PRODUCTO NOTABLES Y CÁLCULOS NOTABLE

✓ BINOMIO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA

Observa cómo se calcula el producto de (𝑥 + 11) y (𝑥 − 11):

(𝑥 + 11)(𝑥 − 11) = 𝑥2 + (−11 + 11)𝑥 − 121

= 𝑥2 + 0𝑥 − 121

= 𝑥2 − 121

Ahora en términos generales, multipliquemos el “binomio

suma” (x+ a) por el “binomio resta” (x-a); entonces:

(𝑥 + 𝑎). (𝑥 − 𝑎) = 𝑥2 + (−𝑎 + 𝑎)𝑥 − 𝑎2

= 𝑥2 − 𝑎2

Por lo tanto, se puede escribir el producto notable:

(𝑥 + a). (𝑥 − 𝑎) = 𝑥2 − 𝑎2

Productos notables: Se llaman productos notables a aquellos

resultados de la multiplicación entre 2 polinomio que tienen

características especiales.

“El producto de la suma de dos

términos por la diferencia de los

mismos términos, es igual al

cuadrado del primer termino

menos el cuadrado del segundo”.

X a

(x-a)

A Rectángulo =A1+A2

Analicemos las figuras geométricas que

corresponde a las áreas (A1, A2) que

forman el rectángulo:

Rectángulo de lados x y (x-a):

𝐴1 = 𝑥(𝑥 − 𝑎) = 𝑥2 − 𝑎𝑥

x

x-a

Rectángulo de lados a y (x-a)

a

(𝑥 − 𝑎)

𝐴2 = 𝑎(𝑥 − 𝑎) = 𝑎𝑥 − 𝑎2

A Rectángulo =A1+A2

𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 − 𝑎2 = 𝑥2 − 𝑎2

A Rectángulo = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)

A1 A2

A1

Interpretación Grafica

✓ CUADRADO DE UN BINOMIO

Observa cómo se calcula el producto de (𝑥 + 9) 𝑦 (𝑥 + 9)

(𝑥 + 9)(𝑥 + 9) = 𝑥(𝑥 + 9) + 9(𝑥 + 9)

= 𝑥2 + 9𝑥 + 9𝑥 + 81

= 𝑥2 + 18𝑥 + 81

En forma general:

(𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2

(𝑥 − 𝑎)2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2;

(𝑥2 + 4𝑥 + 4)(𝑥 + 2)

A2

✓ CUBO DE UN BINOMIO

observa cómo se calcula (𝑥 + 2)3:

(𝑥 + 2) = (𝑥2 + 4𝑥 + 4)(𝑥 + 2) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥2 + 8𝑥 + 4𝑥 + 8

(𝑥 + 2)3 = 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8

Ahora en términos generales:

(𝑥 + 𝑎) = (𝑥 + 𝑎)2(𝑥 + 𝑎) = (𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2)(𝑥 + 𝑎) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥2 + 2𝑎2𝑥 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3

(𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥3 + 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 + 𝑎3

(𝑥 − 𝑎)3 = (𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2)(𝑥 − 𝑎) = 𝑥3 − 𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑥2 + 2𝑎2𝑥 + 𝑎2𝑥 − 𝑎3

(𝑥 − 𝑎)3 = 𝑥3 − 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 − 𝑎3

✓ PRODUCTO DE 2 BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN

Observa cómo se calcula el producto de (x+5) y (x+3):

(𝑥 + 5). (𝑥 + 3) = 𝑥(𝑥 + 3) + 5(𝑥 + 5)

= 𝑥2 + 3𝑥 + 5𝑥 + 15

= 𝑥2 + (3 + 5)𝑥 + 15

= 𝑥2 + 𝑥 + 15

Ahora, en términos generales, multipliquemos los binomios (x+a) y (x+b):

(𝑥 + 𝑎). (𝑥 + 𝑏) = 𝑥(𝑥 + 𝑏) + 𝑎(𝑥 + 𝑏)

= 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏

= 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

Por lo tanto, se puede escribir el producto notable:

(𝑥 + 𝑎). (𝑥 + 𝑏) 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

✓ INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE ESTE PRODUCTO

Considerando que (x+a) es el largo de un rectángulo y que (x+b) es su ancho

El área del rectángulo es

A Rectángulo: A1 + A3 +A3 +A4

Veamos ahora la figura geométrica corresponde cada una de las áreas A1, A2,A3,A4

Cuadrado de lado X

X

X

A1: x2

Rectángulo de lado b y x

X

b A2=b x x

Rectángulo de lados x y a

a

x A3=a x x

rectángulo de lados b y a:

a

b A4=a x b

Por lo tanto

𝐴 Rectángulo =𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏

=𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

A1

A2

A3

A4

✓ COCIENTES NOTABLES

Se llaman consientes notables a la división entre 2 polinomios que tienen características

especiales.

1. 𝑎4−𝑏4

𝑎−𝑏= 𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3

2. 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 es divisible por a+b siendo n un numero par.

𝑎4 − 𝑏4

𝑎 + 𝑏= 𝑎3 − 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 − 𝑏3

3. 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 es divisibles por a+b siendo n un número impar

𝑎5 + 𝑏5

𝑎 + 𝑏= 𝑎4 − 𝑎3𝑏 + 𝑎2𝑏2 − 𝑎𝑏3 + 𝑏4

4. 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 nunca es divisible por a+b ni por a-b siendo n un numero par:

Ni 𝑎4+𝑏4

𝑎+𝑏 ni

𝑎4+𝑏4

𝑎−𝑏 Son exactas.

De los anteriores ejemplos, podemos ver algunas particularidades del cociente obtenido:

1.Tiene tantos términos como lo indica el exponente n.

2. Su grado es una unida menor que el grado del dividendo.

3.Su primer término tiene exponente n-1 y en los términos siguientes va decreciendo en 1 el

exponente del primer elemento a, mientras aumenta el exponente del segundo elemento b.

4. La suma de los exponentes en cualquier termino, es siempre igual a n-1.

➢ ACTIVIDADES DE AFIANZAMIENTOS

1. Completa en tu cuaderno cada igualdad teniendo en cuenta que en cada caso se ha

desarrollado el cuadrado de una diferencia:

a. (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2__ __ 2𝑎𝑏 __ __𝑏2

b. (𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥2__ __ 2𝑥𝑦 __ __𝑦2

2. Calcula el cuadrado de la suma de los siguientes trinomios (Sugerencia: Asocia los términos de cada expresión):

a. (2𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2

b. (3𝑎 + 𝑏 − 𝑐)2

3. Calcula aplicando el producto notable de la forma (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑏) 𝑜 (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏):

a. (𝑥 − 9)(𝑥 − 12)

b. (𝑎 − 4)(𝑎 − 2)

c. (2

3𝑎−3 + 1) (

2

3𝑎−3 − 4)

d. (3

4𝑎4 − 2) (

3

4𝑎4 + 17)

4. Resuelve aplicando el cuadrado:

a. (𝑎 − 3)2

b. (2𝑎 + 5)2

c. (3

5𝑥−1 + 0.7𝑦)2

d. (0.8𝑟−3 −10

7𝑡2)2

5. Desarrolla aplicando el cubo:

a. (2𝑎 + 1)3

b. (3𝑎 − 2)3

c. (4

3𝑥 − 3)

3

d. (3

4𝑥 −

4

3𝑦)

5

6. Completa en tu cuaderno, teniendo en cuenta que en cada caso se trata del cuadrado de una suma: a. (𝑥 +____ )2=𝑥2 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦4

b. (𝑥 +____ )2=𝑥6 + 2𝑦𝑥3 + 𝑦2

7. Escribe cada expresión como el cuadrado de un binomio suma: a. 𝑥2 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦4

b. 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2

c. 𝑚2 + 2𝑚𝑛 + 𝑛2

8. Escribe como el cuadrado de un binomio diferencia:

a. 𝑚2 − 2𝑚𝑛 + 𝑛2

b. 𝑎2𝑥2 − 2𝑎𝑥𝑏𝑦 + 𝑏2𝑦2

c. 100𝑚2 − 80𝑚𝑦2 + 16𝑦4

➢ Resuelve los siguientes problemas:

En el triángulo, la longitud de la base y de la altura es h. Si ambas longitudes disminuyen r

metros, determina su nueva área.

Un terreno cuadrado de b metros de lado, se transforma en otro de forma rectangular,

aumenta el frente c metros y disminuyendo el fondo en la misma longitud. Determina su

nueva área.

Determina el volumen de un cubo cuya arista mide (3𝑎 − 2 )centímetros, a>0

1 si las áreas del cuadrado amarillo y el cuadrado

verde son las que se muestran en la figura, los

rectángulos azules tienen cada uno un área de:

a. 𝑎𝑏

b. (𝑏 − 𝑎)𝑎

c. (𝑎 − 𝑏)𝑏

d. (𝑎 − 𝑏)𝑎

e. (𝑎 − 𝑏)𝑎

3. El producto notable cuya interpretación geométrica se escribe en la figura es:

a. (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 − 𝑏2

b. (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 − 𝑏2

c. (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 − 𝑏2

d. (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Desarrolla tus competencias

2. Si el área del cuadrado mayor, se le restan las áreas correspondientes a los rectángulos

azules y al cuadrado verde, se obtiene la expresión algebraica:

a. 𝑎2 + 2(𝑎 + 𝑏) − 𝑏2

b. 𝑎2 − 2(𝑎 − 𝑏) − 𝑏2

c. 𝑎2 + 2(𝑎 − 𝑏) + 𝑏2

d. 𝑎2 − 2(𝑎 − 𝑏) + 𝑏2

Así cómo es posible descomponer un numero en factores primos, también podemos descomponer un polinomio en factores primos. Este procedimiento se conoce con el nombre de factorización. Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

la frase siguiente fue escrita en una tableta de arcilla por los matemáticos babilonios unos 2000 años a. C.: “El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de tres términos: el primero es el cuadrado del primer término, el segundo es el doble del producto de los dos números y el tercero es el cuadrado del segundo número” los matemáticos griegos, unos 500 años a. C., explicaban geométricamente lo mismo con la siguiente figura:

=

+

+

✓ FACTOR COMÚN MONOMIO

Ejemplo:

Factorizar 12𝑎4 + 14𝑎𝑏

Solución:

El factor común es 2a, por lo tanto, los términos que van dentro del paréntesis son:

12 𝑎4

2𝑎= 6𝑎3 y

14𝑎 𝑏

2 𝑎= 7b. Luego:

12𝑎4 + 14𝑎𝑏 = 2𝑎(6𝑎3 + 7𝑏).

✓ FACTOR COMÚN POLINOMIO

Ejemplo:

Factorizar: 𝑎3 (𝑎 − 𝑏 + 1) − 𝑏2(𝑎 − 𝑏 + 1)

Solución:

Los dos términos de esta expresión tienen como factor común el trinomio 𝑎 − 𝑏 + 1.

Se escribe (𝑎 − 𝑏 + 1) como primer factor dentro de un paréntesis se escriben los cocientes

de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común, así:

Por lo tanto: 𝑎3(𝑎 − 𝑏 + 1) − 𝑏2(𝑎 − 𝑏 + 1)

=(𝑎 − 𝑏 + 1) (𝑎3 − 𝑏2)

✓ FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN

Algunas veces no todos los términos de un polinomio tienen un factor común, pero pueden ser

asociado y factorizados de manera independiente.

Ejemplo:

Factorizar 2𝑎𝑏 − 6𝑎𝑐 + 3𝑏 − 9𝑐

Solución:

El primer y tercer términos tienen como factor común a 𝑏, mientras que el segundo y cuarto

términos tienen como factor común a 3𝑐. La expresión factoriza así:

2𝑎𝑏 − 6𝑎𝑐 + 3𝑏 + 9𝑐 = (2𝑎𝑏 + 3𝑏) − (6𝑎𝑐 + 9𝑐)

2𝑎𝑏 − 6𝑎𝑐 + 3𝑏 − 9𝑐 = 𝑏(2𝑎 + 3) − 3𝑐(2𝑎 + 3)

2𝑎𝑏 − 6𝑎𝑐 + 3𝑏 − 9𝑐 = 𝑏(2𝑎 + 3) − 3𝑐(2𝑎 + 3)

2𝑎𝑏 − 6𝑎𝑐 + 3𝑏 − 9𝑐 = (𝑏 − 3𝑐)(2𝑎 + 3)

Ejemplo:

Factorizar: 6𝑥2𝑦 + 24𝑥𝑦 + 10𝑥 + 40

Solución:

6𝑥2𝑦 + 24𝑥𝑦 + 10𝑥 + 40 =

6𝑥𝑦(𝑥 + 4) + 10(𝑥 + 4)

= (6𝑥𝑦 + 10)(𝑥 + 4)

1. Descompón en sus factores primos cada uno de los siguientes números:

a. 30

2. Aplica la propiedad distributiva en los siguientes ejercicios:

a. 𝑎(𝑏 + 1)

b. 2(𝑥 + 𝑦)

c. 3(𝑎 + 𝑏)

3. Evalúa cada una de las siguientes expresiones. Observa el ejemplo.

Ejemplo: 112 − 7 × 11 = 11 × 11 − 7 × 11

= 11(11 − 7)

= 11 × 4

a. 65 × 3 + 65 × 7

b. 7 × 13 + 8 × 13

c. 72 − 28 + 7 × 17

4. Encuentra el factor que completa cada igualdad:

a. 6𝑡2 = (2𝑡) (? )

b. 48𝑐5𝑑4 = (−3𝑐3𝑑2) (? )

c. 72ℎ3𝑘 = (−8ℎ𝑘) (? )

5. Factoriza obteniendo el factor común monomio en cada caso:

a. 24𝑎2𝑏 + 4𝑎𝑏𝑐

b. 15𝑥3𝑦2 − 10𝑥2𝑦3

c. 𝑎2𝑏3𝑑 − 𝑎2𝑏2𝑑2

d. 2𝑥4 + 6𝑥 + 8𝑥3 − 10𝑥4

e. 20𝑚3 + 30𝑚4 − 40𝑚2 − 50𝑚5

6. Factoriza obteniendo el factor común:

a. 3(𝑥 + 𝑦) + 𝑧(𝑥 + 𝑦)

b. 7(𝑓 − 𝑔) − 4(𝑓 − 𝑔)

c. 2𝑥(𝑥 − 𝑦) + 𝑦(𝑦 − 𝑥)

d. 7(𝑟 − 𝑠) + 𝑡(𝑟 − 𝑠)

e. 3𝑝(2𝑞 − 𝑝) − 2𝑞(𝑝 − 2𝑞)

7. Determina los factores comunes de cada grupo y completa la factorización:

a. (3𝑥2 − 3𝑥) + (2𝑥 − 2)

b. (3𝑥2 − 4𝑥) + (3𝑥 + 6)

c. (3𝑥2 − 12𝑥) − (2𝑥 − 8)

d. (6𝑥2 + 10𝑥) − (3𝑥 + 5)

8. Factoriza agrupando términos:

a. (3𝑎 + 𝑎𝑏) + (3𝑐 + 𝑏𝑐)

b. 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑥𝑦 − 2𝑦

c. ℎ2 − ℎ𝑘 + ℎ𝑟 − 𝑘𝑟

d. 𝑝3 − 2𝑝2 + 4𝑝 − 8

9. Factoriza:

a. 2𝑚2 − 8𝑚 + 5𝑚 − 20

b. 6𝑥2 + 10𝑥 − 3𝑥 − 5

10. Observa que: 122 − 8 × 12 = (12 − 8) × 12 = 4 × 12 = 48. Calcula el valor de:

a. 42 × 11 + 73 × 11

b. 772 + 77 × 24

11. Factoriza las siguientes expresiones:

a. 3𝑚(𝑚 − 4) − 2(𝑚 − 4)

b. 𝑥(𝑥 + 𝑦) − 𝑦(𝑥 + 𝑦)

c. 9𝑚4 − 6𝑚3𝑛 − 6𝑚2𝑛2

FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS

Un trinomio cuadrado perfecto es el que resulta de desarrollar el cuadrado de la suma o la

diferencia de un binomio.

Ejemplo:

Factorizar:𝑥2 + 8𝑥 + 16

Solución:

Efectivamente la raíz de 𝑥2 es𝑥, la de 16 es 4 y el doble producto de estas raíces es 2(4𝑥) =

8𝑥 que es el segundo término de la expresión. Por lo tanto: 𝑥2 + 8𝑥 + 16 = (𝑥 + 4) 2

FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Los trinomios de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 corresponden al producto de dos binomios (producto

notable: (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏.

Ejemplo:

Factorizar el trinomio: 𝑥2 + 9𝑥 + 20

Solución:

Para factorizar este trinomio, que no es cuadrado perfecto, se deben multiplicar dos binomios

de tal forma que el primer término de ellos es la raíz cuadrada del trinomio, en este caso 𝑥:

Términos:𝑥2 + 9𝑥 + 20 = (𝑥+ )(𝑥+ )

Los números que completan cada binomio deben ser tales que su suma sea el valor absoluto

de segundo término del trinomio y su producto el valor absoluto del tercer término.

Tales números son 5 y 4, pues 5 + 4 = 9 y además 5 × 4 = 20

Así: 𝑥2 + 9𝑥 + 20 = (𝑥 + 5)(𝑥 + 4)

1. Explica si (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 − 𝑏2 ¿Qué condiciones deben satisfacer a y b para que se cumpla tal igualdad?

FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Los trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 corresponden al igual que en los casos anteriores al

producto de dos binomios. Veamos cómo se factorizan trinomios de esa forma a partir de un

ejemplo.

Ejemplo:

Factorizar: 3𝑥2 − 10𝑥 + 3

SOLUCIÓN:

Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del primer término, en este caso 3, de

esta manera se obtiene: 3𝑥2 − 10𝑥 + 3 =(3𝑥)2−10(3𝑥)+9

3.

El trinomio obtenido tiene la misma forma que los trinomios del caso anterior y por lo tanto

su factorización se logra en la misma forma, es decir, extrayendo la raíz cuadrada del primer

término y buscando dos números cuya suma sea −10 y cuyo producto sea 9.

3x2 − 10𝑥 + 3 =3(𝑥−3)(3𝑥−1)

3. Por último, se extrae factor común y se simplifica:

3𝑥2 − 10𝑥 + 3 =3(𝑥 − 3)(3𝑥 − 1)

3= (𝑥 − 3)(3𝑥 − 1)

✓ EJERCICIOS

1. Identifica cuales de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos. Factoriza

aquellos que lo sean.

a. 𝑥2 + 6𝑥 − 9

b. 225 − 30𝑟 + 𝑟2

c. 16𝑎2 + 40𝑎 + 25

2. Factoriza cada expresión cuando sea posible:

a. 𝑥2 − 6𝑥𝑦 + 9𝑦2

b. 4𝑎2 + 4𝑎 + 1

c. 81𝑎2 − 36𝑎𝑏 + 4𝑏2

3. Factoriza:

a. 𝑥2 + 8𝑥 + 7

b. 𝑦2 + 7 + 12

c. 𝑟2 + 9𝑟 + 20

4. Factoriza:

a. 𝑝2 + 19𝑝𝑞 + 34𝑞2

b. 𝑥2 − 17𝑥𝑦 + 72𝑦2

c. 𝑥2 − 14𝑥𝑦 + 45𝑦2

5. Factoriza:

a. 5𝑥2 − 13𝑥 + 6

b. 2𝑥2 − 𝑥 − 10

c. 5𝑥2 − 11𝑥 + 2

6. Factoriza:

a. 𝑦2 − 10𝑦 + 25

b. 𝑥2 + 24𝑥 + 128

c. 6𝑥2 − 𝑥 + 12

El área de los rectángulos mostrado en cada figura esta representando por el trinomio que se

indica debajo de cada gráfica:

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

1 2

?x 4

𝑥2 + 5𝑥 + 4 =

(𝑥+? )(𝑥+? )

𝑥2 + 6𝑥 + 8 =

(𝑥+? )(𝑥+? )

+

1. Los valores correctos de la incógnita en el rectángulo 1 son:

A. -4 y -1

B. 4 y -1

C. -4 y 1

D. 4 y 1

El perímetro del rectángulo de la figura 2 es:

a. 2(𝑥 + 2) + 2(𝑥 + 4)

b. (𝑥 + 2) + (𝑥 + 4)

c. 2(𝑥 − 2) + 2(𝑥 − 4)

d. 2(𝑥 − 2) + 2(𝑥 − 4)

Al sumar las áreas de los cuatros rectángulos que forman el rectángulo 3 obtenemos:

a. 𝑥2 − 7𝑥 + 12

b. 𝑥2 − 7𝑥 − 12

c. 𝑥2 + 7𝑥 − 12

d. 𝑥2 + 7𝑥 + 12

3 𝑥2 + 7𝑥 + 12 =

(𝑥+? )(𝑥+? )

FACTORIZACION DE BINOMIOS

FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS:

Para factorizar una diferencia de cuadrados perfectos se extrae la raíz cuadrada del minuendo

y el sustraendo; y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por su diferencia:

𝑥2 − 𝑦2 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦)

Ejemplo:

Factorizar: 9𝑥2 − 16𝑦2

Solución: 9𝑥2 − 16𝑦2 = (3𝑥 − 4𝑦)(3𝑥 + 4𝑦)

FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE CUBOS:

La suma de dos cubos perfectos se factoriza en dos términos: En el primero se escribe la suma

de las raíces cúbicas y en el segundo se escribe el cuadrado de la primera raíz, menos el

producto de las raíces, más el cuadrado de la segunda raíz:

𝑥3 + 𝑦3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2)

Ejemplo:

Factorizar: 343𝑥3 + 512𝑦6

Solución:

343𝑥3 + 512𝑦6 = (7𝑥 + 8𝑦2)(49𝑥2 − 56𝑥𝑦2 + 64𝑦4)

1. (3𝑥 − 2𝑏)(3𝑥 + 2𝑏)

2. (𝑥 − 𝑦)(𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2)

3. (2𝑥 + 7𝑦)(4𝑥2 − 14𝑥𝑦 + 49𝑦2)

FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE CUBOS:

Se factoriza la diferencia en dos términos: en el primero se escribe la diferencia de las raíces

cúbicas y en el segundo se escribe el cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos

raíces, más el cuadrado de la segunda raíz:

𝑥3 − 𝑦3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2)

Ejemplo:

Factorizar: 𝑥3𝑦6 − 216𝑦9

Solución:

𝑥3𝑦6 − 216𝑦9 = (𝑥𝑦2 − 6𝑦3)(𝑥2𝑦4 + 6𝑥𝑦5 + 36𝑦6)

1. Expresa cada producto como un binomio:

a. (𝑛 + 2)(𝑛 − 2)

b. (𝑟 − 5)(𝑟 + 5)

c. (2𝑥 + 5)(2𝑥 − 5)

2. Factorizar, las diferencias de cuadrados perfectos:

a. 𝑎2 − 1

b. 36𝑥2 − 25𝑦2

c. 169𝑚2 − 196𝑛2

3. Factoriza los siguientes binomios:

a. 𝑎3 − 𝑏3

b. 𝑎3 + 𝑏3

c. 448𝑎4 − 7𝑎𝑏3

d. 8𝑎3

125−

64𝑏12

343