procesamiento digital de señales de audio€¦ · • a la fase se le suma la fase de la respuesta...
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Procesamiento digital de senales de audio
Filtros digitales
Instituto de Ingenierıa Electrica, Facultad de IngenierıaUniversidad de la Republica, Uruguay
Grupo de Procesamiento de Audio
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 1 / 63
Agenda
1 Conceptos basicosCaracterizacion e implementacionClasificacion y parametrosRespuesta en frecuencia
2 Filtros corrientes en procesamiento de audioFiltro de media movilFiltros IIR de primer y segundo ordenFiltros de Chebyshev
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 2 / 63
Introduccion
Aplicaciones de filtros digitales
• Separacion de senales que fueron combinadas desafortunadamenteI ruidoI interferencias provenientes de otros sistemas
• Recuperacion de senales distorsionadas de alguna formaI por ejemplo, al ser trasmitidas a traves de un canal de comunicacion
• Analisis de senales de audioI procesamiento en bandas de frecuencia al filtrar con un banco de filtros
• Sıntesis de sonido: creacion o modificacion de senales para moldearespectros o formas de onda y lograr el efecto auditivo buscado.
I sıntesis por modelado fısico
• Efectos de audioI reverb, chorus, flanger, phaser
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 4 / 63
Caracterizacion de filtros LTI
Algunas formas de caracterizar un filtro
• Respuesta al impulso
• Respuesta en frecuencia
• Funcion de transferenciaI Coeficientes de recursionI Polos y Ceros
A partir de cualquiera de las caracterizaciones, queda determinada la salidadel filtro ante cualquier entrada.
0 10 20−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Am
plit
ud
Muestras
Respuesta al impulso
0 1 2 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Magnitud
Frecuencia normalizada (rad)
Respuesta en frecuencia
−1 0 1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
6
Parte real
Part
e im
agin
aria
Funcion de transferencia
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 5 / 63
Caracterizacion de filtros LTI
Respuesta al impulso
ppio. de superposicion
La salida y [n] se calculacomo el producto
convolucion entre larespuesta al impulso h[n]
y la entrada x [n].
y [n] = (x ∗ h)[n]
=∞∑k=0
h[k]x [n − k]
[caso causal, h[n] = 0 si n < 0]
0 10 20−0.5
0
0.5
1
Entrada
0 10 20−0.5
0
0.5
1
0 10 20−2
−1
0
1
2
Muestra
0 10 20−0.5
0
0.5
1
Salida
0 10 20−0.5
0
0.5
1
0 10 20−2
0
2
4
Muestra
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 6 / 63
Caracterizacion de filtros LTIRespuesta en frecuencia
• La respuesta en frecuencia es la Transformada de Fourier de TiempoDiscreto de la respuesta al impulso,
h[n]DTFT←→ H(e jθ) =
∞∑n=−∞
h[n] e−jθn
• Las transformadas de Fourier de la entrada y la salida (X (e jθ) y Y (e jθ)respectivamente) del sistema se relacionan por
Y (e jθ) = H(e jθ)X (e jθ)
Observaciones• En el caso general, es una funcion que toma valores complejos.
• Es periodica de perıodo 2π.
• La representacion en notacion polar muestra de forma clara las propiedadesdel sistema.
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Caracterizacion de filtros LTI
Funcion de transferencia
• La funcion de transferencia es la Transformada Z de la respuesta al impulso,
h[n]Z←→ H(z) =
∞∑n=0
h[n] z−n
• Las transformadas Z de la entrada y la salida del sistema se relacionan por
Y (z) = H(z)X (z)
• La funcion de transferencia de un filtro recursivo es una funcion racional(cociente de polinomios),
y [n] = −a1y [n − 1]− · · · − aNy [n − N]+
b0x [n] + b1x [n − 1] + · · ·+ bMy [n −M]
H(z) =Y (z)
X (z)
=b0 + b1z
−1 + · · ·+ bMz−M
1 + a1z−1 + · · ·+ aNz−N
• Si la transformada Z es racional, queda (casi) completamente especificadamediante el diagrama de polos y ceros.
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Caracterizacion de filtros LTI
Funcion de transferencia
−1.5−1
−0.50
0.51
1.5 −1.5−1
−0.50
0.51
1.5−1
−0.5
0
0.5
1
Parte imaginaria
Filtro Butterworth de orden 6
6
Parte real
|H(z
)|
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
Frecuencia normalizada (rad)
|H(e
jθ)|
La respuesta enfrecuencia se obtiene
evaluando la funcion detransferencia en la
circunferencia unidad,
H(e jθ) = H(z)|z=e jθ
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Implementacion de filtros
Convolucion
• Convolucion de la senal deentrada con la respuesta alimpulso del filtro.
• La salida del filtro en cadainstante es un promedioponderado de la muestra actual ymuestras pasadas de la entrada.
Respuesta al impulso finita (FIR)
Ecuacion en recurrencia
• El filtro se define por loscoeficientes de recursion.
• La salida en cada instanteinvolucra ademas de muestras dela entrada, muestras pasadas dela salida.
Respuesta al impulso infinita (IIR)
y [n] = (x ∗ h)[n]
=M∑k=0
h[k]x [n − k]
y [n] = a1y [n − 1] + a2y [n − 2]
+ b0x [n] + b1x [n − 1] + b2x [n − 2]
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Implementacion de filtros
Comparacion entre filtros FIR e IIR
Caracterıstica FIR IIR
Implementacion Producto convolucion Ecuacion en recurrencia
Costo Alto Bajocomputacional La respuesta al impulso tiene A lo sumo decenas de
cientos o miles de muestras. coeficientes de recursion.
Muy flexible y sencillo Poco flexible y difıcilDiseno sinc enventanado Transformaciones de
muestreo en frecuencia prototipos analogicos
Pueden hacerse FaseRespuesta en fase de fase lineal no lineal
Respuesta al impulso simetrica Respuesta al impulso infinita
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Filtros selectores de bandas de frecuencia
0
1
Magnitud
Pasabajos
00
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Magnitud
Pasabanda
00
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Frecuencia normalizada (rad)
Magnitud
Pasaltos
00
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Frecuencia normalizada (rad)
Magnitud
Suprimebanda
0
Banda de
transición
Banda
pasante
Banda
atenuada
Ejemplo de filtro Butterworth de orden 6 como selector de bandas de frecuencias
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Filtros selectores de bandas de frecuencia
Filtros selectores de frecuencias
El objetivo es permitir pasar inalterada cierta banda de frecuencias ybloquear completamente el resto. Hay cuatro tipos basicos: pasa-bajos,pasa-altos, pasa-banda y suprime-banda.
Clasificacion de las regiones de filtros selectores
Banda pasanteRango de frecuencias que el filtro permitepasar sin alterar.
Banda atenuada Rango de frecuencias que el filtro bloquea.
Banda de transicionRegion entre la banda pasante y la bandaatenuada.
Frecuencia de corteFrecuencia entre la banda pasante y labanda de transicion.
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Filtros selectores de bandas de frecuencia
Parametros de la respuesta en frecuencia
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frecuencia
Am
plit
ud
Roll−off
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frecuencia
Am
plit
ud
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
FrecuenciaA
mplit
ud
Ripple
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frecuencia
Am
plit
ud
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
Frecuencia
Am
plit
ud
(dB
)
Atenuacion
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
Frecuencia
Am
plit
ud
(dB
)
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Filtros selectores de bandas de frecuencia
Parametros de la respuesta en frecuencia
Parametros que miden la calidad del filtro como selector de frecuencias.
Roll-off
Es el ancho de la banda de transicion. Un filtrode roll-off rapido significa que la banda detransicion es angosta. Para separar componentesde frecuencia cercanos, el roll-off debe ser rapido.
Ripple en la bandapasante
Amplitud de las oscilaciones en la banda pasantede la respuesta en magnitud. Para no alterar lamagnitud de los componentes espectrales de labanda pasante, el filtro no debe tener ripple.
Atenuacion en la bandaatenuada
Es deseable buena atenuacion en la bandaatenuada para eliminar los componentesespectrales en esa region.
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Respuesta en frecuencia
Efecto de la respuesta en magnitud y fase
Las transformadas de Fourier de laentrada y la salida del sistema serelacionan por:
Y (e jθ) = H(e jθ)X (e jθ)
Con la respuesta en frecuencia expresadaen notacion polar, la magnitud y la fasede la transformada de Fourier de laentrada y la salida estan dadas por:
|Y (e jθ)| = |H(e jθ)| |X (e jθ)|∠Y (e jθ) = ∠H(e jθ) + ∠X (e jθ)
Cada componente espectral de la entrada aparece a la salida con las siguientesmodificaciones:
• La magnitud queda multiplicada por la magnitud de la respuesta enfrecuencia en la frecuencia del componente.
• A la fase se le suma la fase de la respuesta en frecuencia en la frecuencia delcomponente.
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Respuesta en frecuencia
Efecto de la respuesta en magnitud y fase
Si la magnitud y fasedel filtro para ciertafrecuencia es
|H(e jθ0)| = G0
∠H(e jθ0) = φ0
Entrada
x [n] = sen(θ0n)
Salida
y [n] = G0 sen(θ0n+φ0)
00
Magnitud y fase de la respuesta en frecuencia
Magnitud
00
Radia
nes
Frecuencia (rad)
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Respuesta en Frecuencia
Respuesta en Fase
Entrada
x [n] = sen(θ0n)
Salida
y [n] = G0 sen(θ0n + φ0)
El cambio de fase se puedeconsiderar como un retardo de lasenal.
y [n] = G0 sen
[θ0
(n −
(−φ0
θ0
))]Retardo de fase: cantidad demuestras que se retarda cadafrecuencia.
τφ = −φ(θ)
θ
Otra forma de ver lo mismo: la fasedividida 2π indica la cantidad deperiodos que se desplaza elcomponente.
y [n] = G0 sen
[θ0n + 2π
(φ0
2π
)]Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 18 / 63
Respuesta en frecuencia
Ejemplo: efecto de la respuesta en magnitud y fase
0 0.25 1 1.5 3.14160
0.089
0.6031
1
Respuesta en magnitud
Magnitud
0 0.25 1 1.5 3.1416
−10.8333
−9.2799
−4.1978
0
Respuesta en fase
Radia
nes
0 0.25 1 1.5 3.14160
7.2222
9.2799
16.7913
Retardo de fase
Muestras
Frecuencia (rad)
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Respuesta en frecuencia
Ejemplo: efecto de la respuesta en magnitud y fase
120 130 140 150 160 170 180 190 200
−1
0
1
2
16.79 muestras
Entrada de frecuencia θ1
= 0.25 radianes. Ganancia: 1.00, retardo de fase: 16.79 muestras.
120 130 140 150 160 170 180 190 200
−1
0
1
2
9.28 muestras
Entrada de frecuencia θ2
= 1 radianes. Ganancia: 0.60, retardo de fase: 9.28 muestras.
120 130 140 150 160 170 180 190 200
−1
0
1
2
7.22 muestras
Entrada de frecuencia θ3
= 1.5 radianes. Ganancia: 0.09, retardo de fase: 7.22 muestras.
Numero de muestra
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 20 / 63
Respuesta en frecuencia
Ejemplo: distorsion de fase de filtros de fase no lineal
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
Filtro FIR de fase lineal
Ma
gn
itu
d
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−20
−15
−10
−5
0
Fa
se
(ra
d)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
5
10
15
Re
tard
o d
e F
ase
(m
ue
str
as)
Frecuencia (rad)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
Filtro IIR de fase no lineal
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−10
−5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
5
10
15
Frecuencia (rad)
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 21 / 63
Respuesta en frecuencia
Ejemplo: distorsion de fase de filtros de fase no lineal
0 50 100 150 200 250
−2
0
2
Entrada
Am
plit
ud
0 50 100 150 200 250
−2
0
2
Salida del filtro de fase lineal
Am
plit
ud
0 50 100 150 200 250
−2
0
2
Salida del filtro de fase no lineal
Am
plit
ud
Numero de muestra
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 22 / 63
Respuesta en frecuencia
Filtros de fase lineal
CausasLa respuesta en fase es lineal para todas las frecuencias si la respuesta alimpulso es simetrica o antisimetrica respecto a una muestra cualquiera.
Se deduce a partir de las siguientespropiedades de la DTFT:
h[n]real y par
DTFT←→ H(e jθ)real y par
h[n − n0]DTFT←→ H(e jθ)e−jθn0
ConsecuenciasLa fase del filtro es lineal con pendiente igual al ındice de la muestra desimetrıa n0,
φ(θ) = −θn0
El retardo de fase es constante para todas las frecuencias e igual al ındicede la muestra de simetrıa.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 23 / 63
Respuesta en frecuencia
Filtros de fase lineal
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−0.5
0
0.5
1
Am
plit
ud
FIR Tipo I − Numero de muestras impar, simetria par
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−0.5
0
0.5
1
FIR Tipo II − Numero de muestras par, simetria par
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−0.5
0
0.5
1
Numero de muestra
Am
plit
ud
FIR Tipo III − Numero de muestras impar, simetria impar
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−0.5
0
0.5
1
Numero de muestra
FIR Tipo IV − Numero de muestras par, simetria impar
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 24 / 63
Respuesta en frecuencia
Respuesta en fase
• El retardo de fase indica la cantidad de muestras que se retarda cadacomponente espectral. En general, componentes de distintas frecuencias seretardan cantidades diferentes.
• Si el filtro es de fase lineal, el retardo de fase no depende de la frecuencia yequivale a retardar la senal completa. Este efecto en general no es nocivo ypuede ser compensado.
• Si el filtro no es de fase lineal, se produce distorsion de fase. La forma deonda de la senal se modifica al ser filtrada.
• Los filtros FIR se disenan a partir de la respuesta al impulso. Es facilimponer fase lineal haciendo que la respuesta al impulso sea simetrica.
• Los filtros recursivos se especifican a partir de los coeficientes y suelen tenerrespuesta al impulso infinita. No es posible imponer fase lineal.
• En situaciones donde no se requiere causalidad es posible realizar un filtradode fase nula con un filtro de fase no nula mediante el filtrado bidireccionalde fase nula.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 25 / 63
Filtro de media movil
Definicion
En un filtro de media movil de largo M, la salida consiste en el promediode las ultimas M muestras de la entrada,
y [n] =1
M
M−1∑k=0
x [n − k]
Implementacion por recursion
• Calculo de dos muestras sucesivas:
y [n] =x [n] + · · ·+ x [n − (M − 1)]
M, y [n−1] =
x [n − 1] + · · ·+ x [n −M]
M• Es posible calcular y [n] a partir de y [n − 1] como
y [n] = y [n − 1] +x [n]− x [n −M]
M.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 27 / 63
Filtro de media movil
Respuesta al impulso
Filtro de media movil Producto convolucion
y [n] =M−1∑k=0
1
Mx [n − k] y [n] = (h∗x)[n] =
+∞∑k=−∞
h[k]x [n−k]
Respuesta al impulso
hma[n] =
1M si n = 0, . . . , M − 1
0 en otro caso−10 −5 0 5 10
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
Am
plitu
d
Numero de muestra
Respuesta al impulso (M=5)
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 28 / 63
Filtro de media movil
Respuesta en frecuencia
La respuesta en frecuencia del filtro de media movil es
H(e jθ) = e−jθ(M−1)/2 1
M
sin(θM/2)
sin(θ/2)Seno cardinal discreto
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Magnitud
Frecuencia (radianes)
M=2
M=3
M=11
M=31
Observaciones
La fase es lineal,
φ(θ) = −θ(M − 1)/2
El retardo de fase esconstante,
τφ = (M − 1)/2.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 29 / 63
Filtro de media movil
Aplicacion: suavizado
0 100 200 300 400−0.5
0
0.5
1
1.5
Am
plit
ud
Numero de muestra
Senial original
0 100 200 300 400−0.5
0
0.5
1
1.5
Am
plit
ud
Numero de muestra
Media movil de 11 muestras
0 100 200 300 400−0.5
0
0.5
1
1.5
Am
plit
ud
Numero de muestra
Media movil de 51 muestras
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 30 / 63
Filtro de media movil
Caracterısticas• Es un filtro FIR.
• Como su respuesta al impulso es simetrica, es de fase lineal. Elretardo de fase es constante.
• Tiene un comportamiento de filtro pasabajos, pero sus caracterısticascomo pasabajos son malas,
I pobre roll-off.I mala atenuacion en altas frecuencias.
• Es de costo computacional bajo gracias a su implementacion enrecurrencia (2 sumas y una multiplicacion en cada paso).
• Su desempeno es optimo para reduccion de ruido blanco.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 31 / 63
Diseno a partir de la ubicacion de polos y ceros
Efecto de un polo y un cero
• Se considera un filtro recursivo cuya funcion de transferencia tiene uncero y un polo en a y b respectivamente,
H(z) =1− bz−1
1− az−1=
z − b
z − ay [n] = ay [n−1] +x [n]−bx [n−1]
• El modulo de la transformada Z en cierto punto del plano z0 es
|H(z0)| =|z0 − b||z0 − a|
=dist(z0, b)
dist(z0, a)
Esto permite a grande rasgos deducir la forma de la transformada Z y enparticular, el valor en la circunferencia unidad.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 32 / 63
Diseno a partir de la ubicacion de polos y ceros
Efecto de un polo y un cero
−2
0
2
−3
−2
−1
0
1
2
3
0
0.5
1
1.5
2
Parte real
Transformada Z
Parte imaginaria
|H(z
)|
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.4
1.6
1.6
1.8
z
dz
dp
Superficies de nivel de la magnitud de |H(z)|
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 33 / 63
Diseno a partir de la ubicacion de polos y ceros
Efecto de un polo y un cero
• La transformada Z en los puntos del plano mas cercanos al cero queal polo van a tener menor magnitud que 1. La magnitud es maspequena a medida que el punto esta mas cercano al cero.
• La transformada Z en los puntos del plano mas cercanos al polo queal cero van a tener mayor magnitud que 1. La magnitud es mayor amedida que el punto esta mas cercano al polo.
• El efecto del polo y el cero se cancela en distancias grandes.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 34 / 63
Filtros IIR de primer orden - Pasa-bajos
Cero en z = 0, Polo en 0 < z < 1
−1.5−1
−0.50
0.51
1.5
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Parte real
Transformada Z
Parte imaginaria
|H(z
)|
−1 −0.5 0 0.5 1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Parte real
Parte
imagin
aria
Diagrama de polos y ceros
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 35 / 63
Filtros IIR de primer orden - Pasa-bajos
Respuesta en frecuencia en funcion de la posicion del polo
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Parte real
Part
e im
agin
aria
Diagrama de polos y ceros
z
p=0.9
zp=0.7
zp=0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Frecuencia normalizada (rad)
Am
plit
ud
Respuesta en frecuencia.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 36 / 63
Filtros IIR de primer orden - Pasa-bajos
Caracterısticas
Funcion de transferencia Ecuacion en recurrencia
H(z) =Y (z)
X (z)=
b0
1− a1z−1=
b0z
z − a1y [n] = a1y [n − 1] + b0x [n]
• Restriccion de ganancia 1 en continua:
H(e jθ)∣∣∣θ=0
= 1 o equivalentemente, H(z)∣∣∣z=1
= 1 =⇒ b0 = 1− a1
• Respuesta en frecuencia:
H(e jθ) =b0
1− a1 cos θ + ja1 sin θ|H(e jθ)|2 =
b20
1 + a21 − 2a1 cos θ
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 37 / 63
Filtros IIR de primer orden - Pasa-altos 1
Respuesta en frecuencia en funcion de la posicion del polo
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Parte real
Part
e im
agin
aria
Diagrama de polos y ceros
z
p=−0.9
zp=−0.7
zp=−0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Frecuencia normalizada (rad)
Am
plit
ud
Respuesta en frecuencia.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 38 / 63
Filtros IIR de primer orden - Pasa-altos 2
Respuesta en frecuencia en funcion de la posicion del polo
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Parte real
Part
e im
agin
aria
Diagrama de polos y ceros
z
p=0.9
zp=0.7
zp=0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Frecuencia normalizada
Am
plit
ud
Respuesta en frecuencia.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 39 / 63
Filtro IIR de segundo orden
Resonadores
• Los filtros de un solo polo pueden resonar en continua (polo positivo)o en la frecuencia de Nyquist (polo negativo).
• Para que un filtro resuene en cualquier frecuencia, se necesitan paresde polos complejos conjugados.
Funcion de transferencia
H(z) =
(z − rze
jθz) (
z − rze−jθz
)(z − rpe jθp
) (z − rpe−jθp
)=
z2 − 2rzz cos θz + r2z
z2 − 2rpz cos θp + r2p
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 40 / 63
Filtros IIR de segundo orden - Resonadores
rz = 0, rp ≈ 1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5 −1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
0
2
4
6
8
10
Parte imaginaria
Transformada Z
Parte real
|H(z
)|
−1 −0.5 0 0.5 1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Parte real
Pa
rte im
ag
ina
ria
Diagrama de polos y ceros
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 41 / 63
Filtros IIR de segundo orden - Resonadores
Respuesta en frecuencia en funcion de la magnitud de los polos
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
2
Parte real
Part
e im
agin
aria
Diagrama de polos y ceros
rp=0.98
rp=0.9
rp=0.8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Frecuencia normalizada
Am
plit
ud
Respuesta en frecuencia.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 42 / 63
Filtros IIR de segundo orden - Filtros “notch”
rz = 1, θz = θp
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5 −1.5−1
−0.50
0.51
1.5
0
0.5
1
1.5
2
Parte imaginaria
Transformada Z
Parte real
|H(z
)|
−1 −0.5 0 0.5 1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Parte real
Parte
imagin
aria
Diagrama de polos y ceros
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 43 / 63
Filtros IIR de segundo orden - Filtros “notch”
Respuesta en frecuencia en funcion de la magnitud de los polos
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Parte real
Part
e im
agin
aria
Diagrama de polos y ceros
rp=0.98
rp=0.9
rp=0.8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Frecuencia normalizada
Am
plit
ud
Respuesta en frecuencia.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 44 / 63
Filtros de Chebyshev
Descripcion
• Son filtros IIR usados para separar bandas de frecuencias (pasa-bajos,pasa-altos, pasa-banda o suprime-banda).
• Surgen de la transformacion de filtros analogicos al dominio discreto.El nombre se debe a que su respuesta en frecuencia se basa en lospolinomios de Chebyshev.
• En general, el diseno consiste en construir un filtro pasa-bajos y luegoaplicar alguna transformacion en frecuencia para convertir a otro tipode filtro (por ejemplo, pasa-altos).
• Su desempeno es optimo en cuanto al compromiso entre el roll-off yel orden del filtro. Suelen ser la primera eleccion cuando se pretendeimplementar un filtro de seleccion de frecuencias de buen desempeno.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 45 / 63
Filtros de Chebyshev
Caracterısticas• Estan disenados para tener el roll-off mas rapido posible a costa de permitir
ripple. Son filtros optimos en este sentido: dado el orden (cantidad depolos) y el ripple permitido, tienen el roll-off optimo.
• El ripple esta presente en la banda pasante o en la banda atenuante, pero noen ambas.
• Involucran un compromiso entre el roll-off y el ripple. Cuanto mayor es elripple permitido, mas rapido es el roll-off.
• Pueden disenarse para que el ripple sea nulo. En este caso, reciben elnombre de filtro Butterworth.
Clasificacion• Filtros Butterworth: no tienen ripple.
• Tipo I: Tienen ripple en la banda pasante.
• Tipo II: Tienen ripple en la banda atenuante.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 46 / 63
Filtro de Butterworth
Caracterısticas• No tiene ripple.
• Se disena especificando tres parametros: el tipo de respuesta(pasa-bajos, pasa-altos), la frecuencia de corte y el orden.
• Al aumentar el orden, el roll-off mejora (manteniendo la frecuencia decorte constante).
• Al aumentar el orden, crece el retardo de grupo, o equivalentemente,la fase es menos lineal.
• El roll-off depende de la frecuencia de corte para un orden fijo.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 47 / 63
Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth con distintas frecuencias de corte
1
Ma
gn
itu
d
−1 −0.5 0 0.5 1−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Parte real
Pa
rteim
ag
ina
ria
Frecuencia (rad)
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 48 / 63
Filtro de Butterworth
Magnitud de la transformada Z
−1.5−1
−0.50
0.51
1.5 −1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5−1
−0.5
0
0.5
1
Parte imaginaria
Filtro Butterworth de orden 6
6
Parte real
|H(z
)|
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 49 / 63
Filtro de Butterworth
Filtro Butterworth de distintos ordenes
00
1
Frecuencia (rad)
Ma
gn
itu
d
N = 4
N = 8
N = 16
−1 0 1
−1
−0.5
0
0.5
1
4
Pa
rteim
ag
ina
ria
−1 0 1
−1
−0.5
0
0.5
1
8
Pa
rteim
agin
aria
−1 0 1
−1
−0.5
0
0.5
1
16
Parte real
Pa
rteim
ag
ina
ria
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 50 / 63
Filtro de ButterworthRoll-off al variar la frecuencia de corte (orden 4)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Frecuencia normalizada
Magnitud
fc=0.1
fc=0.2
fc=0.3
fc=0.4
fc=0.5
fc=0.6
fc=0.7
fc=0.8
fc=0.9
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 51 / 63
Filtro de Butterworth
Construccion de filtro pasa-altos
Para convertir filtros pasabajos en filtros pasa-altos se emplea la tecnica dereversion espectral. Consiste en modificar la respuesta al impulso de forma tal quela respuesta en frecuencia se desplace circularmente π radianes en frecuencia.
• Se basa en la siguiente propiedad de la DTFT:
(−1)nh[n]DTFT←→ H(e j(θ+π))
• En la funcion de transferencia, equivale a rotar todoel plano complejo un cantidad π radianes:
(−1)nh[n]Z←→ H(−z)
• Esto implica que los coeficientes de la ecuacion enrecurrencia del filtro se modifican como:
arevi = (−1)iai brevi = (−1)ibi
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 52 / 63
Filtro de ButterworthConstruccion de filtro pasa-altos a partir de pasa-bajos
00
1
Frecuencia (rad)
Ma
gn
itu
d
00
1
Frecuencia (rad)
Ma
gn
itu
d
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
8
Parte real
Pa
rte
ima
gin
aria
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
8
Parte real
Pa
rte
ima
gin
aria
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 53 / 63
Filtro de ButterworthFiltros Butterworth pasabanda y subprimebanda
Se obtienen a partir de filtros Butterworth pasabajos mediante otrastransformaciones de la funcion de transferencia.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frecuencia (rad)
Magnitud
Filtro Butterworth pasabanda de orden 8
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Parte real
Part
e im
agin
aria
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frecuencia (rad)
Magnitud
Filtro Butterworth suprimebanda de orden 8
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Parte real
Part
e im
agin
aria
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 54 / 63
Filtros Chebyshev
Caracterısticas• Permiten ripple en la banda pasante o en la banda atenuada.
• Se disenan especificando cuatro parametros: el tipo de respuesta(pasa-bajos, pasa-altos), la frecuencia de corte, el orden y el ripple endecibeles (en la banda pasante si es de tipo I o en la banda atenuadasi es de tipo II).
• Al aumentar el orden, el roll-off mejora (dejando la frecuencia decorte constante y el ripple constante).
• Al permitir mayor ripple, el roll-off mejora respecto al filtro deButterworth del mismo orden.
• El roll-off depende de la frecuencia de corte para un orden y ripple fijo.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 55 / 63
Filtro de Chebyshev Tipo I
Filtro de Chebyshev con distintos valores de ripple admitidos
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Magnitud
Filtro Chebyshev Tipo I (orden= 4, θc = pi/2)
ripple=1
ripple=0.5
ripple=0.1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Frecuencia (rad)
Magnitud (
dB
)
ripple=1
ripple=0.5
ripple=0.1
−1 0 1
−1
−0.5
0
0.5
1
4
Part
e im
agin
aria
−1 0 1
−1
−0.5
0
0.5
1
4
Part
e im
agin
aria
−1 0 1
−1
−0.5
0
0.5
1
4
Part
e im
agin
aria
Parte real
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 56 / 63
Filtro de Chebyshev
Magnitud de la transformada Z
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
0
0.5
1
1.5
2
Filtro Chebyshev Tipo I de orden 8
|H(z
)|
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 57 / 63
Filtro de Chebyshev Tipo II
Filtro de Chebyshev con distintos valores de ripple admitidos
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
Frecuencia (rad)
Magnitud (
dB
)
Filtro Chebyshev Tipo II (orden= 4, θc = pi/2)
ripple=40
ripple=60
ripple=80
−1 0 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Part
e im
agin
aria
−1 0 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Part
e im
agin
aria
−1 0 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Part
e im
agin
aria
Parte real
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 58 / 63
Filtros Elıpticos
Filtro Elıptico con distintos valores de ripple admitidosPermiten ripple en las dos bandas
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Frecuencia (rad)
Ma
gn
itu
d
Filtro Eliptico (orden= 4, θc = pi/2)
rbp=1, rba=20
rbp=0.5, rba=30
rbp=0.1, rba=40
−1 0 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Part
e im
ag
ina
ria
−1 0 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Pa
rte im
agin
aria
−1 0 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Pa
rte
im
ag
inaria
Parte real
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 59 / 63
Comparacion de filtros Chebyshev
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Comparacion de filtros Chebyshev de orden 4 (rbp = 0.5, rba = 30)
Frecuencia (rad)
Am
plit
ud
Butterworth
Chebyshev Tipo 1
Eliptico
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 60 / 63
Comparacion de filtros Chebyshev
Observaciones• Los filtros Butterworth tienen el roll-off mas rapido posible considerando los
filtros de respuesta plana.
• Los filtros Elıpticos tienen el roll-off mas rapido posible admitiendo ripple.
• El roll-off depende del orden del filtro y del ripple permitido. Cuanto mayores el orden y el ripple permitido, mas rapido es el roll-off.
• En los filtros Chebyshev el roll-off depende de la frecuencia de corte, siendomas rapido en las frecuencias de los extremos del espectro.
• Son filtros mas eficientes computacionalmente respecto a los filtros FIR deseleccion de frecuencias (por ejemplo, sinc enventanado).
• Tienen respuesta en fase no lineal. Esta es la principal desventaja respecto alos filtros FIR de seleccion de frecuencias.
• El orden no se puede aumentar arbitrariamente porque aparecen problemasde estabilidad.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 61 / 63
Bibliografıa por tema
• Conceptos basicos [Smith, 1997]I Caracterizacion e implementacionI Clasificacion y parametrosI Respuesta en frecuencia [Smith, 2007]
• Filtros corrientes en procesamiento de audio [Smith, 1997]I Filtro de media movilI Filtros IIR de primer y segundo orden [Oppenheim et al., 1999]I Filtros de Chebyshev [Steiglitz, 1996]
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 62 / 63
Referencias I
Oppenheim, A. V., Schafer, R. W., and Buck, J. R. (1999).Discrete-Time Signal Processing.Prentice Hall, 2nd edition.
Smith, J. (2007).Introduction to Digital Filters with Audio Applications.W3K Publishing.
Smith, S. W. (1997).The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing.California Technical Pub., 1st edition.
Steiglitz, K. (1996).Digital Signal Processing Primer: With Applications to Digital Audioand Computer Music.Prentice Hall.
Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 63 / 63