prof. jorge trigonometria no triângulo retângulo
TRANSCRIPT
![Page 1: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/1.jpg)
Prof. Jorge
Trigonometria no Triângulo Retângulo
![Page 2: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/2.jpg)
Prof. Jorge
Relacionando lados e ângulos
A trigonometria tem sua origem, portanto, na necessidade de relacionar lados e ângulos de um triângulo.
a hipotenusa BC = a
A
B
C
a
b
c
o cateto AC = b
o cateto AB = c
A = 90º
B + C = 90º
![Page 3: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/3.jpg)
Prof. Jorge
Relacionando lados e ângulos
A
B
C
a
b
ca2 = b2 + c2
⍺
cateto oposto a ⍺hipotenusa
=sen ⍺ =ca
cateto adjacente a ⍺hipotenusa
=cos ⍺ =ba
![Page 4: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/4.jpg)
Prof. Jorge
Relacionando lados e ângulos
A
B
C
a
b
ca2 = b2 + c2
⍺
cateto oposto a ⍺=tg ⍺ =
cbcateto adjacente a ⍺
os números sen ⍺, cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de razões trigonométricas do ângulo ⍺.
![Page 5: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/5.jpg)
Prof. Jorge
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas do ângulo B.
12 16
A
BC
Teorema de Pitágoras
BC2 = AB2 + AC2
x2 = 162 + 122
x2 = 256 + 144
x2 = 400
x = 20
20
![Page 6: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/6.jpg)
Prof. Jorge
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B.
cateto oposto a B
hipotenusasen B = =
12
20=
3
5= 0,6
cateto adjac. a B
hipotenusacos B = = 16
20=
4
5= 0,8
12 16
A
BC20
![Page 7: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/7.jpg)
Prof. Jorge
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B.
cateto oposto a B
cateto adjac. a Btg B = =
12
16= 3
4= 0,75
12 16
A
BC20
![Page 8: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/8.jpg)
Prof. Jorge
Exemplos
Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm.
5 cm16
6 cm
x
y
tg y =6
5= 1,2 ⇒ y ≈
50º
x + y = 90º
⇒ x ≈ 40º
![Page 9: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/9.jpg)
Prof. Jorge
Outras razões trigonométricas
![Page 10: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/10.jpg)
Prof. Jorge
Outras razões trigonométricas
A
B
C
a
b
c
⍺
cateto oposto a ⍺
hipotenusa=cosec ⍺ =
ac
cateto adjacente a ⍺
hipotenusa=sec ⍺ =
ab
=1
sen ⍺
=1
cos ⍺
![Page 11: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/11.jpg)
Prof. Jorge
Outras razões trigonométricas
A
B
C
a
b
c
⍺
cateto oposto a ⍺=cotg ⍺ =
bc
cateto adjacente a ⍺=
1
tg ⍺
![Page 12: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/12.jpg)
Prof. Jorge
Seno, co-seno e tangente de ângulos complementares
![Page 13: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/13.jpg)
Prof. Jorge
Ângulos complementares
A
B
C
5
4
3
⍺ + = 90º
⍺
tg ⍺ =34
⇒Os ângulos ⍺ e são complementares
sen ⍺ =35
cos ⍺ =45
tg =43
sen =45
cos =35
![Page 14: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/14.jpg)
Prof. Jorge
Ângulos complementares
A
B
C
a
b
c
⍺ + = 90º
⍺
tg ⍺ =1
tg
⇒Os ângulos ⍺ e são complementares
sen ⍺ = cos cos ⍺ = sen
sec ⍺ = cosec cosec ⍺ = sec cotg ⍺ = tg
![Page 15: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/15.jpg)
Prof. Jorge
1 cm
2 cmt
Exemplo
No triângulo retângulo da figura, temos:
I. sen t = ½ II. sec t = √5
2III. tg t = 2
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
a) I b) II c) III d) II e III e) I, II e III
![Page 16: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/16.jpg)
Prof. Jorge
Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.
![Page 17: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/17.jpg)
Prof. Jorge
Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.
1tg
½ cos
½ sen
60º 45º 30º
√2/2
√2/2
√3/2
√3/2
√3/3 √3
![Page 18: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/18.jpg)
Prof. Jorge
Exemplos
A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y.
x16
y
30º
sen 30º =x
12
12 cm
⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm
cos 30º =y
12⇒ x = 12 . √3/2 ⇒ x = 6 √3 cm
![Page 19: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/19.jpg)
Prof. Jorge
Exemplos
Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valores de x, y e z.
30ºAB
C
D
xy
z 2 cm
60º
![Page 20: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/20.jpg)
Prof. Jorge
Identidades trigonométricas
![Page 21: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/21.jpg)
Prof. Jorge
Identidades trigonométricas
Ferramentas de grande aplicabilidade sendo utilizadas para:
Obter uma razão trigonométrica, para um dado ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido.
Simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo.
![Page 22: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/22.jpg)
Prof. Jorge
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações.
A
C
B
a
c
b
⍺
b2 + c2 = a2 (: a2)
b2
a2+
c2
a2=
a2
a2
ba
+ca
= 12 2
sen ⍺
+ cos ⍺ = 12 2
⇒ sen2 x + cos2 x = 1
![Page 23: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/23.jpg)
Prof. Jorge
b/a
c/a
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações.
A
C
B
a
c
b
⍺
sen ⍺
cos ⍺= =
b
a.
a
c=
b
c= tg ⍺
tg x =sen x
cos x
![Page 24: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/24.jpg)
Prof. Jorge
c/a
b/a
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações.
A
C
B
a
c
b
⍺
cos ⍺
sen ⍺= =
c
a.
a
b=
c
b= cotg ⍺
cotg x =cos x
sen x
![Page 25: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/25.jpg)
Prof. Jorge
Identidades trigonométricas - Resumo
1) sen2 x + cos2 x = 1 Relação fundamental
2) tg x =sen x
cos x
3) cotg x =cos x
sen x
(cos x ≠ 0)
(sen x ≠ 0)=1
tg x
4) sec x =1
cos x
5) cosec x =1
sen x
(cos x ≠ 0)
(sen x ≠ 0)
![Page 26: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/26.jpg)
Prof. Jorge
Exemplos
Demonstre que sec2 x = 1 + tg2 x.
sec x =1
cos x⇒ sec2 x =
1
cos2 x
⇒ sec2 x =sen2 x + cos2 x
cos2 x
⇒ sec2 x =sen2 x
cos2 x+
cos2 x
cos2 x
⇒ sec2 x = tg2 x + 1
![Page 27: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/27.jpg)
Prof. Jorge
Exemplos
Demonstre que cosec2 x = 1 + cotg2 x.
cosec x =1
sen x⇒ cosec2 x =
1
sen2 x
⇒ cosec2 x =sen2 x + cos2 x
sen2 x
⇒ cosec2 x =sen2 x
sen2 x+
cos2 x
sen2 x
⇒ sec2 x = 1 + cotg2 x
![Page 28: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/28.jpg)
Prof. Jorge
Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
sen2 x + cos2 x
⇒ 35
+2
cos2 x = 1
⇒ 925
+ cos2 x = 1
⇒9
25–cos2 x = 1 =
25 – 9
25
⇒ cos x =
=16
25
± 4/5 ⇒ cos x = 4/5
![Page 29: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/29.jpg)
Prof. Jorge
Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
tg x =sen x
cos x=
3545
=34
cotg x =1
tg x=
1
34
=43
![Page 30: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/30.jpg)
Prof. Jorge
Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
sec x =1
cos x=
1
45
=54
cosec x =1
sen x=
1
35
=53
![Page 31: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/31.jpg)
Prof. Jorge
Exemplos
Simplificar as expressões:
a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
b) E2 =cotg x . sec x
cosec2 x
E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
E1 =sen xcos x
+cos xsen x
–1
cos x1
sen x.
E1 =sen2 x
sen x . cos x+ cos2 x – 1
=sen x . cos x
1 – 1= 0
![Page 32: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/32.jpg)
Prof. Jorge
cos xsen x
1cos x
1
sen2 x
Exemplos
Simplificar as expressões:
a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
b) E2 =cotg x . sec x
cosec2 x
E2 =cotg x . sec x
cosec2 x=
.
=
1sen x
1
sen2 x
E2 =1
sen x. sen2 x
1= sen x
![Page 33: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/33.jpg)
Prof. Jorge
Ângulos e arcos na circunferência
![Page 34: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/34.jpg)
Prof. Jorge
O
Circunferência
AB
C
DE
Pr
r
r
rr
r
![Page 35: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/35.jpg)
Prof. Jorge
Elementos
B
A
BAO O
Corda AB Diâmetro AB
![Page 36: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/36.jpg)
Prof. Jorge
Elementos
A
B
Arco AB
Arco BA
![Page 37: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/37.jpg)
Prof. Jorge
Arcos e ângulos
A ≡ B A ≡ B
arco completo arco nulo
![Page 38: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/38.jpg)
Prof. Jorge
Arcos e ângulos
AB
Arco de meia volta
O
Arco AB
Arco BA
![Page 39: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/39.jpg)
Prof. Jorge
Arco e ângulo central
A
B
O
C
D
E F
m(AB) = ⍺
m(CD) =
m(EF) =
![Page 40: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/40.jpg)
Prof. Jorge
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o80o90o100o
110o
120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o270o 280o 290o
300o
310o
320o
330o
340o
350o
O grau como unidade de medida
![Page 41: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/41.jpg)
Prof. Jorge
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o80o90o100o
110o
120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o270o 280o 290o
300o
310o
320o
330o
340o
350o
O grau como unidade de medida
![Page 42: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/42.jpg)
Prof. Jorge
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o80o90o100o
110o
120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o270o 280o 290o
300o
310o
320o
330o
340o
350o
1o
1º = 360 1
O grau como unidade de medida
![Page 43: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/43.jpg)
Prof. Jorge
Exemplos
Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F dividem a circunferência em seis arcos congruentes. Calcular, em graus, as medidas dos arcos AB e CE e dos ângulos centrais correspondentes.
A
B
O
C
D
E F
AB =360º
6= 60º
CE = 2 . 60º = 120º
⍺ = 60º e = 120º
![Page 44: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/44.jpg)
Prof. Jorge
Exemplos
A circunferência da figura tem 12 m de raio. Supondo que o arco AB mede 2 m, calcular em graus, a medida do arco e do ângulo central correspondente.
A
B
O 2 m12 m
Arco(em graus)
2 m
⍺ =360 . 2
24
Arco(em metros)
360º 24 m
⍺
= 30º C = 2rC = 2..12C = 24
![Page 45: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/45.jpg)
Prof. Jorge
O radiano como unidade de medida
A
R
O R
R
B
Comprimento do arco (AB) = R
⇓
m(AB) = 1 radiano
⇓
= m(AB) = 1 rad
![Page 46: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/46.jpg)
Prof. Jorge
Exemplo
A
R
O R
1,5RB
Comprimento do arco (AB) = 1,5 R
⇓
m(AB) = 1,5 rad
⇓
= m(AB) = 1,5 rad
= m(AB) =comprimento
R
![Page 47: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/47.jpg)
Prof. Jorge
Arco completo
=comprimento
R
=2R
RR
A ≡ BO
= 2 rad
![Page 48: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/48.jpg)
Prof. Jorge
9 cm
Exemplos
B
10,8 cm
A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimento do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB.
O
A =
comprimento
R
=10,8 cm
9 cm= 1,2 rad
![Page 49: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/49.jpg)
Prof. Jorge
4 cm
Exemplos
B
30º
O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferência é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB.
O
Aângulo
x
x =2 .4.30
360
comprimento
360º 2 R
30º
2
3= ≈ 2, 1 cm
![Page 50: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/50.jpg)
Prof. Jorge
R
Exemplos
B
40 cm
Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência.
O
A
R
=comprimento
R
5 =40 cm
R
5R = 40
⇒ R = 8 cm
![Page 51: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/51.jpg)
Prof. Jorge
Arcos especiais
00oArco nulo
/290ºArco de ¼ de
volta
180ºArco de
meia-volta
2360ºArco
completo
Medida em radianos
Medida em graus
Represen-tação
O
O
O
O
![Page 52: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/52.jpg)
Prof. Jorge
Transformando unidades
As medidas de um arco em graus e radianos são proporcionais. Por isso podemos transformar uma unidade em outra por uma regra de três.
180º correspondem a rad
![Page 53: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/53.jpg)
Prof. Jorge
25
Exemplos
Transformar 72º em radianos.
180º rad
72º x
x = 72 .
180 = rad
![Page 54: Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013102/552fc102497959413d8be478/html5/thumbnails/54.jpg)
Prof. Jorge
5.180
Exemplos
Exprimir rad em graus.
rad equivale a 180º.
x = 4
=
5
4
225º5.
4=