prof. benedito c. silva 1 hid023 – hidrologia ii determinação de vazões extremas
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1
PROF. BENEDITO C. SILVA
HID023 – Hidrologia II
Determinação de Vazões Extremas
Tempos de retorno admitidos para algumas estruturas
Estrutura TR (anos)
Bueiros de estradas pouco movimentadas 5 a 10
Bueiros de estradas muito movimentadas 50 a 100
Pontes 50 a 100
Diques de proteção de cidades 50 a 200
Drenagem pluvial 2 a 10
Grandes barragens (vertedor) 10 mil
Pequenas barragens 100
3
Vazões máximas a partir de séries de vazões medidas
Deve ser obtida uma série histórica de vazões máximas diárias, considerando:
i. Valores máximos diários de cada anoii. Um valor para cada ano hidrológicoiii. O ano hidrológico corresponde ao
período de 12 meses, começando no início do período chuvoso e terminando ao final da estação seca.
Para o Sudeste do Brasil, o ano hidrológico se inicia em outubro e termina em setembro do ano seguinte
Série de vazões diárias
5
Seleção dos máximos anuaisVazões diárias em Morpará (Rio São Francisco)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
31/12/94 31/12/95 31/12/96 31/12/97
Vaz
ão (m
3 /s)
Ano civil
Ano hidrológico
Máx. de 1995
Máx. de 1996
Máx. de 1995/96
Séries de vazões máximas
Séries de vazões máximas
8
xXPxF
Função distribuição de probabilidade acumulada
Probabilidade da variável X ser menor ou igual ao valor x
Probabilidade de não-excedência
Probabilidade da variável X ser maior ou igual ao valor x
Probabilidade de excedência
xFxXP 1
9
Função de distribuição empírica
• Ajuste gráfico dos pontos da amostra, utilizando equações de posição de locação ou plotagem para estimativa da probabilidade de excedência. Exemplo:
1)(
nmqQP m
Onde m é ordem dos valores (decrescente) da amostran é o tamanho da amostra.
10
Exemplo de distribuição empírica
Para o segundo valor:
Ordem Vazão Máxima
1 289.5 2 263.3 3 240.0 4 227.3 5 210.8 6 184.5 7 183.8 8 170.3 9 167.3
10 157.5 11 145.5 12 131.3 13 104.3
Ano Vazão Máxima
1983 145.5 1984 183.8 1985 289.5 1986 131.3 1987 227.3 1988 167.3 1989 104.3 1990 263.3 1991 157.5 1992 240 1993 170.3 1994 210.8 1995 184.5
Probabilidade empírica 0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286 0.5000 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286
Tempo Retorno
14.0 7.0 4.7 3.5 2.8 2.3 2.0 1.8 1.6 1.4 1.3 1.2 1.1
0.71429.01
)(1
qQP
TR
1429.0113
21
nmqQP
11
Exemplo de distribuição empírica
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
300.0
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0
Tempo de retorno, TR (ano)
Vaz
ão m
áxim
a (m
3 /s)
12
Distribuições teóricas de probabilidade
• Normal (simétrica e utilizada para vazões médias ou precipitações médias)
• Log-Normal (vazões máximas)• Gumbel (extremo tipo I) (vazões
máximas)• Extremo Tipo III ou Weibull (vazões
mínimas)• Log Pearson Tipo III (vazões máximas)
adotada em alguns países como padrão . Utiliza três parâmetros
Distribuições usuais em hidrologia
13
Distribuições teóricas de probabilidade
14
Distribuições teóricas de probabilidade
15
Distribuição de Gumbel (Extremos I)
yeeqQP
A função densidade de probabilidade acumulada é
Ou, passando para probabilidade de excedência
yeeqQP 1
qy
Onde,
5772,0
78,0
x
ss - desvio padrão
da série de valores máximos - média da série de valores máximos
x
16
yeeqQP 1yee
TR11
TRe
ye 11
Passando o logaritmo 2 vezes
TRy 11lnln
TR
q 11lnln
TRTRq 11lnln
Distribuição de Gumbel (Extremos I)
Cálculo da vazão máxima q, para o tempo de retorno TR
17
Distribuição Log-Pearson Tipo III
Função densidade de probabilidade:
Fórmula alternativa:A vazão para um tempo de retorno TR é
calculada por,QTR KSQQ logloglog
QSlog= Desvio padrão dos logaritmos da
vazões
18
Distribuição Log-Pearson Tipo III
O parâmetro K é calculado por:
11
662
3
1GGk
GK
Com,
32
2
1 001308,0189269,0432788,11010328,0802853,0515517,2
ttttttk
2lnt TR
G é o coeficiente de assimetria
Calcular a médiaCalcular desvio padrãoObter os valores de z da tabela para
probabilidades de 90, 50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que correspondem aos TR 1,1; 2; 5; 10; 25; 50 e 100 anos (exemplo)
Calcular a vazão para cada TR por
Usando a distribuição normal
QSQ
QQ Q S z No MS Excel o valor de Q pode ser calculado usando a função INV.NORM.N
Exemplo: Rio Cuiabá em Cuiabá
Exemplo: Rio Cuiabá em Cuiabá
z P(y>0) TR Q
0,000 50 % 2 17890,842 20 % 5 22371,282 10 % 10 24712,054 2 % 50 28822,326 1 % 100 3026
QQ Q S z 532SQ
1789Q
Ajuste da Distribuição Normal aos dados do rio Cuiabá
Subestima!
Ajuste da Distribuição Normal aos dados do rio Guaporé
Subestima!
Problema
Distribuição de freqüência de vazões máximas não é normal
Problema
Distribuição de freqüência de vazões máximas não é normal
Calcular os logaritmos das vazões máximas anuaisCalcular a média Calcular desvio padrão SObter os valores de z da tabela para probabilidades
de 90, 50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que correspondem aos TR 1,1; 2; 5; 10; 25; 50 e 100 anos (exemplo)
Calcular o valor de x (logaritmo da vazão) para cada TR por
Calcular as vazões usando Q = 10x (se usar log) ou Q = ex (se usar ln) para cada TR
Usando a distribuição Log - normal
x x S z
x
No MS Excel o valor de x pode ser calculado usando a função INV.LOGNORMAL
Ajuste da distribuição Log Normal aos dados do rio Guaporé
28
Distribuição Normal via Excel
Ano Vazão Máxima
1983 145.5 1984 183.8 1985 289.5 1986 131.3 1987 227.3 1988 167.3 1989 104.3 1990 263.3 1991 157.5 1992 240 1993 170.3 1994 210.8 1995 184.5
Média 190.4 m3/sDesvio padrão 53.5 m3/s
Tempo Probabilidade Vazão (m3/s)de retorno Distrib. Normal
100 0.010 314.990 0.011 312.880 0.013 310.470 0.014 307.660 0.017 304.350 0.020 300.340 0.025 295.330 0.033 288.620 0.050 278.514 0.071 268.810 0.100 259.09 0.111 255.78 0.125 252.07 0.143 247.56 0.167 242.25 0.200 235.44 0.250 226.53 0.333 213.42 0.500 190.4
1.01 0.990 65.6
29
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
300.0
350.0
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
Tempo de retorno, TR (ano)
Vaz
ão m
áxim
a (m
3 /s)
EmpíricaNormal
Distribuição Normal via Excel
30
Exemplo de ajuste da Distribuição de Gumbel
Ano Vazão Máxima
1983 145.5 1984 183.8 1985 289.5 1986 131.3 1987 227.3 1988 167.3 1989 104.3 1990 263.3 1991 157.5 1992 240 1993 170.3 1994 210.8 1995 184.5
Média 190.4 m3/sDesvio padrão 53.5 m3/s
Alfa 41.76223Mi 166.2795
Tempo Probabilidade Vazão (m3/s)de retorno Distrib. Gumbel
100 0.010 358.3990 0.011 353.9780 0.013 349.0270 0.014 343.4160 0.017 336.9250 0.020 329.2340 0.025 319.8130 0.033 307.6220 0.050 290.3214 0.071 274.9510 0.100 260.269 0.111 255.618 0.125 250.367 0.143 244.376 0.167 237.365 0.200 228.924 0.250 218.313 0.333 203.982 0.500 181.59
1.01 0.990 102.41
TRTRq 11lnln
31
Exemplo de ajuste da Distribuição de Gumbel
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
300.0
350.0
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
Tempo de retorno, TR (ano)
Vaz
ão m
áxim
a (m
3 /s)
EmpíricaNormalGumbel
Exemplo rio Guaporé
Comparação de resultados
TR Normal Log Normal Log Pearson 3 Gumbel
2 754 678 685 696
5 1050 1010 1013 1007
10 1204 1245 1236 1212
25 1369 1554 1522 1472
50 1475 1794 1737 1665
100 1571 2041 1953 1856
Considerações finais
Vazões máximas não seguem distribuição normal.
Distribuição assimétrica.Estimativa de vazões máximas com
Log Normal Gumbel Log Pearson 3
Não há uma distribuição perfeitaLog Pearson 3 é recomendada oficialmente
nos EUA, mas não é adequada quando N é pequeno
Gumbel tem a vantagem de ser de simples aplicação
Considerações finais
Para os dados do posto Armazém Capivari (84600000), determine a série de vazões diárias máximas e ajuste as distribuições Log-Normal, Gumbel e Log-Pearson III
Calcule as vazões máximas para tempos de retorno até 10.000 anos
Escolha a distribuição que melhor se ajustou e faça uma tabela com as vazões para os tempos de retorno: 25, 50, 100, 250, 500, 1000 e 10.000 anos
Transponha os valores obtidos no item anterior para o local da usina (A=540km2)
ATIVIDADE 7
Vazões Mínimas
Estimativas de vazões mínimas
Usos: Disponibilidade hídrica em períodos críticos Legislação de qualidade de água Questões ambientais (sobrevivência de espécies)
Vazões mínimas
A análise de vazões mínimas é semelhante à análise de vazões máximas, exceto pelo fato que no caso das vazões mínimas o interesse é pela probabilidade de ocorrência de vazões iguais ou menores do que um determinado limite
No caso da análise utilizando
probabilidades empíricas, esta diferença implica em que os valores de vazão devem ser organizados em ordem crescente, ao contrário da ordem decrescente utilizada no caso das vazões máximas
Mínimas de cada ano
ATENÇÃO: O ano hidrológico para mínimas deve conter o período de estiagem aproximadamente no seu centro
Série de vazões mínimas
ano data vazão
1970 4/jun 118.7
1971 24/nov 221.8
1972 3/jun 184
1973 23/ago 250.6
1974 24/ago 143
1975 5/set 198
1976 18/mai 194
1977 14/set 106.3
1978 15/mai 77.5
1979 30/abr 108
1980 5/mai 202
1981 17/set 128.6
1982 23/mai 111.4
1983 3/set 269
1984 19/set 158.2
1985 31/dez 77.5
1986 8/jan 77.5
1987 12/out 166
1988 13/dez 70
1989 27/dez 219.6
1990 17/mar 221.8
1991 24/set 111.4
1992 24/fev 204.2
1993 3/mai 196
1994 27/dez 172
1995 19/set 130.4
1996 31/ago 121.6
1997 13/mai 198
1998 1/ago 320.6
1999 2/dez 101.2
2000 26/jan 118.2
2001 24/ago 213
Vazões mínimas em ordem cronológica
ano data vazão
1988 13/dez 70.0
1978 15/mai 77.5
1985 31/dez 77.5
1986 8/jan 77.5
1999 2/dez 101.2
1977 14/set 106.3
1979 30/abr 108.0
1982 23/mai 111.4
1991 24/set 111.4
2000 26/jan 118.2
1970 4/jun 118.7
1996 31/ago 121.6
1981 17/set 128.6
1995 19/set 130.4
1974 24/ago 143.0
1984 19/set 158.2
1987 12/out 166.0
1994 27/dez 172.0
1972 3/jun 184.0
1976 18/mai 194.0
1993 3/mai 196.0
1975 5/set 198.0
1997 13/mai 198.0
1980 5/mai 202.0
1992 24/fev 204.2
2001 24/ago 213.0
1989 27/dez 219.6
1971 24/nov 221.8
1990 17/mar 221.8
1973 23/ago 250.6
1983 3/set 269.0
1998 1/ago 320.6
ordem123…
N = 32
1Nip
Vazões mínimas ordenadas do menor para o maior valor
1TRp
Probabilidade TR vazão0.030 33.00 700.061 16.50 77.50.091 11.00 77.50.121 8.25 77.50.152 6.60 101.20.182 5.50 106.30.212 4.71 1080.242 4.13 111.40.273 3.67 111.40.303 3.30 118.20.333 3.00 118.70.364 2.75 121.60.394 2.54 128.60.424 2.36 130.40.455 2.20 1430.485 2.06 158.20.515 1.94 1660.545 1.83 1720.576 1.74 1840.606 1.65 1940.636 1.57 1960.667 1.50 1980.697 1.43 1980.727 1.38 2020.758 1.32 204.20.788 1.27 2130.818 1.22 219.60.848 1.18 221.80.879 1.14 221.80.909 1.10 250.60.939 1.06 2690.970 1.03 320.6
Distribuição empírica de vazões mínimas
Distr. empírica de vazões mínimas
Ajuste de distribuições teóricas
Semelhante ao caso das vazões máximasNormalmente as vazões mínimas que
interessam tem a duração de vários diasA vazão mínima mais conhecida é a Q7,10
Q7,10 é a vazão mínima de 7 dias de duração com TR de 10 anos.
Vazões mínimas
RESOLUÇÃO CONAMA Nº 020, de 18 de junho de 1986 O CONSELHO NACIONAL DO MEIO AMBIENTE - CONAMA,
no uso das atribuições que lhe confere o art. 7º, inciso IX, do Decreto 88.351, de 1º de junho de 1983, e o que estabelece a RESOLUÇÃO CONAMA Nº 003, de 5 de junho de 1984;
… Art. 13 - Os limites de DBO, estabelecidos para as Classes 2 e
3, poderão ser elevados, caso o estudo da capacidade de autodepuração do corpo receptor demonstre que os teores mínimos de OD, previstos, não serão desobedecidos em nenhum ponto do mesmo, nas condições críticas de vazão (Qcrit. " Q7,10 , onde Q7.10, é a média das mínimas de 7 (sete) dias consecutivos em 10 (dez) anos de recorrência de cada seção do corpo receptor).
…
Vazões mínimas
0
50
100
150
200
250
300
350
1.0 10.0 100.0
Tempo de retorno (anos)
Vaz
ão m
ínim
a (m
3/s)
.
Distribuição Normal também não funciona
Distribuição de Weibull para mínimas
Uma distribuição de freqüências teórica mais adequada para a estimativa de vazões mínimas de alto tempo de retorno é a distribuição de Weibull (veja em Naghettini e Pinto, 2007)
Na análise de vazões mínimas usando a distribuição de Weibull é usada a equação: SKxx
Distribuição de Weibull para mínimas
onde
SKxx
1
T11BAK
1
ln
B111A
e onde:
21
2 1121B
44
33
2210 GHGHGHGHH
1
e onde…
H0 = 0,2777757913H1 = 0,3132617714H2 = 0,0575670910H3 = -0,0013038566H4 = -0,0081523408
Weibull
G é o coeficiente de assimetria; é a função Gama, que é uma generalização
da função fatorial para números reais não inteiros.
Uma dificuldade da aplicação da distribuição de Weibul é a necessidade de calcular o valor da função Gama. O valor da função Gama é dada por:
0
x1w dxexw
Weibull e a função gama
O programa Excel permite calcular o valor do logaritmo da função gama através da função LnGama(x).
o resultado é o logaritmo natural da função gama, para obter a função gama, basta fazer a operação inversa
Exemplo
A tabela ao lado apresenta as vazões mínimas anuais observadas no rio Piquiri, no município de Iporã (PR). Considerando que os dados seguem uma distribuição Weibull, determine a vazão mínima de 5 anos de tempo de retorno.
ano Vazão mínima
1980 202
1981 128.6
1982 111.4
1983 269
1984 158.2
1985 77.5
1986 77.5
1987 166
1988 70
1989 219.6
1990 221.8
1991 111.4
1992 204.2
1993 196
1994 172
1995 130.4
1996 121.6
1997 198
1998 320.6
1999 101.2
2000 118.2
2001 213
Solução
Média = 163 Desvio padrão = 65.2
Além disso é calculado o coeficiente de assimetria. Usando a função do Excel (Distorção(x)) o valor encontrado é
G=0,5662
A partir destes dados é calculado o valor de
Usando a função do Excel LnGama(x) são calculados os valores de B() e A().
B()=2,2726 A()=0,2599
E com estes valores são calculados os termos K para cada tempo de retorno T em anos, conforme a tabela a seguir
1162,
Exemplo Weibull - tabela
TR K Vazão Weibull
2 -0.10153 156.5
5 -0.89405 104.8
10 -1.22803 83.0
25 -1.51140 64.6
50 -1.65317 55.3
100 -1.75422 48.7
Q Q K S
1
T11BAK
1
ln
Normal x Weibull
Considerações finais vazões mínimas
Vazões mínimas não seguem uma distribuição normal
Distribuição de Weibull pode ser usada nestes casos
Normalmente se trabalha com mínimas de vários dias de duração
Vazões mínimas na prática
1. Obter dados diários2. Calcular médias móveis (???!!!!)3. Encontrar menores valores de cada ano na
série da média móvel 4. Usar Weibull com os dados da série de
mínimos obtidos no passo 3
do livro Stream Hydrology: An introduction for Ecologists – de Gordon et al.
Para os dados do posto Armazém Capivari (84600000), determine a série de vazões mínimas médias de 7 dias de duração e ajuste a distribuição de Weibull
Utilizando o ajuste da distribuição de Weibull, calcule a vazão Q7,10 (mínima média de 7 dias com 10 anos de tempo de retorno
ATIVIDADE 8