*Anlise de Resposta Transitria e deRegime Estacionrio5.6. Um Exemplo de Problema Resolvido com MATLAB5.7. Critrio de Estabilidade de RouthProf. Andr MarcatoLivro Texto: Engenharia de Controle Moderno Quarta Edio Editora Pearson Prentice Hall Autor: Katsuhiko OGATA

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Sistema Mecnico Vibratrio (1)

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Critrio de Estabilidade de RouthO problema mais importante relacionado aos sistemas de controle o da estabilidadeSob quais condies o sistema se tornar instvel?Se for instvel, como fazer para estabiliz-lo?A maioria dos sistemas de controle tem funes de transferncia da forma:

O critrio de Estabilidade de Routh possibilita determinar o nmero de polos de malha fechada que se situam no semi-plano direito de s, sem ter que fatorar o polinmio do denominador.

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Critrio de Estabilidade de Routh Passo 1

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Critrio de Estabilidade de Routh Passo 2Se algum dos coeficientes for zero ou negativo na presena de pelo menos um coeficiente positivo, ento existir uma ou mais razes imaginrias que tenham partes reais positivas.Nesse caso, o sistema no ser estvel.No h necessidade de continuar o procedimento.

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Critrio de Estabilidade de Routh Passo 2Todos os argumentos so positivos.Poder ser fatorado em fatores lineares e quadrticos

O fator (s2+bs+c) resulta em razes com partes reais negativas somente se b e c forem ambos positivos.Para que todas as razes tenham partes reais negativas, as contantes a,b e c, em todos os fatores devem ser positivas.A condio necessria mas no suficiente para a estabilidade, que os coeficientes do polinmio estejam todos presentes e tenham sinais positivos.

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Critrio de Estabilidade de Routh Passo 3Organize os coeficientes do polinmio em linhas e colunas, de acordo com o seguinte padro:

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Critrio de Estabilidade de Routh Passo 4O nmero de razes com partes reais positivas igual ao nmero de mudanas no sinal dos coeficientes da primeira coluna da matriz.Condio necessria e suficiente para que todas as razes se situem no semi-plano esquerdo do plano s que todos os coeficientes sejam positivos e que todos os elementos da primeira coluna da matriz tenham sinais positivos.

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Exemplo 5.12.

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Exemplo 5.13.

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Casos Especiais (1)Se um termo na primeira coluna for nulo, mas os termos restantes no forem nulos ou no existirem, ento o termo nulo ser substitudo por um nmero positivo muito pequeno e o resto da matriz ser calculada.

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Casos Especiais (2)

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Casos Especiais (3)Se todos os coeficientes em uma dada linha forem nulos, isso indica que h razes de mesmo valor, radialmente opostas, situadas no plano s:Duas razes reais de igual valor e sinais opostos e/ouDuas razes imaginrias/conjugadasNesse caso, pode-se continuar o clculo do resto da matriz, formando-se um polinmio auxiliar com os coeficientes da ltima linha e utilizando os coeficientes da derivada desse polinmio na prxima linha.

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Casos Especiais (4)

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Casos Especiais (5)

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Anlise da Estabilidade RelativaO Critrio de Estabilidade de Routh fornece a resposta para a questo da estabilidade absoluta.Um mtodo eficiente para determinar a estabilidade relativa deslocar o eixo do plano s e aplicar o critrio da estabilidade de Routh. Isto , substitui-se:Assim, o teste revela o nmero de razes que se situam direita da linha vertical

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Aplicao do Critrio de Estabilidade de Routh Anlise de Sistemas de ControleTem aplicabilidade limitada pois no sugere como melhorar a estabilidade relativa ou como estabilizar um sistema instvel. possvel determinar os efeitos da mudana de um ou dois parmetros do sistema examinando os valores que causam a instabilidade.

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Aplicao do Critrio de Estabilidade de Routh Anlise de Sistemas de Controle

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