prof. lorí viali, dr. [email protected] viali/ · : uma lâmpada nova é ligada e conta- se o...
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Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Sistema
Real
Determinístico
Probabilístico
Tipos de Modelos
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Causas Efeito
Modelo determinístico
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Gravitação F = GM1M2/r2
Aceleraçãoclássica v = at
Aceleração
relativísticac
ta1
atv
2
22
+
=
Exemplos
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Causas EfeitoXX
Modelo
probabilístico
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Binomial
Poisson
Normal
∈∈∈∈−−−−
====
−−−−
..0
}...,,1,0{)1.(.)(
cc
nxppx
n
xfxnx
∈∈∈∈====
−−−−
..!
.)(
cc
xx
exf
x
0
Nλλλλλλλλ
ℜℜℜℜ∈∈∈∈====
−−−−−−−−
x ,
2.
2
1
..2
1)( σσσσ
µµµµ
σσσσππππ
x
exf
Exemplos
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Experiência para o qual o modelo
probabilístico é adequado.
Experimento Aleatório
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E1: Joga-se um dado e observa-se o
número da face superior.
Exemplos
E2: Joga-se uma moeda quatro vezes e
observa-se o número de caras e
coroas;
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E3: Joga-se uma moeda quatro vezes e
observa-se a seqüência de caras e
coroas;
E4: Uma lâmpada nova é ligada e conta-
se o tempo gasto até queimar;
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E5: Joga-se uma moeda até que uma cara
seja obtida. Conta-se o número de
lançamentos necessários;
E6: Uma carta de um baralho comum de
52 cartas é retirada e seu naipe
registrado;
E7: Jogam-se dois dados e observa-se o
par de valores obtido;
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É o conjunto de resultados de uma
experiência aleatória.
Espaço amostra(l)
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S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exemplos
S2 = {0, 1, 2, 3, 4}
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S3 = { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk,
kkcc, ckkc, kcck, ckck, kckc, kkkc,
kkck, kckk, ckkk, kkkk}
S4 = { t ∈ R / t ≥ 0 }
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S5 = {1, 2, 3, ...}
S6 = {♦, ♠, ♣, ♥}
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S7 = { (1, 1), (1, 2),(1,3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
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Um evento é um subconjunto
de um espaço amostra.
Eventos
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Se S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }é um espaço amostra, então são eventos:
A = { 1, 3, 5} B = { 6 }
C = { 4, 5, 6} D = ∅ E = S
Exemplo
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Seja E um experimento com espaço
amostra associado S. Diremos que o
evento A ocorre se realizado E o
resultado é um elemento de A.
Ocorrência de um evento
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Se A e B são eventos de um
mesmo espaço amostra S. Diremos
que ocorre o evento:
Combinação de eventos
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A união B, A soma B ou A mais B,
se e só se A ocorre ou B ocorre.
A∪B
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A produto B, A vezes B ou A
interseção B, se e só se A ocorre e B
ocorre.
A∩B
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A menos B, A diferença B, se e só se A
ocorre e B não ocorre.
A∩B
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Complementar de A (não A) se e só se
A não ocorre.
A’ = AC = A
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Dois eventos A e B são
mutuamente excludentes se não
puderem ocorrer juntos.
Eventos mutuamente excludentes (exclusivos)
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♣ CLÁSSICO
♥♥ FREQÜENCIAL
♠♠ AXIOMÁTICO
Conceitos de probabilidade
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(número de casos favoráveis)P(A) = ------------------------------------
(número de casos possíveis)
Clássico
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Qual a probabilidade de
ganhar na Loto Fácil?
Exemplo:
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Casos favoráveis = 1
Casos possíveis:
3268760 15
25=
Solução:
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%000031,03268760
1
15
251
possíveis de Número
favoráveis de Número
Fácil)P(Loto
==
=
=
==
=
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(número de vezes que A ocorre)frA = ------------------------------------------
(número de vezes que E é repetido)
Frequência relativade um evento
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Um dado é lançado 120 vezes e
apresenta “FACE SEIS” 18 vezes.
Então, a freqüência relativa de “face
seis” é:
Exemplo:
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%.1515,0120
18
jogado é dado o que vezesde número
ocorre f_seis"" que vezesde número
fr6
===
=
=
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A probabilidade de um evento A é o
limite para o qual tende a frequência relativa
de A, quando o número de repetições do
experimento tende ao infinito, isto é:
Conceito frequencial de probabilidade
frlim)A(P An ∞→
=
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P(A) é um número real que devesatisfazer as seguintes propriedades:
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(2) P(S) = 1
(3) P(AUB) = P(A) + P(B)
se A∩B = ∅
Conceito axiomático
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Consequências
dos axiomas
(Propriedades)
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(1) P(∅) = 0
(2) P( ) = 1 - P(A)
(3) P(A - B) = P(A) - P(A∩B)
A
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(4) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
(5) P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) -
- P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C)
+ P(A∩B∩C)
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Probabilidade
condicionada
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Considere uma urna com 50 fichas,
onde 40 são pretas e 10 são brancas.
Suponha que desta urna são retiradas
“duas” fichas, ao acaso e sem reposição:
Motivação
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Sejam os eventos:
A = {a primeira ficha é branca}
B = {a segunda ficha é branca}
Então:
P(A) = 10/50 = 0,20 = 20%
P(B) = ?/49
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Neste caso, não se pode avaliar
P(B), pois para isso é necessário saber se
A ocorreu ou não, isto é, se saiu ficha
branca na primeira retirada.
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P(B | A) = 9/49 = 0,1837 = 18,37%.
Se for informado que A ocorreu, então
a probabilidade de B, será:
Observe a notação.
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Esta representação é lida:
P de B dado A;
P de B dado que A ocorreu;
P de B condicionada a A.
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Definição:
P(A | B) = P(A∩B) / P(B)
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Mas:
Se P(A | B) = P(A∩B) / P(B) então:
P(A∩B) = P(A | B).P(B)
E também:
Se P(B | A) = P(A∩B) / P(A) então:
P(A∩B) = P(A).P(B | A)
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Assim:
P(A∩B) = P(A).P(B | A) =
P(A | B).P(B)
Esse resultado é conhecido
como teorema da multiplicação.
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Dois eventos A e B são ditos
independentes se a probabilidade de
um ocorrer não altera a probabilidade
do outro ocorrer, isto é:
Independência
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(1) P(A | B) = P(A) ou
(2) P(B | A) = P(B) ou ainda
(3) P(A∩B) = P(A).P(B)
Se:
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KKK
CKK
KKC
KCK
CCK
CKC
KCC
CCC
0
1
2
3
Sℜℜℜℜ
X
s
)S(X
)s(Xx ====
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Uma função X que associa a cada
elemento de S (s ∈ S) um número real
x = X(s) é denominada variável
aleatória.
Variável Aleatória
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O conjunto formado por todos os
valores “x”, isto é, a imagem da variável
aleatória X, é denominado de conjunto de
valores de X.
X(S) = { x ∈ ℜ | X(s) = x }
O conjunto de valores
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Conforme o conjunto de valores –
X(S) – uma variável aleatória poderá ser
discreta ou contínua.
Tipos de variáveis
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Se o conjunto de valores for finito ou
então infinito enumerável a variável é dita
discreta.
Variável Discreta (VAD)
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Se o conjunto de valores for
infinito não enumerável então a variável
é dita contínua.
Variável Contínua (VAC)
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A função de probabilidade (fp) de
uma VAD é a função que associa a cada
xi ∈ X(S) o número f(xi) = P(X = xi) que
satisfaz as seguintes propriedades:
f(xi) ≥ 0, para todo “i”
∑f(xi) = 1
A função de probabilidade (fp)
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A coleção dos pares [xi, f(xi)] para
i = 1, 2, 3, ... é denominada de
distribuição de probabilidade da VAD X.
A distribuição de probabilidade
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Suponha que uma moeda equilibrada
é lançada três vezes. Seja X = “número de
caras”. Então a distribuição de
probabilidade de X é:
Exemplo:
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KKK
CKK
KKC
KCK
CCK
CKC
KCC
CCC
0
1
2
3
0
0
0
1
Sℜ
x(s)
X
]1;0[)x(f
f
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KKK
CKK
KKC
KCK
CCK
CKC
KCC
CCC
0
1
2
3
1/8
3/8
3/8
1/8
Sℜ
x(s)
X
]1;0[)x(f
f
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Suponha que um par de dados é
lançado. Então X = “soma do par” é uma
variável aleatória discreta com o
seguinte conjunto de valores:
Exemplo:
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Como X((a, b)) = a + b, o conjunto
de valores de X é dado por:
X(S) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12}
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A função de probabilidade
f(x) = P(X = x), associa a cada
x ∈ X(S), um número no intervalo [0; 1]
dado por:
f(x) = P(X = x) = P(X(s) = x) =
= P([x ∈ X(S) / X(s) = x})
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Desta forma:
f(2) = P(X = 2) = P{(1,1)} = 1/36
f(3) = P(X = 3) = P{(1,2), (2, 1)} = 2/36
...............................................................
f(11) = P(X=11) = P{(6, 5), (5, 6)} = 2/36
f(12) = P(X = 12) = P{(6, 6)} = 1/36
A distribuição de probabilidade será:
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x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ΣΣΣΣ
f(x) 136
1
36
2
36
3
36
436
5
36
6
36
536
4
36
336
236
1
A distribuição de probabilidade de
X será então:
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uma tabela
uma expressão analítica (fórmula)
um diagrama
Poderá ser feita por meio de:
Representação de uma distribuição de
probabilidade:
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Seja X = “número de
caras”, obtidas no
lançamento de 4 moedas
honestas. Então a
distribuição de X é a da
tabela ao lado.
x f(x)
0 1/16
1 4/16
2 6/16
3 4/16
4 1/16
Σ 1
Tabela
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Considere X = “soma do par”, no
lançamento de dois dados equilibrados,
então:
ff :: X(S)X(S) →→ ℜℜ
x x →→ (x (x -- 1)/36 se x 1)/36 se x ≤≤ 77
(12 (12 -- x + 1)/36 se x > 7x + 1)/36 se x > 7
Expressão analítica
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0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Diagrama
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(a) Expectância, valor esperado (Expectation)
(b) Variância (Variance)
µ = = = =∑ ∑ E(X) x.f(x) x.P(X x)
= = − =−µ µ∑ ∑σ
=
2 22 2
22
f(x) f(x)(x ) x
E( )-E(X)X
VAD - Caracterização
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(iii) Desvio Padrão
(Standard Deviation)
(iv) O Coeficiente de Variação
(Variation Coeficient)
γ = σ/µ
2 222 2 f (x) f (x) E( )-(x ) E(X)x Xσ = = − =−µ µ∑ ∑
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Calcular o valor esperado, a
variabilidade da variável X = “número de
caras” no lançamento de quatro moedas
honestas.
Exemplo
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x f(x) x.f(x) x2f(x)
0 1/16 0 0
1 4/16 4/16 4/16
2 6/16 12/16 24/16
3 4/16 12/16 36/16
4 1/16 4/16 16/16
Σ 1 2 5
Cálculos
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Assim:
(i) E(X) = 2 caras
(ii) σ2 = 5 – 4 = 1 cara
(iii) γ = 2/1 = 2 = 200%
Tem-se:
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Seja X uma variável aleatória
(discreta ou contínua). A função de
distribuição (acumulada) ou
simplesmente “função de repartição” é
definida por: F(x) = P(X ≤ x).
A Função de Distribuição (FD)
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(i) P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a);
(ii) P(X < a) = F(a) e
(iii) P(X > a) = 1 - F(a)
Determinação de probabilidades apartir da FD
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Bernoulli
Binomial
Poisson
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Qualquer um que corresponda a
apenas dois resultados. Estes resultados
são anotados por “0” ou “fracasso” e “1”
ou “sucesso”. A probabilidade de
ocorrência de “sucesso é representada por
“p” e a de insucesso por “q = 1 – p”.
Experimento
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X(S) = {0, 1}
−
===1 = x se p
0 = x se p1)xX(P)x(f
A Função de Probabilidade (fp)
Conjunto de Valores
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A Função de Probabilidade (fp)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 1
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pq)p1(ppp
p)p.1q.(0
E(X)-)X(E)X(V
2
222
22
=−=−=
=−+=
==
Características
Expectância ou Valor Esperado
∑ =+== pp.1q.0)x(f.x )X(E
Variância
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Suponha que um circuito é testado
e que ele seja rejeitado com
probabilidade 0,10. Seja X = “o
número de circuitos rejeitados em um
teste”. Determine a distribuição de X.
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Como se trata de um único teste, a
variável X é Bernoulli com p =10%,
assim a distribuição é:
===1 = x se 0,1
0 = x se 9,0)xX(P)x(f
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Como existem apenas duas situações:
A ocorre ou não, pode-se determinar a
probabilidade de A não ocorrer como sendo
q = 1 – p. A VAD definida por X = “número
de vezes que A ocorreu nas ‘n’ repetições
de E” é denominada BINOMIAL.
Experimento
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X(S) = {0, 1, 2, 3, ..., n}
A Função de Probabilidade (fp)
Conjunto de Valores
qpx
n)xX(P)x(f xnx −
===
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A Função de Probabilidade (fp)
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
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E(X)-)X(E)X(V 22=
Características
Expectância ou Valor Esperado
np qpx
n.x )x(f.x )X(E xnx
∑ =
∑ == −
Variância
npp1)-n(n qpx
n.x )X(E 2xnx22 +∑ =
= −
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npq)p1(npnppn
)np(npp)1n(n
E(X)-)X(E)X(V
2
22
22
=−=+−=
=−+−
==
Assim:np )X(E =
npq σX =
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Uma fábrica recebe um lote de 100
peças das quais cinco são defeituosas.
Suponhamos que a fábrica aceite todas as 100
peças se não houver nenhuma defeituosa em
uma amostra aleatória de 10 peças
selecionadas para inspeção. Determinar a
probabilidade de o lote ser aceito.
Exemplo:
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Tem-se:
n = 10 e p = 5/100 = 0,05
%87,59
95,005,00
10 0) X(P)0(f 100
=
=
===
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Tem-se:
n = 10 e p = 5/100 = 5%
Então:
59,87%
)95,0(.)5,0(.0
10 0) X(P)0(f 100
=
=
===
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Seja X uma variável aleatória com
conjunto de valores X(S). Se o conjunto de
valores for infinito não enumerável então a
variável é dita contínua.
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É a função que associa a cada
x ∈ X(S) um número f(x) que deve
satisfazer as seguintes propriedades:
f(x) ≥ 0
A Função Densidade de Probabilidade
∫ = 1f(x)dx
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A coleção dos pares
(x, f(x)) é denominada de distribuição de
probabilidade da VAC X.
A Distribuição de Probabilidade
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Seja X uma VAC. Determine o valor
de “c” para que f(x) seja uma função
densidade de probabilidade (fdp).
c. c. 0
1 x 1 se x.c)x(f
2
≤≤−
=
Exemplo
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Para determinar o valor de “c”,
devemos igualar a área total a um, isto é,
devemos fazer:
1 dx xc.1
1-2
∫ =
1 f(x)dx 1
1-∫ =
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Tem-se:
2
3c1c
3
2
31-
31c
3xc
dx xc dx xc.
3331
1-
1
1-
11-
211-
2
=⇒==
=
−=
=
∫ =∫ =
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0,0
0,5
1,0
1,5
-1,5 -1,3 -1,0 -0,8 -0,5 -0,2 0,0 0,3 0,5 0,8 1,0 1,3 1,5
2
)x(f x3 2=
1X-1 ≤≤
Representação Gráfica
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∫=<<b
a dx)x(f)bXa(P
a b x
y
bXa <<
Cálculo da Probabilidade
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Isto é, a probabilidade de que X
assuma valores entre os números “a” e
“b” é a área sob o gráfico de f(x) entre os
pontos x = a e x = b.
∫=<<b
a dx)x(f)bXa(P
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).bXa(P
)bXa(P
)bXa(P)bXa(P
0dx)x(f)aX(P a
a
≤≤=
≤<=
<≤=<<
=∫==
Se X é uma VAC, então:
Observações:
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Seja X uma VAC. Determine a
probabilidade de X assumir valores no
intervalo [-0,5; 0,5].
c. c. 0
1 x 1 se 2x3
)x(f
2
≤≤−
=
Exemplo
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A probabilidade solicitada é dada por:
%50,12
](-0,5)(0,5)[2
1
3x
2
3 dx x
2
3
dx 2x3
)5,0X5,0(P
33
0,5
05-
0,5
0,5-2
0,5
0,5-
2
3
=
−=
∫ ==
=∫=<<−
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(a) Expectância, valor esperado
(b) Variância
∫==µ dx)x(xf)X(E
( )
)X(E)X(Edx)x(fx
dx)x(xfdx)x(fx
dx)x(f)x()X(V
2222
22
22
−=µ−∫=
=∫−∫=
=∫ µ−==σ
VAC – Caracterização
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(iii) Desvio Padrão
(iv) O Coeficiente de Variação
γγγγ = σσσσ/µµµµ
)X(E)X(Edx)x(fx
dx)x(f)x(
2222
2
−=µ−∫=
=∫ µ−=σ
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Determinar a expectância e o desvio
padrão da variável X dada por:
c. c. 0
1 x 1 se 2x3
)x(f
2
≤≤−
=
Exemplo:
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041
41
2
3
41-
41
2
3
4x
2
3dx
2x3
dx.2x3
.x
x.f(x)dx )X(E
1
1-
1
1-
1
1-
1
1-
31
1-
2
11-
44
4
=
−=
−=
=
=∫=∫=
∫ ===µ
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60,05
3
5
1
5
1
2
3
51-
51
2
3
5x
2
3
dx x2
3 dx
2x3
.x)X(E
)X(E)X(E
5551
1-
1
1-
1
1-41
1-
222
22
==
+=
=
−=
=
∫ =∫ ==
−=σ
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O desvio padrão de X será, então:
77,0060,0
)X(E)X(E 22
=−=
=−=σ
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É a função F(x) definida por:
∫=≤=∞−
x du)u(f)xX(P)x(F
A F(x) é a integral da f(x) até um
ponto genérico “x”.
A Função de Distribuição
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Considerando a função abaixo
como a fdp de uma VAC X, determinar a
F(x).
c. c. 0
1 x 1 se 2x3
)x(f
2
≤≤−
=
Exemplo
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A F(x) é uma função definida em
todo o intervalo real da seguinte forma:
1 x se 1
1 x 1 se du2u3
1- x se 0
)x(F x1
2
>
≤≤−∫
<
=−
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Vamos determinar o valor da
integral em “u”:
2
1x]u[2
1
3u
2
3
duu2
3 du
2u3
)x(F
3x
1
x
1
x1
2x2
33 +
==
=
=∫=∫=
−
−
−∞−
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Assim a Função de Distribuição
Acumulada (FDA) é:
1 x se 1
1 x 1 se 2
1x
1- x se 0
)x(F3
>
≤≤−+
<
=
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0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
2
1x)x(F3 +
=
Representação Gráfica
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O uso da FDA é bastante prático no
cálculo das probabilidades, pois não é
necessário integrar, já que ela é uma
função Integral.
Cálculo de Probabilidade com a FDA
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Usando a FDA, teremos sempre três
casos possíveis:
)x(F)x(F)xXx(P
)x(F1)xX(P
)x(F)xX(P
1221 −=<<
−=>
=≤
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Normal
t (de Student)
χ2 (Qui-Quadrado)
F de Snedecor
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ℜ∈σπ
=
σ
µ−−
x ,e..2
1)x(f
2x
.2
1
Uma variável aleatória X tem uma
distribuição normal se sua fdp for do tipo:
0 e - com >σ∞<µ<∞
A distribuição normal
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
N(0; 1)
N(0; 0,5)
N(0; 2)
N(2; 1)
Representação gráfica
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?due..2
1)xX(P x
u.
2
12
=∫σπ
=≤∞−
σ
µ−−
A normal não é integrável por meio
do TFC, isto é, não existe uma F(x) tal
que F’(x) = f(x).
Cálculo de probabilidades
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Utilizar integração numérica. Como
não é possível fazer isto com todas as
curvas, escolheu-se uma para ser
tabelada (integrada numericamente).
Solução:
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σ
µ−=
XZ
A curva escolhida é a
N(0, 1), isto é, com µ = 0 e σ = 1.
Se X é uma N(µ, σ), então:
Será uma N(0; 1).
A normal padrão
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ℜ∈π
=ϕ−
z ,e.2
1)z(
.2z
2
A fdp da variável Z é dada por:
uma vez que µ = 0 e σ = 1.
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0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
A distribuição N(0, 1)
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O que é tabelado ou obtido na planilha
é a FDA da variável Z, isto é:
)z( due.2
1
du)u()zZ(P
z
-
.2
z
-
u2
Φ∫ =π
=
∫ =ϕ=≤
∞
−
∞
Tabela (ou planilha):
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0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
z
)z(Φ
A FDA da N(0; 1)
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direta Leitura)z( z) P(Z =Φ=≤
)z()z(-1z) P(Z-1 z) P(Z −Φ=Φ=≤=>
)z()z( )z ZzP( 1221 Φ−Φ=<<
Área à esquerda (abaixo) de “z”
Área à direita (acima) de “z”
Área entre dois valores de “z”
Uso da tabela ou Planilha
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Uma VAC tem distribuição normal de
média 50 e desvio padrão 8. Determinar:
(a) P(X ≤ 40)
(b) P(X > 65)
(c) P(45 < X < 62)
Exemplo:
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%56,10)25,1Z(P
)8
5040X(P)40X(P
=−≤=
=−
≤σ
µ−=≤
(a) P(X ≤ 40)
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%01,3)88,1()88,1(1
)88,1Z(P1)88,1Z(P
)8
5065X(P)65X(P
=−Φ=Φ−=
=<−=>=
=−
>σ
µ−=>
(b) P(X > 65)
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%65,65%67,27%32,93
)62,0()50,1(
)50,1Z62,0(P
)8
5062X
8
5045(P
)62X45(P
=−=
=−Φ−Φ=
=<<−=
−<
σ
µ−<
−=
=<<
(c) P(45 < X < 62)
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Uma VAC tem distribuição normal
de média 50 e desvio padrão 8.
Determinar:
(a) P(X ≤ x) = 5%
(b) P(X > x) = 1%
A função inversa:
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Para resolver este tipo de exercício é
preciso utilizar a função inversa, isto pode
ser feito utilizando a função Invnorm da
planilha.
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0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
26 34 42 50 58 66 74
5%
xP(X ≤≤≤≤ x) = 5%
Graficamente
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8
50xz onde
%5)z()zZ(P
)8
50xX(P)xX(P
−=
=Φ=≤=
=−
≤σ
µ−=≤
Em (a) temos P(X ≤ x) = 5%
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)05,0(Φz
%)5(Φ)]z(Φ[Φ
então %,5)z(Φ Se
1
11
−
−−
=
=
=
O valor acima pode ser obtido
diretamente da planilha.
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645,1z
Assim
=
84,368.645,150x8
50xz645,1
:setem ,8
50xz Como
=−=
⇒−
==−
−−
=
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)01,0(zLogo
)z()z(1 Mas
01,0%1)z(1)zZ(P
)8
50xX(P)xX(P
1Φ=−
−Φ=Φ−
==Φ−=>=
=−
>σ
µ−=>
−
Em (b) temos P(X > x) = 1%
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0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
26 34 42 50 58 66 74
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
1%
x
P(X >>>> x) = 1%
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x para
2.
12
1
)x(f
2
12x
ℜ∈
υΓπυ
υ+
+υΓ
=
+υ−
Uma variável aleatória X tem uma
distribuição “t” ou de Student se sua fdp for
do tipo:
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0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
fdp de
t(1)
t(5)
t(25)
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0)X(E ==µ
2-
= Var(X)υ
υ
Expectância ou Valor esperado
Variância
O valor υ é denominadode “Grau de liberdade”
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A planilha fornece a função direta e
inversa (percentis), em relação a área à direita
(unilateral) ou da soma das caudas (bilateral)
de cada curva, isto é, a tabela retorna um
valor “t” tal que P(Τ ≥ t) = α (unilateral) ou
P(|T| ≥ t) = α.
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Uma variável aleatória X tem uma
distribuição Qui-Quadrado se sua fdp for
do tipo:
0 x se 0
0 x se
22
ex
)x(f 2
2
x1
2
≤
>
υΓ
=υ
−−υ
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υ)X(E =
υ2 = Var(X)
Expectância ou Valor esperado
Variância
O valor υ é denominado de“Grau de liberdade”
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0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
Q(1)
Q(2)
Q(3)
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A planilha fornece a função direta e
inversa, em relação a área à direita de cada
curva (uma para cada linha), isto é, dado um
valor de área na cauda direita (α), a tabela
retorna um valor “x” tal que P(χ2 ≥ x) = α
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Uma variável aleatória X tem uma
distribuição “F” ou de Snedecor se sua fdp
for do tipo:
( )
0 x se 0
0 x se
2
nΓ
2
mΓ
mxnxnm2
nmΓ
)x(f
2
nm12
m
2
n
2
m
≤
>
+
+
=
+−−
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Expectância ou Valor esperado
Variância
2m
m)X(E
−=
)4 - )(n2 - m(n m)2 - n(m2
= Var(X)2+
m é o grau deliberdade donumerador e n dodenominador
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 3 6 9 12 15
fdp de
F(1, 3)
F(2, 5)
F(5, 10)
F(20, 20)
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A planilha fornece a função direta e
inversa da área à direita de cada curva
(uma para cada par de valores – numerador,
denominador).