Prof. Hebert Monteiro

MOVIMENTO EM II DIMENSÕES

Introdução

Até hoje definimos as três quantidades cinemáticas: posição, velocidade vetorial e aceleração e com elas descrevemos o movimento ao longo de uma reta. Agora utilizaremos tais definições a objeto que se movem em duas dimensões, ou seja, sobre um plano.O vetor velocidade e o vetor aceleração tem direções diferentes quando a trajetória de um objeto não é reta.

Como exemplo desse tipo de movimento temos um objeto lançado ao ar como duas pessoas jogando uma bola, ou um objeto que se move em círculos como um planeta na órbita do sol.

Posição, Vetor Velocidade e Aceleração Posição: O vetor posição r localiza o objeto em relação à origem de um

sistema de referência, conforme a figura.

Em duas dimensões: r = x.i + y.j Onde x e y são coordenadas que demarcam a localização do objeto no plano.

x

yTrajetória do objeto

r

x

y

(I)

(j)

Para entendermos melhor vamos fazer um exemplo de um objeto localizado em x = 3m e y = 4m que tem vetor posição r = (3,0m)i +(4,0m)j. O deslocamento Δr = rf – ri é dirigido na posição inicial de um objeto para sua posição final conforme gráfico.

Em formas de componentes:

Δr = rf – ri

Δr = (xf + yf) – (xi +yi)

Δr = (xf – xi) + (yf – yi)

Simplificando:

Δr = Δx.i + Δy.j

Velocidade Vetorial A velocidade vetorial média de um objeto em um intervalo de tempo

Δt é o seu deslocamento dividido pelo intervalo de tempo.

A direção da velocidade vetorial é sempre a mesma de Δr.

O vetor velocidade é tangente a trajetória quando Δt tende a 0.

V = r = x.i + y.j = vx.i + vy.jt t t

As projeções do vetor velocidade nos dizem qual o valor absoluto da velocidade vetorial em x e em y:

Sendo Vx = v.cosӨ e Vy = v. senӨ

A velocidade geral do objeto em II dimensões é

(vx) + (vy)2 2

v =

Exercícios

1) Um barco a motor navega na direção 52º sudeste a uma velocidade de 12 m/s. Estabeleça um sistema de coordenadas e determine as componentes do vetor velocidade do Barco.

V x

VyV

Aceleração Também para um objeto se movimentando em duas dimensões

temos:

a = ax.i + ay.j

Quando a velocidade de um objeto é crescente, a aceleração do objeto tem sempre uma componente na direção do seu vetor velocidade. Quando a velocidade de um objeto é decrescente, a aceleração do objeto tem sempre uma componente na direção oposta à do seu vetor velocidade.

Exercício1) Suponha um carro virando a direita enquanto sua velocidade está

decrescendo. Determine aproximadamente a direção da aceleração do carro no instante em que seu vetor velocidade está dirigido para o sul.

Exercícios

1) Um esquilo possui coordenadas x e y (1,1 m e 3,4 m) para t1 = 0 e coordenadas (5,3 m e -0,5 m) para t2 = 3,0s. Para esse intervalo de tempo, calcule: a) os componentes da velocidade média. b) o módulo e a velocidade da velocidade média.

2) Um rinoceronte está na origem do sistema de coordenadas para t1 = 0. Para o intervalo de tempo entre t1 = 0 e t2 = 12s, sua velocidade média possui componente x = -3,8 m/s e componente y = 4,9 m/s. Para t2 = 12s, (a) quais são as coordenadas x e y do rinoceronte? (b) qual a distância entre a origem e o rinoceronte?

3) Um avião a jato está voando a uma altura constante. No instante t1 = 0, os componentes da velocidade são Vx = 90 m/s, Vy = 110 m/s. No instante t2 = 30,0s, os componentes são Vx = -170 m/s, Vy = 40 m/s. Para esse intervalo de tempo calcule: a) Os componentes da aceleração média; b) o módulo, a direção e o sentido da aceleração média.

4) A velocidade de um cachorro correndo em um campo aberto possui componentes Vx = 2,6 m/s, Vy = -1,8 m/s para t1 = 10,0s. Para o intervalo de tempo de t1 = 10,0s e t2 = 20,0 s, a aceleração média do cachorro possui módulo igual a 0,45 m/s2, formando um ângulo de 31º, medido, considerando-se uma rotação do eixo +Ox para o eixo +Oy. Para t2 = 20,0 s, a) quais são os componentes x e y da velocidade do cachorro? b) Encontre o módulo, a direção e o sentido da velocidade do cachorro.

fazer o gráfico e o exercício.

Movimento de um Projétil O que é um projétil?

Um projétil é qualquer corpo lançado com uma velocidade inicial e que segue uma trajetória determinada exclusivamente pela aceleração da gravidade e pela resistência do ar.

Ex: Uma bola de futebol chutada, um pacote largado de um avião ou uma bala atirada por uma arma de fogo. A curva descrita pelo projétil é a sua trajetória.

Para analisarmos o movimento de um projétil teremos que tratar as coordenadas x e y separadamente.

O componente x da aceleração é igual a 0 (zero) e o componente y da aceleração é igual a –g.

Dessa forma podemos definir o movimento de um projétil como um movimento onde há a combinação de um movimento horizontal com velocidade constante e um movimento vertical com aceleração constante.

Sendo assim a aceleração em x de um projétil é igual a 0 (zero).

Análise vetorial do movimento

Análise matemática do projétil Uma vez que os componente da aceleração são sempre

constantes, independente do eixo, podemos utilizar as equações do movimento acelerado uniforme para dar início à nossa análise.

Considerando inicialmente o movimento no eixo x:

Vx = Vox + a.t (se em x, a = 0) então:

Vx = Vox (ou seja, sempre constante)

X(t) = Xo + Vo.t + 1 a.t2 (se em x, a = 0) então: 2

X = Xo + Vox.t

Considerando o movimento no eixo y:

Sabendo que a aceleração em y é –g, logo concluímos que a velocidade em y não é constante, ou seja, varia conforme o realizar do movimento. Assim:

Vy = Voy – g.t

Y = Yo + Voy.t – 1 g.t2

2

Projétil Ideal Tomando como objeto de estudos o modelo de projétil ideal, temos

o objeto sendo lançado sempre de um tempo t = 0 s, da origem do plano cartesiano, sendo assim as grandezas Xo = Yo = 0 (zero). É necessário e fundamental considerar em nosso estudo o ângulo de lançamento do projétil, representando pelo ângulo formado entre o vetor Vo e o eixo X. A letra grega utilizada na representação gráfica deste ângulo é αo.

Podemos então, analisar separadamente as grandezas posição e velocidade para o nosso modelo de projétil ideal, onde, Xo = Yo = 0.

As componentes das velocidades em X e Y, de acordo com a projeção dos vetores são então representadas: (velocidade inicial em x) (velocidade inicial em x)

Vox = Vo.cos αo e Voy = Vo.sen αo

Usando esse resultado nas outras equações chegamos a: (posição em x) (posição em y)

X = Xo + Vox.t Y = Yo + Voy.t – 1 g.t2

X = 0 + (Vo.cos αo).t 2

X = (Vo.cos αo).t Y = 0 + (Vo.sen αo).t – 1 g.t2

2

Y = (Vo.sen αo).t – 1 g.t2

2

(Velocidade em x) (Velocidade em y)

Vx = Vox e Vy = Voy – g.t

Vx = Vo.cos αo Vy = Vo.sen αo – g.t

As equações até agora vistas, descrevem a posição e a velocidade de um projétil em qualquer instante t.

Podemos ainda extrair dessas equações:

A distância do projétil à origem em qualquer instante.

A velocidade do projétil em qualquer instante.

r = x + y2 2

V = Vx + Vy2 2

Podemos também deduzir a equação da forma da trajetória em termos de x e y eliminando t, fazendo:

X = (Vo.cos αo).t t = X e substituindo em:

(Vo.cos αo)

Y = (Vo.sen αo).t – 1 g.t2 2

Trata-se da equação da parábola, que é a trajetória do movimento de um projétil no nosso modelo ideal.

y = (tg o).x - g

2v cos o2

o2 .x

2

Y = (Vo.sen ). X - 1 g. X(Vo.cos o) 2 (Vo.cos o)

2o

Exercícios1) Lança-se uma pedra com velocidade inicial de 17 m/s e ângulo de

projeção 58º. Determine o tempo necessário para que a pedra atinja a sua altura máxima.

2) Um motociclista maluco se projeto para fora da borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade é horizontal e possui módulo igual a 9,0 m/s. Ache a posição do motociclista, a distância da borda do penhasco e a velocidade depois de 0,5 s.

Altura máxima e alcance máximo de um projétil

Assim como para o movimento de queda livre, temos equações que tratam situações especiais no movimento de um projétil, tais como:

Altura máxima de um projétil:

Alcance horizontal do projétil:

h = Vo sen oα2 2

2g

R = Vo sen2 αo2

g

Exercícios

1) Uma bola de beisebol deixa o bastão do batedor com uma

velocidade inicial de Vo = 37 m/s com um ângulo inicial de αo = 53,1º em um local onde g = 9,8 m/s2. a) Ache a posição da bola e o módulo de sua velocidade para t = 2,0 s. Calcule o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima de sua trajetória e ache a altura h desse ponto. c) Ache o alcance horizontal R, ou seja, a distância entre o ponto inicial e o ponto onde a bola atinge o solo.

2) Você lança uma bola de sua janela a 8,0 m acima do solo. Quando a bola deixa sua mão, ela se move a 10,0 m/s formando um ângulo de 20º abaixo da horizontal. A que distância horizontal de sua janela a bola atinge o solo? Despreze a resistência do ar.

3) Um projétil tem velocidade inicial de 26 m/s e um ângulo de projeção de 48º no ponto de lançamento. Em t = 2,1 s, após o lançamento. (a) Qual a distância do projétil ao ponto de lançamento?

(b) Qual a sua velocidade?

(c) Qual a direção que ele tem em relação à horizontal?

4) Lança-se uma pedra para o ar com velocidade inicial de 36 m/s a um ângulo de projeção de 62º. Tomando o ponto de lançamento como origem e fazendo t = 0 s corresponder ao instante de lançamento, dê expressões de Vx, Vy, x e y como funções do tempo.

5) Um taco de beisebol atinge uma bola de modo que a velocidade inicial dela é de 35 m/s e o ângulo de projeção é de 42º em relação a horizontal. A cerca do campo está a 115 m do ponto onde se situa o jogador e tem 4m de altura. Desprezando a resistência do ar, determine se a bola ultrapassará a cerca. Admita que a bola tenha sido lançada de uma altura de 1m acima do nível do chão.

6) Um helicóptero militar em missão de treinamento voa horizontalmente com velocidade de 60,0 m/s e acidentalmente deixa cair uma bomba (felizmente não ativa) de uma altura de 300 m. Despreze a resistência do ar: a) Quanto tempo a bomba leva para atingir o solo? b) Qual a distância horizontal percorrida pela bomba até a queda? c) Encontre os componentes da velocidade na direção horizontal e na vertical imediatamente antes da bomba atingir o solo.

Movimento Circular Uniforme

Um objeto executa um movimento circular uniforme quando percorre um circulo a velocidade constante.

Imaginem um toca discos antigos ligado e sobre o disco de vinil um objeto sobre sua borda. Mesmo a velocidade do objeto sendo constante, seu vetor velocidade não é constante, pois, é tangente à trajetória em cada ponto. Assim, o vetor velocidade muda de direção continuamente quando o objeto percorre o círculo. O movimento circular uniforme é um movimento acelerado.

Velocidade Vetorial Como a velocidade de um objeto em movimento circular uniforme é

constante, esta velocidade nada mais é que a distancia percorrida ao longo do circulo, dividida pelo tempo necessária para que o objeto percorra tal revolução.

Se R é o raio do circulo e T é o tempo de uma revolução, então ao longo do circulo a distância é 2πR e:

V = 2πR

T

Sendo T o período do movimento.

Exercício

1) Imagine que um objeto esteja a 0,12 m do centro de um disco de vinil e que este esteja girando a 33,3 revoluções por minuto (rpm). Qual o período da rotação? Qual a velocidade do objeto?

Aceleração Já vimos que a aceleração de um objeto que segue em trajetória

curvilínea tem um componente dirigida para o lado côncavo da trajetória, e, se a velocidade do objeto é constante, a aceleração é perpendicular a V.

Como a aceleração é dirigida para o centro do círculo é chamada de aceleração centrípeta e é dada por:

ac = V2

R

Como V e R são constantes, o módulo da aceleração centrípeta é também.

Podemos também escrever a aceleração centrípeta em função apenas do Raio e do Período, ficando:

ac = (2πR / T)2 = 4π2R

R T2

Exercício

1) Encontre a aceleração para o exemplo do disco de vinil passado anteriormente.

2) O carro esportivo Aston Martin V8, possui aceleração de 0,96g, o que equivale a 9,4 m/s2. Isso representa a aceleração centrípeta máxima sem que o carro deslize para fora de uma trajetória circular. Se o carro se desloca a uma velocidade constante de 40 m/s. Qual é o raio mínimo da curva que ele pode aceitar? (Suponha que a curva não possua inclinação lateral.

3) Um modelo de rotor de helicóptero possui quatro lâminas, cada qual com 3,40m de comprimento desde o eixo central até sua extremidade. O modelo gira em um túnel de vento com 550 ver/min. a) Qual é a velocidade linear da extremidade da lâmina em m/s? b) Qual é a aceleração radial da extremidade da lâmina expressa com múltiplo da aceleração da gravidade, g?