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PROBLEMI DI MASSIMO E DI MINIMO

a cura diDomenico LuminatiLara MonfrediniItalo TamaniniChiara Tomaselli

SoloCopertina 30-11-2006 11:06 Pagina 1

1QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA ■ Problemi di massimo e di minimo

INTRODUZIONE

Il materiale che qui proponiamo consente di or-ganizzare in una classe uno o più laboratori in-centrati sul tema dell’ottimizzazione di formegeometriche. Gli argomenti trattati riguardano lereti di lunghezza minima, il problema isoperime-trico e i fenomeni di riflessione di raggi luminosie di rimbalzo di corpi elastici. Le attività propo-ste comprendono esperimenti, costruzioni di fi-gure geometriche e simulazioni e animazioni in-terattive al computer, e sono accompagnate daapprofondimenti teorici e da spunti per ulterioriampliamenti.Il materiale per gli esperimenti è costituito da ap-parati per lo studio di forze in equilibrio, da la-strine per la realizzazione di lamine di sapone,da specchi piani e da biliardi ellittici, da serie dicilindri e di tessere con il disegno di particolarireti che si richiede di misurare e confrontare.Gli exhibit sperimentali sono accompagnati dapannelli con immagini esplicative ed evocative,da schede per gli studenti contenenti quesiti eproposte di attività (tre schede sulle reti minime,tre schede sulla proprietà isoperimetrica e dueschede sulla riflessione) e da questo quadernoper l’insegnante, contenente la descrizione detta-gliata delle attività proposte, le loro finalità, l’in-dicazione delle soluzioni e ulteriori commenti,approfondimenti ed esercizi.Questi laboratori nascono dalle attività che ilCentro matematita svolge da tempo per affianca-re l’insegnamento pre-universitario (http://mate-matita.it/progetti/laboratori.php) e sono stati inparte testati sia presso il Museo Tridentino di

Scienze Naturali, in occasione dell’allestimentodella mostra matetrentino, sia nell’ambito de Labottega del matematico, un evento organizzatodall’Intendenza Scolastica Provinciale di LinguaItaliana di Bolzano, che ogni anno coinvolge peruna settimana alcuni studenti delle scuole supe-riori.I laboratori sono stati progettati per essere svoltimediamente in 10-12 ore e, a diverso livello diapprofondimento, sono proponibili agli studentidi tutte le classi di una scuola superiore. Alla finedi questa introduzione si troveranno maggiori in-dicazioni su come organizzare le attività.

PERCHÉ I MASSIMI E I MINIMI?I concetti di massimo e di minimo occupano unposto centrale in matematica e in generale nellematerie scientifiche, come ad esempio in fisica,dove le configurazioni di equilibrio di un dato si-stema sono spesso descritte in termini di minimaenergia. Allo stesso modo, i problemi di ottimiz-zazione sono ampiamente diffusi nelle applica-zioni scientifiche e tecnologiche, ad esempio nel-la progettazione di particolari strutture che devo-no offrire la massima resistenza a determinatesollecitazioni.Naturalmente le conoscenze richieste per affron-tare tali questioni si collocano spesso ben oltre ilbagaglio che si può acquisire nel normale per-corso scolastico, tuttavia riteniamo che sia possi-bile e anzi doveroso avvicinare gli studenti a que-sti temi fin dai primi anni della scuola superiore(se non addirittura prima, e comunque senza

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2 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA ■ Problemi di massimo e di minimo

aspettare di aver introdotto i metodi dell’analisimatematica e il calcolo con le derivate), propo-nendo problemi ambientati in un contesto geome-trico tutto sommato familiare. Pensiamo che que-sta prassi debba essere incoraggiata, anche conl’obiettivo di rafforzare i legami fra geometria ecalcolo, due modi complementari di guardare aiproblemi, entrambi utili per la loro comprensionee risoluzione. Si potranno così consolidare con-cetti geometrici che non di rado restano evane-scenti o confusi, mettendo contemporaneamentea frutto le varie tecniche di calcolo acquisite.Non ultimo, il fatto che tali problematiche sianospesso strettamente collegate con la realtà fisicaoffre l’opportunità di far toccare con mano il pro-cesso di costruzione di un modello matematicoidoneo a descrivere il fenomeno osservato, attra-versando i passaggi cruciali di tale percorso, dal-la sperimentazione e analisi dei dati raccolti allasintesi dei risultati e alla loro conseguente verifi-ca.

I CONTENUTII temi che abbiamo scelto di proporre sono tre:le reti minime, il problema isoperimetrico e la ri-flessione dei raggi luminosi.Molto schematicamente, una rete non è altro cheun modo di collegare fra loro un certo numero dipunti, usando delle linee che si possono dirama-re anche da punti diversi da quelli fissati. Si trat-ta poi di determinare, fra tutti i possibili collega-menti, quello (o quelli) di lunghezza complessivaminore (rete minima). Nelle esperienze proposte

si potrà osservare il tipico fenomeno della for-mazione di angoli di 120° nei punti di dirama-zione delle reti minime, proprietà che potrà esse-re dimostrata nell’ambito del modello teorico.Il classico problema isoperimetrico chiede invecedi determinare, fra tutte le figure piane di peri-metro fissato, quella di area maggiore o, simme-tricamente, fra tutte le figure di area fissata, quel-la di perimetro minore. Tale problema può evi-dentemente essere riformulato anche per figuretridimensionali e in tutti i casi la forma migliore èla “più tonda” possibile – il cerchio nel piano ela sfera nello spazio. Affrontare questo proble-ma nella sua generalità è assai laborioso; seperò ci si restringe a particolari classi di figure,si riescono a proporre varie attività che permet-tono di studiarne alcuni aspetti e di comprender-ne le caratteristiche essenziali.Anche le leggi della riflessione e della rifrazionedella luce possono essere dedotte da un princi-pio di minimo tempo. Le esperienze e gli ap-profondimenti proposti intendono far emergerele caratteristiche geometriche delle traiettorie deiraggi luminosi, inquadrandole all’interno di unateoria generale. In questo laboratorio si avrà an-che modo di sperimentare la proprietà di rifles-sione dell’ellisse, ritrovandola poi (con quelladelle altre coniche) nel modello matematico.

GLI OBIETTIVI E I METODILe attività proposte mirano a costruire un venta-glio di esperienze relative ad alcuni temi signifi-cativi, che vengono dapprima esplorati da punti



di vista diversi e successivamente interpretati se-condo schemi unitari, per essere in seguito ap-profonditi sotto l’aspetto teorico. Si partirà dal-l’osservazione di particolari fenomeni per arri-vare alla loro modellizzazione, costruendo nelcorso delle attività nuovi concetti e recuperandole tecniche utili per la successiva trattazione.Semplici schemi geometrici saranno scelti perrappresentare le varie situazioni sperimentali e,fra le forme in gioco, si dovranno trovare le “mi-gliori”, quelle cioè che rispondono a determinaticriteri di ottimalità: ad esempio, le reti di lun-ghezza minima che collegano alcuni punti fissa-ti, le figure di pari perimetro e di area massima,e così via.Il materiale è organizzato in schede di laborato-rio pensate per piccoli gruppi di 4-5 ragazzi, inmodo da favorire un atteggiamento attivo diesplorazione e di riflessione sui problemi propo-sti, l’interscambio delle idee e delle scoperte e ladiscussione degli eventuali errori. Ogni scheda è sostanzialmente autosufficiente etutte sono raccolte e commentate in un’ampiapresentazione per l’insegnante, comprendentesoluzioni e spunti per ulteriori approfondimenti.Tutte le attività proposte comprendono una fasedi sperimentazione (osservazione e descrizionedi fenomeni) e una fase di riflessione e inquadra-mento teorico. Entrambe le fasi hanno a nostroavviso pari importanza e riteniamo fondamenta-le che gli studenti abbiano a disposizione il tem-po necessario alla loro completa attuazione.Sarà cura dell’insegnante, sulla base delle esi-

genze della classe, dei gruppi di lavoro o dei sin-goli studenti, selezionare all’interno di questaproposta le esperienze da svolgere effettivamen-te e valutare il tempo da dedicare a ciascuna diesse. Varie indicazioni a tale proposito si potran-no trovare nelle pagine dedicate alla presenta-zione dettagliata delle attività.

IL MATERIALE A DISPOSIZIONEIl kit che presentiamo con questo quaderno com-prende:

• una copia plastificata di tutte le schede di la-boratorio;

• tre pannelli con immagini relative ai tre temitrattati;

• un apparato con tre fili e tre masse per espe-rimenti sull’equilibrio di forze (vedi schedaA1);

• 5 serie di 3 lastrine, un anello metallico confilo, cannucce e recipienti in plastica peresperimenti con le lamine di sapone (vedischede A2, A3 e Complementi alla sezioneB);

• 5 serie di 13 tessere con il disegno di alcunereti che congiungono tre o quattro punti (ve-di schede A2 e A3);

• 5 serie di 2 rettangoli di plexiglas (vedi sche-da B1);

• 5 dispositivi per disegnare ellissi (vedi sche-da B2);

• 1 cinturino metallico e biglie di vetro perun’esperienza sulla proprietà isoperimetricadel cerchio (vedi scheda B2);



• 5 serie di 5 cilindri diversi aventi lo stessovolume (vedi scheda B3);

• un piccolo biliardo ellittico per esperienzesulla proprietà focale dell’ellisse (vedi sche-de C1 e C2);

• un dispositivo laser per esperimenti sulla ri-flessione in uno specchio piano (vedi schedaC1);

• calibri, righelli, goniometri e indicatori diangoli a 120°;

• un primo CD (CD1 - materiali) che a sua vol-ta comprende:– le schede di laboratorio ed altri materialida stampare e distribuire ai ragazzi;– le istruzioni d’uso per tutti gli apparati delkit;– l’elenco di tutto il materiale;

• un secondo CD (CD2 - animazioni) che asua volta comprende:– alcune animazioni interattive e filmati adintegrazione delle esperienze proposte.

ORGANIZZAZIONE E TEMPILe schede di laboratorio sono così organizzate:

A Reti minimeA1 Forze in equilibrioA2 Reti nel triangoloA3 Reti nel quadratoB Proprietà isoperimetricaB1 Perimetro e area dei rettangoliB2 Perimetro e area dei triangoli e dei po-

ligoniB3 Volume e area dei cilindri

C RiflessioneC1 Riflessioni e rimbalziC2 Percorsi minimi

Ogni insegnante può naturalmente ritagliare ilproprio percorso, a seconda dei propri interessi,della classe a cui lo presenta, del tempo che in-tende utilizzare. Diamo qui di seguito qualchesuggerimento.Le attività proposte nelle schede del gruppo A ri-guardano le reti di lunghezza minima che colle-gano alcuni punti assegnati nel piano. Suggeria-mo di dedicare due ore consecutive alla partesperimentale descritta nelle schede A1, A2, A3 ealtre due ore alla riflessione sull’attività svolta eall’approfondimento dei risultati ottenuti. Per otti-mizzare i tempi, suggeriamo di svolgere le atti-vità sperimentali, che comportano anche l’uso diacqua saponata, in un’aula di laboratorio, dovesarà stato preventivamente allestito il materiale.Le attività proposte nelle schede del gruppo B siriferiscono a problemi di massimo e di minimoriguardanti perimetro, area e volume di figuregeometriche nel piano e nello spazio. Sugge-riamo di suddividere le attività in due incontri in-dicativamente di due ore ciascuno e da svolgersiin una normale aula scolastica. Il primo incontrosarà dedicato al problema isoperimetrico nelpiano (schede B1 e B2, o anche una sola delledue), il secondo all’analogo problema nello spa-zio (scheda B3).Le attività proposte nelle schede del gruppo C ri-guardano l’interpretazione matematica di feno-



meni di riflessione di raggi luminosi e di rimbal-zo di corpi elastici. Suggeriamo di dedicareun’ora alla fase sperimentale (delineata nellascheda C1), da svolgersi in un’aula normale o,anche per ottimizzare i tempi, in un’aula di la-boratorio. Un’altra ora, o forse due, sarà succes-sivamente dedicata all’inquadramento teorico,seguendo le linee esposte nella scheda C2.Questa proposta di organizzazione temporaledelle attività è puramente indicativa e, come pre-cedentemente sottolineato, dovrà essere adegua-tamente calibrata dall’insegnante, utilizzando al-lo scopo anche i suggerimenti proposti nel segui-to.Il materiale, sicuramente adatto per un trienniodi scuola secondaria superiore, è stato organiz-zato cercando, per quanto possibile, di renderloutilizzabile anche nel biennio, proponendo unavarietà di argomentazioni fondate su tecniche di-mostrative diverse e adeguate al livello delle co-noscenze delle varie classi.Per finire, vi invitiamo a utilizzare il forum a que-so indirizzo http://www.matematita.it/forum persegnalare tutte le osservazioni e i commenti che siritengono necessari. Il forum potrà essere un utilestrumento di confronto tra gli utilizzatori di questokit.



RETI MINIME

DESCRIZIONE SOMMARIALe attività proposte in questo gruppo di schederiguardano le reti di lunghezza minima che col-legano alcuni punti assegnati nel piano.

Molto schematicamente, una rete non è altro cheun modo di collegare fra loro un certo numero dipunti, usando delle linee che si possono dirama-re anche da punti diversi da quelli fissati. Il pro-blema consiste quindi nel determinare, fra tutti ipossibili collegamenti, quello (o quelli) di lun-ghezza complessiva minore (rete minima).

Si può immaginare, ad esempio, di dover pro-gettare un sistema di strade (o di tubazioni, o dicavi elettrici, ecc…) che collega un certo numerodi città in modo che, partendo da una qualsiasi,si possa raggiungere ogni altra città, e di volerlofare risparmiando sul costo totale, costo che sisuppone proporzionale alla lunghezza dell’inte-ro percorso.

È evidente che la linea più breve che collega duepunti è il segmento, come è evidente che ogni re-te minima è costituita da tratti rettilinei. Non ètuttavia altrettanto semplice intuire quale sia larete di lunghezza minima che collega tre o quat-tro punti, anche se sono situati nei vertici di untriangolo equilatero o di un quadrato; men chemeno quando i punti fissati sono più numerosi ela loro disposizione è meno regolare. Gli esperi-menti proposti intendono far emergere le pro-prietà geometriche fondamentali delle soluzioni

di questo problema. Di tali proprietà si fornisco-no inoltre le dimostrazioni, usando soltanto i nor-mali strumenti della matematica in possesso de-gli studenti di scuola superiore.

Suggeriamo di suddividere in due fasi l’attivitàcomplessiva. La prima fase, puramente speri-mentale, potrebbe essere svolta indicativamentein due ore consecutive; per ottimizzare i tempi ededicare le intere due ore allo svolgimento degliesperimenti, suggeriamo di svolgere questa par-te delle attività in un’aula di laboratorio, dovesarà stato preventivamente allestito il materiale.Le esperienze proposte in questa prima fase, de-scritte nelle tre schede A1, A2, A3, riguardano:

• un problema di equilibrio di tre forze;• le configurazioni di equilibrio stabile di par-

ticolari lamine di sapone;• il confronto diretto della lunghezza di alcu-

ne reti.Riteniamo opportuno che queste due ore inizialisiano dedicate esclusivamente all’osservazione ealla descrizione dei fenomeni e non al loro in-quadramento teorico.Altre due ore o più, in aula, saranno successiva-mente dedicate alla riflessione sull’attività svolta eall’approfondimento dei risultati ottenuti, con l’o-biettivo di interpretare i fenomeni osservati in ter-mini di reti minime e di costruire su questa baseun modello teorico unitario. Le linee guida di que-sta rielaborazione particolarmente importante so-no esposte nella sezione Inquadramento teo-rico e approfondimenti. Altri problemi, rac-

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ghezza che si diramano dal centro del triangolo.

2. Come si disporranno le cordicelle se i forisono scelti in modo diverso? Per ciascuna delle situazioni che ti vengonoproposte, rappresenta la tua congettura nel-la figura di sinistra, esegui l’esperimento eriporta nella figura di destra la configura-zione assunta dalle cordicelle.a.


Gli studenti, eventualmente indirizzati dall’inse-gnante, dovrebbero osservare che i fori sono neivertici di un triangolo equilatero e che le masseutilizzate sono uguali. La simmetria del sistemadovrebbe quindi suggerire la risposta corretta:data per buona l’unicità della soluzione, questasarà caratterizzata dal maggior numero di assidi simmetria. Infatti, se una soluzione non avessetutta la simmetria del triangolo equilatero, se nepotrebbero facilmente trovare delle altre.

Dopo aver eseguito l’esperimento, riportanello schema qui sotto la configurazioneche hai osservato. Quali caratteristiche geometriche presenta?

Gli studenti dovrebbero osservare che le cordicelleformano angoli uguali (e verificarlo con gli appo-siti indicatori) e che la configurazione presenta treassi di simmetria. Potranno inoltre osservare che larete è composta da tre segmenti di uguale lun-

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DESCRIZIONE SOMMARIALe attività proposte in questo gruppo di schede siriferiscono a problemi di massimo e di minimoriguardanti perimetro, area e volume di figuregeometriche nel piano e nello spazio.

Un classico problema in quest’ambito è il cosid-detto problema isoperimetrico:

• fra tutte le figure piane di perimetro fissato,quale ha l’area maggiore?

• fra tutti i solidi aventi la stessa area esterna,quale ha il volume maggiore?

In entrambi i casi la forma migliore è “la più ton-da possibile” – il cerchio nel piano e la sfera nel-lo spazio – come è forse naturale rispondere sul-la base dell’intuizione e dell’esperienza quoti-diana (se si riempie o si gonfia un sacchetto, que-sto tende ad arrotondarsi). Tuttavia è assai labo-rioso affrontare la questione, nella sua genera-lità, dal punto di vista matematico. Se però ci sirestringe a particolari classi di figure, il proble-ma diventa più accessibile e si può affrontare an-che con le tecniche normalmente acquisite nellascuola superiore. Si possono così proporre atti-vità varie e interessanti, che permettono di stu-diarne alcuni aspetti e di coglierne le caratteristi-che essenziali.

Assieme al problema isoperimetrico, si studieràanche il suo problema duale:

• a parità di area, quale figura piana ha peri-metro minimo?

• a parità di volume, quale solido ha la mini-ma area esterna?

Ci si potrà rendere conto che le soluzioni dei dueproblemi sono le stesse e si cercherà di illustrar-ne i motivi.

Suggeriamo di suddividere l’attività complessivain due parti, che possono essere svolte in unanormale aula, indicativamente in due ore ciascu-na. Nella prima verranno proposte esperienzenell’ambito della geometria piana, relative alproblema isoperimetrico nella classe dei rettan-goli, dei triangoli e dei poligoni (schede B1 e B2).A seconda del livello della classe e del tempo adisposizione, questa prima parte delle attivitàpotrebbe anche limitarsi allo svolgimento dellascheda B1 (relativa ai rettangoli) e del quesito 6della scheda B2 (che riguarda la proprietà iso-perimetrica del cerchio) oppure, in alternativa,alla sola scheda B2 (relativa ai triangoli, ai poli-goni e al cerchio).La seconda parte riguarderà il problema dualenell’ambito dei cilindri; se il tempo impiegato pertale esperienza fosse inferiore alle due ore, sisuggerisce di arricchire l’attività con un ap-profondimento sul chilogrammo campione, conl’animazione Verso la sfera contenuta nel CD2,oppure con esperimenti sulle bolle di sapone (il-lustrati nei Complementi). Si potrà anche in-trodurre la questione della dualità, raccontandol’equivalenza fra il problema isoperimetrico e ilproblema duale.

PROPRIETÀ ISOPERIMETRICA

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qual è quella di perimetro minore?Motiva le risposte.

La risposta corretta – il cerchio – dovrebbe esse-re facilmente intuita. Utilizzando il cinturino e lebiglie a disposizione, l’insegnante mostra allaclasse che la forma isoperimetrica di area massi-ma è circolare: tale forma consente di far stare ilmaggior numero di palline dentro il cinturinoflessibile di lunghezza fissata.A volte la cinta muraria delle antiche città – adesempio Monteriggioni – ha una forma approssi-mativamente circolare, come dovrebbe teorica-mente essere al fine di racchiudere il massimospazio per lo sviluppo urbano nel modo megliodifendibile, ossia rendendo minima la parteesposta a possibili aggressioni esterne.

A conclusione di questa parte, l’insegnante puòmostrare le animazioni Verso i poligoni regolari eArrotondando… (contenute nel CD2-materiali) edeventualmente illustrare la dualità fra il problemaa perimetro fissato e quello ad area fissata. B3 AREA E VOLUME DEI CILINDRI

Ogni gruppo ha a disposizione una serie di 5 ci-lindri diversi, ma tutti (approssimativamente) del-lo stesso volume, e degli strumenti per misurarli(calibri), che vengono subito distribuiti agli stu-denti.

1. Misura le dimensioni dei cilindri con glistrumenti a disposizione e compila la se-guente tabella (ti consigliamo di esprimere ivalori di area e volume nella forma xπ ):

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RIFLESSIONE

DESCRIZIONE SOMMARIAL’attività proposta in questo gruppo di schede ri-guarda l’interpretazione matematica di fenome-ni di riflessione di raggi luminosi e di rimbalzo dicorpi elastici.

È ben noto che molte leggi della Fisica possonoessere dedotte da opportuni “principi di minimo”(minima energia, minima azione,…). Questo èvero anche per le fondamentali leggi dell’otticageometrica, che si possono far discendere dalprincipio di Fermat (XVII secolo), secondo il qua-le i raggi luminosi percorrono cammini di tempominimo. In verità, si attribuisce già ad Erone (Isec. d.C.) la prima interpretazione del fenomenodella riflessione in termini di cammini di minimalunghezza.

Gli esperimenti proposti nella prima scheda in-tendono far emergere sia le proprietà geometri-che fondamentali dei raggi riflessi e delle traiet-torie negli urti elastici (uguaglianza degli angolidi incidenza e di riflessione), sia la proprietà fo-cale dell’ellisse. I fenomeni osservati saranno suc-cessivamente inquadrati in un modello fisico-ma-tematico, all’interno del quale tali proprietà sa-ranno effettivamente dedotte in maniera elemen-tare. Per questo sarà d’aiuto la traccia espostanella seconda scheda.

Di conseguenza suggeriamo di suddividere in duefasi l’attività complessiva. La prima fase, pura-mente sperimentale, potrebbe essere svolta indi-

cativamente in un’ora. Le esperienze qui propostesono descritte nella scheda C1 e riguardano:

• i rimbalzi in un biliardo ellittico;• la riflessione di raggi luminosi in uno spec-

chio piano.Riteniamo opportuno che questa prima ora siadedicata esclusivamente all’osservazione e alladescrizione dei fenomeni e non al loro inquadra-mento teorico.Un’altra ora, o forse due, sarà successivamentededicata a ripensare l’attività sperimentale, conl’obiettivo di interpretare i fenomeni osservati intermini di cammini di lunghezza minima. Questarielaborazione particolarmente importante potràessere svolta seguendo le linee esposte nellascheda C2. Ulteriori approfondimenti, fra i qualicompare la trattazione del fenomeno della rifra-zione, e nuovi problemi sono raccolti nella sezio-ne Complementi e potranno eventualmenteessere affrontati in questa seconda fase, avendotempo da dedicarvi.

MATERIALE A DISPOSIZIONE• un piccolo biliardo ellittico, palline e birilli;• un apparato per esperimenti sulla riflessione

in uno specchio piano; e inoltre:

• schede per gli studenti;• goniometri.

QUADRO TEORICOUn raggio luminoso che si riflette in uno specchiopiano forma un angolo di incidenza uguale al-

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Gli studenti probabilmente già conoscono la leg-ge di riflessione e dovrebbero comunque osser-vare, aiutandosi anche con il goniometro a di-sposizione, che gli angoli di incidenza e di rifles-sione (misurati rispetto alla normale) sono ugua-li. Naturalmente i disegni potranno risultare im-precisi, in quanto può non essere subito chiarodove collocare il punto di riflessione. Questo èoggetto della prossima esperienza.

Nella situazione riportata in figura, saprestitracciare con precisione la traiettoria delraggio luminoso che colpisce il bersaglio?

Come hai fatto per individuare il punto diriflessione? Motiva la tua risposta.

Per determinare il punto di riflessione, basta ri-flettere il punto che indica il bersaglio nella rettacorrispondente allo specchio e quindi congiun-gere il laser con il bersaglio riflesso. Il punto cer-cato è proprio l’intersezione di questo segmentocon lo specchio. Se si guarda nello specchiomentre si orienta il raggio, si vede che il raggio

riflesso colpisce il bersaglio esattamente quandola sua immagine nello specchio (che prolunga inlinea retta il tratto iniziale del raggio) colpiscel’immagine del bersaglio. Suggeriamo all’inse-gnante di far eseguire questa semplice esperien-za, che contiene in sé l’idea della costruzionegeometrica la quale, come si vedrà, è anche allabase della dimostrazione di Erone.

Conclusa la prima fase dedicata alla sperimen-tazione, si passa alla costruzione di un quadroteorico per la descrizione dei fenomeni osserva-ti. A tal fine l’insegnante potrà avvalersi delle im-magini del pannello Riflettendo e della tracciadelineata nella prossima scheda. È opportunoche le risposte ai quesiti proposti, benché rivoltial singolo studente, nascano da una discussionecomune, mediata ed indirizzata dall’interventodel docente. È anche opportuno che la nuovascheda C2 sia consegnata solo ora, all’inizio del-la nuova attività, dato che alcune figure potreb-bero suggerire le risposte ai quesiti della schedaC1.

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