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April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Vorlesung Regelungstechnik 2

EinführungsvorlesungEinführungsvorlesung

21. April 2004

Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik

Goebenstr. 4066117 Saarbrücken


Klausur-Nachbesprechnung

Klausur RegelungstechnikKlausur Prozessanalyse

Einsicht


Regelungstechnik 2

Inhalte Vorlesung Regelungstechnik 2Digitale Regelung• Beschreibung kontinuierlicher / digitaler Signale• Grundfunktionen von digitalen Regelkreisen• Elemente in digitalen Regelkreisen (DA-Wandler, AD-Wandler,

Halteglieder)• Gleichungen, Differenzengleichungen für digitaler Regelelemente

P, I, D und Kombinationen hiervon• PID-Regelalgorihtmen• Einstellregeln für digitale Regelkreise• z-Transformation und Beschreibung von digitalen Regelkreisen im

Frequenzbereich• Stabilität von digitalen Regelkreisen


Regelungstechnik 2

Inhalte Vorlesung Regelungstechnik 2Zustandsregelung• Einführung in die Zustands(-raum)-Beschreibung • Mathematische Grundlagen (Matrizen und Rechenverfahren=• Methoden zur Berechnung von Übertragungssystemen mit Zustands-

variablen• Lösungen derZustandsgleichung im Zeit- und Frequenzbereich• Normalformen von Übertragungssystemen

(Beobachternormalform, Regelungsnormalform)• Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit von Übertragungssystemen• Transformationen auf Regelungs- und Beobachtungsnormalform• Regelung durch Zustandsrückführung


Einführung in digitale Regelungstechnik

Kontinuierliche (analoge) Systeme• Kennzeichen analoger Systeme

beliebiger Werte- und Definitionsbereich

• Hohe Datenmenge bei Speicherung von analogen Signalen

• Darstellung von analogen Signalen in ausgedruckter Kurvenform (Linienschreiber)

• Erzeugung von analogen Signalen aus digitalen Signalen über DA-Wandlung möglich

Digitale Systeme

• Kennzeichen digitaler Systemebegrenzter Werte- und Definitionsbereich

• Binäre Signale Wertebereich besteht aus 2 Werten

• Reduzierte Datenmenge bei Speicherung von digitalen Signalen

• Darstellung von digitalen Signalen in Tabellen oder Kurvenform

• Erzeugen von digitalen Signalen ausanalogen Signalen über AD-Wandlung möglich


Wie kommt man von analogen zu digitalen Signalen?

Digitalisierung erfolgt in Zwei Schritten:• Abtastung• Quantisierung

Abtastung:Zu definierten Zeitpunkten äqui-distante Abstände) wird von s(t) ein Signalwert erfasst. Abtastzeit T

Quantisierung:Kontinuierliche Signalwerte werdendefinierten Wertebereich zugeordnet.

Reihenfolge der Schritteist tauschbar!


Übergang von kontinuierlicher Regelung auf digitaler Regelung

Regelung bedeutet Rückführung von Informationen (Istwert der Regel-größe wird auf Vergleicher mit Sollwert geführt). Bei kontinuierlicherRegelung wird ständig – permanent – dieser Vergleich durchgeführt.

Zeitdiskrete Regelung beschränkt die Informationsinhalte der Sensor-signale und der gewünschten Einflussnahme durch das Stellsignale auf diskrete Zeitpunkte t = kT.

Heutige Systeme arbeiten nicht nur in der Regelungstechnik digital. Hardwareregler Siemens SIPART DR 22 ist ein DDC-Regler. DDC stehtfür Direct Digital Control und zeigt damit an, dass der Regler intern mitdigitalisierten Signalen arbeitet und für die Regelung analoger Größengenutzt wird.


DDC-Regler Siemens


Übergang vom zeitkontinuier-lichen zum zeitdiskreten Signal

Kontinuierliches Signal wird über Abtaster und A/D-Wandlerin ein zeitdiskretes digitalisiertens Signal gewandletx(t) -> x(kT)


Übergang vom zeitdiskreten zum zeitkontinuierlichen Signal

Zeitdiskretes Signal wird über Halteglied und D/A-Wandlerin ein kontinuierliches Signal gewandelty(kt) -> y(t)


Erzeugung digitalisierter Signale

Güte der Abtastung ist von der Quantisierung des Wertebereiches Abhängig. Je höher die Auflösung gewählt wird, umso kleiner wird dieQuantisierungsstufe (12 bis 16 bit)


Fehlerbetrachtung

12 bit Auflösung: 2^12 = 4096Wertebereich von 0 bis 1000:Quantisierungsfehler q = 1000/4096 = 0,24414Wertebereich {0, 0.24, 0.48, 0.72, 0.96, 1.2, 1.4, ......}

16 bit Auflösung: 2^16 = 65536Wertebereich von 0 bis 1000:Quantisierungsfehler q = 1000/65536 = 0,01525Wertebereich {0, 0.015, 0.03, 0.045, 0.06, 0.075, ....}

Werte innerhalb dieser Werte sind nicht auflösbar. Informationsverlust vorhanden. Akzeptanz ist von der Aufgabenstellung abhängig.

Quantisierungsfehler ist für uns vernachlässigbar. Der Fehlereinflusskann durch die Bitanzahl für die Wahl der Auflösung beeinflusst werden.


Digitaler Regelkreis

Im digitalen Regelkreis müssen analoge Größen digitalisiert werden.Die Regelstrecke wird meistens mit analog arbeitenden Stellgerätenbeeinflusst. Hier ist entsprechend die Umwandlung der digitalen Größenin analoge Größen vorzunehmen.Digitaler Regler ermittelt nach einer Berechnungsvorschrift die Folgeder Stellwerte y(kT) aus der Folge e(kT).



Leistungsfähigkeit des digitalen Reglers:•Regelalgorithmus Programm / Software•Flexible Reglerauslegung mit hoher Leistungsfähigkeit•Die Stellgröße ist aufgrund der D/A-Wandlung ein treppenförmigwirkendes Signal



Linearitätsprinzip:•Lineare Systeme bleiben auch unabhängig von der Abtastung weiterlinear. So können die Rechenregeln der LTI-Systeme auch für digitalisierte Regelkreise greifen und angewendet werden.•Behandlung digitaler Systeme wie kontinuierlich arbeitende Systeme•Bei digital arbeitenden Regelkreisen werden alle Kenngrößen nurzu den Abtastzeitpunkten kT betrachtet. Damit ergeben sich alleanalogen Größen zu reinen Zahlenfolgeny(k) = { 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 3, .....}


Grundlagen der mathematische Behandlung digitaler RegelsystemeBild 2.2.1 Unbehauen II, S.104

t kT

2

t kT2 2

3

t kT3 3

dff (kT) f[(k 1)T]|

dt Td ff (kT) 2f[(k 1)T] f[(k 2)T]

|dt Td ff (kT) 3f[(k 1)T] 3f[(k 2)T] f[(k 3)T]

|dt T

Euler-Verfahren:Approximation der Differential-quotienten


Grundlagen der mathematische Behandlung digitaler RegelsystemeSystem 1. Ordnung

1

1

1

1

0 1

dy(t)T y(t) u(t)

dt

Ty(kT) y[(k 1)T] y(kT) u(kT)

TT1

y(kT) y[(k 1)T] u(kT)T T1T

y(kT) u(kT) y[(k 1)T]


Interpretation

Differenzengleichung ist rekursiv lösbar aus der Eingangsfolge und den Anfangsbedingungen lösbar.

Allgemeiner Fall der Differenzengleichung n-ter Ordnung:

n n1 2 0 1

n n

i ii 0 i 1

y(k) y(k 1) y(k 2) ... y(k n) u(k) u(k 1) ... u(k n)

y(k) u(k i) y(k i)

Beispiel:y(k+1) + 4y(k) = u(k)y(k+1) = u(k) – 4y(k)Folge u(k) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,.....} und y(0) = 10


Interpretation

Die Folge y(k) oder y(k+1) berechnet sich rekursiv. Für die BestimmungDer aktuellen Werte für den Zeitpunkt k fließen die zurückliegendenWerte von y(k) der Ein- und Ausgangswerte mit ein. Die Größe n beschreibt die Ordnung der Differenzengleichung.Die Anfangswerte werden wie bei einer kontinuierlichen Dgl für k=0berücksichtigt.

Gewichtsfolge g(k) beschreibt die Systemantwort, wenn die Diracstoß-folge auf das System aufgegeben wird.

d(k) = 1 für k=0, sonst 0


Folgenbeschreibung

g(k)G(s)

)(tua)(tueu(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0

k=m

Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem!Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge.

Alternative Lösung durch Einführung und Anwendung der z-Transformation


Beispiel Differenzengleichung 1. Ordnung

y(k+1) = ay(k) + u(k) k = 0,1,2,3,....

Für k=0: y(1) = ay(0) + u(0) y(0) muß bekannt sein.Anfangsbedingung, unabhängig von Eingangssequenz u(k)

Für k=1: y(2) = ay(1) + u(1)= a2y(0) +au(0) +u(1)

Für k=2: y(3) = a3y(0) +a2u(0) + au(1) + u(2)

Allgemein: y(k) = aky(0) + Σu(j)ak-1-j

Die Lösung besteht aus 2 Anteilen: aky(0) Anfangsbedingung / homogener TeilΣu(j)ak-1-j Erzwungener Anteil, abhängig von Eingangssequenz

j=0

j=k-1


Beispiel

System 1. OrdnungAnregung mit u(k) = Δ(k) = 1 für k=0, sonst 0

y(k) = ak-1 für k>= 1 Gewichtsfolge für System 1. Ordnung

Σu(j)ak-1-j Die Summe entspricht der zeitdiskreten Faltung von Eingangssequenz und Stoßantwort g(k) = ak-1.

vgl.

y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0

k=m

j=0

j=k-1


Mathematische Betrachtung des Abtastvorgang



Bild 2.2.3Bild 2.2.4, S.108


Basisalgorithmen für digitale Regelungen

Proportionalalgorithmus

Y(t) = KRe(t)

Y(kT)= KR e(kT)



Integralalalgorithmus

i

y(t) KI edt y(kT) KI e(iT)T

Die Integration kann verschieden durch diskrete Algorithmen appro-ximiert werden (Rechteck, Trapeznäherung)

k 1

i 0

k

i 1

yk KI e(i)T

yk KI e(i)T



Rekursive Algorithmen:

k 1 k 2

k 1i 0 0

k k 1

k 1i 1 1

yk KI e(i)T KI e(i)T KI e(k 1)T y KI e(k 1)T

yk KI e(i)T KI e(i)T KI e(k)T y KI e(k)T


Literatur Regelungstechnik

Literaturliste:• Lutz, H.; Wendt, W.: Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri

Deutsch, Frankfurt, 1998 ISBN 3-8171-1552-0 (Bibliothek HTW)• Unbehauen, H.: Regelungstechnik II, Vieweg-Verlag, Braunschweig,

2001, ISBN 3-528-01332-X • Schlüter Gerd.: Digitale Regelungstechnik interaktiv, Fachbuchverlag

Leipzig, 2000, ISBN 3-446-21477-1• Merz, Jaschek: Regelungstechnik, Vorlesung Universität Saarbrücken

prof. dr.-ing. benedikt faupel april 2003 / regelungstechnik 2 blatt 1.1 vorlesung regelungstechnik...

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