probleme rezolvate sondaj

7/14/2019 Probleme Rezolvate Sondaj

http://slidepdf.com/reader/full/probleme-rezolvate-sondaj 1/12

CAPITOLUL 7SONDAJUL STATISTIC

DETERMINAREA INTERVALELOR DE ÎNCREDERE

7.1. Întrebări teoretice şi probleme rezolvate

584. În scopul analizei capacităţii de cazare turistică dintr-o zonă montană, ofirmă interesată efectuează un sondaj simplu aleator de volum 10% dincolectivitatea generală, obţinând următoarele date sistematizate:

Tabelul 234 Intervale de variaţie a capacităţii de

cazare (locuri/unitate)Număr de unităţi

turistice20 – 40 840 – 60 1060 – 80 32

80 – 100 7

100 şi peste 3Total 60

Se cere:a) Să se determine capacitatea medie de cazare în eşantion şi să se precizeze

dacă valoarea medie obţinută este reprezentativă pentru colectivitatea de selecţieanalizată;

b) Să se calculeze eroarea medie probabilă de selecţie şi eroarea maximăadmisibilă, dacă rezultatele se garantează cu o probabilitate de 95%, pentru care z= 1,96 (în ipoteza unei selecţii aleatoare repetate şi în ipoteza unei selecţii aleatoarenerepetate);

c) Să se estimeze limitele între care se va situa capacitatea medie de cazare pe

unitatea turistică în colectivitatea generală şi limitele între care se va situacapacitatea totală de cazare;d) Să se determine noul volum de selecţie care va fi necesar, dacă firma ce

efectuează analiza doreşte ca eroarea limită (maximă admisibilă) să se reducă la jumătate, iar probabilitatea cu care se garantează rezultatele să fie de 95,45% (z =2);

e) Să se estimeze între ce limite se va încadra ponderea unităţilor turistice cucapacitate de cazare de 80 şi peste 80 de locuri şi limitele între care se va situa



2 STATISTICĂ APLICATĂ

numărul acestor unităţi, dacă rezultatele se garantează cu o probabilitate de 99,73%(z = 3);

f) Care va fi noul volum al eşantionului necesar pentru a estima această pondere cu o eroare limită mai mică cu 25%.

Rezolvare:

a) Pentru determinarea capacităţii medii din colectivitatea de selecţie, vom calcula:

7,6560

3940===

∑

∑

i

ii

n

n x x locuri/unitate

Tabelul 235 xi ni xini ( ) ii n x x

2−

30 8 240 10195,9250 10 500 2464,9070 32 2240 591,6890 7 630 4133,43

110 3 330 5887,47Total 60 3940 23273,4

În scopul verificării omogenităţii colectivităţii de selecţie studiate şi a repre-

zentativităţii (semnificaţiei) mediei obţinute, vom determina:

100 x

sv x= , unde ( )

∑

∑ −==

i

ii x x

n

n x x s s

2

2

( )89,387

60

4,232732

2 ==−

=∑

∑

i

ii x

n

n x x s

7,192== x x s s locuri/unitate

Capacitatea de cazare turistică se abate, aşadar, în medie (în plus sau în minus)

cu 19,7 locuri de la capacitatea medie de cazare.

%301007,65

7,19100 ===

x

sv x

Capacitatea medie de cazare (65,7 locuri/unitate) este o valoare semnificativă cecaracterizează tendinţa centrală din colectivitatea de selecţie.



CAPITOLUL 7 3

Pentru următoarele puncte se va efectua analiza separat în ipoteza unei selecţiirepetate şi apoi în ipoteza unei selecţii aleatoare fără revenire.

Ipoteza selecţiei aleatoare cu revenire.

b) Eroarea medie probabilă de selecţie:

54,260

89,3872

===n

s s x

xlocuri/unitate turistică.

Eroarea maximă admisibilă (limită):98,454,296,1 =⋅=⋅=∆ x xs z locuri/unitate turistică.

c) Estimarea pe interval de încredere a mediei din colectivitatea generală:

x xx x x ∆+≤≤∆− 0

98,47,6598,47,65 0 +≤≤− x locuri/unitate turistică.

68,7072,60 0 ≤≤ x locuri/unitate turistică.

Estimarea pe interval de încredere a capacităţii totale de cazare:( ) ( )

xi xx N x x N ∆+≤≤∆− ∑

Cum sondajul este de volum 10% din colectivitatea generală

%10100 = N

n, rezultă că N = 600 unităţi turistice.

68,7060072,60600 ⋅≤≤⋅ ∑ i x locuri.

4240836432 ≤≤ ∑ i x locuri de cazare în unităţile turistice din zona mon-tană (garantat cu o probabilitate de 95%).

d) Dacă factorii interesaţi doresc să obţină informaţiile cu o precizie crescută(eroare limită mai mică) şi să garanteze rezultatele cu o probabilitate mai mare, esteclar că va fi necesar să se selecteze un eşantion de volum mai mare din

colectivitatea generală de 600 de unităţi.Într-adevăr:

( )250

49,2

89,3874''

22'

22

≈⋅=∆

= x

x s z n unităţi turistice,

unde 49,22

98,4

2

'==

∆=∆ x

xlocuri/unitate.




Aşadar, se vor extrage 250 de unităţi în eşantion, pentru care se vor sistematizadatele, se vor prelucra şi se va efectua inferenţa statistică.

e) Variabila „capacitate de cazare de 80 şi peste 80 de locuri pe o unitate“ este ovariabilă alternativă, care acceptă două variante de răspuns: unităţile statistice potavea capacitatea de cazare de 80 şi peste 80 de locuri sau capacitatea mai mică de80 de locuri. Atunci:- în eşantion

– media: 167,060

10===

n

mw (16,7%), unde m = numărul cazurilor cu

răspuns favorabil (7+3);

– dispersia: ( ) 139,0833,0167,01 =⋅=−ww ;

– eroarea medie probabilă de reprezentativitate:

( )048,0

60

139,01==

−=

n

ww sw (4,8%);

– eroarea limită admisibilă pentru o probabilitate de garantare a rezultatelor de 99,73%:

144,0048,03 =⋅==∆ ww zs (14,4%);

– limitele între care se va situa ponderea unităţilor cu capacitate de cazarede 80 şi peste 80 de locuri:

%1,31%%3,2

311,0023,0

144,0167,0144,0167,0

≤≤

≤≤

+≤≤−

∆+≤≤∆−

p

p

p

w pwww

– estimarea pe interval de încredere a numărului de unităţi cu capacitate de80 şi peste 80 de locuri:

( ) ( )18714 M

w N M w N ww

≤≤∆+≤≤∆− unităţi turistice.

f) Noul volum al eşantionului, dacă se doreşte ca eroarea limită să fie mai mică cu25%:

108,0144,075,075,0'

=⋅=∆⋅=∆ ww



CAPITOLUL 7 5

( )

( ) ( )107

108,0

139,031'

2

2

2'

2

≈⋅

=∆

−=

w

ww z n unităţi turistice selectate pentru care se

vor efectua etapele descriptivă şi de inferenţă statistică.

Ipoteza selecţiei aleatoare simple fără revenire.

b) 41,29,0

60

89,3871

2

=⋅=

−=

N

n

n

s s x

xlocuri / unitate turistică.

72,441,296,1 =⋅=⋅=∆ x xs z locuri / unitate turistică.

c) x xx x x ∆+≤≤∆− 0

72,47,6572,47,65 0 +≤≤− x locuri/unitate turistică.

42,7098,60 0 ≤≤ x locuri/unitate turistică.

( ) ( ) xi x

x N x x N ∆+≤≤∆− ∑

42,7060098,60600 ⋅≤≤⋅ ∑ i x

4225236588 ≤≤ ∑ i x locuri.

d) 36,22

72,4

2

'==

∆=∆ x

xlocuri/unitate.

( )190

600

89,387436,2

89,3874

'

''

222

2'

22

≈⋅

+

⋅=

+∆

=

N

s z

s z n

x

x

x

unităţi turistice.

e)( )

045,09,060

139,01

1=⋅=

−

−=

N

n

n

ww sw (4,5%)

135,0045,03 =⋅==∆ ww zs (13,5%)

%2,30%%2,3

302,0032,0

135,0167,0135,0167,0

≤≤

≤≤

+≤≤−

∆+≤≤∆−

p

p

p

w pwww

( ) ( )ww w N M w N ∆+≤≤∆−302,0600032,0600 ⋅≤≤⋅ M unităţi turistice.

18119 M ≤≤ unităţi turistice.




f) 10,0135,075,075,0'

=⋅=∆⋅=∆ ww

( )

( ) ( )( )

104

600

139,031,0

139,03

1

1'

22

2

22'

2

≈⋅

+

⋅=

−+∆

−=

N

ww z

ww z n

w

unităţi turistice.

585. 100 de cetăţeni selectaţi aleator sunt rugaţi, în cadrul unui sondaj, să-şispună opinia privind un act normativ recent intrat în vigoare. Rezultatele

sistematizate sunt:Tabelul 236

Sex OpiniaPro Contra Nu ştiu

Masculin 22 10 3Feminin 12 45 8

Pentru o probabilitate de 95,45% să se estimeze ponderea cetăţenilor a căror opinieasupra actului normativ este "Contra" sau "Nu ştiu".

Rezolvare:

37,035

13

35

310 ==+= M f (37%)

82,065

53

65

845==

+= F f (82%)

66,0=++

==∑

∑

F M

F F M M

i

ii

nn

n f n f

n

n f f

( ) 23,063,037,012=⋅=−= M M fM f f s

( ) 15,018,082,012

=⋅=−= F F fF f f s

178,0

2222

=+

+==

∑

∑

F M

F fF M fM

i

i fi f

nn

n sn s

n

n s s



CAPITOLUL 7 7

04,0100

178,02

===n

s s

f

f (4%)

08,004,02 =⋅=⋅=∆ f f s z (8%)

f f f p f ∆+≤≤∆− 0

74,058,0 0 ≤≤ p

586. Un eşantion aleator de 80 de observaţii a fost selectat dintr-o populaţienormal distribuită. În urma calculelor a rezultat valoarea medie în eşantion

1,14= x şi abaterea medie pătratică 2,6. Să se determine intervalul de încredere,garantat cu o probabilitate de 95%, pentru media colectivităţii generale ( 0 x ).

Rezolvare:

29,080

6,2===

n

s s x

5684,029,096,129,0025,02/ =⋅=⋅=⋅=∆ z s z x x α

x xx x x ∆+≤≤∆− 0

5684,01,145684,01,14 0 +≤≤− x

67,1453,13 0 ≤≤ x

587. Presupunem că dorim să determinăm proporţia absolvenţilor unui liceucare se vor înscrie în învăţământul superior. Numărul elevilor de clasa a XII–a dinliceul supus analizei este 500. Un eşantion de 30 de elevi este selectat aleator fărărevenire, iar rezultatele cercetării arată că 19 elevi vor să se înscrie la o instituţie dinînvăţământul superior. Utilizând aceste informaţii, să se estimeze proporţia în

întreaga colectivitate (p), pentru un nivel de încredere de 90%.Rezolvare:

Avem: N = 500n = 30w = 19 / 30 = 0,6333

Pentru a estima intervalul de încredere, vom calcula un estimator al dispersiei proporţiei populaţiei:




( ) ( )00727,0

500

301

30

6333,016333,01

12 =

−⋅

−=

−⋅

−=

N

n

n

ww sw şi un

estimator al abaterii medii pătratice (eroarea medie probabilă de reprezentativitate):

( )0853,01

1 =

−−=

N

n

n

ww sw .

Intervalul de încredere pentru o probabilitate 100(1-α) este:

ww s z w p s z w ⋅+≤≤⋅− 2/2/ α α

Pentru a construi un interval de încredere, pentru un nivel de încredere de 90%,vom folosi z 0,05 = 1,645:

7736,0 4929,0

0853,0645,16333,00853,0645,16333,0

≤≤

⋅+≤≤⋅−

p

p

Ceea ce înseamnă că ne putem aştepta, cu o probabilitate de 90%, ca proporţiaabsolvenţilor de liceu care se vor înscrie la facultate să fie cuprinsă între 49,29% şi77,36%.

588. Un analist contabil doreşte să estimeze valoarea medie a facturilor emise de firma la care lucrează. El hotărăşte să extragă un eşantion simplu aleator din totalul celor 1025 de facturi emise într-o anumită perioadă. Din cercetări

anterioare cunoaşte dispersia în colectivitate 425.22= x s .

a) Ce volum de sondaj ar fi necesar, dacă doreşte să estimeze valoarea medie afacturilor emise cu un nivel de precizie, măsurat de eroarea medie dereprezentativitate 7,8=

x s mii lei;

b) Ce volum de sondaj este necesar, dacă se doreşte ca eroarea medie dereprezentativitate să fie 7=

x s mii lei.

c) Presupunem că analistul nu este sigur care este valoarea erorii medii dereprezentativitate necesară. Totuşi, el doreşte să estimeze rezultatele pe un intervalde încredere de 10 mii lei de fiecare parte a mediei eşantionului, cu o probabilitatede 95%. Care va fi atunci volumul eşantionului necesar?

Rezolvare:

a)

n s N s N n s N

n

n

s s x x x

x

x

222

1 −=⋅⋅⇒

−= .

Aşadar, volumul eşantionului necesar este:



CAPITOLUL 7 9

3206,31

1025

24257,75

2425

22

2

22

2

≈=+

=

+

=+

=

N

s s

s

s N s

N sn

x

x

x

x x

x

facturi.

Pentru a estima rezultatele cu o eroare medie de reprezentativitate de 8,7 mii lei,va trebui să selecteze aleator nerepetat 32 de facturi.

b)4821,47

1025

242549

2425

22

2

≈=+

=

+

=

N

s s

sn

x

x

x

facturi.

După cum se observă, dacă eroarea medie probabilă scade (adică precizia dorităcreşte), atunci volumul eşantionului va fi mai mare.

c) Eroarea limită de reprezentativitate este:

x xs z ⋅=∆

2/α şi z’ = z α /2 = z 0,025 =1,96

facturi.

N s z

s z n

N

n

n

s z

x x

x x

x

864,85

1025242596,110

242596,11

2

2

2

22

'

222

≈=

=

⋅+

⋅=

+∆

=⇒

−=∆

Aşadar, pentru a estima rezultatele pe un interval de încredere de 20 mii lei (10

0± x ), cu o probabilitate de 95%, va trebui să eşantioneze aleator nerepetat 86

de facturi.

589. Pentru a estima salariul mediu al unui salariat din oraşul „A“, uncercetător a selectat aleator nerepetat 100 din cei 1000 de salariaţi. În urma

cercetării a rezultat că un salariat câştigă în medie 2,5 mil. lei, cu un coeficient devariaţie de 10%. Dacă dorim să garantăm rezultatele cu o probabilitate de 95,45%,atunci putem spune că salariul mediul al unui salariat din întregul oraş seîncadrează între:

a) (2405; 2595) mii lei; b) (2575; 3204) mii lei;c) (2,575; 3,204) mil. lei;d) (1,772; 2, 324) mil. lei;e) nici una dintre variantele de mai sus.




Rezolvare:

n = 100; N = 1000;

lei.mil5,2x= ;v = 10%;z = 2 pt. P = 95,45%.

leimil

V x

s x

s

V x

x

.25,0100

105,2

100100 =

⋅

=

⋅

=⇒⋅= .Eroarea limită în cazul sondajului simplu nerepetat va fi:

leimil N

x

n

s z x

x .095,01000

1001

100

25,021

2

=

−⋅⋅=

−⋅=∆ .

Atunci intervalul de încredere pentru media colectivităţii generale va avealimitele:

leimil x x .405,2095,05,2 =−=∆− ;leimil x x .595,2095,05,2 =−=∆+ .

Deci corectă este varianta a).

590. În urma unui studiu efectuat pe 500 din cei 2000 de studenţi ai uneifacultăţi din ASE a rezultat că 15% dintre ei provin din licee cu profil economic.Pentru o probabilitate de 99,73%, se poate afirma că ponderea studenţilor dinîntreaga facultate care au absolvit licee economice se situează în intervalul deîncredere:

a) (20%; 25%); b) (14%; 16%);c) (0,1%; 2%);d) (11%; 19%);e) nici una dintre variantele anterioare.

Rezolvare:

Notăm: n = 500; N= 2000.

Este vorba de o caracteristică alternativă.15,0%15 === pw .

Dispersia caracteristicii alternative este:



CAPITOLUL 7 11

( ) ( ) 1275,085,015,0112

=⋅=−=−= p pww sw .

Eroarea limită, pentru un sondaj simplu nerepetat, va fi:

04,00415,02000

5001

500

1275,031

2

≈=

−⋅⋅=

−=⋅=∆

N

n

n

s z s z w

ww.

Intervalul de încercare pentru media colectivităţii generale vă avea limitele:%)11(11,004,015,0 =−=∆− ww ;

%)19(19,004,015,0

=+=∆+ ww

.

591. În urma unei cercetări selective efectuate pe un eşantion ales dintresalariaţii unei societăţi comerciale a rezultat că vechimea medie în muncă a unuisalariat este de 10,2 ani, cu o dispersie de 0,05 ani.

Pentru a estima vechimea medie a unui salariat pe întreaga societate comercială,cu o eroare limită de 0,05 ani şi o probabilitate de garantare a rezultatelor de95,4%, va trebui să includem în eşantion:

a) 20 de salariaţi; b) 100 de salariaţi;c) 80 de salariaţi;d) 120 de salariaţi;

c) 200 de salariaţi.

Rezolvare:

Ştim că în cazul sondajului aleator simplu repetat (deoarece nu cunoaştemvolumul colectivităţii generale) noul volum al eşantionului se determină cu relaţia:

800025,0

2,0

0025,0

05,042

22

==⋅

=∆

= x

x s z n de salariaţi, deci este corectă varianta c).

592. În urma unui sondaj, aplicat pe un eşantion ales dintre cei 750 desalariaţi ai unui întreprinderi economice, a rezultat că 20% dintre cei cercetaţi au

efectuat ore suplimentare. Un cercetător doreşte să estimeze cu o probabilitate de95,45% şi o eroare medie de reprezentativitate de 3% procentul salariaţilor care aurămas peste program să lucreze. Pentru aceasta, el va trebui să includă în eşantion:

a) 150 de salariaţi; b) 200 de salariaţi;c) 120 de salariaţi;d) 144 de salariaţi;e) 500 de salariaţi.




Rezolvare:

Este vorba de o caracteristică alternativă, a cărei medie va fi:w = p = 0,2.

iar dispersia:

16,08,02,0)1(2

=⋅=−= ww sw .

Eroarea limită va fi:%)6(06,003,02 =⋅=⋅=∆

ww s z .

Volumul eşantionului va fi dat de:

1447,143

0036,0750

64,016,04

222

22

≅=+⋅=

∆+

=

ww

w

N

s z s z n

salariaţi.

Deci se alege varianta d).

probleme rezolvate sondaj

Documents