produtos notáveis
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- 7 a2 b
Coeficiente numérico: - 7
Variável ou parte literal: a2 b
A expressão algébrica – 7a2b é formada por um termo, ou seja, um monômio.
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Expressões algébricas
Expressões matemáticas formadas por letras ou número e letras são chamadas
de expressões algébricas.
Por exemplo: – 7a2b
Dois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal são chamados
monômios ou termos semelhantes. Por exemplo:
a. – 8a e 12a
b. 3xy2 e
57
xy 2
c. – a2b3, 9a2b3 e 11 a2b3
Uma expressão algébrica formada por um monômio ou uma soma de monômios
chama-se polinômio.
Valor Numérico
Valor numérico de uma expressão é o número obtido quando se substituem as
variáveis por números e se efetuam as operações indicadas.
Exercício resolvido:
1. Qual é o valor numérico da expressão x2 – 5x + 6 para x = -3?
(-3)2 – 5.(-3) + 6
9 + 15 + 6
30
2.1. Operações com os polinômios.
1
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2.1.1. Adição e Subtração de polinômios.
Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes. Quando estamos
adicionando ou subtraindo os termos semelhantes de uma expressão, dissemos que
estamos simplificando ou reduzindo os termos semelhantes. Para isso, repete-se a
parte literal e opera-se com os coeficientes.
Exercício resolvido:
a. 3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²
b. 3x + 7x – x – 10x = - x
c. (x2 – 5x + 6) – (3x2 + x – 1) = x2 – 5x + 6 - 3x2 - x + 1
= - 2x2 – 6x + 7
2.1.2. Multiplicação de polinômios.
Multiplicam-se os coeficientes e, a seguir, multiplicam-se as partes literais. Para
a multiplicação das partes literais, usamos a propriedade da potência:
an . am = an + m
Exercícios resolvidos:
a. ( - 3a²y) . ( + 2ay) = - 6a³y²
b. 2x . ( 5x + 4) = 10x2 + 8x
c. (2x + 1).(4x - 3) = 8x2 - 6x + 4x – 3 = 8x2 – 2x - 3
2.1.3. Divisão de polinômios.
1º Caso: Divisão de monômios. Divide-se o coeficiente numérico e a parte
literal correspondentes. Para dividir as partes literais, usamos a propriedade da
potência:
an : am = an – m (com a ≠ 0)
2
Usamos aqui a
propriedade distributiva
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Exercícios resolvidos:
a. (+6x3 ) : (- 2x) = - 3x2
b. ( - 8 a4b3c) : ( - 12 a2b2 c) =
−8−12 a2b =
23 a2b
c. (+ 42a³bx4) : (+ 7ax²) = 6a²bx²
Ao dividirmos um monômio por outro, o quociente obtido nem sempre é um
novo monômio. Veja:
(- 6x) : 2x2 =
−6x
2x2=−3
x
14ay2
4a2 y=7y
2a
−3m5 p2
−3mp5=m4
p3
Esses resultados são expressões fracionárias chamadas de frações algébricas.
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio:
Divide-se cada termo do polinômio pelo monômio.
Exercícios resolvidos:
a. (6x2 + 8x) : (- 2x) = - 3x – 4
b. (9a2b2 – ab3 + 6a3b5) : 3ab2 = 3a -
13 b + 2a2b3
3º Caso: Divisão de polinômio por polinômio:
Exercícios resolvidos:
a. (2x2 – 5x + 8) : (x – 1) = 2x – 3 e resto: 5b. (9x2 – 36) : (3x +6) = 3x – 6a) b)
3
: 4
- 2x2 + 2x
0 - 3x + 8
+ 3x – 3
0 + 5
2x2 – 5x + 8 x – 1 2x - 3
9x2 + 0x - 36 3x +6 3x - 6
- 9x2 - 18x
0 - 18x - 36
+ 18x + 36
0
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
1º Termo
2º Termo
Quadrado do primeiro termo.
+ o dobro do produto do 1º pelo 2º termo.
+ quadrado do segundo termo
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2.2. Produtos notáveis
2.2.1. Quadrado da soma de dois termos:
Podemos dizer que:
“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas
vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.”
Exercícios resolvidos:
a. (2 + x)² = 2² + 2 . 2.x + x² = 4 + 4x + x²
b. (7x + 2y)2 = 49x2 + 28xy + 4y2
2.2.2. Quadrado da diferença de dois termos:
Podemos dizer que:
“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas
vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.”
4
(a - b)² = a² - 2ab + b²
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Exercícios resolvidos:
a. (x – 3) = x² + 2 . x . (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9
b. (7x - 2y)2 = 49x2 - 28xy + 4y2
2.2.3. Produto da soma pela diferença de dois termos:
Podemos dizer que:
“O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado do primeiro
menos o quadrado do segundo.”
Exercícios resolvidos:
a. (1 - √3 ) . (1 + √3 ) = 1² - (√3 )² = 1 – 3 = - 2
b. (7x + 2y) . (7x - 2y) = 49x2 - 4y2
Resumo sobre Produtos Notáveis
É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:
Produtos notáveis Exemplos(a+b)2 = a2+2ab+b2 (x+3)2 = x2+6x+9
(a-b)2 = a2-2ab+b2 (x-3)2 = x2-6x+9
(a+b)(a-b) = a2-b2 (x+3)(x-3) = x2-9
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (x+2)(x+3) = x2+5x+6
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (x+2)3 = x3+6x2+12x+8
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (x-2)3 = x3-6x2+12x-8
(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3 (x+2)(x2-2x+4) = x3+8
(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 (x-2)(x2+2x+4) = x3-8
5
(a + b) . (a – b) = a² - b²
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ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1) Desenvolva:a) (3x+y)2
(3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2
b) ((1/2)+x2)2
((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4
c) ((2x/3)+4y3)2
((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6
d) (2x+3y)3
(2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3
e) (x4+(1/x2))3
(x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6)
f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5))((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2
2) Efetue as multiplicações:a) (x-2)(x-3)(x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x2-5x+6
b) (x+5)(x-4)(x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.(-4) = x2+x-20
3) Simplifique as expressões:a) (x+y)2–x2-y2
(x+y)2–x2-y2 = x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy
b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5) = x2-5x-14+ x2-2x-15 = 2x2-7x-29
c) (2x-y)2-4x(x-y)(2x-y)2-4x(x-y) = (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy = 4x2-4xy+y2-4x2+4xy = y2
6
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2.3. Fatoração
Fatorar um polinômio é escrevê-lo sob a forma de um produto.
Fator comum.
1. ax + bx = x . ( ax
x+ bx
x ) = x(a + b)
Na expressão fatorada, x é o fator comum colocado em evidência.
2. 4c – 18 = 2 . ( 4 c
2−18
2 ) = 2(2c – 9)
Na expressão fatorada, 2 é o máximo divisor comum dos coeficientes numéricos 4
e 18, logo é o fator comum colocado em evidência.
3. 7ax3 + x2 = x2 . ( 7ax 3
x2+ x2
x2 )=x2(7ax + 1)
Na expressão fatorada, x2 é a parte literal de menor grau, logo é o fator comum
colocado em evidência.
Podemos ter as três situações em uma única expressão. Veja:
4. 8a5b + 12a3 = 4a3(2a2b + 3)
5. 4ax² + 8a²x³ + 2a³x = 2ax (2x + 4ax² + a² )
Fatoração por agrupamento.
1. ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y)
= (x + y)(a + b)
2. 2mx – 5ny – 2nx + 5my = -n(5y + 2x) + m(2x + 5y)
= (5y + 2x)(m – n)
7
1. a2 – 9 = (a – 3)(a + 3)
2a 9
1. x2 + 20 x + 100 = (x + 10)2
xx 2 1002.x.10 = 20x
perfeito
Sinal do perfeito
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Na expressão fatorada, os quatro termos não apresentam um fator comum.
Logo agrupamos os termos de dois em dois, onde a é o fator comum do primeiro
grupo e b é o fator comum do segundo grupo. E fatoramos novamente.
Diferença entre dois quadrados.
2. 16m2 – 25n4 = (4m – 5n2)(4m + 5n2)
Trinômio Quadrado Perfeito.
2. 9x2 – 48xy + 64y2 = (3x – 8y)2
2.4. Frações Algébricas
Uma fração algébrica corresponde ao quociente de duas expressões
algébricas. Observe:
xy
2 x+1y−4
9 a2−7a+1
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O conjunto dos números reais para os quais o denominador de uma fração
algébrica é diferente de zero é denominado domínio ou campo de existência da
fração.
Assim, para a fração
x2+ y2
x−3 , o campo de existência é qualquer número real
diferente de 3, já que a fração não tem nenhum significado quando x = 3, pois anula o
seu denominador.
Dada uma fração algébrica, vamos considerar que sempre estão excluídos os
números reais que, colocados no lugar das letras, anulam o seu denominador. Logo:
A fração
7x , devemos ter x ≠ 0.
A fração
x3+4x2−9 , devemos ter x ≠ 3 e x ≠ - 3.
2.4.1. Simplificação de frações Algébricas.
Exercícios resolvidos:
1.
24x4 y3 z18x2 y4
=4x2 z3y
2.
x2+ x2x+2
=x ( x+1 )2( x+1)
= x2
3.
a2−b2
a2−2ab+b2=
(a+b )(a−b)(a−b)2
= a+ba−b
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) Simplifique as expressões algébricas abaixo:
a) (2x² - 3x + 1) – [3x² - (2x + 3)] (resp. –x² - x + 4)
b) 5 a4−{2 a3+[3a4−2 (2 a2−a3 ) ]+a} (resp. 2 a4−3 a3+2a2−a+2¿
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c) (0,5+114 ) x3−2
3x2−1
34
x3+(2−113 ) x2 (resp. 0)
02) Se 3 (a + b) = 3ª + 3 (todo “a” pertence ao conjunto dos números Reais), então o valor de “b” é:
a) zero b) 1 c) -1 d) 3 e) 4
03) A expressão a² + 2ab + b², para a = 1 e b = -2, vale:
a) 2 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2
04) Sendo A = 4 a ³+5 a ² b−2ab ² e B = 2a²b + 3ab², calcule AxB
(resp. 8 a5b+22 a4 b ²+11 a ³ b ³−6 a2b4)
05) Resolva os seguintes produtos notáveis:
a) (a + b + c)² b) (a + b – c)² c) (a + b).(a + b) d) (x + a).(x – a)
e) (a – b).(a² + ab + b²) f) (23
a2 x+ 34
a x2) ² g) (15
a ²−1¿ ² h) (1−a2
¿ ³
06) Sendo X = 3 x4−12 x2+5x−10 e Y = x – 2, calcule o valor de XY
.
07) Simplifique as frações algébricas abaixo:
a) a ²−2 a+1
a ²−1 b)
4 x ²−8 xyx ²−4 xy+4 y ²
c) a ²+aba ²−ab
d) (a+b )2−(a2−b2)3ax ³+3bx ³
e)
2 ax ²−4 axy+2 ay ²a ² x ²−a ² y ²
f) 35+5 m+7 n+mn
50+10 n g)
2ax+by+bx+2ayax−2 bx+ay−2 by
h) 15 x2−10 xy+3 xz−2 yz
25 x2+10 xz+z2
Simplifique as frações algébricas:
a)
x2−1x2+2 x+1
= b)
x2+3 x−10x2+ x−6
= c)
x2−4 x+4x2−4
=
d)
x2−5x3 x2−18 x+15
= e)
x2−8 x+152 x2−4 x−6
= f)
−x2+7 x−12x2−8 x+16
=
08) Fatore os trinômios:
a) x2 – 6x + 8 = b) y2 – 2y – 8 = c) x2 + 7x + 6 = d) 3x2 – 12x + 9 =
10
a + b
a
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e) 4y2 – 3y – 10 = f) 9x2 – 12x + 4 =
Exercícios complementares
1) Ache o valor numérico da expressão 4x + 2y –3 para x = 5 e y = -2.
2) A área do trapézio da figura é dada pela fórmula
A=(b1+b2 ).h
2 , em que b1 e b2 representam suas
bases e h sua altura..
b2
b1
h
Determine a área do trapézio, sendo b1 = 12 cm, b2 = 8 cm e h = 3,5 cm.
3) Escreva a expressão algébrica que representa a área da figura.
4) Calcule o valor numérico de 9x3 – x2 +
13 para x =
−13 .
5) Se a expressão algébrica a3 representa o volume de um cubo de aresta a = 8 cm,
qual é o volume desse cubo?
6) Encontre o valor numérico da expressão
34
(2 a+b+c ) para a = 9, b = 12 e c = - 12.
7) Ache a expressão algébrica que representa a área do retângulo.
11
5x + 4
3x - 1
x + 3
x + 2
x + 1
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8) Que polinômio representa o volume do paralelepípedo?
9) calcule o valor numérico para x4 – 8x3 + x2 – x, para:
a) x = 3 b) x = -2
10) Reduza os termos semelhantes:
a) (4a – 7) + (-2a + 9) =
b) (13x – 1) + (2x – 1) =
c) (2x2 – 3x – 2) + (2x2 – 5x + 2) =
d) (-4y2 + 5y – 3) + (4y2 + 3) =
e) (8y3 – 6y2 + 16y – 1) + ( - 8y3 – 6y2 + 16y – 1) =
f) (4y – 2) – (2y + 3) + ( - 2y + 4) =
g) (b2 – 3b + 2) – (- b2 + 3b – 2) – (2b2 – 4b + 1) =
h) (4x – 2) – (3x2 + 7x – 2) + ( - x2 + 1) =
i) (x3 – y3) + (2x3 – 4x2y + xy2) – (x3 – 8) =
11) Efetue as multiplicações:
a) 3x2 . 4x3 =
b) -2a4 . 5a =
c) 6pq2 . ( - 2p³q² ) =
d) –ab . ( - a2b3) =
e) 3(2x2 – 5x + 1) =
f) -4(a3 – a2 + 2a – 3) =
g) 2x2(3x2 – 4x + 5) =
h) – a(a3 – a2 – 2) =
12
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i)
12
x2 y (2x3 – xy + 4y2) =
j) (x2 – 5x + 6)(x + 3) =
l) (2x + 3)(x – 2)(4x – 1) =
m) (2x + 1)(4x + 3) =
n) (2y – 6)(3y + 5) =
12) Calcule as divisões:
a) x7 : x2 = e)
b
−2 b6=
b) y4 : y2 = f)
5 x3 y10
10 xy7=
c) 4n4 : ( - n) = g)
−9 n4 p3
27 n4 p4=
d) - a6 : (- a10 )= h)
4 a3 b5
8 b5 a3=
13) Efetue as divisões:
a) (16x3 – 4x2 + 8x) : ( - 4x) =
b) (m4 – 2m3 + m2) : ( - m) =
c) (am – a2m + a3m) : (+ am) =
d) (6a4b2 – 9a3b + ab) : ab =
e) (20a3 – 15a2 + 30a) : 5a =
f) (7m8 – 14m6 + 28m5) : 7m4 =
14) Simplifique
(2 x+8)( x3−6 x2)2 x2
.
15) Efetue [(y2 – 2y + 4)(y + 2) + (y2 + 2y + 4)(y – 2)] : y2.
16) Calcule:
a) (x2 – 7x + 10) : (x – 2) =
b) (2y2 – 3y – 2) : (y – 2) =
c) (2n2 – 5n + 7) : (n – 3) =
d) (10a2 – 3a – 7) : (a – 1) =
e) (x2 – 81) : (x + 9) =
13
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f) (81 – 18y + y2) : (- y + 9) =
g) (k3 – 3k2 + 3k – 2) : (k – 1) =
h) (8b3 + 12b2 + 6b + 1) : (2b + 1) =
17) Determine
x3−6 x2+12 x−8x2−4 x+4 .
18) Efetue:
a) (x + y)2 =
b) (a + 3)2 =
c) (5x + 2)2 =
d) (-3 + 4x)2 =
e) (2x + y)2 =
f) (5a + 2b)2 =
g) (3a + 4b)2 =
19) Fatore as expressões algébricas:
a) 5x + 5y = b) ba – bc = c) 7a + 7b – 7c = d) 8x – 10y = e) 27m + 3n =
f)
14
x+ 14
y= g)
25
b − 83
bx= h)
65
x+1215
y= i) 24x2 – 8x3 =
j) a3m4 – 3a2m3 +
12 a2m = l) 5x3 + 5ax6 = m) 12a3b4 – 16b3a4 =
n) 14x2y – 21x3z = o) 8a5b + 12a3 =
20) Fatore a expressão 2ax + 2bx + ay + by.
21) Fatore os polinômios:
a) 4x2 + 36x + 81 =
b) 16 – 40x + 25x2 =
c) 1 – 20y + 100y2 =
d) 121x2 – 25 =
e) 64x2 – 36y2 =
14
h) (x - 5)2 =
i) (2a - 7)2 =
j) (6x – 2y)2 =
l) (11x - y)2 =
m) (a - 3)2 =
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f)
4 a2
25− b2
49=
g) 49x2 + 42xy + 9y2 =
h) m2n2 – 2mn + 1 =
i)
x2
4−9 y2
25=
22) Fatore:
a) 3x2 + 30x + 75 =
b) -3ax2 + 18ax – 27a =
c)
−5 y2 m4
+45 x2 m16 =
d) 1000 – 10x2 =
e) 3x2 – 27 =
23) Qual é a expressão fatorada de 5m + 5n – m2 – 2mn – n2?
24) Simplifique as frações algébricas:
a)
x2+6 x+92 x+6 =
b)
36 x2−9 y2
36 x2+36 xy+9 y2=
c)
5 x−15
x2−9=
d)
14 m2+28 mn+14 n2
7 m2−7 n2=
e)
−12 x2 y6 xy−8 y+2 y2
=
f)
3 a2−3a+1
=
g)
9 x2−19 x−3
=
15
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h)
ab−4b
3 b2=
i)
3ax+6a
6 ax2−24 a=
j)
3 x3−12 x6 x+12 =
l)
8 d3−8 dm2
5 d3−5 dm2=
25) Qual é a forma mais simples de escrever a fração
a3−a2
4 a2−4 a ?
26) Simplifique
x2−a2
x2−2 ax+a2.
27) Qual é o domínio da fração:
a)
3 xx−8
b)
5 x+14 x−1
c)
a+1
−4+a2
28) Efetue:
a)
9axy
+ 2 axy
+ 3axy
=
b)
y−1a+3
− y+5a+3
=
c)
25 x
+ 34 y
− 12 x
=
d)
12 a
+5 a=
29) Obtenha o valor da expressão (√3−2 )2+(2√3+1)2.
30) Efetue as operações e simplifique se possível:
16
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a) √ 9 x3
x− y.
xx− y =
b) √ 4 xx+ y
.xy 2
x+ y=
c)
x+3x2−x
:x2−9
x2−3 x=
d)
x2
xy− y2.
x2− y2
x2+xy=
e)
ab−b
aab+
ba+2
=
f)
x2−10 x+254 x+8
:x2−25
x2+7 x+10=
g)
3 a−3 b+ax−bxa3+a−a2−1
.a2+1a−b
=
17