0t = , 2 1t =

Problema 6

Se consideră semnalul periodic, ( )x t în timp continuu:

( ) 2 52 cos 4sin

3 3x t t t

π π = + +

Să se determine frecvența fundamentală, 0ω , respectiv coeficienții seriei Fourier, kc .


( ) 0jk t

k

k

x t c eω

∞

=−∞

= ∑ .

Utilizând relațiile lui Euler, avem:

( )2 2 2 22 2 5 5 2 2 5 56 6 6 63 3 3 31 1 4 4 1 1 2 2

2 22 2 2 2 2 2

j t j t j t j tj t j t j t j t

x t e e e e e e e ej j j j

π π π ππ π π π − −− − = + + + − = + + + −

Prin identificare, frecvența fundamentală a semnalului ( )x t este: 2

6 3

π π= .

Coeficienții seriei Fourier atașate semnalului ( )x t , sunt: 0 2c = , 2 2

1

2c c−= = , *

5 5 2c c j−= = −

Problema 7

Fie semnalul periodic, ( )x t , având perioada fundamentală, 8T = . Coeficienții seriei Fourier

atașate semnalului sunt:

1 1 2c c−= = , *3 3 4c c j−= =

Să se exprime semnalul ( )x t în forma:

( ) ( )0

cosk k k

k

x t A tω φ∞

=

= +∑


28


( ) 0

2jk t

jk t T

k k

k k

x t c e c e

πω

∞ ∞

=−∞ =−∞

= =∑ ∑

( )2 2 2 2

3 3

1 1 3 3

2 2 2 23 3

8 8 8 82 2 4 4

6 34cos 8sin 4cos 8cos

4 8 4 4 2

j t j t j t j tT T T T

j t j t j t j t

x t a e a e a e a e

e e je je

t t t t

π π π π

π π π π

π π π π π

− −

− −

− −

= + + +

= + + −

= − = + +

Problema 8 a. Exprimați legătura dintre coeficienții dezvoltării în serie Fourier ai semnalelor periodice de la intrarea și ieșirea unui sistem liniar și invariant în timp continuu. b. În figura P8.1 sunt prezentate caracteristicile de frecvență ale unui filtru. Determinați răspunsul acestuia pentru semnalul de mai jos: ( ) cos(4 );x t tπ φ= ⋅ +

Figura P8.1


2

( )x

jk tT

k

k

x t c eπ

= ⋅∑

( )2 2 2 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x

jk t jk jk t jk tT T T T

k k k

k k k

y t x t h t c e h d c h e d e c H k eT

π π π πτ τ π

τ τ τ τ∞ ∞

− −

−∞ −∞

= ∗ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∑ ∑ ∑∫ ∫Se observă că:

2y xk kc c H k

T

π = ⋅


29

b.

( ) ( )4 4 4 41 1 1( )

2 2 2j t j t j j t j j tx t e e e e e e

π φ π φ φ π φ π⋅ + − ⋅ + ⋅ − − ⋅ = + = ⋅ + ⋅

1

1;

2x

jc e φ= 1

1;

2x

jc e φ−− =

2(4 ) ,

3H π = arg (4 )

2H

ππ = ; 2

( 4 ) ,3

H π− = arg ( 4 )2

Hπ

π− = − ;

221

2 1 1

3 2 3y

jjjc e e e

ππ φφ

+ = ⋅ = ;

221

2 1 1

3 2 3y

jjjc e e e

ππ φφ

− +− − = ⋅ = ;

4 42 21 1( )

3 3

j jj t j ty t e e e e

π πφ φ

π π + − + ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅

2 ;j

e jπ

= 2 ;j

e jπ

−= −

( ) ( )4 41 1 1 2( ) 2 sin 4 sin 4

3 3 3 3j j t j j ty t j e e j e e j j t tφ π φ π π φ π φ⋅ − − ⋅= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + = − ⋅ +

( )2( ) sin 4

3y t tπ φ= − ⋅ +

Problema 9

Fie ( )1x t un semnal periodic în timp continuu cu frecvența fundamentală, 1ω , având coeficienții

seriei Fourier ka . Pentru semnalul,

( ) ( ) ( )2 1 11 1x t x t x t= − + −

care este frecvența fundamentală, 2ω a semnalului ( )2x t în legătura cu 1ω ? Găsiți relația de

legătura dintre coeficienții seriei Fouriei, kb , ai semnalului ( )2x t și coeficienții ka .


Semnalele ( )1 1x t− și ( )1 1x t − au perioada fundamentală, 11

2T

πω

= . Deoarece ( )y t este o

combinație liniară a semnalelor ( )1 1x t− și ( )1 1x t − , este periodic cu perioada fundamentală

21

2T

πω

= . Prin urmare, 2 1ω ω= . Folosind tabelele, rezultă:

( ) ( )12 /1 1 jk T

kx t a eπ−− ↔

( ) ( )12 /1 1 jk T

kx t a eπ−

−− ↔

În final, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 / 2 /1 11 1 jk T jk T jk

k k k kx t x t a e a e e a aπ π ω− − −

− −− + − ↔ + = + .


30


Fie [ ]; 0 7

; 8 9

nx n

n

≤ ≤=

≤ ≤

1

0 un semnal periodic, cu perioada fundamentala 10 = şi coeficienţii

dezvoltării în serie Fourier ka . Se consideră semnalul [ ] [ ] [ ]1g n x n x n= − − .

a. Arătaţi că [ ]g n are perioada fundamentală egală cu 10 şi reprezentaţi-l grafic.

b. Determinaţi coeficienţii dezvoltării lui [ ]g n în serie Fourier.

c. Folosind coeficienţii dezvoltării lui [ ]g n în serie Fourier şi proprietăţile coeficienţilor seriei

Fourier, determinaţi ka pentru 0k ≠ .

Problema 2

Fie semnalul ( )x t , în timp continuu, având pulsația fundamentală, 0ω π= :

( )1.5, 0 1

1.5, 1 2

tx t

t

≤ <=

− ≤ <

Să se determine coeficienții dezoltării seriei Fourier ai semnalului. Problema 3

Se consideră semnalul ( ) ( ) ( )2 2x t t tδ δ= − − .

a. Reprezentaţi-l grafic. b. Prelungiţi-l prin periodicitate cu perioada 4T = , obţinând semnalul ( )px t . Determinaţi

reprezentarea în serie Fourier exponenţială a semnalului ( )px t .

c. Determinaţi răspunsul sistemului cu răspunsul în frecvenţă

( ) 3 3

4 4H

π πω σ ω σ ω = + − −

la semnalul ( )px t .

Problema 4

În figura P4.1 este schiţat răspunsul în frecvenţă (modulul şi argumentul), ( )H ω ale unui filtru.

a. Determinaţi expresia semnalului de la ieşirea filtrului dacă la intrarea sa se aduc semnalele:

(1) ( ) ( )1 3cos 2x t tπ θ= + (2) ( ) ( )2 2 cos 4x t tπ θ= +

b. Calculaţi puterile la intrarea şi ieşirea filtrului pentru semnalul ( )1x t .

Figura P4.1


31

4. TRANSFORMATA FOURIER

1. Probleme rezolvate Problema 1 Fie SLIT, caracterizat de ecuația cu diferențe finite:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]6 5 1 2 6 1y n y n y n x n x n− − + − = + −

a. Să se determine răspunsul în frecvenţă al sistemului, ( )H Ω .

b. Să se afle răspunsul la impuls al sistemului, [ ]h n .

c. Dați o posibilă implementare a sistemului, utilizând sumatoare, amplificatoare și circuite de întârziere.


a.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]6 5 1 2 6 1y n y n y n x n x n− − + − = + −

Aplicăm transformata Fourier asupra ecuației cu diferențe finite, rezultă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 5 6j j jY e Y e Y X e X− Ω − Ω − ΩΩ − Ω + Ω = Ω + Ω

( ) ( ) ( )( )26 5 6j j jY e e X e− Ω − Ω − ΩΩ − + = Ω +

( ) ( )( ) ( )( )2

6 6

6 5 3 2

j j

j j j j

Y e eH

X e e e e

− Ω − Ω

− Ω − Ω − Ω − Ω

Ω + +Ω = = =

Ω − + − −

b.

( ) ( )( ) ( )( )6 2 3

3 23 2 3 2

j j j

j jj j j j

e A B A Ae B BeH

e ee e e e

− Ω − Ω − Ω

− Ω − Ω− Ω − Ω − Ω − Ω

+ − + −Ω = = + =

− −− − − −

2 3 6

1

A B

A B

+ =− − =

Rezultă din sistemul de mai sus: 8B = și 9A = − .

( ) 9 8

3 2j jH

e e− Ω − Ω

−Ω = +

− −

( ) 9 8 3 41 11 1 1 13 1 2 13 23 2

j jj j

H

e ee e− Ω − Ω− Ω − Ω

− −Ω = + = +

− −− −

Utilizând tabelele, rezultă în final: [ ] [ ] [ ]1 13 4

3 2n nh n n nσ σ= − ⋅ + ⋅


32

c.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 1 2 0 1 21 2 1 2a y n a y n a y n b x n b x n b x n+ − + − + = + − + − +⋯ ⋯

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]6 5 1 2 6 1y n y n y n x n x n− − + − = + −


0 6a = , 1 5a = − , 2 1a = , 0 6b = , 1 1b = , 2 0b = .

Problema 2 Un sistem discret are spectrele semnalelor de intrare și ieșire legate prin ecuația:

( ) ( ) ( ) ( )2 j

dXY X e X j

d

− Ω ΩΩ = Ω + Ω −

Ω

a. Este sistemul în cauză liniar? b. Dar invariant în timp? c. Care este expresia răspunsului sistemului considerat la semnalul [ ]nδ ?

Rezolvare Problema 2 Folosind tabelele, avem:

( ) [ ]Y y nΩ ↔ , ( ) [ ]X x nΩ ↔ , ( ) [ ]1je X x n− Ω Ω ↔ − , ( ) [ ]

dXj nx n

d

Ω↔

Ω

Aplicând TFD inversă asupra ecuației, se obține:

[ ] [ ] [ ] [ ]2 1y n x n x n nx n= + − −

a. Dacă: [ ] [ ] [ ]1 1 2 2x n a x n a x n= + , atunci avem: [ ] [ ] [ ]1 1 2 2y n a y n a y n= +

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

1 1 1 1

2 2 2 2

2 1

2 1

y n x n x n nx n

y n x n x n nx n

= + − −

= + − −


33

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2

2 1 2 1

2 1 2 1

y n a x n a x n na x n a x n a x n na x n

a x n x n nx n a x n x n nx n

a y n a y n

= + − − + + − −

= + − − + + − −

= +

Sistemul considerat este liniar.

b.

Dacă [ ] [ ]dS x n y n= atunci [ ] [ ]0 0dS x n n y n n− = − , 0n ∈ℤ

[ ] :dS x n [ ] [ ] [ ] [ ]2 1y n x n x n nx n= + − −

[ ] [ ] [ ] [ ]0 0 0 02 1dS x n n x n n x n n nx n n− = − + − − − −

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]0 0 0 0 02 1y n n x n n x n n n n x n n− = − + − − − − −

[ ] [ ]0 0dS x n n y n n− ≠ −

Sistemul nu este invariant în timp

c.

Notăm răspunsul sistemului la semnalul [ ] [ ]x n nδ= cu [ ]h n .

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 1dh n S n n n n nδ δ δ δ= = + − −

Știind, că:

[ ]1, 0

0, 0

nn

nδ

==

≠

Rezultă, în final:

[ ] [ ] [ ]2 1h n n nδ δ= + −

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

n

h[n]


34

Problema 3 Se consideră sistemul din figura P3.1:

Figura P3.1

a. Determinați, în funcție de [ ]1h n , răspunsul la impuls al sistemului

b. Pentru ( ) ( )1 cosH Ω = Ω , determinați răspunsul sistemului considerat la semnalul

[ ] ( )cos 24

x n nπ = +


[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] 1 11n

y n x n h n h n= ∗ − −

[ ] [ ] ( ) [ ]1 11n

h n h n h n= − −

b.

( ) ( )1 cosH Ω = Ω

( ) ( ) ( ) [ ] ( )1 11n

H H h nΩ = Ω − − ΩF

Termenul ( ) [ ] [ ]1 11n j nh n e h nπ− = are TFD ( )1H πΩ−

[ ] ( )1 1j ne h n Hπ π↔ Ω−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )cos cos cos cos 2cosH πΩ = Ω − Ω− = Ω − − Ω = Ω

[ ] ( )cos 2 cos sin4 4 2 4

x n n n nπ π π π = + = ⋅ + = −

Folosind metoda armonică, semnalul [ ]y n se calculează prin:

[ ] ( ) ( ) 0 0 0sin argy n A H n H = Ω Ω + Ω


0 4

πΩ = .

[ ] sin arg4 4 4

y n H n Hπ π π = − +


35

22cos 2 2

4 4 2H

π π = = ⋅ =

arg 04

Hπ =

În final: [ ] 2 sin4

y n nπ = −

Problema 4 Se consideră sistemul numeric cu schema din figura P4.1:

Figura P4.1

a. Determinați ecuația cu diferențe finite ce caracterizează sistemul considerat b. Determinați răspunsul în frecvență al sistemului c. Reprezentați grafic modulul răspunsului în frecvență d. Calculați răspunsul sistemului, [ ]y n , dacă [ ] [ ]x n nδ= și apoi pentru [ ] ( )10cosx n nπ=



36

[ ] [ ] [ ] [ ]0 1 21 2y n b x n b x n b x n= + − + −

Prin identificare, avem: 0 1 2 1 3b b b= = =

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )

[ ]2

0

1 1 1 11 2 1 2

3 3 3 31

3 k

y n x n x n x n x n x n x n

x n k=

= + − + − = + − + −

= −∑

Deci,

[ ] [ ]2

0

1

3 k

y n x n k=

= −∑

b. Folosind tabelele, avem

[ ] [ ] ( ) ( )2 2

0 0

1 1

3 3j k

k k

y n x n k Y e X− Ω

= =

= − ↔ Ω = Ω∑ ∑

( ) ( )( ) ( )

3 3 32 2 2

32

0 2 2 2

22

1 1 1 1

3 3 1 3

3 3sin sin

1 12 23 3sin sin

2 2

j j j

jk

j

jj j jk

jj

e e eY e

H eX e

e e e

e e

Ω Ω Ω− −

− Ω− Ω

− Ω Ω Ω Ω− −=

Ω− − Ω

−

Ω − Ω = = = ⋅ = ⋅ =Ω −

−

Ω Ω = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅Ω Ω

∑

Deci,

( )

3sin

1 23 sin

2

jH e− Ω

Ω Ω = ⋅ ⋅Ω

c.

( )

3sin

1 23 sin

2

H

Ω Ω = ⋅Ω

Obs. 2sin 3 sin 3 4sin2 2 2

Ω Ω Ω = −

Rezultă:


37

( )2

2

sin 3 4sin1 12 2

3 4sin3 3 2sin

2

H

Ω Ω − Ω Ω = ⋅ = ⋅ − Ω

d.

[ ] [ ]x n nδ=

[ ] [ ] [ ] [ ]( )11 2

3y n n n nδ δ δ= + − + −

Pentru [ ] ( )10cosx n nπ=

[ ] ( ) ( ) ( )0 0 0cos argy n A H n H= Ω Ω + Ω

Prin identificare, rezultă:

10A = , 0 πΩ =

( )0

1

3H Ω =

( ) 0arg H πΩ = −

[ ] ( ) ( )( )1 1010 cos cos 1

3 3y n n nπ π π= ⋅ − = −

Problema 5 Un sistem discret liniar şi invariant în timp (DLIT) este descris de ecuaţia diferenţială cu diferenţe finite:

[ ] [ ] [ ] [ ]2 1 2 1y n y n x n x n+ − = + −

a. Determinaţi şi reprezentaţi grafic funcţia de transfer ( )H Ω a sistemului. Găsiţi şi

reprezentaţi grafic funcţia pondere [ ]h n a sistemului. Ce denumire are un astfel de sistem?

b. Determinaţi şi reprezentaţi grafic răspunsul sistemului pentru semnalul [ ]x n din figura P5.1,

dacă [ ] [ ] [ ]1h n n nδ δ= − − .


38

c. Schiţaţi o formă de implementare a sistemului folosind un număr minim de celule de întârziere.

-5 0 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

x[n]

Figura P5.1


[ ] [ ] [ ] [ ]2 1 2 1y n y n x n x n+ − = + −

Aplicăm transformata TFD asupra ecuației cu diferențe finite, rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )2 2j jY e Y X e X− Ω − ΩΩ + Ω = Ω + Ω

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2j jY e X e− Ω − ΩΩ + = Ω +

( ) ( )( )

1 21

1 2

j

j

Y eH

X e

− Ω

− Ω

Ω +Ω = = =

Ω +

Din tabel:

[ ] [ ]h n nδ=

Sistemul se numește: ”filtru trece-tot”

-5 0 50

0.5

1

1.5

n

h[n]


39

b.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]1 1y n x n h n x n n n x n x nδ δ= ∗ = ∗ − − = − −

Deci

[ ] [ ] [ ]1y n x n x n= − −

c.

În cazul de față, avem:

Problema 6

Fără a determina efectiv ( )X Ω pentru semnalul din figură:

-4 -2 0 2 4 6 8-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

x[n]

Figura P6.1


40

a. Calculați ( )0X .

b. Calculați ( )X d

π

π−

Ω Ω∫ .

c. Calculați ( )X π .

d. Schițați semnalul care are transformata ( ) Re X Ω .

e. Calculați ( )2

X d

π

π−

Ω Ω∫ .


( ) [ ]0 6n

X x n∞

=−∞

= =∑

b.

[ ] ( )1

2jnx n X e d

π

ππΩ

−

= Ω Ω∫

[ ] ( ) ( ) [ ]10 2 0 4

2x X d X d x

π π

π π

π ππ − −

= Ω Ω⇒ Ω Ω = =∫ ∫

c.

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2 1 0 1 2

3 4 5 6 7 8

1

1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 0

1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 0

1 1 2 1 1 2 1 1 2

jn

n

n

n

X x n e

x n

ππ∞

−

=−∞

∞

=−∞

− − −

= =

= − =

= − ⋅ − + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ +

+ − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ − + − ⋅

= − + − − + − + =

∑

∑

d.

[ ] ( )x n X↔ Ω

[ ] [ ] [ ] ( )m n

jn jm

n n

x n x n e x m e X

=−∞ ∞− Ω Ω ∗

=−∞ =−∞

− ↔ − = Ω=∑ ∑

[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 2Rex n x n X X X∗+ − ↔ Ω + Ω = Ω

[ ] [ ] [ ] ( ) Re2 p

x n x nx n X

+ −= = Ω

( ) [ ] jn

n

X x n e∞

− Ω

=−∞

Ω = ∑


41

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-1

0

1

2

x[n]

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-1

0

1

2

x[-n]

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-1

0

1

2

n

xp[n]

e.

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1

2 14 28

n

X d x n

π

π

π π

π π

∞

=−∞−

Ω Ω = = − + + + + + + + + + + −

= ⋅ =

∑∫

Problema 7

Se consideră sistemul liniar şi invariant în timp cu răspunsul în frecvenţă: ( )1

1

1

jH

j

ωω

ω−

=+

.

a. Exprimaţi şi schiţaţi dependenţa de frecvenţă a modulului şi argumentului acestui răspuns în frecvenţă. Care este expresia răspunsului la impuls al sistemului considerat ? b. Determinaţi răspunsul sistemului considerat la semnalul ( )1 cosx t A t= ⋅ .

c. Repetaţi punctul b) pentru semnalul ( ) ( )2tx t e tσ−= ⋅ . Reprezentaţi grafic rezultatul obţinut.

d. Se consideră sistemul liniar şi invariant în timp cu răspunsul în frecvenţă: ( )2

10

10

jH

j

ωω

ω−

=+

.

Reprezentaţi grafic caracteristicile Bode ale sistemului obţinut prin conectarea în cascadă a sistemelor cu răspunsurile în frecvenţă ( )1H ω şi ( )2H ω . Cum aţi denumi un astfel de sistem?

În ce situaţii credeţi că este utilă folosirea sa?


42


a.

( ) ( )2 2

1 2 2

11 1 2

1 1 1

jj jH

j

ωω ω ωω

ω ω ω−− − −

= = =+ + +

( )1 1H ω ω= ∀ ∈ℜ

( ) 1arg arg 1 arg 1 2H j j arctg arctg arctgω ω ω ω ω ω= − − + = − − = −

În figura P1.1 a.) se prezintă modulul lui ( )1H ω , iar în figura P1.1 b.) se reprezintă argumentul

lui ( )1H ω .

a). b).

Figura P7.1

( )1

1 1 2 21

1 1 1 1

j jH

j j j j

ω ωω

ω ω ω ω− − −

= = + = − ++ + + +

( ) ( ) ( )1 2 th t t e tδ σ−= − + ⋅ ⋅

b.

( )1 cos2 2

jt jtA Ax t A t e e−= ⋅ = +

Rezultă:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 1

1 11 1

2 2 2 1 1

1 2 1 1 2 1

2 2 2 2

2 sin sin2 2

jt jt jt jt

jt jt jt jt

jt jt

A A A j jy t H e H e e e

j j

A j j Ae e j e j e

jA jAe e j t A t

− −

− −

−

− += ⋅ + − = + = + −

− − + − = + = − ⋅ + ⋅ =

= − − = − ⋅ ⋅ = ⋅


43

c.

( ) ( ) ( )2 2

1

1tx t e t X

jσ ω

ω−= ⋅ ⇒ =

+ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 2 2

11 1

1 1 11 1

j j A BY X H

j j jj j

ω ωω ω ω

ω ω ωω ω

− −= ⋅ = ⋅ = = + =

+ + ++ +

( )2

1 1

1 21

A B AA B j A

A Bj

ω

ω

+ = = −+ += ⇒ ⇒ ⇒

= − =+

( )( )

( ) ( ) ( )2

1 22

1 1t tY y t e t t e t

j jω σ σ

ω ω− −= − + ⇒ = − ⋅ + ⋅ ⋅

+ +

În figura P7.2 se prezintă variaţia temporală a lui ( )y t .

Figura P7.2

d).

( )2

10

10

jH

j

ωω

ω−

=+

Prin conectarea în cascadă a sistemelor cu răspunsurile în frecvenţă ( )1H ω şi ( )2H ω se obţine

un sistem având următorul răspuns în frecvenţă:

( ) ( ) ( )1 2

1 10

1 10

j jH H H

j j

ω ωω ω ω

ω ω− −

= ⋅ = ⋅+ +

( )20log 0H ω ω= ⇒∀ ∈ℜ

În figura P7.3 se prezintă variaţia frecvenţială a lui ( )20log H ω .

Figura P7.3


44

( ) 2arg arg 10 arg 10 210

H j j arctgω

ω ω ω= − − + = −

În figura P7.4 se reprezintă caracteristicile Bode ale sistemului obţinut.

Figura P7.4

Observații:

• Sistemul este un filtru trece-tot; • Se poate utiliza pentru corecţii de fază.

Problema 8

Relația dintre semnalele de intrare ( )x t și ieșire ( )y t ale unui sistem liniar și invariant în timp,

cauzal este: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 5

dy ty t x z t d x t

dtτ τ τ

+∞

−∞

+ ⋅ = ⋅ − ⋅ −∫ unde ( ) ( ) ( )6 99 tz t t e tδ σ−= ⋅ + ⋅ ⋅

a. Determinați răspunsul în frecvență al sistemului, ( )H ω și schițați-i caracteristicile Bode.

b. Determinați răspunsul la impuls al sistemului. Rezolvare Problema 8

a.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 5dy t

y t x z t d x tdt

τ τ τ+∞

−∞

+ ⋅ = ⋅ − ⋅ −∫ unde

( ) ( ) ( )6 99 tz t t e tδ σ−= ⋅ + ⋅ ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 5dy t

y t x t z t x tdt

+ ⋅ = ∗ − ⋅

Se aplică transformata Fourier asupra ecuației de mai sus, rezultă:


45

( ) ( ) ( ) ( )9910 6 5

1j Y Y X X

jω ω ω ω ω

ω

⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )99 10010 1 10

1 1

jY j X Y j X

j j

ωω ω ω ω ω ω

ω ω +

⋅ + = ⋅ + ⇔ ⋅ + = ⋅ + +

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1100 100101 10 1 1

10

jY jH

X j jj j

ωω ω

ωωω ω ω ω

++= = = ⋅

+ ⋅ + + ⋅ +

În figura P8.1 sunt prezentate variațiile lui ( )20log H ω și ( ) arg H ω în funcție de frecvență.

Figura P8.1

b).


46

( )1 1

10

A BH

jj

ωωω

= ++ +

;

( ) ( )1 99

1 1100 100 1001 10 10 10

1 91 11 110 10 10

j

A j Hj j

j

ω

ω ωωω ω

+ −= + ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

= =+ −

99 10 11 1110 10 10 11

100 9 10 10A A= ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

( )( )

91

100 101 10 1010 1010 1 9

j

B j Hj jj

ωω

ωω ωω

+ = + ⋅ = ⋅ = = = − = −+ −

10 91

9 10= − ⋅ = − ⇒

( ) 11 1

1 110

Hj

j

ωωω

= −+ +

⇒

( ) ( ) ( )1011 10t th t e t e tσ σ− −= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

Problema 9 Se dă sistemul cu răspunsul la impuls:

( ) ( )1

0

1

n

h t t nT

δ−

=

= ⋅ −∑

a. Cum se numește un astfel de sistem? b. Determinați expresia răspunsului în frecvență al acestui sistem. c. Reprezentați grafic dependența de frecvență a modulului și argumentului acestui răspuns pentru 2 = .


( ) ( )1

0

1

n

h t t nT

δ−

=

= ⋅ −∑

Un astfel de circuit este un "mediator". b.

( )( )1

0

11 1

1

j T

j nT

j Tn

eH e

e

ωω

ωω−−

−−

=

−= = ⋅

−∑

c.


47

Avem 2 = . Rezultă în continuare:

( ) ( )2

2

1 1 11

2 1 2

j Tj T

j T

eH e

e

ωω

ωω−

−−

−= ⋅ = ⋅ +

−

( ) ( )2

11 cos sin

2H T j Tω ω ω= ⋅ + − ⋅ ⇒

( ) ( )2 22

1 11 cos sin 1 2cos 1

2 2H T T Tω ω ω ω= + + = + + =

21 1cos cos 2 cos

2 2 22 2

T T Tω ω ω= = ⋅ =

( ) 22

2sin cossin 2 2arg1 cos 22cos

2

T TT T

H arctg arctg arctg tgTT

ω ωω ω

ωωω

⋅ = − = − = − +

În figura P9.1 sunt prezentate variațiile în frecvență ale modulului (Figura P9.1a) și argumentului (Figura P9.1b) funcției ( )2H ω .

a).

b).

Figura 9.1


48

Problema 10

Se consideră semnalul ( )x t cu transformata Fourier ( )X ω al cărei grafic este reprezentat în

figura P10.1 și semnalul ( )p t periodic cu pulsația fundamentală, 0ω .

a. Determinați transformata Fourier a semnalului ( ) ( ) ( )y t x t p t= ⋅ .

b. Schițați spectrul lui ( )y t pentru fiecare dintre următoarele alegeri ale lui ( )p t :

1). ( ) cosp t t= ; 2). ( ) ( )n

p t t nδ π∞

=−∞

= − ⋅∑ ; 3). ( ) ( )4n

p t t nδ π∞

=−∞

= −∑ .

Figura P10.1

Rezolvare Problema 10 a).

( ) ( ) ( )y t x t p t= ⋅ ⇒ ( ) ( ) ( )1

2Y X Pω ω ω

π= ∗

0( ) jk t

k

k

p t c eω= ⋅∑ ⇒ ( ) ( )02 k

k

P c kω π δ ω ω= ⋅ −∑

( ) ( )0k

k

Y c X kω ω ω= ⋅ −∑

b).

( ) cosp t t= ; 1 1

1

2c c−= = și 0kc = 1,1k∀ ≠ −

( ) ( ) ( )1 11 1

2 2Y X Xω ω ω= − + +

În figura P10.2 este reprezentat spectrul de frecvență ( )Y ω pentru semnalul ( )p t definit la

punctul b).1.


49

Figura P10.2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22n

p t t n t Pπδ π δ ω δ ω∞

=−∞

= − ⋅ = ↔ = ⋅∑

( ) ( ) ( ) ( )2

1 12 2

2 n

Y X X nω ω δ ω ωπ π

= ⋅ ⋅ ∗ = − ∑


punctul b).

Figura P10.3

( ) ( ) ( )44n

p t t n tπδ π δ∞

=−∞

= − = ⇒∑ ( ) ( )1

2

1

2P ω δ ω= ⋅

( ) ( ) ( ) ( )1

2

1 1 1 1 1

4 4 2 4 2k k

Y X X k X kω ω δ ω ω δ ω ωπ π π

= ∗ = ∗ − = − ∑ ∑


punctul b).

Figura P10.4


50


Fiind date semnalele: ( ) ( ) ( )1 1 1x t t tδ δ= + + − şi ( ) ( ) ( ) 2 2 2d

x t t tdt

σ σ= − − + − .

a. Să se reprezintă grafic ( )1x t şi ( )2x t în domeniul timp.

b. Să se calculeze transformate Fourier corespunzătoare ( )1X ω şi ( )2X ω .

c. Să se reprezinte grafic modulul funcţiilor ( )1X ω şi ( )2X ω .

Problema 2 Pentru un sistem liniar şi invariant în timp, ecuaţia ce descrie legătura între intrare şi ieşire este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 5dy t

y t x z t d x tdt

τ τ τ∞

−∞

+ = − −∫ , unde ( ) ( ) ( )9 6tz t e t tσ δ−= + .

a. Determinaţi răspunsul în frecvenţă al sistemului ( )H ω . Ce denumire are un astfel de sistem.

Reprezentaţi grafic caracteristicile BODE (modulul şi argumentul). b. Determinaţi ( )h t pentru acest sistem.

c. Determinaţi răspunsul sistemului la semnalul ( ) 5cos10x t t= .

Problema 3 Se consideră sistemul descris de ecuația diferențială:

( ) ( ) ( ) ( )1 1

10 10

dy t dy ty t x t

dt dt+ ⋅ = − ⋅

a. Să se determine răspunsul în frecvență al sistemului b. Reprezentați grafic diagramele BODE pentru acest sistem c. Utilizând aceste diagrame, să se determine semnalul de la ieșirea sistemului considerat, dacă

la intrare se aplică semnalul: ( ) cos100x t t=

Problema 4 Fie sistemul din figura P4.1:

Figura P4.1

unde ( ) ( )sin 4 tx t

t

ππ

= , ( ) ( )2cos 2p t tπ= şi răspunsul la impuls este dată prin:

( ) ( ) ( )1 3sin 4 2cos 8h t t tπ π= + + .


51

a. Determinaţi şi reprezentaţi grafic ( )R ω , transformata Fourier a semnalului ( )r t .

b. Determinaţi şi reprezentaţi grafic ( )H ω .

c. Determinaţi şi reprezentaţi grafic semnalul ( )y t .

d. Repetaţi punctul c), dacă ( ) ( )r t x t= .

Problema 5

Se consideră sistemul, având răspunsul la impuls: ( ) sin 6cos12

th t t

t

ππ

π= ⋅ .

a. Determinaţi şi reprezentaţi grafic funcţia de transfer a sistemului, ( )H ω .

b. Determinaţi răspunsul sistemului la semnalul de intrare ( ) cos 2 sin10x t t tπ π= + .

c. Ce fel de filtru este acesta? Justificaţi răspunsul! Problema 6

Notând cu ( )X ω transformata Fourier a semnalului ( )x t , cu reprezentarea grafică din figura

P6.1:

Figura 6.1

Determinați fără a calcula explicit, ( )X ω :

a.) ( )0X ;

b.) ( )X dω ω∞

−∞∫ ;

c.) ( ) sinX d

ωω ω

ω

∞

−∞∫

d.) Schițați transformata Fourier inverrsă a lui ( ) Re X ω .


52

Problema 7

Se consideră SLIT discret, cu răspunsul la impuls: [ ] [ ] [ ] [ ]1 11 1

2 2h n n n nδ δ δ= + − + +

a. Calculaţi şi reprezentaţi grafic funcţia de transfer, ( )H Ω , şi arătaţi (pe baza graficului

obţinut) că acest sistem este un filtru trece jos.

b. Determinaţi răspunsul [ ]y n al sistemului considerat la semnalul [ ] sin2

x n nπ

= .

c. Reprezentaţi grafic spectrul de amplitudine şi spectrul de fază al semnalului [ ]y n .

Problema 8 Un sistem liniar și cauzal este descris de ecuația cu diferențe finite:

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1y n ay n bx n x n− − = + − , a∈ℜ , 1a <

a. Determinați funcția de transfer a sistemului, ( )H Ω

b. Pentru ce valoare b se obține ( ) 1H Ω = , pentru ∀Ω ? Ce denumire are un astfel de sistem?

c. Schițați ( ) arg H Ω pentru 0.5a = în condițiile de la punctul b.

Problema 9

Fiind dat sistemul în timp discret [ ]x n , cu spectrul, ( )X Ω , având restricția la perioada

principală, ( ) cos2 2rXπ π

σ σ Ω = Ω Ω+ − Ω−

.

Schițați spectrele semnalelor [ ] [ ] [ ]z n x n p n= ⋅ pentru fiecare dintre secvențele [ ]p n , de mai

jos: a. [ ] cosp n nπ=

b. [ ] cos2

p n nπ

=

c. [ ] [ ]2k

p n n kδ∞

=−∞

= −∑

probleme propuse pentru examenul de semnale Și ......probleme propuse pentru examenul de semnale...

Documents