5. Karakteristicne funkcije

Profesor Milan Merkleemerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs

Verovatnoca i Statistika-prolece 2019

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 1 / 10

Definicija

Karakteristicna funkcija ϕX slucajne promenljive X , odnosno njeneraspodele, definise se sa

ϕX (t) = E e itX .

Ako X ima neprekidnu raspodelu sa funkcijom gustine f , tada je

ϕX (t) =

∫ +∞

−∞e itx f (x) dx ,

a ako X ima diskretnu raspodelu, onda je

ϕX (t) =∑k

e itkP(X = xk) .

Karakteristicna funkcija je dvostrana Furijeova transformacija funkcijegustine (sa e itx umesto e−itx).

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 2 / 10

Definicija

Karakteristicna funkcija ϕX slucajne promenljive X , odnosno njeneraspodele, definise se sa

ϕX (t) = E e itX .

Ako X ima neprekidnu raspodelu sa funkcijom gustine f , tada je

ϕX (t) =

∫ +∞

−∞e itx f (x) dx ,

a ako X ima diskretnu raspodelu, onda je

ϕX (t) =∑k

e itkP(X = xk) .

Karakteristicna funkcija je dvostrana Furijeova transformacija funkcijegustine (sa e itx umesto e−itx).

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 2 / 10

Primeri

Za Bernulijevu slucajnu promenljivu sa verovatnocom uspeha p,

ϕ(t) = e it·1p + e it·0(1− p) = pe it + (1− p).

Primer 113 Za X ∼ Poiss (λ),

ϕ(t) =+∞∑k=0

e itk · e−λλk

k!= e−λ

+∞∑k=0

(λe it

)kk!

= e−λ · eλe it = eλ(e it−1) .

Primer 114 Za Z ∼ N (0, 1):

ϕZ (t) =1√2π

∫ +∞

−∞e itx−

x2

2 dx = · · · = e−t2

2 .

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 3 / 10

Primeri

Za Bernulijevu slucajnu promenljivu sa verovatnocom uspeha p,

ϕ(t) = e it·1p + e it·0(1− p) = pe it + (1− p).

Primer 113 Za X ∼ Poiss (λ),

ϕ(t) =+∞∑k=0

e itk · e−λλk

k!= e−λ

+∞∑k=0

(λe it

)kk!

= e−λ · eλe it = eλ(e it−1) .

Primer 114 Za Z ∼ N (0, 1):

ϕZ (t) =1√2π

∫ +∞

−∞e itx−

x2

2 dx = · · · = e−t2

2 .

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 3 / 10

Primeri

Za Bernulijevu slucajnu promenljivu sa verovatnocom uspeha p,

ϕ(t) = e it·1p + e it·0(1− p) = pe it + (1− p).

Primer 113 Za X ∼ Poiss (λ),

ϕ(t) =+∞∑k=0

e itk · e−λλk

k!= e−λ

+∞∑k=0

(λe it

)kk!

= e−λ · eλe it = eλ(e it−1) .

Primer 114 Za Z ∼ N (0, 1):

ϕZ (t) =1√2π

∫ +∞

−∞e itx−

x2

2 dx = · · · = e−t2

2 .

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 3 / 10

Osobine karakteristicne funkcije

Karakteristicna funkcija je definisana za svaku slucajnu promenljivu X(za razliku od matematickog ocekivanja)

√

Raspodela je jedinstveno odredena svojom karakteristicnom funkcijom.

Znajuci karakteristicnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodeleu diskretnom slucaju) mozemo da nademo primenom teoreme oinverziji (Teorema 5.1. u udzbeniku), ili cesce preko tablica Furijeovetransformacije.

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 4 / 10

Osobine karakteristicne funkcije

Karakteristicna funkcija je definisana za svaku slucajnu promenljivu X(za razliku od matematickog ocekivanja)

√

Raspodela je jedinstveno odredena svojom karakteristicnom funkcijom.

Znajuci karakteristicnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodeleu diskretnom slucaju) mozemo da nademo primenom teoreme oinverziji (Teorema 5.1. u udzbeniku), ili cesce preko tablica Furijeovetransformacije.

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 4 / 10

Osobine karakteristicne funkcije

Karakteristicna funkcija je definisana za svaku slucajnu promenljivu X(za razliku od matematickog ocekivanja)

√

Raspodela je jedinstveno odredena svojom karakteristicnom funkcijom.

Znajuci karakteristicnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodeleu diskretnom slucaju) mozemo da nademo primenom teoreme oinverziji (Teorema 5.1. u udzbeniku), ili cesce preko tablica Furijeovetransformacije.

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 4 / 10

Osobine karakteristicne funkcije

Karakteristicna funkcija je definisana za svaku slucajnu promenljivu X(za razliku od matematickog ocekivanja)

√

Raspodela je jedinstveno odredena svojom karakteristicnom funkcijom.

Znajuci karakteristicnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodeleu diskretnom slucaju) mozemo da nademo primenom teoreme oinverziji (Teorema 5.1. u udzbeniku), ili cesce preko tablica Furijeovetransformacije.

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 4 / 10

Momenti

Definicija 4.9 Za slucajnu promenljivu X i prirodan broj k , moment redak definise se kao EX k , ukoliko postoji ocekivanje slucajne promenljive X k .

Teorema 4.14 Ako postoji moment reda n, onda postoje i svi momentireda k < n.

√

∼∼∼

Vise o momentima moze se (neobavezno) procitati u odeljku 4.8 (stranice106-108 udzbenika).

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 5 / 10

Momenti

Definicija 4.9 Za slucajnu promenljivu X i prirodan broj k , moment redak definise se kao EX k , ukoliko postoji ocekivanje slucajne promenljive X k .

Teorema 4.14 Ako postoji moment reda n, onda postoje i svi momentireda k < n.

√

∼∼∼

Vise o momentima moze se (neobavezno) procitati u odeljku 4.8 (stranice106-108 udzbenika).

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 5 / 10

Momenti

Definicija 4.9 Za slucajnu promenljivu X i prirodan broj k , moment redak definise se kao EX k , ukoliko postoji ocekivanje slucajne promenljive X k .

Teorema 4.14 Ako postoji moment reda n, onda postoje i svi momentireda k < n.

√

∼∼∼

Vise o momentima moze se (neobavezno) procitati u odeljku 4.8 (stranice106-108 udzbenika).

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 5 / 10

Osobine karakteristicne funkcije - nastavak

Teorema 5.2

1 Za svaku slucajnu promenljivu X i za svaka dva realna (ilikompleksna) broja a, b vazi da je

ϕaX+b(t) = e ibtϕX (at)

2 Ako slucajna promenljiva X ima moment reda n, tada se on mozenaci pomocu n-tog izvoda karakteristicne funkcije u nuli:

EX n = i−nϕ(n)(0)

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 6 / 10

Osobine karakteristicne funkcije - nastavak

Teorema 5.2

1 Za svaku slucajnu promenljivu X i za svaka dva realna (ilikompleksna) broja a, b vazi da je

ϕaX+b(t) = e ibtϕX (at)

2 Ako slucajna promenljiva X ima moment reda n, tada se on mozenaci pomocu n-tog izvoda karakteristicne funkcije u nuli:

EX n = i−nϕ(n)(0)

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 6 / 10

Osobine karakteristicne funkcije - nastavak

Teorema 5.2

1 Za svaku slucajnu promenljivu X i za svaka dva realna (ilikompleksna) broja a, b vazi da je

ϕaX+b(t) = e ibtϕX (at)

2 Ako slucajna promenljiva X ima moment reda n, tada se on mozenaci pomocu n-tog izvoda karakteristicne funkcije u nuli:

EX n = i−nϕ(n)(0)

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 6 / 10

Primeri

Primer 114 Za X ∼ N (µ, σ2) naci karakteristicnu funkciju, znajuci da je

za standardnu normalnu raspodelu ϕZ (t) = e−t2

2 .

R: X = σZ + µ =⇒ ϕX (t) = e iµt · ϕZ (σt) = exp(iµt − σ2t2

2 )

Primer 113 Naci VarX za X ∼ Poiss (λ), znajuci da je ϕX (t) = eλ(e it−1).R: EX = λ, EX 2 = i−2ϕ′(0) = λ2 + λ. VarX = λ

Primer Kosijeva slucajna promenljiva, sa gustinom

f (x) =1

π(1 + x2), −∞ < x < +∞

nema matematicko ocekivanje, a time ni momente viseg reda.Karakteristicna funkcija je ϕ(t) = e−|t|; ova funkcija nema izvode u nuli.√

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 7 / 10

Primeri

Primer 114 Za X ∼ N (µ, σ2) naci karakteristicnu funkciju, znajuci da je

za standardnu normalnu raspodelu ϕZ (t) = e−t2

2 .

R: X = σZ + µ =⇒ ϕX (t) = e iµt · ϕZ (σt) = exp(iµt − σ2t2

2 )

Primer 113 Naci VarX za X ∼ Poiss (λ), znajuci da je ϕX (t) = eλ(e it−1).R: EX = λ, EX 2 = i−2ϕ′(0) = λ2 + λ. VarX = λ

Primer Kosijeva slucajna promenljiva, sa gustinom

f (x) =1

π(1 + x2), −∞ < x < +∞

nema matematicko ocekivanje, a time ni momente viseg reda.Karakteristicna funkcija je ϕ(t) = e−|t|; ova funkcija nema izvode u nuli.√

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 7 / 10

Primeri

Primer 114 Za X ∼ N (µ, σ2) naci karakteristicnu funkciju, znajuci da je

za standardnu normalnu raspodelu ϕZ (t) = e−t2

2 .

R: X = σZ + µ =⇒ ϕX (t) = e iµt · ϕZ (σt) = exp(iµt − σ2t2

2 )

Primer 113 Naci VarX za X ∼ Poiss (λ), znajuci da je ϕX (t) = eλ(e it−1).R: EX = λ, EX 2 = i−2ϕ′(0) = λ2 + λ. VarX = λ

Primer Kosijeva slucajna promenljiva, sa gustinom

f (x) =1

π(1 + x2), −∞ < x < +∞

nema matematicko ocekivanje, a time ni momente viseg reda.Karakteristicna funkcija je ϕ(t) = e−|t|; ova funkcija nema izvode u nuli.√

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 7 / 10

Zbir nezavisnih slucajnih promenljivih preko karakteristicnihfunkcija

Teorema 5.3 Ako su X i Y nezavisne slucajne promenljive, tada je

ϕX+Y (t) = ϕX (t) · ϕY (t).√

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 8 / 10

Raspodela zbira nezavisnih s.p. - primeri

Primer 117 Za nezavisne slucajne promenljive X ∼ N (µ1, σ21) i

Y ∼ N (µ2, σ22), naci raspodelu zbira X + Y .

√ √

Primer 116 Ako su X1 i X2 nezavisne Puasonove slucajne promenljive saparametrima λ1 i λ2 respektivno, naci raspodelu zbira X1 + X2

√ √

U oba primera raspodela ostaje u istoj familiji, a parametri se sabiraju.

Pogledajte primer 118 za jos jedan slican slucaj, i primer 119 kadraspodela zbira nije u istoj familiji.

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 9 / 10

Raspodela zbira nezavisnih s.p. - primeri

Primer 117 Za nezavisne slucajne promenljive X ∼ N (µ1, σ21) i

Y ∼ N (µ2, σ22), naci raspodelu zbira X + Y .

√ √

Primer 116 Ako su X1 i X2 nezavisne Puasonove slucajne promenljive saparametrima λ1 i λ2 respektivno, naci raspodelu zbira X1 + X2

√ √

U oba primera raspodela ostaje u istoj familiji, a parametri se sabiraju.

Pogledajte primer 118 za jos jedan slican slucaj, i primer 119 kadraspodela zbira nije u istoj familiji.

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 9 / 10

Raspodela zbira nezavisnih s.p. - primeri

Primer 117 Za nezavisne slucajne promenljive X ∼ N (µ1, σ21) i

Y ∼ N (µ2, σ22), naci raspodelu zbira X + Y .

√ √

Primer 116 Ako su X1 i X2 nezavisne Puasonove slucajne promenljive saparametrima λ1 i λ2 respektivno, naci raspodelu zbira X1 + X2

√ √

U oba primera raspodela ostaje u istoj familiji, a parametri se sabiraju.

Pogledajte primer 118 za jos jedan slican slucaj, i primer 119 kadraspodela zbira nije u istoj familiji.

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 9 / 10

Za vezbu: Zadaci 110-112, 113, 114, 116-119.

Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 10 / 10