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8/14/2019 Product.ps

1/12

O n C a p i t a l I n v e s t m e n t

Y o s s i A z a r

1

, Y a i r B a r t a l

2

, E s t e b a n F e u e r s t e i n

3

, A m o s F i a t

1

, S t e f a n o L e o n a r d i

4

a n d

A d i R o s e n

5

1

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , T e l A v i v U n i v e r s i t y .

x

2

I n t e r n a t i o n a l C o m p u t e r S c i e n c e I n s t i t u t e , B e r k e l e y .

{

3

D e p t o . d e C o m p u t a c i o n , F a c u l t a d d e C i e n c i a s E x a c t a s y N a t u r a l e s , U n i v e r s i d a d d e

B u e n o s A i r e s & I n s t i t u t o d e C i e n c i a s , U n i v e r s i d a d d e G e n e r a l S a r m i e n t o .

k

4

I n t e r n a t i o n a l C o m p u t e r S c i e n c e I n s t i t u t e , B e r k e l e y , & D i p a r t i m e n t o d i I n f o r m a t i c a

S i s t e m i s t i c a , U n i v e r s i t a d i R o m a \ L a S a p i e n z a " .

5

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , U n i v e r s i t y o f T o r o n t o .

y y

A b s t r a c t . W e d e a l w i t h t h e p r o b l e m o f m a k i n g c a p i t a l i n v e s t m e n t s i n m a -

c h i n e s f o r m a n u f a c t u r i n g a p r o d u c t . O p p o r t u n i t i e s f o r i n v e s t m e n t o c c u r o v e r

t i m e , e v e r y s u c h o p t i o n c o n s i s t s o f a c a p i t a l c o s t f o r a n e w m a c h i n e a n d a r e -

s u l t i n g p r o d u c t i v i t y g a i n , i . e . , a l o w e r p r o d u c t i o n c o s t f o r o n e u n i t o f p r o d u c t .

T h e g o a l i s t h a t o f m i n i m i z i n g t h e t o t a l p r o d u c t i o n a n d c a p i t a l c o s t s w h e n

f u t u r e d e m a n d f o r t h e p r o d u c t b e i n g p r o d u c e d a n d i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t i e s

a r e u n k n o w n . T h i s c a n b e v i e w e d a s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e s k i - r e n t a l p r o b l e m

a n d r e l a t e d t o t h e m o r t g a g e p r o b l e m 3 ] .

I f a l l p o s s i b l e c a p i t a l i n v e s t m e n t s o b e y t h e r u l e t h a t l o w e r p r o d u c t i o n c o s t s

r e q u i r e h i g h e r c a p i t a l i n v e s t m e n t s , t h e n w e p r e s e n t a n a l g o r i t h m w i t h c o n s t a n t

c o m p e t i t i v e r a t i o .

I f n e w o p p o r t u n i t i e s m a y b e s t r i c t l y s u p e r i o r t o p r e v i o u s o n e s ( i n t e r m s o f

b o t h c a p i t a l c o s t a n d p r o d u c t i o n c o s t ) , t h e n w e g i v e a n a l g o r i t h m w h i c h i s

O ( m i n f l o g C l o g l o g P l o g M g ) c o m p e t i t i v e , w h e r e C i s t h e r a t i o b e t w e e n t h e

h i g h e s t a n d t h e l o w e s t c a p i t a l c o s t s , P i s t h e r a t i o b e t w e e n t h e h i g h e s t a n d t h e

l o w e s t p r o d u c t i o n c o s t s , a n d M i s t h e n u m b e r o f i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t i e s . W e

a l s o p r e s e n t a l o w e r b o u n d o n t h e c o m p e t i t i v e r a t i o o f a n y o n - l i n e a l g o r i t h m

f o r t h i s c a s e w h i c h i s ( m a x f l o g C

l o g l o g P

l o g l o g l o g P

o g M

l o g l o g M

g ) . T h i s s h o w s t h a t

t h e c o m p e t i t i v e r a t i o o f o u r a l g o r i t h m i s t i g h t ( u p t o c o n s t a n t f a c t o r s ) a s a

f u n c t i o n o f C , a n d n o t f a r f r o m t h e b e s t a c h i e v a b l e a s a f u n c t i o n o f P a n d M

x

R e s e a r c h s u p p o r t e d i n p a r t b y a g r a n t f r o m t h e I s r a e l A c a d e m y o f S c i e n c e s . e - m a i l :

f a z a r , a t g @ m a t h . t a u . a c . i l .

{

R e s e a r c h s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e R o t h c h i l d P o s t d o c t o r a l f e l l o w s h i p . e m a i l :

y a i r b @ i c s i . b e r k e l e y . e d u .

k

R e s e a r c h s u p p o r t e d i n p a r t b y E E C p r o j e c t K I T - D Y N D A T A . e m a i l : e f e u e r s t @ d c . u b a . a r .

R e s e a r c h s u p p o r t e d i n p a r t b y E U E s p r i t L o n g T e r m R e s e a r c h p r o j e c t A L C O M I T u n d e r

c o n t r a c t 2 0 2 4 4 , a n d b y I t a l i a n M i n i s t r y o f S c i e n t i c R e s e a r c h P r o j e c t 4 0 % \ A l g o r i t m i ,

M o d e l l i d i C a l c o l o e S t r u t t u r e I n f o r m a t i v e " . e m a i l : l e o n @ d i s . u n i r o m a 1 . i t .

y y

e m a i l : a d i r o @ c s . t o r o n t o . e d u .


2/12

1 I n t r o d u c t i o n

W e c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f m a n u f a c t u r i n g c o s t s v e r s u s c a p i t a l i n v e s t m e n t . A f a c -

t o r y u s e s m a c h i n e s f o r p r o d u c i n g u n i t s o f s o m e p r o d u c t . T h e p r o d u c t i o n o f e a c h u n i t

r e q u i r e s s o m e x e d c o s t f o r u s i n g t h e m a c h i n e ( e l e c t r i c i t y , r a w m a t e r i a l , e t c . ) . O v e r

t i m e o p p o r t u n i t i e s f o r i n v e s t m e n t i n n e w m a c h i n e s , t h a t w o u l d r e p l a c e t h e o l d o n e s ,

b e c o m e a v a i l a b l e . S u c h o p p o r t u n i t i e s c o u l d b e t h e r e s u l t o f t e c h n o l o g i c a l i m p r o v e -

m e n t , r e l o c a t i o n t o a c h e a p e r m a r k e t , o r a n y o t h e r i n v e s t m e n t t h a t w o u l d r e p l a c e

t h e f a c i l i t i e s o f t h e f a c t o r y a n d w o u l d l e a d t o l o w e r p r o d u c t i o n c o s t s . W e m o d e l a l l

t h e s e o p p o r t u n i t i e s a s m a c h i n e s t h a t c a n b e b o u g h t , a n d t h e n u s e d t o p r o d u c e t h e

u n i t s o f t h e p r o d u c t . T h e f a c t o r y m u s t d e c i d e i f t o i n v e s t i n b u y i n g n e w m a c h i n e s

t o r e d u c e p r o d u c t i o n c o s t s w h i l e n e i t h e r f u t u r e d e m a n d f o r t h e p r o d u c t n o r f u t u r e

i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t i e s a r e k n o w n .

M a n y n a n c i a l p r o b l e m s r e q u i r e t o t a k e d e c i s i o n s w i t h o u t h a v i n g k n o w l e d g e , o r

w h i l e h a v i n g o n l y p a r t i a l k n o w l e d g e , o f f u t u r e o p p o r t u n i t i e s . C o m p e t i t i v e a n a l y s i s

o f n a n c i a l p r o b l e m s h a s r e c e i v e d a n i n c r e a s i n g a t t e n t i o n d u r i n g t h e l a s t y e a r s , f o r

i n s t a n c e f o r c u r r e n c y e x c h a n g e p r o b l e m s 2 ] o r a s s e t a l l o c a t i o n 5 ] .

T h e p r o b l e m c o n s i d e r e d i n t h i s p a p e r i s a g e n e r a l i z a t i o n o f o n e o f t h e b a s i c o n -

l i n e p r o b l e m s , t h e s k i - r e n t a l p r o b l e m d u e t o L . R u d o l p h ( s e e 4 ] ) , a m o d e l f o r t h e

w e l l k n o w n p r a c t i c a l p r o b l e m \ r e n t o r b u y ? " . T h e s k i - r e n t a l p r o b l e m c a n b e s t a t e d

a s f o l l o w s : y o u d o n ' t k n o w i n a d v a n c e h o w m a n y t i m e s y o u w i l l g o s k i i n g ; r e n t i n g

a p a i r o f s k i s c o s t s $ r ; t o p u r c h a s e y o u r o w n p a i r c o s t s $ p . W h e n d o y o u b u y ? I t i s

n o t h a r d t o s e e t h a t t h e b e s t c o m p e t i t i v e r a t i o i s o b t a i n e d i f y o u b u y w h e n t h e t o t a l

r e n t a l c o s t ( t h u s f a r ) i s e q u a l t o t h e c o s t o f b u y i n g y o u r o w n p a i r . A n o t h e r p r o b l e m

c o n s i d e r e d i n t h i s m o d e l i n t h e p a s t i s t h e s o - c a l l e d m o r t g a g e p r o b l e m 3 ] , w h e r e a

u c t u a t i n g m o r t g a g e r a t e a n d a s s o c i a t e d r e - n a n c i n g c h a r g e s l e a d t o t h e q u e s t i o n ,

r e - n a n c e o r n o t ?

W h i l e f o r t h e s k i - r e n t a l p r o b l e m t h e o n l y p o s s i b l e c a p i t a l e x p e n d i t u r e i s t o p u r -

c h a s e a p a i r o f s k i s , a n d t h e n t h e \ p r o d u c t i o n " c o s t s d r o p t o z e r o , i n t h e c a p i t a l

i n v e s t m e n t p r o b l e m t h e r e m a y b e m a n y f u t u r e c a p i t a l e x p e n d i t u r e o p t i o n s a n d t h e

r e s u l t i n g p r o d u c t i v i t y g a i n s a r e u n k n o w n . U n l i k e t h e m o r t g a g e p r o b l e m w h e r e t h e

f u t u r e d e m a n d i s t h e s e r v i c i n g t h e e n t i r e d e b t ( w h i c h i s a k n o w n x e d v a l u e ) , a n d a

c a p i t a l i n v e s t m e n t h a s a x e d c o s t , i n t h e c a p i t a l i n v e s t m e n t p r o b l e m f u t u r e d e m a n d

i s u n k n o w n a n d c a p i t a l i n v e s t m e n t s m a y h a v e a r b i t r a r y c o s t s .

W e c o n s i d e r t w o m o d e l s f o r o u r p r o b l e m , a n d c a l l t h e r s t o n e t h e c o n v e x c a s e

H e r e , w e a s s u m e t h a t t o g e t a l o w e r p r o d u c t i o n c o s t , o n e m u s t s p e n d m o r e a s c a p -

i t a l e x p e n d i t u r e s . I n t h i s c a s e w e g e t a c o n s t a n t c o m p e t i t i v e r a t i o . T h i s s c e n a r i o i s

u s u a l l y t r u e i n m a n u f a c t u r i n g : p u r c h a s i n g a b e t t e r m a c h i n e c o s t s m o r e . H o w e v e r ,

s o m e t i m e s t e c h n o l o g i c a l b r e a k t h r o u g h s a r e a c h i e v e d , a f t e r w h i c h b o t h m a c h i n e c o s t s

a n d p r o d u c t i o n c o s t s a r e r e d u c e d . T h i s m a t c h e s o u r s e c o n d m o d e l , t h e n o n - c o n v e x

c a s e , w h i c h a l l o w s b o t h c a p i t a l a n d p r o d u c t i o n c o s t s t o d r o p .

I n c o n t r a s t t o t h e c o n v e x c a s e , f o r t h e n o n - c o n v e x c a s e w e p r e s e n t a l o w e r b o u n d o n

t h e c o m p e t i t i v e r a t i o o f a n y o n - l i n e a l g o r i t h m f o r t h e p r o b l e m w h i c h i s

( m a x f l o g C l o g l o g P = l o g l o g l o g P l o g M = l o g l o g M g ) , w h e r e C i s t h e r a t i o b e t w e e n

t h e h i g h e s t a n d t h e l o w e s t c a p i t a l c o s t s , P i s t h e r a t i o b e t w e e n t h e h i g h e s t a n d t h e

l o w e s t p r o d u c t i o n c o s t s , a n d M i s t h e n u m b e r o f i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t i e s . W e c o m -

p l e m e n t t h i s l o w e r b o u n d w i t h a n a l g o r i t h m f o r g e n e r a l c a p i t a l i n v e s t m e n t s c e n a r i o s

w h i c h i s O ( m i n f l o g C l o g l o g P l o g M g ) c o m p e t i t i v e .


3/12

2 T h e O n - l i n e C a p i t a l I n v e s t m e n t P r o b l e m

I m a g i n e a f a c t o r y w h o s e g o a l i s t o p r o d u c e u n i t s o f s o m e c o m m o d i t y a t l o w c o s t . F r o m

t i m e t o t i m e , o r d e r s f o r u n i t s o f t h e c o m m o d i t y a r r i v e , a n d a t t i m e s n e w m a c h i n e s

b e c o m e a v a i l a b l e . E v e r y s u c h m a c h i n e i s c h a r a c t e r i z e d b y i t s p r o d u c t i o n c o s t , a n d b y

i t s c a p i t a l c o s t . T h e p r o d u c t i o n c o s t i s t h e c o s t o f p r o d u c i n g o n e u n i t o f c o m m o d i t y

u s i n g t h i s m a c h i n e . T h e c a p i t a l c o s t i s t h e c a p i t a l i n v e s t m e n t n e c e s s a r y t o b u y t h e

m a c h i n e . W e a s s u m e t h a t o n c e a m a c h i n e b e c o m e s a v a i l a b l e , t h e n i t i s a v a i l a b l e

f o r e v e r . W e a l s o a s s u m e t h a t o n e c a n p r o d u c e a n u n l i m i t e d n u m b e r o f u n i t s w i t h

a n y m a c h i n e . A n a l g o r i t h m f o r t h i s p r o b l e m h a s t o d e c i d e w h a t m a c h i n e s t o b u y a n d

w h e n t o d o s o , a s t o m i n i m i z e t h e t o t a l c o s t ( c a p i t a l c o s t s p l u s p r o d u c t i o n c o s t s ) .

M o r e f o r m a l l y , a n i n s t a n c e o f t h e p r o b l e m c o n s i s t s o f a s e q u e n c e o f m a c h i n e s ,

a n d a s e q u e n c e o f o r d e r s o f d e m a n d . M a c h i n e m

i

i s d e n e d b y t h e t r i p l e t ( t

i

c

i

p

i

)

w h e r e t

i

i s t h e t i m e a t w h i c h t h e m a c h i n e b e c o m e s a v a i l a b l e , c

i

i s i t s c a p i t a l c o s t , a n d

p

i

i s i t s p r o d u c t i o n c o s t . E v e r y o r d e r i s d e n e d b y i t s a r r i v a l t i m e . W i t h o u t l o s s o f

g e n e r a l i t y w e m a y a s s u m e t h a t t h e j ' t h o r d e r a p p e a r s a t t i m e j . M o r e o v e r , s i n c e a n y

r e a s o n a b l e a l g o r i t h m w i l l n o t b u y a n e w m a c h i n e w h e n t h e r e i s n o o r d e r p e n d i n g , w e

c a n a s s u m e t h a t f o r a n y m a c h i n e i s u c h t h a t j < t

i

j + 1 t

i

= j + 1 . A t a n y t i m e

t , t h e a l g o r i t h m c a n b u y a n y o f t h e a v a i l a b l e m a c h i n e s ( t h o s e w i t h t

i

t ) , a n d t h e n

p r o d u c e o n e u n i t o f t h e c o m m o d i t y .

W e s a y t h a t m a c h i n e m

i

d o m i n a t e s m a c h i n e m

j

i f b o t h t h e p r o d u c t i o n c o s t a n d

t h e c a p i t a l c o s t o f m

i

a r e l o w e r t h a n t h o s e o f m

j

. W e c a l l a n i n s t a n c e o f t h e p r o b l e m

c o n v e x i f n o m a c h i n e p r e s e n t e d d o m i n a t e s a n o t h e r . I . e . , a n i n s t a n c e i s c o n v e x i f f o r

a n y t w o m a c h i n e s i j s u c h t h a t p

i

< p

j

i t h o l d s t h a t c

i

c

j

. T o h e l p d i s t i n g u i s h

b e t w e e n t h e t w o v e r s i o n s o f t h e p r o b l e m , w e c a l l t h e g e n e r a l c a s e n o n - c o n v e x

W e n o t e t h a t i f a l l m a c h i n e s a r e a v a i l a b l e a t t h e v e r y b e g i n n i n g , t h e n a l l m a c h i n e s

t h a t a r e d o m i n a t e d b y o t h e r s c a n b e r e m o v e d . T h u s , w h e n e v e r a l l m a c h i n e s a r e

a v a i l a b l e i n a d v a n c e , w e a r e l e f t w i t h t h e c o n v e x s e t t i n g . T h e n o n - c o n v e x s e t t i n g o n l y

m a k e s s e n s e i f m a c h i n e s a p p e a r o v e r t i m e a n d i t i s p o s s i b l e t h a t a b e t t e r m a c h i n e ( i n

t e r m s o f b o t h c a p i t a l c o s t a n d p r o d u c t i o n c o s t c r i t e r i a ) w i l l a p p e a r l a t e r .

2 . 1 P e r f o r m a n c e M e a s u r e s

W e m e a s u r e t h e p e r f o r m a n c e o f a n o n - l i n e a l g o r i t h m f o r t h i s p r o b l e m b y i t s c o m p e t -

i t i v e r a t i o 6 ] . L e t b e a s e q u e n c e o f o e r s o f m a c h i n e s a n d o r d e r s o f d e m a n d f o r

u n i t s o f t h e c o m m o d i t y t o b e p r o d u c e d .

W e d e n o t e b y O N ( ) t h e c o s t o f t h e o n - l i n e a l g o r i t h m O N f o r t h e p r o b l e m o v e r

t h e s e q u e n c e , a n d w i t h O P T ( ) t h e c o s t o f a n o p t i m a l o - l i n e a l g o r i t h m t h a t

k n o w s t h e e n t i r e s e q u e n c e i n a d v a n c e . W e p a r a m e t e r i z e t h e s e q u e n c e s b y t h e r a t i o

b e t w e e n t h e c o s t o f t h e m o s t e x p e n s i v e a n d c h e a p e s t m a c h i n e s ( d e n o t e d b y C ) , b y

t h e r a t i o b e t w e e n t h e h i g h e s t a n d t h e l o w e s t p r o d u c t i o n c o s t ( d e n o t e d b y P ) , a n d b y

t h e t o t a l n u m b e r o f m a c h i n e s p r e s e n t e d d u r i n g t h e s e q u e n c e ( d e n o t e d b y M ) . D e n o t e

b y ( C ; P ; M ) t h e s e t o f s e q u e n c e s t h a t o b e y t h e a b o v e r e s t r i c t i o n s .

T h e c o m p e t i t i v e r a t i o o f a n a l g o r i t h m m a y b e a f u n c t i o n o f t h e a b o v e p a r a m e t e r s .

A n o n - l i n e a l g o r i t h m O N i s ( C ; P ; M ) - c o m p e t i t i v e f o r a s e t ( C ; P ; M ) o f s e q u e n c e s

i f

s u p

2 ( C ; P ; M )

O N ( )

O P T ( )

( C ; P ; M )


4/12

3 U p p e r B o u n d f o r t h e C o n v e x C a s e

I n t h i s s e c t i o n w e s t u d y t h e c o n v e x c a s e i n w h i c h a m a c h i n e w i t h a l o w e r p r o d u c t i o n

c o s t c a n n o t b e c h e a p e r t h a n a m a c h i n e w i t h a h i g h e r p r o d u c t i o n c o s t . W e p r e s e n t

a n o n - l i n e a l g o r i t h m f o r t h e c o n v e x c a s e w i t h c o m p e t i t i v e r a t i o 7 .

3 . 1 T h e A l g o r i t h m

T h e a l g o r i t h m i s d e n e d a s f o l l o w s : b e f o r e p r o d u c i n g t h e r s t u n i t t h e a l g o r i t h m

b u y s t h e m a c h i n e m

i

t h a t m i n i m i z e s p

i

+ c

i

a m o n g s t a l l m a c h i n e s a v a i l a b l e a t t h e

b e g i n n i n g o f t h e s e q u e n c e . I t t h e n p r o d u c e s t h e r s t u n i t o f c o m m o d i t y . T h e i n i t i a l

c o s t p

i

+ c

i

i s c o n s i d e r e d a p r o d u c t i o n c o s t .

L e t a n d b e p o s i t i v e c o n s t a n t s s a t i s f y i n g 2 = 1 a n d 1 = + 2 1 . I n

p a r t i c u l a r w e c h o o s e = 2 a n d = 1 = 4

B e f o r e p r o d u c i n g a n y s u b s e q u e n t u n i t o f c o m m o d i t y t h e a l g o r i t h m c o n s i d e r s b u y -

i n g a n e w m a c h i n e . H o w e v e r , i t i s n o t a l w a y s a l l o w e d t o b u y a n e w m a c h i n e . W h e n

a n a m o u n t o f c i s s p e n t a s c a p i t a l c o s t t o b u y a m a c h i n e , i t i s n o t a l l o w e d t o b u y

a n o t h e r m a c h i n e u n t i l t h e a l g o r i t h m s p e n d s a t l e a s t c o n p r o d u c t i o n .

W h e n i t i s a l l o w e d t o b u y a m a c h i n e , t h e a l g o r i t h m b u y s t h e m a c h i n e m

i

t h a t

m i n i m i z e s p r o d u c t i o n c o s t p

i

a m o n g s t a l l m a c h i n e s o f c a p i t a l c o s t a t m o s t t i m e s

t h e t o t a l p r o d u c t i o n c o s t i n c u r r e d s i n c e t h e b e g i n n i n g o f t h e s e q u e n c e . I f n o s u c h

m a c h i n e i s a v a i l a b l e , t h e a l g o r i t h m d o e s n o t b u y a n e w m a c h i n e .

3 . 2 A n a l y s i s

W e p r o v e t h a t t h e c o m p e t i t i v e r a t i o o f t h e a b o v e a l g o r i t h m i s 1 + + 1 = = 7

W e u s e t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n . F i x t h e s e q u e n c e . D e n o t e b y O N = O N

c

+ O N

p

t h e t o t a l c o s t o f t h e a l g o r i t h m t h a t i s e q u a l t o t h e s u m o f t h e t o t a l c a p i t a l c o s t O N

c

a n d t h e t o t a l p r o d u c t i o n c o s t O N

p

. L e t p

t

b e t h e p r o d u c t i o n c o s t i n c u r r e d b y t h e

o n - l i n e a l g o r i t h m t o p r o d u c e u n i t n u m b e r t . L e t O N

p

t

b e t h e p r o d u c t i o n c o s t i n c u r r e d

b y t h e a l g o r i t h m t o p r o d u c e t h e r s t t u n i t s , i . e . , O N

p

t

=

P

t

i = 1

p

i

. L e t O P T

t

b e t h e

o p t i m a l t o t a l ( c a p i t a l a n d p r o d u c t i o n ) c o s t t o p r o d u c e t h e r s t t u n i t s . W e s t a r t b y

p r o v i n g a b o u n d o n t h e t o t a l c o s t s p e n t o n p u r c h a s i n g m a c h i n e s , i n t e r m s o f t h e t o t a l

p r o d u c t i o n c o s t i n c u r r e d .

L e m m a 1 . T h e t o t a l c a p i t a l c o s t O N

c

i n c u r r e d b y t h e o n - l i n e a l g o r i t h m i s a t m o s t

( + 1 = ) i t s t o t a l p r o d u c t i o n c o s t O N

p

P r o o f . T h e c a p i t a l c o s t o f t h e l a s t m a c h i n e b o u g h t i s a t m o s t t i m e s t h e t o t a l

p r o d u c t i o n c o s t . F o r e v e r y o t h e r m a c h i n e , t h e p r o d u c t i o n c o s t s i n t h e i n t e r v a l b e t w e e n

t h e t i m e t h i s m a c h i n e h a s b e e n b o u g h t , a n d t h e t i m e t h e n e x t m a c h i n e i s b o u g h t , i s

a t l e a s t t i m e s t h e c a p i t a l c o s t o f t h e m a c h i n e . T h e s e i n t e r v a l s d o n o t o v e r l a p , a n d

t h u s t h e t o t a l c a p i t a l c o s t o f a l l t h e m a c h i n e s e x c e p t t h e l a s t o n e s u m s t o a t m o s t

1 = t i m e s t h e t o t a l p r o d u c t i o n c o s t .

W e n o w r e l a t e t h e p r o d u c t i o n c o s t o f t h e o n - l i n e a l g o r i t h m t o t h e t o t a l c o s t o f

t h e o - l i n e a l g o r i t h m .

L e m m a 2 . A t a n y t i m e t t h e p r o d u c t i o n c o s t O N

p

t

o f t h e o n - l i n e a l g o r i t h m i s a t m o s t

t h e t o t a l c o s t O P T

t

o f t h e o - l i n e a l g o r i t h m .


5/12

P r o o f . W e p r o v e t h e c l a i m b y i n d u c t i o n o n t h e n u m b e r o f u n i t s p r o d u c e d .

F o r t = 1 t h e c l a i m h o l d s s i n c e t h e o n - l i n e p r o d u c t i o n c o s t o f t h e r s t u n i t ( d e n e d

a s t h e s u m o f t h e c a p i t a l a n d t h e p r o d u c t i o n c o s t s o f t h e r s t m a c h i n e b o u g h t ) i s

t h e m i n i m u m p o s s i b l e e x p e n s e t o p r o d u c e t h e r s t u n i t . T h e r e f o r e O N

p

1

O P T

1

C o n s i d e r u n i t t f o r t > 1 , a n d a s s u m e t h e c l a i m h o l d s f o r a n y u n i t t < t . L e t m b e

t h e m a c h i n e u s e d b y t h e o n - l i n e a l g o r i t h m t o p r o d u c e u n i t t . L e t m b e t h e m a c h i n e

u s e d b y t h e o p t i m a l o - l i n e s o l u t i o n t o p r o d u c e u n i t t p i t s p r o d u c t i o n c o s t , a n d c

i t s c a p i t a l c o s t .

I f p p

t

t h e n w e h a v e O N

p

t

= O N

p

t 1

+ p

t

O P T

t 1

+ p O P T

t

I f p < p

t

t h e n t h e o n - l i n e a l g o r i t h m d i d n o t b u y m a c h i n e m j u s t b e f o r e p r o d u c i n g

u n i t t . L e t t h e c a p i t a l c o s t o f t h e l a s t m a c h i n e b o u g h t b y t h e o n - l i n e a l g o r i t h m ( i . e .

m ) b e c , a n d a s s u m e i t w a s b o u g h t j u s t b e f o r e u n i t

t w a s p r o d u c e d . S i n c e w e c o n s i d e r

t h e c o n v e x c a s e w e h a v e t h a t p < p

t

= p

t

i m p l i e s c c

A s w e a s s u m e t h a t t h e o n - l i n e a l g o r i t h m d i d n o t b u y m j u s t b e f o r e p r o d u c i n g

u n i t t , o n e o f t h e f o l l o w i n g h o l d s :

1 . T h e c a p i t a l c o s t o f m a c h i n e m w a s t o o h i g h , i . e . , l e s s t h a n

1

c w a s s p e n t o n

p r o d u c t i o n s i n c e t h e s t a r t o f t h e s e q u e n c e .

2 . I t w a s n o t a l l o w e d t o b u y a n y m a c h i n e a t t h i s t i m e : l e s s t h a n c w a s s p e n t o n

p r o d u c t i o n s i n c e m a c h i n e m w a s b o u g h t , a n d u n t i l u n i t n u m b e r t 1 i s p r o d u c e d .

W e c o n s i d e r e a c h o f t h e s e c a s e s .

F o r t h e r s t c a s e w e h a v e t h a t O N

p

t

= O N

p

t 1

+ p

t

2 O N

p

t 1

2

c O P T

t

F o r t h e s e c o n d c a s e w e h a v e

O N

p

t

= O N

p

t 1

+

t 1

X

i =

t

p

i

+ p

t

O N

p

t 1

+ 2

t 1

X

i =

t

p

i


6/12

4 L o w e r B o u n d f o r t h e N o n - C o n v e x C a s e

I n c o n t r a s t t o t h e c o n s t a n t u p p e r b o u n d p r o v e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , i n t h i s s e c t i o n

w e p r o v e a l o w e r b o u n d o f ( m a x f l o g C l o g l o g P = l o g l o g l o g P l o g M = l o g l o g M g )

o n t h e c o m p e t i t i v e r a t i o o f a n y o n - l i n e a l g o r i t h m , w h e r e C i s t h e r a t i o b e t w e e n t h e

h i g h e s t a n d t h e l o w e s t c a p i t a l c o s t s , P i s t h e r a t i o b e t w e e n t h e h i g h e s t a n d t h e l o w e s t

p r o d u c t i o n c o s t s , a n d M i s t h e n u m b e r o f p r e s e n t e d m a c h i n e s .

W e n o w d e s c r i b e t h e i n s t a n c e o f t h e p r o b l e m o n w h i c h t h e l o w e r b o u n d i s a c h i e v e d .

W e l e t C b e s o m e l a r g e p o w e r o f 2 . T h e c a p i t a l c o s t s o f a l l t h e m a c h i n e s i n t h e

i n s t a n c e a r e p o w e r s o f 2 b e t w e e n 1 a n d C , a n d t h e i r p r o d u c t i o n c o s t s w i l l b e o f t h e

f o r m 1 = l o g

k

C , f o r s o m e i n t e g e r k

W e a s s i g n a l e v e l b e t w e e n 0 a n d l o g C t o e a c h m a c h i n e ; m a c h i n e s o f l e v e l i h a v e

c a p i t a l c o s t c

i

= 2

i

W e s a y t h a t a p h a s e o f l e v e l i s t a r t s w h e n a m a c h i n e o f l e v e l i i s p r e s e n t e d . A

p h a s e o f l e v e l i e n d s w h e n o n e o f t h e f o l l o w i n g o c c u r s :

1 . T h e o n - l i n e a l g o r i t h m b u y s a m a c h i n e o f l e v e l i

2 . T h e o n - l i n e a l g o r i t h m h a s r e a c h e d a g l o b a l c o s t ( p r o d u c t i o n a n d c a p i t a l ) i n t h e

p h a s e g r e a t e r o r e q u a l t o

{ 1 f o r i = 0

{ 2 f o r i = 1

{

i

2

c

i

f o r i 2

3 . A p h a s e o f l e v e l h i g h e r t h a n i e n d s .

I m m e d i a t e l y a f t e r t h e e n d o f t h e p h a s e a n e w m a c h i n e o f t h e s a m e l e v e l i s p r e -

s e n t e d a n d a n e w p h a s e o f t h e s a m e l e v e l s t a r t s .

L e t n

k

( i ) =

i

k

f o r i = 1 ; : : : ; l o g C k = 1 ; : : : ; l o g C 1 , a n d l e t n

0

( i ) = 2 i ! . W h e n

a p h a s e o f l e v e l i w i t h a n a s s o c i a t e d m a c h i n e o f p r o d u c t i o n c o s t p e n d s i n C a s e 1

o r C a s e 2 , a s e t o f i + 1 m a c h i n e s a r e p r e s e n t e d , o n e f o r e a c h l e v e l j = 0 ; : : : ; i . T h e

p r o d u c t i o n c o s t o f t h e a p p r o p r i a t e m a c h i n e o f l e v e l j i s d e n e d t o b e

p

j

=

p

( l o g C )

1 +

P

j 1

k = 0

n

k

( j )

A t t h e b e g i n n i n g w e a s s u m e t h a t a p h a s e o f l e v e l i = l o g C a n d p = 1 e n d s , s o t h a t a

r s t s e t o f m a c h i n e s i s p r e s e n t e d , w i t h c a p i t a l a n d p r o d u c t i o n c o s t s a s d e n e d a b o v e .

T h e s e q u e n c e w i l l b e o v e r w i t h t h e e n d o f t h e p h a s e o f l e v e l l o g C a s s o c i a t e d w i t h

t h e m a c h i n e o f c a p i t a l c o s t C p r e s e n t e d a t t h e b e g i n n i n g . T h e s e q u e n c e i s b u i l t s o

t h a t t h e r e i s o n l y o n e m a c h i n e o f c a p i t a l c o s t C p r e s e n t e d i n t h e w h o l e s e q u e n c e , a n d

t h a t m a c h i n e ' s p r o d u c t i o n c o s t i s a t m o s t 1 = l o g C t h e p r o d u c t i o n c o s t o f a n y o t h e r

m a c h i n e p r e s e n t e d i n t h e s e q u e n c e .

W e d e n e a r e l a t i o n o f i n c l u s i o n b e t w e e n p h a s e s . A p h a s e o f l e v e l i c o n t a i n s a l l

t h e p h a s e s o f l e v e l j < i t h a t s t a r t s i m u l t a n e o u s l y o r d u r i n g t h e l e v e l i p h a s e . N o t e

t h a t n o p h a s e o f l e v e l j > i s t a r t s d u r i n g a p h a s e o f l e v e l i

W e c a l l a p h a s e a c t i v e i f i t i s n o t y e t e n d e d . A t e v e r y p o i n t i n t i m e o n e p h a s e i s

a c t i v e a t e v e r y l e v e l .

W e c a l l a p h a s e t h a t e n d s i n C a s e 1 o r C a s e 2 a c o m p l e t e p h a s e a n d a p h a s e t h a t

e n d s i n C a s e 3 a n i n c o m p l e t e p h a s e . I f a p h a s e o f l e v e l i i s c o m p l e t e t h e n t h e i p h a s e s

a t l o w e r l e v e l s t h a t h a v e e n d e d a s a c o n s e q u e n c e o f t h e e n d o f t h i s l e v e l i p h a s e a r e

i n c o m p l e t e .

L e m m a 4 . A t m o s t i m a c h i n e s o f l e v e l i 1 a r e p r e s e n t e d d u r i n g a p h a s e o f l e v e l i

f o r i 2 , a n d a t m o s t 2 m a c h i n e s o f l e v e l 0 a r e p r e s e n t e d d u r i n g a p h a s e o f l e v e l 1


7/12

P r o o f . F o r i = 1 , t h e c o s t i n c u r r e d b y t h e o n - l i n e a l g o r i t h m i n e v e r y c o m p l e t e p h a s e

o f l e v e l 0 i s a t l e a s t 1 , t h u s a f t e r a t m o s t 2 l e v e l 0 p h a s e s t h e o n - l i n e c o s t w i l l r e a c h

2 , a n d t h e l e v e l 1 p h a s e w i l l e n d i n C a s e 2 . F o r i 2 , a n e w m a c h i n e o f l e v e l i 1

i s p r e s e n t e d w h e n t h e o n - l i n e a l g o r i t h m b u y s t h e p r e v i o u s o n e o f t h a t l e v e l o r w h e n

i t s c o s t r e a c h e s

i 1

2

c

i 1

. I n a n y c a s e , t h e o n - l i n e a l g o r i t h m ' s c o s t f o r t h e p h a s e o f

l e v e l i 1 i s a t l e a s t c

i 1

. H e n c e , t h e m a x i m u m n u m b e r x o f p h a s e s o f l e v e l i 1 i s

r e s t r i c t e d t o b e x c

i 1

i

2

c

i

, w h i c h i m p l i e s x i

T h e p r o d u c t i o n c o s t s d e n e d a b o v e w e r e c h o s e n s o a s t o o b e y t h e p r o p e r t y s t a t e d

i n t h e f o l l o w i n g l e m m a .

L e m m a 5 . A m a c h i n e o f l e v e l i h a s p r o d u c t i o n c o s t l e s s o r e q u a l t o 1 = l o g C t i m e s

t h e p r o d u c t i o n c o s t o f a n y m a c h i n e o f l e v e l k i p r e s e n t e d b e f o r e t h e s t a r t i n g o f t h e

p h a s e , a n d o f a n y m a c h i n e o f l e v e l k < i p r e s e n t e d d u r i n g t h e p h a s e .

P r o o f . A n e w m a c h i n e o f l e v e l i i s p r e s e n t e d w h e n a p h a s e o f l e v e l j i e n d s . L e t p

b e t h e p r o d u c t i o n c o s t o f t h e m a c h i n e a s s o c i a t e d w i t h t h e p h a s e o f l e v e l j t h a t h a s

j u s t e n d e d . T h e p r o d u c t i o n c o s t o f t h e m a c h i n e a s s o c i a t e d w i t h t h e n e w p h a s e o f

l e v e l i i s p

i

=

p

( l o g C )

1 +

P

i 1

k = 0

n

k

( i

. W e p r o v e t h e c l a i m b y i n d u c t i o n . I f a n e w p h a s e o f

l e v e l i s t a r t s t h e n a p r e v i o u s p h a s e o f l e v e l i h a s j u s t e n d e d . S a y ~ p

i

i s t h e p r o d u c t i o n

c o s t o f t h e a s s o c i a t e d m a c h i n e . W e k n o w t h a t ~ p

i

p p

i

l o g C . S i n c e , b y i n d u c t i o n ,

t h e c l a i m i s t r u e f o r t h e p r e v i o u s p h a s e o f l e v e l i , w i t h p r o d u c t i o n c o s t ~ p

i

, t h e n t h e

p r o d u c t i o n c o s t p

i

o f t h e m a c h i n e p r e s e n t e d i n t h e n e w p h a s e o f l e v e l i i s l e s s o r

e q u a l t h a n 1 = l o g C t i m e s t h e p r o d u c t i o n c o s t o f a n y m a c h i n e o f l e v e l k i p r e s e n t e d

b e f o r e t h e s t a r t o f t h e p h a s e .

L e t u s p r o v e t h e s e c o n d p a r t o f t h e c l a i m , i . e . t h a t e v e r y m a c h i n e p r e s e n t e d i n

t h e p h a s e h a s p r o d u c t i o n c o s t a t l e a s t p

i

l o g C . F i r s t w e p r o v e i t f o r a p h a s e o f l e v e l

i = 1 . I t c o n t a i n s a t m o s t 2 m a c h i n e s o f l e v e l 0 , w i t h p r o d u c t i o n c o s t

p

o g C

a n d

p

o g

2

C

S i n c e p

i

=

p

o g

3

C

, t h e c l a i m i s p r o v e d .

F i n a l l y , w e p r o v e t h e c l a i m f o r i > 1 . W e p r o v e i t f o r t h e m a c h i n e a s s o c i a t e d t o t h e

l a s t p h a s e o f l e v e l i 1 c o n t a i n e d i n t h e p h a s e o f l e v e l i , b y i n d u c t i o n t h e m a c h i n e w i t h

l o w e s t p r o d u c t i o n c o s t p r e s e n t e d i n t h e p h a s e . I n a p h a s e o f l e v e l i a t m o s t i m a c h i n e

o f l e v e l i 1 a r e p r e s e n t e d . A n e w m a c h i n e i s p r e s e n t e d w h e n t h e p r e v i o u s p h a s e o f

l e v e l i 1 i s s t o p p e d b e c a u s e o f C a s e 1 o r C a s e 2 . ( R e c a l l t h a t n o p h a s e o f l e v e l h i g h e r

t h a n i e n d s d u r i n g a p h a s e o f l e v e l i . ) H e n c e , t h e p r o d u c t i o n c o s t p

i 1

o f t h e l a s t

m a c h i n e o f l e v e l i 1 i s p

i 1

=

p

( l o g C )

i ( 1 +

P

i 2

k = 0

n

k

( i 1

p

( l o g C )

P

i 1

k = 0

n

k

( i

p

i

l o g C

C o n s i d e r a p h a s e o f l e v e l i . L e t O

i

a n d z

i

b e r e s p e c t i v e l y t h e g l o b a l c o s t a n d

t h e p r o d u c t i o n c o s t o f t h e o n - l i n e a l g o r i t h m d u r i n g t h a t p h a s e . T h e g l o b a l o n - l i n e

c o s t i n a p h a s e i s g i v e n b y t h e p r o d u c t i o n c o s t d u r i n g t h e p h a s e p l u s t h e c a p i t a l

c o s t c h a r g e d t o t h e o n - l i n e a l g o r i t h m f o r b u y i n g m a c h i n e s o f l e v e l n o t h i g h e r t h a n i

( p o s s i b l y i n c l u d i n g t h e m a c h i n e o f l e v e l i i f t h e p h a s e e n d s i n C a s e 1 ) .

W e w i l l d e n o t e b y A

i

t h e g l o b a l c o s t o f t h e a d v e r s a r y i n t h e c a s e i n w h i c h i t i s

c o m m i t t e d t o b u y e i t h e r m a c h i n e s p r e s e n t e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e p h a s e o f l e v e l

n o t h i g h e r t h a n i o r m a c h i n e s p r e s e n t e d d u r i n g t h e p h a s e t h a t , b y d e n i t i o n o f t h e

s e q u e n c e , h a v e l e v e l l o w e r t h a n i . I n f a c t t h i s i s n o t a r e s t r i c t i o n s i n c e t h e c o s t p a i d

b y t h e a d v e r s a r y d u r i n g t h e u n i q u e p h a s e o f l e v e l l o g C i s e q u a l t o t h e g l o b a l c o s t o f

t h e a d v e r s a r y o v e r a l l t h e s e q u e n c e .

F i r s t , w e s t a t e t w o u p p e r b o u n d s o n t h e g l o b a l c o s t A

i

o f t h e a d v e r s a r y d u r i n g

a p h a s e . T h e r s t u p p e r b o u n d c o n s i d e r s t h e c a s e i n w h i c h t h e a d v e r s a r y o n l y b u y s


8/12

t h e m a c h i n e o f l e v e l i . O b s e r v e t h a t t h e m a c h i n e s o f l o w e r l e v e l p r e s e n t e d a t t h e

b e g i n n i n g o r d u r i n g t h e p h a s e h a v e p r o d u c t i o n c o s t h i g h e r t h a n t h e m a c h i n e o f l e v e l

i , a n d h e n c e , i n t h i s c a s e , c a n b e i g n o r e d b y t h e a d v e r s a r y .

L e m m a 6 . I f t h e a d v e r s a r y b u y s t h e m a c h i n e o f l e v e l i , t h e n A

i

3

2

c

i

P r o o f . S i n c e t h e o n - l i n e a l g o r i t h m h a s n o t b o u g h t t h e m a c h i n e o f l e v e l i , t h e n t h e

a d v e r s a r y p r o d u c e s w i t h a p r o d u c t i o n c o s t t h a t i s a t m o s t

1

o g C

t i m e s t h e o n - l i n e

p r o d u c t i o n c o s t d u r i n g t h e p h a s e . T h e r e f o r e t h e a d v e r s a r y ' s p r o d u c t i o n c o s t d u r i n g

t h e p h a s e i s a t m o s t

z

i

o g C

. W e c a n a s s u m e l o g C 2 . F o r i = 0 , w e h a v e t h a t

A

0

c

0

+

z

0

o g C

c

0

+

1

o g C

3

2

c

0

. F o r i = 1 A

1

c

1

+

z

1

o g C

c

1

+

2

o g C

3 =

3

2

c

1

F i n a l l y , f o r i 2 , t h e p h a s e e n d s a s s o o n a s t h e g l o b a l c o s t o f t h e a l g o r i t h m d u r i n g

t h e p h a s e s r e a c h e s t h e v a l u e

i

2

c

i

. T h e n w e h a v e t h a t z

i

i

2

c

i

o g C

2

c

i

. T h e r e f o r e

A

i

c

i

+

z

i

o g C

c

i

+

c

i

2

=

3

2

c

i

T h e s e c o n d u p p e r b o u n d o n A

i

c o n s i d e r s t h e c a s e i n w h i c h t h e a d v e r s a r y d o e s n o t

b u y t h e m a c h i n e o f l e v e l i , a n d i t s g l o b a l c o s t i s c o m p o s e d b y t h e s u m o f t h e c o s t s o f

t h e p h a s e s o f l e v e l i 1 c o n t a i n e d i n t h e p h a s e o f l e v e l i . A p h a s e o f l e v e l i ( c o m p l e t e

o r i n c o m p l e t e ) i s p a r t i t i o n e d i n t o a s e q u e n c e o f p h a s e s o f l e v e l i 1 , w h o s e n u m b e r

w e i n d i c a t e w i t h s

i

. T h e l a s t o n e o f t h o s e p h a s e s i s p o s s i b l y i n c o m p l e t e , w h i l e t h e

r s t s

i

1 a r e c o m p l e t e . T h u s , w e g e t t h e f o l l o w i n g l e m m a .

L e m m a 7 . L e t A

j

i 1

j = 1 ; : : : ; s

i

b e t h e g l o b a l c o s t o f t h e a d v e r s a r y d u r i n g t h e j - t h

p h a s e o f l e v e l i 1 . T h e n A

i

P

s

i

j = 1

A

j

i 1

T h e o r e m 8 . I f a n a l g o r i t h m f o r t h e n o n - c o n v e x o n - l i n e c a p i t a l i n v e s t m e n t p r o b l e m

i s - c o m p e t i t i v e t h e n = ( l o g C )

P r o o f . W e r s t s h o w t h a t f o r a n y a l g o r i t h m , t h e ( u n i q u e ) p h a s e o f l e v e l l o g C a r r i v e s

t o a n e n d . F o r t h i s i t i s e n o u g h t o s h o w t h a t t h e g l o b a l c o s t i n c u r r e d b y t h e o n - l i n e

a l g o r i t h m w i l l e v e n t u a l l y r e a c h t h e v a l u e

o g C

2

C . T h i s f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e

f a c t t h a t t h e p r o d u c t i o n c o s t s o f a l l t h e m a c h i n e s t h a t a r e p r e s e n t e d i n t h i s i n s t a n c e

a r e l o w e r - b o u n d e d b y t h e p r o d u c t i o n c o s t o f t h e m a c h i n e o f l e v e l l o g C , t h a t i s s t r i c t l y

p o s i t i v e .

W e w i l l n o w s h o w t h a t a n y o n - l i n e a l g o r i t h m p a y s a g l o b a l c o s t ( o v e r t h e s e q u e n c e )

o f a t l e a s t

1

6

l o g C t i m e s t h e c o s t o f t h e a d v e r s a r y .

W e f o c u s o u r a t t e n t i o n o n a p h a s e o f l e v e l i . T h e p h a s e s t a r t s w h e n a m a c h i n e o f

l e v e l i i s p r e s e n t e d . B y d e n i t i o n , o n e m a c h i n e f o r e a c h l o w e r l e v e l i s s i m u l t a n e o u s l y

p r e s e n t e d . O b s e r v e t h a t d u r i n g t h i s p h a s e t h e o n - l i n e a l g o r i t h m d o e s n o t b u y a n y

m a c h i n e o f l e v e l h i g h e r t h a t i . O t h e r w i s e t h e p h a s e i m m e d i a t e l y e n d s , a n e w m a c h i n e

o f l e v e l i i s p r e s e n t e d a n d a n e w p h a s e o f l e v e l i s t a r t s .

W e p r o v e t h e f o l l o w i n g i n d u c t i v e c l a i m :

{ O

i

i

6

A

i

f o r a c o m p l e t e p h a s e ;

{ O

i

i

6

A

i

c

i

2

f o r a n i n c o m p l e t e p h a s e .

W e p r o v e t h e c l a i m f o r e a c h o f t h e t h r e e c a s e s i n w h i c h a p h a s e e n d s . R e c a l l t h a t

i n C a s e 1 a n d C a s e 2 t h e p h a s e i s c o m p l e t e a n d t h e r s t p a r t o f t h e c l a i m m u s t b e

p r o v e d , w h i l e i n C a s e 3 t h e p h a s e i s i n c o m p l e t e a n d t h e s e c o n d p a r t o f t h e c l a i m

m u s t b e p r o v e d . F o r C a s e 1 a n d C a s e 3 t h e p r o o f i s b y i n d u c t i o n o n i . W e a s s u m e

t h a t t h e c l a i m h o l d s f o r p h a s e s o f l e v e l i 1 . T h e c l a i m i s o b v i o u s l y t r u e f o r i = 0


9/12

1 . I n C a s e 1 , t h e o n - l i n e a l g o r i t h m b u y s t h e m a c h i n e o f l e v e l i b e f o r e t h e g l o b a l

p r o d u c t i o n c o s t h a s r e a c h e d t h e v a l u e

i

2

c

i

. T h e n , t h e g l o b a l c o s t o f t h e o n - l i n e

a l g o r i t h m i n t h e p h a s e i s g i v e n b y t h e s u m o f t h e c o s t s f o r e a c h o f t h e s

i

p h a s e s

o f l e v e l i 1 c o n t a i n e d i n t h e p h a s e o f l e v e l i , p l u s t h e c a p i t a l c o s t c

i

f o r b u y i n g

t h e m a c h i n e o f l e v e l i t h a t e n d s t h e p h a s e . L e t O

j

i 1

b e t h e g l o b a l c o s t o f t h e

o n - l i n e a l g o r i t h m d u r i n g t h e j - t h p h a s e o f l e v e l i 1 . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y

w e c o n s i d e r t h a t t h e l a s t p h a s e o f l e v e l i 1 i s a n i n c o m p l e t e p h a s e ( t h e i n d u c t i v e

h y p o t h e s i s i s o t h e r w i s e s t r o n g e r ) . T h e n

O

i

=

s

i

X

j = 1

O

j

i 1

+ c

i

s

i

X

j = 1

i 1

6

A

j

i 1

c

i 1

2

+ c

i

i 1

6

A

i

+

3

4

c

i

i

6

A

i

T h e r s t i n e q u a l i t y s t e m s b y a p p l y i n g t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s . T h e s e c o n d i n -

e q u a l i t y i s o b t a i n e d f r o m L e m m a 7 a n d t h e r e l a t i o n c

i

= 2 c

i 1

. F i n a l l y , t h e l a s t

i n e q u a l i t y f o l l o w s f r o m L e m m a 6 .

2 . I n C a s e 2 t h e g l o b a l c o s t o f t h e o n - l i n e a l g o r i t h m h a s r e a c h e d t h e v a l u e

i

2

c

i

. T h e n ,

a p p l y i n g L e m m a 6 , i t f o l l o w s t h a t

O

i

=

i

2

c

i

i

6

A

i

3 . I n C a s e 3 t h e p h a s e e n d s b e c a u s e a n e w m a c h i n e o f t h e s a m e l e v e l i s p r e s e n t e d ,

i . e . , a p h a s e o f a h i g h e r l e v e l e n d s i n C a s e 1 o r C a s e 2 . T h e g l o b a l c o s t o f t h e

o n - l i n e a l g o r i t h m f o r a n i n c o m p l e t e p h a s e i s o b t a i n e d b y s u m m i n g u p t h e g l o b a l

c o s t f o r e v e r y p h a s e o f l e v e l i 1 c o n t a i n e d i n t h e i n c o m p l e t e p h a s e o f l e v e l

i . C l e a r l y , t h e c a p i t a l c o s t o f t h e m a c h i n e o f l e v e l i i s n o t p a i d b y t h e o n - l i n e

a l g o r i t h m . N o t e t h a t i n t h i s c a s e t h e l a s t p h a s e o f l e v e l i 1 i s a l s o i n c o m p l e t e .

T h e c l a i m i s p r o v e d a s f o l l o w s :

O

i

=

s

i

X

j = 1

O

j

i 1

s

i

X

j = 1

i 1

6

A

j

i 1

c

i 1

2

i 1

6

A

i

c

i

2

+

c

i

4

i

6

A

i

c

i

2

T h e r s t e q u a l i t y i n d i c a t e s t h e o n - l i n e g l o b a l c o s t i n t h e p h a s e , w h i l e t h e r s t

i n e q u a l i t y i s d e r i v e d b y a p p l y i n g t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s . T h e s e c o n d i n e q u a l i t y

i s o b t a i n e d f r o m L e m m a 7 a n d t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e c a p i t a l c o s t s o f m a c h i n e s

o f l e v e l i a n d i 1 , w h i l e t h e n a l i n e q u a l i t y i s d e r i v e d f r o m t h e u p p e r b o u n d o n

t h e a d v e r s a r y ' s g l o b a l c o s t o f L e m m a 6 .

S i n c e t h e u n i q u e p h a s e o f l e v e l l o g C i s a c o m p l e t e p h a s e a n d i t s c o m p l e t i o n e n d s

t h e s e q u e n c e , t h e n t h e t h e o r e m f o l l o w s f r o m t h e c l a i m o n c o m p l e t e p h a s e s .

T h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y s t a t e s t h e l o w e r b o u n d a s a f u n c t i o n o f t h e r a t i o P b e t w e e n

t h e h i g h e s t a n d t h e l o w e s t p r o d u c t i o n c o s t s , a n d o f t h e m a x i m u m n u m b e r o f p r e s e n t e d

m a c h i n e s M

T h e o r e m 9 . I f a n a l g o r i t h m f o r t h e n o n - c o n v e x o n - l i n e c a p i t a l i n v e s t m e n t p r o b l e m

i s - c o m p e t i t i v e t h e n = (

l o g l o g P

l o g l o g l o g P

) a n d = (

o g M

l o g l o g M

)


10/12

P r o o f . T h e c l a i m f o l l o w s b y o b s e r v i n g t h a t i n t h e s e q u e n c e f o r t h e ( l o g C ) l o w e r

b o u n d , t h e r a t i o b e t w e e n t h e m a x i m u m a n d t h e m i n i m u m p r o d u c t i o n c o s t i s P =

( l o g C )

( 1 +

P

o g C 1

k = 0

n

k

( l o g C )

) = ( ( l o g C )

O ( l o g C )

) a n d t h e n u m b e r o f m a c h i n e s p r e -

s e n t e d i s M 1 +

P

o g C 1

k = 0

n

k

( l o g C ) = O ( ( l o g C ) ! ) .

5 U p p e r B o u n d f o r t h e N o n - C o n v e x C a s e

I n t h i s s e c t i o n w e p r e s e n t a n a l g o r i t h m f o r t h e g e n e r a l ( n o n - c o n v e x ) c a s e o f t h e p r o b -

l e m . T h i s a l g o r i t h m a c h i e v e s a c o m p e t i t i v e r a t i o o f O ( m i n f l o g C l o g l o g P l o g M g )

5 . 1 T h e A l g o r i t h m

G i v e n a n y n e w m a c h i n e w i t h p r o d u c t i o n c o s t p

i

, a n d c a p i t a l c o s t c

i

, o u r a l g o r i t h m

r s t r o u n d s t h e s e c o s t s u p t o t h e n e a r e s t p o w e r o f t w o , i . e . , i f 2

j 1

< c

i

2

j

t h e n

s e t c

i

= 2

j

, a n d i f 2

k 1

< p

i

2

k

t h e n s e t p

i

= 2

k

T h e a l g o r i t h m i s d e n e d a s f o l l o w s . B e f o r e p r o d u c i n g t h e r s t u n i t b u y t h e m a -

c h i n e m

i

t h a t m i n i m i z e s p

i

+ c

i

a m o n g s t a l l m a c h i n e s a v a i l a b l e a t t h e b e g i n n i n g o f

t h e i n t e r v a l . I t t h e n p r o d u c e s t h e r s t u n i t o f c o m m o d i t y . T h e i n i t i a l c o s t p

i

+ c

i

i s

c o n s i d e r e d a p r o d u c t i o n c o s t .

B e f o r e p r o d u c i n g a n y s u b s e q u e n t u n i t , o r d e r a l l a v a i l a b l e m a c h i n e s b y i n c r e a s i n g

p r o d u c t i o n c o s t a n d ( i n t e r n a l l y ) i n c r e a s i n g c a p i t a l c o s t . N u m b e r t h e m a c h i n e s b y

i n d e x i , a n d l e t p

i

c

i

b e t h e p r o d u c t i o n c o s t s a n d c a p i t a l c o s t s , r e s p e c t i v e l y . F o r a l l

i p

i

p

i + 1

, a n d i f p

i

= p

i + 1

, t h e n c

i

c

i + 1

. B u y t h e m a c h i n e w i t h l e a s t i t h a t

s a t i s e s t h e t w o f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

{ I t s p r o d u c t i o n c o s t p

i

i s s m a l l e r t h a n t h e p r o d u c t i o n c o s t o f t h e c u r r e n t m a c h i n e .

{ A p r o d u c t i o n c o s t o f a t l e a s t c

i

h a s b e e n s p e n t s i n c e t h e l a s t t i m e a m a c h i n e

w i t h c a p i t a l c o s t c

i

h a s b e e n b o u g h t ( o r s i n c e t h e b e g i n n i n g o f t h e r u n , i f n o s u c h

m a c h i n e h a s b e e n p r e v i o u s l y b o u g h t ) .

5 . 2 A n a l y s i s

W e p r o v e t h a t t h e a b o v e a l g o r i t h m h a s c o m p e t i t i v e r a t i o o f

O ( m i n f l o g C l o g l o g P l o g M g ) . I n t h e f o l l o w i n g a n a l y s i s w e a s s u m e t h a t a l l c a p i -

t a l a n d p r o d u c t i o n c o s t s a r e i n d e e d p o w e r s o f 2 , a s r o u n d e d b y t h e o n - l i n e a l g o r i t h m .

C l e a r l y , a n a d v e r s a r y t h a t u s e s t h i s m o d i e d s e q u e n c e i n c u r s a c o s t o f a t m o s t t w i c e

t h e c o s t i n c u r r e d b y t h e r e a l a d v e r s a r y t h a t u s e s t h e r e a l s e q u e n c e .

D e n o t e b y O N = O N

c

+ O N

p

t h e t o t a l c o s t o f t h e a l g o r i t h m w h i c h i s e q u a l t o t h e

s u m o f t h e t o t a l c a p i t a l c o s t O N

c

a n d o f t h e t o t a l p r o d u c t i o n c o s t O N

p

L e m m a 1 0 . T h e t o t a l c a p i t a l c o s t O N

c

i s a t m o s t O ( l o g C ) t i m e s t h e t o t a l p r o d u c t i o n

c o s t O N

p

P r o o f . F o r a g i v e n j , c o n s i d e r a l l t h e m a c h i n e s o f c o s t 2

j

t h a t a r e b o u g h t . A m a c h i n e

o f c o s t 2

j

c a n b e b o u g h t o n l y a f t e r a n a m o u n t o f 2

j

h a s b e e n s p e n t o n p r o d u c t i o n

s i n c e t h e l a s t t i m e a m a c h i n e o f t h e s a m e c o s t h a s b e e n b o u g h t ( o r s i n c e t h e b e g i n n i n g

o f t h e s e q u e n c e , i f n o t s u c h m a c h i n e w a s p r e v i o u s l y b o u g h t ) . I t f o l l o w s t h a t f o r a n y j

t h e t o t a l c o s t o f t h e a l g o r i t h m f o r b u y i n g m a c h i n e s o f c o s t 2

j

i s a t m o s t O N

p

. S i n c e

t h e r e a r e a t m o s t d l o g C e d i e r e n t c o s t s f o r t h e m a c h i n e s , O N

c

= O ( O N

p

l o g C )

L e m m a 1 1 . T h e t o t a l c a p i t a l c o s t O N

c

i s a t m o s t O ( l o g M ) t i m e s t h e t o t a l p r o d u c -

t i o n c o s t O N

p

, w h e r e M i s t h e t o t a l n u m b e r o f m a c h i n e s b o u g h t .


11/12

P r o o f . L e t 2 b e t h e c o s t o f t h e c h e a p e s t m a c h i n e , a n d l e t 2

k

b e t h e c o s t o f t h e m o s t

e x p e n s i v e m a c h i n e s u c h t h a t 2

k

O N

p

. A l l m a c h i n e s b o u g h t b y t h e a l g o r i t h m h a v e

c o s t s b e t w e e n 2 a n d 2

k

. F o r a n y j l j k , l e t b

j

b e t h e n u m b e r o f m a c h i n e s

o f c o s t 2

j

b o u g h t b y t h e a l g o r i t h m . A n u p p e r b o u n d o n t h e c a p i t a l c o s t s p e n t b y

t h e a l g o r i t h m i s t h e m a x i m u m o f Z =

P

k

j =

b

j

2

j

a s a f u n c t i o n o f t h e v a r i a b l e s

b

j

j = l ; : : : ; k s u b j e c t t o c o n s t r a i n t s b

j

2

j

O N

p

, a n d

P

k

j =

b

j

= M

W e r e l a x t h e p r o b l e m b y a l l o w i n g t h e v a r i a b l e s b

j

t o a s s u m e n o n - i n t e g e r v a l u e s .

C l e a r l y t h e s o l u t i o n t o t h i s r e l a x e d p r o b l e m i s a l s o a n u p p e r b o u n d o n O N

c

. D e n o t e

b y b

r

j

j = l ; : : : ; k , t h e v a r i a b l e s o f t h e r e l a x e d p r o b l e m . F o r t h e o p t i m a l s o l u t i o n o f

t h e r e l a x e d p r o b l e m , t h e r e a r e n o h a n d h s u c h t h a t l h < h k b

h

> 0 a n d

b

h


12/12

T o p r o d u c e t h e r s t u n i t t h e o n - l i n e a l g o r i t h m b u y s t h e m a c h i n e t h a t m i n i m i z e s

t h e s u m o f p r o d u c t i o n a n d c a p i t a l c o s t s . T h i s i s t h e m i n i m u m p o s s i b l e c o s t t o p r o d u c e

t h e r s t u n i t . T h u s , O N

p

1

O P T

1

C o n s i d e r u n i t t f o r t > 1 , a n d a s s u m e t h a t t h e c l a i m h o l d s f o r e v e r y u n i t n u m b e r

t t < t . L e t m b e t h e m a c h i n e u s e d b y O N t o p r o d u c e u n i t t . L e t m b e t h e m a c h i n e

u s e d b y O P T t o p r o d u c e u n i t t p i t s p r o d u c t i o n c o s t a n d c i t s c a p i t a l c o s t .

I f p

t

p t h e n w e h a v e

O N

p

t

= O N

p

t 1

+ p

t

2 O P T

t 1

+ p

t

2 O P T

t 1

+ p 2 O P T

t

W e n o w c o n s i d e r t h e c a s e i n w h i c h p < p

t

. I t f o l l o w s t h a t t h e o n - l i n e a l g o r i t h m

d i d n o t b u y m a c h i n e m a l t h o u g h i t w a s a v a i l a b l e b e f o r e u n i t t i s p r o d u c e d . I f t h i s

h a p p e n s o n e o f t h e f o l l o w i n g h o l d s :

{ T h e p r o d u c t i o n c o s t i n c u r r e d b y t h e o n - l i n e a l g o r i t h m b y t i m e t 1 i s l e s s t h a n

c . O n t h e o t h e r h a n d , t h e o p t i m a l o - l i n e a l g o r i t h m b u y s m a c h i n e m , i n c u r r i n g

a c o s t o f c . I t f o l l o w s t h a t

O N

p

t

= O N

p

t 1

+ p

t

2 O N

p

t 1

2 c 2 O P T

t

{ S o m e m a c h i n e o f c o s t c w a s p r e v i o u s l y b o u g h t b y t h e o n - l i n e a l g o r i t h m , b u t t h e

p r o d u c t i o n c o s t i n c u r r e d b y t h e a l g o r i t h m s i n c e t h e n i s l e s s t h a n c . A s s u m e t h a t

s u c h m a c h i n e w a s b o u g h t j u s t b e f o r e u n i t

t w a s p r o d u c e d . A s u n i t t i s p r o d u c e d

w i t h p r o d u c t i o n c o s t h i g h e r t h a n p , w e c a n c o n c l u d e t h a t m w a s n o t a v a i l a b l e

b e f o r e u n i t

t w a s p r o d u c e d . T h u s , m w a s b o u g h t b y t h e o - l i n e a l g o r i t h m a f t e r

u n i t

t i s p r o d u c e d . O n t h e o t h e r h a n d , t h e o n - l i n e p r o d u c t i o n c o s t s i n c e t h e

p r o d u c t i o n o f u n i t

t i s l e s s t h a n c . T h e r e f o r e , w e h a v e

O N

p

t

= O N

p

t 1

+

t 1

X

i =

t

p

i

+ p

t

O N

p

t 1

+ 2

t 1

X

i =

t

p

i

2 O P T

t

1

+ 2 c 2 O P T

t

W e c o n c l u d e w i t h t h e f o l l o w i n g t h e o r e m , w h o s e p r o o f i s s t r a i g h t f o r w a r d f r o m t h e

p r e v i o u s l e m m a t a .

T h e o r e m 1 5 . T h e c o m p e t i t i v e r a t i o o f t h e o n - l i n e c a p i t a l i n v e s t m e n t a l g o r i t h m d e -

s c r i b e d a b o v e i s O ( m i n f l o g C l o g l o g P l o g M g )

R e f e r e n c e s

1 . A . C h o u , J . C o o p e r s t o c k , R . E l - Y a n i v , M . K l u g e r m a n a n d F . L e i g h t o n . T h e S t a t i s t i c a l

A d v e r s a r y A l l o w s O p t i m a l M o n e y - m a k i n g T r a d i n g S t r a t e g i e s . I n P r o c e e d i n g s o f t h e 6 t h

A n n u a l A C M / S I A M S y m p o s i u m o n D i s c r e t e a l g o r i t h m s , 1 9 9 5 .

2 . R . E l - Y a n i v , A . F i a t , R . K a r p a n d G . T u r p i n . C o m p e t i t i v e A n a l y s i s o f F i n a n c i a l G a m e s .

I n P r o c . o f t h e 3 3 r d I E E E A n n u a l S y m p o s i u m o n F o u n d a t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e

1 9 9 2 .

3 . R . E l - Y a n i v a n d R . M . K a r p . T h e M o r t g a g e P r o b l e m . I n P r o c e e d i n g s o f t h e 2 n d I s r a e l i

S y m p o s i u m o n T h e o r y o f C o m p u t i n g a n d S y s t e m s , p p . 3 0 4 { 3 1 2 , J u n e 1 9 9 3 .

4 . R . M . K a r p , O n - l i n e A l g o r i t h m s V e r s u s O - l i n e A l g o r i t h m s : H o w M u c h i s i t W o r t h t o

K n o w t h e F u t u r e ? . I n P r o c . W o r l d C o m p u t e r C o n g r e s s , 1 9 9 2 .

5 . P . R a g h a v a n . A S t a t i s t i c a l A d v e r s a r y f o r O n - l i n e A l g o r i t h m s . D I M A C S S e r i e s i n D i s c r e t e

M a t h e m a t i c s a n d T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e , V o l 7 : 7 9 - 8 3 , 1 9 9 2 .

6 . D . D . S l e a t o r a n d R . E . T a r j a n . A m o r t i z e d E c i e n c y o f L i s t U p d a t e a n d P a g i n g R u l e s .

C o m m u n i c a t i o n s o f t h e A C M . 2 8 : 2 0 2 { 2 0 8 , F e b r u a r y 1 9 8 5 .

T h i s a r t i c l e w a s p r o c e s s e d u s i n g t h e L

a

T

E

X m a c r o p a c k a g e w i t h L L N C S s t y l e

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