prof. massimiliano de magistris - unina.it · 2020. 9. 27. · prof. massimiliano de magistris...

Elettrotecnica Introduzione ai circuiti

Prof. Massimiliano de [email protected]

Equivalenze e sostituzioni in circuiti lineari

Università di Napoli PARTHENOPEDipartimento di Ingegneria

http://uniparthenope.it

In questa lezione introdurremo alcune equivalenze tra elementi nei circuiti, con l’obbiettivo di semplificarne l’analisi, sostituendone alcune parti con equivalenti più semplici.È necessario anzitutto evidenziare alcune proprietà dei circuiti lineari, ed in particolare la “proporzionalità della risposta” e la “sovrapposizione degli effetti”.Su tali introdurremo le equivalenze per bipoli di resistori lineari collegati in serie ed in parallelo, e le regole del partitore di tensione o di corrente.Amplieremo poi le equivalenze ai generatori ideali ed ai bipoli di resistori e generatori, introducendo il concetto di generatori equivalenti di Thévenin o di Norton.Tratteremo l’equivalenza di terne di resistori lineari collegati a stella o a triangolo.

Equivalenze e sostituzioni in circuiti a-dinamici lineari

2Copyright 2020 - Prof. Massimiliano de Magistris - Università di Napoli "Parthenope"

Unità 1: proprietà dei circuiti lineari, proporzionalità della risposta e definizione di resistenza equivalente, linearità e sovrapposizione degli effetti

Unità 2: bipoli in serie e parallelo, resistenza e conduttanza equivalenti, partitori di tensione e di corrente, serie e parallelo di generatori

Unità 3: bipoli equivalenti di Thévenin e Norton e loro utilizzo nell’analisi circuitale

Unità 4: equivalenze stella-triangolo di resistori



Unità 1:

proprietà dei circuiti lineari, proporzionalità della risposta e definizione di resistenza equivalente;

linearità e sovrapposizione degli effetti

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Copyright 2020 - Prof. Massimiliano de Magistris - Università di Napoli "Parthenope"

Le equazioni indipendenti di un generico circuito a-dinamicolineare con l bipoli ed n nodi sono 2l, come riportato. Esse sonotutte algebriche lineari, e per lo più omogenee: gli unici termininoti sono costituiti dai generatori ideali. Posto x=(i1,..il,v1..vl) ilvettore delle incognite e b quello dei termini noti, si ha laclassica forma compatta:

( ) ( )

( ) ( )

ü± = ¬ -ïï± = ¬ - - ïï

- = ¬ ® =ýï= ¬ ïï= ¬ïþ

å

å

0 1 LKC indipendenti

0 1 LKV indipendenti

0 caratteristiche indip. caratteristiche indip. caratteristiche indip.

kk

kk

k k k R

k e

k j

i n

v l n

v R i N Av e Ni j N

x b

Proprietà dei circuiti a-dinamic lineari


Consideriamo il caso di un circuito con un solo generatore, adesempio di tensione, cui corrispondono le equazioni:

( )

( )

0 0 1,2,... 1LK caratt.

ˆ 1V0

kk k kk

ekk

i v R i k lv ev

ì ± =- = = -ìï

í í= =± = îï

î

å

åIn corrispondenza alla tensione e* si ha la soluzione ik*,vk*; per una generica tensione e=he*,è immediato verificare (per sostituzione diretta) che ik=h ik*, vk= hvk*.

Generico circuito lineare con un solo generatore e resistenza equivalente

e+-

Rk

ie

ikvk+

-

e+- Req

ie

6

Circuiti a-dinamici lineari con un generatore/1


Possiamo concludere che ogni corrente ed ogni tensione del circuito risulta proporzionale al valore (h) dell’unico generatore presente nel circuito.Una conseguenza molto importante è che, in riferimento alcaso precedente, il rapporto ve/ie, pari ad una costante, puòassumersi come definizione di “resistenza equivalente” delcircuito di soli resistori, quando visto dal lato e:

costeeq

e

v Ri

= !

Se i resistori che costituiscono il bipolo sono tutti passivi (Rk>0" k), allora per la conservazione della potenza Req>0. Infatti:

( ) 2

( ) ( ) 2

00

eq

ee k k

keq

e ae R eq e

P R iR

P P R i

ü= ³ï ® ³ý

= = ïþ

å

7

Circuiti a-dinamici lineari con un generatore/2


( )

( ) 1

0 1,... 20LK caratt.

0

k k kkk

lk

k l

v R i k liv e

vi j

-

- = = -ìì ± =ï ï =í í

± =ï ï =î î

å

å

Caso con due generatori, circuito di partenza e circuiti ausiliari.

Circuito lineare C con due generatori e due circuiti ausiliari C’ e C’’ con un solo generatore per volta

Per la linearità, il sistemadelle equazioni del circuitopuò essere risoltoconsiderando un terminenoto (generatore) per voltae sommando le soluzioniottenute.

+

-

il-1

vl-1

Rj e+

-

il

vl

+

-

+

-

i’l-1

v’l-1

Re+

-

i’l

v’l

+

-

+

-

i’’l-1

v’’l-1

Rj

i’’l

v’’l

+

-

C

C’ C’’

8

Circuiti a-dinamici lineari con più generatori/1


( )

( )

( )

( )

1 1

0 0

0 0

0 00

0

k kk k

k k kk kk k

k k kk k k k k k

l l

l l

C Ci i

i i iv vv v v

v R i v R iv e vi i j- -

¢ ¢¢

¢ ¢¢± = ± =

¢ ¢¢¢ ¢¢ = +± = ± = ìÞ í ¢ ¢¢= +î¢ ¢ ¢¢ ¢¢- = - =

¢ ¢¢= =¢ ¢¢= =

å å

å å

Ciò può essere verificato per via diretta sostituendo la soluzione vk, ik nelle equazioni di partenza. In sintesi (proprietà di sovrapposizione degli effetti):“in un circuito lineare con più generatori ideali, la soluzione può essere calcolata sommando quelle dei circuiti ausiliari ottenuti lasciando agire un generatore per volta”

9

Circuiti a-dinamici lineari con più generatori/2


10

Unità 2:

bipoli in serie e parallelo, resistenza e conduttanza equivalenti, partitori di tensione e di corrente;

serie e parallelo di generatori



Ricordiamo anzitutto che due bipoli si dicono “in serie” sehanno la stessa corrente. Ciò implica che essi abbiano un nodoin comune in esclusiva.

Equivalente della serie di resistori

( ) 1 21 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

; ; eq

s s s

R

R Rv v v R R i v R i v v R i vR R R R

= + = + = = = =+ +!"#"$

1 1;

N N

eq k j s j kk k

R R v v R R= =

= =å å

v2

+

-

R1

R2

vs

v1+

+

-

-

Req=R1+R2

+

-

vs

i

i

La resistenza equivalente in serie è data dalla somma delle singole resistenze; le tensioni parziali dalla regola del partitore di tensione. Tutto si generalizza facilmente ad N resistori:

11

Serie e parallelo di resistori, partitori/1


Due bipoli si dicono “in parallelo ” se hanno la stessa tensione.Ciò implica che essi abbiano entrambi i nodi in comune.

Equivalente del parallelo di resistori

( ) ( ) 1 1 21 2 1 2 1 2

1 2

1 2 2 11 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

;

eq

p eq

G

p p p p

R Ri i i G G v R G GR R

G R G Ri G v i i i G v i iG G R R G G R R

-= + = + ® = + =

+

= = = = = =+ + + +

!"#"$

Generalizzando ad N resistori:

1 1;

N N

eq k j p j kk k

G G i i G G= =

= =å åv

R1 R2

ip

-

Geq=G1+G2

+

i1 i2ip

-

v

+

12



Alcune osservazioni importanti praticamente:–nell’uso dei partitori il segno delle grandezze ripartite dipende dalla

concordanza o meno dei versi di riferimento per le tensioni (correnti) tra la serie (parallelo) ed i singoli bipoli;

– le formule generalizzate al caso di N resistori non possono facilmente essere espresse nella forma duale: per la serie conviene usare le resistenze e per il parallelo le conduttanze;

–un resistore in serie con un corto circuito è equivalente al resistore stesso, così come un resistore in parallelo ad un circuito aperto

–per utilizzare le equivalenze di resistenze/conduttanze o le formule dei partitori bisogna essere certi che siano rispettate le definizioni di serie parallelo (vedi i contro-esempi in figura)

Casi di bipoli non in serie o non in parallelo

R1

R2

i1

R3

i2

i3

i1¹i2R1 R2

R3

v1¹v2

v1+

-v2+

-

v3+ -i3¹0

v3¹013



Ha senso considerare la serie/parallelo anche con generatori; è immediato rendersi conto, applicando le definizioni e tenendo conto delle caratteristiche, di quanto riportato nelle figure seguenti:

Generatori in serieGeneratori in parallelo

eeq=e1+e2e2 +

-

e1 +-

+-

jeq=je+-

j

j1 j2jeq=j1+j2

jeeq=e

e +-

+-

14

Serie e parallelo di generatori/1


Sono da escludersi i casi di generatori di tensione in parallelo o di corrente in serie, in quanto generalmente incompatibili. Infatti, ad esempio:

1 1 2

2 1 2

0 soluzioni,

soluzioniv e e ev e e e= ¹ ®ì ì

í í= = ® ¥î î

e2+-

e1+-

Un esempio di caso “patologico”

15

Serie e parallelo di generatori/2


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Unità 3:

bipoli equivalenti di Thévenin e Norton

e loro utilizzo nell’analisi circuitale



Vogliamo descrivere la caratteristica e trovare l’equivalente per un generico bipolo di resistori lineari e generatori (in figura).Imponiamo la corrente i con un generatore di corrente e determiniamo (o misuriamo) la corrispondente tensione v(caratterizzazione su base corrente). Applichiamo la sovrapposizione degli effetti:

Un bipolo lineare “attivo” (sx) e sua caratterizzazione in corrente (dx)

C’

+-

+

-

v’’

i’’=0C’’

+

-

v’

i

B’ B’’Circuiti ausiliari per l’applicazione della sovrapposizione

¢ ¢ ¢¢=

¢ ¢¢= + = +

! ! 0

0

, ; ;eq eq

eq

v R i R v i v Ev v v E R i

B

+-

+

-

v

i B

+-

i

+

-

v

17

Generatori equivalenti di Thévenin Norton/1


Il risultato è notevole: la caratteristica del bipolo v=E0+Reqicoincide con quella di un generatore reale di tensione; inoltre sono univocamente definiti i due parametri “tensione a vuoto” E0 e “resistenza equivalente” Req.E0 à è tensione che si presenta ai terminali quando sono

aperti, per effetto dei generatori interni; Reqà è la resistenza equivalente del bipolo (passivo) ottenuto

spegnendo tutti i generatori interni.+-

+

-

v

i

Req

E0+-

+

-

v

iv

i

E0

-E0/ReqCaratteristica equivalente di Thévenin Bipolo equivalente di Thévenin

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Un risultato simile si ottiene caratterizzando il bipolo in tensione anziché in corrente (equivalente di Norton):

Forma in tensione e circuiti ausiliari

¢¢ ¢¢ ¢ ¢¢= = = + = +! !

1, , ; eq eq CC CC eqeq

ii G v G i J i i i J G vv R

dove, compare il parametro corrente di corto circuito Jcc, che corrisponde alla corrente tra i terminali, posti in corto circuito, per effetto dei generatori interni.

Bipolo equivalente di Norton

+-

+

-

v

i

Geq

+

-

v

i

JccC’

+-

+

-

v’’=0

i’’C’’

+

-

i’

v +-

+-

i

B

+

-

v +-

C

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È piuttosto evidente che le due forme trovate, sono tra loro equivalenti (in tutti i casi Req¹0 e Geq¹0): si tratta infatti della classica equivalenza tra generatori reali.

00

0

1

posto

eqeq eq

cc cc eqeq

Ev E R i i vR R

EJ i J G vR

= + ® = - +

= - ® = +

È interessante notare che attraverso il legame tra i parametri E0, Jcc ed Req è possibile trarre una modalità per ricavare la Reqa partire dalla conoscenza delle sole E0, Jcc , che risultano quantità tutte esterne al bipolo ed in principio facilmente accessibili (misurabili):

00 eq cc eq

cc

EE R J RJ

= - ® =

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Alcune osservazioni importanti:

– i due casi limite in cui Req=0 o Geq=0 corrispondono a quelli di un generatore ideale di tensione o di corrente. In tale circostanza la generale equivalenza tra le due forme di Thévenin e Norton viene meno;

– l’equivalenza è sempre, come si dice, “esterna” nel senso che, sostituendo al bipolo di partenza il suo equivalente, il circuito all’esterno di esso non ne risente nel funzionamento; naturalmente ciò non implica nulla su ciò che invece accade all’interno del bipolo di partenza rispetto al suo equivalente;

–L’utilizzo degli equivalenti di Thévenin o Norton è molto importante quando in un circuito vi sia ad esempio un solo elemento non lineare oppure dinamico: in tal caso tutta la rimanente parte del circuito viene ridotta alla forma più semplice possibile, e ci si può direttamente concentrare sull’elemento di maggiore difficoltà

21



22

Unità 4:

Equivalenze stella-triangolo di resistori



Ci sono configurazioni (topologie) che non possono essere ridotte per serie parallelo. Estendiamo allora l’equivalenza.Tre resistori con un nodo in comune sono collegati a stella, e tre a triangolo (figura).I terminali sono ora tre: definiamo l’equivalenza se, per qualsiasi terna di correnti si la medesima terna di tensioni, o viceversa.

R2

R3R1

q e

w

R12

R13

q e

w

R23

Terna di resistori a “stella” o a “triangolo”

23

Equivalenza stella triangolo di resistori


Configurazioni a stella e triangolo per lo studio dell’equivalenza

R2

R3R1

q e

w

R12

R13

q e

w

R23J(1) J(1)

vS13+ -

vT13+ -

Il problema può essere studiato con la sovrapposizione degli effetti, utilizzando speciali configurazioni in cui si annulla una corrente per volta. In riferimento alla figura (i3=0), considerate le tensioni v13 corrispondenti si ha:

( ) ( )1 1 (1) (1)12 311 2 13 1 13

12 23 31

12 3113 13 1

12 23 31

, ; = ; =+ +

S T

S T

R Ri J i J v R J v JR R R

R Rv v RR R R

= = -

= ® =+ +

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Equivalenza stella triangolo di resistori/2


Procedendo con le altre coppie di terminali, si ottengono analoghe relazioni per R2 ed R3 fissando opportunamente le correnti come:

12 31 12 23 23 311 2 3

12 23 31 12 23 31 12 23 31

, ,R R R R R RR R RR R R R R R R R R

= = =+ + + + + +

Nonostante ciascuna sia ottenuta con una particolare terna di correnti, per la sovrapposizione degli effetti l’equivalenza è assicurata per qualsiasi altra terna di correnti, che può essere scomposta in tre terne del tipo visto. Riassumendo, le trasformazioni triangolo stella sono date da:

( ) ( )

( ) ( )

2 21 2 3

3 31 2 3

0, ,

, 0,

i i J i J

i J i i J

= = = -

= = = -

25



2 3 1 31 212 1 2 23 2 3 31 1 3

3 1 2

, , R R R RR RR R R R R R R R RR R R

= + + = + + = + +

Trattandosi di relazioni biunivoche, è possibile invertirle determinando così le trasformazioni stella triangolo

che, posto G0=1/R1+1/R2+1/R3, possono essere riscritte in forma più compatta come:

12 0 1 2 23 0 2 3 31 0 1 3; ; R G R R R G R R R G R R= = =

È immediato verificare che, se le resistenze a stella o a triangolo sono uguali tra loro si ha:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )12 23 31

1 2 3

/3

3

T S T

S T S

R R R R R R

R R R R R R

ü ì= = º =ï ï®ý í= = º =ïï îþ

, allora:

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Come esercizi sugli argomenti di questa lezione si suggeriscono gli ex. 1-10 a pag. 209 e segg. del testo di riferimento, dove vengono riportati i risultati.

I relativi svolgimenti completi sono disponibili alla pagina:http://www.elettrotecnica.unina.it/files/demagistris/libro.html

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Esercizi proposti


http://www.elettrotecnica.unina.it/files/demagistris/libro.html

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