procesamiento de imágenes visión de un daltonico

8/19/2019 Procesamiento de Imágenes Visión de un daltonico

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Procesamiento de

Imágenes

Guido E. Ochoa Moreno

Revisión 8

1997 - 2015

Procesamiento de Imágenes Guido Ochoa Moreno Página1


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Copyright © 2015, Guido Eduardo Ochoa Moreno.

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publicada por la Free Software Foundation.

Hay una fuerza motriz más poderosa que el

vapor, la electricidad y la energía atómica:

la voluntad.

Albert Einstein

Biografía

Guido Eduardo Ochoa Moreno es ingeniero Electrónico y Master en Ciencias

Mención en Ingeniería Electrónica de la Escuela Politécnica del Ejército, ingeniero

Industrial de la Escuela Politécnica Nacional y máster en Alta Gerencia en el IAEN.

Profesor a tiempo parcial de la Universidad Católica del Ecuador de la Facultad de

Ingeniería en la Escuela de Sistemas. Especialista en el desarrollo de grandes sistemas

de información. Las áreas de interés e investigación son el reconocimiento de

patrones, procesamiento de señales, procesamiento de imágenes, sistemas expertos,

algoritmos genéticos, redes neuronales, telemática, y herramientas matemáticascomo la transformada de Fourier y Wavelets. Consultor internacional en Sistemas de

Información y desarrollo de sistemas basados en herramientas de software libre GNU

como Linux, postgreSQL, groovy, grails, java y python.



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Índice de contenidoIntroducción...............................................................5

Procesamiento de Imágenes...................................... .5

Repaso de Matemáticas.............................................6

2.1 Funciones Pares e Impares....................................7

2.2 Funciones periódicas.............................................82.3 Series de Fourier.................................................1

2.! Serie "omp#e$a de Fourier........................... .......1!

2.!.1 Práctica de %cta&e.......................................1!

2.5 'a (rans)ormada de Fourier...............................15

2.6 'a trans)ormada de Fourier *iscreta..................17

2.7 Secuencias...........................................................18

2.7.1 %peraciones con Secuencias........................1+

2.7.2 'a "on&o#ución...........................................2

2.7.3 Rango de #a "on&o#ución.......................... ...21

2.7.! Fi#trado mediante #a "on&o#ución................22

2.8 Pro,#emas...........................................................23

Introducción a Imágenes..........................................263.1 -#ementos de percepción &isua#..........................27

3.2 Mode#o simp#e de una imagen.............................27

3.3 *igita#iación de imágenes /Muestreo 0 "uantia

ción..........................................................................2+

3.3.1 Reso#ución de una imagen...........................31

3.3.2 "uantiación no uni)orme...........................31

3.!. Re#aciones ,ásicas entre pie#es........................ .31

3.!.1 4ecindad de un pe#...................................31

3.!.2 "onecti&idad................................................32

3.!.3 Medida de distancia.....................................32

3.!.! %peraciones ritmticas 0 'ógicas.............33

3.!.!.1 %peraciones ritmticas......................3!

3.!.!.2 %peraciones 'ógicas............................3!3.!.!.3 Reconocimiento simp#e con * 0

9%R.................................................................35

3.5 :eometra de imágenes.......................................36

3.5.1 (ras#ación o *esp#aamiento..................... ..37

3.5.2 -sca#amiento...............................................38

3.5.3 Rotación......................................................3+

3.6 Funciones so,re imágenes...................................!1

3.6.1 ;so de #as )unciones de imágenes para istograma.....................55

!.2.7 Me$oramiento 'oca#....................................56

!.2.8 Me$oramiento por Sustracción de imágenes 56

!.2.+ Me$oramiento por e# Promedio de imágenes

.............................................................................57

!.3 Fi#trado -spectra#................................................57

!.! Fi#trado -spacia#.................................................6

!.!.1 Mascari##a de #os ?#tros Pasa @a$os o Fi#tro

Sua&iante.............................................................61

!.!.2 Fi#tros pasa a#tas o Fi#tro Rea#antes............61

!.!.3 Fi#tros de n)asis en )recuencias a#tas >igSI.................................................7

5.2 "on&ersión de mode#os de co#or..........................7

5.2.1 *e R:@ a "MA..........................................715.2.2 *e "MA a R:@..........................................71

5.2.3 *e R:@ a AIB............................................71

5.2.3 *e AIB a R:@............................................72

5.2.! *e R:@ a >SI.............................................72

5.2.5 *e >SI a R:@.............................................72

5.3 p#icaciones de co#or..........................................73

5.! Pseudoco#or.........................................................76

5.! Pro,#emas...........................................................78

Restauración de Imágenes........................................81

6.1 ;so de Fi#tros espacia#es.................................. ...83

6.2 Fi#tro de mediana................................................8!

6.3 -sca#amiento de Imágenes..................................8!

6.3.1 -sca#amiento de Imágenes en genera#..........866.! Fi#trado en e# *ominio de #a Frecuencia.............88

6.5 Pro,#emas...........................................................8+

"ompresión de Imágenes........................................ .+

7.1 "ompresión en Imágenes de F9.......................+2

7.2 "ompresión sin prdidas.....................................+!

7.2.1 "odi?cación de >uCman........................... ..+!

7.3 Pro,#emas...........................................................+7

Reconocimiento de Imágenes..................................+8

8.1 (ecno#ogas Re#acionadas...................................++

8.2 Reconocimiento de "aracteres............................++

8.2.1 ;n %"R en imágenes simp#es 0 per)ectas. 1

8.2.2 %"R en imágenes digita#iadas.................118.2.3 Reconocedor estadstico............................11

8.3 %"R so,re imágenes de )a o caracteres impresos

................................................................................12

8.3.1 ;so de detectores de ,ordes......................12

8.! Reconocimiento de Sm,o#os 0 caracteres manus

critos.......................................................................13

8.!.1 Mtodo de si#ueta......................................1!

8.!.2 Mtodo de de?ciencias de con&eidad..... ..15

8.!.3......................................Mascari##a de &ectores

...........................................................................16

8.5.....................................................Redes eurona#es

................................................................................17

8.5.1....Redes tipo Retropropagación /@acDpropaga

tion para e# reconocimiento de dgitos.............. .17



4/115

8.6........................................;so de m=#tip#es mtodos

................................................................................18

8.7 (cnicas para e# mane$o de #as in&arianas.......1+

8.7.1 In&ariana a# desp#aamiento.....................1+

8.7.2 In&ariana a #a rotación..............................11

8.7.3 In&ariana a #a rotación 0 #a esca#a.............11

8.8 Pro,#emas.........................................................111

Internet..................................................................113

%peraciones ,ásicas de matricesE.......................... .11!

*-@-R..................................................................115

Bandas del espectro electromagnético

Banda Longitud de onda (m) Frecuencia (Hz) Energía (J)

Rayos gamma < 10x10−12m > 30,0x1018Hz > 20x10−15 J

Rayos X < 10x10−9m > 30,0x1015Hz > 20x10−18 J

Ultravioleta extremo (EU) < 200x10−9m > 1,5x1015Hz > 993x10−21 J

Ultravioleta cercano (!U) < 380x10−9m > 7,89x1014Hz > 523x10−21 J

Luz isi"le < 780x10−9m > 384x1012Hz > 255x10−21 J

#n$rarro%o cercano (!#R) < 2,5x10−6m > 120x1012Hz > 79x10−21 J

#n$rarro%o medio (F#R) < 50x10−6m > 6,00x1012Hz > 4x10−21 J

#n$rarro%o le%ano&su"milim'trico (F#F) < 1x10−3m > 300x109Hz > 200x10−24 J

icroondas (HF * EHF) < 10−2m > 3x108Hz 1 > 2x10−24 J

Ultra +lta Frecuencia , Radio (UHF) < 1 m > 300x106Hz > 19,8x10−26 J

uy +lta Frecuencia , Radio (HF) < 10 m > 30x106Hz > 19,8x10−28 J

-nda .orta , Radio (HF) < 180 m > 1,7x106Hz > 11,22x10−28 J

-nda edia , Radio (F) < 650 m > 650x103Hz > 42,9x10−29 J

-nda Larga , Radio (LF) < 10x103m > 30x103Hz > 19,8x10−30 J

uy Ba%a Frecuencia , Radio (LF) > 10x103m < 30 kx103Hz < 19,8x10−30 J



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CAPITULO 1

Introducción

Procesamiento de Imágenes

El /rocesamiento de im0genes es un con%unto de t'cnicas con el o"%etivo de me%orar laa/ariencia visual de las im0genes /ara un o"servador 1umano2 incluyendo su im/resi3n2transmisi3n y /re/araci3n /ara la medici3n de las características y estructuras 4ue /resentanlas mismas5 El /rocesamiento de im0genes es una tecnología /r0ctica /ara6

• .lasi$icaci3n• Extracci3n de características• Reconocimiento de /atrones• 7royecci3n• +n0lisis de se8ales multiescala5

El /rocesamiento de im0genes com/rende actividades como editar una imagen2 restaurarla2modi$icarla2 1acer reconocimiento o el 9entendimiento: de la imagen2 es decir2 determinar susigni$icado2 o extraer la in$ormaci3n contenida en la misma5

Una imagen /uede ser considerada como un arreglo "idimensional de /untos2 los mismos 4ue /oseen una determinada coloraci3n y en con%unto muestran lo 4ue en ella se ve5 .ada uno delos /untos 4ue com/onen la imagen se denomina /ixeles y adem0s de su coloraci3n un /ixelest0 identi$icado /or su /osici3n dentro de la imagen5

;eneralmente se tiende a con$undir una imagen con un gr0$ico logrado a /artir dedeterminadas dimensiones y $ormas5 La imagen se di$erencia de un gr0$ico /or4ue este A m5



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CAPITULO 2

Repaso de Mate!ticas

Fourier2 Jean Ba/tiste Jose/1(+uxerre2 Francia2 =CD*7arís2 =@>) #ngeniero y matem0tico $ranc's5

Era 1i%o de un sastre2 y $ue educado /or los "enedictinos5 Los /uestos en el cuer/o cientí$icodel e%'rcito esta"an reservados /ara $amilias de estatus reconocido2 así 4ue ace/t3 una c0tedramilitar de matem0ticas5 uvo un /a/el destacado durante la revoluci3n en su /ro/io distrito2 y$ue recom/ensado con una candidatura /ara una c0tedra en la Gcole 7olytec1ni4ue5 Fourier acom/a83 a !a/ole3n en su ex/edici3n oriental de =C?2 y $ue nom"rado go"ernador delBa%o Egi/to5 +islado de Francia /or la $lota "rit0nica2 organiz3 los talleres con los 4ue ele%'rcito $ranc's de"ía contar /ara sus suministros de munici3n5 am"i'n a/ort3 numerosos

escritos so"re matem0ticas al #nstituto Egi/cio 4ue !a/ole3n $und3 en El .airo5 ras lasvictorias "rit0nicas y la ca/itulaci3n de los $ranceses al mando del general enou en =>=2Fourier volvi3 a Francia donde $ue nom"rado /re$ecto del de/artamento de #sre2 y em/ez3sus ex/erimentos so"re la /ro/agaci3n del calor5 e traslad3 a 7arís en ==D2 y en =

/u"lic3 Teoría ana"ítica de" ca"or2 "as0ndose en /arte en la ley del en$riamiento de !eIton5+ /artir de esta teoría desarroll3 la denominada serie de FourierK2 de nota"le im/ortancia enel /osterior desarrollo del an0lisis matem0tico2 y con interesantes a/licaciones a la resoluci3nde numerosos /ro"lemas de $ísica (m0s tarde2 #iric$"et consigui3 una demostraci3n rigurosade diversos teoremas 4ue Fourier de%3 /lanteados)5 e%3 inaca"ado su tra"a%o so"reresoluci3n de ecuaciones2 4ue se /u"lic3 en =@= y 4ue contenía una demostraci3n de suteorema so"re el c0lculo de las raíces de una ecuaci3n alge"raica5 (iccionario de Biogra$ías2

-c'ano)



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2.1 Funciones Pares e Impares

Las $unciones /ares son a4uellas en las 4ue se da la igualdad6 f(x) = f (-x)5 Una $unci3n esim/ar si se cum/le 4ue f(x) = -f (-x)5

El e%em/lo siguiente muestra una $unci3n /ar2 o"serve 4ue6 f (Xa) = f (-Xa) (1)

7ara demostrar la /aridad de una $unci3n (si es /ar o im/ar) es necesario 1acerlo en todo eldominio de la $unci3n y no solamente /ara determinados valores5 El e%em/lo m0s com


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de x > 0 o la secci3n x < 05

2.2 Funciones periódicas

Una $unci3n es /eri3dica con un /eríodo T si /ara todo %2 f(x + T) = f(x)2 donde T es elmenor valor constante /ositivo di$erente de cero5

&'ep"os(

• La $unci3n sen (x) es re/etitiva cada 2 π, 4 π,....etc5 u /eríodo es 2π /or ser el valor mínimo5

• Las $unciones sen(nx) o cos(nx)2 con n entero /ositivo2 tienen un /eríodo de 2 π /n• La $unci3n f(x) tal como se de$ine a continuaci3n6

f ( x) = {sen( x ), −π /2


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f(x) = {|x|, 0 < x < 1; T = 2.

f(x) = {| x + 1 |, - 1 < x < 1; T = 2.

#eostración de funciones pares e ipares

emostrar si la siguiente $unci3n es /ar2 im/ar o ninguna de las anteriores5

f ( x) = {sen( x ), 0


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f (x) = sen(-x)

f (-x) = sen(-x)

o! "o tanto "a f#nc$%n es &a! f(x)= f (-x)2 y se concluye con la demostraci3n5

,i $u-iese sido necesario e" c!"cu"o de -f(-x). este sería(

f (− x ) = {−sen( x ) , 0


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La serie de Fourier est0 de$inida como6

erie de F-UR#ER6

f ( x)= a

0

2+

∑n=1∞

an

cos

(n π x

L

) + b

n

sen

(n π x

L

)(@)

an= 1

L ∫

− L

L

f ( x ) cos( n π x L ) dx (N)

bn= 1

L ∫

− L

L

f ( x ) sen( n π x L ) dx ()

L= T

2

.omo e%em/lo se desarrolla a continuaci3n la serie de Fourier de una $unci3n /eri3dicacuadrada de$inida /or6

f ( x) = {0, −5


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an = 3

n π sen(n π) = 0 2 /uesto 4ue sen (nπ)=0 /ara valores de n enteros5

Hallado el valor de an = 02 de"emos 1allar de a>2 /ara ello recurrimos nuevamente a (D)2 /or4ue no se /uede reem/lazar n = 0 en el valor de an (de"ido a 4ue incurriríamos en unaindeterminaci3n)5 Reem/lazando n = 0 en (D) o"tenemos6

a>=@∫>

cos(>)x =@∫>

x = @

#a"ente,

n=@(= −cos nπ)

nπ

n=@

nπ (=− cos(nπ))

7or lo 4ue f(x) 4ueda como6

n=@

nπ(=− =) = > ;n $&a! .n=

@

n π(=+ =) =

D

n π ; n &a!

f ( x)= 3

2+

6

π {sen( π x5 )+13 sen( 3π x5 )+15 sen(5 π x5 )+...}

El t'rmino dea

0

2=

3

2se conoce como valor /romedio de la $unci3n o 9co&onente

cont$n#a: (cc) de la $unci3n2 en este caso el valor /romedio de f(x) es 3/25

El 4ue an 1aya resultado cero no es una coincidencia2 si miramos la $orma de $unci3n f(x)2notaremos 4ue si se le resta el valor 1allado /ara la com/onente continua2 f(x) sería una$unci3n im/ar2 con /artes /ositivas y negativas iguales descrita /or6

f ( x) = {−3/ 2, −5


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la $unci3n original5 La gr0$ica a continuaci3n no incluye la com/onente continua 4ue seríauna recta 1orizontal trazada en y = 3/2 = 1.5

/ota( s !ecoena"e &!$e!o ete!$na! s$ "a f#nc$%n es &a! o $&a!, esto *#e #na

f#nc$%n &a! se esco&one s%"o en f#nc$ones &a!es, es ec$!, cosenos, y &o! ene

n = 0, $ent!as *#e s$ es $&a! an = 0 y so"o ex$st$!n co&onentes seno.

#e-er6 ;ra$icar a escala en /a/el milimetrado las tres /rimeras com/onentes de las serie deFourier5

#lustraci3n 5 ;r0$ico de un /eriodo de las dos com/onentes de $(x)5 !o incluye cc5

i se a8aden m0s com/onentes2 la $unci3n resultante se aseme%a m0s a la versi3n original2 acontinuaci3n se muestra $(x) con oc1o com/onentes incluyendo el valor continuo5



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#lustraci3n ?5 Reconstrucci3n de $(x) con las /rimeras com/onentes5

2.# "erie $omp%e&a de Fourier

Es la misma serie de Fourier /ero ex/resada utilizando la $3rmula de Euler6e

j θ = cosθ + jsen θ

e− jθ = cos θ − jsenθ

cos θ = e

j θ + e− j θ

2y2 senθ =

e jθ − e− jθ

2 j

La serie com/le%a de Fourier 4ueda entonces de la $orma6

f ( x) = ∑n=0

∞cn e

j n π x L ()

onde cn es el coe$iciente 4ue reem/laza a an y 'n5 La sumatoria /uede a1ora em/ezar en ceroya 4ue la com/onente continua 4ue no de/ende de senos ni cosenos estaría ex/resada con c>

/uesto 4ue e0 es igual a 15

2010 Pr!ctica de Octave

En el anexo se /resenta una /r0ctica detallada de octave2 tam"i'n se la /uede e%ecutar enatLa"5 + continuaci3n se muestra el c3digo en lengua%e de octave /ara reconstruir la$unci3n f(x) tal como se visualiza en la ilustraci3n ?5

entencia =6 c!ea en x #n ecto! *#e $n$c$a en 0, acaa en 10, con $nc!eentos e 0.1 en 0.1.

x = 5060.16107

entencia 6 se as$na a" ecto! "os a"o!es e "a &!$e!a co&onente

y = 8/&$9s$n((&$9x)/);

entencia @6 $s#a"$:a "a &!$e!a co&onente

&"ot(x,y);

entencia N6 e" #so e o" &e!$te !af$ca! anten$eno e" !f$co ante!$o!

o";

entencia 6 &oneos en "a s#a e "as os &!$e!as co&onentes.

y = 8/&$9s$n((&$9x)/) + 2/&$9s$n((39&$9x)/);


f ( x)= 3

2+

6π {sen( π x5 )+13 sen( 3π x5 )+15 sen(5 π x5 )+...}


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entencia D6 $s#a"$:a "a s#a e &!$e!a y se#na co&onentes

&"ot(x,y);

entencia C6 a!aos en y "as t!es &!$e!as co&onentes y e" a"o! constante.

y = 8/&$9s$n((&$9x)/) + 2/&$9s$n((39&$9x)/) + 8/&$9s$n((9&$9x)/) / + 1.;

entencia 6 $s#a"$:a "a s#a e "as t!es co&onentes

&"ot(x,y);

e ea coo ee!c$c$o otene! en y "a s#a e "as &!$e!as co&onentes. " !es#"tao ee se! e"

$so ost!ao en "a $"#st!ac$%n ?, !e&!o#c$a a cont$n#ac$%n6

2. *a Transformada de Fourier

i una $unci3n f(x) se descom/one o ex/resa en una serie de Fourier2 se o"serva las di$erentescom/onentes de seno y coseno denominadas tasdasm"i'n com/onentes de $recuencia5 Latrans$ormada de Fourier muestra la magnitud de esas com/onentes de $recuencia /ara

$unciones /eri3dicas y no /eri3dicas5

La trans$ormada de Fourier se de$ine de la siguiente manera6 F { f(x) @ =F(#)

onde F (u) = ∫−∞

f ( x) e−2 jπ x u dx (?)

&'ep"o( Hallar la trans$ormada de Fourier de la siguiente $unci3n6


f ( x) =

{ A , −

T

2

< x < T

20, cc


16/115

F (u) = ∫−∞

∞

f ( x) e−2 j π x u dx F (u) = ∫−T / 2

T / 2

A e−2 j π x u

dx

F (u) = A [ 1

− j 2 π u e−2 j π x u

]−T / 2T / 2

F (u) = A

− j 2πu[ e− jπT u−e jπTu ] = A

πu [ e jπTu−e− jπTu

2 j ] = Aπu sen(πT u)Usando la $unci3n sa(x) o s$nc(x)6

sa ( x) = sinc ( x) = sen ( x )

x

F (u) = AT (sen (πT u)πTu ) = AT sinc(πTu) (=>)

;r0$ica de F(u)6

La am/litud de la $unci3n $nc(x) es el límite de la $unci3n cuando x tiende a 02 lo cual es 1 /uesto 4ue sen(x) = x cuando x tiende a cero5

Los ceros de $nc(x) son los mismos de en(x)2 y en(x) = 0 cuando x = nπ, con n 0

Lo ceros de A(#) ser0n6

π # T = π 2 /uesto 4ue en S se /roduce un cero de sen(x)5# = π / (πT)

# = 1 / T



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.onsideraciones res/ecto de A (#).

• .uando T aumenta la curva es m0s angosta2 F(u) entre 1T y 1T 5• i T varía2 las $recuencias tam"i'n varían5

• La trans$ormada de Fourier nos muestra las $recuencias /resentes en f(x)5

7ara un valor grande de 2 la am/litud de F(u) sería mayor y tomaría la a/ariencia de un /ulsomuy angosto /uesto 4ue =& sería muy /e4ue8o5 En el límite2 cuando tiende a in$inito2 F(u)es la $unci3n delta de ir0c B(x)5

.uando aumenta2 la $recuencia disminuye y cuando disminuye la $recuencia aumenta5

2., *a ransformada de Fourier iscrea

e a/lica /ara $unciones discretas2 las mismas 4ue son el resultado de o"tener muestras de una$unci3n continua a intervalos regularmente es/aciados5 + continuaci3n se muestra la $unci3ndiscreta xTn y su trans$ormada de Fourier5



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i ! es el n)5


x [C ] = ∑C =−∞

∞

x [n] e− π nC

D


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#lustraci3n =5 E%em/lo de gra$icaci3n de la secuencia xTn

La secuencia es una se8al de una dimensi3n2 cuyos valores /ueden ser n


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El detalle del c0lculo se /resenta a continuaci3n /ara los valores de n entre 0 y 45

n = 06 y 507 = x 507 + 1 = 1 + 1 = 2

n = 16 y 517 = x 517 + 1 = 0 + 1 = 1

n = 26 y 527 = x 527 + 1 = -1 + 1 = 0

n = 36 y 537 = x 537 + 1 = 3 + 1 = 4

n = 46 y 547 = x 547 + 1 = 2 + 1 = 3

7ara los valores de n menores a 0 y mayores a 42 x5n7 /osee un valor de .ER- (>)2 /or lo 4ueal sumar 12 xn + 1 es igual a 1 en toda esta regi3n5

E%em/lo6

n = - 16 y 5-17 = x 5-17 + 1 = 0 + 1 = 1.

20702 La Convo"ución

Es una o/eraci3n de secuencias 4ue resulta de la com"inaci3n de las variaciones de dossecuencias5 Usualmente es la secuencia x5n7 4ue se o/era con otra 5n7 /ara o"tener unresultado y5n75 En este es4uema se dice 4ue la secuencia y5n7 es el resultado de x5n7 ala/lic0rsele el $iltro 5n75

El sím"olo 4ue descri"e esta o/eraci3n es V5 La convoluci3n de dos secuencias x5n7 y 5n7 sede$ine como6

&'ep"o6 Hallar la convoluci3n de las secuencias x5n7 = (1, 1, 2) con 5n7 = (1,-1)5 Las dos

secuencias em/iezan en n=05

La resoluci3n de la sumatoria de"e 1acerse /ara valores en los 4ue el /roducto 1 Tn*W seadi$erentes de cero2 /uesto 4ue no tiene sentido sumar ceros5 El rango de calculo se reduce alde xTn2 /uesto 4ue $uera de 'l el /roducto xTW 1 Tn*W es siem/re cero2 en ese caso /aravalores de C de 0 a 22 y /ara n de 0 a 35

+sí6n=06 y 507 = x 507 507 + x 517 5-17 = 1

n=16 y 517 = x 507 517 + x 517 507 + x 527 5-17 = 0

n=26 y 527 = x 507 527 + x 517 517 + x 527 507 = 1

n=36 y 537 = x 507 537 + x 517 527 + x 527 517 + x 537 507 = -2


∑∞=

−∞=

−==C

C

C n;C xn;n xn y UTUTUTVUTUT


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#lustraci3n =N5 .onvoluci3n de xTn con 1Tn

La convoluci3n es un o/eraci3n conmutativa6

2070; Rango de "a Convo"ución

El n


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La $orma de convoluci3n y M x V1 no de/ende del inicio x ni de 1 2 la $orma essiem/re la misma2 /or lo 4ue /uede 1acer los c0lculos como si las dos secuencias inician en >y el resultado se di"u%a en la /osici3n 4ue corres/onda2 es decir2 desde la suma de los inicios21asta la suma de los $inales de las dos secuencias

20701


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E%em/los de $iltro /asa "a%os y /asa altos

•


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5* ;ra$i4ue las $unciones $(x) y demuestre si la $unci3n es /ar o im/ar

a) $(x) M x2 >ZxZπ 2 Mπ ") $(x) M x2 *π ZxZπ 2 Mπ c) $(x) M =2 >ZxZπ [ *=2* π ZxZ>2 Mπ d) $(x) M Y cos(x) Y2 *π Z x Z π [ M π 5

e) $(x) M sen (*x)2 > Z x Z π [ > c5c5 M π 5$) $(x) M Yx*=Y2 *= Z x Z =[ M 5g) $(x) M Y x ] = Y2 * = Z x Z =[ M 5

@5 ;ra$i4ue $(x) y 1alle la serie de Fourier de6

f ( x) = {1, 0=> n= =nπ (=−cos(nπ))

5 Hallar la trans$ormada de Fourier de la $igura ()6

D5 ;ra$i4ue $(x)2 y 1alle y gra$i4ue la trans$ormada de Fourier de6$(x) M π 2 * π ^ x ^ π 2 > cc5

C5 ean xTn M (=2 =2 =2 =2 2@)2 1Tn M (=2 2*)2 y em/iezan am"as en *2 1allar6=5 yTn M xTn *1Tn5 yTn& M xTn

@5 yTn*= M xT*n ] 1Tn]=N5 yTn M xTn & 1Tn*=



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5 Halle la convoluci3n de xTn con 1Tn2 xTn em/ieza en * y 1Tn en =>5a) xTn M (=2=222@2@)2 1Tn M (=2>2*=)

") xTn M (=2=222@2@)2 1Tn M (_2 _2 _)c) xTn M (=2>2=2>2*=)2 1Tn M (=2*=2=)5

?5 Hallar la convoluci3n de xTn M (=2 >2 2 @2 N2 )2 em/ieza en =2 con 1Tn M (*=2 >2 =) em/ieza

en *5

=>5 .uantos /untos /osee la convoluci3n de xTn M (=2>22@2N2)2 em/ieza en =2 con 1Tn M(*=2>2=2>2>2>2>2=) 4ue em/ieza en *5

==5 Haga el seudoc3digo de un /rograma 4ue calcule la convoluci3n de dos secuencias2 alcual se ingresa los /untos de inicio de las secuencias2 y las secuencias5

=5 Haga el seudoc3digo /ara calcular la convoluci3n de una secuencia con el $iltro /asaaltos 1Tn M (=2 *=)5

=@5 Haga el seudoc3digo /ara calcular la convoluci3n de una secuencia con el $iltro /asa "a%os 1Tn dado el n


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CAPITULO ;

Introducción a I!genes

!eIton2 sir #saac(`oolst1or/e2 ;ran Breta8a2 =DN*Londres2 =CC) Físico y matem0tico ingl's5

Fue 1i%o /3stumo de un /e4ue8o terrateniente $allecidotres meses antes de su nacimiento2 el cual se /rodu%o de$orma /rematura5 .uando aca"a"a de cum/lir los tresa8os2 su madre contra%o segundas nu/cias y lo de%3 alcuidado de su a"uela materna2 lo cual le ocasion3 untrauma emocional en el 4ue 1a 4uerido verse2 %unto a su

condici3n de /rematuro2 el origen del tem/eramentoneur3tico e 1i/ocondríaco 4ue caracteriz3 al !eItonmaduro5 Reci"i3 su educaci3n /rimaria en la ingQsc1ool de ;rant1am y2 tras mostrar su inca/acidad /araocu/arse de la 1acienda $amiliar2 en =DD= $ue enviado ala Universidad de .am"ridge5 Eligi3 estudiar $ísica ymatem0ticas2 /ero no /arece 4ue $uera un alumnoes/ecialmente destacado5 La /este lo o"lig3 a a"andonar .am"ridge en el verano de =DD2 /or lo 4ue tuvo 4ueiniciar un /eríodo de descanso $orzoso en el 4ue sent3 las

"ases de sus /rinci/ales a/ortaciones cientí$icas2 /ues

$ue entonces cuando conci"i3 la idea de gravitaci3n universal tras /reguntarse2 al /arecer2 /or 4u' raz3n una manzana caía siem/re /er/endicularmente 1acia el centro de la ierra en lugar de seguir otras trayectorias5 am"i'n redact3 un es"ozo del $uturo c0lculo de $luxiones yacometi3 el estudio ex/erimental de la descom/osici3n de la luz "lanca mediante un /rismade re$racci3n5 e regreso en .am"ridge2 en =DDC $ue elegido miem"ro del rinity .ollege ydos a8os des/u's sucedi3 a su maestro #saac BarroI en la c0tedra de matem0ticas5 usdescu"rimientos de 3/tica2 4ue ex/uso en sus clases2 le valieron ser elegido miem"ro de laRoyal ociety en =DC2 1ec1o 4ue se8al3 el inicio de su notoriedad2 /ero tam"i'n el de unaserie de controversias acerca de la /rioridad en dic1os descu"rimientos2 en /articular conRo-ert >oo?e[ ello determin3 4ue demorara 1asta =C>N2 tras la muerte de HooWe2 la

/u"licaci3n de su tratado de 3/tica5 En =DCD renunci3 a /roseguir la /ol'mica2 y durante unos

a8os se sumi3 en sus tra"a%os so"re el c0lculo di$erencial y en su inter's /or la al4uimia y losestudios "í"licos5

La corres/ondencia mantenida con HooWe a /artir de =DC? /arece 4ue aviv3 su inter's /or ladin0mica2 cam/o en el 4ue se concentr3 en la demostraci3n te3rica de las leyes de losmovimientos /lanetarios enunciadas /or @ep"er5 .uando &dond >a""e* lo visit3 en =DN2com/ro"3 4ue !eIton 1a"ía resuelto ya el /ro"lema y lo anim3 a 1acer /


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como si toda su masa se encontrara situada en su centro[ y la ley de la atracci3n gravitatoria24ue a/arece com/ro"ada /ara el movimiento de la Luna5 #ncluye tam"i'n la /rimera

/u"licaci3n im/resa del c0lculo in$initesimal creado /or !eIton2 reconociendo2 en su /rimeraedici3n2 4ue Lei-ni) esta"a en /osesi3n de un m'todo an0logo[ /ese a ello2 los /artidarios deuno y otro se enzarz3 en una nueva dis/uta de /rioridades2 4ue el /ro/io cientí$ico alent3entre "astidores5 En =DC $orm3 /arte de la comisi3n $ormada /or la Universidad de

.am"ridge en o/osici3n a las medidas de catolizaci3n del rey aco-o II5 ras la Revoluci3nde =D2 $ue elegido re/resentante de la universidad ante el 7arlamento5 En =D?D ace/t3 elnom"ramiento de director de la .asa de la oneda2 4ue /as3 a /residir tres a8os des/u's5 En=C>= renunci3 a su condici3n de /ro$esor universitario y en =C>@ $ue elegido /residente de laRoyal ociety2 cargo 4ue desem/e83 1asta su $allecimiento5 (iccionario de Biogra$ías2-c'ano)5

!.1 5%emenos de percepción 6isua%

El siguiente es un es4uema de lo 4ue sucede cuando o"servamos un 0r"ol de = metros dealtura desde una distancia de =>> metros5 El tama8o de la imagen 4ue se $orma en nuestraretina es de a/enas 5 mm2 y /ese a ello /odemos o"servar todos los detalles del 0r"ol5

#lustraci3n =5 7roceso de visualizaci3n5

El o%o 1umano es ca/az de di$erenciar 1asta =>=> niveles de luz2 sin em"argo2 /odemosdistinguir solamente => tonalidades de un mismo color2 es decir2 4ue somos ca/aces de ver cerca de DD millones de colores con sus res/ectivas tonalidades5

!.2 7ode%o simp%e de una ima8en

.omo sa"emos una imagen es una colecci3n de /untos en dos dimensiones de modo 4uere/resenten algo visi"le5 7odemos de$inir una imagen como una matriz de /untos2 cada unode ellos de un determinado color y en una /osici3n es/ecí$ica5 ic1o de otra manera unaimagen es una matriz de /untos denominados /ixeles2 de modo 4ue la imagen es una matrizde /ixeles5 7ara e$ectos del /rocesamiento de im0genes siem/re nos re$eriremos a im0genesrectangulares de modo 4ue la de$inici3n de imagen como matriz ser0 siem/re v0lida5

La $orma de re/resentar una imagen es6 f(x9)2 la misma 4ue muestra la am/litud f en las

coordenadas x y 5 La magnitud de f(x9) se 1alla limitada a valores v0lidos de los /ixeles2 /or e%em/lo /ara una imagen 4ue /osee N tonalidades o niveles de gris los valores /ermitidos de

f(x9) son el >2 =2 y el @5 En general2 se tiene 4ue6



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0 : f(x9) < (i6e%es de 8ris -1 ) (1)

Los $actores 4ue determinan los niveles de gris o el color de los /ixeles son la #luminaci3ni(x9) y la Re$lectancia r(x9)2 de$inidos como la cantidad de luz a/licada so"re el /unto y la

ca/acidad de este de re$le%ar o a"sor"er la luz reci"ida5 + mayor re$lectancia mayor es la luzre$le%ada o lo 4ue es lo mismo2 menor es la luz a"sor"ida5

Entonces una imagen ser06 f(x9) = i(x9) r(x9)2 o sea /ixel /or /ixel2 el resultado de lailuminaci3n y la re$lactancia 5

Los valores /ermitidos /ara i y r son6

0


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7ara gra$icar una imagen se usa un /lano cartesiano x - y similar al utilizado en $uncionesmatem0ticas /ero con el e%e y con el sentido de crecimiento 1acia a"a%o2 tal como se muestra acontinuaci3n5

#lustraci3n @5 E%es de ;ra$icaci3n de una imagen5 EL e%e P crece 1acia a"a%o

!.! i8ia%iación de im8enes (7uesreo $uaniación)

7ara o"tener una imagen desde una $uente real como /or e%em/lo una $otogra$ía2 se de"erealizar un /roceso de digitalizaci3n6

El /roceso de digitalizaci3n consiste en reem/lazar una imagen real com/uesta /or un n


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#lustraci3n N5 igitalizaci3n de una imagen

Lo se8alado con líneas verticales se denomina intervalo de muestreo y /ara cada uno de ellosde de"e encontrar el valor 4ue me%or re/resenta a la imagen /ara de$inir el valor del /ixel5

i la imagen digitalizada de"e ser "inaria (dos niveles de gris) entonces se de"e decidir si el

nivel de luz detectada es un "lanco o un negro en cada intervalo de muestreo2 y reem/lazar este valor /or un 0 (negro) o un 1 ("lanco)5

i existen m0s niveles de gris2 se 1ace una escala de grises desde > 1asta el valor m0ximo deluz detectada o re$erencial (L*=)2 y se determina el valor corres/ondiente a cada intervalo demuestreo5 El /roceso de asociar un valor a cada muestra (dentro del intervalo de muestreo) sedenomina cuanti)ación0

La cuantizaci3n siem/re incurrir0 en un redondeo lo 4ue se denomina error de cuantizaci3n yse de"e a 4ue el valor a ser cuantizado no tiene un valor exacto durante todo el intervalo y 4ueadem0s este valor no es siem/re un entero5 El error de"ido al redondeo y /romedio de la se8alen el intervalo de muestra tiende a minorar si es enor e" sa"to de cuanti)ación (intervalo deentre los valores /ermisi"les de los /ixeles)2 así2 este error es mayor si se trata de cuatroniveles de gris (ya 4ue el intervalo de valores entre el "lanco y negro de"e re/artirse entrecuatro regiones)2 4ue si se tratase de D niveles ya 4ue la distancia entre niveles consecutivoses menor5

La desventa%a de realizar una digitalizaci3n en m0s niveles de gris es el es/acio necesario /arael almacenamiento de la imagen5 7ara im0genes "inarias2 se necesita de a/enas un "it /or cada

/ixel2 /or ello a este ti/o de im0genes se les denomina de = "it2 similarmente las im0genes de "its son a4uellas de D niveles de gris5

i se desea almacenar una imagen de ! x /ixeles y cada /ixel necesita de "its /ara ser almacenado2 el tama8o total necesario es de6

ama8o de la imagen M ' = 7 m "its ()

.omo el n


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/ara su almacenamiento5

-tra clase de error 4ue se incurre en el /roceso de digitalizaci3n es el error de muestreo2 yconsiste en el error 4ue se comete al asignar un valor re/resentativo en todo el intervalo de lamuestra2 y aumenta si existen intervalos de muestra m0s grandes5 En resumen2 el error demuestreo es inversamente /ro/orcional al n


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y-1), y la vecindad /8 $ormada /or todos los /ixeles de /1 y /#5

;0102 Conectividad

etermina la zona o regi3n en la 4ue /ixeles del mismo ti/o son vecinos5 .onectividad y

vecindad /r0cticamente son conce/tos e4uivalentes2 así2 1a"lar de D42 DH y D es v0lidotanto en conectividad como en vecindad5

i un /ixel b4 est0 conectado con el /ixel b/ entonces b4 es /arte de la vecindad de b/ seaesta D42 DH o D5Hay un tratamiento di$erente /ara im0genes "inarias y no "inarias5-tra $orma de ver la conectividad es el camino o isla2 esta se a/lica en im0genes "inarias ycontiene a todos los b= vecinos5 En la imagen de la ilustraci3n > existen @ caminos o tresislas de b=5 En im0genes "inarias es /osi"le tener islas com/uestas /or un s3lo /ixel 9=:5

= > > > > > > = > > > > > >> = = = > = = = = = = = > >> > = = > > > > = = = = = >> > = = = = = > > = = = = >= > > > > > > = > > > > = >

#lustraci3n 5 #slas en im0genes "inarias

7ara im0genes 4ue no son "inarias2 los caminos o islas se asocian a /ixeles del mismo nivelde gris2 /ero se $orman con un mínimo de dos /ixeles5

= @ N N @ C@ = = = C C CC N = = > > =@ C D @ >

#lustraci3n D5 #slas en im0genes con varios niveles de gris5

;010; Medida de distancia

La distancia entre dos /ixeles / y 4 de coordenadas &(x,y) y *(s,t) /uede ser medida de

di$erentes $ormas2 una de ellas es la Euclidiana de$inida como = 5(x-s)2 + (y-t)2 71/2 4ue esal distancia entre dos /untos seg


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(&, :) I (&, *) + (&, :) (desigualdad triangular) (C)

-tra $orma de ex/resar la distancia es usando un en$o4ue de vecindad5 La distancia cali$icadacomo H4 se de$ine como6

# (p9 @) = Ax - sA + A - A ()

e a cuero a H4 los cuatro vecinos de &(x,y) tienen distancia H4 = 12 es decir2 D4 = (H4 =1)5

-tro modo de medir distancias es la distancia H (distancia ta"lero de a%edrez)2 de$inida comoel n


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;01010 Operaciones Arit=ticas

7ara las im0genes $(x2 y) y g(x2 y) del mismo ti/o y tama8o las o/eraciones "0sicas se de$inencomo6

#a6 f(x, y) + (x, y) {s#a nto a nto@

Jesta6 f(x, y) - (x, y) {!esta nto a nto@

E#"t$&"$cac$%n6 f(x, y) 9 (x, y) {&!o#cto nto a nto@

H$$s$%n6 f(x, y) / (x, y) {$$s$%n nto a nto@

urante del desarrollo de las o/eraciones aritm'ticas2 se /ueden /roducir resultados 4ue se1allan $uera del rango /ermitido de niveles de gris5 7or e%em/lo2 al sumar dos im0genes de @

"its2 cuyos /ixeles /osean un nivel de gris de N y 2 el resultado sería ?2 /ero este no es unnivel /ermitido en @ "its (el m0ximo /osi"le es C)2 /or lo 4ue el resultado de la suma de N y es C /or ser el m0ximo valor /ermitido de la escala de grises de este ti/o de im0genes5 +símismo2 si se o"tuviesen resultados in$eriores a .ER-2 el resultado de"e ser .ER- /or ser

este el menor valor /ermitido5 Este $en3meno se denomina aturaci3n y /uede /roducirsecomo se 1a e%em/li$icado tanto 1acia arri"a (valores mayores al m0ximo /ermitido) como1acia a"a%o (valores negativos)5

7ara el caso es/ecial de una divisi3n /ara .ER-2 se acuerda en im0genes 4ue el resultado /articular de .ER- dividido /ara .ER- es .ER- /ara eliminar la indeterminaci3n de valor2en cual4uier otro caso2 el resultado es el valor m0ximo /ermitido de nivel de gris5

El uso m0s com


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KDH6 f(x, y) KDH (x, y) f(x, y) . (x,y)

LJ6 f(x,y) LJ (x,y) f(x,y) + (x,y)

Mo&"eento6 DLT f(x,y) N f(x,y)

XLJ6 f(x,y) XLJ (x,y)

u uso m0s $recuente es6

* Enmascaramiento ( masWing) +!* etecci3n de /artes o com/onentes X-R5* +n0lisis de $ormas X-R5* .0lculo del negativo de la imagen X-R2 !-5* Reconocimiento de im0genes +!2 X-R5

;01010; Reconociiento sip"e con A/# * OR

7ara im0genes del mismo tama8o2 se /uede 1acer reconocimiento de /atrones al 1acer un+! entre el /atr3n conocido y la imagen a reconocer2 el resultado es com/arado con el

/atr3n y el n > = > $(x2y)6 > > > > +!6 > > > > .6 = = > => = = > > = = > > = = > = = = => > = > > > = > > > = > = = = => > = > > > = > > > = > = = = => > = > > > = > > > = > = = = =

#lustraci3n 5 7atr3n6 #magen 72 $(x2 y)6 imagen a reconocer2 .6 coincidencias con el /atr3n6 = coincide2 > nocoincide5

.a"e recalcar 4ue el +! no sirve /ara reconocimientos de im0genes[ si se usa X-R en lugar de +!2 se tiene6

76 > > = > $(x2y)6 > > > > X-R6 > > = > .6 = = > => = = > > = = > > > > > = = = => > = > > > = > > > > > = = = => > = > > > = > > > > > = = = => > = > > > = > > > > > = = = =

#lustraci3n ?5 7atr3n6 #magen 72 $(x2 y)6 imagen a reconocer2 .6 coincidencias con el /atr3n6 = coincide2 > no

coincide5

i g(x2y) es el negativo de $(x2y)2 es decir2 .ER-s en lugar de U!- y viceversa2 entonces6

76 > > = > g(x2y) = = = = X-R6 = = > = .6 = = > => = = > = > > = = = = = = = = => > = > = = > = = = = = = = = => > = > = = > = = = = = = = = => > = > = = > = = = = = = = = =

#lustraci3n =>5 7atr3n6 #magen 72 g(x2y)6 imagen a reconocer2 .6 coincidencias con el /atr3n6 = coincide2 > no

coincide5

En los dos casos2 /ara X-R se o"serva 4ue la matriz de coincidencias es sim/lemente el



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mismo resultado del X-R2 o su negativo5 e manera 4ue el uso del X-R no solo 4ue /ermite1acer el reconocimiento a


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;002 &sca"aiento

#lustraci3n =5 Escala de im0genes

+l escalar una imagen se cam"ia de tama8o a la misma2 esto signi$ica 4ue si la imagenoriginal /osee dimensiones de % 7 /untos2 la imagen resultado tendr0 dimensiones de "x

x "7 2 donde ,% y ,* son los $actores de escalamiento5 La trans$ormaci3n de escalamientoex/resada como6 6D = T62 con x como el $actor de escala en el e%e x y y el del e%e y2 es6

(=)

&'ep"o( x M 2 y M

> =

> N C

= ?

> = @

> N C

=

?

@

x M xy M y

i x M > f x M >i x M = f x M

i y M > f y M >i y M = f y M



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;00; Rotación

Rotar una imagen signi$ica 1acer girar la imagen so"re su /unto de origen (/ixel >2>) un0ngulo 5 e"ido a 4ue el origen de la imagen est0 en su es4uina su/erior iz4uierda (ver

ilustraci3n =)2 y 4ue el e%e y crece 1acia a"a%o2 se com/lican los c0lculos /ara determinar lamatriz de trans$ormaci3n2 /or ello2 se usa una nueva re/resentaci3n en la 4ue el e%e y crece1acia arri"a (ilustraci3n )2 4ue /ermite el c0lculo de esta matriz5 !ote 4ue el 0ngulo giradoes -R 2 y 4ue el origen es el usado en un sistema de coordenadas cartesianas5

#lustraci3n =@5 is/osici3n de la imagen /ara $acilitar la demostraci3n de la matriz de rotaci3n5

La matriz de trans$ormaci3n es6 (=@)

&'ep"o( 0F #eostración de "a atri) de rotación

En el e%e normal de coordenadas el 0ngulo se vuelve *5

El 0ngulo es negativo /or4ue el e%e y cam"ia de sentido2 es decir6

en en los e%es se 1ace ,sen en los e%es 2 lo 4ue e4uivale a usar un0ngulo negativo /uesto 4ue6



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sen(−θ) = −sen(θ)

e de"e llegar a la matriz de trans$ormaci3n mostrada a continuaci3n5

T =[ cosθ senθ 0−senθ cosθ 00 0 1

]7ara la demostraci3n $i%amos un /unto ( x, y) en la imagen original y el /unto corres/ondienteen la imagen 4ue 1a su$rido la rotaci3n de un 0ngulo *h ( xO, yO )5 El /roceso consiste enex/resar las coordenadas x y y en coordenas /olares y esta"lecer la relaci3n entre los valoresde xO y de yO con los valores originales x y y5

x = ρ cos(θ) y = ρ sen(θ) x ' = ρ cos(θ−α) y ' = ρ sen(θ−α)

x ' = ρ cos(θ) cos(α) + ρsen(θ) sen(α) = x cos(α) + y sen(α )

y ' = ρ sen(θ) cos(α) − ρ cos(θ ) sen(α) = y cos(α) − x sen(α )

Ex/resando en $orma matricial se llega a lo 4ue se 4uería demostrar2 note 4ue el *angulo 4uegira la imagen es h y no como a/arece en la matriz anterior5

T =[ cos α senα 0−senα cosα 00 0 1

]&'ep"o 2( #euestre "a atri) de ref"e'o $ori)onta"0



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El re$le%o 1orizontal (usando un es/e%o vertical) se ilustra a continuaci3n2 en la ilustraci3na/arece el /unto ( x, y) 4ue se trans$orma en ( xO, yO ) y la relaci3n entre los valores de xO y de yO con los valores originales x y y5 El n 1asta D-12 de modo 4ue el /rimer /ixel ( x = 0) se trans$orma en

D-12 así6

x ' = N −1 − x

y ' = y

T =[−1 0 N −10 1 00 0 1

]7ara el re$le%o con es/e%o vertical2 /roducido con un es/e%o 1orizontal2 el alumno de"e 1allarla matriz de trans$ormaci3n5

!., Funciones so're im8enes

Las $unciones m0s utilizadas so"re im0genes son6 cardinalidad2 suma de /ixeles2 media2desviaci3n est0ndar2 igual2 entre2 truncado2 um"ral2 restricci3n2 y /roducto interno o escalar5Existen adem0s otras $unciones un /oco m0s com/licadas 4ue se utilizan /ara reconocimientode im0genes2 como la autocorrelaci3n5

+ continuaci3n se dan las de$iniciones de estas $unciones usando una nueva nomenclatura enal 4ue la imagen f(x, y) se re/resenta como f(n1 , n2 )2 con dimensiones de D 1 /untos so"re el e%e1orizontal (n1) y D 2 /untos en el e%e vertical (n2)5



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0 Cardina"idad card (f )= N 1 N 2 (=N)

5&emp%oE $(n= 2 n) M card ($)M @V@ M ?

20 ,ua de Pi%e"es sumpix ( f )=∑n1, n2

f (n1,

n2) = ∑

n1

N 1−1

∑n2

N 2−1

f (n1,

n2) (=)

&'ep"o( $(n= 2 n)M um/ix ($) M C]=]N]D]]@]>]]=M?

;0 Media media = μ ( f ) = sumpix(f )

card( f )(=D)

&'ep"o( f(x, y) = S(f)= 2?/?

10 #esviación &st!ndar

σ µ B

= B

B=

==

( ) ( ( 2 ) ( )) f D

f n n f n n

=−

−∑(=C)

&'ep"o(

$ (x2 y)M

Existe un m'todo a/roximado de o"tener ($) 4ue es &@ (/romedio de la dis/ersi3n m0xima)5

+sí a/licando este m'todo /odemos llegar a 4ue

($) M &@ (YD , ?&?Y ] Y> , ?&?Y ) & j M 5>2 este valor es a/roximado2 el valor real es65N@=

0 Igua"

=

=52>

)2()2(2=)2(

B=B=

cont!a!$ocaso

nn 2 nn f 2 f $2#a"

(=)


C = N

D @> =

C = ND @

> =

=√ =? [[C−?? ]

+[=−?? ]

+5 5 5]C = ND @> =

C = ND @> =


43/115

&'ep"o(

$ (x2 y)M gM #gual ($2 g) M

90 &ntre

≤≤

=52>

)2(2=)22(

B=

cont!a!$ocaso

t nn f st s f ent!e

(=?)

&'ep"o(

$ (x2 y)M gM Entre (g2 =5@2 ) M

70 Truncado

t!#nc f t f n n f n n t

caso cont!a!$o( 2 )

( 2 )2 ( 2 )

2=

≥

= B = B

> (>)

&'ep"o(

$ (x2 y)M runc ($2 @)M

80 U-ra"

≥

=52>

)2(2=)2(

B=

cont!a!$ocaso

t nn f t f #).!a"

(=)

&'ep"o(

$(x2y)M Um"ral ($2 @)M

G0 Restricción

=

==

.$na!$aes 2 nn 2

nn 2 nn f 2 f !est

2>)2(2>

=)2()22()2(

B=

B=B=

()

&'ep"o(

F (x2 y)M Rest ($2 um"ral($2 @)) M


C = ND @> =

N D =C @ > =

> > >> > >= > >

C = ND @> =

N D =C @ > =

= > >> = => > =

C = ND @> =

C > ND @> > >

C = ND @> =

= > == = => > >

C = N

D @> =

C > N

D @> > >


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Jest (f, #!a" (f, t)) = t!#nc (f, t)

:0 Producto interno o producto esca"ar(

∑>=<B= 2

B=B= )2()2(2nn

nn 2 nn f 2 f

(@)

0 > = > $(x2y) = = > $=6 = = > = $6 > > = >> = = > = N D = = > > = > = = >> > = > = = = = = > = > > = >> > = > > = = = = > = > > = >> > = > > = C = = > = > > = >

#lustraci3n =N5 7atr3n6 #magen 72 $(x2 y)6 imagen a reconocer5

u/oniendo 4ue el /atr3n lo tenemos como una imagen "inaria2 y deseamos reconocer f(x, y)4ue est0 en @ "its5 El /roceso a seguir sería cam"iar a "inaria la imagen f(x, y) /ro"a"lementea/licando la $unci3n #!a" (f, 3) (el resultado se muestra en $)2 y luego usando X-R /ara1acer el reconocimiento5 am"i'n se /uede usar la $unci3n igual /ara 1acer elreconocimiento5 En cual4uiera de los dos casos el resultado ser0 una matriz y no un valor 4uede una medida de igualdad5

La siguiente ex/resi3n da una medida de igualdad ( s) de 7 con res/ecto a f(x, y)6

s s#)&$x $2#a" #).!a" f

ca!, = = =

( ( ( 2 )2 ))

( )

@ B>

B> =

-tra $orma sería a/licando la $unci3n entre2 /or e%em/lo $= de la ilustraci3n ? muestra elresultado de ent!e (f, 0,2)2 $ de la misma ilustraci3n muestra ent!e (f, 4,U)5 La medida deseme%anza se o"tiene con6

s s#)&$x $2#a" ent!e f ent!e

ca!, = = =

( ( ( 2 2 )2 ( 2 2 )))

( )

> B > > B>

B> =

Esto /ara el /rimer rango de f(x, y) entre 0 y 22 lo mismo se de"e 1acer /ara el rango 4 a U 2 y /romediar los resultados de seme%anza o"tenidos5



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En general una ex/resi3n /ara evaluar la seme%anza de una imagen f(x, y) con otra (x, y) es6

)(

)))22()222(((

f ca!,

t s 2 ent!et s f ent!e$2#a" s#)&$x s =

()

onde s y t de$inen los límites de cada rango2 de"iendo a/licarse los rangos necesarioscon$orme sea el caso5

Es im/ortante notar 4ue el /rimer /aso a realizar en reconocimiento es com/ro"ar ladimensi3n de las im0genes2 esto se /uede 1acer con la $unci3n cardinalidad aun4ue no es unagarantía de igualdad de tama8o5 e necesitaría otra $unci3n /ara el e$ecto5 e de%a comotra"a%o al estudiante de$inir $unciones 4ue garanticen la com/ro"aci3n del tama8o de dosim0genes5

&'ep"o(

$M /M

e /uede o"servar 4ue tienen el mismo /atr3n

Entre ($2 >2@) M Entre (/2 >2@)M

Una vez a/licada la $unci3n Entre a las dos im0genes 2 se /rocede al c0lculo de #gual entre lasdos resultantes2 así6

#gual T Entre($2 >2 @)2 Entre (/2 >2 @) M

um/ix #gual T Entre($2 >2 @)2 Entre (/2 >2 @) j M =D2 de modo 4ue la relaci3n con la.ard($) M .ard(/) M =D 2 nos resulta = o =>>k5

Este /roceso se re/ite /ara los N rangos y el resultado total es la media de los resultados /arciales5

Los N rangos son6

=5 .olores negros6 valores de > a @2 o rango de T>2 @5 .alores grises oscuros6 TN2 C@5 .olores grises claros6 T2 ==N5 .olores "lancos6 T=2 =


@ =@ = =N => =@ =N ?

= = C =>

> = =N= =@ =@ = =N

=N =@ C ?

= = = >= = > >= > > >> > > >

= = = >= = > >= > > >

> > > >

= = = == = = == = = =

= = = =


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Los intervalos son cerrados2 es decir2 incluyen a los valores de inicio y $inal5

7ara nuestro e%em/lo la medida de seme%anza de las im0genes f y & es6 =>>k2 sudemostraci3n 4ueda como tra"a%o /ara el estudiante5

En general el reconocer im/lica sintetizar los atri"utos y /ro/iedades de una imagen deacuerdo a un /atr3n 4ue /ermite mediante o/eraciones com/arativas in$erir su contenido5

+ modo de e%em/lo de la determinaci3n de la estructura de una imagen vea el siguientee%em/lo en el 4ue incluye tam"i'n 1umor5

!./ Pro'%emas

=5 Una imagen /uede ser re/resentada como una matriz de /untos2 esta matriz identi$ica acada /ixel de la imagen5 Los valores de $(x2y) /ueden ser (se8ale los enunciadosverdaderos)6

• .ual4uier valor elemento de los reales5• .ual4uier valor elemento de los enteros5

• .ual4uier valor elemento de los enteros /ositivos5• olo valores com/rendidos entre > y 5


7roceso de+/roximaci3n /araescu"rir el /atr3n

e la imagen


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5 Ex/li4ue c3mo se /uede o"tener una imagen digitalizada en color en =D de colores5

@5 Ex/li4ue c3mo se /uede o"tener una imagen digitalizada en color en NW de colores2 y 4u'es/acio ocu/aría si /osee >>x>> /ixeles

N5 El rango de variaci3n de f(x, y) es6 (com/lete)5

esde 1asta (valores en niveles de gris) esde 1asta (valores en "its)

5 .omo se minimiza el error de cuantizaci3n5

D5 .u0l es el es/acio necesario /ara almacenar una imagen "inaria de =>> x => /ixeles5

C5 .u0l es el es/acio necesario /ara almacenar una imagen de =>> niveles de gris cuyasdimensiones son de >> x >> /ixeles5

5 .uantos "its /or /ixel se necesita /ara almacenar una imagen de =>> niveles de gris5

?5 .u0l sería la manera de o"tener una imagen digitalizada en DNW de colores5

=>5 7ara 4u' sirve la cuantizaci3n no uni$orme6

==5 .u0l sería el e$ecto de usar cuantizaci3n no uni$orme /ara o"tener una imagen "inaria5 Es /osi"le esto2 si sí2 indi4ue como se realizaría la cuantizaci3n5

=5 En la imagen a continuaci3n se8ale con una b los /ixeles vecinos ! y con una Xlos /ixeles de la vecindad !N5

=@5 7oner las distancias N y del /ixel se8alado5



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=N5 .alcule la resta2 suma2 divisi3n y multi/licaci3n de $ con la imagen g6

=5 Realice las o/eraciones l3gicas +!2 !-R2 X-R6

=D5 Encuentre la imagen resultado de a/licar la matriz de trans$ormaci3n (v M v2 imagende @ "its))6

6

Ou' clase de trans$ormaci3n es5

=C5 emuestre 4ue la matriz de trans$ormaci3n /ara la rotaci3n es6M cos sen >

*sen cos >

> > =

=5 Halle la matriz de trans$ormaci3n /ara el re$le%o5

=?5 Halle las $unciones6 restricci3n2 um"ral ($2 )2 u ($)2 Z$2 g\6

$6 = @ = g6 > = = u($)6> @ @ > = >

Z$2g\6rest um"ral

>5 iga las características de una imagen de N "its cuya u ($) M =5

=5 escri"a un /roceso mediante el uso de la $unciones so"re im0genes /ara determinar la igualdad de las dos im0genes a continuaci3n6

= = => == = D D => ==> = C == = = > > D == => = C C = = = > C D = => = C C => = = > D => =

> = D == == == = > == == ==

> = => = = = > => > = @> = = = > = = = @

Use las $unciones entre2 igual y cardinalidad5



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5 iga c3mo se /uede 1acer reconocimiento de im0genes con la $unci3n deautocorrelaci3n5 +/li4ue la ex/licaci3n a las im0genes a continuaci3n5

F > > > > > > g6 > > > > 7atr3n6> > > > > > = > = > = > =

> > > > > > > = > > > = >> = > = > > = > = > = > => > = > > > > = > > > = >> = > = > >

> > = > > >



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CAPITULO 1

Me'oraiento de I!genes

`iener2 !or"ert(.olum"ia2 EE UU2 =?N*Estocolmo2 =?DN) atem0tico estadounidense5

Hi%o de un /ro$esor de lenguas eslavas emigrado a Harvard2 $ue un ni8o extremadamente /recoz 4ue a la tem/rana edad de diecioc1o a8os o"tuvo un doctorado de l3gica matem0ticaen .am"ridge2 Reino Unido2 donde estudi3 con Bertrand Russe""5 Luego via%3 a +lemania

/ara seguir estudiando en la Universidad de ;otinga5 ras $racasar en su intento de enrolarseen el e%'rcito y com"atir en la 7rimera ;uerra undial2 en =?=? el #nstituto ecnol3gico deassac1ussetts (#) le /ro/uso organizar y estructurar un de/artamento de matem0ticas5.ientí$ico de m


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#.1 7e&oramieno de Im8enes

El me%oramiento de im0genes consiste en cam"iar alg


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Llegando a la $3rmula /ara calcular el negativo 4ue es6 s = ( L−1) − r ()

(!ivel de gris resultante M valor m0ximo * valor original)2 lo 4ue corres/onde a la ecuaci3n dela línea recta mostrada en la ilustraci3n =2 donde6

s6 nivel de gris resultante! 6 nivel de gris originalL6 es el n


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1020; Contraste ,tretc$ing

Esta trans$ormaci3n se es/eci$ica usualmente /or tramos5 7or e%em/lo2 la trans$ormaci3n de la

gr0$ica stretc1ing anterior se es/eci$icaría como6 #ntervalos en r6 >2[ 2 =>[ y =>2=5#ntervalos en s6 >2N[ N2[ y 2=5

El e$ecto de me%oramiento /or stretc1ing es similar al de cuantizaci3n no uni$orme2 sinem"argo2 la cuantizaci3n no uni$orme /resenta resultados su/eriores /uesto 4ue el n


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10209 Me'oraiento por >istograa

Este m'todo de me%oramiento de im0genes se "asa en un an0lisis /ro"a"ilístico5 El /rinci/io "0sico es 4ue todos los niveles de gris de la imagen tengan la misma /ro"a"ilidad de a/arecer en la misma5

Este m'todo re4uiere del c0lculo de la b$recuencia /ro"a"ilística de los /ixeles originales /ara determinar en "ase a ella la nueva distri"uci3n de la imagen me%orada5

+l gr0$ico de la $recuencia /ro"a"ilística en $unci3n del nivel de gris br se denomina1istograma5 + continuaci3n se /resenta varios 1istogramas característicos5

#lustraci3n N5 E%em/los de 1istogramas de im0genes

La re/resentaci3n gr0$ica de este ti/o de trans$ormaci3n es seme%ante a la gr0$ica mostrada acontinuaci3n5

#lustraci3n 5 rans$ormaci3n 4ue realiza el 1istograma5

El /roceso de c0lculo de la imagen me%orada es el siguiente6

ea !C el nivel de gris a ser /rocesado (i5e5 el nivel de gris N corres/onder0 a !42 !0 al nivel de

gris >2 etc5)5

La /ro"a"ilidad de cada !C est0 de$inida /or6 p(rG) = nGn ()

onde2 n? es el n > > (D)



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onde es el n


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1020G Me'oraiento por e" Proedio de i!genes

Un en$o4ue m0s realista de la eliminaci3n de ruido en la transmisi3n de im0genes esconsiderar la imagen rece/tada como la suma de la imagen original (sin ruido) y el ruido 4ue1a a$ectado a la imagen durante el /roceso5

i f(x, y) es la imagen original sin ruido2 la imagen reci"ida (x, y) ser02 f(x, y) + n(x, y)donde n(x, y) es el ruido5

i se considera 4ue el ruido es de naturaleza gausiana2 con media .ER- y es/ectro de /otencia di$erente de cero2 este /uede ser eliminado de la imagen g(x2 y) si se o"tienen variasmuestras (e%em/lares) de ella y se calcula el /romedio de las muestras5

+sí6

1(x,y) = f(x,y) + n1(x,y) (?) 2(x,y) = f(x,y) + n2(x,y)

3(x,y) = f(x,y) + n3(x,y)

H

-"teniendo el /romedio se tiene 4ue6

2 x y f x y x y f x y( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )= + = +η > (=>)

de este modo2 el /romedio de las im0genes n(x, y) tiende a ser la imagen f(x, y)5 Esto escierto si se /osee un n


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#lustraci3n D5 Filtros en el dominio de la $recuencia5

En dos dimensiones2 la trans$ormada de Fourier (FF) de una imagen a m0s de mostrar sucom/osici3n de $recuencias2 las u"ica es/acialmente2 de modo 4ue las $recuencias m0s "a%asa/arecen al centro de la matriz y con$orme se ale%an del centro2 la $recuencia aumenta2 así2 lases4uinas de la matriz son los /untos donde se 1allan las $recuencias m0s altas5

#lustraci3n C5 onas de localizaci3n de las $recuencias altas y "a%as al realizar la FF5 Las regiones marcadas con7+ (7asa +ltos) corres/onden a las $recuencias altas5

+l o"tener la FF (rans$ormada R0/ida de Fourier) de una imagen se tiene una matriz de lasmismas dimensiones de la imagen en la 4ue cada valor re/resenta la magnitud de lacom/onente de $recuencia5

En la ilustraci3n C se a/recia las zonas 4ue se de"en conservar /ara realizar el $iltrado de laimagen5 Las zonas marcadas con b7+ se de"en conservar /ara 1acer un $iltrado 7asa +ltos2 esdecir2 un $iltro 4ue elimine las $recuencias "a%as y de%e /asar las altas5

7or sim/licidad2 se tra"a%a con regiones rectangulares y con $iltros del ti/o 9odo o !ada: demodo 4ue la a/licaci3n del $iltro se reduce a llenar con ceros la regi3n 4ue se desea eliminar con el $iltro y conservar el resto de valores5

La gr0$ica a continuaci3n muestra los $iltros del ti/o 9odo o !ada: /ara una dimensi3n6



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La $recuencia fc2 se denomina $recuencia de corte2 y es la $recuencia 1asta la cual se conservao se eliminan valores de la se8al original A(#)5

El $iltro /asa altas conserva las $recuencias mayores o iguales a $c5 e acuerdo con el $iltromostrado en la $igura anterior (a)2 $iltrar una se8al consiste en multi/licar la $unci3n del $iltrocon la trans$ormada de Fourier de la se8al a $iltrar2 el resultado2 de"e ser ex/resado

nuevamente en el dominio del tiem/o mediante la trans$ormada inversa de Fourier /arao"servar los e$ectos /roducidos /or el $iltrado5

#lustraci3n ?5 Filtrado en dos dimensiones con zonas rectangulares5

7ara el caso de im0genes2 los $iltros son en dos dimensiones2 y en este caso existen dos

$recuencias de corte2 una /ara cada e%e6

El valor de las $recuencias de corte2 usualmente se de$ine a modo de /orcenta%es2 de modo 4uesi fc = 12 /asa toda la imagen2 si fc = 02 se elimina toda la imagen5

Las gr0$icas a continuaci3n muestran el $iltrado mediante /asa "a%os5

#lustraci3n =>5 #m0genes $iltradas con $iltros /asa "a%os5

La imagen derec1a es el resultado de a/licar un $iltro /asa "a%os con fc = 0.0U 5 (e conservael ?k de los /untos de la FF)5 El resultado de a/licar a la misma imagen2 un $iltro /asa



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altos se muestra a continuaci3n6

#lustraci3n ==5 #magen $iltrada con $iltro /asa altos5

7ara im/lementar los $iltros usando el -ctave2 (atla" y otros similares)2 se de"e tomar encuenta 4ue /or cuestiones de algoritmos2 la distri"uci3n de los valores de altas y "a%as$recuencias es contraria a la teoría2 es decir2 4ue las $recuencias "a%as se 1alla u"icadascercanas en las es4uinas y con$orme nos ale%amos de ellas aumenta la $recuencia5

#.# Fi%rado 5spacia%

e usa el t'rmino es/acial /ara designar el /rocesamiento 1ec1o en el dominio del es/acio2 osea2 sin necesidad de a/licar la rans$ormada de Fourier5

Esta clase de $iltros est0 "asada en la convoluci3n de una mascarilla ($iltro) con la imagen a$iltrar5 El resultado es la imagen $iltrada5

#lustraci3n =5 odelo de a/licaci3n de un $iltro como la convoluci3n de la imagen a $iltrarse y el $iltro $(x2y)M $(x2y) V 1(x2y)5

7ara el c0lculo de la convoluci3n2 sim/lemente se 1ace coincidir el centro de la mascarilla conel /ixel a $iltrar2 y se calcula el valor del nivel de gris resultante como la sumatoria de los

/roductos /unto a /unto de las dos im0genes2 la mascarilla y la secci3n de la imagen 4uecu"re la mascarilla5

El /roceso de $iltrado con mascarilla se lo 1ace /ixel /or /ixel2 y generalmente no se e$ect


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=5 La matriz o mascarilla de"e ser sim'trica5 La simetría en dos dimensiones se ve conres/ecto al /ixel central o al centro de la matriz en caso de 4ue la matriz no /osea un /ixelcentral (dimensiones /ares)5 e dice 4ue existe simetría si al recorrer la matriz desde sucentro se tienen los mismos valores en direcciones o/uestas5

E%em/los6

= = = == = @ N @ *= *= >5= *5>= >5=

=> *5>= *=> *5>=

a a @ N @ = *= *= >5= *5>= >5=

a a = =

#lustraci3n =@5 Filtros sim'tricos

2. La otra condici3n es la de ser unitaria2 es decir2 4ue s#&$x(f$"t!o) = 15 Esta condici3n solose a/lica a las mascarillas de los $iltros /asa "a%os5

+ continuaci3n se detallan las mascarillas /ara los $iltros m0s utilizadas y est0ndares5 !ote4ue siguiendo las condiciones 4ue de"e cum/lir un $iltro se /ueden /ro/oner una in$inidad demascarillas 4ue 1agan las la"ores de $iltros /asa "a%os y $iltros en general5

1010 Mascari""a de "os fi"tros Pasa Ba'os o


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101010


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E%em/lo de $iltrado derivativo6



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#. Pro'%emas

= e la imagen en N "its a continuaci3n 1allar6a) El negativo2

") +/licar (r) a la imagen con mM =52 mM >55c) .am"iar mediante el 1istograma a D niveles de gris5d) tretc1ing con variaciones en r de6 >2=[ =2[ 2= y en s de >2N[ N2=[ =2=5

> => = n6 =5 >5

=

=> = => =

=> = =

D!;6

tretc1ing6

e%ore la imagen anterior a/licando el 1istograma5

@ Use el me%oramiento /or 1istograma /ara me%orar y al mismo tiem/o convertir laimagen anterior a @ niveles de gris ( "its)5

N Encuentre la trans$ormaci3n 4ue /ermita ex/resar la imagen anterior en niveles de griscom/rendidos entre N y =5

Halle las trans$ormaciones (sM(r) ) necesarias /ara6

a) .onvertir una imagen de @ a "its6 ") .onvertir el negativo de una imagen de @ "its en "inaria6c) isualizar en N "its la FF de una imagen2 si esta /resenta valores 4ue oscilan entre

=> *= y =>C6

D 7or 4u' el me%oramiento /or la sustracci3n de im0genes no $unciona5

C En 4ue se $undamenta el me%oramiento /or el /romedio5

EL n


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== +/li4ue a la imagen el $iltro /asa "a%os2 /asa altos y Hig1 Boost con + M =55

> ? = r=6 r6 r@6 => = =D =

N =

= ise8e $iltros /asa "a%os con coe$iciente de =&C2 =&2 =&?2 y =&=55

=@ ise8e $iltros /asa altos con elemento central de D2 C2 y =>5

=N +/li4ue el $iltro derivativo de 7reIitt y o"el a la imagen del /ro"lema anterior5.om/are los resultados o"tenidos5

76 6

= Halle la zona 4ue se de"e eliminar /ara $iltrar una imagen de =>> x =>> usandoFourier con un $iltro /asa "a%os2 si $c M >5k5 (e de"e conservar el >5k del total delos /untos)5

=D Halle la zona 4ue se de"e eliminar /ara $iltrar una imagen de =>> x =>> usandoFourier con un $iltro /asa altos2 si $c M >5k5 (e de"e conservar el >5k del total delos /untos)5



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CAPITULO

Procesaiento en Co"or

Huygens2 .1ristiaan(La Haya2 =D?*id52 =D?) atem0tico2 astr3nomo y $ísico 1oland's5

Hi%o del /oeta renacentista .onstantin Huygens2 /ronto demostr3 un gran talento /ara lamec0nica y las matem0ticas5 Estudi3 en la Universidad de Leiden y en el .olegio de Breda5Huygens ad4uiri3 una /ronta re/utaci3n en círculos euro/eos /or sus /u"licaciones dematem0ticas y /or sus o"servaciones astron3micas2 4ue /udo realizar gracias a los adelantos4ue introdu%o en la construcci3n de telesco/ios5 estacan2 so"re todo2 el descu"rimiento del

mayor sat'lite de aturno2 it0n (=D>)2 y la correcta descri/ci3n de los anillos de aturno24ue llev3 a ca"o en =D?5 0s tarde se traslad3 a 7arís2 donde /ermaneci3 desde =DDD a =D=2$ec1a de su regreso a La Haya5 En =DDD $ue miem"ro $undador de la +cademia Francesa de.iencias5 En =DC@ se /u"lic3 su $amoso estudio so"re " !e"o e &Vn#"o2 "rillante an0lisismatem0tico de la din0mica /endular en el 4ue se incluyeron las soluciones com/letas a

/ro"lemas como el /eríodo de oscilaci3n de un /'ndulo sim/le y las leyes de la $uerzacentrí$uga /ara un movimiento circular uni$orme5 .ontem/or0neo de Isaac /eton2 suactitud mecanicista le im/idi3 ace/tar la idea de $uerzas 4ue act)2 y 4ue /ermitía ex/licar los $en3menos de la re$lexi3n yre$racci3n de la luz me%or 4ue la teoría cor/uscular de !eIton5 (iccionario de Biogra$ías2

-c'ano)5



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+ntes de entrar en materia de /rocesamiento en color2 se necesita de$inir algunos t'rminosrelacionados con color6

• Luminancia6 cantidad de luz 4ue el o"servador /uede /erci"ir • 7otencia6 e mide en vatios (I) y corres/onde a la Radiaci3n de energía5• Brillo6 su"%etivo ( no medi"le)

La .#E (siglas en Franc's de6 #nternational .ommision on #llumination)2 1a de$inido loscolores /rimarios Ro%o2 erde y +zul (R;B) con$orme a la longitud de onda de la luz /araestandarizar su uso5 +sí2 los colores R;B /oseen las siguientes longitudes de onda () dentrodel es/ectro visi"le de la luz 4ue va desde los N>> a los CN> nm5

• Ro%o6 R2 M C>> nm• erde6 ;2 M ND5= nm (>)• +zul6 B2 M N@5 nm

Es necesaria la de$inici3n a nivel de longitudes de onda de los colores de"ido a 4ue en generallos colores de/enden de 4uien los mira2 así2 existir0 un con%unto de colores /rimarios R;B /or cada o"servador5

.1 7ode%os de $o%or

00 Mode"o RJB

esde el /unto de vista de colores 4ue se suman (aditivos) como es el caso de la luz2 elmodelo /rimario de color es R;B2 y existe otro modelo2 uno secundario de colores 4ue

/resenta una naturaleza contraria a la aditiva2 este modelo es el .P5

Los colores R;B y .P se relacionan entre sí de acuerdo al modelo R;B (com"inaci3n decolores en Luz) como6

• agenta M Red ] Blue• .yan M ;reen ] Blue• PelloI M Red ] ;reen

La suma en iguales /ro/orciones de los colores R;B nos da el color BL+!.-5 La ausencia

de estos colores es el !E;R-5



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Un diagrama de los colores R;B trazado en las coordenadas R;B se muestra a continuaci3n6

002 Mode"o CMK

El modelo .P (.yan celeste2 agenta morado2 PelloI amarillo) es el utilizado /aracom"inar /igmentos5 esde el /unto de vista de /igmentos este es el modelo /rimario y elR;B es el secundario5 Los colores .P se /ueden u"icar en el gr0$ico R;B tal como lomuestra la $igura anterior2 o en un diagrama con e%es .P2 en cuyo caso2 los colores R;B$igurarían como las es4uinas del cu"o ale%adas de los e%es2 el color Blanco en el origen2 y el

!egro en el v'rtice o/uesto5

En el modelo .P la ausencia de color es el BL+!.- y la com"inaci3n de . y P eniguales /ro/orciones nos da el !E;R-5

En el modelo .P el mane%o de tonalidades en $orma an0loga a la intensidad de coloresR;B se logra con la com"inaci3n de un color logrado mediante una com"inaci3n .P con elcolor Blanco o con el color !egro5 La di$icultad del mane%o de tonalidades en .P 1a dadolugar al modelo .P*2 donde re/resenta el color !E;R-5 -tro es4uema de colores usael "lanco en lugar del negro en com"inaci3n con los colores .P5

El modelo .P* es una variante del .P2 donde signi$ica !egro2 es decir2 /or lo 4ue selo conoce y tam"i'n como .P*B2 /ero esta 9B: /uede con$undirse con el +zul (Blue) delmodelo R;B5



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Oueda como tra"a%o /ara el estudiante consultar como se convierte un modelo .P en.P*5

00; Mode"o KI

Este modelo se usa /ara la transmisi3n de se8ales de 5 Las iniciales P#O re/resentan6

P6 #luminaci3n o "rillo5#6 .om/onente del color /ara ser transmitido con /ortadora en $ase5 (#n/1ase)O6 .om/onente del color /ara ser transmitido con /ortadora en cuadratura5 (Ouadrature)5

.on res/ecto a su relaci3n con R;B2 el modelo P#O re/resenta un color cual4uiera como lacom"inaci3n de Brillo y .ontraste5 La cromancia (color) es la suma del Brillo y el contraste(Hue)5

El Brillo es la cantidad de color o intensidad de las com/onentes R;B2 vistas como tresl0m/aras encendidas con una determinada emisi3n de luz2 cuya com"inaci3n 1ace 4ue un

color se vea m0s o menos "rillante5

El .ontraste (Hue) es el color dominante /erci"ido /or el o"servador2 o la nitidez con 4ue uncolor es /resentado al o"servador5

La .romancia o el color2 resulta entonces una com"inaci3n de las dos anteriores2 es decir2.ontraste ] aturaci3n M .romancia5

Los ristímulos son las tres cantidades de R;B necesarios /ara o"tener un color2 ex/resadoscomo /orcenta%es de R (r)2 ; (g) y B (")5 +sí6

! = J/(J+[+\)

= [/(J+[+\) (=) = \/(J+[+\)

I"ustración 20 #iagraa de Croancia



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.omo r ] g ] " M =2 un color es com/letamente es/eci$icado /or dos de los tres com/onentes5Los com/onentes r2 g2 y " se denominan coe$icientes tricrom0ticos5

001 #iagraa de Croancia

Este diagrama muestra un ma/a de colores en $unci3n de los dos tricrom0ticos r y g5 u uso /rinci/al2 a /esar de estar re/resentado en el modelo R;B es o"tener las com/onentes .P2tal como se ver0 m0s adelante5

El diagrama de cromancia muestra las com/onentes de cada color en los e%es r y g2 /ero comor ] g ] " M =2 el tercer com/onente se o"tiene /or di$erencia5 El e%e r /uede ser el e%e c cons3lo cam"iar su sentido de crecimiento2 lo mismo /ara el e%e g2 con lo 4ue el diagrama decromancia 4uedaría gra$icado en los e%es c y 5

La tercera com/onente del modelo .P se o"tendría mediante la trans$ormaci3n de colores

del modelo R;B al .P2 lo cual determina 4ue la com/onente * sería igual a6

y = 2 ' (c + ) ()

00 Mode"o >,I

Los modelos de color R;B2 P#O2 H# se /ueden usar /ara 1acer /rocesamiento de im0genes2sin em"argo2 s3lo con el modelo H# es /osi"le tra"a%ar con una imagen sin o alterar loscolores2 modi$ic0ndose s3lo el "rillo5

Las iniciales de este modelo son6 Hue (.ontraste)2 aturation (aturaci3n) e #ntensity(#ntensidad)5

Este modelo es similar al P#O2 sin em"argo2 las com/onentes H y no son tratadas como untodo como en el caso de #O en el modelo P#O5 H y de$inen el color e # de$ine la intensidad oel nivel de color2 algo similar al nivel de gris en im0genes ex/resadas en niveles de grises omonocrom0ticas5

La com/onente # del modelo H# es el nivel de color2 es decir2 el 9!ivel de gris: e4uivalentesi la imagen es ex/resada en !iveles de ;ris5

.2 $on6ersión de mode%os de co%or

7ara la conversi3n de un modelo a otro2 se de"e tomar en cuenta 4ue el rango de variaci3n delas com/onentes ser0 siem/re el intervalo cerrado T>2=2 es decir2 4ue los valores de lascom/onentes oscilaran entre > y = inclusive5 onde > signi$ica ausencia de color y = es laex/resi3n m0xima del color2 o el color en su m0xima intensidad5

Estos valores /ro/uestos a4uí de > y = de"er0n a%ustarse a los valores /ermitidos de intensidadde un color en la re/resentaci3n de la imagen5 E%em/lo6 en im0genes monocrom0ticas de =Dniveles de gris2 el valor de m0xima intensidad es =5 +sí el intervalo de color en un es4uemasimilar ser0 de > a = en lugar del de > a =5



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020 #e RJB a CMK

En el diagrama de colores R;B en los e%es R;B2 se /uede o"servar 4ue los colores u"icadosen es4uinas o/uestas como el !egro y el Blanco2 son colores negativos el uno del otro5 +sí2 elBlanco es el negativo del !egro2 el .yan del Ro%o2 el agenta del erde2 y el PelloI del+zul5

En una escala de colores en donde la m0xima intensidad de color sea la unidad2 el negativo deun color se /uede ex/resar como lo 4ue le $alta /ara llegar a su m0xima intensidad2 es decir2un gris es el color "lanco menos la cantidad de color negro lo com/one2 así2 si no 1ay

/resencia de negro el color es com/letamente "lanco5 7or analogía2 el color . sería calculadocomo6 M = 1 - J[ E = 1 - [[ y2 Q = 1 - \5 En $orma matricial la trans$ormaci3n de coloressería6

(@)

0202 #e CMK a RJB

La conversi3n .P a R;B se o"tiene sim/lemente des/e%ando R;B de la ecuaci3n anterior2así6

(N)

020; #e RJB a KI

7ara la conversi3n de R;B a P#O se a/lica la matriz de trans$ormaci3n6

Q

]

J

[

\

= −

−

> ?? >C >==N

>?D > C > @=

> = >@ > @==

5 5 5

5 5 5

5 5 5 ()

Haciendo A la matriz de trans$ormaci3n2 nos 4ueda6



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Q

]

J

[

\

=

Α

020; #e KI a RJB

es/e%ando R;B nos 4ueda6

2 donde AF es la matriz inversa de A5 (D)

0201 #e RJB a >,I

7ara convertir del modelo R;B a H# se necesita de los tricrom0ticos5

\[ J

\

\[ J

J!

\[ J

[

++=

++=

++= onde2 ! + + = 1

Las .om/onentes H# se calcula a /artir de6

(C)

{ }[ ] J [ \

$n J [ \= −+ +

=@

( )2 2

()

[ ] ^

J [ J \

J [ J \ [ \=

− + −

− + − −

−cos( ) ( )

( ) ( )( )=

=

(?)

e de"e corregir el valor de > /or ^ = 380_ - ^ 2 si (\/) > ([/)5 !ote 4ue el rango devariaci3n de los e%es R;B es de > a =5

i = 02 > no est0 de$inida5i = 02 la com/onente , no est0 de$inida5

020 #e >,I a RJB

7ara la conversi3n a R;B desde H#2 se de"e analizar el valor de H5a+ Para : N > ≤2:



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(=>)

(==)

(=)

luego2 se usa J ! [ \ = = =@ @ @2 2 /ara llegar a R;B2 en todos los casos de >5

-+ Para 2: N > ≤21:. /rimero de re calcula ^ como ^ = ^ - 120_ 5

(=@)

(=N)

(=)

c+ Para 2: N > ≤ 21:. /rimero de re calcula ^ como ^ = ^ - 240_ 5

(=D)

(=C)

(=)

al como se ve en la conversi3n de R;B a H#2 la com/onente # no es m0s 4ue la /royecci3nde un color cual4uiera so"re el vector de niveles de grises5 ic1o de otra $orma2 la

com/onente I es el /romedio de las com/onentes R;B (ecuaci3n C)5 La I de H# es entoncesel nivel de gris e4uivalente a un color ex/resado en com/onentes R;B o H#2 y /or ello2 se /ueden a/licar todos los conocimientos de /rocesamiento de im0genes desarrollados /araniveles de gris a im0genes en color5 7or e%em/lo2 se /uede aclarar2 oscurecer2 a/licar el1istograma2 etc5

El /rocesamiento de im0genes usando H# di$iere del realizado en R;B /or4ue en H# no sealteran los colores2 sin em"argo2 a /esar del cam"io de colores2 si se usa el /rocesamiento deim0genes en color tra"a%ando inde/endientemente en cada una de sus com/onentes5

.! p%icaciones de co%or

Uno de los /ro"lemas m0s comunes /ara los desarrolladores de /0ginas Ie" es la



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com"inaci3n de colores entre el color de $ondo y el color del texto2 o entre los di$erentescolores de texto 4ue /uedan ir acorde con un $ondo o con los colores cor/orativos 4ueidenti$ican a una em/resa5

En el es4uema R;B 4ue se usa /ara de$inir un color en 1tml2 se tiene un universo de =D decolores (=D2CCC2=D colores) de modo 4ue la ">>>5 7ara o"tener el negativo s3lo se necesitarestar las com/onentes del m0ximo valor 4ue es FFFFFF5

Mo"o! neat$o = AAAAAA - co"o! o!$$na" (=?)

E%em/los6

El negativo de "lanco (FFFFFF) es el negro (>>>>>>)5El negativo del amarillo (FFFF>>) es el azul (>>>>FF)5El negativo del color (@NF=C) es (.B>E)5El negativo del color (D?=+) es (?DCE+)5

i tenemos el color +=N@2 se /uede o"tener tonalidades de este color "ase 4ue tengan untinte m0s ro%o si aumentamos su valor de nivel ro%o2 /or e%em/lo cam"iando += /or B>5 e

/uede lograr el mismo e$ecto si en vez de aumentar su com/onente ro%a2 se disminuyen lasotras dos com/onentes2 así el color +=@ ser0 m0s ro%o 4ue el color original2 /ero conmenor intensidad de color2 es decir2 m0s oscuro5 En general si se desea cam"iar el color original 1aci'ndolo m0s verde2 ro%o2 azul2 magenta2 celeste o amarillo2 lo 4ue se de"e 1acer esaumentar el valor de las com/onentes del color o disminuir los valores de com/osici3n delcolor negativo5

7ara aclarar u oscurecer un color se de"e aumentar o disminuir los valores de todas lascom/onentes5 i en el a$0n de aclarar un color /roducimos su saturaci3n en uno de suscom/onentes2 se /uede continuar aclarando el color aumentando las otras com/onentes 1asta

llegar al color m0s claro de todos 4ue es el "lanco5 e igual $orma el m0ximo oscurecimientode un color ser0 cuando todas sus com/onentes 1ayan llegado a cero5 !o es correcto a$irmar 4ue si en una com/onente ya se 1a alcanzado el límite no es /osi"le aclarar m0s u oscurecer m0s un color2 el límite es el color "lanco (FFFFFF) o el color negro (>>>>>>)res/ectivamente5 La recomendaci3n /ara com"inar colores se resume a continuaci3n6

=5 Buscar tonalidades m0s claras o m0s oscuras del mismo color55 Buscar tonalidades m0s ro%as2 verdes2 azules2 celestes2 magentas2 o amarillas del color5@5 7ara com"inar colores se /uede usar como /rimera o/ci3n el negativo2 si no es

adecuados se /ueden usar variaciones del color negativo seg


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5 El color 4ue siem/re com"inar0 con colores oscuros es el "lanco5 Entonces2 lastonalidades m0s oscuras del color negativo com"ina siem/re con colores claros5

E%em/lo6 Halle com"inaciones

procesamiento de imágenes visión de un daltonico

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