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Análise de Resposta Transitória e deRegime Estacionário

5.6. Um Exemplo de Problema Resolvido com MATLAB5.7. Critério de Estabilidade de Routh

Prof. André Marcato

Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA

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Sistema Mecânico Vibratório (1)

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O problema mais importante relacionado aos sistemas de O problema mais importante relacionado aos sistemas de controle é o da estabilidadecontrole é o da estabilidade Sob quais condições o sistema se tornará instável?Sob quais condições o sistema se tornará instável? Se for instável, como fazer para estabilizá-lo?Se for instável, como fazer para estabilizá-lo?

A maioria dos sistemas de controle tem funções de A maioria dos sistemas de controle tem funções de transferência da forma:transferência da forma:

O critério de Estabilidade de Routh possibilita determinar o O critério de Estabilidade de Routh possibilita determinar o número de polos de malha fechada que se situam no semi-número de polos de malha fechada que se situam no semi-plano direito de s, sem ter que fatorar o polinômio do plano direito de s, sem ter que fatorar o polinômio do denominador.denominador.

Critério de Estabilidade de Routh

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Critério de Estabilidade de Routh – Passo 1

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Critério de Estabilidade de Routh – Passo 2

Se algum dos coeficientes for zero ou negativo Se algum dos coeficientes for zero ou negativo na presença de pelo menos um coeficiente na presença de pelo menos um coeficiente positivo, então existirá uma ou mais raízes positivo, então existirá uma ou mais raízes imaginárias que tenham partes reais positivas.imaginárias que tenham partes reais positivas.

Nesse caso, o sistema não será estável.Nesse caso, o sistema não será estável. Não há necessidade de continuar o Não há necessidade de continuar o

procedimento.procedimento.

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Critério de Estabilidade de Routh – Passo 2 Todos os argumentos são positivos.Todos os argumentos são positivos.

Poderá ser fatorado em fatores lineares e quadráticosPoderá ser fatorado em fatores lineares e quadráticos

O fator (sO fator (s22+bs+c) resulta em raízes com partes +bs+c) resulta em raízes com partes reais negativas somente se b e c forem ambos reais negativas somente se b e c forem ambos positivos.positivos.

Para que todas as raízes tenham partes reais Para que todas as raízes tenham partes reais negativas, as contantes a,b e c, em todos os fatores negativas, as contantes a,b e c, em todos os fatores devem ser positivas.devem ser positivas.

A condição necessária mas não suficiente para a A condição necessária mas não suficiente para a estabilidade, é que os coeficientes do polinômio estabilidade, é que os coeficientes do polinômio estejam todos presentes e tenham sinais positivos.estejam todos presentes e tenham sinais positivos.

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Critério de Estabilidade de Routh – Passo 3 Organize os coeficientes do polinômio em linhas e Organize os coeficientes do polinômio em linhas e

colunas, de acordo com o seguinte padrão:colunas, de acordo com o seguinte padrão:

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Critério de Estabilidade de Routh – Passo 4 O número de raízes com partes reais positivas é O número de raízes com partes reais positivas é

igual ao número de mudanças no sinal dos igual ao número de mudanças no sinal dos coeficientes da primeira coluna da matriz.coeficientes da primeira coluna da matriz.

Condição necessária e suficiente para que todas as Condição necessária e suficiente para que todas as raízes se situem no semi-plano esquerdo do plano raízes se situem no semi-plano esquerdo do plano s é que todos os coeficientes sejam positivos e que s é que todos os coeficientes sejam positivos e que todos os elementos da primeira coluna da matriz todos os elementos da primeira coluna da matriz tenham sinais positivos. tenham sinais positivos.

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Exemplo 5.12.

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Exemplo 5.13.

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Casos Especiais (1)

Se um termo na primeira coluna for nulo, mas Se um termo na primeira coluna for nulo, mas os termos restantes não forem nulos ou não os termos restantes não forem nulos ou não existirem, então o termo nulo será substituído existirem, então o termo nulo será substituído por um número positivo muito pequeno e o por um número positivo muito pequeno e o resto da matriz será calculada.resto da matriz será calculada.

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Casos Especiais (2)

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Casos Especiais (3)

Se todos os coeficientes em uma dada linha Se todos os coeficientes em uma dada linha forem nulos, isso indica que há raízes de forem nulos, isso indica que há raízes de mesmo valor, radialmente opostas, situadas no mesmo valor, radialmente opostas, situadas no plano s:plano s: Duas raízes reais de igual valor e sinais opostos e/ouDuas raízes reais de igual valor e sinais opostos e/ou Duas raízes imaginárias/conjugadasDuas raízes imaginárias/conjugadas

Nesse caso, pode-se continuar o cálculo do Nesse caso, pode-se continuar o cálculo do resto da matriz, formando-se um polinômio resto da matriz, formando-se um polinômio auxiliar com os coeficientes da última linha e auxiliar com os coeficientes da última linha e utilizando os coeficientes da derivada desse utilizando os coeficientes da derivada desse polinômio na próxima linha. polinômio na próxima linha.

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Casos Especiais (4)

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Casos Especiais (5)

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Análise da Estabilidade Relativa

O Critério de Estabilidade de Routh fornece a O Critério de Estabilidade de Routh fornece a resposta para a questão da estabilidade resposta para a questão da estabilidade absoluta.absoluta.

Um método eficiente para determinar a Um método eficiente para determinar a estabilidade relativa é deslocar o eixo do plano estabilidade relativa é deslocar o eixo do plano s e aplicar o critério da estabilidade de Routh. s e aplicar o critério da estabilidade de Routh.

Isto é, substitui-se:Isto é, substitui-se: Assim, o teste revela o número de raízes que se Assim, o teste revela o número de raízes que se

situam à direita da linha vertical situam à direita da linha vertical

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Aplicação do Critério de Estabilidade de Routh à Análise de Sistemas de Controle

Tem aplicabilidade limitada pois não sugere Tem aplicabilidade limitada pois não sugere como melhorar a estabilidade relativa ou como como melhorar a estabilidade relativa ou como estabilizar um sistema instável.estabilizar um sistema instável.

É possível determinar os efeitos da mudança de É possível determinar os efeitos da mudança de um ou dois parâmetros do sistema examinando um ou dois parâmetros do sistema examinando os valores que causam a instabilidade.os valores que causam a instabilidade.

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Aplicação do Critério de Estabilidade de Routh à Análise de Sistemas de Controle

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