prof. daniel orquiza de carvalho eletromagnetismo i · • a lei de coulomb estabelece que a força...
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SJBV
• Revisão da Lei de Coulomb
• Força entre cargas pontuais
• Intensidade de Campo Elétrico
• Princípio da Superposição
Eletromagnetismo I - Eletrostática
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Lei de Coulomb (Páginas 26 a 33 no Livro texto)
SJBV
• Uma Carga Pontual é uma carga com volume infinitesimal (não ocupa lugar no espaço) posicionada no espaço tridimensional.
• A Lei de Coulomb estabelece que a força entre duas cargas pontuais Q1 e Q2 é:
1. Ao longo da linha que une as duas cargas.
2. Diretamente proporcional ao produto das cargas.
3. Inversamente proporcional ao quadrado da distância R entre elas.
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Lei de Coulomb – revisão conceitual
F =!F = k Q1Q2
R2
SJBV
• A constante de proporcionalidade ‘k’ é dada por:
• A permissividade do espaço livre ε0 é:
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Lei de Coulomb – revisão conceitual
k = 14πε0
≈ 9×109 m / F[ ]
ε0 = 8,854×10−12 F /m[ ]
SJBV
• Experimento da balança de Torção de Coulomb
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Lei de Coulomb – revisão conceitual
SJBV
!F12 =
14πε0
Q1Q2!R12
2 a12
• A forma completa da L.C. exige levar em conta a direção e sentido do vetor Força entre as duas cargas em um dado sistema de coordenadas.
• Isso é feito utilizando o vetor unitário a12 que tem origem na carga 1 e que aponta da direção da carga 2.
• A Força que Q1 exerce em Q2 é:
• Vetor distância:
• Vetor unitário
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Lei de Coulomb
!R12 =
!r2 −!r1
a12 =!R12!R12
Origem
!r1!r2
Q1 Q2
SJBV
• Calcular as forças produzidas por duas cargas pontuais de mesmo sinal, localizadas nas posições r1 e r2 do espaço cartesiano, onde:
r1 = (1nm, 2nm, 3nm), Q1 = 1 pC
r2 = (2nm, 2nm, 3nm) , Q2 = 1 pC
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Exemplo
Origem
!r1!r2
Q1 Q2
Resp: F12 =9 ax [kN]
Qual é a força que Q2 aplica em Q1?
SJBV
• O que esta expressão implica?
1) A força F12 é igual à força F21 mas em sentido oposto.
2) Cargas de mesmo sinal se repelem e de sinais diferentes se atraem (os sinais de Q1 e Q2 têm que ser levado em conta).
• Esta equação é válida para cargas pontuais e estáticas.
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Origem
!r1!r2
Q1 Q2
Lei de Coulomb !F12 =
14πε0
Q1Q2!R12
2 a12
!F12 = −
!F21
SJBV
• Se considerarmos uma carga de teste Qt posicionada próxima a uma carga Q1, a força aplicada na carga de teste é:
• O Campo Elétrico E1 gerado por Q1 na posição rt é definido como a força elétrica por unidade de carga de teste.
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Intensidade de Campo Elétrico
!F1t =
14πε0
Q1Qt!R1t
2 a1t
!E1 =
!F1tQt
=14πε0
Q1!R1t
2 a1t
Origem
!r1!rt
Q1 Qt
[V/m]
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• Podemos generalizar, escrevendo o campo elétrico como:
• Lembre-se que para uma carga que está presente numa região com Campo Elétrico, se:
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!E =
!FQt
Qt > 0
Qt < 0
!F
!F
E
E
Intensidade de Campo Elétrico
[V/m]
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• Cargas positivas são fonte de Campo Elétrico e cargas negativas são sumidouros de Campo Elétrico.
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Intensidade de Campo Elétrico
SJBV
• O campo elétrico gerado por uma carga pontual Q no ponto r de um dado sistema de coordenadas é:
• Adotaremos a seguinte convenção:
à r’ = (x’, y’, z’) são as coordenadas da fonte de campo
à r = (x, y, z) são as coordenadas da ponto de cálculo
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!E(!r ) = Q
4πε0!R2 aR =
Q4πε0
!r − !r '( )!r − !r ' 3
Intensidade de Campo Elétrico
Origem
!r !r '
Q
SJBV
• Existem diferentes formas de representar o campo elétrico (campo vetorial).
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Intensidade de Campo Elétrico
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• Em coordenadas cartesianas, o campo elétrico gerado por uma carga pontual Q no ponto (x, y, z) é:
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!E(x, y, z) = Q
4πε0
x − x '( ) ax + y− y '( ) ay + z− z '( ) az⎡⎣ ⎤⎦
x − x '( )2 + y− y '( )2 + z− z '( )2⎡⎣
⎤⎦3/2
Intensidade de Campo Elétrico
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• O campo gerado na posição r devido a ‘m’ cargas Qm distintas situadas nas posições rm é a superposição (soma) dos campos gerados por cada uma das cargas no ponto r.
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!E(!r ) = Qm
4πε0!r − !rm
2 amm=1
n
∑
Princípio da superposição
Origem
!r1
!rQ1
Q2
• Como fica an em coordenadas cartesianas?
Pergunta?
!r2
Qn
!rn
SJBV
• O campo gerado na posição r =(x, y ,z) devido a ‘m’ cargas Qm distintas situadas nas posições rm = (xm , ym ,zm ) é a superposição (soma) dos campos gerados por cada uma das cargas no ponto r.
• Explicitamente, em coordenadas cartesianas, o campo total é:
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Princípio da superposição
!E(!r ) = Qm
4πε0
x − xm( ) ax + y− ym( ) ay + z− zm( ) az⎡⎣ ⎤⎦
x − xm( )2 + y− ym( )2 + z− zm( )2⎡⎣
⎤⎦3/2
m=1
n
∑
SJBV
Considere duas cargas pontuais Q1=1nC e Q2 = 2nC situadas nos pontos (1, 2, 0)m e (3, 1, 0)m. Calcule o campo elétrico resultante no ponto P = (1, 1, 0).
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Exemplo
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Considere três cargas pontuais Q1=1µC, Q2 = -2µC e Q3= 2µC, situadas no espaço livre nos pontos (1, 0, 0)m, (0, 1, 0)m e (0, 0, 1)m, respectivamente. Calcule:
(a) O campo elétrico resultante no ponto (1, 0, 0).
(b) A força F1 resultante em Q1.
(c) A magnitude de F1.
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Exemplo