procesamiento digital de señales: transformada z · transformada z. cada una de estas...
TRANSCRIPT
![Page 1: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/1.jpg)
Procesamiento Digital de Señales:
Transformada Z
![Page 2: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Objetivo
Presentar los aspectos generales de la transformada Z, sus propiedades y las técnicas relacionadas con su uso en sistemas discretos.
Dar una introducción a las transformaciones directa e inversa, los pares de transformación así como su empleo en la identificación de sistemas y en el análisis de señales.
El alumno aprenderá las capacidades y limitaciones de la transformada Z, así como los procedimientos comúnmente empleados en la identificación de sistemas.
Al finalizar esta unidad el alumno deberá ser capaz de manejar dichas transformaciones y construir soluciones con base en estas.
![Page 3: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/3.jpg)
Relación con la transformada de Fourier
La transformada de Laplace, empleada en señales continuas, tiene su equivalente para señales discretas en forma de la Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes de Fourier.
La transformada Z es una generalización de la Transformada discreta de Fourier
Al igual que la transformada de Laplace, la Transformada Z tiene la ventaja de permitir la convergencia de mayor número de señales que gracias a la inclusión de un exponente complejo, (en el caso de Laplace se usa una exponencial compleja).
Transformada Z
![Page 4: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/4.jpg)
La transformada discreta de Fourier:
La transformada de una serie h[n] está definida como:
Al separar los términos independientes de los dependientes:
Transformada Z
zn → H ( z)=∑n=−∞
∞
h[n ] zn−k
H (Ω)=H (e jω)=∑n=−∞
∞
h (k )e− j ωk
zn → H ( z)=zk ∑n=−∞
∞
h [n ] z−n
![Page 5: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/5.jpg)
Sustituyendo la variable compleja z por la representación en forma polar (r e jw), se puede representar X(z) en términos de la Transformada de Fourier:
Con esto se observa que la Transformada Z equivale a la transformada de Fourier multiplicada por una secuencia exponencial.
Transformada Z
X (z)=X (r e jω) = ∑
n=−∞
∞
x [n ](r e jω)−n
X (r e j ω) = ∑
n=−∞
∞
x [n]r−n e− j ωn
![Page 6: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/6.jpg)
Se puede también observar que la Transformada de Fourier discreta (de una secuencia) coincide con la transformada Z si se la evalúa sobre el círculo unitario (i.e. R = 1 ).
Transformada Z
X (r e jω)= ∑
n=−∞
∞
x [n]r−n e− jω n
![Page 7: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/7.jpg)
Transformada Z
Ventajas
La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias.
Permite la utilización de la Teoría de variable compleja en problemas de señales y sistemas discretos
Facilita la resolución de problemas analíticos.
Análogamente a la Transformada de Fourier, la transformada Z convierte una convolución en el domino temporal en una multiplicación en el dominio Z.
![Page 8: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/8.jpg)
Transformada Z
Ventajas
Su principal uso se encuentra en el análisis y síntesis de filtros digitales.
La configuración de las singularidades determina el tipo de filtro digital, bien recursivo o no recursivo, y puede usarse para interpretar su comportamiento frecuencial.
La cuestión de la estabilidad puede enfocarse en términos de la localización de los polos en el plano Z (Dentro del circulo unitario)
![Page 9: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/9.jpg)
Representación General
En general y[n] = (x[n])
Al aplicar Transformada Z a esta ecuación queda como :
Y(z) = Z{ (x[n])}
entonces el objetivo es estudiar esa ecuación en el plano z
Transformada Z
Sistema Lineal Invariante en Tiempo
(LTI)
x[n] Z{x[n]}=X(z) y[n] Z{y[n]}=Y(z)
![Page 10: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/10.jpg)
Definición
Dada una función x(n) su Transformada Z Bilateral sera:
mientras que la Transformada inversa Bilateral se define:
x [n ]↔ XB( z)= ∑n=−∞
∞
x [ n ] z−n
x [n ]=1
2πj∮ X B ( z ) z
n−1dz ↔ X B( z )
Transformada Z
![Page 11: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/11.jpg)
Definición
De igual manera la su Transformada Z Unilateral de x(n) se define como:
y su Transformada inversa Unilateral igual a:
x [n ]↔ XU ( z )=∑n=0
∞
x [n ] z−n
x [n ]=1
2πj∮ X U ( z ) z
n−1dz ↔ X U ( z )
Transformada Z
![Page 12: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/12.jpg)
Propiedades
El operador Z denota la transformación:
mientras que el operador Z-1 se usa para denotar la transformación inversa:
1.- Linealidad:
XU ( z )=Z {x [n ]}
Z { a∗x1[n ]+b∗x2[n ] }= a∗X1( z )+b∗X 2( z )
Transformada Z
x [n ]=Z−1
{X U ( z )}
![Page 13: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/13.jpg)
Propiedades
2.- Desplazamiento en el tiempo:
3.- Corrimiento en fase:
4.- Operación escalar en el dominio de Z
Z { z0n x [n ] }= X ( z
z0)
Z { e jω 0n x [n ] }= X (e− jω0 z )
Transformada Z
Z { x [n−n0 ]u [n−n0 ] }= z−n
0 X ( z )
![Page 14: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/14.jpg)
Propiedades
5.- Inversión de Tiempo:
6.- Diferenciación en frecuencia:
7.- Conjugación:
Z { x [−n ] } = X ( 1z )
Transformada Z
Z { nx [n ] } =−zdX ( z )
dz
Z { x* [n ] } = X *( z*)
![Page 15: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/15.jpg)
Propiedades
8.- Expansión en el tiempo:
9.- Convolución:
Z { x1[n ]∗x2[n ] } = X1( z ) X 2( z )
Transformada Z
Sea x(k )[n ]= x [ n /k ] , si n es múltiplo de k 0 , si n no es múltiplo de k
entonces , Z {x( k )[n ]}=X ( zk)
![Page 16: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/16.jpg)
Pares Transformados
1)
2)
3)
4)
Transformada Z
Aδ [n−m ]↔ Az−m
Au [n ]↔A
1−z−1=Az
z−1
Aα nu [n ]↔A
1−αz−1=Az
z−α
nαnu [n ]↔αz−1
(1−αz−1)
2=
αz
( z−α )2
![Page 17: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/17.jpg)
Pares Transformados
5)
6)
7)
8)
Transformada Z
cos(ω0 n )u [n ]↔1−cos(ω0 ) z−1
1−2cos(ω0 ) z−1+ z−2 =
z2−cos(ω0 ) z
z2−2cos(ω0 ) z+1
sen (ω0 n )u [n ]↔sen(ω0 ) z−1
1−2cos(ω0 ) z−1+ z−2 =
sen(ω0) z
z2−2cos(ω0) z+1
rn cos(ω0 n )u [n ]↔1−[ r cos(ω0 )] z−1
1−2r cos(ω0 ) z−1+r2 z−2 =
z2−[ r cos(ω0 )] z
z2−2r cos(ω0 ) z+r2
rn sen(ω0 n )u[n ]↔[ r sen(ω0) ] z−1
1−2r cos(ω0) z−1+r2 z−2 =
[r sen(ω0 )] z
z2−2r cos(ω0) z+r2
![Page 18: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/18.jpg)
Región de convergencia (ROC)● Para una secuencia dada, es el conjunto de valores de z para los cuales la Transformada Z converge. En general son regiones anulares del plano Z: Rx - < | z | < Rx + donde Rx - puede ser tan pequeño como 0 y Rx + tan grande como ∞.
● Si X(z) es una función racional ( N(z) / D(z) ), las raíces de N(z) son los ceros de X(z). Las raíces de D(z) son los polos de X(z) (valores finitos de z que provocan X(z) = ∞). Además, hay que considerar los valores particulares z = 0 y z = ∞.
Transformada Z
![Page 19: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/19.jpg)
Limites de Región de Convergencia
La región está limitada por los polos de la transformada
La secuencia:
Y su transformada:
Transformada Z
x [n]=anu [n]
X [ z ]=∑n=−∞
∞
an⋅u [n]⋅z−n
=∑n=−∞
∞
(a⋅z−1)n
X [ z ]=1
1−a⋅z−1 para ∣z∣>∣a∣
X [ z ]=z
z−a
![Page 20: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/20.jpg)
Limites de Región de Convergencia
La región está limitada por los polos de la transformada
La secuencia:
Y su transformada:
Transformada Z
x [n]=anu [n]
X [ z ]=∑n=−∞
∞
an⋅u [n]⋅z−n
=∑n=−∞
∞
(a⋅z−1)n
X [ z ]=1
1−a⋅z−1 para ∣z∣>∣a∣
X [ z ]=z
z−a
![Page 21: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/21.jpg)
Limites de Región de Convergencia
La región está limitada por los polos de la transformada
La secuencia:
Y su transformada:
Transformada Z
x [n]=anu [n]
X [ z ]= ∑n=−∞
∞
an⋅u [n]⋅z−n
= ∑n=−∞
∞
(a⋅z−1)
n
X [ z ]=1
1−a⋅z−1 para ∣z∣>∣a∣
X [ z ]=z
z−a
![Page 22: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/22.jpg)
Limites de Región de Convergencia● Secuencia de –∞ a +∞ (longitud infinita):
La convergencia requiere que n1 ≤ n ≤ n2 para | x[n] | < ∞
● Casos particulares: z = ∞, si n1 < 0 y z = 0, si n
2 > 0
ROC : 0 < | z | < ∞ y puede incluir z = 0 ó z = ∞
Transformada Z
X [ z ]=∑n=n1
n2
x [n ]⋅z−n
![Page 23: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/23.jpg)
Limites de Región de Convergencia● Secuencia hacia la derecha: x[n] = 0 para n < n
1
ROC : exterior del círculo | z | > Rx -
● Caso particular: La sumatoria diverge para z = ∞, si n
1 < 0
● Si la ROC incluye a z = ∞ entonces se trata de una secuencia causal
Transformada Z
X [ z ]=∑n=n1
∞
x [n ]⋅z−n
![Page 24: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/24.jpg)
Limites de Región de Convergencia● Secuencia hacia la izquierda: x[n] = 0 para n > n
2
ROC : interior de un círculo | z | < Rx +
● Caso particular: La sumatoria diverge para z = 0, si n
2 > 0
● Si converge para z = 0 entonces x[n] = 0 para n ≥ 0
Transformada Z
X [ z ]= ∑n=−∞
n2
x [n]⋅z−n
![Page 25: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/25.jpg)
Limites de Región de Convergencia● Secuencia bilateral:
ROC : hacia la derecha | z | > Rx -
ROC : hacia la izquierda | z | < Rx +
● ROC: si Rx- < Rx + , región anular Rx- < | z | < Rx +
si Rx- > Rx + entonces NO existe región común y la sumatoria diverge
Transformada Z
X [ z ] = ∑n=−∞
∞
x [n]⋅z−n= ∑
n=0
∞
x [n]⋅z−n+ ∑
n=−∞
−1
x [n]⋅z−n
![Page 26: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/26.jpg)
Resumen (ROC)● La región de convergencia de la transformadas racionales de z no pueden contener ningún polo y está limitada por los polos o por 0 o ∞.
● En el caso general de secuencias bilaterales, algunos de los polos contribuyen sólo para n ≥ 0 y el resto sólo para n ≤ 0.
● Suponiendo una transformada que presenta tres polos (en z = a, b, c) en la figura se muestran las cuatro posibles elecciones para la región de convergencia.
Transformada Z
![Page 27: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/27.jpg)
Resumen (ROC)● La primera región corresponde a una secuencia hacia la derecha, la segunda a una secuencia hacia la izquierda, y las dos restantes a secuencias bilaterales.
Transformada Z
a b ca b c a b c a b c
Plano Z
![Page 28: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/28.jpg)
Métodos de Transformación Inversa
1) Integración en el campo complejo.
2) Identificación en una tabla de Transformadas.
2.1) Expansión en Fracciones Parciales.
2.2) División Larga.
Z - Transformada Inversa
![Page 29: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/29.jpg)
Teoremas del valor inicial y valor final
1) Teorema del Valor Inicial.
Si Z{x[n]} = X(z) entonces:
2) Teorema del Valor Final
Si Z{x[n]} = X(z) entonces:
Z - Transformada Inversa
x [0 ]= limz →∞
X ( z )
)()1( ][1
zXz-limnxlimzn
![Page 30: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/30.jpg)
Sea:
Aplicando la transformada Z a ambos lados:
La ecuación en diferencias se convierte en un problema algebraico, despejando Y(z):
Y se aplica la transformada inversa:
Solución de ecuaciones diferenciales
y [ n+1 ]−ay [ n ]=x [n ]
z [Y ( z )− y [ 0 ] ]−aY ( z )=X ( z )
Y ( z )=X ( z )+zy [ 0 ]
z−a
y [ n ]=Z−1{X (z )+zy [0 ]
z−a }=Z−1{ z−1 X (z )
1−az−1 }+ y [0 ]Z−1 { 11−az−1 }
![Page 31: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/31.jpg)
Donde
Da como resultado:
Solución de ecuaciones diferenciales
y [ n ]=x [ n ]* an+ y [ 0 ] an
y [ n ]=Z−1{X (z )+zy [0 ]
z−a }=Z−1{ z−1 X (z )
1−az−1 }+ y [0 ]Z−1 { 11−az−1 }
![Page 32: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/32.jpg)
Ejemplo 1:
con C.I. y[-1] = 1
Aplicando la Transformada Z a ambos miembros
Despejando Y(z):
Y ( z )+3y [−1 ]+3z−1 Y ( z )=1
1−z−1
Y ( z )=1−3y [−1 ](1− z−1
)
(1−z−1 )(1+3z−1)=
3z−1−2
(1−z−1 )(1+3z−1 )
Solución de ecuaciones diferenciales
y [ n ]+3y [n−1 ]=x [ n ]=u[ n ]
![Page 33: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/33.jpg)
Ejemplo 1:
Resolviendo:
Y ( z )=A
(1+3z−1 )+
B
(1−z−1)
Y ( z )=1−3y [−1 ](1− z−1
)
(1−z−1 )(1+3z−1)=
3z−1−2
(1−z−1 )(1+3z−1 )
Solución de ecuaciones diferenciales
3z−1−2
(1−z−1 )(1+3z−1 )=
A(1+3z−1 )
+B
(1− z−1 )
![Page 34: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/34.jpg)
Ejemplo 1:
Sustituyendo z-1:
Para z-1=1
Solución de ecuaciones diferenciales
3z−1−2
(1−z−1 )(1+3z−1 )=
A(1+3z−1 )
+B
(1− z−1 )
3z−1−2=A (1−z−1
)+B(1+3z−1)
3(1)−2=A (1−1)+B(1+3 (1))
1=4 B → B=1 /4
![Page 35: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/35.jpg)
Ejemplo 1:
Sustituyendo z-1: para z-1= -1/3
Por lo tanto:
Lo que permite calcular su transformada inversa
Solución de ecuaciones diferenciales
3z−1−2=A (1−z−1
)+B(1+3z−1)
3(−1 /3)−2=A(1−(−1 /3))+B(1+3 (−1/3))
−3=4 /3 A → A=−9/ 4
Y ( z )=−9/ 4
(1+3z−1 )+
1/4
(1−z−1)
![Page 36: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/36.jpg)
Ejemplo 1:
Lo que permite calcular su transformada inversa usando:
Solución de ecuaciones diferenciales
y [ n ]=((−9/ 4 )(−3 )n+1/4 )u [n ]
Z−1 [Y ( z )]=Z−1[ −9/ 4
(1+3z−1 )+
1/4
(1−z−1 ) ]
Au [n ]↔A
1−z−1
Aα nu [n ]↔A
1−αz−1
![Page 37: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/37.jpg)
Ejemplo 2:
con C.I. y[0] = 4, y[1] = 2
Aplicando la Transformada Z a ambos miembros
Agrupando Y(z):
z2 Y (z )−z2 y[0 ]−zy[1] −0.8 z Y (z)−(−0.8 )zy [0] +0.25 Y (z )=10 z
z−0.5
Solución de ecuaciones en diferencias
y [n+2]−0.8 y [n+1]+0.25 y [n] = x [n ]= 10(0.5)n
(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)−z2 y [0]−zy [1 ] +0.8 zy[0 ] =10 z
z−0.5
![Page 38: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/38.jpg)
Ejemplo 2:
Sustituyendo las condiciones iniciales con C.I. y[0] = 4, y[1] = 2
Despejando Y(z):
Solución de ecuaciones diferenciales
(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)−z2 y [0]−zy [1 ] +0.8 zy[0 ] =10 z
z−0.5
(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)−4z2−2z +3.2z =10 z
z−0.5
(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)= 10 zz−0.5
+4z2+2z−3.2z
(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)= 10 zz−0.5
+(4z2
+2z−3.2z) (z−0.5)
z−0.5
![Page 39: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/39.jpg)
Ejemplo 2:
Lo que resulta en:
Solución de ecuaciones diferenciales
(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)= 10 zz−0.5
+(4z2
+2z−3.2z) (z−0.5)
z−0.5
(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)= 10 zz−0.5
+(4z3
+2z2−3.2z2
−2z2−z+1.6z )
z−0.5
(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)=(4z3
−3.2z2+10.6z )
z−0.5
Y (z )=(4z3
−3.2z2+10.6z)
(z−0.5 )(z2−0.8 z+0.25 )
![Page 40: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/40.jpg)
Ejemplo 2:
Resolviendo en expansión de fracciones parciales:
Solución de ecuaciones diferenciales
Y (z )=(4z3
−3.2z2+10.6z)
(z−0.5 )(z2−0.8 z+0.25 )
Y (z )=(4z3
−3.2z2+10.6z)
(z−0.5 )(z2−0.8 z+0.25 )
Y (z )=z( A(z−0.5 )
+B
(z−0.5 e j0.6435)+
C(z−0.5e− j0.6435))
![Page 41: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/41.jpg)
Ejemplo 2:
Resultando en: A = 100, B = -48 +j16, C = -48 -j16
Y con la transformada inversa igual a:
Solución de ecuaciones diferenciales
Y (z )=(4z3
−3.2z2+10.6z)
(z−0.5 )(z2−0.8 z+0.25 )
y[n ]=100(z−0.5 )n−(0.5)
n(96cos (0.6435n )+(32sen (0.6435n )))u [n ]
Y (z )=z( A(z−0.5 )
+B
(z−0.5 e j0.6435)+
C(z−0.5e− j0.6435))
![Page 42: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/42.jpg)
Representación Gráfica
Sistemas Discretos Lineales
Se emplean tres elementos básicos:
1) Unidad de retraso.
2) Unidad multiplicadora.
3) Unidad de suma.
![Page 43: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/43.jpg)
Representación Gráfica
Sistemas Discretos Lineales
1) Unidad de retraso. La relación característica para esta unidad es:
Retraso de 2 unidades de tiempo:
y (k ) = u(k−1)
Z-1u(k ) y (k ) = u(k−1)
Z-1u(k ) y (k ) = u(k−2)Z-1u(k−1)
![Page 44: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/44.jpg)
Representación Gráfica
Sistemas Discretos Lineales
2) Unidad Multiplicadora. La relación característica para esta unidad es:
En algunas ocasiones se representa sólo como un enlace:
y (k ) = a⋅u(k )
u(k ) y (k ) = a⋅u(k )a
u(k ) y (k ) = a⋅u(k )a
![Page 45: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/45.jpg)
Representación Gráfica
Sistemas Discretos Lineales
3) Unidad de Suma. La relación característica para esta unidad es:
y (k ) = u1(k)+u2(k )
u1(k ) y (k ) = u1(k )+u2(k )+
u2(k )
u1(k )y (k ) = u1(k )+u2(k )+
u2( k )
![Page 46: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/46.jpg)
10 1 1
10 1 1
... ( )( )
( ) ...
m mm m
n nn n
b z b z b z bq zH z
p z a z a z a z a
11 2
1 21
( )( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ... ( ) ( )
m
jjmn
ni
i
z cz c z c z c
z p z p z p z p
1. Sistema en cascada
Función de transferencia
![Page 47: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/47.jpg)
2. Sistema inverso ( ) ( )Y z U z
12
1( )
( )H z
H z
1 2( ) ( ) ( ) 1H z H z H z
La convolución en este caso resulta:
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i
y k h i k i i k i k
Función de transferencia
![Page 48: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/48.jpg)
2. Sistema retroalimentado
Función de transferencia
1
1 2
( )( )
1 ( ) ( )
H z
Y zH z H z
![Page 49: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/49.jpg)
● Un sistema discreto es estable cuando produce una salida acotada al aplicársele una entrada acotada ● Los sistemas discretos estables se caracterizan porque todos sus polos se ubican en el plano complejo z , dentro de un círculo centrado en el origen de radio unitario
Estabilidad de los sistemas Discretos
![Page 50: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/50.jpg)
La localización de los polos de H(z) en el plano z permite caracterizar efectivamente las propiedades de la respuesta para un sistema discreto lineal.
A.- Polo real en . z aLa respuesta característica es de la forma cos ( ) kAr k
Donde A y Φ son constantes obtenidas de la expansión en fracciones parciales y: 2 2r a b 1tan
b
a
Estabilidad de los sistemas Discretos
![Page 51: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/51.jpg)
Casos:
1- . Sistema inestable. La respuesta a impulso es una oscilación creciente en magnitud.
2- . Sistema inestable. La respuesta es una oscilación parecida a un senoide con magnitud constante.
3-. Sistema estable. El resultado es una oscilación parecida a una senoide decreciente en magnitud.
2 2 1a b
2 2 1 a b
2 2 1a b
Estabilidad de los sistemas Discretos
![Page 52: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/52.jpg)
Son los que tienen una influencia de mayor importancia sobre la respuesta transitoria. Son los polos que están más cerca del circulo unitario.
Ej p1 y p2.
Filtros digitales: Se asume que la entrada a un sistema es una señal senoidal pura.
1( ) u t sen T
1( ) u t sen k T
Polos Dominantes
![Page 53: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/53.jpg)
Representación General
En general h[n] = ([n]) y[n] = x[n] * h[n]
Al aplicar Transformada Z a esta ecuación queda como :
Y(z) = X(z)H(z)
Respuesta de un Sistema Discreto en Z
Sistema Lineal Invariante en Tiempo (LTI)
Inicialmente en reposo
n h[n]
![Page 54: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/54.jpg)
Función de transferencia● Despejando H(z) se tiene:
Donde H(z) es la Transformada Z de la respuesta impulsiva h[n].
● A la función H(z) también se le conoce como Función del sistema o Función de Transferencia.
● El conocimiento de la Función de Transferencia de un sistema proporciona un conjunto de informaciones importantes acerca del sistema que representa
H (z) =Y (z)X (z)
Respuesta de un Sistema Discreto en Z
![Page 55: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/55.jpg)
Función de transferencia● El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema proporciona información acerca de su respuesta natural y de la estabilidad
● POLOS: p es un polo de un sistema si H(p)
●CEROS: c es un cero de un sistema si H(c) 0
Respuesta de un Sistema Discreto en Z
![Page 56: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/56.jpg)
Ejemplo 3 : Función de transferencia
Los ceros del sistema son: c1=-0.5 y c2=0.3j
Los polos del sistema son: p1 = -0.3, p2 = -0.2, p3 = -0.3-4j y p4 = -0.3+4j
Respuesta de un Sistema Discreto en Z
H ( z )=( z+0 .5 )( z−0.3j )
( z+0 .3 )( z+0. 2 )( z2+0. 6z+0. 25 )
H ( z )=( z+0 .5 )( z−0 .3j)
( z+0. 3 )( z+0.2 )( z+0. 3+ j0 . 4 )( z+0 .3− j0 . 4 )
![Page 57: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/57.jpg)
Ejemplo 3 : Función de transferencia
c1=-0.5 y c2=0.3j
p1 = -0.3, p2 = -0.2
p3 = -0.3-4j y
p4 = -0.3+4j
Respuesta de un Sistema Discreto en Z
ASL/RAD/2001
Re(z)
Imag(z)
0.3
-4
-0.2-0.3
-0.5
4
1
-1
1
-1
![Page 58: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/58.jpg)
Respuesta de un Sistema Discreto en Z
Sistemas de Primer Orden● Un sistema de primer orden tiene las siguientes características:
y [n ]−ay [n−1 ]=x [n ] H ( z )=1
1−az−1 =
zz−a
h [n ]=anu [n ] yu [n ]=
11−a
[ 1−an+1 ] u [n ]
![Page 59: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/59.jpg)
Respuesta de un Sistema Discreto en Z
Sistemas de Primer Orden● Respuesta del sistema
00,5
11,5
22,5
33,5
44,5
-4 1 6 11 16
yu[n]
h[n]
a = 0.75
![Page 60: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/60.jpg)
Respuesta de un Sistema Discreto en Z
Sistemas de Primer Orden
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5Respuesta Impulsiva de un Sistema Discreto de Primer Orden
Tiempo n
h[n]
a = 0.75
![Page 61: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/61.jpg)
Respuesta de un Sistema Discreto en Z
Sistemas de Primer Orden
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
1
2
3
4
5Respuesta Escalón de un Sistema Discreto de Primer Orden
Tiempo n
yu[n
]
a = 0.75
![Page 62: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/62.jpg)
Respuesta de un Sistema Discreto en Z
Sistemas de Segundo Orden● Un sistema de segundo orden tiene las siguientes características:
y [n ]−2r cos(θ ) y [n−1 ]+r2
y [n−2 ]=x [n ]
con 0<r<1 y 0≤θ≤π
H ( ejω)=
1
1−2r cos(θ )e− jω
+r2e
− j2ω
![Page 63: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/63.jpg)
Respuesta de un Sistema Discreto en Z
Sistemas de Segundo Orden● Un sistema de segundo orden tiene las siguientes características:
h [n]={(n+1)r
nu [n ] si θ=0
rn sen((n+1)θ )
sen(θ )u [n ] si 0<θ<π
(n+1)(−r )nu [n ] si θ=π
}H (e
jω)=
1
1−2r cos(θ )e− jω
+r2e
− j2ω
![Page 64: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/64.jpg)
Respuesta de un Sistema Discreto en Z
Sistemas de Segundo Orden● Un sistema de segundo orden tiene las siguientes características:
h [n]={(n+1)r
nu [n ] si θ=0
rn sen((n+1)θ )
sen(θ )u [n ] si 0<θ<π
(n+1)(−r )nu [n ] si θ=π
}H (e
jω)=
1
1−2r cos(θ )e− jω
+r2e
− j2ω
![Page 65: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/65.jpg)
Respuesta de un Sistema Discreto en Z
Sistemas de Segundo Orden
serán y de valoresparaescalón y impulso respuestas las de gráficas las
)sen(2y
)sen(2 donde
si ][1
)()1(
)1(
)(
)1(
1
0 si ][ 1
)(1
1
)(1
0 si ][1
)1()1()1(
1
][y
22
11
1
2
1
2
u
r
je
Bj
eA
nur
rrn
r
rr
r
nure
reB
re
reA
nur
rnrr
r
n
jj
nn
j
nj
j
nj
nn
![Page 66: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/66.jpg)
Respuesta de un Sistema Discreto en Z
Sistemas de Segundo Orden
0
0,5
1
1,5
2
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-3
-2
-1
0
1
2
3
r = 0.75
= 0°
r = 0.75
= 45°
r = 0.75
= 180°
0
0,5
1
1,5r = 0.5
= 0°
![Page 67: Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022020414/5ba29ac709d3f208588c3720/html5/thumbnails/67.jpg)