Pinnat avaruudessa

Pro gradu -tutkielmaJukka Pihlajaniemi

matemaattisten tieteiden laitosOulun yliopisto

2013

Sisältö1 Johdanto 2

2 Esitiedot 32.1 Derivaatta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Käyrät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Muodot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Kuvaukset Rn → Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Käänteiskuvauslause ja implisiittisen funktion lause . . . . . . 9

3 Pinnat 163.1 Pinnan määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Peitefunktioiden ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Derivoituvat funktiot ja tangenttivektorit . . . . . . . . . . . . 203.4 Muodot pinnoilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Lisää pintojen funktioista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Muotojen integroinnista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7 Pintojen topologiaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.8 Monistot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1

1 JohdantoTämä tutkielma käsittelee kolmiulotteisen reaaliavaruuden kappaleita, joi-ta kutsutaan pinnoiksi. Pinnan käsitteellä tarkoitetaan kaksiulotteista sileääkappaletta, jonka jokainen osa-alue voidaan kuvata joltakin tasolta jatkuval-la injektiolla. Pinta siis voidaan kuvata aina siten että funktio säilyttää kaksimuuttujan arvoa samoina ja määrää kolmannen näiden kahden perusteella.Tällaista funktiota, joka määrää pinnan, kutsutaan peitefunktioksi. Käytän-nössä kaikki pintoihin liittyvä operointi tapahtuu peitefunktioiden kautta.Peitefunktion toinen muuttuja kiinnitetään vakioksi, jolloin sen kuvaus tuot-taa puhtaan käyrän.Pintojen operointi perustuu ajatukseen, että kyseessä on vain yksi kolmiu-lotteisen euklidisen avaruuden aliavaruus, jossa differentiaalilaskenta ja muutlaskutoimitukset toteutuvat samoin kuin yleisessäkin tapauksessa. Jos halu-taan tutkia pelkästään pinnalla olevan tietyn funktion käyttäytymistä, luo-daan yhdistetty funktio, jonka sisäfunktiona on pinnan peitefunktio ja ulko-funktiona varsinainen tutkittava funktio, jolloin määrittelyjoukkona on vainjokin yksinkertainen taso.Funktio voidaan myös asettaa kahden erillisen pinnan välille siten että ensim-mäinen pinta toimii lähtöjoukkona ja toinen maalijoukkona. Tämä tapahtuuluomalla yhdistelmäfunktio ensimmäisen pinnan peitefunktion palauttavastakäänteisfunktiosta, peitefunktioiden määrittelyjoukkoina olevien tasojen vä-lisestä funktiosta sekä maalijoukkona olevan tason peitefunktiosta. Kolmeneri derivoituvan funktion yhdistelmäfunktio toteuttaa kaikki yleisimmät las-kutoimitukset.Samoin kuin derivoinnin yhteydessä, myös integroinnissa pinnalla määritel-ty funktio on palautettava peitefunktion avulla takaisin tasolle ja operoita-va siellä. Integrointi suoritetaan käyrää pitkin yhden muuttujan tapauksessaniinkuin yleisessäkin tapauksessa ja usean muuttujan integrointi suoritetaanmäärittelyalueena toimivan suorakaiteen reunoja pitkin suuntaan tai toiseen.Tutkielman loppupuolella luodaan vielä silmäys pintojen topologisiin omi-naisuuksiin, joista esille nousee kolme ominaisuutta, joiden avulla voidaantarkastella pinnan yhtenäisyyttä, sen pinta-alan äärellisyyttä ja sitä, onkokyseessä yksi vaiko kaksipuolinen kappale.Aivan lopuksi tutkaillaan vielä monistoja, jotka ovat kolmiulotteisen pinnanyleistyksiä useampiulotteiselle avaruudelle. Tässä tapauksessa kolmiulotteis-ten pintojen tietyt itsestäänselvät ominaisuudet ovat mahdottomia osoittaa,mikä mutkistaa tutkimista.

2

2 EsitiedotTämän luvun tarkoitus on esitellä tutkielman varsinaisen aiheen ymmärtä-miseen tarvittavat matemaattiset käsitteet ja muutama peruslause. Jatkossaderivoiminen ja käyrät tulevat olemaan erittäin merkittävässä osassa, jotenniille annetaan jo tässäkin vaiheessa huomattava osa. Oletetaan että lukijatuntee aiheeseen liittyvän matematiikan perusteet ja perusasioita lineaarial-gebrasta.Tässä tutkielmassa määräämätöntä muuttujaa kuvaavat yleensä merkit x jay, reaaliavaruuden R3 kiinteää pistettä p, pisteessä p olevaa tangenttivek-toriavaruuden Tp(R3) alkiota v, reaaliarvoista funktiota h (h : Rn → R),usean muuttujan funktiota H (H : Rn → Rm), käyrää α (α : R → Rm),peitefunktiota f tai g ja pintaa M .

2.1 Derivaatta

Määritelmä 2.1.1. Reaaliarvoisella funktiolla h : R → R on derivaattah′ ∈ R pisteessä p, mikäli

limx→p

|h(x)− h(p)− h′(x− p)||x− p|

= 0.

Tämä voidaan ilmaista myös muodossa |h(x) − h(p) − h′(x − p)| =|x − p|u(x), jossa virhettä kuvaava termi u(x) → 0 kun x → p. Mo-niulotteiselle funktiolle H : Rn → Rm vastaava merkintä on ‖H(x) −H(p)−H ′p(x− p)‖ = ‖x− p‖u(x), jossa ‖u(x)‖ → 0, kun x→ p. TällöinH ′p on muotoa m× n oleva matriisi.

Määritelmä 2.1.2. Reaaliarvoinen funktio h avaruudessa R3 onjatkuvasti derivoituva, mikäli sen kaikki osittaisderivaatat ovat olemas-sa ja kaikkialla jatkuvia.

Määritelmä 2.1.3. Olkoon reaaliarvoinen funktio h määriteltynä avaruu-dessa R3 ja v pisteessä p ∈ R3 oleva vektori. Vakio

vp[h] =d

dt(h(p+ tv))|t=0

on funktion h suunnattu derivaatta suuntaan v pisteessä p.

Seuraava lemma näyttää, miten suunnattuja derivaattoja käytännössä ope-roidaan.

3

Lemma 2.1.4. Jos vp = (v1, v2, v3)p on tangenttivektori avaruudessa R3,niin

vp[h] =3∑i=1

vi∂h

∂xi(p).

Todistus Olkoon p = (p1, p2, p3), jolloin

p+ tv = (p1 + tv1, p2 + tv2, p3 + tv3).

Hyödynnetään ketjusääntöä, kun halutaan saada derivaatta funktiosta

h(p+ tv) = h(p1 + tv1, p2 + tv2, p3 + tv3).

Koska∂

∂t(pi + tvi) = vi,

niin saadaan

vp[h] =d

dt(h(p+ tv))|t=0 =

3∑i=1

∂h

∂xi(p)vi.

mot

2.2 Käyrät

Määritelmä 2.2.1. Käyrä on avoimella välillä I ⊂ Rmääritelty derivoituvafunktio α : I → R3.

Visuaalisesti käyrä on siis kolmiulotteisessa avaruudessa luikerteleva viiva.Käyrät ovat pintojen kannalta oleellisia siinä mielessä, että käyrä voi edetäpelkästään pinnassakin.

Määritelmä 2.2.2. Olkoon α : I → R3 käyrä avaruudessa R3 siten ettäα = (α1, α2, α3). Kaikille t ∈ I käyrän α nopeusvektori muuttujan tsuhteen on tangenttivektori

α′(t) = (dα1

dt(t),

dα2

dt(t),

dα3

dt(t))α(t)

pisteessä α(t).

Koska käyrän arvo eri muuttujan arvoilla ilmaisee sijaintia kolmiulotteises-sa avaruudessa, nopeusvektori nimensä mukaisesti kuvaa sijainnin hetkellis-tä muutosta eli nopeutta. Kun käyrä tunnetaan, voidaan konstruoida toisiakäyriä, jotka kulkevat täsmälleen samaa reittiä, mutta eri nopeuksilla.

4

Määritelmä 2.2.3. Olkoot I ja J avoimia välejä avaruudessa R. Olkoonα : I → R3 käyrä ja h : J → I kasvava bijektio. Yhdistelmäfunktio

β = α(h) : J → R3

on käyrän α uudelleenparametrisointi funktiolla h.

Seuraava lemma liittää uudelleenparametrisoinnin ja derivoinnin.

Lemma 2.2.4. Mikäli β on käyrän α uudelleenparametrisointi funktiolla h,niin

β′(s) = (dh/ds)(s)α′(h(s)).

Todistus Jos α = (α1, α2, α3), niin

β(s) = α(h(s)) = (α1(h(s)), α2(h(s)), α3(h(s))).

Derivoinnin sääntöjen mukaan

αi(h)′(s) = α′i(h(s)) · h′(s).

Nopeusvektorin määritelmän mukaan

β′(s) = α(h)′(s)

= (α′1(h(s)) · h′(s), α′2(h(s)) · h′(s), α′3(h(s)) · h′(s)) = h′(s) · α′(h(s)).

mot

Koska nopeutta siis kuvataan vektorilla, funktiosta voidaan ottaa suunnattuderivaatta nopeusvektorin suuntaan.

Lemma 2.2.5. Olkoon α : I → R3 käyrä ja h : R3 → R derivoituva funktio.Nyt

α′(t)[h] =d(h(α))

dt(t).

Todistus Koskaα′(t) = (

dα1

dt(t),

dα2

dt(t),

dα3

dt(t))α(t),

voidaan lemmasta 2.1.4. päätellä

α′(t)[h] =∑ ∂h

∂xi(α(t))

dαidt

(t).

Yhdistelmäfunktio h ◦α voidaan kirjoittaa muodossa h(α1, α2, α3), jol-loin ketjusäännön perusteella saadaan sama derivaatan arvo funktiolleh ◦ α. mot

5

2.3 Muodot

Määritelmä 2.3.1. 1-muoto φ avaruudessa R3 on tangenttivektoreita ope-roiva reaaliarvoinen lineaarinen funktio eli siis

φ(av + bw) = aφ(v) + bφ(w)

kaikilla vakioilla a, b ∈ R ja vektoreilla v, w avaruudessa R3.

Seuraava määritelmä avartanee 1-muodon merkitystä.

Määritelmä 2.3.2. Jos h on derivoituva reaaliarvoinen funktio avaruudessaR3, niin funktion h derivaatta dh on 1-muoto

dh(vp) = vp[h]

pätien kaikilla tangenttivektoreilla vp.

Seuraava esimerkki selventänee määritelmää.

Esimerkki 2.3.3. (1) Derivaatat dx1, dx2 ja dx3 ovat avaruuden R3 luonnol-lisen kannan koordinaattifunktiot. Lemmaa 2.1.4. käyttämällä saadaan

dxi(vp) = vp[xi] =∑j

vi∂xi∂xj

(p) =∑j

viδij = vi,

missä δij on Kroneckerin deltafunktio (0 jos i 6= j, 1 jos i = j). Tätenderivaatan dxi arvo mielivaltaiselle tangenttivektorille vp on vektorinkoordinaatti vi, eikä siis riipu lainkaan pisteestä p.(2) Olkoon 1-muoto ψ = h1dx1 +h2dx2 +h3dx3. Koska dxi on 1-muoto,määritelmän mukaisesti ψ on myös 1-muoto kaikilla funktioilla h1, h2

ja h3. Funktion ψ arvo mielivaltaisella tangenttivektorilla vp on

ψ(vp) = (∑

hidxi)(vp) =∑

hi(p)dxi(v) =∑

hi(p)vi.

Lemma 2.3.3. Jos φ on 1-muoto avaruudessa R3 ja U = (U1, U2, U3) onkolmiulotteisen reaaliavaruuden kanta, niin φ =

∑hidxi, missä hi =

φ(Ui). Nämä funktiot h1, h2, h3 ovat nimeltään funktion φkoordinaattifunktiot.

Todistus Määritelmän mukaan 1-muoto on määritelty tangenttivektoreille.Täten φ ja

∑hidxi ovat yhtäpitävät jos ja vain jos niillä on sama arvo

6

kaikilla tangenttivektoreilla vp =∑viUi(p). Edellistä esimerkkiä apuna

käyttäen nähdään että

(∑

hidxi)(vp) =∑

hi(p)dxi(v) =∑

hi(p)vi.

Toisaalta taas

φ(vp) = φ(∑

viUi(p)) =∑

viφ(Ui(p)) =∑

vihi(p)

koska hi = φ(Ui). Täten φ ja∑hidxi ovat saman arvoisia kaikilla

tangenttivektoreilla. mot

2.4 Kuvaukset Rn → Rm

Keskitetään ajatukset vielä lopuksi kuvauksiin, jotka ovat erityisesti R2 →R2, R2 → R3 tai R3 → R3. Yksinkertaisimpiin kuvauksiin nähden nämäpoikkeavat hieman derivoinnin suhteen.

Määritelmä 2.4.1. Olkoon derivoituva kuvaus H : Rn → Rm. Jos v on ava-ruuden Rn tangenttivektori pisteessä p, olkoon H ′v hetkellinen nopeuskäyrälle t → H(p + tv) avaruudessa Rm ajanhetkellä t = 0. FunktioH ′ : Tp(Rn)→ TH(p)(Rm) on nimeltään funktion Hderivaatta.

Lause 2.4.2. Olkoon H = (h1, h2, ..., hm), H : Rn → Rm kuvaus. Mikäli von tangenttivektori avaruuden Rn pisteessä p, niin

H ′p(v) = (v[h1], ..., v[hm])

pisteessä H(p). Täten H ′v määräytyy funktion H koordinaattifunktioi-den derivaattojen v[hi] mukaan suuntaan v.

Todistus Hienoisen konkreettisuuden vuoksi todistetaan tämä tapauksellem = 3. Olkoon β määritelmän mukainen käyrä, jolloin

β(t) = H(p+ tv) = (h1(p+ tv), h2(p+ tv), h3(p+ tv)).

Määritelmän nojalla β′(0) = H ′v. Määritelmän 2.2.2. mukaan nopeus-vektorin β′(0) saamiseksi täytyy muodostaa derivaatat koordinaatti-funktioille hi(p+tv) pisteessä t = 0 käyrälle β. Mutta ( d

dt)(hi(p+tv))|t=0

on täsmälleen v[hi]. Täten

H ′v = (v[h1], v[h2], v[h3])β(0).

Mutta käyrän β määritelmän nojalla

β(0) = H(p).

mot

7

Nähtiin siis, että jokainen tangenttivektori v pisteessä p avaruudessa Rn ku-vautuu funktiolla H ′ avaruuden Rm tangenttivektoriksi H ′v pisteessä H(p).Täten voidaan muodostaa funktio derivaattamatriisista jokaisessa pisteessäp avaruudessa Rn

H ′p : Tp(Rn)→ TH(p)(Rm),

jota voidaan kutsua derivaattamatriisiksi pisteessä p. Tämä on selvä analogiaperinteiselle derivaatalle h′ : R → R. Seuraava seurauslause valaisee lisääfunktiota H ′.

Seuraus 2.4.3. Olkoon funktio H : Rn → Rm. Nyt jokaisessa pisteessäp ∈ Rn derivaattamatriisi H ′p : Tp(Rn) → TH(p)(Rm) on lineaarinenkuvaus.

Todistus Jos v ja w ovat tangenttivektoreita pisteessä p, olisi siis oltava

H ′av+bw = aH ′v + bH ′w.

Tämä johtuu kuitenkin suoraan edellisestä lauseesta, kun muistetaanyksinkertaisen derivaatan lineaariset ominaisuudet. mot

Koska H ′p : Tp(Rn)→ TH(p)(Rm) on lineaarinen muunnos, on suotavaa muo-dostaa sen matriisi luonnollisille kannoille U1(p), ..., Un(p) avaruudessa Tp(Rn)ja U1(H(p)), ..., Um(H(p)) avaruudessa TH(p)(Rm). Tämä matriisi on nimel-tään funktion H Jaakobin matriisi pisteessä p.

Seuraus 2.4.4. Jos H = (h1, ..., hm) on kuvaus avaruudelta Rn avaruudelleRm, niin

H ′Uj(p) =m∑i=1

∂hi∂xj

(p)Ui(H(p)), (1 ≤ j ≤ n)

Täten funktion H Jaakobin matriisi pisteessä p on((∂hi/∂xj)(p))1≤i≤m,1≤j≤n.

Todistus Asetetaan edeltävään seurauslauseeseen v = Uj(p). Jos asetetaanyksikkövektori Uj(p) muotoon hi, saadaan (∂hi/∂xj)(p). Tällöin

H ′Uj(p) = (∂h1

∂xj(p), ...,

∂hm∂xj

(p)) =m∑i=1

∂hi∂xj

(p)Ui(H(p)).

mot

Otetaan vielä yksi määritelmä, jota hyödynnetään vastaisuudessa.

8

Määritelmä 2.4.5. Kuvaus H : Rn → Rm on säännöllinen mikäli deri-vaattamatriisi H ′p on injektiivinen jokaisessa pisteessä p ∈ Rn.

Lineaarialgebraan linkitettynä on yhtäpitävää että säännölliselle kuvaukselleH derivaattamatriisi H ′vp = 0 jos ja vain jos vp = 0 ja että kyseisen funktionJaakobin matriisin aste on n eli siis sama kuin lähtöjoukon ulottuvuuksienmäärä.

2.5 Käänteiskuvauslause ja implisiittisen funktion lause

Tässä esitietojen viimeisessä kappaleessa esitellään kaksi differentiaalilasken-nan suurta peruslausetta todistuksineen. Ne kuitenkin vaativat perustakseenmuutaman pienemmän lauseen, joiden sisällöllinen merkitys on tämän tut-kielman kannalta vähemmän merkittävä.

Lemma 2.5.1. Olkoon H : D → Rm, D ⊂ Rn avoimessa joukossa mää-ritelty derivoituva funktio. Kun D sisältää pisteet a ja b sekä nämäyhdistävän käyräsegmentin S ja x0 ∈ D, niin

‖H(b)−H(a)−H ′x0(b− a)‖ ≤ ‖b− a‖ sup

x∈S{‖H ′x −H ′x0

‖}.

Todistus Määritellään kuvaus V : D → Rm

V (x) = H(x)−H ′x0· x,

kun x ∈ D. Koska derivaatta H ′x0on lineaarinen, niin vastaavasti

V ′x = H ′x − H ′x0, kun x ∈ D. Kun sovelletaan tähän tapaukseen vä-

liarvolausetta, tiedetään olevan olemassa sellaisen pisteen c ∈ S että

‖H(b)−H(a)−H ′x0(b− a)‖ = ‖V (b)− V (a)‖

≤ ‖V ′c (b− a)‖ = ‖(H ′c −H ′x0)(b− a)‖

≤ ‖b− a‖ supx∈S{‖H ′x −H ′x0

‖}.

mot

Likiarvolemma Olkoon H : D → Rm, D ⊂ Rn avoimessa joukossa mää-ritelty jatkuvasti derivoituva funktio. Kun x0 ∈ D ja ε > 0, niin onolemassa sellainen δε > 0 että jos ‖xk − x0‖ ≤ δε, k = 1, 2, niin xk ∈ Dja

‖H(x1)−H(x2)−H ′x0(x1 − x2)‖ ≤ ε‖x1 − x2‖.

9

Todistus Koska derivaatta H ′x on jatkuva kuvaus, niin kaikille ε > 0 onolemassa sellainen δε > 0 että jos ‖x − x0‖ < δε, niin x ∈ D ja‖H ′x − H ′x0

‖ < ε. Nyt x1, x2 toteuttavat epäyhtälön ‖xk − x0‖ ≤ δε,kun käyräsegmentti, jonka päätepisteinä nämä ovat, sijaitsee suljetussapallossa, jonka keskipisteenä on x0 ja säteenä δε ja täten se on avoimenjoukon D sisällä. Nyt kun sovelletaan edellistä lemmaa, niin saadaanhaluttu tulos. mot

Injektiivisen kuvauksen lause Olkoon H : D → Rm, D ⊂ Rn avoimes-sa joukossa määritelty jatkuvasti derivoituva funktio ja oletetaan ettäH ′p on injektio. Tällöin on olemassa sellainen δ > 0 että funktion Hrajoittuma alueelle B(p, δ) = {x ∈ Rn|‖x − p‖ < δ} on injektio. Li-säksi rajoittuman H|B(p,δ) käänteiskuvaus on jatkuva funktio joukoltaH(B(p, δ)) ⊂ Rm joukolle B(p, δ) ⊂ Rn.

Todistus Koska H ′c on injektio ja lineaarinen kuvaus, niin sen normilla onmäärittelyjoukossaan maksimi ja minimi (tai ainakin infimum ja supre-mum tunnetaan). Tällöin on olemassa sellainen r > 0 että

r‖u‖ ≤ ‖H ′c(u)‖

kaikilla u ∈ Rn. Jos nyt sovelletaan likiarvolemmaa asettamalla ε = 12r

että saataisiin sellainen δ > 0 että ‖xk − c‖ ≤ δ, k = 1, 2, ... niin

‖H(x1)−H(x2)−H ′c(x1 − x2)‖ ≤ 1

2r‖x1 − x2‖.

Jos sovelletaan kolmioepäyhtälöä lausekkeen vasempaan puoleen saa-daan

‖H ′c(x1 − x2)‖ − ‖H(x1)−H(x2)‖ ≤ 1

2r‖x1 − x2‖.

Jos tähän sovelletaan aiemmin saatua lauseketta r‖u‖ ≤ ‖H ′c(u)‖ ar-volla u = x1 − x2, saadaan

1

2r‖x1 − x2‖ ≤ ‖H(x1)−H(x2)‖

sillä xk ∈ B(p, δ). Tämä todistaa, että rajoittuma H|B(p,δ) on injektio.Tällä rajoittumalla on siis käänteiskuvaus, jolle annetaan merkintä V .Jos yk ∈ H(B(p, δ)), tällöin alueella B(p, δ) on sellaiset yksiselitteisetpisteet xk = V (yk) että yk = H(xk). Yllä olevasta seuraa

‖V (y1)− V (y2)‖ ≤ (2/r)‖y1 − y2‖,

josta seuraa että V = (H|B(p,δ))−1 on jatkuva kuvaus joukoltaH(B(p, δ))

joukolle Rn. mot

10

Surjektiivisen kuvauksen lause Olkoon H : D → Rm, D ⊂ Rn avoimes-sa joukossa määritelty derivoituva funktio. Oletetaan että jollain p ∈ Dlineaarinen kuvaus H ′p on surjektio. Tällöin on olemassa luvut α, b > 0siten että jos ‖y−H(p)‖ ≤ α/2b, niin näitä kohti on olemassa sellainenx ∈ D että ‖x− p‖ ≤ α ja H(x) = y.

Todistus Koska H ′p on surjektio, avaruuden Rm luonnollisen kannan vekto-reilla

e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., em = (0, 0, ..., 1)

on derivaattafunktion alkukuva avaruudessa Rn. Olkoot ne vaikkapau1, u2, ..., um. Olkoon nyt lineaarinen kuvaus V : Rm → Rn muodoltaan

V (m∑i=1

aie1) =m∑i=1

aiui.

Nyt siis yhdistelmäfunktio H ′ ◦ V on identiteettikuvaus avaruudessaRm eli H ′ ◦ V (y) = y kaikilla y ∈ Rm. Jos

b = {m∑i=1

‖ui‖2}1/2,

niin kolmioepäyhtälöä ja Schwarzin epäyhtälöä soveltamalla, mikäli y =∑mi=1 aiei, saadaan

‖Vy‖ ≤m∑i=1

|ai|‖ui‖

≤ {m∑i=1

|ai|2}1/2{m∑i=1

‖ui‖2}1/2

= b‖y‖.

Likiarvolemman nojalla on olemassa sellainen α > 0 että ‖xk − p‖ ≤α, k = 1, 2, ... sekä xk ∈ D ja

‖H(x1)−H(x2)−H ′c(x1 − x2)‖ ≤ 1

2b‖x1 − x2‖.

Olkoon nyt Bα = {x ∈ Rn|‖x − p‖ ≤ α} ja oletetaan että y ∈ Rm

toteuttaa yhtälön ‖y − H(p)‖ ≤ α/2b. Nyt siis on b > 0. Osoitetaannyt että on olemassa edellä vaaditun kaltainen x ∈ Bα. Olkoon x0 = p

11

ja x1 = x0+V (y−H(p)) sellainen että ‖x1−x0‖ ≤ m‖y−H(p)‖ ≤ α/2,jolloin

‖x1 − x0‖ ≤α

2

ja

‖x1 − p‖ ≤ (1− 1

2)α.

Oletetaan että p = x0, x1, ..., xj on valittu induktiivisesti avaruudestaRn tavalla

‖xk − xk−1‖ ≤α

2k, ‖xk − p‖ ≤ (1− 1

2k)α,

kun k = 1, 2, ..., j. Nyt määritellään xj+1(j ≥ 1)

xj+1 = xj − V (H(xj)−H(xj−1)−H ′xj−x−1).

Aikaisemmasta seuraa, että

‖xj+1 − xj‖ ≤ m‖H(xj)−H(xj−1)−H ′xj−xj−1‖

≤ 1

2‖xj − xj−1‖,

jolloin seuraa että ‖xj+1 − xj‖ ≤ 12(α/2j) = α/2j+1 ja

‖xj+1 − p‖ ≤ ‖xj+1 − xj‖+ ‖xj − p‖

≤ (α/2j+1) + (1− 1/2j)α

= (1− 1/2j+1)α.

Nyt voidaan muodostaa lukujono (xj) joukossa Bα uudella indeksilläk = j + 1. Jos q ≥ j saadaan

‖xj − p‖ ≤ ‖xj − xj+1‖+ ‖xj+1 − xj+2‖+ ...+ ‖xq−1 − xq‖

≤ α

2j+1+

α

2j+2+ ...+

α

2q≤ α

2j.

Nyt (xj) on Cauchyn jono joukossa Rn ja suppenee siis tiettyyn alkioonx. Koska ‖xj − p‖ ≤ (1− 1/2j)α, niin vastaavasti ‖x− p‖ ≤ α niin ettäx ∈ Bα.Koska x1 − x0 = V (y −H(p)), vastaavasti

H ′x1−x0= (H ′ ◦ V )y−H(p) = y −H(x0).

12

Lisäksi saadaan

H ′xj+1−xj = −(H ′ ◦ V )H(xj)−H(xj−1)−H′xj−xj−1

= −{H(xj)−H(xj−1)−H ′xj−xj−1}

= H ′xj−xj−1− [H(xj)−H(xj−1)].

Induktiolla saadaan

H ′xj+1−xj = y −H(xj),

josta seuraa että H(x) = limH(xj) = y. Täten jokainen piste y, jollatoteutuu ‖y −H(p)‖ ≤ α/2b, on pisteen x ∈ D kuvaus funktiolla H ja‖x− p‖ ≤ α. mot

Nyt voidaan edetä tämän kappaleen varsinaiseen pääasiaan. Ensiksi esitelläänkäänteiskuvauslause.

Käänteiskuvauslause Olkoon H : D → Rn, D ⊂ Rn avoimessa joukossamääritelty jatkuvasti derivoituva funktio. Mikäli p ∈ D on sellainenettä H ′p on bijektio, tällöin on olemassa pisteen p avoin ympäristö Usiten että V = H(U) on pisteen H(p) avoin ympäristö ja funktion Hrajoittuma alueeseen U on bijektio jatkuvasti derivoituvalla käänteis-kuvauksella K : V → U .

Todistus Bijektiivisyyden nojalla funktion H ′p normi saavuttaa suurimmanja pienimmän arvonsa (tai ainakin infimum ja supremum tunnetaan).Tällöin on olemassa sellainen r > 0 että

2r‖z‖ ≤ ‖H ′p(z)‖

kun z ∈ Rn. Koska H on derivoituva, on olemassa pisteen p ympäristö,jossa H ′x on kääntyvä ja toteutuu

r‖z‖ ≤ ‖H ′x(z)‖

kun z ∈ Rn. Kohdistetaan mielenkiinto nyt pisteen p ympäristöön U ,jossa H on injektiivinen ja joka sisältyy palloon, jonka keskipisteenä onp ja säteenä a > 0 sellaisena kuin se surjektiivisen kuvauksen lauseessamääriteltiin. Tällöin V = H(U) on pisteen H(p) ympäristö ja edellisis-tä lauseista voidaan päätellä rajoittumalla H|U olevan jatkuvan kään-teiskuvauksen K : V → Rn.Pitää osoittaa enää että K on derivoituva mielivaltaisessa pisteessä

13

y1 ∈ V . Olkoon x1 = K(y1) ∈ U . Koska H on derivoituva pisteessä x1,niin vastaavasti

H(x)−H(x1)−H ′x1(x− x1) = ‖x− x1‖u(x),

missä u(x) → 0, kun x → x1. Olkoon M1 käänteiskuvaus lineaarisellefunktiolle H ′x1

, jolloin

x− x1 = M1(H ′x1(x− x1)) = M1(H(x)−H(x1)− ‖x− x1‖u(x)).

Jos x ∈ U , niin x = K(y) tietyllä y = H(x) ∈ V . Lisäksi y1 = H(x1),joten voidaan kirjoittaa toinen muoto

K(y)−K(y1)−M1(y − y1) = ‖x− x1‖M1(u(x)).

Koska H ′x1on injektio, niin pätee

‖y − y1‖ = ‖H(x)−H(x1)‖ ≥ r

2‖x− x1‖

oletuksella että y on riittävän lähellä pistettä y1. Lisäksi aiempana esi-tetyn nojalla ‖M1(u)‖ ≤ (1/r)‖u‖ kaikilla u ∈ Rn. Täten

‖K(y)−K(y1)−M1(y − y1)‖ ≤ (2/r2)‖u(x)‖‖y − y1‖.

Nyt kun y → y1, niin x = K(y) → K(y1) = x1 ja siten ‖u(x)‖ → 0.Voidaan siis tehdä johtopäätös että K ′y1

on olemassa ja pätee M1 =(H ′x1

)−1. mot

Implisiittisen funktion lause OlkoonD ⊂ Rn×Rm avoin joukko ja (a, b) ∈D. Oletetaan että H : D → Rm on derivoituva, H(a, b) = 0 ja että li-neaarinen kuvaus H ′

(a,b)(0, v), v ∈ Rm on bijektio H ′ : Rm → Rm, niin

(a) on olemassa pisteen a avoin ympäristöW ja tietty derivoituva funk-tio φ : W → Rm siten että b = φ(a) ja H(x, φ(x)) = 0 kaikilla x ∈ W .(b) on olemassa pisteen (a, b) avoin ympäristö U ⊂ Rn × Rm, niinettä pari (x, y) ∈ U toteuttaa yhtälön H(x, y) = 0 jos ja vain josy = φ(x), x ∈ W .

Todistus Olkoot a = 0 ja b = 0. Olkoon K : D → Rn × Rm määritelty

K(x, y) = (x, H(x, y)), (x, y) ∈ D.

K on derivoituva funktio, koska sen komponentit ovat derivoituvia.Täten

K ′(x,y)(u, v) = (u, H ′(x,y)(u, v)),

14

kun (x, y) ∈ D ja (u, v) ∈ Rn × Rm. Väitetään nyt että K ′(0,0) onkääntyvä alueella Rn × Rm. Jos ilmaistaan

H ′(0,0)(u, v) = H ′(0,0)(u, 0) +H ′(0,0)(0, v) = L1(u) + L2(v),

niin lausekkeen K ′(0,0) käänteiskuvaus on lineaarinen kuvaus J joukossaRn × Rm muodossa

J(x, z) = (x, L2−1(z − L1(x))).

Käänteiskuvauslauseesta seuraa, että on olemassa pisteen (0, 0) ∈ Rn×Rm avoin ympäristö U siten että V = K(U) on saman pisteen avoinympäristö ja rajoittuma K|U on bijektio joukolle V jatkuvalla derivoi-tuvalla käänteiskuvauksella ψ : V → U , jolle ψ(0, 0) = (0, 0). Nyt ψsaa muodon

ψ(x, z) = (φ1(x, z), φ2(x, z)),

kun (x, z) ∈ V sekä φ1 : V → Rn ja φ2 : V → Rm. Koska

(x, z) = K ◦ ψ(x, z) = K(φ1(x, z), φ2(x, z))

= (φ1(x, z), H(φ1(x, z), φ2(x, z))),

saadaan φ1(x, z) = x kaikilla (x, z) ∈ V . Nyt ψ saa yksinkertaisemmanmuodon

ψ(x, z) = (x, φ2(x, z)),

kaikilla (x, z) ∈ V . Nyt josR : Rn×Rm → Rm määritelläänR(x, z) = z,niin R on lineaarinen, jatkuva ja φ2 = R ◦ ψ. Täten φ2 on derivoituvaja saadaan

z = H(x, φ2(x, z))

kaikilla (x, z) ∈ V . Olkoon nyt W = {x ∈ Rn|(x, 0) ∈ V } pisteen0 ∈ Rn avoin ympäristö ja määritellään φ(x) = φ2(x, 0), kun x ∈ W .Selvästi φ(u, 0) = 0 ja äsken muodostettu yhtälö saa muodon

H(x, φ(x)) = 0

kaikilla x ∈ W . Sitten φ′x(u) = φ2(x, 0) · (u, 0) kun x ∈ W, u ∈ Rn,jolloin voidaan todeta, että funktio φ on derivoituva. Tämä todistaakohdan (a).Että kohta (b) saataisiin todistettua loppuun, oletetaan että (x, y) ∈ Utoteuttaa yhtälön H(x, y) = 0. Nyt K(x, y) = (x, H(x, y)) = (x, 0) ∈V , josta seuraa että x ∈ W . Vastaavasti (x, y) = ψ(x, 0) = (x, φ2(x, 0)) =(x, φ(x)), joten y = φ(x). mot

15

3 Pinnat

3.1 Pinnan määritelmä

Tässä kappaleessa aletaan käsitellä tämän tutkielman varsinaista aihetta. Ai-van ensimmäiseksi on määriteltävä pari keskeistä käsitettä pintojen kannalta.

Määritelmä 3.1.1. Injektiivinen ja säännöllinen kuvaus joukolta D ⊂ R2

joukkoon R3 on peitefunktio f : D → R3.

Tämän määritelmän on tarkoitus osoittaa, että puhuttaessa pinnoista tar-koitetaan tasaisia kaksiulotteisia kappaleita kolmiulotteisessa avaruudessa.Injektiivisyys takaa, ettei pinta vahingossakaan leikkaa itseään ja säännölli-syys takaa pinnan tasaisuuden.Pinnan ideaa tajutakseen täytyy ymmärtää että pinnan jokaista riittävänpientä aluetta kohden täytyy löytyä alkukuva tasosta R2. Eli siis jokainenpinnan riittävän pieni alue voidaan palauttaa jollekin tasolle.

Määritelmä 3.1.2. Pinta on avaruuden R3 osajoukko M ⊂ R3 siten ettäjokaiselle pisteelle p ∈ M löytyy yksiselitteinen peite X ⊂ R2, jonkakuva sisältää pisteen p jonkin ympäristön pinnassa M .

Otetaan yksinkertaisena esimerkkinä pinta, joka kuvautuu peitefunktiollaf(x, y) = (x, y, x). Visuaalisesti tämä on taso, joka sisältää y-akselin ja suo-ran x = z. Että tämä taso voitaisiin todeta pinnaksi, täytyisi kuvaus todetainjektiiviseksi ja säännölliseksi. Injektiivisyys on helppo todeta, kun pudote-taan kuvatun pinnan jokainen piste kohtisuoraan xy-tasoon. Käänteiskuvauställe funktiolle on g(x, y, z) = (x, y, 0). Säännöllisyyden toteamiseksi täytyymuodostaa peitefunktion Jaakobin matriisi seuraavasti.

df1

dxdf1

dydf2

dxdf2

dydf3

dxdf3

dy

=

1 00 11 0

Nähdään heti että rivit ovat lineaarisesti riippumattomia ja matriisin aste on2, joten tämä funktio on säännöllinen eli injektiivinen ja se on siis peitefunk-tio.Aina kun peitefunktio on muotoa f(x, y) = (x, y, h(x, y)) eli toisin sanoenjos kuvauksen kolmas komponentti ilmaistaan suoraan kahden ensimmäisenavulla, funktiota kutsutaan Mongen peitefunktioksi. Sopivan peitefunktionkuva M = f(D) toteuttaa aina määritelmän 3.1.2. Tällöin pintaa M kutsu-taan yksinkertaiseksi pinnaksi.Seuraavaksi esitellään lause, joka osoittaa milloin implisiittisesti määritellyt

16

funktiot avaruudessa R3 toteuttavat pinnan, kun c on vakio siten että funk-tion f määrittelyjoukkoon kuuluvat kaikki ne pisteet p joilla f(p) = c.

Lause 3.1.3. Olkoon f reaaliarvoinen funktio avaruudessa R3 ja c vakio.Avaruuden R3 osajoukko M = {(x, y, z) ∈ R3|f(x, y, z) = c} on pinta,jos derivaatta df ei ole nolla missään pisteessä joukossa M . (Tässä ole-tetaan luonnollisesti vain reaalisia tapauksia, ei esimerkiksi että neliöönkorotettu luku voisi olla negatiivinen.)

Todistus Mikäli p on piste kuvajoukossaM , on löydettävä sopiva peitefunk-tio, joka kattaa sen lähiympäristön joukossa M . Jatkuvasti derivoitu-valle funktiolle f : R3 → R

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz,

niin on selvää olettaa että jokin funktion osittaisderivaatoista on nol-lasta poikkeava jotta df 6= 0. Tässä tapauksessa implisiittisen funktionlause sanoo että pisteen p ympäristössä yhtälö f(x, y, z) = c voidaanratkaista jollekin yhtälön muuttujalle. Oletetaan että se on vaikka z.Tarkemmin ilmaistuna voidaan määritellä derivoituva reaaliarvoinenfunktio pisteen (p1, p2) ympäristössä D siten että ensiksikin jokaisel-le pisteelle (u, v) ∈ D piste (u, v, h(u, v)) sijaitsee kuvajoukossa M , jatoiseksi muotoa (u, v, h(u, v)) olevat pisteet, joiden komponentti (u, v)löytyy lähtöjoukosta D, täyttävät pisteen p ympäristön joukossa M .Tästä seuraa suoraan, että Mongen peitefunktio f : D → R3, joka onmuotoa

f(u, v) = (u, v, h(u, v))

toteuttaa määritelmän 3.1.2. Koska p oli mielivaltainen piste joukossaM , voidaan todeta että M on pinta. mot

Tämän avulla on helppo osoittaa esimerkiksi kaikkien pallojen kuorien olevanpintoja. Ne toteuttavat implisiittisen kaavan

(x− c1)2 + (y − c2)2 + (z − c3)2 = r2,

missä c = (c1, c2, c3) on keskipiste. Derivaatta 2(x − c1)dx + 2(y − c2)dy +2(z − c3)dz saa ainoan nollakohtansa pallon keskipisteessä, joka ei sijaitsepallon kuorella. Täten edellisen lauseen nojalla pallon kuori on pinta.Esitellään seuraavaksi pari yleistä mallia pinnoille.

Esimerkki 3.1.4. Sylinterit muodostuvat kun tasoa vastaan kohtisuorassaoleva suora kulkee kyseisessä tasossa olevaa käyrää pitkin. Olkoon ky-seinen taso vaikkapa xy-taso ja suora yhdensuuntainen z-akselin kans-sa. Olkoon käyrä α = (α1(t), α2(t)) avaruudessa R2 ja funktio f(x, y, z)

17

avaruudessa R3 siten että f(x, y, 0) = (α1(t), α2(t)). Käyrän määritel-män mukaan sen osittaisderivaatat eivät voi missään määrittelypistees-sä olla samaan aikaan nollia. Koska

∂f

∂x(x, y, z) =

∂α1

∂t(α1(t), α2(t))

ja∂f

∂y(x, y, z) =

∂α2

∂t(α1(t), α2(t)),

niin tästä seuraa ettei df voi olla koskaan nolla määrittelyjoukossaan.Täten se muodostaa pinnan.

Edellä esitelty tason malli saadaan liikuttamalla suoraa käyrää pitkin. Seu-raava malli saadaan kiertämällä käyrää suoran ympäri.

Esimerkki 3.1.5. Kiertopinnat muodostuvat siten että samassa tasossa si-jaitsevat käyrä ja suora, jotka eivät leikkaa toisiaan. Kun tämä käy-rä kierretään suoran ympäri, saadaan aikaan niin sanottu kiertopinta.Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi kyseiseksi tasoksi jokin koordinaat-tiakselien määräämä taso ja suoraksi eräs koordinaattiakseli. Olkootne vaikkapa xy-taso ja x-akseli. Oletetaan käyrän sijaitsevan x-akselinyläpuolella leikkauspisteiden välttämiseksi. Jos kyseisen käyrän pisteetovat muotoa p = (p1, p2, 0), niin pinnan pisteet ovat puolestaan muotoa

(p1, p2 cos v, p2 sin v), 0 ≤ v ≤ 2π.

Toisin sanoen piste p = (p1, p2, p3) sijaitsee kiertopinnassa, jos ja vainjos piste p∗ = (p1,

√p2

2 + p23, 0) sijaitsee annetulla käyrällä. Mikäli an-

nettu käyrä on muotoa α on implisiittisessä muodossa f(x, y) = c, niinmäärätään funktio g(x, y, z) = (x,

√y2 + z2). Kun g(x, y, z) = c, niin

käyttämällä ketjusääntöä on helppo näyttää tämän derivaatan olevanaina jotain muuta kuin nolla, joten kyseinen yhtälö muodostaa pinnan.Tällainen pinnan määritelmä sisältää kuitenkin yhden ongelman, nimi-täin sen että peitefunktiot määritellään aina avoimelle joukolle avaruu-dessa R2, mutta 0 ≤ v ≤ 2π on selvästi suljettu väli. Tämä ongelmavoidaan kuitenkin välttää määrittelemällä pinta yhtä useammalla pääl-lekkäisellä peitefunktiolla. Tässä tapauksessa voitaisiin käyttää vaikkaneljää peitefunktiota f1, f2, f3 ja f4, jotka on määritelty termin v vä-leillä f1 :]0, π[, f2 :]π, 2π[, f3 :]1

2π, 3

2π[ ja f4 :] − 1

2π, 1

2π[. Näiden peite-

funktioiden kuvajoukkojen muodostama unioni on juuri yllä esitettykiertopinta.

18

3.2 Peitefunktioiden ominaisuuksia

Edellä on pelkästään määritelty mikä pinta on. Seuraavaksi vilkaistaan muu-tamia peitefunktioiden ominaisuuksia, joiden avulla pintoja voidaan tutkia.Olkoon f : D → R3, (x, y)→ f(x, y) peitefunktio. Kun jompikumpi muuttu-jista kiinnitetään vakioksi, funktio tuottaa käyrän. Kaikilla pisteillä (x0, y0) ∈D käyrä x→ f(x, y0) on nimeltään funktion x-parametrinen käyrä, y = y0 jasamoin vastaavasti y → f(x0, y) on funktion y-parametrinen käyrä, x = x0.Kuvajoukko f(D) koostuu siis horisontaalisista ja vertikaalisista käyristä,jotka muodostavat koko kuvajoukon.

Määritelmä 3.2.1. Olkoon f : D → R3, (x, y)→ f(x, y) peitefunktio. Kuntoinen muuttuja kiinnitetään vakioksi, funktion kaava kuvaa käytännös-sä pelkkää käyrää. Nyt x-parametrisen käyrän nopeusvektori ilmaistaanmerkinnällä fx = (dα1

dx(x), dα2

dx(x), dα3

dx(x)) ja vastaava y-parametrisen

käyrän vektori ilmaistaan fy = (dα1

dy(y), dα2

dy(y), dα3

dy(y)). fx(x0, y0) ja

fy(x0, y0) ovat nimeltään funktion fosittaisnopeuksia pisteessä (x0, y0).

fx ja fy ovat siis myös saman lähtöjoukon funktioita kuin f ja kuvaavat sentangenttivektoreita annetussa pisteessä.Seuraava määritelmä auttaa jättämään pois huolen peitefunktion injektiivi-syydestä.

Määritelmä 3.2.2. Säännöllinen peitefunktio f : D → R3, jonka kuva-joukko sijaitsee pinnalla M , on nimeltään joukon f(D) parametrisoijajoukossa M .

Tämän määritelmän nojalla peitefunktio on vain injektiivinen parametrisoi-ja. Ihanteellisessa tapauksessa f(D) peittää koko pinnan M . Parametrisoi-jat ovat tärkeä työkalu pintojen käsittelylle. Seuraavaksi esitellään keino senmäärittämiseksi, onko annettu funktio f : D → R3 pinnan M parametrisoi-ja.Funktion f kuvajoukon täytyy tietysti sijaita joukossa M . Huomataan, ettäjos kyseinen pinta on ilmaistu implisiittisessä muodossa g = c niin yhdiste-tyllä funktiolla g(f) on vakioarvo c.Kun tutkitaan, onko f säännöllinen, huomataan aluksi että parametriset käy-rät ja osittaisnopeudet ovat hyvin määriteltyjä kuvaukselle f : D → R3. Nytristitulon

fx × fy =

∣∣∣∣∣∣U1 U2 U3∂f1

∂x∂f2

∂x∂f3

∂x∂f1

∂y∂f2

∂y∂f3

∂y

∣∣∣∣∣∣kaksi alinta riviä antavat funktion f Jaakobin matriisin kaikissa pisteissä. Tä-ten funktion säännöllisyys on yhtäpitävä sen kanssa että fx×fy ei ole koskaan

19

nolla. Ristitulon ominaisuuksien nojalla toisin ilmaistuna, osittaisnopeuksienvektorit ovat lineaarisesti riippumattomat.

Esimerkki 3.2.3. Parametrisoidaan sylinteriM . Oletetaan esimerkin 3.1.4.lailla, että M määräytyy xy-tasossa olevan käyrän f(x, y) = c mu-kaan. Jos α = (α1, α2, 0) on äskeisen käyrän parametrisointi, merki-tään g(x, y) = (α1(x), α2(x), y) parametrisoijaksi. Selvästi g sijaitseejoukossa M , kattaa sen kokonaan ja on differentioituva. Edelleen g onsäännöllinen, koska jokaisessa pisteessä osittaisderivaatat

gx = (dα1

dx,dα2

dx, 0)

gy = (0, 0, 1)

ovat lineaarisesti riippumattomia.

Esimerkki 3.2.4. Parametrisoidaan kiertopinta. Olkoon kiertopinta M sa-ma kuin esimerkissä 3.1.5. eli x-akselin ympäri kierretty käyrä xy-tasossa x-akselin yläpuolella. Olkoon nyt α(x) = (g(x), h(x), 0) käy-rän parametrisoija. Esimerkistä 3.1.5. muistetaan että akselin ympärikiertyessään käyrän pisteiden x-koordinaatti ei muutu, mutta y- ja z-koordinaatit muuttuvat. Peitefunktio on siis f(x, y) = (g(x), h(x) cos y,h(x) sin y). Tämä määrittelee kuvauksen, jonka kuvajoukkona on kokoM , kunhan taas asetetaan päällekkäisiä avoimia määrittelyvälejä, joil-la f(x, y) on määritelty. Yksinkertaisuuden vuoksi niiden voidaan olet-taa olevan samat kuin esimerkissä 3.1.5. Kuvausten injektiivisyys onhelppo todeta, kun kunkin pinnan termit projisoidaan takaisin xy− taixz−tasolle. Laskennallisesti voidaan näyttää, että fx ja fy ovat lineaa-risesti riippumattomia, joten f on pinnan M parametrisoija.

3.3 Derivoituvat funktiot ja tangenttivektorit

Nyt aloitetaan varsinainen pintojen analysointi. Pintaa ympäröivä muu ava-ruus pyritään jättämään kokonaan pois, koska halutaan saada selkoa vainitse pinnan ominaisuuksista.Jos funktio h on määriteltynä pinnallaM eikä missään muualla ja f : D →Mon peitefunktio, niin yhdistelmäfuktiota h ◦ f kutsutaankoordinaattiesitykseksi funktiolle h. Luonnollisesti h edellytetään derivoitu-vaksi funktioksi. Myöskin funktioille H : Rn → M jokainen peitefunktio fpinnalle M muodostaa koordinaattiesityksen f−1(H) funktiolle H. Selväs-tikin tämä yhdistetty funktio on määritelty vain sellaisille pisteille p ∈ Rn

siten että Hp sijaitsee joukossa f(D). Luonnollisesti taas määritellään H niin

20

että se ilmaisijoineen on differentioituva.Että nähtäisiin miten tämä määritelmä toimii käytännössä, tarkastellaanaluksi merkittävää erikoistapausta.

Lemma 3.3.1. Mikäli käyrä α : I → M sijaitsee kuvajoukossa f(D), jon-ka määrittää vain yksi peitefunktio f , niin on olemassa yksikäsitteisetderivoituvat funktiot a1, a2 : I → D siten että α(t) = f(a1(t), a2(t))kaikilla t ∈ R.

Todistus Määritelmän mukaan ilmaisija f−1α : I → D on derivoituva.Sehän on vain käyrä, jonka kuva kulkee joukossa D. Mikäli a1, a2 ovatkäyrän f−1α koordinaattifunktioita, niin α = ff−1α = f(a1, a2). Nämäovat ainoat mahdolliset funktiot sillä jos α = f(b1, b2), niin

(a1, a2) = f−1α = f−1f(b1, b2) = (b1, b2).

mot

Seuraavaksi määritellään tangentti pinnalle.

Määritelmä 3.3.5. Olkoon p pinnan M piste. Vektori v on pinnan Mtangentti pisteessä p, jos vain se on jonkin pinnassa olevan käyrän no-peusvektori.

Kaikkien pisteessä p olevien tangenttivektorien joukkoa kutsutaan pinnanMtangenttitasoksi pisteessä p ja se ilmaistaan perkinnällä Tp(M). Seuraava tu-los osoittaa jokaisen pisteen p tangenttitason Tp(M) olevan kaksiulotteinenvektorialivaruus tangenttiavaruudelle Tp(R3).

Lemma 3.3.6. Olkoon p piste pinnassa M ja f pinnan peitefunktio sitenettä f(x0, y0) = p. Vektori v on pinnan M tangentti pisteessä p jos javain jos v voidaan ilmaista lineaariyhdisteinä komponenteille fx(x0, y0)ja fy(x0, y0).

Todistus Koska osittaisnopeudet ovat lineaarisesti riippumattomia, pyri-tään johtamaan lopputulokseksi, että ne muodostavat kannan tangent-titason pinnalle M kaikissa pisteissä joukossa f(D). Huomataan aluksiettä käyrän f parametriset käyrät ovat käyriä pinnassa M , joten nämäosittaisnopeudet ovat pinnan tangentteja pisteessä p.Oletetaan ensin että v on pinnan tangentti pisteessä p. Täten on ole-massa käyrä α pinnassa M siten että α(0) = p ja α′(0) = v. Nyt lem-man 3.3.1. mukaan α voidaan ilmaista muodossa α = f(a1, a2). Tätenketjusäännön mukaan

α′ = fx(a1, a2)da1

dt+ fy(a1, a2)

da2

dt.

21

Mutta koska α(0) = p = f(x1, x2), ovat a1(0) = x0 ja a2(0) = y0. Tätenantamalla arvo t = 0 saadaan

v = α′(0) =da1

dt(0)fx(x0, y0) +

da2

dt(0)fy(x0, y0).

Toiseen suuntaan, olettaen että tangenttivektori v voidaan ilmaistamuodossa

v = c1fx(x0, y0) + c2fy(x0, y0).

Samoin laskutoimituksin kuin edellä saadaan että v on pisteessä t = 0oleva nopeusvektori käyrälle

t→ f(x0 + tc1, y0 + tc2).

Täten v on pinnan M tangentti pisteessä p.

Derivaatan yleisiin ominaisuuksiin perustuu järjellinen päätelmä, että tan-genttitaso Tp(M) on pinnan M lineaarinen approksimaatio lähellä pistettäp.

Määritelmä 3.3.7. Euklidinen vektorikenttä Z pinnallaM on funktio, jokaasettaa jokaiseen pinnan pisteeseen p tangenttivektorin Zp avaruudessaR3.

Euklidinen vektorikenttä V , jolle jokainen vektori V (p) on tangentti tasolleM pisteessä p on nimeltään tangenttivektorikenttä pinnalla M . Usein nämävektorikentät ovat määriteltyjä vain osassa pintaa M . Kuten ennenkin, täs-säkin asiassa oletetaan derivoituvuutta.Euklidinen vektori z pisteessä p pinnassa M on nimeltään normaali, jos seon ortogonaalinen tangenttitasolle Tp(M) eli siis jokaiselle tangenttivektoril-le pisteessä p pinnalla M . Vektorikenttä Z pinnalla on normaalikenttä sikälimikäli jokainen vektori Zp on normaali pinnalle M .Koska Tp(M) on kaksiulotteinen aliavaruus avaruudessa Tp(R3), on olemassavain yhteen suuntaan osoittava normaali pinnalla M pisteessä p. Kaikki nor-maalivektorit tässä pisteessä ovat paralleeleja. Täten, jos normaalivektori onnollavektorista poikkeava, Tp(M) koostuu kaikista niistä vektoreista avaruu-dessa Tp(R3), jotka ovat tälle ortogonaalisia.On verrattain helppoa tutkia tangentti- ja normaalivektorikenttiä pinnoilla,mikäli pinnat ilmaistaan implisiittisesti.

Lemma 3.3.8. Mikäli M : g = c on pinta, niin gradienttivektorikenttä∇g =

∑(∂g/∂xi)Ui rajoittuneena joukon M pisteisiin on häviämätön

normaalivektorikenttä pinnassa M .

22

Todistus Gradientti on häviämätön eli siis nollasta poikkeava pinnalla Mlauseen 3.1.3. nojalla, koska osittaisderivaatat eivät voi kaikki olla yhtäaikaa nollia pinnalla M .Täytyy osoittaa että (∇g)(p) · v = 0 jokaisella pinnan tangenttivekto-rilla v pisteessä p. Ensin huomataan että pinnassa olevalle käyrälle αg(α) = g(α1, α2, α3) on vakioarvo c. Ketjusäännön mukaisesti∑ ∂g

∂x1

(α)dαidt

= 0.

Nyt valitaan käyrälle alkunopeus

α′(0) = v = (v1, v2, v3)

pisteessä α(0) = p. Siten

0 =∑ ∂g

∂x1

(α(0))dαidt

(0) =∑ ∂g

∂x1

(p)vi = (∇g)(p) · v = 0.

mot

Määritellään seuraavaksi suunnattu derivaatta pinnoille. Ensiksi se määritel-tiin suorille kolmiulotteisessa avaruudessa. Nyt sen uudelleen määrittelyssähyödynnetään lemmaa 3.3.8.

Määritelmä 3.3.9. Olkoon v tangenttivektori pinnalla M pisteessä p jaolkoon h differentioituva reaaliarvoinen funktio äskeisellä pinnalla.Suunnattu derivaatta suuntaan v on v[h] on vakioarvo (d/dt)(h ◦ α)(0)pinnan M kaikille käyrille α, joilla on alkunopeus v.

Suunnatuilla derivaatoilla pinnoilla on täsmälleen samat lineaariset ominai-suudet kuin euklidisessakin tapauksissa.

3.4 Muodot pinnoilla

Esitiedoissa esiteltiin 1-muodon määritelmä. (0-muoto h pinnassa on vainderivoituva reaaliarvoinen funktio.) 1-muoto φ pinnalla on siis lineaarinenja reaaliarvoinen tangenttivektorien funktio. 2-muoto on täysin analoginen1-muodolle siten että yhden vektorin sijasta se operoi järjestettyjä vektori-pareja.

Määritelmä 3.4.1. 2-muoto η pinnallaM on reaaliarvoinen funktio kaikillejärjestetyille tangenttivektoripareille x, y pinnalla M siten että(1) η(x, y) on lineaarinen vektoreitten x ja y suhteen.(2) η(x, y) = −η(y, x).

23

Määritelmän kohdasta (2) voidaan johtaa ominaisuus

η(x, x) = 0

kaikille tangenttivektoreille. Vastaisuudessa oletetaan luonnostaan aina ettämuodot ovat derivoituvia. Itsestäänselvänä pidetään sitäkin että vain sama-nasteissa muotoja voidaan yhdistellä.Seuraava lemma näyttää, miten 2-muodot liittyvät determinantteihin.

Lemma 3.4.2. Olkoon η 2-muoto pinnallaM ja olkoot x ja y saman pinnantangenttivektoreita. Silloin

η(ax+ by, cx+ dy) =

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ η(x, y)

Todistus Koska η on lineaarinen ensimmäisten komponenttiensa suhteen,sen arvo vektoriparille ax+by, cx+dy on aη(x, cx+dy)+bη(y, cx+dy).Koska η on lineaarinen myös jälkimmäisten komponenttiensa suhteen,saadaan että

aη(x, cx+dy)+bη(y, cx+dy) = acη(x, x)+adη(x, y)+bcη(y, x)+bdη(y, y).

Määritelmän antisymmetriasääntö (2) antaa muodon

η(ax+ by, cx+ dy) = (ad− bc)η(x, y).

mot

Seuraavan määritelmän antama uusi operointimuoto antaa meille mahdolli-suuden muodostaa eriasteisista muodoista korkeamman asteen muotoja.

Määritelmä 3.4.3. Mikäli φ ja ψ ovat 1-muotoja pinnallaM , kiilatulo φ∧ψon 2-muoto pinnalla M siten että

(φ ∧ ψ)(x, y) = φ(x)ψ(y)− φ(y)ψ(x)

kaikille pinnan vektoripareille x, y.

Kiilatulolla on kaikki perinteiset algebralliset ominaisuudet paitsi kommuta-tiivisuus. Yleisesti ottaen mikäli φ on p-muoto ja ψ q-muoto(p, q = 0, 1, 2),niin

φ ∧ ψ = (−1)pqψ ∧ φ.

Eriasteisille muodoille voidaan soveltaa kiilatuloa siten että p-muodon ja q-muodon operaatio on (p+ q)-muoto. Koska pinnalla kuitenkin on vain kaksi

24

ulottuvuutta, kiilatulo on nolla mikäli p + q > 2. Tarvitaan siis määritelmävain operaatiolle, kun p = q = 1.Siirrytään eriasteisten muotojen derivointiin. Kaikilla p-muodoilla ilmeneeettä ulkoinen derivaatta on (p + 1)-muoto. Ainoa uusi asia, joka pitää siismääritellä on derivaatta 1-muodoille.

Määritelmä 3.4.4. Olkoon φ 1-muoto pinnalla M .ulkoinen derivaatta dφ on 2-muoto siten että mille tahansa pinnan Mpeitefunktiolle f

dφ(fx, fy) =∂

∂x(φ(fy))−

∂

∂y(φ(fx)).

Tämä ei ole täysin kattava määritelmä. Derivaattojen vastaavuuden kanssaon ongelma. Nyt on oikeastaan määritelty dfφ pinnan kunkin peitefunktionf kuvajoukossa pinnalla M. Täytyy siis osoittaa että alueella, jossa kaksipeitefunktiota ovat päällekkäiset, dfφ ja dgφ ovat samat. Vasta sitten ontuotettu funktion derivaatta dφ pinnalla M .

Lemma 3.4.5. Olkoon φ 1-muoto pinnalla M . Mikäli f : D → M ja g :E → M ovat peitefunktioita pinnalle M , niin dfφ = dgφ joukkojenf(D) ja g(E) päällekkäisissä osissa.

Todistus Koska gx ja gy ovat lineaarisesti riippumattomia kaikissa pisteissä,lemman 3.4.2. nojalla riittää osoittaa että

(dgφ)(gx, gy) = (dfφ)(gx, gy).

Nyt on olemassa sellaiset yksiselitteiset funktiot u ja v että g = f(u, v)ja ketjusäännön mukaan

gx =∂u

∂xfx +

∂v

∂xfy

gy =∂u

∂yfx +

∂v

∂yfy.

Sitten lemman 3.4.2. mukaan

(dfφ)(gx, gy) = J(dfφ)(fx, fy)

missä J on Jaakobin determinantti (∂u∂x

)(∂v∂y

)−(∂u∂y

)( ∂v∂x

). Täten on selväämääritelmän 3.4.4. nojalla että (dgφ)(gx, gy) = (dfφ)(gx, gy) todistet-taisiin, täytyy vain olla

∂

∂x(φgy)−

∂

∂y(φgx) = J{ ∂

∂u(φfy)−

∂

∂v(φfx)}.

25

Riittää operoida termillä ( ∂∂x

)(φgy), sillä vain vaihtamalla termien xja y paikkaa, saadaan aikaiseksi ( ∂

∂y)(φgx). Koska nämä derivaatat pi-

tää vähentää toisistaan, voidaan unohtaa kaikki sellaiset termit, jot-ka menevät vastakkain, kun x ja y ovat kaikkialla vaihtaneet paikkaakeskenään. Operoimalla termillä φ saadaan aikaisemmista yhtälöistämuodostettua

φ(gy) = φ(fx)∂u

∂y+ φ(fy)

∂v

∂y.

Ketjusäännön nojalla∂

∂x(φgy) =

∂

∂x(φfx)

∂u

∂y+

∂

∂x(φfy)

∂v

∂y+ ...

jossa yhtäpitävästi yllä olevan lausuman nojalla on häivytetty symmet-risiä termejä. Kun seuraavaksi käytetään ketjusääntöä ja yllä olevaalausumaa, niin saadaan

∂

∂x(φgy) = (

∂

∂v(φfx)

∂v

∂x+ ...)

∂u

∂y+ (

∂

∂u(φfy)

∂u

∂x+ ...)

∂v

∂y.

Nyt vain vaihdetaan termien x ja y paikkaa, samoin tehdään myös uja v suhteen, ja vähennetään yllä oleva yhtälö itsestään. Tuloksena onylempänä oleva lausahdus, joka oli todistettava. mot

Seuraavaksi todistetaan ettei pinnoilla ole olemassa toisen kertaluvun deri-vaattaa.

Lause 3.4.6. Mikäli h on derivoituva reaaliarvoinen funktio pinnallaM , niind(dh) = 0.

Todistus Olkoon ψ = dh, joten on osoitettava dψ = 0. Lemman 3.4.2. no-jalla riittää todistaa, että jokaiselle peitefunktiolle f pinnalle M pätee(dψ)(fx, fy) = 0. Määritelmän mukaan on fx[h] = d

dt(h ◦ α)(0), jos-

sa ddxf = fx on tämän määritelmän mukainen käyrä α, kun α(x) =

f(x, y0). Tällöin fx[h] = ∂∂x

(h ◦ f). Siispä

ψ(fx) = dh(fx) = fx[h] =∂

∂x(h ◦ f)

ja vastaavasti

ψ(fy) =∂

∂y(h ◦ f).

Täten

dψ(fx, fy) =∂

∂x(ψ(fy))−

∂

∂y(ψ(fx)) =

∂2(h ◦ f)

∂x∂y− ∂2(h ◦ f)

∂y∂x= 0.

mot

26

Monet laskelmat ja todistukset pelkistyvät siihen ongelmaan, että kaksi sa-manmuotoista funktiota ovat samat. Nyt on nähty, ettei ole välttämätöntätutkia ovatko funktioiden arvot samat kaikilla tangenttivektoreilla. Yleisesti,jos f on peitefunktio, niin 1-muodoille f φ = ψ jos ja vain jos φ(fx) = ψ(fx)ja φ(fy) = ψ(fy) ja 2-muodoille f µ = ν jos ja vain jos µ(fx, fy) = ν(fx, fy).Yleisemmin fx ja fy voidaan korvata millä tahansa kahdella vektorikentällä,jotka ovat lineaarisesti riippumattomia joka pisteessä.

3.5 Lisää pintojen funktioista

Kun aletaan määritellä derivoituvuutta funktioille kahden eri pinnan välillä,niin oletetaan koordinaattifunktioiden olevan derivoituvia kuin edellä.

Määritelmä 3.5.1. FunktioH : M → N pinnalta toiselle on differentioituvasikäli kun kaikille peitefunktioille f pinnalla M ja g pinnalla N yhdis-telmäfunktio g−1Hf on euklidisesti derivoituva (ja luonnollisesti mää-riteltynä avoimille joukoille avaruudessa R2). H on nimeltäänpintojen välinen funktio.

Luonnollisesti g−1Hf on määritelty kaikissa peitefunktion f lähtöjoukon pis-teissä (x, y) siten ettäH(f(x, y)) sijaitsee peitefunktion g arvojoukossa. Mää-ritelmä pätee, kun löydetään riittävästi peitefunktioita kattamaan pinnat Mja N .Seuraavaksi määritellään pintojen välisen funktion derivaatta.

Määritelmä 3.5.2. Olkoon H : M → N pintojen välinen funktio. Funktionderivaatta H ′ asettaa pinnan M jokaisen tangenttivektorin v pinnanN tangenttivektoriksi H ′v. Tämä tarkoittaa että mikäli v on käyrän αalkunopeus pinnalla M , niin H ′v on käyrän H(α) alkunopeus pinnallaN .

Voidaan osoittaa, että jokaisessa pinnan pisteessä p, H ′ on lineaarinen trans-formaatio tangenttitasolta Tp(M) tangenttitasolle TH(p)(N). Määritelmästäseuraa välittömästi että H ′ ilmaisee käyrien nopeuksia. Mikäli α = H(α) onpinnan M käyrän α kuva pinnalla N , niin H ′α′ = α′. Voidaan myös osoittaaettä yhdistelmäfunktioiden derivaatat ovat derivaattafunktioiden yhdistel-miä niin kuin euklidisissakin tapauksissa. Funktion H : M → N derivaattavoidaan siis muodostaa osittaisnopeuksista. Mikäli f : D → M on joukonM parametrisoija, niin olkoon yhdistelmäfunktio H(f) : D → N ja merki-tään sitä g. Selvästi F muuntaa peitefunktion f parametrikäyrät funktiong vastaaviksi parametrikäyriksi. Koska H ′ tuottaa käyrien nopeuksia, seuraavälittömästi että

H ′fx = gx, H′fy = gy.

27

Koska fx ja fy muodostavat kannan pinnan M tangenttitasolle kaikissa pis-teissä f(D), nämä määrittävät kuvauksen H ′.Kuvauksen säännöllisyys toteutuu myös pintojen välisillä funktioilla helposti.H : M → N on säännöllinen jos sen kaikki derivaattafunktiot H ′p : Tp(M)→TH(p)(N) ovat injektioita. Koska näillä tangenttitasoilla on sama dimensio,niin lineaarialgebran perusteella tiedetään injektiovaatimuksen olevan yhtäpitävän sen kanssa että H ′ on lineaarinen isomorfismi. H : M → N , jolla onkäänteiskuvaus H−1 : N → M on nimeltään diffeomorfismi. Voidaan ajatel-la kuvauksen H muuntavan pinnan M pinnaksi N . Soveltamalla euklidistamuotoilua käänteiskuvauslauseelle funktion H koordinaattiselle ilmaukselleg−1Hf voidaan päätellä seuraava yleistys käänteiskuvauslauseelle.

Lause 3.5.3. Olkoon H : M → N pintojen välinen kuvaus ja olettaen ettäH ′p : Tp(M) → TH(p)(N) on lineaarinen isomorfismi jossain yhdessätietyssä pinnanM pisteessä p. Tällöin on olemassa pisteen p ympäristöκ pinnalla M siten että kuvauksen H rajoittuma ympäristöön κ ondiffeomorfismi pisteen H(p) ympäristölle λ pinnalla N .

Välitön seuraus on että säännöllinen injektiivinen kuvaus H : M → Non diffeomorfismi. Kunhan H on injektion lisäksi myös surjektio, sillä onyksiselitteinen käänteiskuvaus H−1 ja tämä on derivoituva, jos jokaisella ym-päristöllä λ, joka on määritelty samoin kuin yllä, on sitä vastaava diffeomor-fismin käänteiskuvaus κ→ λ.Derivoituvilla muodoilla on se huomattava ominaisuus, että ne voidaan siir-tää pinnalta toiselle mielivaltaisen kuvauksen avulla. Jos tutkitaan vaikkapa0-muotoa h, niin mikäli H : M → N on pintojen välinen funktio ja h onfunktio pinnassa M , ei ole olemassa mitään järjellistä tapaa siirtää funktiotah pinnalle N . Jos sen sijaan h on kuvaus pinnalla N , ongelma on helppo rat-kaista. h siirretään takaisin yhdistelmäfunktiolla h ◦H pinnalle M . Vastaavasiirto 1- ja 2-muodoille määritellään seuraavaksi.

Määritelmä 3.5.4. Olkoon H : M → N pintojen välinen kuvaus.(1) Jos φ on 1-muoto pinnalla N , olkoon H ′φ 1-muoto pinnallaM sitenettä

(H ′φ)(x) = φ(H ′x)

kaikille tangenttivektoreille x pinnalla M .(2) Jos η on 2-muoto pinnalla N , olkoon H ′η 2-muoto pinnallaM sitenettä

(H ′η)(x, y) = η(H ′x, H′y)

kaikille tangenttivektoripareille x, y pinnalla M .

28

Eri muotojen välillä keskeiset operaatiot ovat yhteenlasku, kiilatulo ja ulkoi-nen derivointi.

Lause 3.5.5. Olkoon H : M → N pintojen välinen kuvaus ja olkoot ξ ja ηmuotoja pinnalla N . Silloin(1) H ′(ξ + η) = H ′ξ +H ′η,(2) H ′(ξ ∧ η) = H ′ξ ∧H ′η,(3) H ′(dξ) = d(H ′ξ).

Todistus Tapauksessa (1) ξ ja η oletetaan p-muodoiksi (p=0,1 tai 2) ja var-sinainen todistus on perustuu pelkkään laskemisrutiiniin. Tapauksessa(2) on mahdollista että ξ ja η ovat eri asteen muotoja. Kun ξ on funktioh, annettu kaava tarkoittaa käytännössäH ′(hη) = h(H)H ′(η). Kaikissatapauksissa kohta (2) perustuu kuitenkin vain derivaatan laskusääntöi-hin. (3) Kun ξ on 1-muoto, on osoitettava että kaikille peitefunktioillef : D →M .

(d(H ′ξ))(fx, fy) = (H ′dξ)(fx, fy).

Olkoon g = H(f) ja muistetaan että H ′(fx) = gx ja H ′(fy) = gy. Tätentermien d ja H ′ määritelmillä saadaan

d(H ′ξ)(fx, fy) =∂

∂x{(H ′ξ)(fy)} −

∂

∂y{(H ′ξ)(fx)}

=∂

∂x{ξ(H ′fy)} −

∂

∂y{ξ(H ′fx)}

=∂

∂x(ξfy)−

∂

∂y(ξfx).

Vaikka g ei olisikaan peitefunktio, voidaan osoittaa viimeisimmän muo-don olevan yhtäpitävä muodon dξ(gx, gy) kanssa. Sitten

dξ(gx, gy) = dξ(H ′fx, H′fy) = (H ′(dξ))(fx, fy).

Voidaan tehdä johtopäätös että funktioilla d(H ′ξ) ja H ′(dξ) on samaarvo muuttujien arvoilla fx, fy. mot

3.6 Muotojen integroinnista

Seuraavaksi siirrytään muotojen integrointiin pinnoilla. Periaatteessa integroin-ti on mahdollista vain euklidisessa avaruudessa, mutta pinnoilla olevien muo-tojen integrointi voidaan toteuttaa palauttamalla ne takaisin euklidiselle ava-ruudelle ja integroida ne siellä.

29

Tutkitaan ensin yksiulotteista tapausta. PinnanM käyräsegmentillä tarkoite-taan suljetulla reaaliakselin välillä määriteltyä käyrää α : [a, b]→M . Mikäli φ1-muoto pinnallaM , niin α−1φ kuvaa pinnan funktion arvojen palauttamistareaaliakselille käyrää α pitkin. Nyt voidaan luoda integraalin määritelmä.

Määritelmä 3.6.1. Olkoon φ 1-muotoinen funktio pinnalla M ja olkoonα : [a, b]→M 1-segmentti. Funktion φ integraali yli käyrän α on∫

α

φ =

∫[a,b]

α−1φ =

∫ b

a

φ(α′(t))dt.

Kun 1-muoto φ voidaan ilmaista ulkoisena derivaattana dh, viivaintegraalil-la∫αφ on ominaisuus, jonka avulla voidaan johtaa eräs integraalilaskennan

päälauseista.

Lause 3.6.2. Olkoon h funktio pinnalla M ja α : [a, b] → M 1-segmenttikyseisellä pinnalla pisteestä p = α(a) pisteeseen q = α(b). Silloin∫

α

dh = h(q)− h(p).

Todistus Määritelmän mukaan∫α

dh =

∫ b

a

dh(α′)dt.

Muttadh(α′) = α′[h] =

d

dt(h ◦ α).

Täten∫α

dh =

∫ b

a

d

dt(h ◦ α)dt = h ◦ α(b)− h ◦ α(a) = h(q)− h(p).

mot

Integraalia∫αkutsutaan polkuitsenäiseksi. Käytännön sovelluksena voi tode-

ta integroinnin käytön fysiikassa, kun halutaan määrittää tarvittavan työnmäärää. Edellä oleva lause osoittaisi tehdyn työn määrän olevan sama kulje-tusta matkasta riippumatta. Vain aloitus- ja lopetuskohta merkitsevät.Matemaattisesti tilannetta katsotaan näin: pisteestä p pisteeseen q ” rajoit-tuvan ” segmentin α ala on integraali funktiosta dh, mikä on h(q) − h(p).Tämä sama tulos tullaan todistamaan 2-ulotteisessa tapauksessa Stokesinlauseen yhteydessä.

30

Kaksiulotteinen integrointiväli ei ole muuta kuin suljettu suorakaide R : a ≤x ≤ b, c ≤ y ≤ d tasossa R2. Pinnan M 2-segmentti on derivoituva kuvausf : R→M . Vaikka käytetäänkin peitefunktiomuotoa f , ei oleteta sen olevansäännöllinen tai injektiivinen. Osittaisnopeudet fx ja fy ovat silti käytettä-vissä, vaikkei f itse olisikaan peitefunktio.Mikäli η on 2-muoto pinnallaM ja f kyseisen pinnan määräävä peitefunktio,sen palautusfunktio ilmaistaan muodossa f−1η. Tämä avulla voidaan luodauusi integraalin määritelmä.

Määritelmä 3.6.3. Olkoon η 2-muoto pinnalla M ja olkoon f : R → M2-segmentti. Funktion η integraali yli funktion f on∫ ∫

f

η =

∫ ∫R

f−1η =

∫ b

a

∫ d

c

η(fx, fy)dxdy.

Edellinen määritelmä on selvästi analoginen aiemmin annetulle.

Määritelmä 3.6.4. Olkoon f : R → M 2-segmentti pinnalle M suljetultasuorakaiteelta R : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d. Funktion f reunakäyrät taireunat ovat 1-segmentit α, β, γ, δ siten että

α(x) = f(x, c)

β(y) = f(b, y)

γ(x) = f(x, d)

δ(y) = f(a, y)

Tällöin 2-segmentin f reuna ∂f on ilmaistavissa

∂f = α + β − γ − δ.

Nämä neljä käyräsegmenttiä saadaan, kun funktiota f : R→M tarkastellaanvain suorakaiteen R reunoilla. Kaavan miinusmerkit termien γ ja δ edessäkuvaavat sitä että niiden kulkusuunta on koordinaatiakselien negatiivisiinsuuntiin ja reuna todellakin tekee kierroksen koko alueen R ympäri. Nyt jos φon 1-muoto pinnallaM , niin funktion φ integraali yli reunan ∂f määritellään∫

∂f

φ =

∫α

φ+

∫β

φ−∫γ

φ−∫δ

φ.

2-ulotteinen analogia lauseelle 3.6.2. on seuraavaksi.

31

Lause 3.6.5. Stokesin lause Jos φ on 1-muoto pinnalla M ja f : R→ Mon 2-segmentti, niin ∫ ∫

f

dφ =

∫∂f

φ.

Todistus Tutkitaan kaksinkertaista integrointia ja näytetään sen osoittau-tuvan funktion φ integraaliksi yli reunan ∂f . Yhdistämällä määritelmät3.4.4. ja 3.6.3. saadaan∫ ∫

f

dφ =

∫ ∫R

(dφ)(fx, fy)dxdy =

∫ ∫R

(∂

∂x(φ◦fy)−

∂

∂y(φ◦fx))dxdy.

Olkoot h = φ(fx) ja g = φ(fy). Tällöin yhtälö tulee muotoon∫ ∫f

dφ =

∫ ∫R

∂g

∂xdxdy −

∫ ∫R

∂h

∂ydxdy.

Oletetaan nyt että määrittelyvälit a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d ovat nollaasuurempia. Kun ensin integroidaan muuttujan x suhteen, saadaan∫ ∫

R

∂g

∂xdxdy =

∫ d

c

I(y)dy,

jossa

I(y) =

∫ b

a

∂g

∂x(x, y)dx.

Termin I(y) osittaisintegroinnissa muuttujan x suhteen y on tavallinenvakio, jolloin kyseessä on täysin tavallinen integrointi. Tällöin saadaan

I(y) = g(b, y)− g(a, y).

Täten ∫ ∫R

∂g

∂xdxdy =

∫ d

c

g(b, y)dy −∫ d

c

g(a, y)dy.

Nyt määritelmän mukaan

g(b, y) = φ(fy(b, y)).

Mutta fy(b, y) on β′(y) eli kyseisen reunakäyrän nopeusvektori reunalla∂f . Määritelmän 3.6.1. mukaan∫ d

c

g(b, y)dy =

∫ d

c

φ(β′(y))dy =

∫β

φ.

32

Vastaavalla argumentoinnilla saadaan, että∫ d

c

g(a, y)dy =

∫ d

c

φ(δ′(y))dy =

∫δ

φ.

Täten ∫ ∫R

∂g

∂xdxdy =

∫β

φ−∫δ

φ.

Täysin samalla argumentoinnilla integroimalla muuttujan y suhteensaadaan ∫ ∫

R

∂h

∂ydxdy =

∫γ

φ−∫α

φ.

Kun kaikki yllä esitetty tieto yhdistetään, saadaan∫ ∫f

dφ = {∫β

φ−∫δ

φ} − {∫γ

φ−∫α

φ} =

∫∂f

φ.

mot

Viivaintegraali∫αφ ei ole kovinkaan herkkä käyrän α uudelleenparametri-

soinnille. Suunta on oikeastaan ainoa asia, josta kaikki riippuu.

Lemma 3.6.6. Olkoon α(h) : [a, b] → M käyräsegmentin α : [c, d] → Muudelleenparametrisointi. Kaikille 1-muodoille φ pinnalla M∫

α(h)

φ =

{∫αφ, jos h on suuntansa säilyttävä

−∫αφ, jos h on suuntaa kääntävä

Todistus Koska termillä α(h) on nopeusvektori

α(h)′ =dh

dtα′(h),

saadaan ∫α(h)

φ =

∫ b

a

φ(α(h)′)dx =

∫ b

a

φ(α′(h))dh

dxdx.

Seuraavaksi suoritetaan muuttujan vaihto integroinnissa. Mikäli h onsuuntansa säilyttävä, niin h(a) = c ja h(b) = d, jolloin yllä oleva inte-graali saa muodon ∫ d

c

φ(α′)dx =

∫α

φ.

Toisaalta suuntaa vaihtavassa tapauksessa h(a) = d ja h(b) = c saadaan∫ c

d

φ(α′)dx = −∫ d

c

φ(α′)dx = −∫α

φ.

mot

33

Tämä lemma antaa konkreettisen merkityksen 2-segmentin f reunan ∂f =α+β−γ−δ kaavassa oleville miinus-merkeille. Kaikille käyrille ξ : [t0, t1]→Mvoidaan asettaa suuntaa vaihtava uudelleen parametrisointi −ξ näin

(−ξ)(t) = ξ(t0 + t1 − t).

Täten edellisen lemman mukaan∫−ξφ = −

∫ξ

φ

ja jos f on 2-segmentti, niin∫∂f

φ =

∫α

φ+

∫β

φ−∫γ

φ−∫δ

φ =

∫α

φ+

∫β

φ+

∫−γφ+

∫−δφ.

3.7 Pintojen topologiaa

Tutkaillaan muutamia pintojen topologisia perusominaisuuksia.

Määritelmä 3.7.1. PintaM on yhtenäinen, mikäli pinnan kahden mielival-taisen pisteen p ja q välillä on käyräsegmentti.

Yhtenäisyys tarkoittaa käytännössä sitä, että pinta muodostuu vain yhdestäkappaleesta, niin että pintaa pitkin voi kulkea pisteestä toiseen. Esimerkiksipinta M : z2 − x2 − y2 = 1, joka on hyperboloidi, muodostuu kahdesta erikappaleesta ja se siis ei ole yhtenäinen.

Määritelmä 3.7.2. Pinta M on kompakti, mikäli se voidaan peittää äärel-lisellä määrällä 2-segmenttejä.

Yleisesti ottaen siis kompaktit pinnat ovat kooltaan äärellisiä. Pallojen kuoretovat kompakteja, koska paloittain määritellyn r-säteisen pallon peitefunktioon muotoa

f(x, y) = (r cosx cos y, r sinx cos y, r sin y),

kun se on määritelty avoimella välillä R : −π < x < π, −π/2 < y < π/2,

f(x, z) = (r cosx cos z, r sinx cos z, r sin z),

kun se on määritelty avoimella välillä R : −π < x < π, −π/2 < z < π/2 ja

f(y, z) = (r cos y cos z, r sin y cos z, r sin z),

kun se on määritelty avoimella välillä R : −π < y < π, −π/2 < z < π/2.Nämä osaset ovat äärellisiä 2-segmenttejä.

34

Todistetaan seuraavaksi lemma, joka olettaa sen yksinkertaisen perustotuu-den, että suljetulla välillä

R : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d

määritelty reaaliarvoinen jatkuva funktio saavuttaa maksimiarvonsa jossainpisteessä suorakaiteella R.

Lemma 3.7.3. Mikäli h on jatkuva funktio kompaktilla pinnalla M , niin hsaavuttaa maksiminsa jossain pisteessä pinnalla M . Samoiten tietystimyös miniminsä.

Todistus Määritelmän mukaan pinta voidaan kattaa äärellisellä määrällä2-segmenttejä

fi : Ri →M(1 ≤ i ≤ k),

joiden kuvajoukko peittää koko pinnan M . Koska jokainen fi on de-rivoituva, ne ovat myöskin jatkuvia, joten jokainen yhdistelmäfunktiohfi : Ri → R on myös jatkuva. Jokaisella indeksillä i on siis piste(xi, yi) joukossa Ri, jossa hfi saavuttaa maksiminsa. Olkoon vaikkapah(f1(x1, y1)) suurin maksimiarvoista indeksivälillä 1 ≤ i ≤ k. Oletetaansitten funktion h saavan suurimman arvonsa pisteessä m = f1(x1, y1).Voidaan vielä todistaa, että jos p on mielivaltainen piste pinnalla M ,niin h(m) ≥ h(p). Koska 2-segmentit f1, f2, ..., fk peittävät koko pinnanM , on olemassa sellainen indeksi i että p = fi(x, y). Sitten kuitenkinedellä käydyn nojalla

h(m) = h(f1(x1, y1)) ≥ h(fi(xi, yi)) ≥ h(fi(x, y)) = h(p)

mot

Tämä on erittäin kätevä tulos, jos halutaan osoittaa jonkin pinnan epäkom-paktius. Esimerkin 3.1.4. sylinterin z-komponentti on rajaton, kun käyrä ete-nee xy-tasossa. Tämä ei siis ole kompakti pinta.Märitelmä 3.7.2. on kuitenkin mutkikkaampi kuin ensivaikutelma antaa ym-märtää. Esimerkiksi avoin kiekko xy-tasossaD : x2+y2 < 1 on rajoitettu pin-ta, mutta se ei ole kompakti. Esimerkiksi jatkuva funktio h = (1−x2−y2)−1

ei saavuta maksimiaan pinnalla D. Yleisesti ottaen kompaktilla pinnalla eivoi olla avoimia reunoja, vaan sen on oltava kaikkialta suljettu ja rajoitettu.Käydään vielä kolmas pinnan luonteen määritelmä.

Määritelmä 3.7.4. Pinta M on suunnistuva, mikäli on olemassa sellainen2-muoto µ pinnalla M , joka ei saavuta missään pinnan pisteessä arvoanolla.

35

Periaatteessa suunnistuvalla kappaleella voidaan tehdä ero "ylä-"ja "alapuo-len"välillä. Seuraava lause selventänee määritelmää.

Lause 3.7.5. Pinta M ⊂ R3 on suunnistuva, jos ja vain jos pinnalla M onnormaalivektorikenttä Z, joka on nollasta poikkeava jokaisessa pistees-sään.

Todistus Käytetään ristituloa muuttamaan normaalivektorikentät2-muodoiksi ja sama päinvastoin. Vektorikentän Z avulla määritellään2-muoto µ pinnalla M seuraavasti: Kaikille pinnan M pisteessä p ole-ville tangenttivektoripareille v ja w on

µ(v, w) = Z(p) · (v × w).

µ on häviämätön 2-muoto pinnalla M . Tämä johtuu ristitulon las-kusäännöistä. Sehän lasketaan determinanttina

v × w =

∣∣∣∣∣∣i j kv1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣Tämä voi saada arvon nolla ainoastaan silloin kun vektorit v ja w ovatparalleleja. Täten M on suunnistuva.Vastakkaisesti olkoon puolestaanM suunnistuva pinta ja µ häviämätön2-muoto. Jos v ja w muodostavat lineaarisesti riippumattoman vekto-riparin pisteessä p, niin

µ(v, w) 6= 0,

sillä muutoin µ olisi nolla pisteessä p. Nyt määritellään

Z(p) =v × wµ(v, w)

.

Tällä yhtälöllä on se huomattava ominaisuus, että se on riippumatonalkioitten v ja w valinnasta. Mille tahansa muulle vastaavalle vektori-parille v′ ja w′ seuraa lemmasta 3.4.2.

v′ × w′

µ(v′, w′)=

v × wµ(v, w)

.

Ristitulot voidaan supistaa osamääristä pois koska determinantteinane eivät saa arvokseen nollaa, kuten edellä jo todettiinkin. Täten onlöydetty hyvin määritelty euklidinen vektorikenttä koko pinnalle M .Jälleen ristitulon laskennalliset ominaisuudet voivat osoittaa, että Zon kaikkialla normaali pinnalle M muttei koskaan nolla. mot

36

Täten lemman 3.3.8. mukaan jokainen pinta avaruudessa R3, joka voidaanesittää implisiittisesti on suunnistuva. Tällaisia ovat kaikki sylinterit, kierto-pinnat ja pallojen kuoret. Kuitenkin suunnistumattomiakin pintoja esiintyyavaruudessa R3. Tällainen on esimerkiksi Möbiuksen kappale.Kolme edellä mainittua ominaisuutta, yhtenäisyys, kompaktius ja suunnis-tuvuus, ovat ns topologisia ominaisuuksia. Ne voidaan määritellä käyttäenvain avoimia joukkoja ja jatkuvia funktioita ottamatta lainkaan huomioonderivoituvuutta. Niille voidaan todistaa seuraava lause.

Lause 3.7.6. OlkootM jaN pintoja siten ettäM sisältyy pintaanN . MikäliM on kompakti ja N on yhtenäinen, niin M = N .

Todistus Koska M on pinta, se on myös avoin joukko. Näin voidaan to-deta, kun pinta nähdään relatiivitopologiana. (Eli jos (X, τ) on topo-loginen avaruus ja Y ⊂ X, niin (Y, τ ′) on topologinen avaruus, kunτ ′ = {A∩Y |A ∈ τ}. Pinta N on topologia avaruudessa R3 jaM on senrelatiivitopologia.) Näin on koska peitefunktioiden lähtöjoukkojen avoi-muus on kuvautuva ominaisuus jatkuvilla kuvauksilla. Oletetaan, etteipintaM täytä kokonaan pintaa N ja johdetaan ristiriita. Olettamuksenmukaan pinnassa N on piste n, joka ei sijaitse pinnassa M . Olkoon mpiste pinnassa M . Koska N on yhtenäinen, siitä löytyy käyräsegmenttiα siten että sen päätepisteinä ovat

α(0) = m, α(1) = n.

Olkoon t∗ pienin yläraja niistä termeistä t, joilla α(t) ∈ M . Väitetäänp∗ = α(t∗) ∈M .Tämän todistamiseksi asetetaan reaaliarvoinen funktio h pinnalle Msellaiseksi että h(p) mittaa euklidista etäisyyttä d(p, p∗). Nyt h ≥ 0 onjatkuva siinä mielessä että kaikilla pinnan M peitefunktioilla f , h(f)on jatkuva. Koska M on kompakti, lemman 3.7.3. mukaan h saavuttaaminiminsä jossain pinnan M pisteessä. Pienimmän ylärajan määritel-män mukaan on olemassa t < t∗ äärettömän lähellä termiä t∗ siten ettäα(t) ∈M . Koska α on jatkuva funktio, vastaavat etäisyydet d(p∗, α(t))käyvät äärettömän pieniksi. Täten funktion h minimiarvo voi olla vainnolla. Tämä on mahdollista ainoastaan pisteessä p∗, joka siis kuuluufunktion määrittelyjoukkoon M .Koska M on pinnan N avoin osajoukko, jokainen pistettä p∗ riittävänlähellä oleva pinnan N piste kuuluu myös pintaan M . Täten jos t > t∗

on riittävän lähellä arvoa t∗, α(t) täytyy sisältyä pintaan M. Tämä onkuitenkin ristiriidassa termin t∗ määritelmän kanssa. mot

37

Mikäli N ei olisi yhtenäinen, se voisi koostua kahdesta erillisestä pinnasta,joista M olisi toinen. Vastaavasti jos M ei olisi kompakti, lause ei toimisi. Mvoisi olla vaikka avoin kiekko xy-tasossa.

3.8 Monistot

Tässä viimeisessä kappaleessa katsotaan voidaanko pinnan käsitettä yleistääkorkeamman asteen avaruuksille kuin R3. Tämän takia joudutaan kuitenkinhylkäämään pinnan määritelmä 3.1.2. ja kehittelemään tilalle jotain muuta.Olkoon pinta nyt pelkästään joukkoM , joka ei sisälly välttämättä pelkästäänavaruuteen R3. Abstrakti peitefunktio pinnalleM on nyt vain injektiivinen ku-vaus f : D → M avoimelta joukolta D ⊂ R2 pinnalle M . Tällaisen funktionderivoituvuudesta ei voi sanoa oikeastaan mitään, mutta loppujen lopuksitoimivan määritelmän aikaansaamiseksi tarvitaan vain sujuva päällekkäisyyspeitefunktioille. Tämän todistaminen on kuitenkin täysin mahdotonta, jotensiitä on tehtävä aksiooma.

Määritelmä 3.8.1. Pinta M on joukko, joka on muodostettu tietyllä ko-koelmalla ℘ abstrakteja peitefunktioita siten että(1) Peitefunktioiden kuvajoukko peittää kokonaan joukon M .(2) Mille tahansa kahdelle peitefunktiolle f ja g, jotka kuuluvat yllämainittuun kokoelmaan, yhdistelmäfunktiot g−1f ja f−1g ovat euklidi-sesti derivoituvia.

Tämä määritelmä yleistää määritelmän 3.1.2. ja sisältää sen, mutta on sa-malla laajempi. Että ero perinteiseen kolmiuloteiseen pintaan tulisi selvem-mäksi, puhutaan tästä lähtien abstraktista pinnasta.Että saataisiin abstrakti pinta muodostettua mahdollisimman monesta peite-funktiosta, on soveliasta laajentaa kokoelmaa ℘ sellaisilla abstrakteilla peite-funktioilla, jotka sujuvasti peittävät toisiaan joukossa ℘. Nämä ovat ainoita,joita voidaan hyödyntää pintaa M käsitellessä. Tämä tarkoittaa kuitenkinsitä että vaikka pinnat M1 ja M2 koostuisivatkin täysin samoista pisteistä,ne tulkitaan eri pinnoiksi, mikäli laajennetutkin peitefunktiokokoelmat ℘1 ja℘2 ovat erit.Abstraktien pintojen laskutoimitusten suhteen vielä yksi hyvin keskeinen on-gelma on ratkaisematta, nimittäin pinnassa olevan käyrän nopeusvektorinmääritteleminen. Kaikki tähän mennessä annetut määritelmät ja lauseet pä-tevät vain avaruudelle R3 ja nyt se on häivytetty. Määritelmä termille α′(t)voidaan kuitenkin tehdä melko kivuttomasti suunnatun derivaatan kautta.

Määritelmä 3.8.2. Olkoon α : I →M käyrä abstraktilla pinnalla M . Kai-

38

kille t joukossa I nopeusvektori α′(t) on funktio

α′(t)[h] =d(h ◦ α)

dt(t)

kaikilla derivoituvilla reaaliarvoisilla funktioilla h pinnalla M .

Täten α′(t) on reaaliarvoinen kuvaus, jonka lähtöjoukkona ovat kaikki deri-voituvat funktiot pinnallaM . Tässä onkin kaikki mitä tarvitaan avaruudessaR3 sijaitsevien pintojen laskutoimitusten yleistämiseen abstrakteille pinnoil-le.Nyt kuitenkin häiritsee vielä se että on tarvittavat laskutoimitusten käsitteetavaruudessa R3, joita on käsitelty esitiedoissa, ja niiden rinnalle on asetettuuusia laskennallisia määritelmiä, jotka toimivat pinnoilla, muttei ole olemassasellaisia määritelmiä, jotka toimisivat kummissakin joukoissa. Halutaan mää-ritellä vain yksi laskutoimitusten periaate, josta edellä käsitellyt asiat ovatvain erityistapauksia. Yleisin objekti, jossa laskutoimitukset voidaan mää-ritellä, on nimeltään monisto. Se tarkoittaa yksinkertaisesti vain abstraktiapintaa, jolla on mielivaltainen dimensio n.

Määritelmä 3.8.3. Olkoon n-ulotteinen monisto M joukko, joka on varus-tettu abstraktien peitefunktioiden kokoelmalla ℘, siten että(1) Kokoelman ℘ peitefunktioiden kuvat peittävät koko pinnan M(2) Kaikilla peitefunktioilla f ja g, jotka kuuluvat kokoelmaan ℘, yh-distelmäfunktiot f−1g ja g−1f ovat euklidisessa mielessä derivoituviaja määriteltyjä avoimissa joukoissa avaruudessa Rn.

Täten määritelmän 3.8.1. mukainen pinta on 2-ulotteinen monisto. Eukli-dinen avaruus Rn on puolestaan sellainen monisto, jonka peitefunktioidenkokoelma muodostuu ainoastaan identiteettifunktiosta.Mielivaltaisen n-ulotteisen moniston M differentiaalilaskenta määritelläänsamoin kuin silloin jos n = 2, joka on vain abstraktin pinnan erikoistapaus.Derivoituvia funktioita, tangentteja ja tangenttivektorikenttiä käsitellään sa-moin kuin aiemminkin, erona vain että i = 1, 2 sijasta on i = 1, 2, ..., n. Deri-voituvat eri muotoiset funktiot, joita ollaan käsitelty aiemmin, käyttäytyvätmonistollaM samoin kuin tapauksessa n = 2. Aina kun on kyse differentiaa-lilaskennasta matematiikassa tai sen sovelluksissa, useaulotteisilla monistoil-la on tapana hypätä esille jossain välissä, silloinkin kun kyseessä vaikuttaisiolevan vain 2- tai 3-ulotteinen tapaus.

39

Viitteet[1] Barrett O’Neill, Elementary differential geometry, Academic press, inc.,

Orlando, 1966

[2] Robert G. Bartle, The Elements of Real Analysis, John Wiley & Sons,inc., United States of America, 1975

40