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Prof.: Sergio Wagner
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Diagramas, modelos e representações.
Conjuntos dos números Naturais e Inteiros:
2 -1-3-4-5CD ... ...... 0 1 52 3 4 BA... ......
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N = { 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,...}
Z= {... ,-4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...}
-1-2
-3
-4
-5 Z
1
2
0
34
5
N
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GEOMETRIA DE EUCLIDESA princípio os números foram criados somente para contar objetos, mas a partir de Euclides eles se tornaram medidas.
Um, 1, ou unidade, é a menor medida dos números naturais.
2
3
4
10
......
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1 -1 2 -2
7 -7
O sinal indica o sentido de uma seta.
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Na reta o sinal indica para que lado “andamos” a partir da Origem (o zero). Para direita os positivos e para esquerda os negativos.
0
O
1 32 4 5 6-3 -2 -1-4-6 5 ......
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0
O
1 32 4 5 6-3 -2 -1-4-6 5 ......
3 + 1 =
4 + (-5) =
+ = = 4
+
= = -1
(-6) + 2 = +
= = -4
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O conjunto dos racionais (Quociente), é difícil de ser explicado quando pensamos nos números como “quantidade” mas com a representação deles como distância isso se torna fácil e intuitivo.ℕ= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
ℚ = { x ∈ ℚ ⇔ a,b ∈ ℤ/ x = a ÷ b, b ≠ 0} = {..., -2, ..., -3/2, ..., -1, ..., 0, 1/5, ...}ℕℤℚ
1
2
5
3
-1
-6
-10-3
-8
09
78
-25
12-4
7216
-4110
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O conjunto dos números racionais são, então, divisões de números inteiros. Algumas PROPRIEDADES são importantes ressaltar:
Inverso multiplicativo:Todo número racional tem um inverso multiplicativo racional, com
exceção do número zero.∀ x ∈ ℚ* , ∃ y ∈ ℚ* / x • y = 1
Fácil verificar que este número é a divisão de um por x; .1 x
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Expansão decimal:
Todo número racional tem uma expansão decimal periódica.
Na segunda notação da dízima, a barra indica o período a ser repetido infinitamente. Isto remete-se também a Euclides, utilizamos o Algoritmo de divisão de Euclides (o método de “armar” divisão já aprendido) para obter esta expansão.
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0 5
3
0 0 0
1
5
0
8 7
4
42 2
6
0,
Algoritmo de divisão de Euclides e expansão decimal:
17
Temos o número em forma fracionária, e vamos transformá-lo em um número decimal:Primeira coisa a observar é que o resto de uma divisão, no algoritmo, deve sempre ser menor que o divisor. Neste caso há 7 números menores que 7; 1, 2, 3 ,4, 5, 6 e 0. Estes são todos os restos possíveis.Quando um resto for repetido na divisão, ele deixará o mesmo resto que antes e teremos uma repetição. O maior período em uma divisão por 7 é então, de 6 algarismos. Caso haja o resto zero a divisão é exata.1 |7 _
1
01
2
3
4
5
6
...
...
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Já que cada número tem uma e apenas uma expansão decimal, falta verificar se cada expansão decimal corresponde a um e apenas um número.
Por termos dez dedos, nosso sistema numérico é decimal posicional. Isso significa que para cada posição temos dez possibilidades de valores. Funciona assim, como contagem;
10 x =
10 x =
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0,5 ∙ 13 = 6,5 O QUE REALMENTE ISTO SIGNIFICA?
Da direita para a esquerda, respeitando o agrupamento de 10 em 10, resolve-se a multiplicação como se tratasse de dois números inteiros e “recoloca a vírgula”.
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A multiplicação pode ser entendida no sentido da comensurabilidade. Dois números são comensuráveis quando uma medida pode medir ambos sem falta.
A medida ½ pode medir, 4 e 3,5. Portanto são comensuráveis entre si. Multiplicar 4 e 3,5 volta, então, ao problema mais simples de repetir a medida.
4 são 8 medidas de ½, logo 4 = 8 . ½
3,5 são 7 medidas de ½, logo 3,5 = 7 . ½
Logo:
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A divisão é mais intuitiva: é simplesmente tentar preencher um segmento com outro. E verificar quantas partes deste cabem naquele.
Por exemplo, 10 ÷ 4 = 2,5
o quatro cabe duas vezes e mais sua metade(2) dentro do dez . ( 2 X 4 + 2 )
Não há restos na divisão de racionais, pois os números podem ser quebrados para que se possa dividir o resto.
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A potenciação é também repetição, mas desta vez não da soma das distâncias, mas de quantas multiplicações se efetuam.
n vezes
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A radiciação é o oposto da potenciação.
Esta operação é crucial para a medida de tamanhos, e frequentemente não tem resposta no conjunto racional. Apenas os quadrados perfeitos e números cujos numerador e denominador de sua forma irredutível forem quadrados perfeitos têm raiz quadrada racional.Os quadrados perfeitos são esparsos, como podemos ver na seguinte seqüência:1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, ...
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Ora, o que isso significa? Há mais números com raízes inexatas do que números com raízes quadradas exatas. Até 900, apenas 30 números tinham estas raízes exatas. Se uma raiz é inexata, este número não pode ser escrito como fração de dois números inteiros e portanto não são racionais.
São irracionais as raízes :
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1132 2332
1312
O ℚ+0 1 2 3 4 5 6 7 8 916
2356
Entre quaisquer dois racioanais, há outro racional. Na unidade temos:
1214 3418 78116 38 58316 516 716 916 1116 1316 116
132 332 532 732 932 1332 1532 1732 1932 2132 2532 2732 2932 3132
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Em verdade, se construirmos uma reta com apenas os números irracionais, haveriam menos “buracos” e a reta seria consideravelmente mais densa. Pode-se dizer que há mais números irracionais do que racionais.
0
O
1 32 4 5 6-3 -2 -1-4-6 5 ......
ℚ
0
O
1 32 4 5 6-3 -2 -1-4-6 5 ......
ℝ
A reta abaixo é densa. É a reta Real e representa todas as distâncias que podemos construir na natureza.
Qualquer distância que construirmos arbitrariamente encontrará um ponto na reta.