problemes olÍmpics - semcv€¦ · amb els trossos que obté, forma la següent figura: quina...

PROBLEMES

OLÍMPICS

RRee vv

ii sstt aa

ddee

pp rroo bb

ll eemm

ee ss dd

ee MM

aa ttee mm

àà ttii qq

uu ee ss

NNúú m

mee rr

oo 88 22

.. DDee ss

ee mmbb rr

ee 22

0011 55

GALERIA DE FOTOS PARTICIPANTS AL XIV CONCURS DE FOTOGRAFIA “MATEMÀTICA A LA VISTA”

“Dos ruedas tangentes”.

Patrica Sánchez Felipe. IES L’Estació (Ontinyent) “El infinito en una escalera”

José Hernández. Col. Mare de Déu de l’Olivar (Alaquàs)

“100 años geométricos”

Cristina Schimmel. IES L’Arabí (L’Alfàs del pi) “Esferas acuáticas”

Sandra Pérez. IES María Moliner (Port de Sagunt)

“La simetria en el plato”

Sara Gil. CC Alfa & Omega (Dénia) “Ácida proporción”

Rita Martínez. CC Alfa & Omega (Dénia)

“Parábola nocturna”.

Luisa Abrahamyan. IES Lloixa (San Joan d’Alacant) “Bisectrices”.

Akier Brugman. IES L’Arabí (Alfàs del Pi) “Espiral”.

Marina Rodríguez. IES L’Arabí (Alfàs del Pi)

ProblemesOlímpics.Núm.82.Desembre2015. Pàg.1

Societatd’EducacióMatemàticadelaComunitatValenciana“Al‐Khwarizmi”

Acíteniuelnúmero82delarevistaPROBLEMES OLÍMPICScorresponental mes de desembre de 2015, amb més propostes per a treballar la resolució deproblemesdematemàtiques.

Ja tenim obert el termini d’inscripció de l’alumnat a la XXVII OlimpíadaMatemàtica2016peralesprovínciesdeValènciaiAlacant.Tingueuencomptequehihafinsal15demarçperaformalitzarlainscripció,nohodeixeuperaúltimahora.

Estempreparant l’organitzacióde lesXII Jornadesd’EducacióMatemàticade laComunitatValenciana,quecelebraremaValènciaelsdies30desetembrei1d’octubrede2016.Pròximamenttindreumésinformacióambelsdetallsdelaconvocatòriaenlapublicació del primer anunci. També trobareu la convocatòria del XV Concurs defotografia matemàtica que com és tradició, es resoldrà durant la celebració de lesJornadesdelaSocietat.Usanimemaparticipar.

La Federación Española de Sociedades de Profesores deMatemáticascelebracadadosanyslesJAEM,iperal2017laFESPMhadecidit celebrar‐les conjuntament ambelCongreso IberoamericanodeEducaciónMatemáticaCIBEM.ElVIIICIBEMsecelebraràaMadriddel10al14dejuliolde2017i jaestàobertelterminid’inscripcióapreureduït.Teniutotalainformacióalaweb:www.cibem.org PROBLEMESOLÍMPICSSocietatd’EducacióMatemàticadelaComunitatValenciana“Al‐Khwarizmi”Apartat22.04546071València

Director:TomàsQueraltLlopis

Correcciólingüística:JoséFernandoJuanGarcía

Consellderedacció:

JoséMaríaAjenjoVento,MartaArgudoOrtiz,JoaquimArnauBreso,AlejandroBaronaHernández,FernandoBoïlsSais,NievesCamáñezNavarro,JuanJoséCerveraZamora,VicenteDiagoOrtells,JaimeFerrerVelasco,LauraGandíaFerrero,VerónicaGarcíaRuiz,JoséFernandoJuanGarcía,

MónicaLaparraIbáñez,AntonioLedesmaLópez,MªJesúsLozanoLacalle,EduardoLlopisCastelló,JosepManuelMartínezCanet,MªAmparoMenaSanjuan,MariCarmenMorenoEsteban,EncarnaciónMorenoRuiz,BorjaNavarroMartínez,Fco.BorjaNavasSantamaría,SantiagoNavarroRedón,MariCarmenOlivaresIñesta,

MiriamOrtegaPons,MªÀngelsPedrónMarzal,TomásQueraltLlopis,SilviaQuilisMarco,PabloRealGómez,JuanMiguelRiberaPuchades,ÓscarRoldánBlay,MªJesúsRuizMaestro,ErikSarriónPedralva,DanielSantacreuFerrá,LluisEvaristSebastiáGiner,JoséPascualSeguraAlares.

D.L.:V‐3026‐2001ISSN:1578‐1771

Portada:“Mosaico”.2n.Premicompartitdel’ApartatIIdelXIVConcursdefotografiamatemàtica.Autor:JuanFernandoLópezVillaescusa.IESRamónLlull(València).

Pàg.2 ProblemesOlímpics.Núm.82.Desembre2015.


EtfaltaalgunexemplardelarevistaProblemesOlímpics?Sivolsenselpotsdemanaritel’enviemalateuaadreça.

SOL·LICITUDD'ENVIAMENTDENÚMEROSANTERIORSDE“PROBLEMESOLÍMPICS”

Nom:___________________________Cognoms:________________________________________________________

Adreça:__________________________________________________________________Telèfon:_________________

C.P. ___________Població:_____________________________Província:_______________________________

Correu‐e:_____________________________________Tascadocent(curs,nivell,etc.)___________________

Desitgerebreelssegüentsnúmerosdelarevista"ProblemesOlímpics"alameuaadreça:

Problemes Olímpics Nº 11 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 12 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 13 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 14 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 15 (2.4 € ) Problemes Olímpics Nº 16 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 17 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 18 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 19 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 20 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 21 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 22 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 23 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 24 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 25 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 26 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 27 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 28 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 29 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 30 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 32 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 33 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 34 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 35 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 36 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 37 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 38 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 39 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 40 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 41 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 42 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 43 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 44 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 45 (2.5 €)

Problemes Olímpics Nº 46 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 47 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 48 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 49 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 50 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 51 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 52 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 53 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 54 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 55 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 56 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 57 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 58 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 59 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 60 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 61 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 63 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 64 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 65 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 66 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 67 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 68 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 69 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 70 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 71 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 73 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 74 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 75 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 76 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 77 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 78 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 79 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 80 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 81 (2.5 €)

Ens envies aquesta butlleta emplenada a la nostra adreça: Societat d’EducacióMatemàtica “Al‐Khwarizmi”, Apartat 22.045, 46071‐València, indicant en el sobre“Revista Problemes Olímpics”, incloent el justificant d’ingrés del preu total delsexemplarsquesol·licitesalnostrecomptedeBANKIA:2038‐6301‐37‐3000011367.



SUMARI

PROBLEMESPERAPRACTICAR

ENUNCIATS

PROBLEMESNIVELLC(TERCERCICLEPRIMÀRIA)...........................p.4

PROBLEMESNIVELLA(PRIMERCICLEESO)........................................p.12

PROBLEMESNIVELLB(SEGONCICLEESO)...........................................p.21

SOLUCIONS

PROBLEMESNIVELLC(TERCERCICLEPRIMÀRIA)...........................p.29

PROBLEMESNIVELLA(PRIMERCICLEESO)........................................p.36

PROBLEMESNIVELLB(SEGONCICLEESO)...........................................p.48

QÜESTIONSD’UNMESTRE.............................................................................p.58



ENUNCIATS

PROBLEMESDENIVELLC



PROBLEMESDENIVELLC(TERCERCICLEDEPRIMÀRIA)

1.TRESNUMERETS

Tresnumeretsdeduesxifress’escriuenambaquestessisxifresamblacondicióqueladiferènciaentreelnombremajorielmitjàés33.

Quantvallasumadelstres?

2.ACTIVITATSEXTRAESCOLARS

Tresamigues,Carla,BlancaiSararealitzenactivitatsextraescolars.Unajugaaltenis,unaaltrajugaalbàsquetil’altratocaelviolí.Laquetocaelviolíéslamajordelestres.BlancaéslacosinamenordeSarainojugaaltenis.Lesmajorssóncosines.

Quinaactivitatextraescolarfacadascuna?



3.BLANCANEUSIELSERIÇONS

EtpassegesperEurodisney.AcíestàBlancaneusvenentcotódesucreieriçons de xocolate.Dos cotons de sucre i un eriçó de xocolate costen4€.Doseriçonsdexocolatei3cotonsdesucrecosten7€.Volsmenjar‐teuncotódesucreiuneriçódexocolate.

Quanthasdepagar‐liaBlancaneus?

4.TRAFALGAR

DurantlabatallanavaldeTrafalgar,elsdosterçosdelesnausfrancesesesvanenfonsar.Nomésenvantornar7.

Quantesn'hihaviaalprincipi?

5.SUMEN99

Afegeixels signes necessarisentrealgunsdelsdígitssegüents,peraobtindreuntotalde99.Trobaduessolucions.

987654321



6.JUGUEMALESBOLETES

Tuijotenimelmateixnombredeboletes.Tume’ndónes2.Jote’ndone5.

Quantesbalestensmésquejo?

7.UNEXAMENTIPUSTEST

Joan fa un examen de 20 preguntes. Per cada resposta correcta,aconsegueix8punts,percadarespostaincorrectaliresten5punts.Siesdeixaenblancunapregunta,compta0punts.

SisabemqueJoanvaobtindreunapuntuacióde13,quantespreguntesvacontestar?

8.L’ESTRELA

Manelveulasegüentestreladesdedavant:

SiMarcelestigueradarrere,comlaveuria?Dibuixa‐la.



9.LADATAMÍNIMA

La fase comarcal de l'Olimpíada Matemàtica que organitza la Societat“Al‐Khwarizmi”secelebral'últimdissabtedelmesd'abril.Comamínim,enquinadataespotcelebrar?

10.QUADRILÀTERS

Quantsquadrilàtersveuseneldibuixsegüent?



11.RETALLANT

Mireiatédiversosquadratsd’àrea10cm2ielsretallatalcoms’observaenlafigura,enquadratsméspetitsientriangles.

Ambelstrossosqueobté,formalasegüentfigura:

Quinaàreatéaquestafigura?

12.ELSEMÀFOR

Unsemàforestà35segonsenverd,4segonsenambre i32segonsenroig. Si a les 12:00 h delmigdia es posa en verd, podrempassar a les22:35delanit?



13.ENPARTSIGUALS

Divideix la regió 2 en dos parts iguals, la 3 en tres parts iguals, i aixísuccessivamentperacadaunadelesregions.

2 3

5

4 6

14.ELSCARAMELS

Tinc una bossa amb caramels demaduixa i dementa. En total en tinc111in’hihaeldobledemaduixaquedementa.

Sabriesdir‐mequantscaramelstincdecadatipus?



15.MONEDES

Observa la primera figura. Hem de col·locar 6 monedes sobre laquadrícula de manera que no hi haja mai més de dues monedesalineades(nitansolsendiagonal).

Sabries col·locar, amb lamateixa condició, 8monedes sobre la segonaquadrícula?

I12sobrelatercera?



ENUNCIATS

PROBLEMESDENIVELLA



PROBLEMESDENIVELLA(PRIMERCICLEDESECUNDÀRIA)

1.LACONTRASENYA

Cristina mai oblida les sis xifres de la contrasenya del seu correuelectrònicperquèhacomprovatquesilleval’1dedavantielficaalfinali deixa la resta de les xifres en el mateix ordre, aleshores el nombreinicialquedaautomàticamentmultiplicatper3.

QuinaéslacontrasenyadeCristina?

2.LAPIRÀMIDE

Només cal sumar. Cada quadre és la suma dels dos directamentinferiors.Completalapiràmide.

167 32 55 34 6 14 9 4



3.ELCAMPAMENT

144 xiquets d’un campament d’estiu han de repartir‐se en diferentsgrups,demaneraquecadagruptingaelmateixnombredexiquets.

Compodemferaquestrepartimentsicalqueelsgrupssiguend’almenyscincxiquetsicomamoltdevint?

4.UNRECTANGLEDERAJOLES

Lesrajolesd'unacasasóndeformarectangularitenenunperímetrede48cmcadascuna.Espreténconstruiramb8rajoleslasegüentfigura.

Sabriesindicar‐noslasuperfíciedelafigura?

5.CONSTRUINTUNTRAPEZI

Ambtrianglesisòscelesformemelsegüenttrapezi.Sil'angledesigualdeltriangle isòsceles mesura 40°, quantmesura cadascun dels angles deltrapezi?



6.UNATAULADIFERENTPERAUNRACÓ

Un fuster disposa d'un tauler de 2×2metres. Vol construir una taulaquetinga la formadeterminadapelquadrilàterdevèrtexs de lafigura.

Calculaelperímetrede lataula,sabentque ésperpendiculara ,éselpuntmitjàdelcostat , elpuntmitjàdelcostat i elpunt

mitjàde .

7.ELJARDÍ

Robert vol plantar un jardí especial per als seus iaios, però nomésdisposade1.200€.Les florsquevolplantarcosten0,05€cadascuna iocupenunasuperfíciede10cm2.

Si el jardí que vol plantar té la forma i les dimensions quemostra eldibuix,tindràproudinersRobert?



8.CLASSIFICACIÓFUTBOLÍSTICA

Enunalligadefutbolambcincequips,laclassificacióenlaprimeravolta(cadaequiphajugatunpartitcontraelsaltres)hasigutlasegüent:

Punts PG PE PP

A 3 1 0

B 8

C 5

D 4 1

E

PGsignificapartitsguanyats,PEpartitsempatatsiPPpartitsperduts.

Percadapartit,sumatrespuntselguanyador,1puntsiempatenizeropuntselqueperd.

Completatoteslescasellesdelaclassificacióiacontinuacióindicaquinshansigutelsresultatsentreelsequips(indicarnoméssihanempatatoquihaguanyat).



9.LAPLAÇAQUADRADA

Enunpoble,quatreamicsviuenenunplaçadeformaquadrada.Encadacostatdelaplaçahihaquatrecases,deixantcadacostatdividitencinctrossos iguals. Les cases van numerades en ordre creixent començantperl’1iacabantenlaporta16.

ElsamicssónAlbert,Borja,CarlesiDianaiviuenalescases2,5,11i14,respectivament.

Es volen reunir en una de les quatre cases i per a elegir en quina hofaranhandecidittriarlacasaqueestigamésproperadelesaltrestres.

Enquinacasaesreuniranelsquatreamics?

10.NOMBRESA‐ ‐OLATS

Elsímbol assignalapartenteradelnombren.Perexemple:

3,45 3

Podries aconseguir els nombres de l’1 al 10 utilitzant, únicament, elnombreπ(elmenornombredevegades,icomamàximtresvegades)ilesoperacions , , ,:,√, ielsparèntesis?



11.RECTANGLES

Unrectanglede176cmdeperímetreespotdividirencincrectanglesdeigualperímetreiigualàreacomesveualdibuix.

Quinéselperímetredelrectanglemésmenut?

12.LACOMARCASUPERPOBLADA

Elnombred’habitantsaunacomarcadeValènciaésunnombredesisxifres que és quadrat perfecte i cub perfecte. Ara bé, si se’n van 6habitantsdelacomarca,elnombred’habitantsquequedaésunnombreprimer.

Quantshabitantshihaalacomarca?



13.ELPREUDELMOSAIC

Volemdecorarunaparetambrajolescomladelafigura.Elpreud’unarajola ve donat per l’àrea de la zona ombrejada. Sabent que uncentímetre quadrat de la zona ombrejada val 0,01€, quant costa cadarajola? I quant pagarem per a completar la paret, si necessitem100rajolescomladelafigura?

14.ELSLLUMINSTRIANGULABLES

Escol·loquensobrelataula9lluminsformant4trianglesequilàterstalcomesmostraa la figura.Podemconstruir4 trianglesequilàtersde lamateixformaqueelsanteriors,peròutilitzantsols6llumins?Com?

15.PARTIDADECARTES

PauiAitanaestrobenjugantunapartidadecartes.Lapersonaqueperdlaprimerapartida lidóna1€a l’altra,en lasegonapartida l'importésde2€,enlatercerade4€icadavegadaqueesperdunapartidaespagaeldobledelapartidaanterior.

Pau va començar amb 21€ i va perdre tots els diners en 5 partides.Quinresultatvaobtindreencadaunadelespartides?



16.LACLAVEGUERA

Una claveguera rectangular deixa eixir l'aigua a 1,38 l/s gràcies a 23forats circulars idèntics. Permillorar l'eixida de l’aigua, un operari del’ajuntament fa16nous foratsdediàmetre lameitatdelquetenienelsforatsoriginals.

Quinaquantitatd'aiguapersegondeixaràpassarlaclavegueradesprésdeferelsforats?

17.LAMAREIELSFILLS

Mariola és unamare que té fills cada 15mesos. Dels nou fills que té,l’edatdelmajoréssisvegadesladelmésjove.

Podriesdirquinaésl'edatdelmésmenut?



ENUNCIATS

PROBLEMESDENIVELLB



PROBLEMESDENIVELLB(SEGONCICLEDESECUNDÀRIA)

1.PAPERHIGIÈNIC

Unrotllodepaperhigiènicésunaespiralalvoltantd’untubdecartró.Volemobtenirlaseualongitudperòlalongitudd’unaespiralésdifícildecalcular així que ho farem imaginant que són circumferènciesconcèntriques.

Sabemqueeltubté2cmderadiitotelrotllo6cm,iqueelpaperdóna161voltesalvoltantdeltub.

Quinaéslalongituddelrotllodepaperhigiènic?

2.PRODUCTEDETRESNOMBRES

Tresnombresprimerspositius, compleixen

4913

Quantval ∙ ∙ ?



3.EXAMENDEMATEMÀTIQUES

Un professor de matemàtiques vol fer un examen, però solament potcol·locar lestaulesenfila. Inovolqueningús’assegaa fer l’examenalcostatd’unaltre,ésadir,quehad’haveralmenysunatauladeseparacióentreunalumneiunaltre.

Iespregunta:quinéselnombremínimd’alumnesnecessari,pertalquequan arribe un altre alumne no puga seure sense estar al costat d’unaltre,sitenim2.016taules?

Isitenimntaules?

Exempledecompodrienestarasseguts:

1 2 3

Elsalumnes1i2estanmalasseguts,mentrequeel3estàbé.

4.UNACURIOSACALCULADORA

Disposemd’unacalculadoramoltcuriosaquesolstéelsnombres111i27, i on sols pots fer les operacions de sumar i restar, tantes vegadescomvulgues.Elproblemaconsisteixaobtindrecomaresultatelnombreméspropera35queespugaidircoms’haobtingut.Raonaelquefacestantcompugues.



5.COMPTANTDIVISORS

Sabemqueelnombre6téquatredivisors:1,2,3i6.

Troba dos nombres, un parell i l’altre senar, de forma que cadascund’ellstingaexactament2.016divisors.

6.MESURANTUNANGLE

En la figura següent, el quadrat té els vèrtexs i sobre unacircumferència, ielsvèrtexs i sobredoseixosperpendiculars(ésadir,commostralafigura),deformaqueelssegments i tenenlamateixamesura.

Quinaéslarelacióentreleslongitudsdelcostatdelquadratielradidelcercle?



7.L’ORGANITZADORDEPERIÒDICS

Pereestàorganitzantperiòdicsficant‐losencaixes.Sielsposade2en2,de3en3,de4en4,de5en5,de6en6,de7en7,de8en8,de9en9,ode10en10, sempre li sobra1periòdic.Finalment,posant‐losd’11en11,noli’nsobracap.

Quants periòdics n’ha d’organitzar Pere si sabem que és el menornombredeperiòdicsambelqualpotocórrereixasituació?

8.JUGANTAMBTAULES

Mentre Abel i Borja estaven jugant, el segon ha escrit les següentscol·leccionsdenombres:

1 2 3 1 0 1

4 5 6 0 ‐1 0

7 8 9 0 ‐1 0

Només acabar, li ha donat a Abel les següents instruccions: Els únicsmovimentspermesossónsumarorestar1tantesvoltescomesvulgaaqualsevolfilaocolumna.Calpassard’unataulaal’altra.

Desprésd’unabonaestona,Borjahaescritaltresduestaules:

1 2 3 4 1 0 0 0

5 6 7 8 0 1 0 0

9 10 11 12 0 0 1 0

13 14 15 16 0 0 0 0



Quans’haacabatlavesprada,Abelencaranohaviaaconseguitresoldrecapdelsdosjocs.

Creusqueéspossiblecompletarelsjocs?

En cas que sí, dóna les instruccions necessàries per a passar deunataulaal’altra.

Encasqueno,raonaperquènoéspossible.

9.ELMÉSRICDELMÓN

Aunpaísde l’altrecostatdelmón,elsseushabitants tenenuncostumd’allò més estrany: quan van a pagar en qualsevol botiga, sols podenpagarsiportenl’importexacte.

Joan és molt ric, però té un problema: té totes les monedes quenecessite,peròúnicamenttémonedesambunvalorde5ide7.

Quan Joanvoliacomprarun jocde taulanou, s’ha trobatquenopodiapagar‐lo.

Després de pensar‐homolt, Joan s’ha adonat que hi ha un determinatvalor talquesieljocdetaulaval omés,aleshoresJoansemprepodràcomprar‐lo.

a. Quinéseixevalor,iperquè?

b. Sabentaçò,quinéselmàximcostqueteniaeljocdetaulaqueJoannohapogutcomprar?



10.ELCAMÍMENYSCURT

Pereestrobaenelpunt1delaimatge,ivolanaralpunt4.Clarament,elcamí més curt passa per 2 i 3, però Pere arribamassa prompte, i hadeciditpegarunavoltaperafertemps.

SiPeretarda1minutenrecórrercadalínia,quantscaminshihauràenelsquetardeexactament5minuts?

NoimportasiPererepeteixalgunscamins.

11.VARIABLESENREVESSADES

Elsnombresreals , i compleixenlesrelacions:

20i1 1 1

15

Determinaelvalorexacted’aquestasuma.

12.QÜESTIÓDETRIANGLES

Alafigura, , ieltriangle ésequilàter.Troba .



13.JUGANTAMBEQUACIONS

Tenimdosnombresqualssevol i ,deformaqueverifiquenl’equació:

1 11

Aleshores,quinseràelvalorde:

on éssimplementmultiplicar per ?

14.JOCDECARTES

Estemjugantaunjocdecartes.Cadacartatéencadaunadelesseuescares un nombre parell entre 238 i 362, de forma que estan totes lescartespossiblesambeixacondició,inon’hihaduesiguals.

Quantescarteshihaentotal?



SOLUCIONS

PROBLEMESDENIVELLC



PROBLEMESDENIVELLC(TERCERCICLEDEPRIMÀRIA)

1.TRESNUMERETS

Solució:Elsnumeretssón53,20i14,ilasumaés87.

Siguen , i elstresnombres,amb italsquecompleixenque 33.

Amés,lesxifresd’und’ellssóndiferentsalesxifresdelsaltresdos.Elscandidatssón:

10 12 13 14 1520 21 23 24 2530 31 32 34 3540 41 42 43 4550 51 52 53 54

.AleshoreslaxifradelesdesenesdeAésigualalaxifradelesdesenesdeBméstres,ipassaelmateixamblesxifresdelesunitatsdelesdosnombres: 3; 3.

Possibilitats:

1. Si 5:

54 53 52

33 33 33

21 20 19 Novàlid

Si 54, 21, queden les xifres 0 i 3 per a formar . Tindrem30,però30 21 .Aleshoresnoéspossible.

Si 53i 20, estaràformatperlesxifres1i4: 14ó 41;però 41 20,inoméséspossible 14.

2. Si 4:

45 43 42

33 33 33

12 10 9 Novàlid



Si A=45, B=12, queden les xifres 0 i 3 per a formar . Tindrem30,però30 12 .Aleshoresnoéspossible.

SiA=43iB=10,quedenperformarClesxifres2i5:C=52oC=52.Enambdós casos trobem i no es compleixen les condicions del’enunciat.

3. Si 3:

35

33

02 Novàlid,jaquenoésunnombrededuesxifres.

Pertant,lasuma 53 20 14 87.

DIFICULTAT:40

2.ACTIVITATSEXTRAESCOLARS

Solució:Carlajugaaltenis,BlancavaabàsquetiSaratocaelviolí.

LestresamiguestenenedatsdiferentsiBlancaéslacosinamenudadeSara;aleshoresSaraés lamajorde les tres,persermajors lescosines,BlancaéslamitjanaiCarlalamenuda.

SaratocaelviolíperserlamajoricomqueBlancanojugaaltenis,hadeserquijugaalbàsquet.Enconseqüència,Carlajugaaltenis.

DIFICULTAT:20

3.BLANCANEUSIELSERIÇONS

Solució:Hasdepagar‐li3€.

2xocolates+1eriçó=4€

3xocolates+2eriçons=7€

Espotresoldrepertempteigobérestantlesequacions.

DIFICULTAT:20



4.TRAFALGAR

Solució:Alprincipihihavia21naus.

Siels2terçosdelesnausesvanenfonsar,vanquedarsolamentunterç,quesón7naus,aleshoresel3terçosdeltotalseran21naus.

DIFICULTAT:10

5.SUMEN99

Solució:

Laprimerasolucióés .

Lasegonasolucióés .

DIFICULTAT:30

6.JUGUEMALESBOLETES

Solució:Tens6balesmésquejo.

Si jo te’n done 2 i tu me’n dónes 5, jo en tindré 3 menys que alcomençamentituentindràs3més.Ladiferènciaserà6. Perexemple,suposemqueelsdostenim10boletes.Situme’ndónes2,joentinc12itu8;sijote’ndone5,araentinc7itu13.Aleshorestens6boletesmésquejo.

DIFICULTAT:20

7.UNEXAMENTIPUSTEST

Solució:Vacontestar13preguntes.

Si anomenem al nombre de respostes correctes i al nombre derespostes incorrectes, tenimque: 20, ique8 5 13.Peròcomque i hande sernaturals, de l’expressió anteriordeduïmque8 13hadesermúltiplede5.

Femuna taula dels possibles valors de demanera que es compliscaeixacondició,iobtenimelsvalorsdeIcorresponents:

C I

1 8 1 13 5 1



6 8 6 13 35 7

11 8 11 13 75 15

El primer parell , 1, 1 es descarta perquè no té sentit que Isiga negatiu. El parell , 11,15 i següents, es descarten perquèincompleixen que 20. Per tant, només ens queda l’opció que

6i 7.

Entotalhacontestata6 7 13preguntes.

DIFICULTAT:30

8.L’ESTRELA

Solució:Laveuigual.

DIFICULTAT:30

9.LADATAMÍNIMA

Solució:Eldia24d’abril.

Eldiaésel24d’abril,jaqueabrilté30diesiladatamínimacorresponalapossibilitatquel’últimdiadelmessigadivendres.

DIFICULTAT:10

10.QUADRILÀTERS

Solució:10quadrilàters.

DIFICULTAT:20

11.RETALLANT.

Solució:Lafiguratéunaàreade22,5cm2 .

Perquèesformendosquadratsigualsal’inicialiunquadratmenut.

DIFICULTAT:20



12.ELSEMÀFOR

Solució:Elsemàforestàenroig:nopodrempassar.

Sumant els temps, 35 4 32 71, sabem que cada volta tarda 71segonsatornaraestarenverd.

Sabem que des de les 12.00 h fins a les 22.35 de la nit han passat10horesi35minuts.Hopassemasegons:

10hores×3.600segons=36.000segons

35minuts×60segons=2.100segons

Entotal36.000+2.100=38.100segons

Aracalesbrinarquantesvegadescanviaelsemàforeneixetemps:

38.100:71=536ambunresidude44segons.

Aleshores com que ens trobem amb un residu de 44 segons, podemafirmarqueelsemàforestàenroiginoespodràpassar.

DIFICULTAT:40

13.ENPARTSIGUALS

Solució:

DIFICULTAT:30

14.ELSCARAMELS

Solució:37caramelsdementai74demaduixa.

Percadacarameldementaquetinchiha2demaduixa,demaneraquetinc grups de 3 caramels. Dividim 111 per 3 i així esbrinarem quantsgrupsdetreshihaisabremquantscaramelsdementaentinc.



111 : 3 = 37. Aleshores hi ha 37 caramels de menta i el doble decaramelsdemaduixa,ésadir37×2=74demaduixa.

DIFICULTAT:20

15.MONEDES

Solució:Aquestaésunapossiblesolució:

DIFICULTAT:40



SOLUCIONS

PROBLEMESDENIVELLA



PROBLEMESDENIVELLA(PRIMERCICLEDESECUNDÀRIA)

1.LACONTRASENYA

Solució:Lacontrasenyaés142857.

La contrasenya és un nombre de 6 xifres que comença per 1, és a dir100.000 ,on ésunnombrede5xifres.

Siporteml’1a l’últimaxifratenim10 1queéseltripledelnombreinicial.

100.000 3 10 1

Equacióquedónacomaresultat:42.857.

Pertantlacontrasenyaés142.857.

DIFICULTAT:10

2.LAPIRÀMIDE

Solució:

321 154 167 82 72 95 50 32 40 55 34 16 16 24 31 24 10 6 10 14 17 16 8 2 4 6 8 9 8 8 0 2 2 4 4 5

Comencemcalculantel40delacaselladelaquartafila.Apartirdel32iel 55 dels seus costats i tenint en compte que les seues casellessuperiorshandesumar167:

32 55 167

D’acíobtenim 40.



Peraobtindreel10del’altracasellaombrejadafemelmateix,apartirdelesdelscostats,6i14.Comquelasumadelesduessuperiorsal10sumen40(obtingutanteriorment),siprocedimdelmateixmode:

6 14 40 → 10

Larestadecasellesespodenobtindresuccessivament,perquèjatenimmoltsresultatsconsecutius.

DIFICULTAT:20

3.ELCAMPAMENT

Solució: 24 equips de 6 xiquets, 18 equips de 8, 12 equips de 12,9equipsde16,16equipsde9o8equipsde18.

Sidescomponemelnombre144 2 3 icalculemelsseusdivisors:

1 2 4 8 163 6 12 24 489 18 36 72 144

D’aquestsnomésensquedemambelsmajorsde5imenorsde20.

Aleshorespodemfer24equipsde6xiquets,18equipsde8,12equipsde12,9equipsde16,16equipsde9o8equipsde18.

DIFICULTAT:10

4.UNRECTANGLEDERAJOLES

Solució:1.080cm2.

Si observem la figura veiem que 3 vegades la base del rectanglecoincideixamb5vegadesl'alturadelrectangle.

3 5

Amésaméscomelperímetredelrectangleés48cm, lasumaentrelabaseil'alturaésiguala24cm.

24cm.

Pertant:

3 3 3 24 72cm.



Esdedueix: 5 3 72cm

8 72cm → 72/8 9cm

La 24 9 15cm.

Lasuperfícied'unarajolaés: 15 9 135cm

Lasuperfícietotalés8 135 1.080cm .

DIFICULTAT:20

5.CONSTRUINTUNTRAPEZI

Solució:70˚i110˚.

Elsanglesigualsd'undelstrianglesisòscelesmesuren:

180° 40° /2 70°

Elsangles i deltrapezimesuren:

B C 70° 40° 110°

Elsangles i deltrapezimesuren:

A D 70°

DIFICULTAT:10

6.UNATAULADIFERENTPERAUNRACÓ

Solució:5,55m.

Elstriangles i sónsemblantsaldisposardedosanglesiguals.

Eneltriangle ,tenimque 2m, 1m.Pertant:

→ 2 1 → 5 → √5m

Eneltriangle tenimque:

1 0,5 1,5m

perser elpuntmitjàdelsegment .

Enserelsdostrianglessemblants,tenimlasegüentrelació:

PQBM

QN

BA PQ

√5

1,52 PQ

1,5√52

0,75√5m

Percalcular ,tenimlasegüentrelació:



1

1,52

1,5 12

1,52

0,75m

Elperímetreéslasumadeleslongitudsdelscostats:

0,75 1 1,75m → 1m → 0,5 √5m

0,75 √5m

Perímetre:

1,75 1 0,5 √5 0,75 √5

2,75 1,25√5 ≅ 5,55m

DIFICULTAT:50

7.ELJARDÍ

Solució:No,necessitarà1.256,64,€aproximadament.

Calculem l’àrea de la figura, que es pot resumir en unasemicircumferènciaderadi4mtalcomensmostralafigurasegüent:

Semicircumferència. radi 2

162≅ 25,132736m

Comqueensdiuenencm2lasuperfíciequeabastaunaflor,hemdeferuncanvid’unitats:

25,132736m 251.327,36cm

Dividimper10,jaquesón10cm2elqueocupacadaflor:

251327,36 ∶ 10 25.132,736 i obtenim el nombre de plantes quenecessitarempercobrirtotalasuperfíciedeljardí.

Comcadascunad’ellescosta0,05€,elpreufinalserà:

25.132,736 0,05 1.256,64€

DIFICULTAT:10



8.CLASSIFICACIÓFUTBOLÍSTICA

Solució:

Punts PG PE PP

A 10 3 1 0

B 8 2 2 0

C 5 1 2 1

D 4 1 1 2

E 0 0 0 4

Percompletar lagraella,Aobté10puntsperhaverguanyat3partits inomésunempat(3·3+1·1).

Com que B ha obtingut 8 punts, l’única manera possible és haverguanyat2partitsiempatatelsmateixos.

Cté5puntsiperaaixòhahagutdeguanyarunpartit,empatar‐nedosiperdre’nunaltre,jaqueésl’únicaformadesumar5punts.

4puntsespodenobtenirguanyantunpartit,empatant‐neunaltre i laresta perdre’ls; o empatant‐ne els quatre, però comque ja sabemquen’haempatatun,l’opciócorrectaéslaprimera.

Per completar E, sabem que el nombre de victòries ha de ser igual alnombredederrotes.Comqueentreelsquatreprimersclassificatshanobtingut7victòries,had’havertambésetderrotes.Finsaraportemtresderrotes,pertant,l’equipEhaperduttotselspartitsiobtézeropunts.

Arahemdesaberquihaguanyatencadaundelspartits.SabemqueEhaperdut totselspartits,per tantelspartitsA‐E,B‐E,C‐E iD‐Ehansigutderrotesperal’equipE.

EnsfixemqueBiChanempatatduesvoltesiAiDnomésuna,pertantelpartitB‐Chaacabatenempat.

ComqueA iDhanempatatunavegada, i aB i C encara els quedaunempat(inopotserentreells),elpartitA‐DhaacabatenvictòriaperaA.

Arribats a aquest punt, a A li queda una victòria i un empat, a B elmateix,aCunempatiunaderrotaiaDelmateixqueaC.Elspartitsque



ensquedensónA‐B,A‐C,B‐DiC‐D.Comqueatotselsquedaunempat,tenimdosopcions:

1. A‐CiB‐Dempaten

2. A‐BiC‐Dempaten

Si es compleix1, aleshoreselpartitA‐Bacabariaenempat,però janopodenempatarmésperquèjahanempatattotselspartitsquepodien.

Pertant,A‐BiC‐DempateniensquedaunavictòriaperaAiperaBiuna derrota per a C i D, i ens queden els partits A‐C i B‐D, per tantaquestssdospartitssónguanyatsperAiperB.

Pertant,elspartitsqueden(ennegretaelguanyador):

A‐B,A‐C,A‐D,A‐E,B‐C,B‐D,B‐E,C‐D,C‐E,D‐E

DIFICULTAT:30

9.LAPLAÇAQUADRADA

Solució:Esreuneixenalacasad’Albert.

Per la informació que tenim del problema, la plaça és de la següentmanera, i les cases d’Albert, Borja, Carles i Diana són les que estanmarcades.

Elquehemdeferéscalcularladistànciadecadaunadelescasesalesaltrestres, iacontinuaciósumarlesdistànciesacadaunadelescases.PeraaixòaplicaremelteoremadePitàgores.

, 3 1 √10



, 5

, 2 3 √13

, 4 3 5

, 5 2 √29

, 2 2 √8

Per tant,peranara casad’Albert (casa2) la restad’amicsestanaunadistànciade√10 5 √13 11,77;peranaralacasadeBorja(casa5)hi ha una distància de √10 5 √29 13,55; per anar a la casa deCarles(casa11)hihaunadistànciade5 5 √8 12′83;iperanaracasadeDiana(casa14)hihaunadistànciade√13 √29 √8 11,82.Per tant, la casamés propera a les altres tres és la d’Albert i és on esreuniranelsamics.

DIFICULTAT:30

10.NOMBRESA‐ ‐OLATS

Solució:Elsnombresespodenformardelasegüentmanera:

1 √

2 √ √ 3 4 √

5 √ 6 7 √

8 √ 9 10 √

DIFICULTAT:20



11.RECTANGLES

Solució:Elperímetreés80cm.

Siplantegemelsistemad’equacionsamblescondicionsdelproblema:

2 34 5 176

2 5

L’última equació, resultat de comparar les àrees, equival a la primera.Lasoluciódelsistemaés 24, 16.Elperímetredelrectanglepetitserà,pertant,80cm.

Peraplantejarelproblemaenelprimerciclepodemesperarobtindreelresultatprovantambelspossiblesvalorsentersquepodentindre ienlacondició:2 3 .

D’aquestamanera,ahadesermúltiplede3:

Perímetregran

Perímetremenut

3 2 22

6 4 44

9 6 66

12 8 88

15 10 110

18 12 132

21 14 154

24 16 176 80

DIFICULTAT:20



12.LACOMARCASUPERPOBLADA

Solució:117.649habitants.

Elnombrequebusquemté6xifres,pertantésunnombredel’interval100.000 999.999.Amés,sabemque ésquadrat icubperfecte,pertant,podemcontinuarfitantdelasegüentmanera:

√100.000 √ √999.999 → 316,22 √ 999,99 → 317 √ 999

√100.000 √ √999.999 → 46,41 √ 99,99 → 47 √ 99

Per tant, l’arrel cúbica del nombre que busquem està entre 47 i 99.Aleshores, busquem nombres tals que, al fer el seu cub, la seua arrelquadrada siga exacta. Fent aquest procés per als nombre de 47 a 99,noméshiha tresnombresque compleixenaquestsdos criteris, elsqualssón:

Nombre Arrelquadrada Arrelcúbica

117.649 343 49

262.144 512 64

531.441 729 81

Finalment,calrestar6ibuscarquinnombreésprimer,pertant:

117.649–6=117.643,queésprimer.

262.144–6=262.138.Ésparellipertantnoésprimer.

531.441–6=531.435acabaen5.Pertantésmúltiple5inoésprimer.

NOTES:

1.Comprovarque117.643ésunnombreprimernoésunaqüestiótrivial.

2.Unprocedimentalternatiupera trobarels tresnombresés considerarquehandeserpotènciesd’exponent6.Lesúniquessisenespotènciesdesisxifressón73,83i93.

DIFICULTAT:50

13.ELPREUDELMOSAIC

Solució:Unarajolaval1,60€ielpreutotalés160€.

Lahipotenusadeltrianglenegreésigualalcostatd’undelsquadrats.

Pertant,pelteoremadePitàgores: √2 4 √20cm



Aleshores,l’àread’unquadratés:

A √20 √20 20cm

Arabé,aunarajolahiha8quadratsi,pertant,lazonaombrejadaaunarajolaés20 8 160cm .

Aleshoreselpreud’unarajolaés:

160 0,01 1,60€

Comnecessitem100rajoles,elpreutotalserà:

1,60 100 160€

DIFICULTAT:10

14.ELSLLUMINSTRIANGULABLES

Solució:Sí,formantuntetraedre.

DIFICULTAT:30

15.PARTIDADECARTES

Solució:guanyalaprimera,perdlasegona,guanyalaterceraiperdlaquartailacinquena.

Lasolucióvedonadaperlaseqüènciasegüent:

1–G 2–P 3–G 4–P 5–P

21 +1 ‐2 +4 ‐8 ‐16

22 20 24 16 0

Anotació: Per obtindré la solució també és possible fer un arbre desuccessos.

DIFICULTAT:20

16.LACLAVEGUERA

Solució:1,62litrespersegon.

Cadaforatdelaclavegueradeixaeixir1,38/23=0,06l/s.

Elsnousforatstindranlameitatdeldiàmetreipertantlameitatdelradiinicial.Sicalculeml’àreadelsnousforatsobtenim:



2 4 4

aleshoresunforatdelameitatdediàmetredeixaràeixir laquartapartdecabal.

Hem fet 16 nous forats que equivalen a 4 forats iguals als inicials. 23foratscircularsinicialsmés4nousdeixaraneixir27·0,06=1,62l/s.

DIFICULTAT:30

17.LAMAREIELSFILLS

Solució:elmésmenutté2anys.

Siconsideremquecada15mesosnaixunnougermà,delprimeralnovétranscorren15·8mesos=120mesos=10anys.

Arabé,siconsideremquel’edatdelmajoréssisvegadesladeljoveenstrobemque:

+10=6·

Elvalorquecompleixaixòésel2,queésl’edatdelmésmenut.

Anotació:Podemtambéutilitzarl’àlgebraperarribaralasolució.

Si suposemqueelmésmenutés aquell l’edatdel qual volemsaber,aleshoreseixaedatés“x”.

Elmésmenuttéxanys,elsegontindrà idesprèsafegirem

percadagermànascut.Aleshoresl’edatdelmajorseria:

81512

10

Donat que l’edat delmajor és sis vegades la delmenut, es tindrà laigualtatquedónaorigenal’equaciósegüent:

10 6

Quedónacomasolució 2

DIFICULTAT:20



SOLUCIONS

PROBLEMESDENIVELLB



PROBLEMESDENIVELLB(SEGONCICLEDESECUNDÀRIA)

1.PAPERHIGIÈNIC

Solució:40maproximadament.

Podem considerar que és una progressió aritmètica de 161 termes enqueladiferènciaés:

6 2160

4160

140

Tindremdoncs:

2 ∙ ∙ 2, 2 ∙ ∙ 2 160 ∙140

2 ∙ ∙ 6

Ilasumaserà:

4 12 1612

≅ 4.046cm ≅ 40m

DIFICULTAT:30

2.PRODUCTEDETRESNOMBRES

Solució:2.015o2.397.

Traslladant alssegonsmembreselsistemaesconverteixen

4913

⟶ 4913

Sumantirestantlesduesequacionstenim2 62 2 36 2 .

Ipertant 31i 18 .Comque hadeserprimer,lesúniquespossibilitatssón 5amb 13i 7amb 11.

Ielproducteserà31 13 5,ésadir2.015,o31 11 7,ésadir2.397.

DIFICULTAT:10

3.EXAMENDEMATEMÀTIQUES

Solució:Elnombremínimd’alumnespera2.016 taules és1.008. Iperanésn/2sinésmúltiplede2,i(n+1)/2sinésimparell.



Sinumeremlestaulesdesd’undelsextremsdela fila,elprofessorpotindicarquesolss’ocupenlestaulesambnúmeroimparell.Sielnombredetaulesésparell,podràarribaraocupar‐se’nexactamentlameitat.Sinésimparell,unamésqueperan–1,ésadir, 1 2 1 1 2⁄ .⁄

Perexemple:

X X X X X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X X X X X X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

DIFICULTAT:10

4.UNACURIOSACALCULADORA

Solució:36.

Ensdemanensumar i restarelsnombres27 i111 tantesvegadescomsiganecessari.Elresultatd’això,fentlesreordenacionsilesagrupacionsquecalga, seràunaexpressióde la forma 111 27,on i sónnombresenters.Examinantaquestaexpressió,caladonar‐sequetant27com 111 són múltiples de 3 (en efecte, 27 3 9, 111 3 37). Pertant, independentment de quins siguen els valors de i , el resultatsempreseràunmúltiplede3:

27 111 3 9 3 37 3 9 37

Comqueensdemanenqueelnombresigaelmésproperpossiblea35,isabemquehadeserunmúltiplede3,lapreguntaquecalfer‐searaés:“Podrem trobar uns i de forma que eixa expressió valga 36?”. Larespostaésquesí,iunprocedimentperaarribar‐hiéselsegüent:

Sia111lillevem27quatrevoltes,ensdóna3,jaque:

1 111 4 27 111 108 3

Siaraagafemaquestaexpressióilamultipliquemper12,arribema:

12 1 111 4 27 12 3 36

Però,perlapropietatdistributiva,

12 1 111 4 27 12 1 111 12 4 27 12 111 48 27



Per tant, si fem 12 i 48 (és a dir: sumem 12 voltes 111 i lillevem48voltes27),arribemalresultatquevolíem.

Tambéhopodemfersumant3voltes111irestant11vegades27.

DIFICULTAT:30

5.COMPTANTDIVISORS

Solució: . i . ,perexemple.

Primer que res, farem uns quants casos d’on deduirem una formad’arribaralasolucióanterior,quenoésúnica.

Observalasegüenttabla:

Nombre ExpressióNombrededivisors

Divisors

1 1 1 1

2 2 2 1,2

3 3 2 1,3

4 2 3 1,2,4

5 5 2 1,5

6 2 3 4 1,2,3,6

7 7 2 1,7

8 2 4 1,2,4,8

Fentunsquantscasos,ensadonemque2 té1divisor,2 enté2,2 enté 3, 2 en té 4. Si seguírem provant nombres, veuríem que 2 té 5divisors,2 enté6iaixísuccessivament.

Engeneral,2 té 1divisorssi ésunnombrenatural.Per tant, sivolem 2.016 divisors, basta considerar 2 . . Per tant, hem trobat unnombre parell amb 2.016 divisors. Si volem també un nombre senarpodem simplement raonar igual que abans amb potències de 3 encomptedepotènciesde2,ifàcilmentpodemdeduïrque3 . té2.016divisorsiéssenar.

DIFICULTAT:20



6.MESURANTUNANGLE

Solució:Elcostatdelquadratmesura√

, vegadeselradi.

Equivalentment, el radimesura √ , vegades el costat del

quadrat.

Peraferméscòmodeselscàlculs,anomenarem alamesuradelradi,i a lamesuradel costatdel quadrat. Primerque res, enspodemadonarqueelsegment ,marcatambunalíniadiscontinuaenlafigura,ésunradidelacircumferència.

Pertant,elquecompararemseràlamesurad’uncostatdelquadratamblamesurad’aquestsegment, .

Ara,raonarem: i tenenlamateixamesura.Pertant,eltriangledevèrtexs , , és isòsceles. Com que l’angle és recte, els angles

i sónelsdosde45°.

Pel que hem raonat, el triangle devèrtexs , , és exactament igual alstriangles de vèrtexs , , , de vèrtexs, , , de vèrtexs , , i de vèrtexs, , ,icomquesóniguals,tots5tenen

lamateixabaseilamateixaaltura.

També es dedueix d’aquest fet que elsegment passapelpuntmitjàde ,per i pel puntmitjà de , que hemanomenat , i per tant, és perpendicular al segment . Per tant, elspunts , , formen un triangle rectangle. La hipotenusa d’aquesttriangleés ,delongitud .Elcatetméspetités ,imesura .

Quant al catet més gran, , per la igualtat de triangles feta abans,

mesura 3 voltes la altura del triangle de vèrtexs , , , és a dir, .

AplicantelteoremadePitàgores,obtenim:

232 4

94

104

Fentl’arrelquadradadelresultatobtenimelquevolíem: √ .

DIFICULTAT:30



7.L’ORGANITZADORDEPERIÒDICS

Solució:25.201.

Lasolucióhadeserunaunitatmésqueunmúltiplede2quesigatambémúltiplede3,de4,de5,de6,de7,de8,de9ide10.Pertant,lasolucióha de ser també una unitat més que un múltiple del “mínim comúmúltiple”de2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9i10,queperaabreviaranomenarem“ ”.

Factoritzemaquestsnombres:

2 2,3 3,4 2 ,5 5,6 2 3,7 7,8 2 ,9 3 ,10 2 5

Recordemqueperacalcularelmínimcomúmúltipled’unsnombres,calagafartotselsfactorselevatsalmàximdelsexponents:

mcm 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 2 3 5 7 2.520

Pertant,sabemjaquebusquemunnombredelaforma 2.520 1,onésunnombreenter.

Amés,sabemquelasolucióhadeserunmúltipled’11;pertant,podemanarprovantvalorspera finsqueelresultatsigamúltipled’11,icomqueensdemanenelmenordetots,elprimerquetrobemseràlasolució.

Valorde Valorde Ésmúltiplede11?

1 2521 No

2 5041 No

3 7561 No

4 10081 No

5 12601 No

6 15121 No

7 17641 No

8 20161 No

9 22681 No

10 25201 Sí

Pertant,lasolucióés10 2520 1 25.201.

DIFICULTAT:30



8.JUGANTAMBTAULES

Solució:Enelprimercassíqueespotarribar.Enelsegon,no.

Peralprimercas,restant4i7voltesalasegonaitercerafila,irestant2voltesa lasegonacolumnairestant3a laterceracolumna,obtenimelresultatdesitjat.

Per al segon cas, notem que si sumem les xifres de la primera taulaobtenimunnombreparell,mentrequesiho fempera la segona taulaobtenimunnombresenar.Alsumarorestar,estemafeginto llevant4entotal,queésunnombreparell.Pertant,elsmovimentsnocanvienlaparitat,iésimpossiblepassarlasumadelsnombresdeparellsasenarsoviceversa.

DIFICULTAT:40

9.ELMÉSRICDELMÓN

Solució:Elnombremésgranquenoespotformarambmonedesde5i 7 és 23. El nombre a partir del qual tots els següents es podenformarés24.

Ésfàcilcomprovarqueelmajornombrequenoespotformarés23.

Peraveurequeapartirdel24totsespodenformar,notemque:

24 2 5 2 7

25 5 5

26 1 5 3 7

27 4 5 1 7

28 4 7

Apartird’ací,totselspodemformarafeginttants5comcalgaaaquestescombinacions.

DIFICULTAT:20



10.ELCAMÍMENYSCURT

Solució:Hiha25camins.

Elscaminssón:

121234, 121674, 123434, 123474, 123234, 123734, 125234, 125734,125674, 126234, 126574, 126734, 161234, 161674, 162374, 162574,162674, 165234, 165734, 165674, 167374, 167474, 167434, 167574,167674.

DIFICULTAT:40

11.VARIABLESENREVESSADES

Solució:Lasumaresulta297.

1 1 1

120

120

120

1 1 1 20 3 20 15 3 297

DIFICULTAT:30



12.QÜESTIÓDETRIANGLES

Solució:

Sitracemunacircumferènciaambcentreen ,passaràper , i .

Podemanardeduint: 40°peranglecentraldobledel 20°queésinscrit.L’angle 40°jaqueambl’anteriorhadesumar60°.

Els triangles i són iguals perquè tenen dos costats iguals il’angleentreells.

L’angle 30°perserinscritqueescorresponauncentralde60°.

Icomquel’angle hadeserigualal’angle ,valdràtambé30°.

DIFICULTAT:40

13.JUGANTAMBEQUACIONS

Solució:Elresultatdel’operacióés– .

Operem primer amb la primera equació. Hem de reduir la suma defraccionsacomúdenominador:

1 11

Pertant,comque dividitentre és1, seràiguala .

Ara, operem en la segona expressió. De nou, reduïm a comúdenominador:



Ara,comque ,tenimque

2

Substituïmiarribema:

2 22

DIFICULTAT:30

14.JOCDECARTES

Solució:Hiha2.016cartes.

Primerqueres,comptemquantsnombresdiferentsporhaver‐hienlescartes:sóntotselsnombresparellsentre238i362,ésadir63nombres(per tal de no comptar‐los un per un, basta amb fer l’operació de

comptatge intuïtiva: 1 63.Ladivisióentre2ésperquèsols

volem els parells, i l’acció de sumar‐li 1 és perquè els extrems estaninclososelsdos).

Pertant,hiha63cartesambun238.

Silesllevem,hiha62cartesambun240,jaquen’hemllevatunaabans.

Silesllevemtambé,quedaran61cartesambun242,jaquen’hemllevatduesabans.

Continuemraonantaixífinsquenoquedencartes,iapleguemalfinalaquequedasols1cartaambel362,jaquejan’hemllevattotalaresta.

Pertant,eltotaldecartesserà:

63 62 61 ⋯ 3 2 163 1 63

22.016

DIFICULTAT:40



QÜESTIONSD’UNMESTRE

PROBLEMESDEPROBABILITAT‐ENUNCIATS

LESFIGURESD’ESCACS

Tenim les figures dels escacs guardades en dues caixes, una per a lesfigures blanques i una altra per a les negres. Extraiem a l’atzar unafiguradecadacaixa.

Esdemanaobtindre:

a. Laprobabilitatquesigaunablancaiunanegra.

b. Probabilitatquesiguenlesduesnegres.

c. Probabilitatquelesduessiguencavalls.

d. Probabilitatquesiguendospeons.

e. Probabilitatquesiguendosreis.

f. Probabilitatquesigaunadamablancaiuncavallnegre.

g. Probabilitatquesigaunadamaiuncavall.



ELJOCDELESBOLES

Enunaurnahiha20bolesnumeradesdel’1al20.

a. Quinaés laprobabilitatque,al traureunabolaa l’atzar, tingaunnombreparellomúltiplede5?

b. Quinaés laprobabilitatque,al traureunabolaa l’atzar, tingaunnombreparellimúltiplede5?

ELSPROBLEMESIL’EXAMEN

D’unacol·leccióde25problemesdematemàtiques,Joanensapresoldre20. En l’examen corresponent es proposen 3 problemes d’aquestacol·leccióelegitsal’atzar.

CalculalaprobabilitatqueJoanelssàpigaresoldretots.

IMÉSBOLES...

Una urna conté 10 boles numerades de l’1 a 10. S’extrau una bola is’anotaelnombre,estornalabolaal’urnais’extraunovamentunabola.

Calcula:

a. Probabilitatquelesduesvegadesiscalabolanúmero7.

b. Probabilitatquelesduesvegadesisquennombresiguals.

c. Probabilitatqueelsegonnombresigadobledelprimer.

d. Probabilitatquelasumadelsdosnombressiga10.

e. Probabilitatqueelproductedelsdosnombressiga20.



PROBLEMESDEPROBABILITAT‐SOLUCIONS

LESFIGURESD’ESCACS

Solució:

a.Laprobabilitatquesigaunablancaiunanegra.

Suposem que la primera caixa és la caixa de les figures blanques, i lasegonaéslacaixadelesfiguresnegres.

PrimeracaixaP(blanca)=1

SegonacaixaP(negra)=1

Probabilitatcomposta:1 1 1 → Succéssegur.

b.Probabilitatquesiguenlesduesnegres.

PrimeracaixaP(negra)=0

Segonacaixap(negra)=1

Probabilitatcomposta:0 1 0 → Succésimpossible.

c.Probabilitatquelesduessiguencavalls.

P(cavall)=1/8(enqualsevolcaixa)

Probabilitatcomposta:1 8⁄ 1 8⁄ 1 64⁄

d.Probabilitatquesiguendospeons.

P(peó)=1/2(enqualsevolcaixa)

Probabilitatcomposta:1 2⁄ 1 2⁄ 1 4⁄

e.Probabilitatquesiguendosreis.

P(reiblanc)=1/16

P(reinegre)=1/16

P(dosreis)=1 16⁄ 1 16⁄ 1 256⁄

f.Probabilitatquesigaunadamablancaiuncavallnegre.

P(damablanca)=1/16

P(cavallnegre)=1/8

P(damablancaicavallnegre)=1/16·1/8=1/128



g.Probabilitatquesigaunadamaiuncavall.

P(damablancaicavallnegre)=1/128

P(damanegraicavallblanc)=1/128

Probabilitattotal:1/128+1/128=1/64

ELJOCDELESBOLES

Solució:a.Laprobabilitatdetraureunnombreparellounmúltiplede5ésdel60%.b.Laprobabilitatdetraureunnombreparell iunmúltiplede5ésdel10%.

a.P parell

P múltiplede5420

15

P parellimúltiplede512

15

110 probabilitatcomposta

P parellomúltiplede512

15

110

610

35

Recomptedirecte:

Parells: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20

Múltiplede5: 5,10,15,20

Parell∪Múltiplede5: 2,4,5,6,8,10,12,14, 15,16,18,20

RegladeLaplace:

P parell ∪ múltiplede51220

35

0,6

b.Peracalcularlaprobabilitatqueiscaunnombreparellimúltiplede5:

Recomptedirecte:

Parellimúltiplede5: 10,20

220

110

0,1



ELSPROBLEMESIL’EXAMEN

Solució: La probabilitat que Joan se sàpiga tots els problemes ésaproximadamentdel49,6%.

Elsconjuntsordenatsde3problemeselegitsentre25(casospossibles)són:20 19 18.Pertant:

20 19 1825 24 23

6.84013.800

57115

≅ 0,496

IMÉSBOLES...

Solució:

a.Laprobabilitatquelesduesvegadesiscalabolanúmero7.

7 1/10Probabilitatcomposta:1/10 1/10 1/100

b.Probabilitatquelesduesvegadesisquennombresiguals:

1,1 1/100; 2,2 1/100;…; 10,10 1/100

Probabilitattotal:10 1/100 1/10

c. Probabilitatqueelsegonnombresigadobledelprimer.

Elprimernombrehaserigualomenorque5.

1,2,3,4,5 1/2

Tretalaprimerabola,elsegonnombrehadeserundeterminat(eldobledelquehaeixitenprimerlloc).Laseuaprobabilitatés1/10.

Laprobabilitatcompostaés:1/2 1/10 1/20

d.Probabilitatquelasumadelsdosnombressiga10.

Elprimerpotserqualsevolexcepte10.El segonquedadeterminatpelprimer:

9 10⁄ ; 1 10⁄ ; 9 10⁄ 1 10⁄ 9 100⁄

e.Probabilitatqueelproductedelsdosnombressiga20.

4 100⁄ 1 25⁄



ELSENIGMES‐ENUNCIATS

L’ENIGMAPRIMER

Trobadosnombresquecomplisquenlessegüentscondicions:

Elseuproducteés256.

Laseuasumaés40.

Elsdosnombresestanentre5i50.

Ladiferènciaentreambdósésmúltiplede2.

ELSEGONENIGMA

Calcula i peraqueelnombre

escritenbase10sigadivisibleper33.



ELSENIGMES‐SOLUCIONS

L’ENIGMAPRIMER

Solució:Elsnombressónel8iel32.

Descomponentenfactorsprimers256 2 2 2 2 2 2 2 2.

Elsfactorselsproductesdelsqualsresulta256són:

2 1284 648 3216 16

Unade les condicions és que hand’estar entre 5 i 50. Per tant noméspodenserlesparelles:8 32i16 16.

Tambés’hadecomplirquesumen40 ique ladiferènciaentreambdóssigamúltiplede2.

Pertant,laparellasolucióés:8i32.

Unaaltraformad’arribaralasolucióseriaplantejantl’equaciódesegongrau: alquadrat,menyslasumadelsnombres(40)multiplicadaper ,méselproducted’ells (iguala256). Idonaria 8 i32directament,quecompleixlescondicionsdel’enunciat.

ELSEGONENIGMA

Solució:

Ladescomposiciófactorialde33és:33 11 3

Pertant,elnombrehadeserdivisiblealavegadaper11iper3.

Recordemel criteri dedivisibilitatper11:per tal queunnombre sigadivisible per 11 la diferència de la suma de les xifres que ocupen llocimparell amb la suma de les que ocupen lloc parell ha de ser zero ómúltipled’11.

a) 2 4 :múltipled’11.

Simplificant:

2 0 → 2

2 múltipled’11 → 2 11 → 2 11 → 13(absurd)

2 múltipled 11 → 2 múltipled 11 → 24, 35… .(absurd)



2 6 múltiplede3 → 2 8 múltiplede3 2 8 3 5/2(absurd)

2 8 6 → 1(absurd)

2 8 9 →

(absurd)

2 8 12 → 2(correcte)

2 8 15 →


2 8 21 → 7/2(absurd)


2 8 27 → 19/2(absurd)

2 8 30 → 11(absurd)

Pertantelsnombresseran:222.321,252.351,282.381.



ACTUALITZEUELSVOSTRESCORREUSELECTRÒNICS...!!!

ATENCIÓ,SOCIS!!

Per tal d’actualitzar la nostrabasededades, usdemanemqueensinformeudelespossiblesvariacionsenlesvostresdades, especialment en les vostres adreces de correuelectrònic.

És important tindre aquesta informació per a un millorfuncionament de la societat. És suficient que envieu uncorreuelectrònica:

[email protected].

Gràciesperlavostracol·laboració.

CONTACTEUAMBNOSALTRES...!!!

Si vols enviar‐nos solucions de problemes oberts, propostes deproblemesodetemes,comentarisisuggeriments,potsenviarunacartaal’adreça:

SEMCV"AL‐KHWARIZMI"PROBLEMAOBERTAPARTAT22.04546071VALÈNCIA

Tambépotsenviarunmissatgelacorreuelectrònic:

[email protected]

ESPEREMLESVOSTRESCOL·LABORACIONS!!!



Pensando en paralelo, Héctor Marcos Hernández, de l'IES Jaime II. Alacant.

1r Premi Apartat I - XIV Concurs

BASES

1. LaSocietat d’EducacióMatemàticade laComunitatValencianaAl‐Khwarizmi convocaelXVConcursdeFotografia“Matemàticaalavista”ambdosapartats:Apartat I:Poden participar totes les alumnes i tots els alumnes que cursen actualment

estudisdePrimària,Secundària,FPA,FP,CiclesformatiusiBatxillerat.ApartatII:Potparticiparqualsevolpersonanoinclosaenl’apartatanterior.

2. Les fotografies, originals, en color o en blanc i negre, en paper, tindran una grandàriad'almenys10 x15per a l’apartat I, i almenys18 x 24per a l’apartat II. Cada fotografia espresentarà muntada sobre cartolina amb un títol o peu de foto visible. El títol posarà demanifest lacondiciómatemàticadelconcurs.Cadasèrie—tresomésfotossobreunmateixtema—s’identificaràambtítolúnic,sibécadafotoportaràsubtítol.

3. Elterminidepresentaciódefotografies acabaràel dia 10/07/2016.Lesfotografies–muntadesiambeltítolvisible–nomostrarandadesdequiconcursa.Enunfolis'aportaranles dades personals i l'apartat (o apartats) a què es concursa. El nombre de fotos que potpresentarcadaparticipantés5,i2sèries.S'had'enviartambélesfotografiesenformatdigitalalcorreudereferència.

4. Elspremis,quecontemplaranlafotografiaielseupeudefoto,seran:ApartatI: 1r:150€ 2n:100€ 3r:75€ 4t:Trespremisigualsde30€ Millorsèrie:150€ApartatII:(Premiaunafotografiaounasèrie)1r:250€ 2n:150€

5. Les fotografies rebudes s'exposaran en la Facultat deMagisteride laUniversitatdeValènciadesdeldia26de setembre fins a la celebració de les XII Jornadesd'EducacióMatemàticadelaComunitatValenciana,elsdies 30 de setembre i 1 d'octubre del 2016. LaresoluciódelconcursespublicaràalwebdelaSEMCVla setmana següent.Posteriorment, les fotografiesdelconcurs, junt amb altres de concursos previs, podranexhibir‐seenalgunscentresquehosol·liciten.

6. La participació implica l’acceptació de les bases. Eljuratquedecidiràel concursestarà compostalmenyspertresmembresdelaSocietatorganitzadora.Laseuadecisióseràinapel·lable.

7. Tota fotografia premiada passarà a ser propietat de laSocietatatotselsefectes.LesfotografiesparticipantspodranaparèixerenlespublicacionsdelaSEMCV.

8. Perrealitzarelsenviaments:A/A.Concursdefotografia"Matemàticaalavista" CEFIREd'Alacant. C/Bahia,203008Alacant

9. Per a qualsevol consulta i per a enviar els arxius digitals de les fotos participants caldràdirigir‐sealcoordinadordelaSocietatperaaquestconcurs:SalvadorCaballeroRubio,e‐mail:[email protected]

XV CONCURS DE FOTOGRAFIA “MATEMÀTICA A LA VISTA”



Volsfer‐tesoci?Omplilasegüentbutlletad’inscripcióiensl’enviesalanostraseu.Animaalsteuscompanysoinscriualteucentrealanostrasocietat.

INSCRIPCIÓ I DOMICILIACIÓ BANCÀRIA

Cognoms:.......................................................................Nom:....................................DNI/NIF:......................................Domiciliparticular: Població:.............................................................................................C.P.:...............Carrer:.............................................................Telèfon:................................................Correu‐e:.....................................Centredetreball: Nom:..........................................................................................................................Carrer:.....................................................Població:..................................C.P.:............Telèfon:.............................................Correu‐e:...........................................................Entitatbancària(oneslliuraràelcobramentdequotes):Nom:..........................................................................................................................Carrer:.....................................................Població:..................................C.P.:...........CodiCompteClient: Entitat Oficina D.C. NºCompte||||||||||||||||||||||||

.............................................a............de........................................de2013. (signatura)Eltitulardelcompte:..........................................................................................................................................DNI:........................................................

SOCIETAT D’EDUCACIÓ MATEMÀTICA DE LA

COMUNITATVALENCIANA " "Al-Khwarizm i Facultat de Magisteri “Ausiàs March” Departament de Didàctica de la Matemàtica Apartat 22.045 46071VALÈNCIA

Esta revista es publica amb el suport de l’Acadèmia Valenciana de la Llengua

Trobaràs tota la informació en la nostra web.

Visiteu-la: www.semcv.org

Societat d'Educació Matemàtica de la

Comunitat Valenciana

"Al-Khwarizmi"

problemes olÍmpics - semcv€¦ · amb els trossos que obté, forma la següent figura: quina...

Documents