progetto di un telaio piano in c.a.: analisi delle sollecitazioni secondo il metodo degli...
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Progetto di un telaio piano in c.a.: Analisi delle
Sollecitazioni secondo il Metodo degli Spostamenti
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 03/04/2008
RIEPILOGO DELLE FASI PRINCIPALI
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 03/04/2008
Predimensionamento degli elementi dell’intera struttura.
Analisi delle sollecitazioni di uno dei telai trasversaliMetodo degli Spostamenti
Metodo di Hardy-Cross (con vincoli ausiliari)
RIEPILOGO DELLE FASI PRINCIPALI
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a cura di Enzo MartinelliBozza del 03/04/2008
Analisi dei carichi
Predimensionamento
Analisi delle sollecitazioni
Progetto e verifica deglielementi strutturali
Metodo degli Spostamenti (MdS)
Metodo dei vincoli ausiliari
Definizione delle combinazioni di carico
DEFINIZIONE DELLE COMBINAZIONI DI CARICOValutazione delle azioni orizzontali
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
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Oltre ai carichi verticali che sono stati già quantificati nella fase di predimensionamento, sulla struttura agiscono pure forze orizzontali che riproducono l’azione del sisma secondo una Analisi Statica Lineare.
Tali azioni hanno natura inerziale e, dunque, risultano:- Applicate al livello degli impalcati, laddove si concentra gran parte delle masse strutturali;- Proporzionali a tali massa strutturali.
Poiché il sisma (con livelli di intensità “distruttivi”) è un evento raro, l’entità dei carichi verticali presenti in contemporanea al sisma si può ottenere sommando ai carichi e sovraccarichi permanenti G e G’ una parte dei sovraccarichi variabili:
kkk QGG 2'
DEFINIZIONE DELLE COMBINAZIONI DI CARICOValutazione delle azioni orizzontali
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mi=Wi/g
zi
- Carichi sull’impalcato
- Tamponatura
Impalcato Tipo
sbksbksbksb
kkk
ki
lLLqgg
lllLLqgg
QGGW
21,,,
32121
21
3.0'
3.0'
3.0'
2
2'
''
132121,
,2
iitampk
tampi
HHlllLLg
GW
- Parapetto
parsbpark
pari
hlLLg
GW
2'
'''
21,
,2
'''''' iiii WWWW
DEFINIZIONE DELLE COMBINAZIONI DI CARICOValutazione delle azioni orizzontali
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mi=Wi/g
zi
- Carichi sull’impalcato
- Tamponatura
Impalcato di Copertura
sbkk
nevekneve
llllLLgg
QGGW
32121
,,2213
'
'
2
2'
''
332121,
,23
HlllLLg
GW
tampk
tamp
- Parapetto
parsbpark
par
hllllLLg
GW
32121,
,23
2'
'''
'''''' 3333 WWWW
DEFINIZIONE DELLE COMBINAZIONI DI CARICOValutazione delle azioni orizzontali
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L’azione orizzontale complessiva Fh è proporzionale al peso totale della struttura:
321 WWWWtot g
W
q
SaF totgh
5.2
Massima accelerazione attesa al suolo Zona 2 -> ag=0.25g
Fattore di amplificazione dovuto al suolo Categoria A -> S=1.00
Fattore di struttura RKqq 0
Fh
y u
yFh
uFh
0.1RK
Str
utt
ura
regola
re
yuq 0.30
3.1yu
Strutture a telaio in Bassa Duttilità
Telai a più piani e più campate
9.30.13.13 q
DEFINIZIONE DELLE COMBINAZIONI DI CARICOValutazione delle azioni orizzontali
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Bozza del 03/04/2008
L’azione orizzontale Fh si ripartisce in altezza secondo in proporzione ai termini Wizi
h
iii
iii F
zW
zWF
3
1
F1
F2
F3
Piano i-esimo
Fi
Telaio piano d’interesse
Ipotesi semplificate di ripartizione dell’azione di piano tra i vari piani:- Impalcato infinitamente rigido nel suo piano;- Telai piani di uguale rigidezza traslante.
4,i
ti
FF
VERIFICA PRELIMINARE DEI PILASTRI
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
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Le dimensioni dei pilastri è stata scelta esclusivamente con un progetto a compressione controllando che i livelli di tensione assiale non superassero fissati valori di soglia:
cdbhf
N
È, tuttavia, opportuno, prima di passare all’analisi completa della struttura, controllare che tali dimensioni consentano di garantire anche i seguenti requisiti:- avere una sufficiente rigidezza traslazionale (ovvero, dar luogo a spostamenti orizzontali relativamente piccoli per effetto delle azioni sismiche);- comportino l’utilizzo di quantità di armature compatibili con i valori massimi consentiti dalla normativa (pilastri troppo piccoli potrebbero richiedere una armature As maggiori del 4% dell’area di calcestruzzo).
Entrambi questi controlli hanno natura preliminare e, quindi, devono essere effettuati alla luce di analisi semplificate.
VERIFICA PRELIMINARE DEI PILASTRI
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F1
F2
F3
Schema “Shear-Type” Gli spostamenti relativi di piano possono calcolarsi come segue:
3
1j
)i(j
n
ikk
i
K
F (i)j(i)
j 3i
12EIK
H
Il controllo può ritenersi soddisfatto se risulta:
005.0Hi
i
Quanto ai momenti si ha:
(i)j(i)
j i2i
6EIM
H
VERIFICA PRELIMINARE DEI PILASTRI
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Stimando gli sforzi normali assumendo, per esempio, un valore ridotto rispetto a quelli stimati nella fase di predimensionamento:
(i,1)j(i,2 3)
j
NN
2
È possibile effettuare un progetto preliminare dell’armatura:
(i)j(i,2 3)
j (i,2 3)j
Me
N
04.0f
f
bhA
sd
cds
ANALISI DELLE SOLLECITAZIONICombinazioni di Carico allo S.L.U.
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Combinazione 1 Combinazione 2 Combinazione 3
neve,kkk Q5.05.1Q5.1G3.1Fd ii
ikikd EQGF ,,2 ii
i,ki,kd EQGF 2
F3,t F3,t
F2,t F2,t
F1,t F1,t
ANALISI DELLE SOLLECITAZIONICombinazioni di Carico allo S.L.U.
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Impalcato-Tipo
2 3t,1,2 c,y k k
l lg C g g ' 33.50 kN / m
2
2 3t,1,2 c,y t
l lq C q 11.50 kN / m
2
Impalcato di copertura
2 3t,3 c,y k k
l lg C g g ' 27.72 kN/ m
2
2 3t,3 c,y t
l lq C q 11.55 kN/ m
2
ANALISI DELLE SOLLECITAZIONICombinazioni di Carico allo S.L.U.
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a cura di Enzo MartinelliBozza del 03/04/2008
Combinazione 1 Combinazione 2 Combinazione 3
nevekkkd QQGF ,5.05.13.1 ii
i,ki,2kd EQGF ii
i,ki,2kd EQGF
Il valore dei carichi permanenti e variabili agenti sulle varie travi è già stato valutato all’atto di effettuarne il predimensionamento. In particolare, sono stati quantificati i valori di gk e qk che ora vanno combinati come precisato sopra. Siano dati, ad esempio, i seguenti valori di gk e qk:
kN/m 87.6055.115.150.333.1p 2,1,d
d,3p 1.3 27.72 1.5 0.5 8.66 42.53 kN/ m
0FFF 321
kN/m 97.3655.1130.050.33p 2,1,d
kN/m 72.2772.27p 3,d
Vanno applicate le forze orizzontali Fi con segno opposto per le due combinazioni 2 e 3
METODO DEGLI SPOSTAMENTI: Scrittura delle equazioni
- Combinazione 2 -
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Elenco delle incogniteElenco delle incogniteF3
F2
F1
p3
p2
p1
n.9 rotazioni nodali
n.3 spostamenti nodali relativi di piano
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
1, 2, 3
EquazioniEquazioni
4...12i 0Mj
j,i
n.9 equazioni di equilibrio alla rotazione dei nodi
n.3 di equilibrio alla traslazione 1...3k 0Fh
MM
k livelloolonnec j,i
n
kik
k
i,jj,i p
Tagliante di piano
0MMM 7,45,41,4 0MMMM 8,56,54,52,5 0MMM 9,65,63,6
0MMM 10,78,74,7 0MMMM 11,89,87,85,8 0MMM 12,98,96,9
0MM 11,107,10 0MMM 12,1110,118,11 0MM 11,129,12
METODO DEGLI SPOSTAMENTI: Scrittura delle equazioni
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F1
F2
F3q3
q2
q1
j,ij,ij,ijj,iij,ij,i UVWM
Equazioni
Espressione generale del momento
0UUVVWWW 5,427,411,474754547,45,41,4 0UUVVVWWWW 6,54,528,512,588,566,544,558,56,54,52,5 0UUVVWWW 9,629,613,699,655,669,65,63,6 0UUVVVWWW 8,7310,724,71010,788,744,7710,78,74,7 0UUVVVVWWWW 9,87,8311,825,81111,899,877,855,8811,89,87,85,8
0UUVVVWWW 8,9312,926,91212,988,966,9912,98,96,9 0UVVWW 11,1037,101111,1077,101011,107,10 0UVVVWWW 12,1110,1138,111212,111010,1188,111112,1110,118,11 0UVVWW 11,1239,121111,1299,121211,129,12
METODO DEGLI SPOSTAMENTI: Scrittura delle equazioni
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F1
F2
F3q3
q2
q1
j,ij,ij,ijj,iij,ij,i UVWM
Equazione corrente
Espressione generale del momento
0FFFh
UWUV
h
UWUV
h
UWUV321
1
13,663,616,366,3
1
12,552,515,255,2
1
11,441,414,144,1
0FFFh
MM
h
MM
h
MM321
1
3,66,3
1
2,55,2
1
1,44,1
32111
366325521441636525414 FFF
h
UUUUUUUUU ,,,,,,
,,,
0FFh
MM
h
MM
h
MM32
2
6,99,6
2
5,88,5
2
4,77,4
3222
6,99,65,88,54,77,496,985,874,769,658,547,4 FF
h
UUUUUUUUUUUU
333
9,1212,98,1111,87,1010,7129,12118,11107,10912,9811,8710,7 F
h
UUUUUUUUUUUU
0Fh
MM
h
MM
h
MM3
3
9,1212,9
3
8,1111,8
3
7,1010,7
METODO DEGLI SPOSTAMENTI: Forma Matriciale
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0
0
0
F
FF
FFF
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11,12
12,1110,11
11,10
8,9
9,87,8
8,7
5,6
6,54,5
5,4
3
32
321
3
2
1
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
9,1212,9
3
8,1111,8
3
7,1010,7
9,128,117,1012,911,810,7
2
6,99,6
2
5,88,5
2
4,77,4
6,95,84,79,68,57,4
1
3,66,3
1
2,55,2
1
1,44,1
3,62,51,4
9,12j
j,1211,129,12
8,1112,11j
j,1110,118,11
7,1011,10j
j,107,10
12,96,912,9j
j,98,96,9
11,85,811,89,8j
j,87,85,8
10,74,710,78,7j
j,74,7
9,63,69,6j
j,65,6
8,52,58,56,5j
j,54,5
7,41,47,45,4j
j,4
h
UU
h
UU
h
UU
00UUUUUU000
0
h
UU
h
UU
h
UU
0000UUUUUU
00
h
UU
h
UU
h
UU
000000UUU
U00WV0V00000
U00VWV0V0000
U000VW00V000
UU0V00WV0V00
UU00V0VWV0V0
UU000V0VW00V
0UU000V00WV0
0UU0000V0VWV
0UU00000V0VW
Matrice di rigidezza (indipendente dalla combinazione di carico)
Vettore delle forze nodali
Vett. delle azioni nodali eq. Ai carihi
METODO DEGLI SPOSTAMENTISoluzione del sistema
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Asta Lij b h I nerzia Wij Vij Uij
[cm] [cm] [cm] [cm4] [kNm] [kNm] [kN]
1,4 350 40 50 416667 119047.7 59523.9 51020.4
4,7 350 40 50 416667 119047.7 59523.9 51020.4
7,10 350 40 50 416667 119047.7 59523.9 51020.4
2,5 350 80 50 833333 238095.1 119047.6 102040.8
5,8 350 80 50 833333 238095.1 119047.6 102040.8
8,11 350 80 50 833333 238095.1 119047.6 102040.8
3,6 350 40 50 416667 119047.7 59523.9 51020.4
6,9 350 40 50 416667 119047.7 59523.9 51020.4
9,12 350 40 50 416667 119047.7 59523.9 51020.4
4,5 450 30 60 540000 120000.0 60000.0 40000.0
5,6 500 30 60 540000 108000.0 54000.0 32400.0
7,8 450 30 60 540000 120000.0 60000.0 40000.0
8,9 500 30 60 540000 108000.0 54000.0 32400.0
10,11 450 30 60 540000 120000.0 60000.0 40000.0
11,12 500 30 60 540000 108000.0 54000.0 32400.0
=
METODO DEGLI SPOSTAMENTICalcolo dei Momenti flettenti e del Taglio nelle aste
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Il calcolo dei momenti può essere condotto sulla base degli spostamenti:
j,ij,ij,ijj,iij,ij,i UVWM
Per ogni asta è possibile valutare il valore del taglio alle estremità:
j,i
i,jj,ij,ij,ij,i L
MM
2
LpT
Lij
MjiMij
qji
j,i
i,jj,ij,ij,ii,j L
MM
2
LpT
METODO DEGLI SPOSTAMENTICalcolo degli sforzi di Normali nelle aste
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T10,11
T10,7
F3
F2
F1
T11,12
T11,10T12,11
T7,10
T11,8
T8,11
T12,9
T9,12
T7,4
T4,7
T8,5
T5,8
T9,6
T6,9
T4,1 T5,2 T6,3
N10,11
N7,10
N10,11 N11,12
N11,8
N11,12
N12,9
10,7311,10
11,1010,7
TFN
TN
8,1111,1012,11
10,1112,118,11
TNN
TTN
TN 12,912,11
N7,10
N7,4
N7,8
T7,8 T8,7T8,9 T9,8
T4,5 T5,4T5,6 T6,5
N8,11 N9,12
N7,8
N8,9
N8,5
N8,9
N9,6