profmat 2011
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ProfMat 2011
Sessão Prática 29
Conexões Matemáticas
Dinamizadores:
Assunção Pires - Escola Secundária c/ 3º ciclo Vila Real de Santo António
Jacinto Salgueiro - Escola Secundária de Montemor o Novo
Manuela Labrusco - Escola Secundária Conde de Monsaraz
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Os seguintes materiais foram retirados das sequências de tarefas elaboradas pelos
professores experimentadores das turmas piloto do NPMEB.
Tarefa
Com os seus colegas de grupo, resolva cada uma das seguintes tarefas e discuta de que
forma se enquadra nos objectivos gerais e nas indicações metodológicas sobre conexões
do NPMEB.
Nota: Encontram-se em anexo os extractos do programa que fazem referência a
conexões matemáticas.
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Tarefa 1: Equações Literais
Tema: Álgebra
Tópico: Equações
Subtópico: Equações Literais
A medição da temperatura é feita usando uma escala. As três mais conhecidas e
utilizadas são as escalas Celsius (ºC), Fahrenheit (ºF) e Kelvin (K).
A relação que existe entre a escala Celsius (ºC) e a escala Fahrenheit (ºF) pode ser dada
pela seguinte equação literal:
59
32 CF
1. Sabendo que na escala Celsius, a água passa do estado líquido ao estado sólido a
0ºC, calcula na escala Fahrenheit a temperatura a que o mesmo processo ocorre.
2. Sabendo a água entra em ebulição a 100ºC, calcula em graus Fahrenheit esta
temperatura.
3.1. Resolve em ordem a F a equação que relaciona graus Celsius com graus Farenheit.
3.2. Utiliza a equação resolvida em ordem a F para determinar a temperatura média do
corpo humano em graus Fahrenheit que, em graus Celsius, é de 36,5ºC. Quais as
vantagens em usar esta equação em vez da equação dada inicialmente?
4. Resolve em ordem a C a equação que relaciona graus Celsius com graus Farenehit.
5. Nos Estados Unidos da América, a escala de temperatura habitualmente usada é a
escala Farenheit.
Observa a informação meteorológica publicada na Internet no dia 31-01-2010 para
a cidade de New York.1
1 Retirado do sitio da Internet http://www.usatoday.com/weather
Celsius
Fahrenheit Kelvin
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5.1. Verifica se a conversão da temperatura registada às 06:51 local foi correcta.
5.2. Qual foi, em graus Farenheit, a temperatura máxima e a temperatura mínima
prevista, para New York, no período indicado? E em graus Celsius?
F
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Tarefa 2 – Planear escadas2
Tema: Álgebra
Tópico: Equações
Subtópico: Equações Literais
Quando se planeia escadas, existem valores
aconselháveis para a relação entre a medida do
espelho dos degraus (E) e a profundidade do seu
cobertor (C). Seguem-se alguns desses valores:
• Comodidade: C-E = 12cm
• Segurança: C+E = 46cm
1. Se a medida do espelho e a medida do cobertor dos degraus de uma escada forem,
respectivamente, 19cm e 27cm, qual das relações, entre o cobertor e o espelho, foi
seguida na construção da escada, que tem os degraus todos iguais? Justifica a tua
resposta.
2. O pai do João quer construir uma escada, com os degraus todos iguais, em que se
verifiquem as duas relações anteriores entre a medida do espelho e a medida do
cobertor de cada degrau. O pai do João propõe que a medida do espelho seja 16 cm.
2.1.O João não concorda com o pai alegando que, com esse espelho, não é possível
construir a escada com uma medida de cobertor de maneira a que se verifiquem as
duas relações. O João sugere que a medida do espelho seja 17cm. Quem tem razão?
Justifica a tua resposta.
Explica o raciocínio do João.
2.2. Resolve o sistema C E 12
C E 46e verifica que existe um único par de medidas de
espelho e cobertor que satisfaz as duas relações.
3. Considera a escada cujos degraus medem 17cm de espelho e 29 cm de cobertor.
3.1.Qual é a altura da escada se tiver 12 degraus iguais?
3.2.Num espaço com 4 metros de comprimento é possível construir uma escada com 15
degraus iguais? Justifica a tua resposta.
4. Verifica na tua escola, se alguma destas relações foi aplicada na construção das
escadas.
2 Adaptado do Projecto 1001 itens
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Tarefa 3 – Simplificando expressões algébricas
Tema: Álgebra
Tópico: Equações
Subtópico: Expressões Algébricas
1. O João gosta muito de construir sequências de figuras com quadrados nas folhas
quadriculadas do seu caderno de Matemática.
Observa a seguinte sequência de figuras que ele construiu.
1.1. Quantos quadradinhos cinzentos, brancos e às riscas tem a figura 4?
1.2. Completa a tabela:
Nº da
Figura
Quantidade total de
quadradinhos cinzentos
Quantidade total de
quadradinhos às riscas
Quantidade total de
quadradinhos brancos
1
2
3
4
10
n
1.3. Soma o número de quadradinhos cinzentos com o número de quadradinhos às
riscas da figura de ordem n (termo geral). Simplifica a expressão que obtiveste.
1.4. Mostra que a diferença entre o número total de quadradinhos cinzentos e o
número total de quadradinhos às riscas é constante.
1.5. Escreve o termo geral da sequência do número total de quadradinha.
Simplifica a expressão.
…
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Tarefa 4 – Funções lineares
Tema: Álgebra
Tópico: Funções e Equações
Subtópico: Funções Linear e afim
1. Na figura a Ana representou graficamente as relações entre o peso e o custo de
alguns produtos de alimentação.
1.1. De acordo com as representações preenche a tabela:
Produtos Peso (kg) Custo (€) Preço (€ por kg)
açúcar 3 3 1
café 0,5 4
farinha
arroz
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1.2. Indica:
(i) Uma expressão algébrica para cada uma das funções de
proporcionalidade directa representadas.
(ii) A constante de proporcionalidade de cada uma e o seu significado no
contexto da situação.
1.3. A Ana quis explicar ao Nuno qual o efeito da variação do parâmetro no
gráfico das funções do tipo 0, kkxy . Escreve num pequeno texto uma
possível explicação e ilustra-a com alguns exemplos.
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Tarefa 5 – Louvre
Tema: Geometria
Tópico: Sólidos geométricos
Subtópico: Área da superfície e volume
Em frente à entrada principal do museu do Louvre, em Paris, existe um conjunto de
pirâmides formadas por uma estrutura de vidro como se pode ver na figura 1.
A pirâmide principal é uma estrutura com a forma de pirâmide quadrangular regular
cujo lado da base mede 35 metros e cuja altura mede 21 metros.
A figura 2 representa o modelo geométrico da pirâmide principal.
Figura 1 Figura 2
Verifica se as dimensões da pirâmide principal do Louvre satisfazem a lei enunciada por
Eroduto para as pirâmides da antiguidade:
A área de cada face lateral é igual à área do quadrado construído sobre a altura.
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Tarefa 6 – Os números irracionais
Tema: Números e operações
Tópico: Números reais
Subtópico: Noção de número real e recta real
1. Observa a sequência de figuras.
1.1. Para cada figura escreve, na forma de fracção e na forma de dízima, o número que
representa a parte sombreada.
1.2. Escreve, na forma de fracção e na forma de dízima, o número que representa a
quantidade sombreada:
a) b)
1.3. Escreve a dízima correspondente a cada uma das seguintes fracções:
9
10
99
10
999
10
9
107
99
107
999
107
1.4. Escreve na forma de fracção as seguintes dízimas:
0,45454545... 0,654654654… 0,107810781078…
1,44444444… 4,329329329… 7, (135924680)
1.5. Escreve uma regra que ajude a passar para a forma de fracção qualquer dízima
infinita periódica.
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Tarefa 7 – Proporcionalidades
Tema: Álgebra
Tópico: Funções
Subtópico: Proporcionalidade inversa como função
1. Na figura estão representados alguns paralelogramos equivalentes em que as medidas
da base e da altura são números inteiros.
1.1. Preenche a tabela seguinte:
Paralelogramo Base - b Altura - a Área
A 2 6 12
B
C
D
E
F
1.2. Dá exemplos de outros paralelogramos de área 12 em que a base e/ou a
altura não sejam números inteiros.
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1.3. Observa a tabela e responde às seguintes questões:
1ª Se duplicarmos a medida do comprimento da base o que acontece à
medida da altura? E se triplicarmos?
2ª A altura a e a base b são grandezas inversamente proporcionais. Porquê?
3ª Qual a constante de proporcionalidade? Qual o seu significado no
contexto do problema?
1.4. Num referencial cartesiano xOy marca os pontos de coordenadas (b,a),
associados aos paralelogramos considerados.
1.5. Escreve uma expressão algébrica que traduza a altura a em função da base b.