Anexa la ordinul ministrului educaiei naionale i cercetrii tiinifice nr. ./.. MINISTERUL EDUCAIEI NAIONALE I CERCETRII TIINIFICE

Programa colar pentru disciplina

MATEMATIC

CLASELE a V-a a VIII-a

Bucureti, 2017

Matematic clasele a V-a a VIII-a 2

Not de prezentare

Evoluia umanitii a fost strns legat de dezvoltarea matematicii. Obiectele specifice matematicii sunt n concordan cu nevoile i interesele omului pentru rezolvarea unor situaii teoretice, metodologice i practice, dar i estetice. Matematica nu se rezum doar la studiul numerelor i al relaiilor dintre acestea, ci este un domeniu de creaie, bazat pe gndire logic i inovatoare.

Matematica este o disciplin de mare profunzime, avnd un caracter deschis, datorat i existenei unei serii de probleme nerezolvate (conjecturi). n timp, rezolvarea acestora a condus la crearea unor domenii noi de cercetare i a contribuit la rezolvarea unor probleme conexe altor arii de cunoatere. Totodat, Matematica contribuie la nelegerea realitii subiective a propriei persoane i a realitii obiective a mediului nconjurtor.

Programa colar de matematic reprezint o component esenial a curriculumului naional, n acord cu Planul-cadru de nvmnt pentru nvmntul gimnazial, aprobat prin OMENCS nr. 3590/05.04.2016, urmrind respectarea caracteristicilor ciclurilor de dezvoltare cognitiv a elevului i utilizarea eficient a resurselor didactice disponibile. Disciplina este inclus n aria curricular Matematic i tiine ale naturii din trunchiul comun i este prevzut n planul-cadru de nvmnt cu un buget de timp de 4 ore/sptmn.

n procesul de proiectare curricular s-au avut n vedere: profilul de formare al elevului de gimnaziu, programa colar pentru ciclul primar la disciplina Matematic, competenele-cheie pentru nvarea pe tot parcursul vieii din cadrul european de referin, rezultatele nregistrate la evalurile naionale i internaionale pentru nvmntul gimnazial i principiile de construcie curricular.

Procesul de proiectare curricular a programei colare de matematic pentru nvmntul gimnazial s-a realizat innd cont de:

adecvarea curriculumului la realitile interne ale societii i ale sistemului de nvmnt, avnd ca obiectiv pregtirea elevului pentru via, n general, i pentru integrarea socio-profesional, n special;

echilibrarea ponderii domeniilor disciplinei i integrarea acestora ntr-un sistem coerent la nivel de interdependene funcional structurale i din punct de vedere temporal;

flexibilitatea curriculumului prin parcurgerea i aplicarea acestuia la clas, n contextul respectrii diferenelor la elevii de aceeai vrst (ritm de nvare, nivel de achiziii anterioare, motivaie intern, specific cultural i comunitar);

continuitatea curriculumului prin asigurarea unei tranziii optime de la un ciclu de nvmnt la altul i de la un an de studiu la altul, cu introducerea unor secvene de iniiere a procesului de instruire la nivelul achiziiilor de baz n termeni de coninuturi-ancor;

diversificarea criteriilor de structurare a coninuturilor programei colare la nivelul achiziiilor de baz, cu deschideri semnificative n planul practicii didactice;

corelarea activitilor propuse prin curriculum cu dimensiunea axiologic a idealului educaiei, referitor la formarea personalitii autonome creative;

utilitatea curriculumului n raport cu cerinele partenerilor educaionali: profesori, elevi, familie, comunitate, reflectate n componentele specifice programei: competene generale, competene specifice, exemple de activiti de nvare, coninuturi i sugestii metodologice, inclusiv precizri privind evaluarea competenelor formate/dezvoltate. Prin specificul su, disciplina Matematic este esenial n formarea i dezvoltarea competenelor

necesare pentru nvarea pe tot parcursul vieii, i constituie un fundament solid pentru argumentare, dezvoltare de raionament logic, spirit i gndire critic, analizare, interpretare i rezolvare de probleme.

Atitudinile promovate de programa colar de matematic sunt cele prevzute n documentele europene pentru educaia matematic: respectul pentru adevr i perseverena pentru gsirea celor mai eficiente soluii, dezvoltarea de argumente i evaluarea validitii acestora. Abordarea n spirit matematic a situaiilor cotidiene solicit un tip de gndire deschis i creativ, precum i un spirit de observaie dezvoltat, matematica fiind modelul perfect pentru exersarea i implementarea gndirii critice la elevi. Prezenta program colar i propune s formeze la elevi iniiativa i capacitatea decizional, independena n gndire i n aciune pentru a avea disponibilitate de a aborda situaii variate, precum i capacitatea de a aprecia rigoarea, ordinea i elegana n arhitectura modelrii unei situaii date, a rezolvrii unei probleme sau a construirii unei teorii. Programa colar de matematic promoveaz exersarea obinuinei de a recurge la modele matematice n abordarea unor situaii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice.

Matematic clasele a V-a a VIII-a 3

Demersul de predare-nvare-evaluare poate fi organizat individual, frontal sau pe grupe, cultivnd astfel spiritul de echip, ncrederea n sine i respectul pentru ceilali, tolerana, curajul de a prezenta o opinie personal i spiritul de iniiativ al elevilor. ncrederea n sine i autonomia personal sunt susinute la nivel metodologic prin utilizarea erorii ca surs de nvare, prin ncurajarea unor abordri din perspective multiple i prin aplicarea matematicii n viaa de zi cu zi. Astfel se dezvolt motivaia elevilor pentru a reui n nvare i, implicit, pentru continuarea studiului disciplinei. Programa colar de matematic pentru gimnaziu se concentreaz pe formarea i pe dezvoltarea gradat i continu a competenelor matematice, care permit elevilor s rspund la situaii diverse fcnd att corelaii intradisciplinare, ct i interdisciplinare.

Structura programei colare include, pe lng Nota de prezentare, urmtoarele elemente: - Competene generale - Competene specifice i exemple de activiti de nvare - Elemente de coninut - Sugestii metodologice

Competenele generale vizate la nivelul disciplinei, ncadreaz achiziiile de cunoatere i de comportament ale elevului, fiind comune ntregului ciclu de nvmnt gimnazial i rednd, ntr-un mod particularizat pentru aceast disciplin, orientarea general a procesului educaional.

Competenele specifice sunt competene derivate din competenele generale i reprezint etape msurabile n formarea i dezvoltarea acestora. Pentru formarea i dezvoltarea competenelor specifice, n program sunt propuse exemple de activiti de nvare care valorific experiena concret a elevului i care definesc contexte de nvare variate. Programa colar de matematic pentru gimnaziu propune o ofert flexibil de activiti de nvare. Profesorul poate s modifice, s completeze sau s nlocuiasc aceste activiti cu altele adecvate clasei. Devine astfel posibil s se realizeze un demers didactic personalizat, care s asigure formarea/dezvoltarea competenelor prevzute de program, n contextul specific al fiecrei clase.

Coninuturile reprezint decupaje didactice relevante pentru matematic, structurate i abordate astfel nct s fie accesibile elevilor de gimnaziu. Ele sunt mijloace informaionale prin care se formeaz i se dezvolt competenele specifice. Coninuturile au fost selectate pe baza principiului continuitii i al coerenei i sunt puternic interconectate, astfel nct, dup parcurgerea lor integral, elevul s fie capabil s realizeze conexiuni ntre idei, texte cu coninut matematic, reprezentri grafice i formule, n scopul rezolvrii unor probleme diverse, de natur teoretic sau practic-aplicativ.

Sugestiile metodologice reprezint o component a programei care propune modaliti i mijloace pentru realizarea demersului didactic.

Note definitorii ale acestei programe Programa colar de matematic delimiteaz, pentru fiecare clas a nvmntului gimnazial, un

nivel de pregtire matematic necesar elevilor pentru continuarea studiilor disciplinare i, pe baza acestuia, trasarea posibilitilor de avansare n nvare.

Programa colar de matematic a fost gndit astfel nct s poat fi parcurs n 75% din timpul alocat orelor de matematic, restul orelor (25%) fiind la dispoziia profesorului pentru activiti remediale, de fixare sau de progres.

O caracteristic a acestei programe colare este c, n clasele a V-a i a VI-a, noiunile sunt prezentate intuitiv, evitndu-se abuzul de notaii sau de abstractizare. Spre finalul clasei a VI-a, ateptrile sunt ca elevul s poat deja dezvolta raionamente deductive simple, utiliznd, dac este cazul, contraexemple. Elevul devine capabil s foloseasc diferite mijloace de nvare, inclusiv softuri matematice. De asemenea, poate folosi n mod adecvat regulile de calcul pentru a investiga idei matematice i pentru a rezolva diverse situaii problematice.

Paii ctre dezvoltarea unei gndiri structurate, teoretizrile sau raionamentele mai ample, orientate spre formarea unor competene de transfer al matematicii n practic i al cotidianului n modele matematice, precum i familiarizarea cu o abordare pluridisciplinar a domeniilor cunoaterii, se realizeaz treptat, mai accentuat n ultimii doi ani din gimnaziu.

Extinderea spaiului numeric la acest nivel de colaritate impune nelegerea i dezvoltarea unor competene de operare cu numere reale. De asemenea, aprofundarea unor noiuni de geometrie i de msurare devine o premis n nelegerea unor noiuni specifice altor discipline prevzute n planul-cadru.

Matematic clasele a V-a a VIII-a 4

Competene generale

1. Identificarea unor date, mrimi i relaii matematice n contextul n care acestea apar

2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural cuprinse n diverse surse informaionale

3. Utilizarea conceptelor i a algoritmilor specifici n diverse contexte matematice

4. Exprimarea n limbajul specific matematicii a informaiilor, concluziilor i demersurilor de rezolvare pentru o situaie dat

5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaii date

6. Modelarea matematic a unei situaii date, prin integrarea achiziiilor din diferite domenii

Matematic clasele a V-a a VIII-a 5

CLASA a V-a

Competene specifice i exemple de activiti de nvare

C.G. 1. Identificarea unor date, mrimi i relaii matematice n contextul n care acestea apar

Clasa a V-a 1.1. Identificarea numerelor naturale n contexte variate - Scrierea i citirea numerelor naturale n sistemul de numeraie zecimal - Identificarea unor numere naturale ntr-o diagram, ntr-un grafic sau ntr-un tabel care conin date

referitoare la o situaie practic - Identificarea unui numr natural pe baza unor condiii impuse cifrelor sale (de exemplu, determinai

numerele de forma 245a , tiind c produsul cifrelor sale este 120) - Identificarea unei metode aritmetice adecvate pentru rezolvarea unei probleme date

1.2. Identificarea fraciilor ordinare sau zecimale n contexte variate - Utilizarea unor reprezentri grafice variate pentru ilustrarea fraciilor echiunitare, subunitare,

supraunitare - Verificarea echivalenei a dou fracii prin diferite reprezentri

- Scrierea unui procent sub form de fracie ordinar (de exemplu, 20% se scrie 20

100 )

- Identificarea unor date statistice din diagrame, tabele sau grafice 1.3. Identificarea noiunilor geometrice elementare i a unitilor de msur n diferite contexte - Observarea unor figuri geometrice pe modele fizice/desene - Descrierea i identificarea unor elemente ale figurilor i corpurilor geometrice - Identificarea unor segmente congruente sau unghiuri congruente n configuraii cu axe de simetrie - Alegerea unitii de msur pentru estimarea lungimilor/distanelor, ariilor i volumelor n diferite

situaii practice

C.G. 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural cuprinse n diverse surse informaionale

Clasa a V-a 2.1. Efectuarea de calcule cu numere naturale folosind operaiile aritmetice i proprietile acestora - Efectuarea operaiilor aritmetice cu numere naturale - Efectuarea de calcule utiliznd factorul comun - Efectuarea operaiilor cu puteri utiliznd regulile de calcul specifice - Reprezentarea datelor dintr-o problem, n vederea aplicrii unei metode aritmetice adecvate

2.2. Efectuarea de calcule cu fracii folosind proprieti ale operaiilor aritmetice - Introducerea i scoaterea ntregilor dintr-o fracie ordinar - nmulirea i mprirea unei fracii zecimale cu un numr finit de zecimale nenule cu 10, 100, 1000 - Scrierea unei fracii zecimale cu un numr finit de zecimale nenule ca un produs dintre un numr zecimal i o putere a lui 10; scrierea unei fracii zecimale cu un numr finit de zecimale nenule ca un ct dintre un numr zecimal i o putere a lui 10

- Calcularea unei fracii echivalente cu o fracie dat, prin amplificare sau simplificare - Simplificarea unei fracii ordinare n vederea obinerii unei fracii ireductibile (prin simplificri

succesive, dac este cazul) - Efectuarea de operaii cu numere raionale exprimate sub form de fracie zecimal i/sau ordinar

2.3. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a msura sau pentru a construi configuraii geometrice - Construcia unor figuri geometrice cu dimensiuni date - Msurarea unor lungimi pe modele sau obiecte din realitatea nconjurtoare (utiliznd instrumente de

msur adecvate) - Aplicarea unor metode practice pentru msurarea perimetrelor pe modele sau obiecte din realitatea

nconjurtoare - Construcia unor segmente congruente i a unor unghiuri congruente

Matematic clasele a V-a a VIII-a 6

- Reprezentarea prin desen a unor configuraii geometrice (drepte paralele, drepte perpendiculare, unghiuri de msur dat etc.)

- Msurarea cu raportorul a unui unghi dat - Estimarea volumului/capacitii unui corp

C.G. 3. Utilizarea conceptelor i a algoritmilor specifici n diverse contexte matematice

Clasa a V-a 3.1. Utilizarea regulilor de calcul pentru efectuarea operaiilor cu numere naturale i pentru divizibilitate - Utilizarea algoritmului mpririi, cu restul egal sau diferit de zero, n cazul n care dempritul i

mpritorul au una sau mai multe cifre - Aproximarea/estimarea rezultatelor obinute prin utilizarea algoritmului mpririi - Calcularea unor expresii numerice care conin paranteze (rotunde, ptrate i acolade), cu respectarea

ordinii efecturii operaiilor - Aplicarea metodelor aritmetice pentru rezolvarea unor probleme cu numere naturale - Determinarea unui numr natural pe baza unor condiii impuse cifrelor sale (de exemplu, determinai

numerele de forma 2 5a b , tiind c produsul cifrelor sale este 120)

3.2. Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operaiilor cu fracii ordinare sau zecimale - Aplicarea algoritmilor de mprire a unei fracii zecimale la un numr natural sau la o fracie zecimal

cu un numr finit de zecimale nenule - Transformarea fraciilor ordinare n fracii zecimale i invers - Aplicarea metodelor aritmetice pentru rezolvarea unor probleme cu fracii

3.3. Determinarea perimetrelor, a ariilor (ptrat, dreptunghi) i a volumelor (cub, paralelipiped dreptunghic) i exprimarea acestora n uniti de msur corespunztoare - Transformri ale unitilor de msur standard folosind fracii zecimale - Calcularea perimetrului unei figuri geometrice, evideniind intuitiv perimetrul - Operaii cu msuri de unghiuri (limitate numai la grade i minute sexagesimale) - Determinarea volumului unui cub, al unui paralelipiped dreptunghic, utiliznd reeaua de cuburi cu

lungimea muchiei egal cu 1 i deducerea formulei de calcul - Aplicarea formulei pentru calculul volumului unui cub i a unui paralelipiped dreptunghic

C.G. 4. Exprimarea n limbajul specific matematicii a informaiilor, concluziilor i demersurilor de rezolvare pentru o situaie dat

Clasa a V-a 4.1. Exprimarea n limbaj matematic a unor proprieti referitoare la comparri, aproximri, estimri i ale operaiilor cu numere naturale - Reprezentarea pe axa numerelor a unui numr natural, utiliznd compararea i ordonarea numerelor

naturale - Justificarea estimrilor rezultatelor unor calcule cu numere naturale - Justificarea scrierii unui numr natural dat sub form de putere cu baza sau exponentul indicat - Exprimarea unor numere naturale de dou cifre ca produs de numere prime

4.2. Utilizarea limbajului specific fraciilor/procentelor n situaii date - ncadrarea unei fracii zecimale ntre dou numere naturale consecutive - Utilizarea limbajului specific pentru determinarea unei fracii dintr-un numr natural n , multiplu al

numitorului fraciei - Utilizarea limbajului adecvat pentru exprimarea unor transformri monetare (inclusiv schimburi

valutare)

4.3. Transpunerea n limbaj specific a unor probleme practice referitoare la perimetre, arii, volume, utiliznd transformarea convenabil a unitilor de msur - Compararea unor distane/lungimi, perimetre, arii i volume exprimate prin uniti de msur diferite - Descrierea unor reprezentri geometrice n situaii practice/aplicative (de exemplu, realizarea planului

clasei, al curii colii prin metoda proiectului) - Descrierea metodelor utilizate pentru verificarea coliniaritii unor puncte date (de exemplu, cu msuri

de unghiuri, cu lungimi de segmente)

Matematic clasele a V-a a VIII-a 7

C.G. 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaii date

Clasa a V-a 5.1. Analizarea unor situaii date n care intervin numere naturale pentru a estima sau pentru a verifica validitatea unor calcule - Evidenierea avantajelor folosirii proprietilor operaiilor cu numere naturale n diferite contexte - Analizarea faptului c un numr natural este sau nu ptrat perfect (utiliznd ultima cifr, ncadrarea ntre

dou ptrate perfecte consecutive) - Determinarea unor numere naturale care respect anumite condiii (de exemplu, determinai numerele

prime a i b , tiind c 3 2 16a b+ = ) - Compararea a dou numere naturale scrise sub form de puteri folosind aducerea la aceeai baz sau la

acelai exponent - Aplicarea criteriilor de divizibilitate a numerelor naturale pentru situaii cotidiene

- Estimarea ordinului de mrime a numerelor de forma 2n , pornind de la probleme practice (de exemplu, foi de hrtie ndoite consecutiv, povestea tablei de ah)

- Realizarea unor estimri utiliznd procente (de exemplu, cunoscnd numrul elevilor de gimnaziu dintr-un ora i faptul c aproximativ 2% dintre acetia studiaz un instrument muzical, estimai numrul de elevi de gimnaziu care studiaz un instrument muzical)

- Stabilirea valorii de adevr a unui enun matematic cu numere naturale, folosind metode aritmetice

5.2. Analizarea unor situaii date n care intervin fracii pentru a estima sau pentru a verifica validitatea unor calcule - Reprezentarea pe axa numerelor a fraciilor zecimale cu un numr finit de zecimale nenule folosind

aproximarea acestora - Analizarea unor scheme, modele sau algoritmi pentru rezolvarea unor probleme practice care implic

utilizarea operaiilor cu fracii ordinare sau zecimale i ordinea efecturii operaiilor - Evidenierea, pe cazuri concrete, a relaiei dintre volum i capacitate - Estimarea msurilor unor mrimi caracteristice ale unor obiecte din mediul nconjurtor (capacitate,

mas, pre) - Estimarea mediei unui set de date; compararea estimrii cu valoarea determinat prin calcule

5.3. Interpretarea prin recunoaterea elementelor, a msurilor lor i a relaiilor dintre ele, a unei configuraii geometrice dintr-o problem dat - Estimarea sau determinarea ariilor unor suprafee n contexte reale, utiliznd caroiaje/pavaje - Estimarea ariei unei piese de pavaj atunci cnd cunoatem aria suprafeei i numrul de piese - Estimarea mrimii unor caracteristici (lungime, arie, volum) ale unor obiecte din mediul nconjurtor - Determinarea prin pliere a axelor de simetrie pentru ptrat, dreptunghi - Estimarea capacitii unui vas prin raportare la capacitatea altui vas (activitate practic sau lecii

demonstrative utiliznd calculatorul)

C.G. 6. Modelarea matematic a unei situaii date, prin integrarea achiziiilor din diferite domenii

Clasa a V-a 6.1. Modelarea matematic, folosind numere naturale, a unei situaii date, rezolvarea problemei obinute prin metode aritmetice i interpretarea rezultatului - Modelarea unor probleme practice utiliznd metode aritmetice (metoda reducerii la unitate, metoda

comparaiei, metoda figurativ, metoda mersului invers etc.) - Evidenierea unor situaii n care metoda de rezolvare propus este aplicat incorect - Exemplificarea, folosind gndirea critic, a unor probleme cu date insuficiente, a unor probleme cu date

contradictorii etc. - Formularea unei probleme pe baza unei scheme sau reguli date i rezolvarea acesteia prin metode

aritmetice (metoda reducerii la unitate, metoda comparaiei, metoda figurativ, metoda mersului invers etc.)

6.2. Reprezentarea matematic, folosind fraciile, a unei situaii date, n context intra i interdisciplinar (geografie, fizic, economie etc.) - Formularea unor probleme cu fracii, pe baza unor scheme sau reguli date i rezolvarea acestora prin

metode aritmetice (metoda reducerii la unitate, metoda comparaiei, metoda mersului invers etc.)

Matematic clasele a V-a a VIII-a 8

- Reprezentarea datelor statistice folosind softuri matematice - Argumentarea demersului de rezolvare a unei probleme pornind de la un set de informaii cu caracter

cotidian sau tiinific (fizic, economic etc.)

6.3. Analizarea unor probleme practice care includ elemente de geometrie studiate, cu referire la uniti de msur i la interpretarea rezultatelor - Alegerea unui etalon adecvat pentru activiti practice referitoare la lungimi/arii/volume/capaciti - Stabilirea unor legturi, n contexte reale, ntre diferite tipuri de msurtori (de exemplu: determinarea

indicelui de mas corporal, determinarea cantitii de ap care se acumuleaz ntr-un vas n timp dat) - Aplicarea n situaii practice a elementelor de geometrie studiate pentru generalizri i particularizri; de

exemplu, probleme deschise de tip: utilizarea unor metode personale pentru transpunerea unui model geometric dat pe hrtie la suprafee mari (rond de flori, mozaic, mandala), pentru determinarea numrului de portocale care ncap ntr-o cutie cubic imaginar cu latura de 100 metri, cu rezolvare de la particular la general, de la mic la mare

- Modelarea unei situaii date, referitoare la segmente, figuri congruente, mijlocul unui segment i simetricul unui punct fa de un punct, prin traspunerea acestora din contextul dat n limbaj specific matematicii

Coninuturi Domenii de

coninut Coninuturi

Numere 1. NUMERE NATURALE Operaii cu numere naturale Scrierea i citirea numerelor naturale; reprezentarea pe axa numerelor; compararea i

ordonarea numerelor naturale; aproximri, estimri Adunarea numerelor naturale, proprieti; scderea numerelor naturale nmulirea numerelor naturale, proprieti; factor comun mprirea cu rest 0 a numerelor naturale; mprirea cu rest a numerelor naturale Puterea cu exponent natural a unui numr natural; ptrate perfecte; reguli de calcul cu

puteri; compararea puterilor; scrierea n baza 10; scrierea n baza 2 (fr operaii) Ordinea efecturii operaiilor; utilizarea parantezelor: rotunde, ptrate i acolade Metode aritmetice de rezolvare a problemelor: metoda reducerii la unitate, metoda

comparaiei, metoda figurativ, metoda mersului invers, metoda falsei ipoteze Divizibilitatea numerelor naturale Divizibilitatea numerelor naturale; divizor; multiplu; divizori comuni; multipli comuni Criterii de divizibilitate cu: 2, 5, 10n , 3 i 9; numere prime; numere compuse

Numere. Organizarea

datelor

2. FRACII ORDINARE. FRACII ZECIMALE Fracii ordinare Fracii ordinare; fracii subunitare, echiunitare, supraunitare; procente; fracii echivalente

(prin reprezentri) Compararea fraciilor cu acelai numitor/numrtor; reprezentarea pe axa numerelor a unei

fracii ordinare Introducerea i scoaterea ntregilor dintr-o fracie Cel mai mare divizor comun a dou numere naturale (fr algoritm); amplificarea i

simplificarea fraciilor; fracii ireductibile Cel mai mic multiplu comun a dou numere naturale (fr algoritm); aducerea fraciilor la

un numitor comun Adunarea i scderea fraciilor nmulirea fraciilor, puteri; mprirea fraciilor Fracii/procente dintr-un numr natural sau dintr-o fracie ordinar Fracii zecimale

Fracii zecimale; scrierea fraciilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub form de fracii zecimale; transformarea unei fracii zecimale cu un numr finit de zecimale nenule n fracie ordinar

Matematic clasele a V-a a VIII-a 9

Aproximri; compararea, ordonarea i reprezentarea pe axa numerelor a unor fracii zecimale cu un numr finit de zecimale nenule

Adunarea i scderea fraciilor zecimale cu un numr finit de zecimale nenule nmulirea fraciilor zecimale cu un numr finit de zecimale nenule; puteri cu exponent

numr natural mprirea a dou numere naturale cu rezultat fracie zecimal; aplicaie: media aritmetic

a dou sau mai multor numere naturale; transformarea unei fracii ordinare ntr-o fracie zecimal; periodicitate

mprirea unei fracii zecimale cu un numr finit de zecimale nenule la un numr natural nenul; mprirea a dou fracii zecimale cu un numr finit de zecimale nenule

Transformarea unei fracii zecimale periodice n fracie ordinar Numr raional pozitiv; ordinea efecturii operaiilor cu numere raionale pozitive Metode aritmetice pentru rezolvarea problemelor cu fracii n care intervin i uniti de

msur pentru lungime, arie, volum, capacitate, mas, timp i uniti monetare Probleme de organizare a datelor; frecven; date statistice organizate n tabele, grafice cu

bare i/sau cu linii; media unui set de date statistice

Geometrie 3. ELEMENTE DE GEOMETRIE I UNITI DE MSUR Punct, dreapt, plan, semiplan, semidreapt, segment (descriere, reprezentare, notaii1) Poziiile relative ale unui punct fa de o dreapt; puncte coliniare; prin dou puncte

distincte trece o dreapt i numai una; poziiile relative a dou drepte: drepte concurente, drepte paralele

Distana dintre dou puncte; lungimea unui segment; segmente congruente (construcie); mijlocul unui segment; simetricul unui punct fa de un punct

Unghi: definiie, notaii, elemente; interiorul unui unghi, exteriorul unui unghi Msura unui unghi2, unghiuri congruente (msurarea i construcia cu raportorul);

clasificri de unghiuri: unghi drept, unghi ascuit, unghi obtuz; unghi nul, unghi alungit Calcule cu msuri de unghiuri exprimate n grade i minute sexagesimale Figuri congruente; axa de simetrie (prin suprapunere) Uniti de msur pentru lungime, aplicaie: perimetre; uniti de msur pentru arie,

aplicaii: aria ptratului/dreptunghiului; uniti de msur pentru volum, aplicaii: volumul cubului i al paralelipipedului dreptunghic; transformri ale unitilor de msur

1 Notaia AB reprezint dreapta AB , segmentul AB , lungimea segmentului AB sau distana de la punctul A la punctul B , n funcie de context.

2 Notaia AOB reprezint att unghiul AOB , ct i msura unghiului AOB , n funcie de context. Not. Coninuturile vor fi abordate din perspectiva competenelor specifice. Activitile de nvare sugerate ofer o imagine posibil privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competene.

Matematic clasele a V-a a VIII-a 10

CLASA a VI-a

Competene specifice i exemple de activiti de nvare

C.G. 1. Identificarea unor date, mrimi i relaii matematice n contextul n care acestea apar

Clasa a VI-a 1.1. Identificarea unor noiuni specifice mulimilor i relaiei de divizibilitate n - Recunoaterea unor mulimi finite sau infinite (mulimea numerelor naturale, mulimea numerelor

naturale pare/impare, mulimea cifrelor unui numr, mulimea divizorilor/multiplilor unui numr natural) - Definirea unor mulimi folosind diagrame i/sau enumerare de elemente - Recunoaterea unor numere prime - Identificarea, dintr-o mulime de numere, a unui numr compus - Identificarea unui divizor al unui numr dat - Scrierea unui numr natural de dou cifre ca produs de puteri de numere prime, prin observare direct - Scrierea mulimii divizorilor unui numr natural folosind descompunerea n produs de numere prime - Recunoaterea unor perechi de numere prime ntre ele

1.2. Identificarea rapoartelor, proporiilor i a mrimilor direct sau invers proporionale - Identificarea, citirea, scrierea i exemplificarea de rapoarte, procente - Identificarea, citirea, scrierea i exemplificarea de proporii i mrimi direct sau invers proporionale,

din practic/cotidian sau n context intradisciplinar sau interdisciplinar (de exemplu: scara unei hri, concentraia unei soluii)

- Identificarea unor mrimi direct proporionale n reprezentri grafice 1.3. Identificarea caracteristicilor numerelor ntregi n contexte variate - Identificarea unui numr ntreg n situaii practice sau interdisciplinare (de exemplu: temperaturi,

altitudini, golaveraje, debit/credit) - Reprezentarea pe axa numerelor a opusului unui numr ntreg; modulul ca distan pe axa numerelor de

la origine la reprezentarea numrului - Identificarea unor contexte practic-aplicative sau teoretice care folosesc ecuaii sau inecuaii n mulimea

numerelor ntregi

1.4. Recunoaterea fraciilor echivalente, a fraciilor ireductibile i a formelor de scriere a unui numr raional - Identificarea unui numr raional n situaii practice sau interdisciplinare (de exemplu: temperatura

corpului, nlimea unei persoane, preul unui produs) - Reprezentarea numerelor raionale pe axa numerelor, utiliznd i noiunile: opus i modul - Identificarea unor contexte practic-aplicative sau teoretice care folosesc numere raionale

1.5. Recunoaterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) n configuraii date - Identificarea unor drepte sau unghiuri ntr-o configuraie geometric dat, din realitatea nconjurtoare - Identificarea unor cercuri i arce de cerc ntr-o configuraie geometric dat, din realitatea

nconjurtoare - Identificarea unor relaii ntre elemente geometrice date (apartenen, incluziune, egalitate, concuren,

paralelism, perpendicularitate, simetrie)

1.6. Recunoaterea unor elemente de geometrie plan asociate noiunii de triunghi - Recunoaterea unor triunghiuri isoscele/echilaterale/ascuitunghice/dreptunghice/obtuzunghice n

configuraii geometrice date - Recunoaterea elementelor caracteristice triunghiurilor n desene, machete, mediul nconjurtor etc. - Descrierea unor caracteristici ale configuraiilor geometrice date referitoare la triunghi (prin observare,

prin utilizarea instrumentelor geometrice) - Recunoaterea unor triunghiuri congruente ntr-o configuraie geometric dat

C.G. 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural cuprinse n diverse surse informaionale

Clasa a VI-a 2.1. Evidenierea n exemple a relaiilor de apartenen, de incluziune, de egalitate i a criteriilor de

Matematic clasele a V-a a VIII-a 11

divizibilitate cu 2, 5, n10 , 3 i 9 n

- Recunoaterea i exemplificarea de elemente care aparin/nu aparin unei mulimi date prin diagrame sau prin enumerarea elementelor

- Recunoaterea i exemplificarea de mulimi date prin diagrame sau prin enumerarea elementelor; mulimi care sunt n relaie de incluziune sau care nu sunt n relaie de incluziune

- Identificarea unor numere naturale care se divid cu 2, 5, 10n , 3 sau 9, utiliznd criteriile de divizibilitate - Scrierea unui numr natural ca produs de puteri de numere prime folosind descompunerea n factori

primi - Selectarea dintr-o enumerare dat a numerelor naturale prime/compuse

2.2. Prelucrarea cantitativ a unor date utiliznd rapoarte i proporii pentru organizarea de date - Determinarea unui procent dintr-un numr dat; determinarea unui numr, cnd se cunoate un procent

din el (de exemplu: reducerea/creterea preului unui produs, concentraia unei soluii) - Calcularea unei valori necunoscute dintr-o proporie - Calcularea unor numere folosind un ir de rapoarte egale - Calcularea valorii unui raport folosind un ir de rapoarte egale (de exemplu, cunoscnd raportul

numerelor, determinm raportul sumelor sau al produselor) - Organizarea i reprezentarea de date sub form de grafice, tabele sau diagrame statistice n vederea

nregistrrii, prelucrrii i prezentrii acestora

2.3. Utilizarea operaiilor cu numere ntregi pentru rezolvarea ecuaiilor i inecuaiilor - Compararea numerelor ntregi, pornind de la reprezentrile acestora pe axa numerelor - Ordonarea elementelor unei mulimi finite de numere ntregi - Utilizarea regulilor specifice pentru efectuarea operaiilor cu numere ntregi: adunare, scdere,

nmulire, mprire i ridicare la putere cu exponent natural - Validarea (prin prob) a soluiei unei ecuaii sau a unei inecuaii n mulimea numerelor ntregi 2.4. Aplicarea regulilor de calcul cu numere raionale pentru rezolvarea ecuaiilor de tipul: x a b+ = , x a b = , :x a b= ( )0a , ax b c+ = , unde a , b i c sunt numere raionale - Utilizarea regulilor specifice pentru efectuarea operaiilor cu numere raionale: adunare, scdere,

nmulire, mprire (calcule ce implic maximum dou operaii) - Estimarea rezultatului unui calcul nainte de efectuarea lui (cu scopul ntririi abilitilor de calcul

mintal n contexte practice, cotidiene, de exemplu: cumprturi, cantiti necesare, cantiti suficiente) - Validarea (prin prob) a soluiei unei ecuaii cu coeficieni numere raionale - Rezolvarea de ecuaii utiliznd regulile de calcul studiate

2.5. Recunoaterea coliniaritii unor puncte, a faptului c dou unghiuri sunt opuse la vrf, adiacente, complementare sau suplementare i a paralelismului sau perpendicularitii a dou drepte - Prelucrarea cantitativ a unor informaii privind distane, lungimi de segmente sau msuri de

unghiuri/arce n vederea stabilirii coliniaritii unor puncte, inclusiv n contextul cercului (de exemplu: punctele diametral opuse, centrul cercului)

- Verificarea faptului c dou unghiuri sunt suplementare, complementare sau congruente - Aplicarea, ntr-o configuraie dat, a proprietii unghiurilor opuse la vrf i a unghiurilor n jurul unui

punct pentru determinarea unor msuri de unghiuri

2.6. Calcularea unor lungimi de segmente, msuri de unghiuri n contextul geometriei triunghiului - Stabilirea tipului de triunghi prin efectuarea de calcule numerice cu lungimi de segmente i msuri de

unghiuri - Efectuarea de calcule numerice pentru formularea de rspunsuri privind liniile importante n triunghi - Efectuarea de msurtori cu raportorul i rigla pentru formularea de rspunsuri privind unghiurile

exterioare ale unui triunghi, inegaliti ntre laturi/unghiuri ale unui triunghi

C.G. 3. Utilizarea conceptelor i a algoritmilor specifici n diverse contexte matematice

Clasa a VI-a

3.1. Utilizarea unor modaliti adecvate de reprezentare a mulimilor i de determinare a c.m.m.d.c. i a c.m.m.m.c. - Reprezentarea unor mulimi prin diagrame i/sau prin enumerarea elementelor

Matematic clasele a V-a a VIII-a 12

- Efectuarea de operaii cu mulimi (reuniunea, intersecia, diferena) punnd accentul pe exemple practice - Determinarea c.m.m.d.c./c.m.m.m.c. prin descompunerea numerelor naturale n produse de puteri de

numere prime - Verificarea, prin exemple, a proprietii ( ) [ ], ,a b a b a b = , unde a i b sunt numere naturale (de

exemplu, calcularea c.m.m.m.c. pentru numere prime ntre ele) - Utilizarea unor exemple pentru deducerea unor proprieti ale relaiei de divizibilitate n mulimea

numerelor naturale

3.2. Aplicarea unor metode specifice de rezolvare a problemelor n care intervin rapoarte, proporii i mrimi direct/invers proporionale - Determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporie - Rezolvarea de probleme n care intervin rapoarte, procente sau proporii - Stabilirea proporionalitii (directe sau inverse) ntre dou mrimi i rezolvarea de probleme n care

intervin mrimi direct sau invers proporionale, n contexte practic-aplicative sau interdisciplinare - Utilizarea unor reguli specifice pentru obinerea de proporii derivate (numai pe exemple numerice) - Calcularea probabilitii folosind raportul numrul cazurilor favorabile/numrul cazurilor posibile, n

contexte practic aplicative simple

3.3. Aplicarea regulilor de calcul i folosirea parantezelor n efectuarea operaiilor cu numere ntregi - Aplicarea unor proprieti ale operaiilor cu numere ntregi pentru optimizarea calculelor numerice - Utilizarea regulilor de calcul cu puteri (calcule numerice) - Utilizarea eficient a metodelor de determinare a unei necunoscute dintr-o ecuaie sau inecuaie (metoda

mersului invers, metoda balanei, transformri ale relaiilor de egalitate/inegalitate)

3.4. Utilizarea proprietilor operaiilor pentru compararea i efectuarea calculelor cu numere raionale - Compararea numerelor raionale, inclusiv poziionarea numerelor pe axa numerelor - Ordonarea elementelor unei mulimi finite de numere raionale - Utilizarea de proprieti ale operaiilor cu numere raionale pentru optimizarea calculelor numerice - Utilizarea regulilor de calcul cu puteri (calcule numerice) - Determinarea unei necunoscute dintr-o ecuaie (metoda mersului invers, metoda balanei, transformri

ale relaiilor de egalitate)

3.5. Utilizarea unor proprieti referitoare la distane, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor construcii geometrice - Utilizarea instrumentelor geometrice (raportor, rigl, compas) pentru realizarea unor figuri geometrice - Construcia bisectoarei unui unghi folosind raportorul i rigla, respectiv compasul i rigla - Construcia dreptelor paralele, a dreptelor perpendiculare, a mediatoarei unui segment folosind

instrumentele geometrice - Construcia simetricei unei figuri fa de o dreapt dat - Determinarea unor lungimi de segmente utiliznd informaii cuprinse n reprezentrile geometrice - Determinarea unor msuri de unghiuri/arce de cerc utiliznd informaii cuprinse n reprezentrile

geometrice

3.6. Utilizarea criteriilor de congruen i a proprietilor unor triunghiuri particulare pentru determinarea caracteristicilor unei configuraii geometrice - Stabilirea congruenei unor triunghiuri identificnd criteriul de congruen potrivit - Utilizarea relaiei de congruen a triunghiurilor pentru stabilirea congruenei unor segmente sau

unghiuri - Utilizarea proprietilor triunghiurilor isoscele/echilaterale/dreptunghice pentru determinarea unor

lungimi de segmente, distane, msuri de unghiuri, proprieti ale punctelor de pe mediatoare, bisectoare

C.G. 4. Exprimarea n limbajul specific matematicii a informaiilor, concluziilor i demersurilor de rezolvare pentru o situaie dat

Clasa a VI-a 4.1. Exprimarea n limbaj matematic a unor situaii concrete care se pot descrie utiliznd mulimile i divizibilitatea n - Exprimarea n limbaj matematic a unor caracteristici ale elementelor unor mulimi finite (de exemplu,

mulimea cifrelor pare)

Matematic clasele a V-a a VIII-a 13

- Formularea unor enunuri simple folosind cuvintele i, sau, nu n contextul operaiilor cu mulimi - Utilizarea terminologiei specifice divizibilitii - Redactarea rezolvrii unor probleme referitoare la relaia de divizibilitate n

4.2. Exprimarea n limbaj matematic a relaiilor i a mrimilor care apar n probleme cu rapoarte, proporii i mrimi direct sau invers proporionale - Exprimarea relaiei de proporionalitate direct sau invers ntre mrimi sub forma unei proporii sau a

unei egaliti de produse - Exprimarea n limbaj matematic a datelor unei probleme care se rezolv cu regula de trei simpl - Determinarea valorilor minime, maxime i medii dintr-un set de date - Organizarea informaiilor pe baza unor criterii, utiliznd sortarea, clasificarea i reprezentarea grafic

(cu accent pe interpretarea aceluiai set de date n contexte diferite i pe utilizarea softurilor matematice)

4.3. Redactarea etapelor de rezolvare a ecuaiilor i a inecuaiilor studiate n mulimea numerelor ntregi - Formularea unor rspunsuri logice n raport cu cerine de calcul numeric (corelaii intradisciplinare; de

exemplu: apartenena rezultatului unui calcul la o mulime, estimarea rezultatului, utilizarea lui 0 ca factor n produse de numere)

- Scrierea unei ecuaii/inecuaii echivalente cu o ecuaie/inecuaie dat - Redactarea demersului de rezolvare a unor ecuaii sau inecuaii n mulimea numerelor ntregi (inclusiv

verificarea soluiilor) - Transpunerea unei probleme ntr-o ecuaie care se rezolv n mulimea numerelor ntregi - Exprimarea unor caracteristici ale modulului, derivate din definiia acestuia ( x a= , x a< , x a ,

unde a i x sunt numere ntregi)

4.4. Redactarea etapelor de rezolvare a unor probleme folosind operaii n mulimea numerelor raionale - Formularea unor rspunsuri logice n raport cu cerine de calcul numeric (corelaii intradisciplinare; de

exemplu: apartenena rezultatului unui calcul la o mulime, estimarea rezultatului) - Transpunerea unei probleme ntr-o ecuaie care se rezolv n mulimea numerelor raionale - Redactarea demersului de rezolvare i validarea soluiilor (prin prob) n cazul problemelor cu coninut

practic

4.5. Exprimarea prin reprezentri geometrice sau n limbaj specific matematic a noiunilor legate de dreapt, unghi i cerc - Descrierea n limbaj matematic a unor configuraii geometrice date care conin drepte, unghiuri, cercuri - Transpunerea unor informaii date (matematic sau n context practic) n configuraii geometrice care

conin drepte, unghiuri, cercuri - Justificarea paralelismului a dou drepte utiliznd perechi de unghiuri formate de dou drepte cu o

secant

4.6. Exprimarea n limbaj geometric simbolic i figurativ a caracteristicilor triunghiurilor i ale liniilor importante n triunghi - Transcrierea n limbaj simbolic a caracteristicilor triunghiurilor coninute n figuri geometrice date - Transcrierea, din figuri geometrice date, n limbaj simbolic a caracteristicilor liniilor importante n

triunghi - Redactarea datelor cunoscute (ipoteze) i a celor necunoscute (concluzii), n raport cu o situaie dat

referitoare la triunghi - Evidenierea unor relaii i proprieti: unghi exterior unui triunghi, inegaliti ntre laturi i relaii ntre

laturi i unghiuri ale unui triunghi etc.

C.G. 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaii date

Clasa a VI-a 5.1. Analizarea unor situaii date n contextul mulimilor i al divizibilitii n - Asocierea unu la unu a elementelor a dou mulimi finite care au acelai cardinal - Estimarea cardinalului unei mulimi n contexte practic-aplicative (de exemplu: numrul elevilor colii,

numrul notelor obinute de un elev ntr-un semestru, numrul oraelor unui jude) - Analizarea i compararea unor metode diferite de rezolvare a unei probleme de divizibilitate - Aplicarea proprietilor divizibilitii n pentru rezolvarea exerciiilor cu fracii

Matematic clasele a V-a a VIII-a 14

5.2. Analizarea unor situaii practice cu ajutorul rapoartelor, proporiilor i a coleciilor de date - Justificarea proporionalitii n vederea aplicrii regulii de trei simpl - Interpretarea datelor nregistrate n tabele, grafice sau diagrame; estimri - Analizarea unui set de date pentru a determina existena unei proporionaliti (de exemplu: economie,

cotidian) - Interpretarea mediei unui set de date - Exprimarea semnificaiei unor elemente dintr-un grafic

5.3. Interpretarea unor date din probleme care se rezolv utiliznd numerele ntregi - Analizarea unor situaii practice n care se utilizeaz numere ntregi - Analizarea unor consecine posibile ce decurg din modificarea unui set de ipoteze n probleme referitoare

la numere ntregi - ncadrarea soluiei unei ecuaii ntr-o mulime de numere ntregi, fr a efectua calcule

5.4. Determinarea unor metode eficiente n efectuarea calculelor cu numere raionale - Analizarea unor situaii practice n care se utilizeaz numere raionale - Analizarea i alegerea metodei optime de efectuare a calculului numeric prin utilizarea de proprieti ale

operaiilor studiate - Interpretarea rspunsurilor obinute prin rezolvarea de ecuaii i identificarea mulimii soluiilor 5.5. Analizarea seturilor de date numerice sau a reprezentrilor geometrice n vederea optimizrii calculelor cu lungimi de segmente, distane, msuri de unghiuri i de arce de cerc - Stabilirea numrului minim/maxim de drepte determinate de un numr dat de puncte (fr generalizare) - Analizarea unei configuraii geometrice pentru verificarea unor proprieti referitoare la bisectoare (de

exemplu: bisectoarele unghiurilor opuse la vrf, bisectoarele unghiurilor adiacente suplementare) - Analizarea unei configuraii geometrice pentru verificarea unor proprieti referitoare la lungimi (de

exemplu: ordonarea unor puncte pe dreapt utiliznd lungimi de segmente date, lungimea coardei cel mult egal cu lungimea diametrului)

- Analizarea unei configuraii geometrice pentru verificarea unor proprieti referitoare la simetria fa de un punct, simetria fa de o dreapt

5.6. Analizarea unor construcii geometrice n vederea evidenierii unor proprieti ale triunghiurilor - Construcia unei configuraii geometrice cu triunghiuri avnd proprieti date, cu ajutorul instrumentelor

geometrice sau al softurilor matematice - Analizarea setului de ipoteze ale unei probleme i elaborarea unei strategii de rezolvare prin raportarea

adecvat la proprietile studiate ale triunghiurilor - Analizarea i validarea veridicitii unei afirmaii folosind raionamente simple referitoare la triunghi - Analizarea validitii unor enunuri referitoare la triunghiuri rezultate prin modificarea unei ipoteze

(necesar/suficient) sau prin interschimbarea unor informaii din ipotez i din concluzie

C.G. 6. Modelarea matematic a unei situaii date, prin integrarea achiziiilor din diferite domenii

Clasa a VI-a 6.1. Transpunerea, n limbaj matematic, a unor situaii date utiliznd mulimi, operaii cu mulimi i divizibilitatea n - Deducerea unor consecine imediate care decurg din analizarea unui set de date asociate mulimilor (de

exemplu, n general \A B este diferit de \B A ) - Interpretarea unor situaii practice sau interdisciplinare (de exemplu, numeral cardinal/ordinal) folosind

limbajul specific mulimilor i operaiilor cu mulimi - Interpretarea unor noiuni de baz din geometrie (punct, segment, semidreapt, dreapt; poziii relative:

punct-dreapt, dreapt-dreapt) utiliznd limbajul specific mulimilor - Identificarea n situaii practice a unor intersecii, reuniuni sau diferene de mulimi (de exemplu: criterii

de divizibilitate, numere de dou cifre) - Rezolvarea unor probleme practice utiliznd proprietile divizibilitii n

6.2. Modelarea matematic a unei situaii date n care intervin rapoarte, proporii i mrimi direct sau invers proporionale - Modelarea matematic a dependenelor direct sau invers proporionale - Interpretarea unui set de date descrise grafic sau numeric (de exemplu: dac viteza este constant, atunci

Matematic clasele a V-a a VIII-a 15

distana i timpul sunt n relaie de proporionalitate direct; dac distana este constant, atunci viteza i timpul sunt n relaie de proporionalitate invers)

- Interpretarea unui raport ca raport procentual sau ca probabilitate

6.3. Transpunerea, n limbaj algebric, a unei situaii date, rezolvarea ecuaiei sau inecuaiei obinute i interpretarea rezultatului - Transpunerea unei situaii date n limbaj matematic, utiliznd ecuaii sau inecuaii - Formularea de probleme cu numere ntregi pe baza unei scheme date sau a unui exerciiu dat - Formularea unor probleme echivalente cu o problem dat n contextul numerelor ntregi 6.4. Interpretarea matematic a unor probleme practice prin utilizarea operaiilor cu numere raionale - mprirea unei cantiti n pri direct sau invers proporionale cu mai multe numere date - Interpretarea matematic a unei proporionaliti referitoare la segmente (de exemplu, interpretarea

regulilor din irul lui Fibonacci n construcii geometrice cu segmente, ptrate i dreptunghiuri) - Transpunerea, n limbaj matematic, a unei situaii date, utiliznd ecuaii n contextul numerelor raionale - Formularea de probleme cu numere raionale pe baza unei scheme date sau a unui exerciiu dat 6.5. Interpretarea informaiilor coninute n reprezentri geometrice pentru determinarea unor lungimi de segmente, distane i a unor msuri de unghiuri/arce de cerc - Descrierea unei situaii-problem, cu transpunerea acesteia din limbaj curent n limbaj simbolic i

figurativ - Estimarea lungimii unui segment, a unei distane, a msurii unui unghi sau a unui arc utiliznd diverse

date, reguli, relaii - Validarea rezultatului unui calcul/corectitudinii unei reprezentri geometrice, folosind modaliti diferite

de abordare: estimri, msurtori, comparri

6.6. Transpunerea, n limbaj specific, a unei situaii date legate de geometria triunghiului, rezolvarea problemei obinute i interpretarea rezultatului - Modelarea geometric a unei situaii concrete, asociind acesteia un desen, implicnd i estimri (de

exemplu, un traseu acas coal teren de sport, reprezentat printr-un triunghi) - Argumentarea demersului de rezolvare a unei probleme de geometrie - Realizarea de conexiuni interdisciplinare sau practic-aplicative (de exemplu: planul nclinat, traseul de

lungime minim, reflexia)

Coninuturi

Domenii de coninut Coninuturi

Mulimi. Numere

1. MULIMI. MULIMEA NUMERELOR NATURALE Descriere, notaii, reprezentri; mulimi numerice/nenumerice; relaia dintre un element i

o mulime; relaii ntre mulimi Mulimi finite, cardinalul unei mulimi finite; mulimi infinite, mulimea numerelor

naturale Operaii cu mulimi: reuniune, intersecie, diferen Descompunerea numerelor naturale n produs de puteri de numere prime; aplicaie:

determinarea celui mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) i a celui mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.); numere prime ntre ele

Proprieti ale divizibilitii n : a a , unde a , a b i b c a c , unde , ,a b c , a b i ( ),a c a b c unde , ,a b c , a bc i ( ), 1a b a c= , unde , ,a b c

Numere. Organizarea

datelor i probabiliti

2. RAPOARTE. PROPORII Rapoarte; proporii; proprietatea fundamental a proporiilor; determinarea unui termen

necunoscut dintr-o proporie; proporii derivate ir de rapoarte egale; mrimi direct proporionale; mrimi invers proporionale; regula de

trei simpl Elemente de organizare a datelor; reprezentarea datelor prin grafice n contextul

proporionalitii; reprezentarea datelor cu ajutorul unor softuri matematice; probabiliti (aplicaie la rapoarte)

Matematic clasele a V-a a VIII-a 16

Mulimi. Numere

3. MULIMEA NUMERELOR NTREGI Mulimea numerelor ntregi; opusul unui numr ntreg; reprezentarea pe axa numerelor;

modulul unui numr ntreg; compararea i ordonarea numerelor ntregi Adunarea numerelor ntregi, proprieti; scderea numerelor ntregi nmulirea numerelor ntregi, proprieti mprirea numerelor ntregi cnd dempritul este multiplu al mpritorului Puterea cu exponent numr natural a unui numr ntreg nenul; reguli de calcul cu puteri Ordinea efecturii operaiilor i folosirea parantezelor Ecuaii, inecuaii, probleme care se rezolv cu ajutorul ecuaiilor/inecuaiilor n contextul

numerelor ntregi

4. MULIMEA NUMERELOR RAIONALE Numr raional; mulimea numerelor raionale; reprezentarea numerelor raionale pe axa

numerelor, opusul unui numr raional; modulul; compararea i ordonarea numerelor raionale

Adunarea numerelor raionale; proprieti; scderea numerelor raionale nmulirea numerelor raionale; proprieti; mprirea numerelor raionale; puterea cu

exponent numr ntreg a unui numr raional nenul; reguli de calcul cu puteri Ordinea efecturii operaiilor i folosirea parantezelor Ecuaii de tipul: ( ), , : 0 ,x a b x a b x a b a ax b c+ = = = + = , unde , ,a b c sunt

numere raionale; probleme care se rezolv folosind ecuaii de acest tip

Geometrie 5. NOIUNI GEOMETRICE FUNDAMENTALE Unghiuri opuse la vrf, congruena lor; unghiuri formate n jurul unui punct, suma

msurilor lor; unghiuri suplementare, unghiuri complementare Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi, construcia bisectoarei unui unghi Drepte paralele (definiie, notaie, construcie intuitiv prin translaie); axioma

paralelelor; criterii de paralelism (unghiuri formate de dou drepte paralele cu o secant); aplicaii practice n poligoane i corpuri geometrice

Drepte perpendiculare n plan (definiie, notaie, construcie); oblice; aplicaii practice n poligoane i corpuri geometrice; distana de la un punct la o dreapt; mediatoarea unui segment; construcia mediatoarei unui segment; simetria fa de o dreapt

Cerc (definiie, construcie); elemente n cerc: centru, raz, coard, diametru, arc de cerc; unghi la centru; msuri

Poziiile unei drepte fa de un cerc; poziiile relative a dou cercuri 6. TRIUNGHIUL Triunghiul: definiie, elemente; clasificare; perimetru; suma msurilor unghiurilor unui

triunghi; unghi exterior unui triunghi, teorema unghiului exterior Construcia triunghiurilor: cazurile LUL, ULU, LLL; inegaliti ntre elementele

triunghiului (observate din cazurile de construcie) Linii importante n triunghi: bisectoarele unghiurilor unui triunghi: concurena (fr

demonstraie), cercul nscris n triunghi; mediatoarele laturilor unui triunghi: concuren (fr demonstraie), cercul circumscris unui triunghi; nlimile unui triunghi: definiie, construcie, concurena (fr demonstraie); medianele unui triunghi: definiie, construcie, concurena (fr demonstraie)

Congruena triunghiurilor oarecare: criterii de congruen a triunghiurilor: LUL, ULU, LLL; criteriile de congruen a triunghiurilor dreptunghice: CC, IC, CU, IU

Metoda triunghiurilor congruente, aplicaii: proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi/mediatoarea unui segment

Proprieti ale triunghiului isoscel; proprieti ale triunghiului echilateral Proprieti ale triunghiului dreptunghic (cateta opus unghiului de 30 , mediana

corespunztoare ipotenuzei teoreme directe i reciproce); teorema lui Pitagora (fr demonstraie, verificri de triplete de numere pitagoreice, determinarea de lungimi folosind ptrate perfecte)

Not. Coninuturile vor fi abordate din perspectiva competenelor specifice. Activitile de nvare sugerate ofer o imagine posibil privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competene.

Matematic clasele a V-a a VIII-a 17

CLASA a VII-a

Competene specifice i exemple de activiti de nvare

C.G. 1. Identificarea unor date, mrimi i relaii matematice n contextul n care acestea apar

Clasa a VII-a 1.1. Identificarea numerelor aparinnd diferitelor submulimi ale lui - Identificarea numerelor naturale ptrate perfecte dintr-o enumerare de numere date - Identificarea, n exemple relevante, a relaiei ntre puterea cu exponent 2 i rdcina ptrat a unui numr

natural ptrat perfect - Identificarea rdcinii ptrate dintr-un numr natural ptrat perfect utiliznd scrierea sub form de

putere cu exponent 2 - Recunoaterea numerelor naturale, ntregi, raionale - Recunoaterea unui numr iraional dintr-o mulime de numere date - Identificarea unei forme convenabile de scriere a unui numr real n funcie de un context dat 1.2. Identificarea unei situaii date rezolvabile prin ecuaii sau sisteme de ecuaii liniare - Recunoaterea unor relaii matematice care reprezint ecuaii - Identificarea necunoscutei, coeficienilor, termenilor liberi ai unei ecuaii - Furnizarea unor exemple de relaii matematice care reprezint ecuaii sau sisteme de ecuaii liniare - Identificarea i notarea datelor cunoscute i a datelor necunoscute n cazul problemelor care se rezolv cu

ajutorul ecuaiilor sau sistemelor de ecuaii

1.3. Identificarea unor informaii din tabele, grafice i diagrame - Extragerea unei informaii dintr-un tabel, grafic sau diagram - Identificarea modului adecvat de reprezentare a unor date - Identificarea unor exemple de corespondene matematice n contexte variate

1.4. Identificarea patrulaterelor particulare n configuraii geometrice date - Identificarea patrulaterelor pe corpuri geometrice sau pe desfurri ale acestora - Recunoaterea patrulaterelor n cotidian (n sala de clas, mediul nconjurtor etc.) - Identificarea patrulaterelor particulare n mediul nconjurtor - Identificarea paralelogramelor particulare ntr-o reprezentare geometric dat - Identificarea ptratelor dintr-o mulime de dreptunghiuri i romburi 1.5. Identificarea elementelor cercului i/sau poligoanelor regulate n configuraii geometrice date - Recunoaterea elementelor unui cerc pe configuraii geometrice date - Identificarea unor proprieti ale arcelor, coardelor i a diametrului perpendicular pe o coard - Identificarea poligoanelor regulate nscrise ntr-un cerc 1.6. Identificarea triunghiurilor asemenea n configuraii geometrice date - Identificarea unor imagini care i pstreaz forma prin mrire sau micorare (de exemplu: zoom,

microscop) - Recunoaterea proporionalitii lungimilor unor segmente care reprezint laturi ale unor triunghiuri - Identificarea laturilor omoloage ale unor triunghiuri asemenea - Identificarea vrfurilor omoloage ale unor triunghiuri asemenea

1.7. Recunoaterea elementelor unui triunghi dreptunghic ntr-o configuraie geometric dat - Identificarea triunghiurilor dreptunghice n configuraii geometrice date - Identificarea catetelor i a ipotenuzei ntr-un triunghi dreptunghic dat - Folosirea instrumentelor geometrice pentru a identifica proiecia unui punct/segment pe o dreapt - Identificarea proieciei unui segment pe o dreapt n diferite configuraii geometrice - Realizarea unor decupaje dup indicaii date (de exemplu, decuparea unui triunghi de-a lungul unei

nlimi)

C.G. 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural cuprinse n diverse surse informaionale

Clasa a VII-a 2.1. Aplicarea regulilor de calcul pentru estimarea i aproximarea numerelor reale - Scrierea unui numr real n diverse forme

Matematic clasele a V-a a VIII-a 18

- Aproximarea unui numr real i reprezentarea acestuia pe axa numerelor - Determinarea opusului, a modulului i a inversului unui numr real - Compararea numerelor reale utiliznd modulul, aproximri, ncadrarea unui numr real ntre doi ntregi

consecutivi, scoaterea factorilor de sub radical, introducerea factorilor sub radical

2.2. Utilizarea regulilor de calcul cu numere reale pentru verificarea soluiilor unor ecuaii sau sisteme de ecuaii liniare - Verificarea, prin calcul, c un numr dintr-o enumerare este soluie a unei ecuaii - Verificarea, prin calcul, a soluiei unui sistem de ecuaii liniare - Verificarea, prin calcul, c un numr real este soluie comun a unor ecuaii

2.3. Prelucrarea unor date sub form de tabele, grafice sau diagrame n vederea nregistrrii, reprezentrii i prezentrii acestora - Prelucrarea statistic a unor date reprezentate n tabel - Reprezentarea unor date prin diagrame, grafice circulare sau grafice cu bare - Reprezentarea unor date n tabele cu una sau cu dou intrri

2.4. Descrierea patrulaterelor utiliznd definiii i proprieti ale acestora, n configuraii geometrice date - Recunoaterea patrulaterelor convexe n configuraii geometrice date - Descrierea unor proprieti ale laturilor, unghiurilor i diagonalelor unor patrulatere particulare - Recunoaterea paralelogramelor particulare pe baza unor proprieti precizate - Recunoaterea trapezului isoscel sau a trapezului dreptunghic 2.5. Descrierea proprietilor cercului i ale poligoanelor regulate nscrise ntr-un cerc - Calcularea msurii unghiurilor unui poligon regulat - Reprezentarea prin desen a configuraiilor geometrice care conin un cerc i elementele sale folosind

instrumente geometrice - Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a reprezenta prin desen poligoane regulate nscrise n cerc

2.6. Stabilirea relaiei de asemnare ntre triunghiuri - Stabilirea relaiei de asemnare ntre dou triunghiuri utiliznd msura unghiurilor - Stabilirea relaiei de asemnare ntre dou triunghiuri utiliznd proporionalitatea laturilor - Stabilirea relaiei de asemnare ntre dou triunghiuri utiliznd proporionalitatea a dou perechi de

laturi i congruena unghiurilor dintre ele - Stabilirea relaiei de asemnare ntre dou triunghiuri prin aplicarea teoremei fundamentale a

asemnrii

2.7. Aplicarea relaiilor metrice ntr-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia - Calcularea lungimilor unor segmente utiliznd teorema nlimii, teorema catetei sau teorema lui Pitagora - Calcularea ariei unui triunghi oarecare folosind descompunerea suprafeei sale n triunghiuri

dreptunghice - Calcularea sinusului, cosinusului, tangentei i cotangentei pentru unghiuri ascuite ale unui triunghi

dreptunghic

C.G. 3. Utilizarea conceptelor i a algoritmilor specifici n diverse contexte matematice

Clasa a VII-a 3.1. Utilizarea unor algoritmi i a proprietilor operaiilor n efectuarea unor calcule cu numere reale - Utilizarea regulilor de calcul pentru produsul/raportul a doi radicali i pentru raionalizarea numitorului - Utilizarea de raionalizri sau introducerea/scoaterea factorilor de sub radical pentru a compara/ordona

numere iraionale - Calcularea modulului unor sume/diferene de numere iraionale - Calcularea puterii cu exponent numr ntreg a unui numr real nenul - Exersarea regulilor privind ordinea efecturii operaiilor cu numere reale - Utilizarea calculatorului pentru efectuarea sau verificarea unor calcule cu numere reale - Utilizarea distributivitii nmulirii fa de adunare/scdere n exerciii de desfacere a parantezelor 3.2. Utilizarea transformrilor echivalente n rezolvarea unor ecuaii i sisteme de ecuaii liniare - Aducerea unor egaliti la o form mai simpl prin transformri echivalente - Aplicarea transformrilor pentru obinerea unor sisteme de ecuaii liniare echivalente - Utilizarea probei pentru justificarea unui rezultat obinut

Matematic clasele a V-a a VIII-a 19

3.3. Alegerea metodei adecvate de reprezentare a problemelor n care intervin dependene funcionale i reprezentri ale acestora - Reprezentarea ntr-un sistem de axe ortogonale a unor puncte avnd coordonatele numere reale - Analizarea unor seturi de date pentru a determina un mod adecvat de reprezentare grafic a acestora - Interpretarea unei informaii extrase dintr-un tabel sau list

3.4. Utilizarea proprietilor patrulaterelor n rezolvarea unor probleme - Demonstrarea proprietilor paralelogramelor particulare utiliznd metode variate - Utilizarea definiiei i a proprietilor liniei mijlocii n trapez n rezolvarea de probleme - Utilizarea liniei mijlocii pentru a demonstra paralelismul unor drepte - Justificarea unor proprieti ale patrulaterelor pe baza simetriei 3.5. Utilizarea proprietilor cercului n rezolvarea de probleme - Utilizarea unor proprieti ale arcelor, coardelor i/sau a diametrului perpendicular pe o coard n

rezolvarea unor probleme - Rezolvarea unor probleme practice de determinare a unor lungimi sau distane folosind raza cercului (de

exemplu, calcularea numrului de rotaii complete ale roii unui automobil folosind distana parcurs) - Rezolvarea unor probleme folosind proprietile tangentelor duse dintr-un punct exterior la un cerc

3.6. Utilizarea asemnrii triunghiurilor n configuraii geometrice date pentru determinarea de lungimi, msuri i arii - Determinarea lungimilor unor segmente sau a msurilor unor unghiuri, utiliznd asemnarea

triunghiurilor sau proprietile irului de rapoarte egale - Calcularea lungimilor unor segmente n triunghi utiliznd teorema fundamental a asemnrii - Determinarea lungimilor unor segmente prin utilizarea teoremei paralelelor echidistante, a teoremei lui

Thales sau a proporiilor derivate - Calcularea lungimilor segmentelor determinate de diagonalele unui trapez pe linia mijlocie - Calcularea perimetrelor i ariilor a dou triunghiuri asemenea, prin utilizarea raportului de asemnare

3.7. Deducerea relaiilor metrice ntr-un triunghi dreptunghic - Aplicarea teoremei lui Pitagora, a teoremei nlimii sau a teoremei catetei, pentru a determina elemente

ale unui triunghi dreptunghic - Determinarea valorilor pentru sinusul, cosinusul, tangenta i cotangenta unghiurilor de 30 , 45 sau 60 - Utilizarea valorilor pentru sinusul, cosinusul, tangenta i cotangenta unghiurilor de 30 , 45 sau 60

pentru determinarea unor lungimi de segmente ntr-un triunghi dreptunghic - Determinarea unor lungimi de segmente, msuri de unghiuri, perimetre n configuraii geometrice

C.G. 4. Exprimarea n limbajul specific matematicii a informaiilor, concluziilor i demersurilor de rezolvare pentru o situaie dat

Clasa a VII-a 4.1. Folosirea terminologiei aferente noiunii de numr real (semn, modul, opus, invers) - Sortarea unor numere naturale, ntregi, raionale sau iraionale n funcie de mulimea creia i aparin

utiliznd terminologia adecvat - Utilizarea terminologiei specifice noiunii de numr real n descrierea modului de rezolvare a unui

exerciiu/a unei probleme - Identificarea rezultatului corect dintr-o list de rspunsuri posibile

4.2. Redactarea rezolvrii ecuaiilor i sistemelor de ecuaii liniare - Rezolvarea unor ecuaii de forma 0ax b+ = , unde ,a b - Utilizarea metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuaii liniare (metoda reducerii i metoda substituiei) - Verificarea validitii unei soluii a unei ecuaii sau a unui sistem de ecuaii 4.3. Descrierea n limbajul specific matematicii a unor elemente de organizare a datelor - Reprezentarea produsului cartezian a dou mulimi numerice finite - Evidenierea egalitii ntre cardinalul produsului cartezian a dou mulimi finite i produsul cardinalelor

celor dou mulimi - Exprimarea distanei dintre dou puncte n plan ca lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic ntr-un

sistem de axe ortogonale

4.4. Exprimarea n limbaj geometric a noiunilor legate de patrulatere - Construcia cu ajutorul instrumentelor geometrice a unor patrulatere utiliznd definiia sau proprieti

Matematic clasele a V-a a VIII-a 20

ale acestora - Transpunerea n desen a unei configuraii geometrice referitoare la patrulatere descrise matematic - Evidenierea liniei mijlocii n trapez pe baza definiiei/proprietilor acesteia - Evidenierea centrelor/axelor de simetrie pentru patrulaterele studiate - Caracterizarea tipului de simetrie pentru patrulaterele studiate

4.5. Exprimarea proprietilor cercului i ale poligoanelor n limbaj matematic - Descrierea n limbaj matematic a unor relaii (congruen, paralelism, perpendicularitate) ntre elemente

ale unor configuraii geometrice. - Utilizarea instrumentelor geometrice pentru construirea unor configuraii geometrice referitoare la cerc - Identificarea unor cazuri particulare i evidenierea unor proprieti n configuraii geometrice

referitoare la cerc i poligoane regulate

4.6. Exprimarea n limbaj matematic a proprietilor unor figuri geometrice folosind asemnarea - Argumentarea alegerii ntre teorema fundamental a asemnrii i teorema lui Thales pentru rezolvarea

unor probleme specifice - Stabilirea paralelismului unor drepte utiliznd reciproca teoremei lui Thales - Construcia cu ajutorul instrumentelor geometrice a unor configuraii geometrice respectnd condiii

date de asemnare - Identificarea unor cazuri particulare i evidenierea unor proprieti referitoare la asemnarea

triunghiurilor

4.7. Exprimarea n limbaj matematic a relaiilor dintre elementele unui triunghi dreptunghic - Utilizarea reciprocei teoremei lui Pitagora pentru stabilirea perpendicularitii a dou drepte sau a

naturii unui triunghi - Observarea diferenei dintre condiiile necesare i suficiente n contexte geometrice referitoare la relaii

metrice - Identificarea unor situaii particulare i evidenierea unor proprieti n contexte geometrice referitoare

la relaii metrice

C.G. 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaii date

Clasa a VII-a 5.1. Elaborarea de strategii pentru rezolvarea unor probleme cu numere reale - Determinarea mediei geometrice a dou numere reale pozitive - Determinarea mediei aritmetice ponderate a dou sau mai multor numere reale - Raionalizarea unor numitori de forma a b cu ,a b + - Scrierea adecvat a unor rapoarte de numere reale care necesit raionalizare, descompunere n factori i/sau simplificare

- Rezolvarea de probleme n care apar medii (aritmetic ponderat sau geometric)

5.2. Stabilirea unor metode de rezolvare a ecuaiilor sau a sistemelor de ecuaii liniare - Utilizarea transformrilor echivalente a ecuaiilor pentru fundamentarea unei metode de rezolvare - Evidenierea unor soluii asociate unei ecuaii liniare n cadrul unui sistem de ecuaii (de exemplu,

observarea faptului c fiecare dintre ecuaiile unui sistem de ecuaii liniare are mai multe soluii) - Compararea metodelor de rezolvare a unor sisteme de ecuaii liniare

5.3. Analizarea unor situaii practice prin elemente de organizare a datelor - Interpretarea unor informaii extrase dintr-un tabel/list/grafic - Verificarea unor afirmaii pe cazuri particulare prin construirea unor exemple i/sau contraexemple - Interpretarea reprezentrii a dou sau mai multor puncte ntr-un sistem de axe ortogonale, din punct de

vedere geometric sau din punct de vedere al fenomenului asociat

5.4. Alegerea reprezentrilor geometrice adecvate n vederea optimizrii calculrii unor lungimi de segmente, a unor msuri de unghiuri i a unor arii - Rezolvarea unor probleme utiliznd proprietile paralelogramelor particulare i ale trapezului - Analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie utiliznd proprieti ale

patrulaterelor particulare - Determinarea axei/centrului de simetrie a/al unei figuri (intuitiv sau/i prin demonstraie) - Analizarea i construcia unor figuri cu simetrie axial sau central - Deducerea formulei ariei unui paralelogram, folosind formula ariei dreptunghiului

Matematic clasele a V-a a VIII-a 21

- Deducerea formulei ariei unui triunghi, folosind formula ariei paralelogramului 5.5. Interpretarea unor proprieti ale cercului i ale poligoanelor regulate folosind reprezentri geometrice - Stabilirea unor metode adecvate pentru construcia poligoanelor regulate - Analizarea poziiei relative a unei drepte fa de un cerc n funcie de numrul punctelor de intersecie

dintre dreapt i cerc - Interpretarea unor proprieti ale cercului i ale poligoanelor regulate n probleme de micare

5.6. Interpretarea asemnrii triunghiurilor n configuraii geometrice - Deducerea relaiei dintre raportul ariilor a dou triunghiuri asemenea i raportul de asemnare (folosind

trecerea de la aplicaii practice particulare desene la scar, spre generalizarea cu formul) - Discutarea, analizarea i compararea unor metode diferite de rezolvare a unei probleme de asemnare a

triunghiurilor - Analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie utiliznd asemnarea

triunghiurilor

5.7. Interpretarea unor relaii metrice ntre elementele unui triunghi dreptunghic - Determinarea elementelor unui triunghi dreptunghic utiliznd relaiile metrice i trigonometrice studiate - Utilizarea valorilor pentru sinus, cosinus, tangent sau cotangent din tabele trigonometrice n

rezolvarea unor probleme practice - Utilizarea unor metode de calculare a ariei unui triunghi sau a unui patrulater - Analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie utiliznd relaii metrice i

elemente de trigonometrie

C.G. 6. Modelarea matematic a unei situaii date, prin integrarea achiziiilor din diferite domenii

Clasa a VII-a 6.1. Modelarea matematic a unor situaii practice care implic operaii cu numere reale - Formularea de probleme pornind de la un set de informaii obinute din cotidian sau din diverse domenii - Verificarea validitii unor afirmaii pe cazuri particulare sau prin construirea unor exemple i/sau

contraexemple - Rezolvarea unor probleme cu coninut practic, utiliznd proprietile operaiilor cu numere reale 6.2. Transpunerea matematic a unor situaii date, utiliznd ecuaii i/sau sisteme de ecuaii liniare - Transpunerea relaiilor cuprinse ntr-o situaie dat sub form de ecuaii - Rezolvarea unor probleme avnd coninut practic, utiliznd ecuaii sau sisteme de ecuaii liniare - Utilizarea estimrilor pentru ncadrarea ntr-un ordin de mrime a soluiei unei ecuaii 6.3. Transpunerea unei situaii date ntr-o reprezentare adecvat (text, formul, diagram, grafic) - Construirea i interpretarea unor diagrame cu date din situaii practice - Determinarea unor mulimi finite atunci cnd se cunoate reprezentarea geometric a produsului lor

cartezian - Rezolvarea unor probleme simple de geometrie pornind de la reprezentarea punctelor ntr-un sistem de

axe ortogonale

6.4. Modelarea unor situaii date prin reprezentri geometrice cu patrulatere - Analizarea unei situaii practice care necesit aplicarea proprietilor patrulaterelor particulare studiate - Observarea diferenei dintre condiiile necesare i cele suficiente pentru ca un paralelogram s fie un

paralelogram particular - Estimarea perimetrului unui poligon sau a ariei unui poligon prin descompunere n figuri cunoscute

6.5. Modelarea matematic a unor situaii practice n care intervin poligoane regulate sau cercuri - Analizarea unor situaii practice care necesit folosirea proprietilor cercului sau ale poligoanelor - Optimizarea metodelor de rezolvare a unor probleme de geometrie utiliznd proprieti ale cercului sau

ale poligoanelor - Observarea diferenei dintre condiiile necesare i cele suficiente n contexte geometrice referitoare la

cerc

6.6. Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situaii date, utiliznd asemnarea triunghiurilor - Analizarea prin activiti de grup sau individuale a unor situaii care necesit folosirea asemnrii, de

Matematic clasele a V-a a VIII-a 22

exemplu realizarea schiei cldirii colii - Justificarea, prin exemple, contraexemple sau demonstraii, a unui demers sau rezultat matematic obinut

n contextul asemnrii triunghiurilor - Folosirea unor metode standardizate sau nestandardizate care permit modelarea matematic a unor

situaii practice, de exemplu estimarea distanei pn la un obiect inaccesibil

6.7. Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situaii date, utiliznd relaii metrice n triunghiul dreptunghic - Analizarea prin activiti de grup sau individuale a unor situaii care necesit folosirea relaiilor metrice

n triunghiul dreptunghic - Compararea diferitelor metode utilizate n rezolvarea unor probleme referitoare la relaii metrice ntr-un

triunghi dreptunghic - Rezolvarea unor probleme prin estimarea unor mrimi din situaii practice, folosind triunghiul

dreptunghic (de exemplu, verificarea faptului c un dulap aezat n poziie orizontal poate fi ridicat n poziie vertical, n condiiile unei camere de nlime dat)

Coninuturi Domenii de

coninut Coninuturi

Mulimi. Numere

1. MULIMEA NUMERELOR REALE Rdcina ptrat a unui numr natural ptrat perfect; estimarea rdcinii ptrate dintr-un

numr raional Scoaterea factorilor de sub radical; introducerea factorilor sub radical Numere iraionale, exemple; mulimea numerelor reale; incluziunile ;

modulul unui numr real (definiie, proprieti)1; compararea i ordonarea numerelor reale; reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximri

Operaii cu numere reale (adunare, scdere, nmulire, mprire, puteri cu exponent numr ntreg); raionalizarea numitorului de forma a b

Media aritmetic ponderat a n numere reale, 2n ; media geometric a dou numere reale pozitive

Ecuaia de forma 2x a= , unde a

Algebr 2. ECUAII I SISTEME DE ECUAII LINIARE Transformarea unei egaliti ntr-o egalitate echivalent; identiti Ecuaii de forma 0ax b+ = , unde ,a b ; mulimea soluiilor unei ecuaii; ecuaii

echivalente Sisteme de dou ecuaii liniare cu dou necunoscute; rezolvare prin metoda substituiei i/sau prin metoda reducerii

Probleme care se rezolv cu ajutorul ecuaiilor sau a sistemelor de ecuaii liniare

Organizarea datelor

3. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR Produsul cartezian a dou mulimi nevide; sistem de axe ortogonale n plan; reprezentarea

ntr-un sistem de axe ortogonale a unor perechi de numere reale; reprezentarea punctelor ntr-un sistem de axe ortogonale; distana dintre dou puncte din plan

Reprezentarea i interpretarea unor dependene funcionale prin tabele, diagrame i grafice; poligonul frecvenelor

Geometrie 4. PATRULATERUL Patrulaterul convex; suma msurilor unghiurilor unui patrulater convex Paralelogramul: proprieti; aplicaii n geometria triunghiului: linie mijlocie n triunghi,

centrul de greutate al unui triunghi Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, ptrat; proprieti Trapezul, clasificare, proprieti; linia mijlocie n trapez; trapezul isoscel, proprieti

1 La definirea noiunii de modul se va insista pe reprezentarea lui pe axa numerelor i pe semnificaia sa ca distan.

Matematic clasele a V-a a VIII-a 23

Perimetre i arii: paralelogram, paralelograme particulare, triunghi, trapez

5. CERCUL Unghi nscris n cerc; coarde i arce n cerc, proprieti: la arce congruente corespund

coarde congruente i reciproc, diametrul perpendicular pe o coard, arce cuprinse ntre coarde paralele, coarde egal deprtate de centru; tangente dintr-un punct exterior la un cerc

Poligoane regulate nscrise ntr-un cerc (construcie, msuri de unghiuri) Lungimea cercului i aria discului

6. ASEMNAREA TRIUNGHIURILOR Segmente proporionale; teorema paralelelor echidistante (fr demonstraie) Teorema lui Thales (fr demonstraie); reciproca teoremei lui Thales; mprirea unui

segment n pri proporionale cu numere (segmente) date Triunghiuri asemenea; criterii de asemnare a triunghiurilor; teorema fundamental a

asemnrii, aplicaii: raportul ariilor a dou triunghiuri asemenea, aproximarea n situaii practice a distanelor folosind asemnarea

7. RELAII METRICE N TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC Proiecii ortogonale pe o dreapt; teorema nlimii; teorema catetei Teorema lui Pitagora; reciproca teoremei lui Pitagora Noiuni de trigonometrie n triunghiul dreptunghic: sinusul, cosinusul, tangenta i

cotangenta unui unghi ascuit Rezolvarea triunghiului dreptunghic; aplicaii: calculul elementelor (latur, apotem, arie,

perimetru) n triunghiul echilateral, n ptrat i n hexagonul regulat; aproximarea n situaii practice a distanelor folosind relaii metrice

Not. Coninuturile vor fi abordate din perspectiva competenelor specifice. Activitile de nvare sugerate ofer o imagine posibil privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competene.

Matematic clasele a V-a a VIII-a 24

CLASA a VIII-a

Competene specifice i exemple de activiti de nvare

C.G. 1. Identificarea unor date, mrimi i relaii matematice n contextul n care acestea apar

Clasa a VIII-a 1.1. Recunoaterea apartenenei unui numr real la o mulime - Reprezentarea pe axa numerelor a intervalelor de numere reale - Reprezentarea pe axa numerelor a intervalelor fcnd legtura ntre tipurile de intervale i submulimile

dreptei - Identificarea apartenenei unui element la o mulime definit printr-o proprietate a elementelor ei 1.2. Identificarea componentelor unei expresii algebrice - Identificarea numerelor reprezentate prin litere n diferite contexte date - Identificarea termenilor asemenea dintr-o expresie algebric - Recunoaterea unei formule de calcul prescurtat

- Identificarea ecuaiilor de tipul 0ax b+ = , unde ,a b sau 2 0ax bx c+ + = , unde *a , ,b c

1.3. Identificarea unor dependene funcionale n diferite situaii date - Completarea unui ir numeric cnd regula de construire este dat explicit - Determinarea unei reguli de construire a unui ir cnd se cunosc civa termeni - Identificarea unor dependene funcionale n diferite situaii concrete - Exprimarea unor dependene funcionale n diverse forme (tabele, grafice, formule)

1.4. Identificarea unor figuri plane sau a unor elemente caracteristice acestora n configuraii spaiale date - Identificarea, construcia, notarea i citirea unor drepte concurente/paralele/necoplanare n configuraii

spaiale, cu exemplificare i n realitatea nconjurtoare - Identificarea, n configuraii spaiale simple i n realitate, a poziiilor relative ale unei drepte fa de un

plan - Identificarea poziiilor relative a dou plane n configuraii spaiale simple i n realitatea nconjurtoare - Recunoaterea figurilor geometrice obinute n urma secionrii unei piramide sau a unei prisme cu un

plan paralel cu baza

1.5. Identificarea corpurilor geometrice i a elementelor metrice necesare pentru calcularea ariei sau a volumului acestora - Identificarea i numirea corpurilor geometrice (cub; paralelipiped dreptunghic; prisma dreapt cu baza:

triunghi echilateral, ptrat, hexagon regulat; cilindru circular drept; con circular drept) dintr-un set de corpuri date sau n cotidian

- Identificarea nlimii n corpurile geometrice studiate - Identificarea elementelor corpurilor geometrice n configuraii spaiale i pe desfurri (diagonale,

vrfuri, muchii, fee) - Construirea, din diferite materiale, a corpurilor geometrice studiate

C.G. 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural cuprinse n diverse surse informaionale

Clasa a VIII-a 2.1. Efectuarea unor operaii cu intervale numerice reprezentate pe axa numerelor sau cu mulimi definite printr-o proprietate a elementelor ei - Reprezentarea pe axa numerelor a interseciei a dou intervale - Reprezentarea pe axa numerelor a reuniunii a dou intervale cu intersecia nevid - Verificarea faptului c un numr este soluia unei inecuaii - Verificarea apartenenei unui obiect la o mulime pe baza unei/unor proprieti a/ale elementelor acesteia 2.2. Aplicarea unor reguli de calcul cu numere reale exprimate prin litere - Efectuarea de calcule cu numere reale reprezentate prin litere (adunarea, scderea, nmulirea,

mprirea, ridicarea la putere cu exponent numr ntreg) - Aplicarea direct a regulilor i a formulelor de calcul prescurtat n expresii algebrice

Matematic clasele a V-a a VIII-a 25

- Calcularea valorii numerice a unei expresii algebrice prin atribuirea de valori numerice variabilelor - Verificarea faptului c un numr real este soluie a unei ecuaii

2.3. Descrierea unei dependene funcionale ntr-o situaie dat, folosind diagrame, tabele sau formule - Determinarea elementelor unei funcii (domeniu de definiie, mulimea n care funcia ia valori, lege de

coresponden) - Corelarea elementelor unor funcii cu situaii practice - Sortarea i organizarea unor date dup criterii de tip dependen funcional

2.4. Reprezentarea, prin desen sau prin modele, a unor configuraii spaiale date - Reprezentarea prin desen sau prin modele a unor configuraii spaiale n/din contexte reale - Utilizarea instrumentelor geometrice i a softurilor matematice pentru a desena diferite configuraii

spaiale - Utilizarea diferitelor mijloace didactice pentru a modela rezultate asociate relaiilor de paralelism i

perpendicularitate n spaiu - Utilizarea conveniilor de notare i citire a configuraiilor spaiale - Reprezentarea, prin desen, a proieciilor i a unghiurilor - Clasificarea prismelor/piramidelor dup forma bazei - Construirea nlimii unei prisme sau a unei piramide 2.5. Prelucrarea unor date caracteristice ale corpurilor geometrice studiate n vederea calculrii unor elemente ale acestora - Desfurarea n plan a piramidei/prismei i caracterizarea figurilor plane obinute - Alegerea celei mai potrivite uniti de msur pentru un anumit context - Determinarea lungimii unui segment sau a msurii unui unghi ntr-o situaie practic

C.G. 3. Utilizarea conceptelor i a algoritmilor specifici n diverse contexte matematice

Clasa a VIII-a

3.1. Utilizarea unor procedee matematice pentru operaii cu intervale i rezolvarea inecuaiilor n - Aproximarea numerelor reale pentru reprezentarea unor intervale - Reprezentarea unui interval sub forme echivalente (notaie, reprezentarea pe axa numerelor) - Transformarea unei inecuaii ntr-o inecuaie echivalent folosind proprietile relaiei de ordine

3.2. Utilizarea formulelor de calcul prescurtat i a unor algoritmi pentru rezolvarea ecuaiilor i a inecuaiilor - Amplificarea i simplificarea unui raport de numere reale reprezentate prin litere - Efectuarea unor calcule care presupun utilizarea formulelor de calcul prescurtat - Efectuarea unor calcule care urmresc respectarea semnificaiei parantezelor i a ordinii efecturii

operaiilor cu numere reale reprezentate prin litere

3.3. Reprezentarea n diverse moduri a unor funcii cu scopul caracterizrii acestora - Reprezentarea grafic a unor funcii numerice - Determinarea unor puncte care aparin graficului unei funcii numerice - Determinarea interseciilor graficului unei funcii numerice cu axele de coordonate - Determinarea indicatorilor tendinei centrale a unui set de date

3.4. Folosirea unor proprieti de paralelism sau perpendicuaritate pentru analizarea poziiilor relative ale dreptelor i planelor - Utilizarea msurilor unghiurilor i a distanelor pentru stabilirea poziiilor relative ntre drepte i/sau

plane - Determinarea paralelismului n spaiu, ntre drepte i/sau plane cu ajutorul proprietilor relaiilor de

paralelism i de perpendicularitate n configuraii simple - Determinarea perpendicularitii n spaiu, ntre drepte i/sau plan